ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Μονοηλεκτρονιακά ατομικά συστήματα. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική Φυσική Μονοηλεκτρονιακά ατομικά συστήματα Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μονοηλεκηρονιακά αηομικά ζσζηήμαηα Σην θεθάιαην απηό ζα κειεηήζνπκε ηελ αηνκηθή δνκή ζπζηεκάησλ κε έλα ειεθηξόλην μεθηλώληαο από ην πδξνγόλν. Τν απιό ζύζηεκα πξσηνλίνπ-ειεθηξνλίνπ ζα ζεσξεζεί σο κεζρεηηθηζηηθό πξόβιεκα δπν ζσκάησλ πνπ αιιειεπηδξνύλ κε έλα ειθηηθό δπλακηθό Coulomb. Με βάζε απηό ε κειέηε ζα ζπκπεξηιάβεη θαη ηα ππόινηπα πδξνγνλνεηδή ζπζηήκαηα όπσο είλαη ηα ηζόηνπα ηνπ πδξνγόλνπ δεπηέξην θαη ην ηξίηην, ηα πδξνγνλνεηδή ηόληα (He +, Li ++, θηι.) θαζώο θαη ηα ιεγόκελα εμσηηθά άηνκα (κηόληνπκ, πνδηηξόληνπκ, άηνκα Rydberg, θηι.). 2.1 Ενεργειακά Επίπεδα Θεσξνύκε πδξνγνλνεηδέο άηνκν πνπ απνηειείηαη από ππξήλα κε θνξηίν +Ze θη έλα ειεθηξόλην θνξηίνπ e έηζη ώζηε ε αιιειεπίδξαζή ηνπο λα πεξηγξάθεηαη από ην δπλακηθό Coulomb U(r) = Ze (4πε 0 )r (2.1) όπνπ r ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε. Λόγσ ηνπ θεληξηθνύ δπλακηθνύ θαη θαη επέθηαζε ηεο ζθαηξηθήο ζπκκεηξίαο ηνπ πξνβιήκαηνο, ε ιύζε ηνπ αλάγεηαη ζε απηή ησλ δπν ζσκάησλ, όπσο πεξηγξάθεθε ζην θεθάιαην 1. Έηζη, ε Χακηιηνληαλή ηεο ζρεηηθήο θίλεζεο ησλ δπν ζσκαηίσλ (παξαιείπνπκε ηελ θίλεζε ηνπ θέληξνπ κάδαο) είλαη ε όπνπ Η = p2 2μ Ze2 (4πε 0 )r (2.2) μ = mm (2.3) m + M Η αλεγκέλε κάδα ηνπ ζπζηήκαηνο κε m ηε κάδα ηνπ ειεθηξνλίνπ θαη Μ ηνπ ππξήλα. Επνκέλσο ε ρξνλναλεμάξηεηε εμίζσζε Schrödinger πνπ πεξηγξάθεη ην πξόβιεκα (ζηε κεζρεηηθηζηηθή πξνζέγγηζε) θαη ηεο νπνίαο θαινύκαζηε λα ιύζνπκε ην πξόβιεκα ησλ ηδηνηηκώλ θαη ηδηνθαηαζηάζεώλ ηεο είλαη ε ħ2 2μ 2 Ze2 (4πε 0 )r Ψ(r) = ΕΨ(r) (2.4) Όπσο είδακε ζην Kεθάιαην 1, κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηε γεληθή ιύζε σο Ψ E,l,m (r, θ, φ) = R E,l (r)y lm (θ, φ) (2.5) όπνπ Y lm (θ, φ) νη ζθαηξηθέο αξκνληθέο. Τόηε ε R E,l (r) ηθαλνπνηεί ηελ αθηηληθή εμίζσζε Schrödinger ħ2 2μ 1 d d l(l + 1) r 2 dr (r2 ) dr r 2 Ze2 (4πε 0 )r R E,l(r) = ER E,l (r) (2.6) Η αθηηληθή εμίζσζε κπνξεί λα απινπνηεζεί αθόκε πεξεηαίξσ εηζάγνληαο ηελ αθηηληθή ζπλάξηεζε 19

4 Τόηε ε λέα αθηηληθή εμίζσζε γξάθεηαη ħ2 d 2 u E,l (r) = rr E,l (r) (2.7) l(l + 1)ħ2 + 2μ dr2 2μr 2 Ze2 (4πε 0 )r u E,l(r) = Eu E,l (r) (2.8) Εηζάγνληαο ηελ ελεξγό δπλακηθή ελέξγεηα V eff (r) ε νπνία πεξηέρεη ηνλ απσζηηθό όξν ηεο ζηξνθνξκήο θαη πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα 2.1 V eff (r) = Ze2 (4πε 0 )r ε αθηηληθή εμίζσζε Schrödinger γξάθεηαη d 2 u E,l (r) dr 2 + l(l + 1)ħ2 2μr 2 (2.9) + 2μ ħ 2 [Ε V eff (r)]u E,l (r) = 0 (2.10) Στήμα 2.1. Τν ελεξγό δπλακηθό γηα ην άηνκν ηνπ πδξνγόλνπ (Ζ = 1, μ = m) γηα ηηο ηηκέο ηεο ζηξνθνξκήο l = 0, 1, 2. Γηα κεγάια r ην ελεξγό δπλακηθό ηείλεη ζην κεδέλ, θη επνκέλσο ε ιύζε u E,l (r) ηεο αθηηληθήο εμίζσζεο Schrödinger ζα ηείλεη ζε κηα ηαιαλησηηθή ζπκπεξηθνξά όπσο θαίλεηαη θη από ηε δηαθνξηθή εμίζσζε d 2 u E,l (r) dr 2 + 2μ ħ 2 Εu E,l(r) = 0 (2.11) Οπνηαδήπνηε ηηκή ηεο ηδηνηηκήο-ελέξγεηαο Ε > 0 ζα είλαη απνδεθηή ιύζε θαη ζα αληηζηνηρεί ζε κηα θπκαηνζπλάξηεζε u E,l (r). Σπλεπώο ην θάζκα ηεο Χακηιηνληαλήο ζε απηέο ηηο ζπλζήθεο ζα είλαη ζπλερέο. 1 1 Η δηαθνξηθή εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο y (x) + ay(x) = 0. Γηα α > 0 νη ιύζεηο ηεο είλαη ηεο κνξθήο y(x)~cos ax, sin ax. 20

5 Οη θαηαζηάζεηο ηνπ ζπλερνύο θάζκαηνο παίδνπλ πνιύ ζεκαληηθό ξόιν ζε πξνβιήκαηα ηνληζκνύ θαη ζθέδαζεο, σζηόζν ζην παξόλ θεθάιαην ζα επηθεληξσζνύκε ζηηο δέζκηεο θαηαζηάζεηο (Ε < 0 ) θαη ζην δηαθξηηό θάζκα ηνπο. Γηα ιόγνπο επθνιίαο εηζάγνπκε ηηο κεηαβιεηέο ρ = 8μΕ ħ 2 1/2 r θαη λ = Ze 2 4πε 0 ħ μ 2Ε 1/2 (2.12) Η αθηηληθή εμίζσζε Schrödinger 2.8 ηόηε γξάθεηαη d 2 l(l + 1) dρ2 ρ 2 + ι ρ 1 4 u E,l(ρ) = 0 (2.13) Αξρηθά ζα αλαδεηήζνπκε ηηο ιύζεηο ηεο αζπκπησηηθήο ζπκπεξηθνξάο ηεο u E,l (ρ), δει. γηα ρ. Τόηε νη όξνη 1/ρ 2 θαη 1/ρ ηείλνπλ ζην κεδέλ θαη ε εμίζσζε 2.13 θαηαιήγεη ζηελ d 2 dρ u E,l(ρ) = 0 (2.14) ηεο νπνίαο νη ιύζεηο είλαη νη exp( ± ρ/2). Δεδνκέλνπ όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε u E,l (ρ) πξέπεη λα είλαη πεπεξαζκέλε παληνύ, ε απνδεθηή ιύζε είλαη ε u E,l (ρ) e ρ/2. Επνκέλσο κπνξνύκε λα αλαδεηήζνπκε κηα γεληθή ιύζε ηεο νιηθήο θπκλαηνζπλάξηεζεο ηεο κνξθήο θαη ηόηε ε εμίζσζε 2.13 γξάθεηαη u E,l (ρ) = e ρ/2 f(ρ) (2.15) d 2 dρ 2 d l(l + 1) dρ ρ 2 + ι ρ f(ρ) = 0 (2.16) Αλαδεηνύκε ιύζεηο ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο αλαπηύζζνληαο ζε δπλακνζεηξά ηελ f(ξ) σο f(ρ) = ρ l+1 g(ρ) (2.17) όπνπ g(ρ) = c k ρ k, c k 0 (2.18) Χξεζηκνπνηήζακε ην γεγνλόο πσο ε u E,l (ρ) θαη θαη επέθηαζε ε f(ρ) ζπκπεξηθέξεηαη σο ρ l+1 γηα κηθξά ξ γηα θεληξηθά δπλακηθά πνπ ηείλνπλ ιηγόηεξν γξήγνξα ζην κεδέλ από r 2. Αληηθαζηζηώληαο ηελ ζρέζε 2.17 ζηελ 2.16 πξνθύπηεη όηη ε g(ρ) ηθαλνπνηεί ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε ρ d2 d + (2l + 2 ρ) + (λ l 1) g(ρ) = 0 (2.19) dρ2 dρ Με αληηθαηάζηαζε ηεο 2.18 πξνθύπηεη Γηα α < 0 νη ιύζεηο ηεο είλαη ηεο κνξθήο y(x)~exp ± ax 21

6 ή ή 2 ή k(k 1)c k ρ k 1 + (2l + 2 ρ)kc k ρ k 1 + (λ l 1) c k ρ k = 0 (2.20) k(k 1)c k ρ k 1 + (2l + 2)kc k ρ k 1 + (λ l 1 k) c k ρ k = 0 (2.21) k(k + 1)c k+1 ρ k + (2l + 2)(k + 1)c k+1 ρ k + (λ l 1 k) c k ρ k = 0 (2.22) {[k(k + 1) + (2l + 2)(k + 1)]c k+1 + (λ l 1 k)c k }ρ k Επνκέλσο νη ζπληειεζηέο c k πξέπεη λα ηθαλνπνηνύλ ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε c k+1 = = 0 (2.23) k + l + 1 λ (k + 1)(k + 2l + 2) c k (2.24) Επεηδή θάζε θπζηθά απνδεθηή ιύζε απαηηεί ε 2.18 λα ηεξκαηίδεηαη, δει. γηα θάπνην k λα είλαη c k = 0. Έζησ όηη ε ηηκή ηνπ είλαη k = n r. Τόηε από ηελ 2.24 γηα c k+1 = 0 πξνθύπηεη όηη λ = n r + l + 1 (2.25) O n r ιέγεηαη ακτινικός κβαντικός αριθμός θαη παίξλεη ηηο ηηκέο n r = 0, 1, 2, 3, ελώ ν λ είλαη ν κύριος κβαντικός αριθμός πνπ πιένλ ζα ζπκβνιίδεηαη κε n θαη παίξλεη κόλν ζεηηθέο αθέξαηεο ηηκέο n = 1, 2, 3, αθνύ ν n r θαη ν l παίξλνπλ ζεηηθέο αθέξαηεο ηηκέο ή κεδεληθέο. Επνκέλσο νη ηδηνηηκέο ηεο 2.12 είλαη νη λ = n, n = 1, 2, 3, (2.26) Παξαηεξνύκε πσο ε κέγηζηε ηηκή ηνπ ηξνρηαθνύ θβαληηθνύ αξηζκνύ l είλαη ν n 1. Αληηθαζηζηώληαο ηελ 2.26 ζηελ 2.12 πξνθύπηνπλ νη ηδηνηηκέο ηεο ελέξγεηαο: Ε n = 1 Ze2 2 μ Z2 2n 2 = 13.6 μ 4πε 0 ħ2 n 2 m ev (2.27) = Z2 2n 2 μ m Σηε ζπλέρεηα ζα ζρνιηάζνπκε ηηο γεληθέο ηδηόηεηεο ηνπ παξαπάλσ ελεξγεηαθνύ θάζκαηνο. a. u. Οη ηηκέο ηεο ελέξγεηαο Ε n πνπ πξνέθπςαλ ηαπηίδνληαη κε απηέο ηνπ κνληέινπ Bohr. Ωζηόζν ε ζπκθσλία ηζρύεη ζην βαζκό πνπ δελ ιάβακε ππ όςε ζρεηηθηζηηθά θαηλόκελα θαη θαηλόκελα πνπ ζρεηίδνληαη κε ηνλ ππξήλα ηνπ αηόκνπ. Οη κεηαβάζεηο κεηαμύ ησλ 2 k(k 1)c k ρ k 1 = 0c 0 ρ 1 + 0c 1 ρ 0 + 2c 2 ρ 1 + 6c 3 ρ 2 + = k(k + 1)c k+1 ρ k = k(k + 1)c k+1 ρ k k=1 = 22

7 δηαθόξσλ ζηαζκώλ (κε ηνπο θαλόλεο επηινγήο ζα αζρνιεζνύκε αξγόηεξα), από ηηο νπνίεο πξνθύπηεη ην θάζκα ηνπ πδξνγόλνπ (ζεηξέο Lyman, Balmer, Paschen, Bracket, Pfund, θηι.) πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα 2.2, πεξηγξάθνληαη όπσο θαη ζην κνληέιν Bohr από ηε ζρέζε ΔΕ = n2 1 1 n 2 ev, n 1 > n 2 (2.28) Στήμα 2.2. Τν θάζκα ηνπ αηόκνπ ηνπ πδξνγόλνπ. Εθόζνλ ν θύξηνο θβαληηθόο αξηζκόο n κπνξεί λα πάξεη ηηκέο από 1 έσο ην +, απηό ζεκαίλεη πσο ην Κνπινκπηθό δπλακηθό πεξηέρεη άπεηξν (αξηζκήζηκν) αξηζκό ελεξγεηαθώλ ζηαζκώλ, ε απόζηαζε ησλ νπνίσλ κηθξαίλεη θαζώο κεγαιώλεη ν θύξηνο θβαληηθόο αξηζκόο n. Απηό ζπκβαίλεη γηαηί ην κέγεζνο ηνπ δπλακηθνύ Coulomb κεηώλεηαη αξγά ζε κεγάιεο απνζηάζεηο. Αληίζεηα, δπλακηθά κηθξήο εκβέιεηαο, όπσο γηα παξάδεηγκα έλα ηεηξαγσληθό πεγάδη, έρνπλ πεπεξαζκέλν αξηζκό θαηαζηάζεσλ. Οη ελεξγεηαθέο ηδηνηηκέο εμαξηώληαη κόλν από ηνλ θύξην θβαληηθό αξηζκό n θη όρη από ηνπο l θαη m, είλαη δειαδή εθθπιηζκέλεο σο πξνο l θαη m. Δεδνκέλνπ όηη ν l παίξλεη ηηκέο 0, 1, 2, 3,, n-1 θαη γηα θάζε ηηκή ηνπ l ππάξρνπλ (2l + 1) ηηκέο ηνπ m (-l, - l + 1, + l) ν ζπλνιηθόο εθθπιηζκόο d ππνινγίδεηαη σο n 1 d = (2l + 1) = 2 l l=0 n 1 l=0 n = l=0 n(n 1) n = n 2 (2.29) Ο εθθπιηζκόο ηνπ m νθείιεηαη ζην ραξαθηήξα ηνπ θεληξηθνύ δπλακηθνύ θαη ππάξρεη γηα όια ηα θεληξηθά δπλακηθά U(r). Ωζηόζν ν εθθπιηζκόο ηνπ l νθείιεηαη θαζαξά ζην δπλακηθό Coulomb θαη ηζρύεη κόλν γη απηό. Δειαδή δελ πξόθεηηαη γηα εθθπιηζκό πνπ νθείιεηαη ζε θάπνηα γεσκεηξηθή ζπκκεηξία (π.ρ. ζπκκεηξία ζηξνθήο πνπ ηζρύεη γηα ηνλ θβαληηθό αξηζκό m) αιιά πξόθεηηαη γηα εθθπιηζκό πνπ νθείιεηαη ζηε κνξθή 1/r ηνπ 23

8 δπλακηθνύ Coulomb. Έηζη ελώ γηα ηνλ θβαληηθό αξηζκό m κηιάκε γηα γεσκεηξηθό εθθπιηζκό, γηα ηνλ l κηιάκε γηα ζπκπσκαηηθό εθθπιηζκό (accidental). 3 Σην ζρήκα 2.3 δίλεηαη ην ελεξγεηαθό δηάγξακκα γηα ην άηνκν ηνπ πδξνγόλνπ. Οη εθθπιιηζκέλεο θαηά l θαηαζηάζεηο παξνπζηάδνληαη κε ην θαζκαηηθό ζπκβνιηζκό ηνπο. Ο θαζκαηηθόο ζπκβνιηζκόο ησλ θαηαζηάζεσλ πεξηιακβάλεη ηνλ θύξην θβαληηθό αξηζκό n θαη ηνλ ηξνρηαθό θβαληηθό αξηζκό l, θαηά παξάδνζε ζπλδεδεκέλν κε ην ζπκβνιηζκό ησλ θαζκαηηθώλ γξακκώλ ησλ αιθαιηθώλ κεηάιισλ (s: sharp, p: principal, d: diffuse, f: fundamental). 4 l γξάκκα s p d f g h i k l Στήμα 2.3. Τν ελεξγηαθό δηάγξακκα ηνπ πδξνγόλνπ. 3 Αλάινγα θαηλόκελα ηεο ηδηαηηεξόηεηαο ηνπ δπλακηθνύ U(r) = k/r ππάξρνπλ θαη ζηελ θιαζζηθή κεραληθή όπνπ γηα ην βαξπηηθό δπλακηθό 1/r πξνθύπηεη όηη νη ειιεηπηηθέο ηξνρηέο είλαη θιεηζηέο. Απηό νθείιεηαη ζηε δηαηήξεζε ηνπ δηαλύζκαηνο Runge-Lenz A = p L mkr. Τν δηάλπζκα Runge-Lenz ζπλδέεηαη κε ηελ εθθεληξόηεηα κε ηε ζρέζε e = A/mk. 4 Μλεκνληθή θξάζε γηα λα ζπκάηαη εύθνια θαλείο ηελ ζεηξά ησλ γξακκαησλ: "Sober Physicists Don't Find Giraffes Hiding In Kitchens Like Mine". (Παξαηεξείζηε όηη δελ ππάξρεη ην γξάκκα j) Μλεκνληθή θξάζε γηα ηα ηέζζεξα πξώηα γξάκκαηα: "Smart People Don't Fail" ή "Silly People Drive Fast" 24

9 Θπκίδνπκε πσο γηα ηνλ θύξην θβαληηθό αξηζκό n ρξεζηκνπνηείηαη ν παξαθάησ ζπκβνιηζκόο, ρσξίο σζηόζν λα ρξεζηκνπνηείηαη ζην ζπκβνιηζκό ησλ θαηαζηάζεσλ. n γξάκκα K L M N O P Q R S 2.2 Ιδιοζσναρηήζεις ηων δέζμιων καηαζηάζεων Οη θπζηθά απνδεθηέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο 2.19 γηα λ = n κπνξεί λα απνδεηρζεί (ε απόδεημε μεθεύγεη ηνπ ζθνπνύ ηνπ καζήκαηνο) όηη εθθξάδνληαη κέζσ ησλ ζπλαθώλ πνιπσλύκσλ Laguerre. Η νιηθή θαλνληθνπνηεκέλε αθηηληθή θπκαηνζπλάξηεζε ελόο πδξνγνλνεηδνύο αηόκνπ γξάθεηαη R nl r = 2Ζ na μ 3 n l 1! 2n n + l! 3 1/2 ρ = 2Ζ r, a na μ = 4πε 0ħ 2 μ μe 2 = a m 0 μ e ρ/2 ρ l 2l+1 L n+l ρ (2.30) όπνπ a μ ε αλεγκέλε αθηίλα Bohr. Μηα αλαιπηηθή πεξηγξαθή ησλ ζπλαθώλ πνιπσλύκσλ Laguerre δίλεηαη από ηε ζρέζε n r 2l+1 L n+l ρ = 1 k+1 n + l! 2 κ=0 n r k! 2l k! ρ k k! (2.31) n r = n l 1 Ωο παξάδεηγκα αθηηληθώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ δίλνληαη παξαθάησ πδξνγνληθέο θαηαζηάζεηο ζεσξώληαο άπεηξε ηε κάδα ηνπ ππξήλα (a μ = α 0 ). (2.32) Η νιηθή θαλνληθνπνηεκέλε θπκαηνζπλάξηεζε Ψ nlm (r, θ, φ) πξνθύπηεη από ην γηλόκελν ηνπ αθηηληθνύ θαη γσληαθνύ κέξνπο ησλ ιύζεσλ. Σπρλά αλαθέξνληαη θαη σο ηξνρηαθά θαη ζπκβνιίδνληαη θαζκαηηθά θαη αληηζηνηρία ηνπ ηξνρηαθνύ θβαληηθνύ αξηζκνύ l (s ηξνρηαθό, p ηξνρηαθό, θηι.). Σε αξθεηέο πεξηπηώζεηο είλαη βνιηθό λα εθθξάζνπκε ηηο 25

10 θπκαηνζπλαξηήζεηο σο πξαγκαηηθέο ζπλαξηήζεηο αληί γηα κηγαδηθέο, ρξεζηκνπνηώληαο ηηο πξαγκαηηθέο ζθαηξηθέο αξκνληθέο. Τόηε νη θπκαηνζπλαξηήζεηο ζπκπεξηθέξνληαη όπσο νη απιέο ζπλαξηήζεηο ησλ θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ θαη γη απηόλ ην ιόγν ρξεζηκεύνπλ ζην λα πεξηγξάθνπλ ηηο θαηεπζπληηθέο ηδηόηεηεο ησλ ρεκηθώλ δεζκώλ. Παξαθάησ δίλεηαη έλα παξάδεηγκα πξαγκαηηθώλ πδξνγνληθώλ ηξνρηαθώλ (ζεσξώληαο πάληα άπεηξε κάδα ππξήλα), ηνπ ηξνρηαθνύ 2p. (2.33) Σηε ζπλέρεηα ζα ζρνιηάζνπκε ηηο γεληθέο ηδηόηεηεο ησλ πδξνγνληθώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ. Η πηζαλόηεηα λα βξνύκε ην ειεθηξόλην ζε έλα ζηνηρείν όγθνπ dr είλαη Ψ nlm (r, θ, φ) 2 dr = Ψ nlm (r, θ, φ)ψ nlm (r, θ, φ) r 2 dr sin θ dθdφ (2.34) Επίζεο Ψ nlm (r, θ, φ) 2 = R n,l (r)y lm (θ, φ) 2 = R n,l (r) 2 (2π) 1 Θ lm (θ, φ) 2 (2.35) Επνκέλσο ε πηζαλόηεηα δελ εμαξηάηαη από ηε ζπληεηαγκέλε θ. Σεκεηώλεηαη πσο όηαλ ρξεζηκνπνηείηαη ε πξαγκαηηθή κνξθή ησλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ, άξα θαη ησλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ, ηόηε ππάξρεη εμάξηεζε από ηε θ όπσο θαίλεηαη θη από ηηο Χξεζηκνπνηώληαο ηα απνηειέζκαηα ηνπ θεθαιαίνπ 1 κπνξνύκε λα γξάςνπκε γηα ηελ νκνηηκία (parity) ησλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ PΨ n,l,m (r, θ, φ) = P R n,l (r)y lm (θ, φ) = R n,l (r)y lm (π θ, φ + π) = 1 l R n,l (r)y lm (θ, φ) (2.36) επνκέλσο ρσξίδνληαη ζε άξηηεο θαη πεξηηηέο όπσο θαη νη ζθαηξηθέο αξκνληθέο. Τν κέηξν ζην ηεηξάγσλν ηεο αθηηληθήο θπκαηνζπλάξηεζεο R n,l (r) 2 παξηζηάλεη ηελ ειεθηξνληθή ππθλόηεηα σο ζπλάξηεζε ηνπ r. Οινθιεξώλνληαο ηελ 2.34 σο πξνο ζ θαη θ πξνθύπηεη όηη ε πνζόηεηα D nl (r) = r 2 R n,l (r) 2 (2.37) 26

11 παξηζηάλεη ηελ ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο σο ζπλάξηεζε ηνπ r, θη άξα ε πνζόηεηα D nl (r)dr είλαη ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ειεθηξόλην κεηαμύ ησλ απνζηάζεσλ r θαη r + dr, αλεμάξηεηα από ηελ θαηεύζπλζε. Παξαηεξνύκε πσο ε R n,l (r) 2 δελ κπνξεί λα είλαη ε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο αθνύ ην ζηνηρείν R n,l (r) 2 dr δελ πεξηγξάθεη ζσζηά ηελ πηζαλόηεηα. Ο ιόγνο είλαη πσο ην ζθαηξηθό ζηνηρείν όγθνπ είλαη αλάινγν ηνπ r 2 θη επνκέλσο πξέπεη λα ιεθζεί ππόςε. Η D nl (r) νλνκάδεηαη σσνάρτηση ακτινικής κατανομής. Σην ζρήκα 4 θαίλνληαη νη ζπλαξηεζηαθέο κνξθέο κεξηθώλ αθηηληθώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ θαζώο θαη ησλ αληίζηνηρσλ αθηηληθώλ θαηαλνκώλ. Σηε ζπλέρεηα ζα δνύκε κεξηθά ραξαθηεξηζηηθά ησλ αθηηληθώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ R n,l (r) θαη ησλ αθηηληθώλ θαηαλνκώλ D n,l (r). Μόλν νη s-θαηαζηάζεηο, δει. νη αθηηληθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο κε l = 0 έρνπλ ηηκή δηαθνξεηηθή από ην κεδέλ ζην r = 0. Γηα l 0, ην γεγνλόο πσο ε R n,l (r) είλαη αλάινγε ηνπ r l γηα κηθξά r, έρεη σο απνηέιεζκα ε θπκαηνζπλάξηεζε λα παίξλεη κηθξέο ηηκέο θνληά ζηνλ ππξήλα θαη κάιηζηα ηόζν κηθξόηεξεο όζν απμάλεη ην l. Απηό νθείιεηαη ζην (απσζηηθό) θπγόθεληξν δπλακηθό (βι. ζρέζε 2.9) πνπ δελ επηηξέπεη ζην ειεθηξόλην λα πιεζηάζεη πνιύ θνληά ζηνλ ππξήλα. Τα ζπλαθή πνιπώλπκα Laguerre είλαη πνιπώλπκα βαζκνύ n r = n l 1 θη επνκέλσο έρνπλ n r αθηηληθνύο δεζκνύο (ζεκεία κεδεληζκνύ). Σπλεπώο ε αθηηληθή θαηαλνκή D n,l (r) ζα εκθαλίδεη θη απηή n r αθηηληθνύο δεζκνύο θαη ζα έρεη n l κέγηζηα. Μάιηζηα γηα δεδνκέλν n όηαλ ην l είλαη κέγηζην (l = n 1) ηόηε έρεη κόλν έλα κέγηζην θαη θαλέλα δεζκό. Σηελ πεξίπησζε απηή n r = 0 θαη ε αθηηληθή θπκαηνζπλάξηεζε έρεη ηε κνξθή R n,n 1 (r)~r n 1 e Zr/na 0 (2.38) Επνκέλσο ε D n,l (r) = r 2 R 2 n,n 1(r) ζα έρεη κέγηζην ζηελ ηηκή r πνπ κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ηελ dd n,l (r)/dr = 0. Πξνθύπηεη όηη r = n2 Z a 0 (2.39) όπσο θαη από ην κνληέιν ηνπ Bohr. Η ζρέζε 2.39 καο ιέεη πσο θαζώο απμάλεηαη ην n ηόηε απμάλεηαη θαη ε ηηκή ηεο πην πηζαλήο απόζηαζεο r λα βξνύκε ην ειεθηξόλην όπσο θαίλεηαη θη από ην ζρήκα 2.4. Η ηηκή απηή κηθξαίλεη αλάινγα θαζώο απμάλεηαη ην θνξηίν Ζ. 27

12 Στήμα 2.4. Αθηηληθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο R n,l (r) θαη νη αληίζηνηρεο αθηηληθέο θαηαλνκέο D nl (r) = r 2 R n,l (r) Αναμενόμενες ηιμές Έρνληαο θαζνξίζεη ηελ αθξηβή ζπλαξηεζηαθή κνξθή ησλ ηδηνθαηαζηάζεσλ ησλ πδξνγνλνεηδώλ αηόκσλ Ψ nlm (r), (δειαδή έρνληαο βξεη ην πιήξεο ζύλνιν ησλ ηδηνδπαλπζκάησλ ησλ ακνηβαία κεηαηηζεκέλσλ ηειεζηώλ (Η, L 2, L z ), κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηηο αλακελόκελεο ηηκέο δηαθόξσλ θπζηθώλ ηειεζηώλ. Θα παξαζέζνπκε κεξηθά παξαδείγκαηα. Μέζε ηηκή ηεο απόζηαζεο r ζηελ βαζηθή θαηάζηαζε ηνπ αηόκνπ ηνπ πδξνγόλνπ. 28

13 < r > 100 = Ψ 100 r rψ 100 r dr = Ψ 100 r 2 rdr = Z3 πa r3 e 2Zr/a 0dr π sinθdθ 0 2π dφ 0 = 3a 0 2Z (2.40) 5 Παξαηεξνύκε πσο κε βάζε ηελ 2.39 ε πηζαλόηεξε απόζηαζε είλαη ε r = a 0 /Z ελώ ε κέζε ηηκή ηεο απόζηαζεο είλαη ε r = 3a 0 /2Z. Απηό νθείιεηαη ζην όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε εθηείλεηαη ζην άπεηξν κε απνηέιεζκα ε κέζε ηηκή ηεο r λα είλαη κεγαιύηεξε από ηελ ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηελ πηζαλόηεξε απόζηαζε. Απνδεηθλύεηαη πσο ρξεζηκνπνηώληαο ηηο θαλνληθνπνηεκέλεο θπκαηνζπλαξηήζεηο ηεο 2.30 ε κέζε ηηκή ηνπ r γηα νπνηαδήπνηε Ψ nlm (r) γξάθεηαη < r > nlm = a 0 n 2 Z l l + 1 n 2 (2.41) Παξαηεξνύκε πσο ε < r > nlm, πνπ κπνξεί λα εξκελεπζεί θαη σο ην κέγεζνο ηνπ αηόκνπ, είλαη αληίζηξνθα αλάινγε ηνπ Z θαη ζρεδόλ αλάινγε ηνπ n 2. Μάιηζηα γηα l = 0 είλαη αθξηβώο αλάινγε ηνπ n 2. Μέζε ηηκή ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο < V > nlm = Ze2 4πε 0 < 1 r > nlm = e 2 Z 2 4πε 0 a 0 n 2 = 2E n (2.42) όπνπ Ε n νη ελεξγεηαθέο ηδηνηηκέο (2.26). Σηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηελ αλακελόκελε ηηκή ηνπ ηειεζηή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο Τ = ħ2 2μ 2. < Τ > nlm = E n < V > nlm = E n (2.43) Επνκέλσο θαηαιήγνπκε όηη πνπ είλαη θαη ην ζεώξεκα Virial γηα ην δπλακηθό 1/r. 2 < Τ >= < V > (2.44) 2.4 Ειδικά σδρογονοειδή ζσζηήμαηα Τα πδξνγνλνεηδή άηνκα πνπ ζεσξήζακε κέρξη ηώξα αληηζηνηρνύλ ζε έλα αηνκηθό ππξήλα κάδαο Μ θαη θνξηίνπ Ze θαζώο θη ελόο ειεθηξνλίνπ κάδαο m θαη θνξηίνπ -e. Οη ελεξγεηαθέο θαηαζηάζεηο ηέηνησλ ζπζηεκάησλ πεξηγξάθνληαη από ηε ζρέζε 2.27 από ηελ νπνία πξνθύπηεη θαη ην έξγν ηνληζκνύ ηνπο γηα n = 1 σο 5 Τα νινθιεξώκαηα απηά ππνινγίδνληαη κε νινθιήξσζε θαηά παξάγνληεο: b b f x g x dx = f x g x b a f x g x dx a a 29

14 Ι P = 13.6 Z 2 μ ev (2.45) m Επίζεο ην κέγεζνο ηνπ αηόκνπ κε ηε βνήζεηα ηεο ζρέζεο 2.40 ζέηνληαο l = 0 θαη a 0 a 0 (m/μ) πξνθύπηεη < r > = 3a 0 2Z Τππηθά πδξνγνλνεηδή ζπζηήκαηα m μ (2.46) Τα πδξνγνλνεηδή ηόληα He + (Z = 2), Li 2+ (Z = 3), Be 3+ (Z = 4), θηι. Τν έξγν ηνληζκνύ ηνπο απμάλεη σο Ζ 2 ελώ ην κέγεζόο ηνπο κηθξαίλεη αληίζηξνθα αλάινγα κε ην Ζ. Τν ηζόηνπα ηνπ πδξνγόλνπ δεπηέξην (D) θαη ηξίηην (T) πνπ, ελώ έρνπλ ην ίδην ππξεληθό θνξηίν, πεξηέρνπλ έλα πξσηόλην θη έλα λεηξόλην ή έλα πξσηόλην θαη δπν λεηξόληα, αληίζηνηρα. Επνκέλσο είλαη M D 2M P γηα ην δεπηέξην θαη M Τ 3M P γηα ην ηξίηην. Άξα ε αλεγκέλε κάδα ηνπ ζπζηήκαηνο δελ αιιάδεη ζεκαληηθά. Τν κέγεζνο ηνπο είλαη νπζηαζηηθά ην ίδην κε απηό ηνπ αηνκηθνύ πδξνγόλνπ ελώ ην έξγν ηνληζκνύ δηαθέξεη απηό ηνπ πδξνγόλνπ θαηά παξάγνληα Η δηαθνξά απηή νξαηή ζηηο θαζκαηηθέο γξακκέο ησλ θαζκάησλ ηνπο νλνκάζηεθε ηζνηνπηθή κεηαηόπηζε. Με-ζπλεζηζκέλα πδξνγνλνεηδή ζπζηήκαηα Ποζιηρόνιοσμ (e + e ). Απνηειείηαη από έλα πνδηηξόλην e + (ην αληηζσκάηην ηνπ ειεθηξνλίνπ) θη έλα ειεθηξόλην e. H αλεγκέλε κάδα ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη μ = m/2. Επνκέλσο ην έξγν ηνληζκνύ ηνπ είλαη ην κηζό απηό ηνπ πδξνγόλνπ, ελώ ην κέγεζόο ηνπ δηπιάζην απηό ηνπ πδξνγόλνπ. Τν πνδηηξόλην έρεη ρξόλν δσήο 1.1 κs. Μιόνιοσμ (μ + e ). Απνηειείηαη από έλα κηόλην μ + θη έλα ειεθηξόλην e. Τν κηόλην έρεη κάδα M μ 207m Η αλεγκέλε ηνπ κάδα είλαη ζρεδόλ ίζε κε απηή ηνπ πδξνγόλνπ θη επνκέλσο έρεη κέγεζνο θαη έξγν ηνληζκνύ ζρεδόλ ίδηα κε απηά ηνπ πδξνγόλνπ. Τν κηόληνπκ είλαη αζηαζέο ιόγσ ηεο αζηάζεηαο ηνπ κηνλίνπ πνπ έρεη ρξόλν δσήο 2.2 κs. Μιονικά άηομα. Πξόθεηηαη γηα άηνκα πνπ ην ειεθηξόλην έρεη αληηθαηαζηαζεί από έλα κηόλην μ. Γηα παξάδεηγκα ην απιό ζύζηεκα (p + μ ) πνπ πεξηέρεη έλα πξσηόλην p + θη έλα κηόλην μ. Η αλεγκέλε ηνπ κάδα είλαη μ 186. Επνκέλσο ην έξγν ηνληζκνύ ηνπ είλαη πεξίπνπ 186 θνξέο απηό ηνπ πδξνγόλνπ, ελώ ην κέγεζόο ηνπ είλαη πεξίπνπ 186 θνξέο κηθξόηεξν απηό ηνπ πδξνγόλνπ. Τα κηνληθά άηνκα είλαη επίζεο αζηαζή ιόγσ ηεο αζηάζεηαο ηνπ κηνλίνπ. Αδρονικά άηομα. Σηα αδξνληθά άηνκα ην ξόιν ηνπ ειεθηξνλίνπ αλαιακβάλεη έλα αδξόλην (βαξπόλην ή κεζόλην) αξλεηηθά θνξηηζκέλν. Έηζη αλ ζεσξήζνπκε έλα ππξήλα Ν κεξηθά αδξνληθά άηνκα κπνξεί λα είλαη ηα (ΝΚ ) θανληθό άηνκν, (Νp ) αληηπξσηνληθό άηνκν, (ΝΣ ) ππεξνληθό άηνκν, θηι. Τα αδξνληθά άηνκα δελ 30

15 κπνξνύλ λα πεξηγξαθνύλ κε αθξίβεηα από ηε ζεσξία καο επεηδή ηα ζπζηαηηθά ηνπο αιιειεπηδξνύλ, πέξα από ηηο ειεθηξνκαγλεηηθέο δπλάκεηο, θαη κε ηζρπξέο ππξεληθέο. Ωζηόζν δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο ηνπο κε κεγάια l, γηα ηηο νπνίεο ε θπκαηνζπλάξηεζε έρεη κηθξέο ηηκέο ζηε γεηηνληά ηνπ ππξήλα, κπνξνύλ λα πεξηγξαθνύλ από ηα παξαπάλσ κε αξθεηά θαιή αθξίβεηα. Τα αδξνληθά θαη κηνληθά άηνκα θαινύληαη θη εμσηηθά άηνκα. Άηομα Rydberg. Πξόθεηηαη γηα πνιύ πςειά δηεγεξκέλα άηνκα όπνπ n >> 1. Τέηνηα άηνκα παξνπζηάδνπλ κνλαδηθά ραξαθηεξηζηηθά. Σπγθεθξηκέλα, ην κέγεζόο ηνπο είλαη ηεξάζηην γηα ηα αηνκηθά δεδνκέλα. Τν κέγεζνο ελόο αηόκνπ Rydberg κε n = 100 είλαη ~10 κm δειαδή ην κέγεζνο ησλ βαθηεξίσλ! Η γεσκεηξηθή ηνπο δηαηνκή (cross section) είλαη αλάινγε ηνπ n 4, επνκέλσο είλαη 10 8 θνξέο κεγαιύηεξε γηα έλα άηνκν Rydberg κε n = 100 από όηη γηα ην πδξνγόλν. Τν έξγν ηνληζκνύ ηνπο είλαη πάξα πνιύ κηθξό, ηεο ηάμεο ησλ mev, ελώ ε ελεξγεηαθή δηαθνξά ησλ γεηηνληθώλ ζηαζκώλ ηεο ηάμεο ησλ δεθάδσλ κev. Ο ρξόλνο δσήο ζηνπο είλαη αξθεηά κεγάινο (~n 3 ) σζηόζν θξνύζεηο κε γεηηνληθά άηνκα κπνξεί λα ηα θαηαζηξέςεη πνιύ πην γξήγνξα αλ θαη ε θξνύζε κε έλα θαλνληθό άηνκν κπνξεί λα ην αθήζεη αλέπαθν ιόγσ ηνπ ηεξάζηηνπ κεγέζνπο ηνπ! 31

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Χξεζηκνπνηώληαο θάπνην ππνινγηζηηθό παθέην (Excel, Origin, θηι.) ζρεδηάζηε ην ελεξγεηαθό δηάγξακκα ηνπ V eff (r) γηα ην άηνκν ηνπ πδξνγόλνπ. Χξεζηκνπνηείζηε κνλάδα ελέξγεηαο ην ev θαη ηνπνζεηήζηε ζην δηάγξακκα ηα πξώηα 10 δέζκηα ελεξγεηαθά επίπεδα. 2. Έζησ άηνκν πδξνγόλνπ πνπ ε θπκαηνζπλάξηεζή ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 πεξηγξάθεηαη από ηνλ εμήο γξακκηθό ζπλδπαζκό ηδηνθαηαζηάζεσλ Ψ(r, t = 0) = 1 14 [2Ψ 100(r) 3Ψ 200 (r) + Ψ 322 (r)] a. Είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε ηδηνθαηάζηαζε ηνπ ηειέζηή ηεο parity; b. Πνηα ε πηζαλόηεηα λα βξνύκε ην ειεθηξόλην ζηε βαζηθή θαηάζηαζε (100); Σηελ θαηάζηαζε (200); Σηελ θαηάζηαζε (322); Σε άιιε ηδηνθαηάζηαζε; c. Πνηα ε αλακελόκελε ηηκή ηεο ελέξγεηαο; Τνπ ηειεζηή L 2 ; Τνπ ηειεζηή L z ; 3. Απνδείμηε πσο ε u E,l (ρ) θαη θαη επέθηαζε ε f(ρ) ζπκπεξηθέξεηαη σο ρ l+1 γηα θεληξηθά δπλακηθά πνπ ηείλνπλ ιηγόηεξν γξήγνξα ζην κεδέλ από r Τν άηνκν ηνπ ηξηηίνπ 3 Η είλαη αζηαζέο θαη κεηαπίπηεη ζε 3 Ηe κέζσ δηάζπαζεο β ε νπνία είλαη πνιύ γξήγνξε δηαδηθαζία γηα ηνπο αηνκηθνύο ρξόλνπο. Εάλ ππνζέζνπκε πσο ε δηάζπαζε β γίλεηαη αθαξηαία θαη πσο ην ειεθηξόλην ηνπ ηξηηίνπ βξηζθόηαλ ζηε βαζηθή ηνπ θαηάζηαζε πνηα ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ειεθηξόλην κεηά ηε δηάζπαζε β a. Σηε βαζηθή θαηάζηαζε 1s; b. Σε νπνηαδήπνηε άιιε θαηάζηαζε c. Σηελ 2s; d. Σε θαηάζηαζε κε l 0; 5. Γηα ηελ πεξίπησζε ηνπ πδξνγνλνεηδνύο κηνληθνύ κνιύβδνπ (Pb 82+ μ ) (Ζ=82) ππνινγίζηε ην έξγν ηνληζκνύ θαη ηελ αθηίλα ηνπ. Δεδνκέλνπ όηη ε αθηίλα ηνπ ππξήλα ηνπ κνιύβδνπ είλαη 6.7 fm ηη παξαηεξείηαη γηα ην κέγεζνο ηεο αθηίλαο ηνπ (Pb 82+ μ ) θαη πώο ην δηθαηνινγείηε; Πώο αιιάδεη ην απνηέιεζκα απηό γηα κεγάινπο θβαληηθνύο αξηζκνύο n (π.τ. n=10) ; 32

17 Τέλος Ενότητας

18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

19 Σημειώματα

20 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=1162.

21 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Ατομική Φυσική. Μονοηλεκτρονιακά ατομικά συστήματα». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=1162.

22 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/