3. Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας"

Transcript

1 3 Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας Όπως ήδη έχουμε αναφέρει στην εισαγωγική ενότητα αλλά και όπως θα διαπιστώσουμε στις ενότητες που ακολουθούν, βεβαιότητες για συμπεράσματα που αφορούν σε στοχαστικά φαινόμενα και πειράματα δεν υπάρχουν Συνεπώς, συμπεράσματα για στοχαστικά φαινόμενα ή πειράματα, έχουν αξία και μπορούν να αξιοποιηθούν μόνο εφόσον μπορούμε να πούμε κάτι για το πόσο βέβαιοι είμαστε για αυτά ή αλλιώς, για το μέγεθος της εγγενούς αβεβαιότητας που αναπόδραστα αυτά εμπεριέχουν Τα επιστημονικά εργαλεία για την εκτίμηση αυτής της αβεβαιότητας μάς τα προσφέρει η Θεωρία Πιθανοτήτων Θυμηθείτε τη διαδικασία μετάβασης από τον πληθυσμό στο δείγμα και αντίστροφα, που (σε αδρές γραμμές) περιγράψαμε στην εισαγωγική ενότητα όταν αναφερθήκαμε στη στατιστική προσέγγιση προβλημάτων Σχήμα 3 Ο ρόλος των πιθανοτήτων σε αυτή τη διαδικασία είναι διπλός: Υποθέτοντας κάποιο μοντέλο για τον πληθυσμό, ή αλλιώς, θεωρώντας ότι ο πληθυσμός είναι γνωστός, μπορούμε, με τα εργαλεία που μας προσφέρει η Θεωρία Πιθανοτήτων, να υπολογίσουμε πόσο πιθανό είναι να παρατηρηθεί «ορισμένη συμπεριφορά» σε ένα δείγμα που θα πάρουμε από τον πληθυσμό Οι μέθοδοι της Στατιστικής Συμπερασματολογίας αξιοποιούν εργαλεία της Θεωρίας Πιθανοτήτων επίσης Δηλαδή, η μετάβαση από το δείγμα στον πληθυσμό ή αλλιώς, το συμπέρασμά μας για τον πληθυσμό με βάση αυτό που παρατηρήθηκε/εμφανίσθηκε στο δείγμα, και το πόσο βέβαιοι είμαστε για αυτό το συμπέρασμα, προκύπτει με αξιοποίηση των εργαλείων που προσφέρει η Θεωρία Πιθανοτήτων! Για να μπορούμε βέβαια να χρησιμοποιούμε σωστά στη στατιστική συμπερασματολογία τα εργαλεία που μας προσφέρουν οι πιθανότητες, πρέπει να κατανοήσουμε πώς αυτά δουλεύουν Στο Α Μέρος αυτό επιδιώκουμε Ας αρχίσουμε όμως με τα βασικά Πρέπει κατ αρχάς, να εξοικειωθούμε με τη «γλώσσα» των πιθανοτήτων 3 Βασικές Έννοιες Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, τυχαία/στοχαστικά φαινόμενα και πειράματα ονομάζουμε τα φαινόμενα και πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα (σε μια πραγματοποίησή τους/εκτέλεσή τους) δε μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα γιατί δεν καθορίζεται με βάση την αρχή της αιτιότητας (όπως στα αιτιοκρατικά φαινόμενα και πειράματα) αλλά αποδίδεται στην τύχη Η έννοια του τυχαίου συνδέεται με το πολυσύνθετο και το περιορισμένο της γνώσης των αιτίων που προκαλούν το αποτέλεσμα (υπάρχει «έλλειμμα αιτιότητας») Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 53

2 Για τα στοχαστικά/τυχαία φαινόμενα και πειράματα στα οποία βρίσκουν εφαρμογή τα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων (και αποκτά νόημα το αξιωματικό πιθανοθεωρητικό οικοδόμημα), χρησιμοποιούμε τον όρο πείραμα τύχης (random experiment) και εννοούμε μια διαδικασία () που μπορεί να επαναληφθεί υπό τις ίδιες συνθήκες όσες φορές θέλουμε (θεωρητικά άπειρες φορές), () σε μια επανάληψή της δε μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα που θα εμφανισθεί, όμως, (3) μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματά της, ή αλλιώς, έχει ένα καλά ορισμένο σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης ονομάζεται δειγματικός χώρος (sample space) του πειράματος και συμβολίζεται (συνήθως) με Ω ή με S Κάθε στοιχείο ενός δειγματικού χώρου, δηλαδή κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται δειγματικό σημείο (sample outcome/sample point) Σύνολα από δειγματικά σημεία ή αλλιώς, συγκεκριμένα υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω, συμπεριλαμβανομένων του κενού, και του δειγματικού χώρου Ω, ονομάζονται ενδεχόμενα (events) και συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ, κτλ Αν ένα ενδεχόμενο έχει μόνο ένα στοιχείο ονομάζεται απλό ενδεχόμενο (simple/atomic event) ενώ αν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία ονομάζεται σύνθετο ενδεχόμενο (compound event) Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου, έστω Α, θα το συμβολίζουμε με N ( Σε μια εκτέλεση/επανάληψη ενός πειράματος τύχης εμφανίζεται κάποιο από τα δυνατά αποτελέσματά του, δηλαδή κάποιο στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος και μάλιστα μόνο ένα (ακριβώς ένα) Έστω Α ένα ενδεχόμενο του Ω Αν το αποτέλεσμα, έστω ω Ω, που πήραμε σε μια εκτέλεση του πειράματος είναι ένα από τα στοιχεία του Α, δηλαδή αν ω A, τότε λέμε ότι εμφανίσθηκε (ή αλλιώς, πραγματοποιήθηκε, συνέβη) το ενδεχόμενο Α Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο (certain/sure event) γιατί εμφανίζεται/πραγματοποιείται πάντοτε (αφού περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος) Το κενό ενδεχόμενο,, ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο (impossible event) γιατί δεν εμφανίζεται/πραγματοποιείται ποτέ (αφού δεν περιέχει κανένα στοιχείο) Αν ένα πείραμα τύχης έχει πεπερασμένο πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων, έστω ω, ω,, ω N, τότε ο δειγματικός χώρος Ω = { ω, ω,, ω N } του πειράματος ονομάζεται πεπερασμένος δειγματικός χώρος (finite sample space) Αν το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης είναι αριθμήσιμο απειροσύνολο 3, ο δειγματικός χώρος του πειράματος ονομάζεται αριθμησίμως Ένα πείραμα διαφέρει από την παρατήρηση ενός φαινομένου κατά το ότι ο ερευνητής που εκτελεί το πείραμα παρεμβαίνει ενεργά, επιβάλλοντας μια συγκεκριμένη μεταχείριση στα άτομα ή στα αντικείμενα (γενικότερα, στα υποκείμενα) επί των οποίων εξελίσσεται το πείραμα Αντιθέτως, κατά την παρατήρηση ενός φαινομένου, μετράμε ή παρατηρούμε την κατάσταση των ατόμων ή των αντικειμένων (γενικότερα των υποκειμένων) επί των οποίων συμβαίνει το φαινόμενο χωρίς να προσπαθούμε να αλλάξουμε αυτή την κατάσταση με κάποια ειδική μεταχείριση Ή «περίπου τις ίδιες συνθήκες» Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 54

3 άπειρος δειγματικός χώρος (countably infinite sample space) Στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος έχει άπειρα στοιχεία που όμως μπορούν να αριθμηθούν Έτσι, αν συμβολίσουμε τα στοιχεία του (τα δυνατά αποτελέσματα) με ω, ω, ω3,, ο δειγματικός χώρος γράφεται, Ω = ω, ω,,} { ω3 Aν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι άπειρο αλλά μη αριθμήσιμο σύνολο, ονομάζεται συνεχής δειγματικός χώρος (continuous sample space) Αν ένας δειγματικός χώρος είναι είτε πεπερασμένος είτε αριθμησίμως άπειρος ονομάζεται διακριτός δειγματικός χώρος (discrete sample space) Σημειώνουμε τέλος, ότι αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι διακριτός, τότε κάθε υποσύνολο του θεωρείται ότι είναι ένα ενδεχόμενο Αν ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι συνεχής κάποια υποσύνολα του δε μπορεί να είναι αποδεκτά ως ενδεχόμενα 4 Όμως τέτοιες περιπτώσεις δε θα συναντήσουμε στα προβλήματα που θα μελετήσουμε γι αυτό και δε θα αναφερθούμε περισσότερο σε αυτή τη «λεπτομέρεια» Πριν συνεχίσουμε με την εισαγωγή νέων εννοιών (και ορολογίας), ας δούμε μερικά πειράματα τύχης που θα μας βοηθήσουν να αποσαφηνίσουμε καλύτερα τα προηγούμενα Παράδειγμα 3: (α) Επιλέγουμε από τη γραμμή παραγωγής μιας βιομηχανίας τροφίμων ένα προϊόν και ελέγχουμε αν αυτό είναι εντός προδιαγραφών ή αν είναι ελαττωματικό Προφανώς πρόκειται για πείραμα τύχης, αφού η διαδικασία «επιλέγω ένα προϊόν, το ελέγχω και το χαρακτηρίζω εντός προδιαγραφών ή ελαττωματικό» μπορεί να επαναληφθεί υπό τις ίδιες συνθήκες πολλές φορές, σε κάθε επανάληψη το αποτέλεσμα του ελέγχου δεν είναι γνωστό πριν ο έλεγχος πραγματοποιηθεί και τα δυνατά αποτελέσματά του είναι γνωστά, τα εξής δύο: εντός προδιαγραφών (κ), ελαττωματικό (ε) Επομένως ο δειγματικός χώρος, Ω, του πειράματος είναι, ο Ω = { κ, ε} και πρόκειται για πεπερασμένο δειγματικό χώρο με N ( Ω) = Ένα πείραμα με μόνο δύο δυνατά αποτελέσματα όπως το συγκεκριμένο, ονομάζεται δοκιμή Bernoulli Το ένα αποτέλεσμα έχει επικρατήσει να ονομάζεται «επιτυχία» και το άλλο «αποτυχία» Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε ιδιαίτερα με αυτή την κατηγορία τυχαίων πειραμάτων Όπως θα διαπιστώσουμε, παρότι η δοκιμή Bernoulli είναι ένα πολύ απλό πείραμα, ίσως το απλούστερο, βρίσκεται στον πυρήνα πολλών προβλημάτων με ευρύτατο φάσμα εφαρμογών (β) Επιλέγουμε ένα θετικό ακέραιο μικρότερο ή ίσο του 50 Πρόκειται για πείραμα τύχης (σκεφθείτε γιατί) με δειγματικό χώρο το πεπερασμένο σύνολο Ω = {,, 3,,50}, δηλαδή, πρόκειται για πεπερασμένο δειγματικό χώρο με N ( Ω) = 50 3 Δηλαδή, αν τα στοιχεία του μπορούν να αντιστοιχισθούν ένα προς ένα με τα στοιχεία του συνόλου των φυσικών αριθμών, ή αλλιώς, αν έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το σύνολο των φυσικών αριθμών 4 Με την έννοια ότι δε μπορεί να τους αποδοθεί πιθανότητα (ονομάζονται μη μετρήσιμα ενδεχόμενα) Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 55

4 Ας θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα, A = {,, 3}, B = {,3,4,5,6 } και Γ = {4} του Ω Το Γ είναι ένα απλό ενδεχόμενο αφού έχει μόνο ένα στοιχείο (δειγματικό σημείο), το 4, ενώ τα Α και Β είναι σύνθετα ενδεχόμενα αφού το καθένα περιέχει περισσότερα από ένα στοιχεία ( N ( = 3, N ( B) = 5 ) Σε μια εκτέλεση του πειράματος, το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται όταν επιλεγεί θετικός ακέραιος μικρότερος του 4 (ή αλλιώς, μικρότερος ή ίσος του 3) Το Β πραγματοποιείται όταν επιλεγεί θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του και μικρότερος του 7 και το Γ πραγματοποιείται όταν επιλεγεί ο αριθμός 4 (γ) Επιλέγουμε την καρτέλα ασθενείας ενός παιδιού από αυτά που μεταφέρθηκαν μια ημέρα εφημερίας στο τμήμα επειγόντων περιστατικών του Νοσοκομείου Παίδων «Αγία Σοφία» και καταγράφουμε το φύλο και την ομάδα αίματος του παιδιού Οι ομάδες αίματος είναι τέσσερις Α, Β, ΑΒ και Ο Προφανώς πρόκειται για πείραμα τύχης με οκτώ δυνατά αποτελέσματα 5, τα διατεταγμένα ζεύγη, ( α,, ( α, B), ( α, AB), ( α, O), ( κ,, ( κ, B), ( κ, AB), ( κ, O), όπου, το πρώτο στοιχείο του ζεύγους δίνει το φύλο και το δεύτερο την ομάδα αίματος του παιδιού Για παράδειγμα, με το ζεύγος ( α, B) συμβολίζουμε το αποτέλεσμα «το παιδί είναι αγόρι και έχει ομάδα αίματος Β» ενώ με το ζεύγος ( κ, AB) το αποτέλεσμα «το παιδί είναι κορίτσι και έχει ομάδα αίματος ΑΒ» Άρα ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Ω = {( α,, ( α, B), ( α, AB), ( α, O), ( κ,, ( κ, B), ( κ, AB), ( κ, O)} και είναι πεπερασμένος Ένα παράδειγμα ενδεχομένου του δειγματικού χώρου Ω είναι το σύνολο, {( κ,, ( κ, B), ( κ, O)} το οποίο (σε μια επανάληψη) πραγματοποιείται αν η καρτέλα που θα επιλεγεί αφορά σε κορίτσι που δεν έχει ομάδα αίματος ΑΒ (δ) Eπαναλαμβανόμενες δοκιμές Bernoulli Πρόκειται για σύνθετο πείραμα το οποίο αποτελείται από επαναλαμβανόμενες εκτελέσεις μιας δοκιμής Bernoulli, δηλαδή, από διαδοχικές εκτελέσεις ενός πειράματος που έχει δύο μόνο δυνατά αποτελέσματα Όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια, τέτοια πειράματα κατέχουν σημαντική θέση στη θεωρία πιθανοτήτων γιατί αφενός συναντώνται σε ευρύτατο φάσμα πραγματικών προβλημάτων και αφετέρου γιατί θέτουν ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα Για παράδειγμα, ο έλεγχος προϊόντων (που επιλέγονται πχ από τη γραμμή παραγωγής ενός εργοστασίου) μέχρι να βρεθεί ένα ελαττωματικό είναι ένα πείραμα επαναλαμβανόμενων δοκιμών Bernoulli, επίσης, ο έλεγχος καθενός από 0 προϊόντα για να διαπιστωθεί αν είναι ελαττωματικό ή όχι ή η εξέταση καθενός από 5 παιδιά για να διαπιστωθεί αν έχει ή δεν έχει προσβληθεί από συγκεκριμένο ιό ή η υποβολή ερώτησης σε καθέναν από 50 πολίτες για το αν συμφωνεί ή διαφωνεί με την απαγόρευση του καπνίσματος σε κλειστούς δημόσιους χώρους, είναι σύνθετα πειράματα επαναλαμβανόμενων δοκιμών Bernoulli Ας δούμε δύο τέτοια παραδείγματα πιο αναλυτικά 5 Θυμηθείτε την πολλαπλασιαστική αρχή! Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 56

5 α) Εξετάζεται (σε ένα Κέντρο Υγείας) καθένα από ν παιδιά για να διαπιστωθεί αν έχει ή δεν έχει προσβληθεί από ένα συγκεκριμένο ιό Πρόκειται προφανώς για ν επαναλαμβανόμενες εκτελέσεις του πειράματος «εξετάζεται ένα παιδί για να διαπιστωθεί αν έχει ή δεν έχει προσβληθεί από συγκεκριμένο ιό» το οποίο προφανώς είναι μια δοκιμή Bernoulli αφού έχει δύο μόνο δυνατά αποτελέσματα «το παιδί έχει προσβληθεί» και «το παιδί δεν έχει προσβληθεί», αντίστοιχα Το ένα αποτέλεσμα μιας δοκιμής Bernoulli όπως έχουμε πει το ονομάζουμε «επιτυχία» και το άλλο «αποτυχία» και τα συμβολίζουμε, αντίστοιχα, με «ε» και «α» Ας θεωρήσουμε ως «επιτυχία» το αποτέλεσμα «το παιδί έχει προσβληθεί» και ως «αποτυχία» το αποτέλεσμα «το παιδί δεν έχει προσβληθεί» Ο δειγματικός χώρος Ω του (σύνθετου) πειράματος (εξέταση ν παιδιών) αποτελείται προφανώς από ν-άδες της μορφής αεεαε 4443 K 4 εαε ν το πλήθος οι οποίες είναι ν το πλήθος, δηλαδή, ν N ( Ω) = (σκεφθείτε γιατί) Ας θεωρήσουμε το ενδεχόμενο Α: έχουν προσβληθεί ακριβώς r παιδιά (στα ν) Προφανώς το ενδεχόμενο αυτό αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία του Ω, δηλαδή από εκείνες τις ν-άδες, της μορφής αεεαε 4443 K 4 εαε, που περιέχουν ακριβώς r το ν το πλήθος πλήθος «ε» (και επομένως ν r το πλήθος «α») Άραγε πόσες είναι αυτές οι ν- άδες; Είναι απλό Αυτές οι ν-άδες είναι τόσες, όσες είναι οι μεταθέσεις ειδών στοιχείων από τα οποία r είναι του ενός είδους («ε») και ν r είναι του άλλου είδους («α») ν! ν Eπομένως, υπάρχουν = διατεταγμένες ν-άδες που περιέχουν r r!( ν r)! r (ακριβώς) το πλήθος «ε» και ν r το πλήθος «α», δηλαδή, ν N( = r (Θυμηθείτε ότι το πλήθος των μεταθέσεων k ειδών στοιχείων από τα οποία ν είναι ν! είδους, ν είναι είδους,, ν k είναι είδους k, δίνεται από τον τύπο ν! ν! K ν! ) k β) Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να εμφανισθεί για πρώτη φορά κεφαλή Πρόκειται προφανώς για σύνθετο πείραμα τύχης που αποτελείται από επαναλαμβανόμενες δοκιμές Bernoulli Ας συμβολίσουμε την ένδειξη «κεφαλή» με «κ» και την ένδειξη «γράμματα» με «γ» Εφόσον οι διαδοχικές ρίψεις σταματούν όταν εμφανισθεί για πρώτη φορά «κεφαλή», τα αποτελέσματα του πειράματος είναι της μορφής, κ, γκ, γγκ, και επομένως ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Ω = { κ, γκ, γγκ, γγγκ, γγγγκ, } και πρόκειται για αριθμησίμως άπειρο δειγματικό χώρο Ας θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα, A = {κ }, B = { γκ, γγγκ}, = {γγγκ} Δ = { κ, γκ, γγκ, γγγκ} και Ε = { γγγκ, γγγγκ, γγγγγκ, } του δειγματικού χώρου Ω Γ, Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 57

6 Το ενδεχόμενο Ε πραγματοποιείται όταν απαιτηθούν τουλάχιστον τέσσερις ρίψεις για να εμφανισθεί για πρώτη φορά «κεφαλή», ενώ το Γ πραγματοποιείται όταν απαιτηθούν ακριβώς τέσσερις ρίψεις για να εμφανισθεί για πρώτη φορά «κεφαλή» Σκεφθείτε πότε πραγματοποιείται (τι εκφράζει) καθένα από τα ενδεχόμενα Α, Β και Δ (ε) Ένας ελεγκτής ποιότητας τροφίμων μετράει και καταγράφει το χρόνο από τη στιγμή που παράγεται ένα νωπό προϊόν συγκεκριμένης εταιρείας (και συντηρείται σε ελεγχόμενες συνθήκες) μέχρι να αρχίσει η αλλοίωσή του Πρόκειται προφανώς για πείραμα τύχης, αφού η συγκεκριμένη διαδικασία μέτρησης του χρόνου μέχρι την έναρξη αλλοίωσης ενός προϊόντος της συγκεκριμένης εταιρείας μπορεί να επαναληφθεί υπό τις ίδιες συνθήκες πολλές φορές, ο χρόνος έναρξης της αλλοίωσης (το αποτέλεσμα) δε μπορεί να είναι γνωστός εκ των προτέρων με βεβαιότητα, όμως γνωρίζουμε ότι είναι κάποιος μη αρνητικός πραγματικός αριθμός Έτσι, αν θεωρήσουμε ότι μπορούμε να μετρήσουμε το χρόνο με απόλυτη ακρίβεια, ο χρόνος μέχρι την έναρξη της αλλοίωσης του προϊόντος θα μπορούσε να πάρει οποιαδήποτε μη αρνητική πραγματική τιμή και άρα ο δειγματικός χώρος, Ω, του πειράματος είναι ο Ω = { t : t 0} = [0, + ) και είναι ένας συνεχής δειγματικός χώρος Το διάστημα A = (48, 7) είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο, σε μια επανάληψη του πειράματος, πραγματοποιείται αν η αλλοίωση αρχίσει μετά τις 48 ώρες από την παραγωγή του και πριν τις 7 ώρες (από την παραγωγή του) Το διάστημα B = [ 48, + ) είναι επίσης ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο, σε μια επανάληψη του πειράματος, πραγματοποιείται αν η αλλοίωση αρχίσει αφού παρέλθουν τουλάχιστον 48 ώρες από την παραγωγή του Σχόλιο 3: Στη συνέχεια θα δούμε πολλά παραδείγματα συνεχών δειγματικών χώρων Πρόκειται για πειράματα τύχης που αναφέρονται στη μέτρηση μηκών, χρόνων, βαρών, θερμοκρασιών, γενικά φυσικών μεγεθών, κτλ, όπως, μέτρηση του ύψους βροχής, του χρόνου μεταξύ δύο συμβάντων, του χρόνου ζωής ενός έμβιου ή ενός προϊόντος, του χρόνου μέχρι την αποθεραπεία ασθενούς, της απόδοσης μιας καλλιέργειας ανά στρέμμα, του ύψους ενός φυτού, της ξηρής μάζας ενός φυτού, της ποσότητας μιας ουσίας που περιέχεται σε ένα προϊόν, της ποσότητας ενός ρύπου στην ατμόσφαιρα, της τιμής ενός αιματολογικού δείκτη πχ χοληστερίνης, της ποσότητας κατανάλωσης ενός προϊόντος, της διατομής ή του μήκους ενός εξαρτήματος (πχ μιας βίδας), της αντοχής ενός υλικού ή προϊόντος, κτλ Σημειώνουμε ότι πρακτικά, τέτοιες μετρήσεις υπόκεινται σε περιορισμούς που σχετίζονται με την ακρίβεια των οργάνων μέτρησης Έτσι, αν για παράδειγμα, έχουμε στη διάθεσή μας ένα χρονόμετρο που μετράει με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων τότε ο δειγματικός χώρος στο προηγούμενο παράδειγμα θεωρητικά είναι βέβαια ο Ω = [ 0, + ), δηλαδή, ένας συνεχής δειγματικός χώρος αφού ο ακριβής χρόνος μέχρι την αλλοίωση μπορεί θεωρητικά να πάρει οποιαδήποτε μη αρνητική πραγματική τιμή, όμως πρακτικά, οι τιμές που μπορεί να αποδοθούν είναι οι 0 00, 00, 00, 003,, δηλαδή, ο κατά προσέγγιση χρόνος μέχρι την αλλοίωση, παίρνει ένα αριθμησίμως άπειρο σύνολο τιμών, { 000, 00, 00, 003, } το οποίο, βέβαια, γίνεται όλο και πιο «πυκνό» όσο η ακρίβεια της μέτρησης βελτιώνεται Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 58

7 (στ) Από τα αρχεία του Εθνικού Αστεροσκοπείου μετράμε (και καταγράφουμε) πόσοι σεισμοί έντασης τουλάχιστον 3 Richter συνέβησαν με επίκεντρο στο Ιόνιο στη διάρκεια ενός έτους (που επιλέγουμε τυχαία) Πρόκειται για πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο, Ω = {0,,, } που είναι αριθμησίμως άπειρος Ερώτηση: Αν αντί του πόσοι είναι αυτοί οι σεισμοί μετράμε το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών σεισμών, ποιος θα είναι τώρα ο δειγματικός χώρος του πειράματος; Σχόλιο 3: Αρκετά συχνά μας ενδιαφέρουν πειράματα τύχης που θεωρούμε ότι έχουν ως δειγματικό χώρο ένα αριθμησίμως άπειρο σύνολο Για παράδειγμα, πειράματα τύχης όπου μετράμε και καταγράφουμε τον αριθμό των αυτοκινήτων που εισέρχονται στην αττική οδό με κατεύθυνση την Ελευσίνα 6-9 το πρωί μια (οποιαδήποτε) εργάσιμη ημέρα από τον κόμβο Κύμης ή των πελατών που μπαίνουν σε ένα κατάστημα μια (οποιαδήποτε) εργάσιμη ημέρα ή 3 των κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο - το μεσημέρι μια (οποιαδήποτε) εργάσιμη ημέρα 4 των βακτηριδίων σε cm 3 νερού που πήραμε από την κοίτη του ποταμού Καλαμά Θεωρώντας ότι ο δειγματικός χώρος ας πούμε του ου πειράματος είναι ο Ω = {0,,,}, προφανώς κάνουμε την παραδοχή ότι ο μέγιστος αριθμός των αυτοκινήτων που μπορεί να εισέλθουν στην αττική οδό με κατεύθυνση την Ελευσίνα 6-9 το πρωί μια (οποιαδήποτε) εργάσιμη ημέρα από τον κόμβο Κύμης, είναι πρακτικά πολύ μεγάλος ώστε να λαμβάνεται ως Αν δεν κάνουμε μια τέτοια παραδοχή, τότε ο δειγματικός χώρος είναι το πεπερασμένο σύνολο Ω = { 0,,,, M} (όπου Μ, το σημείο κορεσμού που με κάποιο τρόπο μάς είναι γνωστό) (ζ) Το ο, το ο, και το 6 ο βραβείο ποιότητας ελαιολάδου απονέμονται σε έξι παραγωγούς ελαιολάδου (από ένα βραβείο σε καθέναν παραγωγό) Ας συμβολίσουμε τους 6 παραγωγούς με α, β, γ, δ, ε και στ Ένα δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος είναι, για παράδειγμα, το εξής: ο βραβείο ο παραγωγός γ, ο ο ε, 3 ο ο α, 4 ο ο δ, 5 ο ο στ και 6 ο ο β, το οποίο μπορούμε να το συμβολίσουμε (γιατί είναι) ως τη μετάθεση γ ε α δ στ β των στοιχείων του συνόλου { α, β, γ, δ, ε, στ} (το γ στην πρώτη θέση σημαίνει ότι ο γ παραγωγός πήρε το ο βραβείο, το ε στη δεύτερη θέση σημαίνει ότι ο ε παραγωγός πήρε το ο βραβείο, κοκ) Πρόκειται επομένως για ένα πείραμα τύχης του οποίου ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλες τις μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου { α, β, γ, δ, ε, στ} άρα είναι ένας πεπερασμένος δειγματικός χώρος με 6! = 70 το πλήθος δειγματικά σημεία 6 Βέβαια, δεν είναι εύκολο να καταγράψουμε ένα προς ένα όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος, όμως όπως είδαμε, μπορούμε να τα περιγράψουμε και γνωρίζουμε πόσα είναι Στη συνέχεια, όταν θα μάθουμε να υπολογίζουμε 6 Έχουμε μάθει να απαριθμούμε; Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 59

8 πιθανότητες ενδεχομένων, θα δούμε πόσο χρήσιμο είναι να γνωρίζουμε τον πληθικό αριθμό του δειγματικού χώρου και των ενδεχομένων του που μελετάμε Ας θεωρήσουμε το ενδεχόμενο Α: «ο παραγωγός α παίρνει ένα από τα τρία πρώτα βραβεία» και το ενδεχόμενο Β: «ο παραγωγός β παίρνει το ο βραβείο» Μπορείτε να δείξετε ότι, N ( = 3 5! = 360 και N ( B) = 0 ; (είναι ένα ενδιαφέρον πρόβλημα απαρίθμησης, προσπαθήστε) (η) Επιλέγουμε από τα αρχεία του Δήμου Αθηναίων την οικογενειακή μερίδα μιας (οποιαδήποτε) τρίτεκνης οικογένειας και καταγράφουμε πόσα από τα τρία παιδιά της οικογένειας είναι αγόρια Πρόκειται για πείραμα τύχης Το σύνολο Ω = {0,,, 3} είναι προφανώς ένας κατάλληλος δειγματικός χώρος του πειράματος αφού το αποτέλεσμα του πειράματος είναι ο αριθμός των αγοριών μιας τρίτεκνης οικογένειας η οποία προφανώς μπορεί να έχει ή κανένα, ή ένα, ή δύο ή τρία αγόρια Όμως, κατάλληλος δειγματικός χώρος αυτού του πειράματος είναι προφανώς και το σύνολο, Ω = { κκκ, ακκ, κακ, κκα, αακ, ακα, καα, ααα}, όπου, τώρα, ως αποτέλεσμα/δειγματικό σημείο του πειράματος καταγράφουμε το φύλο και τη σειρά γέννησης των παιδιών Για παράδειγμα, το δειγματικό σημείο «κακ» σημαίνει ότι η οικογένεια έχει ένα αγόρι και ότι το πρώτο παιδί που γεννήθηκε είναι κορίτσι, το δεύτερο αγόρι και το τρίτο κορίτσι Δηλαδή, σε ένα πείραμα τύχης μπορεί να έχουμε εναλλακτικούς τρόπους για να ορίσουμε τα δυνατά αποτελέσματά του, άρα και τον δειγματικό χώρο του Φυσικά, και τα ενδεχόμενα πρέπει να ορίζονται σε αντιστοιχία με τον τρόπο ορισμού των αποτελεσμάτων του πειράματος Για παράδειγμα, το ενδεχόμενο «η οικογένεια έχει ακριβώς δύο αγόρια», ενώ όταν αναφερόμαστε στο δειγματικό χώρο Ω είναι το απλό ενδεχόμενό του, A = {}, όταν αναφερόμαστε στο δειγματικό χώρο Ω είναι το σύνθετο ενδεχόμενό του, A = { αακ, ακα, καα} Προσοχή λοιπόν! Πολλά σφάλματα και παράδοξα στις πιθανότητες, οφείλονται σε παρανοήσεις που σχετίζονται με τον τρόπο ορισμού του δειγματικού χώρου και την περιγραφή των κατάλληλων ενδεχομένων Παρατηρείστε ότι αν το πείραμα ήταν «επιλέγουμε από τα αρχεία του Δήμου Αθηναίων την οικογενειακή μερίδα μιας (οποιαδήποτε) τρίτεκνης οικογένειας και καταγράφουμε κατά σειρά γέννησης το φύλο κάθε παιδιού», τότε προφανώς κατάλληλος δειγματικός χώρος του πειράματος θα ήταν μόνο ο Ω Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 60

9 3 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων Τα ενδεχόμενα, όπως είδαμε, ορίζονται ως σύνολα, και συγκεκριμένα, ως υποσύνολα του συνόλου των δειγματικών σημείων, δηλαδή του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης Αυτό σημαίνει ότι τόσο οι πρωταρχικές για τη θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων έννοιες, «δειγματικό σημείο» και «δειγματικός χώρος», όσο και η έννοια του «ενδεχομένου» που προκύπτει από αυτές, συνδέονται με την έννοια του συνόλου και επομένως «για να κάνουμε πιθανότητες» έχουμε στη διάθεσή μας ένα κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο, αυτό της Θεωρίας Συνόλων Έτσι, μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (από τις οποίες προκύπτουν νέα ενδεχόμενα) αλλά και να εκφράσουμε σχέσεις μεταξύ ενδεχομένων, εργαζόμενοι με γνωστά από την άλγεβρα συνόλων εργαλεία Επίσης, για την εποπτική αναπαράσταση δειγματικών χώρων και ενδεχομένων μπορούμε, όπως και στη θεωρία συνόλων, να χρησιμοποιούμε τα γνωστά διαγράμματα Venn Ας θυμηθούμε λοιπόν κάποια στοιχεία άλγεβρας συνόλων (μόνο τα αναγκαία για τη συνέχεια) διατυπωμένα στη γλώσσα των πιθανοτήτων με όρους πραγματοποίησης (εμφάνισης) ενδεχομένων Έστω δύο ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης Λέμε ότι το ενδεχόμενο Α συνεπάγεται το ενδεχόμενο Β ή ότι το ενδεχόμενο Α είναι υποσύνολο του ενδεχομένου Β, αν όταν πραγματοποιηθεί το Α πραγματοποιείται και το Β (Σχήμα 3) Η σχέση αυτή συμβολίζεται με A B Αν ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν επιπλέον και το Β είναι υποσύνολο του Α ( B τότε λέμε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ίσα και η σχέση αυτή συμβολίζεται με A = B Συμπλήρωμα ή αντίθετο (Complement) ενός ενδεχομένου Α του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται αν και μόνο αν c δεν πραγματοποιείται το Α (Σχήμα 33) και συμβολίζεται με A ή A ή A Είναι φανερό ότι το συμπλήρωμα/αντίθετο του A είναι το Α, γι αυτό τα Α και A ονομάζονται αντίθετα ενδεχόμενα Τα και Ω είναι προφανώς αντίθετα ενδεχόμενα Ένωση (Union) δύο ενδεχομένων Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β (Σχήμα 34) Συμβολίζεται με A B Είναι προφανές ότι: A = A, A A = A, A Ω = Ω, A A = Ω Επίσης, αν A B τότε προφανώς A B = B Η πράξη της ένωσης δύο ενδεχομένων επεκτείνεται εύκολα για τρία ή περισσότερα ενδεχόμενα Έτσι, ένωση των ενδεχομένων A, A,, Aν του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα A i, i =,,, ν και συμβολίζεται με A ν U ν A i i= A A = Ανάλογα ορίζεται η ένωση άπειρου πλήθους ενδεχομένων, A, A,, A, και συμβολίζεται με U = i A i ν Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 6

10 Τομή ή γινόμενο (Intersection) δύο ενδεχομένων Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα και τα δύο ενδεχόμενα Α, Β (Σχήμα 35) Συμβολίζεται με A B ή με AB Είναι προφανές ότι: προφανώς AB = A A =, A AA =, A Ω = A, A A = Επίσης, αν A B τότε Η πράξη της τομής δύο ενδεχομένων επεκτείνεται εύκολα για τρία ή περισσότερα ενδεχόμενα Έτσι, τομή των ενδεχομένων A, A,, Aν του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται αν πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα όλα τα ενδεχόμενα A i, i =,,, ν και συμβολίζεται με I ν ν A A Aν = A i ή με A Aν = A i i= i= A Ανάλογα ορίζεται η τομή άπειρου πλήθους ενδεχομένων, A, A,, A, και συμβολίζεται με I = i A i ή με i= A i ν Δύο ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης ονομάζονται ξένα ενδεχόμενα (disjoint events) αν δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιηθούν συγχρόνως, (Σχήμα 36), δηλαδή αν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου, ή αλλιώς, αν η τομή τους είναι το αδύνατο ενδεχόμενο ( AB = ), γι αυτό ονομάζονται και ασυμβίβαστα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα (mutually exclusive) Έστω δύο ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης Διαφορά (Difference) του ενδεχομένου Β από το ενδεχόμενο Α, είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί το Α και δεν πραγματοποιηθεί το Β (Σχήμα 37) Συμβολίζεται με A B και προφανώς ισχύει, A B = AB Αν A B τότε A B = (σκεφθείτε γιατί) Συμμετρική Διαφορά (Difference) δύο ενδεχομένων Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί μόνο ένα (ακριβώς ένα) από τα ενδεχόμενα Α, Β, ή αλλιώς, όταν πραγματοποιηθεί ένα από τα Α, Β χωρίς να πραγματοποιηθεί το άλλο (Σχήμα 38) Συμβολίζεται με AΔ B και προφανώς ισχύει, A Δ B = AB BA Σχήμα 3 A B Σχήμα 33 Σχήμα 34 Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 6

11 Σχήμα 35 Σχήμα 36 AB = Σχήμα 37 Σχήμα 38 A B BA Σχήμα 39 ( A B) Σχήμα 30 ( AB ) Για την ένωση και την τομή ενδεχομένων ισχύουν επίσης, η αντιμεταθετική, η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα: Αντιμεταθετική A B = B A AB = BA Προσεταιριστική A ( B Γ) = ( A B) Γ A ( BΓ) = ( AB) Γ Επιμεριστική A ( BΓ) = ( A B)( A Γ) και A ( B Γ) = ( AB) ( AΓ) Τέλος, για το συμπλήρωμα της ένωσης, και αντίστοιχα, της τομής δύο ενδεχομένων Α, Β, αποδεικνύονται οι παρακάτω πολύ χρήσιμοι, όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια, τύποι που είναι γνωστοί ως Τύποι De Morgan Τύποι De Morgan: Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, τότε αποδεικνύεται ότι, ( A B) = A B και ( AB ) = A B Το ενδεχόμενο ( A B), δηλαδή, το συμπλήρωμα της ένωσης δύο ενδεχομένων Α, Β, πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιηθεί ούτε το Α ούτε το Β (δες και Σχήμα 39) ενώ το ενδεχόμενο ( AB ), δηλαδή, το συμπλήρωμα της τομής δύο ενδεχομένων Α, Β, πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α, Β (δες και Σχήμα 30) Οι τύποι De Morgan γενικεύονται για ν > ενδεχόμενα, A, A,, Aν (αλλά και για άπειρα το πλήθος ενδεχόμενα) ( A A Aν ) = A A A ν και ( A A Aν ) = A A A ν Διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω: Μια οικογένεια B, B,, Bν ν ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται διαμέριση (partition) του Ω, αν B = (για κάθε i j ) και B B B = Ω i B j ν, δηλαδή, αν τα ενδεχόμενα B i Ω, i =,, K, ν είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και η ένωσή τους είναι όλος ο δειγματικός χώρος (Σχήμα 3) Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 63

12 B B Bν = Ω & B = Σχήμα 3 Αυτό σημαίνει ότι σε μια εκτέλεση του πειράματος, πάντοτε πραγματοποιείται ένα από τα B, B,, Bν (αφού B B Bν = Ω ) και μάλιστα ακριβώς ένα (αφού B = για κάθε i j ) i B j Αν Α ένα (οποιοδήποτε) ενδεχόμενο του Ω τότε προφανώς (δες και Σχήμα 3) A = AΩ = A( B B Bν ) = AB AB AB ν και (AB )(AB ) = A( B B = A = για κάθε i j i j i j ) i B j Σχήμα 3 Δηλαδή, τα ενδεχόμενα AB, AB, K, ABν αποτελούν μια διαμέριση του Α Αυτό σημαίνει ότι όταν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α, πραγματοποιείται σε συνδυασμό με ακριβώς ένα (μόνο ένα) από τα AB, AB, K, ABν Παρατήρηση 3 Μια ειδική περίπτωση διαμέρισης του δειγματικού χώρου Ω παίρνουμε αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε ενδεχόμενο, έστω Β, του Ω και το συμπλήρωμά του Β Είναι φανερό ότι τα Β και Β αποτελούν μια διαμέριση του Ω αφού, B B = Ω και B B = Έτσι αν Α ένα άλλο (οποιοδήποτε) ενδεχόμενο του Ω τότε με βάση όσα αναφέραμε προηγουμένως (δες και Σχήμα 33) τα ενδεχόμενα ΑΒ και ΑΒ είναι ξένα και ισχύει, A = AB AB, δηλαδή, αν σε μια εκτέλεση του πειράματος πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α, ή αλλιώς, αν το αποτέλεσμα βρίσκεται στο ενδεχόμενο Α τότε είτε θα βρίσκεται και στο ενδεχόμενο Β είτε δε θα βρίσκεται Αντίστοιχα, τα ενδεχόμενα ΒΑ και ΑΒ είναι ξένα και ισχύει B = BA BA, δηλαδή, αν το αποτέλεσμα βρίσκεται στο ενδεχόμενο Β τότε είτε θα βρίσκεται και στο ενδεχόμενο Α είτε δε θα βρίσκεται Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 64

13 (α) Σχήμα 33 (β) Επίσης, προφανώς ισχύει ότι A B = AB B = A BA = AB AB BA Στη συνέχεια, όταν θα μάθουμε να υπολογίζουμε πιθανότητες ενδεχομένων, θα διαπιστώσουμε πόσο πολύ διευκολύνει τον υπολογισμό πιθανοτήτων η διαμέριση του δειγματικού χώρου και ενδεχομένων του σε δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα που θα βοηθήσουν να εξοικειωθούμε με τις πράξεις μεταξύ ενδεχομένων και τις ιδιότητές τους Παράδειγμα 3: α) Ας θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα A = {,, 3} και B = {,3,4,5,6 } του δειγματικού χώρου Ω = {,, 3,,50} του πειράματος τύχης που συζητήσαμε στο Παράδειγμα 3(β) και έστω ότι σε μια επανάληψη του πειράματος το αποτέλεσμα είναι, δηλαδή, ότι από τους θετικούς ακέραιους που είναι μικρότεροι ή ίσοι του επελέγη το Στην περίπτωση αυτή, πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α αφού A και δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Β, αφού B Επίσης, πραγματοποιείται και η ένωση A B (αφού για να πραγματοποιηθεί η ένωση δύο ενδεχομένων αρκεί η πραγματοποίηση του ενός) η διαφορά, A B, του Β από το Α (από τον ορισμό της διαφοράς ενδεχομένων) το συμπλήρωμα B του Β (από τον ορισμό του συμπληρώματος ενδεχομένου) ενώ δεν πραγματοποιείται (σκεφθείτε γιατί), το συμπλήρωμα A του Α η τομή AB το συμπλήρωμα ( A B) της ένωσης A B το συμπλήρωμα ( A B) της διαφοράς A B Ας επαληθεύσουμε (παρότι δεν είναι απαραίτητο) αυτά τα συμπεράσματα Πράγματι, A B = {,,3,4,5,6}, A B = { }, B = {,7,8,,50}, A = {4,5,,50}, AB = {,3}, ( A B) = {7,8,,50}, ( A B) = {,3,,50} β) Έστω τα ενδεχόμενα A = (48, 7) και B = [ 48, + ) του δειγματικού χώρου Ω = { t : t 0} = [0, + ) του πειράματος τύχης που συζητήσαμε στο Παράδειγμα 3(ε) Παρατηρείστε ότι: A B, A B = [ 48, + ) = B, AB = ( 48, 7) = A, A B = Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 65

14 Έστω επίσης τα ενδεχόμενα i =,,,k A, A,, A του Ω = [ 0, + ) με A i = { t :0 t < i}, k Για τα ενδεχόμενα, A A Ak και A A Ak ισχύει αντίστοιχα, A A A = k A και A A A k = Ak Σκεφθείτε γιατί (Παρατηρείστε ότι, A = [0, ), A = [0, ), 3) A 3 = [0, κοκ) Παράδειγμα 33: Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Στα διαγράμματα Venn που ακολουθούν (Σχήμα 34) φαίνεται πώς μπορούν να εκφρασθούν τα παρακάτω ενδεχόμενα, (α)-(στ), με χρήση πράξεων μεταξύ των Α, Β, Γ α) Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, Γ πραγματοποιείται β) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β, Γ γ) Και τα τρία ενδεχόμενα Α, Β, Γ πραγματοποιούνται δ) Πραγματοποιούνται το πολύ δύο από τα Α, Β, Γ ε) Πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β, Γ στ) Πραγματοποιείται το Α και δεν πραγματοποιείται ούτε το Β ούτε το Γ α A B Γ β ( A B Γ ) = A B Γ γ AB Γ δ ( ABΓ ) ε A B Γ A BΓ A B Γ στ A ( B Γ ) = AB Γ Σχήμα 34 Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 66

15 Ερώτηση: Σκεφθείτε ποια ενδεχόμενα εκφράζουν οι σκιασμένες περιοχές στα διαγράμματα Venn που φαίνονται στα Σχήματα 35 και 36 Σχήμα 35 Σχήμα 36 Παράδειγμα 34: Ας θεωρήσουμε το ενδεχόμενο Α: «ο παραγωγός α παίρνει ένα από τα τρία πρώτα βραβεία» και το ενδεχόμενο Β: «ο παραγωγός β παίρνει το ο βραβείο» του δειγματικού χώρου του πειράματος τύχης που συζητήσαμε στο Παράδειγμα 3(ζ) Περιγράψτε τα ενδεχόμενα AB και N ( A B) = 43 A B και δείξτε ότι N ( AB) = 4! = 48 και Παράδειγμα 35: Στο διάγραμμα που ακολουθεί, φαίνεται σχηματικά το σύστημα λήψης απόφασης σε μια γενική διεύθυνση ενός οργανισμού (πρόκειται για τμήμα του οργανογράμματος του οργανισμού) Ο γενικός διευθυντής εγκρίνει μια εισήγηση εφόσον συμφωνήσει τουλάχιστον μια από τις διευθύνσεις, καθώς και η διεύθυνση 3 (πρόκειται για τη διεύθυνση που καλύπτει το οικονομικό κόστος των εισηγήσεων) Σχήμα 37 Εδώ η διαδικασία (το πείραμα) που επαναλαμβάνεται είναι, «κατατίθεται μια εισήγηση προς έγκριση και καταγράφεται ποια διεύθυνση συμφωνεί και ποια δε συμφωνεί με την εισήγηση» Αν συμβολίσουμε τη «συμφωνία» με και τη «μη συμφωνία» με «0», το αποτέλεσμα μπορούμε να το συμβολίσουμε με μια διατεταγμένη τριάδα από και «0» όπου η θέση στην τριάδα δείχνει τη διεύθυνση ( η θέση αντιστοιχεί στην διεύθυνση, η θέση στην διεύθυνση και 3 η θέση στην διεύθυνση 3) Έτσι, για παράδειγμα, η διατεταγμένη τριάδα 0 περιγράφει το αποτέλεσμα: η διεύθυνση συμφωνεί, η διαφωνεί και η 3 συμφωνεί Έτσι ένας κατάλληλος δειγματικός χώρος του πειράματος είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων τριάδων α α α 3, όπου α i = 0 ή για κάθε i =,, 3 Δηλαδή, Ω = { α α α 3 : α i {0,}, i =,,3} Πρόκειται για πεπερασμένο δειγματικό χώρο με N ( Ω) = 8 (σκεφθείτε γιατί) Αν μας ενδιαφέρει, μπορούμε με ένα συστηματικό τρόπο, να καταγράψουμε αναλυτικά όλα τα στοιχεία του Ω Κατασκευάζοντας κατάλληλο δενδρόγραμμα, επαληθεύστε ότι Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 67

16 Ω = {,0,0,00, 0, 00, 00, 000} Έστω το ενδεχόμενο E: η εισήγηση εγκρίνεται Με βάση τη διαδικασία λήψης αποφάσεων και τον τρόπο που ορίσαμε και συμβολίσαμε τα αποτελέσματα του πειράματος, το ενδεχόμενο E περιλαμβάνει τις διατεταγμένες τριάδες που στις δύο πρώτες θέσεις έχουν τουλάχιστον ένα και στην τρίτη θέση Δηλαδή, E = {,0, 0} Αν ορίσουμε τα ενδεχόμενα, Σ i : η διεύθυνση i =,, 3 συμφωνεί, τότε το E μπορεί να εκφρασθεί με πράξεις μεταξύ των Σ i ως εξής: E = (Σ Σ ) (σκεφθείτε γιατί) Σ 3 Σκεφθείτε επίσης, πώς μπορεί να εκφρασθεί με πράξεις μεταξύ των ενδεχόμενο: η εισήγηση δεν εγκρίνεται Σ i το Σημείωση 3: Συνδεσμολογίες όπως αυτές του Σχήματος 37 μπορεί να αφορούν σε ένα συστήματα μεταφοράς κάποιου υγρού ή αερίου (πχ νερού, πετρελαίου, φυσικού αερίου), ηλεκτρικής ενέργειας, ηλεκτρονικού ή μαγνητικού σήματος, κά Δηλαδή, σε ένα δίκτυο/σύστημα, μπορεί να διασυνδέονται κατά περίπτωση, αντλίες μεταφοράς κάποιου υγρού ή αερίου, σταθμοί ηλεκτρικής ενέργειας, διακόπτες, πομποί, κεραίες, κτλ που λειτουργούν ή δε λειτουργούν, δηλαδή που έχουν δύο καταστάσεις (ή και περισσότερες) Ορίζεται βέβαια και η συνθήκη λειτουργίας του συστήματος Ο τρόπος που εργαζόμαστε σε τέτοια προβλήματα, φυσικά δεν επηρεάζεται από το είδος των εξαρτημάτων που διασυνδέονται (δες και την άσκηση 3) Στην εισαγωγική ενότητα, στη γενική επισκόπηση που κάναμε, αναφέραμε ότι αντικείμενο της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η έρευνα των νόμων που διέπουν τα τυχαία φαινόμενα και πειράματα Με την εισαγωγή των εννοιών, πείραμα τύχης, δειγματικό σημείο, δειγματικός χώρος και ενδεχόμενο, που μόλις γνωρίσαμε, δημιουργείται το πλαίσιο εντός του οποίου γίνεται η «διερεύνηση των νόμων που διέπουν το τυχαίο» Ας δούμε λοιπόν πώς 33 Η Έννοια της Πιθανότητας Σε ένα πείραμα τύχης δεν είμαστε ποτέ βέβαιοι αν, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του, ένα ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου του Ω, θα εμφανισθεί ή δε θα εμφανισθεί Ενδέχεται να εμφανισθεί αλλά ενδέχεται και να μην εμφανισθεί Βέβαια, ένα εύλογο ερώτημα που αβίαστα προκύπτει είναι το εξής: σε αυτές τις συνθήκες αβεβαιότητας, υπάρχει κάποιος τρόπος να ορίσουμε ένα μέτρο «προσδοκίας» για την εμφάνιση του ενδεχομένου Α; Μπορούμε, δηλαδή, και πώς, σε κάθε ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης να αντιστοιχίσουμε έναν αριθμό που να εκφράζει το «βαθμό βεβαιότητας» που έχουμε για την εμφάνισή του; Το ερώτημα αυτό απαντήθηκε μέσα από μια μακρά, όμως ενδιαφέρουσα και δημιουργική πορεία Παρότι οι προσπάθειες άρχισαν από τον 5 ο αιώνα, η θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων ολοκληρώθηκε πολύ πρόσφατα, τον 0 ο αιώνα (μόλις το 933) και χρειάσθηκε γι αυτό πολύς μόχθος πολλών γενεών Μαθηματικών 7 Από τους πρώτους που ασχολήθηκαν με προβλήματα υπολογισμού πιθανοτήτων ήταν οι Ιταλοί μαθηματικοί Paccioli, Tartaglia, Peverone, Cardano αλλά και ο Galileo Galilei (το 494 ο Paccioli έθεσε το πρόβλημα των μεριδίων με το 7 Αναμενόμενες οι δυσκολίες αφού η αναζήτηση νόμων που διέπουν το «τυχαίο» δεν ήταν (και δεν είναι) και το πιο απλό εγχείρημα! Δε συμφωνείτε; Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 68

17 οποίο ασχολήθηκαν και οι Tartaglia και Peverone το 556 και το 58 αντίστοιχα, όλοι όμως απέτυχαν να δώσουν σωστή λύση 8 Επίσης ο Cardano σε εργασία που δημοσιεύθηκε μετά το θάνατό του (το 663) αλλά και ο Galileo Galilei υπολόγισαν πιθανότητες σε προβλήματα τυχερών παιχνιδιών με ζάρια) Συστηματικά, με τη διατύπωση γενικών μεθόδων υπολογισμού πιθανοτήτων, ασχολήθηκαν (για πρώτη φορά το 654) οι διάσημοι Γάλλοι μαθηματικοί Pascal και Fermat ενώ το πρώτο βιβλίο πιθανοτήτων, το οποίο και επηρέασε την εξέλιξη της θεωρίας αλλά κέντρισε και το ενδιαφέρον μεγάλων μαθηματικών και προκάλεσε την ενασχόλησή τους με προβλήματα πιθανοτήτων, δημοσιεύθηκε το 657 από τον Ολλανδό μαθηματικό, αστρονόμο και φυσικό Huyghens, με τον λατινικό τίτλο «De ratiociniis in ludo aleae» 9 Στη συνέχεια, σημαντική ήταν η συμβολή (σε θεμελιώδη ζητήματα) των James Bernoulli και Abraham de Moivre αλλά και του Pierre de Laplace ο οποίος εισήγαγε νέες ιδέες για το μαθηματικό λογισμό πιθανοτήτων και δημοσίευσε (το 8) το βιβλίο-σταθμό στην εξέλιξη της θεωρίας των πιθανοτήτων «Theorie Analytique de Probabilites» Στην εξέλιξη της θεωρίας αλλά και στη διεύρυνση των εφαρμογών των πιθανοτήτων κατά τον 9 ο και τον 0 ο αιώνα, εξέχουσα θέση κατέχουν οι Gauss, Chebysev, Markov, Liapounov, Mises και Kolmogorov Στον Kolmogorov οφείλεται και η αξιωματική θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στη μακρά αυτή πορεία θεμελίωσης και ανάπτυξης της Θεωρίας Πιθανοτήτων, η έννοια της πιθανότητας προσεγγίσθηκε με περισσότερους από έναν τρόπους και δόθηκαν τρεις ορισμοί, γνωστοί ως κλασικός, στατιστικός και αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας αντίστοιχα, όχι γιατί στην πορεία διαπιστώνονταν ανακολουθίες ή αντιφάσεις, αλλά ως ανταπόκριση στην ανάγκη γενίκευσης και (περισσότερης) μαθηματικής αυστηρότητας 0 Ας δούμε με τη σειρά που προτάθηκαν αυτούς τους τρεις ορισμούς 33 Κλασικός ορισμός της πιθανότητας Ας θεωρήσουμε ότι για το δειγματικό χώρο Ω, ενός πειράματος τύχης ισχύει ότι: () είναι πεπερασμένος με έστω Ν το πλήθος δειγματικά σημεία (αποτελέσματα), δηλαδή, έστω ότι N ( Ω) = N και () μεταξύ των Ν δειγματικών σημείων του υπάρχει μια εγγενής συμμετρικότητα, με την έννοια ότι δεν υπάρχει λόγος να δεχθούμε ότι κάποιο δειγματικό σημείο είναι περισσότερο ή λιγότερο πιθανό από τα υπόλοιπα, και έτσι μπορούμε να τα θεωρήσουμε όλα εξίσου πιθανά (ισοπίθανα), Έστω επίσης ένα ενδεχόμενο Α του Ω, με k δειγματικά σημεία, δηλαδή, με N ( = k Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται όταν από τα Ν δυνατά αποτελέσματα του πειράματος εμφανισθεί οποιοδήποτε από τα k αποτελέσματα που περιέχονται στο Α Δηλαδή, το Α πραγματοποιείται στις k από τις Ν δυνατές περιπτώσεις αποτελεσμάτων του πειράματος Γι αυτό, ενώ τα στοιχεία του Ω ονομάζονται δυνατά αποτελέσματα 8 Τα επιτεύγματα (ο πλούτος) του ανθρώπινου πολιτισμού κατακτήθηκαν (και κατακτώνται) με συνεχή προσπάθεια, μόχθο, δυσκολίες, αλλά και λάθη, αποτυχίες και απογοητεύσεις Βέβαια, στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα το λάθος απαγορεύεται και τιμωρείται αυστηρά ενώ τα σχολικά εγχειρίδια, κατά κανόνα, δίνουν την ψευδή εικόνα ότι οι κατακτήσεις του ανθρώπινου πολιτισμού προέκυψαν, περίπου, «εξ επιφοιτήσεως» Με το λάθος να προβάλλει και να επικρέμεται ως απειλή, πώς θα τολμήσουν άραγε οι νέοι να αμφισβητούν και να αμφιβάλλουν ώστε να μάθουν να σκέφτονται και να ενεργούν δημιουργικά; 9 «On Reasoning in Games of Chance» 0 Πέραν αυτών των τριών ορισμών έχει προταθεί και η υποκειμενική πιθανότητα ως αποτέλεσμα φιλοσοφικής θεώρησης και ερμηνείας της ως «βαθμού πίστης» Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 69

18 ή δυνατές περιπτώσεις, τα στοιχεία του Α ονομάζονται ευνοϊκά αποτελέσματα ή ευνοϊκές περιπτώσεις για το Α Είναι επομένως λογικό να θεωρήσουμε ότι το κλάσμα N( k = N(Ω) N μπορεί να αποτελέσει ένα μέτρο για το πόσο πιθανό είναι να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α αφού εκφράζει τις ευνοϊκές περιπτώσεις ως ποσοστό επί των δυνατών Έτσι φθάνουμε στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας Κλασικός ορισμός της πιθανότητας: Αν ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι πεπερασμένος και μεταξύ των απλών ενδεχομένων του υπάρχει μια εγγενής συμμετρικότητα, με την έννοια ότι δεν υπάρχει λόγος να δεχθούμε ότι κάποιο απλό ενδεχόμενο είναι περισσότερο ή λιγότερο πιθανό από τα υπόλοιπα, και έτσι μπορούμε να τα θεωρήσουμε όλα εξίσου πιθανά (ισοπίθανα), τότε η πιθανότητα εμφάνισης ενός (οποιουδήποτε) ενδεχομένου A Ω, την οποία συμβολίζουμε με P (, δίνεται από τον τύπο, N( P ( = (3) N ( Ω) Επισήμανση: Παρατηρείστε ότι το «ισοπίθανο» που τίθεται ως προϋπόθεση στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, εύλογα ορίζεται ανεξάρτητα από την έννοια της πιθανότητας (ορίζεται με επίκληση της αρχής της «έλλειψης επαρκούς λόγου») Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προτάθηκε από τον Laplace το 8 και μέχρι τις αρχές του 0 ου αιώνα απετέλεσε το θεμέλιο της θεωρίας των πιθανοτήτων, γι αυτό και ονομάσθηκε κλασικός Αξίζει να αναφερθεί ότι ο ορισμός αυτός είχε διατυπωθεί τόσο από τον Moivre το 7 όσο και από τον Bayes (σε δημοσίευση που έγινε το 763, δύο χρόνια μετά το θάνατό του) αλλά και πολύ πριν, οι Pascal και Fermat αλλά και ο Cardano, κ ά, με αυτόν τον τρόπο προσέγγισαν την έννοια της πιθανότητας Παρατηρείστε ότι η πιθανότητα ορίσθηκε ως μια συνολοσυνάρτηση P ( ) η οποία σε κάθε ενδεχόμενο A του συνόλου όλων των ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω N( αντιστοιχίζει τον πραγματικό αριθμό, P ( = N ( Ω) Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι: P ( 0, για κάθε ενδεχόμενο Α του συνόλου των ενδεχομένων του Ω P ( Ω) = 3 P ( A B) = P( + P( B), για οποιαδήποτε ξένα ενδεχόμενα Α, Β του συνόλου των ενδεχομένων του Ω H () και η () προκύπτουν άμεσα από την (3) Η (3) ονομάζεται ιδιότητα της πεπερασμένης προσθετικότητας και αποδεικνύεται ως εξής: αν το ενδεχόμενο Α έχει κ στοιχεία και το Β έχει λ στοιχεία, δηλαδή αν N ( = κ και N (B) = λ, τότε το ενδεχόμενο A B θα έχει κ + λ, δηλαδή N ( A B) = κ + λ, διότι τα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους και επομένως δε θα έχουν κοινά στοιχεία Δηλαδή, Τα πρώτα προβλήματα υπολογισμού πιθανοτήτων που απασχόλησαν τους Cardano, Pascal, Fermat κά, αφορούσαν τυχερά παιχνίδια τα οποία κατά κανόνα είναι πειράματα τύχης με πεπερασμένους δειγματικούς χώρους και ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 70

19 N ( A B) = N( + N( B) και επομένως P ( A B) = P( + P( B) N( A B) N( Ω) = N( + N( Ω) N( B) N( Ω) ή Σημειώνουμε ότι εύκολα αποδεικνύονται και κάποιες άλλες ενδιαφέρουσες και πολύ χρήσιμες ιδιότητες της πιθανότητας, όμως κρίνουμε σκόπιμο να μην επεκταθούμε περισσότερο σε αυτό σημείο Στις ιδιότητες της πιθανότητας θα επανέλθουμε αργότερα Ας δούμε ( επιτέλους) μερικά παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων με χρήση του κλασικού ορισμού Παράδειγμα 36: Τα τυχαία πειράματα που αναφέρονται σε τυχερά παιχνίδια συνήθως αποτελούν χαρακτηριστικές περιπτώσεις πειραμάτων με πεπερασμένους δειγματικούς χώρους και ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Μια τέτοια περίπτωση πειράματος τύχης είναι το παιχνίδι της ρουλέτας Ο τροχός της ρουλέτας διαιρείται σε 37 ίσα τόξα που φέρουν τους αριθμούς 0,,, 3,, 36 Το μηδέν έχει πράσινο χρώμα και από τους υπόλοιπους 36 αριθμούς, οι 8 έχουν κόκκινο και οι υπόλοιποι (επίσης 8) έχουν μαύρο χρώμα Ο τροχός μπαίνει σε περιστροφική κίνηση και μια μεταλλική μπίλια ρίχνεται μέσα στον (περιστρεφόμενο) τροχό Όταν η μπίλια σταματήσει, παρατηρούμε σε ποιον αριθμό σταμάτησε Πρόκειται προφανώς για πείραμα τύχης Σε μια εκτέλεσή του, η μπίλια μπορεί να σταματήσει σε οποιονδήποτε από τους 37 αριθμούς του τροχού, επομένως το πείραμα έχει 37 δυνατά αποτελέσματα, τους αριθμούς, 0,,,, 36, δηλαδή, ένας κατάλληλος δειγματικός χώρος του πειράματος είναι το σύνολο Ω = {0,,,,36} και πρόκειται προφανώς για πεπερασμένο δειγματικό χώρο με N ( Ω) = 37 δειγματικά σημεία τα όποια δεν έχουμε λόγο να μην τα θεωρούμε εξίσου πιθανά Μπορούμε επομένως, για τον υπολογισμό πιθανοτήτων να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (3) Έστω, για παράδειγμα, τα ενδεχόμενα του Ω, Α: η μπίλια σταματάει στο 5 ή στο, Β: η μπίλια σταματάει σε περιττό αριθμό, Γ: η μπίλια σταματάει σε κόκκινο αριθμό Σε μια επανάληψη του πειράματος, οι ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίηση του ενδεχομένου A = {5, } είναι δύο, οι αριθμοί 5 N( και, και επομένως, P ( = = = N ( Ω) 37 για την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β είναι όλοι οι περιττοί αριθμοί από το έως το 35 δηλαδή, B = {, 3,5,,33,35} με N ( B) = 8 και επομένως, N( B) 8 P ( B) = = = N ( Ω) 37 για την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Γ είναι όλοι οι αριθμοί που έχουν κόκκινο χρώμα και γνωρίζουμε ότι N ( Γ) = 8 και επομένως, N( Γ) 8 P( Γ ) = = = N ( Ω) 37 Στο Λας Βέγκας και σε άλλες αμερικανικές πόλεις ο τροχός διαιρείται σε 38 ίσα τόξα που φέρουν τους αριθμούς 00, 0,,, 36 και πράσινο χρώμα έχουν το 0 και το 00 Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 7

20 Σχόλιο 33: Ας δούμε πώς μπορούμε να ερμηνεύσουμε, για παράδειγμα, την πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Β που μόλις υπολογίσαμε (ανάλογα ερμηνεύονται και οι P ( και P (Γ) ) Το ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Β υπολογίσθηκε ίση με 04865, σημαίνει ότι αν ένας παίκτης στοιχηματίσει μια φορά σε περιττό αριθμό, η πιθανότητα να κερδίσει είναι Προκύπτει βέβαια το ερώτημα, τι πρακτική αξία μπορεί να έχει για έναν παίκτη αυτή η πληροφορία Η απάντηση είναι η εξής: για τον παίκτη που θα σκεφθεί να ποντάρει συνεχώς σε περιττό αριθμό για μεγάλο αριθμό επαναλήψεων 3, έστω ν, αναμένεται να κερδίσει ν φορές, δηλαδή, να κερδίσει λιγότερες φορές από αυτές που θα χάσει, για παράδειγμα, αν ποντάρει 00 φορές αναμένεται να κερδίσει φορές και να χάσει φορές ή αν ποντάρει 000 φορές σε περιττό αριθμό, αναμένεται να κερδίσει περίπου τις 486 και να χάσει περίπου τις 54 Δηλαδή, ο παίκτης πρέπει να γνωρίζει, ότι το «απώτερο μέλλον», οι «μακράς προοπτικής νόμοι», δεν είναι με το μέρος του αλλά με το καζίνο! Πρόκειται για άδικο παιχνίδι! Αργότερα, όταν θα μιλήσουμε για την έννοια της μέσης τιμής θα επανέλθουμε στα περί δίκαιου και άδικου παιχνιδιού Παράδειγμα 37: Από τα 80 κοντέινερ που εκφορτώθηκαν από ένα πλοίο, τα 0 περιέχουν λαθραία τσιγάρα Οι τελωνειακές αρχές επιλέγουν τυχαία 5 από τα 80 κοντέινερ για να ελέγξουν το περιεχόμενό τους Ποια είναι η πιθανότητα α) καθένα από τα 5 κοντέινερ που επελέγησαν να μην περιέχει λαθραία τσιγάρα β) ακριβώς τρία από τα 5 κοντέινερ που επελέγησαν να περιέχουν λαθραία τσιγάρα Εδώ, το πείραμα τύχης συνίσταται στην τυχαία επιλογή 5 κοντέινερ από 80, επομένως ο δειγματικός χώρος, έστω Ω, του πειράματος, αποτελείται από όλες τις δυνατές συλλογές των 5 κοντέινερ που είναι δυνατόν να σχηματισθούν όταν επιλέγονται 5 κοντέινερ από 80 Στις συλλογές αυτές δεν ενδιαφέρει κάποιου είδους διάταξη, δηλαδή, πρόκειται για τους συνδυασμούς που σχηματίζονται όταν επιλέγουμε 5 στοιχεία από 80 και επομένως τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος είναι τόσα, όσοι είναι οι 80 80! συνδυασμοί των 80 κοντέινερ ανά 5, δηλαδή, N ( Ω) = = = !75! Επειδή οι συλλογές αυτές των 5 στοιχείων μπορούν να θεωρηθούν εξίσου πιθανές να επιλεγούν, αφού δεν έχουμε κάποιο λόγο για το αντίθετο, και επειδή ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος, για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων που μας ενδιαφέρουν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (3) Επισημαίνουμε ότι για να υπολογίσουμε με τον τύπο (3) πιθανότητες ενδεχομένων δε χρειάζεται να έχουμε καταγράψει ποια είναι τα στοιχεία του Ω και των ενδεχομένων των οποίων τις πιθανότητες ζητάμε, αλλά μόνο πόσα είναι α) Τα ευνοϊκά αποτελέσματα για το ενδεχόμενο, Α: καθένα από τα 5 κοντέινερ που επελέγησαν δεν περιέχει λαθραία τσιγάρα σχηματίζονται αν και τα 5 κοντέινερ επιλεγούν από τα 70 που δεν περιέχουν λαθραία τσιγάρα Αυτό μπορεί να γίνει με και επομένως, ! τρόπους, δηλαδή, N ( = = = !65! Όταν θα μιλήσουμε για το νόμο της στατιστικής ομαλότητας θα προκύψει αβίαστα γιατί αναφερόμαστε σε «μεγάλο αριθμό» επαναλήψεων Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Βασικές Έννοιες Πιθανότητας 0 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος...4

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ -Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι τα ποσοστά των ομάδων αίματος Α, Β, ΑΒ και Ο σε

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια και βασικές ιδιότητες της πιθανότητας

Η έννοια και βασικές ιδιότητες της πιθανότητας Η έννοια και βασικές ιδιότητες της πιθανότητας 3 Βασικές έννοιες 3 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων 33 Η έννοια της πιθανότητας 33 Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας 33 Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική Ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Laplace έγραψε ότι οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μετατροπή της κοινής λογικής σε μαθηματικές εκφράσεις. Η χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Ένας ερευνητής προκειμένου να συγκρίνει τρία σιτηρέσια εκτροφής κοτόπουλων (Σ1, Σ2 και Σ3, αντίστοιχα), σχεδίασε και εκτέλεσε το εξής πείραμα. Επέλεξε 15 νεογέννητα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα