ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

Transcript

1 ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30) Δύο άνθρωποι υποβάλλουν σφραγισμένες προσφορές για ένα αντικείμενο που αξίζει 3 για τον καθένα τους. Μια προσφορά μπορεί να είναι μόνο ακέραιος αριθμός ευρώ, ειδικότερα 0, 1, 2 και 3. Το αντικείμενο το παίρνει ο παίκτης που υπέβαλλε τη μεγαλύτερη προσφορά, όμως και οι δύο παίκτες πληρώνουν το ποσό που προσέφεραν. Σε περίπτωση ισοβαθμίας, το αντικείμενο δίνεται σε έναν εκ των δύο παικτών με τυχαίο τρόπο (ισοπίθανα). Σε περίπτωση που και οι δύο προσφέρουν 0, το αντικείμενο δεν δίνεται σε κανένα. Βρείτε τις ισορροπίες Nash με καθαρές στρατηγικές του παραπάνω παιχνιδιού. Παρακάτω φαίνεται ο πίνακας του παιχνιδιού με καθαρές στρατηγικές. Α Β ,0 0,2 0,1 0,0 1 2,0 0.5,0.5-1,1-1,0 2 1,0 1,-1-0.5, ,0 3 0,0 0,-1 0,-2-1.5, -1.5 Δεν υπάρχει κανένα σημείο ισορροπίας με καθαρές στρατηγικές. ΘΕΜΑ 2 ο (2.5) Τρεις φοιτητές ανέλαβαν να εκπονήσουν μια εργασία. Κάθε φοιτητής έχει τις επιλογές να εργαστεί (με κόστος c) και να μην εργαστεί (με κόστος 0). Για να εκπονηθεί επιτυχώς η εργασία πρέπει να εργαστούν τουλάχιστον δύο από τους τρεις φοιτητές. Το όφελος από την επιτυχή εκπόνηση της εργασίας είναι K, όπου Κ>c. Βρείτε μια συμμετρική ισορροπία Nash με μικτές στρατηγικές για το παιχνίδι αυτό. Έστω ότι κάθε φοιτητής επιλέγει να εργαστεί με πιθανότητα p και να μην εργαστεί με πιθανότητα 1-p. Για να αποτελεί ο συνδυασμός αυτός σημείο ισορροπίας με μικτές στρατηγικές, θα πρέπει το όφελος για κάθε φοιτητή από την υιοθέτηση της μικτής στρατηγικής να είναι το ίδιο με την υιοθέτηση οποιασδήποτε καθαρής στρατηγικής, με δεδομένο ότι οι άλλοι δύο φοιτητές εξακολουθούν να επιλέγουν τη συγκεκριμένη μικτή στρατηγική. Έστω λοιπόν ότι ο πρώτος εκ των τριών φοιτητών επιλέγει καθαρή στρατηγική, ενώ οι άλλοι δύο επιλέγουν τη συγκεκριμένη μικτή στρατηγική (εργάζονται με πιθανότητα p και δεν εργάζονται με πιθανότητα 1-p). Εάν ο πρώτος φοιτητής επιλέξει να εργαστεί, το αναμενόμενο όφελός του θα είναι: -c + K(1-(1-p) 2 ) = -c + K(2p-p 2 ) μιας και αυτός θα υποστεί το κόστος της εργασίας, ενώ η πιθανότητα να εργαστεί τουλάχιστον ένας εκ των δύο άλλων (ώστε να εκπονηθεί επιτυχώς η εργασία) είναι 1-(1-p) 2.

2 Εάν ο πρώτος φοιτητής επιλέξει να μην εργαστεί, το αναμενόμενο όφελός του θα είναι: Kp 2 μιας και αυτός δεν θα υποστεί το κόστος της εργασίας, ενώ η πιθανότητα να εργαστούν και οι δύο έτεροι φοιτητές είναι p 2. Για να έχουμε ισορροπία μικτών στρατηγικών, θα πρέπει οι δύο παραπάνω αναμενόμενες απολαβές να είναι ίσες. Έχουμε λοιπόν: -c + K(2p-p 2 ) = Kp 2 2Kp 2-2Kp + c = 0 Έχουμε ένα τριώνυμο, με διακρίνουσα: Δ=4K 2-8Kc Η διακρίνουσα είναι θετική όταν Κ>2c, δηλαδή το κέρδος από την επιτυχή ολοκλήρωση της εργασίας είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο του κόστους συμμετοχής στην εργασία. Με αυτή την προϋπόθεση, βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου, ήτοι: p 1 = 2K-sqrt(Δ) / 4Κ p 2 = 2K+sqrt(Δ) / 4Κ οι οποίες, εφόσον είναι στο διάστημα [0,1], αποτελούν και τη ζητούμενη πιθανότητα της μικτής στρατηγικής. ΘΕΜΑ 3 ο (2,5 μονάδες) [Δυοπώλιο Stackelberg] Σε δυοπωλιακή αγορά, η εταιρεία Α επιλέγει πρώτη την ποσότητα Q A που θα παράγει, ενώ στη συνέχεια η εταιρεία Β, αφού πληροφορηθεί την ποσότητα Q A, αποφασίζει τη δική της ποσότητα παραγωγής Q B. Έστω ότι το κόστος ανά μονάδα προϊόντος είναι c και για τις δύο εταιρείες, ενώ η αντίστροφη καμπύλη ζήτησης είναι P=a-bQ, όπου Q=Q A +Q B. Υπολογίστε τις ποσότητες Q A * και Q B * που θα παράγουν οι δύο εταιρείες, υπολογίζοντας την ισορροπία Nash για αυτό το εκτεταμένο παιχνίδι. Υπολογίστε την τιμή πώλησης του προϊόντος και τα κέρδη των δύο εταιρειών. Έστω ότι η εταιρεία Α παρήγαγε ποσότητα Q A. Τότε, η εταιρεία Β θα επιλέξει την ποσότητα Q B έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος της. Το κέρδος της εταιρείας Β είναι: Gain B = (P-c)*Q B =(a-bq-c)q B = (a-b(q A +Q B )-c)q B = aq B -bq A Q B -bq B 2 +bcq B Η παράγωγος ως προς Q B της παραπάνω ποσότητας είναι: a-bq A -2bQ B +bc η οποία μηδενίζεται για: Q B = (a-bq A +bc)/2b Γνωρίζοντας ωστόσο η εταιρεία Α την ποσότητα που θα παράγει η Β για οποιαδήποτε τιμή του Q A, θα επιλέξει το Q A έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της Α. Το κέρδος της Α λοιπόν είναι: Gain A =(P-c)*Q A =(a-bq-c)q A = (a-b(q A +Q B )-c)q A = (a-b(q A +(a-bq A +bc)/2b)-c)q A

3 = aq A -bq A 2 -aq A /2+bQ A /2-bcQ A /2-cQ A Η παράγωγος ως προς Q A της παραπάνω ποσότητας είναι: a-2bq A -a/2+b/2-bc/2-c Η οποία μηδενίζεται για: Q A =(a/2+b/2-bc/2 c)/2b Αντικαθιστώντας παραπάνω βρίσκουμε τα κέρδη των δύο εταιρειών, τις ποσότητες παραγωγής και την τιμή πώλησης της μονάδας προϊόντος. ΘΕΜΑ 4 ο (2,5) Έστω το δυοπώλιο Bertrand, όπου δύο εταιρείες, 1 και 2, προσφέρουν την ίδια υπηρεσία. Κάθε εταιρεία ανακοινώνει μια τιμή, έστω p 1 και p 2 αντίστοιχα, και η εταιρεία που θα ανακοινώσει τη χαμηλότερη τιμή κερδίζει ολόκληρη την αγορά (σε περίπτωση ισοβαθμίας οι εταιρείες μοιράζονται την αγορά). Έστω ότι το παίγνιο επαναλαμβάνεται επ άπειρο, με συντελεστή προεξόφλησης δ, 0<δ<1. Οι δύο εταιρείες συμφωνούν να προσφέρουν την υπηρεσία σε μία κοινή τιμή, p*, τέτοια ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος τους (το οποίο και μοιράζονται). Ωστόσο, αν μια εταιρεία αθετήσει τη συμφωνία, η άλλη εταιρεία το αντιλαμβάνεται με καθυστέρηση μιας περιόδου, οπότε η όποια τιμωρία εφαρμόζεται τη μεθεπόμενη περίοδο από την αθέτηση της συμφωνίας. α) Βρείτε για ποιες τιμές του δ η συμφωνία είναι βιώσιμη. (1) β) Έστω ότι η αναγνώριση της αθέτησης της συμφωνίας καθυστερεί δύο περιόδους, με αποτέλεσμα η τιμωρία να επέρχεται την τρίτη περίοδο μετά την αθέτηση της συμφωνίας. Για ποιες τιμές του δ είναι βιώσιμη η συμφωνία σε αυτή την περίπτωση; (1 μονάδα) γ) Σχολιάστε τα αποτελέσματα που πήρατε στα δύο προηγούμενα ερωτήματα. Σε ποια περίπτωση η ελάχιστη τιμή του δ είναι μεγαλύτερη και γιατί; (0.5 μονάδες) Σημείωση: Για να απαντήσετε στο ερώτημα (γ) δεν είναι απαραίτητο να έχετε απαντήσει τα δύο προηγούμενα ερωτήματα. Δίνονται: 2 0, και , 794. α) Έστω π* το κέρδος που μοιράζονται οι δύο εταιρείες ανά γύρο του παιχνιδιού, όταν εμμένουν στην συμφωνηθείσα κοινή τιμή p* (δεν μας ενδιαφέρει ποια είναι η ακριβής τιμή του p* και του π*, μιας και δεν θα επηρεάσει το τελικό αποτέλεσμα). Έστω λοιπόν ότι μια εταιρεία αθετεί τη συμφωνία. Προφανώς η εταιρεία θα χαμηλώσει λίγο (απειροελάχιστα) την τιμή που προσφέρει την υπηρεσία, κερδίζοντας έτσι ολόκληρη την αγορά, χωρίς ουσιαστική μεταβολή στο συνολικό κέρδος. Αυτό θα συμβεί για δύο περιόδους. Από την τρίτη περίοδο (δύο περιόδους μετά την αθέτηση της συμφωνίας) και μετά, η άλλη εταιρεία θα τιμολογήσει την υπηρεσία στο κόστος, μηδενίζοντας έτσι το κέρδος και για τις δύο εταιρείες. Το βραχυπρόθεσμο κέρδος της εταιρείας που αθέτησε τη συμφωνία είναι π*+δπ*, ενώ στη συνέχεια το κέρδος θα είναι μηδέν και για τις δύο εταιρείες. Εάν δεν αθετούσε τη συμφωνία, η εταιρεία θα κέρδιζε π*/2 για πάντα, άρα το μακροπρόθεσμο κέρδος της θα ήταν π*/(2(1-δ)).

4 Για να είναι λοιπόν διατηρήσιμη η συμφωνία θα πρέπει να ισχύει: π*/(2(1-δ))>π*(1+δ) ή 1+δ<1/(2(1-δ)) ή (1+δ)(1-δ)<1/2 ή 1-δ 2 <1/2 ή δ 2 >1/2 ή δ> β) Με παρόμοιους υπολογισμούς, θα πρέπει να ισχύει: π*/(2(1-δ))>π*(1+δ+δ 2 ) ή 1+δ+δ 2 <1/(2(1-δ)) ή (1-δ)(1+δ+δ 2 )<1/2 ή 1+δ+δ 2 -δ-δ 2 -δ 3 <1/2 ή 1-δ 3 <1/2 ή δ 3 >1/2 ή δ>0,794. γ) Παρατηρούμε ότι για μεγαλύτερη περίοδο καθυστέρησης ενεργοποίησης της τιμωρίας αυξάνεται και η ελάχιστη τιμή του δ για την οποία η συμφωνία είναι βιώσιμη. Αυτό είναι αναμενόμενο μιας και όσο το βραχυπρόθεσμο όφελος αυξάνεται (μεγαλύτερη περίοδο καθυστέρησης ενεργοποίησης της τιμωρίας), τόσο μεγαλύτερη αξία θα πρέπει να έχει το μακροπρόθεσμο όφελος από την τήρηση της συμφωνίας (μεγάλες τιμές του δ) για να είναι η συμφωνία βιώσιμη. ΘΕΜΑ 5 ο (2,5) Έστω μια δημοπρασία δεύτερης τιμής με δύο υποψήφιους αγοραστές. Η αξία του αντικειμένου για κάθε έναν αγοραστή (άγνωστη στον άλλο αγοραστή και στον πωλητή) είναι μεταξύ 0 και 1, με ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας. Ο πωλητής θέτει μια ελάχιστη τιμή r (reserve price), 0 r 1, η οποία είναι γνωστή στους παίκτες. Εάν οι δύο προσφορές είναι μικρότερες από r, το αντικείμενο δεν πωλείται. Εάν μία μόνο προσφορά είναι μεγαλύτερη ή ίση από το r, το αντικείμενο πωλείται στην τιμή r στον παίκτη με τη μεγαλύτερη προσφορά. Εάν και οι δύο οι προσφορές είναι μεγαλύτερες από r, το αντικείμενο πωλείται στον παίκτη με τη μεγαλύτερη προσφορά αλλά στην τιμή που καθορίζεται από τη δεύτερη προσφορά. α) Βρείτε ένα σημείο ισορροπίας Nash με καθαρές στραγητικές για τους δύο παίκτες. (1,25) β) Με δεδομένη την κατανομή των προτιμήσεων των δύο παικτών, ποια τιμή για το r μεγιστοποιεί το αναμενόμενο κέρδος του πωλητή; (1,25) Σημείωση: Για δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ που παίρνουν ισοπίθανες τιμές στο διάστημα [a,b], η αναμενόμενη τιμή του min(x,υ) είναι a+(b-a)/3. α) Όπως και στην απλή δημοπρασία δεύτερης τιμής, έτσι και εδώ οι παίκτες έχουν κυρίαρχη στρατηγική να προσφέρουν την υποκειμενική για αυτούς αξία, ανεξαρτήτως αν αυτή είναι μεγαλύτερη από r ή όχι. Αν η υποκειμενική αξία είναι μικρότερη από r, έτσι και αλλιώς δεν πρόκειται να κερδίσουν τη δημοπρασία (οπότε δεν έχει διαφορά από το να μην παίξουν). Εάν η υποκειμενική τους αξία είναι μεγαλύτερη από r, εφόσον κερδίσουν δεν θα πληρώσουν όσα προσέφεραν αλλά το μέγιστο μεταξύ του r και της τιμής που προσέφερε ο έταιρος παίκτης. Εάν προσφέρουν μικρότερη τιμή από την υποκειμενική αξία, το μόνο το οποίο ρισκάρουν είναι να μην κερδίσουν τη δημοπρασία (και όχι να πληρώσουν λιγότερο). Ο συνδυασμός λοιπόν των δύο κυριάρχων στρατηγικών είναι το σημείο ισορροπίας Nash με καθαρές στρατηγικές. β) Θα υπολογίσουμε το αναμενόμενο κέρδος του διοργανωτή, με παράμετρο το r. Έχουμε τρεις περιπτώσεις: β1) Κανείς παίκτης δεν προσφέρει παραπάνω από r. Η πιθανότητα ο ένας παίκτης να προσφέρει λιγότερο από r είναι ίση με r. Η πιθανότητα και οι δύο παίκτες να προσφέρουν τιμές μικρότερες από r ισούται με r 2. Σε αυτή την περίπτωση ο διοργανωτής δεν κερδίζει τίποτα.

5 β2) Ο ένας εκ των δύο παικτών προσφέρει πάνω από r και ο άλλος κάτω από r. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 2r(1-r). Σε αυτή την περίπτωση, ο πωλητής κερδίζει r, άρα η συμβολή στο αναμενόμενο κέρδος αυτής της περίπτωσης είναι 2r 2 (1-r). β3) Και οι δύο παίκτες προσφέρουν πάνω από r, κάτι που μπορεί να συμβεί με πιθανότητα (1-r) 2. Σε αυτή την περίπτωση ο νικητής πληρώνει όσα προσέφερε ο δεύτερος. Όλες οι τιμές είναι ισοπίθανες, άρα έχοντας δύο τιμές στο διάστημα [r,1], θέλουμε να βρούμε την αναμενόμενη τιμή της μικρότερης αυτών. Σύμφωνα με την υπόδειξη, αυτή ισούται με r+(1-r)/3. Άρα, η συνεισφορά στο αναμενόμενο όφελος του πωλητή από αυτή την περίπτωση είναι: (1-r) 2 [r+(1-r)/3] Άρα, το συνολικό αναμενόμενο όφελος του πωλητή (και από τις τρεις περιπτώσεις) είναι: π = 2r 2 (1-r) + (1-r) 2 [r+(1-r)/3] Αν το αναλύσουμε έχουμε: π = 2r 2-2r 3 + (1-2r+r 2 )[2r/3+1/3] = 2r 2-2r 3 + 2r/3 + 1/3-4r 2 /3-2r/3 + 2r 3 /3 + r 2 /3 = 1/3 + r 2-4r 3 /3 Η παράγωγος ως προς r είναι π' = 2r-4r 2, η οποία μηδενίζεται για r = 0 και r = ½. Η δεύτερη παράγωγος είναι π'' = 2-8r. Το σημείο r=0 αποτελεί τοπικό ελάχιστο, μιας και εκεί η δεύτερη παράγωγος έχει θετική τιμή ίση με 2. Το σημείο r=1/2 αποτελεί τοπικό μέγιστο, μιας και εκεί η δεύτερη παράγωγος έχει αρνητική τιμή ίση με -2. Για επαλήθευση σχεδιάζουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης π(r), όπως φαίνεται παρακάτω: Πράγματι λοιπόν, για r=0.5 έχουμε το μέγιστο της αναμενόμενης απολαβής για τον πωλητή, η οποία ισούται με μονάδες ωφέλους. Απαντήστε 4 από τα παραπάνω 5 θέματα