Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής

Transcript

1 Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φσζικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Συήκας Σημειώζεις V: Σσνετές θάζμα Σε απηή ηε δηάιεμε γεληθεύνπκε ην θνξκαιηζκό πνπ έρνπκε αλαπηύμεη σο ηώξα γηα ζπλερείο θπζηθέο πνζόηεηεο, π.ρ. ηε ζέζε θαη ηελ νξκή: ζπκβνιίδνπκε ηελ θαηάζηαζε «ην ζσκαηίδην έρεη ζέζε» (δει. βξίζθεηαη ζηε γεηηνληά ηνπ ) σο. Αληίζηνηρα, ε θαηάζηαζε κε νξκή γξάθεηαη σο. Η θαλνληθνπνίεζε ησλ θαηαζηάζεσλ απηώλ, γίλεηαη όπσο ζηελ Κβαληνκεραληθή Ι: (αληί δειαδή γηα και (5.) m ) Καη πσο αλαπηύζζεηαη κηα θαηάζηαζε, π.ρ. ε, ζε θαηαζηάζεηο κηαο ζπλερνύο πνζόηεηαο, ; Όηαλ ε πνζόηεηα είλαη δηαθξηηή, δειαδή αλ ν ηειεζηήο ηνπ, έζησ ˆQ, έρεη αξηζκήζηκεο ηδηνθαηαζηάζεηο θαη ηδηνηηκέο, δειαδή ηζρύεη: ˆQ (5.) ηόηε ε θάζε θαηάζηαζε κπνξεί λα γξαθηεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ : (5.3) Αλ ηώξα νη δελ είλαη αξηζκήζηκεο αιιά ζπλερείο, ηόηε ην άζξνηζκα πξέπεη λα αληηθαηαζηαζεί από d. Επνκέλσο,, ζην αλάπηπγκα (5.3) d (5.4) Η δε εξκελεία ηεο πνζόηεηαο είλαη όηη ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ζηελ πεξηνρή d είλαη d. Μπνξνύκε λα ζπκβνιίζνπκε ην σο, γηα λα δείμνπκε όηη πξόθεηηαη γηα κηα ζπλάξηεζε ηεο ζπλερνύο κεηαβιεηήο. Παίξλνληαο ην εζσηεξηθό γηλόκελν ηεο (5.4) κε : θαη επνκέλσο d d d d Σπκπεξαίλνπκε όηη ε κνξθή ηνπ ηαπηνηηθνύ ηειεζηή είλαη:

2 Î d (5.5) Πξνθαλώο, κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε νπνηαδήπνηε βάζε ηνπ ρώξνπ, π.ρ. Î d (5.6) θαη κπνξνύκε λα γξάςνπκε νπνηαδήπνηε θαηάζηαζε σο ππέξζεζε ησλ ηδηνθαηαζηάζεσλ ηεο ζέζεο: d (5.7). Τελεζηής θέζης Πνηα είλαη ε εξκελεία ηνπ ; Είλαη ην πιάηνο πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ην ζσκαηίδην πνπ είλαη ζηελ θαηάζηαζε ζηελ θαηάζηαζε, δει. ζηε ζέζε. Επνκέλσο, είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ! d d Ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ζηε «γεηηνληά ηνπ»: (5.8) Η δε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ζην, d δίδεηαη σο: (5.9) Γεληθά, ινηπόλ, όηαλ έλα ζώκα βξίζθεηαη ζε κηα θαηάζηαζε, d d (5.0) (5.) d d Όπνπ ζπκβνιίδνπκε ηελ θπκαηνζπλάξηεζε, πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θαηάζηαζε ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ, σο. Τν επόκελν βήκα είλαη ε εύξεζε ηνπ ζηνηρείνπ πίλαθα. ˆ γηα ηπραίεο θαηαζηάζεηο θαη Εθόζνλ ε είλαη ηδηνθαηάζηαζε ηνπ ˆ ˆ. Επνκέλσο: Με απηό ην δεδνκέλν, έρνπκε: ˆ ˆ d ˆ d d d ˆ * d d

3 * d (5.) ην νπνίν αληηζηνηρεί ζην Θεώξεκα Μέζεο Τηκήο πνπ είδακε ζηελ Κβαλην Ι, όηαλ f f, παίξλνπκε: Με ηνλ ίδην ηξόπν θαη εθόζνλ ˆ. Τελεζηής ηης ορμής * ˆ. f d f (5.3) Από ηελ θιαζζηθή κεραληθή, γλσξίδνπκε όηη ε ορμή είναι ο γεννήτορας των μεταθέσεων. Άξα ζα θνηηάμνπκε ηνλ ηειεζηή πνπ γελλάεη κεηαζέζεηο, ηνλ ηειεζηή κεηάζεζεο/κεηαθνξάο, πνπ νξίδεηαη ˆD (5.4) Τα ζηνηρεία πίλαθα ηνπ ˆD ξ είλαη Ο ˆD έρεη ηξεηο ηδηόηεηεο πνπ απνξξένπλ από ηνλ νξηζκό ηνπ: ˆD (5.5) Dˆ Dˆ Dˆ + ˆ ˆ ˆ I D D lim Dˆ 0 ˆI (5.6) Κάζε κνλαδηαθόο ηειεζηήο, ˆQ, κπνξεί λα γξαθηεί σο ˆF ˆQ e i όπνπ ˆF έλαο εξκηηηαλόο ηειεζηήο: ˆ ˆ F ˆ Fˆ ˆˆ i i i QQ e e e ˆI Fˆ Fˆ F F Επνκέλσο, ν ˆD ξ κπνξεί λα γξαθηεί σο: ˆF ˆD e i όπνπ ˆF εξκηηηαλόο ηειεζηήο. Από ηηο ηδηόηεηεο ηνπ ˆD ζηελ (5.6) έρνπκε: D ˆ ˆ ˆ ˆ D F F Καη γεληθά, F ˆ Fˆ Άξα, αλ ν ˆF είλαη ζπλερήο, θαη επνκέλσο ˆF ˆk, έρνπκε ηειηθά ˆD e i. Ο ˆD είλαη όλησο γελλήηνξαο ησλ κεηαηνπίζεσλ: απηό ην βιέπνπκε δξώληαο ζε κηα ηπραία θαηάζηαζε : Dˆ Dˆ d ddˆ d d (5.7) 3

4 Επνκέλσο, κεηά ηε δξάζε ηνπ ˆD,, όπσο άιισζηε πεξηκέλακε, αθνύ ν κεηαζρεκαηηζκόο (5.4) αληηζηνηρεί ζε κεηαθίλεζε ηεο αξρήο ηνπ άμνλα θαηά Σεκεηώλνπκε όηη ν «ˆk» είλαη ηειεζηήο, όπσο πξέπεη, αθνύ ν ˆD είλαη ηειεζηήο: Μπνξνύκε ηώξα λα ππνινγίζνπκε ην κεηαζέηε Σην όξην 0, D ˆ ˆ Dˆ ˆ ˆ ˆk i. ˆD kˆ e i ik... (5.8)! ˆ,D ˆ, γηα κηα απεηξνειάρηζηε κεηαηόπηζε, : ˆ ˆ,D ˆ Dˆ lim,d ˆ ˆ 0 (5.9) Ο κεηαζέηεο κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη κέζσ ηεο (5.8). Κξαηώληαο κόλν ηνπο όξνπο κέρξη έρνπκε:,d ˆ ˆ ˆ ikˆ ikˆ ˆ i,k ˆ ˆ θαη άξα, από ηηο (5.9) θαη (5.0) παίξλνπκε ˆ,k ˆ i Άξα ν γελλήηνξαο ησλ κεηαζέζεσλ, (5.0) (5.) ˆD ikˆ. Μηα πεξαηή κεηαηόπηζε θαηά d, γελλάηαη κέζσ δηαδνρηθώλ εθαξκνγώλ ηνπ ˆD : ˆD... k ˆ d d i ˆk D D i d e. Από ηελ θιαζζηθή κεραληθή γλσξίδνπκε όηη ν γελλήηνξαο ησλ κεηαηνπίζεσλ είλαη ε νξκή. Χξεηαδόκαζηε όκσο ηηο κνλάδεο h k Καη επνκέλσο ε ζρέζε κεηάζεζεο ησλ ηειεζηώλ ζέζεο θαη νξκήο, (5.), γίλεηαη: Ο δε ηειεζηήο κεηαηόπηζεο είλαη ˆ, ˆ i (5.) iˆ ˆD (5.3) Γηα πνιύ κηθξή κεηαηόπηζε,, κπνξνύκε λα αλαπηύμνπκε ηνλ όξν ζηελ (5.7) ζε άπεηξε ζεηξά (θαηά Tylor): Από ηελ άιιε,...! (5.4) 4

5 iˆk iˆk e (5.5)! Εμηζώλνληαο ηηο (5.4) θαη (5.5) παίξλνπκε: θαη επνκέλσο πξέπεη λα ηζρύεη: ή ζε κνξθή ζπλαξηήζεσλ, iˆk ˆ i (5.6) ˆ (5.7) i. Σηοιτεία πίνακα και ιδιοκαηαζηάζεις ηης ορμής Τώξα κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην ζηνηρείν πίλαθα ˆ : * ˆ d ˆ d d i i (5.8) Επαλαθηνύκε δειαδή ηε γλσζηή έθθξαζε ηεο κέζεο ηηκήο ηεο νξκήο,, πνπ γλσξίδνπκε από ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο. Αληίζηνηρα, νξίδνπκε ηηο ηδηνθαηαζηάζεηο ηεο νξκήο, : ˆ, (5.9) Οπνηαδήπνηε θαηάζηαζε κπνξεί λα γξαθεί σο ππέξζεζε ησλ : Η πνζόηεηα g d είλαη ην πιάηνο ηεο ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ην ζσκάηην πνπ βξίζθεηαη ζηελ θαηάζηαζε λα έρεη νξκή ζην δηάζηεκα, d. Από ηελ (5.7), έρνπκε g : ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο, d ˆ i (5.30) ελώ από ην γεγνλόο όηη ˆ, έρνπκε: ˆ (5.3) 5

6 Σπλδπάδνληαο ηηο (5.30) θαη (5.3) παίξλνπκε Η ιύζε ηεο εμίζσζεο (5.3) είλαη i Ae i (5.3) (5.33) Η ζηαζεξά A βξίζθεηαη κέζσ ηεο θαλνληθνπνίεζεο ησλ : Εηζάγνληαο ηνλ ηαπηνηηθό ηειεζηή ζηελ (5.34), (5.34) i i d A de e i A d e A A (5.35) Σπλδπάδνληαο ηηο (5.33) θαη (5.35), παίξλνπκε ην γλσζηό απνηέιεζκα, όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ ελόο ζώκαηνο κε νξκή δίδεηαη σο e Η (5.33) καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα γξάςνπκε νπνηαδήπνηε θπκαηνζπλάξηεζε «γξακκηθό ζπλδπαζκό» ησλ ηδηνθαηαζηάζεσλ ηεο νξκήο: i i d d de g (5.36) σο θαη επνκέλσο, i de g (5.37) Καη βεβαίσο, κπνξνύκε λα γξάςνπκε θαη ην αληίζηξνθν: g d d e i ' (5.38) Η (5.38) είλαη, πξνθαλώο, ν αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier. Τέινο, ππνινγίδνπκε ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ ηειεζηή ˆ ζηνλ ρώξν ησλ ζέζεσλ: ˆ d d ˆ Χξεζηκνπνηώληαο ˆ : i i * ˆ d ˆ d d i i Παράδειγμα: Δείμηε όηη ν ηειεζηήο ηεο ζέζεο ζην ρώξν ησλ νξκώλ έρεη ηε κνξθή: 6

7 ˆ i Θεσξνύκε ην ζηνηρείν πίλαθα: ˆ d ˆ Χξεηαδόκαζηε ην ˆ : ˆ d ˆ d i d e i i d i i g (5.39) θαη επνκέλσο * ˆ d i dg i g Πνπ δείρλεη όηη ζην ρώξν ησλ νξκώλ, ν ηειεζηήο ηεο ζέζεο παίξλεη ηε κνξθή ˆ i (5.40) Καη ηέινο, είλαη εύθνιν λα δείμνπκε όηη, ˆ, ˆ i αλεμαξηήησο ηνπ ρώξνπ (ησλ ζέζεσλ ή ηεο νξκήο). Παράδειγμα: ππνινγηζκόο ζηνηρείνπ πίλαθα ηεο ζέζεο ζην ρώξν ησλ νξκώλ θαη ηεο νξκήο ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ. Έρνπκε ήδε βξεη ζηελ (5.7) όηη ˆ i i Αληηθαζηζηώληαο, παίξλνπκε ˆ i i Με αθξηβώο ηνλ ίδην ηξόπν, μεθηλώληαο από ηελ (5.39), έρνπκε ˆ i Γηα, παίξλνπκε ˆ i i 7