ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ Τεύχος ε 3 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ Κ Ε ε 1 ε Ι Ο Θ Η Ζ μ α Ψ ε 4 ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΕΚΟΣΕΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ»

2 ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ EΥΚΛΕΙΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ A ΤΕΥΧΟΣ Η συγγραφή και η επιστηµονική επιµέλεια του βιβλίου πραγµατοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΝΟΧΟΣ ΕΡΟΥ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΕΚΟΣΕΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ» indd 1 14/4/016 1:04:30 µµ

3 ΣΤΟΙΧΕΙ ΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ ΟΜ ΣΥΡΦΗΣ ργυρόπουλος Ηλίας ιδάκτωρ Μαθηματικών Ε.Μ. Πολυτεχνείου Καθηγητής /θμιας Εκπαίδευσης λάμος Παναγιώτης ιδάκτωρ Μαθηματικών Ε.Μ. Πολυτεχνείου Κατσούλης εώργιος Μαθηματικός Μαρκάτης Στυλιανός Επίκουρος Καθηγητής Τομέα Μαθηματικών Ε.Μ. Πολυτεχνείου Σίδερης Πολυχρόνης Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Ιστορικά Σημειώματα: ανδουλάκης Ιωάννης ιδάκτωρ Πανεπιστημίου Μ. Lomonosov Μόσχας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Φιλολογική Επιμέλεια: ημητρίου Ελένη Επιλογή εικόνων: Παπαδοπούλου Μπία Εικονογράφηση - Σελιδοποίηση: λεξοπούλου Καίτη ΣΤΟΙΧΕΙ ΕΠΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «ιόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠ / ΕΠ «Εκπαίδευση & ιά ίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του.σ. του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής indd 6/5/016 11:39:08 πµ

4 Π Ρ Ο Λ Ο Ο Σ γαπητοί Μαθητές, το τεύχος που κρατάτε στα χέρια σας περιέχει τις λύσεις των ασκήσεων του σχολικού σας βιβλίου. ν χρησιμοποιηθεί σωστά μπορεί να αποτελέσει πολύτιμη βοήθεια στην προσπάθειά σας vα καταλάβετε τις γεωμετρικές έννοιες που εισάγονται στο βιβλίο σας και να τις χρησιμοποιήσετε δημιουργικά. Σε καμμία περίπτωση το τεύχος των λύσεων δεν πρέπει να χρησιμοποιείται στην πρώτη δυσκολία που παρουσιάζει μία άσκηση ή για να καλύψει την "επιμέλεια" ενός μαθητή προς τον καθηγητή του στο σχολείο. ια να χρησιμοποιήσετε σωστά τις λύσεις των ασκήσεων πρέπει να ακολουθήσετε μια συγκεκριμένη μεθοδολογία. ρχικά, προσπαθήστε να λύσετε την άσκηση με διαφορετικούς τρόπους αντιμετώπισης. ν αποτύχετε κάντε μία επανάληψη στην αντίστοιχη θεωρία για να διαπιστώσετε ότι δεν έχετε κενά. Κατόπιν, ξαναπροσπαθήστε την άσκηση διαβάζοντας και την υπόδειξη που βρίσκεται στο τέλος του σχολικού βιβλίου. ν πάλι δυσκολεύεστε να λύσετε την άσκηση, τότε διαβάστε την ολοκληρωμένη λύση της. Φροντίστε να εντοπίσετε τα κύρια βήματα της λύσης, καθώς και τα κενά που σας οδήγησαν στο να μην αντιμετωπίζετε σωστά την άσκηση. Προσπαθήστε να διορθώσετε τα κενά αυτά και να ξαναλύσετε την άσκηση, χωρίς όμως να επαναλαμβάνετε τη λύση με στείρα απομνημόνευση, αλλά υλοποιώντας τα κύρια βήματά της. Τέλος, δοκιμάστε να λύσετε την άσκηση με διαφορετικό και ίσως καλύτερο τρόπο. Πρέπει να τονισθεί ότι οι λύσεις είναι προτεινόμενες, με την έννοια ότι είναι δυνατόν και ελπίζουμε να βρεθούν κομψότερες από τους μαθητές. Σημαντική είναι η προσπάθεια που έχει καταβληθεί, ώστε η κάθε άσκηση να προωθεί συγκεκριμένες αντιλήψεις και συνήθειες στο μαθητή, ενώ το σύνολο των ασκήσεων σε κατηγορία και διαβάθμιση οδηγούν τον μαθητή στην καλλιέργεια συγκεκριμένων ικανοτήτων. ια να επιτευχθούν οι στόχοι αυτοί, είτε μέσα στη λύση της κάθε άσκησης, είτε μετά την ολοκλήρωσή της, αναγράφεται ο διδακτικός της στόχος, ενώ οι ασκήσεις χωρίστηκαν στις παρακάτω κατηγορίες, δίνοντας φυσικά βαρύτητα στη διαβάθμιση των ασκήσεων κάθε κατηγορίας: 1) σκήσεις Εμπέδωσης: Οι ασκήσεις αυτές εισάγονται αμέσως μετά τη Θεωρία και τις Εφαρμογές, με σκοπό την εμπέδωση των εννοιών από τους μαθητές και τη χρήση τους σε απλές ασκήσεις. ) ποδεικτικές σκήσεις: Είναι ασκήσεις που ταιριάζουν στη φύση της εωμετρίας, καλλιεργώντας την αποδεικτική διαδικασία στους μαθητές. 3) Σύνθετα θέματα: Είναι θέματα που συνδυάζουν περισσότερες από μία γεωμετρικές έννοιες ή γνώσεις, είτε από το ίδιο κεφάλαιο, είτε από διαφορετικά, αναδεικνύοντας την κριτική σκέψη και συνδυαστική ικανότητα των μαθητών. 4) ενικές σκήσεις: Είναι ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας, που παρατίθενται στο τέλος κάθε Κεφαλαίου και απευθύνονται σε μαθητές με ιδιαίτερο ζήλο και αγάπη προς τη εωμετρία. 5) ραστηριότητες: Είναι αντικείμενο μελέτης ομάδας μαθητών ή και ενός, εφόσον του παρέχεται το κατάλληλο χρονικό διάστημα, ενώ θα πρέπει να δοθεί κάθε δυνατή βοήθεια και υποδείξεις από τον καθηγητή. Κάθε κεφάλαιο, τέλος, πλαισιώνεται από ερωτήσεις κατανόησης που συντελούν στη σωστή επανάληψη και καλύτερη οργάνωση της ύλης indd 3 14/4/016 1:04:30 µµ

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝ ΚΕΦΛΙΟ... 5 ΚΕΦΛΙΟ ΚΕΦΛΙΟ ΚΕΦΛΙΟ ΚΕΦΛΙΟ indd 4 14/4/016 1:04:30 µµ

6 ΚΕΦΛΙΟ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΕΙΞΕΙΣ πό τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία το ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. ια την επίλυση σχετικών ασκήσεων διακρίνουμε περιπτώσεις. (σκήσεις: ποδεικτικές 3, Σύνθετα 1) ν δύο τμήματα και έχουν κοινό μέσο Ο τότε Ο = Ο και Ο = Ο. ια να αποδείξουμε ότι δυο τμήματα έχουν κοινό μέσο, θεωρούμε το μέσο του ενός και αποδεικνύουμε ότι είναι μέσο και του άλλου τμήματος. (σκήσεις: ενικές ) ια να υπολογίσουμε την παραπληρωματική ϕ ή την συμπληρωματική θ μιας γωνίας ˆω θέτουμε: και. (σκήσεις:.19 ποδεικτικές 1, ) indd 5 14/4/016 1:04:31 µµ

7 σκήσεις Εμπέδωσης 1. i) Έξι ευθύγραμμα τμήματα, τα,,,, και. ii) Τα τμήματα που έχουμε στο σχήμα είναι τα,, AM, Κ,, Μ, Κ, Μ, ΜΚ και το Κ που δεν είναι σχεδιασμένο. Μ Κ. i) Τα σημεία τομής είναι τρία, τα, και. ii) Ορίζονται τρία ευθύγραμμα τμήματα, τα,,, και 1 ημιευθείες, οι εξής: Ax, x, Ay, Ay, By, By, Bz, Bz, x, x, z, z. z y' B x y z' x' 3. Είναι = + = + =, αφού =. ε 4. = Μ + Μ + Ν + Ν = Μ + Ν = = ( Μ + Ν) = ΜΝ, αφού Μ = Μ και Ν = Ν. Μ Ν ε ποδεικτικές σκήσεις 1. i) Έχουμε = Ε + ΕΖ + Ζ και = ΕΖ Ε Ζ, E Z + οπότε + = ΕΖ ( Ε = Ε, Ζ = Ζ) ΕΖ =. ii) Έχουμε + = ( + ) + = ( + ) + = +.. i) Έχουμε = Μ + Μ Άρα = Μ ( Μ = Μ) = Μ Μ Μ = indd 6 14/4/016 1:04:3 µµ

8 ii) Έχουμε = Μ + Μ + Άρα + = Μ Μ =. = Μ Μ ε 3. α) i) ν το είναι μεταξύ των και τότε = +. ii) ν το είναι μεταξύ των και τότε <, οπότε < +. iii) ν το A είναι μεταξύ των και τότε <, οπότε < +. Άρα πάντα έχουμε +. β) ια τα,, ισχύει + (1) ενώ για τα,, ισχύει B+ B (). πό (1), () προκύπτει ότι + +. Σύνθετα Θέματα 1. i) ν το είναι μεταξύ των και τότε: ii) Μ + Ε = + Ε = + = =. B Ε B ν το είναι στην προέκταση του, π.χ. προς Ε το μέρος του, τότε: Ε = Ε = = =.. ν παραστήσουμε με ε 1, ε, ε 3 και ε 4 τις τέσσερις ευθείες οδούς αρκεί να βρούμε πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών αυτών. Σε κάθε μια ευθεία, π.χ. την ε 1, οι άλλες ( 4 1) = 3ευθείες ορίζουν ( 4 1) = 3 σημεία. Άρα συνολικά θα ορίζονταν 4( 4 1) = 1 σημεία. λλά κάθε σημείο το υπολογίσαμε φορές, π.χ. το ως σημείο της ε 1 και της ε. Άρα τελικά ορίζονται 44 ( 1 ) 1 = = 6 σημεία. Επομένως χρειάζονται 6 τροχονόμοι. Όμοια οι ν ευθείες ορίζουν νν ( 1) σημεία. ε 4 ε ε 3 ε indd 7 14/4/016 1:04:33 µµ

9 σκήσεις Εμπέδωσης 1. Έχουμε xôz= yôt t z y ή yôz + zôt. O x Άρα xôy= zôt.. Είναι ω+ ˆ 1ορθή+ ˆ = ορθές, οπότε ω= ˆ 1ορθή ή 1 ω= ˆ ορθής. 3. Όταν το ρολόι δείχνει εννέα η ώρα ακριβώς οι δείκτες σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι δείκτες θα σχηματίζουν και πάλι ορθή γωνία μετά από 6 ώρες. Τότε το ρολόι δείχνει τρεις η ώρα ακριβώς. ποδεικτικές σκήσεις ω ω 1. Έστω xôy, yôz δύο εφεξής γωνίες και Ο, ΟΕ οι διχοτόμοι τους αντίστοιχα. z E y xôy yôz Τότε ÔΕ= Ô y+ yôε = +. Άρα ΟΕ ˆ xoy ˆ + yoz ˆ =. O x. Έχουμε: Ô Ô Άρα 3. Έχουμε: Ô = Ô + Ô Ô = Ô Ô Άρα Ο Ο+Ο ˆ ˆ. Ô Ô ( Ô = Ô) Ô = Ο indd 8 14/4/016 1:04:35 µµ

10 Σύνθετα Θέματα 1. Έχουμε: Ο = Οx+ xoy + yo Άρα Ο = xoy Οx Οy Ο + Ο =xoy (γιατί Οx = Οx, yo = Οy) Ο + Ο xoy =. y O x. Έχουμε: ˆ ˆ ˆ B E Ο Ο ˆ ˆ Ο ˆ 1 O σκήσεις Εμπέδωσης 1. Υπάρχουν άπειροι κύκλοι ακτίνας ρ που διέρχονται από το Κ. Τα κέντρα τους βρίσκονται στον κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. O 1 ρ O ρ Κ. Τα σημεία που είναι εσωτερικά του κύκλου (Ο, R) και εξωτερικά του κύκλου (Ο, ρ) φαίνονται στο διπλανό σχήμα. R O ρ indd 9 14/4/016 1:04:36 µµ

11 .19 ποδεικτικές σκήσεις 1. Επειδή η ε διέρχεται από το κοινό κέντρο Ο των κύκλων τα τμήματα και είναι διάμετροι αυτών με κοινό μέσον το Ο και επομένως έχουμε: Ο = Ο και Ο = Ο. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη προκύπτει: Ο Ο = Ο Ο =, σύμφωνα με το σχήμα. Επίσης έχουμε: = + = + = Ο. Έστω, δύο διάμετροι ενός κύκλου (Ο, R) τέτοιες ώστε Ο1 = Ο. Τότε η Ο είναι διχοτόμος της ευθείας γωνίας Ο, επομένως κάθε μια από τις Ο 1, Ο είναι ορθή γωνία. Η Ο 3, ως κατακορυφήν της Ο 1, είναι κι αυτή ορθή. Όμοια και η Ο 4. Έτσι οι επίκεντρες γωνίες Ο 1, Ο, Ο 3 και Ο 4 είναι ίσες, οπότε και τα αντίστοιχα τόξα αυτών είναι ίσα, δηλαδή = = = και επειδή τα τόξα αυτά αποτελούν ολόκληρο τον κύκλο προκύπτει το ζητούμενο. 1 Ο σκήσεις Εμπέδωσης 1. Έστω ημικύκλιο κέντρου Ο, δύο σημεία, αυτού και το σημείο Μ του ώστε Μ Μ. i) ια σημείο Ρ του ημικυκλίου, Ρ που δεν ανήκει στο έχουμε: Ρ = ΡΜ Μ και Ρ = ΡΜ + Μ. Με πρόσθεση αυτών κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι Μ Μ προκύπτει Ρ + Ρ ΡΜ ΡΜ 1 Ρ + Ρ ( ). Ο Μ Σ indd 10 14/4/016 1:04:37 µµ

12 .19 ii) Έστω σημείο Σ του τόξου Μ. Έχουμε (βλέπε σχήμα) Σ ΣΜ + Μ και Σ = Μ ΣΜ. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη, λαμβάνοντας πάλι υπόψη ότι Μ Μ προκύπτει: Σ Σ ΣΜ ΣΜ 1 Σ Σ ( ).. α) Είναι 80 και + 180, από τις οποίες με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε αντίστοιχα οπότε και ( ) 130 και 50, 130, ( ) 50. β) Η Ô είναι επίκεντρη και βαίνει στο, άρα ( Ο ) = ( ) =130. Όμοια ( Ô ) = Έστω ˆω και ˆφ δύο συμπληρωματικές γωνίες με ω = ϕ. Πρέπει ω+ ϕ =90 ή ϕ+ ϕ = 90 ή 3ϕ= 90. Άρα ϕ=30, οπότε ω= Είναι ω= oρθής = 90 = 108. Άρα η παραπληρωματική της ˆω είναι 5 5 ϕ= = 7. Η γωνία ˆω δεν έχει συμπληρωματική, αφού είναι αμβλεία γωνία. A Ο B ποδεικτικές σκήσεις 1. Έστω ϕ η παραπληρωματική της ω και θ η συμπληρωματική της. Τότε ϕ = 180 ω, θ = 90 ω και ϕ = 3θ. Άρα 180 ω= 390 ( ω) ή 180 ω= 70 3ω ή ω= 90. Άρα ω=45.. Έστω ω η συμπληρωματική της ϕ. Τότε ϕ = 90 ω και ϕ= ω 0. Άρα 90 ω= ω 0 ω= 110 ω = 55. Άρα ω=55 και ϕ=35. Ο Ο Ο Ο 3. Έχουμε = = =. Θέτουμε Ο Ο Ο Ο = = = =λ, οπότε indd 11 14/4/016 1:04:4 µµ

13 ενικές σκήσεις Ο = λ Ο = λ Ο = 3λ Ο = 4λ Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι Ο B A Ο + Ο + Ο + Ο = 10λ 360 = 10λ. Άρα. Επομένως Ο=36, Ο= 36 ( ) = 7, Ο = 336 ( ) = 108 και Ο= 436 ( ) = 144. ενικές σκήσεις 1. Έστω Ο το μέσο του. Τότε ΕΖ ΟΖ ΟΕ (1) λλά + ΟΖ Ο + Ζ + () και ΟΕ Ε Ο (3) πό (1), (), (3) προκύπτει ότι ΕΖ =.. Έστω Ο το μέσο του Ζ. Τότε Ο = ΟΖ. ια να είναι το Ο μέσο και του Ε αρκεί ΖΕ (αφού Ο = ΟΖ). Ο Ε Ζ Πράγματι ΖΕ Ζ Ε = = = = =. Ο Ζ Ε 3. Έχουμε: Ε + Ε = + = = = Ε ε = + = + > indd 1 14/4/016 1:04:43 µµ

14 ενικές σκήσεις 4. Έχουμε =360, οπότε = = 60. Άρα οι επίκεντρες γωνίες είναι: Ο=150 ˆ και Ο ˆ 60. Επομένως Ο+ Οx = Ο + Ο ˆ 60 ˆ ˆ ˆ (Οx διχοτόμος Ο ˆ ) Ο + Οx = 180, δηλαδή OA, Οx αντικείμενες ημιευθείες. x O ή φού ημικύκλιο και Μ μέσο, είναι Μ B Άρα ΜΚ Κ = = Μ + Μ = Μ + Μ Κ ΜΚ Μ Μ Μ 90 K M O 45. A indd 13 14/4/016 1:04:45 µµ

15 indd 14 14/4/016 1:04:45 µµ

16 3 ΚΕΦΛΙΟ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΕΙΞΕΙΣ Ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν ισαπέχει από τα άκρα του. ντίστοιχα ένα εσωτερικό σημείο γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της αν ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. (σκήσεις: 3.4 Σύνθετα ) ν δύο σημεία μιας ευθείας ε ισαπέχουν από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος η ευθεία ε είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (σκήσεις: 3.1 Εμπέδωσης ) Σε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, οπότε και οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες του τριγώνου είναι ίσες (παραπληρώματα ίσων γωνιών). (σκήσεις: 3.4 Σύνθετα 3 και 3.1 Εμπέδωσης 8) ια να συγκριθούν ανισοτικά δύο τρίγωνα πρέπει να έχουν απαραίτητα δυο πλευρές ίσες. (σκήσεις: 3.1 ποδεικτικές, 7) Όταν η διάμεσος είναι βασικό στοιχείο σε μια άσκηση, συχνά χρειάζεται να την προεκτείνουμε. (σκήσεις: 3.1 ποδεικτικές 3 και ενικές 7) indd 15 14/4/016 1:04:45 µµ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ, ΡΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΠΙΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ Τεύχος ε 3 ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ Κ ε ε Ι Ο Θ Η μ α Ψ ε 4 ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΚΟΣΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ» ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ EΥΚΛΕΙΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ A ΤΕΥΧΟΣ ος ΤΟΜΟΣ Η συγγραφή και η επιστημονική επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ, ΡΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΠΙΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ EΥΚΛΙΙ ΩΜΤΡΙ ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ A ΤΥΧΟΣ Η συγγραφή και η επιστημονική επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΕΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα 1. Πως ξεκινά η μελέτη εωμετρίας,δηλαδή από ποιες έννοιες και από ποιες παραδοχές; Η μελέτη της εωμετρίας ξεκινά από

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd..0 σκήσεις σχολικού βιβλίου (σελ. 3 4) ρωτήσεις Κατανόησης. ύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν i) κανένα κοινό σημείο ii) Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓ=ΑΔ(υπόθεση) ΒΔ = ΓΕ υποθεση

ΑΓ=ΑΔ(υπόθεση) ΒΔ = ΓΕ υποθεση ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ Άσκηση 1.Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και. 2 1 =(υπόθεση) = (υπόθεση) = 2 1 κατακορυφήν γωνίες πό το κριτήριο Π--Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και = Άσκηση 2 Χαράζουμε τις και επειδή τα, είναι σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï ï Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις πρωταρχικές έννοιες της Γεωµετρίας (σηµείο,ευθεία, επίπεδο). Να γνωρίζει τα

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 13 14

Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 13 14 1.1.10 σκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 13 14 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν κανένα κοινό σημείο Ένα κοινό σημείο i ύο κοινά σημεία iν) Άπειρα κοινά σημεία ιτιολογήστε την απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016 εν είναι δυνατή η προβολή αυτής της εικόνας αυτή τη στιγµή. ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΔΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ EΥΚΛΕΙΔΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ A ΤΕΥΧΟΣ 1ος ΤΟΜΟΣ Η συγγραφή και η επιστημονική επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝ ΚΕΦΛΙΟ 7ο : ΝΛΟΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-58 ΚΕΦΛΙΟ 8ο : ΟΜΟΙΟΤΗΤ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version )

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version ) 6.-6.4 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version 9-9-05) Σχόλιο ( 6.) Τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών είναι ίσα και αντίστροφα αν δύο τόξα που περιέχονται μεταξύ μή τεμνόμενων χορδών είναι ίσα, τότε οι χορδές

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β Γενικού Λυκείου

Α και Β Γενικού Λυκείου ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙΔΩΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ και ενικού Λυκείου ε 3 ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ μ α Ψ ε 4 Τόμος 1ος ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙΔΩΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ ΡΥΡΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1 2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Α ΤΑΞΗ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2016-2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164

Γενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1 ενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1. ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους και την κάθετη στη. Να αποδείξετε ότι = R R. Φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ Προαγωγικές εξετάσεις στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 214-215 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο Α. ΘΕΩΡΙΑ Α. Να γράψετε με πιο σύντομο τρόπο τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές - 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία

Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Β - Κεφάλαιο 2, Β. 2.2. Άξονα συμμετρία σχήματο ονομάζεται η ευθεία που χωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α και πως συμβολίζεται; Β. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι; Γ. Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN =

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN = 1 ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Δεχόμαστε ότι: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία

Διαβάστε περισσότερα