1.1. Startovanje Excela Radno okruženje Radni papir i ćelija

Transcript

1 Sadržaj. Uvod u Ecel..... Startovaje Ecela..... Rado okružeje Rad papr ćelja Upsvaje kretaje po ćeljama Formatraje ćelja Formatraje decmalh brojeva Mejaje boje pozade teksta ćelje Podešavaje šre vse ćelja. Ubacvaje zbacvaje redova koloa Spajaje ćelja Uokvrvaje ćelja...7. Premeštaje kopraje ćelja...8. Smaje zatvaraje dokumeta Otvaraje ovog postojećeg dokumeta Rad sa formulama Grafko...5. Fukcje raspodele u Ecelu Boma raspodela Poasoova raspodela Emprjska raspodela u Ecelu Osov pojmov Emprjska raspodela Itervale ocee parametara Ocea sredje vredost ormale raspodele sa pozatom dsperzjom Ocea sredje vredost ormale raspodele epozate dsperzje Aalza korelacje Uzoračk koefcjet korelacje Regresoe prave Provera začajost korelacje Iterpretacja koefcjeata korelacje Regresoa aalza Metod ajmajh kvadrata Sredje kvadrato odstupaje emprjske formule Koefcjet determacje Određvaje pravoljske zavsost Iterval povereja odsečka agba Testraje hpoteza u vez sa odsečkom agbom Learzovae dvoparametarske emprjske formule...03 Lteratura...3

2 . Uvod u Ecel

3 .. Startovaje Ecela Mcrosoft Ecel je program za tabelara proračuavaja. Osova osoba vršeja takvh proračua a račuaru je da se zmeama određeh podataka mejaju vredost koje su zasovae a jma. Startovaje Ecel-a se vrš preko koe a desktopu. Dupl klk mšem a kou Mcrosoft Ecel program je pokreut. Ukolko koe programa ema a desktopu tada je Ecel potrebo pokreut prko Start meja, meja Programs, a zatm klkut a Mcrosoft Ecel... Rado okružeje Rado okružeje Ecel-a če : Naslova lja (Ttle Bar) se alaz a samom vrhu ekraa tu se alaz spsao me dokumeta s kojm se treuto rad me programa. Traka sa mejma (Meu Bar) se alaz odmah pod aslove lje u joj se alaze mej u kojma su grupsa raz alat. Paleta stadard (Stadard Toolbar) l paleta sa stadardm alatkama se alaz spod trake sa mejma sadrž ajčešće korštee alate z meja (ov dokumet, otvaraje, smaje dokumeta, štampaje dokumeta slčo). Paleta Format (Formattg Toolbar) l paleta za formatraje sadrž alate koj se korste za formatraje teksta, određvaje vrste, velče boje slova, poravavaja teksta... Traka za formulu (Formula Bar) je traka gde se uos formula za ćelju sa kojom radmo. Statusa lja (Status Bar) opsuje u svom levom uglu staje u kom se alaz program- Read (sprema za rad), Eter (uos u ćelju), td. Pord toga u statusoj lj možemo vdet da l je uključeo prekucavae, kucaje velkh slova td. Klzač omogućavaju pomeraje papra kako b se vdele sve ćelje..3. Rad papr ćelja Rad papr (eg. Worksheet) ćelja (eg. Cell) su osov elemet rada u Ecelu. Svak dokumet sa kojm se radu Ecelu azva se azva se sveska l kjga (eg. Book). Da b se odvole začaje cele u okvru jedog dokumeta korste se rad papr, koj če kjgu. Dakle, jeda rad papr može da se korst za proraču, jeda za grafke td.

4 Slka.. Sam rad papr sastavlje je od ćelja. Svaka ćelja može sadržat tekst l brojeve, za svaku od jh može se defsat tp (tekst, broj, valuta, procet, datum). Ćelje se u Ecel-u mogu povezvat tako da jeda zavse od druge a taj ač formrat formule po kojma se račuaju vredost. Ubacvaje ovog radog papra- vrš se preko padajućeg meja Isert, opcje Worksheet. Il, ako se prtse des taster mša a blo koju od kartca postojećh radh papra, koje se alaze zad statuse lje. Otvara se ov me u kome se odabra opcja Isert, u ovootvoreom prozoru dovoljo je klkut OK. Uklajaje radog papra vrš se prtskom desog tastera mša a kartcu radog papra koj treba obrsat, u ovootvoreom meju bra se opcja Delete. Otvara se ov prozor u kome se sa OK potvrđuje brsaje, dok se sa Cacel prekda. 3

5 Mejaje mea radog papra korst se st me kao prethode dve operacje. Prtse se des taster mša a kartcu radog papra čje se me meja, a zatm u ovootvoreom meju klke a Reame. Nako tog upsuje se ovo me prtse taster Eter. Premeštaje kopraje radog papra- poekad je potrebo promet redosled radh papra. Za to se korst opcja Move or Cop. Otvara se prozor kao sa slke. Otvara se prozor kao sa slke. Polje To Book govor u koju kjgu (dokumet) se premešta rad papr. Polje Before Sheet ukazuje a to pre kog radog papra želmo da postavmo odabra rad papr. Opcje move to ed papr šalje a kraj kjge (dokumeta). Ukolko je otkačeo polje Create a cop bće apravljea kopja radog papra. Na kraju se sa OK potvrđuju odabrae opcje. Sekektovaje radh papra kada je potrebo obrsat vše radh papra l se ad jma vrše eke zmee, potrebo h je prvo ozačt selektovat. Selektovaje se vrš prtskom a lev taster mša a kartce radh papra koje se alaze zad statuse lje, držeć taster Cotrol za pojedačo selektovaje, l taster Shft- za selektovaje susedh radh papra..4. Upsvaje kretaje po ćeljama Da b se podatak u određeu ćelju potrebo je da se levm tasterom mša klke a ju. Ćelja postaje uokvrea crm pravougaokom, kao a slc gore. Prtskom a blo koj taster sa tastature počje uos podataka u selektovau ćelju. Nako ukucavaja teksta dovoljo je prtsut Eter l strelcama pomert kursor a eku drugu ćelju. Ecel sam rapspozaje određee tpove podataka. Brsaje teksta z ćelje se vrš ozmačavajem ćelje koja se brše a zatm se prtse taster Delete. Moguće je obrsat vše ćelja odjedom tako što se prvo sve selektuju, a zatm se prtse taster Delete. Pomeraje kurora a određeu ćelju ajlakše je zvršt klkom levog mša a tu ćelju. Međutm u kompleksjm tabelama koje prelaze jedu strau radog papra lakše je ekad drekto otć a željeu ćelju. Za to se korst padjuć me Edt opcju Go To. U ovom prozoru u polju Go To dovoljo je ukucat pozcju ćelje, recmo A70 u prtsut OK kursor će se ać a avedeom mestu. 4

6 .5. Formatraje ćelja Formatraje ćelja podrazumeva podešavaje tpa ćelje (broj, tekst, datum l valuta), ameštaje poravaja, vrste slova velče, kao ekolko drugh opcja. Podešavaje tpa ćelje- veća gore avedeh podešavaja vrš preko padajućeg meja Format opcje Cells. Nako pokretaja ove opcje otvara se prozor kao sa slke. U polju Categor pojavljuje se lsta mogućh tpova podataka u ćelj. U polju Sample vd se kako će zgledat podatak ako promee tpa. Nekolko bth tpova su : Numberpredstavlja broj, u ovoj opcj moguće je brat zaps broj kao broj decmalh mesta; Date predstavlja datum, bra se zaps datuma, kod as je a prmer dd-mm- (damesec-goda); Tme predstavlja vreme bra se ača zapsa vremea, kod as hh:mm::ss (sat, mute, sekude), korst se Custom koj predstavlja korsčk tp. Poravjaje teksta u ćelj poravaje teksta se vrš kako horzotalo tako vertkalo. Horzotalo poravaje moguće je zvršt z Palete Format korsteć koj redom cetrraju tekst levo, u sredu deso, posledje dugme služ za spajaje ćelja u jedu cetrraje teksta koj se alaz u jma u sredu. Vertkalo poravaje kao horzotalo vrš se preko opcje Format Cells z padajućeg maja Format. Odabrom kartce Algmet pojavljuje se prozor kao a slc. Polje horzotal predstavlja horzotalo poravaje, preko polja det moguće je postavt kolko će tekst bt omere od leve vce ćelje. Polje Oretato ud mogućost da se tekst okreće u ćelj pod određem uglom. Veoma bte su stavke pod poljem Tet Cotrol. Ako je otkačeo Wrap Tet tadaće tekst ukolko e može da stae u ćelju bt prelomlje u dva l vše redova. Ukolko je otkačeo polje Shrk to ft tada će velča slova bt smajea tako da tekst staje u ćelju. Merge Cells služ za spajaje ćelja. Podešavaje slova u ćelj velča tp slova može se dest preko Palete Format korsteć za promeu tpa slova za promeu velče slova. Tekst je moguće skorstt za podebljaje, zakrvljeje l podvlačeje teksta. Za to se korste koe..6. Formatraje decmalh brojeva Kod uosa brojeva može se uapred odredt želje broj decmala. To se rad a sledeć ač:. Ozač se ćelja l ćelje kojma se određuje broj decmala.. U padajućem meju Format odabere se opcja Format Cells. 5

7 3. U kartc Number u polju Categor, odabere se Number, tada se pojavljuju opcje kao a slc. 4. U polju Decmal places bra se broj decmala, ako se otkać polje Use 000 separator korstće se razdvajaje preko 000 sa zarezom a u polju Negatve umber bra se zgled egatvog broja. Decmale se mogu ameštat preko koca z palete Format. Brojevma u ozačem ćeljama prtskom a prvu kocu povećava se broj decmala, a a drugu smajuje..7 Mejaje boje pozade teksta ćelje Boja pozade ćelja meja se a sledeć ač:. Ozač se ćelja čja se boja pozade meja.. Levm tasterom mša prtse se cra sterlca pored koe katce u Palet Format, pojavljuje se prozor kao a slc. 3. Odabra se boja za popujavaje pozade selektovah ćelja, tme je bojeje pozade završeo. Boja teksta u ćeljama meja se a sledeć ač:. Ozač se ćlja čja se boja teksta meja.. Levm tasterom mša prtse se a cru strelcu pored koe. 3. U prozoru kao a slc odabere se ova boja teksta u ćeljama.8 Podešavaje šre vse ćelja. Ubacvaje zbacvaje redova koloa Šra koloe se podešava tako što :. Kursor mša postavlja se a vcu polja sa meom koloe ozačee slovom zad ćelja. Kursor mša postaje cra usprava lja sa strelcama u levo deso.. Držeć prtsut lev taster mša pomera se šra koloe B kolko je potrebo. 3. Na kraju se pust lev taster mša. Vsa reda meja se a slča ač:. Kursor mša postavlja se a vcu polja sa brojem reda levo od ćelja. Kursor mša postaje vertkala cra crtca sa strelcama a gore dole. 6

8 . Držeć prtsut lev taster mša, mš se povlač a gore l a dole smajujuć l povećavajuć tako vsu reda. 3. Nako ameštaja pušta se lev taser mša. Koloa se dodaje tako što:. Kursor se pozcora u ćelju koja prpada kolo spred koje se ubacuje ova koloa.. U padajućem maju Isert odabere se opcja Colums. Red se dodaje tako što:. Kursor se pozcora u ćelju koja prpada redu zad kojeg se ubacuje ov red.. U padajućem meju Isert odabere se opcja Rows. Brsaje koloe l reda vrš se tako što:. Desm tasterom mša klke se a me koloe l broj reda.. U ovotvoreom meju odabere se opcja Delete. Nako toga ako je obrsaa koloa, sve koloe deso od je premeštaju se ulevo za jedo mesto, a u slučaju brsaja reda za jedo mesto se premeštaju redov spod obrsaog reda..9 Spajaje ćelja Spajaje ćlja podrazumeva spajaje vše ćelja u jedu ćelju. Prmer spojeh ćelja, u prkazaoj tabel, bla b polja jeda, dva tr. Spajaje se vrš:. Selektuju se ćelje koje treba spojt.. U padajućem meju Format odabere se Format Cells, a zatm se u kartc algmet otkač polje Merge Cells. 3. Odabr se potvrđuje sa OK. Poekad se pogrešo spoje ćelja pa je potrebo spojee ćelje vratt u staje gde je svaka za sebe, to se rad tako što se ozač ćelja astala spajajem, a zatm u padajućem meju Format, u Format Cells u kartc Algmet sključ se otkačeo polje Merge Cells..0 Uokvrvaje ćelja Iako je rad papr podelje a ćelje zmeđu jh postoje lje, te take lje pr štampaju eće bt vdljve. Da b se lje tabele aglasel potrebo je selektovat ćelje čj okvr se meja preko padajućeg meja Format Cells, bra se kartca Border, ako 7

9 čega se otvara prozor kao a slc. U polju Le bra se vrsta lje kojom se scrtavaju okvr, boja lje. U polju Presets bra se Noe da b ćelje ble bez okvra a Outle da b se uokvrle spolje vce. Polje Border korst se kada su potrebe samo spolje vce uokvree, već možda scrtae uutrašje l djagoale lje. Klkom a dugme koje prkazuje pravac lje uključuje l sključuje scrtavaje lja tog pravca.. Premeštaje kopraje ćelja Premeštaje ćelja se vrš tako što se:. Selektuju ćelje koje treba premestt.. Kursor mša se pomer a vcu selekcje, egde oko cre tame lje, tada b kursor trebalo da se pretvor u belu strelcu. 3. Držeć prstsut lev taster mša pomeraju se selektovae ćelje a mesto a koje se trebaju premestt. 4. Pust se lev taster mša Na ovaj ač podac se vše e alaze u ćeljama u kojma su bl već samo u oma u koje su premešte. Ako podac treba da ostau da se pojave u ovm ćeljama tada se korst kopraje ćelja. Ćelje se kopraju a sledeć ač:. Selektuju se ćelje koje treba koprat.. Prtse se dugme Cop z Palete Stadard, čme su selektovae ćelje zapamćee u memorj račuara, a oko zapamćeh ćelja se pojavljuje trepćuć okvr, ako toga 3. Levm tasterom mša klke se a ćelju gde treba da se ađu koprae ćelje. 4. Prtse se dugme Paste z Palete Stadard, ćelje se pojavljuju a papru. Korsteć opcju Cut z Palete Stadard umesto Cop ćelje b ble premeštee, al b mogle vše puta sa opcjom Paste da se spuštaju u dokumet. Ćelje je moguće skoprat korsteć mal cr kvadrat u dojem desom uglu selekcje. Ako se kursor mša postava taj mal cr kvadrat o se pretvara cru strelcu. Prtskom levog tastera mša, e puštajuć ga može se razvuć selektova deo. Nako puštaja levog tastera ceo ozače deo bće popuje prethodo selektovam delom. 8

10 . Smaje zatvaraje dokumeta Ako dokumet treba sačuvat da b se kasje korsto trebalo b ga smt a hard dsk. Smaje dokumeta se vrš tako što se z padajućeg meja Fle zabere Save. Ako je to prv put da se sma taj dokumet u kojem se traž da se uese me tog dokumeta, odoso pod kojm meom da se sm a hard dsk (l dksketu). U polju Save može se zabrat folder u koj treba smestt dokumet, a može se apravt ov folder za ovaj dokumet klkom a kou Create New Folder. U polju Fle ame treba upsat me dokumeta potom klkut a dugme Save. Ovm je operacja smaja dokumeta završea. Ako je dokumet koj se sma već raje smlje pod tm meom oda se smaje obavlja automatsk, samo odabrom opcje Save z Fle meja. Zatvaraje dokumeta Dokumet u Ecelu se može zatvort a vše ača, a ajčešće se to vrš klkom a u gorjem desom uglu prozora. Drug ač za zatvaraje aktvog dokumeta je da se zabere operacja Close z padajućeg meja Fle..3 Otvaraje ovog postojećeg dokumeta Prlkom svakog startovaja Ecel-a otvara se ova praza sveska u kojoj se može započet rad. Ako je potrebo otvort ov praza dokumet, korst se koa New Blak Documet z Palete Stadard, l opcju New z padajućeg meja Fle. Ako treba otvort već postojeć dokumet, koj se alaz a dsku račuara korst se koa Ope z palete Stadard, l opcja Ope z padajućeg meja Fle..4 Rad sa formulama Ecel - rad sa formulama Uos formula Formula se u eku ćelju uos tako što prvo uesemo karakter što će Ecel-u agovestt da sada sled uos formule. Šta je formula?. Formula je kombacja kostat promeljvh, operatora fukcja koja koja daje rezultat. Šta zač ovo što je rečeo? Evo ekh prmera uešeh formula 9

11 .8+C+C3^3 C/C3-.45E-5*(A+LN(A)) U prethodm umerčkm formulama (daju umerčku vredost kao rezultat) kostate (brojev) su.8,3,.45e-5,5. Real brojev se uose sa fksom decmalom tačkom l u ekspoecjalom oblku (.45E-5 zač ). Promeljve su referece a ćelje (C,C3,A,A) u kojm se alaz (u ovom slučaju) umerčka vredost. Operator se dele a uare l bare. Uar maju jeda operad a bar dva (sa leve dese strae). Ecel podražava stadarde artmetčke operatore: sabraje +, oduzmaje -, deljeje /, možeje *, stepeovaje. Pr tome je prortet operatora st kao u matematc. Promea prorteta se vrš samo malm zagradama ( ). Fukcje maju svoje me u zagradama argumete razdvojee zarezma. Kada uesemo potrebe argumete fukcja vraća rezultat. U prethodm prmerma smo korstl fukcju LN(A). Oa zahteva jeda argumet (umerčk) vraća kao prrod logartam datog argumeta. Operator fukcje slčo "rade" tj. daju rezultat. Prethoda dva prmera ćemo uet u Ecel rad lst uet date fukcje baš kao što su avedee. Fukcje ćemo uet u ćelje A4 B4. Rezultat je sledeć Obratte pažju da je po uosu formule prtskom a ENTER u ćelj prkaza rezultat a u lj za edtovaje oo što smo uel tj. prav sadržaj ćelje - formula. Jedostavo je uost proste formule, al ako je formula komplkovaa vrlo lako se možemo zgubt pogrešt. Ecel vam ud pomoć tako što pr uosu formule možete umesto da kucate pr. C da se referecrate a tu ćelju oa će se pojavt u formul. Evo kako smo, korak po korak uel sledeću formulu Prvo smo uel zak, zač sled formula Oda smo levm tasterom mša (l kursorskm strelcama) ozačl ćelju C (prmette "talasće" oko ćelje) 0

12 Sada am treba operator, uećemo ga Sada se pozcoramo a drugu ćelju Nastavljamo sa uosom A je već uešeo a prethodo opsa ač. Veoma je bto da u toku uosa e prtsete ENTER. Sada am treba fukcja. Možemo je uet al ako e zamo me fukcje l smo zaboravl, možemo je zabrat z meja Isert, Fucto l zabrat z palete alata. Dobćemo djalog prozor za zbor fukcje

13 Nako OK ova fukcja očekuje jeda argumet (broj) pa se pozcoramo a A Sada am preostaje da klkemo a OK. Dobćemo sledeću poruku

14 Oa am kaže da formula je završea (edostaje desa zagrada). Ecel je to popravo pta as da l da završavamo sa uosom (Yes) l ćemo da astavmo dalje (No). Kako je formula završea možemo da klkemo a Yes, al ako želmo da astavmo klkmo a No. Ecel će am još jedom potvrdt da formula je korekta. Uesmo posledju potrebu desu zagradu, što je ajbtje, tek sad prtsmo ENTER jer je formula formraa. Dobl smo rezultat. Uos komplkovah formula je podloža greškama jer se sve uos u jedom redu. Često se može pogrešt oko zagrada. Pr samom uosu obratte pažju da am Ecel pomaže tako što pr uos dese zagrade ")" a treutak "podeblja" odgovarajuću levu zagradu "(". U korekto uešeoj formul broj levh zagrada je st kao broj desh zagrada. Za operatore koje Ecel podržava kosultovat Help sstem. Što se fukcja tče Ecel ma veoma velk zbor fukcja za razlčte amee. Pr tome argumat dath fukcja mogu bt kostate, pojedače ćelje l blokov ćelja. Rezultat takođe može bt smešte u jedoj ćelj l bloku ćelja Blok ćelja je pravougao deo radog lsta koj je defsa gorjom levom dojom desom ćeljom zmedju kojh je dvotačka. Na prmer Ovaj blok se referecra kao B:D5. U prethodom prmeru smo spomeul fukcju koja ma jedu ćelju kao argumet daje rezultat u jedoj ćelj. Sada ćemo spomeut možda ajčešće koršteu fukcju SUM koja kao argumete može mat blokove ćelja a kao rezultat daje sumu umerčkh vredost u datom bloku. Uesmo u dat blok B3:C5 eke vredost u ćelju B6 uesmo SUM( 3

15 Posle SUM( e prtsut ENTER. Sada možemo astavt sa formulom uet dat blok al ćemo se poslužt već spomeutm ozačavajem obeležćt ceo blok. Nedostaje desa zagrada. Uećemo je tek tada aktvrat ENTER. Dobja se rezultat Relatvo kopraje formula Počećemo objašjavaje rada sa formulama u Ecel-u a trvjalom prmeru zbra dva broja. Uećemo dva prozvolja broja potom h sabrat U ćelje B3 C3 su uete dve umerčke vredost a u ćelju D3 je ueta formula. Prv karakter formule je zak. U opštem slučaju u formul fguršu kostate, referece a ćelje (blokove), operator fukcje. U ćelju D3 je prkaza rezultat zračuavaja date 4

16 formule. Ovo je ormala rad u Ecel-u tj. u lj za edtovaje vdmo šta je uešeo (B3+C3) a u samoj ćelj vdmo rezultat (7.0). Ako b smo u kolo B kolo C mal vše brojeva želel b smo da odgovarajuće vredost u koloama saberemo, možemo poovt čtav postupak. Uos brojh vredost je relatvo jedostava postupak, al uos formule je podloža greškama pogotovo ako je formula komplkovaa. Pored toga, ako je formula komplkovaa, poavljaje uosa je dugotraja besmsle posao koj treba zbegavat kad je god to moguće. Čsto prmera rad, uećemo još ekolko brojeva u koloe B C Sada ćemo da upotrebmo "magju". Postavćemo pokazvač mša u cr kvadratć ćelje u kojoj se alaz formula. Pokazvač se meja u cr krstć Povlačmo levm tasterom mša adole sve do ćelje D6. Šta se sad deslo? (Zaemarte pojavu astavte sa radom). Ovm smo jedostavo kopral ćelju D3 u blok susedeh ćelja u stoj kolo (D4:D6). Međutm u ćelj D3 se alaz formula. Kako se to skopralo?. Možemo da pogledamo sadržaje ćelja l jedostavo da prkažemo formule u tabel umesto rezultata. To ćemo uradt selektovajem z glavog meja Tools, Optos, Vew, Wdows optos, Formulas. Tada ćemo u tabel umesto rezultata vdet formule 5

17 Kao da as je Ecel shvato šta hoćemo, tj. sam je pr kopraju promeo formule. Pr kopraju formule, referece a ćelje se u kopram ćeljama mejaju relatvo u odosu a pozcju (referecu) formule. Formula u D3 kaže da u joj fguršu dve ćelje u odosu a D3 su ćelje pozcorae relatvo tj, druga levo (B3) prva levo (C3). Takođe će u kopram ćeljama formule da se promee (pogledajte slku). U svm formulama fguršu takođe ćelje druga levo prva levo. Na prmer u D6 fguršu druga levo (B6) prva levo (C6). Pogledajmo šta b se deslo kada b smo kopral formulu z D3 u ćelju E3 Opet relatvo kopraje. U E3 fguršu druga levo (C3) prva levo (D3). Gde god kopral formulu z D3 u kopj će fgursat sta formula (zbr dve ćelje) al će dve ćelje u kopram formulama uvek bt druga levo prva levo. Kopraje se zove relatvo jer se referece a ćelje pr kopraju formula uzmaju relatvo u odosu a pozcju formule. Da b smo to još jedom utvrdl razjasl, pogledajmo sledeć trvjala prmer U formul koja je uešea u D6 fguršu ćelje B5 (pozcja - dve ćelje u levo, jeda ćelja gore) B4 (pozcja - dve ćelje u levo, dve ćelje gore) C5 (pozcja - jeda ćelja u levo, jeda ćelja gore). Ako ovu formulu skopramo u drugu ćelju referece će se relatvo promet tj. 6

18 Uporedte sa prethodom slkom. Nadam se da smo uspel da razjasmo šta zač relatvo kopraje formule. Apsoluto kopraje formula Ako am je zadat jedostava problem da pomoću jedače dealog gasog staja R T p v zračuamo prtsak p za zadate vredost R, T, v to b u rad lst Ecel-a mogl uet a sledeć ač pr tome su u svakoj ćelj bloka ćelja B3:E3 uet tekstual podac, u bloku B4:C4 su uet umerčk podac a u ćelj E4 je ueta formula. Pogledajte u lju za uos kako je formula uešea. U formul fguršu referece a ćelje sa umerčkm vredostma operator možeje (*) deljeje (/). U samoj ćelj E4 se prkazuje rezultat. Ovo je uobčaje ač rada sa formulama u Ecel-u. Ovaj problem je tako komplkova pa b se čak mogao uradt pomoću kalkulatora. Međutm, ako b blo potrebo zračuat prtsak za opseg temperatura od 73.5 do 93.5, sa korakom, to b za kalkulator blo prevše. Kako b smo to uradl u Ecel-u?. Kao prvo, treba uet temperature. Uos pojedačh temperatura b blo besmsleo dugotrajo. Korstćemo Ecel-ovu "pamet". Uećemo u ćelju C5 drugu temperaturu po redu, a to je 74.5 obeležt obe ćelje u kojoj je prva druga vredost temperature. Zatm ćemo postavt pokazvač mša u doj des ugao ove dve ćelje tj, 7

19 povlačejem levm tasterom a dole Ecel će "shvatt" da želmo uos sledećh ćelja sa određem korakom (druga - prva). Tako ćemo povlačt dok e dobjemo krajju vredost a to je 93.5, odoso Ako b smo, bez razmšljaja, takođe formulu z E3 skopral u susede ćelje u stoj kolo dobl b smo sledeće, tj Ecel b prjavo grešku #DIV/0 što zač deljeje sa ulom. Kako to?. 8

20 Prkažmo formule koje fguršu u kopram ćeljama Nadam se da vdte problem. Formula je kopraa relatvo (fguršu tr ćelje levo). Ćelja D je praza (ulta vredost) otud deljeje s ulom. Kako ćemo "aterat" Ecel da pr kopraju e meja relatvo referece. To se u formul azač tako što se ćelje apsoluto referecraju. To zač da možemo da "fksramo" red /l kolou u ekoj formul. Pr kopraju se fksra red l koloa eće mejat. Apsoluto referecraje se ostvaruje zakom $ spred koloe (fksraa koloa, pr. $B4) l spred reda (fksra red, pr. B$4) l fkra koloa red ($B$4). Ako se formula u kojoj ma apsoluth referec ($ spred koloa, redova) kopra u druge ćelje oda se ovo kopraje azva apsoluto kopraje. Ako pogledamo prethoda prmer, potrebo je da promemo formulu u E4 koja će da bude B$4*C4/D$4. Zašto? Zato što e želmo da se ove vredost redova spred kojh je $ promee. Ako to uradmo skopramo datu formulu dobćemo sledeće 9

21 Rad!. Vdte da se vredost redova u formulama od E5:E4 spred kog je $ je promeo, ostao je 4 kao u formul u E4. Ovo je apsoluto adresraje gde je apsoluta (fksra red) u formul koja se kopra (E4) u druge ćelje (E5:E4). Naravo, možemo da promemo prkaz prkažemo vredost u ćeljama u kojma su formule. 0

22 Može se postavt ptaje, da l je spravo uet u E4 formulu $B$4*C4/$D$4. Može, fksral smo još koloe B D, mada je suvšo. Ako pogledate slku sa formulama vdte da se koloe B D oako su promele. Zašto? Jedostavo, pr kopraju jede ćelje u blok ostal smo u stoj kolo E pa se jeda refereca a koloe je promela. Prkazaćemo ovaj st problem al ćemo drugačje da uesemo podatke. Pr tome je ueta samo jeda formula u B4 $B*B3/$B skopraa udeso Da l možete da objaste zašto sada stoje $ spred koloe B šta b blo u ćelj D4 da koloe su fksrae (Odgovor D4 D*D3/D). Takođe sta prča važ, pr kopraju smo promel red pa $ spre blo kog reda ema smsla jer smo oako kopral formulu u susede ćelje al ostal u stom redu. Da b smo još vše zapetljal stvar, ovaj st problem ćemo rešt uosom jede formule koprajem u druge ćelje koje se alaze u razlčtm redovma koloama Ovu ćemo ćelju skoprat udeso do koloe F a oda ovaj blok zatm još 4 reda adole (jer još tolko ma redova sa temperaturama)

23 Uporedte rezultate sa prethodm prmerom. Obratte pažju da je samo jedom uešea formula u B8 $B$*B3/$B$ da je ova formula skopraa u blok B8:F. Ovde su referece $B$ $B$ apsolute (fksra red koloa) ostaju ste u svm formulama. Sada moramo stavt $ spred reda spred koloe jer se jeda ćelja kopra u razlčte redove koloe. Jeda relatva ćelja u B8 je B3 oa ma relatvu pozcju (5 ćelja gore) pr. u D će se uzet D6 jer je oa sto 5 ćelja gore. Kao posledje razmatraje ovog prmera uzećemo da se traž zračuavaja za razlčte temperature T razlčte molske zapreme v. Pr tome ćemo apravt tabelu tako da su temperature zadate u kolo a zapreme u vrst.

24 Postavlja se ptaje, kako da uesemo jedu formulu u B5 koja zračuava prtsak a osovu odgovarajuće zapreme u vrst 4 odgovarajuće temperature u kolo A sa vredost R u B da rezultujuć prtsak bude u odgovarajućoj ćelj u bloku B5:F0. Pa u samom ptaju se krje odgovor. Ćelja B mora bt apsoluto fksraa. Takođe treba fksrat samo vrstu 4 tj B$4 (zaprema) kolou A tj $A5 (temperatura) tako da je formula u ćelj B5 $B$*$A5/B$4, odoso posle kopraja dobjamo Imeovaje ćelja blokova ćelja Kako formule postaju komplkovaje tako je barataje sa jma otežao, pogotovo ako postoje apsolute referece a ćelje. Zato je pogoda osoba Ecel-a da meuje eku ćelju l blok. Lakše je pratt formulu u kojoj umesto besmsleh referec fguršu eka mea kao a prmer: temperatura, zaprema, obm, cea td. Pravla za mea ćelja blokova su - sastoje se od slova cfara - prv karakter mora bt slovo - e razlkuju se mala velka slova tj. IME, me, Ime se e razlkuju - su dozvoljea praza mesta - e smeju mat sta mea kao mea koloa, referece a ćelje - mogu mat tačku (.) l doju crtu (_) Najsgurje da me poče sa ajmaje tr slova a ostalo mgu bt slova cfre. Pr tome je ajkorsje meovat blokove sa apsolutm referecama. 3

25 Tako ćemo u prethodom prmeru meovat ćelju B azvat je gask, blok B4:F4 meovat kao Zaprema blok A5:A0 meovat kao Temperatura. Prvo ćemo se pozcorat a ćelju B u tzv. Name Bo uet gask prtsut ENTER. Na st ač ćemo selektovat određee blokove defsat mea Ako klkemo a strelcu pored Name Bo-a možemo vdet aša defsaa mea zborom a jedo od jh vdet šta meuje 4

26 Kakva korst od toga?. To ćemo prmett ako sada "prmemo" mea u tabelu. Šta to zač? To zač da se umesto referec korste odgovarajuća mea. To čmo zborom Isert, Name, Appl. Dobjamo lstu mea Obeležmo sva mea klkmo a OK Tada ćemo u ašoj tabel umesto referec mat mea tj. Ovako se tabela može učt pregledjom, jasjom maje podložom greškama..5 Grafko Za grafčko predstavljaje tabela urađeh u Ecel-u korste se grafko. O a jedostava jasa ač prkazuju rast l pad vredost odose među jma. Postupak predstavljaja grafko a radu strau Ecel-a sastoj se z vše koraka. Podrazumeva se da je potreba tabela a osovu koje se crta grafk. Izrada grafka može se pokreut preko padajućeg meje Isert, opcje Chart l preko dugmeta u palet Stadard. Otvara se prozor kao aslc. Ovo je prv od četr koraka koj se sprovode pr ubacvaju graka u rad lst. U prvom koraku bra se vrsta grafka. Klkom a blo koj čla lste polja Chart Tpe u polju Chart sub-tpe prkazuju se podtpov ovog tpa. Klkom a 5

27 jeda od podtpova bra se zgled grafka. Za prelazaka a sledeće korak treba klkut a Net. U ovom prozoru pojavaljuju se dve kartce. Data rage ozačava mesto a kome se podac alaze. Druga stavka je Seres, pomoću koje se određuju serje a grafku, tj. kolko će serja bt, kao šta se alaz a, a šta a os. Klkom a Net prelaz se a sledeć prozor. U ovom prozoru prva kartca Ttle služ za podešavaje l ubacvaje azva grafka polje Chart Ttle, azva osa polja Value(X) aes Value(Y) aes. Kartca Aes omogućava da se uključ/sključ prkazvaje osa. Kartca Grdles omogućava da se uključ/sključ mrežu ose, ako je uključeo omogućava da se bra gusta, odosto da l da se prkazuju male (Mor grdles) veće (Major grdles). Kartca Leged podešava legedu. Ukolko je oačeo polje Show Leged tada se u poljma spod bra pozcja legede (Bottom, Corer, Top, Left, Rght). 6

28 Kartca Data Labels omogućava da uključ prkazvaje vredost a samom grafku. Kartca Data Table omogućava prkazvaje dodate tabele sa poacma koj se alaze a grafku, ako je ozačeo polje Show Table. Nako podešavaja sv ovh opcja da b se prešlo a posledj prozor za uos grafka treba klkut a Net. Posledj prozor ud samo dve mogućost. Jeda je da se ovako apravlje grafk ubac kao objekat u određe rad lst l da se grafko ubac u ov rad lst. Na svak od prethodh prozora može se vraćat a klkom a dugme Back. Ako je sve podešeo treba klkut a Fsh grafko je a radom lstu. Grafk se može pomerat tako što se kursor dovede a deo ekraa koj o zauzma prtse se lev taster mša, e puštajuć ga vuče se mš grafk do mesta a kome treba da stoj. Cr kvadrat a krajevma grafka služe za mejaje velče grafka. Ako je u ekom od koraka za zradu grafka došlo do greške l jedostavo treba promet eku stavku, tada se korst padajuć me Chart. Opcja Chart Tpe vraća a zbor tpa grafka, Chart Optos a prozor sa opcjama grafka td Seres

29 . Fukcje raspodele u Ecelu 8

30 .. Boma raspodela Ova dskreta raspodela ma velku prmeu u kotrol kvalteta prozvoda Posmatrajmo z ezavsh ekspermeata (u lteratur pozat kao Beruljeva šema) tj. za svak od jh važ da je jegov shod ezavsa od shoda ostalh opta. Neka je za svak od ekspermeata veza događaj A eka je verovatoća jegovog astupaja jedaka p, P(A) p. Bom zako daje verovatoću da će se u ekspermeata l proba posmatra događaj A dogodt puta. Dakle, broj astupaja događaja A u proba je slučaja velča X, koja ma bomu raspodelu verovatoće. Možemo sada da zvedemo bom zako. Tražmo verovatoću, b(,,p) da u opta posmatra događaj A astup puta. Verovatoća svakog od događaja u kome je A u proba astupo puta je: p q - a ukupa broj takvh, međusobo sključvh događaja jedak je broju kombacja klase od elemeata. Tako je, b(,, p) p q, 0,,,..., (.37) U Ecel-u se za ovu vrstu raspodele korst fukcja BINOMDIST. Rezultat fukcje je verovatoća bome raspodele da će slučaja promeljva X mat zadatu vredost. Staksa BINOMDIST(umber_s, trals, probablt_s, cumulatve) Number_s broj astupaja ekog događaja u proba (slučaja promeljva X) Tral_s broj ezavsh proba, Probablt_s verovatoća astupaja događaja u svakoj prob 9

31 Cumulatve logčka vredost koja određuje oblk fukcje, ako je CumulatveTRUE, BINOMDIST daje kumulatvu raspodelu fukcje, ukolko je Cumulatve FALSE, rezultat je verovatoća da će događaj astupt X puta. Prmer.. Neka maša prozvod 000 kompoeata/h svakh 30 muta je uzmao po 0 uzoraka rad kotrole, tokom dužeg peroda. Tako je kostatovao da je proceat škarta 0%. Kolka je verovatoća da u slučajom uzorku od 6 kompoeata a) bude 4 defekta b) e bude vše od 3 defekta c) e bude jeda defekta Rešeje Prepozaje se bom model. Događaj A je dobjaje defekte kompoete, a jegova verovatoća, dobjea emprjsk, je 0 p / 5, q p 00 Broj opta, 6. Dat su tabela polgo raspodele. 4 5 Tabela se dobja tako što se u red uose podac za, dok se p zračuava pomoću fukcje BINOMDIST. Dakle, ukolko je tabela apsaa a st ač kao a slc, klke se a ćelju J, a zatm se z padajućeg meja Isert, odabere opcja Fucto, kada se otvor ov prozor fukcja BINOMDIST se traž u statstčkm fukcjama (Statstcal), odabere se BINOMDIST otvara se ov prozor (kao a slc) 30

32 Uose se odgovarajuć argumet: Number_s - uos se vredost z ćelje J, odoso samo se klke a ćelju J. Trals - upsuje se 6, jer je to broj prozvoda u slučajom uzorku. Probablt_s - upsuje se 0., verovatoća od 0%. Cumulatve - upsuje se logčka vredost FALSE, jer je potreba vredost za samo jeda događaj, a e zbr događaja. Potvrđuje se sa OK, kao rezultat dobja se vredost za bomu raspodelu, da b se popuo ostatak tabele, fukcja se kopra a prethodo objašje ač. Zatm se a osovu tabele acrta grafk. a) Ovde treba zračuat verovatoću da su u slučajom uzorku od 6 prozvoda 4 budu defekta. Problem se rešava koršćejem fukcje BINOMDIST, kao kod popujavaja tabele. b) U ptaju je zbr događaja, jer se traž da e budu vše od 3 defekta prozvoda, problem se takođe rešava koršćejem fukcje BINOMDIST, al sa ešto drugačjm argumetma. 3

33 Number_s - upsuje se 3 Trals - upse se 6 Probablt_s upsuje se 0. Cumulatve upsuje se TRUE jer se rad o zbru događaja, a e o pojedačom događaju. c) Ovde se traž da jeda od prozvoda e bude defekta, zač da je 0 pa mamo Prmer.. Detaljom proverom kvalteta ampula pujeh tečošću utvrđeo je da je a 00 ampula 75 spravh. a) Odredt zako raspodele verovatoće slučaje promeljve: broj spravh ampula u slučajom uzorku od 6 ampula b) Odredt očekvau vredost dsperzju slučaje promeljve. c) Koj broj spravh ampula u uzorku od 6 komada je ejverovatj? 3

34 Rešeje 3 a) U ptaju je bom zako: b (,6, ), p( ) b(,6, ), 0,,,..., Slede tabelar grafčk prkaz zakoa raspodele: Tabela se formra a st ač kao u. zadatku, a ako toga se a pozat ač crta grafk. b) µ p 4.5, D(X) pq.5 se zračuavaju upsvajem formula. c) Najverovatj broj ampula u uzorku je 5. 33

35 .. Poasoova raspodela Poasoov (Posso) zako raspodele se može dobt kao grač slučaj bomog modela, kada obm uzorka tež beskoačost uz uslov da pr tom prozvod obma uzorka verovatoće posmatraog događaja, µ p ostae ograče. Tako se Poasoov model korst za opsvaje verovatoće retkh (p je malo), međusobo ezavsh (uslov za bom zako) događaja kao što su: radoaktv raspad ekh zotopa, tj. emtovaje radoaktvh čestca cdet u dobro regulsaom saobraćaju smetje u telefoskom saobraćaju preosu podataka greške u račuarskm sstemma Slučaja promeljva je broj realzacja retkog događaja u vremeskom tervalu date duže.dakle, slučaja promeljva X ma Poasoovu raspodelu ako je gde je µ ek poztva broj. µ µ p( ) e, 0,,,...! Sredja vredost dsperzja Očekvaa vredost dsperzja za Poasoovu raspodelu mogu se dobt kao grače vredost th parametara za bomu raspodelu, kada, p 0, (µ cost): µ p µ, σ lm p( p) p 0 p cost p µ Dakle, sredja vredost dsperzja slučaje promeljve X raspodeljee po Poasoovom zakou su: µ σ µ Aproksmacja bome raspodele Poasoovom Račuaje verovatoća je zato obmje kod bome ego kod Poasoove raspodele. Za dovoljo velko malo p boma raspodela se može aproksmrat Poasoovom. Praktč krterjum za prmeljvost takve aproksmacje je [Chatfeld C., 983.]: > 0, µ p < 5 Poasoova raspodel u Ecelu može se dobt koršćejem fukcja POISSON. 34

36 Staksa : POISSON (X, Mea, Cumulatve) X broj događaja Mea očekvaa vredost Cumulatve - logčka vredost koja defše fukcju raspodele verovatoće. Ako je taj argumet TRUE, rezultat fukcje je kumulatva Poasoova fukcja raspodele verovatoća da će broj slučajh događaja bt zmeđu 0 X (uključujuć te vredost); ako je FALSE, rezultat je Poasoova fukcja verovatoće da će broj događaja bt tačo X. Zadatak.3. Proceat škarta pr prozvodj kompoeata u ekoj fabrc je %. Odredt verovatoću da je u uzorku od 60 kompoeata defekto: a) 3 komada b) e vše od 3 c) bar dva Rešeje U ptaju je bom zako. Pošto je 60 > 0 µ p < 5 spuje je uslov > 0, µ p < 5 rešavaje problema se može zato uprostt zamejujuć bom zako Poasoovm ( ako to u Ecelu e predstavlja problem). a) Dakle, pošto je ustaovljeo da ja aproskmacja Poasoovom raspodelom moguća, verovatoća da je u uzorku od 60 kompoeata defekto 3 komada, zračuava se a sledeć ač. 35

37 (.4) 3 3 ( µ ) µ (.). P ( X 3) e e ! 3! Ukolko su podac ueše a st ač kao a slc, klke se a ćelju B, zatm se z padajućeg meja Isert odabere opcja Fucto, ako toga z statstčkh fukcja odabere POISSON, kada se potvrd sa OK otvara se sledeć prozor 36

38 Ovde se uose odgovarajuć argumet, za X se upsuje 3, za Mea se klke a ćelju B8 jer je u toj ćelj zračuata očekvaa vredost, u polje Cumulatve se upsuje FALSE jer se traž vredost verovatoće Poasoove raspodele za X3. b) Kako je ovde potrebo odredt verovatoću da su e vše od 3 komada defekta, problem se rešava slčo kao pod a), osm što se u polje Cumulatve upsuje TRUE, pa se kao rezultat dobja kumulatva Poasoova fukcja. 3 µ µ µ P ( X 3) p(0) + p() + p() + p(3) ( + µ + + ) e c) Kada je potrebo odredt verovatoću da su bar komada defekta, što ustvar zač vše, zračuava se Poasoova kumulatva fukcja za vredost (uključuje vredost verovatoće za 0 ) oda oduzme od. µ µ P X P X < p(0) + p() e + µ e 0. ( ) ( ) [ ] [ ]

39 Zadatak.4. Automat daje 4% defekth prozvoda. Prozvod se pakuju u kutje po 0 komada. U kom procetu kutja će se ać ajvše jeda defekta prozvod.? Rešeje Tražeu relatvu frekvecu ω se, u skladu sa statstčkom defcjom verovatoće (ω p), alaz kao verovatoća da se u slučajom uzorku od 0 komada ađe ajvše jeda defekta prozvod. U ptaju je slučaja promeljva sa bomom raspodelom b(, 0, 0.04), pa je: ω q 0 ω P(X ) p(0) + p() b(0,, p) + b(,, p) + 0 p q Odoso, u Ecelu se ovaj problem rešava fukcjom BINOMDIST % Problem se može prblžo rešt aproksmacjom bomog zakoa Poasoovm, mada prv od uslova > 0, µ p < 5 je spuje: ω p (0) + p() Sada se korst fukcja POISSON µ 0.4 [ + µ ] e [ + 0.4] e % Dobja se pak dobra procea, koja se od tače vredost razlkuje maje od %. 38

40 .3. Normala raspodela Ovo je ajvažja raspodela za prmee u statstčkoj obrad ekspermetalh podataka u društvem, prrodm tehčkm aukama. Za eprekdu slučaju promeljvu X kažemo da ma ormalu l Gausovu raspodelu sa parametrma µ σ, što se kratko ozačava sa X : N(µ,σ) ako je jea gusta: f ( ) σ e π µ σ, µ, σ > 0 U Ecel-u se za ormalu raspodelu korst fukcja NORMDIST. Staksa: NORMDIST (, mea, stadard_dev, cumulatve) vredost za koju se zračuava fukcja Mea artmetčka sreda raspodele Stadard_dev stadarda devjacja raspodele Cumulatve logčka vredost koja defše vrstu fukcje, TRUE kumulatva vredost raspodele, FALSE fukcja guste verovatoće. Pored fukcje NORMDIST, postoj verza fukcja NORMINV. Rezultat ove fukcje je vredost promeljveza koju ormala kumulatva fukcja raspodele ma datu verovatoću. 39

41 Staksa : NORMINV (probablt, mea, stadard_dev) Probablt verovatoća za koju se zračuava vredost promeljve. Mea artmetčka sreda raspodele Stadard_dev stadarda devjacja raspodele Stadardzovaa ormala raspodela Ako je X slučaja promeljva sa ormalom raspodelom N(µ,σ ), slučaja promeljva, dobjea learom trasformacjom, Y ax + b, a 0 ma takođe ormalu raspodelu. Dakle, stadardzovaa ormalo raspodeljea slučaja promeljva, µ X X 0 σ koja ma ultu sredju vredost jedču dsperzju, µ 0, σ 0, ma takođe ormalu 0 raspodelu, koja se zove stadardzovaa ormala raspodela, N(0,) sa gustom: fukcjom raspodele, f ( ) 0 e π F0 ( ) P( X 0 < ) e dt π t 40

42 Za određvaje stadarde ormale kumulatve fukcje raspodele korst se fukcja NORMSDIST. Staksa: NORMSDIST(z) Z vredost za koju se zračuava fukcja. Takođe postoj verza fukcja NORMSINV. Staksa: NORMSINV(probablt) Probablt verovatoća za koju se zračuava vredost promeljve Zadatak.5. Odstupaje, deblje prozvedee glazrae keramčke pločce, δ od omale vredost µ, δ - µ se može aproksmrat slučajom velčom sa ormalom raspodelom, : N(0, 0.3). Odredt: 4

43 a) Očekva škart u 000 prozvedeh komada, ako se kao sprave prhvataju pločce čja deblja odstupa od omale ajvše 0.5 mm. b) Očekva broj pločca u 000 komada čje su deblje: δ µ - 0. l δ µ c) Očekva broj pločca u 000 komada čje su deblje u tervalu: µ δ µ Rešeje a) Verovatoća da odstupaje bude veće od 0.5 dobće se preko verovatoće suprotog događaja. Tj. verovatoće da odstupaje bude maje od 0.5, međutm, treba uzet u obzr da je 0.5 apsoluta vredost, da se mora zračuat verovatoća za , a zatm oduzet maju od veće verovatoće. Korst se fukcja NORMDIST. Do fukcje se dolaz a st ač kao u prethodm prmerma. U polje upsuje se -0.5, l ukolko su podac uese a sta mesta kao a slc klke se a ćelju A, u polje Mea upsuje 4

44 se 0, u polje Stadard_dev 0.3, a u polje Cumulatve upsuje se logčka vredost TRUE. Potvrđuje se sa OK. Dalje se klke a ćelju u koju se zračuava druga fukcja ( u kokretom prmeru to je ćelja B3) postupak se poavlja, samo što se umesto vredost -0.5 u polje upsuje vredost 0.5 (l se klke a ćelju A3). Pošto su zračuate ove dve vredost, jhovu razlku zračuatu a već pozat ač treba oduzet od. Ako postoj verovatoća događaja - pojava defekte pločce, p 0.096, oda je u skladu sa bomm zakoom (l u skladu sa statstčkom defcjom verovatoće) očekva broj defekth pločca m, u slučajom uzorku od 000 komada jedak: m p b) P ( δ µ 0. δ µ + 0.5) P( δ µ 0.) + P( δ µ + 0.5) Ovde se prvo zračuava kumultava fukcja ormale raspodele za vredost -0., a zatm za 0.5, pa se dobjea vredost za 0.5 oduzma od. 43

45 Sabrajem vredost u ćeljama B C 3 dobja se tražea verovatoća, koja se dalje mož sa 000 dobja se broj pločca čje su deblje δ µ - 0. l δ µ c) P ( µ 0.3 δ µ + 0.4) Slčo se rešava ovaj problem, račuaju se kumulatve fukcje ormale raspodele za vredost Verovatoća za vredost -0.3 se oduzma od oe za 0.4, dobje rezultat se mož sa 000. Zadatak.6. Vek trajaja elektroske lampe, h u časovma ma ormalu raspodelu N(00,5) a) Nać verovatoću da ova elektroska lampa stog tpa traje ajmaje 05 časova. b) Ako je jeda elektroska lampa već zdržala 90 časova, kolka je verovatoća da će zdržat još 5? Rešeje a) Tražea verovatoća se zračuava z verovatoće suprotog događaja, korst se fukcja NORMDIST, a već opsa ač. 44

46 b) Traž se uslova verovatoća: verovatoća da će astupt događaj, X > 05 pošto je astupo događaj, X > 90 račua se pomoću formule : P ( X > 05/ X P > 90) [( X > 05)( X > 90) ] P( X > 90) P( X > 05) P( X > 90) Dakle, pomoću fukcje NORMDIST dobja se verovatoća za 90h, a zatm se podel sa verovatoćom za 05h. Kao što se moglo očekvat, dobjea je ešto veća verovatoća ego u a) Zadac za vežbu..događaj A astupa u ekom ekspermetu sa verovatoćom p 0.3. Neka je X broj astupaja događaja A u zu od 5 opta. a) Kako glas zako verovatoće za X, b) Izračuat P(X 3), c) zračuat sredju vredost dsperzju.. Odredt, a) Verovatoću da se u 8 bacaja kocke šestca pojav 3 puta b) Očekva broj šestca u 80 bacaja kocke?.3 Verovatoća pogotka clja u jedom gađaju je p 0.. Kolko gađaja treba zvest da b sa verovatoćom e majom od 0.9 clj bo pogođe bar jedom? Događaj A astupa u ekom ekspermetu sa verovatoćom p 0.3. Neka je X broj astupaja događaja A u zu od 5 opta. a) Kako glas zako verovatoće za X, b) Izračuat P(X 3), c) zračuat sredju vredost dsperzju. 45

47 .4 Odredt, a) Verovatoću da se u 8 bacaja kocke šestca pojav 3 puta b) Očekva broj šestca u 80 bacaja kocke?.5 Verovatoća pogotka clja u jedom gađaju je p 0.. Kolko gađaja treba zvest da b sa verovatoćom e majom od 0.9 clj bo pogođe bar jedom?.6 Automat daje 4% defekth prozvoda. Prozvod se pakuju u kutje po 50 komada. a) U kolko će se posto kutja alazt ajvše jeda defekta komad? b) Postže l se Poasoovom raspodelom zadovoljavajuća aproksmacja, ako se dozvoljava maksmala greška rezultata od.5%?.7. Jeda velka serja sadrž 4% defekth prozvoda. Prozvod se bez prethode kotrole zdvajaja lošh pakuju u kutje od 50 komada. a) Kolko će defekth prozvoda sadržavat ajveć broj kutja? b) Kolk je proceat takvh kutja?.8 Slučaje greške mereja maju ormalu raspodelu sa µ 0, σ 8mm. Nać verovatoću da od tr greške međusobo ezavsh mereja a) bar jeda e bude veća od 4mm, b) bar jeda, po apsolutoj vredost, e bude veća od 4mm..9 Slučaja promeljva ma ormalu raspodelu N(3,4). Izračuat P ( X > 9) P ( X > 9 / X > 5).0 Nek prozvođač deterdžeta ma mašu za pakovaje po 500g deterdžeta u jedu kutju. Dužom kotrolom prozvoda utvrđeo je da je sredja masa deteržeta u kutj 506g, sa stadardm odstupajem g. Uz pretpostavku da mase deterdžeta u kutjama maju ormalu raspodelu, a) zračuat proceat kutja koje sadrže vše od propsae kolče deterdžeta., b) zračuat ou sredju vredost stadardo odstupaje raspodele masa deterdžeta, koj b prepolovl proceat prepujeh kutja u sto vreme obezbedl da ajvše % kutja sadrž maje od 497g. c) kolka b se proseča ušteda u deterdžetu (%) postgla?.. Otpor elektrčh otporka ma ormalu raspodelu N(5Ω, 0.Ω). Slučajm zborom uzmemo dva takva otporka vežemo h a red. Kolka je verovatoća da taj spoj ma otpor zmeđu Ω? 46

48 3. Emprjska raspodela u Ecelu 47

49 3.. Osov pojmov Statstka, kao auča dscpla, zučava masove pojave u društvu, prrod tehc. Za masove pojave je karakterstčo da pojedač slučajev maje l vše odstupaju od oog što se može smatrat jeom karakterstkom. Na prmer, proseč žvot vek staovštva eke države predstavlja važu karakterstku od koje, maje l vše, odstupaju duže žvota pojedh građaa. Drug prmer su rezultat mereja eke fzčke velče, koja sama, za razlku od žvotog veka, je slučaja velča (a prmer gusta gasa a datoj temperatur prtsku). Rezultat poovljeh mereja se međutm razlkuju među sobom, kao od tražee tače vredost meree velče, zbog slučaje greške mereja. Statstčko obeležje populacja Oo što se u teorj verovatoće azva slučaja promeljva, statstčar azvaju - statstčko obeležje. Tako je žvot vek građaa eke države prmer statstčkog obeležja. Statstčko obeležje je vezao za jaso defsa elemeat (ettet) koga azvamo statstčka jedca. U posledjem prmeru to je osoba - građa eke države. Skup svh elemeata - statstčkh jedca azva se populacja l geeral skup l osov skup. Osov skup po pravlu ma velk broj elemeata - statstčkh jedca (masovost) koj može bt beskoača. Na prmer, u posmatraom prmeru, populacju če sv staovc jede države. U slučaju bacaja dve kocke za gru, statstčka jedca je defsaa kao svaka od mogućh položaja dve bačee kocke, statstčko obeležje je posmatra rezultat (recmo suma dobjea dva broja), a osov skup je beskoača jer se može zamslt beskoača broj bacaja kocke. Slčo, pr kotrol eke procese velče (prtsak, temperatura, kocetracja, td.) može se zamslt beskoača broj mereja. U slučaju kotrole kvalteta prozvoda, svak test je statstčka jedca. Ako kotrolšemo, recmo, deblje prozvedeh keramčkh pločca, oda je populacja ogračea - broj elemeata jedak je broju prozvedeh pločca u ekom perodu vremea. U slučaju pak praćeja sadržaja sumpora u prozvedeoj gum, populacja se smatra beskoačom, odoso eophoda je zvesa apstrakcja koja kao rezultat ma hpotetču beskoaču populacju. Zamšljamo ame, beskoačo velk komad gume beskoača z aalza pod stm uslovma. Statstčk uzorak Osov zadatak statstke je defsaje raspodele frekvec posmatraog obeležja, tj. raspodele verovatoće. Pr tome je retko moguće zmert obeležja svh statstčkh jedca osovog skupa. To je svakako emoguće u slučaju beskoačog osovog skupa, al u slučaju koačh populacja, to retko dolaz u obzr jer je l eekoomčo l praktčo ezvodljvo. Prmer su demografska sptvaja testova kvalteta prozvoda, koj su destruktv (prozvod u toku testa bva ošteće). Zato se z populacje zdvaja jeda koača podskup statstčkh jedca koj se azva (statstčk) uzorak. Uzorak se sptuje rad doošeja zaključaka o raspodel slučaje promeljve - obeležja u osovom skupu, koja se azva teorjska raspodela. Umesto zraza: uzorak z osovog skupa sa pretpostavljeom raspodelom (recmo ormalom) često se korst krać term: uzorak z pretpostavljee raspodele (pr. ormale). 48

50 Jaso je da se e može očekvat potpuo tačo opsvaje l reprezetacja populacje a osovu aalze uzorka. Jedo od ajvećh ogračeja pr tome je svakako obm uzorka pod kojm se podrazumeva broj elemeata populacje zdvojeh u uzorak. Međutm, velča uzorka je jed faktor koj ogračava tačost zaključaka - čak velk uzorak može da dovede do pogrešog modela. Teorja uzoraka kao deo statstke, bav se problemom zbora takvog uzorka koj će obezbedt dovolju pouzdaost zaključaka o populacj. Takav uzorak, čja se struktura u odosu a posmatrao obeležje e razlkuje začajo od strukture osovog skupa, azva se reprezetatva uzorak. Da b uzorak bo reprezetatva, mora bt tako formra da svak elemet populacje ma jedaku šasu da, ezavso od ostalh, uđe u uzorak. Za takav uzorak kažemo da je slučaja uzorak. Formraje slučajog uzorka z ogračee populacje (recmo staovštvo), vrš se uz pomoć tablce slučajh brojeva koj se mogu ać u prručcma z statstke, l se mogu kompjutersk geersat pomoću odgovarajuće fukcje. Tablca slučajh brojeva formra se z dugačkog za cfara, 0-9, koj se seče a brojeve sa stm odabram brojem cfara (tablce z lterature ajčešće sadrže četvorocfree brojeve). Svaka od cfara 0-9 se u polazom zu brojeva prblžo pojavljuje jedak broj puta (dakle, sa relatvom frekvecom 0.). Najjedostavj postupak za formraje slučajog uzorka je sledeć. Sv elemet populacje se umeršu. Ako recmo osov skup ma maje od 00 elemeata, potreba je z slučajh dvocfreh brojeva (l se svak četvorocfre broj z tablce terpretra kao dva dvocfrea). Počev od asumce odabraog broja u tablc, uzmaju se redom slučaj dvocfre brojev u uzorak uključuju elemet ozače tm brojevma. Ako takav elemet e postoj, taj broj z tablce jedostavo spuštamo astavljamo postupak. Statstčka aalza Zadatak statstčke aalze je, kao što smo već avel, da a osovu formacja z uzorka zvede eke zaključke o osovom skupu. U postupku statstčke aalze mogu se zdvojt sledeće faze: statstčko posmatraje sređvaje podataka obrada auča aalza rezultata Statstčko posmatraje se sastoj u plaskom prkupljaju podataka o statstčkm jedcama putem aketa, posmatraja, mereja td. Tako a prmer, z slučajog uzorka obma dobjamo z od vredost (,,...,) Sređvaje podataka se sastoj u jhovom tabelarom grafčkom prkazvaju, da b smo dobl eku predstavu o raspodel posmatrae slučaje velče. Prv korak pr tom je uređvaje po velč dobjeog za od brojeva, a rezultat je uređe z koj se u statstc zove varjaco z:,,, Obrada aalza rezultata obuhvata matematčku obradu sređeh podataka jhovu terpretacju. 49

51 3. Emprjska raspodela Polazeć od varjacoog za,,, za svaku od vredost u zu može se odredt (apsoluta) frekveca pojavljvaja, m. Dobje rezultat je emprjska raspodela frekvec, koja predstavlja z parova: * * * (, m ), (, m ),,(, m ), k za koj se takođe kaže da predstavlja grupsae podatke. Prmetmo da je:, k m, Ako se za grupsae podatke zračuaju relatve frekvece ω m /, dobja se emprjska raspodela relatvh frekvec u oblku za parova: k k k Jaso je da pr tome važ, * * * (, ω ),(, ω ),,(, ω ), k k k k m k, ω Ako su u ptaju vredost eke dskrete slučaje promeljve X, tada emprjska raspodela relatvh frekvec predstavlja aproksmacju zakoa raspodele verovatoće slučaje promeljve X tj. teorjske raspodele može se prkazat tabelaro, u vdu trakastog djagrama l polgoa raspodele Što se tče rešavaja problema vezah za emprjsku raspodelu, o će se u Ecelu svest a formraje odgovarajućh tabela crtaje djagrama.. Prmer 3.. U grup od 5 studeata II gode studja su aketrajem dobje podac o starost u godama:,, 0, 3,, 4, 5,,, 3,,,, 3,,,, 5,, 6, 3,,,, Treba formrat emprjsku raspodelu starost studeata u apsolutm relatvm zosma. Rešeje Prvo treba formrat varjaco z a sledeć ač: U kolou C se upsuju se podac o starost u godama, o se mogu prepsat redom z zadataka, ako toga sortrat. Sortraje podatak u tabel se vrš tako što se obeleže podac klke a kocu Sort Ascedg 50

52 kao rezultat dobja se koloa C koja zgleda kao a slc (deso). Nako toga koršćejem fukcje COUNT prebrojavaju se podac. Fukcja se dobja z padajućeg meja Isert, opcje Fucto, z statstčkh fukcja odabere COUNT. Argumete fukcje predstavljaju člaov varjacoog za. U sledećem koraku formra se ova tabela, oa sadrž grupsae podatke o broju goda. Vredost za m se dobjaju opet koršćejem fukcje COUNT, to prebrojavajem podataka za određeu vredost *, a prmer : I a kraju se zračuavaju vredost ω, to kao odos m, za odgovarajuću grupu podataka. Ovde se pr kopraju formula a ostatak reda mora vodt račua o tome da je kostata, da je položaj mora bt fksra, tj. da se spred ozake reda koloe mora stavt zak $. Pošto je tabela koačo formraa crta se grafk. Iako je crtaje grafka već prethodo objašjeo, ovde će još jedom bt prkazao a kokretom prmeru. Crtaje se započje l odabrom Chart z padajućeg meja Isert, l klkom a kocu Chart Wzard. Tada se otvara ov prozor, u kome se bra tp grafka (Chart tpe), odabere se XY (Scatter). 5

53 Klke se a Net, u sledećem prozoru odabere kartca Seres, gde će se obeležt podac a osovu kojh se crta grafk. Na os treba da budu vredost za *, a a os za m ω. Serje podataka se dodaju klkom a dugme Add, a zatm se u poljma X values Y values upsuju odgovarajuće vredost. Klke se a Net, u sledećem prozoru urade ostala podešavaja grafka, kao što su ozake za osu, azv grafka slčo. Nako toga se poovo klke a Net u sledećem prozoru a Fsh, čme se crtaje grafka završava, a dodata podešavaja se rade a grafku, kada se desm tasterom mša klke a grafk odabere opcja format. 5

54 Pošto b ovde trebalo prkazat zavsost ω od * a sekudaroj os, desm tasterom se klke a serju ω, Format Data Seres, kada se otvor ov prozor klke se a kartcu As odabere opcja Plot Seres o Secodar as, potvrđuje se sa OK. Kao rezultat dobja se grafk sa prmarom sekudarom osom, tj. polgo raspodele starost studeata u apsolutm relatvm zosma. 53

55 Itervalo sređvaje podataka Ako je obm uzorka velk ako z (4.) sadrž velk broj međusobo razlčth vredost obeležja X, vrš se tzv. tervalo sređvaje podataka. Itervalo sređvaje se ače praktkuje kada su u ptaju podac o eprekdoj slučajoj promeljvoj. Iterval [a, b) kome prpadaju sve vredost X za uzorak, del se a k podtervala: [a, u ), [ u, u ), [ u, u 3),..., [ u k-, b) koj se azvaju klase. Občo se uzma da su klase jedake šre. Srede klasa ćemo ozačt * sa : * u + u,,..., k Frekvece m,,...,k sada predstavljaju broj vredost obeležja X koje prpadaju prvoj, drugoj,, k-toj klas. Za broj klasa e postoj strkto pravlo. Preporučuje se da oo bude od 5, zavso od obma uzorka [Vukadovc S., 990.], a u lteratur se sreću emprjske formule za zbor k, [Ahazarova S., Kafarov V., 985.]. Tabelar prkaz tervalo sređeh podataka dat je u Tab. 4.. Posledje tr koloe daju emprjsku raspodelu apsoluth emprjsku raspodelu relatvh frekvec. Tabela 4. Itervalo sređe podac klase srede klasa frekvece relatve frekvece [a, u ) * m ω [ u, u * ) m ω k [ u k-, b) * m k ω k k Pored polgoa raspodele, kao grafčk prkaz tervalo sređeh podataka korst se hstogram emprjske raspodele. To je z pravougaoka čje su osove terval [u -, u ), a vse odabrae tako da su m površe jedake relatvm frekvecama. Prmer 3.. Mereo je vreme zvođeja eke rade operacje u sekudama: Formrat tabelu tervalo sređeh podataka u 5 klasa hstogram. 54

56 Rešeje U ptaju je eprekda slučaja promeljva. Naravo, podac z uzorka su uvek dskret, al samo obeležje može bt dskreto l kotualo (kao što je ovde slučaj). Najmaj terval u kome leže sv podac, a jegova šra je deljva sa 5, je terval [, 3), pa ćemo usvojt klase šre, d (3 - )/5. Kao u prethodom prmeru formra se varjaco z (koloa D a slc), a osovu koga se formra ova tabela. Prva koloa ove tabele sadrž azve klasa, druga srede klasa, treća frekvece, četvrta relatve frekvece, a peta vsu pravougaoka u hstogramu, tj. odos ω/d. U prvu kolou se samo upšu podac. Da b se zračuale srede klasa korst se fukcja AVERAGE. Oa se kao ostale fukcja pozva z meja Isert, opcje Fucto, a alaz se u statstčm fukcjama. Argumet predstavlja skup vredost čja se sredja vredost traž. 55

57 Treća koloa se popujava kao prethodom prmeru pomoću fukcje COUNT, četvrta kao odos broja m, a peta kao odos ω d, u ova dva slučaja mora se vodt račua o tome kako se zapsuju d, jer se rad o kostatama. Dalje se pomoću Chart Wzard-a crta hstogram. U prvom koraku (Chart Tpe) bra se Colum. Dalje se a Seres Add ubacuju podac a osovu koj se crta hstogram, u polju Values se ozačavaju vredost ω/d, u polju Categor (X) as labels klase, u kokretom slučaju obelež se ćelje od E do E6. U trećem koraku zvrše se podešavaja oko aslova, osa legede, u četvrtom se završava crtaje grafka. Kao rezultat dobja se sledeć hstogram. 56

58 Emprjska fukcja raspodele Pretpostavmo da smo grupsajem podataka z varjacoog za,,..., (4.), dobl emprjsku raspodelu frekvec: ( *, m ),,..., k pr čemu, u slučaju tervalo sređeh * podataka, vredost predstavljaju srede klasa (vd tabelu 4.). Neka je blo koja vredost a -os. Ukupa broj tačaka, koje leže levo od odabrae tačke, zove se kumulatva frekveca N() dobja se kao suma: N( ) * < Deljejem kumulatve frekvece za tačku ukupm brojem podataka, dobjamo relatvu kumulatvu frekvecu, F * ( ), m F ( ) * N( ) * < ω (*) Jedača (*) predstavlja defcju emprjske fukcje raspodele. Grafk emprjske fukcje raspodele F * ( ), potpuo je aaloga grafku fukcje raspodele F() za dskretu slučaju promeljvu (Sl..3). Emprjska fukcja raspodele predstavlja aproksmacje fukcje raspodele populacje (teorjska fukcja raspodele) ukolko je obm uzorka, već, aproksmacja će bt bolja (teorema Glveka). Prmer 3.3 Za uzorak z prmera 3. acrtat grafk emprjske fukcje raspodele. Rešeje Prvo se formra varjaco z, kao u prmeru 3., odred broj elemeata pomoću fukcje COUNT, a osovu toga formra tabela. Prve tr koloe (*, m ω l w) dobjaju se a već pozat ač. Četvrta koloa dobja se pomoću fukcje SUM to za svaku ćelju posebo. 57

59 Posledja koloa F(*+0) dobja se kao N(*+0)/, kao što se vd a slc. Opet se mora uzet u obzr da je kostata a odgovarajuć ač je obeležt u formul. Formula za prv red u kolo može se koprat a preostale redove. Pošto je formraa tabela crta se hstogram za F(*+0) pomoću Chart Wzard-a. F(*+0) Prmer 3.4 U tabel je dat je uzorak sa grupsam podacma. Procet a) sredju vredost dsperzju osovog skupa. b) stadardu grešku sredje vredost uzorka Tabela uz Prmer 3.4 Klase Sreda klasa Frekvece * m

60 Rešeje Prvo se formra ova tabela: a) Na osovu tabele pomoću formula prkazah a slc zračauavaju se sredja vredost dsperzja. b) Na slča ač se po odgovarajućm formulama se zračuava stadarda greška 59

61 4. Itervale ocee parametara raspodele 60

62 Iterval povereja Ocee parametra θ, u vdu tervala, zovu se tervale ocee. Itervala ocea se zove * * terval povereja l pouzdaost. Iterval ( θ, θ ) je terval pouzdaost l terval povereja za parametar θ, sa voom pouzdaost l povereja γ, ako sa uapred zadatom verovatoćom, γ možemo da tvrdmo da sadrž taču vredost parametra, odoso ako važ: Jaso je da je: * * P ( θ < θ < θ ) γ α * * P ( θ θ θ θ ) α pa se verovatoća α - γ azva rzk, jer predstavlja verovatoću da tača vredost * * parametra bude zva procejeog tervala. Grace tervala pouzdaost θ,θ se azvaju grace pouzdaost l povereja, a šra tervala θ * θ * predstavlja meru preczost tervale ocee parametra (što je šra tervala maja, preczost tervale ocee je veća). Za terval povereja kažemo da je smetrča, ako važ: P ( θ < θ ) P( θ > ) * * θ α / 4. Ocea sredje vredost ormale raspodele sa pozatom dsperzjom Pretpostavmo da je slučaj uzorak obma uzet z populacje sa ormalom raspodelom N (µ,σ), čja je dsperzja σ pozata. Uzoračka sredja vredost X tada ma raspodelu, X : N (, σ ) µ, σ σ Odredmo sada, za zadatu verovatoću, γ gracu apsolutog odstupaja artmetčke srede X od jee sredje vredost µ, sa jem stadardm odstupajem σ σ kao jedcom mere (kolko stadardh odstupaja da važ: σ, zos ta graca?). Odredmo dakle faktor z α, takav ( X µ < zασ ) γ α P (4.) gde je γ zadato. Uzećemo jedaču Zač da treba u jedač, P( X < ε) Φ ε σ prmet je a posmatra problem. 6

63 apsoluto odstupaje X zamet sa X µ, za gracu odstupaja ε uzet z α σ, σ zamet sa σ Rezultat je: ( X µ < z α σ ) Φ( z ) γ P Dakle, traže faktor z α se dobja kao rešeje jedače: α α Φ( z α ) odoso predstavlja ou vredost stadardzovae slučaje promeljve sa ormalom raspodelom za koju Laplasova fukcja dobja vredost ( α) ekvvalete sledeće relacje. Relacj X µ < zα σ su µ zα σ < X < µ + zασ (4.a) X z σ < µ < X + z σ pa se jed. (4.) može terpretrat a dva razlčta ača: α α (4.b) Relacja (4.a) predstavlja događaj da uzoračka sredja vredost, kao slučaja promeljva, upade u terval sa fksm gracama (z α, σ µ su kostate), koga možemo zvat verovata terval za uzoračku sredju vredost, X. Jedača (4.), tako defše grace verovatog tervala za X, pod uslovom da je pozata sredja vredost µ * * Događaj (4.b) uz zadatu verovatću γ, po defcj P ( θ < θ < θ) γ α predstavlja terval povereja za epozatu sredju vredost µ, zračuat z datog uzorka. Zaključujemo da, pr pozatoj dsperzj osovog skupa, terval pouzdaost sa voom pouzdaost γ - α, za sredju vredost osovog skupa µ, glas: ( z σ /, + z σ / ), l µ ± z σ / α α α (4.3) α gde je z α defsao jedačom Φ( z α ) zvaćemo ga koefcjet pouzdaost (J.O.Brd). Ekvvaleta defcja koefcjeta pouzdaost je (vd slku 4.): oa vredost stadardzovae slučaje promeljve sa ormalom raspodelom za koju važ, Zasta, ( X z ) α P 0 (4.3a) α 6

64 α ( 6.5) P ( ) X µ X µ z σ P z P( X z ) α α 0 σ α f 0 ( ) e π Slka 6.. Ilustracja jedače 4.3a U Tab. 4.. date su vredost koefcjeta pouzdaost za tr voa pouzdaost γ, koje se ajčešće korste u praks. Tabela 4. - koefcjet pozdaost, z α γ α z α Treba zapazt da su grace tervala povereja (4.3) slučaje vredost ( X je slučaja velča). Dakle terval povereja predstavlja jeda slučaja terval, koj sa zadatom verovatoćom γ obuhvata epozatu al fksu vredost µ. Tako, ako b postupak uzmaja uzorka određvaja tervala povereja poavljal, svak put b dobl drugačj terval povereja, al b mogl očekvat da će u (γ 00) % (recmo 95%) svh slučajeva zračuat terval pouzdaost obuhvatt parametar µ. Jaso je sada zašto se za verovatoću γ kaže da predstavlja vo pouzdaost tervale ocee. Artmetčka sreda četr zmeree temperature peć optčkm prometrom je 50 0 C. Ako je greška mere metode, σ 0 0 C, a) Nać sa pouzdaošću od 95% terval u kome lež prava vredost temperature. b) Kolko je poovljeh mereja temperature eophodo, da b preczost procee odstupaja tače temperature od zmeree (sa datm voom pouzdaost) bla 5 0 C? Rešeje a) Za γ 0.95, z tablce : z α z , pa je, terval povereja sredje vredost mereh temperatura peć: 63

65 odoso, sa pouzdaošću od 95%, prava temperatura peć, t lež u tervalu 40. < t < C b) Preczost procee predstavlja polušru tervala pouzdaost, pa je uslov: σ 0 z α Odoso u Ecelu ovo zračuavaje zgleda ovako: Usvaja se kao mmala broj eophodh mereja: 6 Aproksmacja za velke uzorke z raspodele sa epozatom dsperzjom U skladu sa cetralom gračom teoremom, za veće uzorke z blo koje raspodele sa parametrma µ σ, prmeljva je aproksmacja da artmetčka sreda X ma ormalu raspodelu N ( µ, σ ). S druge strae, za velke uzorke ( 30) je prmeljva aproksmacja: s ( σ ) σ pa se za veće uzorke ( 30) z raspodele sa epozatom dsperzjom, terval (4.3) aproksmra tervalom: bez obzra a tp raspodele. ( z s, + z s / ), l z s / α / α µ ± α (4.4) 64

66 Prmer 4. Obavljeo je 00 mereja mase čokolada, čja je deklarsaa masa 00g (prva koloa tabele). a) Odredt grace u kojma se alaz sredja masa čokolada od 00grama, sa pouzdaošću od 90%, b) Poovt proraču za vo pouzdaost 99%. c) Da l se sa pouzdaošću od 90% može tvrdt da je sredja masa čokolade od 00grama maja od omale (00g), tako da ukazuje a poremećaj u procesu? Da l se sta tvrdja može dat sa sa pouzdaošću od 99%? Rešeje Najpre zračuavamo uzoračku sredju vredost uzoračku dsperzju z formula za grupsae podatke a) Za pouzdaost 90%, z. 64, pa je polušra tervala pouzdaost: α 65

67 b) Za pouzdaost 99%, z. 58, α µ ± 0.46g Prema očekvaju, sa povećajem voa pozdaost smajea je preczost tervale ocee (šr terval) c) Sa pouzdaošću γ 0.9, sredja masa prozvedeh čokolada od 00grama lež u tervalu: ( , ) ( 98.60, 99.5) Pošto taj terval e obuhvata omalu vredost 00g lež spod te vredost, sa datom pouzdaošću možemo da tvrdmo da je sredja vredost populacje, tj. sredja masa prozvedee čokolade maja od deklarsae. 4. Ocea sredje vredost ormale raspodele epozate dsperzje U slučajevma kada je dsperzja σ epozata uzorak je velk ( < 30) određvaje tervala pouzdaost sredje vredost populacje sa ormalom raspodelom N (µ, σ), bazra se a Studetovoj l t - raspodel. Prmer 4.3 Proceat bakra u ekoj supstac mere je 6 puta artmetčka sreda 6 mereja je 4. %. Odredt terval u kome sa pouzdaošću γ 95% lež prav sadržaj bakra, a) Ako je pozata greška metode, σ.5 b) Iz datog uzorka procejea je greška metode, s. 66

68 Na osovu ovh podataka prema formul se a sledeć ač zračuava terval: Kada je pozata procejea greška metode, zračuava se t d,α pomoću fukcje TINV. Fukcja se pozva z padajućeg meje Isert, opcje Fucto, odabrom TINV z statstčkh fukcja. Staksa: TINV(Probablt, Deg_freedom) Probablt verovatoća da vredost bude zva tervala (,). Deg_freedom je broj koj ozačava broj stepe slobode karakterstča za raspodelu. Rezultat fukcje je vredost za koju Studetova raspodela t ma zadatu verovatoću. U kokretom slučaju kako je pouzdaost 95%, verovtaoća je , što se upsuje u polje Probablt, a broj stepe slobode je -6-5, upsuje se u polje Deg_freedom. Dobje rezultat je vredost t d,α, koja se dalje korst za zračuavaje tervala po formul: 67

69 Prmer 4.4. Rad provere tačost metode, fotometrjskom ttracjom je određva berljum u prob sa pozatom kolčom berljuma od 3.79mg. Rezultat poovljeh aalza (mg) su: 3.67, 3.77, 3.77, 3.69, 3.73, 3.77, 3.77, 3.77, 3.7, 3.69 a) Procet terval pouzdaost za sstematsku grešku (bas) metode, b: b µ 3.79 sa 95% voom pouzdaost, gde je µ sredja vredost zamšljeog osovog skupa, koj sadrž beskoača broj svh mogućh rezultata određvaja berljuma u datoj prob. Rešeje Prvo sve podatke treba uet u tabelu a sledeć ač: a) Ocea sstematske greške z datog uzorka od 0 mereja je: * b Sredja vredost se zračuava pomoću fukcja AVERAGE. terval pouzdaost za jeu sredju vredost b, dobja se kao b b ± * s t9,0.05 Iz datog uzorka zračuava se: 3.733, b * Zatm se pomoću fukcje TINV zračuava t: 68

70 s se zračuava pomoću fukcje STDEV Fukcja STDEV procejuje stadardu devjacju a osovu uzorka. Staksa: STDEV(umber, umber...) Number, umber.. je do 30 brojeva koj se odose a uzorak populacje. To može da bude samo jeda z l refereca za umesto argumeata rastavljeh zarezom. Fukcja STDEV pozva se z meja Isert, zborom opcje Fucto, Statstcal, STDEV. Iterval je dalje : Prmer 4.5 Za uzorke u Prmeru 3. zračuat tervalu oceu stadardog odstupaja sa pouzdaošću 90%. Rešeje: Prvo treba formrat sledeću tabelu: 69

71 Zatm treba upsat sledeće podatke zračuat d s d Dalje se zračuava s s po formul: Pomoću fukcje CHIINV zračuava se : χ χ 6.57, χ χ , α 4,0.95 4, α Fukcja CHIINV se takođe alalaz u statstčkm fukcjama. Rezultat fukcje je verz fukcje raspodele h- kvadrat. Fukcja CHIINV do rezultata dolaz teracjama. Kada se zadda vredost verovatoće, fukcja CHIINv prav teracje dok se e dobje rezultat tača do ± Ako fukcja e kovergra posle 00 teracja, rezultat će bt vredost greške #N/A. Staksa: CHIINV (Probablt, Deg_freedom) Probablt - verovatoća raspodele h-kvadrat za koju se zračuava. Deg_freedom broj stepe slobode. Pa je : 4,

72 7

73 5. Aalza korelacje 7

74 Predmet ove glave je aalza međuzavsost (korelacje) dve eprekde slučaje promeljve, a baz paralelog praćeja jhovh vredost. Najočgledj prmer međuzavsost dve slučaje velče su vsa masa čoveka u ptaju je e fukcoala, već stohastčka veza zmeđu ta dva obeležja. Drug prmer je utcaj sadržaja eke kompoete u složeom materjalu, recmo građevskom, a eko svojstvo tog materjala, recmo čvrstu. Želmo metodama statstke da, a osovu mereja, dođemo do zaključka da l posmatra sadržaj kompoete utče a čvrstu građevskog materjala uz to, kolko je ta korelacja zražea (jaka), da l je oa poztva l egatva, tj. da l sa porastom sadržaja posmatrae kompoete čvrsta građevskog materjala raste l opada. Djagram raspaja Za statstčku aalzu korelsaost dve slučaje promeljve (obeležja) X Y, eophodo je raspolagat parovma (odgovarajućh) vredost promeljvh: ( ),,, (5.),..., l tzv. vezam uzorkom (5.), umesto sa dva evezaa l ezavsa uzorka:,,...,,,... m gde su mereja epovezaa. (, ) ( ) Prv korak u aalz korelacje je ucrtavaje uređeh parova (, ), kao tačaka, u koordat sstem. Dobje djagram se azva djagram raspaja (scatter dagram). Na osovu rasporeda tačaka u djagramu, može se grubo procet: da l postoj stohastčka zavsost promeljvh (korelacja), ako postoj korelacja, da l je oa leara l eleara, ako postoj korelacja, da l je oa slaba l jaka, Slka 5.. Ilustracje leare korelacje: a) jaka poztva, b) slaba poztva, c) egatva 73

75 a) b) Slka 5.. (a) Neleara korelacja, (b) Nema korelacje Na slkama 5.a - c, ekspermetale tačke leže oko eke prave, što daje osovu za pretpostavku da su X Y prblžo l tačo, learo povezae. Ako tačke leže blzu prave (Sl 5.a), u ptaju je jaka korelacja, a ako je raspaje tačaka oko prave velko, korelacja je slaba (Sl.5.). Slke (5.a,b), ukazuju a poztvu korelacju l poztva tred, jer su velke vredost za Y, uglavom, u paru sa velkm vredostma X, dok Sl.5.c lustruje egatvu korelacju l tred, gde su velke vredost za X praćee uglavom malm vredostma za Y. Slka 5.a lustruje slučaj eleare korelacje l eleare stohastčke veze, jer se tačke raspaju oko eke krve. Koačo, a Sl. 5.b, e uočava se povezaost zmeđu X Y, tj. ema poztvog egatvog treda, pa zaključujemo da su oe ezavse l ekorelsae. Iz teorje verovatoće zamo da djagram (5.a-c, 5.a), a kojma su ekspermetale tačke raspoređee duž eke prave l krve ukazuju a (fukcoalu) zavsost uslove sredje vredost slučaje promeljve Y od druge promeljve X. Dalje, lja a djagramu raspaja, u blz koje leže ekspermetale tačke, predstavlja u stvar grubu oceu z datog uzorka (5.), fukcje (lje) regresje: µ ϕ( ) Pr tom, ako je zavsost pravoljska, zač da dvodmezoala promeljva (X,Y) ma ormalu raspodelu. U ovom materjalu, ogračćemo se a learu korelacju, što zač, da će se statstčka aalza bazrat a pretpostavc o ormaloj raspodel dvodmezoale promeljve (X,Y), da će predmet aalze bt uzoračk koefcjet korelacje, kao mera jače pokazatelj poztve l egatve korelacje 74

76 75 5. Uzoračk koefcjet korelacje Oceu koefcjeta korelacje slučajh promeljvh X Y : σ σ σ ρ z uzorka (5.) dobćemo z ocea kovarjase σ, stadardh odstupaja σ, σ, z stog uzorka: s s s r (5.) Neprstrase ocee s s stadardh odstupaja, dobjaju se z vredost statstke S, s s ) (, ) ( (5.3) a s kao: s ) )( ( (5.4) tj. kao vredost statstke: Y Y X X S ) )( ( (5.5) za koju se može pokazat da predstavlja eprstrasu oceu kovarjase σ (3.6b). Smea zraza (5.3) (5.4) u (5.) trasformacje aaloge ooj, koja je prmejea za zvođeje praktče formule za račuaje uzoračke dsperzje (4.4a), daju sledeću praktču formulu za zračuavaje uzoračkog koefcjeta korelacje:, ) )( ( r r (5.6) U matematčkoj statstc se dokazuje da je ocea koefcjeta korelacje ρ dobjea formulom (5.6) kozsteta asmptotsk eprstrasa. Iz zračuate vredost uzoračkog koefcjeta korelacje, može se dat ocea jače leare korelacje a osovu emprjskog pravla [Vukadovć, 990] datog u Tabel 5..

77 Tabela 5. - Jača leare korelacje r r 0.3 jača leare veze: ezačaja korelacja 0.5 < r < 0.7 začaja korelacja 0.7 r 0.9 jaka korelacja r > 0.9 vrlo jaka korelacja Prmer 5. Prmećeo je da je vsok sadržaj supstace A u srov, občo praće vsokm sadržajem supstace B. Rad utvrđvaja evetuale leare korelacje zmeđu sadržaja dve kompoete zvršeo je mereje sadržaja A B u 0 slučajh uzoraka srove. Rezultat su dat u prve dve koloe Tabele 5.. Tabela uz Prmer 5. (% A) (% B) Rešeje Tačke (, ) treba ucrtat u djagram raspaja. Očgleda je poztva leara tred: porast sadržaja jede suspstace, praće je porastom sadržaja druge. Kao meru jače leare veze zmeđu sadržaja supstac A B, mže se zračuat po jed. (5.6) uzoračk koefcjet korelacje. Pomoć proraču su dat u tabel. r

78 (%B) (%A) Dakle uzoračk koefcjet se može zračuat po formul, al postoj zato jedostavj ač za jegovo zračuvaje, gde su potreb pomoć proraču. Uzoračk koefcjet korelacje može se zračuat koršćejem fukcje PEARSON. Fukcja PEARSON alaz se u statstčkm fukcjama, rezultat je Pearso-ov koefcjet korelacje r koj pokazuje learu korelacju dva skupa podataka. Staksa: PEARSON(Arra, Arra) Arra je skup ezavsh podataka. Arra je skup zavsh podataka. 77

79 Prema emprjskom krterjumu (Tab.5.), u ptaju je vrlo jaka leara veza. 5. Regresoe prave Ako smo a osovu velče uzoračkog koefcjeta korelacje r, zaključl da posmatrae slučaje promeljve su ezavse, korso je zračuat koefcjete u pravoljskm zavsostma jede od druge promeljve, koje predstavljaju ocee z datog uzoraka (5.), learh regresoh fukcja: σ µ / µ + ρ ( µ ) (3.35b) σ σ µ / µ + ρ ( µ ) (3.36b) σ Dobjee pravoljske zavsost zvaćemo regresoe prave (regresso les) z jh možemo da procemo l predvdmo (predct) vredost jede slučaje promeljve a osovu vredost druge. Regresou pravu (), kao oceu regresoe fukcje (3.35b) ćemo, logčo, tražt u oblku: + r s ( ) b + b 0 s odakle slede formule za zračuavaje agba b odsečka b 0 : 78

80 79 ) )( ( s s s s r b (5.7a) b b 0 (5.7b) Slčo, regresou pravu (), dobjamo kao oceu regresoe fukcje (3.36b): c c s s r 0 ) ( + + formule za agb c odsečak c 0 su: ) )( ( s s s s r c (5.5a) c c 0 (5.8b) Prmer 5. Iz podataka dath u prethodom prmeru, potrebo je a) procet sadržaj kompoete B u srov, ako oa sadrž 55% supstace A b) procet sadržaj kompoete A u srov, ako oa sadrž 0% supstace B Rešeje a) Tražeu procea dobja se z regresoe prave (). Dakle prvo je potrebo zračuat parametre ove prave. Paramet se mogu zračuat koršćejem statstčkh fukcja SLOPE INTERCEPT. Za 55, račua se z regresoe prave, odoso proceu sadržaja supstace B:

81 Rezultat fukcje SLOPE je agb leare regresje. Staksa: SLOPE(Kow_'s, Kow_'s) Kow_'s - je matrca l skup ćelja zavsh umerčkh pojedačh podatak. Kow_'s je skup ezavsh pojedačh podataka. Rezultat fukcje INTERCEPT je tačka preseka leare regresje sa osom. Staksa: INTERCEPT(Kow_'s, Kow_'s) Kow_'s - je matrca l skup ćelja zavsh umerčkh pojedačh podatak. Kow_'s je skup ezavsh pojedačh podataka. b) Procea sadržaja supstace A za dat sadržaj supstace B, e račua se z prethodo dobjee prave (rešavajuć jeu jedaču po ), već z prave, koja predstavlja oceu regresje po čj su parametr: 80

82 Za sadržaj kompoete B, 0, proceje sadržaj druge kompoete bće: b0 + a % što se veoma dobro slaže sa ekspermetalom vredošću (58%). To se moglo očekvat, s obzrom a jaku korelacju (r > 0.9), tj. prblžavaje leare stohastčke zavsost, fukcoaloj. 5.3 Provera začajost korelacje Ako je dobjea vredost uzoračkog koefcjeta korelacje (5.6) mala po apsolutoj vredost, postavlja se ptaje da l oa ukazuje a postojaje leare korelacje zmeđu slučajh promeljvh X Y, l je samo rezultat slučajh varjacja vredost statstke R, defsae formulom (5.6), oko ule kao jee sredje vredost. Zato proveravamo statstčku začajost zračuatog uzoračkog koefcjeta korelacje l, drugm rečma hpotezu: H : 0 (5.9) 0 ρ Teorjska osova za formulsaje testa je sledeć stav (teorema): Ako slučaja promeljva (X,Y) ma dvodmezoalu ormalu raspodelu, sa ultom vredošću koefcjeta korelacje ρ (X Y su ezavse), tada slučaja promeljva: T R (9.9) R gde su: - obm uzorka (5.) 8

83 R - uzoračk koefcjet korelacje (5.6) ma t - raspodelu sa d - stepea slobode. Odatle slede krterjum začajost uzoračkog koefcjeta korelacje, odoso odbacvaja hpoteze (5.9) dat su u Tab.5. Tabela 5. - Testraje hpoteze H 0 : ρ 0 Alteratva hpoteza, H ρ 0 ρ > 0 ρ < 0 Statstka: R T R vredost za R se račua z Krterjum odbacvaja hpoteze: t t t > t, α > t, α > t, α Prmer 5.3 Izmeree vredost sadržaja kalaja u legur (, %) odgovarajuće zmeree tačke topljeja (, 0 C) date su u prve dve koloe tabele:, % , 0 C , % , 0 C Procet koefcjet korelacje zmeđu sadržaja kalaja tačke topljeja testrat jegovu začajost sa α0.05. Rešeje Pomoću fukcje PEARSON zračuava se koefcjet korelacje r Testra se hpoteza: H 0 : ρ 0 Pošto je pozato da povećaje sadržaja kalaja u legur po pravlu sžava temperaturu topljeja legure (egatva korelacja) to se, u clju smajeja rzka prhvataja pogreše ulte hpoteze, bra jedostra test, tj. alteratva hpoteza: H : ρ < 0 8

84 Vredost T - statstke zračuava se pomoću fukcje TINV, a zatm se po formul račua krtča vredost: r t.7, t r ,0..75 Pošto je.7 <.75, zvodmo zaključak da rezultat mereja e ukazuju a začaju korelacju zmeđu sadržaja kalaja tačke topljeja legure. 5.4 Iterpretacja koefcjeata korelacje S obzrom a smsao teoretskog koefcjeta korelacje ρ, jegovu proceu r, ma smsla račuat samo kada ma dkacja (teoretska zaja, djagram raspaja) da je veza zmeđu posmatrah promeljvh leara l prblžo leara. Ako je veza eleara, uzoračk koefcjet korelacje r je merlo jače korelacje može bt blzak ul, uprkos jakoj vez. Takođe je važo mat u vdu da statstčk začaja vredost koefcjeta korelacje je dokaz da zmeđu posmatrah promeljvh postoj kauzala (suštska) veza. Tako, vsoka vredost r može bt rezultat delovaja treće promeljve, koja se meja u toku ekspermeata, a koja je prouzrokovala stovremee promee posmatrah promeljvh prvd jhove međuzavsost. Istruktva duhovt prmer daju Boks sar. [Bo G., Huter W Huter S, 978]. U perodu od 7 goda, a kraju svake gode, je određva broj staovka Oldeburga broj roda zapažea je jaka leara korelacja zmeđu te dve velče. Da l z toga treba zaključt da je porast atalteta prouzrokova porastom broja roda (rode doose decu?)? U ovom prmeru, treća promeljva, sa kojom su rasle posmatrae dve jeste vreme. U laboratorjskm pogoskm merejma, prmer "treće" l "ekotrolsae" promeljve je temperatura, koja deluje a velk broj fzčko-hemjskh parametara ako se e kotrolše (drž kostatom) u toku praćeja eke dve velče, može stvort prvd kauzale veze zmedju jh. Tako, da b se utvrdla suštska povezaost zmeđu dve promeljve, eophodo je dobro pozavat jhovu fzčko-hemjsku prrodu s jede strae, vrlo pažljvo kotrolsat ekspermete, s druge strae. 83

85 ZADACI 5. Rad provere Njutovog zakoa hlađeja, prema kome temperatura hlađeog medjuma, prblžo learo opada sa vremeom, zvršea su mereja dobje rezultat: Vreme, m Temper. 0 C Izračuat a tr decmale koefcjet korelacje a osovu jegove vredost ocet jaču korelacje je zak. 5. Rad provere Hukovog zakoa (leara veza zmeđu jače sle deformacje) dobje su sledeć rezultat mereja: Sla, N Istezaje, mm Izračuat a tr decmale koefcjet korelacje a osovu jegove vredost ocet jaču korelacje je zak. 5.3 Dat su ekspermetal podac: : : a) Nacrtat djagram raspaja a osovu jega procet jaču zak korelacje b) Izračuat koefcjet korelacje a tr decmale c) Izračuat koefcjete regresoh pravh () (), sa tačošću od 3 decmale d) Izračuat, sa jedom decmalom, za 6 za 9 e) Testrat začajost koefcjeta korelacje sa voom začajost α Praće je pros (, %) eke supstace u procesu, a razlčtm temperaturama (, 0 C):, 0 C, %, 0 C, % a) Nacrtat djagram raspaja a osovu jega procet jaču zak korelacje b) Izračuat koefcjet korelacje (sa tr decmale) provert jegovu začajost sa voom α 0.0 c) Izračuat odsečak regresoe prave () sa jedom decmalom agb sa 4 decmale. d) Izračuat pros a temperatur 60 0 C 84

86 6. Regresoa aalza 85

87 Često, od dve slučaje promeljve, jedu promeljvu (X) smatramo ezavso-, a drugu (Y) zavso-promeljvom. Tako je u Prmeru 8.3, logčo sadržaj kalaja u legur smatrat ezavso-, a temperaturu topljeja legure zavso-promeljvom. Buduć da daje sredju vredost promeljve Y za zadatu vredost X, ajbolja fukcja za predskazvaje vredost Y za dato X je regresoa fukcja: µ ϕ( ) Tako je u mogm praktčm problemma u auc tehc od teresa ać prblžu regresou fukcju predmet regresoe aalze je formulsaje prblžh regresoh fukcja, koje se azvaju regresoe jedače l emprjske formule (jedače), a osovu uzorka (8.). Zadatak regresoe aalze obuhvata: Izbor oblka regresoe fukcje, µ ϕ(, β0, β,..., βk ) (6.) gde su β j, j 0,,...,k parametr l koefcjet, koj fguršu u fukcj (6.) zovu se prav l teorjsk regreso koefcjet. Ocejvaje regresoh koefcjeata β j, j 0,,...,k, tj. određvaje jhovh prblžh vredost: b j, j 0,,...,k, tako da regresoa jedača, ) ϕ(, b, b,..., b ) (6.) ( 0 k predstavlja što bolju aproksmacju regresoe fukcje (6.). Koefcjet b j se zovu emprjsk regreso koefcjet l parametr u emprjskoj formul. Statstčku aalzu dobjee jedače: preczost predskazvaja, terval povereja teorjskh regresoh koefcjeata td. Izbor oblka regresoe jedače (emprjske formule) Iz defcje regresoe fukcje, sled da zbor oblka regresoe jedače (6.) zahteva pozavaje raspodele verovatoće dvodmezoale slučaje promeljve (X,Y). Tako, ako je oa ormala, zvel smo (Pogl. 3.6) pravoljsku zavsost: σ µ / µ + ρ ( µ ) µ β µ + β σ sa teorjskm koefcjetma regresje: σ β0 β ρ, β0 µ σ Regresoa jedača l emprjska formula tada glas: 0 ( ) b + b β µ 86

88 čj parametr b 0 b predstavljaju ocee teorjskh koefcjeata β 0, β tutvo smo h zvel u Pogl. 8. (Jed. 8.7a,b). Može se pokazat da te formule daju ajverodostojje ocee teorjskh regresoh koefcjeata, dakle oe koje b dobl prmeom metode maksmale verodostojost (Pogl. 4.4). Kako u opštem slučaju, dvodmezoala raspodela je pozata, problem zbora oblka regresoe jedače l emprjske formule se rešava prblžo a osovu: teoretskh zaja skustva u vez sa utcajem eke fzčke velče X a drugu fzčku velču Y djagrama raspaja ekspermetalh tačaka (, ),,,..., Na prmer, pozato je da temperatura ma jak utcaj a brzu hemjske reakcje. U hemjskoj ketc se zraz za brzu r epovrate hemjske reakcje, ajčešće traž u oblku: mol r ( c, c,..., T ) k( T ) f ( c, c,...) 3 s m gde su c,c,..., molske kocetracje reaktaata, a k(t) se zove kostata brze hemjske reakcje, mada zavs od temperature. Tako se pr sptvaju utcaja temperature a brzu eke reakcje, mer temperatura T(K) ekspermetalo određuju odgovarajuće vredost kostate brze hemjske reakcje k. Na osovu pozavaja osovh zakotost u hemjskoj ketc, emprjsku jedaču k(t) tražmo u oblku pozate Arejusove (Arreus) formule: k( T ) k e E / RT 0 b e b / T 0 Zbog svoje jedostavost osobe da mogu dobro da aproksmraju razlčte fukcje, kao emprjske formule se često korste polom drugog všeg stepea: k ( ) b + b + b + b ( k ) (6.3) 0 k Ako odabraa emprjska formula, ) f (, b, b,..., b ) (6.4) ( 0 k ema kao osovu regresou fukcju (3.3a), već ma čsto emprjsk karakter, tada se aravo e može govort o parametrma b j, j 0,,...,k kao oceama teorjskh regresoh koefcjeata. Statstčka aalza regresoe jedače Ovo je veoma slože problem, jer zahteva pozavaje raspodela emprjskh regresoh koefcjeata, b j, j 0,,...,k, kao fukcja uzorka. Tako je o, u opštem slučaju rešv samo uz pretpostavku da ezavsa promeljva je slučaja, već determsaa (kotrolsaa) promeljva. Drugm rečma, ekspermetale vredost,,,.., u uzorku (8.) su uapred odabrae l fksrae. Praktčo, ovaj uslov će bt zadovolje ako su slučaje varjacje (greške mereja) u vredostma slučaje promeljve Y mogo veće od oh u vredostma X ( σ >> ). Na prmer, pr određvaju koefcjeata u Arejusovoj zavsost kostate brze σ 87

89 hem. reakcje od temperature, slučaje greške mereja temperature su daleko maje od slučajh grešaka pr određvaju kostat brze reakcje (posreda mereja). 6. Metod ajmajh kvadrata Prcp ajmajh kvadrata je formulsao Ležadr (Legedre): ajverovatja vredost blo koje velče, koju određujemo a baz poovljeh mereja, je oa za koju je suma kvadrata odstupaja mereja od te vredost ajmaja. Uzmmo a prmer da je rad procejvaja tače vredost r eke fzčke velče, zvedeo poovljeh mereja, sa rezultatma:,,,..., pretpostavmo da mereja maju ormalu raspodelu da e sadrže sstematske grube greške. Prema prcpu ajmajh kvadrata, kao ajverovatju vredost za r uzmamo ou za koju suma kvadrata odstupaja: S( r) ( r) ma mmum. Dobjamo je z uslova mmuma fukcje S(r): kao: ds dr r ( r) Prepozajemo artmetčku sredu, za koju smo u Pogl. 4.5 pokazal, da predstavlja ajverodostojju oceu sredje vredost rezultata mereja kao slučaje velče, koja je, pod uslovom da mereje e sadrže sstematske grube greške, upravo jedaka tačoj vredost meree velče (Pogl..3). 0 Određvaje parametara u emprjskoj formul Neka raspolažemo ekspermetalm tačkama (, ),,,...,. Pretpostavmo, za početak, da su svh vredost ezavso promeljve u uzorku razlčte tj. da ema poovljeh mereja zavso promeljve za jedu vredost ezavse. Neka smo odabral oblk emprjske formule (6.4), pr čemu je eophodo da broj parametara (k+) u formul, bude maj od broja ekspermetalh tačaka: k + < Traže se vredost parametara b j, j 0,,...,k u odabraoj emprjskoj formul, takve da se račuske vredost zavso promeljve dobjee z je: rac f (, b0, b,..., bk ),,,..., (6.5) 88

90 ajmaje razlkuju od ekspermetalh (z uzorka):,,,..., u smslu prcpa ajmajh kvadrata, a to zač da suma kvadrata odstupaja e,,,..., ekspermetalh od račuskh vredost zavso promeljve: rac S S( b0, b,..., bk ) e ( ) ( > k + ) (6.6) bude ajmaja. Geometrjsk terpretrao, braju se tako vredost parametara, da se krva (6.4) "provlač" što blže ekspermetalm tačkama (Sl.6.), pr čemu je mera odstupaja krve od ekspermetalh tačaka, suma kvadrata odstupaja (6.6). Slka 6. - Provlačeje krve zmeđu ekspermetalh tačkaka Prmetmo da je suma kvadrata odstupaja S, fukcja samo epozath parametara, jer su vredost (, ),,,..., pozate, a račuske vredost rac,,,..., su, prema (6.5), fukcje parametara. Problem zračuavaja parametara b j, j 0,,...,k se tako svod a problem određvaja mmuma fukcje vše promeljvh (6.6). O se dobjaju rešavajem sstema jedača, koj predstavljaju potreba uslov mmuma fukcje (6.6) kojh ma tačo oolko kolk je broj tražeh parametara: S( b0, b,..., bk ) 0, j 0,,..., k (6.7) b Jedače (6.7) su u lteratur pozate pod azvom ormale jedače. Neka u uzorku, ( ),,,..., j, ma poovljeh mereja zavso promeljve Y pr jedoj vredost za, što zač da među vredostma,,,..., ma jedakh. Tada, uz uslov da je broj razlčth vredost ezavso promeljve m (tj. broj jeh vredost u grupsaom uzorku) već od broja parametara (k+) u emprjskoj formul: važe sva prethoda razmatraja. m > k+ 89

91 6. Sredje kvadrato odstupaje emprjske formule Neka smo metodom ajmajh kvadrata odredl parametre b j, j 0,,...,k u odabraoj emprjskoj formul (6.4): ( ) f (, b0, b,..., bk ) Nekada smo međutm suoče sa problemom da od vše emprjskh jedača, koje mogu da sadrže razlčt broj paramatara, odaberemo ajbolju, tj. ou koja ajbolje opsuje l "ftuje" (od glagola to ft) date ekspermetale podatke, odoso ajmaje u određeom smslu odstupa od jh. Za rešavaje tog problema, potreba am je eka mera odstupaja emprjske formule, čj su parametr zračuat metodom ajmajh kvadrata, od ekspermetalh podataka. U skladu sa prcpom ajmajh kvadrata, kao tražea mera, korst se sredje kvadrato odstupaje emprjske formule l regresoe jedače (6.4), defsao kao: rac ( ) ( f (, b0, b,..., bk )) s (6.8) ( k + ) ( k + ) Kao što vdmo, suma kvadrata odstupaja ekspermetalh od račuskh vredost z dobjee emprjske formule, del se razlkom ukupog broja ekspermetalh tačaka ukupog broja parametara u formul. Tako se mogu poredt regresoe jedače sa razlčtm brojem parametara, pr čemu je pr jedakm sumama kvadrata odstupaja za dve formule, bolja oa koja sadrž maj broj parametara. Sredje kvadrato odstupaje (6.8) se u regresooj aalz korst za: poređeje kvalteta vše regresoh jedača, aalzu adekvatost eke regresoe jedače Ako se eka regresoa jedača oce kao adekvata (adekvato opsuje zavsost sredje vredost slučaje promeljve Y od kotrolsae promeljve ), oda jeo sredje kvadrato odstupaje s : daje eprstrasu oceu dsperzje slučaje promeljve Y predstavlja meru jače stohastčke zavsost Y od (ukolko je s veće, veza je slabja) 6.3 Koefcjet determacje Kao mera jače leare stohastčke veze zmeđu promeljvh služ koefcjet korelacje (Glava 5). Da b smo defsal opštu meru jače veze (leare l eleare) zmeđu slučaje promeljve Y kotrolsae promeljve, razmotrćemo začeje dve sume kvadrata odstupaja zračuate z uzorka (, ),,...,. Suma: SST ( ) predstavlja meru ukupe varjacje u ekspermetalm vredostma,. Suma, 90

92 SSF ( rac ) ( f (, b, b,..., b ) ) mer varjacje račuskh vredost koje daje regresoa jedača, oko artmetčke srede kao odabrae referete vredost. Može se reć da SSF predstavlja objašjeu (emprjskom formulom) varjacju oko. U slučaju da Y e zavs od, odoso da je: µ / µ emprjska jedača, koja daje ocee sredje vredost za Y, će kao procee dat rac,,,..., što kao rezultat ma vredost SSF blsku ul, odoso kolčk dve sume blzak ul: SSF 0 SST Drug grač slučaj je fukcoala veza zmeđu dve promejve što zač da Y je slučaja promeljva. Tada će, pod pretpostavkom da je forma regresoe jedače tača, oa tačo reprodukovat ekspermetale tačke : rac,,,..., pa će kolčk dve sume bt jedak jedc: SSF SST Dakle, kao pogoda mera jače veze zmeđu Y ameće se kolčk dve sume: 0 k R rac ( ), 0 R ( ) (6.6) koj se zove koefcjet determacje. Za koefcjet determacje važ: 0 R pa se o može terpretrat kao deo ukupe varjacje koj je objašje emprjskom formulom. S obzrom a ovu osobu, koefcjet determacje je pogodja mera jače veze zmeđu Y ego sredje kvadrato odstupaje s (6.8). 6.4 Određvaje pravoljske zavsost Pretpostavmo da sredja vredost slučaje promeljve Y learo zavs od kotrolsae promeljve : µ β + (6.0) 0 β 9

93 9 Drugm rečma, zavso promeljvu Y možemo da prkažemo u oblku zbra jee sredje vredost (6.0) slučajog odstupaja (greške) E : 0 ) ( + + β β E E M, Y o (6.) Iz uzorka ( ),...,,,, procejujemo vredost teorjskh regresoh koefcjeata 0,β β, l drugm rečma, zračuavamo parametre b 0, b (odsečak prave je agb) u emprjskoj formul: b b 0 + (6.) Metodom ajmajh kvadrata, uzoračke regresoe koefcjete b 0, b dobjamo z uslova mmuma sume kvadrata odstupaja ekspermetalh od račuskh vredost (6.6), koja u slučaju formule (6.) zgleda: + rac b b b b S 0 0 )] ( [ ) ( ), ( Prmejujuć pravlo da je prv zvod sume jedak sum prvh zvoda, za uslove mmuma dobjamo: + b b b S ) )]( ( [ + b b b S 0 0 ) )]( ( [ odoso, ako deljeja jedača sa (-) sređvaja: b b 0 0 b b 0 0 Koačo, ako prebacvaja pozath vredost a drugu strau jedača, dobjamo sstem od dve leare jedače po tražem parametrma: + b b 0 (6.3a) + b b 0 (6.3b) koje predstavljaju ormale jedače (6.7) za slučaj pravoljske regresje. Rešeja dobjeog sstema jedača se mogu prkazat u oblku detčom formulama (5.7a,b):

94 Tako, pr sledećm pretpostavkama: ( )( ) b (6.4a) b0 b (6.4b) važ leara model (6.) za mereja Y,,,..., dsperzja slučajh varjacja zavso promeljve Y je kostata: ( E ) σ. D cost mereja Y,,,..., su ezavsa maju ormalu raspodelu metod ajmajh kvadrata daje saglase eprstrase ocee regresoh koefcjeata: M ( B ) β, j 0, j j (6.5) detče oma koje daje metod maksmale verodostojost. U Jed. 6., B j su statstke čje se vredost račuaju formulama (6.a,b). Uz to, pokazuje se da sredjekvadrato odstupaje račuskh vredost (6.8), kao vredost statstke: s ( b0 b ) S ( Y b0 b ) predstavlja eprstrasu oceu dsperzje zavso promeljve: Formul (6.6) ekvvaleta je sledeća: gde su s M s s sredj kvadrat odstupaja: ( S ) σ (6.6) (6.7) ( s b s ) (6.8) ( ) / ( ) / s, s (6.9) Prmer 6. Zbog zajedčkog joa Cl rastvorljvost BaCl, (%) u vod, pr kostatoj temperatur prblžo learo opada sa porastom kocetracje CaCl, (%) u vod. a) Formulsat emprjsku jedaču za procejvaje rastvorljvost BaCl pr razlčtm sadržajma CaCl u vod, a baz podataka dath u prve tr koloe tabele 93

95 b) Procet rastvorljvost BaCl pr kocetracj CaCl od 3%. Tabela uz Prmer 6. Rešeje N a) Nagb odsečak u tražeoj emprjskoj pravoljskoj zavsost mogu se dobt pomoću fukcja SLOPE INTERCEPT. Iako fukcje SLOPE INTERCEPT e zračuavaju agb odsečak po metod ajmajeg kvadrata, ego se traže parametr koj daju ajbolje slagaje sa ekspermetalm podacma, rezultat će svakako bt dobar pa jhovo koršćeje e predstavlja grešku. pa je emprjska prava: U djagram su ucrtae ekspermetale tačke dobjea prava. 94

96 Seres Lear (Seres) Slka uz Prmer 6. Prvo se acrta djagram a osovu ekspermetalh podataka, a zatm se dodaje prava (tredle). To se rad a sledeć ač: Pošto je acrta djagram desm tasterom klke se a eku od tačaka odabere opcja Add Tredle. Nako toga otvara se ov prozor u kome se bra tp lje, (odabere se Lear), zatm se klke a kartcu Optos 95

97 Gde se vrše ostala podešavaja vezaa za pravu, zmeđu ostalog može se a djagramu prkazat jedača ove prave, ukolko se ozač polje Dspla equato o chart. Potvrđuje se sa OK, lja je a djagramu. b) Smeom zadate rastvorljvost CaCl, 3 u dobjeu emprjsku jedaču, dobjamo proceu odgovarajuće rastvorljvost BaCl : % Prmer 6. Meree su elektrče otporost R metalog provodka a razlčtm temperaturama t: t, 0 C R, Ω Potrebo je z podataka, a) zračuat temperatur koefcjet otporost metala α, koj je defsa jedačom temperature zavsost otpora: ( αt) R t) R + ( 0 b) procet stadardu grešku prmejee metode mereja otporost. Rešeje a) Pošto su u datoj pravoljskoj zavsost otpora od temperature: ( + αt) R + R αt b b t R( t) R odsečak agb jedak: b 0 R 0 b R 0 α traže temperatur koefcjet α se dobja z jh kao: b b α R0 b0 Uz t, R, račua se agb odsečak pomoću fukcja INTERCEPT SLOPE: 96

98 z jh koefcjet α: b α b Djagram raspaja ekspermetalh tačaka regresoa prava su dat a slc uz prmer Seres Lear (Seres) Slka uz Prmer 6. b) Kao oceu stadarde greške mere metode σ R, može se uz pretpostavke avedee u prethodom tekstu, da uzmemo sredje kvadrato odstupaje (6.6): 7.5 sr ( b0 b ). 43Ω 5 Koje se takođe može zračuat kvadrrajem rezultata dobjeog koršćejem fukcje STEYX. Fukcja se alaz u statstčkm fukcjama, a je rezultat je stadarda greška predvđee vredost za svako u regresj. Staksa: STEYX(Kow_'s, Kow_'s) Kow_'s z l skup zavsh pojedačh podataka. Kow_'s - z l skup ezvavsh pojedačh podataka 97

99 98 Koefcjet determacje koefcjet korelacje Koefcjet determacje, kao opšta mera jače veze zmeđu Y, u slučaju pravoljske zavsost dobja oblk: ) (9.4 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b rac s s b b b b R + (6.0) gde su, s s sredj kvadrat odstupaja (6.9). Ako parametar b zrazmo preko koefcjeta korelacje r, pomoću Jed. (8.7a): s s b r dobjamo da je koefcjet determacje jedak kvadratu koefcjeta korelacje: r R R r R l što smo, s obzrom a začeje th koefcjeata mogl da očekujemo. U slučaju leare zavsost Y od, R dakle daje jaču leare veze, al pošto je uvek poztva, e daje (za razlku od r ) formacju o tome da l Y opada l raste sa.

100 6.5 Iterval povereja odsečka agba Određvaje tervala povereja odsečka β 0 agba β u pravoljskoj regresooj fukcj (6.0), zahteva pozavaje raspodela jhovh ocea, tj. statstka B j, j 0,. Sa pretpostavkama avedem u prethodom poglavlju, može se pokazat da uzoračk regreso koefcjet maju ormale raspodele: B j : N ( β j, σ ), j 0, (6.) b j sa dsperzjama: σ σ b c σ ( ) s (6.a) σ b σ 0 c0σ ( ) s (6.b) gde je s sredj kvadrat odstupaja (6.6), a c 0 c koefcjet, defsa samm jedačama (6.a-b). Formule (6.4a,b) pokazuju da su statstke B j, j 0, leare kombacje slučajh promeljvh Y,,,..,, koje prema pretpostavkama maju raspodele: Y : N ( β 0 + β, σ ),,,..., tako relacje (6., 6.a-b) slede z osobe learost ormale raspodele, tj. z jedača (.57) (.58). Ocee dsperzja uzoračkh regresoh koefcjeata sb j, j 0, dobjamo kada u Jed. (6.a-b) umesto dsperzje σ zavso promeljve, zamemo jeu oceu s : s b j c js, j 0, (6.) koja se račua formulom (6.6) l (6.8): Iz zložeog sled, da stadardzovaa slučaja velča: B j M ( B j ) B j β j Z, j 0, σ c σ b j j (6.3) gde su koefcjet c j, j 0, defsa jedačama (6.a,b) ma raspodelu N (0,). Kao što smo se u Pogl. 6. upozal, to dalje zač da bezdmezoa statstka: B j M ( B j ) B j β j T, j 0, S c S gde je statstka S defsaa jedačom (6.7), ma t - raspodelu sa b j d - j (6.4) 99

101 stepe slobode. Sada mamo sve što je eophodo, da b mogl da defšemo tervale povereja teorjskh regresoh koefcjeata, sa voom povereja γ -α: t αs c j + b j < β j < b j + t αs c j, j 0, (6.5),, Prmer 6.3 Za uzorak od studeata dat su u tabel brojev poea osvoje u testu telgecje () brojev poea osvoje a sptu z hemje (): : : a) Izračuat agb odsečak u emprjskoj pravoljskoj zavsost b0 + b b) Procet jaču leare veze c) Dat tervale ocee za prave regresoe koefcjete β 0 β sa voom pouzdaost 95%. Rešeje a) Nag odsečak se zračuaju pomoću fukcja SLOPE INTERCEPT

102 b) Izračuaju se sredj kvadrat odstupaja pomoću fukcje STDEV : a oda pomoću fukcje RSQ se zračuava koefcjet determacje: Rezultat fukcje RSQ je kvadrat Prsoovog koefcjeta korelacje, odoso koefcjet determacje Staksa: RSQ(Kow_'s, Kow_'s) Kow_'s z l skup zavsh pojedačh podataka. Kow_'s - z l skup ezvavsh pojedačh podataka Koefcjet korelacje, kao mera jače leare veze može se zračuat kao kore koefcjeta determacje l pomoću fukcje PEARSON: (jaka leara veza, prema Tab.8.) Na osovu vredost koefcjeta determacje, možemo da kostatujemo da je 74.4% ukupe varjacje u bodovma ostvarem a sptu z hemje objašjeo varjacjama u broju bodova osvojeh u testu telgecje (varjacja objašjea regresoom jedačom). Ostatak od 5.6% ukupe varjacje u bodovma ostvarem a sptu je eobjašje. 0

103 c) Za zračuavaje tervala povereja (6.5), potreba je ocea stadardog odstupaja vredost Y, koja se dobja kao kore sredjeg kvadrata odstupaja dobjee emprjske jedače od ekspermetalh tačaka (6.8), odoso pomoću fukcje STEYX Dalje, treba zračuat koefcjet c 0 c, , c.486 ) s 6.74 ( ) s c 0 0 ( 3 Za date podatke pomoću fukcje TINV zračuava se t vredost: polušre tervala povereja regresoh koefcjeata su: t 0,0.05s c t 0,0.05s c Koačo, traže terval povereja su: 7.44 < β < 5.65, 0.56 < β 0 < Testraje hpoteza u vez sa odsečkom agbom Proveravamo hpoteze: 0 H 0 : β j β j, j 0, (6.6) asuprot hpoteza: 0 H : β j β j, j 0, (6.7) Imajuć u vdu (Pogl. 7.5) da terval povereja regresoog koefcjeta (6.5) sa voom povereja γ - α, uključujuć jegove grace, 0

104 b j β j t, αs c j j, 0, predstavlja oblast prhvataja ulte hpoteze (6.6), oblast odbacvaja te hpoteze uz rzk prve vrste α, bće, b j β j > t, αs c j j, 0, l, što je ekvvaleto: Relacja (6.8) daje krterjume odbacvaja hpoteza (6.6) bj β j t j > t, α, j 0, (6.8) s c j 6.7 Learzovae dvoparametarske emprjske formule Može se pokazat da su ormale jedače (6.7) za zračuavaje parametara u ekoj dvoparametarskoj emprjskoj formul, leare, samo ako je formula leara po parametrma, a to zač da ma oblk: b ϕ ) + b ϕ ( ) (6.9) 0 0( gde su ϕ 0 () ϕ () blo kakve fukcje, u kojma e fguršu epozat parametr. Na prmer kod pravoljske regresje, fukcje ϕ 0 () ϕ () su: Ako dvoparametarska emprjska formula: ϕ ), ϕ ( ) 0 ( f, b 0, b ) (6.30) ( ema oblk (6.9), ormale jedače su eleare jhovo rešavaje je jedostavo. Da b se račusk problem olakšal prstupa se, kad god je to moguće, spravljaju l learzacj jedače, pogodom smeom promejvh. Na prmer, formula: gde su a b parametr, se može learzovat logartmovajem: log log a + blog smeom promeljvh: b a (6.3) z log, v log, što kao rezultat daje learu formulu po ovm promeljvma v z: z A + Bv, A log a, B b (6.33) Pošto zračuamo odsečak A agb B z vredost ovh promeljvh, z log, v log,,,..., 03

105 orgale parametre a b, prema (6.33), dobjamo kao: b B, a 0 A U Tab.6. date su smee promeljvh za learzacju ekh dvoparametarskh elearh formula, a a Sl.6. grafc dath elearh fukcja. Na žalost, rgoroza statstčka aalza learzovae formule je emoguća l vrlo otežaa, jer eophode pretpostavke, koje važe za orgalu zavso promeljvu (Pogl.6.4) zbog zvedee trasformacje, e važe za ovu zavsu promeljvu.. Tabela 6. - Learzacja dvoparametarskh formula. formula smea promeljvh learzovaa formula z z a + b a + b. b a + v a + bv 3. a + b z z a + b b a v l, z l a b z l z A + bv gde je A la z A + B gde je A la, B lb Prmer 6.5 Odabrat formu dvoparametarske emprjske jedače koja opsuje zavsost od, prema ekspermetalm vredostma datm u tabel (prve od dve koloe). Izračuat parametre u odabraoj zavsost koefcjet determacje. / Rešeje Na slc. uz prmer, ucrtae su ekspermetale tačke (, ),,,...,7. Zamšljea lja, koja b prblžo povezvala tačke, lč a sledeće krve a Sl.6.: 04

106 lje 4 famlje krvh sa jedačom: lju famlje krvh sa jedačom: a + b b a Zato u už zbor formula ulaze avedee dve. a) jedača a + b Smea koja learzuje jedaču je: v, z / U 3. kolo tabele uz prmer, upsae su zračuate vredost za z /, a a slc uz prmer ucrtae su tačke (, z ),,,..., : a -0. : a 0. 3: a : a , 0.3 a + b b : a -0. : a 3: a 4 4: a a + b/, b : a -0. : a 3: a : a , 0.3 a + b b b.3 b.04 b. b 0.95 b 0. b 0.8 b ab, a 05

107 : b 0.5 : b 0.3 3: b : b a b, a 4 Slka 6. - Grafc elearh fukcja z Tab Slka uz Prmer Ekspermetale tačke / Slka uz Prmer Tačke u koordatama - z 06

108 U djagramu sa trasformsam koordatama tačke prblžo leže a pravoj lj. b b) jedača a Nove promeljve su: v l; z l. Tačke, ucrtae u korrdatama v - z, e leže duž eke prave ova jedača se odbacuje zl vl Seres Slka 3 uz Prmer Ekspermetale tačke u koordatama l-l Parmetr u prhvaćeoj formul se dobjaju z parametara learzovae jedače: z b + b v, z /, v 0 kao: a b 0, b b Pomoću fukcja SLOPE INTERCEPT dobja se a 0.009, b ekspermetal podac su prblžo opsa jedačom:

109 U tabel su data odstupaja ekspermetalh od račuskh vredost, e : Slka 4 uz Prmer Ekspermetale tačke dobjea krva Koefcjet determacje (6.9) račua se pomoću fukcje RSQ Dakle, dobjea emprjska formula objašjava 90% od ukuph promea u vredostma zavso promeljve. Prmer 6.6 Date su ekspermetale vredost specfče elektrče provodljvost stakla () u fukcj od temperature, (, 0 C). Odabrat emprjsku formulu odredt parametre u joj l

110 Rešeje Poređejem zgleda zamšljee lje koja b spajala ekspermetale tačke a Sl. uz prmer, sa grafcma dvoparametarskh emrjskh formula zapaža se da b moguć adekvata oblk formule bo: ab Smeom z l dobja se leara jedača: z la + lb Smea je prmeljva a prvu ekspermetalu tačku jer je: l(0). Pošto ekspermetale tačke u trasformsam koordatama (Sl. uz prmer) prblžo leže duž eke prave, formula se prhvata Slka. uz Prmer Ekspermetale tačke 09