Να χαράξεις µια διάµετρο στον κύκλο.. Να φέρεις τη µεσοκάθετο (βλέπε κάρτα 0211). Να διχοτοµήσεις τη γωνία (βλέπε κάρτα 0212)...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Να χαράξεις µια διάµετρο στον κύκλο.. Να φέρεις τη µεσοκάθετο (βλέπε κάρτα 0211). Να διχοτοµήσεις τη γωνία (βλέπε κάρτα 0212)..."

Transcript

1 70 Κατασκευές µε διαβήτη Σου δίνονται παρακάτω κάποια βοηθητικά στοιχεία για να µπορείς να δηµιουργήσεις ξανά τα σχέδια χρησιµοποιώντας χάρακα και διαβήτη. Το σχέδιο στο επάνω µέρος Να ξεκινήσεις µε έναν κύκλο.. Να χαράξεις µια διάµετρο στον κύκλο.. Να φέρεις τη µεσοκάθετο (βλέπε κάρτα 0). Να διχοτοµήσεις τη γωνία (βλέπε κάρτα 0)... To σχέδιο στο κάτω µέρος Να ξεκινήσεις µε µια ευθεία.. Να σχεδιάσεις ένα ισόπλευρο τρίγωνο (βλέπε κάρτα 87)...

2 Να χρησιµοποιήσεις τη συγκεκριµένη µέθοδο για να κατασκευάσεις ένα ρόµβο. Το επάνω σχέδιο Να βρεις έναν τρόπο για να σχεδιάσεις ένα τετράγωνο..και έναν τρόπο για να σχεδιάσεις ένα ρόµβο µε πλευρές που θα έχουν το ίδιο µήκος...να συνδυάσεις τους δύο τρόπους για να δηµιουργήσεις το σχέδιο. Ποιο είναι το µέγεθος της συγκεκριµένης γωνίας; Το κάτω σχέδιο Να βρεις διαδικασίες για να σχεδιάσεις ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα ρόµβο.

3 0 Σηµαντικά ψηφία A.. α) 50τ.εκ. 6. α) 8,9 κιλά. α) 4 κιλά β) 49,7τ.εκ. β) 8.94 κιλά β) 4,0 κιλά. α) α) µ.. α) λίτρα β) β) 0,8µ. β) 0,8 λίτρα. α) 7,8 εκ. 8. α) α) 0,90 χµ. β) 7,8 εκ. β) β) 0,90 χµ. 3. α) 0,067µ. 9. α) 40 τ.εκ. 4. α) 5,9µ. β) 0,674µ. β) 40,0 τ.εκ. β) 5,94µ. 4. α) 0, α) 0,7τ.µ. 5. α) τ.εκ. β) 0, β) 0,707τ.µ. β) 0,9τ.εκ. Β.. 0, ,74. 0, , , , , , , ,43 08 Εκπτώσεις σε ποσοστά Κέρδος Τιµή πώλησης. 0 λ.,00. 7 λ.,87 3.,6 7, λ. 5,75 5.,94,64 Έκπτωση Τιµή πώλησης. 7 λ. 63p. 4,50 3, ,0,50 4.,90 5, λ. 3,74 3

4 33 Γραφήµατα συχνότητας Η µέση τιµή των 5 ευρώ είναι παραπλανητική γιατί µόνο οκτώ εργαζόµενοι κερδίζουν το συγκεκριµένο ποσό ή περισσότερο, ενώ 5 εργαζόµενοι παίρνουν λιγότερο από 5 ευρώ.. Αριθµός απόντων συχνότητα Σύνολο Σύνολο 35 απόντες Συνολικός αριθµός τµηµάτων 7. Ο µέσος όρος απόντων ανά τµήµα είναι: 35 : 7 = 5 3. Η διάµεσος για τους απόντες ανά τµήµα είναι & 5. Συχνότητα ιάµεσος Αριθµός απόντων Μέσος όρος = 5. Συχνότητα 4

5 . Αριθµός χορηγών Αριθµός χορηγών Συχνότητα Συνολικός αριθµός αθλητών 3 Σύνολο Σύνολο 744 χορηγοί Μέσος όρος χορηγών = 744 : 3 = 4 3. Η διάµεσος για τους χορηγούς είναι Ο µέσος όρος αλλά και η διάµεσος είναι Όγκος στα κυβοειδή στερεά. α) 80κ.εκ. β) 44κ.χιλ. γ) 6,5κ.εκ. δ) 5,08κ.µ.. 540κ.εκ. 3. 0κ.µ. 4. Παρόλο που ο όγκος και στα δύο είναι 60κ.εκ., η πυκνότητα της ζάχαρης είναι µεγαλύτερη από την πυκνότητα του τσαγιού, εποµένως θα ήταν αναµενόµενο η ζάχαρη να ζυγίζει περισσότερο. 5. Για να υπολογίσεις τον όγκο, πρέπει να χρησιµοποιήσεις τις ίδιες µονάδες σε όλες τις µετρήσεις: Είτε 5µ µ 0,5µ από το οποίο προκύπτει όγκος,5κ.µ. Είτε 500εκ. 00εκ. 50εκ. από το οποίο προκύπτει όγκος κ.εκ. 6. κ.εκ. = εκ. εκ. xεκ., όπου x είναι η απόσταση ανάµεσα στα σηµάδια διαχωρισµού. x = 0,5εκ κ.εκ. ή 50000κ.χιλ πακέτα θα χωρούσαν, θα ζύγιζαν 5 κιλά σπιρτόκουτα 0. λίτρο = 000κ.εκ. 0τ.µ. = 00000τ.εκ. Πάχος = 000 : = 0,0εκ. 5

6 58 Το µεγαλύτερο βάζο Βάση ισόπλευρου τριγώνου: κάθε πλευρά είναι 8εκ. Ύψος υ = 4 εφ 60º = 6,98 Εµβαδόν τριγώνου = 4 6,98 = 7,7 τ.εκ. µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων Βάση τετραγώνου κάθε πλευρά είναι 6 εκ. Εµβαδόν τετραγώνου = 6 6 = 36 τ.εκ. Βάση κανονικού εξαγώνου κάθε πλευρά είναι 4 εκ. Ύψος υ = εφ 60º = 3,464 Εµβαδόν τριγώνου = 3,464 = 6,98 τ.εκ. Εµβαδόν εξαγώνου = 6 6,98 = 4,57 τ.εκ. µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Βάση κανονικού οκταγώνου κάθε πλευρά είναι 3 εκ. Ύψος υ =,5 εφ. 67,5º = 3,6 Εµβαδόν τριγώνου =,5 3,6 = 5,43 τ.εκ. Εµβαδόν οκταγώνου = 8 5,43 = 43,46 τ.εκ. µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Και τα τέσσερα βάζα έχουν το ίδιο ύψος. Εποµένως, το βάζο που θα χωρέσει τη µεγαλύτερη ποσότητα νερού είναι αυτό που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν βάσης, αυτό που έχει βάση κανονικό οκτάγωνο. Καθώς ο αριθµός των πλευρών µεγαλώνει, το εµβαδόν της βάσης αυξάνεται. Εποµένως, θα περίµενε κάποιος ότι ένα βάζο µε κυκλική βάση (µε απεριόριστο αριθµό πλευρών) θα χωρούσε περισσότερο από το βάζο που έχει βάση κανονικό οκτάγωνο. Η περίµετρος του κύκλου είναι 4 εκ. και C (Περιφέρεια κύκλου) = πr π r = 4 r = 4 π r = 3,80 Εµβαδόν κύκλου = πr = π 3,80 = 45,84 τ.εκ. To τελευταίο αποτέλεσµα επιβεβαιώνει την πρόβλεψη ότι το βάζο µε την κυλινδρική βάση θα χωράει περισσότερο νερό από όλα τα άλλα βάζα. 6

7 59 Μήκη όµοιων αντικειµένων. 390 εκ = 3,9 µ. 000 εκ = 0 µ 3. Πραγµατικό αντικείµενο 30 µ 35 µ 0µ ή 000εκ Μοντέλο σε κλίµακα,6 µ 0,75µ ή 7,5εκ 5 µ 4. 3 : 360 = : 0 Ναι, το µοντέλο είναι όµοιο µε το πραγµατικό λεωφορείο. 5. Ύψος µοντέλου = 4,5εκ, µήκος µοντέλου = 6εκ 6. α) 6 εκ 5 εκ 3,5 εκ β) 8 εκ 8 εκ γ) εκ,5 εκ 5 εκ 7. α) 4 εκ. β),5 εκ. 8. α) εκ, εκ β) 6,6 εκ εκ γ) εκ 0 εκ 9. α) i) εκ αντιπροσωπεύει εκ = 0,5 χµ ii) 5 εκ αντιπροσωπεύουν εκ =,5 χµ β) 8 εκ αντιπροσωπεύουν εκ =,6 χµ 0. 50º, 40º, 90º 7

8 67 Αθροιστική συχνότητα σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα Από τη γραφική παράσταση της αθροιστικής συχνότητας προκύπτει ότι η διάµεσος των βαθµών στις εξετάσεις είναι 45,5 βαθµοί. Από τη γραφική παράσταση της αθροιστικής συχνότητας προκύπτει ότι 7 µαθητές πήραν 75 βαθµούς ή λιγότερο. Η πραγµατική (ακριβής) διάµεσος ήταν 45,9 βαθµοί. 7 µαθητές ουσιαστικά πήραν 75 βαθµούς ή λιγότερο. Οι εκτιµήσεις που προέκυψαν από τη γραφική παράσταση της αθροιστικής συχνότητας ήταν πολύ κοντά στα πραγµατικά αποτελέσµατα. Ένα παιδί που διάνυσε απόσταση 40,499χµ µε το ποδήλατο θα καταταχθεί στην οµάδα 40. Ένα παιδί που διάνυσε απόσταση 40,503χµ µε το ποδήλατο θα καταταχθεί στην οµάδα Η διάµεσος των αποστάσεων που διανύθηκαν ήταν 46χµ. Περίπου 5 παιδιά κάλυψαν απόσταση 45 χιλιοµέτρων ή λιγότερο.. Το βάρος είναι ένα παράδειγµα συνεχών δεδοµένων. Βάρος µαθητών (κ) Λιγότερο από 45,5 Λιγότερο από 50,5 Λιγότερο από 55,5 Λιγότερο από 60,5 Λιγότερο από 65,5 Λιγότερο από 70,5 Λιγότερο από 75,5 Λιγότερο από 80,5 Λιγότερο από 85,5 Αθροιστική συχνότητα Σηµεία για απεικόνιση (45,5,) (50,5,) (55,5,4) (60,5,8) (65,5,5) (70,5,5) (75,5,40) (80,5,43) (85,5,44) Αθροιστική συχνότητα Βάρος (κ) To µέσο βάρος των µαθητών είναι 69,5 κ. κατά προσέγγιση κιλού. Οι παρακάτω απαντήσεις έχουν δοθεί µε προσέγγιση στην πλησιέστερη ακέραια µονάδα: 8

9 α) µαθητές β) 5 µαθητές γ) 6 µαθητές. Η διάρκεια ζωής των λαµπτήρων είναι ένα παράδειγµα συνεχών δεδοµένων. ιάρκεια ζωής (ώρες) Λιγότερο από 99,5 Λιγότερο από 99,5 Λιγότερο από 399,5 Λιγότερο από 499,5 Λιγότερο από 599,5 Λιγότερο από 699,5 Λιγότερο από 799,5 Λιγότερο από 899,5 Λιγότερο από 999,5 Λιγότερο από 099,5 Αθροιστική συχνότητα Αθροιστική συχνότητα ιάρκεια ζωής (ώρες) α) 5 λαµπτήρες β) 35 λαµπτήρες Η διάµεσος της διάρκειας ζωής των λαµπτήρων είναι 68 ώρες. α) Παραδείγµατα διακριτών (ασυνεχών) δεδοµένων είναι: ο αριθµός αδελφών, το µέγεθος παπουτσιών, η ηλικία στα επόµενα γενέθλια, ο µισθός, το σύνολο των χρηµάτων στην τσέπη, κ.λπ. β) Παραδείγµατα συνεχών δεδοµένων είναι: το ύψος, η απόσταση από το σχολείο, το µήκος ποδιού, ο χρόνος που χρειάζεται κάποιος για να πάει στη δουλειά του µε µεταφορικό µέσο, κ.λπ. 9

10 75 Όγκος και εµβαδόν κυλίνδρου Όλες οι απαντήσεις δίνονται µε κατάλληλο βαθµό ακρίβειας. Όπου δίνονται απαντήσεις, η πρώτη απάντηση είναι αυτή που θα έπαιρνες αν χρησιµοποιούσες το πλήκτρο π, η απάντηση στην παρένθεση είναι αυτή που θα έπαιρνες αν χρησιµοποιούσες την προσέγγιση π = 3,4. Α Όγκοι Β. α) 48κ.εκ. β) 94κ.εκ. (93κ.εκ.) γ) 73κ.εκ. (7κ.εκ.). Όγκος πρώτου κυλίνδρου = 5κ.εκ. (5κ.εκ.) Όγκος δεύτερου κυλίνδρου = 3κ.εκ.(3κ.εκ.) Ίσως περίµενες ο όγκος των δύο κυλίνδρων να είναι ίδιος, όµως όταν ο όγκος υπολογίζεται, η ακτίνα του κυλίνδρου υψώνεται στο τετράγωνο. Όγκος πρώτου κυλίνδρου = 4 π 3κ.εκ. Όγκος δεύτερου κυλίνδρου = 3 π 4κ.εκ. 3. 5εκ. 4. 3,8εκ. (3,8εκ.) Εµβαδόν Επιφανειών. α) 359τ.εκ. (357τ.εκ.) β) 88τ.εκ. (87τ.εκ.) γ) 3848τ.εκ. (3847τ.εκ.). α) 75,40τ.εκ. (75,36τ.εκ.) β) 75,40τ.εκ. (75,36τ.εκ.) Το εµβαδόν των επιφανειών είναι το ίδιο. Ίσως δεν περίµενες να ισχύει κάτι τέτοιο εξαιτίας των όγκων, όµως, όταν υπολογίζουµε το εµβαδόν επιφανειών δεν υψώνουµε στο τετράγωνο τις διαστάσεις. 3. Εµβαδόν καµπύλης επιφάνειας = 8,47τ.εκ. (8,46τ.εκ.) 4. Εµβαδόν της συνολικής επιφάνειας = 00τ.εκ. (00τ.εκ.) 5. Εµβαδόν καµπύλης επιφάνειας =,7τ.µ. (,7τ.µ.). Πρέπει να υπάρχει αρκετή βαφή στο κουτί. 0

11 78 Πολλαπλασιασµός ακέραιων αριθµών. α) δ) ζ) - 8 β) + ε) - 6 η) + 9 γ) - στ) + 6 θ). Οι αριθµοί που είναι χρωµατισµένοι κόκκινοι είναι θετικοί ακέραιοι αριθµοί, πρέπει να βρίσκονται στην επάνω δεξιά γωνία και στην κάτω αριστερή γωνία. Οι αριθµοί που είναι χρωµατισµένοι πράσινοι είναι αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί, πρέπει να βρίσκονται στην επάνω αριστερή γωνία και στην κάτω δεξιά γωνία. 3. θετικός αριθµός θετικός αριθµός = θετικός αριθµός θετικός αριθµός αρνητικός αριθµός = αρνητικός αριθµός αρνητικός αριθµός θετικός αριθµός = αρνητικός αριθµός αρνητικός αριθµός αρνητικός αριθµός = θετικός αριθµός µηδέν θετικός αριθµός = µηδέν µηδέν αρνητικός αριθµός = µηδέν α) - 6 β) - 8 γ) δ) + 3 ε) 0 στ) ζ) 0 η) - 4 θ) ι) + 4 κ) 0 λ) µ) + 63 ν) + 63 ξ) ο) 0 π) + 48 ρ) σ) + 6 τ) - 44 υ)

12 79 ιαίρεση ακέραιων αριθµών. α) i) = = + ii) = = - 4 iii) = = - 3 iv) = = + 3 v) = = 0 vi) = = + 4 vii) + - = = - viii) = = -. α) 3. α) β) Η διαίρεση οποιουδήποτε θετικού ή αρνητικού αριθµού µε το µηδέν δεν είναι δυνατή. + 4 β) + 4 β) + 4 γ) + 3 γ) - 4 δ) + 3 δ) 4. θετικός αριθµός : θετικός αριθµός = θετικός αριθµός θετικός αριθµός : αρνητικός αριθµός = αρνητικός αριθµός αρνητικός αριθµός : θετικός αριθµός = αρνητικός αριθµός αρνητικός αριθµός : αρνητικός αριθµός = θετικός αριθµός µηδέν : θετικός αριθµός = µηδέν µηδέν : αρνητικός αριθµός = µηδέν θετικός αριθµός : µηδέν = χωρίς λύση αρνητικός αριθµός : µηδέν = χωρίς λύση α) ε) - β) - στ) + γ) + 4,5 ζ) - δ) + 9 η) +,5 -,75 θ) µ) - 7 ι) -,5 ν) - 3 κ) -,5 ξ) +, 6. λ) 0-0

13 87 Ισόπλευρες κατασκευές Να µετρήσεις τις πλευρές και τις γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου σου. Κάθε πλευρά θα πρέπει να είναι 4 εκ. Κάθε γωνία θα πρέπει να έχει µέγεθος 60. Να µετρήσεις τις πλευρές και τις γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου. Κάθε πλευρά θα πρέπει να έχει µήκος 5,3 εκ. Κάθε γωνία θα πρέπει να έχει µέγεθος 60. Τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα γιατί το σηµείο R απέχει το ίδιο από το P και από το Q και αυτή η απόσταση είναι η ίδια µε PQΧPQ=PR=RQ («ισόπλευρο»: ίσες πλευρές). Αν το R απέχει το ίδιο από το P και από το Q, αλλά αυτή δεν είναι ίδια µε το PQ, τότε το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές («ισοσκελές»: ίσα σκέλη, πόδια). Για να σχεδιάσεις το ισοσκελές τρίγωνο µε ακρίβεια, θα πρέπει να επιλέξεις ένα ευθύγραµµο τµήµα 3 εκ. πάνω στο PQ και µετά να χρησιµοποιήσεις το διαβήτη για να σχεδιάσεις δύο τόξα µήκους 6 εκ. 90 Ποια αγορά;. Κατάλογος αγορών µε το ταχυδροµείο Αγγελία στις εφηµερίδες Κατάλογος καταστήµατος Οι αγγελίες στις εφηµερίδες έχουν τις χαµηλότερες τιµές, αλλά η διαφορά των τιµών ανάµεσα στις αγγελίες των εφηµερίδων και στον κατάλογο του καταστήµατος είναι τόσο µικρή, ώστε είναι προτιµότερο να επιλέγει κανείς το πλησιέστερο υποκατάστηµα. 3. Ίσως έµενε κοντά σε ένα από τα υποκαταστήµατα εβδοµάδες 5. (α) 44 ευρώ (β) 54,6 ευρώ 6. Το κασετόφωνο είναι ελάχιστα φθηνότερο από το αν το αγόραζε τοις µετρητοίς και θα µπορούσε να το αποπληρώσει πιο γρήγορα. 7. Θα µπορούσες να εξοικονοµήσεις όλα τα χρήµατα σε 6 εβδοµάδες και να το αγοράσεις απευθείας από τις αγγελίες ή από το υποκατάστηµα. (Αν δεν ξόδευες καθόλου χρήµατα για οτιδήποτε άλλο!) 3

14 9 Καταχωρήσεις αγγελιών και διαφηµίσεων. HONDA CJ 50T 8000 ΧΜ. ΚΑΛΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΠΟΛΛΑ EXTRA ευρώ ΤΗΛ ,9 ευρώ 3. Βρήκες πόσο κοστίζει η διαφήµιση για το µηχανάκι σου; Να δείξεις τη διαφήµιση στο δάσκαλό σου και να τον ενηµερώσεις για το κόστος της. 4. Αν είχες έναν κωδικό αγγελίας για τη διαφήµιση στην ερώτηση, θα έπρεπε να πληρώσεις συνολικά 4,6 ευρώ γιατί θα µπορούσες να παραλείψεις τις λέξεις «σε καλή κατάσταση, πολλά εξτρά». Η διαφήµιση µόνο κοστίζει 3,5 ευρώ συν, ευρώ για τον κωδικό αγγελίας. Η διαφήµιση για το µηχανάκι σου ήταν φθηνότερη µε κωδικό αγγελίας; 5. Η διαφήµιση έχει 5 λέξεις (υπολογίζοντας και τον κωδικό αγγελίας σα µία λέξη). Κοστίζει 8 ευρώ. 6. Περίπου «φορές» το ποσό της µίας καταχώρησης. 7. ύο καταχωρήσεις κοστίζουν 9,5 ευρώ (5 38 λεπτά). 8. Η διαφήµιση για την ενοικίαση αυτοκινήτου έχει 7 λέξεις στα 3 λεπτά η καθεµιά και λέξη µε κεφαλαία στα 64 λεπτά. Όλα αυτά κοστίζουν 6,08 ευρώ. 9. Όλες οι λέξεις στα κεφαλαία θα κοστίσουν,5 ευρώ. 0. Γιατί οι λέξεις µε κεφαλαία γράµµατα είναι πιο ευδιάκριτες, όταν τοποθετούνται ανάµεσα σε µικρά γράµµατα.. εκ.. 5,6 ευρώ 3. 7,4 ευρώ (7 λέξεις στα 4 λεπτά) 4.,54 ευρώ ευρώ (4 γραµµές στα,5 ευρώ η καθεµιά, µε τιµές του 978) 6. Να δείξεις στο δάσκαλό σου τη διαφήµιση που έγραψες. Ίσως αποφασίσεις να πληρώσεις περισσότερα γιατί µία από τις εφηµερίδες έχει µεγαλύτερη κυκλοφορία και γι αυτό θα τη δουν περισσότεροι άνθρωποι. 7. Να δείξεις τη διαφήµιση στο δάσκαλό σου. 4

15 9 οκιµάζοντας παπούτσια Τα αποτελέσµατά σου θα εξαρτηθούν από το τµήµα και την τάξη στην οποία είσαι. Θα έπρεπε να έχεις καταγράψει το µέγεθος των παπουτσιών 00 περίπου µαθητών που φοιτούν στην ίδια τάξη µε σένα. Να βεβαιωθείς ότι στο δείγµα σου συµπεριλαµβάνονται άτοµα µε διαφορετικό ύψος, τόσο αγόρια όσο και κορίτσια. Μια γραφική παράσταση των αποτελεσµάτων της έρευνας, εκτός από το µέγεθος που εµφανίζεται πιο συχνά, θα δείξει και τον αριθµό των ατόµων που αναλογούν σε κάθε µέγεθος. Θα έπρεπε να διαλέξεις τα 50 ζευγάρια παπούτσια έτσι ώστε η αναλογία των διαφόρων µεγεθών σε αυτά να είναι περίπου ίδια µε αυτήν στην έρευνά σου. 94 Μαγειρεύοντας αριθµούς. Η συνταγή της Άννας για : 50 γρ. ζύµη 5 γρ. πράσα 0 γρ. βούτυρο αλάτι και πιπέρι 50 γρ. µπέικον αυγό 75 ml κρέµα. Η συνταγή του Θωµά για 6: 50 γρ. ζύµη 675 γρ. πράσα 60 γρ. βούτυρο αλάτι και πιπέρι 50 γρ. µπέικον 3 αυγά 5 ml κρέµα 3. Σε αυτόν τον πίνακα θα βρεις τις ποσότητες µε προσέγγιση 5 γρ. ή 5 ml. Οι απαντήσεις σου µπορεί να έχουν δοθεί µε προσέγγιση στο πλησιέστερο γρ. ή ml. Άτοµα Ζύµη (γρ.) Πράσα (γρ.) Βούτυρο (γρ.) Μπέικον (γρ.) Αυγά Κρέµα (ml) Θα ήταν καλή ιδέα να βάλεις λίγο περισσότερη κρέµα στη σάλτσα. Έτσι, µετρήσεις µε προσέγγιση θα ήταν αποδεκτές. Οµοίως, µισό ακόµη αυγό δεν θα δηµιουργούσε πρόβληµα. Έτσι, στρογγυλοποίηση σε ολόκληρο αυγό δεν θα άλλαζε το αποτέλεσµα. 5. (α) όχι... (β)... ίσως χρειαστείς λίγο περισσότερο χρόνο γιατί το κις για 8 ανθρώπους θα είναι πολύ µεγαλύτερο, ωστόσο όχι περισσότερο από ώρες. (γ) Το ίδιο. 5

16 95 Μεταχειρισµένα αυτοκίνητα Τα 3995 ευρώ φαίνεται να είναι µια καλή τιµή. Τα αυτοκίνητα Ford Fiesta κόστιζαν το 99 µεταξύ 750 και 5000 ευρώ. Το διάγραµµα διασποράς της Τζένης δείχνει ότι υπάρχει αρνητική συσχέτιση. Όσο πιο παλιό είναι το αυτοκίνητο τόσο πιο φθηνό είναι. Υπάρχουν κάποιες εξαιρέσεις αλλά γενικά αυτός είναι ο κανόνας. Να δείξεις το διάγραµµα διασποράς στο δάσκαλό σου και να συζητήσεις σχετικά µε τις απαντήσεις σου στις ερωτήσεις. 97 ιερεύνηση τριψήφιων αριθµών Οι διαφορές συνήθως καταλήγουν σε έναν επαναλαµβανόµενο κύκλο της µορφής που µπορεί να παρουσιαστεί συνοπτικά ως Επίσης, µπορεί να πάρει τις µορφές ή κ.ο.κ. Μπορείς να προβλέψεις τα ψηφία στον επαναλαµβανόµενο κύκλο από την πρώτη σειρά των αριθµών; Οι µόνοι τριψήφιοι αριθµοί που δεν δίνουν επαναλαµβανόµενο κύκλο είναι οι αριθµοί που έχουν 3 ίδια ψηφία. Για παράδειγµα, ο αριθµός 444 δίνει αµέσως 000 ή Αν προσθέσεις τα ψηφία σε κάθε σειρά διερεύνησης, για παράδειγµα: θα παρατηρήσεις ότι το άθροισµά τους είναι πάντα άρτιος αριθµός (εκτός από το άθροισµα της πρώτης σειράς). Η εξήγηση του παραπάνω φαινοµένου αλγεβρικά δεν είναι εύκολη γιατί για να δείξεις πώς υπολογίζονται οι διαφορές του τριψήφιου αριθµού abc θα πρέπει να εξετάσεις τις περιπτώσεις όπου a> b > c, b > a > c κ.λπ. Τι συµβαίνει αν ξεκινήσεις µε έναν τετραψήφιο αριθµό, για παράδειγµα τον 374; Είναι το αποτέλεσµα διαφορετικό από αυτό που προκύπτει αν ξεκινήσεις µε τον 468; Οι πενταψήφιοι αριθµοί, επίσης, παρουσιάζουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Μοιάζουν περισσότερο µε τους τριψήφιους ή µε τους τετραψήφιους αριθµούς εκκίνησης; Ποιες διαφορές παρατηρείς, αν ξεκινήσεις µε περιττό ή µε άρτιο αριθµό ψηφίων; 6

17 300 Μετρώντας παράθυρα. εκ. 5 εκ. 0 εκ. = = = 0 χιλ. 50 χιλ. 00 χιλ.. εκ. 6 χιλ. 5 εκ. 4 χιλ. 0 εκ. 7 χιλ. = = = 6 χιλ. 54 χιλ. 07 χιλ χιλ. 40 χιλ. 0 χιλ. = = = 7 εκ. 4 εκ. εκ χιλ. 75 χιλ. = = εκ. 5 χιλ. 7 εκ. 5 χιλ. = =,5 εκ. 7,5 εκ. 5. 3,7 εκ., εκ.,8 εκ. 0,6 εκ. = = = = 37 χιλ. χιλ. 8 χιλ. 6 χιλ. 6. 4,4 εκ. 7. (α) 4,4 εκ. 34 εκ. (β) 5,3 εκ. 35,7 εκ. (γ) 0,9 εκ. 8,8 εκ. 30 Τρεις στη σειρά Μόλις τελειώσεις, να δείξεις τον πίνακα στο δάσκαλό σου και να εξηγήσεις ποιος κέρδισε. 7

18 30 Λογικό παζλ Στο παζλ της κάρτας, το προκαλεί αλλαγή κάθε φορά αλλά αυτό δεν αποτελεί πληροφορία ικανή για να σε βοηθήσει να συµπληρώσεις το σχέδιο. Είναι σηµαντικό να προσέξεις ότι: Α) Παχύ µπλοκ βρίσκεται πάνω σε λεπτό. Λεπτό µπλοκ βρίσκεται πάνω σε παχύ. Β) Το µπλε βρίσκεται πάνω στο κίτρινο. Το κίτρινο βρίσκεται πάνω από το κόκκινο. Το κόκκινο βρίσκεται πάνω στο µπλε. Γ) Το ορθογώνιο βρίσκεται πάνω στον κύκλο. Το τρίγωνο βρίσκεται πάνω στο ορθογώνιο. Ο κύκλος βρίσκεται πάνω στο τρίγωνο. ) Το µικρό βρίσκεται πάνω στο µεγάλο. Οι παραπάνω κανόνες σηµαίνουν ότι: Ο µικρός παχύς µπλε κύκλος πρέπει να βρίσκεται πάνω στο µεγάλο λεπτό κίτρινο τρίγωνο. Το µικρό παχύ κίτρινο ορθογώνιο πρέπει να βρίσκεται πάνω στο µεγάλο λεπτό κίτρινο κύκλο. Να δείξεις ένα από τα παζλ που έχεις φτιάξει στο δάσκαλό σου. 8

19 303 Παραφίνες. Το προπάνιο έχει 8 άτοµα υδρογόνου.. Ο τύπος για το προπάνιο είναι C3H Μεθάνιο Η Βουτάνιο H H H H Η - C - H H - C - C - C - C - H H H H H H Αιθάνιο H H Πεντάνιο Η Η Η Η Η H - C - C H Η - C - C - C - C - C - H H H H H H H H Ονοµασία Άτοµα άνθρακα Άτοµα υδρογόνου Τύπος Μεθάνιο 4 CH Αιθάνιο 6 C H 4 6 Προπάνιο 3 8 C3H 8 Βουτάνιο 4 0 C4H 0 4. Πεντάνιο Εξάνιο C5H C6H 4 Ονοµασία Άτοµα άνθρακα Άτοµα υδρογόνου Τύπος 7 56 C7H Για να βρεις τον αριθµό των ατόµων υδρογόνου, να διπλασιάσεις τον αριθµό των ατόµων του άνθρακα και να προσθέσεις. Ο γενικός τύπος είναι CnH n + 6. Το τρίτο ισοµερές του πεντανίου είναι 7. Υπάρχει µόνο µία διάταξη για το µεθάνιο, το αιθάνιο και το προπάνιο. 8. Το βουτάνιο έχει ισοµερή: n- βουτάνιο ισο-βουτάνιο Το πεντάνιο έχει 3 ισοµερή (βλ. ερώτηση 6) Το εξάνιο έχει 5 ισοµερή. Μετά από αυτό, ο αριθµός των ισοµερών αυξάνει ραγδαία. 9

20 To δεκάνιο ( C0H ) έχει 75 ισοµερή. Το εικοσάνιο ( C0H 4 ) έχει ισοµερή. Μόνον ορισµένα από αυτά τα ισοµερή έχουν αποµονωθεί αλλά, θεωρητικά, θα µπορούσαν να υπάρχουν όλοι. Όταν προσπαθείς να εντοπίσεις παραφίνες µε πολλά άτοµα άνθρακα, υπάρχει ο κίνδυνος να µετρήσεις το ίδιο µόριο δύο φορές. Τα 4 παραπάνω διαγράµµατα απεικονίζουν ακριβώς τον ίδιο τύπο εξανίου. Υπάρχουν λιγότερο φανερές επαναλήψεις. Μπορείς να εξηγήσεις γιατί οι παρακάτω αλυσίδες απεικονίζουν τον ίδιο τύπο επτανίου; Να παρατηρήσεις τη µεγαλύτερη αλυσίδα (στη συγκεκριµένη περίπτωση έχει 5 άτοµα άνθρακα) και να εξηγήσεις για ποιο λόγο οι αλυσίδες είναι ίδιες: Περισσότερες λεπτοµέρειες για τα ισοµερή των απλών παραφινών µπορείς να βρεις στα βιβλία οργανικής χηµείας. 9. Για να µάθεις ποια ισοµερή υπάρχουν και ποιες είναι οι διάφορες ιδιότητές τους, να ζητήσεις από τον καθηγητή σου να σου συστήσει κάποιο καλό βιβλίο χηµείας. 0

21 304 Ένα πρόβληµα µε φιγούρες των ατού Αυτή είναι µία λύση. A K Q J Q J A K J Q K A K A J Q Μπορείς να συµπληρώσεις τον πίνακα έτσι ώστε κάθε σειρά, στήλη ή διαγώνιος να έχει 4 διαφορετικά χρώµατα επίσης; 306 Εκτιµήσεις µε δεκαδικούς. Πώς µάντεψες το αποτέλεσµα της διαίρεσης 4 : 5; Το υπολόγισες µε το νου;. 4,8 3. Τα αποτελέσµατα των πράξεων που µάντεψες και σηµείωσες στον πίνακα θα πρέπει να είναι παρόµοια µε τα παρακάτω. Αν δεν είσαι βέβαιος-η για αυτά, να τα δείξεις στο δάσκαλό σου. 7 : 4 5 : 4 7 : 5 : 4 0 : 0 7 : 6 : 5 9 : 5 8 : 8 9 : 8 3 : 3 9 : 7 ΜΑΝΤΕΥΩ 4 και κάτι σχεδόν 4 8 και µισό 6 και κάτι 0 και κάτι 3 και µισό 3 και κάτι λίγο λιγότερο από 4 και κάτι και λίγο περισσότερο σχεδόν 8 4 και κάτι ΑΡΙΘΜΟΜΗΧΑΝΗ 4,5 3,75 8,5 6,5 0, 3,5 3, 3,8,5,375 7, , Η απάντηση θα πρέπει να είναι 4 γιατί ο πολλαπλασιασµός είναι πράξη αντίστροφη της διαίρεσης. Ο όρος «αντιστροφή» εξηγείται στην κάρτα Αν δεν έχεις βρει µε πολλαπλασιασµό τον αριθµό που αρχικά διαίρεσες, να ζητήσεις από το δάσκαλό σου να ελέγξει τη µέθοδο που χρησιµοποίησες.

22 307 Τµήµατα Ένας λογικός τρόπος για να πραγµατοποιήσεις αυτήν τη διερεύνηση είναι να ξεκινήσεις µε µερικά απλά παραδείγµατα. Για παράδειγµα, θα µπορούσες να ξεκινήσεις µελετώντας µόνο για κάθετες γραµµές. κάθετη γραµµή τµήµατα κάθετες γραµµές 3 τµήµατα 3 κάθετες γραµµές 4 τµήµατα 4 κάθετες γραµµές 5 τµήµατα Μπορείς να περιγράψεις τη σχέση ανάµεσα στις κάθετες γραµµές και στα τµήµατα; Στη συνέχεια, να χαράξεις µια οριζόντια γραµµή: οριζόντια γραµµή οριζόντια γραµµή οριζόντια γραµµή οριζόντια γραµµή κάθετη γραµµή κάθετες γραµµές 3 κάθετες γραµµές 4 κάθετες γραµµές 4 τµήµατα 6 τµήµατα 8 τµήµατα 0 τµήµατα Μπορείς να περιγράψεις τις σχέσεις αυτήν τη φορά; Να συνεχίσεις χαράσσοντας οριζόντιες γραµµές, 3 οριζόντιες γραµµές,... Θα ήταν χρήσιµο να παρουσιάσεις τα αποτελέσµατα σε έναν πίνακα. Κάθετες γραµµές Οριζόντιες γραµµές Αν δεν αναγνωρίζεις κανέναν κανόνα στον πίνακα, θα πρέπει να σχεδιάσεις µερικά ακόµη ορθογώνια παραλληλόγραµµα.

23 Όταν θα έχεις αρκετούς αριθµούς στον πίνακα, θα παρατηρήσεις ότι είναι συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο, π.χ. οριζόντιες γραµµές και κάθετη γραµµή δίνουν τον ίδιο αριθµό τµηµάτων, όπως οριζόντια και κάθετες γραµµές. Γιατί συµβαίνει αυτό; Να προβλέψεις πόσα τµήµατα σχηµατίζονται από: 0 οριζόντιες και 5 κάθετες γραµµές οριζόντιες και κάθετες γραµµές Μπορείς να προβλέψεις τους αριθµούς που θα εµφανιστούν στη στήλη των n οριζόντιων γραµµών; Μπορείς να προβλέψεις τους αριθµούς που θα εµφανιστούν στη σειρά των m κάθετων γραµµών; Προσπάθησε να διατυπώσεις ένα γενικό κανόνα, για να υπολογίζεις τον αριθµό των τµηµάτων που θα σχηµατιστούν σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε m κάθετες και n οριζόντιες γραµµές. 3

24 30 Σχεδιάζοντας µια κούζινα Σχεδιάζοντας µια κουζίνα Πώς αποφάσισες ότι υπάρχει αρκετός χώρος για να εργασθεί ένα άτοµο στην κουζίνα; Τοποθέτησες την κουζίνα κοντά στο ντουλάπι του πάγκου; Ποιες συσκευές δεν τοποθέτησες στην κουζίνα; Πόσο θα σου κοστίσει η κουζίνα;. Ποια έχεις προβλέψει ότι θα είναι η τιµή της ηλεκτρικής κουζίνας; Πιστεύεις ότι η κουζίνα υγραερίου είναι πιο φθηνή από την ηλεκτρική κουζίνα;. ε χρειάζεται να είσαι πολύ ακριβής όταν προσθέσεις όλες σου τις προβλέψεις γιατί αυτός είναι απλώς ένας πρόχειρος, κατά προσέγγιση υπολογισµός. Μια λογική απάντηση θα ήταν 3000 ευρώ ή 4500 ευρώ ή 8500 ευρώ παρά 3003,45 ευρώ ή 458,60 ευρώ ή 853,90 ευρώ. 3. Η απάντησή σου θα εξαρτηθεί από τις επιλογές σου. 4. Η απάντησή σου στην ερώτηση θα είναι πιθανόν πολύ διαφορετική από την απάντησή σου στην ερώτηση 3 γιατί η αγορά επίπλων κουζίνας και εξοπλισµού δεν συµβαίνει πολύ συχνά. 5. Ποιες µεταχειρισµένες συσκευές επέλεξες να αγοράσεις; Ήταν όλες ηλεκτρικές; Η κουζίνα στο σπίτι σου Οι µετρήσεις θα διαφέρουν πολύ από κουζίνα σε κουζίνα, γι' αυτό θα χρειασθεί να δείξεις την εργασία σου στον δάσκαλό σου. 3 Ακολουθίες. 4, 7, 0, 3, 6, 9,, 5. Ο κανόνας είναι να προσθέσεις 3.. 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7... Ο κανόνας είναι να προσθέσεις. 3. 6,, 6,, 6, 3, 36, 4... Ο κανόνας είναι να προσθέσεις , 9, 3, 7,, 5, 9, Ο κανόνας είναι να προσθέσεις , 7, 0, 3, 6, 9,, 5.. Ο κανόνας είναι να προσθέσεις ,, 6,, 6, 3, 36, 4... Ο κανόνας είναι να προσθέσεις , 9, 3, 7,, 5, 9, 33. Ο κανόνας είναι να προσθέσεις Σχέδια µε σπίρτα. 4,, 4, 40, 60, 84,.... 3, 9, 8, 30, 45, 63, , 6, 30, 48, 70, 96, , 8, 36, 60, 90, 6,... 4

25 36 Μοιράζοντας. Αρχική γραµµή σε εκατοστά 5 χωρισµένη στη µέση,5 χωρισµένη στη µέση ξανά,5 χωρισµένη στη µέση ξανά 0,65 χωρισµένη στη µέση ξανά 0,35 0,565 0,0785 0, Ο αριθµός 0, µπορεί να φαίνεται µεγαλύτερος από τον αριθµό 5 γιατί έχει περισσότερα ψηφία Το ψηφίο 5 του αριθµού 0, ισοδυναµεί µε 5/ , ενώ ο αριθµός 5 ισοδυναµεί µε 5 ακέραιες µονάδες. α) 5 β),5 γ) 0,35 δ) 0,65. Αρχικός αριθµός 4 χωρισµένος στη µέση χωρισµένος ξανά στη µέση και ξανά 0,5 0,5 0,5 0,065 0,035 α) 0,5 β) 0,5 γ) δ) 0,5 3. Αρχική γραµµή 0 0 φορές µικρότερη 0 φορές µικρότερη 0, 0 φορές µικρότερη 0,0 0 φορές µικρότερη 0,00 0 φορές µικρότερη 0,000 0 φορές µικρότερη 0,0000 Αν ήταν πραγµατικά απαραίτητο να χρησιµοποιήσεις κοµπιουτεράκι, µπορείς να διακρίνεις τώρα µε το νου έναν τρόπο διαίρεσης µε το 0; α) β) 0, γ) 0,00 4. α) 0,75 β) 0,875 γ),5 δ) 0,75 5

26 37 Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε το έκα Πολλαπλασιάζω µε το 0 Χιλιάδες Ε Μ δ ε χ , 0, 5 5, 3 3, 6, , 3 5 5, 0, 0, 0 0, , , 8 3, 8 3 8, 8, 4 4, 0,, 0, 0, Θα πρέπει να παρατηρήσεις ότι όλοι οι αριθµοί µετατοπίζονται κατά µία θέση προς τα αριστερά. Να ζητήσεις από κάποιον να ελέγξει αν οι δικοί σου πέντε αριθµοί ακολουθούν τον κανόνα: Πολλαπλασιάζοντας µε το 0, οι αριθµοί µετακινούνται κατά µία θέση προς τα αριστερά. ιαιρώ µε το 0 Χ Ε Μ δ ε χ 7 6, 7, 6 5, 3, , 7 0, 6 5, 0, 5 0, 0 0, 0 0, 7, , 8,

27 8, 4 3, , 0, ,, Θα πρέπει να παρατηρήσεις ότι όλοι οι αριθµοί µετατοπίζονται κατά µία θέση προς τα δεξιά. Να ζητήσεις από κάποιον να ελέγξει αν οι δικοί σου πέντε αριθµοί ακολουθούν τον κανόνα: ιαιρώντας µε το 0, οι αριθµοί µετακινούνται κατά µία θέση προς τα δεξιά. Πολλαπλασιάζω µε το 00 Χ Ε Μ δ ε χ , 0, 5 3 5, 3 0, 6, , , 0,... Θα πρέπει να παρατηρήσεις ότι όλοι οι αριθµοί µετατοπίζονται κατά δύο θέσεις προς τα αριστερά. Να ζητήσεις από κάποιον να ελέγξει αν οι δικοί σου πέντε αριθµοί ακολουθούν τον κανόνα: Πολλαπλασιάζοντας µε το εκατό, οι αριθµοί µετακινούνται κατά δύο θέσεις προς τα αριστερά. ιαιρώ µε το 00 Χ Ε Μ δ ε χ 7 6, 0, 7 6 5, 3 0, , 7 0, Θα πρέπει να παρατηρήσεις ότι όλοι οι αριθµοί µετατοπίζονται κατά δύο θέσεις προς τα δεξιά. Να ζητήσεις από κάποιον να ελέγξει αν οι δικοί σου πέντε αριθµοί ακολουθούν τον κανόνα: 7

28 ιαιρώντας µε το 0 οι αριθµοί µετακινούνται κατά δύο θέσεις προς τα δεξιά. Όταν πολλαπλασιάζεις µε το 000, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά τρεις θέσεις προς τα αριστερά. Όταν διαιρείς µε το 000, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά τρεις θέσεις προς τα δεξιά. Να αντιγράψεις την παρακάτω περίληψη της εργασίας σου στο τετράδιό σου. Όταν πολλαπλασιάζεις µε το 0, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά µία θέση προς τα αριστερά. Όταν πολλαπλασιάζεις µε το 00, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά δύο θέσεις προς τα αριστερά. Όταν πολλαπλασιάζεις µε το 000, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά τρεις θέσεις προς τα αριστερά. Όταν πολλαπλασιάζεις µε το 0000, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά τέσσερις θέσεις προς τα αριστερά..... Όταν διαιρείς µε το 0, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά µία θέση προς τα δεξιά. Όταν διαιρείς µε το 00, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά δύο θέσεις προς τα δεξιά. Όταν διαιρείς µε το 000, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά τρεις θέσεις προς τα δεξιά. Όταν διαιρείς µε το 0000, όλοι οι αριθµοί µετακινούνται κατά τέσσερις θέσεις προς τα δεξιά

29 39 ιαδοχικοί αριθµοί Το διαιρείται µε το 4. Ποια άλλα σύνολα τριών διαδοχικών αριθµών υπάρχουν, το γινόµενο των οποίων διαιρείται µε το 4; Μπορείς να εξηγήσεις γιατί; Η εξήγησή σου συµπεριλαµβάνει παραδείγµατα όπως το 7 8 9; Ίσως θελήσεις να χρησιµοποιήσεις ένα λογιστικό φύλλο. Ακολουθεί η αρχή ενός τέτοιου φύλλου, για να δεις τα αποτελέσµατα του γινοµένου τριών διαδοχικών αριθµών που διαιρούνται µε το 4. Α Β Γ Ε n n + n + n(n + )(n + ) n(n + )(n + )/ , , Γιατί ο ένας από τους τρεις διαδοχικούς αριθµούς είναι πάντα πολλαπλάσιο του 3; Να τροποποιήσεις τον τύπο στο λογιστικό φύλλο, για να δεις ποια γινόµενα διαδοχικών αριθµών διαιρούνται µε το 0. Να εξετάσεις το γινόµενο τεσσάρων διαδοχικών αριθµών. Ποια γινόµενα διαιρούνται µε το 4; Ποια διαιρούνται µε το 0; Να αιτιολογήσεις τις απαντήσεις σου. Τι µπορείς να πεις για τους παράγοντες του γινοµένου οποιουδήποτε συνόλου τεσσάρων διαδοχικών αριθµών; Να δοκιµάσεις µε πέντε διαδοχικούς αριθµούς. 9

30 30 Εµβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράµµου. 8τ.εκ.. 65τ.εκ τ.εκ τ.εκ. 5.,5τ.µ. 6. χµ = 000µ. Εποµένως, το εµβαδόν είναι 60000τ.µ. 7. Eµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος = εµβαδόν Α + εµβαδόν Β = (4µ 3µ) + (3µ µ) = τ.µ. + 6τ.µ. = 8τ.µ. 8. Eµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος = (6εκ 7,5εκ) + (3εκ εκ) = 45τ.εκ. + 6τ.εκ. = 5τ.εκ. 9. Εµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος = (εκ 0εκ ) + (4,εκ εκ) = 0τ.εκ. + 8,4τ.εκ. = 8,4τ.εκ. 0. Εµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος = (9µ µ) + (7µ 4µ) + (6µ 8µ) = 99τ.µ. + 8τ.µ. + 48τ.µ. = 75τ.µ. Μπορεί να έχεις χωρίσει το σχήµα µε διαφορετικό τρόπο σε ορθογώνια, ωστόσο η απάντησή σου πρέπει να είναι ίδια.. Εµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος = (0µ 5,µ) (3µ µ) = 5τ.µ. 6τ.µ. = 46τ.µ.. Εµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος = (7εκ,3εκ) (3εκ 3,5εκ) = 79,τ.εκ. 0,5τ.εκ. = 68,6τ.εκ. 3 Στερεά σχήµατα. Ο κύβος έχει 6 έδρες.. Ο κύβος έχει 8 κορυφές. 3. Ο κύβος έχει ακµές. 4. Παρακάτω, δίνονται ορισµένα στερεά σχήµατα, τα οποία µπορείς να συµπεριλάβεις στον πίνακά σου. ΣΧΗΜΑ Ε ΡΕΣ ΚΟΡΥΦΕΣ ΑΚΜΕΣ Κύβος 6 8 Τετράεδρο Κύλινδρος 0 Τετραγωνική πυραµίδα Τριγωνικό πρίσµα Παραλληλεπίπεδο 6 8 Σφαίρα 0 0 Αν οι απαντήσεις σου διαφέρουν, να τις ελέγξεις µε το δάσκαλό σου. 5. Ο κύλινδρος και η σφαίρα δεν έχουν κορυφές. 30

31 34 Αθροίσµατα στον πίνακα µε τα καρφάκια 4+3 = 7 + = = 6 Ζήτησε από κάποιον να ελέγξει τα αποτελέσµατά σου. 35 Ίσα Ποσά = = 6 Ζήτησε από κάποιον να ελέγξει τα αποτελέσµατά σου. 38 Χώρος για να κινηθείς Όταν καταγράψεις τις µετρήσεις του µεγαλύτερου ύψους που µπορείς να φτάσεις καθισµένος-η στην πολυθρόνα, να έχεις υπόψη σου ότι το άτοµο µε κάποια σωµατική αναπηρία µπορεί να µην έχει τη δυνατότητα να τεντωθεί τόσο πολύ. Ποια πράγµατα µπόρεσες να φτάσεις; Οι περισσότεροι διακόπτες και τα χερούλια της πόρτας βρίσκονται σε τέτοιο ύψος, ώστε να µπορεί το άτοµο µε κάποια σωµατική αναπηρία να τα φτάσει. Στο σχολείο σου έχουν ληφθεί µέτρα ώστε άτοµα καθηλωµένα στην αναπηρική πολυθρόνα να µπορούν: α. να µετακινούνται άνετα στην ώρα των µαθηµατικών; β. να φτάσουν όλες τις κάρτες Smile; γ. να χρησιµοποιήσουν τον εξοπλισµό της τάξης; Πολλά δηµόσια κτίρια τώρα παρέχουν ειδικές διευκολύνσεις σε άτοµα µε κάποια σωµατική αναπηρία. Ποιες είναι οι διευκολύνσεις αυτές; Μπορείς να αναφέρεις παραδείγµατα καταστηµάτων ή άλλων δηµόσιων κτιρίων που παρέχουν τέτοιες διευκολύνσεις; 3

32 39 ιαδροµές.. Στο διπλανό σχήµα παρουσιάζονται 4 διαδροµές δύο φάσεων, οι οποίες αρχίζουν από το σηµείο Α και καταλήγουν στο σηµείο Β. Οι απαντήσεις σου µπορεί να διαφέρουν. 3

33 3. Ακολουθούν κάποια πιθανά αποτελέσµατα ιαδροµή από το Α στο Β Απλό ιάνυσµα ιαδροµή ύο Φάσεων Αν δεν είσαι βέβαιος/η για τα αποτελέσµατα, να τα δείξεις στο δάσκαλό σου Το καθένα από τα σύνολα των δύο διανυσµάτων δίνει ως άθροισµα 6, το απλό διάνυσµα Το διάνυσµα περιγράφει τη διαδροµή 3 τετράγωνα δεξιά και τετράγωνα κάτω. 6. Πολλές πιθανές απαντήσεις. 7. Το καθένα από τα σύνολα των τριών διανυσµάτων έχει άθροισµα απλό διάνυσµα. 8. Πολλές πιθανές απαντήσεις. 7 5, το 9. Το σύνολο των διανυσµάτων για κάθε διαδροµή από το σηµείο Ε στο Ζ 0 πρέπει να έχει άθροισµα, το απλό διάνυσµα Αν δεν είσαι σίγουρος/η για τα αποτελέσµατά σου, να τα δείξεις στο δάσκαλό σου.. Αν δεν είσαι σίγουρος για τα αποτελέσµατά σου, να τα δείξεις στο δάσκαλό σου. 33

34 330 Ας σχεδιάσουµε ένα Σούπερ Μάρκετ. δωδεκάδα (ντουζίνα) αυγά µεγάλη κονσέρβα ροδάκινα κιλό ρύζι 50 γρ. καφές κονσέρβα τροφής σκύλου κιλό βούτυρο φρέσκος ανανάς µεγάλο άσπρο ψωµί.. Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις. Αν το κάθε µέλος της οµάδας σου πήγαινε σε διαφορετικό σούπερ µάρκετ, θα ήταν όµοια τα σχέδια; 3. Η σειρά των προϊόντων στη λίστα αγοράς εξαρτάται από το σούπερ µάρκετ της περιοχής. 4. Ο τρόπος µε τον οποίο τα σούπερ µάρκετ εκθέτουν τα προϊόντα που έχουν είναι τέτοιος ώστε να ενθαρρύνουν τους πελάτες να αγοράσουν περισσότερα. 5. Να παρουσιάσεις το δικό σου σχεδιάγραµµα ενός σούπερ µάρκετ. Ποιους παράγοντες έλαβες υπόψη για να κάνεις το σχεδιάγραµµα; 345 Παντογνώστης Το δεύτερο ψηφίο είναι ή 6 ή 8. Μπορείς να καταλάβεις γιατί; 34

35 347 Τρόµινο. α). α) 7 τ. εκ. β) 3 τ εκ. γ) 9 3. Πολλές πιθανές απαντήσεις. Σε κάθε περίπτωση, τα µήκη πρέπει να βρίσκονται στην αναλογία που δίνεται. α α α α α α 4. Πολλές πιθανές απαντήσεις. Σε κάθε περίπτωση, το ορθογώνιο πρέπει να είναι τρεις φορές µεγαλύτερο σε µήκος από αυτό που είναι σε πλάτος

36 348 Να παρατηρήσεις και να µαντέψεις.. Β 3., Ι, Θ, Α, Ε, Γ, Η, Ζ, Β 4. Ζ 5. Ε 6. Ζ, Γ, Θ, Α, Η, Β,, Ε 7. Ι 8. Ε 9. Ι, Γ, Η,, Α και Β, Ζ και Θ, Ε 0. α) Το παλάτι Μπάκιγκχαµ. β) Το Κοινοβούλιο. β) Το Όξφορντ Σέρκους 3. β) Το Όξφορντ Σέρκους 4. α) ιαµέσου Όξφορντ Σέρκους 5. Οδός Μπο Πικαντίλι Σέρκους Πλατεία Τραφάλγκαρ Κοινοβούλιο ή Κοινοβούλιο Πλατεία Τραφάλγκαρ Πικαντίλι Σέρκους οδός Μπο 6. Σταθµός Βικτόρια 349 Χρονολογική γραµµή -5. Να ζητήσεις από κάποιον να ελέγξει τις απαντήσεις σου Να δείξεις τις απαντήσεις σου στο δάσκαλό σου. 35 Τροχοί Στην πρώτη περίπτωση: αν ο τροχός Α γυρίζει προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ο Β γυρίζει αντίστροφα, ο Γ γυρίζει προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού και ο αντίστροφα. Στη δεύτερη περίπτωση, οι τροχοί Α και Γ γυρίζουν προς την ίδια φορά και οι Β και γυρίζουν αντίστροφα. Στο διπλανό σχήµα, ο τροχός Α γυρίζει δεξιόστροφα και οι Β, Γ και γυρίζουν αντίστροφα. Έχεις βρει άλλους τρόπους τοποθέτησης των ιµάντων; 36

37 353 Πόσα πράγµατα;. 4 µερίδες τυρί ( 6 4 ). 3 πόδια ( 4 8 ) 3. πόδια ( ) 4. 5 µολύβια σχεδιασµού σε κάθε πακέτο ( 5 : 3 ) 5. 8 κουτιά Κόκα Κόλα ( 4 ) 6. 3 µήλα το καθένα ( 9 : 3 ) 7. βελάκια ( 7 3 ) κοµµάτια σοκολάτας ( 5 0 ) δάχτυλα ( 3 0 ή 6 5 ) αυγά ( 9 6 ). 5 παίκτες ( 0 : ). κουµπιά ( 3 7 ) 3. 3 ρόδες ( 4 8 ) ή 40 ρόδες ( 5 8 ) µαζί µε τη ρεζέρβα κουτιά µολύβια ( 50 : 0 ) λουκάνικα ( 8 8 ) 356 Πόσο κοστίζουν;.,35 ευρώ.,0 ευρώ λεπτά 4. Όχι, επειδή 50 λεπτά + 50 λεπτά + 50 λεπτά =,50 ευρώ 5.,50 ευρώ 6.,8 ευρώ 7. 3,8 ευρώ, επειδή τα µήλα συνολικά κοστίζουν 7 λεπτά 8. Όχι, επειδή 5 λεπτά+5 λεπτά+5 λεπτά = 75 λεπτά 9.,5 ευρώ 0.,5 ευρώ. 3,5 ευρώ ρέστα ποτήρια =,4 ευρώ ποτήρι = 35 λεπτά 70 λεπτά + 70 λεπτά + 35 λεπτά =,75 ευρώ. Ναι 4,3 ευρώ + 4,3 ευρώ = 8,6 ευρώ 37

38 357 Σηµεία που λείπουν 36 Τρεις στη σειρά 3 ψηφία στη σειρά Αντιστροφή ψηφίων Αποτέλεσµα Να προσέξεις τα παρακάτω: Το 0 εµφανίζεται τέσσερις φορές. Είναι το άθροισµα των αριθµών που βρίσκονται στην ίδια σειρά και έχουν το 5 στη µεσαία θέση Πλέγµατα εξαγώνων Θα πρέπει να έχεις βρει ότι ποτέ δεν χρειάζεσαι περισσότερα από 4 χρώµατα. Συνήθως, χρησιµοποιούµε λιγότερα. 38

39 366 Ζεύγη Να αντιγράψεις στο τετράδιό σου τα ζεύγη των καρτών που κέρδισες και να τα δείξεις στο δάσκαλό σου. 367 Γραµµές Να σηµειώσεις τους αριθµούς που µπόρεσες να καλύψεις. Ποιών αριθµών πολλαπλάσια είναι; 368 Η ταινία του Mobius Στη συγκεκριµένη έρευνα µπορείς να µεταβάλλεις: τον αριθµό κοψιµάτων, τη θέση του κοψίµατος, τον αριθµό των στροφών. Με ένα συστηµατικό τρόπο προσέγγισης θα πρέπει να είναι δυνατό να βρεις κάποιους κανόνες. 39

40 374 Εννέα σύνδεσµοι. (α) Η αλυσίδα είναι (β) 67 9 (γ) (δ) Με εξαίρεση τον αριθµό εκκίνησης, κάθε αριθµός στην αλυσίδα είναι πολλαπλάσιο του Παρακάτω, παρουσιάζονται µερικά παραδείγµατα ιαφορά ψηφίων Παράδειγµα Αλυσίδα Για να εξηγήσεις πώς λειτουργεί, σκέψου αρχικά έναν αριθµό που η διαφορά των ψηφίων του να είναι, όπως για παράδειγµα ο αριθµός 34. Αλλάζοντας το 3 µε το 4, προσθέτεις 0. Αλλάζοντας το 4 µε το 3, αφαιρείς... 40

41 376 Εργασίες στη σειρά Κάθε άνθρωπος έχει το δικό του τρόπο για να κάνει τις παρακάτω δουλειές. Ακολουθεί µια οµάδα λογικών απαντήσεων. ΠΛΥΣΙΜΟ ΧΕΡΙΩΝ ΤΗΛΕΦΩΝΗΜΑ ΨΗΣΙΜΟ ΚΑΦΕ Ανεβάζω τα µανίκια Σηκώνω το ακουστικό Βάζω νερό στο τσαγερό Βάζω την τάπα στο νιπτήρα Ανοίγω τη βρύση Περιµένω να ακούσω τον ήχο κλήσης Σχηµατίζω τον αριθµό τηλεφώνου Ζεσταίνω το νερό Βάζω στιγµιαίο καφέ στην κούπα Κλείνω τη βρύση Ακούω το χαρακτηριστικό ήχο Προσθέτω ζάχαρη Πλένω τα χέρια µου µε σαπούνι Βάζω κέρµατα στο κουτί Σβήνω τη φωτιά Ξεπλένω τα χέρια Μιλώ στο τηλέφωνο Ρίχνω το ζεστό νερό Αφαιρώ την τάπα Στεγνώνω τα χέρια µου ΒΑΖΩ ΒΕΝΖΙΝΗ Σβήνω τη µηχανή Τοποθετώ το ακουστικό στη θέση του Προσθέτω γάλα Ανακατεύω Αφαιρώ το καπάκι του ρεζερβουάρ ιαλέγω το είδος της βενζίνης Παίρνω την αντλία Βάζω το άκρο της αντλίας στο ντεπόζιτο Το γεµίζω µε βενζίνη Βάζω ξανά το καπάκι στη θέση του Πληρώνω τον ταµία 377 Ζάρια. 3. Να παρουσιάσεις στο δάσκαλό σου το ανάπτυγµα του ζαριού σου µε τις τελείες σηµειωµένες πάνω σε αυτό. 5. Να βεβαιωθείς ότι οι τελείες δίνουν πάντα άθροισµα 7. 4

42 378 Απεικονίσεις. Αυτοκίνητα Λάστιχα. Έντοµα Πόδια n 5n n 6n 3. Τρίγωνα Σπιρτόξυλα 4. Πάσσαλοι Κοµµάτια σύρµα n n + n 3(n- ) ή 3n n 4n n 4n + n n 8. (α), (β) και (δ) 9. Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις. Κάποιες πιθανές απαντήσεις είναι οι ακόλουθες: n 3n n n+8 n n-4 n 4(n ) Αν διαφέρουν, να ελέγξεις τις απαντήσεις σου µε το δάσκαλό σου. 379 Ψάρεµα. (0, 0) (0, 6) (3, 6) (3,) (7,) (7,0) (,0) (,) (5,) (5,4) (,4) (, 6) (7, 6) (7, ) (0,) (0,0) (, 6) (7, 6) (7, ) (0,) (0,0) (5, 0) 4

43 38 Χρήµατα. 4 9 λεπτά = 36 λεπτά Τέσσερις φορές τα 9 λεπτά κάνουν 36 λεπτά.. 4 λεπτά : 3 = 8 λεπτά Αν µοιράσουµε 4 λεπτά σε 3 ανθρώπους, θα πάρει ο καθένας 7 λεπτά λεπτά 8 λεπτά = λεπτά Υπολείπονται λεπτά λεπτά = 35 λεπτά Πέντε φορές οι 7 πένες κάνουν 35 λεπτά λεπτά : = 3 λεπτά Αν µοιράσουµε 6 λεπτά σε δύο ανθρώπους, ο καθένας θα πάρει 0 λεπτά. 6. α) 4 0 λεπτά = 80 λεπτά Αν η µία σοκολάτα κοστίζει 3 λεπτά, οι 4 σοκολάτες κοστίζουν 80 λεπτά. β) ευρώ 80 λεπτά = 0 λεπτά Θα πάρεις 48 λεπτά ρέστα λεπτά 6 λεπτά =5 λεπτά Η κονσέρβα κοστίζει 5 λεπτά περισσότερο από το µπουκάλι λεπτά + 35 λεπτά + 0 λεπτά = 70 λεπτά 70 λεπτά όλα µαζί λεπτά 85 λεπτά = 35 λεπτά 35 λεπτά περισσότερο λεπτά = 80 λεπτά Αν η µία σακούλα κοστίζει 30 λεπτά, =,8 ευρώ οι 6 σακούλες κοστίζουν,8 λεπτά. Εποµένως, το ένα ευρώ δεν είναι αρκετό. 43

44 383 Καλές προβλέψεις. Ο ηµήτρης εκτιµά ότι το ύψος του τραπεζιού είναι περίπου το µισό του δικού του ύψους. Το µισό του 7 εκ. βρίσκεται ανάµεσα στα 80 εκ. και στα 90 εκ.. Ο ηµήτρης εκτιµά ότι το κοντάρι είναι διπλάσιο από το ύψος του. 7 είναι περίπου 350 εκ παλάµες έχουν µήκος περίπου µέτρο γιατί 5 0 εκ.= 00 εκ. παλάµες έχουν µήκος περίπου 50 εκ. γιατί είναι το µισό από τις 5 παλάµες. 4. (α) Η απάντησή σου θα εξαρτηθεί από το µέγεθος της πόρτας, ωστόσο το µέσο ύψος µιας πόρτας είναι µ. (β) Η απάντησή σου θα εξαρτηθεί από το µέγεθος του δωµατίου σου, ωστόσο το µέσο ύψος ενός δωµατίου είναι,5. (γ) Η απάντησή σου θα εξαρτηθεί από το πλάτος της συρταροθήκης σου, ωστόσο το µέσο πλάτος µιας συρταροθήκης είναι περίπου 50 εκ. 5. (α) Το τραπεζοµάντηλο φτάνει µέχρι τους ώµους του ηµήτρη. Μια καλή εκτίµηση θα ήταν 50 εκ. 50 εκ. ή µ. µ. Το τραπέζι του ηµήτρη είναι µ. µ. ( ες την ερώτηση 3.) Έτσι, το τραπεζοµάντηλο είναι πολύ µεγάλο. (β) 4 παλάµες θα ήταν περίπου 90 εκ. γιατί 4 0 εκ.=80 εκ. και 0 εκ. = 0 εκ. Ο πίνακας είναι πολύ µεγάλος για να χωρέσει στην εσοχή. 6. Αν δεν είσαι σίγουρος για τις απαντήσεις σου, µπορείς να ζητήσεις από κάποιον να τις ελέγξει. 7. Κατά προσέγγιση, οι µετρήσεις είναι: 8. Μήκος ενός µικρού αυτοκινήτου Περίµετρος της κάρτας Μέγεθος της θήκης ενός CD Ύψος µιας όροφης πολυκατοικίας Ύψος ενός διώροφου λεωφορείου 3 µέτρα 80 εκ. διπλωµένη (0 εκ. ανοικτή) 3 εκ. 40 µέτρα 4 µέτρα 44

45 384 ιαγώνιοι. α) β) γ) δ). A B Γ 3. Πέντε 4. Εννέα διαγωνίους συνολικά 385 Πίνακας πολλαπλασιασµού Ποια αποτελέσµατα εµφανίστηκαν πιο πολλές φορές; Μπορούσες να χρησιµοποιείς πάντα τα αποτελέσµατα; Υπήρχαν τετράγωνα που ήταν αδύνατο να καλύψεις; διάστατη τρίλιζα Αποφάσισες ποια στρατηγική θα ακολουθήσεις; Είναι καλύτερο να παίζεις πρώτος; 45

46 388 ιπλασιάζω. 4 τ. εκ. διπλασίασε τις πλευρές 6 τ. εκ.. 8 τ. εκ. διπλασίασε τις πλευρές 3 τ. εκ τ. εκ. διπλασίασε τις πλευρές 6 τ. εκ τ. εκ. διπλασίασε τις πλευρές 3 τ. εκ τ. εκ. διπλασίασε τις πλευρές 40 τ. εκ. 6. Όχι, ο διπλασιασµός του µήκους των πλευρών δεν οδηγεί στο διπλασιασµό του εµβαδού. 7. Τέσσερα 8. Τέσσερα 9. Να δείξεις τα σχήµατά σου στο δάσκαλό σου. 0. " Όταν διπλασιάζω το µήκος των πλευρών ενός σχήµατος, το εµβαδόν γίνεται 4 φορές µεγαλύτερο." Αν συνεχίσεις την έρευνα τριπλασιάζοντας το µήκος των πλευρών των σχηµάτων σου, θα βρεις πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσµατα. Αν επεκτείνεις τις πλευρές κατά τρεις φορές σε σχέση µε το αρχικό µήκος, το εµβαδόν του σχήµατος γίνεται 9 φορές µεγαλύτερο. Τι πιστεύεις ότι θα συµβεί, αν επεκτείνεις τις πλευρές του σχήµατος κατά 4 φορές σε σχέση µε το αρχικό µήκος; 390 Πίνακες πολλαπλασιασµού Παρακάτω, παρουσιάζεται ένας συµπληρωµένος πίνακας. Θα πρέπει να µάθεις τα δεδοµένα του πίνακα που δεν ξέρεις ήδη. 46

47 394 Αναποδογύρισε τους πίνακες. Ακολουθούν µερικοί αριθµοί που εµφανίζονται αρκετές φορές ο καθένας στον πίνακα πολλαπλασιασµού Οι αριθµοί, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8, 00, και 44 εµφανίζονται περιττό αριθµό φορών. Οι συγκεκριµένοι αριθµοί ονοµάζονται τετράγωνοι αριθµοί. Πού εµφανίζονται; Γιατί εµφανίζονται περιττό αριθµό φορών; 3. Ο άξονας συµµετρίας είναι η κύρια διαγώνιος και διαπερνά τους τετράγωνους αριθµούς. Ο πίνακας είναι συµµετρικός ως προς τη συγκεκριµένη ευθεία γιατί το αποτέλεσµα πολλαπλασιασµού δύο αριθµών είναι το ίδιο ανεξάρτητα από τη σειρά µε την οποία πολλαπλασιάζονται. Για παράδειγµα, το 3 7 δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε το 7 3. H συγκεκριµένη ιδιότητα ονοµάζεται αντιµεταθετικότητα. Το αποτέλεσµα δεν αλλάζει, αν αλλάξουµε τη σειρά µε την οποία γράφουµε τους αριθµούς. Ο πολλαπλασιασµός είναι αντιµεταθετική πράξη. 4. Οι αριθµοί που δεν εµφανίζονται στον πίνακα είναι οι αριθµοί 3, 7, 3, 3, 37, 4, 43, 47. Οι συγκεκριµένοι αριθµοί ονοµάζονται πρώτοι αριθµοί. εν εµφανίζονται στον πίνακα γιατί ένας πρώτος αριθµός έχει µόνο δύο παράγοντες, τον εαυτό του και το. Οι µόνοι πρώτοι αριθµοί που εµφανίζονται στον πίνακα είναι αυτοί που είναι µικρότεροι από το δώδεκα. Γιατί συµβαίνει αυτό; 47

48 395 Κανονικότητες στον πίνακα πολλαπλασιασµού α) = = = 7 Το άθροισµα των τεσσάρων «γωνιακών» αριθµών και το άθροισµα των τεσσάρων «µεσαίων» αριθµών είναι το ίδιο µε το γινόµενο 4 τον αριθµό στο κέντρο. Αυτό ισχύει για όλα τα 3 3 τετράγωνα του συγκεκριµένου πίνακα. β) Υπάρχουν άλλα πέντε σύνολα τεσσάρων αριθµών, το καθένα από τα οποία δίνει άθροισµα 75, φτάνοντας µε αυτόν τον τρόπο στα έξι συνολικά. Όλα είναι σύνολα που χαρακτηρίζονται από περιστροφική συµµετρία 80. γ) Σύνολα τεσσάρων αριθµών µε το ίδιο άθροισµα µπορούν να βρεθούν σε όλα τα µεγέθη ορθογωνίων. Τα σύνολα χαρακτηρίζονται πάντα από περιστροφική συµµετρία 80. Για παράδειγµα, για το ακόλουθο ορθογώνιο: τα παρακάτω σύνολα τεσσάρων αριθµών έχουν άθροισµα 4. Στα ορθογώνια που αποτελούνται από περιττό αριθµό τετραγώνων, το άθροισµα είναι πάντα 4 τον «κεντρικό» αριθµό. Για παράδειγµα, όλα τα σύνολα τεσσάρων αριθµών έχουν άθροισµα ίσο µε το γινόµενο = = 630 Οι απέναντι γωνίες δίνουν πάντα το ίδιο αποτέλεσµα, ανεξάρτητα από το µέγεθος του ορθογωνίου. Αυτό µπορούµε να το εξηγήσουµε, αν θυµηθούµε 48

49 ότι ο κάθε αριθµός του πίνακα είναι πολλαπλάσιο δύο αριθµών. Για παράδειγµα: Έτσι, αν πολλαπλασιάσεις 5 4, ουσιαστικά πολλαπλασιάζεις (5 3) (7 6). Αν πολλαπλασιάσεις 30, ουσιαστικά πολλαπλασιάζεις (7 3) (5 6). Ο πολλαπλασιασµός είναι αντιµεταθετική πράξη. Εποµένως, αυτά τα γινόµενα είναι τα ίδια. Γενικά, οποιοδήποτε ορθογώνιο από το συγκεκριµένο πίνακα είναι της µορφής pn pn qn qn Εποµένως, το γινόµενο των απέναντι γωνιών θα είναι pqmn. 398 Εµπόδια Είχε σηµασία ποιος ξεκίνησε πρώτος; Μπορείς να εξηγήσεις τον τρόπο που χρησιµοποίησες για να κερδίσεις; 404 Εξισώσεις δράσης Α. B.. n = 3 6. n = 7. n = 5 7. n = 6 3. n = 8. n = 7 4. n = 8 9. n = 0 5. n = 8 0. n = 6. n = 8 6. n =. n = 6 7. n = 0 3. n = 5 8. n = 9 4. n = 8 9. n = 8 5. n = 6 0. n = 9 49

50 405 Τυχαίες εξισώσεις Α. Β.. n = 5. n = 4 3. n = 7 4. n = 3 5. n = 3 6. n = 4 7. n = 7 8. n = 6 9. n = 9 0. n = 5. n = 9. n = 3 3. n = 4 4. n = 8 5. n = 6. n = 4 7. n = 7 8. n = 4 9. n = 5 0. n = Ισότητα και ανισότητα Α = = = : : = : 3 3 : = Β.. 7+4= = :5 5:5 8. 0,6+0,3=0,3+0, = ,5-0, 0,-0, :0 0:00 0. : : Η πράξη της αφαίρεσης δεν είναι αντιµεταθετική. Η πράξη του πολλαπλασιασµού είναι αντιµεταθετική. Η πράξη της διαίρεσης δεν είναι αντιµεταθετική. 50

51 408 Ενδείξεις στο θερµόµετρο Α= 7 C Β= 4 C Γ= C = 9 C Ε= 38 C Ζ= 48 C Η= 56 C Θ= 63 C Ι= 8 C Κ= 94 C Λ= 44 C Μ= 58 C Ν= 86 C Ξ= 9 C Ο= 08 C Π= 4 C Ρ= 34 C Σ= 54 C Τ= 7 C Υ= 98 C Η Κλίµακα Φαρενάιτ ανεβαίνει κατά βαθµούς και η κλίµακα Κελσίου ανεβαίνει κατά βαθµό, έτσι θα πρέπει να είσαι πολύ προσεκτικός όταν διαβάζεις τις κλίµακες. (α) (β) (α) (β) Α = 8 F = -8 C Β = 3 F = 0 C Γ = 46 F = 8 C = 64 F = 8 C Ε = 76 F = 4 C Ζ = 90 F = 3 C Η = 0 F = 39 C Θ = 6 F = 5 C 409 Μέσος όρος , ή 86,3 το οποίο, αν στρογγυλοποιηθεί στην πλησιέστερη ακέραιη µονάδα, γίνεται λεπτά 5

52 4 Ρωµαϊκή γραφή αριθµών Η πιο πιθανή εξήγηση φαίνεται να είναι ότι το V είναι το µισό του συµβόλου Χ. Ίσως το σύµβολο Χ να χρησιµοποιήθηκε πρώτα CM σηµαίνει 00 λιγότερα από το γιατί σηµαίνει 0 λιγότερα από το MCM σηµαίνει 000 και 00 λιγότερα από το Συνήθως τα σύµβολα γράφονται από αριστερά προς τα δεξιά σε φθίνουσα σειρά µε τα µεγαλύτερα σύµβολα πρώτα. Με το 9, το 90 ή το 900 φαίνεται σαν ένα από τα µικρότερα σύµβολα να είναι εκτός σειράς. 8. IV σηµαίνει λιγότερο από

53 4 Αριθµητική σπαζοκεφαλιά. Με οποιονδήποτε αριθµό και να αρχίσεις, η απάντηση είναι πάντα. Οι ερωτήσεις και 3 θα σε βοηθήσουν να εξηγήσεις γιατί. 3. Έστω x ο τυχαίος αριθµός µε τον οποίο αρχίζουµε. Να προσθέσεις 5 x + 5 Να πολλαπλασιάσεις µε το (x + 5) = x + 0 Να αφαιρέσεις 8 x + Να διαιρέσεις µε το x+ = x + Να αφαιρέσεις το x 4. Το δικό σου διάγραµµα µε σηµαίες θα πρέπει να είναι όπως αυτό της εικόνας. Έστω p ένας οποιοσδήποτε αριθµός. Με οποιαδήποτε τιµή και να ξεκινήσεις, η απάντηση θα είναι πάντα 0. Να προσθέσεις p + Να πολλαπλασιάσεις µε το 3 3(p + ) = 3p + 6 Να αφαιρέσεις 6 3p Να διαιρέσεις µε το 3 3p 3 = p Να αφαιρέσεις p 0 Εποµένως, ανεξάρτητα από τον αριθµό µε τον οποίο ξεκινάς, η απάντηση θα είναι πάντα µηδέν. 5. Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις. Να ελέγξεις το παιχνίδι σου χρησιµοποιώντας έναν ακέραιο, ένα κλάσµα, ένα δεκαδικό, έναν αρνητικό αριθµό και ένα γράµµα. 53

54 43 Περίµετρος δώδεκα εκατοστών Υπάρχουν 5 διαφορετικά σχήµατα, όλα µε περίµετρο εκ. Χρησιµοποιώντας 5 τετράγωνα: Χρησιµοποιώντας 6 τετράγωνα: Χρησιµοποιώντας 7 τετράγωνα: Χρησιµοποιώντας 8 τετράγωνα: Χρησιµοποιώντας 9 τετράγωνα: Υπάρχουν δύο σχήµατα που γίνονται από 8 τετράγωνα, τα οποία έχουν περίµετρο εκ. Υπάρχουν επτά σχήµατα που γίνονται από 6 τετράγωνα, τα οποία έχουν περίµετρο εκ. Το µεγαλύτερο σχήµα έχει 9 τετράγωνα. Τα µικρότερα σχήµατα έχουν 5 τετράγωνα. 47 εκάδες ένα παιχνίδι για δύο παίκτες Να σχηµατίσεις δύο σειρές µε άθροισµα 0, τοποθετώντας ένα πούλι. Π.χ. τοποθετώντας ένα οι δύο σειρές δίνουν άθροισµα 0 η καθεµιά. εδώ, 54

55 4 Σχήµατα µε τετράγωνα Τα 5 σχήµατα που ακολουθούν µπορούν να γίνουν µε 4 τετράγωνα το καθένα. Με 5 τετράγωνα µπορούν να γίνουν δώδεκα σχήµατα. Θα χρειασθεί να οργανώσεις προσεκτικά την εργασία σου για να τα βρεις όλα. Υπάρχουν πολύ περισσότερα σχήµατα που µπορεί να γίνουν µε 6 τετράγωνα. Για να οργανώσεις την εργασία σου, µπορείς να ξεκινήσεις µε 6 τετράγωνα σε ευθεία....µετά µε 5 τετράγωνα σε ευθεία και ένα ακόµα,.στη συνέχεια, µε 4 τετράγωνα σε ευθεία και ακόµα. Μπορείς να συνεχίσεις.. Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τα αποτελέσµατα. Αριθµός τετραγώνων που χρησιµοποιήθηκαν Αριθµός διαφορετικών σχηµάτων που δηµιουργήθηκαν ; 55

56 4 Ορθογώνια παραλληλόγραµµα µέσα σε κύκλους Είναι δυνατόν να σχεδιάσεις πολλά ορθογώνια σε έναν κύκλο χωρισµένο σε ίσα µέρη, αλλά υπάρχουν µόνο 3 διαφορετικά. Υπάρχουν µόνο 4 διαφορετικά ορθογώνια σε έναν κύκλο χωρισµένο σε 6 ίσα µέρη. 43 Προβλέψεις µε το κοµπιουτεράκι = = = = = = = = = = Μαντεύω το αποτέλεσµα της διαίρεσης. 64 :6 = : 8 = : 7 = : 9 = :5 = : 4 = : 9 = : 5 = : 6 = : 7 = : 3 = :4 = :0 = :7 = : 8 =7 56

57 45 Μια πλούσια θεία Ο πίνακας είναι ένας καλός τρόπος για να συγκρίνεις το ποσό των χρηµάτων που θα πάρεις κάθε χρόνο από κάθε περίπτωση/σχέδιο. Ένα λογιστικό φύλλο µπορεί να σε βοηθήσει να δηµιουργήσεις έναν πίνακα και στη συνέχεια να παρουσιάσεις σε διάγραµµα τα αποτελέσµατα. Το ακόλουθο λογιστικό φύλλο δείχνει το ποσό χρηµάτων που θα προκύψει σύµφωνα µε το σχέδιο (α) όταν η θεία Άρτεµις θα έχει φτάσει στην ηλικία των 80 χρόνων. Α Β Γ Σχέδιο (α) Ηλικία της θείας Ετήσιο ποσό Συνολικό ποσό Τι θα συµβεί, αν η θεία Άρτεµις ζήσει περισσότερο από 80 χρόνια; Όταν η θεία Άρτεµις φτάσει στην ηλικία των 8 χρόνων, θα συνεχίσεις να παίρνεις 00 ή θα πρέπει να της δώσεις 0.00 ; Το παρακάτω σχεδιάγραµµα παρουσιάζει τα συνολικά ποσά που κάθε σχέδιο θα αποδώσει, όταν η θεία Άρτεµις θα έχει φτάσει στην ηλικία των 80 χρόνων. Όταν η θεία είναι 80 χρονών Σχέδιο (δ) Συνολικό ποσό ( ) Σχέδιο (γ) Σχέδιο (β) Σχέδιο (α) Ηλικία της θείας 57

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Παρακάτω, παρουσιάζονται δύο τρόποι για να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, χρησιµοποιώντας µερικά από τα κοµµάτια τάνγκραµ.

1. Παρακάτω, παρουσιάζονται δύο τρόποι για να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, χρησιµοποιώντας µερικά από τα κοµµάτια τάνγκραµ. 0005 Τάνγκραµ. Παρακάτω, παρουσιάζονται δύο τρόποι για να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, χρησιµοποιώντας µερικά από τα κοµµάτια τάνγκραµ. 3. Τα µικρά τρίγωνα ταιριάζουν ακριβώς πάνω στο τετράγωνο, στο µεγάλο

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Περιεχόμενα Κεφάλαιο : Θυμάμαι ό,τι έμαθα από την Γ Τάξη... 5 Κεφάλαιο : Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 0.000... 8 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

1. 606 6 = 101 2. 45 3 = 42 3. 253 188 = 441. 321 + 123 234 + g 642 + g. g g g

1. 606 6 = 101 2. 45 3 = 42 3. 253 188 = 441. 321 + 123 234 + g 642 + g. g g g 1353 Σύνολα αντικειµένων 1. Πόσα χέρια; 2. Πόσα δάχτυλα; 3. Όλες οι καραµέλες είναι 30. Πόσες έχει το κάθε πακέτο; 1356 Πόσο κοστίζουν; 1. Πόσο κάνουν οι 4 καραµέλες όταν η µία καραµέλα κοστίζει 11 λεπτά;

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:Ε Ονοματεπώνυμο:.. Σχολείο: Το ημερολόγιο Ο Πέτρος ζήτησε από το φίλο του Χρήστο να διαλέξει 4 αριθμούς από το διπλανό ημερολόγιο που να σχηματίζουν τετράγωνο (για

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

1. 0,4375 2. α) 0,23 β) 0,263. 1. α) 82 β) 2,01. β) 2 + 2 = 4 γ) 5 + 3 = 8 δ) 3 + 2 = 5. α) 7 + 3 = 10 γ) 5 + 4 =

1. 0,4375 2. α) 0,23 β) 0,263. 1. α) 82 β) 2,01. β) 2 + 2 = 4 γ) 5 + 3 = 8 δ) 3 + 2 = 5. α) 7 + 3 = 10 γ) 5 + 4 = 1316 Μοιράζοντας 1. 0,4375 2. α) 0,23 β) 0,263 1317 Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε το έκα 1. α) 82 β) 2,01 2. Οι αριθµοί µετακινούνται κατά µία θέση προς τα αριστερά. Οι αριθµοί µετακινούνται κατά

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Περί Γνώσεως Φροντιστήριο Μ.Ε. Φυσική Α Γυμνασίου. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Μήκους - Μάζας Χρόνου.

Περί Γνώσεως Φροντιστήριο Μ.Ε. Φυσική Α Γυμνασίου. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Μήκους - Μάζας Χρόνου. 10 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ > ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Μήκους - Μάζας Χρόνου. Επιμέλεια ύλης και απαντήσεων: Γ.Φ.Σ ι ώ ρ η ς Φυσικός.- Email: georgesioris@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357-22378101 Φαξ: 357-22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες 1 Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων 1. Η αγαπημένη γεύση παγωτού των παιδιών Γεύση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ Εκτίμηση και μέτρηση Μ1.1 Συγκρίνουν και σειροθετούν αντικείμενα με βάση το ύψος, το μήκος,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Σελίδα 3 από 21

Περιεχόμενα. Σελίδα 3 από 21 Σελίδα 1 από 21 Σελίδα 2 από 21 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Χρήσεις του υπολογιστή... 4 Κεφάλαιο 2 Βασικά τμήματα υπολογιστή... 6 Κεφάλαιο 3 - Ασφάλεια... 9 Κεφάλαιο 4 - Ποντίκι... 11 Κεφάλαιο 5 - Πληκτρολόγιο...

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά που χρειαζόμαστε

Υλικά που χρειαζόμαστε Θέρμανση νερού σε ηλιακό συλλέκτη και κατασκευή ενός ηλιακού θερμοσίφωνα Η Ελλάδα έχει περίπου το 1/4 των ηλιακών θερμοσιφώνων από τις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Αυτό το διαπιστώνουμε εύκολα αν κοιτάξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού) Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Η γάτα θέλει να πάει στο γάλα και το ποντίκι στο τυρί, ακολουθώντας τους δρόµους του κήπου. Οι διαδροµές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ P Α 24 80 Β 35 64 Γ 45 50 Δ 55 36 Ε 60 29 Ζ 70 14 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΝΤΑΞΗ ΤΣΙΓΓΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΝΤΑΞΗ ΤΣΙΓΓΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΝΤΑΞΗ ΤΣΙΓΓΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» ΒΟΛΟΣ 2007 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ; Α. 8 7 > 7 6 Β. 8 5 < 6 7 Γ. 7 0 < 8 8 Δ. 1 7 > 1 8 Ε. 60 7 > 60 8 2. Ο αδύναμος κρίκος μιας αλυσίδας είναι ο 7 ος από την αρχή της και ο 11 ος από

Διαβάστε περισσότερα