ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ."

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική Φυσική Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Αηομικά ζςζηήμαηα δςο ηλεκηπονίων Σην θεθάιαην ζα εμεηάζνπκε ηελ δνκή θαη ηηο ηδηόηεηεο ησλ ειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ ησλ αηνκηθώλ ζπζηεκάησλ κε δπν ειεθηξόληα. 6. Κςμαηοζςνάπηηζη δςο ηλεκηπονίων και ζςμβολιζμόρ καηαζηάζεων 6.. Χωπική κςμαηοζςνάπηηζη Θεσξνύκε έλα αηνκηθό ζύζηεκα δπν ειεθηξνλίσλ. Έζησ Ψ r, r 2 ε ρσξηθή θπκαηνζπλάξηεζε πνπ απνηειεί ιύζε ηεο Φακηιηνληαλήο ηνπ ζπζηήκαηνο, όπνπ ηα δηαλύζκαηα r, r 2 αλαθέξνληαη ζηε ζέζε ησλ ειεθηξνλίσλ ζρεηηθά κε ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Εμαηηίαο ηεο ζπκκεηξίαο ηνπ ζπζηήκαηνο ε θπκαηνζπλάξηεζε Ψ r 2, r πνπ πξνθύπηεη κε ελαιιαγή ησλ ζέζεσλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ είλαη επίζεο ιύζε ηεο Φακηιηνληαλήο. Επίζεο εμαηηίαο ηεο ζπκκεηξίαο ελαιιαγήο ζα είλαη Ψ r, r 2 2 = Ψ r 2, r 2, θη επνκέλσο ε Ψ r, r 2 ζα δηαθέξεη από ηελ Ψ r 2, r κόλν θαηά έλα πνιιαπιαζηαζηηθό παξάγνληα. Εηζάγνληαο ηνλ ηειεζηή ηεο ελαιιαγήο P 2 ηα παξαπάλσ γξάθνληαη P 2 Ψ r, r 2 = Ψ r 2, r = λψ r, r 2 (6.) όπνπ ι ν πνιιαπιαζηαζηηθόο παξάγνληαο πνπ ππνινγίδεηαη σο εμήο: P 2 2 Ψ r, r 2 = λp 2 Ψ r, r 2 = λ 2 Ψ r, r 2 (6.2) θη επνκέλσο λ 2 = λ = ±. Άξα έρνπκε Ψ r 2, r = ±Ψ r, r 2 (6.3) Κπκαηνζπλαξηήζεηο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ 6.3 νλνκάδνληαη: (α) τωρικά σσμμετρικές εάλ ε ελαιιαγή δελ αιιάδεη ην πξόζεκν ηεο θπκαηνζπλάξηεζε θαη ζπκβνιίδνληαη κε Ψ + r, r 2 θαη (β) τωρικά αντι-σσμμετρικές εάλ ε ελαιιαγή αιιάδεη ην πξόζεκν ηεο θπκαηνζπλάξηεζε θαη ζπκβνιίδνληαη κε Ψ r, r 2. Επί πιένλ νη ρσξηθά ζπκκεηξηθέο αλαθέξνληαη σο θαηαζηάζεηο παρα ελώ νη ρσξηθά αληηζπκκεηξηθέο σο θαηαζηάζεηο ορθο. Ωο παξάδεηγκα αλαθέξνπκε ηε βαζηθή θαηάζηαζε ηνπ αηόκνπ ηνπ ειίνπ πνπ νλνκάδεηαη νξζνήιην θαη ην παξαήιην Κςμαηοζςνάπηηζη ηος ζπιν Επεηδή νη ζπηλ θαηαζηάζεηο ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη αλεμάξηεηεο από ηηο ρσξηθέο θαηαζηάζεηο ε νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζπζηήκαηνο κπνξεί λα πεξηγξαθεί σο γηλόκελν ηεο ρσξηθήο θπκαηνζπλάξηεζεο Ψ r, r 2 θαη απηήο ηνπ ζπηλ ησλ δπν ειέθηξνλίσλ χ, 2, δει. Ψ q, q 2 = Ψ r, r 2 χ, 2 (6.4) Τηο θπκαηνζπλαξηήζεηο ηνπ ζπηλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ κπνξνύκε λα ηηο θαηαζθεπάζνπκε από ηηο γλσζηέο θαηαζηάζεηο ζπηλ ελόο ειεθηξνλίνπ χ /2,ms. Σπκβνιίδνληαο 85

4 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων α χ /2,/2 ή, β χ /2, /2 ή (6.5) όπνπ ε θαηάζηαζε κε ην βέινο ζπκβνιίδεη ηελ πξνβνιή ηνπ ζπηλ ζηνλ άμνλα z. Με βάζε ηηο 6.5 κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε ηέζζεξηο αλεμάξηεηεο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπηλ. Απηέο είλαη χ, 2 = α α 2 ή χ 2, 2 = α β 2 ή χ 3, 2 = β α 2 ή χ 4, 2 = β β 2 ή (6.6) Οη εμηζώζεηο ηδηνηηκώλ ηεο ζηξνθνξκήο (ζρέζεηο 4.2 θαη 4.3) ζηελ πεξίπησζή καο γξάθνληαη γηα ηελ θάζε κνλνειεθηξνληθή θαηάζηαζε S 2 α = 3 4 ħ2 α, S 2 β = 3 4 ħ2 β (6.7) S z α = ħ 2 α, S zβ = ħ 2 β (6.8) Εηζάγνπκε ην ηειεζηή νιηθνύ ζπηλ θαζώο θαη ηελ πξνβνιή ηνπ ζηνλ άμνλα z S = S + S 2 (6.9) S z = S z + S 2 z (6.) Απνδεηθλύεηαη όηη νη ζπηλ θπκαηνζπλαξηήζεηο 6.6 είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ ηειεζηή S z. Γηα παξάδεηγκα S z χ, 2 = S z + S 2 z α α 2 = α 2 S z α + α S 2 z α 2 = = ħ 2 α α 2 + ħ 2 α α 2 = ħα α 2 (6.) Ωζηόζν γηα ηνλ ηειεζηή S 2 πνπ ηζρύεη S 2 = S 2 + S S S 2 = 3 2 ħ2 + 2S S 2 (6.2) απνδεηθλύεηαη όηη κόλν νη χ θαη χ 4 είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ. Παξαηεξνύκε πσο νη χ θαη χ 4 είλαη ζπκκεηξηθέο ζηελ ελαιιαγή ησλ δεηθηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ ελώ νη χ 2 θαη χ 3 δελ είλαη. Όπσο όκσο ζα δνύκε ζηελ παξαθάησ αλάιπζε είλαη εμαηξεηηθά ζεκαληηθό λα πεξηγξάςνπκε ηηο θαηαζηάζεηο δπν ειεθηξνλίσλ κε ζπκκεηξηθέο ή αληηζπκκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο. Γηα ην ιόγν απηό κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε δπν λέεο ζπηλ θπκαηνζπλαξηήζεηο, κηα ζπκκεηξηθή θαη κηα αληηζπκκεηξηθή, σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ χ 2 θαη χ 3. Πξάγκαηη θαη χ +, 2 = 2 χ 2, 2 + χ 3, 2 (6.3) χ, 2 = 2 χ 2, 2 χ 3, 2 (6.4) 86

5 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Οη λέεο θαηαζηάζεηο καδί κε ηηο χ θαη χ 4 είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηόζν ηνπ ηειεζηή S z όζν θαη ηνπ S 2. Άξα γξάθνπκε S 2 χ = S S + ħ 2 (6.5) χ S z χ = Μ S ħ χ (6.6) Σηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη νη ηηκέο ησλ θβαληηθώλ αξηζκώλ S θαη S z θαη γηα ηηο ηέζζεξηο ζπηλ ηδηνθαηαζηάζεηο. Αληηζπκκεηξηθή Σπκκεηξηθή 2 2 Σπηλ θαηάζηαζε S Μ S α β 2 β α 2 α α 2 α β 2 + β α 2 β β 2 - Η αληηζπκκεηξηθή θαηάζηαζε επεηδή έρεη κηα κόλν ηηκή γηα ηνλ Μ S νλνκάδεηαη singlet (ζηλγθιέηα!) ελώ ε ζπκκεηξηθή γηα ηνλ ίδην ιόγν νλνκάδεηαη triplet (ηξηπιέηα!) Ολική κςμαηοζςνάπηηζη δςο ηλεκηπονίων Όπσο είπακε ε νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε κπνξεί λα πεξηγξαθεί από ηελ 6.4. Επνκέλσο ζα κπνξνύζε θαλείο λα ππνζηεξίμεη όηη ζε θάζε ρσξηθή θπκαηνζπλάξηεζε αληηζηνηρνύλ ηέζζεξηο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπηλ. Ωζηόζν απηή ε πξνζέγγηζε είλαη ιαλζαζκέλε εμαηηίαο ηεο απαγνξεπηηθήο αξρήο ηνπ Pauli πνπ ιέεη πσο ε νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε ελόο ζπζηήκαηνο ειεθηξνλίσλ (θεξκηνλίσλ) είλαη αληηζπκκεηξηθή. Επνκέλσο γηα λα θαηαιήμνπκε ζε αληηζπκκεηξηθέο νιηθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο πξέπεη λα πνιιαπιαζηάδνπκε ρσξηθέο ζπκκεηξηθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο κε αληηζπκκεηξηθέο ζπηλ θπκαηνζπλαξηήζεηο θη αληίζηξνθα. Επνκέλσο πξνθύπηνπλ νη εμήο θαηαζηάζεηο Ψ q, q 2 = Ψ + r, r 2 2 α β 2 β α 2 (6.7) θαη Ψ q, q 2 = Ψ r, r 2 2 α α 2 α β 2 + β α 2 β β 2 (6.8) Επνκέλσο ε παξα θαηάζηαζε είλαη πάληα singlet ελώ ε νξζν πάληα triplet. Μπνξεί θαλείο λα εμάγεη ην ζπκπέξαζκα όηη ε απαγνξεπηηθή αξρή ηνπ Pauli εηζάγεη ελόο είδνπο ζύδεπμε κεηαμύ ησλ ρσξηθώλ θαη ησλ ζπηλ κεηαβιεηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ. 87

6 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων 6..4 Σςμβολιζμόρ καηαζηάζεων δςο ηλεκηπονίων Καη αληηζηνηρία ηνπ ζπκβνιηζκνύ ησλ κνλνειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ αθνινπζείηαη ε δνκή ηεο αλαγξαθήο ηνπ θύξηνπ θβαληηθνύ αξηζκνύ n θαη ηνπ ηξνρηαθνύ αξηζκνύ l γηα θάζε έλα από ηα δπν ειεθηξόληα. Επνκέλσο ζα έρνπκε θαηαζηάζεηο s 2, s2s, s2p, 2p 2, θηι. Ωζηόζν επεηδή απηέο νη θαηαζηάζεηο δελ απνηεινύλ ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο αλαδεηνύκε εθείλνπο ηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο πνπ ραξαθηεξίδνπλ κνλνζήκαληα ηηο θαηαζηάζεηο. Ωο ηέηνηνη είλαη, πέξα από ηνλ θύξην θβαληηθό αξηζκό n, ε νιηθή ρσξηθή ζηξνθνξκή θαη ην νιηθό ζπηλ. Με άιια ιόγηα, γηα αηνκηθά ζπζηήκαηα δπν ειεθηξνλίσλ πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο θαηαζηάζεηο 6.7 θαη 6.8 νη ηειεζηέο ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο L = L + L 2 πιεξνύλ ηηο αληίζηνηρεο εμηζώζεηο ηδηνηηκώλ ηνπ νιηθνύ ζπηλ S = S + S 2 (ζρέζεηο 6.5 θαη 6.6 ) θη επνκέλσο νη L θαη S είλαη θαινί θβαληηθνί αξηζκνί γηα ηελ πεξηγξαθή ησλ θαηαζηάζεσλ. Οη θαηαζηάζεηο ζπκβνιίδνληαη σο 2S+ L ή n 2S+ L (6.9) όπνπ n ν θύξηνο θβαληηθόο αξηζκόο θαη ην L ζπλδέεηαη κε ηελ νιηθή ηξνρηαθή ζηξνθνξκή σο l γξάκκα S P D F G H θαη αληηζηνηρία ησλ κνλνειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ. Ο δείθηεο 2S + δείρλεη ηελ πνιιαπιόηεηα ηεο θαηάζηαζεο, θαη ε εηζαγσγή ηνπ ζπκβνιίδεη ησλ δηαρσξηζκό ησλ θαηαζηάζεσλ ζε singlet (S = ) θαη triplet (S = ). Επνκέλσο ζα έρνπκε θαηαζηάζεηο S, 2 3 P, 2 P, θηι. 6.2 Αηομικέρ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων Θα γξάςνπκε ηελ Φακηιηνληαλή πνπ πεξηγξάθεη ην αηνκηθό ζύζηεκα δπν ειεθηξνλίσλ ζην ζύζηεκα θέληξνπ κάδαο θξαηώληαο κόλν ηνπο Κνπινκπηθνύο όξνπο. Όπσο ζα δείμνπκε ζην θεθάιαην 7 ν δηαρσξηζκόο ηνπ θέληξνπ κάδαο από ηελ ζρεηηθή θίλεζε ησλ ειεθηξνλίσλ θαηαιήγεη ζηελ παξαθάησ Φακηιηνληαλή Η = ħ2 2μ r 2 ħ2 2μ r 2 2 ħ2 M r r2 Ze2 (4πε )r Ze2 (4πε )r 2 + e 2 (4πε )r 2 (6.2) όπνπ r θαη r 2 νη ζπληεηαγκέλεο ησλ δπν ειεθηξνλίσλ σο πξνο ην θέληξν κάδαο θαη r 2 = r r 2. Θεσξώληαο άπεηξε ηε κάδα ηνπ ππξήλα ε εμίζσζε Schrödinger γηα ηελ ρσξηθή θπκαηνζπλάξηεζε Ψ r, r 2 γξάθεηαη ζην αηνκηθό ζύζηεκα κνλάδσλ 2 r 2 2 r 2 2 Z r Z r 2 + r 2 Ψ r, r 2 = ΕΨ r, r 2 (6.2) 88

7 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Τελ Φακηιηνληαλή 6.2 κπνξνύκε λα ηελ γξάςνπκε σο ην άζξνηζκα ηεο αδηαηάξαθηεο Φακηιηνληαλήο θαη ηεο δηαηαξαθηηθήο Η = Η + Η 2 = 2 r 2 Z + r 2 r 2 2 Z (6.22) r 2 Η = r 2 (6.23) Γηα ηνπο δπν όξνπο ηεο αδηαηάξαθηεο Φακηιηνληαλήο ηζρύνπλ ηα γλσζηά γηα ηα πδξνγνληθά ζπζηήκαηα, δειαδή θαη Η i Ψ ni l i m i r i = Ε ni Ψ ni l i m i r i, i =,2 (6.24) Z 2 Ε ni = 2 2 (a. u. ) (6.25) n i Να ζεκεησζεί πσο ν όξνο 6.23 πνπ ζεσξείηαη σο δηαηαξαρή θαίλεηαη λα είλαη εμίζνπ ζεκαληηθόο κε ηνπο άιινπο δπν Κνπινκπηθνύο όξνπο ηδηαίηεξα γηα ηελ πεξίπησζε Ζ =. Η αληηκεηώπηζή ηνπ σο δηαηαξαρή είλαη πηζαλόλ λα νδεγήζεη ζε ιαλζαζκέλα απνηειέζκαηα, σζηόζν απηό ζα θξηζεί ζην ηέινο ηεο αλάιπζεο κε ηε ζύγθξηζε κε ηα αθξηβή (πεηξακαηηθά!) απνηειέζκαηα. Οη ιύζεηο Ψ r, r 2 κεδεληθήο ηάμεο ηεο εμίζσζεο Schrödinger γηα ηελ αδηαηάξαθηε Φακηιηνληαλή κπνξνύλ λα πξνθύςνπλ σο γηλόκελν πδξνγνληθώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ κε βάζε ηηο 6.22 θαη Επνκέλσο κπνξνύκε λα γξάςνπκε κε θαη Η Ψ r, r 2 = Ε Ψ r, r 2 (6.26) Ψ r, r 2 = Ψ n l m r Ψ n2 l 2 m 2 r 2 (6.27) Ε n n 2 = Ε n + Ε n2 = Z2 2 n 2 + n 2 2 (6.28) Έρνπκε δείμεη όκσο πσο νη θπκαηνζπλαξηήζεηο Ψ r, r 2 πξέπεη λα είλαη ρσξηθά ζπκκεηξηθέο ή αληηζπκκεηξηθέο, επνκέλσο ε ζσζηή γξαθή ηνπ ρσξηθνύ κέξνπο ησλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε είλαη ε Ψ ± r, r 2 = 2 Ψ n l m r Ψ n2 l 2 m 2 r 2 ± Ψ n2 l 2 m 2 r Ψ n l m r 2 (6.29) Μπνξνύκε λα πνύκε πσο ε θπκαηνζπλάξηεζε Ψ + είλαη ε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ηεο παξα θαηάζηαζεο ελώ ε Ψ ηεο νξζν. Καη νη δπν θαηαζηάζεηο αληηζηνηρνύλ ζηελ ίδηα ελέξγεηα Ε n n 2. Ο εθθπιηζκόο απηόο νλνκάδεηαη εκυσλισμός εναλλαγής. Εμαίξεζε απνηειεί ε βαζηθή θαηάζηαζε (n = n 2 =, l = l 2 = θαη m = m 2 = ) γηα ηελ νπνία ε νξζν 89

8 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων θαηάζηαζε κεδελίδεηαη. Επνκέλσο ε κεδεληθήο ηάμεο θαλνληθνπνηεκέλε βαζηθή θαηάζηαζε αηνκηθώλ ζπζηεκάησλ κε δπν ειεθηξόληα είλαη ε Ψ r, r 2 = Ψ r Ψ r 2 = Ψ s r Ψ s r 2 = Ζ3 π e Z r +r 2 θαη ε αληίζηνηρε ελέξγεηα (a. u. ) (6.3) Ε = Εn =,n 2 = = Z 2 (a. u. ) (6.3) Να ζπκίζνπκε πσο ε βαζηθή θαηάζηαζε παξα ζπλνδεύεηαη από ηελ αληηζπκκεηξηθή θαηάζηαζε singlet. Τν απνηέιεζκα απηό είλαη ζε ζπκθσλία κε ηνλ θαλόλα ηνπ Pauli πνπ (ζε ηζνδύλακε έθθξαζή ηνπ) δελ επηηξέπεη δπν ειεθηξόληα λα έρνπλ ηελ ίδηα θαηάζηαζε, άξα θαη ηνπο ίδηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο. H singlet θαηάζηαζε ζπλεπάγεηαη πσο ηα ζπηλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ είλαη αληηπαξάιιεια θη επνκέλσο δηαθέξνπλ θαηά ηνλ θβαληηθό αξηζκό m s. Τέινο ζπκθσλεί θαη κε ην γεγνλόο πσο ε βαζηθή θαηάζηαζε δελ κπνξεί λα είλαη εθθπιηζκέλε. 6.3 Η βαζική καηάζηαζη: Χπονοανεξάπηηηη θεωπία διαηαπασών Σηε ζπλέρεηα ζα ππνινγίζνπκε ηελ ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ηεο νιηθήο Φακηιηνληαλήο 6.2 κε βάζε ηε ζεσξία ρξνλναλεμάξηεησλ δηαηαξαρώλ. Δηαηαξαθηηθή Φακηιηνληαλή είλαη ε 6.23 ελώ κεδεληθήο ηάμεο θπκαηνζπλαξηήζεηο θη ελέξγεηεο νη 6.3 θαη 6.3, αληίζηνηρα. Η δηόξζσζε πξώηεο ηάμεο ζα δίλεηαη από ηελ (5. Π) Ε = Ψ r 2 Ψ = Ζ6 π 2 e 2Z r +r 2 r 2 dr dr 2 (6.32) Ο ππνινγηζκόο ηνπ νινθιεξώκαηνο γίλεηαη σο εμήο: Επεηδή ηζρύεη r 2 = r r = 2 r 2 + r 2 2 2r r 2 cosθ = r + r 2 r 2 2 r 2 r cosθ κπνξνύκε λα ηελ αληηζηνηρίζνπκε κε ηελ γελλήηξηα ζπλάξηεζε ησλ πνιπσλύκσλ Legendre T(ω, s) = (6.33) + s 2 2sω = P l ω s l, s < (6.34) l= Αληηζηνηρώληαο ω cosθ θαη r 2 r s ή r r 2 s πξνθύπηεη r 2 = r r 2 l= r = r 2 r l= r 2 l l P l cosθ P l cosθ H 6.34 γξάθεηαη ζηελ πην ζπκπαγή κνξθή, r > r 2, r 2 > r (6.35) 9

9 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων r 2 = l= r < l r > l+ P l cosθ (6.36) όπνπ ην r < είλαη ην κηθξόηεξν θαη ην r > ην κεγαιύηεξν από ηα r και r 2. Φξεζηκνπνηώληαο ην ζεώξεκα άζξνηζεο αξκνληθώλ ε 6.36 γξάθεηαη P l cosθ = 4π 2l + r 2 = +l l= m = l 4π 2l + +l m= l Αληηθαζηζηώληαο ηελ 6.38 ζηελ 6.32 έρνπκε Y lm θ, φ r < l r > l+ Y lm θ, φ Y lm θ 2, φ 2 Y lm θ 2, φ 2 (6.37) (6.38) Ε = Ζ 6 +l 4π 2 π 2 2l + l= m = l r 2 dr r 2 2 dr 2 e 2Z r +r 2 r < l r > l+ dω Y lm θ, φ Y dω 2 Y Y lm θ 2, φ 2 (6.39) όπνπ ρξεζηκνπνηήζακε ηελ ζθαηξηθή αξκνληθή Y = 4π /2. Η 6.39 έρεη κε κεδεληθή ηηκή κόλν γηα l = m = εμαηηίαο ηεο νξζνγσληόηεηαο ησλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ. Επνκέλσο γξάθεηαη Ε = 6Ζ 6 r 2 dr = 6Ζ 6 r 2 e 2Zr dr r 2 2 dr 2 e 2Z r +r 2 = r > r 2 r 2 e 2Zr 2dr 2 r + r 2 e 2Zr 2dr 2 r (6.4) Τα νινθιεξώκαηα ηώξα ππνινγίδνληαη εύθνια κε θαηά παξάγνληεο νινθιήξσζε νπόηε ην απνηέιεζκα είλαη Ε = 5 8 Ζ (6.4) Παξαηεξνύκε πσο ε ελέξγεηα αιιειεπίδξαζεο ησλ δπν ειεθηξνλίσλ εμαξηάηαη γξακκηθά από ην Ζ. Απηό κπνξεί λα δηθαηνινγεζεί θιαζζηθά αλ ιάβνπκε ππόςε ηελ ελέξγεηα αιιειεπίδξαζεο δπν θνξηίσλ e πνπ βξίζθνληαη ζε κέζε απόζηαζε < r >= a /Z, όπνπ a ε αθηίλα Bohr. Πξάγκαηη ε ελέξγεηα αιιειεπίδξαζεο είλαη αλάινγε ηνπ e 2 /< r >= Ze 2 /a Εθαξκόδνληαο ην ίδην ζθεπηηθό θαηαιαβαίλνπκε ηελ εμάξηεζε ηεο αδηαηάξαθηεο ελέξγεηαο από ην Ζ 2. Αζξνίδνληαο ηελ αδηαηάξαθηε ελέξγεηα 6.3 κε ηελ δηαηαξαθηηθή 6.4 πξνθύπηεη ην ηειηθό απνηέιεζκα r > = max {r, r 2 }. Άρα όταν r 2 > r r > = r 2 και r 2 [r, ]. Ενώ όταν r 2 < r r > = r και r 2 [, r ]. 9

10 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Ε Ε + Ε = Z Ζ (a. u. ) (6.42) Σύγθξηζε ησλ ηηκώλ ηεο 6.42 κε ηελ πεηξακαηηθή ηηκή δείρλεη απόθιηζε 5% γηα ην He πνπ κεηώλεηαη όκσο γηα ηόληα κε κεγαιύηεξν Ζ. Εμαίξεζε απνηειεί ην αξλεηηθό ηόλ ηνπ πδξνγόλνπ Η θαζώο γη απηό είλαη Ζ =. 6.4 Η βαζική καηάζηαζη: Μέθοδορ μεηαβολών Σηε ζπλέρεηα ζα ππνινγίζνπκε ηελ ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ηεο νιηθήο Φακηιηνληαλήο 6.2 κε ηε κέζνδν ησλ κεηαβνιώλ (variational method) ησλ Rayleigh-Ritz. Σηε κέζνδν απηή νξίδεηαη έλα ζπλαξηεζηνεηδέο Ε φ = φ Η φ (6.43) θαη ππνινγίδεηαη ε ηηκή ηνπ γηα δηάθνξεο «δνθηκαζηηθέο» θαηαζηάζεηο θ νη νπνίεο εμαξηώληαη από ζπγθεθξηκέλεο κεηαβιεηέο παξακέηξνπο. Σηε ζπλέρεηα ην ζπλαξηεζηνεηδέο ειαρηζηνπνηείηαη αλαθνξηθά κε ηηο κεηαβιεηέο παξακέηξνπο ηνπ θαηαιήγνληαο ζηε βέιηηζηε πξνζέγγηζε ηεο ηδηνηηκήο Ε ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο. Η πξνζέγγηζε απηή εμαξηάηαη από ηελ επηινγή ηεο δνθηκαζηηθήο ζπλάξηεζεο θαη απνηειεί έλα άλσ όξην ζηελ πξνζέγγηζε ηεο ηδηνηηκήο Ε, δειαδή είλαη πάληα Ε Ε φ. Εθαξκόδνπκε ηα παξαπάλσ γηα ηελ Φακηιηνληαλή 6.2 κε δνθηκαζηηθή ζπλάξηεζε ηελ κεδεληθήο ηάμεο 6.3. Ωο κεηαβιεηή παξάκεηξν επηιέγνπκε ην ππξεληθό θνξηίν Ζ. Πξνθαλώο είλαη ε κόλε παξάκεηξνο ηεο 6.3 πνπ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε αιιά ν θπζηθόο ιόγνο έρεη πνιύ βαζύηεξν λόεκα. Τν θάζε ειεθηξόλην αιιειεπηδξά κε ην ειθηηθό πεδίν ηνπ ππξεληθνύ θνξηίνπ Ζ αιιά ηαπηόρξνλα θαη κε ην απσζηηθό πεδίν ηνπ θνξηίνπ ηνπ άιινπ ειεθηξνλίνπ. Έηζη ζα βιέπεη δηαθνξεηηθό Κνπινκπηθό πεδίν πνπ ζα είλαη ην άζξνηζκα ησλ δπν παξαπάλσ όξσλ θαη ζα έρεη άκεζε εμάξηεζε από ηελ ζέζε ηνπ ειεθηξνλίνπ ζρεηηθά κε ηνλ ππξήλα θαη ηε ζέζε ηνπ άιινπ ειεθηξνλίνπ. Πνιύ θνληά ζηνλ ππξήλα ζα βιέπεη θνξηίν Ζ ελώ πνιύ καθξηά από ηνλ ππξήλα ζα βιέπεη έλα δξαζηηθό θνξηίν Ζ-, δειαδή ην ππξεληθό θνξηίν ζσξαθηζκέλν από ην θνξηίν ηνπ ειεθηξνλίνπ. Η αλαδήηεζε ινηπόλ ηεο θαηάιιειεο ηηκήο ηεο κεηαβιεηήο παξακέηξνπ Ζ αληαλαθιά ηνλ παξαπάλσ ζπιινγηζκό. Σπκβνιίδνληαο ηελ ινηπόλ κε Ζ eff έρνπκε κε βάζε ηα παξαπάλσ Ε φ = φ 2 r 2 2 r 2 2 Z Z + φ = φ Τ r r 2 r + Τ 2 Z Z + φ (6.44) 2 r r 2 r 2 όπνπ Τ = 2 2 r θαη Τ 2 = 2 2 r 2 νη ηειεζηέο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ησλ δπν ειεθηξνλίσλ. Από ην ζεώξεκα Virial πξνθύπηεη όηη 92

11 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων φ Τ φ = Ψ Ζ = Ζeff Τ Ψ Ζ = Ζeff = Ψ s Ζ = Ζ eff Τ Ψ s Ζ = Ζ eff = E n =, Ζ = Ζ eff = 2 Z 2 eff (a. u. ) (6.45) Επίζεο είλαη φ Τ φ = φ Τ 2 φ. Ο όξνο φ δίλνληαο r 2 φ έρεη ήδε ππνινγηζηεί ζηελ 6.4 φ r 2 φ = 5 8 Ζ eff (6.46) Τέινο γηα ηνπο όξνπο φ r φ = φ r 2 φ είλαη 2 φ r φ = Ψ s Ζ = Ζ eff r Ψ s Ζ = Ζ eff = Ζ eff (6.47) Από ηηο πξνθύπηεη όηη 2 Ε φ = Z eff Ζ eff 2ΖΖ eff (6.48) Αλαδεηώληαο ην ειάρηζην ηεο 6.48 ζέηνπκε κεδέλ ηελ παξάγσγν ηεο σο πξνο Ζ eff θαη ηειηθά πξνθύπηεη όηη ε ειάρηζηε ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ζπκβαίλεη όηαλ Ζ eff = Ζ 5 6 (6.49) Η ηηκή 5/6 νλνκάδεηαη ζηαζεξά ζσξάθηζεο. Τειηθά ε από ηηο 6.49 θαη 6.48 ε ειάρηζηε ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο πξνθύπηεη Ε = Ζ (a. u. ) (6.5) Σεκεηώλεηαη πσο γηα Ζ eff = Ζ ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ελέξγεηαο είλαη ηαπηόζεκε κε απηήλ πνπ πξνθύπηεη από ηελ κέζνδν δηαηαξαρώλ (ζρέζε 6.42). Επνκέλσο ε κέζνδνο κεηαβνιώλ έδσζε κηθξόηεξε θαηά απόιπηε ηηκή ελέξγεηα ζύλδεζεο θη άξα θαιύηεξε πξνζέγγηζε από όηη ε κέζνδνο δηαηαξαρώλ. Η κέζνδνο κπνξεί λα δώζεη αθόκε πην αθξηβή απνηειέζκαηα επηιέγνληαο «βνιηθόηεξεο» δνθηκαζηηθέο ζπλαξηήζεηο. Μάιηζηα ζε κεξηθέο πεξηπηώζεηο δίλνπλ απνηειέζκαηα ελεξγεηώλ δέζκεπζεο κηθξόηεξε ηεο πεηξακαηηθήο ηηκήο. Απηό νθείιεηαη ζην όηη ζην πξόβιεκά καο παξαιείςακε ηνπο ζρεηηθηζηηθνύο θη άιινπο δεπηεξεύνληεο όξνπο ζηελ Φακηιηνληαλή. Όηαλ ιεθζνύλ θη απηνί ππόςε ε ζπκθσλία πεηξακαηηθώλ κεηξήζεσλ θαη ζεσξίαο είλαη ππνδεηγκαηηθή. 2 Είναι r n,l,m l = Ζ a n 2 93

12 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων 6.5 Διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων Αξρηθά ζα επηθεληξσζνύκε ζε θαηαζηάζεηο όπνπ ην έλα ειεθηξόλην παξακέλεη ζηελ βαζηθή θαηάζηαζε. Απηέο θαινύληαη γλήζηεο δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο θαη ζε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε κπνξνύλ λα γξαθηνύλ κε βάζε ηελ 6.29 σο Ψ ± r, r 2 = 2 Ψ r Ψ nlm r 2 ± Ψ nlm r Ψ r 2, n 2 (6.5) Η ελέξγεηέο ηνπο πεξηγξάθνληαη από ηε ζρέζε E,n = Z2 2 + n 2 (a. u. ), n 2 (6.52) Οη θαηαζηάζεηο 6.5 είλαη θαηαζηάζεηο παξα θαη νξζν (ζε αληίζεζε κε ηε βαζηθή θαηάζηαζε πνπ είλαη κόλν παξα). Επνκέλσο είλαη εθθπιηζκέλεο ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε. Σηε ζπλέρεηα ζα δνύκε ηελ άξζε ηνπ εθθπιηζκνύ ηνπο ιακβάλνληαο ππόςε ηνλ όξν αιιειεπίδξαζεο /r 2 ηεο Διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων: Θεωπία διαηαπασών Εξγαδόκελνη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ρξεζηκνπνηνύκε σο βάζε γηα ηελ κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ηηο θπκαηνζπλαξηήζεηο 6.5. Επεηδή νη θαηαζηάζεηο είλαη εθθπιιηζκέλεο ζα πξέπεη λα εθαξκόζνπκε ζεσξία δηαηαξαρώλ εθθπιηζκέλεο ζηάζκεο. Ωζηόζν κε βάζε ηηο 6.36 θαη 6.37, ν όξνο Η = /r 2 αλαπηύζζεηαη ζε ζεηξά ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ κε απνηέιεζκα ηα ζηνηρεία κήηξαο ηνπ Η (βι. ζρέζε 5. Π24) αλάκεζα ζηηο εθθπιηζκέλεο ηδηνθαηαζηάζεηο κε δηαθνξεηηθά l θαη m λα κεδελίδνληαη. Οκνίσο ηα ζηνηρεία κήηξαο κεηαμύ κηαο παξα θαη κηαο νξζν θαηάζηαζεο κεδελίδνληαη εθόζνλ ν όξνο /r 2 δελ αιιάδεη θάησ από ηελ ελαιιαγή ησλ δπν ειεθηξνλίσλ. Επνκέλσο νη δηνξζσκέλεο θπκαηνζπλαξηήζεηο κεδεληθνύ βαζκνύ πνπ απαηηεί ε ζεσξία δηαηαξαρώλ εθθπιηζκέλεο ζηάζκεο είλαη νη 6.5. Άξα ε πξώηεο ηάμεο δηνξζσκέλε ηηκή ησλ ελεξγεηώλ ζα είλαη ε (ζρέζε 5.Π24) Ε ± = ψ± Η ψ± = ψ ± r 2 ψ ± (6.53) όπνπ ην πξόζεκν (+) αλαθέξεηαη ζηηο θαηαζηάζεηο παξα θαη ην ( ) ζηηο νξζν. Αληηθαζηζηώληαο ηελ 6.5 ζηελ 6.53 πξνθύπηεη όπνπ θαη Ε ± = J ± Κ (6.54) J = Ψ r 2 r 2 Ψ nlm r 2 2 dr dr 2 Κ = ψ r ψ nlm r 2 Ψ r r 2 Ψ nlm r dr dr 2 2 (6.55) (6.56) 94

13 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Τν νινθιήξσκα J ιέγεηαη νινθιήξσκα Κνπιόκπ επεηδή κπνξεί λα εξκελεπζεί σο ε αιιειεπίδξαζε κεηαμύ ησλ θαηαλνκώλ θνξηίσλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ. Τν νινθιήξσκα Κ νλνκάδεηαη νινθιήξσκα ελαιιαγήο επεηδή είλαη ην ζηνηρείν κήηξαο κεηαμύ δπν θαηαζηάζεσλ πνπ έρνπλ ελαιιάμεη ηνπο θβαληηθνύο ηνπο αξηζκνύο. Εθθξάδνληαο ηηο πδξνγνληθέο θαηαζηάζεηο Ψ nlm r = R nl r Y lm θ, φ θαη αλαπηύζζνληαο ηνλ όξν /r 2 ζε ζεηξά ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ (εξγαδόκελνη όπσο θαη ζηνπο ππνινγηζκνύο ζηνηρείσλ κήηξαο ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο) θαηαιήγνπκε ζηηο εμήο ζρέζεηο γηα ηα νινθιεξώκαηα J θαη Κ. J nl = r R nl r 2 dr 2 r 2 2 R r dr r > (6.57) Κ nl = 2l + r 2 2 R r 2 R nl r 2 dr 2 r < l r 2 R r R nl r r l+ dr > (6.58) Παξαηεξνύκε πσο θαη ηα δπν νινθιεξώκαηα εμαξηώληαη από ηα n θαη l (όρη όκσο από ην m). Επνκέλσο ε πξώηεο ηάμεο δηαηαξαθηηθή ελέξγεηα γξάθεηαη Ε nl,± Επνκέλσο ε νιηθή ελέξγεηα γξάθεηαη E nl,± = Ε,n + Εnl,± = J nl ± Κ nl (6.59) = Z2 2 + n 2 + J nl ± Κ nl (a. u. ), n 2 (6.6) Τα νινθιεξώκαηα J θαη Κ. κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ αλαιπηηθά θαηά πεξίπησζε. Απηό πνπ κπνξνύκε λα πνύκε εδώ είλαη πσο απνδεηθλύεηαη πσο είλαη ζεηηθέο πνζόηεηεο. Επνκέλσο νη θαηαζηάζεηο νξζν ζα έρνπλ ρακειόηεξε ελέξγεηα από όηη νη παξα. Απηό ζεκαίλεη πσο νη θαηαζηάζεηο triplet ζα έρνπλ κεγαιύηεξε (θαηά απόιπηε ηηκή) ελέξγεηα ζύλδεζεο από ηηο singlet. Μηα πνηνηηθή αλαπαξάζηαζε ησλ ελεξγεηώλ ηνπο θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.. Τν παξαπάλσ απνηέιεζκα κπνξεί λα θαηαλνεζεί θαη θιαζζηθά σο εμήο. Παξαηεξνύκε πσο νη θαηαζηάζεηο νξζν (triplet) ηεο 6.5 κεδελίδνληαη όηαλ είλαη r = r 2. Επνκέλσο κπνξνύκε λα πνύκε πσο ηα ειεθηξόληα ζηελ θαηάζηαζε απηή ηείλνπλ λα απνκαθξύλνληαη κεηαμύ ηνπο, θη επνκέλσο θαηά κέζν όξν ζα έρνπλ κηα ζρεηηθά κηθξή ελέξγεηα άπσζεο. Από ηελ άιιε κεξηά, νη θαηαζηάζεηο παξα (singlet) δελ κεδελίδνληαη όηαλ είλαη r = r 2. Έηζη θαηά κέζν όξν ζα έρνπλ κηα ζρεηηθά κεγάιε ελέξγεηα άπσζεο, κεγαιύηεξε από ηελ θαηάζηαζε νξζν (triplet) κε ηνπο ίδηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο. Άξα νη θαηαζηάζεηο triplet είλαη πην ηζρπξά ζπλδεδεκέλεο από όηη νη singlet. Παξαηεξνύκε γηα άιιε κηα θνξά ηνλ δσηηθό ξόιν ηεο αξρήο ηνπ Pauli. Η απαίηεζε ηεο αληηζπκκεηξηθόηεηαο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο εηζάγεη κηα ζύδεπμε κεηαμύ ησλ ρσξηθώλ θαη ησλ ζπηλ κεηαβιεηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ κε απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε κηαο δύλακεο ηεο νπνίαο ην απνηέιεζκα θαηλνκεληθά εμαξηάηαη από ηνλ ζρεηηθό πξνζαλαηνιηζκό ησλ ζπηλ ησλ ειεθηξνλίσλ. Οη δπλάκεηο απηέο θαινύληαη δπλάκεηο ελαιιαγήο. Αλ θαη ηηο ρεηξηδόκαζηε σο δηαηαξαρή ζην ζύζηεκά καο ελ ηνύηνηο είλαη πνιύ πην ηζρπξέο από ηνπο άιινπο όξνπο δηαηαξαρήο πνπ εηζάγακε ζην θεθάιαην 4 (ιεπηή πθή, θηι.). 95

14 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Σσήμα 6.. Ο δηαρσξηζκόο ηεο θαηάζηαζεο n = 2 ηνπ He ζε πξώηεο ηάμεο δηαηαξαρή. Παξαηεξείζηε όηη ν όξνο Κνπιόκπ J είλαη ππέπζπλνο γηα ηελ άξζε ηνπ εθθπιηζκνύ σο πξνο ηνλ θβαληηθό αξηζκό l, αιιά ν όξνο ελαιιαγήο Κ είλαη απηόο πνπ δηαρσξίδεη ηηο θαηαζηάζεηο singlet από ηηο triplet. Αμίδεη λα ζεκεησζεί πσο εμαηηίαο ηνπ δηαρσξηζκνύ όισλ ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ειίνπ (αιιά θαη γεληθά ησλ ειηνεηδώλ αηόκσλ) ζε singlet θαη triplet, ην ελεξγεηαθό δηάγξακκα ηνπ ειίνπ είλαη ζπλήζσο ρσξηζκέλν ζε δπν πεξηνρέο όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.2. Μάιηζηα απηόο ν δηαρσξηζκόο νδήγεζε αξρηθά ηνπο θαζκαηνζθόπνπο ζηνλ δηαρσξηζκό ηνπ ειίνπ ζε δπν δηαθνξεηηθά είδε ειίνπ, ην ορθοήλιο θαη ην παραήλιο, όξνη πνπ δηαηεξνύληαη σο ηηο κέξεο καο. 6.7 Διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων: Θεωπία μεηαβολών Η εθαξκνγή ηεο ζεσξίαο κεηαβνιώλ ζε δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο είλαη γεληθά πνιύ πην δύζθνιε από όηη απηή ηεο βαζηθήο ζηάζκεο. Ο ιόγνο είλαη πσο ε δνθηκαζηηθή θπκαηνζπλάξηεζε πξέπεη λα είλαη νξζνγώληα κε όιεο ηηο θπκαηνζπλαξηήζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ελεξγεηαθέο ηδηνηηκέο κηθξόηεξεο από απηή ηεο ελ ιόγσ θαηάζηαζεο. Οη ηερληθέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζε απηή ηελ πεξίπησζε πνηθίινπλ θαηά πεξίπησζε θαη μεθεύγνπλ ηνπ ζθνπνύ ησλ ζεκεηώζεσλ. 96

15 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Σσήμα 6.2. Tν ελεξγεηαθό δηάγξακκα ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ He. 6.8 Διπλά διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων Μέρξη ηώξα επηθεληξσζήθακε ζε δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο όπνπ ην έλα ειεθηξόλην παξακέλεη ζηελ βαζηθή θαηάζηαζε ηηο νπνίεο απνθαιέζακε θαη γλήζηεο (genuine) δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο. Ωζηόζν κηα δηεγεξκέλε θαηάζηαζε κπνξεί λα έρεη θαη ηα δπν ειεθηξόληα ζε δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο. Απηέο νλνκάδνληαη δηπιά δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο (doubly excited states) θη επνκέλσο έλαο θαιύηεξνο όξνο γηα ηηο γλήζηεο δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο είλαη νη απιά δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο (singly excited states). Οη δηπιά δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο έρνπλ δηαθξηηό θάζκα ην νπνίν βξίζθεηαη κέζα ζην θάζκα ηνπ ζπλερνύο ηνπ He +. Δειαδή νη ελέξγεηέο ηνπ είλαη κεγαιύηεξεο (θαη απόιπηε ηηκή) από ηελ ελέξγεηα ηνληζκνύ ηνπ He πνπ είλαη Ι P He = 24.6 ev. Απηό θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.3. Έζησ όηη ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ε θπκαηνζπλάξηεζε κηαο δηπιά δηεγεξκέλεο θαηάζηαζεο πεξηγξάθεηαη από ηελ θαηάζηαζε a > πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ελεξγεηαθή ηδηνηηκή Ε a. Επεηδή ε ηδηνηηκή απηή είλαη ιύζε ηεο Φακηιηνληαλήο πεξηιακβάλεη θαη ηηο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπλερνύο ηνπ απινύ ηόληνο ηνπ ειίνπ (βι. ζρήκα 6.3). Σπκβνιηθά αληηζηνηρνύκε ηελ b > ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπλερνύο γύξσ από ηελ Ε a. Τόηε ε νιηθή κεδεληθήο ηάμεο θπκαηνζπλάξηεζε πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ελεξγεηαθή ηδηνηηκή Ε a ζα είλαη ε Ψ = c a a > +c b b >. Πξνρσξώληαο ζηε ζεσξία 97

16 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων δηαηαξαρώλ πξώηεο ηάμεο παξαηεξνύκε πσο ν δηαηαξαθηηθόο όξνο /r 2 επηθέξεη κηα ζύδεπμε κεηαμύ ησλ δηπιά δηεγεξκέλσλ θαηαζηάζεσλ θαη ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπλερνύο. Πξάγκαηη από ηελ δηαηαξαρή Ψ /r 2 Ψ πξνθύπηεη ν όξνο a /r 2 b πνπ ζπλδέεη ηηο δπν θαηαζηάζεηο. Επνκέλσο κπνξνύκε λα έρνπκε κηα κεηάβαζε από κηα δηπιά δηεγεξκέλε θαηάζηαζε δπν ειεθηξνλίσλ ζε κηα πδξνγνλνεηδή θαηάζηαζε ελόο ειεθηξνλίνπ. Η δηαδηθαζία απηή είλαη κε-αθηηλνβνιηηηθή θαη νλνκάδεηαη αστοϊονισμός ή υαινόμενο Auger. Αμίδεη λα ζεκεησζεί πσο ε απνδηέγεξζε ηεο δηπιά δηεγεξκέλεο θαηάζηαζεο είλαη πνιύ πηζαλόηεξν λα γίλεη κέζσ δηαδηθαζίαο Auger παξά κε δπν αθηηλνβνιηηηθέο κεηαβάζεηο. Μόλν γηα πνιύ κεγάια Ζ (Ζ>4 ) νη αθηηλνβνιηηηθέο κεηαβάζεηο ππεξηεξνύλ ησλ Auger. Σσήμα 6.3. Επαπμεκέλν ελεξγεηαθό δηάγξακκα ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ He. Τέινο έλα παξάδεηγκα πνπ ηνλίδεη ηελ ηδηαηηεξόηεηα ησλ δηπιά δηεγεξκέλσλ θαηαζηάζεσλ έξρεηαη από ηηο θξνύζεηο ειεθηξνλίσλ κε ηόληα. Η θξνύζε ή ε ζθέδαζε κηαο δέζκεο ειεθηξνλίσλ από απιά ηνληζκέλα ηόληα ειίνπ γηα παξάδεηγκα κπνξεί λα νδεγήζεη ζηελ ζύιιεςε ηνπ ειεθηξνλίνπ από ην ηόλ κε ηαπηόρξνλε πξνώζεζε ηνπ ειεθηξνλίνπ ηνπ ηόληνο ζε δηεγεξκέλε θαηάζηαζε ηνπ ηόληνο. Πξόθεηηαη γηα ηελ αληίζηξνθε ρξνληθά δηαδηθαζία Auger! Επεηδή ε ζύιιεςε ηνπ ειεθηξνλίνπ κε απηόλ ηνλ ηξόπν ζπκβαίλεη κόλν γηα ζπγθεθξηκέλε ελέξγεηα (ηελ ελέξγεηα Auger ηεο δηπιά δηεγεξκέλεο θαηάζηαζεο) ε ζθέδαζε ησλ ειεθηξνλίσλ ζε απηή ηελ ηηκή ησλ θηλεηηθώλ ελεξγεηώλ ζα παξνπζηάζεη ζπληνληζκό. Η ζρεκαηηζκέλε δηπιά δηεγεξκέλε θαηάζηαζε κπνξεί ζηε ζπλέρεηα λα απνδηεγεξζεί κε 98

17 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων δηαδηθαζία Auger, νπόηε ηόηε κηιάκε γηα ειαζηηθή ζθέδαζε ζπληνληζκνύ ηνπ ειεθηξνλίνπ. Η εμίζσζε αληίδξαζεο πνπ πεξηγξάθεη ην θαηλόκελν είλαη ε 6.6 ελώ κηα ζρεκαηηθή αλαπαξάζηαζή ηνπ δίλεηαη ζην ζρήκα 6.4. e + He + He e + He + (6.6) Σσήμα 6.4. Αξηζηεξά: Με αθηηλνβνιηηηθή ζύιιεςε ειεθηξνλίνπ δέζκεο από ηόλ (Radiationless Capture - RC). Δεμηά: Απνδηέγεξζε Auger. Οη δπν δηαδηθαζίεο είλαη ηζνδύλακεο θαη ν ζπλδπαζκόο ηνπο νδεγεί ζηελ ειαζηηθή ζθέδαζε ζπληνληζκνύ (Resonant Elastic Scattering - RES). 99

18 Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Πεξηγξάςηε ηηο θαλνληθνπνηεκέλεο ρσξηθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο ησλ θαηαζηάζεσλ 2s 2, 2s2p, 2p 2 θαη s3p ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε. Με βάζε ην απνηέιεζκά ζαο αληηζηνηρίζηε ηε ζσζηή ζπηλ θπκαηνζπλάξηεζε (singlet ή triplet) ζηελ θάζε θαηάζηαζε θαη νλνκάζηε ηηο θαηάιιεια ζην ζπκβνιηζκό Υπνινγίζηε ηα νινθιεξώκαηα Κνπιόκπ θη ελαιιαγήο J nl θαη Κ nl γηα n = 2, l =, (ζρέζεηο 6.57 θαη 6.58) θαη θαηαιήμηε ζηελ πξώηεο ηάμεο δηνξζσκέλε ελεξγεηαθή ηηκή ησλ θαηαζηάζεσλ 2 S, 2 P, 2 3 S θαη 2 3 P. Να γίλεη θαη ην ελεξγεηαθό ηνπο δηάγξακκα. 3. Άηνκν ειίνπ δηεγείξεηαη ζηελ θαηάζηαζε απηντνληζκνύ 2s4p. Θεσξώληαο όηη ην ειεθηξόλην 2s θηλείηαη ζην αζσξάθηζην Κνπινκπηθό δπλακηθό ηνπ ππξήλα ελώ ην 4p θηλείηαη ζην πιήξσο ζσξαθηζκέλν (από ην 2s ειεθηξόλην) Κνπινκπηθό δπλακηθό ηνπ ππξήλα, λα ππνινγίζεηε a. Τελ ελέξγεηα ηεο απηντνληδόκελεο θαηάζηαζεο b. Τελ θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ειεύζεξνπ ειεθηξνλίνπ πνπ πξνθύπηεη αλ ε απηντνληδόκελε θαηάζηαζε απνδηεγεξζεί δίλνληαο έλα ειεύζεξν ειεθηξόλην αθήλνληαο ην ηόλ ηνπ ειίνπ ζηε βαζηθή ηνπ θαηάζηαζε s.

19 Τέλος Ενότητας

20 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

21 Σημειώματα

22 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση. διαθέσιμη εδώ. id=62.

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Ατομική Φυσική. Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων». Έκδοση:.. Ιωάννινα 24. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=62.

24 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4. [] ή μεταγενέστερη. [] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4./

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλσση παλινδρόμησης

Ανάλσση παλινδρόμησης ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς Το ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης Tο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο κεηπραίνο παξάγνληαο ηπραίνο

Διαβάστε περισσότερα

Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: 1 Σθέδαζε Compton Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 16/1/2012

Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: 1 Σθέδαζε Compton Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 16/1/2012 Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: Σθέδαζε Compton Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 6//0 ΕΙΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΟΙΥΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Σθνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κέηξεζε ηεο κάδαο εξεκίαο ηνπ ειεθηξνλίνπ θαη ε κεηαβνιή ηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου

Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ενότητα 9: ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο:.. Ημερομηνία:. ΔΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ου ΚΑΙ 3 ου ΚΔΦΑΛΑΙΟ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ

Ονοματεπώνυμο:.. Ημερομηνία:. ΔΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ου ΚΑΙ 3 ου ΚΔΦΑΛΑΙΟ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ Ονοματεπώνυμο: Ημερομηνία: Γάθηζεο Δκκαλνπήι ΔΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ου ΚΑΙ 3 ου ΚΔΦΑΛΑΙΟ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΘΔΜΑ 1 ο Α Να επηιέμεηε ηε ζσζηή απάληεζε 11 Πνην από ηα παξαθάησ άηνκα ή ηόληα έρεη δηαθνξεηηθό αξηζκό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Μονοηλεκτρονιακά ατομικά συστήματα. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Μονοηλεκτρονιακά ατομικά συστήματα. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική Φυσική Μονοηλεκτρονιακά ατομικά συστήματα Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Παλεπηζηήκην Κξήηεο Τκήκα Επηζηήκεο θαη Τερλνινγίαο Υιηθώλ Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Δηδάζθσλ: Δεκήηξεο Παπάδνγινπ Email: dpapa@materials.uc.gr Άλυτες Ασκήσεις: 1. Να πξνζδηνξίζεηε αλ νη αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 61 Ον/μο:.. Β Λσκείοσ Ύλη: Ηλεκηρικό ρεύμα Το Φως Γενικής Παιδείας 22-3-2015 Θέμα 1 ο : 1. Μία ειεθηξηθή ζπζθεπή ιεηηνπξγεί γηα ρξνληθή δηάξθεηα 0,5h θαη θαηαλαιώλεη 2kWh ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών τοιχεία του μαθήματοσ (ημζρα εβδομάδασ, ώρεσ, ζτοσ): ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών Εργαςτηριακή ομάδα αςκήςεων 2 για το μάθημα «ΑΡΧΙΣΕΚΣΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ 1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ

Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομηχανική Ι Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ IV: Χπονική εξέλιξη Η ηειεπηαία αξρή ηεο Κβαληηθήο Μεραληθήο δειώλεη όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε xt ζην ρξόλν κέζσ ηεο

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής

Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζεις V: Σσνετές θάζμα Σε απηή ηε δηάιεμε γεληθεύνπκε ην θνκαιηζκό πνπ έρνπκε αλαπηύμεη σο ηώα γηα ζπλερείο θπζηθέο πνζόηεηεο,

Διαβάστε περισσότερα

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη 5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 10: Μνληεινπνίεζε ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο

Κεθάιαην 10: Μνληεινπνίεζε ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο Κεθάιαην : Μνληεινπνίεζε ζηνλ ρώξν θαηάζηαζεο Μαζεζηαθνί ζηόρνη Μεηά ηελ αλάγλωζε ηνπ θεθαιαίνπ νη θνηηεηέο ζα είλαη ζε ζέζε: Να κνληεινπνηνύλ απιά ζπζηήκαηα κε εμηζώζεηο θαηάζηαζεο Να ππνινγίδνπλ ηνπο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ Ενότητα: Πράξεις με αρχεία Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Ανάγνωση και εγγραφή αρχείων με χρήση ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

e s C v C (t) i i L (t) i C (t)

e s C v C (t) i i L (t) i C (t) ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γίλεηαη ην θύθισκα ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε διεγέρζεις e s (t) = δ(t) [V] (θξνπζηηθή) θαη e s (t) = u(t) [V] (βεκαηηθή), θαη απόκριζη (t). Η αξρηθή θαηάζηαζε είλαη ( - ) = [V] θαη i ( - ) = [A].

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

Δνκέο Επαλάιεςεο - Άιπηεο αζθήζεηο. 1. Να ζρεκαηίζεηε ηνλ πίλαθα ηηκώλ γηα ηα παξαθάησ ηκήκαηα αιγνξίζκσλ. Τί ζα εθηππσζεί ηειηθά;

Δνκέο Επαλάιεςεο - Άιπηεο αζθήζεηο. 1. Να ζρεκαηίζεηε ηνλ πίλαθα ηηκώλ γηα ηα παξαθάησ ηκήκαηα αιγνξίζκσλ. Τί ζα εθηππσζεί ηειηθά; Δνκέο Επαλάιεςεο - Άιπηεο αζθήζεηο 1. Να ζρεκαηίζεηε ηνλ πίλαθα ηηκώλ γηα ηα παξαθάησ ηκήκαηα αιγνξίζκσλ. Τί ζα εθηππσζεί β -5 Όζν β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί Καταχωρητές. Τέηαξηε Γηάιεμε

Κβαντικοί Καταχωρητές. Τέηαξηε Γηάιεμε Κβαντικοί Καταχωρητές Τέηαξηε Γηάιεμε Κλασικός και Κβαντικός Καταχωρητής Έλαο θιαζηθόο θαηαρσξεηήο είλαη έλα ζύλνιν από bits ζηνλ νπνίν απνζεθεύνληαη νη ηηκέο θάπνησλ κεηαβιεηώλ. Οη θβαληηθνί θαηαρσξεηέο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ Σν ζύγρξνλν πξόηππν αληηκεηώπηζεο ηεο ηεξεδόλαο ελειίθσλ δελ εζηηάδεηαη κόλν ζηελ απνθαηάζηαζε ησλ ηεξεδνληθώλ βιαβώλ πνπ έρνπλ εθδεισζεί, αιιά έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 10 Ολιγοπώλιο

Κεθάλαιο 10 Ολιγοπώλιο Κεθάλαιο 10 Ολιγοπώλιο 1 Ολιγοπώλιο Έλα κνλνπώιην είλαη κηα αγνξά πνπ απνηειείηαη από κηα θαη κόλν επηρείξεζε. Έλα δπνπώιην είλαη κηα αγνξά πνπ απνηειείηαη από δπν επηρεηξήζεηο. Έλα νιηγνπώιην είλαη κηα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Α.2 Η ελεξγόο έληαζε ελαιιαζζόµελνπ ξεύµαηνο πιάηνπο Θν είλαη: I ελ =10 2A Τν πιάηνο Θ ν ηεο έληαζεο ηζνύηαη µε:

Α.2 Η ελεξγόο έληαζε ελαιιαζζόµελνπ ξεύµαηνο πιάηνπο Θν είλαη: I ελ =10 2A Τν πιάηνο Θ ν ηεο έληαζεο ηζνύηαη µε: ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/11/14 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.1-Α.8 και δίπλα ηο γράμμα ποσ ανηιζηοιτεί

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1 ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ Πνιινί άλζξσπνη πηζηεύνπλ όηη ν άλεκνο ζα έπξεπε λα αληηθαηαζηήζεη ην πεηξέιαην θαη ην θάξβνπλν σο πεγή ελέξγεηαο γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ. Οη θαηαζθεπέο πνπ θαίλνληαη ζηελ εηθόλα είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε.

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Παξάκεηξνη πξνο αμηνιόγεζε Ννκνζεηηθή ζσξάθηζε Κνηλόο Σύιινγνο Ακνηβή Καηαγγειία/Λύζε

Διαβάστε περισσότερα

Η επζεία πνπ πξνζαξκόζηεθε είλαη ηεο κνξθήο y=ax+b, (1) κε a=(-0.0072±0.0004)cm 2 /mg θαη b=8.61±0.25 δειαδή y=-0.0072x+8.61

Η επζεία πνπ πξνζαξκόζηεθε είλαη ηεο κνξθήο y=ax+b, (1) κε a=(-0.0072±0.0004)cm 2 /mg θαη b=8.61±0.25 δειαδή y=-0.0072x+8.61 Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: 3 Απνξξόθεζε ζσκαηηδίσλ β Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 3/1/01 ΕΙΑΓΩΓΗ Σθνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κειέηε ηεο εκβέιεηαο ησλ ζσκαηηδίσλ β, δειαδή ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ εθπέκπνληαη

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΣΑΞΗ: ΦΤΙΚΗ / Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΔΙΡΑ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 24/02/2013 ΛΤΔΙ ΘΔΜΑ A

ΜΑΘΗΜΑ / ΣΑΞΗ: ΦΤΙΚΗ / Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΔΙΡΑ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 24/02/2013 ΛΤΔΙ ΘΔΜΑ A ΜΑΘΗΜΑ / ΣΑΞΗ: ΦΤΙΚΗ / Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΔΙΡΑ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: 24/02/2013 ΘΔΜΑ A ΛΤΔΙ ηις ημιηελείς προηάζεις Α 1 -Α 4 να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό ηης πρόηαζης και δίπλα ηο γράμμα ποσ ανηιζηοιτεί ζηη θράζη

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΓΥΡΟΝΗ ΦΤΙΚΗ Ι ΠΡΟΟΔΟ I

ΤΓΥΡΟΝΗ ΦΤΙΚΗ Ι ΠΡΟΟΔΟ I Ιωάννινα 16.10.2008 ΠΡΟΟΔΟ I Έλαο παξαηεξεηήο ζηέθεηαη ζηελ πιαηθόξκα ελόο ζηαζκνύ ηεο νπνίαο ην κήθνο κεηξά λα είλαη 60m, όηαλ βιέπεη λα πεξλά κπξνζηά ηνπ έλα ηξαίλν κε ηαρύηεηα u=0.80c. Τόηε παξαηεξεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΣΗΗ 1 Πνηνη αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη θαη πνηνη ζύλζεηνη; Να δώζεηε παξαδείγκαηα. ΑΠΑΝΣΗΗ 1 Όηαλ έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη

Διαβάστε περισσότερα