Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet

Transcript

1 X. GIMNAZIJA Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet Pripremila Vesna Skočir

2 PREDGOVOR Zbirka sadrži zadatke koji su se zadnjih nekoliko godina pojavljivali na razredbenim ispitima Ekonomskog fakulteta. Namijenjena je polaznicima instruktivnog seminara koji će se od siječnja do srpnja održavati u X. gimnaziji. Zadaci su razvrstani metodički po cjelinama, pri čemu se posebno pazilo na: o postupnost: od lakših zadataka ka težim, te da se ranije naučeno ponovi u novim kombinacijama; o cjelovitost, tj. da se obuhvate svi karakteristični tipovi zadataka. Smatram da je to najveća prednost ove zbirke i zato preporučujem rješavanje zadataka prema predloženom redoslijedu. I na kraju, nekoliko savjeta: o Zadatak treba razumjeti, tj. mora biti moguće odgovoriti na pitanja: što je zadano, što je nepoznato, a zatim vidjeti na koji način su povezani ti poznati i nepoznati faktori. o Rješenje se ne smije pogađati, ali ponekad je dobro odstupiti od "uobičajenog" načina rješavanja zadataka. Dobrom skicom, trikom ili eliminacijom sigurno krivih rješenja možda je moguće brže doći do rješenja. o Na razredbenom ispitu zadatke treba rješavati brzo i teško da bi se mogla preporučiti kontrola svakog dobivenog rješenja. Ipak, u nekim slučajevima dobro je napraviti brzu provjeru pojedinih koraka. Nadam se da će ova zbirka pripomoći polaznicima seminara da s više sigurnosti i uspješnosti pristupe razredbenom ispitu. Vesna Skočir

3 Sadržaj ALGEBRA Izrazi s cijelim, racionalnim i realnim brojevima 5 Izračunavanje izraza 5 Racionalizacija nazivnika 7 Pojednostavljivanje izraza 8 Funkcije 0 Određivanje vrijednosti funkcije 0 Određivanje kodomene 0 Kompozicija funkcija 0 Inverzna funkcija 0 Ekstrem kvadratne funkcije Polinomi Dijeljenje polinoma Izračunavanje ostatka Nultočke nekih polinoma Eksponencijalna i logaritamska funkcija Izračunavanje izraza Primjena logaritama 6 Jednadžbe 6 Kvadratne jednadžbe: diskusija diskriminante 6 Vieteove formule 7 različiti zadaci 7 Bikvadratne jednadžbe 8 Eksponencijalne jednadžbe 8 Logaritamske jednadžbe 0 Iracionalne jednadžbe Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima Rješavanje sustava jednadžbi Nejednadžbe Kvadratne nejednadžbe Nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima 5 Eksponencijalne i logaritamske nejednadžbe 5 Rješavanje sustava nejednadžbi: određivanje domene funkcije 6 određivanje vrijednosti kvadratne funkcije 7 Omjeri 8 Problemski zadaci 8 Primjena omjera 8 Problemi iz odnosa brojeva Račun smjese Određivanje vremena zajedničkog rada Problemi kretanja Kompleksni brojevi 5 GEOMETRIJA RAVNINE 7 Kvadrat 7 Romb i četverokuti s okomitim dijagonalama 8 Str.

4 Trapez 8 Pravokutni trokut 8 Ostali trokuti 9 N-terokut 0 Krug 0 GEOMETRIJA PROSTORA Kocka i kvadar Prizma Piramida Valjak Stožac Kugla Rotacija 5 ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNINI 5 Udaljenost točaka 5 Pravac 5 Kružnica 7 Elipsa 9 Hiperbola 9 KOMBINATORIKA 50 Teorem o uzastopnom prebrojavanju 50 Permutacije 5 Varijacije 5 Kombinacije 5 VJEROJATNOST 5 KAMATNI RAČUN 56 RJEŠENJA 58

5 IZRAZI S CIJELIM, RACIONALNIM I REALNIM BROJEVIMA IZRAČUNAVANJE IZRAZA. Izračunajte:. /. /. 7/. /7 + 7 : Izračunajte:. -/. /. -/. / : Izračunajte: /. /. /. Izračunajte vrijednost izraza 7{ 7[ 7( 7 5) ] 600} a za a = /7. 5. Odredite vrijednost izraza a + b a a b + a b ab + b za a = i b = /. / 5

6 6. Ako je + =, tada + iznosi a b a b 7. Ako je + =, tada + iznosi b a b a Ako je.... a = b b b b b, tada je a jednako 9. Svedite na jedan korijen Izračunajte: : Izračunajte:

7 . 7 + iznosi RACIONALIZACIJA NAZIVNIKA 0. Racionalizirajte nazivnik razlomka Racionalizirajte nazivnik razlomka Racionalizirajte nazivnik razlomka Racionalizirajte nazivnik u izrazu

8 7. Racionalizirajte nazivnik u izrazu Racionalizirajte nazivnik razlomka , >0,. POJEDNOSTAVLJIVANJE IZRAZA 9. Pojednostavite izraz a + a 0. Reducirajte izraz : + +. a a 8 a. a +. ( a + ). a. ( a ) a. Pojednostavite izraz ( a b )( a c ) ( b c )( b a ) ( c a)( c b). 0.. abc. a+b+c + b + c. 8

9 ( + ) ( + ) +. Reducirajte izraz ( ) + ( ) ( ).. Reducirajte izraz ( ) ( ) Pojednostavite izraz Pojednostavite izraz

10 . Ako je f + = +... ( ). ( ). Kodomena funkcije f ( ). [.5, +. [.5, +..5, +. R. Za funkciju FUNKCIJE ODREĐIVANJE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE ( ) = +, tada je f ( ) jednako ODREĐIVANJE KODOMENE = je KOMPOZICIJA FUNKCIJA f odredite ( f ( ) ) f.. Ako je f ( ) = 9 i g( ) =, tada je ( g)( ). ( ). 0 ( 0 ). ( ). ( ) 5. Inverzna funkcija funkcije ( ). f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f o jednako INVERZNA FUNKCIJA f = je 0

11 6. Inverzna funkcija funkcije f ( ) log ( ). f ( ) =. f ( ) =. f ( ) =. f ( ) = = je f 6 + je 7. Inverzna funkcija funkcije ( ) = log( 00 ). 6 f ( ) = 0. f 6 ( ) = 0. f ( ) = 0. f ( ) = 0 8. Ako je f ( + ) = +, tada ( 0) f iznosi 9. Funkcija ( ) = a EKSTREM KVADRATNE FUNKCIJE f ima maksimum jednak 5. Apscisa maksimuma je 0. Ako proizvodimo komada nekog proizvoda ostvarujemo novčani prihod P ( ) = Koliki najveći prihod možemo ostvariti u proizvodnji tog proizvoda?

12 POLINOMI DIJELJENJE POLINOMA. Polinom P ( ) = podijelite polinomom Q ( ) =. Q.. Polinom P ( ) = podijelite polinomom ( ) = Q.. Polinom P ( ) = + podijelite polinomom ( ) = Ako je polinom P ( ) = + b djeljiv polinomom Q ( ) = + skupu. [, ]. [ 0,]. [,].,, tada b pripada 5. Ako je polinom P ( ) = + a + + b djeljiv polinomom ( ) Q = + je a b jednako IZRAČUNAVANJE OSTATKA 6. Ostatak dijeljenja polinoma P( ) R ( ) = je = polinomom, tada

13 7. Ako je polinom P ( ) = + a + b + c jednako djeljiv polinomom Q ( ) = ( ), tada je a+b+c 5 8. Ako je polinom P ( ) = + a + b djeljiv polinomom Q ( ) + jednako =, tada je a+b 9. = je nul-točka polinoma ( ) =. nije nul-točka... NULTOČKE NEKIH POLINOMA P kratnosti 0. = je nul-točka polinoma ( ) = +. nije nul-točka... P kratnosti EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA IZRAČUNAVANJE IZRAZA (EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA). Izračunajte za R za koje je izraz definiran,

14 6. Izračunajte za R za koje je izraz definiran, Izračunajte za R za koje je izraz definiran, ( ) Izračunajte za R za koje je izraz definiran, ( ) + +. ( ) Izračunajte za R za koje je izraz definiran, ( ) ( ). 0.5( + ) 6. Izračunajte za ( ), + + ( + ) + +.

15 IZRAČUNAVANJE IZRAZA (LOGARITAMSKA FUNKCIJA) 7. Izračunajte log log Izračunajte log + log Izračunajte log log Izračunajte ( log 656 ) ( log 0 ) Ako je 5 = a a : a, tada log a iznosi: Izračunajte log + log + L + log + log /. -. -/. 6. 5

16 00. Koliko znamenaka ima broj00? Koliko znamenaka ima broj PRIMJENA LOGARITAMA? JEDNADŽBE KVADRATNE JEDNADŽBE: DISKUSIJA DISKRIMINANTE. Za koji realni k jednadžba + k + k = 0 nema realnih rješenja?. k < 0. k > 0. 0 < k <. < k < 0 jedna nul-točka polinoma P ( ) =. Ako je = ne postoji više nul-točaka. Odredite sve parametre R. t,. t =. t,. ne postoji takav t R. Odredite sve parametre R apscisa u jednoj točki.. t =. t =. t =. ne postoji takav t R 5. Odredite sve parametre R nul-točke. t takve da polinom ( ) = t + +, zbroj preostalih nul-točaka jednak je: f ima jednu nul-točku. t takve da polinom ( ) = ( t + ) + t + t f dodiruje os k takve da polinom ( ) = ( k ) + k f ima dvije 6

17 .. k k,, 7 7. k,. ne postoji takav k R KVADRATNE JEDNADŽBE: VIETEOVE FORMULE 6. Napišite kvadratnu jednadžbu čija su rješenja jednaka recipročnim rješenjima jednadžbe + + = = = = = 0 KVADRATNE JEDNADŽBE: RAZLIČITI ZADACI a + a 7. Ako je a 0 zadani parametar, tada jednadžba + =. ima pozitivno rješenje. ima negativno rješenje. ima rješenje jednako nuli. nema rješenja 8. Ako je > 0 a i ( a ) = 0. 0, , , ,. + a a, tada broj a pripada intervalu 9. Koliki je zbroj svih rješenja jednadžbe + = ? 7

18 0. Rješenje jednadžbe: pozitivno +. negativno. nula. ne postoji = je BIKVADRATNE JEDNADŽBE. Jednadžba 6 = 0 ima. rješenje. realna i konjugirano-kompleksna rješenja. različita realna rješenja. nema rješenja. Umnožak svih realnih rješenja jednadžbe = 0 iznosi Koliko različitih realnih rješenja ima jednadžba = 0? EKSPONENCIJALNE JEDNADŽBE. Realno rješenje jednadžbe.,. [, 6. [ 6, 8. [ 8, + 8 = pripada skupu 5. Rješenje jednadžbe: = 0. / je 8

19 + 6. Kojem intervalu pripada rješenje jednadžbe 8 = , ,.,. 5..5, 5 7. Rješenje jednadžbe: = 0 je sljedeći dvočlani skup. {, }. {, 7}. {, }. {, 7}? 8. Realno rješenje jednadžbe.,. [,. [, 0]. 0, = pripada skupu 9. Ako je =. { 8, 7, 6, 5}. {,,, }. {,,, }. { 5,6,7, 8} 7 tada pripada skupu 0. Rješenje jednadžbe 9 + = 8 6 pripada skupu. { 8, 7, 6, 5}. {,,, }. {,,, }. { 5,6,7, 8}. Zbroj realnih rješenja jednadžbe = 0.,. [,. [,0. [ 0,+ + pripada skupu 9

20 LOGARITAMSKE JEDNADŽBE. Rješenje jednadžbe log = je +. Rješenje logaritamske jednadžbe log 9 = je broj. Jednadžba log( ) = 000 u skupu realnih brojeva. nema rješenja. ima jedno pozitivno rješenje. ima jedno negativno rješenje. ima jedno pozitivno i jedno negativno rješenje 5. Zbroj realnih rješenja jednadžbe log + = iznosi Rješenje jednadžbe log log( 0. ). = 0. = 00. = 000. = 0000 log 6 = je 7. Koliki je zbroj svih rješenja jednadžbe log log( ) log( 00 ) = ? 0

21 log log 8. Rješenje logaritamske jednadžbe + = log + log je sljedeći realan broj 9. Rješenje jednadžbe + = pripada intervalu log log. 0, 5. 5, 0. 0,5. 5, Umnožak svih rješenja jednadžbe log log 0.5 = log 8 iznosi IRACIONALNE JEDNADŽBE. Jednadžba: = 5 ima u skupu N. rješenje. rješenja. rješenja. ne postoji rješenje na skupu N. Rješenje jednadžbe + + = pripada intervalu. 0,.,.,., JEDNADŽBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA. Jednadžba + 5 = 0 ima na skupu Z. rješenja. rješenja. rješenje. nema rješenja

22 iznosi. Zbroj rješenja jednadžbe ( ) = Umnožak svih rješenja jednadžbe + = iznosi 6. Jednadžba + + = u skupu realnih brojeva ima. dva različita pozitivna rješenja. dva različita negativna rješenja. jedno pozitivno i jedno negativno rješenje. nema rješenja 7. Rješenje jednadžbe = pripada skupu. Φ. 0,.,., 0 RJEŠAVANJE SUSTAVA JEDNADŽBI 8. Razlika brojeva i y koji zadovoljavaju sustav jednadžbi + y =, + y = jednaka je. 0...

23 9. Zbroj uređenih parova ( y) jednak je. ( 0,0). (,). (, ). (,0), koji zadovoljavaju sustav jednadžbi y = 0, + y = Riješite sustav jednadžbi:. {(,), (, )}. {(,), (, )}. {(,5), ( 5, )}. {(,), (, )} 5 5 y + 5 = 5 y = 50.. Riješite sustav jednadžbi:. {(,),(, )}. {(,), (, )}. {(, ),(, )} 9. sustav nema rješenja y y = = Rješenje sustava eksponencijalnih jednadžbi realnih brojeva.,.,. (,),. ( ) = y = y 5 y+ je sljedeći uređeni par. Umnožak brojeva i y koji zadovoljavaju sustav jednadžbi: y + = 68 y = 89 jednak je

24 . Rješenje nejednadžbe: je. [,5]. R. [,5].. Rješenje nejednadžbe + 0 je.,. [ ].,., NEJEDNADŽBE KVADRATNE NEJEDNADŽBE. Skup svih realnih rješenja nejednadžbe > 0., 0,, +., 0, +., 0.,,0 0, jednak je. Skup svih rješenja nejednadžbe > ( )( ) ( )( ).,. [,]. R \,. R \[,] 8 je 5. Skup svih rješenja nejednadžbe je. [,9]. [ 0,]. [,]. [ 0,]

25 NEJEDNADŽBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA 6. Koliko negativnih cjelobrojnih rješenja ima nejednadžba 7 < 00?. nijedno beskonačno mnogo 7. Koliko različitih rješenja na skupu N ima nejednadžba.... +? 8. Skup svih rješenja nejednadžbe > + je.,., 0. 0, +., + 9. Skup svih rješenja nejednadžbe + > je.,.,., +., 0. Skup svih rješenja nejednadžbe. 0,.,., 0., EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE NEJEDNADŽBE 0 + < 000. Skup svih rješenja nejednadžbe ( + ).,.,., +., + je log 9 < je 5

26 . Koliko rješenja u skupu N ima nejednadžba log < 0.0? RJEŠAVANJE SUSTAVA NEJEDNADŽBI : ODREĐIVANJE DOMENE FUNKCIJE. Domena funkcije 5 ( ) = [,]. {, }.,. R f je. Domena funkcije f ( ) 5., ] U [ 0,5]. 0] [ 5, +, U. [,0] [ 5,+., 5] U [,0] U = je 5. Područje definicije funkcije f ( )., +.,. [ 0, +. [ 0, = 6. Područje definicije funkcije ( ) = log ( ). [ 9, +. [, +. [ 0,9]. [,9] je f je 6

27 7. Odredite sve parametre R pozitivne vrijednosti za R. 5. t, t, U, +. t, +. ne postoji takav t R 8. Odredite sve parametre R samo negativne vrijednosti.. ne postoji takav k R. k =. k =. k = RJEŠAVANJE SUSTAVA NEJEDNADŽBI : ODREĐIVANJE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE t takve da polinom ( ) = ( t ) + t f poprima k takve da polinom ( ) = ( k + ) + k + k f poprima 7

28 . Ako je ( + b) : ( b + a) = : 5. 5 :. :. :. 5 : OMJERI a, tada ( b a ): ( b a ) + iznosi. Ako je : y : z = : :, tada je (+y) : (y+z) : (z+) jednako. 5 : 6 : 7. 5 : 7 : 6. : 6 : 8. : 8 : 6. Ako je A : B = :, A : C = : 7 i A+B+C = 55, tada je A+B jednako. Koliko postotaka iznosi + + od + + +? 9 9. %. 0%. 75%. 90% PROBLEMSKI ZADACI PRIMJENA OMJERA. Osobe A, B i C dijele 8000,00 kn u omjerima: A : B = : i A : C = : 5. Koliko pripada osobi A?. 600,00 kn. 800,00 kn. 500,00 kn. 700,00 kn. Iznos od 600 kuna treba razdijeliti na n osoba tako da svaka dobije isti iznos. Da su dvije osobe više svaka bi dobila 90 kn manje. Broj osoba n pripada skupu. {,, 5}. {6, 7, 8}. {9, 0, }. {,, } 8

29 . Tri osobe zajedno uplaćuju LOTO. Osoba A uplatila je 00,00 kn, osoba B 600,00 kn te osoba C 500,00 kn. Zajednički dobitak je ,00 kn. Koliko pripada osobi B? ,00 kn ,00 kn ,00 kn ,00 kn. Ako 5 eura vrijedi 85 kuna, a 5 dolara 7 kuna, koliko eura vrijedi 7 dolara? U jednoj se mjenjačnici može kupiti CHF (švicarski franak) za 5.0 HRK (hrvatskih kuna), odnosno EUR (euro) za HRK (hrvatskih kuna). Koliko se švicarskih franaka može u toj mjenjačnici kupiti za 8000 eura? CHF = 8000 EUR CHF = 8000 EUR CHF = 8000 EUR CHF = 8000 EUR 6. Ako otapanjem 5 l leda nastane 0 l vode, koliko litara leda nastane smrzavanjem 7 l vode? Ako kg robe A stoji jednako kao i 5 kg robe B, 0 kg robe B stoji kao l robe C, a 0 l robe C stoji 5 kn, koliko stoji kg robe A?..50 kn kn kn kn 8. Zarade radnika A i B odnose se kao :. Ako zaradu radnika A povećamo, a radnika B smanjimo za isti postotak, imat će jednake zarade. Koji je to postotak?. 5%. 0%. 5%. 0% 9. U 000. je godini broj noćenja u hotelu Park bio 5 0, a u 00. godini, Izrazite to povećanje u postocima.. 0%. 5%. 0%. 5% 9

30 0. Znamo da je 0% broja A za veće od 0% broja B i da je 60% broja A za manje od 50% broja B. Koliki je broj B? Prodajna cijena automobila je 000,00. Razlika u cijeni je 5% nabavne cijene. Nabavna cijena je:. 8000, , , ,00. Kad bi proizvod A poskupio za 5% bio bi još uvijek za 5% jeftiniji od proizvoda B. Za koliko bi trebao pojeftiniti B pa da ima istu cijenu kao A?. za 0%. za 0%. za 50%. za 60%. Među pristupnicima razredbenom ispitu na jednom našem fakultetu bilo je 68 odlikaša, što je % od broja svih pristupnika razredbenom ispitu na tom fakultetu. Ukupan broj pristupnika razredbenom ispitu na tom fakultetu je između. 000 i i i i 000. U cisterni se nalazi 8.75 tona benzina što iznosi 75% njezina kapaciteta. Koliko bi tona benzina trebalo uliti da cisterna bude puna?..5 t..5 t. 5.5 t. 6.5 t 5. Maloprodajna cijena jednog kilograma kave mijenjala se u određenoj godini na sljedeći način: najprije se cijena povećala 5%, zatim se smanjila za 5% i konačno smanjila za još 5% u odnosu na prethodnu maloprodajnu cijenu i sada iznosi 0 kn za kg. Ukupno smanjenje cijene u toj godini bilo je približno:. 8 kn.. kn. 0 kn. 6. kn 6. Ako cijenu robe A povećamo za 5%, a cijenu robe B snizimo za 5%, te se cijene izjednače. Koliki je postotak cijene robe B činila cijena robe A prije navedenih promjena?. 60%. 6%. 65%. 68% 0

31 7. Cijena automobila povećana je za 5%, a nakon toga smanjena za 5% i sada iznosi 0000,00. Prije navedenih promjena cijena je bila. 0000,00. između 0000,00 i 000,00. manje od 0000,00. više od 00,00 8. U nekom je mjestu prosječna ljetna temperatura za.5% veća od prosječne zimske temperature. Kolika je prosječna zimska temperatura tog mjesta ako prosječna ljetna iznosi.5 C?. 7.8 C. 7.6 C. 7. C. 7. C 9. U jednoj obitelji svaki sin ima dva puta više braće nego sestara, a svaka kći pet puta više braće nego sestara. Ukupan broj djece (sinova i kćeri) u toj je obitelji jednak: PROBLEMI IZ ODNOSA BROJEVA 0. Zbroj znamenaka dvoznamenkastog broja iznosi 7. Ako znamenke zamijene svoja mjesta, broj se uveća za 7. Taj broj pripada skupu. [5,0]. [,]. [5,0]. [,80]. Kojim brojem treba podijeliti broj 66 da se dobije i ostatak? Zbroj šestine i dvanaestine nekoga broja za 0 je manji od trećine toga broja. Petina toga broja je

32 . Koji broj treba dodati i brojniku i nazivniku razlomka 9 da se dobije 9 5? Zbroj dvaju brojeva jednak je 0, a razlika njihovih kvadrata 0. Razlika tih brojeva jednaka je Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih brojeva iznosi 6. Suma tih brojeva je broj Kad bi na razredbenom ispitu na Ekonomskom fakultetu Zagreb za svaki točno riješen zadatak iz predmeta Matematika pristupnik dobio boda, a za svaki netočan odgovor izgubio bod, tada bi, uz pretpostavku da je pristupnik riješio svih 0 zadataka i time sakupio 5 bodova, broj točnih odgovora toga pristupnika bio RAČUN SMJESE 7. Svježe voće sadrži 80% vode, a sušeno 5%. Koliko svježeg voća treba da bi dobili 00 kg sušenog?. 00 kg. 5 kg. 50 kg. 75 kg 8. Ako u 500 kg rastaljenog metala temperature 50 C ubacimo kg metala sobne temperature 9 C, za koliko će se smanjiti temperatura taljevine?. za C. za 0.8 C. za 0.5 C. za 0. C

33 9. U kojem omjeru treba miješati vruću vodu temperature 97 C i hladnu temperature C da dobijemo vodu za kupanje temperature 7 C?. : : 7. 5 :. 7 : 0 ODREĐIVANJE VREMENA ZAJEDNIČKOG RADA 0. Neki posao 0 radnika obavi za dana. Koliko je radnika potrebno da isti posao bude završen u 8 dana? Ako neki posao Pero napravi za 8 sati, a Tomo za sati, za koje će vrijeme taj posao napraviti zajedno?. 5 sati i minute. 5 sati i 0 minuta. sata i 8 minuta. sata i 0 minuta. 0 osoba zalijepi etiketa na određene proizvode za 9 dana. Koliko je osoba potrebno da se zalijepi etiketa za 5 dana? radnika bere trešnje na 5000 stabala 0 dana radeći 0 sati dnevno. Koliko bi dana trebalo brati trešnje na 8000 stabala 500 radnika radeći po 8 sati dnevno?. dana. 8 dana. dana. 6 dana. radnika za 5 dana, radeći 8 sati dnevno, oliči fasade novoga bloka zgrada površine 0 m. Koliko bi sati dnevno trebala raditi ista ekipa da za 5 dana oliči fasade ukupne površine 0m?. manje od 8 sati dnevno. između 8 i 9 sati dnevno. između 9 i 9.5 sati dnevno. više od 9.5 sati dnevno 5. Neki posao radnika može napraviti za 5 dana. Koliko će ukupno trajati posao ako su nakon 0 dana rada posao napustila radnika?. 8 dana. 9 dana. 0 dana. dan

34 6. Na nekom su poslu radila tri djelatnika, y i z, te ostvarila zaradu od 5 90 kn. Koliki će dio zarade dobiti djelatnik y ako je djelatnik izostao s posla 8 sati, djelatnik y sati, a djelatnik z 5 sati?. 00 kn. 00 kn. 00 kn. 00 kn 7. Cijev A napunila bi bazen za sat, cijev B za sata, cijev C za sata i cijev D za sata. Ako istodobno otvorimo sve četiri cijevi, bazen će se napuniti za. pola sata. manje od pola sata. jedan sat. dva i pol sata 8. Za vrijeme velike prometne gužve na graničnom je prijelazu kroz 6 ulaza tokom sata propušteno 000 vozila. Za koliko će vremena biti propušteno sljedećih 550 vozila ako se otvori još jedan ulaz?. sata. 5 sati. 6 sati. 7 sati PROBLEMI KRETANJA 9. Brzi vlak prijeđe udaljenost između gradova A i B za sata, a nagibni vlak za.5 sata. Ako je prosječna brzina nagibnoga vlaka za 50 km/h veća od prosječne brzine brzoga vlaka, udaljenost gradova A i B je. manja od 00 km. između 0 i 5 km. između 6 i 50 km. između 5 i 75 km 0. Ako bi putnički vlak od mjesta M do mjesta N vozio prosječnom brzinom 50 km/h kasnio bi minute dok bi prosječnom brzinom 80km/h stigao 0 minuta ranije od predviđenog vremena po redu vožnje. Kolika je međusobna udaljenost mjesta M i N?. 0 km. 0 km. 0 km. 50 km

35 KOMPLEKSNI BROJEVI. Odredite parametre a, b R takve da su brojevi z = a b + ai i z = a + b ai, gdje je i =, konjugirano kompleksni.. a, b R. a R, b= 0. a = 0, b R. ne postoje takvi a, b R a + i. Ako je z =, za koju realnu vrijednost parametra a vrijedi Im(z) =? a i Odredite cijele brojeve n za koje je i n- =, gdje je i =, imaginarna jedinica.. n = + k, k Z. n = + k, k Z. n = k+, k Z. n = +k, k Z. Izračunajte: i + i.. i. -i. +i. -+i 00 + i 5. Izračunajte: i.. -. i. - i i. 6. i i i i i i i i =?.. -. i. -i 7. Izračunajte:.. -. i. -i i 99 + i 00 5

36 8. Izračunajte: ( + i) Izračunajte: i + 0 i.. -. i. -i 0. Realni dio kompleksnog broja ( ) i iznosi. Ako je z = + + i tada i. i 5. Ako je z = ( + i ) ( i) i tada z iznosi. Odredite z iz jednadžbe ( ). z = -- i. z = -+ i. z = - i. z = + i ( i) 6 z iznosi z i z + + 6i = 0. n+ n. Odredite cijele brojeve n za koje je ( + ) + ( i) = 0 jedinica.. n = k, k Z. n = k+, k Z. n = k, k Z. n = +k, k Z i, gdje je i =, imaginarna 6

37 5. Odredite parametar a R takav da je. a R. a = 8 + i a =, gdje je i =.. a =. ne postoji takav a R GEOMETRIJA RAVNINE KVADRAT. Ako se stranice kvadrata odnose kao :, njihove se površine odnose kao. :. : 9. 8 : 7. 6 : 8. Za koliko postotaka treba povećati stranicu kvadrata a = 0 cm, da bi se njegova površina povećala za 5%?. 5%. 50%. 75%. 00%. Građevinsko zemljište oblika kvadrata površine 0 m treba ograditi žičanom ogradom sa tri strane (jedna strana zemljišta se ne ograđuje). Ograda se učvršćuje na stupove. Koliko treba stupova ako je razmak između susjednih stupova m? ROMB I ČETVEROKUTI S OKOMITIM DIJAGONALAMA. Omjer dijagonala romba je :, a opseg 0 cm. Površina tog romba je. 0 cm. cm. 8 cm. cm 5. Površine dvaju sličnih rombova su cm i 00 cm, a opseg većeg je 0 cm. Stranica manjega romba iznosi. cm. cm. cm. cm 7

38 6. Povećamo li jednu dijagonalu četverokuta s okomitim dijagonalama za 0%, a drugu smanjimo za 0%, površina toga lika će. ostati ista. povećat će se za 0%. smanjit će se za 0%. smanjit će se za % TRAPEZ 7. Kolika je površina jednakokračnog trapeza čije su osnovice 6 dm i dm, a krak zatvara s većom osnovicom kut od 60?. dm. 6 dm. 8 dm. 0 dm 8. Površina trapeza s osnovicama i 0 te krakovima 5 i iznosi PRAVOKUTNI TROKUT 9. Površina trokuta kojemu su duljine stranica, i 5 iznosi Kateta a odnosi se prema hipotenuzi c pravokutnoga trokuta kao : 5. Opseg toga trokuta je 8 cm. Površina trokuta iznosi. 96 cm. 00 cm. 0 cm. 9 cm. Kateta a pravokutnoga trokuta duga je 7 cm, a hipotenuza c 5 cm. Visina njemu sličnoga 56 trokuta iznosi cm. Duljina hipotenuze toga drugoga trokuta je 5. 5 cm. 6.5 cm. 5 cm..5 cm 8

39 . Ako je polumjer kružnice opisane istokračnom pravokutnom trokutu za cm veći od polumjera njemu upisane kružnice, tada kateta tog trokuta iznosi. 8 cm. + cm. cm. cm OSTALI TROKUTI. Kutovi u trokutu odnose se kao ::. Najveći od ta tri kuta je. 75. veći od 75, a manji od veći od 90. Za koliko posto je površina istostraničnom trokutu opisanog kruga veća od površine njemu upisanog kruga?. za 00%. za 00%. za 00%. za 00% 5. Jednakokračnom trokutu osnovice i kraka 0 opisana je i upisana kružnica. Udaljenost središta tih kružnica iznosi Duljine stranica trokuta su 9 cm,, cm i cm, a najmanja stranica sličnoga trokuta je cm. Najveća stranica sličnoga trokuta duga je. 8 cm. cm. 8 cm. cm 7. Ukupna površina dvaju sličnih trokuta je 60 cm. Ako im se opsezi odnose kao :, tada je površina manjeg trokuta. 0 cm. 6 cm. 80 cm. 0 cm 8. Trokut ABC sličan je trokutu A B C. Površine tih trokuta odnose se kao : 9. Opseg manjega trokuta je 750 cm. Opseg većega trokuta je. 5 cm. cm. cm. cm 9

40 9. Površine dvaju sličnih trokuta su P = 56 cm i P = 576 cm, dok je opseg manjega trokuta 60 cm. Opseg većega trokuta je. 75 cm. 90 cm. 05 cm. 5 cm N-TEROKUT 0. Ako je površina pravilnog šesterokuta tada je njegov opseg..... Površina pravilnog osmerokuta stranice a = iznosi..... Ako se unutarnji kutovi peterokuta odnose kao : 5 : : : 6, tada zbroj najvećeg i najmanjeg kuta u tom peterokutu iznosi KRUG. Ako se polumjeri dvaju krugova odnose kao :, opsezi tih krugova odnose se kao. :. :. :. : 5 0

41 GEOMETRIJA PROSTORA KOCKA I KVADAR. Za koliko centimetara treba povećati duljinu brida kocke a = 5cm da bi se njeno oplošje povećalo za 56%?. cm. cm. cm. cm. Ako dijagonalu kocke smanjimo za 0%, oplošje kocke će se smanjiti za. 9%. 0%. %. %. Oplošja dviju kocki odnose se kao :. Ako je volumen manje kocke kocke iznosi. 6 cm. cm. cm. cm. Ako se svaki od bridova kvadra uveća za 0%, volumen kvadra će se uvećati za. 0%..%. 00%. 000% 8cm tada brid veće 5. Duljine bridova kvadra međusobno se odnose kao 5 : 6 :, a njegov obujam iznosi 880 cm. Oplošje tog kvadra jednako je cm 00 cm 0 cm 08 cm 6. Bazen oblika kvadra, duljine 6.5 m, širine.5 m i visine. m, napunjen je vodom do dvije trećine svoje visine. Da bi se taj bazen napunio do vrha, potrebno je u njega uliti..5 hl vode..5 hl vode..5 hl vode. 5 hl vode

42 PRIZMA 7. Baza uspravne trostrane prizme je trokut sa stranicama 7, 5 i 8, a visina prizme je 0. Oplošje te prizme iznosi Rezervoar za naftu ima oblik pravilne šesterostrane prizme osnovnog brida m. Do koje visine je napunjen ako u njemu ima litara nafte?. m. m. 5 m. 6 m 9. Ako je volumen tetraedra. m. m. m. m PIRAMIDA 9 m, tada mu je visina 0. Koliki je volumen pravilne četverostrane piramide brida 6 dm ako su joj svi bridovi iste duljine?. 6 dm... 7 dm 08 dm 6 dm. Za koliko će se postotaka povećati obujam pravilne, uspravne, četverostrane piramide čija je osnovka kvadrat, ako se stranica osnovke a=5 cm poveća za cm, a visina v= cm poveća za cm?. 0%. 0%. 0%. 50%. Ako piramidi volumena 000 m i visine 0 m odsiječemo vrh paralelno s bazom na 9 m visine od baze, tada preostali dio piramide ima volumen. 900 m m 990 m 999 m

43 VALJAK. Polumjer valjka smanji se za 0%. Obujam se tog valjka smanji za. 0%. 6%. %. 8%. Ako je visina valjka jednaka promjeru osnovke, tada je omjer površina njegove osnovke i plašta jednak. :. :. :. :5 5. U bačvi se nalazi 88 litara crnog vina što je 90% njezina kapaciteta. Koliko bi litara crnog vina trebalo uliti u bačvu da bi ona bila puna?. l. l. 6 l. 8 l 6. Komad leda volumena dm stavimo u lonac oblika valjka polumjera baze dm i rastalimo. Ako se prilikom taljenja volumen leda smanji za 0%, koliko približno će biti visina vode u loncu?..86 cm..8 cm..5 cm..8 cm STOŽAC 7. Polumjer stošca smanji se za 0%. Obujam se tog stošca smanji za. 0%. %. 6%. 9% 8. Ako je stranica uspravnog stošca jednaka promjeru osnovke, tada je omjer površina plašta i osnovke jednak:. :. :. :. 5:

44 9. Stožac visine m presiječemo ravninom paralelno s bazom na dva dijela (stožac i krnji stožac) jednakih volumena. Visina odsječenog stošca iznosi. m. m. m. 8 m KUGLA 0. Koliki je volumen kugle ako je njezino oplošje π cm 558.5π cm 560.5π cm 56.5π cm 5π cm?. Polumjer se kugle poveća za 5%. Obujam se te kugle poveća za. 9.55%. 95.5%. 95.5%. 95.5%. Ako se volumen kugle uvećao za 0%, znači da se polumjer kugle uvećao za. 6.7%. 7%. 8.7%. 9%. Promjeri dviju kugli odnose se kao :. Ako je ukupna površina obiju kugli 68 π tada je volumen manje kugle. 00 π. π. π. 88 π. Oplošje dviju kugli odnosi se kao 6:5. Za koliko % je volumen veće kugle veći od volumena manje?. 0%. %. 58.6%. 7.8% 5. Veliku metalnu kuglu promjera metra pretalimo u 5 međusobno jednakih malih kugli. Koliko puta je ukupna površina svih malih kugli veća od površine polazne velike kugle?

45 ROTACIJA 6. Ako je volumen tijela nastalog rotacijom kvadrata oko njegove dijagonale m, tada volumen tijela nastalog rotacijom tog kvadrata oko njegove stranice iznosi. m... m m m 7. Rotacijom pravilnog šesterokuta stranice oko njegove najduže dijagonale nastaje tijelo volumena. 6 π. 8 π. 0 π. π. Dane su točke A ( 0,) i B (,) jednakokračan. C.5, 0. C (, 0) C.5, 0 C, 0. ( ). ( ). ( ). Odredite sve parametre R. t = 0. t =. t R. ne postoji takav t R. Pravac y = 0. B ( 0, ). B (, 0). B ( 9, ) B, 9 ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNINI UDALJENOST TOČAKA. Na osi odredite točku C tako da trokut ABC bude PRAVAC t takve da točka ( t) t, pripada pravcu y = 0. je simetrala dužine AB. Ako je A ( 7,7). ( ), tada je 5

46 . Jednadžba pravca koji je okomit na simetralu prvoga i trećega kvadranta, a prolazi ishodištem, glasi. + y + = 0. + y = 0. + y + = 0. y = 0 5. Za koji su m R pravci m + + y = i y = + okomiti?. m =. m =. m =. m = 6. Koliki je koeficijent smjera pravca koji je okomit na pravac ay a + a + 6y + 9 = 0, a ±?. a. a. a. a 7. Odredite sve parametre m R takve da su pravci + y = m i + my = paralelni. m =. m 0,. m,. ne postoji takav m R 8. Odredite sve parametre k R takve da su pravci k + y = k i + ky = k paralelni i da na y-osi imaju različite odsječke. k. { }. k,. R. ne postoji takav k R 9. Odredite sve parametre t R takve da su jednadžbe + y = 0 i + y t = 0, jednadžbe istog pravca.. t R. t 5, +. t { 5}. ne postoji takav t R 6

47 0. Površina trokuta, kojega pravac y + 6 = 0 zatvara s koordinatnim osima, je Pravci = 0, =, y = i y = 5 u koordinatnoj ravnini određuju kvadrat. Da bi pravac y = k dijelio taj kvadrat na dva dijela jednakih površina, k mora biti..... Stranica kvadrata pripada pravcu + y + = 0 kvadrata je , a jedan vrh je točka T (,) KRUŽNICA. Površina tog. Ako je A ( 8, 8) i (,8). ( ) + y = ( y ) = 00 B tada jednadžba kružnice, kojoj je dužina AB promjer, glasi. ( ) + y = ( y ) = 00. Ako se kružnice ( ) + ( y + ) = i ( ) + ( y ) = r izvana, tada polumjer svake od njih iznosi r međusobno dodiruju 5. Kako glasi jednadžba kružnice koja dira obje koordinatne osi, a čije je središte u drugom kvadrantu i pripada pravcu + y + = 0?. + y + 9 9y + 6 = 0. + y + 6 6y + 9 = 0. + y + y + 6 = 0. + y + 6 6y + = 0 7

48 6. Pravac y = 6 sa koordinatnim osima određuje pravokutni trokut. Jednadžba opisane kružnice tom trokutu glasi + + y =. ( ) ( ) 8. ( ) + ( y + ) = 8. ( + 6) + ( y 6) = 6. ( 6) + ( y + 6) = 6 7. Pravac + y = λ je tangenta kružnice + y = 00 ako je. λ = ± 0. λ = ±. λ = ±0. λ = ± 0 8. Za koju vrijednost parametra k pravac y = k dodiruje kružnicu + y 8 + = 0?. 0. ±. ±. ne postoji takav k 9. Ako su pravci y = i y = + tangente iste kružnice, tada njezin polumjer iznosi Za koje vrijednosti koeficijenta k pravac y = k mimoilazi kružnicu + y 6 6y + 9 = 0? , +., 0. Duljina zajedničke tetive kružnica + y = i ( ) + y = iznosi 8

49 ELIPSA y. Ako elipsa + = b a prolazi točkama (, 6) i (,), tada a + b iznosi. Pravac koji je okomit na pravac y = 0 i prolazi desnim žarištem elipse 6 + 5y = 00 ima jednadžbu. y + = 0. y = 0. + y = 0. + y + = 0. Kvadrat površine 6 upisan je elipsi. Udaljenost žarišta elipse je 5. Jednadžba elipse glasi. + y = 0. + y = 0. + y = y = 80 HIPERBOLA 5. Jednadžba hiperbole koja prolazi točkama A ( 5, ) i ( 7, 5). y =. y = 8. y =. y = 8 B glasi 6. Kako glasi jednadžba hiperbole čije su osi međusobno jednake, a žarišta su u žarištima elipse 9 + 5y = 5?. y = 6. y =. y = 8. y = 7. Kako glasi jednadžba hiperbole kojoj su pravci 5 6y = 6 i 0y = 8 tangente?. y = 6. y = 6. y = 6. y = 6 9

50 KOMBINATORIKA TEOREM O UZASTOPNOM PREBROJAVANJU. Na maturalnoj je večeri bilo 0 učenika, od toga 6 djevojaka i mladića. Koliko se parova za ples može formirati od po jedne djevojke i jednog mladića? Ako je na nekoj željezničkoj pruzi 8 stanica, koliko različitih jednosmjernih putnih karata postoji za sva moguća putovanja tom prugom? Koliko je željezničkih stanica na pruzi ako za sva jednosmjerna putovanja tom prugom postoji 80 različitih putnih karata? Parnih četveroznamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku 6 ima Peteroznamenkastih brojeva djeljivih s kojima su prva i zadnja znamenka jednake ima Peteroznamenkastih brojeva kojima je zbroj prve i zadnje znamenke 5, ima Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva čija je bar jedna znamenka 7?

51 8. Koliko ima peteroznamenkastih parnih brojeva koji imaju znamenke kao i broj 78 50? Koliko najviše ima auto oznaka za Zagreb ako se svaka oznaka (iza ZG) sastoji od tri znamenke (osim 000) i dva slova (od njih ), ili od četiri znamenke (osim 0000) i jednog slova (od njih )? Koliko ima četveroznamenkastih brojeva kojima su bar dvije znamenke jednake? Koliko brojeva iz skupa {,,,...,999,000 } u svom zapisu ne sadrži znamenku 0? PERMUTACIJE. Koliko ima različitih prirodnih brojeva čije su znamenke tri jedinice, tri dvojke i tri trojke? Vrtlar sadi ljubičice na 5 označenih mjesta u jednom redu. Na koliko on načina može posaditi 9 ljubičica bijele boje, ljubičice žute boje i ljubičice plave boje? Koliko različitih željezničkih kompozicija možemo sastaviti od lokomotive, jednakih putničkih i jednaka teretna vagona, ako su prva vagona putnički?

52 VARIJACIJE 5. Broj varijacija drugog razreda bez ponavljanja od određenog broja elemenata jednak je 80. Koliki je taj broj elemenata? U disciplini 00 m slobodnom stilom, sudjelovalo je 6 plivača. Medalje (zlatnu, srebrnu i brončanu) osvajaju samo prva tri plasirana plivača. Na koliko se različitih načina mogu podijeliti medalje? KOMBINACIJE 7. Koliki je broj točaka u ravnini, kojima može biti određeno najviše 556 pravaca? Od 6 kandidata za tenisku momčad, selektor mora izabrati trojicu. Na koliko načina on može izvršiti taj odabir? Broj kombinacija drugog razreda s ponavljanjem određenog broja elemenata jednak je 950. Koliki je broj elemenata?

53 VJEROJATNOST. Vjerojatnost da u 5 uzastopnih bacanja kocke padne 5 različitih brojeva iznosi Kocka čije su plohe označene brojevima,,,,5 i 6, baca se četiri puta za redom. Kolika je vjerojatnost da će svaki put pasti veći broj? Plohe kocke označene su brojevima,, 6, 8, 0 i. Vjerojatnost da bacanjem te kocke dva puta za redom padne zbroj veći od je približno. 0.56%..%. 6.%..67%. Vjerojatnost da se u tri uzastopna bacanja igraće kocke svaki put pojavi isti broj, nalazi se. između % i %. između % i %. između % i %. između % i 5% 5. Kocka čije su plohe označene brojevima,,6,8,9 i 0, baca se tri puta za redom. Kolika je vjerojatnost da u prvom bacanju padne broj 0, a u drugom i trećem bacanju ne padne broj 6? Plohe kocke označene su brojevima,,6,8,0 i. Vjerojatnost da bacanjem te kocke dva puta za redom padne umnožak manji od je približno %. 8. %..89 %. 9. % 7. Kocka čije su plohe označene brojevima,,5,7,8 i 0 baca se dva puta za redom. Vjerojatnost da se nakon dva bacanja pojavi zbroj veći od 7 jednaka je

54 8. Kocka čije su plohe označene brojevima,,5,7, 8 i 0, baca se dva puta za redom. Vjerojatnost da se nakon dva bacanja pojavi zbroj manji od 5 jednaka je Neka je Ω = { < 8, N},. Kolika je vjerojatnost da je nasumce odabrani broj iz tog skupa rješenje jednadžbe = 0?..5 %. 5 %. 7.5 %. 0 % 0. Neka je Ω = { < 9997, N} djeljiv sa 6 približno iznosi. 8. % %.. %..67 %,. Vjerojatnost da je nasumce odabrani broj iz tog skupa. U kutiji je 7 ispravnih i neispravna proizvoda. Ako odjednom vadimo iz kutije dva proizvoda, kolika je vjerojatnost da je jedan ispravan, a drugi neispravan? U kutiji se nalazi 8 ispravnih i neispravna proizvoda. Ako odjednom vadimo iz kutije proizvoda, kolika je vjerojatnost da su oba proizvoda neispravna?

55 . U grupi od 8 turista 6 je Engleza. Ako iz grupe nasumce odaberemo turista kolika je vjerojatnost da su među njima Engleza? Koliko najmanje puta treba uzastopno baciti igraću kocku pa da vjerojatnost da se bar jednom pojavi broj 6 bude veća od 50%?. puta. puta. 5 puta. 6 puta 5. Od 50 komada istovrsnih proizvoda u skladištu, 6% je neispravnih. Vjerojatnost da ćemo slučajnim odabirom 0 komada proizvoda dobiti samo ispravne proizvode je. %. 7%. 9.55%. 50.% 6. Kutija sadrži teniskih loptica, od kojih su dvije s greškom. Izvadimo li slučajan uzorak od 5 loptica, vjerojatnost da on sadrži točno jednu lopticu s greškom iznosi približno. 6.5%..9%. 5.0%. 6.0% 55

56 KAMATNI RAČUN. Glavnica od 500 EUR uz godišnji dekurzivni kamatnjak p donese za godine 50 EUR jednostavnih kamata. Koliko bi složene kamate donijela ta glavnica za isto vrijeme uz isti kamatnjak? Glavnica uložena u banku uz godišnje, dekurzivne i složene kamate za pet se godina udvostruči. Koji godišnji kamatnjak je primijenila banka?..87 %..87 % % %. Glavnica od 5. kune uložena uz % mjesečnih dekurzivnih i složenih kamata donijela je kuna kamata. Koliko mjeseci je bila uložena?. 8 mjeseci. 9 mjeseci. 0 mjeseci. mjeseci. Glavnica od 0000 kuna donijela bi uz godišnji dekurzivni kamatnjak p za dvije godine 050 složenih kamata. Koliki je p? Da bi jedna kuna uz jedan posto godišnjih dekurzivnih i složenih kamata narasla na tisuću kuna, trebala bi biti uložena. 69 godine i 8 dana. 586 godina i 7 dana. 6 godine i 0 dana. 98 godina i 95 dana 6. Glavnica od milijun kuna bila je godine uložena uz % godišnjih dekurzivnih jednostavnih kamata. Za koliko kuna bi ukupne kamate bile veće da je obračun kamata bio složen?

57 7. Koja glavnica za 5 godina uz 5% godišnjih dekurzivnih jednostavnih kamata naraste na kuna? kuna kuna kuna kuna 8. Iznos od 00000,00 kn jednostavno se ukamaćuje uz dekurzivni godišnji kamatnjak.05. Konačna vrijednost toga iznosa krajem druge godine je. 0600,00 kn. 0950,00 kn. 0000,00 kn. 00,00 kn 9. Uz koji je godišnji kamatnjak uložen neki iznos, ako mu se početna vrijednost nakon godine povećala za %? Obračun kamata je jednostavan, godišnji i dekurzivan Uz koji je godišnji kamatnjak uložen neki iznos na dvije godine ako je njegova konačna vrijednost za 7.5% veća od početne vrijednosti i ako je ukamaćivanje jednostavno, godišnje i dekurzivno? Nakon što tvrtka uplati porez od %, isplaćuje djelatniku 60,00 kn. Bruto zarada toga djelatnika je:. manja od 8000,00 kn. 8000,00 kn. 07,6 kn. veća od 07,6 kn. Na koju je svotu plaćeno 500 ukupno, na ime posredničke provizije od.% i osiguranja od?

58 RJEŠENJA ALGEBRA Izrazi s cijelim, racionalnim i realnim brojevima Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor Funkcije Pitanje Odgovor Polinomi Pitanje Odgovor Eksponencijalna i logaritamska funkcija Pitanje Odgovor Jednadžbe Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor Nejednadžbe Pitanje Odgovor Omjeri Pitanje Odgovor Problemski zadaci Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor Kompleksni brojevi Pitanje Odgovor 58

59 GEOMETRIJA RAVNINE Pitanje Odgovor Pitanje 9 0 Odgovor GEOMETRIJA PROSTORA Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNINI Pitanje Odgovor Pitanje Odgovor KOMBINATORIKA Pitanje Odgovor Pitanje 9 Odgovor VJEROJATNOST Pitanje Odgovor KAMATNI RAČUN Pitanje Odgovor 59