Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης."

Transcript

1

2 Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01

3 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να εαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, 1 είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αοδείξετε ότι το, 1 δεν είναι λύση του συστήματος α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση το ζεύγος αριθμών ου δίνεται ου ισχύει Άρα το ζεύγος x, y, 1 είναι μια λύση της εξίσωσης β) Αντικαθιστούμε και στις δυο εξισώσεις τα x, y 1 οότε x y 7 x y 8 (Μονάδες 1) x y Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ισότητα δεν x y αληθεύει άρα το ζεύγος, 1 δεν είναι λύση του συστήματος 1881Δίνεται η εξίσωση x y 8 α) Να εαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 1, β) Να αοδείξετε ότι το 1, δεν είναι λύση του συστήματος α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση το ζεύγος αριθμών ου δίνεται ου ισχύει x, y 1, είναι μια λύση της εξίσωσης Άρα το ζεύγος β) Αντικαθιστούμε και στις δυο εξισώσεις τα x 1, y οότε είναι μια λύση της εξίσωσης x y 8 x y 1 (Μονάδες 1) x y Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ισότητα δεν x y αληθεύει άρα το ζεύγος 1, δεν είναι λύση του συστήματος 1881Δίνεται η εξίσωση x y 10 1 α) Ποια αό τα ζεύγη,,,7,, είναι λύση της εξίσωσης (1); β) Ποιο αό τα αραάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος x y 10 x y (Μονάδες 1) (Μονάδες 1) α) Για x, y έχουμε δηλαδή το ζεύγος (,) είναι 1

4 λύση της εξίσωσης (1) Για x, y 7 έχουμε δηλαδή το ζεύγος (-,7) είναι λύση της εξίσωσης (1) Για x, y έχουμε δηλαδή το ζεύγος (,) είναι λύση της εξίσωσης (1) β) Παρατηρούμε ότι η μια εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση (1) και αό το,,,7,, Εξετάζουμε αν κάοια ερώτημα α) έχουμε ότι οι λύσεις αυτής είναι αό αυτές είναι λύσεις και της εξίσωσης x y Για x, y έχουμε 6 δηλαδή το ζεύγος (,) είναι λύση της εξίσωσης άρα είναι λύση και του συστήματος Για x, y 7 έχουμε δηλαδή το ζεύγος,7 δεν είναι λύση της εξίσωσης άρα ούτε του συστήματος Για x, y έχουμε 1 9 δηλαδή το ζεύγος, δεν είναι λύση της εξίσωσης άρα ούτε του συστήματος Δίνεται η εξίσωση x y 11 (1) α) Ποια αό τα ζεύγη (, ),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); (Μονάδες 1) x y 11 β) Είναι κάοιο αό τα αραάνω ζεύγη λύση του συστήματος ; x y 7 (Μονάδες 1) α) Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των σημείων στις θέσεις των x και y στην εξίσωση (1) και ελέγχουμε αν την εαληθεύουν Για το (, ) έχουμε: , ισχύει, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία Για το (0, 11) έχουμε: , ισχύει, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία Για το (1, 8) έχουμε: , άτοο, άρα το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία Για το (7, 0) έχουμε: , άτοο, άρα το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία β) Για να δούμε αν κάοιο αό τα σημεία αυτά είναι λύση του συστήματος αρκεί να ελέγξουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου εαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος ή διαφορετικά μορούμε να λύσουμε το σύστημα και να δούμε αν η λύση του είναι κάοιο αό τα σημεία Αφαιρώντας τις εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη έχουμε: x x Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση έχουμε: 1 17 y 7 y 7 y y Η λύση του συστήματος είναι: 17 x, y, Άρα κανένα αό τα ζεύγη δεν είναι λύση του συστήματος

5 1881 Δίνονται οι εξισώσεις x y (1) και x y 9 () α) Ποια αό τα ζεύγη 1,,, 1, 0, και 9,0 είναι λύσεις της εξίσωσης (1) και οια της (); (Μονάδες 16) β) Να βρείτε μια λύση του συστήματος x + y = x + y = 9 (Μονάδες 9) α) Για το (1,) : 1 και , άρα είναι λύση των εξισώσεων (1) και () Για το (, - 1): ( 1) 6 1 και 1 9, άρα είναι λύση της εξίσωσης (1) Για το (0,): 0 0 και 0 0 9, άρα είναι λύση της εξίσωσης (1) Για το (9,0): , άρα είναι λύση της () και εειδή δεν είναι λύση της εξίσωσης () β) Η λύση του συστήματος αρατηρούμε αό το α) ερώτημα ότι είναι το ζεύγος : (1, ) γιατί εαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος 1 188α) Να αοδείξετε ότι: 1, 10 1, β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x + y = 10 x + y = (Μονάδες 1) α) , , β) Εειδή D, Dx, Dy 1, το σύστημα έχει μοναδική 1 1 Dx Dy 1 λύση x 1 και y D D Άρα το ζεύγος 1, είναι λύση του συστήματος α) Να αοδείξετε ότι: 9 1, , x y 9 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x y 9 9 (Μονάδες 1) α) , ,

6 β) Εειδή D 9, Dx 6, Dy 9 το σύστημα έχει μοναδική Dx 6 Dy 9 λύση x y 1 D 9 D 9 Άρα το ζεύγος,1 είναι λύση του συστήματος α) Να αοδείξετε ότι: 0, 7 1 0, 1 x y 7 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων : x y (Μονάδες 9) (Μονάδες 16) α) 1 ( ) ( 1) , 7( ) 1( 1) , β) x y 7 x y 7 x 7 y, το σύστημα έχει άειρες λύσεις ου x y 1 : x y 7 είναι μορφής x, y x,x 7, x α) Να αοδείξετε ότι: 1, 11, x y 11 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x y 1 (Μονάδες 9) (Μονάδες 16) α) , 1( ) 8 1 β) Εειδή D 1 11 D, x 11 D το σύστημα έχει 1, y Dx Dy μοναδική λύση x 7, y 1 D D Άρα το ζεύγος 7,1 είναι λύση του συστήματος

7 α) Να αοδείξετε ότι: 0, 8, (Μονάδες 9) β) Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων: x y 8 6x y 8 α) , , (Μονάδες 16) x y 8 x y 8 β) Οι δύο εξισώσεις έχουν τα ρώτα τους μέλη ίσα, άρα 6x y 8 : x y θα είναι και 8 ου είναι αδύνατο x y α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x y 17 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) εαληθεύει την εξίσωση x y 16 x y 8 α),ροσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: x y 17 x y x y 8 17 x x x Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην εξίσωση x y 8 έχουμε : y 8 10 y 8 y 10 8 y, το ζεύγος β) Εειδή 0 16 άρα αοτελεί λύση του συστήματος, εαληθεύει την εξίσωση x y 16, x y 7 188α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x y 10 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) εαληθεύει την εξίσωση x y 1 x y 7 x y 7 7 α) 9x 7 x x y 10 8x y 0 9 Για x η εξίσωση x y 7 γίνεται: y 7 y 7 y y του συστήματος είναι το ζεύγος, β) Το ζεύγος, εαληθεύει την εξίσωση x y 1, αν και μόνο αν ου ισχύει

8 x y 1 188α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x 6y 10 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) εαληθεύει την εξίσωση 6x y 1 9x 6y x y 1 (1) α) x 6y 10 x 6y 10 () Προσθέτοντας τις (1) και () έχουμε: 1x 1 x 1 Αντικαθιστούμε την τιμή του x σε μία αό τις αρχικές εξισώσεις και έχουμε: 1y 1y 1 y 1 y y 1 Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 1,1 β) Το ζεύγος 1,1 δεν εαληθεύει την εξίσωση 6x y 1, αφού: α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος των αριθμών x 1και y είναι λύση κάθε μιας αό τις αρακάτω εξισώσεις: i) x y 6 ii) x y 7 (Μονάδες 1) β) Δίνεται το σύστημα x y 6 x y 7 Είναι το ζεύγος (1,) λύση του αραάνω συστήματος; (Μονάδες 1) α) Για να είναι το ζεύγος x, y 1, λύση των εξισώσεων θα ρέει να τις εαληθεύει, δηλαδή: i) ου ισχύει ii) ου ισχύει x, y 1, είναι λύση κάθε μιας αό τις εξισώσεις Άρα το ζεύγος β) Αό το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x, y 1, εαληθεύει κάθε μία αό τις εξισώσεις του συστήματος, άρα το ζεύγος x, y 1, είναι λύση του συστήματος 188α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x = και y = 1 είναι λύση κάθε μιας αό τις αρακάτω εξισώσεις: i) x y 19 ii) x 6y 10 (Μονάδες 1) x y 19 β) Δίνεται το σύστημα x 6y 10 Είναι το ζεύγος (,1) λύση του αραάνω συστήματος; (Μονάδες 1) α) Για να είναι το ζεύγος x, y,1 λύση των εξισώσεων θα ρέει να τις εαληθεύει, δηλαδή: i) ου ισχύει ii) ου ισχύει x, y,1 είναι λύση κάθε μιας αό τις εξισώσεις Άρα το ζεύγος 6

9 β) Αό το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x, y,1 εξισώσεις του συστήματος, άρα είναι λύση του συστήματος εαληθεύει κάθε μία αό τις 1886α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x και y είναι λύση κάθε μιας αό τις αρακάτω εξισώσεις: i) x y 1 ii) x y 10 (Μονάδες 1) x y 1 β) Δίνεται το σύστημα x y 10 Είναι το ζεύγος (,) λύση του αραάνω συστήματος; (Μονάδες 1) α) Για να είναι το ζεύγος x, y, λύση των εξισώσεων θα ρέει να τις εαληθεύει, δηλαδή: i) ου ισχύει ii) αδύνατο Άρα το ζεύγος, είναι λύση μόνο της εξίσωσης x y 1 β) Αό το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x, y, εξισώσεις του συστήματος, άρα δεν είναι λύση του συστήματος εαληθεύει μόνο μία αό τις δύο x y α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) 6x y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, εαληθεύει και τις δύο αό τις αρακάτω εξισώσεις: x y 1 και 6x y 1 6x y (1) x y 1 α) 6x y 1 6x y 1() Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη ροκύτει η εξίσωση: 0x 0y 1 ου είναι αδύνατη Άρα το σύστημα είναι αδύνατο β) Αό το (α) ερώτημα ροκύτει ότι δεν υάρχει κοινό ζεύγος λύσεων και για τις δύο 1 1 εξισώσεις του σιτέματος, οότε το ζεύγος x, y, δεν μορεί να εαληθεύει και τις δύο εξισώσεις x y 1886α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) 6x y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, εαληθεύει τις αρακάτω εξισώσεις: x y και 6x y 6 7

10 6x y 9(1) x y α) 6x y 6 6x y 6() Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη ροκύτει η εξίσωση: 0x 0y ου είναι αδύνατη Άρα το σύστημα είναι αδύνατο 1 β) Για x και 1 1 x,y 1 y έχουμε: x y αδύνατο x,y x y αδύνατο Άρα το ζεύγος x, y, δεν εαληθεύει καμία αό τις εξισώσεις x y 1886α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x 6y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, εαληθεύει τις αρακάτω εξισώσεις: 7 x y και x 6y 1 x 6y (1) x y α) x 6y 1 x 6y 1() Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη ροκύτει η εξίσωση: 0x 0y ου είναι αδύνατη Άρα το σύστημα είναι αδύνατο 1 1 β) Για x και y έχουμε: x,y x y αδύνατο x,y x 6y αδύνατο Άρα το ζεύγος x, y, δεν εαληθεύει καμία αό τις εξισώσεις Δίνεται το σύστημα x y 7 x y x, y, α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) 8

11 α) Για να είναι το ζεύγος x, y, αό τις εξισώσεις του συστήματος ισχύει Για x = και y = έχουμε: αδύνατο δεν είναι λύση του συστήματος Άρα το ζεύγος x, y, λύση του συστήματος ρέει να εαληθεύει κάθε μία x y 7(1) β) x y () 1 Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη έχουμε: x 1 x x Τότε: x x y 7 y 7 y 7 y Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος, 1910 Δίνεται το σύστημα x y x y 1 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (7, ) είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) α) Αντικαθιστώντας τις τιμές του ζεύγους σε κάθε μια αό τις εξισώσεις του συστήματος έχουμε: 7 και 7 1 Παρατηρούμε ότι τις εαληθεύει άρα το ζεύγος αοτελεί λύση του συστήματος β) Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη ροκύτει: y και αντικαθιστώντας στην ρώτη εξίσωση έχουμε: x άρα x 7 x, y 7, Άρα η λύση είναι x y 191 Δίνεται το σύστημα: x y 6 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (10, 7) είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) α) Είναι: 10 7 και , δηλαδή αντικαθιστώντας όου x το 10 και όου y το 7 εαληθεύεται και η ρώτη και η δεύτερη εξίσωση του συστήματος άρα το ζεύγος είναι λύση του συστήματος x y x y β) Είναι x y x y, το σύστημα έχει άειρες x y 6(: ) x y x, y k,k, όου k λύσεις της μορφής: 9

12 191 Δίνεται το σύστημα x y x y 6 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (, 1) είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) α) Είναι 1 και δηλαδή αντικαθιστώντας τις τιμές του ζεύγους στις εξισώσεις του συστήματος αρατηρούμε ότι εαληθεύει την ρώτη εξίσωση ενώ δεν εαληθεύει την δεύτερη, άρα δεν είναι λύση του συστήματος β) x y x y 0x 0y 0 ου είναι αδύνατο x y 6(: ) x y 1901Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος αό το Βασίλη α) Μορείτε να υολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες 1) β) Δίνεται ειλέον η ληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια Με οιο τρόο θα χρησιμοοιούσατε την ληροφορία αυτή για να υολογίσετε την ηλικία του καθενός; (Μονάδες 1) α) Όχι δεν μορούμε να βρούμε την ηλικία καθενός διότι αν θεωρήσουμε x,y τις ηλικίες των Μάρκου και Βασίλη αντίστοιχα τότε ισχύει x y 7 και σε αυτή την εξίσωση έχουμε δυο αγνώστους β) Η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια Αυτό μας δίνει μια δεύτερη εξίσωση η οοία είναι x y και λέον μορούμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων αό το οοίο θα βρούμε τις ηλικίες x y 7 Είναι x x 16, άρα ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης είναι x y 16 11ετών x y 190Δίνεται το σύστημα 1, με αράμετρο λ λx y α) Να λύσετε το σύστημα για λ 1 (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε την αάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες 1) α) Για λ 1το σύστημα 1 γίνεται x y x y x y x y x 7 λx y x y 1 Αό την (1) για x 7 έχουμε: 7 y y 7 1 του συστήματος είναι το ζεύγος x, y 7, 1 10

13 β) Θεωρούμε την τιμή λ και λύνουμε το σύστημα x y x y x y x y 0 7 λx y x y είναι αδύνατο αδύνατη, άρα το σύστημα 190Δίνεται ένα ορθογώνιο αραλληλόγραμμο με μήκος x cm, λάτος y cm, ερίμετρο ίση με 8 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν διλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το λάτος του ίδιο τότε, το νέο ορθογώνιο ου ροκύτει έχει ερίμετρο ίση με 8 cm α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του αρχικού ορθογωνίου (Μονάδες 1) α) Το αρχικό αραλληλόγραμμο έχει μήκος x cm, λάτος y cm και ερίμετρο: Π x y 8 x y Αν διλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το λάτος του ίδιο, τότε το νέο Π x y 8 x y ορθογώνιο θα έχει ερίμετρο: Άρα έχουμε το σύστημα: x y 8 x y 8 x y 8(1) β) Λύνουμε το σύστημα του (α) ερωτήματος και έχουμε: x y 8() 0 Αφαιρώντας τις (1) και () κατά μέλη έχουμε x 0 x x 10 και 10 x10 x y 8 10 y 8 0 y 8 y 8 0 y 8 y Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 10, Εομένως το αρχικό ορθογώνιο αραλληλόγραμμο έχει μήκος 10cm και λάτος cm 1906Αό ένα σταθμό διοδίων έρασαν συνολικά 70 οχήματα (αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες) και εισράχθηκαν 176 ευρώ Ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου λήρωσε ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας λήρωσε 1, ευρώ α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε όσα ήταν τα αυτοκίνητα και όσες οι μοτοσυκλέτες (Μονάδες 1) α) Έστω x τα αυτοκίνητα και y οι μοτοσικλέτες Εειδή αό το σταθμό διοδίων έρασαν συνολικά 70 οχήματα, ισχύει ότι x y 70 Εειδή ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου λήρωσε ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας λήρωσε 1, ευρώ, ισχύει ότι x 1,y 176 x y 70 Το σύστημα των δύο εξισώσεων είναι: x 1, y

14 x y 70 x y β) 0,8y 8 y 10 x 1, y 176 x 1, y 176 0,8 Για y 10, η εξίσωση x y 70 γίνεται: x x Δηλαδή τα αυτοκίνητα ήταν 6 και οι μοτοσυκλέτες Ο Βαγγέλης θέλει να κλείσει την όρτα του συνεργείου του με αλυσίδα Μετρώντας είδε ότι θα χρειαστεί 8 μέτρα αλυσίδας Όταν ήγε να την αγοράσει, χρειάστηκε να άρει δύο κομμάτια αλυσίδας για να φτάσει τα 8 μέτρα Μόνο ου τα δύο κομμάτια αυτά δεν κόστιζαν το ίδιο Το ένα κόστιζε ευρώ το μέτρο και το άλλο ευρώ το μέτρο Συνολικά λήρωσε ευρώ α) Αν x και y είναι τα μήκη των δύο κομματιών ώς μορείτε με μια εξίσωση να εκφράσετε το συνολικό μήκος της αλυσίδας; (Μονάδες10) β) Πόσα μέτρα αό το κάθε κομμάτι αγόρασε ο Βαγγέλης; (Μονάδες 1) α) Εειδή όλη η αλυσίδα έχει μήκος 8 m, είναι x y 8 β) Τα x μέτρα αό το ρώτο κομμάτι αλυσίδας κόστιζαν x ευρώ και τα y μέτρα αό το δεύτερο κομμάτι αλυσίδας κόστιζαν y ευρώ Εειδή συνολικά λήρωσε ευρώ, έχουμε την εξίσωση x y Κατασκευάζουμε το σύστημα : x y 8 x 8 y x 8 y x 8 y x y (8 y) y 16 y y y 16 x 8 y x 8 y 6 y Δηλαδή αγόρασε μετρά αό το ρώτο κομμάτι και μέτρα αό το δεύτερο κομμάτι αλυσίδας 191Στον ίνακα της τάξης υάρχουν γραμμένα δύο συστήματα x y x y (Σ 1 ) και (Σ ) x 6y 10 x y α) Ποιο αό τα δύο συστήματα είναι αδύνατο; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες 1) β) Στον ίνακα της τάξης δίλα στα συστήματα αυτά υάρχουν και οι διλανές γραφικές αραστάσεις δύο ευθειών σε σύστημα αξόνων Ο Κώστας θυμάται ότι όταν ο καθηγητής σχεδίασε αυτές τις δύο ευθείες είε ότι είναι οι ευθείες ενός αό τα δύο αραάνω συστήματα Δε θυμάται όμως αν ήταν του (Σ 1 ) ή του (Σ ) Σε οιο αό τα δύο συστήματα αντιστοιχούν οι ευθείες αυτές; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες 1) 1 α) Για το Σ έχουμε: D 1 0, δηλαδή το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο Είναι: 1

15 x y x y, οότε το σύστημα είναι αδύνατο x y : x y β) Οι ευθείες αυτές είναι τεμνόμενες και αντιστοιχούν στο Σ 1 ου έχει λύση Το Σ ου είναι αδύνατο αντιροσωεύει δύο ευθείες ου είναι αράλληλες 191 Δίνεται η ευθεία (ε 1 ) με εξίσωση: x 8y 0 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε 1 ) με την (ε ) ου έχει εξίσωση x y (Μονάδες 1) β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) ου να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε 1 ) και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους Είναι x 8y 0 ( y) 8y 0 1 y 8y 0 y 1 y x y x y x y x y x Άρα η λύση είναι: x, y, β) Αφού η ευθεία ε δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ε 1 θα είναι αράλληλη με αυτήν, οότε η εξίσωση της θα είναι της μορφής x 8y k με k 0 γιατί αν k 0 οι δύο ευθείες θα ταυτίζονταν Μια τέτοια εξίσωση είναι η x 8y 0 191Δίνεται η ευθεία (ε 1 ) με εξίσωση: x 8y α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε 1 ) με την (ε ) ου έχει εξίσωση 1 x y (Μονάδες 1) β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) ου να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε 1 ) και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων Είναι x 8y x 8y (10 y) 8y 0 10y 8y 1 x y x y 10 x 10 y x 10 y 18y 0 18y 18 y 1 y 1 x 10 y x 10 y x 10 x 8 x, y 8,1 Άρα η λύση είναι: β) Αφού η εξίσωση ε δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ε 1 θα είναι αράλληλη με αυτήν, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής x 8y k με k γιατί αν k οι δύο ευθείες θα ταυτίζονταν Μια τέτοια εξίσωση είναι η x 8y 0 1

16 1916Δίνεται η ευθεία (ε 1 ) με εξίσωση: x y 10 1 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε 1 ) με την (ε ) ου έχει εξίσωση x y (Μονάδες 1) 9 β) Να δώσετε μια τιμή στον αριθμό λ ώστε η εξίσωση της ευθείας (ε ) : 1x y λ να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε 1 ) και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους x y 10 8x y 0 8x (0 x) 0 8x 60 1x 0 1 x y 0 y 0 x y 0 x x y 8x 1x x 80 x x y 0 x y 0 x y 0 y Άρα η λύση είναι: x, y, β) Το σύστημα των ε 1 και ε έχει ορίζουσα 9 D= , οότε θα είναι αδύνατο ή θα έχει 1 x y 10 x y 10 άειρες λύσεις Είναι 9 λ 1x y λ : x y Είναι φανερό ως αν λ 10 λ 0 το σύστημα θα έχει άειρες λύσεις, άρα για να είναι 9 αδύνατο ρέει λ 0 Έστω λ 0, τότε η ευθεία (ε ) έχει εξίσωση 1x y 0 x y Δίνεται το σύστημα x y λ με αράμετρο λ α) Να λύσετε το σύστημα για λ 10 (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στην αράμετρο λ ώστε το σύστημα ου θα ροκύψει να έχει άειρες λύσεις (Μονάδες ) γ) Να δώσετε μια τιμή στην αράμετρο λ ώστε η ευθεία x y λ ου θα ροκύψει να είναι αράλληλη με την ευθεία x y 11 (Μονάδες ) α) Για λ 10 το σύστημα γίνεται x y 11 x y 10 x y 11 και εειδή τα ρώτα x y 1

17 μέλη είναι ίσα θα ρέει 11 ου είναι άτοο άρα το σύστημα είναι αδύνατο β) (Για να έχει το σύστημα άειρες λύσεις θα ρέει οι ευθείες ου αντιστοιχούν στις δυο εξισώσεις του συστήματος να ταυτίζονται δηλαδή οι συντελεστές των δυο εξισώσεων να είναι ανάλογοι) x y 11 x y 11 Για λ το σύστημα γίνεται x y 11 οότε το x y x y 11 σύστημα έχει άειρες λύσεις ου οι εικόνες τους είναι τα σημεία της ευθείας x y 11 γ) Για λ 10 δείξαμε στο ρώτο ερώτημα ότι το σύστημα είναι αδύνατο δηλαδή οι ευθείες είναι αράλληλες αφού δεν έχουν κανένα κοινό σημείο 190Στο διλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες x y 1 και x y 6 ου τέμνονται στο σημείο Α x y 1 α) Πόσες λύσεις έχει το σύστημα ; x y 6 (Μονάδες ) β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) γ) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; (Μονάδες ) α) 1ος τρόος: Αό τη γραφική αράσταση ροκύτει ότι οι δύο ευθείες έχουν ένα σημείο τομής, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση ος τρόος:η ορίζουσα του συστήματος είναι D άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση 1 1 β) Dx , Dy Εειδή D, η μοναδική λύση του συστήματος είναι Dx 6 Dy 6 x και y D D γ) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι Α(,) ου είναι η λύση του συστήματος 1

18 191Δίνεται το σύστημα α) Να λύσετε το 1 β) Είναι το σημείο A1, 1 1 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες ) γ) Στο διλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες (ε) με τύο x y και (ζ) ου τέμνονται στο σημείο Α Μορεί ο τύος της (ζ) να είναι x y 6 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας x y x y x y x y α) x y 6 x x 6 x x ισχύει Το σύστημα έχει άειρες λύσεις ου είναι της μορφής x,x, x β) Το σημείο A1, 1 y x Είναι x y x y 6 μια λύση του συστήματος είναι μια λύση του συστήματος αν εαληθεύει την εξίσωση ισχύει, άρα το Α είναι μια λύση του γ) Εειδή οι ευθείες (ζ) και (ε) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, ενώ η (ε) με την x y 6 έχουν άειρα κοινά σημεία, δεν μορεί η (ζ) να έχει εξίσωση x y Δίνεται το σύστημα α) Να λύσετε το 1 β) Είναι το σημείο σας γ) Μορείτε να βρείτε άλλη A,1 μια λύση του συστήματος x y 9 y 9 x y 9 x y 9 x α) 1x y 7 1x 9 x 7 1x 7 1x ισχύει Άρα το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής κ,9 κ, κ β) Το σημείο A,1 είναι μια λύση του συστήματος αν εαληθεύει την εξίσωση y 9 x Είναι 1 9 κ,9 κ, κ για ροκύτει 1,9 1 1,, άρα μια λύση του συστήματος είναι το γ) Εειδή οι λύσεις του συστήματος είναι της μορφής 1 x y 9 1x y 7 λύση του συστήματος 1 ; 1 ισχύει, άρα το Α είναι μια λύση του ; Να αιτιολογήσετεε την αάντησή 1 1 (Μονάδες ) κ 1 1, 198 Δίνεται το σύστημα 1 x y 1, με αράμετρο λ x λy 16

19 α) Να λύσετε το 1 για λ (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε την αάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες 1) α) Για λ το 1 γίνεται: x y 1 x 1y x 1y x 1y x 1 11 x y 1 y y y 1 y y x, y 11, του συστήματος είναι το ζεύγος 1 β) Το σύστημα έχει ορίζουσα D λ 1 λ Αν D 0 λ το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άειρες λύσεις x y 1 Για λ το 1 γίνεται: Οι δύο εξισώσεις έχουν τα ρώτα τους μέλη ίσα, x y οότε και τα δεύτερα μέλη τους είναι ίσα, δηλαδή 1 ου είναι αδύνατο 199 Δίνεται το σύστημα 1 α) Να λύσετε το 1 για λ x y, με αράμετρο λ λx y 10 (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να έχει άειρο λήθος λύσεων και να εαληθεύσετε την αάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες 1) x y y x α) Για λ το 1 γίνεται: x y 10 x x 10 y x y x y 0 x 10 8x 10 x 0 x 0 x, y 0, του συστήματος είναι το ζεύγος 1 β) Το σύστημα έχει ορίζουσα D 8 λ λ Αν D 0 λ 8 το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άειρες λύσεις x y x y Για λ 8 το 1 γίνεται: x y y x 8x y 10 : x y x,y x, x, x Το σύστημα έχει άειρες λύσεις ου είναι της μορφής Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση μήκους x cm, ενώ η κάθε μια αό τις ίσες λευρές του έχει μήκος y cm Η ερίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm Αν διλασιάσουμε τα μήκη κάθε μιας αό τις ίσες λευρές του και διατηρήσουμε το μήκος της βάσης του τότε ροκύτει νέο τρίγωνο ου έχει ερίμετρο ίση με cm α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε τις τιμές των μηκών x, y του αρχικού τριγώνου (Μονάδες 1) 17

20 α) Εειδή η ερίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm, ισχύει ότι: x y 19 (1) Το νέο τρίγωνο έχει βάση με μήκος x cm και ίσες λευρές με μήκος y cm η κάθε μία, άρα η ερίμετρός του είναι: x y y x y, οότε x y () x y 19 Αό (1),() ροκύτει το σύστημα x y β) Λύνουμε το σύστημα του (α) ερωτήματος και έχουμε: x y 19 x 19 y x 19 y x 19 y x y x y 19 y y y 19 x 19 7 x 19 y 1 y 1 y 7 Άρα το αρχικό τρίγωνο έχει βάση cm και κάθε μία αό τις ίσες λευρές του 7cm 19 Για έναν αγώνα οδοσφαίρου υήρχαν δύο είδη εισιτηρίων Τα φτηνά των ευρώ και αυτά των 10 ευρώ ου είναι σε λίγο καλύτερη θέση Συνολικά κόηκαν 97 εισιτήρια και οι συνολικές εισράξεις ήταν 610 ευρώ α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε όσα εισιτήρια των και όσα των 10 ευρώ κόηκαν στον αγώνα (Μονάδες 1) α) Έστω x τα εισιτήρια των ευρώ και y τα εισιτήρια των 10 ευρώ Εειδή τα συνολικά εισιτήρια ου κόηκαν είναι 97 τότε έχουμε την εξίσωση x y 97 Είσης οι συνολικές εισράξεις ήταν 610 ευρώ οότε έχουμε την εξίσωση x 10y 610 x y 97 Συνεώς ροκύτει το σύστημα () : x 10y 610 β) Αό την είλυση του συστήματος έχουμε : x y 97 y 97 x y 97 x x 10y 610 x 1097 x 610 x x 610 y 97 x y 97 x y 97 6 y 1 x 10x x 160 x 6 x 6 Άρα κόηκαν 6 εισιτήρια των ευρώ και 1 εισιτήρια των 10 ευρώ 18

21 Μονοτονία - ακρότατα Ιδιότητες Συναρτήσεων Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες ) β) Ένας αό τους αρακάτω είναι ο τύος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας f x x, f x x, f x x γ) Να βρείτε τις τιμές f και f 0 α) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης αρατηρούμε ως η μέγιστη τιμή ου αίρνει η f είναι η στο x 0 0, δηλαδή f x f 0 για κάθε x Άρα η f αρουσιάζει f x μέγιστο στο x 0 0 το β) Αρχικά η f δεν μορεί να να διέρχεται αό την αρχή των αξόνων Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό κατακόρυφη μετατόιση της y x κατά ρος τα άνω, οότε f x x γ) Είναι f 0 κ f x x έχει τύο f 0 0 και γιατί θα έρεε 1916 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; (Μονάδες ) β) Ένας αό τους αρακάτω είναι ο τύος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας f x x, f x x 9, f x x 9 γ) Να βρείτε τις τιμές f και f 0 α) Η f έχει ελάχιστο το 9 για x 0 β) Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό κατακόρυφη μετατόιση της y x κατά 9 θέσης κάτω, άρα f x x 9 19

22 γ) Είναι f f και 1908 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες ) β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 1) α) Είναι A1, β) Η f έχει ελάχιστο το για x 1 γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1, ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ε ρωτήματα: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες ) β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 1) α) Είναι A, β) Η f έχει ελάχιστο το για x γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, 0

23 1918 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β (Μονάδες ) β) Ποιο είναι το μέγιστο της f ; (Μονάδες 7) στα οοία η f είναι γ) Να βρείτε τα διαστήματα i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα α) Είναι B1, (Μονάδες 1) β) Η f έχει μέγιστο το για x 1 γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,1 ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 1, 1918 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το α) Να διατάξετε αό το μικρ f, f, f 7 αφού τους ρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς εντοίσετε στο γράφημα β) Ένας συμμαθητής σας ισχυρίζεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο εδίο ορισμού της (το ) Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την αάντησή σας γ) Είναι το x θέση μεγίστου της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες ) 1

24 α) Eίναι f f 7 f αφού στον y y άξονα όσο ιο άνω είναι η εικόνα ενός αριθμού τόσο μεγαλύτερος είναι β) Όχι, γιατί αν ήταν γνησίω ως αύξουσα θα έρεε f f 7 αφού 7 γ) Όχι, γιατί το f(6) είναι μεγαλύτερο αό το f() συνεώς υάρχουν τιμές της f ου είναι μεγαλύτερες αό το f() 1919Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια του σχήματος να ααντήσετε τα εξής f α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f (α), f (β), f () αφού τους εντοίσετε στο γράφημα β) Παρουσιάζει η συνάρτησηη f ελάχιστο στο β; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f x 0 Να βρείτε μια λύση της (Μονάδες ) 0 α β α) Είναι f α 0,f f 0,f f β 0 άρα κατά αύξουσα σειρά είναι : f β f f α β) Η συνάρτηση f δεν αρουσιάζει ελάχιστο στο β αφού όταν το x αίρνει τιμές θετικές και κοντά στο μηδέν οι τιμές του f x είναι μικρότερες του f β γ) Η εξίσωση έχει τρείς λύσεις αφού η γραφική αράσταση τέμνει τον x x σε τρία σημεία και μια λύση αυτής είναι η x 19-19Δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε στα ακόλουθα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για οια τιμή του x το αρουσιάζει; (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) είναι αράλληλη στον άξονα x x να αοδείξετε ότι ο τύος της είναι y 1 (Μονάδες ) γ) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να λύσετε την εξίσωση f x 1 (Μονάδες ) δ) Να δώσετε μια τιμή στον ραγματικό αριθμό κ ώστε η εξίσωση f x κ να έχει δύο λύσεις (Μονάδες 9) α) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης αρατηρούμε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι η τιμή 1 και την αρουσιάζειι στο x 0 : f x 1 f x f Άρα η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 το 1 β) Εειδή η ευθεία ε είναι αράλληλη στον άξονα x x, έχει συντελεστή διεύθυνσης

25 λ εφ0 0, οότε η εξίσωσή της είναι της μορφής y 0 x β y β Εειδή η (ε) διέρχεται αό το σημείο Α ου έχει γ) Οι λύσεις της εξίσωσης f αράστασης της f με την ευθεία (ε) Εειδή μοναδικό κοινό τους σημείο είναι το Α, ισχύει f x 1 x x ότι: A δ) Για να έχει η εξίσωση f x κ δύο λύσεις ρέει η ευθεία (ζ): y κ να τέμνει τη Cf και αυτό συμβαίνει όταν η (ζ) βρίσκεται άνω αό την (ε), άρα όταν κ 1 Έστω κ Η εξίσωση f x έχει δύο λύσεις ya 1, η (ε) έχει εξίσωση y 1 x 1 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής 196 Δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f με εδίο ορισμού το ου αρουσιάζει μέγιστο στο x α) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να βρείτε οιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες 6) β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; (Μονάδες ) γ) Ποιος είναι ο τύος της ευθείας (ε); (Μονάδες 7) δ) Αν η ευθεία (ζ) είναι αράλληλη στην (ε) και έχει τύο y κ όου κ, να αοδείξετε ότι η εξίσωση f x κ είναι αδύνατη α) Μέγιστο της f είναι το 1 γιατί το σημείο της γραφικής αράστασης της f στο οοίο αρουσιάζεται το μέγιστο είναι το Α και η τεταγμένη του είναι y 1 β) Εειδή στο Α αρουσιάζε γ) Η ευθεία (ε) είναι αράλληλη ληλη στον άξονα x x, οότε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ εφ0 0, και εειδή διέ A,1, έχει εξίσωση y 1 δ) Εειδή η ευθεία (ζ) δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραφική αράσταση της f, η εξίσωση f x κ είναι αδύνατη (Μονάδες 7 ) εται το μέγιστο της f είναι A,1, και εειδή διέρχεται αό το 197 Δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f με εδίο ορισμού το ου αρουσιάζει μέγιστο το στο x α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; β) Δίνεται ότι η ευθεία (ε) είναι αράλληλη στον άξονα x x Να βρείτε τον τύο της (Μονάδες ) γ) Αν μια ευθεία (ζ) έχει τύο της μορφής y κ και έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική αράσταση της f, τι γνωρίζετε για τον ραγματικό αριθμό κ;

26 α) Εειδή στο σημείο Α η f αρουσιάζει μέγιστο, το Α έχει συντεταγμένες, β) Η ευθεία (ε) είναι αράλληλη στον άξονα x x, οότε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ εφ0 0, και εειδή διέ A,, έχει εξίσωση y γ) Αν κ, τότε η (ζ) βρίσκεται άνω αό την (ε) και δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραφική αράσταση της f Αν κ, τότε η (ζ) ταυτίζεται με την (ε) και έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφική αράσταση της f Τέλος αν κ τότε η (ζ) βρίσκεται κάτω αό την (ε) και τέμνει τη γραφική αράσταση της f, δηλαδή έχει κοινά σημεία με αυτήν Άρα η ευθεία (ζ) έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική αράσταση της f όταν κ Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης 1916 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; (Μονάδες ) β) Ένας αό τους αρακάτω είναι ο τύος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας x, f x x f x γ) Να βρείτε τις τιμές f α) Η f έχει ελάχιστο το 0 για x g x x β) Εειδή η μετατοίζεται κατά ρος τα δεξιά αράλληλα με τον x x τότε ο τύος της f είναι f x x γ) Αό τη γραφική αράσταση της f διαιστώνουμε ότι f 0 f 0 και έρχεται αό το f x x και f 0 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία 1880 Δίνεται ότι συνφ με 0 φ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι συμληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1)

27 16 16 α) Έχουμε ότι ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 9 ημ φ ημφ Εειδή 0 φ, είναι ημφ 0 άρα ημφ β) Έχουμε ότι ω 90 φ με 0 ω Για τις συμληρωματικές γωνίες ισχύει ότι το ημίτονο της μίας είναι ίσο το συνημίτονο της άλλης, δηλαδή ημω ημω ημ 90 φ συνφ, συνω συν 90 φ ημφ και εφω συνω 18810Δίνεται ότι συνφ, με 0 φ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1) α) ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 9 ημφ ημφ Εειδή 0 φ δηλαδή είμαστε στο 1 ο τεταρτημόριο με ημφ 0, άρα 0 β) Αφού ω είναι αραληρωματική της φ τότε ω 180 φ άρα, ημω ημ 180 φ ημφ συνω συν 180 φ συνφ και ημω εφω συνω 0 0 ημφ 1886 Δίνεται ότι συνφ, με φ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1) α) Είναι 9 9 ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ

28 7 7 7 ημ φ ημφ Εειδή φ είναι ημφ 0, άρα ημφ 7 β) Είναι ω φ, άρα ημω ημ 180 φ ημφ, 7 ημω συνω συν180 φ συνφ και εφω συνω Δίνεται ότι ημφ με φ α) Να υολογίσετε το συνφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1) α) Έχουμε ότι συν φ 1 συν φ 9 ημ φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ συνφ Εειδή φ, είναι συνφ 0 άρα συνφ β) Έχουμε ότι ω 180 φ, άρα 0 ω Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν ίδια ημίτονα και αντίθετους τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, δηλαδή 7 ημω ημω ημφ, συνω συνφ και εφω σ υνω Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ α) Ισχύει ότι το συνφ είναι θετικό και το συνθ είναι αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας β) Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας αό τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με i Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο ίσο με ; ii Να βρείτε το συνημίτονο ο της άλλης γωνίας (Μονάδες 1) 6

29 α) Εειδή η γωνία φ είναι οξεία ( 0 φ ) τότε συνφ 0 και η γωνία θ είναι αμβλεία ( θ ) τότε συνθ 0 β) i) Αφού συνφ 0 τότε συνφ ii) Είναι θ φ οότε συνθ συν φ συνφ 1911Στο διλανό σχήμα δίνεται η γωνία θ α) Το συνθ είναι θετικό ή αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας 1 β) Αν ημθ να βρείτε το συνθ (Μονάδες 1) α) Εειδή θ τότε συνθ 0 β) Αό τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα γνωρίζουμε ότι ημ θ συν θ συν θ 1 συν θ 1 συν θ συν θ συνθ,όμως συνθ 0 άρα συνθ Στο διλανό σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με συνω και φ α) Να αοδείξετε ότι ημω β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 7) (Μονάδες 18) α) Είναι ημ ω 1 ημ ω 1 9 ημ ω συν ω 1 ημω, όμως 9 9 ημ ω 1 ημ ω 0 ω οότε ημω 0 άρα ημω β) Εειδή φ ω τότε ημφ ημ ω συνω και συνφ συν ω ημω 7

30 191 Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ με ημφ και θ α) Να υολογίσετε το συνφ (Μονάδες 1) β) Να υολογίσετε ημθ, συνθ 9 9 α) Είναι ημ φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 16 συν φ συνφ,όμως 0 φ οότε συνφ 0 άρα συνφ β) Είναι θ φ οότε ημθ ημ φ ημφ κ συνθ συν φ συνφ και 190 Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας αό τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με α) Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο και γιατί; β) Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας (Μονάδες 1) α) Η γωνία φ είναι οξεία και το συνημίτονό της είναι θετικός αριθμός, ενώ η θ είναι αμβλεία και το συνημίτονό της είναι αρνητικός αριθμός, άρα συνθ β) Εειδή οι γωνίες φ και θ είναι αραληρωματικές, ισχύει ότι: Είναι συνφ συν180 θ συνθ 191Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία ε και οι γωνίες θ και φ με συνφ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Να υολογίσετε τα ημθ, συνθ α) 16 ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ ημφ ημφ ημ φ 1 ημ φ 8

31 Εειδή συνφ 0 είναι φ 0, άρα ημφ 0, οότε ημφ 0 β) Η γωνία θ είναι αραληρωματική της γωνίας φ δηλαδή θ 180 φ, άρα 0 ημθ ημ 180 φ ημφ και συνθ συν 180 φ συνφ Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες θ με ημθ και φ α) Να αοδείξετε ότι συνθ (Μονάδες 1) β) Να υολογίσετε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 1) α) Είναι συν θ 1 συν θ 1 συν θ 1 ημ θ συν θ 1 16 συνθ Όμως η γωνία θ είναι αμβλεία, άρα συνθ 0, οότε συνθ β) Εειδή οι γωνίες φ και θ είναι αραληρωματικές, ισχύει ότι: συνφ συν180 θ συνθ και ημφ ημ 180 θ ημθ 19 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με ημω και φ α) Να αοδείξετε ότι συνω β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 7) (Μονάδες 18) β) Εειδή οι γωνίες ω και φ είναι συμληρωματικές, ισχύει ότι φ 90 ω, άρα ημφ ημ 90 ω συνω α) ημ ω συν ω 1 συν ω 1 συν ω 1 συν ω συνω Εειδή 0 ω 90, είναι συνω 0, άρα συνω και συνφ συν 90 ω ημω 9

32 Δίνεται η εξίσωση: ημx 1 ημx 0 α) Να βρείτε το ημx β) Αν x 0,, να υολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) ημx 1 ημx 0 ημx 1 ή ημx α) β) i) Αν Είναι συνx x 0, τότε ημx 0, οότε συν x 1 συν x 1 συν x ημ x συν x 1 ημx Εειδή x 0, είναι συνx 0, άρα συνx ii) ημx εφx συνx 1907Στον διλανό κύκλο, οι γωνίες ω και φ είναι είκεντρες, με συνφ 0,8 α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω β) Αν ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ = 0cm και το τόξο ΑΜ έχει μήκος cm, τότε: i) Να αοδείξετε ότι η γωνία ω είναι ίση με, rad (ακτίνια) ii) Nα βρείτε το συνημίτονοο της γωνίας ου έχει μέτρο ίσο με, rad (ακτίνια) (Μονάδες ) α) Είναι: τότε : (180) 0,8 β) i)γνωρίζουμε ότι το μήκος του τόξου ΑΜ είναι : R, α= είκεντρη γωνία σε ακτίνια, R= ακτίνα του κύκλου R 10, 10 rad ii) Η γωνία ου έχει μέτρο ίσο με, rad είναι η ω και έχει συνημίτονο: 0,8 190 Δίνεται η εξίσωση α) Να βρείτε το συνx 1 συνx συνx 0 (Μονάδες 9) 0

33 β) Αν x, να υολογίσετε: i το ημx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 8) α) συνx συνx 0 συνx 0 συνx ή συνx 0 συνx β) Αν x,, τότε συνx 0, οότε συνx i Είναι ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημx Εειδή x,, είναι ημx 0 άρα ημx ημx ii εφx συνx 191 Δίνεται η εξίσωση ημx ημx 0 α) Να βρείτε το ημx (Μονάδες 1) β) Αν x, να υολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 6) ii την εφx (Μονάδες 6) ημx ημx 0 ημx 0 ημx αδύνατο ή ημx 0 ημx α) 9 β) i Είναι ημ x συν x 1 συν x 1 συν x συν x 1 συνx Εειδή x,, είναι συνx 0 άρα συνx ημx ii εφx συνx 1 19 Δίνεται η εξίσωση συνx συνx 0 α) Να βρείτε το συνx (Μονάδες 1) x 0, να υολογίσετε: β) Αν i το ημx (Μονάδες 6) ii την εφx (Μονάδες 6) 1

34 α) συνx συνx 0 συνx 0 συνx ή συνx 0 συνx αδύνατο β) i Είναι ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x ημx 1 Εειδή x 0,, είναι ημx 0 άρα 1 ημx ii εφx συνx 1 1 Τριγωνoμετρικές συναρτήσεις 1917 Δίνεται η συνάρτηση f x 1 ημx ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 8 γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και την αίρνει όταν ημx 1, δηλαδή όταν x κ και το ελάχιστο είναι το και το αίρνει όταν x κ, κ γ) Ισχύει: f 0 ημ0 0 και f 8 ημ8 ημ 0 Άρα f 0 f Δίνεται η συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 6 γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και την αίρνει όταν ημx 1, δηλαδή όταν x κ και το ελάχιστο είναι το και το αίρνει όταν x κ, κ γ) Είναι f 0 ημ0 0 και f 6 ημ6 ημ 0, άρα f 0 f 6

35 1919Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και τη αίρνει όταν συνx 1 δηλαδή όταν x κ και το ελάχιστο είναι το x κ 1, κ Z και το αίρνει όταν γ) Ισχύει: f 0 συν0 1 και f συν 1, άρα f 0 f 1910 Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και το αίρνει όταν συνx 1 δηλαδή όταν x κ, και το ελάχιστο είναι το x κ 1, κ και το αίρνει όταν γ) Ισχύει: f 0 συν0 1 και f συν 1, άρα f 0 f 1911Δίνεται η συνάρτηση 1 f ( x) ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι: Η συνάρτηση 1 f ( x) ημx είναι της μορφής f ( x) ρημ ωx με ρ= 1 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω συνεώς Τ= 1 1 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ (ρ 0 ) 1 Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ ( ρ 0 ) και ω=1

36 γ) Είναι 1 1 f ( 0 ημ ), f ημ ημ0 0 άρα f 0 f 191Δίνεται η συνάρτηση f x 0,ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f f γ) Να αοδείξετε ότι Η συνάρτηση f x 0,ημx είναι της μορφής f ( x) ρημ ωx με ρ 0, και ω 1 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο T συνεώς Τ= ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ 0, (ρ 0 ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ 0, ( ρ 0 ) γ) Είναιf 0,ημ 0,ημ0 0,0 0, άρα f f f 0,ημ 0,ημ Δίνεται η συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f f γ) Να αοδείξετε ότι Η συνάρτηση f x ημx είναι της μορφής f x ρημ ωx με ρ και ω 1 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω συνεώς Τ= 1 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ (ρ 0 ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ ( ρ 0 ) γ) Είναι f ημ 0 0, f ημ ημ ημ 0,άρα f f 1918Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι Η συνάρτηση f x συνx είναι της μορφής f x ρσυν ωx με ρ και ω 1

37 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ (ρ 0 ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ ( ρ 0 ) συνεώς Τ= 1 γ) Είναι f 0 συν0 1, f συν συν(0),άρ ρα f 0 f 1910Δίνεται η συνάρτηση α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; β) Να υολογίσετε τις τιμές f 0,f,f γ) Να αοδείξετε ότι: Η συνάρτηση f x f 0 f 0 συνx f x α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω συνx με εδίο ορισμού το είναι της μορφής f x ρσυν ωx με ρ και συνεώς Τ= 1 (Μονάδες ) ω 1 β) f 0 συν0, γ) f 0 f 0 f συν, f συν συν0 1909Οι μαθητές της Β Λυκείου ενός ΕΠΑΛ μαίνοντας στο εργαστήριο ηλεκτρονικών εφαρμογών είδαν σε μια οθόνη ροβολών σχεδιασμένη αυτή τη γραφική αράσταση και σε ένα ίνακα δίλα γραμμένη τη φράση «συνάρτηση ημίτονο» α) Χρησιμοοιώντας το σχήμα να βρείτε οια είναι η ερίοδος της συνάρτησης αυτής (Μονάδες 7) β) Ποιο είναι το μέγιστο και οιο το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης; γ) i) Να γράψετε τον τύο της συνάρτησης (Μονάδες 8) ii) Να γράψετε τον τύο μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης ου η ερίοδός της να είναι ίση με τη μισή ερίοδο της συνάρτησης του σχήματος α) Αό το σχήμα αρατηρούμε ότι η ερίοδος της συνάρτησης είναι: T β) Το μέγιστο είναι ymax και το ελάχιστο είναι y min

38 γ) i) Ο τύος της συνάρτηση ης είναι της μορφής y ρημ ωx T ω ω ω, άρα είναι η y ημx με ρ και ii) Εειδή έχει τη μισή ερίοδο της συνάρτησης του σχήματος, είναι ω, άρα μια τέτοια συνάρτηση έχει τύο y ημx ω Τότε 1910Ένας μαθητής του τμήματος Βηλ ενός ΕΠΑΛ σχεδίασε στο τετράδιό του το αρακάτω σχήμα, αντιγράφοντας αό τον ίνακα στην ώρα των μαθηματικών Δεν ρόλαβε να σχεδιάσει όλο το σχήμα Θυμόταν όμως ότι ρόκειται για τη συνάρτηση ημίτονο α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης και οιο είναι το μέγιστο αυτής; β) Nα γράψετε τον τύο της συνάρτησης (Μονάδες ) γ) Να γράψετε την τετμημένη x του σημείου Α και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ α) Αό τη γραφική αράσταση αρατηρούμε ότι έχει ερίοδο και μέγιστο το β) Η γραφική αράσταση είναι της μορφής: y ρ ημωx, με ρ = και Τ ω 1 ω ω Άρα ο τύος της συνάρτησης είναι: y ημx γ) α τρόος (γραφικά) Παρατηρούμε ότι στο σημείο Γ η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο Τ Άρα yγ ΑΓ και x Γ β τρόος (αλγεβρικά) Παρατηρούμε ότι το σημείο Γ έχει τεταγμένη, δηλαδή y( Γ ΑΓ) και x 0, Αντικαθιστώντας στον τύο της συνάρτησης, αό το (β) ερώτημα ροκύτει: y y ημx x [0,] ημx 1 ημx x 6

39 1911 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνημιτονοειδούς συνάρτησης Είσης δίνονται οι τύοι δύο οριζόντιων ευθειών και οι συντεταγμένες του σημείου Β α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ερίοδο και το μέγιστο της συνάρτησης Να βρείτε και μια τιμή του x για την οοία η αραάνω συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο (Μονάδες 1) γ) Να γράψετε τον τύο της συνάρτησης (Μονάδες ) α) Παρατηρούμε ότι το σημείο Α βρίσκεται άνω στον άξονα x x, άρα οι συντεταγμένες του θα είναι x,0 Ειλέον αρατηρούμε το Α και το Β έχουν την ίδια τετμημένη Οότε και έτσι οι συντεταγμένες του Α είναι (,0) xa β) Αό τη γραφική αράσταση αρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει ερίοδο, και αρουσιάζει μέγιστο στο σημείο Β Άρα το μέγιστο της συνάρτησης θα είναι το y Β Αφού το Β έχει συντεταγμένες (,) άρα για x η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο γ) Η γραφική αράσταση είναι της μορφής: y ρσυνωx, με ρ και ω ω ω ω Άρα ο τύος της συνάρτησης είναι: y συνx 191α) Αν θεωρήσουμε ένα κύκλο ακτίνας 1cm, τότε όσο μήκος (σε cm) αντιστοιχεί σε ένα τόξο: i) 1 ακτινίου (rad); (Μονάδες ) ii) ακτινίων (rad); (Μονάδες ) β) Στο διλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφική αράσταση μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης f Το μήκος του ΑΒ είναι 1 εκατοστό και το μήκος του ΟΓ είναι 6 εκατοστά i) Ποια είναι η τετμημένη (το x) του σημείου Γ; (Μονάδες ) ii) Πόσο μήκος σε εκατοστά έχει το τμήμα ΟΔ; 7

40 (Μονάδες ) ii) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης f; Μορεί ο τύος της f να είναι ο f(x) ημx ; (Μονάδες 8) α) Γνωρίζουμε ότι το τόξο ενός ακτινίου είναι το τόξο ου έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου Οότε: i) το μήκος ου αντιστοιχεί σε τόξο 1rad είναι 1cm (αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm) ii) το μήκος ου αντιστοιχεί σε τόξο rad είναι cm,1 cm 6,8 cm β) i) Το σημείο Γ βρίσκεται άνω στον άξονα x x, και εειδή (ΟΓ) = 6 εκατοστά, το σημείο Γ θα έχει τετμημένη 6 ii) Εειδή ισχύει (ΟΔ) (ΟΓ) ΟΔ 6 cm 1 cm, άρα iii) Η συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ(ΟΔ) 1 cm και λάτος (ΑΒ) 1 α τρόος (γραφικά) Ο τύος της συνάρτησης δεν μορεί να είναι ο f(x) ημx Θα έρεε τότε η ερίοδος της συνάρτησης να είναι Αό τη γραφική αράσταση όμως ροκύτει ότι η ερίοδος της συνάρτησης είναι ΟΔ 1 β τρόος (αλγεβρικά) Η γραφική αράσταση είναι της μορφής: f(x) ρ ημωx, με ρ = 1 και Τ 1 1ω ω ω ω 1 6 x Άρα ο τύος της συνάρτησης είναι: f x 1 ημ x ημ και όχι f(x) ημx 6 6 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1 191α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου του x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1 ος τρόος: Η f x Η εξίσωση γράφεται ος τρόος: Είναι cm ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, ημx, ημx ημ x ημ 6, εομένως η εξίσωση γράφεται ημx ημ 6, οότε οι λύσεις x κ 6 δίνονται αό τους τύους κ Όμως x, x κ, άρα: 6 Αν x κ, τότε η τελική λευρά της γωνίας θα είναι στο ρώτο τεταρτημόριο οότε 6 αορρίτεται 8

41 Αν x κ τότε κ κ κ κ Όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οότε x β) Αφού x 6 τότε συνx συν συν συν α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου του x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1 ος τρόος: Η συνάρτηση f x ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ημx 10, 0, Είναι ημx ημx ημ x ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ, κ Αν x κ, τότε x 0, 0 κ 1 1 κ κ όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οότε x Αν x κ, τότε η τελική λευρά της γωνίας θα είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο οότε αορρίτεται β) Αφού x,είναι 1 συνx συν α) Να λύσετε την εξίσωση συνx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου του x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1 ος τρόος: Η συνάρτηση f x συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα συνx 0, 1 Είναι συνx συνx συν x ος 1 τρόος: συνx συνx συν x κ κ 0, 9

42 Αν x κ, τότε x 0, 0 κ 1 1 κ κ όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οότε x Αν x κ, τότε η τελική λευρά της γωνίας θα είναι στο ο τεταρτημόριο οότε αορρίτεται β) Αφού x,είναι ημx ημ 1916α) Αν για x, ισχύει ότι 1 συνx να αοδείξετε ότι ημx (Μονάδες 1) β) Να βρείτε την τιμή του x του ροηγουμένου ερωτήματος (Μονάδες 1) 1 1 α) x x 1 x 1 x 1 Εειδή x,, είναι x 0, άρα x 1 x 1 x 1 β)1ος τρόος: συνx συνx συν συνx συν x x Αν x, τότε 1 1 x Εειδή ο κ είναι ακέραιος, θα είναι 0, άρα x Αν x, τότε ου είναι αδύνατο αφού ο κ είναι ακέραιος 1 6 ος τρόος: Θεωρούμε συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία ισχύει f με, Άρα η λύση x είναι μια ροφανής λύση της εξίσωσης ημx στο, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα η λύση 0

43 x είναι μοναδική 1917α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου της αραληρωματικής γωνίας της x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ κ, κ Αν x, τότε Εειδή ο κ είναι 8 8 ακέραιος, είναι 0, άρα x Αν x, τότε η τελική λευρά της γωνίας βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και αορρίτεται αφού x 0, ος τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία ισχύει f με 0, Άρα η λύση x είναι μια ροφανής λύση της εξίσωσης ημx στο 0, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, άρα η λύση x είναι μοναδική β) Η αραληρωματική γωνία της είναι η και εειδή οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο, ισχύει ότι: 19160α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου της συμληρωματικής γωνίας της x ου βρήκατε στο ροηγούμενο ερώτημα (Μονάδες 1) α) 1ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ κ, κ 1

44 Αν x, τότε 0 Εειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0, άρα Αν x x , τότε η τελική λευρά της γωνίας βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και αορρίτεται αφού x 0, ος τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία ισχύει f με 0, Άρα η λύση x είναι μια ροφανής λύση της εξίσωσης ημx στο 0, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, άρα η λύση x είναι μοναδική β) Η συμληρωματική της γωνίας είναι η 6 6 και το συνημίτονό της είναι: 1 19α) Να λύσετε την εξίσωση ημx, αν x 0, (Μονάδες 1) 1 β) Αν ημx και x,0 οια είναι η τιμή του x; 1 α) 1ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ κ, κ Αν x 6, τότε Εειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0, άρα x 6 Αν x 6, τότε Εειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0, άρα x 6 ος τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία

45 1 1 ισχύει f και f με 0, και, 6 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, άρα η x είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης 6 1 f x στο διάστημα 0, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, άρα η λύση x είναι η μοναδική λύση της 6 εξίσωσης στο διάστημα, 1 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης ημx στο διάστημα 0, είναι x και x 6 6 β) Αό τις ροηγούμενες λύσεις, η x βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο και η συμμετρική 6 της ως ρος τον άξονα x x, η x βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και έχει : 6 1 Εειδή η 6 6 f x x είναι γνησίως αύξουσα στο,0, η x 6 είναι η μοναδική λύση της 1 ημx στο διάστημα αυτό

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων-4ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ

Τράπεζα Θεμάτων-4ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ Τράπεζα Θεμάτων-ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ (178) Δίνεται η συνάρτηση f (x) f x 8 x 8 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα