Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα

Transcript

1 Κίνηση φορτισµένο σµατιδίο σε χώρο, όπο σνπάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα (Μέρος β ) (...Άραγε πόσα θα μας φανερώσει ή πόσο θα μας ταράξει η λάμψη της παράξενης ταχύτητας το φτός;...) «...να µο επιτρέψετε όµς µια ερώτηση στον κ. Μαχαίρα. Γιατί ήταν απαραίτητη µια γενική µελέτη µε τόσες διαφορικές, πο εµένα τολάχιστον µο δηµιούργησε πρόβληµα πάν στην αρχική άσκηση;...» Σπύρος Μαλαφέτσης Κύριε Μαλαφέτση έχετε κάθε δίκιο να διαµαρτύρεστε, αλλά σκοπός µο δεν ήταν να δώσ απλά µια λύση στην άσκηση το ιονύση µε δο τρεις επιπλέον πληροφορίες. Η κίνηση φορτίο σε πεδία, µας επιβάλλει να γίνοµε θεατές σε ένα όµορφο παιχνίδι ορίν ανάµεσα στο Νεύτνα, τον Maxwell και τον Αϊνστάιν, µε µια Φύση να προ(σ)καλεί το φς, πο έξ από όλος τος χρόνος στέκεται, στις εµπειρίες και στις σκέψεις το βιαστικού χρόνο της καθηµερινότητάς µας... Σκοπός µο λοιπόν ήταν να ξεδιπλώσ την οµορφιά το φαινοµένο, στην έκταση πο θα κατάφερνα να δ, θέτοντας ς βασικό µο ερώτηµα να βρούµε πόσα θα µας φανερώσει ή πόσο θα µας ταράξει η λάµψη της παράξενης ταχύτητας ατού το άχρονο φτός, πο αλλάζει τα πεδία το στα µάτια τν παρατηρητών και κάνει τα φτόνιά το καµιά φορά να µας... «κοροϊδεύον». Ωστόσο, µε τα φτερά πο έδσε στην όλη µο προσπάθεια ο έλεγχος και η 3D apple οπτικοποίηση τν εξισώσεν από το Γιάννη Κριακόπολο, προέτρεψα τος σναδέλφος να κάνον τος απαραίτητος µηδενισµούς στις παραµέτρος τν γενικών εξισώσεν πο έ- βγαλα, ώστε να πάρον τη λύση της σγκεκριµένης άσκησης. Με αφορμή όμς το ερώτημά σας, επιτρέψτε μο κύριε Μαλαφέτση, να «απολογηθώ» για την προηγούμενή μο ανάρτηση πιο αναλτικά: Παροσιάζοντας «αλλιώς» τη γενική εξίσση κίνησης το σµατιδίο Σχολιάζοντας κάποιες «αρχές» και κάποιες πολύ σνηθισµένες τακτικές προς τις οποίες πρέπει να είµαστε πάρα πολύ επιφλακτικοί, ώστε να πετύχοµε «...την καλύτερη απάντηση πο θα µπορούσαµε να δώσοµε...» στος πραγµατικά πολύ σοβαρούς προβληµατισµούς της µαθήτριας το κ.αντρέα Κασσέτα 1

2 Παίρνοντας θέση στο «παράδοξο» το κ. Γιάννη Μιχαλόπολο ιαβάζοντας µε διάφορος τρόπος, µεταφράζοντας δηλαδή, τη γενική εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο Βλέποντας τις καταπληκτικές διερενητικές δηµιοργίες το Σταύρο Λέτη Προσαρµόζοντας τη γενική εξίσση κίνησης ώστε να καλύψει την αρχική άσκηση το ιονύση Αναλύοντας την τροµερής φσικής διαίσθησης λύση πο έδσε ο ιονύσης ιαβάζοντας στην εξίσση κίνησης την πολδύναµη µετάφραση της Ίριδας πισηµαίνοντας κάποια καινούρια πο πρέπει να προσέξοµε. Ας πάµε λοιπόν έναν περίπατο σε ένα πολύ όµορφο φαινόµενο µε την ελπίδα να γίνοµε όλοι σοφότεροι και αφήστε µε να περιγράφ τι βλέποµε, όχι ς δάσκαλος (ατό ούτε καν το διανοούµαι), αλλά ς ο περισσότερο φλύαρος από την παρέα. Α. Η γενική εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο Σε κάποιο χώρο σνπάρχον δύο οµογενή και χρονοανεξάρτητα πεδία, ένα ηλεκτρικό και ένα µαγνητικό. Γενικά, οι εντάσεις τν πεδίν θα σχηµατίζον µεταξύ τος γνία. Προκειµένο να µελετήσοµε το φαινόµενο, επιλέγοµε σύστηµα σντεταγµένν έτσι ώστε η έντασηβ r το µαγνητικού πεδίο να βρίσκεται πάν στον άξονα z, ενώ το επίπεδο πο ορίζον οι εντάσεις r r και Β τν δύο πεδίν εκλαµβάνεται ς επίπεδο Oz. Ατό σηµαίνει ότι στη γενική περίπτση πο εξετάζο- µε, θα χρησιµοποιηθεί µια σνιστώσα για το µαγνητικό πεδίο και δύο σνιστώσες για το ηλεκτρικό. r r r = j+ E k (E, E z = πραγµατικές σταθερές ) z r r r r = k = k ( = πραγµατική σταθερά) z Σµατίδιο µάζας και φορτίο q εκτοξεύεται στο χώρο τν δύο πεδίν µε αρχική ταχύτητα r 0. Για εκολία στη γραφή τν σχέσεν, µιας και δεν έχει καµιά επίπτση στα σµπεράσµατά µας, επιλέγοµε τη θέση από την οποία ε- κτοξεύτηκε το σµατίδιο, ς την αρχή Ο το σστήµατος τν αξόνν. Άρα η αρχική θέση το σµατιδίο θερείται µηδέν. Θερώντας αµελητέο το βάρος το, στο σ-

3 µατίδιο δρα µόνο η δύναµη Lorenz. Η περιγραφή της κίνησης το σµατιδίο θα γίνει βρίσκοντας την εξίσσή της από το νόµο το Νεύτνα, πο θα µας οδηγήσει σε µια πολύ απλή στην όψη, διαφορική εξίσση το διανύσµατος θέσης r ( ) το σµατιδίο r d r( ) r r r = qe+ q ( ) (1) d Προκειµένο να πάρξει ενιαίος σµβολισµός µε τις λύσεις το ιονύση και της Ίριδας, q καλώ = (Τρέχ να προλάβ την παράξενη «λατρεία» µας να λέµε ή να µετατρέποµε τελικά σε γνιακή ταχύτητα οτιδήποτε σµβολίζεται µε. Το είναι ένα απλό σύµβολο µιας µονόµετρης ποσότητας, πο επαναλαµβάνεται µέσα στις σχέσεις και πο µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ανάλογα µε τις τιµές τν q και Β. Θα µπορούσα να το έλεγα ρ ή γ ή λ ή ό,τι άλλο θέλ. Με ατή την έννοια το απλού σµβόλο το έθεσα στις παραπάν εξισώσεις και ς απλό σύµβολο το αφήν για να επανέλθ αργότερα.) Μετά από όλα τα παραπάν, οι γενικές εξισώσεις κίνησης (9), (10), (11) της προηγούµενής µο ανάρτησης, πο προσδιορίζον την τροχιά το φορτισµένο σµατιδίο µετατρέπονται στις σναρτήσεις 0 E 0 x = σν + ηµ + + () 0 = σν + ηµ (3) qe z z = + 0 z όπο q = (4) Β. Σχολιάζοντας την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν» ή αλλιώς επισηµαίνοντας µια σνηθισµένη επικίνδνη τακτική Για λόγος πο εξηγώ στο 5ο κεφάλαιο το βιβλίο «Θέµατα Φσικής-Παρανοήσεις και προτάσεις πέρβασής τος» παρακάµπτ το ποιοι, πώς και γιατί καθιέρσαν την τόσο ποµπώδη φράση «Αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν», κλείν τα ατιά µο στος ήχος της και την απορρίπτ εθύς εξαρχής και ς φράση και ς διατύπση, θερώντας την πεύθνη ποικίλν παρανοήσεν και εκτροχιασµών. 3

4 Η ανάλση της κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο στα πεδία, είναι µια ακόµη εκαιρία να εντοπίσοµε τα όρια πο πρέπει να έχοµε στο µαλό µας, όταν σε κάποιο πρόβληµα κίνησης, χρησιµοποιούµε τη λιγότερο ποµπώδη φράση επαλληλία (ή σύνθεση ή πέρθεση ή άθροισµα) κινήσεν ή την ακόµη καλύτερη, κατά τη γνώµη µο, φράση επαλληλία (ή σύνθεση ή πέρθεση ή άθροισµα) εξισώσεν κίνησης. Ένα πρόβληµα κίνησης ποτέ, µα ποτέ δε το αντιµετπίζοµε µε την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν», µε επαλληλία εξισώσεν κίνησης δηλαδή, αν δεν έχοµε την πείρα ή τη γνώση, ότι µπορούµε να κάνοµε κάτι τέτοιο. Πρώτα καταστρώνοµε τη διαφορική εξίσση πο αφορά το σγκεκριµένο πρόβληµα κίνησης και επιλέγοµε τον τρόπο πο θα χρησιµοποιήσοµε για να τη λύσοµε (διανύσµατα, σύστηµα σντεταγµένν, τι είδος σύστηµα σντεταγµένν κ.λ.π.). Στη διαφορική εξίσση πο καταστρώσαµε και στην εξίσση κίνησης πο θα προκύψει από τον τρόπο πο επιλέξαµε για να λύσοµε τη διαφορική, µπορούµε αν θέλοµε και ανάλογα µε τις διαθέσεις µας, την ικανότητά µας και τις επιδιώξεις µας (βελτίση της προσπικής µας αντίληψης για το φαινόµενο ή βελτίση της διδακτικής το φαινοµένο) να κάνοµε ό,τι θέλοµε... Αλλά έχοντας πάντα στος χειρισµούς µας, τον «αέρα» πο µας έδσε η διαφορική εξίσση και η λύση της. Μπορούµε δηλαδή στη διαφορική και στη λύση της, να δούµε ό,τι θέλει και µπορεί να δει η φαντασία µας, ό,τι θέλει και τραβά η όρεξή µας. Μπορούµε να δούµε οποιαδήποτε επαλληλία εξισώσεν κίνησης, αρκεί να βλέποµε σστά και πάντα γνρίζοντας τις επιµέρος λεπτοµέρειες της φσικής το φαινοµένο. Ποτέ µα ποτέ όµς δε λύνοµε άγνστο πρόβληµα κίνησης µε την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν» ( * ), µε επαλληλία εξισώσεν κίνησης δηλαδή, αν δεν έχοµε ισχρότατος λόγος πο να σνηγορούν ότι µπορούµε να το κάνοµε και, το κριότερο, ότι µπορούµε να το κάνοµε µε τη σγκεκριµένη επαλληλία εξισώσεν πο επιλέξαµε. Ας το π κι αλλιώς: Η διαφορική εξίσση και η λύση της µας δίνον τον αέρα και το δικαίµα να µιλάµε ή όχι για επαλληλία και για το ποια σγκεκριµένη επαλληλία εξισώσεν κίνησης. Το αντίστροφο δεν ισχύει. ( * ) ίναι η προτελεταία φορά πο χρησιµοποιώ σε ατό το κείµενο ατή την επικίνδνη φράση. Θα χρησιµοποιήσ τη φράση «επαλληλία εξισώσεν κίνησης» 4

5 Θα πρέπει λοιπόν να περάσει στη σνείδησή µας, ότι η επαλληλία εξισώσεν κίνησης είναι «παιχνίδια» πο κάνοµε στη µία, τη µόνο µία κίνηση, πο µπορεί να εκτελεί το σώµα για κάποιον σγκεκριµένο παρατηρητή Η επαλληλία εξισώσεν κίνησης, είναι «παιχνίδια» πο κάνοµε, πατώντας πάντα και τα δο µας πόδια στη διαφορική εξίσση και τη λύση της Πρέπει δηλαδή η κάθε προσπάθειά µας να δούµε σε µια εξίσση κίνησης ε- παλληλία εξισώσεν κίνησης, να οδηγεί στο τέλος στη λύση της διαφορικής ή να είναι µαθηµατικά ισοδύναµη µε τη λύση της διαφορικής πο βρήκαµε. Οποιαδήποτε άλλα «παιγνίδια» κάνοµε για να «προφητεύσοµε» τη θέση το κινητού µε επαλληλία πο δεν πηγάζει από τη λύση της διαφορικής και πετύχοµε, είναι ή κάποια κρµµένη επαλληλία πο δεν µπορέσαµε να δούµε στη λύση ή διάφορα τρκ πο µόλις τα ανακαλύψαµε και πο η περιορισµένη εµβέλειά τος θα οδηγήσει πολύ κόσµο, ακόµη και µας ίσς, σε παρανοήσεις. Σπεύδ να προλάβ, ότι η χρήση το όρο «παιχνίδια» δεν έγινε ποτιμητικά. Πιστεύ λοιπόν απόλτα, ότι η επαλληλία εξισώσεν κίνησης είναι ένας πάρα πολύ καλός τρόπος να δούµε πιο ανάγλφα κάποια πράγµατα. Αρκετές φορές µάλιστα είναι ανπέρβλητος τρόπος, όχι µόνο για να κατανοήσοµε και εµείς την κίνηση, αλλά και για να τη διδάξοµε. Δεν είναι όμς αξιόπιστος τρόπος δολειάς φσικού, σε πρτόγνρο πρόβλημα κίνησης. Μετά από ατά, στο ερώτηµα το κ. Σπύρο Μαλαφέτση «Γιατί ήταν απαραίτητη µια γενική µελέτη µε τόσες διαφορικές...», πο τέθηκε στην αρχή το κειµένο και απετέλεσε και αφορµή ατής της ανάρτησης στο «παράδοξο» το κ. Γιάννη Μιχαλόπολο στη µαθήτρια το κ. Αντρέα Κασσέτα, στην οποία όµς θα πρέπει να προσαρ- µόσοµε την απάντηση αν θέλοµε να µας καταλάβει, γιατί δεν ξέρει διαφορικές και έτσι είναι δύσκολο να καταλάβει!!! (Θα το επιχειρήσ στο τέλος το κειµένο) ας επιχειρήσοµε µια πρώτη απάντηση: Οποιαδήποτε επαλληλία εξισώσεν κίνησης ή οποιοδήποτε κινηµατικό ή γεµετρικό τέχνασµα και να εφαρµόσοµε για να δούµε πο θα είναι το κινητό µετά από χρόνο, δε θα είναι αξιόπιστο, αν δεν οδηγεί άµεσα ή έµµεσα στην εξίσση κίνησης πο έδσε η διαφορική εξίσση, αν δηλαδή δεν έχει την ελογία της διαφορικής. 5

6 Γ. Μεταφράζοντας την εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο Υπάρχον οι παρακάτ βασικές επιλογές στην επίλση µιας διαφορικής εξίσσης: πίλση διαφορικής εξίσσης Ι. ιανσµατικά χρίς επιλογή και χρήση αξόνν ΙΙ.Με χρήση αξόνν (σντεταγµένν) ΙΙα.Καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένν ΙΙβ.Άλλο σύστηµα σντεταγµένν µείς επιλέξαµε την πορεία IΙα και ατή θα µεταφράζοµε: Όπς ήδη αναφέραµε, η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο µέσα στα δύο πεδία δίνεται από το διάνσµα θέσης το r r r r r( ) = x i + j+ z k (5) όπο οι εξισώσεις κίνησης το σµατιδίο στος τρεις άξονες είναι 0 E 0 x = σν + ηµ + + (6) 0 = σν + ηµ (7) qez z = + 0 z και q = (8) ιάφορες περιγραφές, το πώς κάποιος έλσε τη διαφορική (1) και τί βλέπει στις σχέσεις (6), (7) και (8), θα µπορούσαν να εκληφθούν ς µεταφράσεις της µίας και µοναδικής κίνησης πο εκτελεί το σώµα, σε διάφορες ε- παλληλίες εξισώσεν κίνησης. Άρα θα πάρχον τόσες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης για να περιγραφεί η µία και µοναδική κίνηση, όσες µεταφράσεις µπορέσοµε να διατπώσοµε, όση φαντασία και... ανάγκη γι ατό διαθέτοµε!!!!! 6

7 Στον άξονα x µπορούµε να δούµε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο τη σχέση (6) 1. Η εξίσση κίνησης στον άξονα x είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 σν µιας αρµονικής ταλάντσης ηµ µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης E + 0. Η εξίσση κίνησης στον άξονα x είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 σν + 0 µιας αρµονικής ταλάντσης ηµ µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης E 3. Η εξίσση κίνησης στον άξονα x είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 σν + ηµ + 0 γύρ από το σηµείο 0 µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης E κ.λ.π. 7

8 Στον άξονα µπορούµε να δούµε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο τη σχέση (7) 1. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης σν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 ηµ. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης σν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 ηµ 3. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι εξίσση κ.λ.π. µιας αρµονικής ταλάντσης = σν 0 + ηµ Στον άξονα z µπορούµε να δούµε µία κίνηση ή µια επαλληλία εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο τη σχέση (8) 1. Η εξίσση κίνησης στον άξονα z είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης χρίς αρχική ταχύτητα qez µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης 0 z 8

9 . Η εξίσση κίνησης στον άξονα z είναι εξίσση qez µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης µε αρχική ταχύτητα + 0 z κ.λ.π. Μπορώ λοιπόν από τις παραπάν επαλληλίες να σνδάσ οποιαδήποτε επαλληλία το άξονα x, µε οποιαδήποτε το και µε οποιαδήποτε το z και να έχ µια επαλληλία εξισώσεν κίνησης για την πραγµατική κίνηση το σµατιδίο. Αν κάν σνδασµούς επιπέδο (δύο άξονες µαζί) και τρίτο άξονα µπορώ να δ και άλλες επαλληλίες εξισώσεν γνστών κινήσεν. Για παράδειγµα, γράφοντας τις εξισώσεις (6), (7) και (8) ς 0 0 E x = σν + ηµ + (9) 0 + = σν + ηµ (10) qez z = + 0 z και q = (11) µπορούµε να σνδάσοµε επίπεδα ή άξονες και να δούµε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο 1. Η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας οµαλής κκλικής κίνησης στο επίπεδο x µε εξισώσεις 0 x = 0 σν + ηµ 9

10 + = σν + 0 ηµ µε κέντρο στο σηµείο 0, το επιπέδο x και «µέτρο γνιακής ταχύτητας» = q µιας εθύγραµµης οµαλής E στον άξονα x µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης qez + στον άξονα z 0 z. Η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο είναι επαλληλία τν ε- ξισώσεν µιας οµαλής κκλικής κίνησης στο επίπεδο x µε κέντρο στο σηµείο 0, το επιπέδο x µε ακτίνα R= και «µέτρο γνιακής ταχύτητας» = q µιας εθύγραµµης οµαλής E στον άξονα x µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης qez + 0 z στον άξονα z 10

11 3. Η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο είναι επαλληλία τν ε- ξισώσεν µιας οµαλής κκλικής κίνησης στο επίπεδο x µε κέντρο στο σηµείο 0, το επιπέδο x µε ακτίνα R= µε «µέτρο γνιακής ταχύτητας» = q κ.λ.π. µιας παραβολικής κίνησης z= Ez x E oz + x E στο επίπεδο xz Σµπέρασµα: Σε µια εξίσση κίνησης µπορούµε να δούµε οποιαδήποτε επαλληλία εξισώσεν κίνησης θέλοµε, αρκεί το άθροισµά τος να είναι ίδιο ή µαθηµατικά ι- σοδύναµο µε την εξίσση κίνησης πο έβγαλε η διαφορική εξίσση. Σε µια κίνηση κάντε, αν ατό σας βοηθά, οποιοδήποτε κινηµατικό, γεµετρικό, πολογιστικό κ.λ.π. τρκ θέλετε, αρκεί να οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσµα µε τη λύση της διαφορικής. Όµς έχετε εθύνη να εξασφαλίσετε ότι δε βάζει σε κίνδνο τος σλλογισµούς µας, τος σλλογισµούς ατών πο σας ακούνε, δεν ανάγει το τρκ σε µέθοδο αντιµετώπισης τν κινήσεν γενικά, δε βάζει σε κίνδνο την αλήθεια της διαφορικής εξίσσης και δε τη διασύρει, δεν ενθαρρύνει τος ανθρώπος να διώξον από τη σνείδησή τος τα µαθηµατικά και την αξία πο έχον για τη φσική αντικαθιστώντας τα µε προχειρότητες, δεν αντιστρέφει τις σλλογιστικές προτεραιότητες, δεν... δεν... δεν... 11

12 Μετά από ατά, 1) Σµφνώ απόλτα µε το σµπέρασµα στο οποίο κατέληξε η κοβέντα τν σναδέλφν για το «παράδοξο» το κ. Γιάννη Μιχαλόπολο : «Η χρήση της επαλληλίας εξισώσεν κίνησης ή οποιοδήποτε τρκ στη λύση ασκήσεν πρέπει να γίνεται µε προσοχή, γιατί είναι µια πολύ επισφαλής µέθοδος» Το παραπάν έχει ήδη επισηµανθεί από πολλούς σναδέλφος µεταξύ τν οποίν θµίζ τα λόγια το Νίκο (το Ανδρεάδη) «...κάθε σώµα εκτελεί µία κίνηση για κάθε παρατηρητή... Τώρα αν κάποιος επιθµεί να βρει δύο εξισώσεις κινήσεις πο να φέρνον σστά αποτελέσµατα χρίς να γνρίζει τη διαφορική και τη λύση της, είναι θέµα τύχης αν θα το επιτύχει... Η γνώµη µο είναι ότι σε περιπτώσεις όπο η εξίσση κίνησης είναι περίπλοκη, πρέπει ένας καλός άνθρπος να λύσει τη διαφορική εξίσση και να µε ενηµερώσει ότι µπορώ να έχ τα ίδια αποτελέσµατα αν χρησιµοποιήσ δύο (ή τρεις) πιο απλές εξισώσεις κίνησης οι ο- ποίες προκύπτον από τη λύση της διαφορικής... Ακόµα πρέπει να µε ενηµερώσει αν εκτός από τις θέσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις µπορώ να προσθέτ και τις ε- νέργειες...» ) Με τη µαθήτρια πο θέλησε να εξετάσει την κίνηση το πρτονίο α) µε «αρχή ανεξαρτησίας τν κινήσεν» και β) µε κινούµενο παρατηρητή, τα πράµατα είναι αρκετά δύσκολα και θέλει µεγάλη προσοχή στος χειρισµούς. Προσπικά: Θα προσπαθούσα να της βγάλ από το µαλό την αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν, ώστε να µη νοµίζει ότι έχει στα χέρια της καµιά κρµµένη «αρχή» της Φύσης και το κριότερο να µη νοµίζει ότι ένα κινητό µπορεί να σµµετέχει σε πολλές κινήσεις πο είναι ανεξάρτητες µεταξύ τος. Θα προσπαθούσα να της π ότι στη φσική, χρησιµοποιούµε καµιά φορά τη λεγόµενη επαλληλία εξισώσεν κίνησης (ή τέλος πάντν την επαλληλία κινήσεν) Θα προσπαθούσα να της βάλ στο µαλό της, ότι η κίνηση είναι πάντα µόνο µία και ότι τα πόλοιπα είναι µαθηµατικά τερτίπια. ίναι δηλαδή προσθετέοι πο σε κάποιες δύσκολες για την ηλικία της ή για τα µαθηµατικά τος περιπτώσεις κινήσεν, µας διεκολύνει να τος εξετάζοµε χριστά και να βγάζοµε σµπεράσµατα για τη µία τη µόνο µία κίνηση το σώµατος. Θα προσπαθούσα να της βγάλ από το µαλό ότι µπορεί να αντιµετπίζει την κάθε κίνηση µε επαλληλίες εξισώσεν κίνησης πο θα εφερίσκει στην τύχη Θα προσπαθούσα να της π ότι οι τρεις-τέσσερις κινήσεις πο διδάχτηκε ή θα διδαχτεί στο Λύκειο ς επαλληλίες, είναι ελεγµένες από τος δασκάλος της, ότι µπορούν να αντιµετπιστούν ς τέτοιες επαλληλίες, όπς τις διδάχτηκε. Γι ατές τις κινήσεις και µόνο να µιλάει για επαλληλίες και αν θέλει να τις α- ντιµετπίζει ς επαλληλίες εξισώσεν κίνησης, µέχρι να µεγαλώσει. 1

13 Για τις άλλες κινήσεις, όπς π.χ. η κκλική, πρέπει να εγκαταλείψει όσο πιο γρήγορα γίνεται τις επαλληλίες πο φαντάζεται. Αν όµς επιµένει να της βρ επαλληλίες θα της π να ακούσει το δάσκαλό της ποια επαλληλία µπορεί να περιγράψει την οµαλή κκλική κίνηση, προειδοποιώντας την ότι κατά πάσαν πιθανότητα να µην τον καταλάβει τι θα της λέει. (Την επαλληλία πο οδηγεί σε οµαλή κκλική κίνηση θα την αναλύσ παρακάτ) Στο ερώτηµα της «...αν φανταστώ τον εατό µο να κινείται µε σταθερή ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα πο έχει το σµατίδιο σε κάποια στιγµή, τι είδος κίνηση θα ήταν για µένα η ς προς το έδαφος κκλική κίνηση;...» θα προσπαθούσα να την πείσ ότι ένα φαινόµενο µπορεί να περιέχει κίνηση, αλλά να µην είναι µόνο κίνηση. Θα της έλεγα ότι είναι λάθος να ξεχρίζει το φαινόµενο σε κοµµάτια, αλλά πρέπει να βλέπει το φαινόµενο στο σύνολό το. Θα της έλεγα ότι στην περίπτση το πρτονίο πο εξετάζοµε, δεν έχοµε απλά ένα σώµα πο κάνει «ξερούς» κύκλος και ζητάµε να βρούµε τη µορφή της τροχιάς πο βλέπει κάποιος άλλος αδρανειακός παρατηρητής. εν έχοµε απλά µια κκλική κίνηση και ζητάµε τη µετάφραση της τροχιάς από κάποιον άλλο αδρανειακό παρατηρητή. δώ έχοµε ένα φορτίο πο κινείται σε µαγνητικό πεδίο και θέλοµε να δούµε τι βλέπει ένας παρατηρητής πο τρέχει. Θα της έλεγα λοιπόν ότι η ερώτησή της γίνεται πολύ πιο δύσκολη, γιατί για τον κινούµενο παρατηρητή δεν αλλάζει µόνο η µορφή της τροχιάς, αλλά όπς ανέφερα στην προηγούµενή µο ανάρτηση, αλλάζει και το πεδίο µέσα στο οποίο κινείται το σµατίδιο. Και εκτός τούτο πρέπει να ελέγξ µήπς αλλάζει και η µάζα και το φορτίο και ίσς και η φσική ολόκληρη!!!! 3) Για να δώσοµε µια ικανοποιητική απάντηση στα ερτήµατα της µαθήτριας µπροστά σε φσικούς, αποσία της όµς, σκεφτόµαστε σύµφνα µε ατά πο αναφέραµε στα προηγούµενα. Ας τα δούµε... Το πρώτο ερώτημα της μαθήτριας «...σκέφτηκα λοιπόν σε µια περίπτση πο εκτοξεύεται ένα πρτόνιο σε µαγνητικό πεδίο κάθετα στις δναµικές γραµµές να προβλέψ τη θέση το στην οµαλή κκλική κίνηση πο κάνει µε «την αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν». Σε κάποια χρονική στιγµή έχει ταχύτητα και η ασκούµενη δύναµη είναι κάθετη στην ταχύτητα. Η θέση το µετά χρόνο µπορεί να προβλεφθεί εάν το φανταστώ α. να εκτελεί επί χρόνο την κίνηση Α, ατή πο θα ε- κτελούσε εάν δεν πήρχε δύναµη εθύγραµµη ο- µαλή µε ταχύτητα - και στη σνέχεια β. επί τον ίδιο χρόνο, την κίνηση πο θα εκτελούσε εάν δεν πήρχε ταχύτητα - κάθετα στην προηγούµενη - πό την επίδραση µιας δύναµης F πο να κατεθύνεται προς το κέντρο. Με ατό τον τρόπο µπορώ να προβλέψ ότι θα βρεθεί στο σηµείο της κκλικής τροχιάς στο οποίο τελικά βρίσκεται µετά χρόνο. Κάν κάποιο λάθος ;...» 13

14 1ος τρόπος απάντησης στη µαθήτρια µπροστά σε φσικούς, µε τη µαθήτρια απούσα Ναι κοπέλα µο, κάνεις λάθη!!!!! Η λύση της διαφορικής είναι οι εξισώσεις (), (3) και (4). Αν κάν τος κατάλληλος µηδενισµούς σε αρχικές ταχύτητες και πεδία, ώστε να πάροµε την περίπτση το πρτονίο της µαθήτριας, τότε η κίνησή το περιγράφεται από τις ξισώσεις κίνησης πρτονίο µαθήτριας x = ηµ (1) = σν (13) q όπο = > 0 και > 0 (14) Το να «φανταζόµαστε» ότι το πρτόνιο επί χρόνο εκτελεί εθύγραµµη οµαλή κίνηση µε ταχύτητα, είναι σα να θέλοµε να «φανταζόµαστε» ότι στην εξίσση (1) πάρχει ο όρος, όταν είναι φς φανάρι ότι δεν - πάρχει!!!! πιµένοντας να «φανταζόµαστε» ατόν τον όρο, θα πρέπει η επόµενη ή οι επόµενες κινήσεις πο θα «φανταστούµε» να τον αφαιρέσονε. πειδή πάντα στο τέλος θα πρέπει να µας µείνονε οι εξισώσεις (1) και (13), αν πούµε ότι το πρτόνιο επί χρόνο εκτελεί εθύγραµµη οµαλή κίνηση µε ταχύτητα, θα πρέπει οι επόµενες κινήσεις πο θα «φανταστούµε» να το αναιρέσονε ατό. ηλαδή θα αρχίσοµε να «φανταζόµαστε» κινήσεις πο η µία να αναιρεί την άλλη. εν ξέρ αν ατό έχει κάποια αξία. Να λέ δηλαδή ότι τρέχ µε 5 /s και σε λίγο για να µη µε «ξεφνήσει» η διαφορική να µε βάζ να τρέχ και µε -5 /s!!!! Αν θέλοµε µπορούµε να «φανταζόµαστε» ότι στην (1) και στη (13) έχοµε 1 ακόµη και ελεύθερη πτώση g. Η λύση της διαφορικής θα µας επιβάλλει στις επό- µενες κινήσεις πο θα εφεύροµε, να την «ξεφανταστούµε» και να την αφαιρέσοµε. Έχει αξία ατό;;; Τι να π;;; Πρέπει να σνειδητοποιήσοµε πς ό,τι µα ό,τι και να βλέποµε και να φανταζό- µαστε στον άξονα x, ό,τι µα ό,τι και να βλέποµε και να φανταζόµαστε στον, ακό- µα και στον άξονα z ας φανταστούµε ό,τι θέλοµε, στο τέλος αν προσθέσοµε όλα όσα φανταστήκαµε, θα πρέπει να µας δώσον τη (1) και τη (13). 14

15 Και κάτι ακόµη! Ας µην ανακατέψοµε ποτέ στα µάτια µιας µαθήτριας και για κανένα λόγο, την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν» η οποία στον µόνο πο µπορεί να έχει εφαρµογή είναι ο Τσάρλι το κογιότ και οι Road Runners (οι µπιπ-µπιπ). Έγραφα κάποτε «...Αρκετές φορές ο Τσάρλι, στην προσπάθειά το να πιάσει κανέναν Runner, φτάνει στην άκρη το γκρεµού τρέχοντας. ε καταλαβαίνει τον κίνδνο και χρίς να σταµατήσει σνεχίζει ακάθεκτος την κούρσα το. Όταν πια έχει αποµακρνθεί από το χείλος το γκρεµού και βρίσκεται στον αέρα κινούµενος πάντα εθύγραµµα, σνειδητοποιεί το τροµερό γεγονός και τότε αρχίζει η ελεύθερη πτώση πο καταλήγει στο σχηµατισµό κρατήρα. Πρώτα λοιπόν η εθύγραµµη κίνηση και µετά η ελεύθερη πτώση. Ο Τσάρλι το κογιότ, πο εκτελεί τις κινήσεις µιας σύνθετης κίνησης διαδοχικά και ανεξάρτητα, µας κάνει και πολύ γελάµε πο δεν καταλαβαίνει εγκαίρς ότι στη Φύση δεν πάρχει αρχή ανεξαρτησίας κινήσεν. Στη Φύση πάρχον κινήσεις και όχι κινήσεις σε κοµµάτια puzzle. ε µπορεί ποτέ ένα κογιότ να εγκαταλείπει το γκρεµό, να κινείται εθύγραµµα και µετά να αρχίζει η ελεύθερη πτώση. Ούτε µπορεί ένα κογιότ να φτάνει στην άκρη το γκρεµού τρέχοντας, να χρίζεται σε δύο κογιότ και ο ένας εατός το να κινείται οριζόντια εθύγραµµα οµαλά, ενώ τατόχρονα ο άλλος εατός το να εκτελεί ελεύθερη πτώση. Και να ξαναενώνονται στον κρατήρα. Αν µας το δείχνανε κι ατό θα γελούσαµε πιο πολύ. Όταν όµς όλα ατά τα λέµε στην τάξη, σε παιδιά, ς «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν», κάπο µακριά το τσακάλι γελάει πο γελούσαµε τότε...» Ας µιλήσοµε λίγο ακόµη: Η επαλληλία τν εξισώσεν κίνησης δεν είναι για να στήνοµε ασκήσεις, εφερίσκοντας πιθανές κινήσεις πο µπορεί να κάνει το σώµα, ανεξάρτητα τη µία από την άλλη και όλες µαζί να καταλήγονε σε ατή πο µελετάµε. Η επαλληλία τν εξισώσεν κίνησης είναι η προσπάθειά µας να διαβάσοµε τη διαφορική εξίσση και τη λύση της µε έναν τρόπο πο θα µας βοηθήσει να καταλάβοµε καλύτερα το φαινόµενο και πιθανώς καλύτερα να το διδάξοµε. Τίποτε άλλο. Το «ποίηµα», «το µθιστόρηµα» είναι η διαφορική και η λύση της. Η επαλληλία είναι µια προσπική µας µετάφραση. Και τα πράµατα ατά ποτέ δεν αντιστρέφονται. Οι σλλογισµοί, πρέπει να το πιστέψοµε, έχον σειρά προτεραιότητας. ος τρόπος απάντησης στη µαθήτρια µπροστά σε φσικούς, µε τη µαθήτρια απούσα Ναι, κάνεις λάθη!!!!! Παίζοντας µε τον αριθµό τν περιστροφών µπορώ να κάν την εθύγραµµη αρχική «κίνηση» τόσο µεγάλη, τόσο µακρινή, µπορώ να κάν το πρτόνιο να πάει τόσο µακριά, πο 15

16 στο τέλος η οποιαδήποτε δύναµη F (αν µπορέσει να λειτοργήσει χρίς... αρχική ταχύτητα) να το πάει επίσης πολύ µακριά πέρα από µια διάµετρο το κύκλο. Η «σύνθεσή τος ποτέ δε θα δώσει κάποιο σηµείο το κύκλο. Το δεύτερο ερώτημα της μαθήτριας «...Σκέφτηκα και το άλλο. Αν φανταστώ τον εατό µο να κινείται µε σταθερή ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα πο έχει το σµατίδιο σε κάποια στιγµή, τι είδος κίνηση θα ήταν για µένα η ς προς το έδαφος κκλική κίνηση; Ατό όµς το βρίσκ πολύ δύσκολο για να δώσ µια απάντηση...» 1ος τρόπος απάντησης στη µαθήτρια µπροστά σε φσικούς, µε τη µαθήτρια απούσα Αν θερήσοµε ότι η κοινή ταχύτητα µε την οποία τρέχον το πρτόνιο και η µαθήτρια είναι µικρή σε σχέση µε την ταχύτητα το φτός, τότε η µάζα το πρτονίο δεν αλλάζει, το φορτίο το δεν αλλάζει έτσι κι αλλιώς, η φσική πο θα χρησιµοποιήσοµε δεν αλλάζει (θα είναι η µηχανική το Νεύτνα), αλλά η µαθήτρια, έκπληκτη θα δει να εµφανίζεται «από το ποθενά», ένα ηλεκτρικό πεδίο!!! Τότε θα είναι µοναδική εκαιρία για µένα να προσπαθήσ να της π ότι η φσική έχει σχέση µε τη Φύση Θα της π ότι ο ηλεκτρισµός και ο µαγνητισµός είναι οι δύο όψεις ενός νοµίσµατος πο το λέµε ηλεκτροµαγνητισµό Θα της π ότι το ηλεκτρικό πεδίο πο ξαφνικά εµφανίστηκε και πο πριν, όταν ήταν ακίνητη δεν πήρχε, το «γέννησε» απλά και µόνο η κίνησή της. Ή µάλλον θα της αναλύσ ότι πάντα πήρχε, αλλά για να το δει έπρεπε να κοιτάξει από µια άλλη «οπτική» γνία το νόµισµα-ηλεκτροµαγνητισµός Θα της π ότι οι αδρανειακοί παρατηρητές δε «βλέπον» τα ίδια πράγµατα, αλλά κάνον την ίδια φσική Θα της π ότι παρόλο πο καµιά φορά «βλέπον» τελείς διαφορετικά πράµατα δε µπορούµε να τος ξεχρίσοµε µεταξύ τος Θα της π ότι στα µάτια τν διαφόρν αδρανειακών παρατηρητών δεν αλλάζον µόνον οι τροχιές τν σµατιδίν, αλλά και τα πεδία πο βλέπονε Θα της π ότι κοιτώντας την ίδια πραγµατικότητα άλλος παρατηρητής βλέπει µόνο ηλεκτρικό πεδίο, άλλος µόνο µαγνητικό, άλλος και ηλεκτρικό και µαγνητικό Θα της π ότι η πραγµατικότητα είναι σχετική και ότι όλοι έχον δίκιο Θα της π ότι στη µηχανική το Νεύτνα οι αδρανειακοί παρατηρητές βλέπον πάντα την ίδια δύναµη και σνεπώς όποια δύναµη έβλεπε πριν πο ήταν ακίνητη και είχε µπροστά της µόνο το µαγνητικό πεδίο, την ίδια ακριβώς δύναµη βλέπει και τώρα πο στο παλιό µαγνητικό πεδίο προστέθηκε και το ηλεκτρικό Θα της π... θα της π

17 Μετά και αφού τελειώσ όλα τα «θα της π...» θα ασχοληθώ και µε το τι είδος κίνηση θα δει να εκτελεί το πρτόνιο, όταν θα αρχίσει να τρέχει µε ταχύτητα. Από τις σχέσεις (18) της ανάρτησής µο «Κίνηση φορτισµένο σµατιδίο σε χώρο, όπο σνπάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα (Μέρος α )» φαίνεται καθαρά ότι ο χώρος µιας µαθήτριας πο κινείται µε ταχύτητα ς προς το έδαφος, περιέχει το ίδιο µαγνητικό πεδίο Β στον άξονα z όπς και πριν, αλλά στον άξονα εµφανίστηκε και ηλεκτρικό πεδίο =Β. Ας ξεκαθαρίσοµε όµς τι σνέβη στη µαθήτρια Αρχική κατάσταση µαθήτριας (µαθήτρια ακίνητη ς προς το έδαφος): Νιώθει, θέλει και είναι ακίνητη Το έδαφος είναι ακίνητο ς προς την µαθήτρια «Βλέπει» ένα µαγνητικό πεδίο Β πο έχει κατεύθνση προς ατή (προς τα θετικά το άξονα z) «Βλέπει» ένα πρτόνιο να µπαίνει στο µαγνητικό πεδίο µε αρχική ταχύτητα προς τα θετικά το άξονα x (ταχύτητα δηλαδή κάθετη στο µαγνητικό πεδίο). Ξέρει από το σχολείο της ότι το πρτόνιο θα κάνει οµαλή κκλική κίνηση στο επίπεδο χοz. Τελική κατάσταση µαθήτριας (µαθήτρια κινείται µε ς προς το έδαφος): Νιώθει, θέλει και είναι ακίνητη Το έδαφος τρέχει µε - ς προς την µαθήτρια «Βλέπει» ένα µαγνητικό πεδίο Β πο έχει κατεύθνση προς ατή (προς τα θετικά το άξονα z ) «Βλέπει» ένα ηλεκτρικό πεδίο =Β στον άξονα «Βλέπει» ένα πρτόνιο να βρίσκεται αρχικά ακίνητο µέσα στα πεδία (αρχική ταχύτητα πρτονίο µηδέν) Η δεύτερη εποµένς ερώτηση της µαθήτριας µεταφράζεται στο «τί είδος κίνηση κάνει για µια µαθήτρια ένα πρτόνιο όταν βρεθεί ακίνητο αρχικά, σε ένα χώρο πο σνπάρχον ένα µαγνητικό πεδίο Β στον άξονα z και ένα ηλεκτρικό πεδίο =Β στον άξονα» Ατό όµς είναι εύκολο και το έχοµε ήδη απαντήσει: Στις σχέσεις (), (3) και (4) βάζ για τις αρχικές ταχύτητες 0x = 0 = 0z = 0 για το ηλεκτρικό πεδίο E x = E z = 0 =Β για το µαγνητικό πεδίο 17

18 και βρίσκ ότι η κίνηση πο βλέπει η µαθήτρια για το πρτόνιο περιγράφεται από τις εξισώσεις x = ηµ = ( ηµ ) (15) = σν = σν ( 1) (16) Οι σχέσεις ατές προσδιορίζον ένα κκλοειδές µε «ακτίνα το κύκλο πο κλίεται» R = =, όση δηλαδή η ακτίνα το κύκλο πο έβλεπε να διαγράφει το πρτόνιο, όταν q ήταν ακίνητη ς προς το έδαφος. (Χρησιµοποίησα τόνος στος άξονες και τις σχέσεις για να µη µπερδετούν µε εκείνος όταν η µαθήτρια ήταν ακίνητη) Άρα το πρτόνιο για τη µαθήτρια πο κινείται µε ταχύτητα ς προς το έδαφος, κάνει µια κίνηση πο δεν έχει κάποιο ειδικό όνοµα, αλλά πο η τροχιά είναι ένα κκλοειδές πο ξεκινά από τη θέση πο βρισκόταν αρχικά το πρτόνιο (από την αρχή τν αξόνν δηλαδή) και βρίσκεται στο επίπεδο x Ο στο 3ο τεταρτηµόριο ος τρόπος απάντησης στη µαθήτρια µπροστά σε φσικούς, µε τη µαθήτρια απούσα Αν περιοριστούµε µόνο στην κίνηση και τίποτε άλλο. Ως προς την µαθήτρια το έδαφος έχει εξίσση κίνησης x εδ = Ως προς το έδαφος το πρτόνιο έχει εξισώσεις κίνησης x = ηµ (1) = σν (13) 18

19 q όπο = > 0 και > 0 (14) Άρα ς προς τη µαθήτρια το πρτόνιο έχει εξίσση κίνησης ηλαδή x =x εδ +x = x = ηµ = σν πο είναι ίδιες µε τις (15) και (16) Άρα η τροχιά το πρτονίο είναι κκλοειδές και η κίνησή το δεν έχει κάποιο ι- διαίτερο όνοµα (σνεχίζεται) Σάββατο, 13 Μαρτίο 010 Θρασύβολος Κν. Μαχαίρας Φσικός Άγιος Βλάσιος Πηλίο achairas@sch.gr 19