Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα"

Transcript

1 Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν στην τάξη των μονάδων. Λέμε π.χ. 0 μηδέν μονάδες 1 μία μονάδα 2 δύο μονάδες 9 εννιά μονάδες

2 1 ο Κεφάλαιο 4 Ενώ οι αριθμοί 10, 11,..., 99 που είναι διψήφιοι αριθμοί αποτελούνται από μονάδες και δεκάδες. Πάντα ο τελευταίος αριθμός εκφράζει μονάδες ενώ ο πρώτος εκφράζει δεκάδες. Λέμε π.χ. 10 μία δεκάδα και μηδέν μονάδες 11 μία δεκάδα και μία μονάδα Παρατηρούμε ότι διαβάζουμε τους αριθμούς από την αρχή προς το τέλος. Τώρα αν μιλήσουμε για αριθμούς όπως 100, 101, 102,...999, οι οποίοι είναι αριθμοί τριψήφιοι μιλάμε για εκατοντάδες, δεκάδες και μονάδες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το τριψήφιο τμήμα ενός αριθμού που βρίσκεται στα δεξιά π.χ αντιστοιχεί στην κλάση των μονάδων. Η κλάση αυτή αποτελείται από τάξεις που είναι οι εξής: «τάξη των μονάδων», «τάξη των δεκάδων» και «τάξη των εκατοντάδων». Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Τοποθετούμε το μονοψήφιο αριθμό 9 στη σωστή θέση ΜΟΝΑ ΕΣ Ε= εκατοντάδες Ε Μ = δεκάδες 9 Μ = μονάδες ιαβάζουμε: 9 μονάδες 2. Τοποθετούμε το διψήφιο αριθμό 15 στη σωστή θέση. ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ 1 5 ιαβάζουμε: 1 δεκάδα και 5 μονάδες

3 Μαθηματικά 5 3. Τοποθετούμε τον τριψήφιο αριθμό 145 στη σωστή θέση ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ ιαβάζουμε: 1 εκατοντάδα, 4 δεκάδες και 5 μονάδες. Όπως παρατηρούμε στα πινακάκια η τοποθέτηση των αριθμών γίνεται από δεξιά προς τα αριστερά. Ξέροντας αυτά λοιπόν ας θυμηθούμε πως λογαριάζουμε χιλιάδες. Ξέρουμε ότι =10 (το 10 είναι μία μονάδα δεκαδικών ή μία δεκάδα). Προσθέτουμε διαδοχικά στο 9 και το 1 μηδενικά και προσπαθούμε να λογαριάσουμε: = 100. Σκεφτόμαστε πόσα μηδενικά γράψαμε δεξιά και του 9 και του 1: γράψαμε ένα μηδενικό. Άρα στο άθροισμα που πήραμε από την πρόσθεση γράφουμε δεξιά ένα μηδενικό: = = 100 Προχωράμε παρακάτω με τον ίδιο τρόπο: =1.000 (αυτός είναι ο α- ριθμός χίλια ή αλλιώς μια μονάδα χιλιάδων). Με τον ίδιο τρόπο: = (δέκα χιλιάδες ή αλλιώς μία δεκάδα χιλιάδων) = (εκατό χιλιάδες ή αλλιώς μία εκατοντάδα χιλιάδων). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το δεύτερο τριψήφιο τμήμα από τα δεξιά ενός αριθμού αντιστοιχεί στην κλάση των χιλιάδων ή πιο απλά στις χιλιάδες. Π.χ Η κλάση αυτή αποτελείται από την τάξη των μονάδων, την τάξη των δεκάδων και την τάξη των εκατοντάδων.

4 1 ο Κεφάλαιο 6 Ας δούμε τα πινακάκια: Θα τοποθετήσουμε σ αυτό το πινακάκι το (δηλαδή τη μία μονάδα χιλιάδων) ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Διαβάζουμε: 1 μονάδα χιλιάδων Θα τοποθετήσουμε τώρα στον πίνακα τον αριθμό ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Διαβάζουμε: 1 δεκάδα χιλιάδων Τέλος τοποθετούμε στον πίνακα τον αριθμό ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Διαβάζουμε: 1 εκατοντάδα χιλιάδων Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Να τοποθετήσετε τους παρακάτω αριθμούς σε πινακάκια και να τους διαβάσετε: 1) ) ) ) ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ ιαβάζουμε (πάντα από την αρχή προς το τέλος): 7 εκατοντάδες χιλιάδων, 5 δεκάδες χιλιάδων, 3 μονάδες χιλιάδων, 4 εκατοντάδες, 8 δεκάδες και 9 μονάδες.

5 Μαθηματικά 7 2) ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ ιαβάζουμε: 1 εκατοντάδα χιλιάδων, 2 δεκάδες χιλιάδων, 5 μονάδες χιλιάδων, 8 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 3 μονάδες. 2) ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ ιαβάζουμε: 3 εκατοντάδες χιλιάδων, 4 δεκάδες χιλιάδων, 1 μονάδα χιλιάδων, 7 εκατοντάδες, 6 δεκάδες και 9 μονάδες. Τι είναι σύγκριση; Έστω ότι έχουμε δύο αριθμούς το 8 και το 3. Όλοι ξέρουμε ότι το 8 είναι μεγαλύτερο από το 3. Στη μαθηματική γλώσσα γράφουμε: 8 > 3 και διαβάζουμε: «8 μεγαλύτερο του 3». Τώρα θέλουμε να πούμε ότι το 3 είναι μικρότερο του 8 γράφουμε: 3 < 8 και διαβάζουμε «3 μικρότερο του 8». Επομένως, για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς χρησιμοποιούμε τα σύμβολα > και <. Πώς όμως χρησιμοποιούμε αυτά τα σύμβολα; Το μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς που συγκρίνουμε τον βάζουμε στο «άνοιγμα» του συμβόλου ενώ το μικρότερο το βάζουμε στη μύτη». Κάθε αριθμός που έχει περισσότερα ψηφία από κάποιον άλλο θα είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στη σύγκριση και ο άλλος ο μικρότερος.

6 1 ο Κεφάλαιο 8 Εάν όμως οι αριθμοί που θέλουμε να συγκρίνουμε έχουν ίδιο πλήθος ψηφίων, π.χ. το 200 και το 100 τότε τη σύγκριση την κάνουμε συγκρίνοντας ένα προς ένα τα ψηφία, ξεκινώντας από τα πρώτα ψηφία των αριθμών: το πρώτο ψηφίο του 200 είναι το 2, ενώ το πρώτο ψηφίο του 100 είναι το 1 και επειδή 2> 1 θα είναι και 200 > 100. Έστω ότι έχουμε δύο αριθμούς που έχουν για πρώτο ψηφίο τον ίδιο αριθμό π.χ και Η σύγκριση σ αυτήν την περίπτωση θα γίνει από το δεύτερο ψηφίο. Το δεύτερο ψηφίο του είναι το 5 ενώ το δεύτερο ψηφίο του είναι το 2 και επειδή 5 > 2 θα είναι > Εάν είναι και τα δεύτερα ψηφία των αριθμών ίδια τότε πηγαίνουμε στα τρίτα ψηφία κτλ. Ας δούμε μερικά παραδείγματα: Θέλουμε να συγκρίνουμε τους αριθμούς και Γράφουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλο: Βλέπουμε ότι οι δύο αριθμοί έχουν από έξι ψηφία ο καθένας. Το πρώτο ψηφίο και των δύο αριθμών είναι το 1, Το δεύτερο ψηφίο και των δύο αριθμών είναι το 5, Το τρίτο ψηφίο και των δύο αριθμών είναι το 8, Το τέταρτο ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι το 9 ενώ το τέταρτο ψηφίο του δεύτερου αριθμού είναι το 3. Επειδή το 9 είναι μεγαλύτερο του 3 (9>3) ο πρώτος αριθμός θα είναι μεγαλύτερος από το δεύτερο, δηλαδή >

7 Μαθηματικά 9 Πρόβλημα Για τις διακοπές της μια οικογένεια ξόδεψε ενώ μια άλλη Για να δούμε ποια από τις δύο οικογένειες ξόδεψε περισσότερα χρήματα; Αρκεί να συγκρίνουμε τους αριθμούς 2500 και Επειδή οι δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων δεν μπορούμε ακόμη να πούμε ποιος είναι ο μεγαλύτερος. Σκεφτόμαστε! Το πρώτο ψηφίο του 2500 είναι το 2 ενώ το πρώτο ψηφίο του 1250 είναι το 1 και επειδή 2>1 θα είναι και 2500>1250. Βλέπουμε λοιπόν ότι η πρώτη οικογένεια ξόδεψε περισσότερα χρήματα για τις διακοπές της. Τι είναι διάταξη; Όταν λέμε διάταξη εννοούμε την τακτοποίηση μιας σειράς αριθμών από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Έστω ότι θέλουμε να διατάξουμε τους αριθμούς: , και από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. Για να κλείσουμε τη διάταξη θα τους συγκρίνουμε μεταξύ τους. Συγκρίνουμε τους αριθμούς , Παρατηρούμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων οπότε θα πρέπει να κάνουμε τη σύγκριση ψηφίο προς ψηφίο ίσοι Βλέπουμε ότι το τέταρτο κατά σειρά ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι το 5 και είναι μικρότερο από το 8 που είναι το αντίστοιχο ψηφίο του δεύτερου αριθμού. Λέμε λοιπόν ότι: < ίσοι ίσοι 5 < 8 Συγκρίνουμε τους αριθμούς , Παρατηρούμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων οπότε θα πρέπει να κάνουμε τη σύγκριση ψηφίο προς ψηφίο.

8 1 ο Κεφάλαιο ίσοι ίσοι ίσοι 8 > 6 Επειδή το τέταρτο ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο ψηφίο του άλλου θα είναι: < Συγκρίνουμε τους αριθμούς , Παρατηρούμε ότι έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων οπότε θα πρέπει να κάνουμε τη σύγκριση ψηφίο προς ψηφίο ίσοι ίσοι ίσοι 5 < 6 Επειδή το τέταρτο ψηφίο του πρώτου αριθμού είναι μικρότερο από το αντίστοιχο ψηφίο του δεύτερου αριθμού θα είναι: < Από τις συγκρίσεις που κάναμε είδαμε ότι ο είναι μικρότερος από τον και αυτός είναι μικρότερος από τον Γράφουμε λοιπόν: < < Για να διατάξουμε κάποιους αριθμούς που μας έχουν δοθεί τους συγκρίνουμε πρώτα και έπειτα τους τοποθετούμε στη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο ή από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο (ανάλογα με το τι μας έχει ζητηθεί) βάζοντας ανάμεσά τους ένα από τα σύμβολα: > ή <.

9 Μαθηματικά 11 Τι είναι στρογγυλοποίηση; Στρογγυλοποίηση λέμε τη διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε έναν αριθμό με κάποιον άλλο που είναι πολύ κοντά στον αρχικό μας αριθμό. Για παράδειγμα αν ο μισθός κάποιου εργάτη είναι 738 αυτός μπορεί να λέει για συντομία ότι πληρώνεται 740. Η στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει σ οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού. Έστω π.χ. ο αριθμός 253: μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των μονάδων, δηλαδή το 3 ή στο ψηφίο των δεκάδων, που είναι το 5 ή στο ψηφίο των εκατοντάδων που είναι το 2. Για να κάνουμε στρογγυλοποίηση πρέπει να προσέχουμε τον αριθμό που υπάρχει πίσω (δεξιά) απ αυτόν που θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε. Αν αυτός ο αριθμός είναι 0, 1, 2, 3 ή 4 τότε φεύγει και στη θέση αυτού και των ψηφίων που ακολουθούν βάζουμε μηδενικά. Αν ο αριθμός που ακολουθεί το ψηφίο που θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε είναι ένας από τους 5, 6, 7, 8, ή 9 τότε στη θέση αυτού του αριθμού και των υπολοίπων που ακολουθούν βάζουμε μηδενικά ενώ το ψηφίο στο οποίο κάνουμε τη στρογγυλοποίηση αυξάνεται κατά μία μονάδα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός στο ψηφίο των δεκάδων και στο ψηφίο των εκατοντάδων. Λύση Έχουμε τον αριθμό και θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των δεκάδων δηλαδή το 4. εξιά του 4 υπάρχει το 3 που ανήκει στους παραπάνω αριθμούς (0, 1, 2, 3, 4) άρα στη θέση του βάζουμε το μηδέν. Έτσι ο αριθμός μας μετά τη στρογγυλοποίηση γίνεται

10 1 ο Κεφάλαιο 12 Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον ίδιο αριθμό στο ψηφίο των εκατοντάδων δηλαδή στο 7. εξιά του 7 υπάρχει το 4 άρα το αντικαθιστούμε με το μηδέν καθώς και τα ψηφία που ακολουθούν. Έτσι ο αριθμός γίνεται Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί: α) στο ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων β) στο ψηφίο των εκατοντάδων Λύση α) Έχουμε τον αριθμό και θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων (που είναι το 1). Βλέπουμε ότι το ψηφίο που ακολουθεί είναι το 7, άρα αντικαθιστούμε αυτό και όλα τα υπόλοιπα ψηφία με μηδενικά και το 1 το αυξάνουμε κατά μία μονάδα, δηλαδή στη θέση του γράφουμε τον αριθμό 1+1 =2. Ο αριθμός μας μετά τη στρογγυλοποίηση γίνεται: β) Έχουμε τον αριθμό και θέλουμε να το στρογγυλοποιήσουμε στο ψηφίο των ε- κατοντάδων. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 7 και βλέπουμε ότι μετά απ αυτό ακολουθεί ο αριθμός 5. Σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει θα προσθέσουμε μία μονάδα στο 7 και τα υπόλοιπα ψηφία θα τα κάνουμε μηδενικά. Έτσι ο αριθμός στρογγυλοποιείται στον Ας δούμε μια ξεχωριστή περίπτωση στρογγυλοποίησης Θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό στο ψηφίο των εκατοντάδων. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 9 και μετά από αυτό ακολουθεί ο αριθμός 5, οπότε θα αυξήσουμε το 9 κατά μία μονάδα και τα επόμενα ψηφία θα γίνουν μηδενικά. Όμως αν αυξήσουμε το 9 κατά μία μονάδα θα γίνει =10. Τότε στη θέση του 9 θα βάλουμε το 0 και το ψηφίο αριστερά του 9 θα αυξηθεί κατά μία μονάδα. Το ψηφίο αυτό είναι το 2 οπότε θα γίνει =3. Έτσι ο αριθμός στρογγυλοποιείται στον

11 Μαθηματικά 13 Η πράξη της πρόσθεσης Όταν προσθέτουμε δύο αριθμούς δε μας ενδιαφέρει με ποια σειρά θα τους γράψουμε, αν γράψουμε δηλαδή πρώτα το μεγαλύτερο ή πρώτα το μικρότερο. Διαλέγουμε να κάνουμε την πρόσθεση όπως θέλουμε εμείς. Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Για παράδειγμα: ή Εκείνο που πρέπει να προσέξουμε είναι η τοποθέτηση των δύο προσθετέων. Αφού γράψουμε τον πρώτο προσθετέο αρχίζουμε να γράφουμε το δεύτερο προσθετέο από το τέλος προς την αρχή. Πρέπει δηλαδή κάθε ψηφίο του ενός αριθμού να είναι κάτω από το αντίστοιχο ψηφίο του άλλου αριθμού. Παράδειγμα: ή Γράφουμε λοιπόν τις μονάδες κάτω από τις μονάδες, τις δεκάδες κάτω από τις δεκάδες, τις εκατοντάδες κάτω από τις εκατοντάδες, κ.τλ. Μπορούμε να προσθέσουμε περισσότερους από δύο αριθμού μεταξύ τους, για παράδειγμα: ή ή Παρατηρούμε λοιπόν εδώ ότι μπορούμε να αλλάξουμε τη θέση προσθετέων χωρίς να αλλάξει το άθροισμά τους.

12 1 ο Κεφάλαιο 14 Όταν κάνουμε πρόσθεση τοποθετούμε τους αριθμούς κατακόρυφα έτσι ώστε κάθε ψηφίο του ενός αριθμού να είναι κάτω από το αντίστοιχο ψηφίο του άλλου αριθμού. Αρχίζουμε την πρόσθεση από τα τελευταία ψηφία. Παράδειγμα: Προσθέτουμε πρώτα τα ψηφία 7,7, και 2 και έχουμε 7+7+2=16 γράφουμε το 6 και κρατάμε μία μονάδα την οποία θα προσθέσουμε στα αμέσως επόμενα ψηφία κτλ. Όταν έχουμε να προσθέσουμε πολλούς αριθμούς μεταξύ τους τότε μπορούμε να προσθέσουμε πρώτα τους δύο αριθμούς και στο άθροισμα που θα βρούμε να προσθέσουμε έναν άλλον αριθμό. Στο νέο άθροισμα που θα βρούμε θα προσθέσουμε και άλλον αριθμό και θα κάνουμε τη διαδικασία αυτή μέχρι να τελειώσουν όλοι οι αριθμοί. Το τελικό άθροισμα θα είναι το άθροισμα όλων των αριθμών. Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς 125, και Προσθέτουμε αρχικά τους δύο πρώτους αριθμούς: Έπειτα προσθέτουμε στο παραπάνω άθροισμα τον αριθμό Όταν μας δίνεται μία άσκηση στην οποία υπάρχουν αριθμοί μέσα σε παρένθεση πρέπει πρώτα να κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και έπειτα να κάνουμε τις υπόλοιπες προσθέσεις Παράδειγμα: ( )+3.506=

13 Μαθηματικά 15 Προσθέτουμε πρώτα τους αριθμούς που είναι μέσα στην παρένθεση: Τώρα προσθέτουμε τον αριθμό που βρήκαμε με τον αριθμό : Με νοερούς υπολογισμούς μπορώ να εκτιμήσω είτε να υπολογίσω με ακρίβεια το α- ποτέλεσμα μιας πράξης (π.χ είναι περίπου = ή με ακρίβεια είναι = ) Αφαίρεση κάνουμε όταν ξέρουμε το άθροισμα δύο αριθμών και τον έναν από τους δύο. Για να βρούμε τον άλλο, αφαιρούμε από το άθροισμα το γνωστό αριθμό. Παράδειγμα: Ξέρουμε ότι το άθροισμα του 753 με έναν αριθμό ισούται με Για να βρούμε τον άλλο αριθμό αφαιρούμε: 5678 (μειωτέος) (αφαιρετέος) 4925 (διαφορά) Όταν προσθέτουμε στον αφαιρετέο τη διαφορά, βρίσκουμε το μειωτέο. Αυτή η πρόταση αποτελεί τη δοκιμή της αφαίρεσης. Παράδειγμα: 4925 (υπόλοιπο) (αφαιρετέος) 5678 (μειωτέος)

14 1 ο Κεφάλαιο 16 Όταν από το μειωτέο αφαιρέσουμε τη διαφορά, θα βρούμε τον αφαιρετέο. Παράδειγμα: 5678 (μειωτέος) (διαφορά) 753 (αφαιρετέος) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαιρέσουμε τον έναν αριθμό βρίσκουμε τον άλλον: 4925 (α προσθετέος) 5678 (άθροισμα) 5678 (άθροισμα) (β προσθετέος) (β προσθετέος) (α προσθετέος 5678 (άθροισμα) 4925 (α προσθετέος) 753 (β προσθετέος) Δεν μπορούμε από έναν αριθμό να αφαιρέσουμε κάποιον άλλο που είναι μεγαλύτερός του. Από έναν αριθμό μπορούμε να αφαιρέσουμε τον εαυτό του (τον ίδιο) και αριθμούς που είναι μικρότεροι από αυτόν. Για παράδειγμα:

15 Μαθηματικά 17 Πολλαπλασιασμός Ένα γινόμενο δύο αριθμών παραμένει το ίδιο με όποια σειρά και να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς. Για παράδειγμα: Το γινόμενο 4 9 είναι ίσο με το 9 4 αφού 4 9 =36 και 9 4 = 36. Ας θυμηθούμε σ αυτό το σημείο πως γίνεται ο πολλαπλασιασμός αριθμών που έχουν πάνω από δύο ψηφία. Θα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό του με το x 6 Λέμε 1 6 = 6. Γράφουμε το 6 κάτω από τη γραμμή στη θέση των μονάδων x 6 Λέμε 6 8 =48. Γράφουμε το 8 κάτω από τη γραμμή στη θέση των δεκάδων και έχουμε 4 κρατούμενα x Λέμε 6 7 =42 και 4 τα κρατούμενα που είχαμε από πριν μας κάνουν 46. Γράφουμε το 6 στη θέση των εκατοντάδων και έχουμε 4 κρατούμενα και πάλι x Λέμε 6 4 =24 και 4 τα κρατούμενα που είχαμε από πριν μας κάνουν 28. Γράφουμε το 28 στις θέσεις των δεκάδων χιλιάδων και των μονάδων χιλιάδων.

16 1 ο Κεφάλαιο 18 Το σχήμα της διαίρεσης: ιαίρεση Διαιρετέος διαιρέτης πηλίκο - Τέλεια λέγεται η διαίρεση στην οποία ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη. Σε μια τέλεια διαίρεση είναι Δ = δ π. - Μια διαίρεση που δεν είναι τέλεια λέγεται ατελής. Στην ατελή διαίρεση προκύπτει ένας αριθμός στον οποίο δεν χωράει ο διαιρέτης και λέγεται υπόλοιπο. Για παράδειγμα: 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος (σύντομος) ' ' ' ' ' ' ' ' Ας θυμηθούμε τι είναι κλασματικές μονάδες και τι είναι τα κλάσματα. Κλάσματα - Η κλασματική μονάδα αποτελείται από δύο αριθμούς: τον παρονομαστή που μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα και τον αριθμητή, που είναι ο αριθμός 1. Η κλασματική μονάδα εκφράζει ένα από τα ίσα μέρη στα οποία έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα. - Το κλάσμα είναι το άθροισμα πολλών ίδιων κλασματικών μονάδων. Ο αριθμητής ενός κλάσματος μας δείχνει πόσα ίσα μέρη παίρνουμε, από τα ίσα μέρη στα οποία χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα. - Οι κλασματικές μονάδες που έχουν στον παρονομαστή τους έναν από τους α- ριθμούς 10, 100, 1000 λέγονται δεκαδικές κλασματικές μονάδες. - Τα δεκαδικά κλάσματα έχουν ως αριθμητή έναν αριθμό μεγαλύτερο του 1 και ως παρονομαστή έναν από τους αριθμούς 10, 100, 1000,... Για παράδειγμα: το κλάσμα 7 είναι ένα δεκαδικό κλάσμα. 10

17 Μαθηματικά 19 - Μπορούμε να μετατρέψουμε το δεκαδικό κλάσμα 7 σε δεκαδικό αριθμό. Κοιτάζουμε πόσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του κλάσματος. Ο αριθμός 10 έχει 10 1 μηδενικό. Γράφουμε λοιπόν ένα μηδενικό και δίπλα του γράφουμε τον αριθμητή του κλάσματος: 7 = 0,7 10 υποδιαστολή Τα δύο αυτά ψηφία τα χωρίζουμε με ένα κόμμα το οποίο λέγεται υποδιαστολή. Γεωμετρία Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας τα δύο μέρη να συμπέσουν. Ένα σχήμα έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας. Παράδειγμα: Πολύγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα, το οποίο έχει πολλές γωνίες. Ένα πολύγωνο το ονομάζουμε ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών του. Παράδειγμα:

18 1 ο Κεφάλαιο 20 Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλόγραμμου πολλαπλασιάζω τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών. Παράδειγμα: 3 5 Σε ένα ορθογώνιο με διαδοχικές πλευρές 5 και 3 εκατοστά το εμβαδό είναι 5 3 =15 τετραγωνικά εκατοστά. Για να σχεδιάσω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με δοσμένο εμβαδό θα πρέπει το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του να είναι όσο το εμβαδό που θέλω. Παράδειγμα για εμβαδό 12 τ. εκ. το γινόμενο των πλευρών θα είναι: 12 1 = ή 6 2 = ή 3 4 =12 3 4

19 Μαθηματικά 21 ραστηριότητες του βιβλίου ραστηρι ότητα 1η Η Νεφέλη, ο Γιάννης, ο Οδυσσέας, η Θεοδώρα, ο Γιώργος και ο Μίλτος πήγαν στην ίδια κατασκήνωση το καλοκαίρι. Όλοι ασχολήθηκαν με αθλήματα. Αν ο αγώνας μπάσκετ άρχισε πριν από ένα τέταρτο και η συνολική του διάρκεια είναι μία ώρα, τι ώρα θα τελειώσει; Στον αγώνα παίζει το 1 των αγοριών 10 της κατασκήνωσης. Πόσα μπορεί να είναι όλα τα αγόρια; Βάζω Εξηγώ στην τάξη πως σκέφτηκα Η ώρα χωρίζεται σε τέσσερα τέταρτα. 1 ώρα = 4 4 της ώρας. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

20 1 ο Κεφάλαιο 22 Λύση Αφού ο αγώνας άρχισε πριν από ένα τέταρτο (ή 1 4 της ώρας) και η συνολική του διάρκεια είναι μία ώρα (ή 1 ώρα = 4 4 της ώρας), ο αγώνας θα τελειώσει μετά από τρία τέταρτα της ώρας γιατί = Παρατηρώ την εικόνα και βλέπω ότι τα αγόρια που παίζουν στον αγώνα είναι 10. Άρα το 1 1 των αγοριών είναι 10. Τα αγόρια όλα είναι 100 γιατί το του 100 είναι Τα αγόρια όλα δε γίνεται να είναι γιατί το του 1000 είναι 100 επομένως: Κάθε παιδί ρίχνει 6 βέλη. Προσοχή Αν το βέλος βγει εκτός στόχου, αφαιρούνται 50 βαθμοί Πόσες μπορεί να ήταν οι βολές που έριξε ο Μίλτος; Αν η Νεφέλη συγκέντρωσε περισσότερους βαθμούς από το Γιώργο και το Μίλτο, ποιες μπορεί να ήταν οι βολές της;

21 Μαθηματικά 23 Λύση Ο Γιώργος πέτυχε 1200 βαθμούς με ένα βέλος εκτός στόχου: = 500 (1 φορά το 500) = 500 (2 φορές το 250) = 250 (2 φορές το 125) =1250 (Ο Γιώργος συγκέντρωσε 1250 βαθμούς σε 5 βολές) = 1200 (αφαιρούνται 50 βαθμοί γιατί έριξε 1 βέλος εκτός στόχου, άρα συγκέντρωσε βαθμούς) Και ο Μίλτος πέτυχε 1200 βαθμούς αλλά με 2 βέλη εκτός στόχου. Άρα οι βολές του Μίλτου θα είναι: = 1000 (2 φορές το 500) = 250 (1 φορά το 250) 1 50 = 50 (1 φορά το 50) =1300 (Ο Μίλτος συγκέντρωσε 1300 βαθμούς σε 4 φορές) 2 50 = 100 (όμως έχασε 100 βαθμούς γιατί 2 βέλη του βγήκαν εκτός στόχου) = 1200 (άρα συγκέντρωσε 1200 βαθμούς) Η Νεφέλη συγκέντρωσε περισσότερους βαθμούς από το Γιώργο και από το Μίλτο. Οι βολές της μπορεί να είναι: = 500 (1 φορά το 500) = 500 (2 φορές το 250) =250 (2 φορές το 125) 1 50 = 50 (1 φορά το 50) Άρα η Νεφέλη συγκέντρωσε = 1300 βαθμούς.

22 1 ο Κεφάλαιο 24 Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 μπορούμε να φτιάξουμε αριθμούς. Κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία μέσα σε έναν αριθμό. Η αξία του εξαρτάται από τη θέση που έχει το ψηφίο μέσα στον αριθμό. Σύγκριση δύο ακέραιων αριθμών σημαίνει να βρούμε αν αυτοί είναι ίσοι ή στην περίπτωση που δεν είναι ίσοι, να βρούμε ποιος είναι ο μεγαλύτερος. Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι αν έχουν τα ίδια ψηφία. Διάταξη κάποιων ακέραιων αριθμών σημαίνει η τοποθέτησή τους σε σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τη διάταξη είναι το < αν διατάξουμε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή το > αν διατάξουμε από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Στρογγυλοποίηση ενός αριθμού σημαίνει να αντικαταστήσουμε τον αριθμό αυτό με έναν άλλο που είναι πολύ κοντά του, έτσι ώστε να μην αλλάξει πολύ η αξία του. Όταν κάνουμε στρογγυλοποίηση, πάντα πρέπει να αναφέρουμε το ψηφίο στο ο- ποίο γίνεται αυτή. Με νοερούς υπολογισμούς μπορώ να εκτιμήσω είτε να υπολογίσω με ακρίβεια το αποτέλεσμα μιας πράξης (π.χ είναι περίπου = ή με ακρίβεια είναι = )

23 Μαθηματικά 25 Όταν προσθέτω δύο αριθμούς, μπορώ να αλλάξω τη θέση των προσθετέων (π.χ = ). Το κλάσμα είναι το άθροισμα πολλών ίδιων κλασματικών μονάδων. Ο αριθμητής ενός κλάσματος δείχνει πόσα μέρη παίρνουμε από τα ίσα μέρη στα οποία χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα. Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας τα δύο μέρη να συμπέσουν. Ένα σχήμα μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας. Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών του. Για να σχεδιάσω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με δοσμένο εμβαδό θα πρέπει το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του να είναι όσο το εμβαδό που θέλω.

24 1 ο Κεφάλαιο Φτιάχνουμε στόχους με άδεια κουτιά. Αν χρειαστήκαμε 6 κουτιά για να στήσουμε 3 σειρές, πόσα κουτιά θα χρειαστούμε για να στήσουμε μια παρόμοια πυραμίδα με 5 σειρές; Πόσα κουτιά θα χρειαστούμε για μια παρόμοια πυραμίδα με 9 σειρές; Εξηγώ πώς σκέφτηκα. λύση Παρατηρούμε ότι στην 1 η σειρά υπάρχει 1 κουτί, στη 2 η 2 κουτιά, στην 3 η 3 κουτιά. Άρα στην 4 η θα υπάρχουν 4 κουτιά, στην 5 η 5 κουτιά, στην 6 η 6 κουτιά, στην 7 η 7 κουτιά, στην 8 η 8 κουτιά, στην 9 η 9 κουτιά, κ.τλ. Μπορώ να ζωγραφίσω το πρόβλημα: Μπορώ να χρησιμοποιήσω πίνακα για να καταγράψω τις παρατηρήσεις μου. Αριθμός σειράς Πλήθος κουτιών Οπότε για την κατασκευή με 5 σειρές χρειαστήκαμε: = 15 κουτιά. Για την κατασκευή με 9 σειρές χρειαστήκαμε: = 45 κουτιά.

25 Μαθηματικά Φτιάχνουμε με το χάρακα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν: -12 τετραγωνάκια -10 τετραγωνάκια - 7 τετραγωνάκια λύση Για να σχεδιάσω ένα ορθογώνιο με δοσμένο εμβαδό θα πρέπει το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του να είναι όσο το εμβαδό που θέλω. Για να κατασκευάσω ένα ορθογώνιο με εμβαδό 12 τετραγωνάκια το γινόμενο των πλευρών μπορεί να είναι 3 4 =12. Για να κατασκευάσω ένα ορθογώνιο με εμβαδό 10 τετραγωνάκια το γινόμενο των πλευρών μπορεί να είναι 2 5 = 10. Για να κατασκευάσω ένα ορθογώνιο με εμβαδό 7 τετραγωνάκια το γινόμενο των πλευρών μπορεί να είναι 1 7 =7.

26 1 ο Κεφάλαιο Προτείνουμε μερικούς 6ψήφιους αριθμούς που μπορούμε να φτιάξουμε με τον πατώντας τα πλήκτρα 3, 5, 7, 9, 1. Γράφουμε 5 από αυτούς και τους διατάσσουμε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: < < < < < λύση Με τα ψηφία 3, 5, 7, 9, 1 μπορούμε να φτιάξουμε πολλούς διαφορετικούς αριθμούς: , , , , , , , , κ.τλ. Παίρνουμε 5 από αυτούς και τους διατάσσουμε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: < < < < Μπορούμε να διατάξουμε τους α- ριθμούς συγκρίνοντας τα ψηφία τους. Ξεκινάμε από το πρώτο ψηφίο των αριθμό το 1<3 < 5 < 7 < 9.

27 Μαθηματικά 29 Η πρόταση που ακολουθεί είναι σωστή ή λάθος; Δύο αριθμοί που έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων είναι ίσοι; Σωστό Λάθος Απάντηση Λάθος. Γιατί για να είναι ίσοι θα πρέπει και τα ψηφία τους ένα προς ένα να είναι ίσα. Η πρόταση που ακολουθεί είναι σωστή ή λάθος; Μπορούμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση ενός ακέραιου αριθμού σε όποιο ψηφίο θέλουμε; Σωστό Λάθος Απάντηση Σωστό, αρκεί να αναφέρουμε το ψηφίο στο οποίο γίνεται αυτή.

28 1 ο Κεφάλαιο 30 Μπορώ στην αφαίρεση να αλλάξω τη σειρά του μειωτέου και του αφαιρετέου όπως κάνω στην πρόσθεση; Απάντηση Όχι. Στην πράξη της πρόσθεσης αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων το άθροισμα δεν αλλάζει. Αυτό στην αφαίρεση δεν ισχύει, δε μπορούμε δηλαδή να αλλάξουμε τη θέση των δύο αριθμών, του μειωτέου και του αφαιρετέου γιατί δε μπορούμε από έναν α- ριθμό να αφαιρέσουμε κάποιον άλλο που είναι μεγαλύτερός του. Τι είναι ο άξονας συμμετρίας; Απάντηση Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας, τα δύο μέρη να συμπέσουν. Πώς υπολογίζεται το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλόγραμμου; Απάντηση Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών του.

29 Μαθηματικά 31 Τετράδιο Εργασιών α. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα έχουν ίσο εμβαδόν; Σχεδιάζουμε έναν ή περισσότερους άξονες συμμετρίας σε όποια από τα παραπάνω σχήματα είναι δυνατόν. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Άξονας συμμετρίας ονομάζεται η ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε αν διπλώσω το σχήμα στον άξονα συμμετρίας τα δύο μέρη να συμπέσουν. Ένα σχήμα μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας.

30 1 ο Κεφάλαιο 32 Τα σχήματα α, β και δ έχουν ίσα εμβαδά, γιατί καλύπτουν όλα την ίδια επιφάνεια: ένα τετραγωνάκι στο πλέγμα που είναι σχεδιασμένα. Άξονες συμμετρίες: το σχήμα α έχει 2 άξονες συμμετρίας, το σχήμα β δεν έχει άξονα συμμετρίας, το σχήμα γ έχει 1 άξονα συμμετρίας και το σχήμα δ έχει 4 άξονες συμμετρίας. β. Βρίσκω το λάθος και εξηγώ προφορικά γιατί δεν είναι λογικό να ισχύει το αποτέλεσμα στις παρακάτω πράξεις. Εκτιμώ αρχικά και στη συνέχεια υπολογίζω με ακρίβεια το σωστό αποτέλεσμα: λύση Για να βρω το λάθος πρέπει να παρατηρήσω και να εκτελέσω τις πράξεις. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

31 Μαθηματικά 33-3,5 χιλιάδες + 3,5 χιλιάδες δεν μπορεί να κάνει Το σωστό είναι Δε γίνεται να αφαιρέσω μόνο 30 από το και να μείνουν ! Το σωστό είναι: ,00-30, ,69 - Δε μπορεί 3 φορές το 800 να κάνει ! Το σωστό είναι: 820 x γ. ιατάσσω τους αριθμούς από το μικρότερο στο μεγαλύτερο < < Ποιο ζευγάρι από αυτούς τους αριθμούς έχει άθροισμα που βρίσκεται πιο κοντά στο ; Εκτιμώ... Βρίσκω με ακρίβεια με το κομπιουτεράκι είχνω στην αριθμομηχανή το άθροισμα που βρίσκεται πιο κοντά στο 300 χιλιάδες. λύση

32 1 ο Κεφάλαιο 34 Πρέπει να συγκρίνω τους αριθμούς και να τους στρογγυλοποιήσω. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Η σωστή σειρά είναι: < < γιατί : ίσοι 4 < 5 άρα < ίσοι 4 < 5 άρα < ίσοι ίσοι ίσοι 1 < 2 άρα < Πιο κοντά στο βρίσκεται το άθροισμα γιατί θα του λείπει μόνο 1, ενώ με το ζευγάρι , θα περισσεύουν 3.

33 Μαθηματικά 35 Ελέγχω = = δ. Έδωσα 50 ευρώ. Πήρα ρέστα 2 ευρώ και 50 λεπτά. Τι μπορεί να αγόρασα; Ελέγχω με εποπτικό υλικό. λύση Ότι πρέπει να κάνω διάφορους συνδυασμούς για να καταλήξω στο αποτέλεσμα που θέλω. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Έχω ξοδέψει 50-2,5 = 47,5. Μπορεί να έχω πάρει διάφορα αγγεία, που να κοστίζουν όλα μαζί 47,5 ; - α περίπτωση: 12,5 + 12,5 + 12, = 47,5 - β περίπτωση: ,5 + 5 = 47,5 Ελέγχω τα ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά.

34 1 ο Κεφάλαιο 36 ε. Βοηθώ τη Θεοδώρα να συμπληρώσει το μαγικό τετράγωνο: Στα άδεια κουτάκια θα τοποθετήσουμε αριθμούς με τέτοιο τρόπο, ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών οριζόντια, κάθετα και διαγώνια να είναι το ίδιο. ιαγώνια το άθροισμα των αριθμών είναι: Μπορούμε να κατασκευάσουμε κι εμείς ένα μαγικό τετράγωνο; οκιμάζουμε πρώτα με ένα τετράγωνο που έχει διαστάσεις λύση Βρίσκω το διαγώνιο άθροισμα: =2100 Ξεκινώ από την πρώτη κάθετη και την πρώτη οριζόντια στήλη που λείπει μόνο ένας αριθμός και μετά συνεχίζω με τις άλλες Για να φτιάξω ένα δικό μου παρόμοιο μαγικό τετράγωνο διαλέγω πρώτα ένα άθροισμα (π.χ. 15) και βρίσκω τριάδες αριθμών που να δίνουν αυτό το άθροισμα. Στη συνέχεια ξεκινώντας διαγώνια τοποθετώ τους αριθμούς προσέχοντας κάθε φορά το άθροισμα να είναι 15. Ένα μαγικό τετράγωνο με 3 στήλες είναι το παρακάτω

35 Μαθηματικά 37 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Γράψτε τους παρακάτω αριθμούς στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, χρησιμοποιώντας το σύμβολο της ανισότητας λύση Παρατηρούμε ότι όλοι οι αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, οπότε η σύγκριση πρέπει να γίνει ψηφίο προς ψηφίο. Θα ξαναγράψουμε τους αριθμούς και ακριβώς από κάτω το πρώτο από τ αριστερά ψηφίο τους Επειδή 2 < 4 και 4 < 5 ο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός Υπάρχουν δύο αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 2, γι αυτό θα συγκρίνουμε το δεύτερο ψηφίο τους: Επειδή το 0 < 1 θα είναι < Τώρα μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς με τη σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο < < <

36 1 ο Κεφάλαιο 38 Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα: i) ii) λύση i) Θα συγκρίνουμε το ψηφίο των μονάδων με τον αριθμό Το ψηφίο των μονάδων είναι το 7 που είναι μεγαλύτερο του 5, άρα το ψηφίο των δεκάδων θα αυξηθεί κατά μία μονάδα, ενώ το ψηφίο των μονάδων θα γίνει 0. ii) Το ψηφίο των μονάδων είναι το 1 που είναι μικρότερο του 5, άρα το ψηφίο των δεκάδων θα παραμείνει όπως είναι, ενώ το ψηφίο των μονάδων θα γίνει 0. Οι καταθέσεις μιας εταιρείας στην Τράπεζα στην αρχή της χρονιάς είναι ευρώ. Η εταιρεία μέσα στον χρόνο κατέθεσε στην Τράπεζα και άλλα Πόσες ήταν οι καταθέσεις της εταιρείας στο τέλος του χρόνου αν η τράπεζα έδωσε τόκο στο τέλος του χρόνου στην εταιρεία ; λύση Αφού στα χρήματα που υπήρχαν στην τράπεζα κατατέθηκαν και άλλα, τελικά το συνολικό ποσό θα είναι αυτό που θα βγει από την πρόσθεση των δύο ποσών. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ

37 Μαθηματικά 39 Κάνουμε λοιπόν την πρόσθεση: Αφού για τις καταθέσεις της αυτές η τράπεζα έδωσε στην εταιρεία στο τέλος του χρόνου τόκο τότε η εταιρεία θα έχει συνολικά στο τέλος του χρόνου: Άρα η εταιρεία θα έχει στο τέλος του χρόνου Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα και με άλλους τρόπους: α = β ( ) = = Ο κύριος Γιάννης μάζεψε από το περιβόλι του 24 κιλά ντομάτες και θέλει να τις μοιράσει εξίσου σε 4 τελάρα. Πόσα κιλά θα βάζει σε κάθε τελάρο; λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Ο κύριος Γιάννης θέλει να χωρίσει 24 κιλά ντομάτες σε 4 ίσα μέρη. Θα διαιρέσουμε λοιπόν τα κιλά ντομάτες με το 4 και θα βρούμε πόσα κιλά θα περιέχει καθένα από αυτά τα μέρη. Κάνουμε τη διαίρεση Άρα καθένα από τα 4 τελάρα θα περιέχει 6 κιλά ντομάτες.

38 1 ο Κεφάλαιο Να βάλετε στη σωστή διάταξη τους αριθμούς: α) < < β) < < Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο των εκατοντάδων: α) β) γ) Να κάνετε τις πράξεις: α) ( ) β) γ) δ) : 71 Ο Γιάννης αγόρασε 5 τετράδια και πλήρωσε 450 λεπτά του ευρώ. Πόσο κοστίζει το 1 τετράδιο; 5. Μια παρέα έξι παιδιών είπε τα κάλαντα και μοίρασε δίκαια τα χρήματα που συγκέντρωσε. Κάθε παιδί πήρε 42. Πόσα χρήματα είχαν συγκεντρώσει τα παιδιά συνολικά;

39 Μαθηματικά 41 Απαντήσεις των άλυτων ασκήσεων 1. α) < < β) < < α) β) γ) α) β) 1601 γ) δ) λεπτά

40 Μαθηματικά 42 Κεφάλαιο 2 ο Στην Ιχθυόσκαλα Οι αριθμοί μέχρι το Ένας αριθμός μπορεί να γραφεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: με ψηφία, με λέξεις και με μεικτό τρόπο. Για παράδειγμα: με ψηφία: με λέξεις: εκατόν τριάντα έξι χιλιάδες πεντακόσια με μεικτό τρόπο: 136 χιλιάδες 500. Θυμηθήκαμε στο προηγούμενο μάθημα πως λογαριάζουμε χιλιάδες. Ξέρουμε ότι = 10 (το 10 είναι μία μονάδα δεκάδων ή μία δεκάδα). Προσθέτουμε διαδοχικά στο 9 και το 1 μηδενικό και προσπαθούμε να λογαριάσουμε: = 100. Σκεφτόμαστε πόσα μηδενικά γράψαμε δεξιά και του 9 και του 1: γράψαμε 1 μηδενικό. Άρα στο άθροισμα που πήραμε από την πρόσθεση 9 +1 γράφουμε δεξιά 1 μηδενικό: = =100 Προχωράμε παρακάτω με τον ίδιο τρόπο: =1000 (αυτός είναι ο αριθμός χίλια ή αλλιώς μια μονάδα χιλιάδων). Με τον ίδιο τρόπο: = (δέκα χιλιάδες ή αλλιώς μία δεκάδα χιλιάδων) = (εκατό χιλιάδες ή αλλιώς μία εκατοντάδα χιλιάδων) = (1 εκατομμύριο ή 1 δεκάδα εκατομμυρίων).

41 Μαθηματικά 43 Ας δούμε τώρα το πινακάκι: Τοποθετούμε τον αριθμό ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΑ ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Διαβάζουμε: 1 μονάδα εκατομμυρίων. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το πρώτο τριψήφιο τμήμα από τα δεξιά ενός αριθμού αντιστοιχεί στην κλάση των μονάδων, το δεύτερο τριψήφιο τμήμα από τα δεξιά στην κλάση των χιλιάδων και το τρίτο τριψήφιο τμήμα στην τάξη των εκατομμυρίων. Η θέση κάθε ψηφίου μέσα σ έναν αριθμό χαρακτηρίζει και την αξία του σε σχέση με τα άλλα. Έτσι στον αριθμό: το 7 φανερώνει το 4 φανερώνει το 4 φανερώνει το 1 φανερώνει το 7 φανερώνει επτά τέσσερις τέσσερις μια δεκάδα εφτά μονάδες εκατοντάδες χιλιάδες δεκάδες χιλιάδες εκατοντάδες

42 2 ο Κεφάλαιο 44 Ας δούμε μερικά παραδείγματα Να τοποθετήσετε τους αριθμούς και ύστερα να γράψετε τι δηλώνει κάθε ψηφίο τους: 1) ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ Το 7 εκατοντάδες χιλιάδων Το 5 δεκάδες χιλιάδων Το 8 μονάδες χιλιάδων Το 2 εκατοντάδες μονάδων Το 9 δεκάδες μονάδων Το 0 μονάδες 2) ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ Το 6 εκατοντάδες χιλιάδων Το 3 δεκάδες χιλιάδων Το 1 μονάδες χιλιάδων Το 4 εκατοντάδες μονάδων Το 5 δεκάδες μονάδων Το 9 μονάδες

43 Μαθηματικά 45 3) ΧΙΛΙΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Ε Μ Ε Μ Το 7 εκατοντάδες χιλιάδων Το 5 δεκάδες χιλιάδων Το 2 μονάδες χιλιάδων Το 1 εκατοντάδα μονάδων Το 4 δεκάδες μονάδων Το 5 μονάδες Ας πάμε τώρα να συγκρίνουμε αριθμούς μέχρι το και να προσπαθήσουμε να τους διατάξουμε. Σύγκριση δύο ακέραιων αριθμών σημαίνει να βρούμε αν αυτοί είναι ίσοι ή στην περίπτωση που δεν είναι ίσοι, να βρούμε ποιος είναι μεγαλύτερος. Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι αν έχουν τα ίδια ψηφία. Διάταξη ακέραιων αριθμών σημαίνει η τοποθέτησή τους από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τη διάταξη είναι το < αν διατάξουμε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή το > αν διατάξουμε από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα Να συγκρίνετε και να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: , , , ,

44 2 ο Κεφάλαιο 46 Λύση Για να κάνουμε τη διάταξη πρέπει να συγκρίνουμε τους αριθμούς. Θα ξαναβρούμε τους αριθμούς και ακριβώς από κάτω το πρώτο από τ αριστερά ψηφίο τους Επειδή το 1 < 2 το 2 < 3 και το 3 < 5. Ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς είναι ο και ο μικρότερος ο Υπάρχουν δύο αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 3 γι αυτό θα συγκρίνουμε τα άλλα ψηφία τους. άρα ο αριθμός < Οπότε τώρα μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς με τη σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: ίσοι ίσοι ίσοι ίσοι 5 > < < < < Έναν αριθμό μπορούμε να τον αναλύσουμε σε δεκαδικό ανάπτυγμα. Για παράδειγμα: = Ένας αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο ή πηλίκο δύο άλλων αριθμών. Για παράδειγμα: = = = : 10 =

45 Μαθηματικά 47 Το βάρος είναι μέγεθος που χαρακτηρίζει όλα τα υλικά σώματα, μέχρι και ο αέρας που δε φαίνεται έχει και αυτός βάρος. Η βασική μονάδα μέτρησης του βάρους είναι το κιλό ή χιλιόγραμμο. Το κιλό ή χιλιόγραμμο αποτελείται από 1000 γραμμάρια. Το γραμμάριο (γραμ.) είναι υποδιαίρεση του κιλού. 1 κιλό = 1000 γραμμάρια ή 1 γραμμάριο = 1 χγρ. = 0,001 χγρ Ένα πολλαπλάσιο του κιλού, που χρησιμοποιούμε για τη μέτρηση, του βάρους μεγάλων αντικειμένων όπως είναι τα αυτοκίνητα, τα αεροπλάνα, κ.τλ. είναι ο τόνος. Ο τόνος αποτελείται από 1000 κιλά. 1 τόνος = κιλά ή 1 χγρ. = Για παράδειγμα: 1 τον. = 0,001 τον Οι 13,2 τόνοι είναι 13, = κιλά. Τα κιλά είναι : 1000 = 13,7 τόνοι.

46 2 ο Κεφάλαιο 48 Το ευρώ είναι το νόμισμα που χρησιμοποιούμε για τις συναλλαγές μας. 1 ευρώ έχει 100 λεπτά. Το 1 λεπτό είναι υποδιαίρεση του ευρώ. Υπάρχουν νομίσματα του 1 λεπτού, των 2 λεπτών, των 5 λεπτών, των 10 λεπτών, των 20 λεπτών και των 50 λεπτών, τα οποία είναι υποδιαιρέσεις του ευρώ και νομίσματα των 2 ευρώ, των 5 ευρώ, των 10 ευρώ, των 20 ευρώ, των 50 ευρώ, των 100 ευρώ, των 200 ευρώ και των 500 ευρώ που είναι πολλαπλάσια του ευρώ. Για παράδειγμα: 1) Πόσα κέρματα των 10 λεπτών κάνουν ; : 10 = 1000 κέρματα των 10 λεπτών. 2) Πόσα κέρματα των 20 λεπτών κάνουν ; :20 = 500 κέρματα των 20 λεπτών. 3) Μπορείς να συνθέσεις 1000 με διαφορετικούς τρόπους; = 1000 (5 φορές διακόσια ) = 400 (2 φορές διακόσια ευρώ) = 600 (6 φορές εκατό ευρώ) =1000 ευρώ.

47 Μαθηματικά 49 ραστηριότητες του βιβλίου ραστηρι ότητα 1η Στην ιχθυόσκαλα Με ποιους τρόπους μπορούμε να εκφράσουμε το 1 εκατομμύριο; Σε όλες τις αλιευτικές περιοχές και στα νησιά υπάρχουν ιχθυόσκαλες... Ποσότητες ψαριών που αλιεύτηκαν στα ελληνικά νησιά το 1992 Κοκκινόψαρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι τετρακόσιοι ενενήντα εφτά τόνοι ή 497 χιλιάδες κιλά χίλιοι τόνοι ή... κιλά εκατόν σαράντα τόνοι ή... κιλά εκατόν εβδομήντα ένας τόνοι ή... κιλά εκατόν ογδόντα εννιά τόνοι ή... κιλά ίπλα σε κάθε είδος ψαριού συμπληρώνω τον αριθμό που αντιστοιχεί στην ποσότητα σε κιλά που αλιεύτηκε το 1992 (1Μ = 1 κιλό):

48 2 ο Κεφάλαιο 50 Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες Μ Ε Μ Ε Μ Είδος ψαριού Κοκ/ρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι Πόσα είδη ψαριού αλιεύτηκε στα ελληνικά νερά το 1992; σε μεγαλύτερη ποσότητα;... σε μικρότερη ποσότητα;... Παρατηρώ προσεκτικά τον πίνακα και το γράφημα και συμπληρώνω με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις προτάσεις: - Τα κοκκινόψαρα είναι περίπου τα μισά από ότι οι ξιφίες - Οι χάνοι είναι λίγο περισσότεροι από τις τσιπούρες - Οι ροφοί είναι περίπου δέκα φορές λιγότεροι από τους ξιφίες - Οι τσιπούρες είναι λιγότερες από τους ροφούς - Οι ξιφίες είναι περίπου όσα όλα τα υπόλοιπα είδη ψαριών μαζί. Συζητάμε στην τάξη για τη μόλυνση των θαλασσών στις μέρες μας και τις συνέπειές της.

49 Μαθηματικά 51 ΛΥΣΗ 1 τόνος = κιλά. Άρα Ποσότητες ψαριών που αλιεύτηκαν στα ελληνικά νησιά το 1992 Κοκκινόψαρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι τετρακόσιοι ενενήντα εφτά τόνοι ή 497 χιλιάδες κιλά χίλιοι τόνοι ή = κιλά εκατόν σαράντα τόνοι ή κιλά εκατόν εβδομήντα ένας τόνοι ή = κιλά εκατόν ογδόντα εννιά τόνοι ή = κιλά τόνοι είναι = κιλά. Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες Μ Ε Μ Ε Μ Είδος ψαριού Κοκ/ρα Ξιφίες Ροφοί Τσιπούρες Χάννοι Για να βρούμε ποιο είδος ψαριού αλιεύτηκε στα ελληνικά νερά το 1992 σε μεγαλύτερη ποσότητα πρέπει να συγκρίνουμε τους αριθμούς:

50 2 ο Κεφάλαιο 52 Παρατηρούμε ότι ο αριθμός έχει 7 ψηφία άρα είναι ο μεγαλύτερος. Ξαναγράφουμε τους υπόλοιπους αριθμούς και από κάτω γράφουμε το πρώτο ψηφίο τους Το 4 > 1 άρα από τους υπόλοιπους αριθμούς ο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός Υπάρχουν 3 αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 1 γι αυτό θα συγκρίνουμε το δεύτερο ψηφίο τους Επειδή το 4 < 7 και το 7 < 8 μεγαλύτερος είναι ο αριθμός και μικρότερος ο αριθμός Οπότε τώρα μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς με τη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο > > > > Οπότε σε μεγαλύτερη ποσότητα αλιεύτηκαν οι ξιφίες και σε μικρότερη οι ροφοί. - Τα κοκκινόψαρα είναι περίπου τα μισά από ότι οι ξιφίες Σ Τα κοκκινόψαρα είναι κιλά, οι ξιφίες είναι κιλά άρα τα κοκκινόψαρα είναι περίπου τα μισά από ότι οι ξιφίες. - Οι χάνοι είναι λίγο περισσότεροι από τις τσιπούρες Λ Οι χάνοι είναι , οι τσιπούρες είναι κιλά οπότε οι χάνοι είναι περισσότεροι από τις τσιπούρες. - Οι ροφοί είναι περίπου δέκα φορές λιγότεροι από τους ξιφίες. Λ Οι ροφοί είναι κιλά ενώ οι ξιφίες είναι κιλά :10 = κιλά οπότε οι ροφοί δεν είναι περίπου δέκα φορές λιγότερο από τους ξιφίες, είναι 7 φορές περίπου λιγότεροι από τους ξιφίες.

51 Μαθηματικά 53 - Οι τσιπούρες είναι λιγότερες από τους ροφούς. Λ Οι τσιπούρες είναι κιλά και οι ροφοί είναι κιλά άρα οι τσιπούρες είναι περισσότερες από τους ροφου ς. - Οι ξιφίες είναι περίπου όσα όλα τα υπόλοιπα είδη ψαριών μαζί. Σ Οι ξιφίες είναι κιλά για να βρούμε πόσα κιλά είναι όλα τα υπόλοιπα ψάρια θα τα προσθέσουμε: ηλαδή όλα τα υπόλοιπα ψάρια είναι κιλά άρα είναι περίπου τόσα κιλά όσα και οι ξιφίες. Τα απόβλητα των βιομηχανιών που ρίχνονται στη θάλασσα καθώς και τα σκουπίδια και τα λύμματα τη μολύνουν με αποτέλεσμα η θάλασσα να κινδυνεύει να νεκρωθεί και οι επιπτώσεις θα είναι σοβαρές όχι μόνο για κάθε μορφή ζωής που υπάρχει στη θάλασσα όπως τα ψάρια, τα θαλάσσια φυτά αλλά και για τον άνθρωπο. Γι αυτό θα πρέπει να γίνεται επεξεργασία των λυμάτων και οι άνθρωποι να φροντίζουν να διατηρούν καθαρές τις ακτές και τις θάλασσες.

52 2 ο Κεφάλαιο 54 Ένας αριθμός μπορεί να γραφεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: με ψηφία (π.χ ), με λέξεις (π.χ. τριάντα τέσσερις χιλιάδες εξακόσια εβδομήντα δύο) και με μεικτό τρόπο (π.χ. 34 χιλιάδες 672). Θα πρέπει να μπορούμε με έναν εύκολο τρόπο να διαβάζουμε έναν πολυψήφιο α- ριθμό. Ακολουθούμε τον εξής κανόνα: - Χωρίζουμε τον αριθμό (αρχίζοντας από δεξιά) σε τμήματα των τριών ψηφίων το καθένα. Κάθε ένα από αυτά τα τμήματα (αρχίζοντας από δεξιά) τα ονομάζουμε κατά σειρά: το 1 ο μονάδες το 2 ο χιλιάδες το 3 ο εκατομμύρια Τα τριψήφια τμήματα που αναφέρονται παραπάνω αποτελούν τις κλάσεις του αριθμού. - Προσέξτε όμως: το πρώτο τμήμα από αριστερά μπορεί να μην είναι συμπληρωμένο με τρία ψηφία. Καθένα όμως από τα υπόλοιπα τμήματα πρέπει να έχει τρία ψηφία. - Καθένα από τα ψηφία μιας κλάσης έχει διαφορετική αξία. Έτσι το πρώτο από τα δεξιά ψηφία αντιστοιχεί στις μονάδες, το μεσαίο ψηφίο αντιστοιχεί στις δεκάδες και το πρώτο από τα αριστερά ψηφίο αντιστοιχεί στις εκατοντάδες. Αυτά τα ψηφία αποτελούν τις τάξεις της κλάσης.

53 Μαθηματικά 55 Όταν απαγγέλλουμε έναν αριθμό ακολουθούμε τον εξής κανόνα: - Αρχίζουμε την απαγγελία από το πρώτο από τα αριστερά τμήμα. Διαβάζουμε τον αριθμό που έχει το κάθε τμήμα και τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. Αν ένα τμήμα έχει όλα τα ψηφία του μηδενικά τότε το παραλείπουμε κατά την απαγγελία του αριθμού. Κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία μέσα σ έναν αριθμό. Η αξία του εξαρτάται από τη θέση που έχει το ψηφίο μέσα στον αριθμό. 1 τόνος = 1000 κιλά 1 κιλό = 1000 γραμμάρια 1 = 100 λεπτά.

54 2 ο Κεφάλαιο 56 Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν: λύση Στην κάθε περίπτωση θα φτάσουμε στο με το στοιχείο που έχουμε δηλαδή τον αριθμό και την πράξη που πρέπει να κάνουμε. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ - Πρώτη περίπτωση: ποιος αριθμός συν 1 κάνει ; Βρίσκω: = γιατί = 1. Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο Δεύτερη περίπτωση: Ποιος αριθμός αν τον πολλαπλασιάσω με το θα μου κάνει ; Βρίσκω: = γιατί : = Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο Τρίτη περίπτωση: Ποιος αριθμός συν το 990 κάνει ; Βρίσκω: = γιατί = Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο

55 Μαθηματικά 57 - Τέταρτη περίπτωση: Ποιος αριθμός αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 4 θα μου κάνει ; Βρίσκω: = γιατί : 4 = Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο Πέμπτη περίπτωση: Ποιος αριθμός συν το κάνει ; Βρίσκω: = γιατί = Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο Έκτη περίπτωση: Ποιος αριθμός αν τον πολλαπλασιάσω με το 2 θα μου κάνει ; Βρίσκω: = γιατί : 2 = Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο Οπότε:

56 2 ο Κεφάλαιο 58 Με ποιους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να γράψουμε έναν αριθμό; Απάντηση Ένας αριθμός μπορεί να γραφεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους: με ψηφία, με λέξεις και με μεικτό τρόπο. Τι δηλώνει κάθε ψηφίο του αριθμού ; Απάντηση 9 Εκατοντάδες χιλιάδων 7 δεκάδες χιλιάδων 6 μονάδες χιλιάδων 4 εκατοντάδες 8 δεκάδες 2 μονάδες

57 Μαθηματικά 59 ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Ε Δ Μ Ε Δ Μ Ένας τόνος με πόσα κιλά ισοδυναμεί; Με κιλά Απάντηση Ένα ευρώ πόσα λεπτά είναι; Απάντηση 100 λεπτά.

58 Μαθηματικά 60 Τετράδιο Εργασιών Ασκήσεις α. Ο τέταρτος πλανήτης ήταν ο πλανήτης του επιχειρηματία. Αυτός ο άνθρωπος ήταν τόσο απασχολημένος που, όταν έφτασε ο μικρός πρίγκιπας, δε σήκωσε καν το κεφάλι. Γράφω τους αριθμούς που υπάρχουν στους διαλόγους. ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΑ ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Μ Ε Δ Μ Ε Δ Μ 1

59 Μαθηματικά 61 ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΑ ΧΙΛΙΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Μ Ε Δ Μ Ε 100 Δ 10 Μ Πώς μπορούμε να γράψουμε στον άβακα τον αριθμό «σχεδόν 1 εκατομμύριο»; λύση Στον άβακα μπορούμε να γράφουμε μόνο ακριβείς μετρήσεις. Το «σχεδόν ένα εκατομμύριο» μπορούμε να το «γράψουμε» ως β. Υπολογίζω τα αθροίσματα, αφού κάνω πρώτα μια εκτίμηση του αποτελέσματος. Πόσο διαφέρει η εκτίμηση που έκανα από το ακριβές αποτέλεσμα; Αλλάζει το αποτέλεσμα αν προσθέσουμε τους αριθμούς κατεβαίνοντας ή ανεβαίνοντας κάθε φορά;

60 2 ο Κεφάλαιο 62 λύση Στην πρώτη περίπτωση για να εκτιμήσω θα κάνω μια γρήγορη νοητή πρόσθεση των πιο μεγάλων αριθμών: = Για να βρω το ακριβές αποτέλεσμα θα κάνω πρόσθεση: = ή Η διαφορά ανάμεσα στην εκτίμησή μου και στο ακριβές αποτέλεσμα ήταν πολύ μικρή. Στη δεύτερη περίπτωση για να εκτιμήσω μπορώ να κάνω μια γρήγορη στρογγυλοποίηση των πιο μεγάλων αριθμών και μετά να κάνω μια γρήγορη νοητή πρόσθεσή τους: = (Το το στρογγυλοποίησα σε , το σε και το 990 σε 1.000). Για να βρω το ακριβές αποτέλεσμα θα κάνω πρόσθεση: = ή

61 Μαθηματικά Η διαφορά ανάμεσα στην εκτίμησή μου και στο ακριβές αποτέλεσμα ήταν μικρή σε σχέση με τον αριθμό. Το αποτέλεσμα δεν αλλάζει αν κάνουμε την πρόσθεση από πάνω προς τα κάτω ή αντίθετα, γιατί στην πρόσθεση μπορούμε να βάλουμε τους προσθετέους με όποια σειρά θέλουμε. Στα συγκεκριμένα παραδείγματα, στην πρώτη περίπτωση μας εξυπηρετεί να κάνουμε τις νοητές πράξεις από κάτω προς τα πάνω, ενώ στη δεύτερη από πάνω προς τα κάτω. γ. Με πόσα χαρτονομίσματα μπορώ να έχω ένα ποσό αξίας 1 εκατομμυρίου: Αν χρησιμοποιήσω χαρτονομίσματα μόνο των 500 ; Αν χρησιμοποιήσω χαρτονομίσματα των 100 ; Αν έχω στη διάθεσή μου χαρτονομίσματα των 200 και των 50 ταυτόχρονα; ίνω 2 διαφορετικά παραδείγματα. λύση Για να κάνουμε με χαρτονομίσματα των 500 σκέφτομαι: με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 500 για να μου κάνει ; Βρίσκω: = γιατί : 500 = Άρα χρειαζόμαστε χαρτονομίσματα των 500. Για να βρω πως θα κάνω με χαρτονομίσματα των 100 σκέφτομαι: Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 100 για να μου κάνει ; Βρίσκω: = γιατί : 100 = Άρα χρειαζόμαστε χαρτονομίσματα των 100. Με τα χαρτονομίσματα των 200 και των 50 μπορούμε να κάνουμε πολλούς συνδυασμούς, για παράδειγμα: Για να βρω πως θα κάνω με χαρτονομίσματα των 200 και των 50 σκέφτομαι: Αν πολλαπλασιάσω το με το 200 θα μου κάνει = Άρα θα χρειαστώ 4000 χαρτονομίσματα των 200.

62 2 ο Κεφάλαιο 64 Από το μέχρι το είναι γιατί = Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 50 για να μου κάνει ; Βρίσκω: = γιατί :50 = Άρα θα χρειαστώ και χαρτονομίσματα των 50 για να κάνω , α- φού = , ή Αν πολλαπλασιάσω το 200 με το 3000 θα μου κάνει: = Άρα θα χρειαστώ 3000 χαρτονομίσματα των 200. Από το μέχρι το είναι γιατί = Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 50 για να μου κάνει ; Βρίσκω = γιατί : 50 = Άρα θα χρειαστώ και χαρτονομίσματα των 50 για να κάνω , α- φού = δ. Το κρυπτόλεξο των εκατομμυρίων Κερδίζει όποια ομάδα βρει οριζόντια ή κάθετα: τρεις 7ψήφιους αριθμούς που το ψηφίο των εκατομμυρίων να είναι μεγαλύτερο από 4. τρεις 7ψήφιους αριθμούς που το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων να είναι μικρότερο από 5.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Ε Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Ε Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις αθηματικά ημοτικού ΚΟΣΙΣ ΠΑΠΑΟΠΟΥΛΟΣ Περιεχόμενα νότητα Κεφάλαιο Υπενθύμιση Τάξης... 5 Κεφάλαιο 2 Υπενθύμιση Οι αριθμοί μέχρι το.000.000... 8 Κεφάλαιο 3 Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Α Περίοδος Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την εκτίμηση υπολογισμών, δηλαδή με την εύρεση ενός αποτελέσματος στο «περίπου» ή «κατ εκτίμηση» ή «πάνω-κάτω» ή «χοντρά-χοντρά»,

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ. 33 38 Πηγή: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Κεφ. 33 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΤΟ,,.000. Κάνω τους

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 1. Φτιάχνουμε στόχους με άδεια κουτιά. Αν χρειαστήκαμε 6 κουτιά για να στήσουμε 3 σειρές, πόσα κουτιά θα χρειαστούμε για να στήσουμε μία παρόμοια πυραμίδα με 5 σειρές; Α. Β. Γ. Δ. 2. Πόσα κουτιά θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις

Ασκήσεις Ασκήσεις Μάθημα 1 ο 1. Να κάνεις τις προσθέσεις : 209 101 595 614 185 212 709 221 127 667 + 127 + 111 + 100 + 202 + 103 548 921 916 943 955 345 538 816 248 347 723 707 340 248 394 307 + 249 + 237 + 185

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο εκαδικά κλάσµατα δεκαδικοί αριθµοί Στο εργαστήρι πληροφορικής Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να διαβάζουµε, να γράφουµε και να συγκρίνουµε δεκαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα ilias ili Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα Αριθμοί μέχρι το 1000 - Οι τέσσερις πράξεις Γεωμετρικά σχήματα Πηγή: e-selides 1) Γράφω τους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Γ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Γ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Γ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Γ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 5 + 1 4 + 1. Κάνω τις ασκήσεις

3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 5 + 1 4 + 1. Κάνω τις ασκήσεις 3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 9 + 1 7 + 1 8 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 1 + 1 0 + 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Κάνω τις ασκήσεις 1. Γράφω με τη σειρά μέσα στα κυκλάκια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς:

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς: Λύνω τις ασκήσεις 1. Γράφω δίπλα με ψηφία τους παρακάτω αριθμούς: Εκατόν ενενήντα εννέα:.. Τριακόσια ένα: Τετρακόσια πενήντα οκτώ:... Πεντακόσια εννέα:.. Οχτακόσια ογδόντα οκτώ:.... Εννιακόσια δύο: Εννιακόσια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 1. ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 1.000

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 1. ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 1.000 Γ Δ η μ ο τ ι κ ο ύ 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 1 1. ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 1.000 Μαθαίνω... Τριψήφιοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν τρία ψηφία. Οι τριψήφιοι αριθμοί αποτελούνται από Εκατοντάδες (Ε), Δεκάδες (Δ) και Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Περιεχόμενα Κεφάλαιο : Θυμάμαι ό,τι έμαθα από την Γ Τάξη... 5 Κεφάλαιο : Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 0.000... 8 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Παρουσίαση Λογισμικού: Κατερίνα Αραμπατζή Προμηθευτής: Postscriptum Advanced Communication

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα 1 Εξισώσεις 1. Η Αντωνία διάβασε τις πρώτες 78 σελίδες ενός βιβλίου, που έχει συνολικά 130 σελίδες. Ποια μαθηματική πρόταση μπορεί να χρησιμοποιήσει η Αντωνία,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-361774 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0

Α) 474,3 : 18,6 = Β) 394,8 : 15 = Γ) 999,4 : 26,3 = ) 28748,96 : 752 = Ε) 5,88 : 0,245 = Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 Ι Α Ι Ρ Ε Σ Ε Ι Σ Ε Κ Α Ι Κ Ω Ν Να λύσετε τις παρακάτω πράξεις σύµφωνα µε τo παράδειγµα : 85,25 : 6,2 = 8 5, 2 5 6, 2 0 8 5 2 ' 5 ' 6 2 0 6 2 0 2 1 3 1 2 5 1 3, 7 5 1 8 6 0 = 4 6 5 0 4 3 4 0 = 3 1 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 3 η Ενότητα Κεφ. 14 20

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 3 η Ενότητα Κεφ. 14 20 Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 3 η Ενότητα Κεφ. 14 20 Πηγή: e-selides 1. Μετρώ από το 1.000 μέχρι το 2.000 ανά 100: 1.000, 1.100. 2. Γράφω με

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα