ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Transcript

1

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝ ΚΕΦΛΙΟ 7ο : ΝΛΟΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-58 ΚΕΦΛΙΟ 8ο : ΟΜΟΙΟΤΗΤ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ ΚΕΦΛΙΟ 9ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕ ΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 87-8 ΚΕΦΛΙΟ 0ο : ΕΜΔ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 9-0 ΚΕΦΛΙΟ ο : ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΕ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΟΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΙΛΙΟΥ ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ ΚΕΦΛΙΟ ο : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΞΕΤΣΕΩΝ ΣΕΛΙΔΕΣ

4

5 ΚΕΦΛΙΟ 7ο ΝΛΟΙΕΣ 5

6 ΚΕΦΛΙΟ 7ο ΝΛΟΙΕΣ ΝΛΟΙΕΣ. Τι καλούμαι μέγεθος ; Τι καλούμαι γεωμετρικά μεγέθη και ποια είναι τα απλούστερα γεωμετρικά μεγέθη ; Μέγεθος γενικά λέγεται οτιδήποτε επιδέχεται αύξηση ή ελάττωση. εωμετρικά μεγέθη λέγονται τα μεγέθη που εξετάζονται από τη εωμετρία. Τέτοια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα, οι γωνίες, τα τόξα, οι επιφάνειες επίπεδων σχημάτων, οι όγκοι των στερεών κτλ. Τα απλούστερα γεωμετρικά μεγέθη, τα ευθύγραμμα τμήματα.. Πως διαιρούμε δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα μέρη ; Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο θέλουμε να διαιρέσουμε σε ν ίσα μέρη (ν ). Φέρουμε τυχαία ημιευθεία x, διαφορετική από την και παίρνουμε με το διαβήτη πάνω σε αυτή ν διαδοχικά ίσα τμήματα Μ = M M =... = Μ ν- Μ ν. Έπειτα φέρουμε το τμήμα Μ ν και από τα σημεία Μ, Μ,..., Μ v- φέρουμε παράλληλες προς τη Μ ν που τέμνουν το στα σημεία Ρ,Ρ,..., Ρ ν- αντίστοιχα. Οι παράλληλες αυτές, σύμφωνα με θεώρημα, ορίζουν ν ίσα τμήματα πάνω στην. Επομένως τα ν ίσα ευθύγραμμα τμήματα Ρ, Ρ Ρ,..., Ρ ν- είναι τα ζητούμενα. 3. Τι ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος επί το φυσικό αριθμό ν ; Τι ονομάζουμε υποδιαίρεση (ή υποπολλαπλάσιο) του τμήματος ; Τι ονομάζουμε γινόμενο του ευθύγραμμου τμήματος επί το θετικό ρητό αριθμό ; Πως ορίζουμε το γινόμενο ευθύγραμμου τμήματος επί τον αριθμό 0 ; Υπάρχει για ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα και ένα θετικό άρρητο αριθμό ρ πάντοτε το γινόμενό τους ; ν =α ευθύγραμμο τμήμα και ν φυσικός αριθμός, ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος επί το φυσικό αριθμό ν το ευθύγραμμο τμήμα Δ, το οποίο είναι το άθροισμα ν ευθύγραμμων τμημάτων ίσων προς το =α. ράφουμε Δ=ν. 6

7 ν χωρίσουμε, όπως παραπάνω, το ευθύγραμμο τμήμα =α σε ν ίσα μέρη καθένα από τα ν ίσα τμήματα τα παριστάνουμε με q = ή q =. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ λέγεται υποδιαίρεση (ή υποπολλαπλάσιο) του αν υπάρχει ένας φυσικός αριθμός ν ώστε ΕΖ =. ν μ είναι ένας θετικός ακέραιος και προσθέσουμε μ τέτοια τμήματα προκύπτει το τμήμα Ονομάζουμε λοιπόν γινόμενο του ευθύγραμμου τμήματος επί το θετικό ρητό αριθμό q = το ευθύγραμμο τμήμα Δ, το οποίο είναι το άθροισμα μ ευθύγραμμων τμημάτων ίσων με. ράφουμε Δ = q AB. Ορίζουμε ότι το γινόμενο ευθύγραμμου τμήματος επί τον αριθμό q = 0 είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα. ποδεικνύεται ότι για ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα και ένα θετικό άρρητο αριθμό ρ υπάρχει πάντοτε ένα ευθύγραμμο τμήμα Δ τέτοιο, ώστε Δ = ρ. Η κατασκευή όμως, τέτοιων ευθύγραμμων τμημάτων με τον κανόνα και το διαβήτη δεν είναι πάντοτε δυνατή.. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται σύμμετρα; Τι ονομάζουμε κοινό μέτρο ευθυγράμμων τμημάτων ; Τι ονομάζουμε λόγο των δύο τμημάτων ; Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται ασύμμετρα; Έστω δύο μη μηδενικά ευθύγραμμα τμήματα και Δ. ν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και φυσικοί αριθμοί μ, ν τέτοιοι ώστε να ισχύει: = ν ΚΛ και Δ = μ ΚΛ τα δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται σύμμετρα. Το ΚΛ λέγεται κοινό μέτρο των και Δ. πό τα προηγούμενα προκύπτει ότι αν τα τμήματα και Δ είναι σύμμετρα, τότε θα υπάρχει ένας θετικός ρητός αριθμός q = τέτοιος, ώστε Δ = q. Ο αριθμός q λέγεται λόγος των δύο τμημάτων και γράφεται με μορφή κλάσματος, δηλαδή q =. ΣΧΟΛΙΟ Η γραφή δε σημαίνει διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων αλλά είναι συμβολική γραφή της ισότητας = q AB. Σημαίνει διαίρεση όταν τα θεωρήσουμε πάνω στην ίδια ευθεία. 7

8 ΠΡΤΗΡΗΣΗ Το κοινό μέτρο δεν είναι μοναδικό γιατί κάθε υποδιαίρεση του ΚΛ είναι κοινό υποπολλαπλάσιο των και Δ. Επίσης είναι φανερό ότι δύο σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα είναι (ακέραια) πολλαπλάσια κάθε κοινού τους μέτρου. Δύο ευθύγραμμα τμήματα που δεν είναι σύμμετρα λέγονται ασύμμετρα. Θα λέμε επίσης ότι ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός. Τέτοιες περιπτώσεις δεν είναι σπάνιες. Θα δούμε αργότερα ότι η πλευρά και η διαγώνιος ενός τετραγώνου δεν έχουν κοινό μέτρο. 5. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα; Τι ονομάζουμε αναλογία ; Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται ομόλογα ή αντίστοιχα; Ποιοι όροι λέγονται άκροι όροι, και ποιοι μέσοι όροι της αναλογίας ; Ποιος όρος λέγεται και τέταρτη ανάλογος ; Δύο ευθύγραμμα τμήματα α, γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα β, δ όταν ο λόγος του α προς το β ισούται με το λόγο του γ προς το δ, δηλαδή όταν ισχύει: (). υτό σημαίνει ότι υπάρχει θετικός αριθμός λ, ώστε να ισχύει α = λ β και γ = λ δ. Η παραπάνω ισότητα () λέγεται αναλογία με όρους τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ και δ. Τα τμήματα α και β λέγονται ομόλογα ή αντίστοιχα. Το ίδιο και τα γ και δ. Τα α, δ λέγονται άκροι όροι, ενώ τα β, γ μέσοι όροι της αναλογίας. Ο τέταρτος όρος δ της αναλογίας λέγεται και τέταρτη ανάλογος των α, β και γ. 6. Ποια αναλογία λέγεται συνεχής ; Τι είναι η μέση ανάλογος ή γεωμετρικός μέσος ; Στην αναλογία οι μέσοι όροι είναι ίσοι. υτή η αναλογία λέγεται συνεχής και ο β λέγεται μέση ανάλογος των α και γ. Το β λέγεται επίσης γεωμετρικός μέσος των α και γ. 7. ια ποιο σκοπό χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αναλογιών; Και ποιες είναι οι σπουδαιότερες από αυτές ; Συχνά είναι χρήσιμο να αντικαταστήσουμε μια αναλογία με μια ισοδύναμη έκφραση. ια το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αναλογιών, που είναι γνωστές από το υμνάσιο, τις οποίες παίρνουμε χωρίς απόδειξη. 8

9 Οι σπουδαιότερες από αυτές είναι οι εξής: ΠΡΤΗΡΗΣΗ Όταν εφαρμόζουμε ιδιότητες σε αναλογίες με όρους ευθύγραμμα τμήματα, θεωρούμε ότι έννοιες που δεν έχουν οριστεί για ευθύγραμμα τμήματα (π.χ. "πολλαπλασιασμός ευθύγραμμων τμημάτων"), αναφέρονται αποκλειστικά στα μήκη τους. 8. Πως μετράμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ; Τι ονομάζεται μέτρο ή μήκος ευθυγράμμου τμήματος ; Ποιες προτάσεις είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού του μέτρου τμήματος ; Όταν λέμε ότι θα μετρήσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σημαίνει ότι θα το συγκρίνουμε με ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα Δ, το οποίο παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης. Η επιλογή της μονάδας μέτρησης είναι αυθαίρετη. Ορισμός : Μέτρο ή μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο λόγος του προς ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα, που παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης. Άμεσες συνέπειες του ορισμού του μέτρου τμήματος είναι οι παρακάτω προτάσεις: Δύο ίσα τμήματα έχουν ίσα μέτρα και αντίστροφα, ως προς οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης. Ο λόγος των μέτρων δύο τμημάτων, που μετρώνται με την ίδια μονάδα μέτρησης, ισούται με το λόγο των δύο τμημάτων και είναι ανεξάρτητος από τη μονάδα μέτρησης. ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ Το μέτρο του τμήματος είναι μη αρνητικός αριθμός και θα συμβολίζεται όπως και το τμήμα. Έτσι, με το σύμβολο θα εννοούμε και το μέτρο του τμήματος. Όσα αναφέραμε για το λόγο και το μέτρο τμήματος ισχύουν γενικά και για άλλα γεωμετρικά μεγέθη, όπως η γωνία, το τόξο κτλ. 9. Πως γίνεται η διαίρεση τμημάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσμένο λόγο; Θα δούμε στη συνέχεια πότε ένα σημείο Μ διαιρεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δοσμένο λόγο. Σε ευθεία xy δίνονται δύο ορισμένα σημεία και. Έστω σημείο Μ της ευθείας xy, διαφορετικό του. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 9

10 ) ν το Μ είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος τότε ο λόγος των αποστάσεών του από τα και ισούται με. Λέμε ότι το Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα σε λόγο λ, αν και μόνο αν = λ. ια το σημείο Μ ισχύει η παρακάτω πρόταση. Πρόταση: Το σημείο Μ είναι μοναδικό. πόδειξη Πράγματι, αν Μ' εσωτερικό σημείο του ώστε = λ, τότε έχουμε: οπότε το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Μ'. ) ν Μ σημείο στην προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος, τότε πάλι ο λόγος των αποστάσεών του από τα και ισούται με ΜΜ. Λέμε ότι το Μ διαιρεί εξωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα σε λόγο λ, αν και μόνο αν αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση, το σημείο Μ είναι μοναδικό. Διερεύνηση (i) ν λ=, τότε προφανώς δεν υπάρχει σημείο Μ που να διαιρεί εξωτερικά το σε λόγο λ=, αφού Μ Μ. Στην περίπτωση αυτή το Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος. = λ. νάλογα (ii) ν λ >, τότε >, οπότε το Μ βρίσκεται στην προέκταση του, προς το μέρος του. Στην περίπτωση αυτή έχουμε: 0

11 (iii) ν λ < <=> < <=> Μ < Μ, οπότε το Μ βρίσκεται στην προέκταση του, προς το μέρος του. Όπως παραπάνω βρίσκουμε ότι (iv) Οριακές θέσεις α) Όταν το σημείο Μ τείνει στο, το τμήμα Μ τείνει στο μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα, οπότε ο λόγος λ τείνει στο μηδέν. β) Όταν το σημείο Μ τείνει στο, το τμήμα Μ τείνει στο μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα, οπότε ο λόγος λ τείνει στο άπειρο. γ) Όταν το σημείο Μ απομακρύνεται απεριόριστα, τα τμήματα Μ και Μ τείνουν να ταυτιστούν, οπότε ο λόγος λ τείνει στη μονάδα. ΠΡΤΗΡΗΣH Δεχόμαστε συμβατικά πως, όταν λέμε ότι το σημείο Μ διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα σε λόγο λ, εννοούμε = λ, και όχι = λ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ ν Ο είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος, τότε το σημείο Μ τέτοιο ώστε = λ, βρίσκεται μεταξύ Ο και όταν λ< και μεταξύ του Ο και όταν λ>. ν = λ, λέμε ότι το Μ διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα σε λόγο λ. Δηλαδή θεωρούμε ότι τα άκρα και του τμήματος είναι διατεταγμένα. Ένα τέτοιο ευθύγραμμο τμήμα λέγεται προσανατολισμένο.

12 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Να ορίσετε τους παρακάτω λόγους i) Της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου προς την αντίστοιχη διάμεσο ii) Μίας εγγεγραμμένης γωνίας προς την αντίστοιχη επίκεντρη iii) Της διαμέτρου ενός κύκλου προς την ακτίνα του iν) Μίας ορθής γωνίας προς μία γωνία ισοπλεύρου τριγώνου πάντηση i) ν α = υποτείνουσα και μ α αντίστοιχη διάμεσος, τότε ii) ν η εγγεγραμμένη και η αντίστοιχη επίκεντρη τότε : iii) ν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου και δ η διάμετρός του τότε :. Στο παρακάτω σχήμα είναι = 0α και = α. Να βρεθούν οι λόγοι i) προς, ii) προς, iii) προς, iν) προς πάντηση i) ii) iii) iν) 3. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα και σημείο του έτσι ώστε τότε ο λόγος είναι : i) ii) 3 iii) iν) ν) Τίποτα από αυτά πάντηση Σωστή απάντηση η (iν)

13 . Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα = cm και το μέσο του Ο. Να βρεθεί σημείο Μ του Ο ώστε τα σημεία Μ και να διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά αντίστοιχα το Ο στον ίδιο λόγο πάντηση Μ Ο Πρέπει να ισχύει Ο Μ ΜΟ Μ ΜΟ Μ ΜΟ Μ Μ ΜΟ Μ Ο Μ Μ Μ = cm οπότε εντοπίζεται το σημείο Μ 3

14 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ. Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς, 3,. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου σε μοίρες. Έστω το τρίγωνο. = λ 80 ο =9λ λ=0 ο Άρα = λ =80 ο = 3λ =60 ο = λ =0 ο = 3λ + = λ+3λ+λ = λ. O λόγος μιας γωνίας ω προς την παραπληρωματική της είναι. Να βρεθεί η γωνία ω. Έστω η γωνία, τότε 80 ο - η παραπληρωματική της 3. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 6, 3,. ν η περίμετρος του τριγώνου είναι 65cm, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του. Έστω το τρίγωνο με λ λ=5 άρα α=6λ=6 5 άρα α=30 β=3λ=3 5 άρα β=5 γ=λ= 5 άρα γ=0 α=6λ, β=3λ,γ=λ α+β+γ=6λ+3λ+λ λ

15 ΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών, 3 και. Να υπολογισθούν οι εσωτερικές του γωνίες. Έστω το τρίγωνο. = λ = 3λ + = λ+3λ+λ = λ 80 + = 9λ = 9λ = 9λ 360 ο =9λ λ=0 ο Άρα = λ = 80 ο 80 ο 80 ο 00 ο = 3λ = 0 ο 80 ο 0 ο 60 ο = λ = 60 ο 80 ο 60 ο 0 ο. Σε ευθεία ε παίρνουμε διαδοχικά σημεία,, και Δ, ώστε = 6cm. = cm, Δ = cm. Να βρεθεί σημείο Μ του, το οποίο διαιρεί εσωτερικά τα τμήματα Δ και στον ίδιο λόγο. Μ Δ Θεωρούμε άγνωστο το τμήμα Μ = x, οπότε Μ = x. χ χ χ χ χ-χ +7-6χ = χ χ 6χ+7 = χ 6χ-χ = -7-8χ = -7 χ = 9 άρα Μ=9. 3. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των αναλογιών, να διαιρέσετε δοσμένο τμήμα = α σε δύο τμήματα, τα οποία έχουν λόγο. Μ 5

16 ΘΕΩΡΗΜ ΘΛΗ. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα του Θαλή. Θεώρημα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. Σχήμα 8 πόδειξη i) ν τα τμήματα και είναι σύμμετρα, υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μ τέτοιο, ώστε = κμ και = λμ (), όπου κ, λ φυσικοί αριθμοί. Διαιρούμε το τμήμα σε κ τμήματα ίσα με το μ και το σε λ τμήματα ίσα με το μ. πό τα σημεία που ορίζονται με τον παραπάνω τρόπο φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την ε, οι οποίες τέμνουν τη δ. Επειδή τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ είναι ίσα μεταξύ τους, τότε και τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ θα είναι ίσα τμήματα, που το μήκος του καθενός ας είναι ν. Τότε θα έχουμε ΕΖ = κν και ΖΗ = λν (). ii) ν τα τμήματα και είναι ασύμμετρα, ο λόγος είναι ασύμμετρος αριθμός. ποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση ισχύει η προηγούμενη αναλογία.. Να πείτε αν ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή και αν ναι, να διατυπωθεί. Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή. Θεώρημα: Θεωρούμε δύο ευθείες δ και δ που τέμνουν δύο παράλληλες ευθείες ε και ε στα σημεία, και Ε, Ζ αντίστοιχα. ν και Η είναι 6

17 σημεία των ευθειών δ και δ αντίστοιχα τέτοια, ώστε = τότε η ευθεία Η είναι παράλληλη προς τις ε και ε. 3. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι άμεσες συνέπειες του Θεωρήματος Θαλή στα τρίγωνα. ΠΟΡΙΣΜ: Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη με μία από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο άλλες πλευρές σε μέρη ανάλογα και αντίστροφα. πόδειξη Έστω τρίγωνο και ΔΕ//. Φέρουμε από την κορυφή ευθεία ε////δε, οπότε από το θεώρημα του Θαλή προκύπτει ότι : ΠΡΤΗΡΗΣH Το παραπάνω πόρισμα ισχύει και στην περίπτωση που η ΔΕ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών του τριγώνου. Μια σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή είναι το επόμενο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜ: Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου. πόδειξη Έστω τρίγωνο και ΔΕ//. Θα αποδείξουμε ότι: Επειδή ΔΕ//, από το θεώρημα του Θαλή έχουμε (). Φέρουμε την ΕΖ παράλληλη της, οπότε το ΔΕΖ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΔΕ=Ζ (). Επειδή ΕΖ//, από το θεώρημα του Θαλή έχουμε ή (3). πό τις () και (3) προκύπτει ότι.. Ποιες είναι οι δύο σπουδαιότερες γεωμετρικές κατασκευές που γίνονται με τη βοήθεια του θεωρήματος του Θαλή ; Με τη βοήθεια του θεωρήματος του Θαλή γίνονται ορισμένες γεωμετρικές κατασκευές. Δύο από τις σπουδαιότερες είναι τα παρακάτω προβλήματα. 7

18 ΠΡΟΛΗΜ (Κατασκευή τέταρτης αναλόγου) : ν δοθούν τρία ευθύγραμμα τμήματα α, β και γ, να κατασκευασθεί το τμήμα x, που ορίζεται από την αναλογία. Έστω μια γωνία zôy. Πάνω στη μία πλευρά της Οz παίρνουμε διαδοχικά τα τμήματα Ο = α, = β και πάνω στην Oy το τμήμα Ο = y. πό το φέρουμε την παράλληλη προς την, που τέμνει την Oy στο Δ. Τότε Δ = x γιατί ή. Είναι φανερό ότι με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζεται το τμήμα x αν ή ή, αρκεί κάθε φορά να γράφουμε το x ως τέταρτο όρο της αναλογίας. ΠΡΟΛΗΜ (Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε δοσμένο λόγο) : Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο, όπου μ,ν γνωστά τμήματα. πό το φέρουμε μια ημιευθεία χ, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα Ε=μ. πό το φέρουμε ευθεία παράλληλη της χ και παίρνουμε πάνω σε αυτή εκατέρωθεν του τμήματα Ζ=Η=ν. Τα σημεία και Δ στα οποία οι ευθείες ΕΗ και ΕΖ τέμνουν την ευθεία είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, τα τρίγωνα Ε και Η έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:. Όμοια τα τρίγωνα ΔΕ και ΔΖ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:. ν μ=ν, το τετράπλευρο ΖΕ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε η ΕΖ δε δίνει σημείο Δ πάνω στην, ενώ το είναι το μέσο του. 5. Πότε δύο σημεία είναι συζυγή αρμονικά δύο άλλων σημείων ; Τι ισχύει για αυτά και τι καλείται αρμονική τετράδα ; 8

19 Δύο σημεία και Δ, που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα στον ίδιο λόγο, λέγονται συζυγή αρμονικά των και. Δηλαδή τα και Δ είναι συζυγή αρμονικά των και, αν τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά και. πό τη σχέση αυτή παίρνουμε την αναλογία ή. από την οποία προκύπτει ότι και τα και είναι συζυγή αρμονικά των και Δ. Τα τέσσερα σημεία (,) και (,Δ) λέμε ότι αποτελούν αρμονική τετράδα. Σημείωση: Το Δ λέγεται αρμονικό συζυγές του ως προς τα και. Όπως είδαμε παραπάνω, αν το είναι το μέσο του, το Δ δεν υπάρχει. 6. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου. Ισχύει το αντίστροφο ; ιατί ; Θεώρημα (εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου) : Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. Δηλαδή, αν Δ διχοτόμος του τριγώνου, ισχύει :. πόδειξη Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του Δ. πό το φέρουμε παράλληλη προς την Δ, που τέμνει την προέκταση της στο Ε. πό το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο Ε έχουμε (). ια να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι Ε =. Πράγματι: A = (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Δ και Ε), A = Ε (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Δ και Ε), A = A (Δ διχοτόμος), οπότε = Ε άρα Ε = (). πό τις () και () προκύπτει ότι. Επειδή το σημείο Δ που διαιρεί την πλευρά σε λόγο θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: ν το Δ είναι σημείο της πλευράς και ισχύει διχοτόμος της γωνίας A. είναι μοναδικό, το τότε η Δ είναι 9

20 7. Πως υπολογίζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα, στα οποία διαιρεί η διχοτόμος την απέναντι πλευρά ενός τριγώνου ως συνάρτηση των πλευρών του α,β,γ. Υπολογισμός των ευθύγραμμων τμημάτων, στα οποία διαιρεί η διχοτόμος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α,β,γ. Θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Δ από τα και. Η προηγούμενη αναλογία γράφεται: 0

21 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ πάντηση Στο σχήμα (α) με εφαρμογή του θεωρήματος Θαλή έχουμε x x = 3 και 3 Στο σχήμα (β) ομοίως έχουμε Στο σχήμα (γ) : Στο σχήμα (δ) : 6 ψ = 3,5 ψ = και 3 9 x x =36 x = 6 x 5 x x 0 5 x 5 0 x 0 απ όπου x = 0 και Στο σχήμα (ε) είναι ΚΛ Δ διότι και τα τρία τμήματα είναι κάθετα στην ίδια ευθεία, οπότε 3 x = και x 6 x x = 3,5 ψ = 3 ψ =,5 3 6

22 . Να δικαιολογήσετε γιατί Δ και ΕΖ ΚΛ ΜΝ στα παρακάτω σχήματα πάντηση Στο πρώτο σχήμα έχουμε 3 και άρα 6 πό το αντίστροφο του Θαλή έχουμε Δ 3 Στο δεύτερο σχήμα έχουμε και άρα Και αφού ΚΛ ΜΝ επειδή είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, σύμφωνα με το αντίστροφο του Θαλή έχουμε και ΕΖ ΚΛ ΜΝ 3. Στο διπλανό σχήμα είναι Σ i) Λ ii) EZ Δ Σ Λ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις προτάσεις και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. πάντηση i) φού, το (i) είναι σωστό ii) Είναι λάθος διότι δεν είναι Δ

23 . Δίνεται τμήμα και δύο σημεία και Δ ώστε ρκεί η παραπάνω σχέση για να είναι τα και Δ συζυγή αρμονικά των και ; πάντηση Όχι, θα πρέπει το ένα να είναι εσωτερικό του τμήματος και το άλλο εξωτερικό 5. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΚΛ =, ΛΕ =. Να βρείτε σημείο Ζ ώστε τα σημεία (Ζ, Ε) να είναι συζυγή αρμονικά των (Κ, Λ) πάντηση Πρέπει το Ζ να είναι εσωτερικό του ΚΛ και να ισχύει 6 = ΖΛ = έτσι εντοπίζεται το σημείο Ζ 3

24 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ. Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ, ΕΖ και ΖΗ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΕΖ ΖΗ πό τις (), (), (3) () () (3). πό την κορυφή παραλληλογράμμου Δ φέρουμε ευθεία ε, η οποία τέμνει τη διαγώνιο Δ στο Ε, την πλευρά σο Ζ και την προέκταση της Δ στο Η. Να αποδείξετε ότι i) ii) = ΕΖ. ΕΗ i) Ζ Δ = αλλά Δ = άρα = ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι Ζ Δ = = και ΔΗ = Άρα = 3. Οι μη παράλληλες πλευρές Δ, τραπεζίου Δ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το προς την τέμνει την Δ στο Ε. Να αποδείξετε ότι το Ο είναι μέσο ανάλογο των ΟΔ και ΟΕ. ρκεί να αποδείξουμε ότι. ή Δ Ε Άρα

25 . πό σημείο Δ της πλευράς τριγώνου φέρουμε την παράλληλη προς τη διάμεσο Μ, που τέμνει τις ευθείες και στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι. Στην αποδεικτέα αναλογία αλλάζουμε μέσους, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι =. AΜ ΕΔ = ΖΔ Μ = =, αφού Μ = Μ Άρα =. 5. Δίνεται τετράπλευρο Δ και σημείο Ε της διαγωνίου. Οι παράλληλες από το Ε προς τις, Δ τέμνουν τις, Δ στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΖΗ Δ. ρκεί να αποδείξουμε ότι = ΗΕ Δ = ΖΕ Άρα = = 6. Δίνεται τρίγωνο και σημεία Δ, Ε της πλευράς, ώστε Δ = Ε <. Οι παράλληλες από τα Δ, Ε προς τις και αντίστοιχα τέμνουν την στο Ζ κα την στο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΗ. ρκεί να αποδείξουμε ότι = ΖΔ = ΕΗ = Τα δεύτερα μέλη ίσα, άρα και τα πρώτα. 5

26 7. πό τυχαίο σημείο Κ της διαμέσου Μ τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις και, που τέμνουν τη στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ. ΚΔ = Κ ΚΕ = Τα πρώτα μέλη ίσα, άρα και τα δεύτερα, άρα Δ Μ Ε = και επειδή Μ = Μ θα είναι ΜΔ = ΜΕ. 8. Δίνεται τραπέζιο Δ ( Δ) και Ε το μέσο της μικρής βάσης. ν η ΔΕ τέμνει τη στο Ζ και την προέκταση της στο Η, να αποδείξετε ότι τα Ζ, Η είναι συζυγή αρμονικά των Δ, Ε. ρκεί να αποδείξουμε ότι = Ε Δ τα τρίγωνα ΖΕ, ΖΔ έχουν πλευρές ανάλογες = () Ε Δ τα τρίγωνα ΗΕ, ΗΔ έχουν πλευρές ανάλογες = 9. Δεξαμενή ύψους υ = m περιέχει νερό που φτάνει σε ύψος h. Ράβδος μήκους 5m τοποθετείται στη δεξαμενή, όπως στο διπλανό σχήμα. γάζουμε τη ράβδο και παρατηρούμε ότι το τμήμα που βρέχτηκε έχει μήκος 0m. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος h του νερού; () Τα δεύτερα μέλη ίσα, άρα και τα πρώτα. = το ύψος της δεξαμενής = h 6 το ύψος του νερού Δ = 5 η ράβδος. Τότε ΕΔ = 0 Ε Δ = h 0 5 5h = 0 h = 8

27 ΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. ν τα, Δ είναι συζυγή αρμονικά των, και Ο είναι το μέσο του, να αποδείξετε ότι τα και Δ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο. Έστω >, τότε > Ο, άρα δεξιά του Ο. > A B = A B A B > αλλά A > Δ > Δ Δ δεξιά του άρα και του Ο. B. Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα = α σε τμήματα x, y, ω τέτοια, ώστε x = 6y = 3ω. x 6y 3 x = 6y = 3ω x y () 3 Κ Λ Δ Μ x Έστω = α. ράφουμε τυχαία ημιευθεία x. Πάνω στην x θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα Κ = 3μ, ΚΛ = μ, ΛΜ = μ, όπου μ τυχαία μονάδα. ράφουμε τη Μ και από τα Λ, Κ παράλληλές της που τέμνουν το τμήμα στα Δ, αντίστοιχα. Υποστηρίζουμε (και θα το αποδείξουμε) ότι = x, Δ = y και Δ = ω Θεώρημα Θαλή 3 () 3 πό τις () και () = x, Δ = y, Δ = ω 7

28 3. Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και έστω Δ η τομή της διαμέτρου Ε με τη. ν Ζ και Η είναι οι προβολές του Δ στις και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΖΗ. ˆ ABE διότι βαίνει σε ημικύκλιο Ζ Ο Δ Ε Η Ε λλά και ΔΖ άρα Ε ΔΖ = Ομοίως = Άρα = ΖΗ (αντίστροφο του Θ. Θαλή στο τρ.). Δίνεται παραλληλόγραμμο Δ και σημείο Ε της Δ τέτοιο, ώστε ΔΕ = Δ. ν η Ε τέμνει την Δ στο Ζ, να αποδείξετε ότι Ζ = 3ΔΖ. ΔΕ = 5 Δ = 5 5 = () ΔΖ = () () (τα τρ. ΕΔΖ, Ε έχουν πλευρές ανάλογες) Επειδή = Δ, η () = 3 Ζ = 3ΔΖ. = = 5. πό την κορυφή παραλληλογράμμου Δ φέρουμε ευθεία ε που τέμνει την πλευρά Δ στο Ε και την προέκταση της Δ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι. ΔΖ = () ΔΕ = () () () = = = = 8

29 6. Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ, Ε της ώστε Δ = ΔΕ = Ε. Η παράλληλη από το Δ προς την τέμνει τη διάμεσο Μ στο Κ. Να αποδείξετε ότι : i) το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ii) KE A i) Μ μέσο της και μέσο του ΔΕ Κ Δ Μ Ε Άρα ΜΔ = Δ και ΜΕ = Ε M = και M = ΔΚ = M = Κ κ.βάρους ii) ποδείχθηκε ότι = = M KE A (αντίστροφο του Θ.Θ) 7. Τραπεζίου Δ ( Δ) οι διαγώνιες, Δ τέμνονται στο Ο. πό το Ο φέρουμε παράλληλες προς τις Δ, που τέμνουν τη Δ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = Ζ. ΟΕ Δ E O E = () Δ Ε Ζ ΟΖ = Δ = πό την (3), τα δεύτερα μέλη των (), () είναι ίσα, άρα και τα πρώτα E E = E E = E = ΕΔ = Ζ () (3) 9

30 ΣΥΝΘΕΤ ΘΕΜΤ. Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του και αντίστοιχα, ώστε. Να αποδείξετε ότι τα μέσα Κ, Λ, Μ των, και ΔΕ αντίστοιχα, είναι συνευθειακά σημεία. Ζ Κ Δ Μ Λ Ε Φέρουμε ΕΖ = πό υπόθεση είναι Άρα = = = = Και επειδή Κ μέσο της Κ μέσο και του ΔΖ. Ζ = Δ Στο τρ. ΔΖΕ το τμήμα ΚΜ ενώνει τα μέσα ΚΜ ΖΕ Στο τρ. το τμήμα ΚΛ ενώνει τα μέσα ΚΛ Άρα Κ, Λ, Μ συνευθειακά.. πό το μέσο Μ της πλευράς τριγώνου φέρουμε τυχαία ευθεία, που τέμνει τις και στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Ζ. Η = Η. Ζ Ζ Κ Η Μ ρκεί να αποδείξουμε ότι = Κ ΖΜ = Φέρουμε Κ ΖΗΜ Κ ΗΜ = Επειδή Μ = Μ, τα δεύτερα μέλη είναι ίσα άρα και τα πρώτα. 30

31 3. Δίνεται ευθεία ε, τέσσερα διαδοχικά σημεία της,,, Δ και σημείο Ο εκτός αυτής. πό το φέρουμε παράλληλη προς την Ο, η οποία τέμνει τις Ο, ΟΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα, Δ είναι συζυγή αρμονικά των,, αν και μόνο αν Ε = Ζ. Ε Ο = () Ζ Ο = (), Δ αρμονικά συζυγή των, = (),() = Ε = Ζ. ν ένα σημείο Δ χωρίζει εσωτερικά την πλευρά τριγώνου σε λόγο λ και ένα σημείο Ε χωρίζει εσωτερικά το Δ σε λόγο κ, να υπολογισθεί ο λόγος στον οποίο χωρίζει η ευθεία Ε την πλευρά. Ε Δ M Ρ Έστω Μ το σημείο τομής των Ε,. ναζητάμε το λόγο. Μεταφέρουμε τους δοσμένους λόγους = λ και = κ πάνω στην, όπου ανήκει και ο ζητούμενος, φέρνοντας ΔΡ Μ ΔΡ Μ = = λ, ΕΜ ΔΡ = = κ (). () = = άρα M = M = κ = = κ () () 3

32 5. Η εφαπτομένη ενός κύκλου σε σημείο του Μ τέμνει τις εφαπτόμενες στα άκρα, μιας διαμέτρου, στα σημεία και Δ αντίστοιχα. ν Κ είναι το σημείο τομής των, Δ, να αποδείξετε ότι ΜΚ. ρκεί να αποδείξουμε ότι ΜΚ Δ Δ σαν κάθετες στην τα τρ. Κ, ΚΔ έχουν πλευρές ανάλογες, δηλαδή = αλλά = Μ και Δ = ΔΜ σαν εφαπτόμενα τμήματα Άρα = Με το αντίστροφο του Θ.Θαλή στο τρ. Δ έχουμε ΜΚ Δ 3

33 ΚΕΦΛΙΟ 7ο ΝΛΟΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΤ ΔΙΧΟΤΟΜΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου. Ισχύει το αντίστροφο ; ιατί ; Θεώρημα (εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου) : Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. Δηλαδή, αν Δ διχοτόμος του τριγώνου, ισχύει :. πόδειξη Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του Δ. πό το φέρουμε παράλληλη προς την Δ, που τέμνει την προέκταση της στο Ε. πό το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο Ε έχουμε (). ια να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι Ε =. Πράγματι: A = (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Δ και Ε), A = Ε (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Δ και Ε), A = A (Δ διχοτόμος), οπότε = Ε άρα Ε = (). πό τις () και () προκύπτει ότι. Επειδή το σημείο Δ που διαιρεί την πλευρά σε λόγο θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: ν το Δ είναι σημείο της πλευράς και ισχύει διχοτόμος της γωνίας A. είναι μοναδικό, το τότε η Δ είναι. Πως υπολογίζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα, στα οποία διαιρεί η διχοτόμος την απέναντι πλευρά ενός τριγώνου ως συνάρτηση των πλευρών του α,β,γ. Υπολογισμός των ευθύγραμμων τμημάτων, στα οποία διαιρεί η διχοτόμος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α,β,γ. 33

34 Θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Δ από τα και. Η προηγούμενη αναλογία γράφεται: 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου. Ισχύει το αντίστροφο ; Θεώρημα (εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου) : Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. Δηλαδή, αν η Ε είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου, ισχύει ότι: : πόδειξη Έστω τρίγωνο και η εξωτερική διχοτόμος του Ε. πό το φέρουμε παράλληλη προς την Ε, που τέμνει την στο Ζ. πό το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο Ε έχουμε (). ια να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι Ζ =. Πράγματι: A = (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Ε και Ζ), A = Ζ (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Ε και Ζ), A = A (Ε εξωτερική διχοτόμος), οπότε = Ζ άρα Ε = (). πό τις () και () προκύπτει ότι. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Το σημείο Ε βρίσκεται προς το μέρος της μικρότερης πλευράς. Πράγματι αν β>γ τότε > οπότε A = φ>0. ρκεί να αποδείξουμε ότι A + <80 ο ν =, τότε το Ε δεν υπάρχει. Το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: ν το Ε είναι σημείο της προέκτασης της πλευράς και ισχύει η Ε είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A. τότε 3

35 . Πως υπολογίζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα, στα οποία διαιρεί η εξωτερική διχοτόμος την απέναντι πλευρά ενός τριγώνου ως συνάρτηση των πλευρών του α,β,γ. Υπολογισμός των ευθύγραμμων τμημάτων στα οποία διαιρεί η εξωτερική διχοτόμος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α,β,γ. Στο σχήμα θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Ε από τα και. πό το θεώρημα της εξωτερικής διχοτόμου : ΠΡΤΗΡΗΣΗ : ν Δ και Ε είναι τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας, τριγώνου, στην απέναντι πλευρά, θα είναι Δηλαδή τα ίχνη Δ και Ε των δύο διχοτόμων είναι σημεία συζυγή αρμονικά ως προς τις κορυφές και του τριγώνου. 5. Ποιος γεωμετρικός τόπος ονομάζεται πολλώνιος κύκλος ; Να γίνει η αντίστοιχη γεωμετρική κατασκευή. Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που οι αποστάσεις τους από δύο ορισμένα σημεία και του επιπέδου έχουν γνωστό λόγο =. Έστω δύο δεδομένα σημεία, και Μ τυχαίο σημείο του τόπου με την ιδιότητα () Φέρουμε την εσωτερική διχοτόμο Μ και την εξωτερική διχοτόμο ΜΔ του τριγώνου Μ. Τότε: Δηλαδή, τα σημεία και Δ είναι ορισμένα, αφού χωρίζουν το εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο. κόμα είναι ΜΔ = 90, επειδή οι Μ και ΜΔ είναι διχοτόμοι των δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών Μ και ΜΗ. Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο με διάμετρο το τμήμα Δ. ντίστροφα: Έστω Ν ένα σημείο του κύκλου με διάμετρο το τμήμα Δ. Τότε ΝΔ =

36 Θα αποδείξουμε ότι. πό το φέρουμε Ε//Ν, οπότε στο τρίγωνο Ε είναι Επίσης φέρουμε Ζ//ΔΝ, οπότε στο τρίγωνο ΔΝ είναι πό τις σχέσεις () και (5) προκύπτει ότι, οπότε ΝΕ=ΝΖ, δηλαδή το Ν είναι μέσο του ΕΖ. Επειδή ΝΔ = 90 και Ε//Ν, Ζ//ΔΝ, θα είναι και EZ=90, δηλαδή το τρίγωνο ΕΖ είναι ορθογώνιο στο με διάμεσο Ν, οπότε Ν = ΝΕ = ΝΖ (6). πό τις σχέσεις () και (6) έχουμε. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με διάμετρο Δ. Κατασκευή ν δοθούν τα σημεία και και ο λόγος, διαιρούμε το τμήμα εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο Δ. Διερεύνηση όπως γνωρίζουμε και βρίσκουμε τα και Δ. Στη συνέχεια ν είναι =, τότε = ή Μ = Μ. Άρα το Μ ισαπέχει από τα και, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος. ΠΡΤΗΡΗΣΗ: Ο προηγούμενος γεωμετρικός τόπος λέγεται πολλώνιος κύκλος, από το όνομα του Έλληνα μαθηματικού πολλωνίου που πρώτος μελέτησε το θέμα. ενικά υπάρχουν άπειροι απολλώνιοι κύκλοι ως προς δύο σημεία και. ια να ορισθεί κάποιος από αυτούς, όταν δοθούν τα και, χρειάζεται να δοθεί ο λόγος, ή ένα από τα σημεία,, ή ισοδύναμα, ένα τυχαίο σημείο του απολλώνιου κύκλου, ώστε ο λόγος να είναι προσδιορισμένος. 36

37 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη Δ, Ε της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση Διότι από τα θεωρήματα εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου έχω ότι : άρα. ν Δ διχοτόμος τριγώνου και Δ =, να δικαιολογήσετε γιατί β + γ =α πάντηση Είναι Δ = α = β + γ 3. Τι ονομάζεται απολλώνιος κύκλος ως προς δύο σημεία και ; Πόσοι τέτοιοι κύκλοι υπάρχουν ; Με ποιους τρόπους μπορεί να ορισθεί κάποιος από αυτούς ; πάντηση Ονομάζουμε πολλώνιο κύκλο ως προς δύο σημεία και τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία και είναι σταθερός και ίσος με Υπάρχουν άπειροι πολλώνιοι κύκλοι αφού ο λόγος έχει άπειρες τιμές ια να ορισθεί κάποιος από τους κύκλους αυτούς όταν ξέρουμε τα σημεία και θα πρέπει : ή να δοθεί ο λόγος ή ένα από τα σημεία, Δ τα οποία διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα σε λόγο ή ένα από τα σημεία του πολλώνιου κύκλου. 37

38 . Στο διπλανό σχήμα η Δ είναι διχοτόμος, το Ι έκκεντρο και το Ια παράκεντρο του τριγώνου. Τα σημεία (, Δ) και (Ι,Ια) αποτελούν αρμονική τετράδα; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας πάντηση φού Ι και διχοτόμοι των γωνιών ˆ Δ και ˆ του τριγώνου Δ τα (, Δ) είναι συζυγή αρμονικά των ( Ι, ). 5. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο ορισμένα σημεία και έχουν λόγο λ = είναι i) κύκλος διαμέτρου ii) η μεσοκάθετος του iii) το μέσο Μ του iν) τίποτα από τα παραπάνω επιλέξτε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την πάντηση Σωστή απάντηση είναι η (ii), διότι αν Μ τυχαίο σημείο του τμήματος τότε Μ = Μ και επομένως 38

39 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ. Η διάμεσος Μ και η διχοτόμος Δ τριγώνου τέμνονται στο Ε. Να αποδείξετε ότι. Δ Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ. Μ = = () Ε Μ = Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ. = () =. Δίνεται τρίγωνο με = 6, = 0, = 9. ν Δ, Ε η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ˆ, να υπολογισθεί το ΔΕ. Δ = = 0.6 = Ε = Ε Δ = 0.6 = Άρα ΔΕ = 3. Δίνεται τρίγωνο με ˆ 90 0 και η διάμεσός του Μ. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την στο Δ και την προέκταση της Δ στο Ε, να αποδείξετε ότι Ε. Δ = Ε. Δ. Ε ρκεί να αποδείξουμε ότι = Θ. εξωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ Δ = () Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ Μ = () Επειδή Μ = Μ, τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. 39

40 . ν Μ είναι το μέσο της πλευράς ενός τριγώνου και οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ και ˆ τέμνουν τις πλευρές και στα Δ και Ε αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΔΕ. Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ = () Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρ.μ = () Επειδή Μ = Μ, τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. Έτσι = και από το αντίστροφο του Θ. Θαλή συμπεραίνουμε ΔΕ. 5. ν Δ, Ε και Ζ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι = Ζ Ε Δ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε Δ Δ διχοτόμος = Ε διχοτόμος = Ζ διχοτόμος =.. =. ν Δ, Ε και Ζ είναι οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι.. = Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε Δ εξ. διχοτόμος = Ε εξ. διχοτόμος = Ζ εξ. διχοτόμος.. =. = 0

41 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). ν Δ τυχαίο σημείο του τόξου και η Δ τέμνει την πλευρά στο Ε, να αποδείξετε ότι Ε. Δ = Ε. Δ ρκεί να αποδείξουμε ότι =. = ˆ ˆ ΔΕ εσ. διχοτόμος του τρ. Δ =. 7. Σε ένα ημικύκλιο διαμέτρου φέρουμε τις εφαπτόμενες στα άκρα της διαμέτρου, καθώς και μία εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο του Ε, που τέμνει την ευθεία στο Ζ και τις άλλες δύο εφαπτόμενες στα και Δ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Ε, Ζ. Έστω Ο το κέντρο του κύκλου. Φέρουμε τις Ο, ΟΕ, ΟΔ. ΟΔ διακεντρική ˆ = ˆ ΟΔ εσ. διχοτόμος του τρ. ΟΕΖ. () ΟΕ διακεντρική ˆ = ˆ 3 ΟΕ εξ. διχοτόμος του τρ. ΟΕΖ. () πό τις () και () Δ, συζυγή αρμονικά των Ε, Ζ, άρα και Ε, Ζ συζυγή αρμονικά των, Δ. 8. Δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι 0m και 36m. Η διχοτόμος της γωνίας, η οποία περιέχεται μεταξύ των δύο αυτών πλευρών, διαιρεί την τρίτη πλευρά σε δύο μέρη, τα οποία διαφέρουν κατά m. Να υπολογισθεί η τρίτη πλευρά. Έστω = 0, = 36, Δ διχοτόμος, Δ = x και Δ = y. Θ. εσ. διχοτόμου x 0 5 y x = 5y () πό υπόθεση έχουμε y x = () Λύνουμε το σύστημα των (), () και βρίσκουμε x = 5m, y = 7m.

42 ΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ˆ ˆ ˆ 0. Δίνονται οι διαδοχικές γωνίες xoy yoz zot 5 και τα σημεία, Δ των Οx, Ot αντίστοιχα, τέτοια ώστε Ο = ΟΔ. ν, είναι τα σημεία τομής της Δ με τις Oy, Oz αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι =.Δ. ρκεί να αποδείξουμε ότι = (α) Ο εσ. διχοτόμος του τρ. Ο = () ΟΔ στην εσ. διχοτόμο Ο ΟΔ εξ. διχοτόμος του τρ. Ο = () πό τις () και () = (3) Συγκρίνοντας την αποδειγμένη ισότητα (3) με την αποδεικτέα (α), αρκεί να αποδείξουμε ότι = Δ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ο, ΟΔ. Ο = ΟΔ τρ. ΟΔ ισοσκελές ˆ ˆ Ο = ΟΔ ˆ ˆ 5 0 Άρα τρ.ο = τρ. ΟΔ, άρα = Δ. πό το μέσο Μ της πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε την παράλληλη στη διχοτόμο του Δ, που τέμνει τις, στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Ε = Ζ. Ε Δ ΕΜ = Ζ ΖΜ Δ = Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι = αρκεί να αποδείξουμε ότι Ε = Ζ =, και αφού Μ = Μ Δ M, το οποίο ισχύει από το θεώρημα εσ. διχοτόμου, αλλάζοντας μέσους όρους.

43 3. Δίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του Δ και το έκκεντρό του Ι. i) Nα υπολογισθεί ο λόγος, ως συνάρτηση των πλευρών α, β, γ του τριγώνου. ii) ν β + γ = α και Κ το βαρύκεντρο του τριγώνου, τότε γ Ζ α) ΙΚ β) ΖΕ =, όπου Ζ, Ε τα σημεία τομής των, αντίστοιχα με την ευθεία ΙΚ. Ι Δ α Κ M ii) α) Η () β Ε = i) Ι διχοτόμος του τρ. Δ = αλλά Δ =, άρα = () = Κ βαρύκεντρο = (3) πό τις (), (3) = ΙΚ ΔΜ (αντίστροφο του Θ.Θαλή) ii) β) ΖΕ τα τρίγωνα ΖΕ, έχουν πλευρές ανάλογες ΖΕ = = (). ν οι διχοτόμοι των γωνιών Δ Ε Μ ˆ και ˆ ενός τριγώνου, τέμνουν τη διάμεσό του Μ στα Δ και Ε αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι >. Άρα + = + Δ διχοτόμος του τρ. Μ Ε διχοτόμος του τρ. Μ = + = = = = = > = (είναι α < β + γ) 3

44 5. Οι μη παράλληλες πλευρές τραπεζίου Δ ( Δ) τέμνονται στο Ο. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις, Δ στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) ΖΔ. = Ζ. Δ ii) EA. B = Ε.Δ Ο i) ρκεί να αποδείξουμε ότι = Δ Ε Ζ OZ διχοτόμος του τρ.οδ = Θ.Θαλή = Άρα έχουμε το ζητούμενο. ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = OE διχοτόμος του τρ.οab = Θ. Θαλή = Άρα έχουμε το ζητούμενο.

45 Ο Κ Λ Ζ ΣΥΝΘΕΤ ΘΕΜΤ. Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν η κάθετη διάμετρος ΚΛ στη τέμνει τις, στα Ε, Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Κ, Λ. Ε ρκεί να εντοπίσουμε ένα τρίγωνο με εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο Φέρουμε τις Κ, Λ. ΟΚ Κ μέσο του Κ εξωτερική διχοτόμος του τρ.εζ () ˆ βαίνει σε ημικύκλιο άρα είναι ορθή Λ Κ Λ εσωτερική διχοτόμος του τρ.εζ () πό τις () και () τα Λ, Κ είναι συζυγή αρμονικά των Ε, Ζ.. ν οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τετραπλεύρου Δ τέμνονται πάνω στη διαγώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του, τότε είναι. Δ = Δ.. Να εξετασθεί αν ισχύει η αντίστροφη πρόταση. Έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών Â και ˆ τέμνονται σε σημείο Κ της διαγωνίου Δ Θ. διχοτόμων στο τρ. Δ = K Θ. διχοτόμων στο τρ. Δ Δ = Άρα =. Δ = Δ.. ντίστροφο: ν. Δ = Δ. τότε οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τετραπλεύρου Δ τέμνονται πάνω στη διαγώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του. Η υπόθεση. Δ = Δ. = () Έστω Κ, Λ οι διχοτόμοι των γωνιών Â και ˆ K Λ Θ. διχοτόμων στο τρ. Δ = () Δ Θ. διχοτόμων στο τρ. Δ = (3) Λόγω της () τα δεύτερα μέλη των (), (3) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. Οπότε =, δηλαδή τα Κ, Λ χωρίζουν το τμήμα Δ σε ίσους λόγους, άρα συμπίπτουν. 5

46 3. Δίνεται τόξο κύκλου (Ο,R). Να ορίσετε σημείο Μ του τόξου, τέτοιο ώστε νάλυση Μ Δ Ο, όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. Έστω Μ το ζητούμενο σημείο. Τότε Θεωρούμε το μέσο του μη κυρτογωνίου τόξου. Φέρουμε την, η οποία τέμνει τη χορδή σε σημείο Δ. = ˆ ˆ ΜΔ διχοτόμος του τρ.μ = () Το σημείο, λοιπόν, Δ είναι κατασκευάσιμο, αφού χωρίζει το γνωστό ευθ. τμήμα εσωτερικά σε γνωστό λόγο. Σύνθεση ράφουμε τον κύκλο (Ο,R), το δοσμένο τόξο του, το μέσο του μη κυρτογωνίου τόξου και τη χορδή. Κατασκευάζουμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε =. Φέρουμε την ευθεία Δ, η οποία τέμνει το τόξο σε σημείο Μ. Υποστηρίζουμε ότι το Μ είναι το ζητούμενο σημείο. πόδειξη = ˆ ˆ ΜΔ διχοτόμος του τρ.μ = Άρα. αλλά από τη σύνθεση έχουμε =. Δίνεται παραλληλόγραμμο Δ και τα σημεία Ε, Ζ των πλευρών του Δ, αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = Ζ. ν Η είναι το σημείο τομής των Ε και ΔΖ, να αποδείξετε ότι η Η είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Προεκτείνουμε τη ΔΖ μέχρι να τμήσει τη Θ σε σημείο Θ. Ζ πό το αντίστροφο του Θ.εξ. διχοτόμου στο Η τρ.θδ, αρκεί να αποδείξουμε ότι Ε = () Δ 6

47 Θ ΕΔ τα τρίγωνα ΘΗ, ΔΕΗ έχουν πλευρές ανάλογες = () Ζ Δ τα τρίγωνα ΘΖ, ΘΔ έχουν πλευρές ανάλογες = = () πό τις (), () = 5. Να κατασκευάσετε τρίγωνο με βάση = α, ύψος Η = υ και νάλυση σε Σύνθεση, όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. Δ B Η Ε K υ Δ B Η Ε A A υ ε ε Έστω το ζητούμενο τρίγωνο. = το θα ανήκει σε γνωστό πολλώνιο Κύκλο. Ύψος Η = υ το θα ανήκει ευθεία ε σε απόσταση υ από αυτή. ράφουμε τμήμα = α. Κατασκευάζουμε τα σημεία Δ, Ε που διαιρούν το εξωτερικά και εσωτερικά σε λόγο. ράφουμε τον πολλώνιο Κύκλο με διάμετρο και ευθεία ε σε απόσταση Κ = υ από αυτή, που τέμνει τον κύκλο σε σημείο. πόδειξη Το τρίγωνο, όπως κατασκευάστηκε, είναι το ζητούμενο διότι έχει: = α ύψος Η = Κ = υ και = αφού το ανήκει στον κύκλο διαμέτρου ΔΕ Διερύνηση ια να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει και αρκεί η ευθεία ε να έχει κοινό σημείο με τον κύκλο υ 7

48 ΕΝΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 7 ΟΥ ΚΕΦΛΙΟΥ. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους ΔΕ και την κάθετη στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι =. Φέρουμε τη ΔΛ που τέμνει την στο Η. Είναι ΚΔ ΛΕ σαν κάθετες στη ΔΕ Στο τρίγωνο ΛΚΔ με Η ΚΔ έχουμε = = R R R Η = R () Στο τρίγωνο ΔΕΛ με Η ΕΛ έχουμε B E = = R (από Θαλή) R Άρα B = R R Η = R R () () + () = R R.. Μία μεταβλητή ευθεία ε διέρχεται από το βαρύκεντρο Θ ενός τριγώνου και τέμνει τις πλευρές, στα Δ, Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. Θ Ε Λ ε Κ Δ Μ () + () + = ΜΘ διάμεσος του τραπεζίου ΚΛ Φέρουμε Κ, Λ παράλληλες στη διάμεσο Μ. Τα τρίγωνα ΔΚ, ΔΘ έχουν πλευρές ανάλογες = () Ομοίως για τα τρίγωνα ΕΛ, ΕΘ = () (3) Κ + Λ = ΘΜ (3) + = = = 8

49 3. i) Θεώρημα Μενελάου. Δίνεται τρίγωνο και ευθεία ε που τέμνει τις ευθείες,, στα Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. ii) Θεώρημα Ceva. Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ, Ε, Ζ των ευθειών,, αντίστοιχα. ν οι ευθείες Δ, Ε και Ζ συντρέχουν, τότε ισχύει =. i) πό το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την ε σε σημείο Κ. Κ Ζ = Κ Ζ = Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: = = =. ντίστροφο: Mε υπόθεση = () να αποδείξουμε ότι τα Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. (Με την εις άτοπο). Έστω ότι τα Δ, Ε, Ζ δεν είναι συνευθειακά. Φέρουμε την ευθεία ΕΔ που τέμνει την σε σημείο Ζ Τότε = () πό τις (), () = Άρα τα Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. τα σημεία Ζ, Ζ συμπίπτουν. ii) Φέρουμε και ΚΔ ΔΚ = KB K Κ = Κ = Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: = KB K 9

50 = KB K () λλά = () KB K = = ντίστροφο: Mε υπόθεση = () να αποδείξουμε ότι οι Δ, Ε, Ζ συντρέχουν. (Με την εις άτοπο). Ονομάζουμε Κ το σημείο τομής των Ε, Ζ. Φέρουμε την ευθεία Κ που τέμνει τη σε σημείο Δ. Τότε = (3) πό τις (), (3) = τα Δ, Δ συμπίπτουν.. Δίνεται παραλληλόγραμμο Δ. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τη Δ στο Ε και τη στο Ζ, να αποδείξετε ότι =. Ζ Δ = = = = + = + () Θ. διχοτόμων στο τρίγωνο = () = + =. 5. Δίνεται κύκλος διαμέτρου και χορδή Δ κάθετη στην. ν Μ είναι σημείο της χορδής και οι ευθείες Μ και Μ τέμνουν τον κύκλο στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε ΖΔ = ΕΔ Ζ. ρκεί να δειχθεί ότι = Δ = και = ˆ = ˆ και ˆ = ˆ ΖΜ διχοτόμος του τριγώνου ΖΔ και ΕΜ διχοτόμος του τριγώνου ΕΔ = και = άρα = 50

51 6. ν τα σημεία, και,δ αποτελούν αρμονική τετράδα και το είναι μεταξύ των,δ να αποδείξετε ότι: i)., όπου Ο το μέσο του ii) i) =.Δ =.Δ ( Ο + Ο ). ( ΟΔ Ο ) = ( Ο Ο ). ( Ο + ΟΔ ) ( Ο + Ο ). ( ΟΔ Ο ) = ( Ο Ο ). ( Ο + ΟΔ ) Ο.ΟΔ + Ο. ΟΔ Ο.Ο = + Ο.ΟΔ Ο.Ο Ο. ΟΔ Ο. ΟΔ = Ο. ΟΔ = ii) = =. Δ. =. Δ. Δ.. Δ =. Δ +. (διαιρούμε με..δ) 7. Nα κατασκευαστεί εσωτερική ημιευθεία x της γωνίας ˆ τριγώνου τέτοια, ώστε αν Δ, Ε είναι οι προβολές των, στην x αντίστοιχα, να είναι, όπου μ, ν γνωστά τμήματα. νάλυση Έστω ότι κατασκευάστηκε η ζητούμενη ημιευθεία x με =, όπου Δ, Ε είναι οι προβολές των, στην x αντίστοιχα. Προεκτείνουμε τη Δ μέχρι να τμήσει την σε σημείο Ζ. ΔΖ Ε = =, άρα το σημείο Ζ είναι κατασκευάσιμο. 5

52 Σύνθεση Σχεδιάζουμε το δοσμένο τρίγωνο. Πάνω στην κατασκευάζουμε σημείο Ζ, ώστε = Φέρουμε τη Ζ και ημιευθεία x Ζ. Η x είναι η ζητούμενη. πόδειξη Ονομάζουμε Δ το σημείο τομής των Ζ, x και φέρουμε Ε x. ΔΖ Ε = =. ˆ 8. Δίνεται γωνία xoy και σταθερό σημείο στο εσωτερικό της. Να κατασκευασθεί ευθεία, που να διέρχεται από το και να τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία και, ώστε: i) τo A να είναι μέσο του. ii) να είναι = και iii) να είναι, όπου μ, ν γνωστά τμήματα. i) νάλυση Έστω η ζητούμενη. Τότε μέσο του. Φέρουμε Κ Οx. Τότε Κ μέσο του Ο, με το Κ κατασκευάσιμο. Σύνθεση ράφουμε τη δοσμένη γωνία xoy ˆ και το δοσμένο σημείο. πό το φέρουμε παράλληλη στην Οx, που τέμνει την Οy σε σημείο Κ. Πάνω στην Οy θεωρούμε σημείο, ώστε Κ = ΟΚ. Η ευθεία είναι η ζητούμενη. πόδειξη Ονομάζουμε το σημείο τομής της ευθείας με την Οx. Κ μέσο της Ο και Κ Οx μέσο της. ii) = 3 3 A = 3 Στο i) είχαμε =. Έτσι, λύνουμε με τον ίδιο τρόπο, παίρνοντας πάνω στην Οy σημείο, ώστε Κ = ΟΚ. 5

53 AB iii) A = = Λύνουμε με τον ίδιο τρόπο, παίρνοντας πάνω στην Οy σημείο, ώστε Κ = ΟΚ. 9. Δύο κύκλοι ( Κ, R) και ( Λ, ρ) τέμνονται στα σημεία και. Να κατασκευασθεί ευθεία που να διέρχεται από το και να τέμνει τους κύκλους στα σημεία και, ώστε να είναι: i) AB = A, ii) i) νάλυση Κ Ζ Μ A Λ Η Έστω ότι κατασκευάστηκε η ζητούμενη ευθεία με = AB =. () A Φέρουμε ΚΖ, ΛΗ και Μ κάθετες στη. A () A = A A = () ΚΖ Μ ΛΗ με Θ. Θαλή = A A () =, άρα το σημείο Μ κατασκευάσιμο. Σύνθεση ράφουμε τους δοσμένους κύκλους. Θεωρούμε σημείο Μ του τμήματος ΚΛ τέτοιο, ώστε = ( εδώ το μέσο). Φέρουμε το Μ και από το κάθετη στο Μ, που τέμνει τους κύκλους στα,. Η ευθεία είναι η ζητούμενη. πόδειξη Φέρουμε ΚΖ, ΛΗ κάθετες στη. A ΚΖ Μ ΛΗ με Θ. Θαλή A = A A = A A = A A = =. ii) Με τον ίδιο τρόπο, αντί για την αναλογία A A = 3. = έχουμε την αναλογία 53

54 0. ν Δ, Ε, Ζ είναι οι διχοτόμοι ενός τριγώνου και Ι είναι το έκκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι 6. Ζ Άρα Ι Δ Ε + + = Ι διχοτόμος του τριγώνου Δ = = Ομοίως, κυκλικά θα έχουμε + + = και = B = E = + + = λλά το άθροισμα των αντίστροφων αριθμών είναι. πόδειξη: 0 0. Άρα = 6. 5

55 ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΆΣΚΗΣΗ Θεωρούμε τρίγωνο με 9 και 5. πό το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά, που τέμνει τις και στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. AΔ AE α) Να αποδείξετε ότι και 3 E β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων Δ και Ε. ΆΣΚΗΣΗ Στο τρίγωνο του παρακάτω σχήματος, το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο στην πλευρά του τριγώνου. πό το σημείο Δ φέρουμε την παράλληλη προς τη Ε η οποία τέμνει την στο σημείο Ζ.Να αποδείξετε ότι: Ε α) Δ Ζ Ε β) Δ Ε Ζ γ) Ε ΆΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται τρίγωνο και τυχαίο σημείο Δ στην πλευρά. Φέρνουμε από το σημείο Δ παράλληλες στις πλευρές και που τέμνουν αντίστοιχα στις πλευρές και στα σημεία Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι: ΔΕ Δ ΖΔ Δ α) β) γ) ΔΕ ΖΔ 55

56 ΆΣΚΗΣΗ Στο κυρτό τετράπλευρο Δ του παρακάτω σχήματος, η διχοτόμος της γωνίας είναι παράλληλη στην πλευρά και τέμνει τη Δ στο Ε και τη Δ στο Ζ. ν Δ, 8, ΔΕ 9 και Ζ 6, να αποδείξετε ότι: α) Ε 6 β) ΔΖ 9 ΆΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται κυρτό τετράπλευρο Δ και τα σημεία Ε, Ζ, Η και Θ των πλευρών του Δ,,, Δ αντίστοιχα τέτοια, ώστε Ε Ζ Η Θ. Δ Δ 3 Να αποδείξετε ότι: α) ΕΖ / /ΘΗ / /Δ β) ΕΖ ΘΗ Δ 3 γ) ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμο ΆΣΚΗΣΗ 6 Οι διαγώνιοι του τραπεζίου Δ / /Δ με Δ παράλληλη από το προς την Δ τέμνει την στο Μ.ν Ο, Ο 9 και Ο 36, να αποδείξετε ότι: α) ΟΔ 7 β) ΟΜ τέμνονται στο Ο. Η 56

57 ΆΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τρίγωνο και Δ, Ε η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. ν είναι 6, Δ 3, 5 και Ε 5, να αποδείξετε ότι: α) β) ΔΕ ΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται τρίγωνο με Δ διχοτόμο της. Φέρουμε τις διχοτόμους ΔΕ και ΔΖ των γωνιών Δ και Δ αντίστοιχα. α) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Ε... i.... Δ ii.... Δ Ζ... β) Να αποδείξετε ότι: Ε Ζ Ε Ζ ΣΚΗΣΗ 9 Θεωρούμε τρίγωνο με Δ εσωτερική διχοτόμο της γωνίας και Ε σημείο της Δ τέτοιο ώστε ΔΕ Δ. πό το Ε φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές 3 και που τέμνουν τη στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΕΖ 3 β) ΔΖ ΔΗ 57

58 ΆΣΚΗΣΗ 0 Στην πλευρά παραλληλογράμμου Δ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε Ε και στην πλευρά Δ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε 3 ΔΖ Δ. ν η 3 διαγώνιος τέμνει τις ΔΕ και Ζ στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Μ Ν ΜΝ β) ΆΣΚΗΣΗ ΜΝ 5 Δίνεται τρίγωνο. Θεωρούμε Μ τη διάμεσό του και Ε τυχαίο σημείο του τμήματος Μ. πό το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στην Μ που τέμνει την πλευρά στο Δ και την προέκτασή της στο Ζ. α) Να συμπληρώσετε τις αναλογίες και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας: i. ii. ΔΕ... BΔ... BM Ε... Μ... β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ΔΕ ΕΖ είναι σταθερό, για οποιοδήποτε θέση του Ε στο Μ ΣΚΗΣΗ Δύο οχήματα κινούμενα με σταθερές ταχύτητες υ και υ, περνούν ταυτόχρονα τη χρονική στιγμή t0 0από τα σημεία και αντίστοιχα και συναντιούνται στο σημείο όπως φαίνεται στο σχήμα. (Δίνεται ότι η ταχύτητα ενός σώματος που κινείται με σταθερή ταχύτητα είναι ίση με το διάστημα που κινήθηκε προς τον αντίστοιχο χρόνο.) α) Μετά από χρόνο t το όχημα που περνά από το σημείο βρίσκεται στο σημείο Δ της διαδρομής ενώ το όχημα που περνά από το σημείο βρίσκεται στο σημείο Ε της διαδρομής. Να αποδείξετε ότι ΔΕ//. β) Έστω Ζ σημείο της διαδρομής και Η σημείο της διαδρομής. ν ΖΗ//, να αποδείξετε ότι τα οχήματα περνούν ταυτόχρονα από τις θέσεις Ζ και Η. 58

59 ΚΕΦΛΙΟ 8ο ΟΜΟΙΟΤΗΤ 59

60 ΚΕΦΛΙΟ 8ο ΟΜΟΙΟΤΗΤ ΟΜΟΙ ΕΥΘΥΡΜΜ ΣΧΗΜΤ. Κατασκευάστε δύο όμοια παραλληλόγραμμα με λόγο ομοιότητας / και δύο όμοια τρίγωνα με λόγο ομοιότητας /3. Να δώσετε τον αυστηρό ορισμό της ομοιότητας δύο σχημάτων. Τι καλούμαι λόγο ομοιότητας ; Πως συμβολίζεται αυτός και πως η ομοιότητα δύο ευθύγραμμων σχημάτων ; ς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο Δ και από τα μέσα ' και Δ' των πλευρών και Δ αντίστοιχα, ας φέρουμε παράλληλες προς τις Δ και, οι οποίες τέμνονται στο σημείο '. Τότε το παραλληλόγραμμο ''Δ' έχει τις γωνίες του ίσες με τις αντίστοιχες γωνίες του Δ, ενώ ισχύει ότι ς θεωρήσουμε κατόπιν ένα τρίγωνο και ας προεκτείνουμε τις πλευρές του και προς τα σημεία και αντίστοιχα. Θεωρούμε σημείο ' στην προέκταση της, έτσι, ώστε AB'= 3. πό το ' φέρουμε παράλληλη προς την τρίτη πλευρά, που τέμνει την προέκταση της στο σημείο '. Τότε παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα και '' έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, ενώ επιπλέον ισχύει ότι Τα δύο παραλληλόγραμμα, όπως και τα δύο τρίγωνα που κατασκευάσθηκαν προηγουμένως λέγονται όμοια, ενώ ο λόγος των ομόλογων πλευρών τους (δηλαδή των πλευρών που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες) λέγεται λόγος ομοιότητας. ενικότερα για τα όμοια ευθύγραμμα σχήματα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός : Δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Ο λόγος των ομόλογων πλευρών δύο ευθύγραμμων σχημάτων, λέγεται λόγος ομοιότητας αυτών και συμβολίζεται με λ. Η ομοιότητα μεταξύ δύο ευθύγραμμων σχημάτων συμβολίζεται με. 60

61 . Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα των περιμέτρων δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων Θεώρημα : Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους πόδειξη ς θεωρήσουμε δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα ΔΕ και '''Δ'Ε' (ανάλογα αποδεικνύεται για ευθύγραμμα σχήματα με περισσότερες κορυφές). Λόγω της ομοιότητας θα έχουμε ότι: και από τις ιδιότητες των αναλογιών, το άθροισμα των αριθμητών προς το άθροισμα των παρανομαστών ισούται με λ, δηλαδή: ΚΡΙΤΗΡΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΣ 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το ο Κριτήριο Ομοιότητας τριγώνων. Θεώρημα Ι (ο Κριτήριο Ομοιότητας) : ν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. πόδειξη ς θεωρήσουμε τα τρίγωνα και ''' με =, =, οπότε και =. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι < επομένως υπάρχει σημείο στην τέτοιο ώστε =. πό την φέρουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο. Τότε τα τρίγωνα και είναι όμοια αφού ισχύει ότι οπότε και η είναι κοινή, ενώ = οπότε και =. Όμως τα τρίγωνα '''' και ''' είναι ίσα, καθώς έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα και ''' είναι όμοια. 6

62 . Να διατυπωθούν τα πορίσματα που προκύπτουν από το ο Κριτήριο Ομοιότητας τριγώνων. ΠΟΡΙΣΜΤ (i) Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν μία οξεία γωνία τους ίση. (ii) Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. (iii) Δυο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοιχη γωνία ίση, είναι όμοια. 5. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το ο Κριτήριο Ομοιότητας τριγώνων. Θεώρημα IΙ (ο Κριτήριο Ομοιότητας) : ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια. πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' έτσι, ώστε = και. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι ''< επομένως θα υπάρχει σημείο στην με =. πό την φέρουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο. Τότε τα τρίγωνα και είναι όμοια. Επειδή τα τρίγωνα είναι ή όμως από την υπόθεση ισχύει,επομένως καταλήγουμε ότι =, Τελικά τα τρίγωνα και είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες. άρα 6. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το 3ο Κριτήριο Ομοιότητας τριγώνων. Θεώρημα IΙΙ (3ο Κριτήριο Ομοιότητας): ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια. πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''', ώστε Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι ''< επομένως θα υπάρχει σημείο στην με =. πό την φέρουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο. Τότε τα τρίγωνα και είναι όμοια. Επειδή τα τρίγωνα είναι = όμως = 6

63 όμως από την υπόθεση έχουμε ότι : Επομένως προκύπτει ότι : και οπότε '' = '' και "" = ''. Άρα τα τρίγωνα '''' και ''' είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες. ΣΧΟΛΙΟ Το θεώρημα που εκφράζει ότι δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτελούν τους βασικούς συνδετικούς κρίκους της εωμετρίας με την Άλγεβρα. Η σύνδεση της εωμετρίας με την Άλγεβρα είναι ιδιαίτερα εποικοδομητική, καθώς μας επιτρέπει να χρησιμοποιούμε την εποπτεία της εωμετρίας σε αλγεβρικά προβλήματα και την ευχέρεια των πράξεων της Άλγεβρας σε γεωμετρικά προβλήματα. Τα όμοια τρίγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτέλεσαν τα θεμέλια της Τριγωνομετρίας. Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαστάσεις ενός αντικειμένου μετρώντας τις διαστάσεις ενός μικρότερου μοντέλου του. Το μοντέλο αυτό θα έχει τις ίδιες γωνίες με το αρχικό, επομένως οι διαστάσεις του αρχικού προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες διαστάσεις του μοντέλου με το λόγο ομοιότητας των δύο σχημάτων. 7. Να διατυπωθούν τα πορίσματα που προκύπτουν από τα Κριτήρια Ομοιότητας τριγώνων. ΠΟΡΙΣΜΤ (i) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων υψών τους. (ii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διχοτόμων τους. (iii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διαμέσων τους. 8. ς θεωρήσουμε δυο όμοια τρίγωνα, ''' με λόγο ομοιότητας λ και σημεία Μ της, Μ' της '' τέτοια, ώστε. Τότε ισχύει ότι =λ πόδειξη Έστω ότι '' < επομένως θα υπάρχει σημείο στην με = και σημείο της τέτοιο ώστε =. με. Έστω σημείο Μ της τέτοιο ώστε Μ = Μ Προεκτείνουμε την Μ ώστε να τμήσει την σε σημείο Ε. 63

64 Τότε τα τρίγωνα Μ και Ε είναι όμοια, οπότε ή Όμοια έχουμε ότι Οπότε, συνεπώς τα Ε και Μ ταυτίζονται. ΣΧΟΛΙΟ Με τη χρήση της ομοιότητας μπορούμε να μετρήσουμε μήκη ευθύγραμμων τμημάτων που είναι απρόσιτα Ο ΕΞΝΤΣ Το σχήμα εκφράζει τη λειτουργία του εξάντα, δηλαδή μας παρουσιάζει έναν απλό μηχανισμό για να μετράμε τις γωνίες υπό τις οποίες φαίνεται ένα σχήμα. ια να κατασκευασθεί χρειάζεται ένα ίσιο ξύλο, ένα μοιρογνωμόνιο, μία χορδή (κιθάρας) ή πετονιά, ένα βαράκι (νήμα της στάθμης) και δύο ανθρώπους, έναν για να βλέπει το αντικείμενο και έναν για να διαβάζει τη μέτρηση. ΣΧΟΛΙΟ Παλιά οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι για να επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα ήταν αρκετό να έχουν έναν πίνακα με τρίγωνα και τις διαστάσεις τους, οπότε θα αρκούσε να μελετούν τον πίνακα παρά να κατασκευάζουν μοντέλα των τριγώνων που προέκυπταν από φυσικά προβλήματα. Παρατήρησαν ότι αρκεί ο πίνακας αυτός να έχει μόνο ορθογώνια τρίγωνα αφού κάθε τρίγωνο διαμερίζεται σε δύο ορθογώνια (σχ. 8). Ένας τέτοιος πίνακας είναι οι τιμές των Σχήμα 8 τριγωνομετρικών συναρτήσεων : τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα. Πρακτικά τα αποτελέσματα από την τριγωνομετρία είναι ακριβέστερα από αυτά που προκύπτουν από μέτρηση και κατασκευή μοντέλου, όπως προηγουμένως. Ωστόσο οι τριγωνομετρικοί πίνακες δεν είναι τίποτε άλλο, παρά πίνακες όμοιων τριγώνων. 6

65 9. Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας; Ένας μαθητής βλέπει την κορυφή του σχολείου από δύο σημεία και στο έδαφος. Χρησιμοποιώντας έναν εξάντα μετράει τις γωνίες, με τις οποίες φαίνεται το σχολείο, π.χ. A = 9 και = 3. Κατόπιν μετράει την απόσταση από το σημείο ως το, π.χ. = μέτρα. Η μέτρηση των γωνιών έγινε από κάποια απόσταση από το έδαφος ίση με το ύψος του μαθητή, ας υποθέσουμε ότι έχει ύψος,8 μέτρα. ια να υπολογίσουμε το ύψος του σχολείου κατασκευάζουμε σε μία κόλλα χαρτί το αντίστοιχο μοντέλο. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα A'B'=6 cm. Προεκτείνουμε την '' προς το μέρος του ' και σχηματίζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο γωνίες x'y = 9 και x'z = 3. Οι ημιευθείες A'y και B'z τέμνονται στο σημείο '. πό το σημείο ' φέρουμε την κάθετη 'Δ' στην '' και έχουμε κατασκευάσει το μοντέλο μας. Μετράμε ότι το 'Δ' ισούται με 3,3 cm. Ο λόγος ομοιότητας είναι λ = = 00. Επομένως το πραγματικό μήκος του Δ είναι Δ = λ 'Δ' = 6,6 μέτρα. Προσθέτοντας και το ύψος του μαθητή, έχουμε ότι το πραγματικό ύψος του σχολείου είναι 8, μέτρα. 0. Να αποδείξετε ότι δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα. πόδειξη Θα αποδείξουμε την εφαρμογή για δύο πεντάγωνα ΔΕ και '''Δ'Ε', καθώς η απόδειξη είναι ανάλογη για κάθε πολύγωνο. ς υποθέσουμε ότι τα δύο πεντάγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ. πό τις κορυφές, ' των πενταγώνων φέρουμε τις διαγωνίους, Δ και '', 'Δ' αντίστοιχα, οπότε καθένα πεντάγωνο χωρίσθηκε σε τρία τρίγωνα, Δ, ΔΕ και ''', ''Δ', 'Δ'Ε' αντίστοιχα. 65

66 Τότε έχουμε ότι τα τρίγωνα ''' και ΔΕ 'Δ'Ε'. Επομένως, θα είναι και = και =λ Τότε όμως θα έχουμε ότι = (αφού = ) και =λ. Επομένως και τα τρίγωνα Δ και ''Δ' θα είναι όμοια.. Έστω τρίγωνο και το ύψος του υ α =Η. Να αποδείξετε ότι βγ = Rυα, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. πόδειξη Θεωρούμε τη διάμετρο Δ. Τα τρίγωνα Η και Δ είναι όμοια, αφού = = και = ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως είναι : ή β γ = R υ α. 66

67 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όμοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όμοια προς τρίτο τότε είναι μεταξύ τους όμοια πάντηση i) Προφανώς ναι (έχουν ίσες γωνίες ) ii) Ναι διότι δύο γωνίες του ενός θα είναι ίσες με δύο γωνίες του άλλου. Δύο ισοσκελή τρίγωνα είναι πάντα όμοια ; πάντηση Όχι 3. Στο παρακάτω σχήμα είναι = 3ΔΕ. Να βρεθεί ο λόγος πάντηση Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε μία από τις προσκείμενες στην βάση του γωνία είναι 70 ο. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΔΕΖ κάθε μία από τις ίσες γωνίες Ε και Ζ είναι 70 ο Τα τρίγωνα λοιπόν είναι όμοια, άρα = 3 = 3. Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος του ΔΕ πάντηση Δ Οπότε 3 5 Ε Είναι και = = και αφού η γωνία είναι κοινή των τριγώνων ΔΕ,, αυτά είναι όμοια. ΔΕ =, Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι 3cm, cm, 5cm. Ένα τρίγωνο όμοιο με αυτό έχει περίμετρο cm. Ποια είναι τα μήκη των πλευρών του ; πάντηση ν x, ψ, z είναι οι ομόλογες πλευρές των δοθέντων, τότε x z x z x = και = και z 5 = x = 6cm, ψ = 8cm και z = 0cm 67

68 6. ν στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΚΛ είναι εγγράψιμο, τα τρίγωνα και ΚΛ είναι όμοια ; Ποιες είναι οι ομόλογες πλευρές τους; πάντηση φού ΚΛ εγγράψιμο, θα είναι Bˆ K ˆ και ˆ ˆ Άρα τα τρίγωνα και ΚΛ είναι όμοια. Ομόλογη πλευρά της είναι η Λ, της η Κ και της η ΚΛ. 7. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες και Δ είναι παράλληλες ; Δικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση Είναι Ε 3 Δ Άρα πό τη ισότητα αυτή προκύπτει ότι οι πλευρές και ΔΕ είναι ομόλογες, οπότε οι απέναντι αυτών γωνίες ˆ και Ε ˆ Δ θα είναι ίσες, άρα Δ 68

69 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ). πό τυχαίο σημείο Δ της φέρουμε ΔΕ. Να αποδείξετε ότι i) τα τρίγωνα, και ΔΕ είναι όμοια ii). ΕΔ =. Ε i) Τρ. όμοιο του τρ.εδ αφού είναι ορθογώνια με ˆ κοινή. ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι =, που ισχύει από το i).. Στις πλευρές και τριγώνου θεωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε Δ = 3 και Ε =. Να αποδείξετε ότι 3 i) τα τρίγωνα, και ΔΕ είναι όμοια ii) = 3 ΔΕ Δ Ε i) Ε = 3 Ε = 3 = 3 αλλά Δ = 3 = 3 Άρα = Τα τρίγωνα, λοιπόν,, και ΔΕ είναι όμοια, αφού έχουν δύο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ˆ κοινή. ii) πό (i) = = 3 = 3 ΔΕ. 3. Μία μεταλλική πλάκα έχει σχήμα ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α, β, γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά της κατά το της. Θα παραμείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήμα της πλάκας; 5 69

70 Έστω α, β, γ οι πλευρές του διασταλμένου τριγώνου. α = α + 5 α = 6 5 α = 6 5 Ομοίως = 6 5 και = 6 5 Άρα = = τα δύο τρίγωνα είναι όμοια έχουν γωνίες ίσες, άρα και το δεύτερο τρίγωνο ορθογώνιο.. Ένα δένδρο ρίχνει κάποια στιγμή σε οριζόντιο έδαφος σκιά μήκους m. Στο ίδιο σημείο, την ίδια στιγμή, μια κατακόρυφη ράβδος μήκους m ρίχνει σκιά μήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δένδρου. Έστω και ΔΕΖ τα τρίγωνα που δημιουργούν το δένδρο και η ράβδος με τις σκιές τους αντίστοιχα. Τα δύο τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ, αφού ΖΕ σαν ακτίνες του ήλιου, άρα είναι όμοια = = 3 = 8 = 6m 5. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του Δ. Να αποδείξετε ότι i) = Δ. Δ ii) = BΔ. iii). = Δ. Δ i) Aˆ ˆ (οξείες με πλευρές κάθετες) τα ορθογώνια τρίγωνα Δ, Δ είναι όμοια, άρα = Δ. Δ 70

71 ii) τρ.δ όμοιο του τρ. (ορθογώνια με ˆ κοινή) = BΔ. iii) τρ.δ όμοιο του τρ.. = Δ. 6. Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και οι ευθείες x και y που σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις και και τέμνουν τη και τον κύκλο αντίστοιχα στα Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι Δ. Ε =.. ρκεί να αποδείξουμε ότι ή αρκεί τρ.δ όμοιο του τρ.ε, το οποίο συμβαίνει διότι ˆ ˆ από υπόθεση και ˆ ˆ εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο 7

72 ΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. Ο παρατηρητής βλέπει το φως του λαμπτήρα μέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίστε το ύψος του φανοστάτη Δ, όταν είναι ΔΚ = 3m, Κ = m και το ύψος του παρατηρητή,70m. (Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης). ˆ ˆ σαν συμπληρωματικές των x ˆ ˆ 3 Είναι και ˆ ˆ, οπότε τα.70m 3 τρίγωνα ΔΚ, Κ είναι όμοια Δ 3m K m 3.70 Δ = 5,0 Δ =,55m. Να αποδείξετε ότι i) Δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες ii) δύο ορθογώνια με ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όμοια. i) Υποθέσεις: A AB = A () και ˆ ˆ Δ Δ AB () = = = A ˆ ˆ ˆ ˆ (παραπληρωματικές των ˆ ˆ) και ˆ ˆ και ˆ ˆ (απέναντι γωνίες παρ/μμου) Άρα τα Δ, Δ είναι όμοια. ii) A Κατά το i), αρκεί να αποδείξουμε ότι ω AB Ο ω Ο Δ = A Δ AB Επειδή ˆ ˆ, τα ισοσκελή τρίγωνα Ο, Ο είναι όμοια = A A Ομοίως τα ισοσκελή τρίγωνα ΟΔ, Ο Δ είναι όμοια = A AB Άρα = A 7

73 3. Θεωρούμε τους κύκλους,r και,r Ο θ φ Ο που τέμνονται στα,. ν οι εφαπτόμενες στο τέμνουν τους κύκλους στα A, A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι AB BA. BA. ρκεί να αποδείξουμε ότι AB BA ή ότι BA AB τρ. A όμοιο του τρ. A, το οποίο συμβαίνει αφού Â και Â = θ (εγγεγραμμένη από χορδή και εφαπτομένη ). ν Δ, Ε, Ζ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου, να αποδείξετε ότι ΗΔ. Η = Η. ΗΕ = Η. ΗΖ. Ζ Η Δ Ε ια την ισότητα ΗΔ. Η = Η. ΗΕ, αρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί ότι τρ.ηδ όμοιο του τρ.ηε, το οποίο συμβαίνει αφού είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ. Ομοίως τρ.ηζ όμοιο του τρ.ηε 5. πό το μέσο Μ του τόξου φέρουμε τις χορδές ΜΔ και ΜΖ, που τέμνουν τη χορδή στα Δ και Ζ αντίστοιχα.. Να αποδειχθεί ότι ΜΔ. ΜΔ = ΜΖ. ΜΖ. ρκεί να αποδείξουμε ότι = ή αρκεί ότι τρ.μδζ όμοιο του τρ.μζ Δ και επειδή έχουν τη γωνία ˆ κοινή, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ. ˆ = πό εφαρμογή στις εγγεγραμμένες γωνίες ισχύει ˆ = () Και επειδή, τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα ˆ = ˆ. () 73

74 6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο ( A ˆ ˆ ) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι μέσο ανάλογο των βάσεων. ρκεί να αποδείξουμε ότι =. Δ ή αρκεί = ή αρκεί τρ.δ όμοιο του τρ.δ πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΔ ˆ συμπληρωματική της ˆ. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Δ ˆ συμπληρωματική της ˆ. Άρα ˆ = ˆ τα ορθογώνια τρίγωνα Δ, Δ είναι όμοια. 7

75 Δ A Ε ΣΥΝΘΕΤ ΘΕΜΤ. Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Υποθέσεις Δ A Ε = ˆ = ˆ και = λ () ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ = ˆ άρα και σαν παραπληρωματικές ίσων. Φέρουμε Ε Δ και Έ Δ τότε ΕΔ, Έ Δ παραλληλόγραμμα () λ = = = = Έ = λ = () κόμη = ˆ = ˆ = ˆ = ˆ και επειδή Έ = () λ (3) Λόγω των παρ/μμων έχουμε Ε = Δ και Έ = Δ. Η (3) = λ () ˆ = ˆ τρ.ε όμοιο του τρ.έ Οι (), (), (3), () τα τραπέζια έχουν πλευρές ανάλογες και επειδή έχουν και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες, είναι ίσα.. Έστω δοσμένη γωνία x ˆ y και σημείο Μ. Ο τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα Ο και Μ τέμνει τις πλευρές Οx, Oy στα και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι, όπου d, d είναι οι αποστάσεις του Μ από τις Οx, Oy αντίστοιχα. = d d Έστω ΜΚ = d και ΜΛ = d ρκεί να αποδείξουμε ότι τρ.μκ όμοιο του τρ.μλ και επειδή είναι ορθογώνια αρκεί η γωνία ˆB του ενός να είναι ίση με τη γωνία ˆ του άλλου. υτό ισχύει, αφού το Μ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο, οπότε η εσωτερική του ˆ ισούται με την απέναντι εξωτερική ˆB. 75

76 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και το ύψος του Δ. Η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει το Δ στο Ζ και η διχοτόμος της Δ ˆ τέμνει τη στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΖΕ ρκεί να αποδείξουμε ότι = Θεώρημα εσ. διχοτόμου στο τρ.δ = Θεώρημα εσ. διχοτόμου στο τρ.δ = Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι =, ή ότι τρ. όμοιο του Δ, το οποίο ισχύει, αφού είναι ορθογώνια με ˆ κοινή.. Δίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ και το ύψος του Δ. Να αποδείξετε ότι = Δ. Δ. ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί τρ.δ όμοιο του τρ.δ και επειδή είναι Δ ορθογώνια αρκεί η γωνία ˆ του ενός να είναι ίση με τη γωνία ˆ του άλλου. Στο τρ.δ έχουμε ˆ = ˆ + ˆ ˆ = + ˆ Η υπόθεση ˆ ˆ γίνεται + ˆ ˆ = ˆ = ˆ 5. Η διχοτόμος Δ ενός τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι i) AB. A = Δ. Ε ii) = Ε. ΕΔ i) ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί τρ.δ όμοιο του τρ.ε. Έχουν ˆ = ˆ (Δ διχοτόμος) και ˆ ˆ (εγγεγραμμένες που βαίνουν Δ Άρα είναι όμοια. στο ίδιο τόξο ). Ε ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί τρ.εδ όμοιο του τρ.ε. Έχουν κοινή τη γωνία ˆ και ˆ = ˆ = ˆ 76

77 ΕΝΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω δοσμένος κύκλος (Ο,R) και σημείο στο εξωτερικό του κύκλου. πό το φέρουμε την εφαπτομένη Τ και την τέμνουσα. Να αποδειχθεί ότι =. ˆ κοινή και ˆ ˆ O T τρ.τ όμοιο τρ.τ = = = () = () = =. πό σημείο φέρουμε τις εφαπτόμενες και κύκλου (Ο,R) και τυχαία τέμνουσα ΔΕ. Να αποδειχθεί ότι Δ. Ε = Ε. Δ. Δ ˆ κοινή και ˆ = Ε ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ κοινή και ˆ = ˆ = τρ.δ όμοιο του τρ.ε = = ˆ τρ.δ όμοιο του τρ.ε = = Επειδή, όμως =, από τις (), () () = () 77

78 3. ν Ε, Ζ είναι οι προβολές των κορυφών, ενός τριγώνου (με ) στη διχοτόμο του Δ, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των, Δ. Θα αποδείξουμε ότι = τρ.ε όμοιο του τρ.ζ = Ε Δ τρ.δε όμοιο του τρ.δζ = Ζ Άρα =. Σε κάθε παραλληλόγραμμο Δ να αποδειχθεί ότι οι αποστάσεις τυχαίου σημείου της διαγωνίου από τις πλευρές και Δ είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις πλευρές αυτές. Ζ Θ Θα αποδείξουμε ότι = Φέρουμε Θ και Ι Δ Η Δ Ι Διαιρούμε κατά μέλη και έχουμε Τρ.Θ όμοιο του τρ.ιδ πό τις (), () K = KZ Θ KZ = ΚΗ Ι K = () = = = ΚΖ = Θ ΚΗ = Ι () 5. ν Μ τυχαίο σημείο κύκλου (Ο,R), να αποδείξετε ότι:. i) η απόσταση d του Μ από χορδή του κύκλου είναι d =, R ii) η απόσταση d του Μ από την εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο του κύκλου A είναι d =, R iii) αν d, d, d οι αποστάσεις του Μ από μία χορδή Δ του κύκλου και από τις εφαπτόμενες στα, Δ αντίστοιχα, τότε d = d. d. 78

79 i) Δημιουργούμε το τμήμα R φέροντας τη διάμετρο M ΜΛ. Τότε MB ˆ =. d Κ Ο ρκεί να αποδείξουμε ότι =, ή ότι τρ.μκ όμοιο του τρ.μλ. ii) Κ d Λ Μ Ο Λ υτό ισχύει, αφού είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ (εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Δημιουργούμε το τμήμα R φέροντας τη διάμετρο ΜΛ. Τότε MB ˆ =. ρκεί να αποδείξουμε ότι =, ή ότι τρ.μκ όμοιο του τρ.μaλ. υτό ισχύει, αφού είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ (εγγεγραμμένη υπό χορδής και εφαπτομένης) iii) Μ i) d = d d d Δ ii) d = Άρα d d =. d = R R. R και d =. () R R () () και () d = d. d. 6. Θεώρημα Πτολεμαίου: Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των διαγωνίων. Θεωρούμε σημείο Κ της Δ, ώστε Â = Â. Δ 3 Κ Επειδή είναι και ˆ ˆ, θα έχουμε τρ.κδ όμοιο του τρ. Δ. =. ΚΔ () Â = Â Â + ˆ = Â + ˆ 3 3. Επειδή είναι και ˆ ˆ, θα έχουμε τρ.δ όμοιο του τρ.κ =.Δ =. Κ () () + () Δ. +.Δ =. ΚΔ +. Κ Δ. +.Δ = ( ΚΔ + Κ ) Δ. +.Δ =. Δ 79

80 ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΆΣΚΗΣΗ Θεωρούμε δύο τρίγωνα και ΔΕΖ. α) Να εξετάσετε σε ποιές από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i. = 8, =, ˆ 35, ΔΕ = 0, ΔΖ = 30, ˆΔ 35. ii. ˆ 7, ˆ 38, ˆΕ 7, ˆΔ 95 iii. =, ˆ Δ ˆ, ΔΕ = ΔΖ. β) Στις περιπτώσεις που το τρίγωνο είναι όμοιο με το ΔΕΖ, να γράψετε τους ίσους λόγους των ομόλογων πλευρών τους. ΆΣΚΗΣΗ Στο παρακάτω σχήμα τα τμήματα Ε και Δ τέμνονται στο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και ΕΔ είναι όμοια σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) //ΔΕ β) = Δ και Ε ΆΣΚΗΣΗ 3 α) Να εξετάσετε αν δύο τρίγωνα και ΔΕΖ είναι όμοια σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. =, = 6, = 8, ΔΖ = 0, ΕΖ = 0, ΔΕ = 8. ii. ˆ 63, ˆ 83, ˆΔ 63, ˆΕ 3 β) Έστω τρίγωνο με πλευρές = 6, = 7 και = 8. Ποιο θα είναι το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου ΔΕΖ το οποίο είναι όμοιο με το τρίγωνο, με λόγο ομοιότητας 3; ΆΣΚΗΣΗ πό ένα σημείο Σ που βρίσκεται έξω από έναν δοσμένο κύκλο φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Σ, Σ και μία τέμνουσα ΣΔ. Να αποδείξετε ότι: α) i) τα τρίγωνα Σ και ΣΔ είναι όμοια ii) τα τρίγωνα Σ και ΣΔ είναι όμοια β) Δ Δ 80

81 ΆΣΚΗΣΗ 5 Τα παρακάτω τρίγωνα και ΔΕΖ έχουν Ζ, Ε, 5, ΕΖ, ΕΔ 8 και ΖΔ 5 α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και ΔΕΖ είναι όμοια β) Να συμπληρώσετε την ισότητα των λόγων με τις κατάλληλες πλευρές του τριγώνου ΔΕΖ: γ) Να υπολογίσετε τα x και y ΆΣΚΗΣΗ 6 Στο σχήμα που ακολουθεί, το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο στη πλευρά του τριγώνου και επιπλέον ισχύουν Δ =, Δ = 5 και ΔΕ = 6. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και ΔΕ είναι όμοια β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα: ΔΕ... γ) Ένας μαθητής χρησιμοποιεί την αναλογία 5 για να υπολογίσει το x. Να εξηγήσετε γιατί αυτή η αναλογία είναι λάθος, να 6 x γράψετε τη σωστή και να υπολογίσετε το x ΆΣΚΗΣΗ 7 Τα παρακάτω τρίγωνα και ΔΕΖ είναι ορθογώνια με ορθές τις γωνίες και Δ αντίστοιχα. Επιπλέον, για τις πλευρές των τριγώνων και ΔΕΖ ισχύουν = 8, = και ΔΕ =, ΔΖ = 8. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και ΔΕΖ είναι όμοια β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα: ΕΖ... γ) πό τις παρακάτω ισότητες να επιλέξετε τη σωστή: i) 8 ΖΕ ii) ΖΕ iii) 8 3 ΖΕ iv) ΖΕ 3 8

82 ΆΣΚΗΣΗ 8 Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν / /Δ, Ε 6, 8, Ε 5 και ΔΕ 0. α) Να βρείτε δύο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνων Ε και ΔΕ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Ε και ΔΕ είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών τους γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα Ε και Δ ΆΣΚΗΣΗ 9 Να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που σας δίνονται για το κάθε ζεύγος τριγώνων των παρακάτω σχημάτων προκειμένου να απαντήσετε στα ακόλουθα : α) Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και ποια δεν είναι; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) ια το ζεύγος ομοίων τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος i) να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών ii) να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. ο ζεύγος: τρίγωνα ΚΛΜ και ΖΔΕ ο ζεύγος: τρίγωνα και ΗΚΛ ΆΣΚΗΣΗ 0 Στο παρακάτω σχήμα, τα πολύγωνα ΔΕ και ΚΛΜΝΡ είναι όμοια και έχουν Δ Ν και Λ α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να υπολογίσετε το μήκος x της πλευράς Ε γ) Να βρείτε την περίμετρο του πολυγώνου ΔΕ 8

83 ΆΣΚΗΣΗ Στη διχοτόμο Οδ της γωνίας xoy θεωρούμε τα σημεία, τέτοια ώστε OB OA. Η κάθετος στην Οδ στο σημείο τέμνει την πλευρά Οx στο σημείο Ε και έστω Δ η προβολή του στην Οy. Να αποδείξετε ότι : α) Τα τρίγωνα ΟΕ και ΟΔ είναι όμοια β) OA OΔ OE ΆΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών και αντίστοιχα ώστε Δ Ε. πό το σημείο Ε φέρνουμε παράλληλη προς την, η οποία 3 τέμνει την στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα και ΔΕ είναι όμοια. β) 3Ζ 83

84 ΆΣΚΗΣΗ 3 Στο ακόλουθο σχήμα είναι ΔΕ ˆ ˆ και 6. α) Να δικαιολογήσετε γιατί τα τρίγωνα και ΔΕ είναι όμοια και να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα ΔΕ... β) ν ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων και ΔΕ είναι ίσος με 3, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΔΕ. ΆΣΚΗΣΗ Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη του Δ και Ε. α) ν το τρίγωνο είναι και σκαληνό, τότε: i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα AΔ και BE είναι όμοια. ii. Να δικαιολογήσετε γιατί τα τρίγωνα Δ και Ε δεν μπορεί να είναι όμοια. β) ν το τρίγωνο είναι και ισοσκελές με κορυφή το, τότε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα τρίγωνα Δ και Ε είναι όμοια; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΆΣΚΗΣΗ 5 Στο παρακάτω σκαληνό τρίγωνο θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ στις πλευρές και αντίστοιχα, έτσι ώστε να ισχύουν : Ε και Δ 3 3 α) Να αποδείξετε ότι ΕΔ Ε ΕΔ β) Να εξετάσετε αν ισχύει γ) Να εξετάσετε αν το τμήμα είναι παράλληλο στο τμήμα ΔΕ Να αιτιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας 8

85 ΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του και αντίστοιχα, ώστε Δ Ε. πό το σημείο φέρουμε ευθεία (ε) παράλληλη στη. Η 3 ευθεία (ε) τέμνει τις προεκτάσεις των Ε και Δ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) ΔΕ// β) ΖΕ Ε γ) Ζ= ΆΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τραπέζιο Δ ( AB / /Δ ) και σημείο Μ της πλευράς του Δ ώστε Μ πό το Μ φέρνουμε Δ 3 παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου, η οποία τέμνει τις και στα σημεία Κ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) Κ β) ΚΝ 3 3 γ) ΜΝ Δ 3 3 ΆΣΚΗΣΗ 7 0 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με, 36 και η διχοτόμος του Δ. α) Να αποδείξετε ότι : i) Τα τρίγωνα Δ και είναι όμοια. ii) Δ Δ β) ν, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος Δ 85

86 86

87 ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 87

88 ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος πάνω σε μία ευθεία ; ς θεωρήσουμε μία ευθεία ε και ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτή. Το ίχνος ' της καθέτου που φέρουμε από το προς την ε το λέμε ορθή προβολή ή απλώς προβολή του στην ευθεία ε. ν το σημείο είναι σημείο της ευθείας, π.χ. το, τότε ως προβολή του ' πάνω στην ε θεωρούμε το ίδιο το. Τέλος ορθή προβολή του τμήματος Δ πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα 'Δ' που έχει ως άκρα τις ορθές προβολές ', Δ' των άκρων, Δ, αντίστοιχα, του τμήματος Δ πάνω στην ε.. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. (θεώρημα προβολών Θ.Π.) πόδειξη Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο και Δ η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι = Δ και = Δ. ια την πρώτη σχέση αρκεί να αποδείξουμε ότι δηλαδή ότι AB Δ =, δηλαδή ότι τα τρίγωνα και Δ είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = Δ = και η είναι κοινή. Όμοια αποδεικνύεται και η σχέση = Δ. 3. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. (πόρισμα Π) πόδειξη πό το θεώρημα προβολών προκύπτει ότι : = Δ και = Δ Διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει το Δ = άρα = Δ Άρα το ζητούμενο πόρισμα. 88

89 . Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. πόδειξη Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι AB + = ή β + γ = α Σύμφωνα με το θεώρημα προβολών έχουμε: AB = Δ και = Δ. Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι : + = Δ + Δ =(Δ+Δ) = =. 5. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος (.Π.Θ.). ν σε τρίγωνο ισχύει + =, τότε A = L. πόδειξη Πάνω στις πλευρές Ox, Oy ορθής γωνίας xôy θεωρούμε αντίστοιχα τμήματα ΟΔ= και ΟΕ=. Επειδή το τρίγωνο ΟΔΕ είναι ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και την υπόθεση, έχουμε : ΔΕ = ΟΔ + ΟΕ = + =. Άρα ΔΕ =. Επομένως τα τρίγωνα και ΟΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες, οπότε θα είναι A = Ô =, που είναι το ζητούμενο. 6. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.(θεώρημα ύψους Θ.Υ.) πόδειξη Έστω Δ το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι Τα τρίγωνα Δ και Δ είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και A = ως συμπληρωματικές της. Επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή : = Δ οπότε Δ = Δ Δ. 7. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας επί το ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο κάθετων πλευρών του.(εφαρμογή θεωρία Ε.Θ.) πόδειξη 89

90 Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο και Δ η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι Δ= ή καλύτερα α υ α =β γ Δηλαδή ότι τα τρίγωνα και Δ είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = Δ = και η γωνία είναι κοινή άρα = = άρα = άρα Δ= ή καλύτερα α υ α =β γ. 8. ν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, τότε α= β πόδειξη Πράγματι, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος στο παίρνουμε α = β + γ = β ή α= β 9. ν Δ είναι το ύψος ορθογώνιου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, τότε ισχύει + = πόδειξη Επειδή α υ α= β γ έχουμε ότι + = = = 90

91 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Ερωτήσεις κατανόησης. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 90 ) έχει = 6 και = 8. Ποιο είναι το μήκος της διαμέσου Μ ; = + = = 00 =0 και Μ = = 5. ν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α. β. γ. 6 δ. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας νωρίζουμε ότι β α Δ γ 3. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες με 9cm και cm.. Η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με α. 0 β γ.3 δ. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και δ ικαιολογήστε την απάντηση σας Πυθαγόρειο : α = β + γ = 8+ = 5 α = 5 Περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου : Π = = 36 Πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου : x = 36 3 = 9

92 . Στο παρακάτω σχήμα υπολογίστε τα x και ψ. Δ x ψ 3 Επειδή η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη σε Ημικύκλιο, θα είναι ορθή. = + 3 = = 5 = 5 Ε Ε = Δ. = 5Δ Δ = 5 άρα Δ = 5 5 = 5 x = Δ Δ = 8 5 x 5 ψ = Δ = 9

93 σκήσεις Εμπέδωσης. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = ) φέρουμε το ύψος Δ. ν είναι = 3 και =, να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων, Δ, Δ και Δ. = 3 = = 5 = 5. 3 = 5. Δ Δ = 9 5 Δ. Δ = = 5. Δ = 5 = 5. Δ Δ = 6 5. ν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = ) είναι ˆB = ˆ τότε ο λόγος είναι ίσος με: α. β. γ. 3 δ. ε. 3. Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και γ αιτιολογήστε την απάντησή σας. Πυθαγόρειο: (), () β = 3. ˆB + ˆ = 90 ο 3 β = ˆ + ˆ = 90 ο 3 ˆ = 90 ο ˆ = 30 ο γ = 3 () () 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = ) φέρουμε το ύψος Δ. ν είναι 5 = 5 και BΔ =, να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα 3 τμήματα,, Δ και Δ. 93

94 Δ =. Δ = 3. 3 = Δ. Δ = =. 5 3 = = 69 3 Δ = Δ = = = = =. 3 = 56 3 Δ = 5. 3 (), (), (3), () Δ < Δ < < = 60 3 () = 3 (3) () () 9

95 ποδεικτικές σκήσεις. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α = γ =, β = κλ και, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. ν Ε, Ζ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών και Δ ενός κύκλου σε μία διάμετρό του, να αποδείξετε ότι Ζ. = Ε. Ε O Δ Ζ Φέρουμε τις, Δ. ˆ = (βαίνει σε ημικύκλιο) τρ. ορθογώνιο με ύψος Ε =. Ε Ζ. = Ζ.. Ε (). Ομοίως στο τρ.δ θα έχουμε Ε. = Ε..Ζ () πό τις (), () Ζ. = Ε.. Δ 3. ν Δ είναι μέσο της κάθετης πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου ( Â = ) και Ε η προβολή του στη, τότε να αποδείξετε ότι E + Ε = τμήματα Δ, Ε, Ε.. Στη συνέχεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα Φέρουμε τη Δ (για να έχουμε κι άλλα ορθογώνια τρίγωνα) Τρ.ΕΔ: E = Τρ.Δ: = Προσθέτουμε κατά μέλη, και επειδή Δ = Δ, έχουμε E + =. () Τρ.ΔΕ: = 95

96 () E + =. πό την ισότητα που αποδείξαμε προκύπτει ότι Ε < Ε. πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕ προκύπτει ότι Ε < Δ. Άρα Ε < Ε < Δ. Δ. Δύο ορθογώνια τρίγωνα και ( Â = Â = ) έχουν και E. Να αποδείξετε ότι: i) α = α ii) β = β. Τι συμπεραίνετε για τα και. ' Δ' ' Ομοίως, από τα τρίγωνα Ε, ΆΈ θα έχουμε E' ' Τρ.Δ: Τρ.ΔΆ : Άρα = = (). = (). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (), (): 5 5 = = 5 5 (3) () (3) 3 = 3 = = Άρα τρ. = τρ.. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) φέρουμε το ύψος του Ε. Να αποδείξετε ότι 3. Τρ.Ε: Τρ.Ε: = + = + = Ε Άρα + + ( + ) = =

97 Σύνθετα Θέματα i) Ζ. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = ) και το ύψος του Δ. ν Ε, Ζ είναι οι προβολές του Δ πάνω στις, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) Δ 3 3 = ii) Στο τρ.: Στο τρ.δ: Στο τρ.δ: 3 =. ΔΕ. ΔΖ = = =. Ε =. Ζ 3 3 = () =.. Ε ii) Στο τρ.δ: =. AΕ = AB. ΔΖ Στο τρ.δ: =. Ζ =. ΔΕ Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: = AB. ΔΖ.. ΔΕ 3. = ΔΕ. ΔΖ ρκεί να αποδείξουμε ότι. =, ή ότι =, το οποίο ισχύει από την ομοιότητα των τριγώνων, Δ.. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. ν είναι κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτεται στους (Κ, R), (Λ, ρ) και στη, να αποδείξετε ότι: i) B = R ii) R () i) Φέρουμε τις ΚΛ, Κ, Λ και ΛΜ Κ. Τότε ΛΜ ορθογώνιο ΚΜ = Κ Μ = R Λ = R ρ Πυθαγόρειο στο τρ.μκλ 97

98 R R = R R R R = R R = R = R R R ii) Εφαρμόζουμε το i) για τους κύκλους (Κ, R), (Ο, σ) με κοινή εξωτερική εφαπτομένη Δ και για τους κύκλους (Λ, ρ), (Ο, σ) με κοινή εξωτερική εφαπτομένη Δ. Τότε Δ = R και Δ =. Δ + Δ = R + = R R + = R Διαιρούμε τα δύο μέλη με R, τότε R 3. Θεωρούμε τραπέζιο Δ με ˆ ˆ =. ν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων Δ, αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της Μ με τη, να αποδείξετε ότι: i) το ΚΔ είναι ορθογώνιο ii) =. i) Τρ.ΜΔ = τρ.μκ διότι ΜΔ = Μ Mˆ Mˆ (κατά κορυφή) και ˆ ˆ (εντός εναλλάξ). Άρα ΜΔ = Μ, δηλαδή οι διαγώνιοι του ΚΔ διχοτομούνται, άρα είναι παρ/μμο και επειδή έχει γωνία ορθή, είναι ορθογώνιο. ii) Πυθαγόρειο στο τρ.δκ: = () πό το i) έχουμε ΔΚ =. Στο τρίγωνο Κ, το ΜΝ ενώνει μέσα Κ = ΜΝ. () = =. 98

99 Ισχύει. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ) να αποδείξετε ότι.. Επειδή, όμως,. Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι., ή αρκεί να αποδείξουμε ότι,. ή.. =, αρκεί να αποδείξουμε ότι., ή ότι. 0, ή ότι 0, που ισχύει. 5. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), διάμετρό του και μία χορδή του Δ που τέμνει την στο Ε και σχηματίζει με αυτή γωνία 5 ο. Να αποδείξετε ότι + = R. Φέρουμε ΟΜ Δ και την ακτίνα Ο. Τότε, το Μ είναι μέσο της Δ και το τρίγωνο ΟΜΕ ορθογώνιο και ισοσκελές. + = EM M + = + ΕΜ. Μ + + = ΔΜ. ΕΜ + + = ( + ) () Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΜΟ + = = R. () + = R. 6. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και το ύψος του Δ. ν x, y και ω είναι αντίστοιχα τα μήκη οποιωνδήποτε ομόλογων γραμμικών στοιχείων των τριγώνων (π.χ. διαμέσων, υψών, ακτίνων εγγεγραμμένων κύκλων κτλ.) Δ, Δ,, τότε x + y =. 99

100 Τρ.Δ όμοιο του τρ. x x = () Τρ.Δ όμοιο του τρ. y y = () () + () x + y = + x y = x y = x + y = 00

101 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ εωμετρικές κατασκευές. ν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα k, που ορίζεται από την ισότητα:. (i) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k = α +β, οπότε το ζητούμενο τμήμα k είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α, β. Επομένως, αν πάνω στις κάθετες πλευρές Ox, Oy μίας ορθής γωνίας xôy πάρουμε αντίστοιχα τα σημεία,, ώστε Ο=α και Ο=β, τότε = OA + OB = α + β και επομένως το τμήμα είναι το ζητούμενο τμήμα k. Είναι φανερό ότι το τμήμα k κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. (ii) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k = α -β η οποία σημαίνει ότι το ζητούμενο τμήμα k είναι η μία κάθετη πλευρά ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα α και άλλη κάθετη πλευρά το β. Η κατασκευή είναι όμοια της (i).. ν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα x, που ορίζεται από την ισότητα χ= το τμήμα x είναι η μέση ανάλογος των α, β. Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα x = αβ η οποία σημαίνει ότι το x είναι το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που χωρίζει την υποτείνουσα σε δύο τμήματα ίσα με α και β αντίστοιχα. Παίρνουμε επομένως σε μία ευθεία διαδοχικά τα τμήματα =α και =β.ράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου και στο υψώνουμε κάθετο στην, που τέμνει το ημικύκλιο στο Δ. Σχηματίζουμε το τρίγωνο Δ το οποίο είναι ορθογώνιο (Δ= ). Επομένως έχουμε Δ = = αβ και κατά συνέπεια το τμήμα Δ είναι το ζητούμενο. Είναι φανερό ότι το τμήμα x κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. 0

102 3. ν α είναι γνωστό τμήμα, να κατασκευασθεί τμήμα ίσο με με ν φυσικό μεγαλύτερο ή ίσο του δύο. ν τότε x = α = α + α, η οποία σημαίνει ότι το x μπορεί να κατασκευασθεί ως υποτείνουσα ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με α. Έτσι το Ο είναι το ζητούμενο τμήμα. ν που σημαίνει ότι το y είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α και x. ν λοιπόν φέρουμε κάθετο στην Ο στο και πάνω σε αυτή πάρουμε σημείο, ώστε =α, τότε, δηλαδή y = Ο. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε διαδοχικά τα τμήματα. 0

103 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για οξείες γωνίες. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ν δηλαδή σε ένα τρίγωνο είναι π.χ. A<90 ο τότε α = β + γ - β Δ πόδειξη πό τα ορθογώνια τρίγωνα Δ, Δ έχουμε, με εφαρμογές του Πυθαγόρειου θεωρήματος αντίστοιχα : α = Δ +Δ και Δ = γ - Δ. Επειδή είναι A<90 ο αν < το Δ είναι μεταξύ των,, οπότε Δ = β-δ. αν > το είναι μεταξύ των, Δ, οπότε Δ = Δ-β. πό τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι Δ =(β-δ) = β +Δ -β Δ. Με αντικατάσταση αυτής της σχέσης και της Δ = γ - Δ στην α = Δ + Δ προκύπτει ότι α = γ - Δ + β + Δ -β Δ = β + γ -β Δ, δηλαδή η ζητούμενη ισότητα. αν τέλος =, το Δ συμπίπτει με το και το ορθογώνιο τρίγωνο δίνει α = γ - β που γράφεται α = β + γ -β Δ, αφού Δ = β.. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για αμβλείες γωνίες. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ν δηλαδή σε ένα τρίγωνο είναι π.χ. A > και Δ η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τότε ισχύει α = β + γ + β Δ. πόδειξη πό τα ορθογώνια τρίγωνα Δ και Δ, παίρνουμε αντίστοιχα: α = Δ +Δ και Δ = γ -Δ. Επειδή A >, το Δ βρίσκεται στην προέκταση της προς το και επομένως Δ = β+δ οπότε Δ = (β + Δ) = β + Δ + β Δ. 03

104 Με αντικατάσταση των σχέσεων Δ = γ - Δ και Δ = (β + Δ) = β + Δ + β Δ στη σχέση α = Δ + Δ, προκύπτει η ζητούμενη ισότητα α = γ - Δ + β + Δ + β Δ = β + γ + β Δ. 3. (Πόρισμα) Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναμίες: (i) α < β + γ, αν και μόνο αν A<, (ii) α = β + γ, αν και μόνο αν A=, (iii) α > β + γ, αν και μόνο αν A>. πόδειξη πό το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις γενικεύσεις του Πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει άμεσα ότι σε κάθε τρίγωνο έχουμε : (i) α < β + γ, αν και μόνο αν A<, (ii) α = β + γ, αν και μόνο αν A=, (iii) α > β + γ, αν και μόνο αν A>. ποδεικνύεται όμως, με απαγωγή σε άτοπο ότι ισχύει και το αντίστροφο των (i), (ii), (iii). Πράγματι, αν π.χ. ισχύει α < β + γ δεν μπορεί να ισχύει A= ή A>, γιατί τότε από τις (ii) και (iii) θα είχαμε α = β + γ ή α > β + γ αντίστοιχα, που είναι άτοπο, αφού α < β + γ. Άρα A<. Όμοια αποδεικνύονται και οι άλλες περιπτώσεις.. Που χρησιμοποιείται το προηγούμενο πόρισμα ; Σύμφωνα με το πόρισμα αυτό και επειδή σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι στη μεγαλύτερη γωνία, συγκρίνοντας το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του, διαπιστώνουμε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. 5. ν σε ένα τρίγωνο είναι α=8, β=0 και γ=7, αποδείξτε ότι το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο. πόδειξη ν σε ένα τρίγωνο είναι α=8, β=0 και γ=7, θα έχουμε β =00, α + γ = =3 δηλαδή β < α + γ, οπότε <90 ο είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου, το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο. 6. Να διατυπώσετε το νόμο συνημιτόνων. Νόμος συνημιτόνων : Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι σχέσεις : α = β + γ - βγ συν β = α + γ αγ συν γ = α + β αβ συν. 0

105 7. ν μεταξύ των πλευρών α, β, γ ενός τριγώνου ισχύει (i) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, (ii) να υπολογίσετε τη γωνία. (i) πό τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι η γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και επιπλέον ότι γ > α + β, οπότε η γωνία είναι αμβλεία. (ii) Επειδή η γωνία είναι αμβλεία, σύμφωνα με το θεώρημα αμβλείας γωνίας έχουμε: γ = α + β + α Δ (). πό την υπόθεση όμως έχουμε πό τις () και () προκύπτει ότι στο τρίγωνο Δ έχουμε ότι εξ = 30 και επομένως = 50. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα που σημαίνει 8. Το ύψος υ α ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο όπου τ = (α + β + γ) η ημιπερίμετρος του τριγώνου. νάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υ β και υ γ. Aπόδειξη Εστω ένα τρίγωνο και Δ το ύψος του υα. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Δ έχουμε υ = γ - Δ (). Πρέπει επομένως να υπολογίσουμε την προβολή Δ της γ πάνω στην α. ν, από το τρίγωνο έχουμε β = α + γ -α Δ ή ν, από το τρίγωνο έχουμε 05

106 με αντικατάσταση της οποίας στην () παίρνουμε: Επειδή α+β+γ =τ, θα είναι α+γ-β=τ-β-β=(τ-β), α+β-γ=(τ-γ) και β+γ-α=(τ-α), οπότε η () γίνεται: από την οποία προκύπτει το ζητούμενο. 06

107 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος Ερωτήσεις κατανόησης.στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τα κενά i) = + +.Δ ii) = + +.Ε.Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου όταν i) β = 3α + γ ii) γ = α β iii) α β = γ i) β = 3α + γ > α + γ ˆ >90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο ii) γ = α β α = β + γ ˆ = 90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο iii) α β = γ α = β +γ > β + γ ˆ > 90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο 3. ν β η πλευρά αμβλυγωνίου τριγώνου, τότε.. > α +.. (Να συμπληρώσετε τα κενά ) ν β η μεγαλύτερη πλευρά αμβλυγωνίου τριγώνου, τότε β > α + γ.. ν στο παρακάτω σχήμα είναι = και ˆ =0 ο, να δικαιολογήσετε γιατί α = 3β γ 0 ο α β πό τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε α = β + γ βγσυν ˆ α = β + β β συν0 ο α = β + β β ( ) = 3β 07

108 σκήσεις Εμπέδωσης.Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο με α = 6μ, β = 5μ, γ = μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί Άρα ˆ οξεία. μ < 6μ < 9μ, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Η γωνία ˆ βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά α, άρα είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου. Και επειδή αυτή είναι οξεία, θα είναι και οι άλλες. Άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = ; ν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί < 6 < 9, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. = = Ομοίως 3 7 και = = Δίνεται τρίγωνο με, 3,. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ.. ˆ ˆ ˆ 6 3 = 3 ˆ 08

109 6 3 ˆ = 3 = = ˆ = 3 ˆ ˆ ˆ = 30 ο.. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με =, = 5 και ˆ = 30 ο, όπου Δ το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του. Στο τρίγωνο Δ θα έχουμε ˆ = 60 ο. ˆ = = 0 = 09

110 ποδεικτικές σκήσεις.οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη = 9, = 7 και =. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της πάνω στην. Δ Δ η προβολή της πάνω στην. Δ Άρα Άρα > ˆ αμβλεία.. Δ = Δ 8 Δ = Δ = 8 = 7 9.Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο Δ με βάσεις, Δ ισχύει ότι = + +. Δ Έστω ˆ, ˆ οξείες. Φέρουμε Κ και Λ κάθετες στη Δ. Τρ.Δ: Τρ.Δ: = + = + Δ. ΔΚ Δ. Λ Προσθέτουμε κατά μέλη: = + + Δ. ΔΚ Δ. Λ = = ΛΚ ορθογώνιο ΚΛ = () = Δ. (Δ ΔΚ Λ) + Δ. ΚΛ () + Δ. 3. ν, είναι ύψη ενός οξυγωνίου τριγώνου, να αποδείξετε ότι = β + γ. = = + β + γ Προσθέτουμε κατά μέλη + = + + ( β + γ ) ( β + γ ) = β + γ = 0

111 .Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ). Προεκτείνουμε την πλευρά κατά Δ =. Να αποδείξετε ότι =. Δ. Τρ.Δ: = = = Δ. + Δ. +. Δ = ( + ) = ( Δ + ) =. Δ 5.Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) φέρουμε παράλληλη της, που τέμνει τις και στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = +. ΔΕ. Φέρουμε ΔΚ, ΕΛ κάθετες στη. Στο τρίγωνο Ε έχουμε = +. Λ = + ( Λ) () τρ.δκ = τρ.ελ Κ = Λ. Άρα Λ = Λ Κ = ΚΛ = ΔΕ () = +. ΔΕ. 6.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5,, 3 ; Ορθογώνιο τρίγωνο = + Πρέπει να ισχύει 5 < < 3 5 < 6 + βγ ( + 5 ) < 6 + βγ < 6 + βγ βγ < που είναι αδύνατο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

112 Σύνθετα Θέματα.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = και ˆ = 30 ο. Να αποδείξετε ότι 3. = + ββσυν 0 30 = + = = 3 ( 3 ) 3 3.Δίνεται κύκλος διαμέτρου και μία χορδή του Δ. ν Μ είναι τυχαίο σημείο της, να αποδείξετε ότι Κ Μ Λ Δ + = +. Φέρουμε τις, Δ, και έστω Κ, Λ οι προβολές των, Δ στην. Τότε Δ ισοσκελές τραπέζιο, ΚΛΔ ορθογώνιο και Κ = Λ Τρ.Μ: Τρ.ΜΔ: = + Μ. Κ = + Μ. Λ Προσθέτουμε: + = + + Μ. Κ Μ. Λ. ρκεί να αποδείξουμε ότι Μ. Κ Μ. Λ = 0, ή Μ. Κ Μ. Λ = 0. Όμως, από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε = Κ., οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι Κ. Μ. Κ Μ. Κ = 0, ή Μ Μ= 0, που ισχύει. 3.Δίνεται τρίγωνο με οξυγώνιο. πό την υπόθεση () + () + 3 = > = Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι 3 3 > και > και > και 3 () και 3 3 > ( ) > 3 > 3 () ˆ οξεία. Επειδή όμως και, δηλαδή η α είναι η μεγαλύτερη πλευρά, η ˆ θα είναι η μεγαλύτερη γωνία. Άρα το τρίγωνο οξυγώνιο.

113 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θεωρήματα διαμέσων. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το ο θεώρημα διαμέσων. ο θεώρημα διαμέσων : Το άθροισμα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος AM = μα και το ύψος Δ. ν >, τότε το ίχνος Δ του υα βρίσκεται μεταξύ των, Μ (σχ.) και Μ>, ενώ Μ (i) = Μ + Μ + Μ ΜΔ (ii) = Μ +Μ -Μ ΜΔ Προσθέτοντας κατά μέλη αυτές τις σχέσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι Μ = Μ έχουμε: νάλογα έχουμε και τους ακόλουθους τύπους:. Να γράψετε τους τύπους υπολογισμού των διαμέσων ως συνάρτηση των πλευρών του τριγώνου. 3. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το ο θεώρημα διαμέσων. ο θεώρημα διαμέσων : Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. 3

114 πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος AM = μα και το ύψος Δ. ν >, τότε το ίχνος Δ του υα βρίσκεται μεταξύ των, Μ και Μ>, ενώ Μ (i) = Μ + Μ + Μ ΜΔ (ii) = Μ +Μ -Μ ΜΔ φαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε ότι :

115 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ασικοί γεωμετρικοί τόποι. Έστω, δύο σταθερά σημεία και k ένα δοσμένο τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα, ισούται με k. Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα θα είναι : AM + BM = k (). ν Ο είναι το μέσο του, τότε από το ο θεώρημα των διαμέσων θα έχουμε πό την ισότητα αυτή βλέπουμε ότι το τμήμα ΜΟ έχει σταθερό μήκος. Έτσι το Μ απέχει από το σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ίση με άρα βρίσκεται στον κύκλο ντίστροφα. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο Μ του κύκλου είναι και το σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή ότι ισχύει Μ + MB = k. Πράγματι, από το ο θεώρημα διαμέσων έχουμε Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος που έχει κέντρο Ο το μέσο του τμήματος και ακτίνα ίση με Διερεύνηση. παραίτητη προϋπόθεση για να υπάρχει γεωμετρικός τόπος είναι Όταν έχουμε ισότητα ο γεωμετρικός τόπος αποτελείται μόνο από το σημείο Ο. 5

116 . Έστω, δυο σταθερά σημεία και k ένα σταθερό τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα, ισούται με k. Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα (για Μ > Μ) είναι Μ - Μ = k (). Έστω Ο το μέσο του και ε η ευθεία ΜΗ όπου Η προβολή του Μ πάνω στην. πό το ο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι Μ - Μ = ΟΗ <=> k = OH <=> OH = k / Η ισότητα αυτή δείχνει ότι το τμήμα ΟΗ είναι σταθερό. Παρατηρούμε ότι η προβολή του Μ πάνω στο είναι σταθερή, άρα το Μ βρίσκεται στην ευθεία ε στο σημείο Η, όπου k / και βρίσκεται μεταξύ των σημείων Ο,. ντίστροφα. Έστω σημείο Η μεταξύ των Ο, τέτοιο, ώστε k / πό το Η φέρουμε την κάθετη ευθεία ε στην και έστω Μ τυχαίο σημείο της ε. Θα αποδείξουμε ότι το Μ είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Πράγματι από το ο.θεώρημα διαμέσων έχουμε Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ε. Διερεύνηση. ν k = 0 είναι MA - MB = 0 ή Μ = Μ, οπότε το Μ ισαπέχει από τα σημεία,. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος. 6

117 A ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θεωρήματα διαμέσων Ερωτήσεις κατανόησης.στο παρακάτω σχήμα η Μ είναι διάμεσος και Δ ύψος. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή. ιτιολογήστε την απάντηση σας. i) + = Μ + Μ ii) + = Μ + Δ iii) + = ΜΔ iν) = Μ + Μ B Μ Δ Σωστή σχέση είναι η (i) διότι : + = Μ + = Μ ( ) + = Μ + = Μ + Μ. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα κενά. Να εξηγήσετε γιατί Μ + Μ = Μ + ΜΔ Μ i) Μ + Μ =. ii) Μ + ΜΔ =.. Δ Ο Εξήγηση i) Μ + Μ = ΜΟ + ii) Μ + ΜΔ = ΜΟ + φού = Δ, τα δεύτερα μέλη των (i) και (ii) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. 7

118 3.Σε τρίγωνο είναι β + γ = 5α Τότε α. μ α = β. μ α = 3 γ. μ α = 3 δ. μ α = 3 Κυκλώστε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την απάντηση σας = = ( ) 0 9 = οπότε μ α = 3 8

119 σκήσεις Εμπέδωσης. Σε τρίγωνο έχουμε β = 7, γ = 6 και = 7. Να υπολογισθούν i) η πλευρά α ii) η προβολή της διαμέσου στη. i) = + + = + + = 7 = = = = Άρα α = ii) Έστω x η προβολή της διαμέσου = α x O Δ στη. 6 =.. x = x 3 = x x = 3.Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει ρκεί να αποδείξουμε ότι ή ότι ή ότι ή ότι + βγ > + βγ > + βγ > + βγ > + βγ > ή ότι ή ότι β + γ > α που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα. 3. Δίνεται κύκλος (Ο, R), μια διάμετρός του και έστω, Δ τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα. ν + = 5, όπου Μ τυχαίο σημείο του κύκλου, να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου. M Στο τρ.μδ : + = + 0 = 5 R 5 = 0 = R + R + R R R = R = 9

120 .Δίνεται τρίγωνο και έστω Θ το βαρύκεντρό του. Να αποδείξετε ότι: i) ii) i) ii) Θ = 3 + = 3 ( = + = 3 ( + ) + ) + = ( = ( ) = 3 ( + = 9 = = 9 ( + = 9 και κυκλικά + 3 ( + + ) ) = 3 ( + ) ). + ) 0

121 ποδεικτικές σκήσεις.δίνεται τρίγωνο με ˆ = 60 ο, β = 5, γ = 3. Να υπολογισθεί η διάμεσός του. = + - βγ συν ˆ = συν60 ο = = 3 5 = 9 = = = = = 9 Άρα = 7. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τυχαίο σημείο Δ της.. Να αποδείξετε ότι = Έστω Μ το μέσο της και ΔΚ. Δ K M ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο Δ: - =. ΜΚ. ρκεί να δειχθεί ότι. ΜΚ = ΜΚ. =. Δ ΜΚ. = Δ ΜΚ. = Μ.Δ που ισχύει από θεώρημα Θαλή, αφού ΔΚ Μ 3. i) ν Δ ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο, να αποδείξετε ότι MA + M = M + M ii) ν Δ τετράγωνο και σημείο Μ στο εσωτερικό του, ώστε Μ =, Μ = και Μ = 3, να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

122 i) Μ Φέρουμε τις διαγώνιες, Δ, οι οποίες διχοτομούνται στο Ο. Ο Δ τρ.μ: MA + M = M + τρ.μδ: M + M = M + Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. ii) Μ i) MA = + M = MΔ = M = M M + M 3 Έτσι είναι ΜΔ = Μ, άρα το Μ είναι Δ σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος Δ, δηλαδή σημείο της διαγωνίου. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε = α + 3 = α α = 3. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων, Δ ενός τετραπλεύρου Δ, να αποδείξετε ότι = + +. (Θεώρημα Euler) Δ N M τρ.ν διάμεσο ΝΜ : () Τρ.Δ με διάμεσο Ν: + = + Τρ.Δ με διάμεσο Ν: + = + Προσθέτουμε κατά μέλη = ( + ) + = + = ( + ) + = + + ()

123 5.Στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε τέτοια, ώστε Δ = ΔΕ = Ε. Να αποδείξετε ότι + = 5 9. Μ μέσο του ΔΕ άρα και της = α Δ M Ε Τρ.ΔΕ με διάμεσο Μ: + = + αλλά Μ = και ΔΕ = 3 Άρα + = = 9 = = = = ν σε τρίγωνο ισχύει Είναι + = + Η υπόθεση + = + = γίνεται + + +, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. = = 0 0 =0 ˆ = 90 ο 3

124 Σύνθετα Θέματα.Δύο αδέλφια κληρονόμησαν αγροτεμάχιο σχήματος τραπεζίου και αποφάσισαν να το μοιράσουν ανοίγοντας δρόμο που θα ενώνει τα μέσα των παράλληλων πλευρών του. ν οι βάσεις είναι 8km και 6km, ενώ οι μη παράλληλες πλευρές 5km και 6km, πόσο θα στοιχίσει η διάνοιξη του δρόμου, αν ένα χιλιόμετρο δρόμου κοστίζει δρχ. 3 Κ 3 Δ το αγροτεμάχιο - τραπέζιο Κ, Λ τα μέσα των βάσεων 5 6 Φέρουμε ΚΕ Δ και ΚΖ. Τότε δύο παραλληλόγραμμα, άρα Δ Ε Λ Ζ ΚΛ διάμεσος του τριγώνου ΚΕΖ ΚΕ = Δ = 5, ΚΖ = = 6 και ΛΕ = ΛΖ = Λ Ζ = Κ = 3 = =.5.6 = 50 7 = = 8 = Άρα ΚΛ = km... Δίνεται τρίγωνο, με > και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα. ν Ο το μέσο του ΜΝ, να αποδείξετε ότι - = Φέρουμε το Ο. ΟΜ διάμεσος του τριγώνου Ο Ο + = + () Μ Ν ΟΝ διάμεσος του τριγώνου Ο + = + () () () = 3. Σε ημικύκλιο διαμέτρου = α θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ. Χωρίζουμε τη διάμετρο σε τρία ίσα τμήματα = Δ = Δ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα M + MB + M + είναι σταθερό.

125 M Πυθαγόρειο στο τρ.μ: M + MB = () () + () Έστω Ο το κέντρο του ημικυκλίου. ο Θ. διαμέσων στο τρ.μδ: O Δ M + = + M + = 3 + = + 9 = 0 + = () 9 9 M + MB + M + = = σταθερό Δίνεται ρόμβος Δ πλευράς α, Ο το κέντρο του και κύκλος (Ο, λα), λ > 0. ν για τυχαίο σημείο Μ του κύκλου ισχύει M + MB + M + = 8, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ. O M Δ ο Θ. διαμέσων στο τρ.μ: M + = + = Ομοίως ο = + = = + () Θ. διαμέσων στο τρ.μδ: MB + = + () () + () M + MB + M + = + ( + ) (3) Πυθαγόρειο στο τρ.ο: + = =. (3) M + MB + M + = 8 = = + = 6 = άρα 5

126 5.Δίνεται ρόμβος Δ πλευράς α, με διαγώνιο Δ = α. Έστω τυχαίο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι = ( ) + ( ). Ρ ρκεί να δειχθεί ότι = + ( + ) Ο Δ ο Θ. διαμέσων στο τρ.ρ: + = + = + = + () Ομοίως ο Θ. διαμέσων στο τρ.ρδ: () () + + = ( + ) = + () 3 = 3 = 3 = = =. 6

127 ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Τέμνουσες κύκλου. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα δύο τεμνόμενων χορδών ενός κύκλου. Θεώρημα (τεμνόμενων χορδών - ΘΤΧ): ν δυο χορδές, Δ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει : Ρ Ρ = Ρ ΡΔ. πόδειξη Τα τρίγωνα Ρ και ΡΔ είναι όμοια, αφού ΡA = ΡΔ και Ρ = ΡΔ (Στο ο σχήμα έχουμε ότι ΡA = ΡΔ γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και η ΡA είναι εξωτερική του γωνία. Στο ο σχήμα ΡA = ΡΔ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Επομένως, ισχύει ότι ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα γινόμενα των τμημάτων που ορίζουν οι τέμνουσες ενός κύκλου Ρ Ρ, Ρ Ρ, Ρ Ρ,... παραμένουν σταθερά. Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται μόνο από τις θέσεις του σημείου Ρ και του κύκλου (O,R). 7

128 . Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης σε έναν κύκλο. Θεώρημα (Τέμνουσας και εφαπτομένης - ΘΤΕ): ν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία,, τότε ισχύει ότι : ΡΕ = Ρ Ρ. πόδειξη Φέρουμε την ευθεία ΡΟ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία και Δ. Θέτουμε ΟΡ = δ, οπότε από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε ότι: πό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΡΟΕ προκύπτει ότι 3. Να δοθεί ο ορισμός της δύναμης ενός σημείου Ρ ως προς κύκλο (Ο,R). Η διαφορά δ -R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R) και συμβολίζεται Σημείωση : ν μια ευθεία διέρχεται από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) και τέμνει τον κύκλο σε σημεία, τότε Ρ Ρ = δ - R. Όμοια αποδεικνύεται ότι Ρ Ρ = R - δ, αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.. Πως σχετίζεται η δύναμη σημείου Ρ κύκλο (Ο,R) με την θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο ; ς εξετάσουμε τι ς προς συμβαίνει όταν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου ή όταν ανήκει σε αυτόν. Τότε η δύναμη του σημείου P ως προς τον κύκλο (O,R) είναι αρνητική ή ίση με το μηδέν αντίστοιχα. Επεκτείνοντας, λοιπόν, τον ορισμό της δύναμης σημείου ως προς κύκλο καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά εκφράζει τη σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R), καθώς εξαρτάται μόνο από το δ, δηλαδή την απόσταση του Ρ από το κέντρο του κύκλου. Επομένως, έχουμε ότι: το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν το Ρ είναι σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν 8

129 5. ν δύο τμήματα και Δ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ έτσι ώστε Ρ Ρ = Ρ ΡΔ, τότε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία,,, Δ είναι εγγράψιμο. πόδειξη ς θεωρήσουμε το σημείο τομής Ρ των τμημάτων AB, Δ ή των προεκτάσεών τους. Η δοσμένη σχέση Ρ Ρ = Ρ ΡΔ γράφεται ΡΡ = ΡΔΡ και αφού Ρ = ΡΔ, τα τρίγωνα Ρ και ΡΔ θα είναι όμοια. Επομένως ΡΔ = Ρ, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Η εφαρμογή εκφράζει το αντίστροφο του θεωρήματος τεμνόμενων χορδών. 6. ς θεωρήσουμε ευθεία ε και τρία σημεία της Ρ,,, με το μεταξύ των Ρ και. Έστω σημείο Ε εκτός της ευθείας ε τέτοιο, ώστε ΡΕ = Ρ Ρ. Τότε το τμήμα ΡΕ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο, που ορίζουν τα σημεία,, Ε. πόδειξη Έστω (O,R) ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία,, Ε. Τότε ΡΕ = Ρ Ρ = ΟΡ - R = OΡ - ΟΕ ή ΡΕ + ΟΕ = ΟΡ οπότε το τρίγωνο ΟΕΡ είναι ορθογώνιο και η ΡΕ εφάπτεται στον κύκλο (O,R). ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Η εφαρμογή αυτή εκφράζει το αντίστροφο του θεωρήματος τέμνουσας και εφαπτομένης 7. Διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο (Χρυσή Τομή) :Να διαιρεθεί ένα τμήμα, σε δύο άνισα τμήματα, ώστε το μεγαλύτερο από αυτά να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου και του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος. πόδειξη Έστω = α και = x το μεγαλύτερο από τα τμήματα στα οποία χωρίζεται το από το (σχ.). Τότε = α - x και θα πρέπει να ισχύει η σχέση: = ή x = α(α-x) (). Η σχέση () γράφεται x + αx - α = 0 ή x (x + α) = α (). Έτσι, για να κατασκευάσουμε το x γράφουμε κύκλο (Ο, που εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο και φέρουμε την Ο, η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Δ, Ε. Τότε ισχύει ότι = Δ Ε = Δ(Δ + ΔΕ) = Δ(Δ + ) ή α = Δ(Δ + α) οπότε το Δ έχει το ζητούμενο μήκος και το είναι η τομή του κύκλου (, Δ) και του τμήματος. 9

130 ΣΧΟΛΙΟ Το πρόβλημα της διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο είναι γνωστό σήμερα και ως πρόβλημα της Χρυσής Τομής. Με το πρόβλημα αυτό επιλύεται γεωμετρικά η εξίσωση x = α(α - x) ή x + αx - α = 0. Η θετική ρίζα της εξίσωσης x + αx - α = 0 είναι από όπου προκύπτει ότι που είναι η αναλογία της «χρυσής τομής». παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα φ, δηλαδή Ο συμβολισμός προέρχεται από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία ο οποίος κατασκεύασε τον Παρθενώνα. Οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι διαπίστωσαν ότι όπου εμφανίζεται ο λόγος φ (αρχιτεκτονική, γλυπτική κτλ.), δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας. 30

131 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογιστούν οι τιμές των x και ψ. Ν (α) x O Δ Ρ 3 Θ x 6 Ε Κ Τ Σ O ψ Μ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήμα (α) Στο σχήμα (β) Στο σχήμα (γ) Ρ. Ρ = Ρ. ΡΔ ΣΚ. ΣΛ = ΣΜ. ΣΝ ΤΘ = ΤΕ.ΤΖ ( + ) = 3( 3+x). = ψ. 36 = (+x) + 8 = 9 + 3x 8 = ψ 9 = + x x = 5 = x. Ποια είναι η δύναμη σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R) όταν Ρ Ο =ΟΡ R = R (,R) 3.ν στο παρακάτω σχήμα είναι κύκλου M (,R) = 3, να υπολογίσετε την ακτίνα του Ο Μ = ΟΜ R 3 = M (,R) R R 3R = R = 3

132 Κ σκήσεις Εμπέδωσης. Δίνεται κύκλος (Κ, 6) και σημείο, ώστε Κ =. ν από το σημείο φέρουμε τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο κατά χορδή = 6, να υπολογίσετε το. Έστω = x, τότε = x + 6 AB. = R x (x + 6) = 6 x 6x x 6x 60 0 () Δ = 6.60 = = 676 () x = = = 6 6 = 0 3 = 0 6 άρα x = 0. ν σε τρίγωνο ο κύκλος, που διέρχεται από το και τα μέσα Μ, Ν των και αντίστοιχα, εφάπτεται της στο Δ, να αποδείξετε ότι = Δ.Δ. Φέρουμε το τμήμα ΜΝ. Μ Λ Δ Ν Τότε ΜΝ και τέμνει το Δ στο μέσο του Λ. Άρα ΜΛ = και ΛΝ= ΛΔ, ΜΛΝ τέμνουσες του κύκλου Λ. ΛΔ = ΛΜ. ΛΝ Δ. Δ = Δ. Δ = Δ.Δ. 3. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και τις χορδές του, Δ που τέμνονται στο Ρ. ν ισχύει ότι =, να αποδείξετε ότι οι χορδές, Δ είναι ίσες. 3

133 Ρ Δ Ρ, ΡΔ τέμνουσες Ρ. Ρ = Ρ. ΡΔ πό υπόθεση έχουμε = Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: Ρ = ΡΔ Διαιρούμε κατά μέλη: Ρ = Ρ. Να αποδείξετε ότι, η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων διχοτομεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους. Η κοινή χορδή τέμνει το κοινό εξωτερικό Μ εφαπτόμενο τμήμα σε σημείο Μ. Δ Είναι M = Μ. Μ και M = Μ. Μ Άρα M = M Μ = ΜΔ 33

134 ποδεικτικές σκήσεις. Τετράγωνο Δ πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν Ε είναι το μέσο της Δ και η Ε προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Ζ, να αποδείξετε ότι: 5 i) BE =, ii) BE = 5EZ i) Ζ Ε Ο Δ Πυθαγόρειο στο τρ.ε: = + = + 5 BE = = = 5 () + ii) EB. EZ = EA. EΔ 5 ΕΖ = 5 ΕΖ = πό τις (), () ΕΖ = 5 BE = 5EZ. = 5 0 = 5 5 ().πό σημείο εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα Δ. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις ΔΔ, Δ στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε. Ζ = ΕΔ. ΖΔ. Θ. διχοτόμων στο τρ.δ: = Θ. διχοτόμων στο τρ.δ: = Δ Ζ Ε Δημιουργούμε το γινόμενο Ε. Ζ πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη =.. =. () επειδή όμως τέμνουσα και Δ εφαπτομένη, θα έχουμε. () = Ε. Ζ = ΕΔ. ΖΔ.. =.. 3

135 3. ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: i) AM. ME = ii) + = AM. AE. i) ΜΕ, Μ τέμνουσες MA. ME = MB. M ε Η Μ Δ Κ Μ Ε ii) ο Θ. διαμέσων: Μ O Ο Ν + = + = + (i) + Μ. ΜΕ MA. ME = MA. ME = = Μ (Μ + ΜΕ) = Μ. Ε.. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και ευθεία ε που δεν τέμνει τον κύκλο. πό σημείο Μ της ε φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Μ, Μ και Ο ε. ν η τέμνει την Ο στο Ν, να αποδείξετε ότι ΟΝ. Ο = R. Φέρουμε την ΟΜ, η οποία είναι μεσοκάθετος της. Kˆ = ˆ ΚΝΜ εγγράψιμο ΟΝ. Ο = ΟΚ. ΟΜ () Τρ.ΟΜ ορθογώνιο με ύψος Κ R = = ΟΚ. ΟΜ () (), () ΟΝ. Ο = R. 5. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του Δ. ν μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεται από το τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι Μ. Η =. Φέρουμε την Η. ˆ = αφού βαίνει σε ημικύκλιο, αλλά και ˆ =, οπότε ΗΜΔ εγγράψιμο Μ. Η = Δ. () Τρ. ορθογώνιο με ύψος Δ = Δ. () (), () Μ. Η =. 35

136 Σύνθετα Θέματα. ν η διχοτόμος Δ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και είναι = Δ. Δ, να αποδείξετε ότι =. ΔΕ, Δ τέμνουσες του κύκλου Δ. ΔΕ = Δ. Δ, αλλά = Δ. Δ άρα Δ = Δ. ΔΕ Δ = ΔΕ τρ.ε όμοιο του τρ.εδ ( ˆ ˆ ˆ και ˆ κοινή) Ε = = Ε. ΔΕ ρκεί να δειχθεί ότι = Ε. ΔΕ, ή ότι Ε = ΔΕ που ισχύει..δίνεται τρίγωνο με Μ Δ =. ν η διάμεσος Μ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Δ, να αποδείξετε ότι ΜΔ = ο Θ.διαμέσων: = + =., αλλά άρα = + = = 3 3 Μ = () ΜΔ, Μ τέμνουσες του κύκλου Μ. ΜΔ = Μ. Μ 3 ΜΔ = 3 ΜΔ = () 3 ΜΔ = =

137 3 3. Σε τρίγωνο είναι =. ν Μ το βαρύκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου Μ εφάπτεται της στο. Μ = 3 3 = 3 = = 3 Δ () ρκεί να αποδείξουμε ότι»» = ΔΜ. Δ = 3»» = 3»» 3 = Έχουμε = = ( ) - (). - = 3.. Δίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του Δ, η διάμεσός του Μ και ο περιγεγραμμένος κύκλος (Κ) του τριγώνου ΔΜ. ν Ε, Ζ είναι τα σημεία τομής των και με τον κύκλο (Κ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε = Ζ. ΔΜ, Ε τέμνουσες του κύκλου Ε. = Δ. Μ ΜΔ, Ζ τέμνουσες του κύκλου Ζ. = Μ. Δ Ε Δ M Ζ BE Διαιρούμε κατά μέλη: Z = λλά από Θ. διχοτόμων είναι =. BE Άρα = Ε = Ζ Z 37

138 Κ ενικές 9 ου κεφαλαίου.έστω, Δ δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε Δ είναι να ισχύει =. Ευθύ: Έχουμε υπόθεση Δ. Δ Θα αποδείξουμε ότι = Έστω Κ το σημείο τομής των ευθειών, Δ. Πυθαγόρειο στο τρ.κ : = + Πυθαγόρειο στο τρ.κδ : = + φαιρούμε κατά μέλη: Ομοίως = = Άρα = ντίστροφο: Έχουμε υπόθεση θ Μ = Δ. Θα αποδείξουμε ότι Δ. Έστω > Δ, τότε > πό την υπόθεση σημεία, θα ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο. > 0. > 0 > > Δ. Άρα τα, βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη μεσοκάθετο Μθ του τμήματος Δ. Φέρουμε, κάθετες στη Δ, οπότε και τα ο Θ. διαμέσων στο τρ.δ: = Δ. Μ ο Θ. διαμέσων στο τρ.δ: Άρα Δ. Μ = Δ. Μ άρα ευθεία κάθετη στη Δ. = Δ. Μ Μ = Μ τα, συμπίπτουν,.δίνεται τρίγωνο. ν Δ είναι η διχοτόμος της γωνίας Â, να αποδείξετε ότι. = A + Δ. Δ. 38

139 ράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Η προέκταση της διχοτόμου Δ τέμνει τον κύκλο στο Ε. Δ Ε ΔΕ, Δ τέμνουσες του κύκλου Δ.ΔΕ = Δ. Δ Δ (Ε Δ) = Δ. Δ Δ.Ε A = Δ. Δ Δ. Ε = A + Δ. Δ. ρκεί να αποδείξουμε ότι Δ. Ε =., ή ότι, ή ότι τρ.δ όμοιο του τρ.ε, που ισχύει, αφού ˆ = ˆ και ˆ ˆ. (σε ίδιο τόξο) 3. ν Μ είναι το μέσο της πλευράς οξυγωνίου τριγώνου και Δ ύψος του, να αποδείξετε ότι A = +Δ.. Θ. επέκτασης του Πυθαγορείου: γ Άρα α Δ M β +Δ. = = + = + A. Δ = A. Δ = A. Δ + = + = = =.Θεώρημα Stewart i) Έστω Δ σημείο της πλευράς τριγώνου. Να αποδείξετε ότι Δ. Κ + Δ. Δ = ( +Δ. Δ). ii) Να διατυπώσετε το θεώρημα Stewart, όταν το είναι ισοσκελές ( = ). i) α) Όταν η Δ δεν είναι Έστω ˆ αμβλεία και ˆ οξεία. 39

140 Φέρουμε Κ Τρ.Δ: = + + Δ. ΔΚ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με Δ Δ. = Δ. + Δ. + Δ.Δ. ΔΚ () Τρ.Δ: = + + Δ. ΔΚ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με Δ Δ. = Δ. + Δ. + Δ.Δ. ΔΚ () () + () Δ. + Δ. = (Δ + Δ) + Δ. Δ (Δ + Δ) Δ. + Δ. =. + Δ. Δ. Δ. + Δ. = ( + Δ. Δ) β) Όταν Δ κολουθούμε ίδια πορεία, αλλά με Πυθαγόρεια θεωρήματα. ii) Στην ισότητα που αποδείξαμε στο i), όπου θέτουμε. Δ Η Τότε γ Ν β Θ = + Δ. Δ Μ α Ε 5. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με. Να αποδείξετε ότι: i) + = 5 ii) αν Δ ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου, τότε Η.Δ =. i) Έστω Θ το κέντρο βάρους τρ.θ ορθογώνιο : = + = = = 5. ii) Φέρουμε το ύψος Ε και τις ΔΕ, Η. Τα σημεία Δ, Ε βλέπουν το τμήμα Η με ορθή γωνία ΔΕΗ εγγράψιμο Η.Δ =. Ε () ˆ οξεία = +. Ε = 5. Ε. Ε =. Ε = = 9 0

141 Η () Η.Δ = 6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τη διάμεσο Μ. ν Δ η προβολή του Μ πάνω στην, να αποδείξετε ότι = 3 +.Δ. Στο τρίγωνο Μ έχουμε Δ Ε Μ Η O Δ B = = +.Δ +.Δ = + = +.Δ + 8.Δ = Δ = + 3.Δ 7.Δίνεται κύκλος (Ο, R), μια ακτίνα Ο και χορδή παράλληλη προς την Ο. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα + είναι σταθερό. Φέρουμε τη διάμετρο ΟΔ και τη χορδή Δ. Το τραπέζιο Δ είναι εγγεγραμμένο, άρα είναι ισοσκελές, δηλαδή Δ = Ο Δ ˆ = αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Πυθαγόρειο στο τρ.δ: + = + = R + = R σταθερό. 8. Δίνεται κύκλος (Ο, R), μία διάμετρος και, Δ τα μέσα των Ο, Ο αντίστοιχα. ν μία χορδή ΕΗ που διέρχεται από το είναι ΕΗ = να αποδείξετε ότι ˆ E =. ρκεί να αποδείξουμε ότι 3 R, + = ο Θ. διαμέσων στο τρίγωνο ΕΔ: + = + + = R R + = 5R 5R = () E

142 Ομοίως στο τρίγωνο ΗΔ: H = 5R H () () + () + = 5 R ( + H ) (3) Ε + Η = R 3 E = + + 3R H + Ε. Η = H = 3R 3R Ε. Η () ΕΗ, τέμνουσες του κύκλου Ε. Η =. = R 3R 3R 3R 6R () + H = = = 7R (3) + = 5 R 7R = 3R = R 3 = E 3R = 3R

143 ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΗ Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράμπα του παρακάτω σχήματος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από το έδαφος κάθε χρονική στιγμή, s ισχύει ότι y, όπου s το μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος m, να βρείτε: i. Το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. ii. Την απόσταση του σημείου Δ από την άκρη της ράμπας. ΣΚΗΣΗ Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι α=8, β=6 και γ=5. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς στις πλευρές και. ΣΚΗΣΗ 3 Σε τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την πλευρά σε σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ 3 Δ 3 α) Να αποδείξετε ότι 5 β) ν επιπλέον ισχύει ότι, να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΣΚΗΣΗ α) Ποιες από τις παρακάτω τριάδες θετικών αριθμών μπορούν να θεωρηθούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i) 3,, 5 ii) 3λ, λ, 5λ με λ > 0 iii), 5, 6 β) Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του. 3

144 ΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90ο ) με ύψος Δ και = 8, Δ = 3 5. Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων: α) β) γ) Δ ΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α = 7, β = και μ β = 33 α) Να αποδείξετε ότι γ = 5 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές = 6, = 9 και ˆ 60 ο. α) Να αποδείξετε ότι = 3 7 β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πάνω στη ΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται κύκλος (Κ,R) και δύο διάμετροί του και Δ. Έστω Μ εξωτερικό σημείο του κύκλου τέτοιο, ώστε Μ=0, Μ= και Μ=. α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι Μ Μ (ΜΚ R ) Μ ΜΔ (ΜΚ R ) γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΔΜ ΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται τρίγωνο με μήκη πλευρών α 5,β 7 και γ 3 0 α) Να αποδείξετε ότι 0 β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στην ευθεία ΣΚΗΣΗ 0 Δίνεται τρίγωνο με =, =6 και =8. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς πάνω στην ευθεία

145 ΆΣΚΗΣΗ Σε τρίγωνο είναι 6, 8. Φέρουμε το ύψος του Δ και τη διάμεσο Μ και ισχύει ότι: ΔΜ. α) Να αποδείξετε ότι 7. β) Να βρείτε το μήκος του ύψους Δ. ΆΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο με μήκη πλευρών α 3, α και α, όπου α 0. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε ποια είναι η ορθή γωνία. 3α β) μγ, όπου μ γ η διάμεσος του που αντιστοιχεί στην πλευρά. ΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται τρίγωνο για το οποίο έχουμε β = 7, γ = 6 και η διάμεσος του 89 μα α) Να αποδείξετε ότι α = 9. β) Να υπολογίσετε την προβολή ΜΔ της διαμέσου Μ πάνω στην πλευρά α ΣΚΗΣΗ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με τη γωνία ορθή και το ύψος του Δ. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σημεία Δ, και τέμνει την στο Ε και την προέκτασή της στο Ζ έτσι ώστε : Ε = 6, Ζ = 8 και Δ =. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων : α) β) ΣΚΗΣΗ 5 ο Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ( 90 ) φέρουμε τα ύψη του Δ, Ε και Ζ. α) Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη ; Στη συνέχεια να την γράψετε σωστά. β α γ α Δ. γ β α β Ε. α β γ β Ε β) ν α = 7, β = και γ = 5, να υπολογίσετε την προβολή της πάνω στην. 5

146 ΣΚΗΣΗ 6 Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος του Δ. ν = 7, =0 και υπολογίσετε : α) το τμήμα Δ. β) την πλευρά ο Δ 30, να ΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τρίγωνο με = 8 cm και = 30 cm. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά στο σημείο Δ. ν Δ = 9 cm τότε: α) Να βρείτε το μήκος της πλευράς. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. ΣΚΗΣΗ 8 Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο χορδές και Δ που τέμνονται σε ένα σημείο Μ. α) ν το σημείο είναι μέσο του τόξου Δ, να αποδείξετε ότι: i) Όταν η χορδή είναι κάθετη στη χορδή Δ, τότε Μ = ii) Όταν η χορδή δεν είναι κάθετη στη χορδή Δ, ισχύει η σχέση Μ = ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) ν για τις χορδές και Δ που τέμνονται στο Μ ισχύει ότι Μ =, να αποδείξετε ότι το σημείο είναι μέσο του τόξου Δ. ΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του. Με διαμέτρους τα τμήματα Ο και Ο γράφουμε τους κύκλους κέντρων Κ και Λ αντίστοιχα. Ένας τέταρτος κύκλος κέντρου Μ και ακτίνας ρ εφάπτεται εξωτερικά των κύκλων κέντρων Κ και Λ και εσωτερικά του κύκλου με κέντρο Ο. α) Να εκφράσετε τις διακέντρους ΚΜ, ΛΜ και ΟΜ των αντίστοιχων κύκλων ως συνάρτηση των ακτίνων τους, δικαιολογώντας την απάντησή σας. R β) Να αποδείξετε ότι ρ 3 6

147 ΣΚΗΣΗ 0 Ένα κινητό ξεκινάει από ένα σημείο και κινείται βόρεια 3 χιλιόμετρα, κατόπιν συνεχίζει 0 χιλιόμετρα ανατολικά, στη συνέχεια προχωράει χιλιόμετρα βόρεια και τέλος χιλιόμετρα ανατολικά καταλήγοντας στο σημείο Ε. α) ν από το σημείο Ε επιστρέψει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε, κινούμενο ευθύγραμμα, να βρείτε την απόσταση Ε που θα διανύσει. Μονάδες β) Τα σημεία, και Ε είναι συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 3 ΣΚΗΣΗ Κυρτό τετράπλευρο Δ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι διαγώνιοί του και Δ τέμνονται σε σημείο Μ, το οποίο είναι το μέσο της διαγωνίου Δ. Να αποδείξετε ότι : α) β) γ) Δ Μ Μ Δ Μ Δ Δ ΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ για το οποίο ισχύει ότι: β + γ = α. Φέρουμε τα ύψη Δ, Ε και τη διάμεσο Μ το μέσο της οποίας είναι το σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) ο 90 α Ε γ α 3 Μ 7

148 ΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και μία διάμετρός του. πό σημείο Ε στην προέκταση της διαμέτρου προς το, φέρουμε την εφαπτομένη Ε του κύκλου. Η κάθετη στην στο σημείο Ε, τέμνει την προέκταση της (προς το ) σε σημείο Δ. α) Να επιλέξετε τη σωστή ισότητα: i. Ε = Ε ii. Ε = Ε Ε iii. Ε = ΕΟ Ε iv. Ε = ΕΟ Ο β) Να αποδείξετε ότι: i. Δ = Ε ii. Ε = Ε + Δ ΣΚΗΣΗ Ιδιοκτήτης μεγάλης ακίνητης περιουσίας διαθέτει προς πώληση μια ιδιοκτησία του, η οποία περιλαμβάνει τρία διαδοχικά οικόπεδα με συνολική πρόσοψη 95 m σε ακτή θάλασσας, τα οποία αποτυπώνονται στο σχέδιο που ακολουθεί. Οι επιφάνειες της ιδιοκτησίας και των οικοπέδων είναι σχήματος ορθογωνίου τραπεζίου. Σημειώνεται ότι, ως πρόσοψη οικοπέδου θεωρείται το μήκος της πλευράς του οικοπέδου που συνορεύει με την ακτή της θάλασσας. (σημειώνεται ότι το σχέδιο δεν έχει γίνει υπό κλίμακα) α) Να υπολογίσετε το μήκος της πρόσοψης του κάθε οικοπέδου. β) ν τα μήκη των δυο άλλων πλευρών της ιδιοκτησίας είναι ανάλογα των αριθμών και, να υπολογίσετε την περίμετρο της ιδιοκτησίας. (Δίνεται ότι ) 8

149 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜΔ 9

150 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜΔ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα και τι καλείται πολυγωνική επιφάνεια; ς θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα ένα πεντάγωνο ΔΕ.Το πολύγωνο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν ένα χωρίο, που λέγεται πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από το ΔΕ. Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από τρίγωνο, τετράπλευρο,..., ν-γωνο λέγεται αντίστοιχα τριγωνικό, τετραπλευρικό,..., ν-γωνικό. Επίσης, δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα αντίστοιχα πολύγωνα είναι ίσα Τέλος ένα σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, λέγεται πολυγωνική επιφάνεια.. Τι καλείται εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου και πως συμβολίζεται αυτό ; Έστω, λοιπόν ένα πολυγωνικό χωρίο S. Όπως και στα ευθύγραμμα τμήματα, μέτρηση του χωρίου S λέμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο επίπεδο χωρίο σ, το οποίο επιλέγουμε ως μονάδα. Η σύγκριση αυτή οδηγεί σε μια σχέση της μορφής: S = λ σ, όπου λ θετικός αριθμός. Ο θετικός αριθμός λ λέγεται εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου S και συμβολίζεται με (S). (Στην περίπτωση μας είναι λ = 7,5 δηλαδή S= 7.5 σ ). Πολλές φορές το εμβαδόν ενός πολυγωνικού χωρίου ή μιας πολυγωνικής επιφάνειας θα το συμβολίζουμε απλά με το γράμμα Ε. Επίσης, στα επόμενα, θα λέμε εμβαδόν τριγώνου, τετραπλεύρου και γενικά πολυγώνου και θα εννοούμε το εμβαδόν του αντίστοιχου πολυγωνικού χωρίου. 50

151 3. Ποιες ιδιότητες (αξιώματα) δεχόμαστε ότι ισχύουν για το εμβαδόν ; Τι προκύπτει από τα αξιώματα αυτά ; Τι ονομάζουμε ισοδύναμα σχήματα και ποιο θεώρημα ισχύει για το εμβαδόν του τετραγώνου ; ια το εμβαδόν δεχόμαστε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες (αξιώματα): Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά. ν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή μια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων. ια παράδειγμα, για το εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου ΔΕΖ του (σχ. 5) έχουμε: (ΔΕΖ) = () + (ΔΖ) + (ΖΔΕ) Επίσης δεχόμαστε ότι: Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς είναι. πό τα παραπάνω αξιώματα προκύπτει ότι: ν ένα πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός άλλου πολυγώνου Π, τότε το εμβαδόν του Ρ είναι μικρότερο του εμβαδού του Π. Είδαμε παραπάνω ότι αν δύο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα, τότε έχουν ίσα εμβαδά. Το αντίστροφο είναι φανερό ότι δεν ισχύει. Δύο σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή ισεμβαδικά. Έτσι σχήματα που δεν είναι ίσα μπορούν να συγκρίνονται ως προς το εμβαδόν τους. Θεώρημα: Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου πλευράς α είναι α, δηλαδή: Ε = α.. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν ορθογωνίου. Θεώρημα Ι Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του. Δηλαδή αν α, β, οι πλευρές και Ε το εμβαδόν είναι: πόδειξη Έστω ένα ορθογώνιο Δ, με = α και Δ = β. Προεκτείνουμε την πλευρά Δ κατά τμήμα ΔΕ=α, την κατά Ι=β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΙΗΕ, το οποίο είναι φανερό ότι έχει πλευρά α+β και επομένως είναι: (ΙΗΕ) = (α + β) (). 5

152 Προεκτείνοντας τις Δ και σχηματίζονται τα τετράγωνα ΔΖΕ, ΙΘ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΘΗΖ που είναι ίσο με το Δ. Έτσι έχουμε (ΔΖΕ)=α, (ΙΘ) = β και (ΘΗΖ) = (Δ) () Είναι φανερό όμως ότι (ΙΗΕ) = (Δ) + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) + (ΔΖΕ), από την οποία με τη βοήθεια των () και () προκύπτει ότι: (α + β) = (Δ) + α + β. πό αυτή μετά τις πράξεις καταλήγουμε στη σχέση (Δ) = α β. 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν παραλληλογράμμου. Θεώρημα ΙI Το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή. όπου α, β οι πλευρές και υ α, υ β τα αντίστοιχα ύψη. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο Δ και ας φέρουμε το ύψος Ζ που αντιστοιχεί στη. Θα αποδείξουμε ότι (Δ)= Ζ. πό το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην προέκταση της. Τότε τα τρίγωνα Ζ και ΗΔ είναι ίσα (Z = H= 90, = Δ και = ), οπότε: (Ζ) = (ΗΔ) (). πό το σχήμα όμως έχουμε ότι (Δ) = (ABZ) + (ΖΔ), οπότε σύμφωνα με την () προκύπτει ότι (Δ) = (ΖΔ) + (ΔΗ) = (ΖΗΔ). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα I έχουμε (Δ)=(ΖΗΔ)=Δ Ζ= Ζ, που είναι το ζητούμενο. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τριγώνου. Θεώρημα IΙI Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος. πόδειξη Με πλευρές και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο Δ, το εμβαδόν του οποίου είναι (Δ) = α υ α (). Όμως τα τρίγωνα και Δ είναι ίσα, οπότε: () = (Δ) (). πό το σχήμα έχουμε ότι (Δ) = ()+ (Δ) η οποία, σύμφωνα με τις () και (), μετατρέπεται στην α υ α = () ή () = α υ α. 5

153 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τραπεζίου, ποιο πόρισμα προκύπτει από το θεώρημα αυτό ; Θεώρημα IV Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του όπου, β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο Δ (//Δ) με βάσεις =, Δ = β και ύψος υ. Φέρουμε τη διαγώνιο. Τότε έχουμε Ε = (Δ) = () + (Δ) (). λλά τα δύο τρίγωνα και Δ έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις, β αντίστοιχα και επομένως: () = υ και (Δ) = β υ (), Με αντικατάσταση των σχέσεων () στην () προκύπτει ότι δηλαδή το ζητούμενο. ΠΟΡΙΣΜ Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. πόδειξη φού για την διάμεσος δ ενός τραπεζίου ισχύει δ= τότε Ε = υ = δ υ. 8. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο με πόδειξη Φέρουμε το ύψος Δ το οποίο είναι και διάμεσος. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Δ, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε 53

154 9. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ρόμβου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. πόδειξη Είναι φανερό ότι (Δ) = (Δ) + (Δ) (). Επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούνται έχουμε: Με αντικατάσταση των () στην () προκύπτει ότι Ε = δ δ ΠΡΤΗΡΗΣΗ Ο προηγούμενος τύπος ισχύει και στην περίπτωση οποιουδήποτε κυρτού ή μη κυρτού, τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους. Πράγματι (Δ) = (Δ) + (Δ) = Δ Ο + Δ Ο = Δ (Ο + Ο) = Δ. 0. Έστω τρίγωνο. ν Μ διάμεσος του τριγώνου να αποδείξετε ότι : (Μ) = (Μ). πό την κορυφή να φέρετε τρεις ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τέσσερα ισοδύναμα τρίγωνα. i) Φέρουμε το ύψος Δ του τριγώνου (σχ. 5). Το Δ είναι και ύψος στα τρίγωνα Μ και Μ, οπότε έχουμε αφού το Μ είναι μέσο του. ii) πό το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι φορείς των διαμέσων Μ, Κ και Λ των τριγώνων, Μ και Μ αντίστοιχα. 5

155 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.να γράψετε τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού i) Τετραγώνου ii) Ορθογωνίου iii) Παραλληλογράμμου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση i) Ε = α ii) Ε = α β iii) Ε = β υ iν) Ε = β υ v) Ε = ( ) υ. Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο 6, πόσο είναι το εμβαδόν του; Η πλευρά του τετραγώνου α είναι : α =, άρα Ε =6 3. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α = 9, β = και είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευρά x. Να βρεθεί το x x = 36 x = 6. Σε ένα τρίγωνο είναι α < β. Με ποια ανισοτική σχέση συνδέονται τα υ α και υ β ; Είναι α υ α = β υ β αφού α < β άρα υ β < υ α. 5. ν ένας ρόμβος έχει μήκη διαγωνίων και 5, με τι ισούται το γινόμενο μίας πλευράς του επί το αντίστοιχο ύψος; ν α είναι η πλευρά του ρόμβου και υ το αντίστοιχο σ αυτή ύψος τότε είναι Ε = = α υ όπου δ, δ οι διαγώνιοι του ρόμβου. Οπότε α υ = 0 6. Ένας χωρικός αντάλλαξε έναν αγρό που είχε σχήμα τετραγώνου πλευράς 60 m με έναν άλλο σχήματος ορθογωνίου με πλάτος 0 και περίμετρο ίση με την περίμετρο του τετραγώνου. Έχασε ή κέρδισε ο χωρικός από αυτή την ανταλλαγή ; ιτιολογήστε την απάντηση. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 0m. Το μήκος του ορθογωνίου είναι 0 80 = 80. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε = 60 = 3600m και του ορθογωνίου είναι Ε = 0 80 = 300m Άρα ο χωρικός έχασε από την ανταλλαγή. 55

156 σκήσεις Εμπέδωσης. Στο εσωτερικό τετραγώνου Δ πλευράς α = κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΔΖ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των Δ, ΔΖ, Ζ και Ζ. α Κ Μ Ζ Δ (Δ) = = = 6 Τρ.ΖΔ ισόπλευρο πλευράς α 3 3 (ΖΔ) = = = 6 3 = 3 Φέρουμε ΖΚ και ΖΜ Δ. Τότε ΖΚ = Μ = (Ζ) =. ΖΚ = = = (Ζ) = (Δ) (Ζ) (ΔΖ) (ΖΔ) = 6. 3 = = 8 3. ν Μ τυχαίο σημείο της πλευράς Δ = 0 τετραγώνου Δ, τότε το άθροισμα (Μ) + (ΔΜ) είναι : 5, B: 0, : 50, Δ: 75, E: 00. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μ Δ Φέρουμε ΜΚ (Μ) =. ΜΚ = 0. 0 = 50, 0 επειδή όμως (Δ) = 0 = 00 Κ (Μ) + (ΔΜ) = Δίνεται τρίγωνο με = 6, = 8 και ˆ = 60 ο. Να βρεθούν: i) το ύψος, ii) το εμβαδόν (), iii) το ύψος Δ Ε 8 = ˆ = 60 ο ˆ = Πυθαγόρειο στο τρ.ε: 6 3 = 36 9 = 7 = Ε = = 3. 56

157 ii) (AB) =. Ε = = 3 iii) Ε = 8 3 = 5 Πυθαγόρειο στο τρ.ε: (AB) = 3 = + = 3. Δ = 3 3. Δ = 3 Δ = 3 3 = = = = 5. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. Έστω x, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε x + y = 7, οπότε y = 7 x και (Πυθαγόρειο): x y 5 x 7 x 5 x 9 x x 5 x x 0 x 7x 0 x = 3 ή x = ια x = 3 η εξίσωση y = 7 x y = Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = x y = 3. = 5. Δίνεται παραλληλόγραμμο Δ με = 0 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ = 5. Πάνω στις πλευρές Δ και παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε = Ζ. i) Να βρείτε το εμβαδόν του Δ. ii) φού πρώτα συγκρίνετε τα εμβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖΔ να βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά. Ε Δ i) (Δ) = 0. 5 = 50 Ζ ii) (ΕΖ) = (ΕΖΔ) αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Άρα 5 το καθένα. 57

158 6. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου Δ (Δ ) με Aˆ Bˆ, Δ = 5m, = 0m και = m. Ένας καινούργιος δρόμος περνάει παράλληλα προς τη 5 0 K Δ 3 Λ Δ και αποκόπτει μία λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι το οικόπεδο που απομένει; Πυθαγόρειο στο τρ.ηδ: Η = 5 Άρα (ΚΛΔ) = Δ. 3 = 3. 3 = 39 Έστω ΚΛΔ παραλληλόγραμμο ο καινούργιος δρόμος. ια να υπολογίσουμε την πλευρά του Δ, φέρουμε Η A. Τότε Η = = και ΔΗ = Η Δ = Δ = 0 5 = 5. = + 5 = 69 = 0 5 Όμως (Δ) = = = 0 Άρα (ΛΚ) = 0 39 = 7 m. 3 Δ = 3. 58

159 ποδεικτικές σκήσεις. ν Σ είναι σημείο μιας πλευράς παραλληλογράμμου Δ, να αποδείξετε ότι (Σ) + (ΣΔ) = (). Σ ρκεί να αποδείξουμε ότι (ΣΔ) = (Σ). Δ Τούτο συμβαίνει διότι έχουν ίδια βάση Σ και αντίστοιχα ύψη ίσα, αφού Δ Σ.. ν οι διάμεσοι Δ και Ε τριγώνου τέμνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε), ii) (Θ) = (ΔΕΘ) iii) (ΘΔ) = (ΘΕ). Θ Δ Ε i) Έχουν ίσες βάσεις Ε = Ε και ίδιο ύψος από το ii) Θυμόμαστε ότι Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα Έτσι (Ε) = () και (Δ) = (), οπότε (Ε) = (Δ). φαιρούμε, από τα δύο μέλη, το (ΘΔ). Τότε (ΔΕΘ) = (Θ) iii) Ομοίως είναι (Δ) = (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο πρώτα μέλη, το (Θ). 3. Δίνεται τρίγωνο και το βαρύκεντρό του Θ. πό σημείο Σ της διαμέσου Δ φέρουμε τις κάθετες ΣΕ, ΣΖ στις, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (Σ) = (Σ) ii). ΣΖ =. ΣΕ και iii) (Θ) = (Θ) = 3 () 59

160 i) Δ διάμεσος του τρ. (Δ) = (Δ) ΣΔ διάμεσος του τρ.σ (ΣΔ) = (ΣΔ) Σ Δ φαιρούμε κατά μέλη Ζ Σ Ε ii) (i) (Σ) = (Σ). ΣΖ =. ΣΕ. ΣΖ =. ΣΕ Δ Θ iii) Κατά το ii) έχουμε (Θ) = (Θ) και ομοίως = (Θ). Δ Άρα το καθένα = 3 ().Δίνεται τραπέζιο Δ (//Δ). ν Μ το μέσο της πλευράς του, να αποδείξετε ότι (Δ) = (ΜΔ). Έστω ΚΜΛ το ύψος του τραπεζίου. Λ Δ (Δ) = ( + Δ).ΚΛ Μ = K K + Δ Κ =. ΜΚ + Δ. ΜΛ = (. ΜΚ + Δ. ΜΛ ) =. Άρα και (Δ) = (ΜΔ). 5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτή. 60

161 Η Έστω Δ το τραπέζιο, Μ το μέσο της Δ και Κ ΜΚ η απόσταση του Μ από τη. Μ Θα αποδείξουμε ότι (Δ) =. ΜΚ Δ πό το Μ φέρουμε //, που τέμνει τις, Δ Θ στα Η, Θ αντίστοιχα. Τότε τρ.μδθ = τρ.μη άρα και ισεμβαδικά και ΗΘ παραλληλόγραμμο Έχουμε (Δ) = (ΘΜ) + (ΜΔΘ) = (ΘΜ) + (ΜΗ) = (ΗΘ) = β.υ =. ΜΚ 6. Δίνεται τρίγωνο με =, = και ˆ = 0 ο. Με πλευρές τις και κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα ΔΕ και ΖΘ αντίστοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ ii) να αποδείξετε ότι τα Δ, Ε, Θ είναι συνευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΖΘΕΔ είναι Δ Ε Θ Κ Ζ i) ˆ = 0 ο ˆ = 60 ο Νόμος συνημιτόνων στο τρ.εθ = + = 5 = 3 Άρα ΕΘ = 3 ii) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, στο τρίγωνο ΕΘ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, άρα είναι ορθογώνιο στο Ε. Άρα τα Δ, Ε, Θ είναι συνευθειακά iii) ια το εμβαδόν του τριγώνου, φέρουμε το ύψος του Κ. ˆ = 0 ο ˆ = 30 ο Κ = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Κ = = 3 Άρα Κ = 3 () =. Κ = 3 = 3 () (ΕΘ) = ΕΘ. Ε = 3 3 = () (ΔΕ) = = (3) (ΖΘ) = = () () + () + (3) + () (ΖΘΕΔ) = =

162 7. ν ω είναι η γωνία των διαγωνίων και Δ κυρτού τετραπλεύρου Δ, να αποδείξετε ότι (Δ) =. Δ ημω. (Δ) = () + (Δ) Δ =. +. ΔΔ B Ε Δ =. ( + ΔΔ ) =. (Ε. ημω + ΕΔ. ημω) =. (Ε + ΕΔ)ημω =. Δ ημω 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 8m μεγαλύτερο του πλάτους, θέλει να σχηματίσει, γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού, μια δενδροστοιχία πλάτους,5m. Έτσι αναγκάζεται να αγοράσει από τους γείτονές του 695 m. διαστάσεις του οικοπέδου. Ν K x Δ x + 3 x + 8 Λ x + 5 Μ Έστω Δ το αρχικό οικόπεδο με Να βρεθούν οι πλάτος Δ = x και μήκος Δ = x + 8, και ΚΛΜΝ το οικόπεδο μετά την επέκταση με ΛΜ = x + 5 και ΚΛ = x + 3. Είναι (ΚΛΜΝ) (Δ) = 695 (x + 3) (x +5) (x + 8) x = 695 x 5x 3x 5 x 8x x = 580 x = 58 το πλάτος και = 76 το μήκος. 6

163 Σύνθετα Θέματα. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο Δ. Στις προεκτάσεις των ημιευθειών,, Δ και Δ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και Ι, ώστε Ζ =, Η =, ΔΘ = Δ και Ι = Δ. Να αποδείξετε ότι: i) (ΙΘ) = (ΘΔ) = (Δ) ii) (ΙΘΔ) + (ΖΗ) = (Δ) και iii) (ΙΖΗΘ) = 5(Δ) Θυμίζουμε ότι: Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα. i) Θ διάμεσος του τριγώνου ΘΔΙ (ΙΘ) = (ΘΔ) Δ διάμεσος του τριγώνου Θ (ΘΔ) = (Δ) Θ Δ Ι Ζ ii) i) (ΙΘΔ) = (Δ) και ομοίως (ΖΗ) = () Προσθέτουμε κατά μέλη (ΙΘΔ) + (ΖΗ) = Η (ΙΘΔ) + (ΖΗ) = (Δ) iii) Σύμφωνα με το ii) θα έχουμε (ΘΗ) + (ΙΖ) = (Δ) Άρα (ΙΖΗΘ) = (ΙΘΔ) + (ΖΗ) + (ΙΘΔ) + (ΖΗ) + (Δ) = (Δ) + (Δ) + (Δ) = 5(Δ).. Σε τρίγωνο παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου Δ, το μέσο Ν του Μ και το μέσο Ρ του Ν. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 8 (). Φέρουμε το τμήμα Μ. ΜΡ διάμεσος του τριγώνου ΜΝ Μ Ρ Δ Ν (ΜΝΡ) = (ΜΝ) () Ν διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΝ) = (Μ) () () (ΜΝΡ) = (Μ) = (Μ) = MB (3) 63

164 Μ διάμεσος του τριγώνου Δ Μ διάμεσος του τριγώνου Δ (ΜΔ) = (Δ) και (ΜΔ) = (Δ) (3) (ΜΝΡ) = = = 8 (). 3. Στις πλευρές και Δ τετραγώνου Δ πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε Ζ = ΗΔ =. i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα Ζ και Η τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ. ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων Κ, Η και ΚΗ. iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΗΔ. τρ.ζ = τρ.η αφού είναι ορθογώνια με = και Ζ = Η = 3 Κ ˆ = ˆ λλά από το ορθ. τρίγωνο Ζ είναι Ζ ˆ + ˆ = 90 ο, άρα ˆ + ˆ = 90 ο Δ Έτσι, στο τρίγωνο ΚΖ είναι ˆ = 90 ο. Η ii ) Πυθαγόρειο στο τρ.ζ: 3 = + = + = = 5 Άρα Ζ = 5 6 Στο τρ.ζ με ύψος Κ: = Ζ. Κ Πυθαγόρειο στο τρ.δη: Πυθαγόρειο στο τρ.κη: = = 5. Κ Κ= 5 = Άρα Η = = = = = + = + 6 = = Άρα ΚΗ = iii) (ΚΗΔ) = (ΚΗ) + (ΔΗ) = Κ. ΚΗ + Δ. ΔΗ = = = =

165 .Θεωρούμε παραλληλόγραμμο Δ και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι i) (Ο) + (ΟΔ) = () και ii) (Ο) + (Ο) = (ΟΔ) Φέρουμε το ύψος ΚΟΛ. K Ο Δ Ο (Ο) + (ΟΔ) =.ΟΚ + Δ. ΟΛ = = Δ (ΟΚ + ΟΛ) = Δ Λ = Δ. ΚΛ = (Δ) () λλά, κάθε διαγώνιος παραλληλογράμμου χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα και, κατά συνέπεια ισεμβαδικά τρίγωνα. Δηλαδή () = (Δ) () (), () (Ο) + (ΟΔ) = () ii) Στα δύο μέλη της αποδεικτέας ισότητας προσθέτουμε το (Ο), οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι (Ο) + (Ο) + (Ο) = (ΟΔ) + (Ο), ή αρκεί () = (ΟΔ) + (Ο), που ισχύει από το i). 5.ν Δ και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (Δ) (ΚΛΜΝ) Έστω, οι διαγώνιοι του ρόμβου και Ο το κέντρο του. ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί () Πυθαγόρειο στο τρ.ο: + = πό την (), αρκεί να αποδείξουμε ότι ή αρκεί ή αρκεί = =. ή αρκεί 0, που ισχύει. 65

166 ΕΜΔ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου. Ποιοι τύποι προκύπτουν με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με τη βοήθεια του τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου δηλαδή τ = και των δύο κύκλων που συνοδεύουν το κάθε τρίγωνο δηλαδή του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο με ακτίνα R και του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου με ακτίνα ρ. Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι: όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου., όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. πόδειξη (i) ποδείξαμε ότι (ii) Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα Ι, Ι και Ι και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα Ι, Ι και Ι που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε: (iii) Θεωρούμε τη διάμετρο Δ. Τα τρίγωνα Η και Δ είναι όμοια, αφού B = H = και = Δ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως είναι Η/ = /Δ ή βγ = Rυ α οπότε έχουμε ότι υ α = με αντικατάσταση στον τύπο Ε = ζητούμενο. και αυ α προκύπτει το 66

167 . Ποιος είναι ο τριγωνομετρικός τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ; Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: πόδειξη ν A β= γ ημ. ν A >, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο Δ προκύπτει ότι: υ β = γ ημ εξ = γ ημ(80 - ) = γ ημ. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ β =γ ημ οπότε Όταν A =, τότε υ β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι. 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί ο νόμος των ημιτόνων. Νόμος των ημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι = = = R. πόδειξη ή ημ = ή = R. Όμοια προκύπτει = R, = R, από τις οποίες συμπεραίνουμε το ζητούμενο. Δίνεται τρίγωνο με α = 3, β = και γ = 5 (σχ.8). Να υπολογίσετε: (i) το εμβαδόν του, (ii) τα ύψη του, (iii) τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου, (iv) το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα μέσα των πλευρών του. πόδειξη 67

168 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.με την βοήθεια του τύπου Ε = βγημ, να αποδείξετε ότι Ε βγ Ε = β γ ημ βγ = βγ Η ισότητα ισχύει όταν ημ =, δηλαδή ˆ = 90 ο, δηλαδή σε ορθογώνιο τρίγωνο.σε τρίγωνο είναι () = 9 και ρ =,5. Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου; Ε = τ ρ 9 =,5 τ τ = 6 τ = 3.Ποιοι είναι οι τύποι υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου; πάντηση i) Ε = α υ α = β υ β = υ γ ii) Ε = β γ ημ = α γ ημ = β α ημ iii) Ε = τ ρ iν) Ε = R ν) Ε= ( )( )( ) 68

169 σκήσεις Εμπέδωσης.Σε παραλληλόγραμμο Δ είναι = 8, = 0 και = 3. Να βρείτε το εμβαδόν του. Με τον τύπο Ε = βρίσκουμε το εμβαδόν (). τ = (α + β + γ) = ( ) = 36 τ α = 36 0 = 6 τ β = 36 3 = τ γ = 36 8 = 8 () = = = =. (Δ) = () =. = 88.. Δίνεται τραπέζιο Δ (Δ ) με = 5, Δ =, = 3 και Δ = 5. Να βρείτε το εμβαδόν του και το ύψος του. 3 3 Λ 5 Κ Δ 5 Με τον τύπο τρίγωνο ΔΛ α = Λ =, β = Δ = 5, γ = ΔΛ = 3 τ = ( ) = = τ α = = 7 τ β = 5 = 6 τ γ = 3 = 8 ΔΚ = = Φέρουμε ΔΛ και το ύψος ΔΚ. Τότε ΛΔ παρ/μμο. Άρα ΔΛ = = 3 και = Λ = Λ = 5 Δ 5 = υπολογίζουμε το ύψος ΔΚ στο = (Δ) = ( + Δ). ΔΚ = (5 + ). = = 6. = 69

170 3.Δίνεται τρίγωνο με =, = 7 και ˆ = 60 ο. Να βρείτε το εμβαδόν του. Ε = β γ ημ = 7. ημ60ο = = 7 3..Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) με = 6 και = 8. Να βρείτε i) το εμβαδόν ii) το ύψος iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου. i) Ε =. = 6.8 = ii) Πυθαγόρειο: = + = Ε =. = iii) τ = ( ) = = 6 8 = = 00 = 0 0 = = 5 Ε = τρ ρ = ρ = =. 70

171 σκήσεις ποδεικτικές.ν σε τρίγωνο ισχύει βγ = α, να αποδείξετε ότι ˆ =. Είναι Ε = βγημ και Ε = α βγημ = α ημ = ˆ =..ν Ε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) E < τ(τ α) < ii) E = τ(τ α) = iii) E > τ(τ α) > i) E < τ(τ α) < τ(τ α) < < βγ < τγ + τβ τα βγ < τ (β + γ α) βγ < (α +β + γ) (β + γ α) ii) όμοια με = iii) όμοια με < βγ < αβ + αγ < + + < + βγ βα + γβ + γα 3.ν δύο τρίγωνα και είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι E πό τον τύπο Ε = έχουμε R R E R 7

172 .Σε τρίγωνο με ˆ φέρουμε τα ύψη Ζ και Η. Να αποδείξετε ότι (ΖΗ) = (). Όταν ˆ (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν () (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ () H γ Z β λλά () = βγ ημ () (ΖΗ) = () Όταν ˆ > (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ (3) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν Ζ (3) (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ () γ Η β λλά () = βγ ημ και συν = συν () (ΖΗ) = () = () 5.Σε τρίγωνο να αποδείξετε ότι: Είναι Ε =. E =. + + = + + = + + = = και κυκλικά. Άρα = = = 7

173 ε x M A O K B N y Σύνθετα Θέματα.i) Δίνεται γωνία xoy ˆ και σταθερό σημείο Κ στο εσωτερικό αυτής. πό το Κ φέρουμε μεταβλητή ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να ποδείξετε ότι το άθροισμα OKM είναι σταθερό. ii) Θεωρούμε τρίγωνο, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα, και που διέρχονται από το Κ. ν,,..., είναι 6 αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων Κ, Κ, Κ, Κ, Κ και Κ, να αποδείξετε ότι + + = i) Κατ αρχήν, με οριακές θέσεις της ευθείας ε μπορούμε να εντοπίσουμε την ποσότητα του αθροίσματος. Μια οριακή θέση της ε είναι να γίνει Κ Oy. Τότε το εμβαδόν (ΟΚΜ) γίνεται (ΟΚ) και το (ΟΚΝ) απειρίζεται, οπότε το μηδενίζεται, αφού το Ν εξαφανίζεται στο άπειρο. ντίστοιχα σκεπτόμαστε, όταν η ε γίνει Κ Ox. Εδώ να παρατηρήσουμε ότι το ΟΚ είναι παρ/μμο, άρα (ΟΚ) = (ΟΚ) Θα αποδείξουμε, λοιπόν, ότι OKM OKM = = Τα τρίγωνα ΟΚ, ΟΚΜ έχουν κοινό ύψος από το Κ, άρα = = = Ομοίως Άρα OKM = = = = + ή ότι = = 73

174 ii) πό το i), με τέμνουσα Κ, έχουμε + = c 5 6 και με τέμνουσα Κ, έχουμε 6 Κ 5 + = c 6 3 Άρα + = () Κυκλικά ανά δεύτερο δείκτη είναι + = () και + = (3) () + () + (3) + + = ν,, είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου, να αποδείξετε ότι () = = =. () = ( ) + ( ) ( ) = + ρ α ρ α = (γ + β α). () λλά α + β + γ = τ α + β + γ α = τ α γ + β α = (τ α) ρ α Ι α () () = (τ α) = Ομοίως οι άλλες δύο ισότητες..έστω τετράπλευρο Δ εγγράψιμο σε κύκλο. ν θέσουμε = α, = β, Δ = γ και Δ = δ, να αποδείξετε ότι ( ο Θεώρημα Πτολεμαίου) 7

175 Έστω R η ακτίνα του κύκλου. Εφαρμόζοντας τον τύπο Ε = R έχουμε (Δ) = (Δ) + (Δ) =.. = () R R R (Δ) = () + (Δ) =.. = () R R R () και () Δ (αδ + βγ) = (αβ + γδ) 75

176 ΕΜΔ Εμβαδόν και ομοιότητα. Να αποδείξετε ότι : αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. πόδειξη ς θεωρήσουμε δύο τρίγωνα και '' με εμβαδά Ε και Ε' αντίστοιχα. Τότε είναι Ε = αυ α και Ε' = α υ α, οπότε =. πό την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι: ν α = α, τότε = ν υ α = υ α, τότε =. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών στην περίπτωση που τα τρίγωνα και ''' είναι όμοια ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα Ι ν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. πόδειξη Έστω δύο όμοια τρίγωνα και ''' με A = A' και = B'. Τότε = = λ (), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. λλά, όπως και παραπάνω, είναι = () πό τις () και () προκύπτει ότι = λ. 3. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών ομοίων πολυγώνων ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα ΙΙ Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. πόδειξη ς θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα ΔΕ και '''Δ'Ε' με λόγο ομοιότητας: 76

177 Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές και ', οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. ν Ε, Ε, Ε 3 και Ε', Ε', Ε' 3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (), θα έχουμε:. Ποιο θεώρημα ισχύει για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ; Να αποδειχθεί το θεώρημα αυτό. Θεώρημα ΙIΙ ν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' με A = A' ή A + A' = 80 Τότε και στις δύο περιπτώσεις θα ισχύει ημ = ημ', οπότε από τις ισότητες Ε = β γ ημ και Ε' = β' γ'ημ'. με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι = που είναι το ζητούμενο. 5. Δίνεται τρίγωνο και ευθεία ε που διέρχεται από το και είναι παράλληλη προς την πλευρά. ν Μ σημείο της ε, να αποδείξετε ότι (Μ) = (). πόδειξη Φέρουμε τα ύψη Δ και ΜΖ των τριγώνων και Μ αντίστοιχα. Επειδή η ε είναι παράλληλη προς τη, προκύπτει ότι Δ = ΜΖ και επομένως τα τρίγωνα και Μ είναι ισεμβαδικά, επειδή έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη. 77

178 6. Θεωρούμε τραπέζιο Δ με βάσεις και Δ και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να αποδείξετε ότι: πόδειξη (i) Είναι (Ο) = (Δ) - (ΟΔ) = (Δ) - (ΟΔ) = (ΟΔ). (ii) Τα τρίγωνα ΟΔ και Ο είναι όμοια (Ô = Ô, = A ) με λόγο ομοιότητας AΔ και επομένως (OAΔ)/(Ο) = AΔ / (iii) Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν κοινή κορυφή και κοινό το ύψος από αυτήν, επομένως (OA)/(Ο) = Ο/Ο. πό την ομοιότητα όμως των τριγώνων ΟΔ και Ο έχουμε τι Ο/Ο = Δ/, οπότε (OA)/(Ο) = Δ/. 78

179 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης. Δύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και ( ) 3. ( ) ποιος είναι ο λόγος : : 3 : 3 5 Δ: 9 Ε: 9 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. ( ) ( ) 3.Δύο ρόμβοι Δ και Δ έχουν ˆ ˆ και. 5 Να υπολογιστεί λόγος ( ) ( ) φού ˆ ˆ οι γωνίες των ρόμβων θα είναι ίσες και επειδή επιπλέον ισχύει 5 οπότε ( ) 6 ( ) 5 οι ρόμβοι είναι όμοιοι με λόγο ομοιότητας λ = 5 3.Ένα ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ισοδύναμο με ένα τρίγωνο που έχει =36. ν είναι ˆ ˆ, ποιο είναι το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς ; ˆ ( ) ˆ = = 6 ( ) 36 79

180 σκήσεις Εμπέδωσης 3.Δύο τρίγωνα και έχουν α = α και. ν το εμβαδόν του είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του. = = 3 ( ) = 3 () ( ) = 3 30 ( ) =0 m.δίνεται παραλληλόγραμμο Δ με εμβαδόν 0 m. ν Μ σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε = Μ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Δ Φέρουμε τη διαγώνιο. Τα τρίγωνα Μ, έχουν ίδιο ύψος. Άρα (Μ) = () = (Δ) = 0 = 5 m 3.Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ και Ζ των προεκτάσεων των και, ώστε Δ = 3 και Ζ =. ν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του ΔΖ. Δ ˆ ˆ Ζ (ΔΖ) = 3 () = 3 30 = 0 m 80

181 .Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 75 m. Έστω Δ σημείο της πλευράς και Μ σημείο του Δ τέτοιο, ώστε AM M = 3. πό το Μ φέρουμε παράλληλο προς την πλευρά, που τέμνει τις και στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΕΖ. AM M = 3 AMM = 3 3 AM = 3 5 Ε M Ζ Δ τρ.εζ όμοιο του τρ. και με Θ. Θαλή A = 3 5 (ΕΖ) = 9 5 () (ΕΖ) = 9 75 = 7 m 5 Άρα (ΕΖ) = () (ΕΖ) = 75 7 = 8 m. 5.Δύο τρίγωνα και έχουν ˆ ˆ και ˆ ˆ =. αποδείξετε ότι α β = α β. ˆ ˆ ˆ ˆ = Άρα = = = = Να 8

182 Ζ Λ Ρ Κ Δ Ε ποδεικτικές σκήσεις.δίνεται τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Ρ. ν οι Ρ, Ρ και Ρ τέμνουν τις, και στα Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) =, ii) + + = και iii) + + = i) Φέρουμε τα ύψη ΡΚ, Λ των τριγώνων Ρ, αντίστοιχα και επειδή έχουν κοινή βάση, θα είναι = () + () + (3) Τρ.ΡΚΔ όμοιο του ΛΔ Άρα ii) Ομοίως και + + = = + + = + + = = = = = () () (3) iii) = ομοίως = = =. = Προσθέτουμε κατά μέλη και + + = = 3 = 8

183 .Δίνεται τρίγωνο με ˆ, ˆ και το ύψος του Δ. Στο ημιεπίπεδο (,) φέρουμε x και y. Πάνω στις x, y παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ, ώστε να έιναι Ε = Ζ = Δ. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). Ε Ζ x Ν y Μ Δ ˆ ˆ.. (ΕΜ) = (Δ) Ομοίως (ΖΝ) = (Δ) Προσθέτουμε (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). 3.Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές και Δ. Να αποδείξετε ότι (ΟΔ) = (Ο). Δ O Κ ˆ = = = ˆ ˆ.. (ΟΔ) = (Ο)..Δίνεται τρίγωνο. Ευθεία παράλληλη προς τη τέμνει την στο Δ και την στο Ε. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι AB AB Δ Ε Τα τρίγωνα Ε, ΔΕ έχουν ίδιο ύψος από το Ε, άρα AB () Τα τρίγωνα, Ε έχουν ίδιο ύψος από το, άρα AB = () 83

184 (), (), (3) AB = AB Θ.Θαλή = (3) 5.Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου Δ κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα ΕΖ, ΗΘ, ΔΙΚ και ΔΛΜ. Να αποδείξετε ότι Λ Μ Ζ Δ (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΔΙΛ) Ε Θ Η Φέρουμε τη διαγώνιο Δ. ˆ ˆ = =.. = (ΜΖ) = (Δ) και ομοίως (ΗΚ) = (Δ) Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = (Δ) Ι Κ Ομοίως (ΘΕ) + (ΔΙΛ) = (Δ) Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΔΙΛ) 6.Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και τρία πολύγωνα, και όμοια μεταξύ τους, που έχουν ως ομόλογες πλευρές, και 3 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) = ( ), όπου ( ), ( ) και ( ) 3 3 τα εμβαδά τους. ρκεί να αποδείξουμε ότι Πολύγωνο όμοιο του Ομοίως Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι = + = = = = =, ή που ισχύει. 8

185 E E O E Δ E3 Σύνθετα Θέματα.Θεωρούμε τετράπλευρο Δ και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. ν,, και είναι τα εμβαδά των τριγώνων Ο, Ο, ΟΔ 3 και ΔΟ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι =. ν υποθέσουμε ότι η 3 Δ είναι παράλληλη προς τη, τότε να αποδείξετε ότι i) =, 3 ii) =, iii) E, όπου Ε = (Δ) ρκεί να αποδείξουμε ότι = Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινό ύψος από το άρα = και ομοίως = Άρα = i) ρκεί να αποδείξουμε ότι + = +, δηλαδή ότι () = (Δ), 3 το οποίο συμβαίνει αφού Δ ii) φού =, η ισότητα = γίνεται 3 3 iii) E E = (αφού = ) 3 EE + (αφού E E 0 E + + E E + E 0 E E, που ισχύει. = = ) 85

186 . πό εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. ν,, είναι τα εμβαδά των τριών τριγώνων που 3 σχηματίζονται, να αποδείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών,, είναι όμοιο με το 3 ii) E + E + E = 3 E, όπου Ε = () i) Λόγω των παραλλήλων, είναι προφανές ότι καθένα από τα τρία τρίγωνα έχει ίσες γωνίες με το τρίγωνο ii) Ι Θ Ε 3 Ε Κ Σ Ε Δ Ζ Η ρκεί να δειχθεί ότι Τρ.ΣΔΖ όμοιο E + E E + E3 E = E E E E E = Ομοίως Άρα E E = = E + E E + E3 E E και E 3 E = = = + + = = = 3.Σε τρίγωνο φέρουμε τις διχοτόμους Δ, Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι () i) (ΔΕΖ) = ii) (ΔΕΖ) () Ζ Δ Ε i) Τα τρίγωνα ΖΕ, έχουν ˆ κοινή ( ) ( ) =. (ΖΕ) = () (ΖΕ) = () και κυκλικά ( )( ) 86

187 (ΔΖ) = ( )( ) (ΕΔ) = ( )( ) () () (ΔΕΖ) = () (ΖΕ) (ΔΖ) (ΕΔ) = = () ( )( () ) ( )( ) () ( )( ) = ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) () () = () = πράξεις στον αριθμητή.. = ii) (ΔΕΖ) () () () ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) που ισχύει. ().Δίνεται τρίγωνο και σημεία Κ, Λ των πλευρών, αντίστοιχα. πό τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη. K Η Ζ Λ νάλυση Έστω ΚΖ η μία από τις ζητούμενες ευθείες. Τότε (ΚΖ) = 3 () = 3 () ρκεί να υπολογίσουμε το τμήμα Ζ συναρτήσει γνωστών τμημάτων. 87

188 Τα τρίγωνα ΚΖ, έχουν κοινή τη γωνία ˆ (), ().. = 3 =.. 3Κ. Ζ =. Ζ =. 3 Σύνθεση. Πάνω στην τοποθετούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστε Ζ = και φέρουμε 3 την ΚΖ. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε και τη δεύτερη ζητούμενη ευθεία ΛΗ. () 88

189 ενικές 0 ου Κεφαλαίου.Θεωρούμε τρίγωνο και ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές και στα Δ και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: i) (ΔΕ) = (ΔΕ) ii) (Ε) = (Δ) iii) (BAE) + (Δ) = () με την επί πλέον υπόθεση ότι τα Δ, Ε είναι μέσα των Δ, αντίστοιχα. Ε i) Έχουν ίδια βάση και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού ΔΕ ii) Στα δύο μέλη της ισότητας του i) προσθέτουμε το (ΔΕ) iii) ρκεί να δειχθεί ότι (BAE) + (Δ) = (Ε) + (Ε), ή (Δ) = (Ε) Επειδή Δ διάμεσος του τριγώνου και επειδή ΔΕ Άρα (Δ) = (Ε) (Δ) = (Δ) (Δ) = (Ε).Θεωρούμε τρίγωνο και σημείο Δ της πλευράς του, ώστε Δ =, λ > 0. Να αποδείξετε ότι: i) (Δ) = () ii) (ABΔ) () iii) (Δ) 3 () Άρα Δ = i) Tα τρίγωνα Δ, έχουν ίδιο ύψος από το = πό την υπόθεση, όμως έχουμε = (Δ) = () 89

190 ii) (ABΔ) () Δ 0 0 που ισχύει iii) (Δ) 3 () () (Δ) 3 () () () 3 () που ισχύει 3.Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του Δ. Με τη θεωρία του εμβαδού να αποδείξετε ότι = (Θεώρημα διχοτόμου). ˆ ˆ =.. = () Tα τρίγωνα Δ, Δ έχουν ίδιο ύψος από το = () (), () =.Δίνεται τρίγωνο με β = 3γ, Δ μία διχοτόμος του και Ε μία διάμεσός του. Να αποδείξετε ότι: i) (AΔ) = 3 (Δ) ii) (Δ).(ΔΕ) = (Δ).(ΕΔ) iii) (ΔΕ) = 3 8 () 90

191 γ β=3γ Ε Δ i) ˆ ˆ =.. = 3 3 ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = Στο i) αποδείχθηκε ότι = () 3 Τα τρίγωνα ΕΔ, ΔΕ έχουν ίδιο ύψος από το Ε λλά, από Θ. Διχοτόμου, έχουμε = 3 3 Άρα = () 3 πό () και () iii) ρκεί να αποδείξουμε ότι υτά τα τρίγωνα έχουν ˆ κοινή. =. = = = 3 8 = 3 3 = (AΔ) = 3 (Δ) 3 3 = = 3 = Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = = 6cm και ˆ = 0 ο. i) Να βρεθεί το εμβαδόν του. ii) ν Ε είναι σημείο της τέτοιο, ώστε Ε = και Δ το ύψος του 3 τριγώνου, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕ. iii) ν η παράλληλη από το προς τη τέμνει την προέκταση της ΔΕ στο Ζ, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ. Δ Ε Ζ 9 i) () =. = 6. 6 ημ 0 0 = 8 3 = 9 3.

192 ii) Τα τρίγωνα ΔΕ, Δ έχουν κοινή τη γωνία ˆ.. 3 άρα (ΔΕ) = 3 (Δ) αλλά (Δ) = () = 9 3 άρα (ΔΕ) = = 3 3 iii) Το τρίγωνο ΕΖ είναι όμοιο του ΕΔ Άρα (ΕΖ) = (ΕΔ) (ΕΖ) = 3 3 = Θεωρούμε τραπέζιο Δ (Δ//) και τα μέσα Κ, Λ των Δ, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (ΛΚ) = (ΚΛΔ) ii) (Μ) = (ΜΔ), γι οποιοδήποτε σημείο Μ του ΚΛ. Κ Δ i) Τα δύο τραπέζια είναι ισοδύναμα, αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Μ ii) ΜΚ διάμεσος του τριγώνου ΜΔ Λ (ΜΚ) = (ΜΚΔ) () ΜΛ διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΛ) = (ΜΛ) () πό το i) έχουμε (ΛΚ) = (ΚΛΔ) (3) (3) () () (Μ) = (ΜΔ) 7.Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( ˆ = ) με = γ. Διαιρούμε την πλευρά σε ν ίσα τμήματα (ν φυσικός, ν ) και από τα σημεία διαίρεσης φέρουμε παράλληλες προς την. i) Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του γ τα εμβαδά των ν σχημάτων στα οποία διαιρέθηκε το τρίγωνο. ii) Χρησιμοποιώντας το (i) να αποδείξετε ότι (ν ) =. 9

193 i) Ρ λ Ρ λ- Ε λ Κ λ Κ λ- Κ Κ Έστω, λ =,,..., ν τα σημεία διαίρεσης οι παράλληλες στην. και Θα είναι και = = λ =. = =. για λ =,,..., ν ii)... = () = (ν ) =.. =. 8.Δύο τετράγωνα Δ και ΔΕΖΗ έχουν κοινή την κορυφή Δ και εμβαδόν 36 το καθένα. ν οι πλευρές και ΕΖ έχουν κοινό μέσο Μ, να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος ΜΖΗΔ. Δ Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά 6, αφού έχει εμβαδόν 36. (ΜΖΗΔ) = (ΜΔ) + (ΔΜΖΗ) () Ε M Η 6 3 (ΜΔ) = = 6 = 7 (ΔΜΖΗ) = = 7 Ζ () (ΜΖΗΔ) = 5 93

194 9.Τρία τετράγωνα, των οποίων τα μήκη των πλευρών είναι ακέραιοι αριθμοί, έχουν κοινή κορυφή και είναι τοποθετημένα το να πάνω στο άλλο, όπως δείχνει το σχήμα. ν = Δ και η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν 7, να βρεθεί το εμβαδόν του μικρότερου και του μεγαλύτερου τετραγώνου. B Δ y x x 7 Θέτουμε = y ακέραιος και = x = Δ με = y + x ακέραιο, άρα και x ακέραιος. Η διαφορά των εμβαδών μεσαίου-μικρού τετραγώνου είναι 7, άρα y x y = 7 y xy x y = 7 x y x = 7 () Επειδή x, y θετικοί ακέραιοι, θα είναι και ο y+x θετικός ακέραιος με y + x > x () x = και y + x = 7 y + = 7 y = 8 Εμβαδόν του μικρότερου τετραγώνου = y 8 = 6 Εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου = y x Δίνεται τρίγωνο και τρεις θετικοί αριθμοί λ, μ, ν. Να φέρετε δύο ευθείες παράλληλες προς τη, που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία μέρη ανάλογα των αριθμών λ, μ, ν. ν ΔΕ, ΖΗ είναι οι ζητούμενες, θα είναι Δ Ζ Ε τρ.δε όμοιο του τρ. Η () () Δ = (αλγεβρική λύση) ια τη γεωμετρική λύση, πρέπει το τμήμα Δ να κατασκευασθεί. () () 9

195 Κατασκευή του Δ. Σε ευθεία θεωρούμε τμήμα ΤΣ με μέτρο λ και τμήμα ΡΤ με μέτρο λ + μ + ν. Ρ λ+μ+ν Τ λ Σ Δ Με διάμετρο ΡΣ γράφουμε ημικύκλιο. Φέρουμε Τ ΡΣ. Πάνω στην Ρ θεωρούμε τμήμα. πό το φέρουμε παράλληλη στη ΡΣ, που τέμνει την Σ στο Δ. Το Δ είναι το ζητούμενο. πόδειξη Τρίγωνο ΣΡ ορθογώνιο με ύψος Τ Θ. Θαλή (), () () (). i) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν η Μ τέμνει τη στο Δ, να αποδείξετε ότι: α) Μ Δ β) = ii) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν οι ευθείες Μ, Μ και Μ τέμνουν τις πλευρές, και στα Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι να αποδείξετε ότι + = i) α) Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση Μ, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους,. Τότε = () Τρ. Δ όμοιο με το τρ. Δ Η () = = 95

196 i) β) ii) Ζ Μ Μ Δ Μ Ε Δ i)α) Άρα Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους ΜΜ, Τότε = () Τρ,ΔΜΜ όμοιο με το τρ.δ Η () = + = = και = + = = ( ) = = = = 96

197 ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΗ Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο Δ ( Δ ) και Ε το ύψος του. ν είναι = 3, Δ = 7 και = τότε, α) Να αποδείξετε ότι Ε 3 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΣΚΗΣΗ Σε ημικύκλιο διαμέτρου κέντρου Ο θεωρούμε σημείο του Δ. Η χορδή Δ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου Ο στο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Δ και Ο είναι όμοια. β) Δ Ο ΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =90ο ) με = και ύψος Δ = 5. α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος Δ. β) Να αποδείξετε ότι Δ = 9 5 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. ΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο και Δ εσωτερικό σημείο του. Φέρνουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές και. Η παράλληλη στην τέμνει την στο σημείο Ζ και η παράλληλη στην τέμνει την στο σημείο Ε. Θεωρούμε Κ και Λ τα μέσα των Δ και Δ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) (ΕΚΔ) (ΕΔ) β) (ΕΔΖ) (ΕΔΖ) γ) (ΚΕΖΛ) () 97

198 ΣΚΗΣΗ 5 Σε τρίγωνο θεωρούμε Δ εσωτερικό σημείο της και έστω Μ στο μέσον της Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Μ Δ β) Μ ΜΔ ΣΚΗΣΗ 6 Σε τετράγωνο Δ πλευράς α θεωρούμε σημείο Ε της πλευράς Δ έτσι, ώστε ΔΕ. ν ισχύει ότι ΕΔ Δ, τότε: 8 α) Να αποδείξετε ότι η πλευρά του τετραγώνου α είναι ίση με 8 cm. β) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος Ε. ΣΚΗΣΗ 7 Σε παραλληλόγραμμο Δ θεωρούμε Μ το μέσο της Δ. Προεκτείνουμε τη Δ προς το κατά Ε Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Μ Δ β) Δ Ε ΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται τρίγωνο με cm 3 cm και γωνία ˆ 30 o. α) Να αποδείξετε ότι cm. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. γ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. ΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται τρίγωνο Δ πλευράς α. Στην πλευρά παίρνουμε ένα τμήμα 3 Ε και στην Δ ένα τμήμα Ζ Δ. ν το εμβαδόν του πενταγώνου 5 5 ΕΔΖ είναι 76, να υπολογίσετε: α) το μήκος α της πλευράς του τετραγώνου Δ. β) Την περίμετρο του πενταγώνου ΕΔΖ. 98

199 ΣΚΗΣΗ 0 Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) τέτοιο ώστε να ισχύει α β γ. ν η προέκταση της διαμέσου του Μ τέμνει τον περιεγραμμένο κύκλο στο σημείο Ρ, να αποδείξετε ότι : α) μα α 3 β) α 3 ΜΡ γ) ()=6(ΜΡ) 6 ΣΚΗΣΗ Δίνονται δυο κύκλοι Ο,α και Κ,β με α β, οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο Μ. Φέρνουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα με, σημεία των κύκλων Ο,α και Κ,β αντίστοιχα. πό το Μ θεωρούμε την κάθετη στο, η οποία τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα Κ και στα σημεία Λ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) αβ ΜΛ β) α β ΛΝ αβ α β γ) ν Ε και Ε είναι τα εμβαδά των κύκλων Ο,α και Κ,β αντίστοιχα, τότε Ε Ε ΛΝ ΚΜΛ ΆΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο και σημεία Μ, Λ και Ζ πάνω στις πλευρές, και αντίστοιχα τέτοια, ώστε α) Να αποδείξετε ότι 3 ΜΛ β) Να αποδείξετε ότι Μ, ΜΖΛ 5 8 Λ και 3 γ) Να υπολογίσετε το λόγω των εμβαδών ΜΖΛ Ζ. 3 99

200 ΣΚΗΣΗ 3 Ένα οικόπεδο Δ σχήματος ορθογωνίου τραπεζίου ( 90 ) έχει πλευρές 0m, 60m και 30m. Ένας δρόμος αποκόπτει από το οικόπεδο το κομμάτι ΖΕΚ σχήματος παραλληλογράμμου. ν 0m και 0m τότε: α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του οικοπέδου που αποκόπτει ο δρόμος. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος (υ) του δρόμου. δ) Να υπολογίσετε την. ΣΚΗΣΗ Δίνεται ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου =R. Στην προέκταση του προς το, θεωρούμε ένα σημείο Μ, τέτοιο ώστε Μ=R. πό το Μ φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα Μ στο ημικύκλιο. Φέρουμε εφαπτόμενη στο ημικύκλιο στο σημείο η οποία τέμνει την προέκταση του τμήματος Μ στο σημείο Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Μ R β) ΜΟΜ = Μ ΜΔ γ) (ΟΔ)=(ΜΟ) ΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται δύο κύκλοι (Ο,8), (K,) με διάκεντρο ΟΚ = η οποία τους τέμνει στα σημεία και Δ αντίστοιχα. ν είναι κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δυο κύκλων και ΚΜ κάθετο τμήμα στην Ο τότε να αποδείξετε ότι: α) ΜK 6 3 β) (AOKB) 30 3 γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΜΟΚ δ) (Ο) = 6(ΔΚ) ΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται τρίγωνο και σημεία Μ, Λ, Ζ πάνω στις πλευρές, και αντίστοιχα τέτοια ώστε AM AB, Λ και BZ. 3 3 α) Να αποδείξετε ότι (ΜΛ) () 3 β) Να αποδείξετε ότι (MZ Λ ) 5 (AB ) 8 γ) Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών (AMZ Λ ) (AB ). 00

201 ΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται κύκλος (Κ,R) και μια διάμετρός του. πό σημείο Ε στην προέκταση της προς το μέρος του φέρουμε εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο και έστω το σημείο επαφής. Στο σημείο Ε φέρουμε κάθετη στην η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο Δ. Να αποδείξετε ότι : α) Το τετράπλευρο ΕΔ είναι εγγράψιμο. β) A AΔ AE BE AE. (AE) AE γ). (BE ) BE ΣΚΗΣΗ 8 Σε ισοσκελές τρίγωνο (=) προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα Δ. ν η προέκταση του ύψους Μ, τέμνει την Δ στο Ε, να αποδείξετε ότι: α) Ε ΕΔ 3 β) Ε γ) Δ ΕΔ 3 5 ΕΔ 0

202 ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 0

203 ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου. Έστω... ν ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές και έστω A = A =... = A ν = φ ν. Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι (ν - )80, θα έχουμε ν φ ν = (ν - ) 80 και επομένως 3. Να αποδείξετε ότι : Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. ς θεωρήσουμε τώρα δύο κανονικά πολύγωνα...τ, '''...Τ' με τον ίδιο αριθμό πλευρών ν. Τότε η γωνία καθενός είναι ν οπότε έχουμε: A = A, = ',..., Τ = Τ' (). Επίσης, αφού = =... = Τ και '' = '' =... = Τ'' θα έχουμε (). πό τις () και () προκύπτει ότι τα πολύγωνα... Τ και '''...Τ' είναι όμοια.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το που θεώρημα συνδέει τα κανονικά πολύγωνα με τον εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο. Θεώρημα I Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι. 03

204 πόδειξη Έστω Δ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο. Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, R) που διέρχεται από τις κορυφές,, του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρχεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ = R. Επειδή OB = O = R, το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές και επομένως = = σ, οπότε τα τρίγωνα Ο και ΟΔ είναι ίσα, γιατί έχουν: Ο = Ο, = Δ (αφού Δ... T κανονικό) και = - σ = - σ =. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ = OA = R. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O,R) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ,... Τ και επομένως το πολύγωνο είναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O,R), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O,α) εφάπτεται στις πλευρές του Δ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O,R) και ο εγγεγραμμένος (O,α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι. 5. Τι καλείται κέντρο του κανονικού πολυγώνου ; Τι ακτίνα του κανονικού πολυγώνου ; Τι απόστημα του κανονικού πολυγώνου ; Τι κεντρική γωνία του κανονικού πολυγώνου και τι περίμετρο του κανονικού πολυγώνου ; Το κοινό κέντρο των δύο κύκλων στους οποίους εγγράφεται σε και περιγράφεται κάθε κανονικό πολύγωνο λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου Η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του κανονικού πολυγώνου, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. Επειδή τα τόξα,,..., Τ είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες Ô, Ô,..., ΤÔ είναι ίσες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου. Το άθροισμα των πλευρών ενός κανονικού ν-γώνου καλείται περίμετρός του. Στα επόμενα, σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με R την ακτίνα του, με λ ν την πλευρά του, με α ν το απόστημά του, με ω ν την κεντρική του γωνία, με Ρ ν την περίμετρό του και Ε ν το εμβαδόν του. 0

205 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για τα στοιχεία του κανονικού ν-γώνου. Θεώρημα ΙI Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής σχέσεις: πόδειξη Έστω Δ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, = λ ν η πλευρά του και OH = αν το απόστημά του. (i) πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH +HA =OA, δηλαδή (ii) Επειδή = =... = Τ = λ ν, θα είναι Ρ ν = ν λ ν. (iii) Επειδή = =...= TA θα είναι Ô = Ô =... = ΤÔ = ω ν και αφού οι γωνίες Ô, Ô,... και ΤÔ έχουν άθροισμα 360, έχουμε ν ω ν = 360, δηλαδή ω ν = (iv) Τα τρίγωνα Ο, Ο,..., ΟΤ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε: αφού Ρ ν = ν λ ν. 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το πόρισμα της ομοιότητας των κανονικών ν-γώνων. ΠΟΡΙΣΜ Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους. πόδειξη Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα...τ και 'Τ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν 3). ν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα Ο και Ο''' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν Ô = 'Ô'' = και επομένως = =, όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. πό την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι: όπου λ ν, R, α ν τα συνήθη στοιχεία του...τ και λ' ν, R', α' ν τα στοιχεία του '''...Τ'. 05

206 ΠΡΤΗΡΗΣΗ ποδεικνύεται ότι, αν τα σημεία,,... ν διαιρούν έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα, τότε το πολύγωνο.. ν (σχ.6α) καθώς και το πολύγωνο,,... ν, που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά (σχ.6β) είναι κανονικά. 06

207 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αμβλείες ; πάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Ποιο είναι το απόστημα κανονικού πολυγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο; πάντηση Είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. 3. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι κανονικό όταν. έχει μόνο ίσες πλευρές. έχει μόνο τις γωνίες του ίσες είναι εγγράψιμο σε κύκλο και έχει τις πλευρές του ίσες πάντηση Σωστή απάντηση είναι η διότι οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του περιγεγραμμένου του κύκλου συνεπώς οι γωνίες του πολυγώνου θα είναι και αυτές ίσες σαν εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα οπότε το πολύγωνο θα είναι κανονικό. Μεταξύ των λ ν, α ν και R ισχύει. R. R R : (R ) Δ. Το σωστό είναι το διότι : R R (R ) 5. Μεταξύ των ω ν, φ ν ισχύει. ω ν + φ ν = ω ν + φ ν =. ω ν + φ ν =70 ο Δ. ω ν + φ ν = ω ν + φ ν = 80 = 80 ο 07

208 σκήσεις Εμπέδωσης.Να βρεθούν η γωνία και η κεντρική γωνία ενός κανονικού: εξαγώνου, δεκαγώνου και δωδεκαγώνου και και πενταγώνου, και και ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 08 ο, τότε το πλήθος των πλευρών του είναι α. 5 β. γ. 0 δ. 5 ε ν = 5 3.Σε δύο κανονικά πεντάγωνα ο λόγος των πλευρών τους είναι λ =. Ποιος είναι ο λόγος των αποστημάτων, των ακτίνων τους, των περιμέτρων τους και των εμβαδών τους. 5 = 5 = 5 5 R R = 5 = P5 P = 5 = 5 = = = Τα πλήθη, των πλευρών δύο κανονικών πολυγώνων είναι αντίστοιχα ρίζες των εξισώσεων: , 9. Να αποδείξετε ότι τα πολύγωνα είναι όμοια. 08

209 Η εξίσωση , με σχήμα Horner, γίνεται ( 5) ( 3) = 0 5 = 0 ή 3 = 0. Επειδή ο ν είναι φυσικός αριθμός, έχουμε 3 > 0. Άρα ν = 5 Ελέγχουμε αν η τιμή ν = 5 επαληθεύει την εξίσωση = που ισχύει. Έτσι, οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα μόνο το 5, άρα τα πολύγωνα είναι κανονικά πεντάγωνα, άρα είναι όμοια. 5. Να αποδείξετε ότι το μόνο κανονικό πολύγωνο με γωνία οξεία είναι το ισόπλευρο τρίγωνο ν < άρα ν = ν ένα κανονικό ν γωνο και ένα κανονικό μ-γωνο (μ > ν) είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι i) ii) > i) Είναι ii) > < = R και > = ( > R > 0 ) > 0 > 0 + = = < (i) = + = ( ) 09

210 7. Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο ΔΕ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Να αποδείξετε ότι : i) Κάθε διαγώνιος χωρίζει το πεντάγωνο σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, ii) Η διχοτόμος της γωνίας ˆ είναι κάθετη στην πλευρά Ε, iii) Δύο διαγώνιοι που δεν έχουν κοινό άκρο σχηματίζουν με δύο πλευρές του πενταγώνου ρόμβο και iv) ν Η είναι το σημείο τομής της με τη Δ, τότε i) Φέρουμε τη διαγώνιο. = τρίγωνο ισοσκελές. =. Η ΕΔ ΔΕ τραπέζιο με Ε = Δ, άρα ισοσκελές. ii) Ε Ο Δ H M Μ η διχοτόμος = 5 ˆ = 0 = 36 ˆ 8 0 ˆ ˆ ˆ ˆ Μ Ε iii) Όπως είναι ΕΔ//, έτσι είναι και Ε Δ, άρα ΕΔΗ παραλληλόγραμμο και επειδή Ε = ΕΔ, είναι ρόμβος πλευράς. 5 5 iv) ρκεί να δείξουμε ότι =. Η 5 ρκεί να δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το Η, το οποίο ισχύει διότι ˆ κοινή και ˆ = ˆ

211 ποδεικτικές σκήσεις. Το δάπεδο ενός δωματίου στρώθηκε με πλακίδια σχήματος κανονικών πολυγώνων με πλήθος πλευρών λ, μ, ν, όπου λ μ ν λ. Να αποδείξετε ότι + + = Θα υπάρχει σημείο του δαπέδου που θα είναι κοινή κορυφή των τριών πολυγώνων. 0 Άρα = = = = ν ένα πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε δύο ομόκεντρους κύκλους, να αποδείξετε ότι είναι κανονικό. Τα αποστήματα των χορδών-πλευρών είναι ίσα σαν ακτίνες του μικρού κύκλου. Άρα χορδές-πλευρές του πολυγώνου ίσες. Κάθε γωνία του πολυγώνου είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε τόξο (ν-)σ. Άρα γωνίες του πολυγώνου ίσες. 3. ν,,, Δ είναι διαδοχικές κορυφές ενός κανονικού ν γώνου (ν ), να αποδείξετε ότι Ο Η Μ (παραπληρωματικές της =. Δ. ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο : =. ΗΜ.=.ΗΜ Δ Θ ) ρκεί να αποδείξουμε ότι Δ = ΗΜ Φέρουμε και ΔΘ. Είναι τρ.η = τρ.δθ, αφού ) ορθογώνια ) = Δ και 3) ˆ ˆ Άρα Η = Θ, άρα και ΗΜ = ΜΘ. ΗΘΔ ορθογώνιο Δ = ΗΘ = ΗΜ

212 . ν είναι το εμβαδόν ενός κανονικού ν-γώνου (ν ), εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R), να αποδείξετε ότι κανονικού ν-γώνου ακτίνας R Ο Κ = PR, όπου P η περίμετρος του Θεωρούμε = = οπότε =. Φέρουμε τις ακτίνες Ο, Ο, Ο οπότε ΟΚ απόστημα του ν-γώνου. = PR ν (Ο) = ν. R ν Ο. Κ = ν Κ R που ισχύει. 5. ν είναι πλευρά κανονικού ν-γώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο και η πλευρά και το απόστημα αντίστοιχα κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι R. =.. Τα δύο πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών (αφού R = R) R. =.. 6. ν E,,, είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοιχα με τις πλευρές α, β, γ ορθογωνίου τριγώνου ( ˆ = ), να αποδείξετε ότι + = E. Τα τρία πολύγωνα είναι όμοια, αφού έχουν ίδιο πλήθος πλευρών. (α) πολύγωνο όμοιο του (β) (α) πολύγωνο όμοιο του (γ) Άρα + = + = = από το Πυθαγόρειο.

213 Σύνθετα Θέματα. Οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι υπάρχουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες μπορούν να καλύψουν το επίπεδο γύρω από ένα σημείο. Τα κανονικά αυτά πολύγωνα είναι τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα τετράγωνα και τα κανονικά εξάγωνα. Να αποδείξετε την αλήθεια του ισχυρισμού αυτού των Πυθαγορείων. Θεωρούμε τον τύπο σε μοίρες. Έστω ότι απαιτούνται κ το πλήθος κανονικά ν-γωνα. Τότε 360 κ. = 360 κ. ( 80 ) = 360 κ. ( ) = κ. (ν ) = ν κ = κ φυσικός φυσικός ο ν διαιρεί τον ν = ή ή ν = 3 ή ή 6. Έστω κανονικό ν-γωνο και σημείο Σ στο εσωτερικό του. ν d, d,..., d είναι οι αποστάσεις του Σ από τις πλευρές του ν-γώνου, να αποδείξετε ότι d + d d = ν., όπου το απόστημα του ν-γώνου. Ο Σ ν 3 Κ ν Κ Κ ) + (Σ 3 Είναι (Σ d + ) (Σ d Έστω... το κανονικό ν γωνο, ν Σ, Σ,..., Σ οι αποστάσεις d, d,..., d και Ο το κέντρο. Φέρουμε τις Σ, Σ,..., Σ τις Ο, Ο. ( d + d d ) = ν d + d d = ν. ) = (... ) ν d = ν (Ο ) και 3

214 3. Σε κανονικό οκτάγωνο Δ... Κ η πλευρά προεκτεινόμενη τέμνει την προέκταση της ακτίνας Ο στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι Μ = Δ. Θ Η Ζ Τα σημεία, Θ είναι απέναντι κορυφές του δεκαγώνου, άρα η Θ είναι διάμετρος.. Ι Κ Ο σ Ε Δ = 3σ = Δ = Θ, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι Μ = Θ ή ότι ˆ = ˆ. Μ ˆ = ˆ =

215 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,R) τετράγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του R. Έστω ένας κύκλος (Ο,R). ν φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους και Δ, θα είναι Ô = Ô = ÔΔ = ΔÔ = 90, οπότε = B = Δ = Δ και επομένως το Δ είναι τετράγωνο. πό το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο Ο με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε λ = = Ο + Ο = R + R = R, από την οποία προκύπτει ότι:. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,R) ένα κανονικό εξάγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του R. Έστω κύκλος (Ο,R) και η πλευρά του κανονικού εξαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον (Ο,R). Τότε Ô = ω 6 = 60 και επειδή OA = OB (=R) το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο. Άρα AB = OA = R, δηλαδή Έτσι για την εγγραφή κανονικού εξαγώνου σε κύκλο, παίρνουμε πάνω στον κύκλο έξι διαδοχικά τόξα, B, Δ, ΔΕ, ΕΖ και Ζ με αντίστοιχη χορδή R, το καθένα, οπότε το ΔΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο. Επειδή λ 6 = R, από τη βασική σχέση 5

216 3. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,R) ένα ( κανονικό ) ισόπλευρο τρίγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του R. ν τα σημεία,,, Δ, Ε και Ζ διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα, τότε τα σημεία,, Ε είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, αφού = Ε = Ε = 0. Επειδή Δ = 80, η Δ είναι διάμετρος και επομένως το τρίγωνο Δ είναι ορθογώνιο, οπότε λ 3 = = Δ - Δ = (R) - R = 3R. Να γίνει ένας πίνακας με τις πλευρές και τα αποστήματα των κανονικών πολυγώνων,όπως δίνονται συναρτήσει των ακτινών τους. 5. Να εγγράψετε σ ένα κύκλο (Ο,R) ένα κανονικό δεκάγωνο (με γεωμετρική κατασκευή) και κατόπιν να υπολογίσετε την πλευρά και το απόστημά του ως συνάρτηση του R. Έστω = λ 0 η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο,R). Η κεντρική γωνία AÔB είναι 360 /0 = 36 και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου Ο είναι A = B = 7. Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο Δ της γωνίας ΟA τα τρίγωνα ΔΟ και Δ είναι ισοσκελή, αφού είναι ΔAΟ = 36 = AÔB και Δ = A + Ô = = 7 = B. Επομένως, ΟΔ = Δ = = λ 0 και Δ = R - λ 0. Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο Ο προκύπτει ότι: 6

217 και επειδή λ 0 = > Δ = R - λ 0 (αφού Δ > AΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ 0 είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα R σε μέσο και άκρο λόγο. ια την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο, διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξα,,..., που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο. 6. Σε δοσμένο κύκλο, να εγγραφεί κανονικό οκτάγωνο και να υπολογισθούν η πλευρά του και το απόστημά του. Εγγράφουμε στον κύκλο το τετράγωνο Δ και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές,, Δ και Δ. Τότε το Ε...Θ είναι το ζητούμενο οκτάγωνο. ν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΕΗ που αντιστοιχεί στο Ε, επειδή το τρίγωνο ΗΕ είναι ορθογώνιο και η κάθετη στην ΕΗ, έχουμε Ε = ΕΗ ΕΙ = R (R - OI) και τελικά, αφού Ε = λ 8 και ΟΙ = α, έχουμε: 7. Ένα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Να εγγραφεί στον ίδιο κύκλο κανονικό ν - γωνο και να αποδειχθεί ότι λ ν = R (R - α ν ). ν πάρουμε τα μέσα των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές του κανονικού ν-γώνου, ο κύκλος διαιρείται σε ν ίσα τόξα. Έτσι προκύπτει το εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές. Έστω = λ ν και Μ το μέσο του τόξου. Τότε Μ = λ ν και ΟΜ. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΗΜ έχουμε: ΠΡΤΗΡΗΣΗ 7

218 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης.Να χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις δικαιολογώντας την απάντηση σας. i) 6 3 Σ Λ ii) 3 6 3R( 3) Σ Λ R iii) 3 6 ( 3) Σ Λ πάντηση i) R 3R R R 6 3 ii) 3 6 R R R 3 = R( 3) 3R( 3) R R R 3 R iii) 3 6 ( 3). ν,,, Δ διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (Ο, R) ώστε = R, = λ, Δ = R, να εξηγήσετε γιατί η Δ είναι διάμετρος του κύκλου πάντηση = R AB 90 ο, = λ B =30 ο και Δ = R Δ = 60 ο Οπότε AB + B + Δ = 90 ο + 30 ο + 60 ο = 80 ο, άρα Δ διάμετρος 3. ν,, διαδοχικά σημεία ενός κύκλου (Ο, R) ώστε AB =0 ο και B =60 ο, η περίμετρος του τριγώνου είναι A (3 3)R. R. ( 3)R Δ. (3 )R Δικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση AB =0 ο = λ 3 = R 3, B =60 ο = λ 6 = R 8

219 AB + B =0 ο +60 ο = 80 ο οπότε η είναι διάμετρος συνεπώς = R Η περίμετρος του τριγώνου είναι + + = R 3+R+R=R(3+ 3 ) σωστό το.. Στο παρακάτω σχήμα Μ R Ο Η Η γωνία Μ είναι. 30 ο.5 ο.50 ο Δ. 60 ο Ε. 75 ο πάντηση Σωστή απάντηση είναι η Δ διότι : ΟΗ= R = α 3 οπότε AB = 0 ο Επομένως ˆ = 60 ο 9

220 σκήσεις Εμπέδωσης. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο,R). = = R 3 R = R 3 = = 3 R R 3 3R 3 = 6 6. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 0cm και απόστημα 5 3cm. Να βρεθεί η πλευρά του και το εμβαδόν του. R = 00 = = 5 = 00 = 0cm 0 3 R = ν = 6 6 = = 3 R R 3 = 6 6 3R 3 = = 50 3 cm 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 8cm και πλευρά = 8 βρεθεί το απόστημά του και το εμβαδόν του. = 8 = R = ν = R cm cm.. Να.Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα AB = 60 ο, B = 90 ο και = 0 ο. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου Δ. 0

221 Δ 0 0 Λ AB = 60 ο = = R 6 B = 90 ο = = R = 0 ο Δ = = R 3 3 Ο 60 0 K 90 0 = 360 ο 60 ο 90 ο 0 ο = 90 ο Άρα Δ = = R = B Δ Δ τραπέζιο. Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. R R 3 R ΛΚ = ΟΛ + ΟΚ = (Δ) = R R 3 = R R 3 3 R R = 3 = 3

222 ποδεικτικές σκήσεις. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3cm. Να βρεθεί η ακτίνα του σε ορθές 8 8.ν = 8.ν = ν = = = 3 R R 3 = 3 R R = R =.Σε κύκλο (Ο,R) και εκατέρωθεν του κέντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του και Δ, ώστε = R και Δ = R Ο Λ 60 0 K Δ Να υπολογισθούν οι μη παράλληλες πλευρές και Δ του τραπεζίου Δ, το ύψος του και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του R. = R = 6 AB = 60 ο Δ = R 3 Δ = = 0 ο 3 Δ εγγεγραμμένο τραπέζιο ισοσκελές. = Δ λλά = 360 ο 60 ο 0 ο = 80 ο Άρα = 90 ο = Δ = R Φέρουμε το ύψος ΛΚ του τραπεζίου από το κέντρο Ο. R R 3 R ΛΚ = ΟΛ + ΟΚ = (Δ) = R R 3 = R R 3 3 R R = 3 = 3

223 3.Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R η πλευρά και το απόστημα ενός κανονικού -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο.R). Η Δ Ο Κ Θεωρούμε = = οπότε = = R 6 Φέρουμε τη διάμετρο ΚΟΔ οπότε ΟΚ = = R 3 6 άρα Κ = Ο ΟΚ = R R 3 Κ = Τρίγωνο Κ ορθογώνιο με ύψος Κ AB = R Είναι R 3 R R 3 R = = R 3 R 3 AB = Δ. Κ = A = R 3 R R 3 R R R 3 R 3. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Θεωρούμε = = οπότε = = R 6 Ο Φέρουμε τις Ο, Ο, Ο, είναι δε Ο Κ A. R.R E 6 O 6 6 3R 3

224 Σύνθετα Θέματα. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και χορδή του Δ =. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε, 6 που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρωθεν του Ο παίρνουμε σημεία,, ώστε Ο = Ο =. ν Μ το μέσο της Δ, να αποδείξετε ότι 3 + =. Είναι Ο = Ο = = R 3 ε Ο M Δ και ΟΜ Δ, άρα ΟΜ = = R 3 6 ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο Μ: + = O + = R 3 3R = 3R = + R = = + R + R R R = R =. πό το σημείο εκτός κύκλου (Ο,R) φέρουμε τέμνουσα, ώστε =. ν Ο = R 7, να αποδείξετε ότι = και στη συνέχεια να 3 υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Ο. Έστω = = x Ο Δύναμη του σημείου : AB. A = R Κ x x.x R 7 R x 7R R x 3R x = R 3 = 3 Φέρουμε ΟΚ δηλαδή ΟΚ = = R 3 (Ο) =. ΟΚ = R 3 R = R 3

225 3. Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία,,, ώστε = και 6 =. ν Μ το μέσο της και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της 3 Μ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, το τμήμα ΜΔ. M Δ = και = 6 3 A = 60 ο και = 0 ο = 80 ο άρα διάμετρος και ˆ = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Μ: = + = = R + R + 3R Άρα Μ = R 7 Δύναμη του σημείου Μ: Μ. ΜΔ = Μ. Μ R 7 ΜΔ = R 3 3R ΜΔ = 7 = 7 7 R 3 3R = 3R 7 R 3 = = 7R 5

226 Μήκος κύκλου. Πως γίνεται η προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα ; Με τη βοήθεια της περιμέτρου κανονικών πολυγώνων προσεγγίζουμε στη συνέχεια την έννοια του μήκους κύκλου. ς θεωρήσουμε έναν κύκλο (O,R) και ας εγγράψουμε σε αυτόν διαδοχικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα κανονικό 6- γωνο, ένα κανονικό -γωνο και γενικά ένα πολύγωνο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρών από το προηγούμενο. Καθώς ο αριθμός των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλασιάζεται, από το σχήμα φαίνεται ότι: "το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο". Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν αντί εγγεγραμμένων θεωρήσουμε κανονικά πολύγωνα περιγεγραμμένα στον κύκλο (O,R) και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος των πλευρών τους. ν θεωρήσουμε λοιπόν την ακολουθία (Ρ ν ) των περιμέτρων των κανονικών πολυγώνων των εγγεγραμμένων στον κύκλο (O,R) και την ακολουθία (Ρ' ν ) των περιμέτρων των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων γύρω από τον ίδιο κύκλο, τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός L μεγαλύτερος όλων των όρων της ακολουθίας (Ρ ν ) και μικρότερος όλων των όρων της (Ρ' ν ) με την εξής ιδιότητα: καθώς το ν διπλασιάζεται, οι όροι των ακολουθιών (Ρ ν ) και (Ρ' ν ) προσεγγίζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό L. Ο αριθμός L (που είναι το κοινό όριο των ακολουθιών και ανεξάρτητος από την επιλογή κανονικών πολυγώνων) λέγεται μήκος του κύκλου (Ο,R).. Πως ορίστηκε ο π και ποιος τύπος μας δίνει το μήκος του κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας R ; Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε πρώτος ότι ο λόγος τη διάμετρό του είναι σταθερός, δηλαδή είναι ο ίδιος για κάθε κύκλο. Η σταθερή αυτή τιμή του λόγου του μήκους του κύκλου προς συμβολίζεται διεθνώς με το Ελληνικό γράμμα π (αρχικό της λέξης περιφέρεια) δηλαδή κύκλου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση = π, οπότε προκύπτει ότι το μήκος L του Ο αριθμός π είναι ένας άρρητος, υπερβατικός αριθμός και μια προσέγγισή του, που στην πράξη χρησιμοποιείται, είναι π 3,. Ο ρχιμήδης χρησιμοποιούσε ως προσέγγιση του π το. 6

227 3. Τι καλείται τεθλασμένη γραμμή, εγγεγραμμένη σε τόξο ; Έστω ένα τόξο ενός κύκλου (O,R). Μία τεθλασμένη με άκρα τα σημεία, και τις άλλες κορυφές της σημεία του τόξου λέγεται εγγεγραμμένη στο τόξο. Στην περίπτωση που οι πλευρές της είναι ίσες, λέγεται κανονική τεθλασμένη.. Τι καλείται τεθλασμένη γραμμή, περιγεγραμμένη σε τόξο ; Μια τεθλασμένη με άκρα τα, και πλευρές εφαπτόμενες του τόξου λέγεται περιγεγραμμένη τεθλασμένη στο τόξο. Η έννοια της κανονικής περιγεγραμμένης ορίζεται, όπως στην περίπτωση της εγγεγραμμένης. 5. Πως προσεγγίζεται το μήκος ενός τόξου ; πό ποιους τύπους δίνεται και ποια σχέση προκύπτει από αυτούς ; Το μήκος του τόξου κύκλου (O,R) ορίζεται όπως και το μήκος του κύκλου. Δηλαδή το μήκος του τόξου είναι ο μοναδικός θετικός αριθμός l τον οποίο προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο τα μήκη Ρ ν και Ρ' ν των κανονικών τεθλασμένων γραμμών των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων αντίστοιχα στο τόξο, καθώς το ν διπλασιάζεται. Επειδή ο κύκλος είναι τόξο 360 με μήκος πr το τόξο θα έχει μήκος ένα τόξο μ θα έχει μήκος οπότε Επίσης, ένα τόξο κύκλου με μήκος R λέγεται ακτίνιο (rad). Άρα ένα τόξο α rad έχει μήκος αr, δηλαδή πό τις () και () προκύπτει ότι =. 6. Σε κύκλο (O,R) θεωρούμε διάμετρο και τις χορδές και, ώστε =cm και = cm. Να βρεθεί το μήκος του κύκλου και τα μήκη των τόξων και είναι μικρότερα του ημικυκλίου. Επειδή η είναι διάμετρος, η γωνία θα είναι ορθή, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: = + ή (R) = + ( ) ή R = 6, δηλαδή R =. Το μήκος L του κύκλου θα είναι L = πr = π cm. Επειδή = = επομένως το μήκος του θα είναι: θα είναι = 30, οπότε = 60 και 7

228 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης. ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στην στήλη Στήλη Μήκος κύκλου ακτίνας R Μήκος τόξου μ ο σε κύκλο ακτίνα R Μήκος τόξου α rad σε κύκλο ακτίνα R Στήλη αr πr R 360 αr R 80.Το μήκος L τόξου ενός κύκλου ακτίνας R με χορδή λ 6 είναι.6r. πr 3 πr Δ.πR Ε. 3 R Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση. Σωστό είναι το, αφού η χορδή του τόξου είναι η λ 6, το τόξο θα είναι 60 ο, άρα το μήκος του είναι L = R R πr 8

229 Δ σκήσεις Εμπέδωσης.Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία,, και Δ. ν L, L, L και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους,, Δ και Δ 3 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι L + L + L = L. 3 L + L + L = = ( + + Δ) = Δ = = L.Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 0cm. R 3 Η ακτίνα του κύκλου θα είναι το απόστημα = L = 5 3 = Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά κανονικού 0-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. Oι μοίρες του τόξου είναι μ = = 36. Το μήκος του τόξου θα είναι R.5.36 cm Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. Να αποδείξετε ότι R = ρ. Ο κύκλος ακτίνας R έχει μήκος R, άρα διανύει απόσταση ν. R. Ο κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος, άρα διανύει απόσταση ν.. Διανύουν, όμως, την ίδια απόσταση Άρα ν. R= ν. R = ρ. 9

230 5. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και τα διαδοχικά του σημεία,,, ώστε να είναι = R και = R 3. Να βρεθούν τα μήκη των τόξων AB, B και ως συνάρτηση του R. = R AB = 90 ο = R 3 B = 0 ο = = R90 = 80 R0 80 R = R 3 = 360 ο 90 ο 0 ο = 50 ο = R50 80 = 5 R 6 30

231 ποδεικτικές σκήσεις.με διάμετρο την ακτίνα Ο ενός κύκλου (Ο,R) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο και τον κύκλο (Κ) Στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τόξα και έχουν ίσα μήκη. Έστω θ σε μοίρες η γωνία ˆ Δ ΚΔ = ΚΟ ˆ = θ ˆ = θ σαν εξωτερική του τριγώνου ΚΟΔ θ O K = R 80 = R 80 = R 80.Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύκλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντίστοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσωτερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο. Άρα Έστω Ο το κέντρο των δύο ομόκεντρων κύκλων και Κ το κέντρο του τρίτου. Ονομάζουμε, τα σημεία επαφής του κύκλου (Κ) με το μεγάλο και μικρό κύκλο (Ο) αντίστοιχα. Οπότε τα και θα ανήκουν στη διάκεντρο ΟΚ. Ονομάζουμε L το μήκος του μεγάλου κύκλου (Ο), L του μικρού και L το μήκος του κύκλου (Κ). Όταν ο κύκλος (Κ) περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L + L = π Ο + π Ο = π (Ο + Ο) = π () B O K A = π ( Κ) = ( π Κ) = L = Όταν κύκλος (Κ) δεν περιέχει στο εσωτερικό του το μικρό κύκλο (Ο). L L = π Ο π Ο π (Ο Ο) π () B A O K π ( Κ) ( π Κ) = L 3

232 3. Δίνεται τρίγωνο με α = 3cm, β = cm και γ = 5cm. Να βρείτε το μήκος i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου τ = α + β + γ = = τ =, τ α = 8, τ β = 7, τ γ = 6 3 Ε = () = νωρίζουμε ότι Ε = τ ρ ρ = E = 8 = Άρα L = π = 8 π cm νωρίζουμε ότι E = R RΕ = αβγ R.8 = R = R R 336 Άρα L. 65 = 65 3

233 Σύνθετα Θέματα. Δίνεται ημικύκλιο (Ο,R) διαμέτρου. Με διαμέτρους τις Ο και Ο γράφουμε, στο εσωτερικό του πρώτου, ημικύκλια. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των τριών αυτών ημικυκλίων, ως συνάρτηση του R. Κ Σ O x Λ Έστω (Σ, x) ο κύκλος που εφάπτεται των τριών ημικυκλίων. Θα είναι ΣΚ = x + R = ΣΛ Άρα το Σ θα ανήκει στη μεσοκάθετο Ο του τμήματος και θα είναι ΟΣ = Ο Σ = R x Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΣΟΛ: Άρα + = R R R x x R R R Rx x x xr R 3Rx R x 3 L = π x = π R 3 = R 3. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο AB. Με διάμετρο την Ο γράφουμε, στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλίου, ημικύκλιο και στη συνέχεια γράφουμε κύκλο (Κ) που να εφάπτεται στο ημικύκλιο, στην πλευρά Ο και στο τόξο AB. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου (Κ) ισούται με το μήκος του τόξου AB. Η O x K Λ Ζ Θ M Μ το κέντρο του ημικυκλίου, Ζ, Η, Θ τα σημεία επαφής και x η ακτίνα του κύκλου (Κ). Θα υπολογίσουμε την ακτίνα x ως συνάρτηση της ακτίνας R του τεταρτοκυκλίου. Θ. Οξείας ωνίας στο τρίγωνο ΚΟΜ: = + - ΟΜ.ΟΛ, φέραμε ΚΛ Ο, οπότε ΟΛ = x. 33

234 Άρα. R R R x R x x R R x Rx R Rx x Rx R R Rx x L ύ (Κ) = π x = π R = R Άρα L ύ (Κ) = L ί και L ί = R.80 R Μ Να βρείτε το μήκος της γραμμής ΔΕΖ του σχήματος. Ξ π Δ Ε Θ Ν 9 Ι Λ Ζ Κ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ξ: AB = 5 () Είναι 7 6 5, αφού 9 < Άρα η γωνία ˆB του τριγώνου ΚΛ είναι οξεία = = =, () ο Θ. Διαμέσων στο τρίγωνο ΠΝ: =. + 8 = 6 Δ = 6 (3) L ί ΔΕ = π. = π () Τρίγωνο ΜΖΙ ορθογώνιο με ύψος ΖΘ: = ΘΜ.ΘΙ = 8. = 6 ΖΘ = L ί ΕΖ = π. = π (5) () + () + (3) + () + (5) μήκος της γραμμής ΔΕΖ = 5 +, π + π = 6, π 3

235 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου. Τι καλείται κυκλικός δίσκος και πως γίνεται η προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με κανονικά πολύγωνα ; Έστω ένας κύκλος (Ο,R). Ο κύκλος μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν τον κυκλικό δίσκο με κέντρο Ο και ακτίνα R. Όπως είδαμε ότι τα εγγεγραμμένα ή τα περιγεγραμμένα σε έναν κύκλο κανονικά πολύγωνα τείνουν να ταυτισθούν με τον κύκλο, καθώς το πλήθος των πλευρών τους διπλασιάζεται. Ο μοναδικός θετικός αριθμός Ε προς τον οποίο πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο, τα εμβαδά των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, λέγεται εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ή απλούστερα εμβαδόν του κύκλου. Επειδή ο Ε προσεγγίζεται από το εμβαδόν εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, ας θεωρήσουμε ένα κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,R). Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο : Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο Ε ν = Ρ ν α ν (). Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα που μας δίνει το εμβαδόν ενός κύκλου ; Θεώρημα : Το εμβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση E = πr. πόδειξη πό το σχήμα φαίνεται ότι καθώς το ν διπλασιάζεται το α ν προσεγγίζει την ακτίνα R και επειδή το Ρν προσεγγίζει το μήκος L του κύκλου, από την σχέση Ε ν = Ρ ν α ν προκύπτει ότι το Ε ν προσεγγίζει το L R = πr R = πr. 3. Τι καλείται κυκλικός τομέας ; πό ποιον τύπο δίνεται το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ; Θεωρούμε έναν κύκλο (O,R) και μία επίκεντρη γωνία Ô. Το σύνολο των κοινών σημείων της επίκεντρης γωνίας Ô και του κυκλικού δίσκου (O,R) λέγεται κυκλικός τομέας κέντρου Ο και ακτίνας R. Ο κυκλικός αυτός τομέας συμβολίζεται O.ν η επίκεντρη γωνία Ô είναι μ, λέμε ότι και ο κυκλικός τομέας O είναι μ. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ορίζεται ανάλογα με το εμβαδόν του κύκλου και συμβολίζεται (O). 35

236 Επειδή ο κυκλικός δίσκος είναι κυκλικός τομέας 360 με εμβαδόν πr ο κυκλικός τομέας έχει εμβαδό πr 360 και άρα ένας τομέας μ θα έχει εμβαδόν πr μ360. Ώστε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα O μ και ακτίνας R δίνεται από την ισότητα: Επίσης, επειδή ο κυκλικός δίσκος (O, R) είναι τομέας π rad με εμβαδόν πr ένας τομέας α rad θα έχει εμβαδόν Επομένως, το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα α rad και ακτίνας R δίνεται από την ισότητα. Τι καλείται κυκλικό τμήμα και πως υπολογίζουμε το εμβαδόν του ; Έστω ένας κύκλος (O,R) και μια χορδή του. Η χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής. Καθένα από αυτά τα μέρη λέγεται κυκλικό τμήμα. Το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία Ο υπολογίζεται με τη βοήθεια της ισότητας δηλαδή αφαιρώντας από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα το εμβαδόν του τριγώνου Ο. 5. (Μηνίσκοι του Ιπποκράτη) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ). Με διαμέτρους, και γράφουμε ημικύκλια στο ημιεπίπεδο (,). Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των σχηματιζόμενων μηνίσκων είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. (Μηνίσκος είναι το σχήμα που «περικλείεται» από δύο τόξα που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της). πόδειξη Συμβολίζουμε με μ, μ τα εμβαδά των σχηματιζόμενων μηνίσκων, τ, τ τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων με χορδές, αντίστοιχα, στο ημικύκλιο διαμέτρου. Έχουμε: από τις οποίες, χρησιμοποιώντας και τη σχέση + = βρίσκουμε 36

237 6. Δίνεται κύκλος (O,R) και δυο χορδές του και Να υπολογισθεί η περίμετρος και το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του R. 7. Τι καλείται τετραγωνισμός κύκλου και τι γνωρίζετε για αυτόν ; Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. Έστω R η ακτίνα ενός κύκλου και Ε το εμβαδόν του. Επειδή Ε = L R όπου L το μήκος του κύκλου, προκύπτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση L και ύψος R. Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανάγεται στην κατασκευή του L, αφού το R είναι ένα δοσμένο τμήμα. Επειδή όμως L=πR η κατασκευή του ανάγεται στην κατασκευή τμήματος μήκους π (αφού για R = είναι L = π). ια να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο π να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού ν, όπου ν φυσικός. Όμως, ο ερμανός Μαθηματικός Lindemann, το 88, απέδειξε ότι ο π δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. ποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, το Δ ημικύκλιο διαμέτρου και το Ε τόξο του κύκλου (, ). ποδεικνύεται ότι ο σχηματιζόμενος μηνίσκος τετραγωνίζεται. και μάλιστα (μ)= ()) 37

238 σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις Κατανόησης.ντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης με την τιμή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας R πr Εμβαδόν κυκλικού τομέα μ ο σε κύκλο ακτίνας R Εμβαδόν κυκλικού τομέα α rad R 80 σε κύκλο ακτίνας R πr R R 360.Με βάση το παρακάτω σχήμα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) και αιτιολογήστε την απάντηση σας. i) (O AB ) = ( O ) Λ ii) (O ) = ( O ) Σ. Σ. Λ iii) (O ) = (O AB ) Σ. Λ iν) (OAΔ) = (Ο) Σ Λ Σ. ν) ε = ε Λ νi) = λ 6 Σ. Λ 38

239 πάντηση i) Σωστό επειδή οι τομείς έχουν ίσες γωνίες ii) Σωστό επειδή οι τομείς έχουν ίσες γωνίες iii) Σωστό αφού η γωνία του (O ) είναι μ και του (O AB ) είναι μ iν) Λάθος διότι (OAΔ) = (Ο) αφού Ο διάμεσος του Δ ν) Σωστό σαν διαφορές ίσων εμβαδών (Ο) = (ΟΔ) και(o AB ) = ( O ) νi) Σωστό αφού μ+μ = 80 ο μ= 60 ο 3.Στο παρακάτω σχήμα υπάρχουν δύο ομόκεντροι κύκλοι με ακτίνες ΟΕ = R και Ο = R. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντηση σας. A Ε B Ζ Ο Θ Δ Η i) Λ ii) Σ. Σ Λ iii) Σ Λ iν) (ΖΕ) = (ΔΘΗ) Σ. Λ πάντηση i) Είναι σωστό διότι τα τόξα και Δ βρίσκονται στον ίδιο κύκλο και έχουν ίσες γωνίες ii) Είναι λάθος διότι έχουν ίσες γωνίες αλλά βρίσκονται σε κύκλους με άνισες ακτίνες iii) Είναι λάθος λόγω του (i) iν) Σωστό διότι είναι διαφορές των παρακάτω ίσων εμβαδών (O AB ) = ( O ), (O ) = ( O ). 39

240 σκήσεις Εμπέδωσης.Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε αυτόν. Να βρεθεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. R O K Η ακτίνα ΟΚ του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με το απόστημα = R 3 L (O,OK) = R R = R.Δίνεται κύκλος (Κ) και τόξο του AB = 60 ο. ν το τόξο AB έχει μήκος π cm, να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου (Κ). Έστω R η ακτίνα του κύκλου (Κ) = π R.60 = π AB 80 E R. = π cm (K) R 3 = R = 3.Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. ράφουμε τα τόξα των κύκλων (,α), (, α) και (, α) που περιέχονται στις γωνίες Â, ˆB και ˆ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου. =.60 B 80 3 Περίμετρος = 3. = B = B = 60 3 = = 360 Εμβαδόν καμπυλόγραμμου τριγώνου = 3. + () B = 3( ) + = = = = 3 3 0

241 . Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί ένα k μ μ Δ Δ = Δ = Ο R μ 3 ημικύκλιο διαμέτρου = R και εξωτερικά του τα ίσα ημικύκλια με διαμέτρους Ο, Δ, Δ και. ν,, είναι τα εμβαδά των τριών σχηματιζόμενων μηνίσκων και αποδείξετε ότι + 0 A 60 το εμβαδόν του ημικυκλίου, να + τα τρίγωνα ΟΔ, ΟΔ, Ο είναι ίσα ισόπλευρα πλευράς R. R 3 Άρα Ε = R 60 R 3 R R 3 = (ΟΔ) = = = ί = (ABΔ) = 3(ΟΔ) = 3 (), () + 3 R 6 R R 3 R R R 3 = 8 6 3R R R 3 = R 3 R = = = 3 = 3 + R 3 R = 3 + = R 3 3R 3 = + 3 R 8 3R 3 + () R 8 + = (Δ). R = 3 3 3R 3 + = (Δ). ()

242 5. Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας R εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο στα σημεία, και. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του R. Έστω Κ, Λ, Μ τα κέντρα των κύκλων. Είναι ΚΛ = ΛΜ = ΜΚ = R Άρα (ΚΛΜ) = R 3 = K R 3 = R = R 6 Λ Μ Εμβαδόν καμπυλόγραμμου τριγώνου = R (ΚΛΜ) 3 = R R = R 3 = R 3

243 Ο ποδεικτικές σκήσεις.δίνεται κύκλος (Ο,R) και ακτίνα του Ο. Στην προέκταση της Ο προς το παίρνουμε σημείο, ώστε Ο =. ν είναι το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από το προς τον κύκλο, να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου, ως συνάρτηση του R. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο είναι Ο = OB, άρα 0 0 ˆB 30, άρα Ô 60 R60 R 80 3 Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ο: = = R = R R = 3 R = R 3 Περίμετρος του μικτόγραμμου τριγώνου = + + R = + R 3 + R 3 R = Εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου = (Ο) =.Ο R = R 3.R R 3 = R 6 6 R.Δίνεται τετράγωνο Δ πλευράς α και τα τόξα B και των κύκλων (, α) και (Δ, α) αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του τετραγώνου. Δ πό το εμβαδόν του τετραγώνου θα αφαιρέσουμε τα δύο ίσα λευκά μικτόγραμμα τρίγωνα. Κ ια το εμβαδόν μ του μικτόγραμμου τριγώνου AKB, από τον κυκλικό τομέα AKB θα αφαιρέσουμε το κυκλικό τμήμα Κ Τρίγωνο ΚΔ ισόπλευρο Â = 60 ο Â = 30 ο 3

244 = AK μ = (ΔΚ) = = AK = = 3 = Ζητούμενο εμβαδόν = (Δ) μ = = = Δύο ίσοι κύκλοι ακτίνας R έχουν διάκεντρο ίση με εμβαδόν του κοινού τους μέρους. Κ Λ Είναι KA + Ζητούμενο εμβαδόν = δύο κυκλικά τμήματα = ( (Κ) ) R 90 = R R 360 R = R = R R. Να βρεθεί το A = R R R R Άρα ˆ = Άρα ο ρόμβος ΚΛ είναι τετράγωνο.δίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου και στο εσωτερικό του τα ημικύκλια διαμέτρων και, όπου σημείο της διαμέτρου. Η κάθετος της στο τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των τριών ημικυκλίων ( άρβηλος του ρχιμήδη ) είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου Δ.

245 Δ Εμβ. μεταξύ των τριών ημικυκλίων = ημικ. διαμέτρου ημικύκλιο. διαμέτρου ημικύκλιο διαμέτρου = Εμβαδόν μεταξύ των τριών ημικυκλίων = = = AB A B ( ) 8. = = = 8. () Εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου Δ = = () πό τις (), (), αρκεί να ισχύει =., το οποίο συμβαίνει, αφού το τρίγωνο Δ είναι ορθογώνιο με ύψος Δ. 5.Δίνεται κύκλος (Ο,R) και τόξο του = 60 ο. Να βρεθεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στον κυκλικό τομέα. Δ O x x Ε x K Έστω (Κ,x) ο εγγεγραμμένος κύκλος στον κυκλικό τομέα και, Δ, Ε τα σημεία επαφής. ΚΔ = ΚΕ ΟΚ διχοτόμος της ˆ. Άρα ˆ = 30 ο OK x ΟΚ = x Είναι ΟΚ + Κ = R x + x = R 3 x = R x = R 3 E = R R x 3 9 5

246 O Σύνθετα Θέματα.Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Οι πλευρές και είναι αντίστοιχα πλευρές κανονικού εξαγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο. Να υπολογισθούν: i) το μήκος της πλευράς, ii) ο λόγος των εμβαδών του τριγώνου και του κύκλου (Ο,R), iii) το εμβαδόν των τριών κυκλικών τμημάτων, που ορίζονται από τις πλευρές του τριγώνου και περιέχονται στις αντίστοιχες κυρτές γωνίες. i) = = R = 60 ο 6 = = R 3 =0 ο 3 Άρα = 80 ο = R διάμετρος ii) (AB) =. = R 3R = R 3 E ύ Άρα R AB 3 ύ iii) = = A = A K R 60 (Ο) = 360 R (Ο) = E ύ = R R 3 = 3 3 R R 3 = 6 R 3 R 3 R = R 3 R 3.Δίνεται κύκλος (Ο,R). Με κέντρο τυχαίο σημείο του και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου του εγγεγραμμένου σε αυτόν, γράφουμε κύκλο. Να βρεθεί το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κύκλων. Με κέντρο Κ και ακτίνα = R γράφουμε κύκλο, που τέμνει τον (Ο,R) στα σημεία και. A O B Κ = Κ = R 90 ο διάμετρος και ˆ = 90 ο. Ο Ζητούμενο Ε = (τεταρτοκύκλιο ) + (.κυκλικό τμήμα Κ) = R + (κυκλικός τομέας τρ. ΟΚ) 6

247 = = R + R R R R + R R = R R 3.Δύο ίσοι κύκλοι ακτίνας R έχουν διάκεντρο ίση με R 3. Να βρείτε, ως συνάρτηση του R, το εμβαδόν του κοινού μέρους. Κ Δ Ο μ Μ Λ Έστω (Κ, R) και (Λ, R) οι δύο κύκλοι με ΚΛ = R 3 και κοινή χορδή ΚΛ ρόμβος πλευράς R ΚΛ, διχοτομούνται κάθετα σε σημείο Μ. Άρα ΚΜ = R 3 6 = = R. 6 Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, επομένως ˆ = 60 ο. Ζητούμενο Ε = (. κυκλικό τμήμα ) = (κυκλικός τομέας τρ.κ) = R 60 R = R 3 6 = R 3 3.Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του. Με κέντρο το μέσο του ενός ημικυκλίου και ακτίνα γράφουμε κύκλο, ο οποίος ορίζει με το άλλο ημικύκλιο τον μηνίσκο, έστω μ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του μ ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου. Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο : + = R = R R () ρκεί να αποδείξουμε ότι (μ) = () (μ) + (κυκλ.τμήμα Δ) = () + (κυκλ.τμήμα Δ) (ημικύκλιο διαμέτρου ) = (κυκλικού τομέα A ) R ( ) 90 = R ( ) = 360 R που ισχύει από την () 7

248 ενικές ασκήσεις.κανονικό εξάγωνο ΔΕΖ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και έστω Κ, Λ, Μ, Ν, Ρ, Σ τα μέσα των πλευρών του. i) Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο με κέντρο Ο. ii) Να αποδείξετε ότι (ΚΛΜΝΡΣ) = 3 ( ΔΕΖ). iii) Να βρεθεί, ως συνάρτηση του R, το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου στο Ζ ii) ΚΛΜΝΡΣ. Ρ Σ Ε O Ν Κ Η Δ Θ Μ Λ (ΚΛΜΝΡΣ) = 6 (ΟΚΛ) = 6 = 6 = 3 3 i) Στο τρίγωνο είναι ΚΛ = = 3 = R 3 Ομοίως για όλες τις πλευρές του ΚΛΜΝΡΣ. () OK = = R 3 = ΟΛ =... () 6 πό τις () και () ΚΛΜΝΡΣ κανονικό εξάγωνο ακτίνας OK = R 3 3 R 3 3R = 8 3R 6 (3). 3 ( ΔΕΖ) = 3. 6 (Ο) = 3. 6 R 3 πό τις (3) και () = 8 3R 6 (ΚΛΜΝΡΣ) = 3 ( ΔΕΖ). () iii) Θ το σημείο τομής των ΚΛ, Ο. Ο ΟΘ ΚΛ άρα το ΟΘ είναι απόστημα του ΚΛΜΝΡΣ. άρα και ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου. ΟΘ = 3 = 3 R 3 = 3 R Μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου στο ΚΛΜΝΡΣ = π. ΟΘ = π 3 R = 3R 8

249 .Έστω κύκλος (Ο, R) και μία χορδή του =. ν ο κύκλος (Ο, ) τέμνει τις ακτίνες Ο και Ο στα και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) το εμβαδόν ε του μικτόγραμμου τετραπλεύρου Ά (με δύο πλευρές τόξα) ισούται με το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο και ii) νε = π R. Ο i) ε = (κ. τομέας Ο) (κ. τομέας Ο ) R = = = R R R R = R ii) ε = νε = π R R 3.Με βάσεις τις πλευρές ενός ν-γώνου και στο εξωτερικό του κατασκευάζουμε ν ορθογώνια με το ίδιο ύψος υ. Συνδέουμε τις εξωτερικές πλευρές τους με τόξα κύκλων που γράφουμε με κέντρα τις κορυφές και ακτίνα υ. Να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των ν κυκλικών τομέων που σχηματίζονται. Έστω... το ν γωνο και ν,,..., κυκλικών τομέων και τα εμβαδά τους αντίστοιχα. τα ανοίγματα των,,..., = ( ) () = 80 ο ˆ + 80 ο ˆ ο ˆ = ν. 80 ο ( ˆ + ˆ ˆ ) = ν. 80 ο (80 ο ν 360 ο ) = 360 ο = + () = 360 ο = 360 9

250 .Στο εσωτερικό τετραγώνου γράφουμε τέσσερις ίσους κύκλους πουν εφάπτονται μεταξύ τους εξωτερικά και εφάπτονται των πλευρών του τετραγώνου. Να υπολογισθεί, ως συνάρτηση της πλευράς α του τετραγώνου, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τους τέσσερις κύκλους. ν x είναι η ακτίνα των ίσων κύκλων, τότε x =, οπότε x = και ΚΛΜΝ τετράγωνο Κ Λ πλευράς. Δ Ν Μ Ζητ. εμβαδόν = (ΚΛΜΝ) (τεταρτοκύκλιο) x = = 6 5.Στο κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R = 0m του σχήματος, το εγγεγραμμένο τετράγωνο έχει το μέγιστο δυνατό εμβαδόν και πρόκειται να πλακοστρωθεί. Στα τέσσερα κυκλικά τμήματα θα τοποθετηθούν ισάριθμες κυκλικές γλάστρες με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν επίσης, ενώ το υπόλοιπο θα φυτευθεί με γκαζόν. Να βρεθεί το εμβαδόν : i) του μέρους που θα πλακοστρωθεί ii) του μέρους που θα καλύπτουν οι γλάστρες iii) του μέρους που θα φυτευθεί με γκαζόν. i) Πλευρά του τετραγώνου : R = 0 Εμβαδόν του μέρους που θα πλακοστρωθεί = εμβαδόν του τετραγώνου ii) Υπολογίζουμε την ακτίνα x της κυκλικής γλάστρας Ο + = Ο + x = R 0 + x = x = 0 Ο = 0 = 300 x = 0 0 x = 0( ) Εμβαδόν του μέρους που θα καλύπτουν οι γλάστρες = x m = π00 Κ 50

251 = 00π( + ) = 00π(6 ) = 800π(3 ) iii) Εμβαδόν του μέρους που θα φυτευθεί με γκαζόν = ( κυκλικά τμήματα) ( κύκλοι ακτίνας x) = (ο αρχικός κύκλος) (το τετράγωνο) ( κύκλοι ακτίνας x) = R 300 x = π π(3 ) = π π + 600π = 600π 800π Στο διπλανό σχήμα το τετράγωνο έχει πλευρά α = 50 m. Να βρεθεί : i) το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου ii) το εμβαδόν καθενός από τους τέσσερις κύκλους που εφάπτονται εσωτερικά του τετραγώνου και εξωτερικά του εγγεγραμμένου κύκλου. i) Έστω Ο το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και Ζ το σημείο επαφής του με την Δ, δηλαδή ΟΖ Δ άρα ΟΖ ΟΖ = BA Εμβαδόν του κύκλου (Ο, 5) = 5 = 65π m Ζ Δ = 5. ii) Έστω (Κ, x) ο ένας από τους τέσσερις κύκλους, Μ το σημείο επαφής του με τον κύκλο Ο και Λ το σημείο επαφής του με την. Τρίγωνο ΛΚ ορθογώνιο και ισοσκελές Κ = x Είναι ΟΜ + ΜΚ + Κ = Ο = B = 50 = x + x = 5 x( + ) = 5 5 x = 5 = 5 ( )( ) = 5 Εμβαδόν του κύκλου (Ο, x) = π x = π 653 = 65π(9 + 8) = = 65π(7 ) m O Μ Λ Κ = 5(3 ) 5

252 7.Να βρεθεί η μικρότερη γωνία που σχηματίζουν οι προεκτάσεις των πλευρών ενός κανονικού δεκαπενταγώνου. Μ Ο Λ Κ Σ Έστω και ΚΛ δύο τυχαίες πλευρές του κανονικού δεκαπενταγώνου και Σ το σημείο τομής τους. 0 Σε κάθε πλευρά αντιστοιχεί τόξο 360 = ο 5 Έστω ν 7 πλευρές του καν. δεκαπενταγώνου έχουν τα άκρα τους στο τόξο. Τότε 5 ν = 3 ν πλευρές θα έχουν τα άκρα τους στο τόξο. Άρα = ν σε μοίρες και = (3 ν) = 3 ν Είναι ˆ (3 ) = = 3 = 8 3 = ν 56 ια να έχουμε τη μικρότερη γωνία ˆ, θα πρέπει να έχουμε τη μικρότερη τιμή του ν. Άρα ν = 7. Οπότε ˆ = = = ο 8.Θεωρούμε ημικύκλιο διαμέτρου και σημείο της. Μεταβλητή ημιευθεία x κάθετη στην τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Σ. Πάνω στη x παίρνουμε σημείο Μ, ώστε να ισχύει = και φέρουμε ευθεία κάθετη στην Μ στο Μ, που τέμνει την προέκταση της στο Δ. Τότε i) να αποδείξετε ότι Δ = ii) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ, καθώς η ημιευθεία x μεταβάλλεται iii) να αποδείξετε ότι το μήκος της γραμμής που γράφει το Μ ισούται με το μήκος του ημικυκλίου διαμέτρου. x i) Μ Τρ. ΜΔ : = Δ. Τρ. Σ : =. Σ Δ Η υπόθεση = γίνεται Δ. =. Δ = ii) ˆ Δ = 90 ο ο γεωμετρικός τό.πος του σημείου Μ είναι ημικύκλιο διαμέτρου Δ 5

253 iii) Μήκος του ημικύκλιο διαμέτρου Δ = π Μήκος του ημικύκλιο διαμέτρου = π πό τις (), () το ζητούμενο = π () = π () 9.Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου Ο = R, τυχαίο σημείο του Δ και το μέσο του τόξου. i) ν, είναι τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων των χορδών, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι = ( ), όπου ( ) το εμβαδόν του κυκλικού τομέα. ii) Να αποδείξετε ότι ο μέγιστος κύκλος που εγγράφεται στο κυκλικό τμήμα χορδής είναι αυτός που εφάπτεται στο μέσο της χορδής. iii) Έστω, τα εμβαδά των μέγιστων κύκλων των εγγεγραμμένων στα κυκλικά τμήματα χορδών, αντίστοιχα. α) να αποδείξετε ότι + R β) αν B = 0 ο, να αποδείξετε ότι + (7 + 3 ) = Δ i) R 8 = [(κ. τομέας OA ) (Ο)] [(κ. τομέας OA ) (Ο)] = Ο = (κ. τομέας OA ) (Ο) (κ. τομέας OA ) + (Ο) = = (κ. τομέας O ) Σημείωση : Είναι (Ο) = (Ο) διότι η Ο είναι διάμεσος του τριγώνου. ii) Ε Λ Ζ Η O Μ K Ν Έστω Κ ο κύκλος που εγγράφεται στο κυκλικό τμήμα χορδής στο μέσο Μ της χορδής και Ν το σημείο επαφής. Έστω επίσης Λ ο τυχαίος κύκλος που εγγράφεται στο κυκλικό τμήμα χορδής, Ε το σημείο επαφής, Ζ η τομή η τομή της ΟΕ με τον κύκλο και Η η τομή της ΟΕ με την. ρκεί να αποδείξουμε ότι ΕΖ ΝΜ 53

254 ΕΖ = ΕΟ ΖΗ ΗΟ ΕΟ ΗΟ ΕΟ ΜΟ = ΝΟ ΜΟ = ΝΜ iii) α) Ν Μ Ο Μ Κ Με Πυθαγόρειο είναι iii) β) Ν R R π + π + R (R OM ) + (R OM ) = + R R R R R + 3 R R ( + ) R R ( + ) R R R A + A + που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα B = 0 ο B = 60 ο και A = 0 ο = και =. 3 6 Οπότε = = R = R R 3 = R R και = = R = R R 3 6 = R ( 3 ) + (7 + 3 ) = π R 8 + (7 + 3 ) π = R 8 R + (7 + 3 ) R + (7 + 3 ) 6 R( 3 ) R = = R 8 R 8 + (7 + 3 ) (7 3 ) = 7 3 = 9 8 = που ισχύει 5

255 0. Δύο ίσοι κύκλοι με κέντρα Ο και Ο αντίστοιχα εφάπτονται εξωτερικά στο. Φέρουμε δύο ακτίνες Ο και Ο παράλληλες μεταξύ τους και στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ΟΟ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά από τους δύο κύκλους το ημικύκλιο διαμέτρου. Να αποδείξετε ότι : i) (O ) = (O Ά ) όπου το αντιδιαμετρικό του στον Ο, ii) (O ) + (Ο ) = (Ο ), iii) (O ) + (Ο ) = (K ) όπου Κ το μέσο του, iv) το εμβαδόν ε του καμπυλόγραμμου σχήματος με πλευρές τα τόξα, Κ και είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΟΌ. ν τα, κινούνται πάνω στους κύκλους, ώστε οι ακτίνες Ο και Ο να διατηρούν τις αρχικές ιδιότητες, σε ποια θέση των, το εμβαδόν γίνεται μέγιστο; i) OB Ο ˆ = ˆ (O ) = (O Ά ) Ο Ο ii) (O ) + (Ο ) = (O Ά ) + (Ο ) = = (Ο ) iii) (O ) + (Ο ) = (Ο ) = (K ) (ίσες διάμετροι) iv) Έστω το δεύτερο σημείο τομής της με τον κύκλο Ο και το εμβαδόν του μικτογράμμου τριγώνου. ε = (K ) + (κυκλικό τμήμα ) = (O ) + (Ο ) + (κυκλικό τμήμα ) = (ΟΌ ) Το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου σχήματος γίνεται μέγιστο, όταν γίνεται μέγιστο το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (ΟΌ ). Επειδή, όμως, το παραλληλόγραμμο έχει σταθερή βάση ΟΟ, το εμβαδόν του θα γίνεται μέγιστο, όταν γίνεται μέγιστο το ύψος του, το οποίο συμβαίνει όταν οι Ο, Ο γίνονται κάθετες στην ΟΟ. 55

256 ΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΗ Με ένα σύρμα μήκους c κατασκευάζουμε ένα κανονικό εξάγωνο. α) Να εκφράσετε την πλευρά του εξαγώνου ως συνάρτηση του c. β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του εξαγώνου ισούται με c 3 ΣΚΗΣΗ Σε τετράγωνο Δ με πλευρά 0, θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου Ο και εντός του κύκλου το εγγεγραμμένο τετράγωνο ΚΛΜΝ, όπως στο σχήμα. α) Να αποδείξετε ότι ΚΛΜΝ 50 β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του κύκλου που βρίσκεται στο εξωτερικό του τετραγώνου ΚΛΜΝ και εσωτερικά του κύκλου, είναι ίσο με 5(π ) ΣΚΗΣΗ 3 Στο παρακάτω σχήμα οι κύκλοι (Ο, R) και (Κ, ρ) εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο. πό το άκρο της διαμέτρου του κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου (Κ, ρ) και είναι. ν η διάμετρος τέμνει τον κύκλο (Κ, ρ) στο Δ και ισχύει ότι Δ = 8,τότε: α) Να αποδείξετε ότι για τις ακτίνες R και ρ των κύκλων (Ο, R) και (Κ, ρ) ισχύουν R = 9 και ρ = 5. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου (σκιασμένο) που περικλείεται μεταξύ των κύκλων. 56

257 ΣΚΗΣΗ Στο παρακάτω σχήμα, τα καμπυλόγραμμα τμήματα,, ΖΔ και ΔΕ είναι ίσα ημικύκλια. ν Ε AΔ Ζ, Ε Δ Ζ 0 και το ύψος του σχήματος είναι, να υπολογίσετε: α) Την περίμετρο του σχήματος. β) Το εμβαδόν του. ΆΣΚΗΣΗ 5 πό σημείο εκτός κύκλου Ο,R φέρουμε τέμνουσα έτσι ώστε. ν Ο R 7 τότε: α) Να αποδείξετε ότι λ3 R 3. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος Δ. ΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται κύκλος (O,R) και σημείο Μ τέτοιο, ώστε η δύναμή του ως προς τον κύκλο (O,R) να είναι προς τον κύκλο, τότε: 3R. ν Μ, Μ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Μ α) Να αποδείξετε ότι R 3 β) Να βρείτε ως συνάρτηση της ακτίνας R το εμβαδόν i) του τετραπλεύρου ΟΜ ii) του (σκιασμένου) μικτόγραμμου τριγώνου Μ R 3 γ) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου είναι το σημείο τομής του κύκλου με το ευθύγραμμο τμήμα ΟΜ. 57

258 ΣΚΗΣΗ 7 Δύο ίσοι κύκλοι (,R), (,R) τέμνονται στα σημεία,, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα και έχουν διάκεντρο R 3. α) Να βρείτε τη γωνία β) Να βρείτε ως συνάρτηση της ακτίνας R το εμβαδόν: i) Του τετραπλεύρου ΚΛ. ii) Του σκιασμένου μηνίσκου. ΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΔΕΖ εγγεγραμμένο σε κύκλο (,R). Φέρουμε τα τμήματα, Δ και Μ, όπου Μ το μέσο του Δ. Να αποδείξετε ότι: α) 3R 3 ( ) β) R 3 ( ) γ) ( ) ( ) δ) Το εμβαδόν του (σκιασμένου) κυκλικού τμήματος που περικλείεται από τη χορδή R και το τόξο είναι ίσο με: 3 3 ΣΚΗΣΗ 9. Δίνεται κύκλος (O, R) διαμέτρου και ημιευθεία x τέτοια, ώστε η γωνία ˆ x 0 να είναι 30. Η x τέμνει τον κύκλο στο σημείο. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο, η οποία τέμνει την x στο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι: α) B = R β) (PB) = (PAB) γ) R 3 PB = 3 δ) Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην κυρτή γωνία BO ˆ είναι: E= R π

259 ΣΚΗΣΗ 0 Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μία διάμετρός του. Η κάθετος στο μέσο Ε της ακτίνας Ο τέμνει το ένα ημικύκλιο στο σημείο και η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την προέκταση της χορδής στο σημείο Δ. α) Να αποδείξετε ότι: i. = λ 3 = R 3 ii. Δ = 3 β) Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών: (Δ) (Δ) ΣΚΗΣΗ Σε τετράγωνο Δ με πλευρά 0, κατασκευάζουμε ημικύκλια με διαμέτρους τις πλευρές του τετραγώνου που βρίσκονται στο εσωτερικό του και έχουν κοινό σημείο το κέντρο Ο του τετραγώνου. α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που περιέχεται στην επίκεντρη γωνία Θ Ο, όπου Θ το μέσο της πλευράς Δ. β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην επίκεντρη γωνία Θ Ο είναι 5 (π ). γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του τετραγώνου, είναι 50 ( π). ΣΚΗΣΗ Σε τετράγωνο Δ πλευράς α, γράφουμε τεταρτοκύκλιο εσωτερικά του τετραγώνου με κέντρο και ακτίνα α. α) ν Χ είναι το χωρίο του τετραγώνου που βρίσκεται εξωτερικά του τεταρτοκύκλιου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι: (Χ ) = α ( π) β) Με διάμετρο B κατασκευάζουμε ημικύκλιο εσωτερικά του τετραγώνου. ν Χ είναι το χωρίο του ημικυκλίου και Χ 3 το χωρίο του τεταρτοκυκλίου που βρίσκεται εξωτερικά του ημικυκλίου, να υπολογίσετε τα εμβαδά των δύο χωρίων X και Χ 3. γ) Ποιο από τα χωρία Χ και Χ έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 59

260 ΣΚΗΣΗ 3 Δύο ίσοι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,R) τέμνονται στα σημεία και έτσι ώστε το μήκος της διακέντρου τους να είναι ΚΛ R α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛ είναι τετράγωνο. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κοινού χωρίου των δύο κύκλων. ΣΚΗΣΗ Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=6cm εγγράφουμε τετράγωνο Δ και στο τετράγωνο εγγράφουμε νέο κύκλο. α) Να υπολογίσετε: i) Το εμβαδό του τετραγώνου. ii) Το εμβαδό Ε του γραμμοσκιασμένου χωρίου, δηλαδή του χωρίου του τετραγώνου Δ που βρίσκεται έξω από τον εγγεγραμμένο κύκλο του. β) Να συγκρίνετε το εμβαδόν Ε του γραμμοσκιασμένου χωρίου με το εμβαδόν του τμήματος του κύκλου ακτίνας R που βρίσκεται έξω από τον το τετράγωνο Δ. ΣΚΗΣΗ 5 Με διάμετρο την ακτίνα Ο ενός κύκλου (Ο, R) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που σχηματίζει με την ακτίνα Ο γωνία 30 και τέμνει τον κύκλο (Ο) στο και τον κύκλο (Κ) στο Δ. α) Να αποδείξετε ότι τα τόξα και Δ έχουν ίσα μήκη. β) Να υπολογίσετε ως συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου (Ο, R) την περίμετρο του μικτόγραμμου (σκιασμένου) τριγώνου Δ 60

261 ΚΕΦΛΙΟ ο ΕΝΔΕΙΚΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 6

262 ΘΕΜΤ ΕΞΕΤΣΕΩΝ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΜΤ 000 ΘΕΜ.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο τετράγωνο της μεταξύ τους διαμέσου αυξημένο κατά το μισό τετράγωνο της τρίτης πλευράς, δηλαδή.. Σε τρίγωνο με < να συμπληρώσετε τη σχέση - =. ώστε να εκφράζει το ο θεώρημα διαμέσων.. Να βρεθεί η σωστή απάντηση στα παρακάτω: B. Σε τρίγωνο δίνονται β=8, γ=6 και μα=5. Η πλευρά α είναι ίση με: α. 7 β. γ. 0 δ. 9 ε.. Σε τρίγωνο δίνονται α=, β=7, γ=5, Δ το ύψος του και Μ η διάμεσος. Η προβολή ΔΜ της διαμέσου Μ πάνω στην πλευρά α είναι ίση με: α. β. 8 γ. 8 3 δ. 5 ε. 3 6

263 ΘΕΜ Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο Δ με //Δ, <Δ και =, Δ=3, =5. Να υπολογίσετε α. την προβολή της πάνω στην Δ, β. το εμβαδόν του τραπεζίου Δ, γ. το εμβαδόν του τριγώνου Δ. ΘΕΜ 3 Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά =5. Να υπολογίσετε α. την ακτίνα R του κύκλου, β. το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,R), γ το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου, δ. το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο. ΘΕΜ Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του. πό ένα σημείο Μ του κύκλου, διαφορετικό των και, φέρνουμε κάθετη στη διάμετρο, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ και τη διάμετρο στο σημείο Δ. Επί της θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα Ο=ΟΔ και φέρνουμε τη Μ, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι:.,. R,. ( R ), ( R ).. R 63

264 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ 000 ΘΕΜ. θεωρία σχ. βιβλίου σελ από το ο θεώρημα διαμέσων έχουμε - =..ΔΜ. Ισχύει ο τύπος και με αντικατάσταση των τιμών β=8, γ=6 και μα=5 προκύπτει εύκολα ότι α=0. Άρα η σωστή απάντηση είναι η.. πό το ο θεώρημα διαμέσων έχουμε: β -γ =.α.μδ, και με αντικατάσταση των τιμών α=, β=7, γ=5 προκύπτει εύκολα ότι ΔΜ=3. Άρα η σωστή απάντηση είναι η Ε. ΘΕΜ α. Φέρνουμε το ύψος Ε, οπότε η προβολή της πάνω στη Δ είναι το τμήμα Ε. 6

265 Επειδή το Ε είναι ύψος (όπως και το Δ) θα ισχύει Ε=Δ=3. Με εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο Ε βρίσκουμε ότι Ε=. β. Το τραπέζιο Δ έχει μικρή βάση =, μεγάλη βάση Δ=ΔΕ+Ε=8 και ύψος 8 Δ=3, άρα: (Δ)= 3 8 τετραγωνικές μονάδες. γ. το τρίγωνο Δ έχει βάση Δ=8 και ύψος Ε=3, οπότε (Δ)= τετραγωνικές μονάδες. 8.3 ΘΕΜ 3 α. νωρίζουμε από τη θεωρία ότι: λ3= R 3 R 3 R β. Ε(Ο,R)=πR Ε(Ο,R)=π 5 3 Ε(Ο,R)=π.5.3=75π τετραγωνικές μονάδες. γ. νωρίζουμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α έχει εμβαδόν Ε= a 3. Οπότε για α==5 βρίσκουμε ότι ()= 5 3 τετραγωνικές μονάδες. δ. το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο είναι Ε=75π- 5 3 Ε= τετραγωνικές μονάδες. 65

266 ΘΕΜ Ζ Ζ α. ια τη χορδή ΜΖ το ΟΔ είναι απόστημα, άρα το Δ είναι το μέσο της χορδής ΜΖ και το είναι το μέσο του τόξου ΜΖ. Επίσης, οι ΜΖ, είναι χορδές του κύκλου (Ο,R) που τέμνονται στο Δ, άρα Δ.Δ=ΜΔ.ΔΖ Δ.Δ=ΜΔ.ΜΔ Δ.Δ=ΜΔ. β. το ΜΕ είναι χορδή του κύκλου και το σημείο της χορδής ΜΕ (εσωτερικό του κύκλου), άρα Μ.Ε=R -Ο. Ομοίως, το ΜΖ είναι χορδή του κύκλου και το Δ σημείο της χορδής ΜΖ (εσωτερικό του κύκλου), άρα ΜΔ.ΔΖ=R -Ο. Συνεπώς, R. γ. Στο τρίγωνο ΜΔ το ΜΟ είναι διάμεσος οπότε από το ο θεώρημα διαμέσων βρίσκουμε ότι: ( ) R R. δ. Επειδή ΜΔ=ΔΖ, ΜΔ.ΔΖ=R Ο και R η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα: ( R ) R. H τελευταία σχέση ισχύει λόγω του ου ερωτήματος. 66

267 ΘΕΜΤ 00 ΘΕΜ. να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. να κάνετε την αντιστοιχία στον παρακάτω πίνακα για ένα ορθογώνιο τρίγωνο 90 με Δ το ύψος του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα Στήλη Ι Στήλη ΙΙ +.Δ -.. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 90 με ύψος Δ, για το οποίο έχουμε Δ= και =3. 67

268 . το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος Δ είναι: α. β. 3 γ. δ.3. το μήκος της πλευράς είναι: α. 3 β. 3 γ. δ. 5. ΘΕΜ Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι =6, = και =8. α. να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, β. να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου Μ, γ. να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου Μ στην πλευρά. ΘΕΜ 3 Θεωρούμε τρεις διαδοχικές γωνίες, z, z με z 50 o. Επί των πλευρών Οχ,Οψ,Οz τα σημεία,, αντίστοιχα τέτοια, ώστε Ο=, Ο=, Ο=6. α. να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Ο β. να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών ( ). ( ) 68

269 ΘΕΜ Δίνεται ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου =R. Στην προέκταση του προς το θεωρούμε ένα σημείο τέτοιο ώστε =R. πό το φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα Ε του ημικυκλίου. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο σημείο τέμνει την προέκταση του Ε στο σημείο Δ. α. να αποδείξετε ότι Ε= R, β. να αποδείξετε ότι.ο=δ.ε, γ. να υπολογίσετε το τμήμα Δ συναρτήσει του R, δ. να υπολογίσετε το άθροισμα των εμβαδών των μικτόγραμμων τριγώνων Ε και ΔΕ συναρτήσει του R. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ 00 ΘΕΜ. σχολικό βιβλίο σελ. 0. α β 5 γ.. γ. α. 69

270 ΘΕΜ α. είναι = = και + =6 +8 =00<, άρα 90. β. έχουμε =γ=6, =β=8, =α= και Μ=μα. νωρίζουμε ότι.8.6, άρα. γ. είναι > οπότε από το ο θεώρημα διαμέσων έχουμε - =..ΔΜ ΘΕΜ 3 α. (Ο)= τετραγωνικές μονάδες. β. τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν 50, οπότε από γνωστό θεώρημα έχουμε ότι: ( OAB).. ( OB)

271 ΘΕΜ α. είναι ==R οπότε =R. πό γνωστό τύπο της θεωρίας έχουμε ότι Ε =. => Ε =R.R => Ε =8 R => Ε=.R β. είναι Ο Δ και ΟΕ Δ, οπότε το τετράπλευρο ΟΕΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές 80, άρα.ο=δ.ε γ. από την προηγούμενη σχέση έχουμε ότι. R.3R 3. R. R δ. εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Δ. Έχουμε 3 3. R R 8R 6R R => Δ=R. Οπότε, Εμικτ.Ε+Εμικτ.ΔΕ=(Δ)- R R R R R ( ) Εημικυκλ.=. RR. τετραγωνικές μονάδες. 7

272 ΘΕΜΤ 00 ΘΕΜ.να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του..χαρακτηρίστε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΘΟΣ καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις; α. το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (Ο,R) αν και μόνον αν Δ Ρ (Ο,R)>0, όπου Δ Ρ (Ο,R) η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο,R). β. σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: α <β +γ 90 γ. το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε=... δ. σε κύκλο (Ο,R) το εμβαδόν Ε κυκλικού τομέα μ ο δίνεται από τον τύπο R Ε= 80 ε. το ο θεώρημα διαμέσων σε κάθε τρίγωνο εκφράζεται από τον τύπο. α. να εγγραφεί κανονικό εξάγωνο σε κύκλο (Ο,R) και να αποδείξετε ότι λ6=r, όπου λ6 η πλευρά του εξαγώνου. R 3 β. να αποδείξετε ότι 6, όπου α6 το απόστημα του εξαγώνου. 7

273 ΘΕΜ Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α,β,γ για το οποίο ισχύει η σχέση μα -βγ=. α. να αποδείξετε ότι α =β +γ -βγ β. να υπολογισθεί η γωνία. ΘΕΜ 3 Στο σχήμα που ακολουθεί, δίνεται κύκλος (Ο,R) διαμέτρου και ημιευθεία χ τέτοια ώστε η γωνία χ να είναι 30 ο. Έστω ότι η χ τέμνει τον κύκλο στο σημείο στο σημείο. Φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο, η οποία τέμνει τη χ στο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι: α. =R, β. ( ), ( ) γ. Ρ= R

274 ΘΕΜ Στο σχήμα που ακολουθεί, σε τετράγωνο Δ πλευράς 7cm εγγράφουμε τετράγωνο ΕΖΗΘ έτσι ώστε Ε=Ζ=Η=ΔΘ=3cm. α. να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ, β. να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ και να αποδείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (Λ,ρ) στο τρίγωνο ΕΖ είναι ρ=cm, γ. αν (Κ,R) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τετραγώνου ΕΖΗΘ, να υπολογίσετε το λόγο ύ (, R) ύ (, ). 7

275 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ 00 ΘΕΜ. Θεώρημα IV σελ. σχ. βιβλίου. ασ β Σ γ Λ δ Λ ε Λ. Θεώρημα σελ.38 σχ. βιβλίου. ΘΕΜ α. από το ο θεώρημα διαμέσων έχουμε. Έτσι η δοσμένη σχέση μα -βγ= γίνεται. β. από το νόμο συνημιτόνων έχουμε α =β +γ -βγσυν. Λόγω της σχέσης α =β +γ -βγ του ερωτήματος (α) προκύπτει: συν= => συν= => 60. (από τη σχέση α =β +γ -βγ => α <β +γ => 90 ). ΘΕΜ 3 α. Στο εγγεγραμμένο στον κύκλο τρίγωνο η γωνία 90, ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Επειδή B 30 παίρνουμε από γνωστό θεώρημα ότι R R. 75

276 β. το τρίγωνο Ρ είναι ορθογώνιο στο, αφού η Ρ είναι εφαπτομένη στον κύκλο στο σημείο. Τα τρίγωνα Ρ και Ρ είναι όμοια, διότι είναι ορθογώνια και έχουν τη γωνία Ρ κοινή. Άρα από γνωστή πρόταση θα έχουμε ότι ( ), ( ) όπου λ ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων, δηλαδή R λ=. Οπότε R ( ) ( ). γ. Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε = - =(R) -R =3R => AB= R 3 (). Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ρ έχουμε Ρ, άρα από γνωστή πρόταση θα έχουμε ότι =.Ρ () R R = R 3.Ρ => Ρ= R 3 R 3 (). 3 κόμα στο ορθογώνιο τρίγωνο Ρ έχουμε ότι 60, οπότε 30 => Ρ=.Ρ και λόγω της σχέσης () παίρνουμε ότι Ρ= R 3. 3 ΘΕΜ α. Η πλευρά α του τετραγώνου ΕΖΗΘ είναι υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 3cm και cm, οπότε από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε α =3 + => α=5cm. Άρα (ΕΖΗΘ)=5cm...3 β. (ΕΖ)= 6 cm. Όμως είναι και (ΕΖ)= τ.ρ, όπου τ = 35 6 cm. Έτσι 6ρ=6 => ρ=cm. γ. Είναι R= 5 cm και ρ=cm, οπότε ο ζητούμενος λόγος ισούται με ύ (, R) R R ύ (, )

277 ΘΕΜΤ 003 ΘΕΜ. Έστω ένας κύκλος (Ο,R). α. στον κύκλο (Ο,R) να εγγράψετε τετράγωνο β. να αποδείξετε ότι λ=r, όπου λ η πλευρά του τετραγώνου γ. να αποδείξετε ότι a τετραγώνου. R, όπου α το απόστημα του. ΣΩΣΤΗ ή ΛΘΟΣ καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις; α. αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος ων εμβαδών τους ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους β. το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεων του επί το ύψος του. γ. η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο,R) ορίζεται με τον τύπο Δ Ρ (Ο,R)=R +ΟΡ δ. η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή.. ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό; 77

278 ΘΕΜ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με == και = 3. Να υπολογίσετε: α. τη γωνία, β. το εμβαδόν του τριγώνου, γ. τη διάμεσο Μ=μβ. ΘΕΜ 3 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α,β,γ τέτοιες ώστε να ισχύει β +γ =3α. ν η διάμεσος Μ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο Ε, α. να εκφράσετε τη διάμεσο Μ ως συνάρτηση της πλευράς α, 3a β. να αποδείξετε ότι Μ.Ε=. ΘΕΜ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Στις πλευρές, και παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε να είναι Δ=Ε=Ζ= a όπως στο διπλανό σχήμα. Να 3 υπολογίσετε το εμβαδόν ως συνάρτηση του α: 78

279 α. του τριγώνου ΔΖ, β. του τριγώνου ΔΕΖ, γ. του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ 003 ΘΕΜ. θεωρία παράγραφος.3 σχολικού βιβλίου σελ. 38. α Λ β Σ γ Λ δ Σ. ορισμός σελ. 33 σχολικού βιβλίου. ΘΕΜ α. πό το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε = + -..συν => συν= => συν=συν και επειδή 0< 3 A θα είναι A. 3 β. από τον τύπο Ε=... έχουμε Ε= γ. από το ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο έχουμε: ( 3). 7 7 =. 79