ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ"

Transcript

1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

2 ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται ένα εσωτερικό του σημείο Μ τέτοιο, ώστε Μ=Μ=.εχόμαστε ότι κάθε τμήμα έχει μοναδικό μέσο. ΘΜ ο Τι καλείται διχοτόμος γωνίας και πόσες διχοτόμους έχει μία γωνία ; ΠΝΤΗΣΗ ιχοτόμος μιας γωνίας xôy λέγεται η ημιευθεία Οδ, που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες, δηλαδή xôδ = δôy=. εχόμαστε ότι κάθε γωνία έχει μοναδική διχοτόμο. ΘΜ 3ο Τι καλούμαι εφεξής και τι διαδοχικές γωνίες ; ΠΝΤΗΣΗ ύο γωνίες λέγονται εφεξής, αν έχουν κοινή κορυφή, μία πλευρά κοινή και τις μη κοινές πλευρές εκατέρωθεν της κοινής, π.χ. οι γωνίες xôy και yôz είναι εφεξής. Η γωνία Ô είναι εφεξής με τη Ô, και η Ô είναι εφεξής με τη Ô. Οι γωνίες Ô, Ô, Ô λέγονται διαδοχικές. ΘΜ 4ο Τι καλούμαι συμπληρωματικές ; Τι παραπληρωματικές γωνίες και τι ισχύει για τα παραπληρώματα και τα συμπληρώματα των γωνιών ; ΠΝΤΗΣΗ ύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές αν έχουν άθροισμα μία ορθή γωνία. Καθεμία από αυτές λέγεται και συμπλήρωμα της άλλης, π.χ. οι γωνίες Ô και Ô είναι συμπληρωματικές. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

3 ύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές αν έχουν άθροισμα μια ευθεία γωνία. Καθεμία από αυτές λέγεται και παραπλήρωμα της άλλης. Προφανώς τα παραπληρώματα ή συμπληρώματα της ίδιας γωνίας (ή ίσων γωνιών) είναι ίσες γωνίες. ΘΜ 5ο Να αποδείξετε ότι :ύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες και αντίστροφα. ΠΝΤΗΣΗ ν οι εφεξής γωνίες Ô, Ô είναι παραπληρωματικές, το άθροισμά τους Ô είναι μία ευθεία γωνία. πομένως, από τον ορισμό της ευθείας γωνίας οι πλευρές Ο και Ο είναι αντικείμενες ημιευθείες. ντίστροφα. ν οι εφεξής γωνίες Ô, Ô έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, τότε από τον ορισμό του αθροίσματος δύο γωνιών προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών Ô και BÔ είναι η ευθεία γωνία Ô. Άρα, οι γωνίες Ô και Ô είναι παραπληρωματικές. ΘΜ 6ο Τι καλούμαι κατακορυφήν γωνίες ; ΠΝΤΗΣΗ ύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν, αν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης. Π.χ. οι γωνίες xôy και xôy' καθώς και οι γωνίες yôx' και xôy' είναι κατακορυφήν. ΘΜ 7ο Να αποδείξετε ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. ΠΝΤΗΣΗ Θεωρούμε τις κατακορυφήν γωνίες xôy και xôy'. Παρατηρούμε ότι οι δύο γωνίες είναι ίσες ως παραπληρώματα της ίδιας γωνίας yôx'. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

4 ΘΜ 8ο Να αποδείξετε ότι η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας είναι διχοτόμος της κατακορυφήν της γωνίας. ΠΝΤΗΣΗ Έστω οι κατακορυφήν γωνίες xôy και xôy' και η διχοτόμος Οδ της xôy. Τότε δôx = δôγ. ν Οδ' είναι η προέκταση της Οδ, τότε Ô = δôx και Ô = δôγ (ως κατακορυφήν). Άρα Ô = Ô, δηλαδή η Οδ' είναι διχοτόμος της x'ôy'. ΘΜ 9ο Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. ΠΝΤΗΣΗ Έστω Ô και Ô δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες και Ο, Ο οι διχοτόμοι τους. Τότε Ô + Ô = ή Ô + Ô = ή Ô + Ô = ή Ô =. Άρα Ο Ο. ΘΜ 0ο Πως ορίζεται το τόξο ενός κύκλου ; Πως ορίζεται το εσωτερικό σημείο ενός τόξου ; Τι καλείται χορδή ; Τι καλείται απόστημα ; Τι καλείται διάμετρος ; Ποια σημεία καλούνται αντιδιαμετρικά ; Ποια είναι η σχέση της διαμέτρου με την ακτίνα και πόσα κέντρα έχει ο κύκλος ; ΠΝΤΗΣΗ ς θεωρήσουμε έναν κύκλο, κέντρου Ο και δύο σημεία του και. Τα σημεία αυτά χωρίζουν τον κύκλο σε δύο μέρη. Το ένα βρίσκεται στο ημιεπίπεδο Π, που ορίζει η ευθεία, και το άλλο στο Π. Καθένα από τα μέρη αυτά λέγεται τόξο του κύκλου με άκρα και και συμβολίζεται με Κάθε σημείο ενός τόξου, διαφορετικό από τα άκρα του λέγεται εσωτερικό σημείο του τόξου. ια να αναφερθούμε στο ένα από τα τόξα με άκρα τα και, χρησιμοποιούμε και ένα εσωτερικό σημείο. Έτσι, τα τόξα του σχ. με άκρα, συμβολίζονται με και με το άλλο. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα άκρα, ενός τόξου λέγεται χορδή του τόξου. Η χορδή ενός τόξου λέγεται και χορδή του κύκλου. To μοναδικό κάθετο τμήμα ΟΚ που άγεται από το κέντρο Ο προς τη χορδή λέγεται απόστημα της χορδής. Μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος του κύκλου. Τα άκρα μιας διαμέτρου λέγονται αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου. ια παράδειγμα, το τμήμα είναι μια διάμετρος του κύκλου και τα σημεία, είναι αντιδιαμετρικά σημεία.ίναι φανερό ότι η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας και το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο της. πειδή το μέσο ενός τμήματος είναι μοναδικό, προκύπτει ότι το κέντρο κάθε κύκλου είναι μοναδικό. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

5 ΚΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ ΘΜ ο Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΠΝΤΗΣΗ Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Ένα τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,, και τρεις γωνίες, και. ια ευκολία οι πλευρές,, συμβολίζονται με α, β, γ αντίστοιχα, και οι γωνίες, και με,, και. Το άθροισμα α + β + γ των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή η περίμετρός του συμβολίζεται συνήθως με τ. Σημειώνουμε ότι με τ συμβολίζουμε την ημιπερίμετρο του τριγώνου δηλαδή ΘΜ ο Ποια είναι τα είδη του τριγώνου ως προς τις πλευρές του ; ΠΝΤΗΣΗ Συγκρίνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου, μεταξύ τους, προκύπτουν τρία είδη τριγώνων: το σκαληνό, το ισοσκελές και το ισόπλευρο. Έτσι, ένα τρίγωνο λέγεται: σκαληνό, όταν έχει όλες τις πλευρές του άνισες (σχ.) ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές του ίσες (σχ.3). Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο με = η πλευρά λέγεται βάση του και το κορυφή του, ισόπλευρο, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες (σχ.4). ΘΜ 3ο Ποια είναι τα είδη του τριγώνου ως προς τις γωνίες του ; ΠΝΤΗΣΗ Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, λέγεται οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες (σχ.5), ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή (σχ.6). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές του τριγώνου, αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία (σχ.7). ΘΜ 4ο Ποια είναι και πως ορίζονται τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου και πως ορίζεται η προβολή ενός σημείου σε ευθεία ; ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

6 ΠΝΤΗΣΗ Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του. ιάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Στο σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα Μ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α του τριγώνου και συμβολίζεται με μα. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ συμβολίζονται με μβ και μγ αντίστοιχα. ιχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Στο σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα είναι η διχοτόμος της γωνίας A του τριγώνου και συμβολίζεται με δα. Οι διχοτόμοι των γωνιών B και του τριγώνου συμβολίζονται με δβ και δγ αντίστοιχα. Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές, και συμβολίζονται αντίστοιχα με υα, υβ και υγ. Στο σχήμα το είναι το ύψος από την κορυφή. Το σημείο λέγεται προβολή του πάνω στην ευθεία ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το στην ευθεία. ΘΜ 5ο ιατυπώστε και αποδείξτε το ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων. ΠΝΤΗΣΗ Θεώρημα (ο Κριτήριο ΠΠ ): ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ΘΜ 6ο ποδείξτε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ισοσκελές τρίγωνο (με =). Φέρουμε τη διχοτόμο του. Τα τρίγωνα και έχουν =, κοινή και A = A (ΠΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε B =. πό την ίδια ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι =, οπότε η είναι διάμεσος και =. πό την τελευταία ισότητα και επειδή + = 80 προκύπτει ότι = = 90, οπότε συμπεραίνουμε ότι το είναι ύψος του τριγώνου. ΘΜ 7ο Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

7 ΠΝΤΗΣΗ φού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα όλες οι πλευρές του είναι ίσες άρα = άρα οι γωνίες = αφού όμως είναι ισόπλευρο άρα όμοια = άρα οι γωνίες = άρα ==. ΘΜ 8ο Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος και Μ ένα σημείο της. Τα τρίγωνα ΜΚ και ΜΚ έχουν Κ=Κ, ΜΚ κοινή και Κ = Κ = 90 (ΠΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε Μ= Μ. ΘΜ 9ο Να αποδείξετε ότι αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες. ΠΝΤΗΣΗ Έστω και δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ο,ρ). Τότε είναι Ô = Ô. Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν Ο = Ο(= ρ), Ο = Ο(= ρ) και Ô = Ô. επομένως είναι ίσα, οπότε και τα τόξα =. ΘΜ 0ο ιατυπώστε και αποδείξτε το ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων. ΠΝΤΗΣΗ Θεώρημα (ο Κριτήριο ΠΠ ) : ν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. πόδειξη Έστω ότι τα τρίγωνα και ''') έχουν = '', B= B' και = '. Θα αποδείξουμε ότι έχουν και = ''. Έστω ότι AB '', π.χ. > ''. Τότε υπάρχει σημείο στην, ώστε να είναι = ''. Τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και B= B', επομένως (ΠΠ) είναι ίσα, οπότε = '. λλά ' =, οπότε = που είναι άτοπο, γιατί το είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας και επομένως <. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι '', άρα =''. Τα τρίγωνα, λοιπόν, και '' έχουν = '', = '' και B = B', άρα (ΠΠ) είναι ίσα. ΘΜ ο ιατυπώστε και αποδείξτε το 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων. ΠΝΤΗΣΗ Θεώρημα (3ο Κριτήριο ΠΠΠ ): ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

8 πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' με = '', = '', = '' (σχ.7). ρκεί να αποδείξουμε ότι A= A. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. Θεωρούμε την ημιευθεία x, ώστε Bx = B' και σημείο της, ώστε = ''. Τα τρίγωνα και ''' είναι ίσα, γιατί έχουν = '', = '' και B= B'. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι = '' και = A. πειδή = '' και '' =, το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε A= (). πίσης, αφού = '' και '' =, προκύπτει ότι A= (). πειδή τα τρίγωνα είναι οξυγώνια το τμήμα βρίσκεται στο εσωτερικό των γωνιών A και, οπότε με πρόσθεση των () και () προκύπτει ότι A=. πειδή = A, έχουμε A= A, που είναι το ζητούμενο. ΘΜ ο Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ισοσκελές τρίγωνο με = και η διάμεσός του.τα τρίγωνα και έχουν =, κοινή και =, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα, οπότε A = A, και =. πό τις ισότητες αυτές προκύπτει αντίστοιχα ότι η είναι διχοτόμος και ύψος. ΘΜ 3ο Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο πού ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ευθύγραμμο τμήμα, Μ ένα σημείο, ώστε Μ = Μ και Κ το μέσο του. Τότε το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές και η ΜΚ διάμεσός του, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα, η ΜΚ θα είναι και ύψος δηλαδή η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του. ΘΜ 4ο Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. ΠΝΤΗΣΗ Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

9 ΘΜ 5ο Να αποδείξετε ότι αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα και ότι οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. ΠΝΤΗΣΗ Έστω δύο τόξα και ενός κύκλου (Ο,ρ) μικρότερα του ημικυκλίου, με =. Τότε τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν: Ο= Ο (= ρ), Ο = Ο (= ρ) και =, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα. πομένως, Ο = Ο, οπότε =. φού τα τόξα = τότε και τα τόξα είναι ίσα αφού βρίσκονται στον ίδιο κύκλο ως διαφορές ίσων τόξων. ΘΜ 6ο Να διατυπώσετε όλες τις περιπτώσεις ισότητας τριγώνων. ΠΝΤΗΣΗ ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΠ), μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (Π), και τις τρεις πλευρές ίσες μία προς μία (ΠΠΠ). ΘΜ 7ο Να αποδείξετε ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ευθεία x'x, σημείο εκτός αυτής και σημείο Μ της x'x. ν η Μ είναι κάθετη στην x'x, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η Μ δεν είναι κάθετη στην x'x. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η x'x και δεν περιέχει το θεωρούμε την ημιευθεία Μy ώστε να είναι xμy = AM x και πάνω σε αυτή σημείο, ώστε Μ = Μ. πειδή τα σημεία, είναι εκατέρωθεν της x'x, η x'x τέμνει την σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. φού Μ = Μ και Μ = Μ, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο Μ, άρα είναι και ύψος και επομένως x'x. Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία Λ κάθετη στην x'x. Τότε τα τρίγωνα ΜΛ και ΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, Μ = Μ και Μ = Μ, οπότε θα είναι και Λ = Λ. Όμως Λ= 90, άρα και Λ = 90, οπότε Λ + Λ= 80 το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία,λ, είναι συνευθειακά, δηλαδή η Λ ταυτίζεται με την Κ, που είναι άτοπο. ΘΜ 8ο Ποια κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων προκύπτουν άμεσα από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων; ΠΝΤΗΣΗ πειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το ο (ΠΠ) και ο (Π) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι: ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

10 ΘΜ 9ο Να αποδείξετε ότι αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΠΝΤΗΣΗ Έστω δύο τρίγωνα και ''' με A = A'=90, = '' και B = B'. Θα αποδείξουμε ότι είναι και = ''. Έστω ότι '', π.χ. > ''. Τότε στην πλευρά υπάρχει σημείο, ώστε = ''. Τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και = ', επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι = ' = 90, δηλαδή. Έτσι έχουμε Λ και που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ''. Άρα = '', οπότε τα τρίγωνα και ''' είναι ίσα, γιατί έχουν = '', = '' και = ' (ΠΠ). ΘΜ 0ο Να αποδείξετε ότι αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΠΝΤΗΣΗ Έστω δύο τρίγωνα και ''' με A = A' = 90, = '' και = ''. Θα αποδείξουμε ότι και B = B'. Στις προεκτάσεις των και '' θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία και ', ώστε να είναι = και '' = ''. Τότε η είναι μεσοκάθετος του και η '' μεσοκάθετος του ''. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι = και '' = ''. πό τις τελευταίες ισότητες και την = '' προκύπτει ότι = ''. Έτσι τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και = '' (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων και ''), επομένως είναι ίσα, οπότε B = B'. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΠ). ΘΜ ο Να αποδείξετε ότι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. ΠΝΤΗΣΗ Συγκρίνω τα και τρίγωνα αυτά έχουν : = (από υπόθεση αφού τρίγωνο ισοσκελές) = (κοινή πλευρά) ==90 ο (αφού ύψος από υπόθεση) Άρα από κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων ς τα τρίγωνα είναι ίσα (αφού έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μια ) άρα = άρα μέσο του άρα διάμεσος και αφού πάλι από την ισότητα τριγώνων = άρα διχοτόμος της γωνίας. ΘΜ ο Να αποδείξετε ότι η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

11 ΠΝΤΗΣΗ ς θεωρήσουμε έναν κύκλο (Ο,ρ), μια χορδή του και την κάθετη ΟΚ της, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ. πειδή το τμήμα ΟΚ είναι ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο Ο (Ο= Ο = ρ), σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα είναι διάμεσος και διχοτόμος, δηλαδή το Κ είναι μέσο του και Ô = Ô. φού Ô = Ô προκύπτει ότι Μ = Μ. ΘΜ 3ο Να διατυπώσετε όλες τις περιπτώσεις ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ΠΝΤΗΣΗ Όλες οι περιπτώσεις ισότητας ορθογώνιων τριγώνων διατυπώνονται συνοπτικά ως εξής: ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: ύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Μία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. ΘΜ 4ο Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. ΠΝΤΗΣΗ Ορθό. 'στω οι ίσες χορδές και ενός κύκλου (Ο,ρ) και ΟΚ, ΟΛ τα αποστήματά τους αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΚΟ και ΛΟ, έχουν Κ = Λ = 90, Ο = Ο (= ρ) και Κ = Λ (αφού = ). πομένως είναι ίσα, οπότε ΟΚ = ΟΛ. ντίστροφα. Έστω ότι τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα. Τότε τα τρίγωνα ΚΟ και ΛΟ έχουν Κ = Λ = 90, Ο = Ο και ΟΚ = ΟΛ, επομένως είναι ίσα, οπότε AK = Λ ή AB = ή =. ΘΜ 5ο Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. ΠΝΤΗΣΗ Ορθό. Έστω μια γωνία xôy και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ. Φέρουμε MA Ox και MB Oy. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι ίσα γιατί έχουνa = B = 90, ΟΜ κοινή και ΜÔ = ΜÔ, επομένως Μ = Μ. ντίστροφα. Έστω Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας. Φέρουμε MA Ox και MB Oy και υποθέτουμε ότι Μ = Μ. Τότε τα τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι πάλι ίσα, αφούa = B = 90, ΟΜ κοινή και Μ=Μ και επομένως ΜÔ = ΜÔ, οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ. ΘΜ 6ο Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας; ΠΝΤΗΣΗ Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της μίας γωνίας είναι η διχοτόμος της γωνίας αυτής. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

12 ΘΜ 6ο Τι καλείται γεωμετρικός τόπος και ποιους γεωμετρικούς τόπους γνωρίζετε; ΠΝΤΗΣΗ εωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. Οι μέχρι τώρα γνωστοί γ.τ. είναι : ο κύκλος είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο. η μεσοκάθετος ενός τμήματος είναι επίσης ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ένας άλλος γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. ΘΜ 7ο Πότε δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ; Τι καλείται κέντρο συμμετρίας ; Τι καλείται κεντρική συμμετρία και τι θα συμβεί αν στρέψουμε ένα σχήμα Σ με κέντρο συμμετρίας Ο κατά 80 ο γύρω από το Ο ; ΠΝΤΗΣΗ ύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο,αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σ'. ηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο του σχήματος το συμμετρικό του ', ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. Aν στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο,κατά 80 ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό. ΘΜ 8ο Ποια από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα έχουν κέντρο συμμετρίας; ΠΝΤΗΣΗ πό τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα: Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.α). Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.β). Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.γ). ΘΜ 9ο Πότε δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία ε ; Τι καλείται άξονας συμμετρίας ; Τι καλείται αξονική συμμετρία και τι θα συμβεί αν διπλώσουμε ένα σχήμα Σ με άξονα συμμετρίας ε κατά μήκος του άξονα ; ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

13 ΠΝΤΗΣΗ ενικότερα δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντίστροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σ'. ηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο του σχήματος το συμμετρικό του ', ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. ν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, ώστε, αν διπλώσουμε το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε, τα μέρη αυτά θα ταυτιστούν. ΘΜ 30ο Ποια από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα έχουν άξονα συμμετρίας; ΠΝΤΗΣΗ πό τα γνωστά μας σχήματα Το ευθύγραμμο τμήμα έχει άξονες συμμετρίας τη μεσοκάθετό του μ και τον φορέα του ε (σχ.α). Η ευθεία x'x έχει άξονα συμμετρίας κάθε ευθεία ε x'x και την ίδια τη x'x (σχ.β). Ο κύκλος έχει άξονα συμμετρίας το φορέα δ κάθε διαμέτρου του (σχ.γ). Το ισοσκελές τρίγωνο (=) έχει άξονα συμμετρίας το φορέα μ του ύψους (σχ.δ). Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας τους φορείς των τριών υψών του (σχ.ε). ΘΜ 3ο Να αποδείξετε ότι κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Ποια πορίσματα προκύπτουν από το παραπάνω θεώρημα ; ΠΝΤΗΣΗ Έστω τρίγωνο. Φέρουμε τη διάμεσο (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το, θεωρούμε σημείο, ώστε =. πειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας Ax έχουμε A Ax = Aεξ. Όμως τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν: =, = και =, οπότε =. πό την τελευταία ισότητα και την A Aεξ προκύπτει ότι Aεξ >. Όμοια αποδεικνύεται ότι και Aεξ> B. Τα πορίσματα που προκύπτουν από το παραπάνω θεώρημα είναι : ) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 80. ΘΜ 3ο Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. Ποια πορίσματα προκύπτουν από το παραπάνω θεώρημα ; ΠΝΤΗΣΗ Έστω τρίγωνο με β > γ. Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο της, ώστε =. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση και επομένωςb = = ω. πειδή η είναι εσωτερική ημιευθεία της ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

14 γωνίας B, είναι B > B ενώ η ως εξωτερική γωνία του τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τη, δηλαδή >. Έτσι έχουμε B > ω και ω >, επομένως B >. ντίστροφα. Έστω τρίγωνο με B >. Τότε θα είναι και β>γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β<γ τότε B = ή B< αντίστοιχα, που είναι άτοπο. Τα πορίσματα που προκύπτουν από το παραπάνω θεώρημα είναι : (i) ν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. (ii) ν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές. (iii) ν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. ΘΜ 33ο Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα της τριγωνικής ανισότητας ; ΠΝΤΗΣΗ Θεώρημα τριγωνικής ανισότητας : Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. πόδειξη Έστω τρίγωνο. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ ι' αυτό προεκτείνουμε την πλευρά, προς το,κατά τμήμα =. Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η εσωτερική ημιευθεία της, οπότε έχουμε αντίστοιχα = και <. πό τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι <, από την οποία σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι < ή α < β + γ. Όμοια προκύπτει ότι β < γ + α και γ < α + β. πό τις ανισότητες αυτές, αντίστοιχα προκύπτει ότι α > β - γ, αν β γ ή α > γ - β, αν γ β,δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο. πομένως: ΘΜ 34ο Να αποδείξετε ότι : ν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα ΠΝΤΗΣΗ Έστω και δύο ίσα πλάγια τμήματα και Κ το κάθετο τμήμα. To τρίγωνο είναι ισοσκελές και το Κ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή Κ = Κ. ντίστροφα. Έστω ότι Κ = Κ. Στο τρίγωνο το Κ είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή =. ΘΜ 35ο Να αποδείξετε ότι : ν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. (ii) ν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

15 ΠΝΤΗΣΗ (i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ, η γωνία Κ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. πομένως η πλευρά είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, > Κ. (ii) Έστω ευθεία ε και σημείο εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο Κ στην ε και δύο πλάγια τμήματα,, όπου, σημεία της ε. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη, των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ. ς υποθέσουμε ότι Κ > Κ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι >. φού το είναι μεταξύ των Κ,, η B είναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου Κ, επομένως B > Κ =,δηλαδή η είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο η πλευρά βρίσκεται απέναντι από την, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή >. ντίστροφα. ς υποθέσουμε ότι >. ν ήταν Κ = Κ, τότε θα είχαμε =, που είναι άτοπο. ν Κ <Κ τότε τότε θα είχαμε < που είναι άτοπο άρα Κ>Κ. ΘΜ 36ο Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου πως ορίζονται αυτές ; ΠΝΤΗΣΗ Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο,R) μια ευθεία x'x και την απόσταση δ = Ο του κέντρου Ο από την x'x. Μεταξύ των δ και R ισχύει μία από τις σχέσεις: δ > R, δ = R και δ < R. Έστω δ > R. Τότε το είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, οπότε και κάθε άλλο σημείο Μ της ευθείας είναι εξωτερικό, αφού OM > OA > R. πομένως, η x'x δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου. Έστω δ = R. Τότε το είναι κοινό σημείο της ευθείας με τον κύκλο, ενώ κάθε άλλο σημείο Μ της x'x είναι εξωτερικό σημείο του (Ο,R), αφού ΟΜ > Ο= R. πομένως, η x'x έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο. Το σημείο λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. πίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία x'x εφάπτεται του κύκλου (Ο,R) στο σημείο. ίναι φανερό ότι:η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική. Έστω δ < R. Τότε το είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία x θεωρούμε ένα σημείο Μ, ώστε Μ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > Μ = R. Έτσι η ημιευθεία x, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοινό σημείο με τον κύκλο, το. Όμοια και η ημιευθεία x' έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το '. πομένως, η x'x έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία x'x, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με το κύκλο λέγονται σημεία τομής της με τον κύκλο. πίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο. νακεφαλαιώνοντας έχουμε: ν δ>r, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. ν δ=r, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο. ν δ<r, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

16 ΘΜ 37ο Να αποδείξετε ότι μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία και αντίστροφα. ΠΝΤΗΣΗ ς υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο,ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, τα,,. πειδή Ο= Ο (= ρ) και Ο = Ο (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ,ζ των, αντίστοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε τις ξ, ζ, που είναι άτοπο. ΣΧΟΛΙΟ : πό το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι τρία οποιαδήποτε σημεία ενός κύκλου δεν είναι συνευθειακά. ΘΜ 38ο Τι καλούνται εφαπτόμενα τμήματα από ένα σημείο Ρ εκτός κύκλου (Ο,ρ) και τι διακεντρική ; ΠΝΤΗΣΗ Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ, θα δούμε ότι από το Ρ φέρονται δύο εφαπτόμενες του κύκλου. ν, είναι τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο, τότε τα τμήματα Ρ και Ρ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ και η ευθεία ΡΟ διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ. ΘΜ 39ο Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους και κατόπιν να αναφέρετε τα πορίσματα που προκύπτουν από το θεώρημα αυτό. ΠΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΟΡ και ΟΡ έχουν A = = 90, ΟΡ κοινή και Ο = Ο (= ρ), άρα είναι ίσα, οπότε Ρ = Ρ. Τα πορίσματα που προκύπτουν είναι : ν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική ευθεία του: (i) είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής, (ii) διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής. ΘΜ 40ο Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων από τι εξαρτώνται; Να διακρίνετε περιπτώσεις. ΠΝΤΗΣΗ Οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων εξαρτώνται από τη σχέση της διακέντρου με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους ιακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία (i) Ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν και μόνο αν δ < R ρ (σχ.α) (ii) Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρίσκεται ο ένας στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ > R + ρ (σχ.ε). φαπόμενοι κύκλοι (i) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν και μόνο αν δ = R - ρ (σχ.β). ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

17 (ii) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ = R + ρ (σχ.δ). Το κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων λέγεται σημείο επαφής και είναι σημείο της διακέντρου. Τεμνόμενοι κύκλοι Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R - ρ (σχ.γ). Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. ΘΜ 4ο Να αποδείξετε ότι η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. ΠΝΤΗΣΗ Έστω οι κύκλοι (KR) και (Λ,ρ) του και, τα σημεία τομής τους. πειδή Κ = Κ = R, το σημείο Κ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του. Όμοια από την Λ = Λ = ρ προκύπτει ότι και το Λ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του. Άρα, η ΚΛ είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής του κύκλου. ΠΡΤΗΡΗΣΗ Στην περίπτωση που οι τεμνόμενοι κύκλοι (Κ, R) και (, ρ) είναι ίσοι, δηλαδή έχουν R = ρ, τότε και η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου. Πράγματι, επειδή R = ρ, θα είναι Κ = Λ και Κ = Λ. Άρα τα και είναι σημεία της μεσοκαθέτου του Κ και επομένως η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου ΚΛ. ΘΜ 4ο Πως ορίζεται η κοινή εξωτερική εφαπτομένη και πως η κοινή εσωτερική εφαπτομένη; ΠΝΤΗΣΗ Η ευθεία ε του διπλανού σχήματος, που εφάπτεται και στους δύο κύκλους και τους αφήνει προς το ίδιο μέρος της λέγεται κοινή εξωτερική εφαπτομένη, ενώ η ευθεία ζ που έχει τους κύκλους στους οποίους εφάπτεται εκατέρωθεν αυτής λέγεται κοινή εσωτερική εφαπτομένη. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

18 ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ ΘΜ ο Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΠΝΤΗΣΗ Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών εκαι ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, είναι οι παρακάτω: i) ταυτίζονται (σχ.α), ii) τέμνονται (σχ.β), iii) δεν τέμνονται (σχ.γ). Στην τρίτη περίπτωση οι ευθείες ε και ε λέγονται παράλληλες, ώστε: υο ευθείες ε και ε που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες ευθείες. ια να δηλώσουμε ότι οι ε και ε είναι παράλληλες, γράφουμε ε//ε. ΘΜ ο Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ότι ω = φ. ν οι ευθείες ε, ε τέμνονται σε σημείο, η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. Άρα ε//ε. ΘΜ 3ο Να αποδείξετε την πρόταση : ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ΠΝΤΗΣΗ Έστω ότι ε//ε και ε μια τέμνουσα.θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. ν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την x ώστε οι γωνίες xab και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε x//εγιατί τεμνόμενες από την σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. ΘΜ 4ο Ποια πορίσματα προκύπτουν από την πρόταση : ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ΠΝΤΗΣΗ ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

19 ΘΜ 5ο Να αποδείξετε ότι : ν δυο διαφορετικές ευθείες ε και ε είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες, δηλαδή αν ε//ε και ε//ε, τότε ε//ε. ΠΝΤΗΣΗ ν οι ε και ε τέμνονταν σε σημείο, θα είχαμε από το δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε//ε. ΘΜ 6ο Να αποδείξετε ότι αν δυο ευθείες ε και ε είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. Ποιο πόρισμα προκύπτει από αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε στο. ν η ε δεν έτεμνε την ε, θα ήταν ε//ε και έτσι θα είχαμε από το δύο παράλληλες προς την ε, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε. Πόρισμα : ν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δυο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. ΘΜ 7ο Να αποδείξετε ότι : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. Ποιο πόρισμα προκύπτει από αυτή την πρόταση ; ΠΝΤΗΣΗ Έστω ότι η ε τέμνει τις ε,ε στα και αντίστοιχα και ότι φ + ω. Τότε οι ε και ε δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω. Έστω ότι οι ε και ε τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου Κ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία A δηλαδή ω > A= - φ ή ω + φ >, που είναι άτοπο. Άρα οι ε,ε τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. ΠΟΡΙΣΜ: Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δυο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δυο γωνιών είναι μικρότερο των δυο ορθών. ΘΜ 8ο Πως κατασκευάζουμε ευθεία ε παράλληλη προς μία ευθεία ε από ένα σημείο εκτός αυτής ; ΠΝΤΗΣΗ ίδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία ε', η οποία διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. ια την κατασκευή της ε' φέρουμε από το ένα πλάγιο τμήμα προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ ώστε να έχει κορυφή το, η μια πλευρά της να είναι η και η άλλη πλευρά της να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. πειδή A = φ έχουμε //ε, αφού τεμνόμενες από την, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία είναι η ζητούμενη ευθεία ε'. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

20 ΘΜ 9ο Να αποδείξετε ότι δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ΠΝΤΗΣΗ ς θεωρήσουμε δύο γωνίες xay και x'y' με x//x' και y//y', δηλαδή δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους, μία προς μία παράλληλες. ν προεκτείνουμε τις x' και By' θα τέμνουν τις x και y στα σημεία και αντίστοιχα. Έτσι όλες οι γωνίες του σχήματος λόγω των παραλλήλων θα είναι ίσες με ω ή φ. Παρατηρούμε ότι: ν και οι δυο γωνίες είναι οξείες είναι ίσες. ν και οι δυο γωνίες είναι αμβλείες είναι ίσες. ν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία,είναι παραπληρωματικές. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: υο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ΘΜ 0ο Έστω εκαι ε δυο παράλληλες που τέμνονται από ευθεία ε. Να αποδειχθεί ότι (i) Οι διχοτόμοι δυο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες. (ii) Οι διχοτόμοι δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες. ΠΝΤΗΣΗ i) Έστω x, By οι διχοτόμοι των γωνιών A και αντίστοιχα. Τότε ω = A/ και φ = /. λλά A = (ως εντός εναλλάξ). πό τα παραπάνω προκύπτει ότι ω = φ. Οι ω και φ όμως είναι εντός εναλλάξ γωνίες των ευθειών x και By με τέμνουσα την. Άρα x//by. (ii) ν z διχοτόμος της ΜA, τότε z x (ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών). φού x//by, θα είναι και Az By. ΘΜ ο Τι καλείται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και τι καλείται περίκεντρο ; ΠΝΤΗΣΗ ια κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τις τρεις κορυφές του. Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και επιπλέον το κέντρο του είναι ένα σημείο στο οποίο συντρέχουν και οι τρεις μεσοκάθετοι του τριγώνου και λέγεται περίκεντρο. ΘΜ ο Να αποδείξετε ότι οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κυκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. ΠΝΤΗΣΗ Έστω τρίγωνο και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών του, και αντίστοιχα. Οι μεσοκάθετοι Κx και Λy των, θα τέμνονται σε σημείο Ο, αφού τέμνονται οι κάθετες ευθείες τους και. Το Ο ισαπέχει από τις κορυφές και αφού ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς, δηλαδή Ο=Ο. πίσης Ο=Ο, αφού το Ο ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς. πομένως ισχύει ότι Ο=Ο, οπότε το Ο θα ανήκει και στη μεσοκάθετο της. Άρα, ο κύκλος (O,OA) θα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου και είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

21 ΘΜ 3ο Τι καλείται εγγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο και τι καλείται έγκεντρο ; ΠΝΤΗΣΗ Ένας άλλος σημαντικός κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του, για κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος με την ιδιότητα αυτή. Ο κύκλος αυτός λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και το κέντρο του, το οποίο λέγεται έγκεντρο, θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου. ΘΜ 4ο Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ΠΝΤΗΣΗ Έστω τρίγωνο και οι διχοτόμοι και των γωνιών του και αντίστοιχα. Οι και τέμνονται σε σημείο I αφού + = + < + < Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της θα ισαπέχει από τις πλευρές της και, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ. νάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της, δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. πομένως το Ι ισαπέχει από τις και και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή απόσταση του Ι από τις πλευρές του, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ΘΜ 5ο Πως ορίζεται ο παρεγγεγραμμένος στο τρίγωνο κύκλοςκαι τι καλείται παράκεντρο ; ΠΝΤΗΣΗ Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται πaρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ια, Ιβ, Ιγ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι ΘΜ 6ο Να αποδείξετε ότι : Οι διχοτόμοι δυο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δυο άλλων. ΠΝΤΗΣΗ ς θεωρήσουμε τις διχοτόμους x και y των δύο εξωτερικών γωνιών εξ και εξ αντίστοιχα, του τριγώνου. Οι x και y τέμνονται σε σημείο Iα, αφού ισχύει ότι: x + y = εξ/ + εξ/ = - ( + )/ <. Το Ια ισαπέχει από τη και την προέκταση της, καθώς και από την προέκταση της. πομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A, αφού ισαπέχει από τις πλευρές της. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

22 ΘΜ 7ο Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. πόδειξη πό μια κορυφή, π.χ. την, φέρουμε ευθεία xy//b. Τότε ω = () και φ = (), ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων xy και με τέμνουσες και αντίστοιχα. λλά ω + A + φ = (3). πό τις (), () και (3) προκύπτει ότι : A + + = ΘΜ 7ο Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τα πορίσματα που προκύπτουν από το θεώρημα : Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές ΠΝΤΗΣΗ Τα πορίσματα είναι : i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ii) ν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60. πόδειξη i) Έχουμε A + B + = και εξ + =, οπότε A + B + = εξ + ή εξ = A + B. ii) - iv) Προφανή. ΘΜ 8ο υο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες ΠΝΤΗΣΗ Έστω οι γωνίες xôy = ω και x'ô'y'= φ με Οx O'x' και Oy O'y'. Τα τρίγωνα Ο και Ο' έχουν A = B = και = (κατακορυφήν). Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. ΘΜ 9ο υο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ii) υο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. ΠΝΤΗΣΗ i) Πράγματι, (παραπάνω σχήμα) είναι θ + ω =, θ' + φ =, οπότε θ =θ', αφού ω = φ. ii) Πράγματι, (παραπάνω σχήμα) είναι θ+ ω =, οπότε θ + φ =, αφού ω = φ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

23 ΘΜ 0ο Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι ν-4 ορθές. ΠΝΤΗΣΗ Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι ν ορθές. ν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô+Ô+Ô Ôν = 4 ορθές έχουμε: ν = (ν - 4) ορθές. Άλλη απόδειξη. ς θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο... ν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν- τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των και ν που διέρχονται από την κορυφή, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. πειδή το άθροισμα των γωνιών των ν- τριγώνων είναι (ν-)=(ν-4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι: ν = (ν - 4) ορθές. ΘΜ ο Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτου ν γώνου είναι 4 ορθές. ΠΝΤΗΣΗ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

24 ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ΘΜ ο Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; ΠΝΤΗΣΗ Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται τετράπλευρο. Κάθε κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους και, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους. Στα επόμενα, όταν λέμε τετράπλευρο, θα εννοούμε κυρτό τετράπλευρο. Το τετράπλευρο που έχει δύο μόνον πλευρές παράλληλες λέγεται τραπέζιο. Το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο ΘΜ ο Να δοθεί ο ορισμός του παραλληλογράμμου. ΠΝΤΗΣΗ Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. ΘΜ 3ο Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου ΠΝΤΗΣΗ Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. (ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. (iii) Οι διαγωνιοί του διχοτομούνται. πόδειξη των i), ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα, Έχουμε: = = ω (εντός εναλλάξ). κοινή πλευρά. = = φ (εντός εναλλάξ). Άρα τα τρίγωνα, είναι ίσα, οπότε = και =. πίσης έχουμε A = και = = φ + ω. πόδειξη της ιδιότητας iii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ο, Ο. Έχουμε: = = = ω (εντός εναλλάξ). A = = φ (εντός εναλλάξ). Άρα, τα τρίγωνα Ο, Ο είναι ίσα, οπότε Ο = Ο και Ο = Ο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

25 ΘΜ 4ο Ποια πορίσματα προκύπτουν από τον ορισμό και τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου ; ΠΝΤΗΣΗ ΠΟΡΙΣΜ Ι Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του. ια το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου ΠΟΡΙΣΜ ΙΙ Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δυο παράλληλες ευθείες είναι ίσα. ΘΜ 5ο Τι καλείται απόσταση παραλλήλων ; Τι καλείται ύψος και τι βάσεις παραλληλογράμμου ; ΠΝΤΗΣΗ ν τα τμήματα είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος. ΘΜ 6ο Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα δηλαδή πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ; ΠΝΤΗΣΗ Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: Οι απέναντι πλευρές ανά δυο είναι ίσες. (ii) υο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. (iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δυο είναι ίσες. (iv) Οι διαγωνιοί του διχοτομούνται πόδειξη Θεωρούμε τετράπλευρο. ια να αποδείξουμε τα κριτήρια, θα πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να αποδείξουμε ότι σε κάθε περίπτωση, οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου είναι παράλληλες. (i) Έστω = και =. ν φέρουμε τη διαγώνιο, τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα και που είναι ίσα, γιατί =, = και κοινή πλευρά. Άρα = = ω και = = φ, οπότε // και //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. (ii) Έστω // =. Τα τρίγωνα και είναι ίσα, γιατί =, = = ω και η είναι κοινή πλευρά. πομένως, όμοια με το (i), το είναι παραλληλόγραμμο. (iii) ν = = ω και = = φ η σχέση = 4 γράφεται ω + φ = 4 ή φ + ω =. πομένως, έχουμε ότι + =, οπότε // και + =, οπότε //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. (iv) Έστω Ο = Ο και Ο = Ο. Τα τρίγωνα Ο και Ο, καθώς και τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα. πομένως, όμοια με το (i), θα είναι // και //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

26 ΘΜ 7ο Ποια είναι τα είδη των παραλληλογράμμων ; ΠΝΤΗΣΗ ιακρίνουμε τρία είδη παραλληλογράμμων: το ορθογώνιο, το ρόμβο και το τετράγωνο. ΘΜ 8ο Πως ορίζεται το ορθογώνιο και τι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Ορισμός : Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. πειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), προκύπτει ότι όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές. ΘΜ 9ο Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η ιδιότητα του ορθογωνίου. ΠΝΤΗΣΗ Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. πόδειξη Έστω ορθογώνιο. Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοι και είναι ίσες.τα τρίγωνα και είναι ίσα (A = = 90, κοινή, = ), οπότε = ΘΜ 0ο Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο. ΠΝΤΗΣΗ Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) ίναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναιίσες. (iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές. (iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. πόδειξη (i) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του παραλληλογράμμου. (ii) Έστω παραλληλόγραμμο με =. Τότε τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, =, κοινή), οπότε A =. λλά A + =, οπότε A = =. πομένως, το είναι ορθογώνιο. (iii) ν έχει τρεις ορθές γωνίες θα είναι και η άλλη ορθή, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι 4. (iv) ν όλες οι γωνίες είναι ίσες, προφανώς όλες είναι ορθές. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

27 ΘΜ ο Πως ορίζεται ο ρόμβος και τι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Ορισμός : Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. πειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες. ΘΜ ο Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του ρόμβου. ΠΝΤΗΣΗ Ιδιότητες του ρόμβου (i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. (ii) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. πόδειξη Έστω ρόμβος. πειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η διάμεσος του Ο είναι ύψος του και διχοτόμος της γωνίας A. πομένως και η διχοτομεί την A. Όμοια η διχοτομεί τη και η τις και. ΘΜ 3ο Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος. ΠΝΤΗΣΗ Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και δυο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (iii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. (iv) ίναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του. πόδειξη (i) και (ii) Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου. (iii) Έστω παραλληλόγραμμο με. Στο τρίγωνο η Ο είναι διάμεσος, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. πίσης, η Ο είναι και ύψος, επειδή. Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε =. πομένως το είναι ρόμβος. (iv) Έστω παραλληλόγραμμο και διχοτόμος τηςa. Τότε πάλι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (αφού Ο διχοτόμος και διάμεσος), οπότε το είναι ρόμβος. ΘΜ 4ο Πως ορίζεται το τετράγωνο ; ΠΝΤΗΣΗ Ορισμός : Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

28 ΘΜ 5ο Να διατυπωθούν οι ιδιότητες του τετραγώνου ; ΠΝΤΗΣΗ πό τον ορισμό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. πομένως, σε κάθε τετράγωνο: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. (ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. (iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. (iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. ΘΜ 6ο Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο. ΠΝΤΗΣΗ ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος. ποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο, αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (ii) Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του. (iii) Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες. (iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (v) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του. (vi) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες. ΘΜ 7ο Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα το οποίο αναφέρεται στην ένωση των μέσων δύο πλευρών ενός τριγώνου ΠΝΤΗΣΗ Θεώρημα : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τα μέσα, των, αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι // = B/. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα EZ =. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα = //, οπότε = //, αφού =. Έτσι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε: (i) // άρα // και (ii) // ή = ή = /. ΘΜ 8ο Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα το οποίο αναφέρεται στην ευθεία που φέρεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου παράλληλης προς μία πλευρά της. ΠΝΤΗΣΗ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

29 Θεώρημα : ν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και ας φέρουμε από το μέσο της την παράλληλη προς την που τέμνει την στο. Θα αποδείξουμε ότι το είναι το μέσο της. Έστω ότι το δεν είναι μέσο της. ν Z είναι το μέσο της, το τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών και, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα //. Έτσι, όμως, έχουμε από το δύο παράλληλες προς τη, που είναι άτοπο. Άρα το είναι μέσο της. ΘΜ 9ο Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα που αναφέρεται στις τρεις παράλληλες ευθείες που ορίζουν ίσα τμήματα σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει ; ΠΝΤΗΣΗ Θεώρημα : ν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. πόδειξη Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε, ε, ε3 οι οποίες τέμνουν την δ στα σημεία,, και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, (σχ.). ν μια άλλη ευθεία δ τέμνει τις ε, ε, ε3 στα σημεία,, αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι =. Φέρουμε Κ //. Τότε τα τετράπλευρα Η και ΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε Η = () και ΗΚ = (). Στο τρίγωνο Κ το είναι το μέσο της και Η // Κ. Άρα το Η είναι μέσο της Κ, δηλαδή Η = ΗΚ (3). πό τις (), () και (3) προκύπτει ότι =. ΘΜ 0ο Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η πρόταση ορισμός της μεσοπαραλλήλου ΠΝΤΗΣΗ Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δυο παράλληλες ευθείες ε και ε είναι μία ευθεία ε παράλληλη προς τις ε και ε, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δυο παράλληλες. Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των ε και ε. πόδειξη Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε και ε και ένα τμήμα = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις ε και ε. ν από το μέσο Κ της φέρουμε την ευθεία ε παράλληλη προς τις ε και ε, παρατηρούμε ότι κάθε σημείο Μ της ε ισαπέχει από τις ε και ε, αφού Μ = Μ = υ/. ντίστροφα, αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τις ε και ε, το Μ τότε είναι σημείο μεταξύ των παραλλήλων και ισχύει Μ + Μ = = υ, οπότε Μ = Μ = υ/. Έτσι τα τετράπλευρα ΜΚ και ΜΚ είναι παραλληλόγραμμα (Μ// = Κ, Μ // = Κ), οπότε ΜΚ // ε, ε. πομένως, το Μ ανήκει στην ευθεία ε. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΡΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/05/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Β ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τόμος 1ος Μαθηματικά ΓΥΜΝΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα