Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Transcript

1 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd..0 σκήσεις σχολικού βιβλίου (σελ. 3 4) ρωτήσεις Κατανόησης. ύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν i) κανένα κοινό σημείο ii) Ένα κοινό σημείο iii) ύο κοινά σημεία iν) Άπειρα κοινά σημεία ιτιολογήστε την απάντηση σας πάντηση Μπορεί να έχουν κανένα κοινό σημείο ή ένα μόνο κοινό σημείο. ιαφορετικά θα ταυτίζονται.. Στο παρακάτω σχήμα ποιες ημιευθείες ορίζονται: i) με αρχή το σημείο ii) με αρχή το σημείο ψ χ Ποιες από αυτές είναι αντικείμενες; πάντηση i) Με αρχή το ορίζονται οι ημιευθείες x και ψ ii) Με αρχή το οι x, ψ ντικείμενες είναι : η x με την ψ η x με τη ψ 3. Τα σημεία,, και είναι συνευθειακά. ν το είναι μεταξύ των, και το μεταξύ των,, να δικαιολογήσετε γιατί το είναι μεταξύ των και πάντηση φού το είναι μεταξύ των και το θα είναι αριστερά του

2 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd φού το είναι μεταξύ των και το θα είναι δεξιά του Τα και βρίσκονται λοιπόν εκατέρωθεν του άρα το θα είναι μεταξύ των και 4. Οι ημιευθείες Οx και Οx του παρακάτω σχήματος είναι αντικείμενες ; Ο x x πάντηση Όχι αφού δεν έχουν τον ίδιο φορέα 5. Πόσες ευθείες ορίζουν τρία διαφορετικά σημεία ; πάντηση Τα δύο εκ των τριών σημείων ορίζουν μία μόνο ευθεία. ν λοιπόν το τρίτο σημείο είναι πάνω σ αυτή (σχήμα ), τότε τα τρία σημεία ορίζουν μία μόνο ευθεία. ν όμως δεν είναι πάνω σ αυτή (σχήμα ) τότε ορίζονται δύο ακόμα ευθείες οι και Σχήμα Σχήμα

3 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3 σκήσεις μπέδωσης. Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από όλα τα σημεία των παρακάτω σχημάτων. i) ii) Μ Κ i) AB, A,,,, ii) Μ,, Κ,, Μ, Κ,, Κ, Μ, ΚΜ. Σχεδιάστε τρεις ευθείες, οι οποίες να τέμνονται ανά δύο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο και βρείτε i) πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών ii) πόσες ημιευθείες και πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται. z y χ χ z y Έστω xx, yy, zz οι τρεις ευθείες i) Οι ευθείες xx, yy τέμνονται σε ένα μόνο σημείο. Ομοίως οι yy, zz τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, και οι zz, xx σε σημείο. Άρα τρία σημεία τομής των ευθειών. ii) Με αρχή το έχουμε τις ημιευθείες y, Ay, z, Az, τέσσερις το πλήθος. Άλλες τέσσερις με αρχή το και άλλες τέσσερις με αρχή το. Σύνολο, λοιπόν, δώδεκα ημιευθείες. Τα σημεία,, ανά δύο δημιουργούν ένα ευθ. τμήμα. Άρα έχουμε τρία ευθ. τμήματα τα,,. 3

4 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 4 3. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία,, και ώστε =. Να δικαιολογήσετε ότι =. 4. Μ Ν = + = + = Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία, και. ν Μ και Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να δικαιολογήσετε ότι = ΜΝ. ος τρόπος ίναι = Μ και = Ν Προσθέτουμε κατά μέλη. Τότε Όλα εξαρτώνται από τα τμήματα και. Θέτουμε, λοιπόν, = β και = γ. + = Μ + Ν = (Μ + Ν) = ΜΝ Κάθε άλλο τμήμα θα το εκφράσουμε συναρτήσει των β, γ. = + = β+ γ Μ = Μ = = ΜΝ = (Μ + Ν) = = = β+ γ =. Ν = Ν = = ποδεικτικές σκήσεις. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα,,. ν, Ζ είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) EZ = A ii) + = + Ζ 4

5 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 5 Όλα εξαρτώνται από τα τμήματα, και. Θέτουμε, λοιπόν, = β, = γ και = δ Κάθε άλλο τμήμα θα το εκφράσουμε συναρτήσει των β, γ και δ. = = Ζ = Ζ = = β + γ + δ i) Ζ = + + Ζ = + γ + = A = () πό τις (), () EZ = A () ii) + = = β + γ + γ + δ = β + γ + δ (3) + = β + γ + δ + γ = β + γ + δ (4) πό τις (3), (4) + = +. Σε ευθεία ε θεωρούμε τμήμα, το μέσο του Μ, τυχαίο εσωτερικό σημείο του τμήματος Μ και τυχαίο σημείο εξωτερικό του τμήματος. Να αποδείξετε ότι i) Μ = ii) Μ = Μ Έστω ότι το βρίσκεται πέραν του. Όλα εξαρτώνται από τη θέση των σημείων,,,.. Θέτουμε, λοιπόν, = β, = γ και = δ Κάθε άλλο τμήμα θα το εκφράζουμε συναρτήσει των β, γ και δ. 5

6 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 6 = = β γ, = = δ β, = = δ γ Μ = Μ = AB = i) Μ = Μ = γ = = () () πό τις (), () Μ = ii) M = Μ = δ = (3) = (4) πό τις (3), (4) Μ = 3. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τριάδα συνευθειακών σημείων,, ισχύει +. ii) ν τα σημεία,,, είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι i) + +. α) Όταν μεταξύ και Προφανώς ισχύει η ισότητα. β) Όταν μεταξύ και B Προφανώς ισχύει η ανισότητα γ) Όταν μεταξύ και 6

7 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 7 Προφανώς ισχύει η ανισότητα ii) φαρμόζουμε το i) για τη τριάδα,, : A + () φαρμόζουμε το i) για τη τριάδα,, : + () () A + () + + Σύνθετα Θέματα. ν,, είναι τρία συνευθειακά σημεία και, τα μέσα των, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι = Όλα εξαρτώνται από τη θέση των σημείων,,. Θέτουμε, λοιπόν, = β, = γ. Κάθε άλλο τμήμα το εκφράζουμε συναρτήσει των β, γ = = γ β = = = = = = + = + = = = () = = () πό τις (), () =.. πό μια περιοχή διέρχονται τέσσερις ευθείες οδοί, έτσι ώστε ανά δύο να διασταυρώνονται και ανά τρεις να μη διέρχονται από το ίδιο σημείο. Η τροχαία για να διευκολύνει την κίνηση θέλει να τοποθετήσει ένα τροχονόμο σε κάθε 7

8 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 8 διασταύρωση. Πόσοι τροχονόμοι χρειάζονται; Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα για ν δρόμους ( ν ) ε 3 ε το πλήθος των διασταυρώσεων είναι 4 4 ε 4 ε Κάθε ευθεία (ας πούμε η ) τέμνει τις υπόλοιπες σε 3 = 4 σημεία. Άρα το πλήθος των σημείων τομής όλων των ευθειών με όλες είναι (4 ).4 =. Έτσι όμως, έχει υπολογισθεί δύο φορές η κάθε διασταύρωση. Άρα = 6. πομένως θα χρειαστούν 6 τροχονόμοι Με τους ίδιους συλλογισμούς, όταν οι οδοί είναι πλήθους χρειαστούν τροχονόμοι. ν, θα..6 σκήσεις σχολικού βιβλίου (σελ. 0 ) ρωτήσεις Κατανόησης. Ποιο είναι το συμμετρικό του σημείου ως προς ε i) την ευθεία ε ii) την ευθεία ε iii) το σημείο Μ ιτιολογήστε την απάντηση σας πάντηση A M B i) Ως προς την ευθεία ε είναι το, διότι ή ε είναι μεσοκάθετος στο τμήμα ε ii) Ως προς την ευθείς ε είναι ο εαυτός του αφού βρίσκεται πάνω στην ε 8

9 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 9 iii) Ως προς το Μ είναι το αφού το Μ μέσο του τμήματος. Στο διπλανό σχήμα να βρείτε τις οξείες, τις ορθές και τις αμβλείες γωνίες που υπάρχουν. πάντηση Οξείες γωνίες είναι οι : xoψ, ψοz, zot x ψ Ο Ζ t Ορθές οι : xoz, ψοt μβλεία είναι η : xot 3. Να γράψετε τρία ζεύγη εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών που x υπάρχουν στο διπλανό σχήμα. A πάντηση ˆ και ˆ και ˆ ˆ x B ˆ και ˆ x 4. Στο διπλανό σχήμα i) Οι γωνίες ˆ και ii) Οι γωνίες ˆ και ιτιολογήστε την απάντηση σας ˆ είναι εφεξής; ˆ είναι διαδοχικές; O B A πάντηση i) Όχι διότι δεν έχουν κοινή πλευρά ii) Όχι διότι δεν είναι εφεξής 5. Υπάρχει περίπτωση η συμπληρωματική μιας γωνίας να είναι ίση με την παραπληρωματική της ; πάντηση 9

10 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Όχι διότι : αν η γωνία είναι οξεία τότε η συμπληρωματική της θα είναι και αυτή οξεία, ενώ η παραπληρωματική της θα είναι αμβλεία και αν η γωνία είναι αμβλεία δεν θα έχει συμπληρωματική ενώ θα έχει παραπληρωματική σκήσεις μπέδωσης. Θεωρούμε τις διαδοχικές γωνίες Να δικαιολογήσετε ότι ˆ xoy = ˆ zot. ˆ xoy, ˆ yoz και ˆ zot, ώστε ˆ xoz = ˆ yot. x O y z t πό τα δύο μέλη της ισότητας αφαιρούμε την κοινή γωνία η ισότητα ˆ xoy = ˆ zot. ˆ xoz = ˆ yot ˆ yoz, οπότε προκύπτει. Να υπολογίσετε σε μέρη ορθής, τη γωνία ω του παρακάτω σχήματος. ίναι ω + + ω = ω = ω = ω ω 3. Ένα ρολόι τοίχου δείχνει εννέα η ώρα ακριβώς. Τι γωνία σχηματίζουν οι δείκτες του ρολογιού; Μετά από πόσες ώρες (φυσικό αριθμό) οι δείκτες του ρολογιού θα σχηματίζουν ίση γωνία; Σχηματίζουν ορθή γωνία. Μετά από 6 ώρες, δηλαδή ώρα τρεις. 0

11 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd ποδεικτικές ασκήσεις. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής γωνιών σχηματίζουν γωνία ίση με το ημιάθροισμα των γωνιών αυτών. O Έστω ˆ xoy, ˆ yoz οι δύο εφεξής γωνίες και 3 4, οι διχοτόμοι τους αντίστοιχα. ίναι ˆ = ˆ = xoy ˆ και ˆ = ˆ 3 4 = ˆ yoz x y z ˆ = ˆ + ˆ = 3 ˆ xoy + ˆ yoz δ δ = ( ˆ xoy + ˆ yoz ). Θεωρούμε κυρτή γωνία ˆ, τη διχοτόμο της Ο και τυχαία ημιευθεία Ο εσωτερική της γωνίας ˆ, όπου Ο η αντικείμενη ημιευθεία της Ο. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ Τα ανεξάρτητα (αυθαίρετα) στοιχεία είναι οι γωνίες ˆ και ˆ. A φ O Θέτουμε, λοιπόν ˆ = ω, ˆ =φ Ο διχοτόμος ˆ = ˆ = ˆ = φ + ˆ = φ + = ˆ ˆ = = Άρα ˆ ˆ ˆ

12 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3. Θεωρούμε κυρτή γωνία εσωτερική της γωνίας O φ ˆ, τη διχοτόμο της Ο και τυχαία ημιευθεία Ο ˆ. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ Τα ανεξάρτητα (αυθαίρετα) στοιχεία είναι οι γωνίες Θέτω ˆ = ˆ φ = ˆ ˆ = Άρα ˆ = ω, ˆ και ˆ =φ ˆ. Ο διχοτόμος ˆ = ˆ = φ = ˆ = = ˆ ˆ ˆ Σύνθετα Θέματα. ίνονται οι διαδοχικές γωνίες y ρ 4 3 Ο φ ω x ˆ, ορθές. ν Οx, Oy είναι οι διχοτόμοι των γωνιών αποδείξετε ότι ˆ xoy = AOˆ ˆ ˆ, ˆ με άθροισμα μικρότερο από δύο ˆ, ˆ αντίστοιχα, να Τα ανεξάρτητα (αυθαίρετα) στοιχεία είναι οι γωνίες Θέτω ˆ = ω, ˆ, ˆ και ˆ =φ, ˆ. ˆ = ρ. Οx διχοτόμος ˆ = ˆ = Oy διχοτόμος ˆ = ˆ = 3 4

13 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3 xoy ˆ = ˆ + φ + ˆ = 3 + φ + = AOˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = = = Άρα ˆ xoy = AOˆ ˆ. Θεωρούμε αμβλεία γωνία ˆ και στο εσωτερικό της την ημιευθεία Ο Ο. ν Ο, Ο οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ και ˆ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ˆ =. Το ανεξάρτητο (αυθαίρετο) στοιχείο είναι η γωνία ˆ. Θέτω ˆ = ω. Ο Ο διχοτόμος ˆ = () Ο Ο ˆ = ˆ = ˆ = ω Ο διχοτόμος ˆ = ˆ = ˆ = () ˆ = ˆ ˆ (),() = =..7.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελ. 5 ρωτήσεις κατανόησης. Να δώσετε τον ορισμό του κύκλου (Ο, ρ). Πότε δύο κύκλοι λέγονται ίσοι; Πώς ελέγχεται η ισότητα δύο κύκλων ; 3

14 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 4 πάντηση Ονομάζουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ. ύο κύκλοι λέγονται ίσοι όταν με κατάλληλη μετατόπιση ο ένας ταυτίζεται με τον άλλο Με την σύγκριση των ακτίνων τους. Πότε ένα σημείο λέγεται εσωτερικό ενός κύκλου και πότε εξωτερικό; πάντηση σωτερικό λέγεται όταν η απόσταση του από το κέντρο είναι μικρότερη της ακτίνας και εξωτερικό όταν η απόσταση του από το κέντρο είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα. 3. Τι λέγεται γεωμετρικός τόπος ; πάντηση Ονομάζουμε γεωμετρικό τόπο ένα σύνολο σημείων του επιπέδου τα οποία έχουν μία κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα 4. Τι λέγεται διάμετρος ενός κύκλου και ποια η σχέση της με την ακτίνα ; πάντηση Ονομάζουμε διάμετρο την χορδή η οποία διέρχεται από το κέντρο του κύκλου Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας 5. Τι λέγεται τόξο κύκλου με άκρα, και τι χορδή του ; Πως ορίζεται η ισότητα και η ανισότητα δύο τόξων ενός κύκλου Ονομάζουμε τόξο με άκρα, κάθε ένα από τα δύο μέρη στα οποία χωρίζεται ο κύκλος από τα σημεία και. Χορδή του τόξου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα αν και μόνο αν οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σ αυτά είναι ίσες.ύο τόξα είναι άνισα όταν οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σ αυτά είναι ομοιοτρόπως άνισες 4

15 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 5 6. Τι λέγεται επίκεντρη γωνία και τι αντίστοιχο τόξο της ; Ποια σχέση ισότητας ανισότητας υπάρχει μεταξύ επικέντρων γωνιών και αντιστοίχων τόξων; πάντηση Μία γωνία την λέμε επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. ντίστοιχο τόξο αυτής λέμε το τόξο που περιέχεται στο εσωτερικό της. υο επίκεντρες γωνίες ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αντίστοιχα τους τόξα είναι ίσα. Οι επίκεντρες είναι άνισες αν και μόνο αν τα αντίστοιχα τους τόξα είναι άνισα 7. Τι λέγεται μέσο τόξου; ν τα σημεία Μ, Ν είναι μέσα ενός τόξου, τι συμπεραίνετε για αυτά ; πάντηση ίναι το εσωτερικό του σημείο το οποίο διαιρεί το τόξο σε δύο ίσα τόξα Τα σημεία Μ και Ν συμπίπτουν 8. Στο διπλανό σχήμα είναι ˆ ˆ. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το τόξο είναι ίσο με το τόξο ; πάντηση Όχι διότι οι γωνίες δεν είναι επίκεντρες σκήσεις μπέδωσης. Σχεδιάστε έναν κύκλο ακτίνας, που να διέρχεται από σταθερό σημείο Κ. Πόσους τέτοιους κύκλους μπορούμε να χαράξουμε στο επίπεδο; Πού βρίσκονται τα κέντρα τους;. 5

16 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 6 Θεωρώ τυχαίο σημείο Μ του κύκλου, ράφω κύκλο,. Μπορούμε να χαράξουμε άπειρους τέτοιους κύκλους, αλλάζοντας τη θέση του σημείου Μ πάνω στον κύκλο,. Τα κέντρα Μ όλων αυτών των κύκλων βρίσκονται πάνω στον κύκλο,.. Σχεδιάστε δύο κύκλους O,R και O, με R. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που είναι εσωτερικά του κύκλου O,R και εξωτερικά του O,.. ίναι τα σημεία του λευκού μέρους του σχήματός μας ποδεικτικές σκήσεις. ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, ρ) με R > ρ. Μία ευθεία ε διέρχεται από το Ο και τέμνει τους κύκλους στα διαδοχικά σημεία,,,. Να αποδείξετε ότι = και =.. = Ο Ο = R ρ O = Ο Ο = R ρ Άρα = = Ο + Ο = R + ρ = Ο + Ο = ρ + R Άρα = 6

17 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 7. ν δύο διάμετροι σχηματίζουν δύο εφεξής γωνίες ίσες, τότε να αποδείξετε ότι διαιρούν τον κύκλο σε τέσσερα ίσα τόξα.. Έστω ˆ = ˆ οι ίσες εφεξής γωνίες. O 3 4 ίναι ˆ = ˆ (κατά κορυφή) 3 και ˆ = ˆ για τον ίδιο λόγο. 4 Οι τέσσερις γωνίες ίσες τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι ίσα, δηλαδή..9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 ρωτήσεις Κατανόησης. Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθούν τα τόξα i) ii) iii) πάντηση i) ii) iii). Ο Στο παρακάτω σχήμα να βρεθούν τα τόξα B A i) ii) B iii) Ο A 7

18 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 8 iν) i) ii) iii) = iν) = 0 3. Το μέτρο ενός τόξου είναι αριθμός α. αρνητικός β. μηδέν γ. θετικός δ. μη αρνητικός Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση μη αρνητικός δ 4. Πώς ορίζεται το μέτρο μιας γωνίας ; Μέτρο γωνίας λέγεται το μέτρο του αντίστοιχου τόξου, όταν καταστήσουμε τη γωνία επίκεντρη σε κάποιον κύκλο. 5. ν στο παρακάτω σχήμα είναι = μ ο, τότε η γωνία ˆ θα είναι μ ο ; K A O B Όχι διότι δεν είναι επίκεντρη σκήσεις μπέδωσης. Σε ημικύκλιο δίνονται τα σημεία, και σημείο Μ του τόξου AB, ώστε MA MB. 8

19 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 9 i) ν Ρ σημείο του ημικυκλίου που δεν ανήκει στο τόξο AB, να αποδείξετε ότι = ( + ). ii) ν Σ σημείο του τόξου, να αποδείξετε ότι = ( ). i). Μ Ρ ρκεί να δειχθεί ότι = + Έχουμε = + MA () = MB () () + () + = ii). ρκεί να δειχθεί ότι Μ Σ = Έχουμε = + MA (3) = MB (4). (3) (4) = 0 Σε ημικύκλιο διαμέτρου θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε 80. Να βρείτε τα μέτρα: i) των τόξων και ii) των γωνιών ˆ και ˆ (Ο είναι το κέντρο του κύκλου) i) Έστω = ω και = φ ω φ 9 Ο

20 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Έχουμε ω + φ = 80 ο () ω φ = 80 ο () () + () ω = 60 ο ω = 30 ο () () φ = 00 ο φ = 50 ο ii) ˆ = 30 ο και ˆ = 50 ο 3. ύο γωνίες είναι συμπληρωματικές. ν η μία είναι διπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμία από τις γωνίες αυτές. Έστω ω, φ οι δύο γωνίες ν μια γωνία ω είναι τα 65 μιας ορθής γωνίας, να υπολογίσετε σε μοίρες την παραπληρωματική της. Η γωνία ω έχει συμπληρωματική γωνία; ο = 6.8 ο = 08 ο 5 5 ν φ η παραπληρωματική της ω, τότε φ = 80 ο ω = 80 ο 08 ο = 7 ο. Η ω δεν έχει συμπληρωματική, διότι, γεωμετρικά, δεν υπάρχει γωνία η οποία προστιθέμενη με την ω να κάνουν άθροισμα 90 ο, αφού ω > 90 ο. ποδεικτικές σκήσεις. 0

21 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η παραπληρωματική μιας γωνίας ω είναι τριπλάσια της συμπληρωματικής γωνίας της ω. Να υπολογίσετε την ω.. 3ω ω = 70 ο 80 ο ω = 90 ο ω = 45 ο Μια γωνία φ είναι μικρότερη από τη συμπληρωματική της κατά 0 ο. Να υπολογίσετε τις δύο γωνίες. Θα έχουμε φ + 0 ο = 90 ο φ φ = 70 ο φ = 35 ο 80 ο 0 ω = 80 ο ω = 70 3 Η συμπληρωματική της φ θα είναι 90 ο 35 ο = 55 ο. 3. Τέσσερις ημιευθείες Ο, Ο, Ο, Ο σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες ˆ, ˆ, ˆ ˆ, που έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς,, 3, 4. Να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές. σ O ω ρ φ λλά ω + φ + ρ + σ = 360 ο λ + λ + 3λ + 4λ = 360 ο 0λ = 360 ο λ = 36 ο 4 Άρα ω = 36 ο, φ =. 36 ο = 7 ο, ρ = ο = 08 ο, σ = ο = 44 ο.

22 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 30 ενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου. Σε ευθεία ε θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα,,, ώστε, και ονομάζουμε, Ζ τα μέσα των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Ζ το είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος το Ζ είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος Θέτουμε = x, = y, = ω. Μπορούμε, τώρα, να υπολογίσουμε οποιοδήποτε τμήμα συναρτήσει των x, y, ω. = x y Ζ = Ζ = ω y y y = ω = Άρα Ζ = + Ζ = x y y x () λλά x () πό τις (), ().

23 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3 Σε ευθεία ε παίρνουμε δύο διαδοχικά τμήματα,. ν,, Ζ είναι τα μέσα των,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα τμήματα, Ζ έχουν κοινό μέσο. Ζ Θέτουμε = x, = y Μπορούμε, τώρα, να υπολογίσουμε οποιοδήποτε τμήμα συναρτήσει των x, y. x () x () πό τις (), () Ζ =. Άρα τα τμήματα, Ζ έχουν κοινό μέσο. 3. Σε ευθεία ε θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα,, και ονομάζουμε το μέσο του. Να αποδείξετε ότι > Θέτουμε = x, = y, = ω. Μπορούμε, τώρα, να υπολογίσουμε οποιοδήποτε τμήμα συναρτήσει των x, y, ω. y x y x x x () x y () (), () > 4. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και τα διαδοχικά σημεία του,,,, ώστε 3

24 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 4 =50 0, = 45 0 και =05 0. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας είναι αντικείμενη ημιευθεία της Ο. Έστω Μ το μέσο του. M Τότε ΟΜ διχοτόμος της Ο. A O Μ = +Μ = = Άρα ΟΜ, Ο αντικείμενες. 5. ίνεται ημικύκλιο διαμέτρου, Μ το μέσο του τόξου και Κ τυχαίο σημείο του τόξου Μ. ν και τα μέσα των τόξων Κ, ΜΚ αντίστοιχα, να υπολογίσετε το μέτρο του τόξου. Μ Κ Έστω Κ= x Μπορούμε, τώρα, να υπολογίσουμε A οποιοδήποτε τόξο συναρτήσει του x x AK AM = = = x x 90 = x x

25 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 38 σκήσεις Eμπέδωσης. Στις προεκτάσεις των πλευρών, ενός τριγώνου θεωρούμε τμήματα = και = αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. A τρ. = τρ. ˆ ˆ Άρα =. Σε ισόπλευρο τρίγωνο προεκτείνουμε τις πλευρές,, και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα Κ = Λ = Μ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. Μ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚ, ΚΛ ˆ ˆ ˆ ˆ Μ = Κ Κ = Λ σαν αθροίσματα ίσων Κ Λ ( Π Π ) τρ. ΜΚ = τρ. ΚΛ Άρα ΜΚ = ΚΛ Ομοίως ΚΛ = ΛΜ 5

26 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 6 3. Να αποδείξετε ότι στις ίσες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα Μ, Λ. Ζ M Λ τρ. = τρ.ζ ˆ ˆ, μισά ίσων (Π Π) τρ. Μ = τρ Λ Μ = Λ 4. Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος της ˆ στην οποία θεωρούμε τμήμα = και τμήμα Ζ =. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ζ, ˆ ˆ (Π -Π) τρ.ζ = τρ. Ζ Άρα ˆ ˆ 6

27 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 7 ποδεικτικές σκήσεις. Έστω τρίγωνο και Κ σημείο εξωτερικό του τριγώνου. ν στις προεκτάσεις των Κ, Κ, Κ θεωρήσουμε τμήματα Κ = Κ, Κ = Κ, ΚΖ = Κ, να αποδείξετε ότι ˆ ˆ. Ζ Κ Άρα ˆ ˆ ˆ ˆ (Π Π) τρ.κ = τρ.κ () Ομοίως ˆ ˆ () () + () ˆ ˆ. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του, θεωρούμε ίσα τμήματα, αντίστοιχα. ν Μ το μέσο της βάσης, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές. A B Μ Ο ρκεί να δειχθεί ότι Μ = Μ ή αρκεί να δειχθεί ότι τρ. Μ = τρ. Μ Έχουν Μ = Μ ˆ ˆ προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς = αθροίσματα ίσων 3. ίνεται κύκλος Ο και χορδή του. Προεκτείνουμε την και προς τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ˆ. ˆ ρκεί να δειχθεί ότι τρ.ο = τρ.ο Έχουν 7

28 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 8 Ο =Ο ακτίνες = υπόθεση ˆ ˆ παραπληρωματικές των ˆ ˆ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 43 ρωτήσεις κατανόησης. Χαρακτηρίστε ως σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις i) Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν μία γωνία του είναι οξεία Σ Λ ii) Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες Σ Λ. ιατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων i) ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες από αυτές γωνίες ίσες τότε τα τρίγωνα είναι ίσα ii) ν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα iii) ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3. Συμπληρώστε τα κενά i) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του είναι διάμεσος και ύψος ii) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος στην βάση του είναι διχοτόμος και ύψος iii) Ένα σημείο Μ βρίσκεται στην μεσοκάθετο ενός τμήματος όταν Μ = Μ iν) ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες. σκήσεις Eμπέδωσης. ύο τρίγωνα και έχουν β = β, γ = γ και Aˆ A ˆ. ν Ι είναι 8

29 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 9 το σημείο τομής των διχοτόμων και του τριγώνου και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων και Έ του, να αποδείξτε ότι: i) = και = Έ ii) Ι = Ί και Ι = Ί ' Ι Ι ' ' i) ( Π Π ) τρ. = τρ. ˆ ˆ ( Π ) τρ. = τρ. = ( Π ) τρ. = τρ. = ii) ( Π ) τρ. Ι = τρ. Ι Ι = Ι και Ι = Ί.. ύο τρίγωνα και έχουν β = β, Aˆ A ˆ και. Να αποδείξτε ότι: i) ˆ ˆ ii) α = α και γ = γ. ' ' ' i) ( Π Π ) τρ. = τρ. ˆ ˆ 9

30 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 30 ii) ( Π ) τρ. = τρ. α = α και γ = γ. 3. Σε τρίγωνο προεκτείνουμε τη διάμεσο Μ κατά ίσο τμήμα Μ. Να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. Φέρνουμε τις,. ( Π Π ) τρ Μ = τρ. Μ Μ = ( Π Π ) τρ Μ = τρ. Μ = ( Π Π Π ) τρ = τρ. ποδεικτικές σκήσεις. Να αποδείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Έστω το ισοσκελές τρίγωνο και, οι διχοτόμοι. πειδή ˆ ˆ ˆ ˆ ( Π ) τρ. = τρ. =. ν,, είναι τρεις διάμετροι κύκλου, να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα, είναι ίσα. Ο ( Π Π Π ) τρ. Ο = τρ. Ο = Ομοίως = και = Ά 30

31 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3 Άρα τρ. = τρ. 3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο είναι = και ˆ ˆ. Να αποδείξτε ότι ˆ ˆ. Φέρνουμε τις διαγώνιες, για να ι σχηματισθούν τρίγωνα. ( Π Π ) τρ. = τρ. = B ( Π Π Π ) τρ. = τρ. ˆ ˆ Σύνθετα θέματα. Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα και. Η διάμεσος Μ και η διχοτόμος του τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος Μ και η αντίστοιχη διχοτόμος του τέμνονται στο Θ. Να αποδείξετε ότι i) = ii) BAM ˆ BAˆ M iii) Τα τρίγωνα Θ και Θ είναι ίσα iv) Θ = Θ και Θ = Θ. A ' Θ Θ Μ ' Μ' ' τρ. = τρ. A ˆ ˆ, ˆ ˆ, = κ.λ.π. ˆ ˆ σαν μισές ίσων i) ( Π ) τρ. = τρ. = και = 3

32 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 3 ii) ( Π Π ) τρ. Μ = τρ. Μ A ˆ ˆ iii) ( Π ) τρ. Θ = τρ. Θ iv) πό iii) Θ = Θ και Θ = Θ αλλά από (i) έχουμε = αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε Θ = Θ.. ύο τμήματα και, που δεν έχουν τον ίδιο φορέα, έχουν την ίδια μεσοκάθετο ε. ν η ε και η μεσοκάθετος του τέμνονται, να αποδείξετε ότι από το σημείο τομής τους διέρχεται και η μεσοκάθετος του Έστω Ο το σημείο τομής της μεσοκαθέτου ε των, με τη μεσοκάθετο του. Φέρνουμε τα Ο, Ο, Ο και Ο. Τότε 3. Ο Άρα Ο = Ο ηλαδή το Ο ισαπέχει από τα, άρα ανήκει στη μεσοκάθετο του, δηλαδή η μεσοκάθετος του διέρχεται από το Ο. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Η μεσοκάθετος της πλευράς τέμνει την προέκταση της στο. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι: i) το τρίγωνο είναι ισοσκελές ii) το τρίγωνο είναι επίσης ισοσκελές. 3

33 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 33 E i) ανήκει στη μεσοκάθετο του = Άρα τρ. ισοσκελές φ φ φ ii) πό τα ισοσκελή και προκύπτουν οι γωνίες φ του σχήματος. ια να έχουμε τρ. ισοσκελές, δηλαδή =, αρκεί να είναι =. Προς τούτο, αρκεί τρ. = τρ., το οποίο συμβαίνει διότι: =, B = AE και περιεχόμενες γωνίες ίσες, σαν παραπληρωματικές των φ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σημείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σημεία της ε) τότε Σ i) B Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα σημείο εκτός ευθείας μία κάθετος άγεται προς την ευθεία ii) Προφανώς αφού είναι σωστό το (i) iii) ιότι τα ευθύγραμμα τμήματα και ταυτίζονται 33

34 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 34. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ), σημείο της βάσης του και οι προτάσεις π : Το είναι ύψος του τριγώνου π :Το είναι διάμεσος του τριγώνου π 3 : Το είναι διχοτόμος του τριγώνου ν για το ισχύει μία από τις προτάσεις π, π, π 3 ισχύουν οι άλλες δύο; Ναι 3. ιατυπώστε τις ανακεφαλαιωτικές περιπτώσεις ισότητας ορθογωνίων τριγώνων i) ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία ii) ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία πλευρά και την προσκείμενη σ αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία 4. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε σχεδιάσει οκτώ ορθογώνια τρίγωνα. Καθένα από αυτά είναι ίσο με ένα από τα υπόλοιπα. Να βρείτε τα ζεύγη των ίσων τριγώνων και να αναφέρετε τον λόγο για τον οποίο είναι ίσα A B o o Ζ 30 o 5 59 o 3 Θ Η i) Το είναι ίσο με το διότι έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία ii) Το είναι ίσο με το Ζ διότι έχουν μία κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σ αυτή οξεία γωνία ίσες iii) Το είναι ίσο με το Θ διότι έχουν την υποτείνουσα και μία προσκείμενη σ αυτή οξεία γωνία ίσες. iν) Το είναι ίσο με το Η διότι έχουν τις υποτείνουσες και μία κάθετη πλευρά μία προς μία ίσες 34

35 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Συμπληρώστε τα κενά στην επόμενη πρόταση: Ο φορέας του αποστήματος μίας χορδής είναι μεσοκάθετος της χορδής και διχοτομεί το αντίστοιχο στην χορδή τόξο. 6. ν, είναι χορδές ενός κύκλου ( Κ ) και Κ, ΚΖ είναι τα αντίστοιχα αποστήματα τους τότε α. = Κ = ΚΖ β. = Κ > ΚΖ γ = Κ = ΚΖ δ. = Κ = ΚΖ 3 ε. = Κ < ΚΖ κυκλώστε την σωστή απάντηση και δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) διότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματα τους είναι ίσα 7. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μίας γωνίας ; Ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας 8. ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές τους ίσες είναι πάντοτε ίσα ; αιτιολογήστε την απάντηση σας. Όχι, θα πρέπει οι πλευρές να είναι ομόλογες σκήσεις μπέδωσης. Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του, είναι ίσα. A 35 B

36 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 36 Έστω = και, τα ύψη. τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια, έχουν = και ˆ κοινή. Άρα =. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: i) από τη βάση ii) από τις ίσες πλευρές i) A Έστω =, και τα μέσα και Κ, Λ οι αποστάσεις B K Λ τρ. Κ = τρ. Λ διότι ˆ ˆ, ορθογώνια και = σαν μισά ίσων ii) Θ A Ι Έστω Ι, Θ οι αποστάσεις των μέσων τρ. Ι = τρ. Θ διότι B ˆ κοινή, ορθογώνια και = σαν μισά ίσων 3. Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του. Έστω το τμήμα με μέσο Μ, ε η ευθεία ε Μ Λ και Κ, Λ οι αποστάσεις των, από Κ την ε. τρ. ΜΚ = τρ. ΜΛ Κ = Λ 36

37 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd ν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξετε ότι και τα ύψη τους, που αντιστοιχούν στα ίσες πλευρές, είναι ίσα. Έστω και A A' αντίστοιχα ύψη. B ποδεικτικές ασκήσεις. Μ ' ' τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια με και =. Άρα = Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Μ το μέσο της βάσης του. Να αποδείξετε ότι: i) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ii) η Μ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από. τις ίσες πλευρές μεταξύ τους. Μ, Μ οι αποστάσεις i) τρ. Μ = τρ. Μ διότι είναι ορθογώνια, Μ κοινή και αφού η διάμεσος Μ είναι και διχοτόμος. Άρα Μ = Μ ii) τρ. Μ = τρ. Μ Άρα Μ διχοτόμος της ˆ. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα και είναι ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, υ α και τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ' Μ ' ' Μ' ' 37

38 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 38 τρ. Μ = τρ. Μ αφού είναι ορθογώνια με ίση υποτείνουσα και ίση μία κάθετη πλευρά ˆ ˆ άρα και ˆ ˆ σαν παραπληρώματά τους ( Π Π ) τρ. Μ = τρ. Μ ˆ ˆ και = ( Π Π ) τρ. = 3. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο οξυγώνια τρίγωνα και είναι, υ και β τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ' ' ' τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια με = και = Έ Άρα ˆ ˆ τρ. = τρ. ομοίως. Άρα ˆ ˆ ( Π ) τρ. = τρ. 4. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ) και η διχοτόμος του. πό το φέρουμε, που τέμνει την στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. ˆ 38

39 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 39 τρ. = τρ. διότι ορθογώνια, κοινή και ˆ ˆ. Άρα = και = () Ζ 5. τρ. Ζ = τρ. διότι ορθογώνια, = και Άρα Ζ = () () + () Ζ = τρ. Ζ ισοσκελές. ίνεται κύκλος (Ο, R), οι ίσες χορδές του, και τα αποστήματά τους ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. ν οι προεκτάσεις των και τέμνονται στο Μ, να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα ii) MA = M και Μ = Μ ˆ ˆ i) Ίσες χορδές ίσα αποστήματα ΟΚ = ΟΛ Άρα τρ. ΚΟΜ = τρ. ΛΟΜ Ο Κ Μ ii) πό i) MK = MΛ () αλλά Κ = Κ = Λ = Λ μισά ίσων () Λ () + () Μ = Μ () () Μ = Μ Σύνθετα Θέματα. Θεωρούμε τρίγωνο. Η διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει τη μεσοκάθετο της στο σημείο. Έστω και Ζ οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα. i) Να συγκρίνεται τα τρίγωνα και Ζ ii) Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα θεωρώντας την εξωτερική διχοτόμο της Â, η οποία τέμνει τη μεσοκάθετο της στο σημείο, με προβολές τα σημεία, Ζ 39

40 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 40 στις πλευρές και αντίστοιχα. iii) Nα αποδείξετε ότι EE = και ΖΖ = i) ανήκει στη μεσοκάθετο της = () ανήκει στη διχοτόμο της Â y y Ζ = Ζ () Eˆ Zˆ (3) (), (), (3) τρ. = τρ. Ζ x M Ζ x ii) ανήκει στη μεσοκάθετο της = ( ) ανήκει στη διχοτόμο της Â = Ζ ( ) EˆZ ˆ (3 ) ( ), ( ), (3 ) τρ. = τρ. Ζ iii) πό i) = Ζ = x τρ. = τρ. Ζ διότι ορθογώνια, κοινή και διχοτόμος. Άρα = Ζ + x = A x x = A (4) τρ. ΈΆ = τρ. ΖΆ διότι ορθογώνια, Ά κοινή και Ά εξ. ιχοτόμος. Άρα = Ζ = y πό ii) = Ζ + = ΖΆ (4), (5) x = y = λλά = + + = x + + y = x + BA + y = y y = (5) 40

41 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 4 και = A + = ΖΖ = Ζ Ζ = y x = x = A ( ) =.. ν δύο ορθογώνια τρίγωνα, έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και η περίμετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Έστω = ' + + = + + Ά ' + = + Ά () ' ' Προεκτείνουμε την κατά τμήμα = και την κατά τμήμα = () = και επειδή = και Aˆ A ˆ θα είναι τρ. = τρ. οπότε ˆ ˆ () Τρ. ισοσκελές ˆ ˆ (3) λλά ˆ ˆ ˆ σαν εξωτερική του τριγώνου (3) ˆ ˆ Ομοίως ˆ ˆ Η () ˆ ˆ Τελικά τρ. = τρ. αφού είναι ορθογώνια με = και ˆ ˆ. 3.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 ρώτηση Κατανόησης Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προτάσεις. 4

42 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 4 i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι η μεσοκάθετος της βάσης ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες. σκήσεις μπέδωσης. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των τριγώνων, που έχουν σταθερή την πλευρά και τη διάμεσο Μ με γνωστό μήκος. μ M Έστω τυχαίο σημείο του γ.τόπου Μ = μ (δηλαδή το σημείο απέχει από το σταθερό σημείο Μ απόσταση μ) το ανήκει στον κύκλο ( Μ, μ). Άρα ο γ. τόπος της κορυφής είναι ο κύκλος (Μ, μ), εκτός από τα σημεία, A στα οποία η A ευθεία τέμνει τον κύκλο, αφού τότε δεν ορίζεται τρίγωνο.. ίνεται κύκλος (Ο,R). ν Ν τυχαίο σημείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέκταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν διαγράφει τον κύκλο. Έστω Μ τυχαίο σημείο του γ. τόπου ΝΜ = ΟΝ N M ΟΜ = R (δηλαδή το M απέχει από το σταθερό O σημείο O απόσταση R) το M ανήκει στον κύκλο ( O, R). Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ο κύκλος (Ο, R) σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 53 4

43 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 43 σκήσεις μπέδωσης. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων:,,, Η, Τ, Χ, Ψ. ίνεται τρίγωνο και σημείο Ο. ν,, είναι τα συμμετρικά των,, ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα. Ο Κάθε πλευρά του τριγώνου είναι συμμετρική αντίστοιχης πλευράς του τριγώνου ως προς κέντρο συμμετρίας το Ο. Άρα τα δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά. ίναι = σαν συμμετρικά ευθ. τμήματα. Ομοίως = και = Ά Άρα τρ. = τρ. 3. ν xaˆ y είναι η συμμετρική της γωνίας xay ˆ, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα σημείο Ο, εξωτερικό της xay ˆ, τότε να αποδειχθεί ότι xaˆ y = xay ˆ. O y x Θεωρούμε σημείο της πλευράς x και σημείο της πλευράς y. Τα συμμετρικά τους,, ως προς κέντρο συμμετρίας Ο, θα ανήκουν στις x, x' A 43 y'

44 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 44 y αντίστοιχα. ίναι = σαν συμμετρικά ευθ. τμήματα Ομοίως = και = Ά Άρα τρ. = τρ. Οπότε ˆ ˆ 4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τριγώνου, ως προς την ευθεία, είναι τρίγωνο ίσο με το. A = σαν συμμετρικά = ομοίως κοινή 5. x A Ο Κ δ y Άρα τρ. = τρ. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της. 6. Έστω η γωνία και Οδ η διχοτόμος. Θεωρούμε τυχαίο σημείο της πλευράς Οx. Φέρνουμε Κ Οδ και την προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την Οy σε σημείο. Έτσι, το ΟΚ είναι διχοτόμος και ύψος του τριγώνου Ο άρα και διάμεσος. Άρα το είναι το συμμετρικό του ως προς άξονα συμμετρίας τη διχοτόμο. Έστω ε, ε δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. ν Μ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μ το συμμετρικό του Μ ως προς ε, τότε να αποδείξετε ότι: i) ΟΜ = ΟΜ ˆ xoy 44

45 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 45 ii) τα σημεία Μ, Ο, Μ είναι συνευθειακά. ε Ο ε 4 3 Μ i) ΟΜ = ΟΜ σαν συμμετρικά ΟΜ = ΟΜ σαν συμμετρικά Άρα ΟΜ = ΟΜ Μ'' Μ' Oˆ ˆ ii) Oˆ Oˆ και O ˆ Oˆ από τις 3 4 συμμετρίες, οπότε + O ˆ Oˆ = O ˆ Oˆ + O O O = + Ô = ( + Ô ) =. 90 ο = 80 ο. Άρα ΜΟΜ ευθεία ˆ Ô 3 Ô 3 ˆ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ρωτήσεις Κατανόησης. Χαρακτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος (Λ ) κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις ˆ i) Η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι Σ Λ μεγαλύτερη από την ˆ ˆ ii) Η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι Σ Λ μικρότερη από την ˆ iii) Το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου είναι 80 ο Σ Λ iν) ν β > γ σε τρίγωνο τότε ˆ ˆ και αντίστροφα Σ Λ ν) ν β = γ σε τρίγωνο τότε ˆ ˆ και αντίστροφα Σ Λ 45

46 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 46. ια το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος ισχύει γ α. α = 7, β. α =, < α < 7, δ. α >7, ε. 0<α< κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 4 3 την πλευρά α έχουμε 4 3< α < < α < 7 α 3. 3 Υπάρχει τρίγωνο με α = και β = ; ικαιολογήστε την απάντηση σας. 3 5 α + β = 3 4 < γ άρα δεν υπάρχει τρίγωνο με τα παραπάνω στοιχεία σκήσεις μπέδωσης. Στο παρακάτω σχήμα είναι ˆ ˆ 0 B. Να αποδείξετε ότι ˆB 90.. () + () από υπόθεση () ν σε κυρτό τετράπλευρο ισχύουν = και =. Τι συμπεραίνετε για τη ; B ˆ ˆ B ˆ ˆ εξωτερική του τρ. () ˆ ˆ ˆ ˆ 80 ˆ ˆ ˆ, να αποδείξετε ότι 46

47 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 47 A = ˆ ˆ () υπόθεση ˆ ˆ () () () ˆ ˆ τρ. ισοσκελές δηλαδή = 3. ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ. i) Τι είδους γωνία είναι η ˆ ; πειδή το ισαπέχει από τα, θα ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος. Ομοίως για το. Άρα η είναι μεσοκάθετος του. ii) Να αποδείξετε ότι το ύψος από την κορυφή τέμνει την ευθεία σε εσωτερικό σημείο της πλευράς. 4. i) ˆ ˆ < 80 ο ˆ < 80 ο ˆ < 90 ο οξεία. ii) = Έστω το μέσο της. Τότε διάμεσος άρα και ύψος, με το να είναι εσωτερικό σημείο της, αφού είναι μέσο της. ίνεται τρίγωνο και σημείο της ημιευθείας x που περιέχει το. Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη της γωνίας ˆ, αν το σημείο βρίσκεται μεταξύ των και, ταυτίζεται με το ή βρίσκεται μετά το. ˆ ˆ ˆ Όταν το βρίσκεται μεταξύ των και 47

48 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 48 ˆ ˆ σαν εξωτερική και απέναντι εσωτερική του τριγώνου Όταν το ταυτίζεται με το. ίναι προφανές ότι οι γωνίες ˆ και ˆ ταυτίζονται, άρα είναι ίσες. Όταν το βρίσκεται μετά το. ˆ > ˆ σαν εξωτερική και απέναντι εσωτερική του τριγώνου 5. ν Μ σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, να αποδείξετε ότι Μ <. Τρ. Μ ˆ ˆ ˆ ˆ M Στο τρίγωνο Μ, απέναντι μεγαλύτερης γωνίας βρίσκεται μεγαλύτερη πλευρά Άρα > Μ 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ), η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι <. Φέρνουμε Κ ίναι = Κ () σαν αποστάσεις του σημείου της διχοτόμου από τις πλευρές της γωνίας. Τρ. Κ ορθογώνιο Κ < () πό τις (), () < 7. 48

49 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 49 Έστω τρίγωνο και Ο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Οι Ο και Ο τέμνουν τις και στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. ν ισχύει Ο = Ο και ΟΛ = ΟΜ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μ O Λ ( Π Π ) τρ. ΟΜ = τρ. ΟΛ B ˆ ˆ τρ. Ο ισοσκελές B ˆ ˆ () () () + () B ˆ ˆ, άρα τρ. ισοσκελές. 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Κ, Λ τα μέσα των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι, αν οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του ˆ τέμνονται στο σημείο, τότε το τρίγωνο ΚΛ είναι ισοσκελές. ˆ και Συμπεράσματα: Κ Λ Bˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ B Bˆ ˆ τρ. ισοσκελές με = ( Π Π ) τρ. Κ = τρ. ΚΛ Άρα Κ = Λ 9. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών ˆ, ˆ. Να αποδείξετε ότι: i) Το τρίγωνο Ι είναι ισοσκελές ii) Η Ι είναι διχοτόμος της ˆ. i) ˆ ˆ τρ. I ισοσκελές με Ι = Ι ii) ( Π Π Π ) τρ.ι = τρ. Ι Ι 49

50 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 50 ˆ ˆ Ι διχοτόμος 0. Οι κωμοπόλεις,, απέχουν από την πόλη Π αποστάσεις 7, 6 3 και 0 km αντίστοιχα. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την κωμόπολη και ακολουθώντας τη διαδρομή επιστρέφει στην. Ο 3 χιλιομετρητής του γράφει ότι για αυτή τη διαδρομή διήνυσε απόσταση 48 km. ίναι αυτό δυνατόν; K 6 7 Π 0 πό εφαρμογή έχουμε KK K K 7 6 K K 3 K K 3 Ομοίως K K 6 3 K K < < 46 που είναι άτοπο. ποδεικτικές ασκήσεις. ν σε τρίγωνο ισχύει, να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ. Τι ισχύει όταν ή ; Έστω η διάμεσος <. ˆ ˆ Μ 50

51 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 5 και <. ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ Ομοίως, όταν τότε ˆ ˆ ˆ και όταν τότε ˆ ˆ ˆ. Έστω τρίγωνο με < και Μ το μέσο της. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ Τα τρίγωνα Μ, Μ έχουν δύο πλευρές ίσες ( Μ κοινή και Μ = Μ ) και τις τρίτες άνισες. Μ Άρα ˆ ˆ 3. Έστω τρίγωνο με < και Μ το μέσο της. Να αποδείξετε ότι i) ii) iii) ˆ ˆ i) Προεκτείνουμε τη διάμεσο Μ = κατά Μ τμήμα Μ = Μ. 5

52 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 5 (Π Π) τρ. Μ = τρ. Μ = < και ˆ ˆ () φού <, στο τρ. ˆ ˆ () (), () ˆ ˆ ii) Τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο :. iii) πό ii) έχουμε. () ομοίως. () και. (3) () + () + (3) Έστω κύκλος (Ο,R) διαμέτρου και σημείο Σ της ημιευθείας Ο. ια κάθε σημείο Μ του κύκλου να αποδειχθεί ότι Σ ΣΜ Σ i) Όταν Μ και Φέρνουμε την ακτίνα ΟΜ. Μ Τριγωνική ανισότητα στο τρ. ΣΟΜ Σ ΣΟ ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΜ O ΣΟ Ο < ΣΜ < ΣΟ + Ο Σ < ΣΜ < Σ ii) Όταν Μ τότε Σ = ΣΜ <Σ iii) Όταν Μ τότε Σ < ΣΜ = Σ 5

53 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Έστω τρίγωνο. ν η διχοτόμος τέμνει κάθετα τη διάμεσο, να αποδείξετε ότι : i) A =. ii) < Έστω η και Μ η, που Κ Μ τέμνονται στο Κ. i) Το Κ είναι ύψος και διχοτόμος του τριγώνου Μ, άρα ισοσκελές με Μ = =.Μ =. ii) Φέρουμε τη Μ Η Κ είναι μεσοκάθετος του Μ Μ = () πό το τρ. Μ έχουμε Μ < Μ + < + < 6. Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο τόξα,. ν = να αποδείξετε ότι < Ο Έστω Μ το μέσο του τόξου. Τότε άρα και Μ = Μ = πό το τρίγωνο Μ έχουμε Μ < Μ + Μ < 53

54 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Να αποδείξετε ότι σε δύο άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν χορδές όμοια άνισες και αντίστροφα. (Περιορισμός: Τόξα μικρότερα των 80 ο ) Ο υθύ. Υπόθεση > Φέρνουμε τις ακτίνες στα άκρα των τόξων. Τότε Oˆ Oˆ. Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν δύο πλευρές ίσες και περιεχόμενη γωνία άνιση, άρα > ντίστροφο Υπόθεση > Με τη σε άτοπο απαγωγή : Έστω ότι είναι. πό το ευθύ, θα είναι που είναι άτοπο Σύνθετα Θέματα. Έστω κυρτό τετράπλευρο και Ο εσωτερικό σημείο του. i) Να αποδείξετε ότι Ο + Ο + Ο + Ο > ii) ια ποια θέση του Ο το άθροισμα Ο + Ο + Ο + Ο γίνεται ελάχιστο; Κ Ο i) Τρ. Ο : Τρ. Ο : Ο + Ο > OB + O > ΤΡ. Ο : Ο + Ο > ΤΡ. Ο : Ο + Ο > Προσθέτουμε κατά μέλη (Ο + Ο + Ο + Ο ) > Ο + Ο + Ο + Ο > 54

55 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 55 ii) Όταν το Ο δεν είναι σημείο της διαγωνίου, από το τρίγωνο Ο έχουμε Ο + Ο > Όταν το Ο είναι σημείο της διαγωνίου, τότε Ο + Ο = Σε κάθε περίπτωση είναι Ο + Ο () Ομοίως Ο + Ο () () + () Ο + Ο + Ο + Ο + Η ελάχιστη, λοιπόν, τιμή του αθροίσματος Ο + Ο + Ο + Ο είναι + και αυτό συμβαίνει όταν το Ο συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων.. Σε τρίγωνο ( < ) προεκτείνουμε τις πλευρές και προς το μέρος του κατά τμήματα = και = αντίστοιχα. Η ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι : i) Το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές ii) Η διχοτόμος της ˆ διέρχεται από το σημείο. 3 i) ( Π Π ) τρ. = τρ. Άρα E ˆ Bˆ Τρ. ισοσκελές E ˆ Bˆ Μ 3 πομένως E ˆ Bˆ 3 3 Άρα τρ. Μ ισοσκελές ii) Τα σημεία, M ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος, άρα ανήκουν στη μεσοκάθετό του, δηλαδή η Μ είναι μεσοκάθετος του. Λόγω, δε, του ισοσκελούς Μ, θα είναι και διχοτόμος. 3. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου. Να αποδείξετε ότι : 55

56 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 56 i) Κάθε διαγώνιος είναι μικρότερη της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου ii) + > + και + > + iii) Το άθροισμα των διαγωνίων είναι μεγαλύτερο της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου και μικρότερο της περιμέτρου του τετραπλεύρου i) Tρ. : < + () Τρ. : < + () Ο () + () < τ < τ (3) Ομοίως < τ (4) ii) Τρ. Ο : Ο + Ο > (5) Τρ. Ο : Ο + Ο > (6) (5) + (6) + > + (7) Ομοίως + > + (8) iii) (3) + (4) + < τ και (7) + (8) ( + ) > τ 4. Στο εσωτερικό ορθής γωνίας y + > τ θεωρούμε σημείο και στις πλευρές της Οx, Oy τα σημεία, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου είναι μεγαλύτερη από.ο. ˆ xoy το συμμετρικό του ως προς την Οx το συμμετρικό του ως προς την Οy 4 3 x Ο Τότε Ο = Ο = Ο = και = Oˆ Oˆ και O ˆ Oˆ 3 4 αλλά Oˆ Oˆ + O ˆ Oˆ =

57 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 57 Oˆ ˆ + O ˆ Oˆ = O Ô = Ô 3 ( Oˆ Oˆ ) =. 90 ο = 80 ο 3 άρα, Ο, συνευθειακά ίναι < + + Ο + Ο < + + Ο + Ο < τ Ο < τ 3.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 60 ρώτηση Κατανόησης ν, πλάγια τμήματα ως προς μία ευθεία ε και Κ το κάθετο τμήμα τότε:. συμπληρώστε τις παρακάτω ισοδυναμίες i) AB = A Κ = Κ ii) AB > A Κ > Κ.. Χαρακτηρίστε ως σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις και αιτιολογήστε την απάντηση σας. i) > Κ Σ Λ ii) = Κ Σ Λ Λ iii) AB < AK Σ i) Σωστό αφού το κάθετο τμήμα Κ είναι μικρότερο από οποιοδήποτε πλάγιο τμήμα που φέρεται από το στην ε. (ii), (iii) για τον ίδιο λόγω με το ( i) σκήσεις εμπέδωσης. 57

58 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 58 Στις κάθετες πλευρές, ορθογώνιου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) E < EB ii) E < B i) πό το έχουμε τις, πλάγιες στην και επειδή <, θα είναι < () ii) πό το B έχουμε τις BE, B πλάγιες στην και επειδή <, θα είναι < () () και () < < <. Στο παρακάτω σχήμα το Η είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου. Να συγκρίνεται τα τμήματα, και A Η μεσοκάθετος του = B Η πό το έχουμε τις, πλάγιες στη και επειδή Η < Η, θα είναι < 3. ίνεται τμήμα, σημείο Ρ της μεσοκαθέτου του και μία μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεται από το. i) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ρ από την ευθεία ε και το σημείο. ii) Ποια πρέπει να είναι η θέση της ευθείας ε, ώστε οι αποστάσεις αυτές να είναι ίσες; x Κ ε Ρ i) πειδή το Ρ ανήκει στη μεσοκάθετο του, θα είναι Ρ = Ρ 58

59 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 59 Έστω ΡΚ η απόσταση του Ρ από την ε. Όταν η ευθεία ε δε συμπίπτει με την ευθεία Ρ, ούτε με την x Ρ, ορίζεται ορθογώνιο τρίγωνο ΡΚ, οπότε ΡΚ < Ρ, άρα και ΡΚ < Ρ Όταν η ευθεία ε συμπίπτει με την ευθεία Ρ, τότε ΡΚ = 0 < Ρ ii) Όταν η ε συμπίπτει με την x Ρ, τότε ΡΚ = Ρ = Ρ. Η ζητούμενη, λοιπόν, θέση της ε είναι να συμπίπτει με την x σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 6 63 ρωτήσεις Κατανόησης. Πότε μία ευθεία έχει δύο, ένα ή κανένα κοινό σημείο με έναν κύκλο; Έστω δ η απόσταση του κέντρου από την ευθεία και ρ η ακτίνα του κύκλου τότε i) ύο κοινά σημεία, όταν δ < ρ ii) Ένα κοινό σημείο, όταν δ = ρ iii) Κανένα κοινό σημείο, όταν δ > ρ. ίναι δυνατόν στο παρακάτω σχήμα να είναι Ο = Ο = Ο; ικαιολογήστε την απάντηση σας Ο Όχι διότι τότε ο κύκλος με κέντρο το Ο θα είχε τρία κοινά σημεία με την ευθεία ε ε 3. 59

60 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 60 Στο παρακάτω σχήμα τα Ρ, Ρ είναι εφαπτόμενα τμήματα, η ΡΚ διχοτόμος της ˆ, τα Λ, Ν μέσα των τόξων και αντίστοιχα και Μ το μέσο της χορδής. Χαρακτηρίστε ως σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις Ρ Κ Λ Μ Ο Ν i) Ρ = Ρ Σ Λ ii) Η ΡΚ διέρχεται από το Ο Σ Λ iii) H OM διέρχεται από τα Ρ, Λ, Ν Σ Λ iν) Η προέκταση του ΛΜ διχοτομεί τις γωνίες, ˆ και το τόξο σκήσεις μπέδωσης. ν έχουμε δύο ομόκεντρους κύκλους, να εξηγήσετε γιατί όλες οι χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται στο μικρό κύκλο είναι ίσες. ˆ Σ Λ ιατί έχουν ίσα αποστήματα. ίνεται κύκλος (Ο, ρ), μία διάμετρός του και οι εφαπτόμενες, του κύκλου στα,. ν μια τρίτη εφαπτομένη τέμνει τις, στα,, να αποδείξετε ότι ˆ = 90 ο 60

61 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 6 ε Ο ε Έστω Μ το σημείο επαφής της ε με τον κύκλο. Η διακεντρική ευθεία Ο διχοτομεί τη ε Μ γωνία ˆ. Η διακεντρική ευθεία Ο διχοτομεί τη γωνία ˆ. ηλαδή οι Ο, Ο διχοτομούν δύο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες, άρα είναι κάθετες 3. πό εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ και Ρ. Μια τρίτη εφαπτομένη σε σημείο του κύκλου τέμνει τα Ρ και Ρ στα σημεία, αντίστοιχα. Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου Ρ ως συνάρτηση των τμημάτων Ρ και. Ρ Ο ίναι = σαν εφαπτόμενα τμήματα Ομοίως = και Ρ = Ρ Ρ + + Ρ = Ρ + + Ρ = Ρ ποδεικτικές σκήσεις. Να αποδείξετε ότι δύο σημεία μιας εφαπτομένης κύκλου, τα οποία ισαπέχουν από το σημείο επαφής, απέχουν ίση απόσταση από τον κύκλο. (Ο, ρ) ο κύκλος Ο Μ εφαπτομένη με Μ = Μ 6 Μ

62 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 6 Οι Ο, Ο τέμνουν τον κύκλο στα, Θα αποδείξουμε ότι = Φέρουμε την ΟΜ. Τότε ΟΜ (Π--Π) τρ. ΟΜ = τρ. ΟΜ Ο = Ο Ο Ο = Ο Ο =. πό σημείο Μ εξωτερικό του κύκλου (Ο,R) φέρουμε τις εφαπτόμενες Μ, Μ του κύκλου. Προεκτείνουμε το Ο κατά ίσο τμήμα. Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι τριπλάσια της ˆ. Μ 3 Ο Μ μεσοκάθετος του Ο ˆ ˆ 3 Μ, Μ εφαπτόμενα τμήματα ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ = ˆ 3 Οπότε ˆ = 3 ˆ 3 3. πό εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ και Ρ. ν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ να αποδείξετε ότι ˆ = ˆ. Ρ Τρ. ΡΜ = τρ. ΡΜ διότι Ο Μ ΡΜ κοινή, Ρ = Ρ σαν εφαπτόμενα τμήματα και ΡΟ διχοτόμος της ˆ σαν διακεντρική ευθεία. 6

63 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 63 Άρα ˆ = ˆ 3.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ρωτήσεις Κατανόησης. ν (Κ, R) και ( Λ, ρ) είναι δύο κύκλοι που έχουν διαφορετικά κάντρα και R > ρ, ΚΛ = δ, να αντιστοιχίσετε κάθε φράση της πρώτης στήλης με την αντίστοιχη σχέση στη δεύτερη στήλη. Στήλη Στήλη α. Ο κύκλος (Λ, ρ) είναι 4. δ > R + ρ εσωτερικός του κύκλου (Κ,R) β. Ο κύκλος (Λ, ρ) εφάπτεται εσωτερικά 3. δ = R + ρ του (Κ, R) γ. Οι κύκλοι (Λ, ρ) και (Κ, R) 8 3. δ = R ρ τέμνονται δ. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά 4. δ < R ρ ε. Κάθε κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου 5. δ = R ρ 6. ρ < δ < R 7. δ = Rρ 8. R ρ < δ < R + ρ. 63

64 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 64 Χαρακτηρίστε σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντηση σας. i) Η διάκεντρος δύο τεμνομένων κύκλων είναι Λ Σ μεσοκάθετος της κοινής χορδής ii) Η κοινή χορδή δύο ίσων τεμνόμενων κύκλων Λ είναι μεσοκάθετος της διακέντρου iii) Το σημείο επαφής δύο εφαπτόμενων κύκλων Σ Σ Λ είναι σημείο της διακέντρου i) ασικό θεώρημα ii) Παρατήρηση σελίδας 64 iii) ασική θεωρία σκήσεις μπέδωσης. Να προσδιοριστούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (Κ, ρ) και (Λ, ρ) αν i) ΚΛ = ii) KΛ = iii) ΚΛ = iv) ΚΛ = v) ΚΛ = 3 4 R R R R 3 i) ίναι ΚΛ < R R Άρα ο κύκλος (Κ, ρ) είναι εσωτερικός του (Λ, ρ) ii) ίναι ΚΛ = R R Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά iii) ίναι R R < ΚΛ < R R Άρα οι κύκλοι τέμνονται iv) ίναι ΚΛ = R R Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά v) ίναι ΚΛ > R R Άρα ο κάθε κύκλος εξωτερικός του άλλου.. 64

65 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 65 ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και μια ακτίνα του Ο. ράφουμε κύκλο με διάμετρο Ο. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων; 3. O K Η διάκεντρος είναι ΟΚ = = λλά R R = Άρα ΟΚ = Οπότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ίνεται ευθύγραμμο τμήμα και το μέσο του Ο. ράφουμε τον κύκλο (, Ο) και τον κύκλο με διάμετρο Ο. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων; R R Έστω =. Τότε Ο = Ο = A Ο Λ και ΟΛ = Λ = 3 ιάκεντρος Λ = Ο + ΟΛ = + = () R R 3 = + = () R R () και () Λ = Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται κύκλος (Ο,R) και εξωτερικό σημείο του Ρ, ώστε ΟΡ < R. ράφουμε τον κύκλο (Ο, R). Να αποδείξετε ότι : i) ο κύκλος (Ο, R) τέμνει τον κύκλο (Ρ, ΡΟ) σε δύο σημεία και ii) τα ευθύγραμμα τμήματα Ο και Ο τέμνουν τον κύκλο (Ο, R) στα σημεία και 65

66 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 66 iii) τα Ρ και Ρ εφάπτονται στον (Ο, R). Οι ακτίνες των κύκλων έστω ότι είναι Ο = R = R Ο = R = R Ο Ρ ΡΟ = i) R 3 < R ρκεί να δειχθεί ότι R < ΟΡ < R R ή αρκεί R R R < OΡ < R + R ή αρκεί R < ΟΡ < 3R το οποίο ισχύει ii) Το σημείο Ο είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (Ο,R) και το εξωτερικό Άρα το τμήμα Ο τέμνει τον κύκλο, έστω στο. Ομοίως για. iii) πειδή Ο = R και Ο = R, το είναι μέσο της χορδής Ο του κύκλου (Ρ, ΡΟ), άρα το Ρ είναι απόστημα, δηλαδή Ρ Ο. Άρα Ρ εφάπτεται στον κύκλο (Ο,R).. O,R ίνονται οι κύκλοι και O,R με O O R R R. i) Nα αποδείξετε ότι ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου. ii) Έστω ότι η διάκεντρος τέμνει τον ( ) στα σημεία Μ, Μ και τον ( O ) στα O σημεία Ν, Ν αντίστοιχα, με τα Μ, Ν μεταξύ των Μ, Ν. Nα αποδείξετε ότι ΜΝ Μ Ν, όπου, τυχαία σημεία των κύκλων ( O ) και ( O ) i) αντίστοιχα. Η ανισότητα άλλου. O O R R ότι ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του 66

67 ρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 67 Η ανισότητα ii) M R R R R R A B Μ Ν Ν OO A + AB + B O MN O AB OMMN NO OAAB BO AB A + + O B O O O AB M + + O Ν O O O Μ Ν 3. Ένας κύκλος κέντρου Κ είναι εξωτερικός ενός άλλου κύκλου κέντρου Λ. Μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη και μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι Ρ ˆ = 90 ο Ρ, Ρ εφαπτόμενα τμήματα. Άρα ΡΚ διχοτόμος της ˆ ˆ Κ Λ Ρ, Ρ εφαπτόμενα τμήματα Άρα ΡΛ διχοτόμος της Έτσι, οι ΡΚ, ΡΛ είναι διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών άρα είναι κάθετες σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 70 ρωτήσεις Κατανόησης. 67