LEKCIJE IZ OSNOVA STATISTIKE I TEORIJE VJEROJATNOSTI. Ivica Gusić

Transcript

1 LEKCIJE IZ OSNOVA STATISTIKE I TEORIJE VJEROJATNOSTI Ivca Gusć

2 Uvod u matematčku statstku Pojam matematčke statstke. Pojedostavljeo rečeo, matematčka statstka je zastvea dscpla koja z pozavaja određeh svojstava uzorka doos zaključke o svojstvma populacje. Populacja je skup svh etteta koje razmatramo. Na prmjer: ako as zamaju zbor, populacju če sv glasač l sv glasač koj su zašl a zbore, odoso sv glasačk lstć, ako as zama dulja studraja, populacju če sv studet ekog sveučlšta, 3 ako as zamaju svojstva ekog prozvoda prozvedeog određeom tehološkom metodom, populacju če sv prozvod tako prozvede, 4 ako as zama postotak vodka u Svemru, populacju č skup svh atoma td. Općeto, zama as eko statststčko oblježje populacje, a prmjer vsa, masa, poltčk stav td.. Često smo u emogućost razmatrat cjelu populacju a prmjer ako je če sv atom, l je to vrlo skupo a prmjer ako je če sv prozvod u ekom velkom pogou, l zbog vremeskog ogračeja a prmjer ako želmo odmah po zatvaraju bralšta procjet rezultate zbora, l je to besmsleo a prmjer ako as zama vjek trajaja žarulja koje je eka tvorca uputla a tržšte td. U tm smo uvjetma prslje procjejvat svojstva populacje a osov svojstva ekolko člaova te populacje. Uzorak je ek slučajo odabra podskup populacje, a prmjer: % slučajo odabrah glasačkh lstća, 3 slučajo odabrah studeata, 3 5 slučajo odabrah prozvoda td. Postavlja se ptaje kolko je opravdao a osov ekolko prmjera zaključvat o cjeloj populacj kolko možemo vjerovat takvom zaključku, koje je često podložo subjektvm stavovma, pojedačm teresma sl. Jeda od zadataka matematčke statstke jest zgradja metoda kojm će se ovakv problem moć rješavat egzakto. Mogu se zdvojt tr glava koraka:.korak. Braje uzorka, prprema provođeje pokusa testa, akete sl... korak. Obrada dobveh podataka. 3. korak. Vršeje procjea doošeje odluka. Prvm se korakom maje bav matematčka statstka, a vše statstka u šrem smslu. Zato ovdje ećemo obrađvat taj vrlo važa korak. Spomemo samo dva pojma. Već smo rekl da uzorak za as zač slučajo zabra podskup populacje. To zač da svak čla populacje ma jedak zgled da bude zabra u uzorak. Dakle, pod uzorkom smatramo slučaj uzorak u lteratur se često to azva jedostav slučaj uzorak. Na prmjer, ako prozvođač zabere svojh prozvoda poud h a uvd, rad svoje promdžbe, to u pravlu je slučaja uzorak, već prstra prozvođač u pravlu zabere ajkvaltetje prozvode za promdžbu.

3 Jedako tako, trgovac kojemu b blo dopušteo da zabere prozvoda a osov kojh b poslje pregovarao o cje, možda e b zabrao slučaja uzorak već b brao lošje prozvode kako b mogao spustt cjeu. Slučaja uzorak dulje mogao b se zabrat a prmjer tako da prozvođač dade a uvd serjske brojeve prozvoda, potom da se z skupa brojeva slučajo zabere desetoračla podskup koačo, da uzorak če upravo prozvod s zabram serjskm brojevma. Kažemo da je uzorak reprezetatva, ako odražava svojstva cjele populacje. Na prmjer, uzorak koj je vrlo male male dulje u usporedb s velčom populacje, u pravlu je reprezetatva. Tako, slučajo odabrah brača ako apuštaja bračkog mjesta za države zbore je reprezetatva uzorak. Nasuprot tome, uzorak u koj bsmo cljao uključl, proporcoalo prema udjelu u bračkom spsku, brače z svake župaje, z gradske rurale srede, prema spolu dob, prema acoaloj vjerskoj prpadost, prema stručoj sprem, prema movskom staju, prema zaposleost, prema vs prmaja sl. bo b u dobroj mjer reprezetatva, al e b bo slučaja. Drugm korakom u većem se djelu bav deskrptva statstka, koja je do matematčke statstke, jer doekle uključuje matematčke tehke. Deskrptva se statstka bav uzorkom, a o populacj zravo e govor šta l vrlo malo. Naravo, a osov svojstava uzorka, mogu se aslućvat svojstva populacje. U trećem se koraku, a osov svojstava uzorka, procjejuju svojstva populacje. Za prjelaz od uzorka a populacju presuda je uloga teorje vjerojatost, koja je teoretsk temelj matematčke statstke. Puko aslućvaje svojstava populacje z svojstava uzorka je esustavo, u pravlu, subjektvo. Uz pomoć teorje vjerojatost oo se može zgradt u egzaktu zastveu metodu. Deskrptva statstka Uređvaje grupraje podataka. Često su podatc koje dobjemo mjerejem apsa redosljedom koj am otežava jasu predodžbu o jma. Jeda od ača da podatke učmo jasjma jest taj da se apšu u rastućem l padajućem redosljedu. Prmjer. Kotrolom slučajo odabrah stakleka s kemkaljom, pujeh od jedog prozvođača, dobve su sljedeć podatc u ltrama: U ovom prmjeru populacju če sve stakleke te vrste pujee od tog prozvođača, a zabrah stakleaka če uzorak. Broj je dulja uzorka. Vdmo da se podatc vrte oko vrjedost, a da bsmo dobl jasju predožbu o jma poredajmo h prema velč od majeg prema većem. Napomemo da tm postupkom ećemo zgubt jedu statstčk važu formacju ame uzorak je zabra slučajo. Dobjemo:

4 Sad am je puo lakše uočavat svojstva podataka odose među jma. Na prmjer, brzo uočavamo da je.93 ajmaj mmal, a.4 ajveć maksmal podatak. Također, brzo uočavamo da se podatak.97 pojavljuje tr puta; kažemo da mu je frekvecja 3. Nadalje, vdmo da frekvecju maju podatc.94,.95,.98,.99,.., a da preostal maju frekvecju. Tu čjecu pregledo zapsujemo pomoću tablce frekvecja kojoj su u prvom redku redom razlčt podatc, a u drugom jhove frekvecje Vdmo da u ovom prmjeru od ukupo podataka ma međusobo razlčth. Uočte da je zbroj frekvecja jedak ukupom broju podataka s poavljajem; u ovom prmjeru je =. Grupraje u razrede. I ako uređvaja često mamo poteškoća s podatcma, aročto ako h ma puo; zato h grupramo u razrede. Da to lustrramo, podatke z ovog prmjera gruprat ćemo u 6 razreda, svak dulje.. Ispšmo h tako da razrede odvojmo: Rezultate ćemo predočt tablcom koja ma četr stupca. U prvom stupcu su red brojev razreda od do 6. U drugom su stupcu grace razreda; a prmjer zač da su u prvom razredu podatc koj su zmeđu treću smo decmalu dodal da am se e dogod da ek podatak upade u dva razreda. U trećem su stupcu frekvecje razreda, tj. broj podataka u pojedm razredma uočte da se te frekvecje razlkuju od frekvecja podataka uzorka koje smo prje spomjal; a prmjer f =3, zač da su u prvom razredu tr podatka.93,.94,.94. f U četvrtom stupcu su relatve frekvecje razreda, gdje je ukupa broj podataka; a 3 prmjer relatva frekvecja prvog razreda je jer je f =3, a =. Red broj Grace razreda Frekvecja Relatva frekvecja razreda razreda f razreda / / / 3

5 / / / Važa apomea. Iako am ova tablca jasje dočarava odos među podatcma, u joj su se eke formacje zguble. Na prmjer, z je očtavamo da su u prvom razredu 3 podatka, al e zamo koja su to tr podatka. Gubtak je to ezatj što je uzorak veće dulje, a razred už. Za valjaost ekh statstčkh zaključvaja često se traž da frekvecja svakog razreda bude barem 5, što ovo aše grupraje e zadovoljava. Važost grupraja je samo u dobvaju veće pregledost, već u uočavaju statstčkh zakotost. Na prmjer, frekvecje podataka z Prmjera varraju, al ako grupraja uočavamo sljedeću pravlost: frekvecje razreda se povećavaju, potom smajuju. Uočte da su sv razred bl ste dulje. Tako će, u pravlu, uvjek bt, ako, ačelo, možemo vršt grupraje u razrede razlčth dulja. Uočte, također, da je već tablcom frekvecja zvršeo jedo gruptraje podataka: u pojed razred upadaju podatc koj su međusobo jedak. Grafčko predočavaje podataka. Hstogram frekvecja hstogram relatvh frekvecja. Grupra podatc z prmjera mogu se grafčk predočt tako da a horzotalu os koordatog sustava aosmo kolču u ltrama, a a vertkalu frekvecje. Ako se zad svakog razreda postav pravokutk kojemu je vsa jedaka frekvecj razreda dobje se hstogram frekvecja. Na prmjer, za podatke z Prmjera. dobje se sl..: 4

6 Slču slku dobl bsmo ako bsmo a vertkalu os aosl relatve frekvecje. To je hstogram relatvh frekvecja. Iako jeda od jh ema prorteto začeje jeda se dobje z drugoga promjeom skale a vertkaloj os, občo se hstogram relatvh frekvecja azva dstrbucjom frekvecja sl... Svojstva hstograma jedog drugog.. Svak podatak dopros u hstogramu -t do površe, tj. / od ukupe površe, gdje je ukupa broj podataka račuajuć poavljaje. To ajbolje uočavamo tako što svakom podatku odgovara jeda mal pravokutk u hstogramu tu je važo to da sv razred maju jedaku šru.. Površe stupaca zad pojedh razreda proporcoale su prpadajućm frekvecjama odoso relatvm frekvecjama. Name zad -tog razreda ma f malh pravokutka, f pa -t stupac č ukupe površe. f 3. Stupac zad -tog razreda hstograma č % površe cjelog hstograma. To odmah prozlaz z svojstva. Uočte da se traže postotak dobje možejem relatve frekvecje sa. Prmjer. Odredmo površske udjele zad pojedh razreda u postotcma za podatke z Prmjera. 5

7 3 =5 apomemo da smo rezultat mogl dobt kao brojk razlomka kad relatvu frekvecju 3/ zapšemo s azvkom, tj. = =. 5 Dalje je: 3 5/=5; 4/=; =5 /=. Rezultate smo predočl a slc 3. Kako treba tumačt ove postotke? Prvo što am pada a pamet jest to da će od svh stakleka ove vrste, pujeh od ovog prozvođača, odprlke 5% mat kolču z prvog razreda, 5% z drugoga, 5% z trećega, % z četvrtoga, 5% z petoga % z šestoga. Naravo postavlja se ptaje s kolko sgurost možemo predvđat svojstva populacje z pozath svojstava uzorka. To je jeda od ajvažjh zadataka matematčke statstke. Napomee.. Hstogram e ovs samo o podatcma uzorku već o zabraoj podjel a razrede. Zato uz st uzorak može bt vše razlčth podjela a razrede.. Ako je broj podataka vrlo male, oda podjela a razrede je potreba, pa tako hstogram. Za broj podataka z Prmjera prje bsmo rekl da je male ako je vrlo male ego da je velk. Iako za to ema jasog opravdaja, občo se uzorc dulje veće od 3 smatraju dovoljo velkma. 3. Ako je broj podataka vrlo velk, a također broj razreda, oda se hstogram može dobro aproksmrat eprekutom crtom kao a slc 4. 6

8 Artmetčka sreda medja skupa podataka uzorka. Artmetčka sreda uzorka. Jedo od osovh ptaja o staklekama kemkalje z Prmjera. jest kolka je prosječa kolča kemkalje u jma. Naravo da z pozath podataka e možemo zat kolka je artmetčka sreda populacje, međutm možemo zračuat artmetčku sredu uzorka za koju vjerujemo da b mogao bt blzu stvarog prosjeka. Sjetmo se defcje artmetčke srede brojeva,,..., = Na prmjer, artmetčka sreda brojeva,,3,4,5 je broj = = Taj se zraz zove artmetčka sreda uzorka. Prmjer 3. Odredmo artmetčku sredu podataka z Prmjera = =.98 Uočte da artmetčka sreda prosječa vrjedost ovaj put je jedaka jedom od podataka, što je uglavom slučaj. Itutvo začeje artmetčke srede. Artmetčka sreda.98 jest upravo oa kolča kojom b trebalo aput svaku od stakleka pa da ukupa kolča bude kao u uzorku. 7

9 Fzkala terpretacja artmetčke srede težšte sustava masa a pravcu Artmetčka sreda ma jedostavo, al vrlo važo fzkalo začeje. Ako zamslmo da su u točkama,,..., smještee jedake mase za svak podatak masa m, oda je u koordata težšta sustava th masa. Naravo ako se ek podatak pojavljuje vše puta oda, u tu koordatu treba stavt tolko masa kolko se puta o pojavljuje, tj. kolka mu je frekvecja u uzorku. Na slc 5. predočea je fzkala terpretacja podataka z Prmjera terpretacja artmetčke srede kao težšta. Rad lakšeg dočaravaja, možemo zamslt da je koordata os čvrsta, al bez mase. Tada je u artmetčkoj sred težštu ravoteža. Itutvo je jaso da se težšte sustava masa e mjeja ako se svaka masa proporcoalo poveća l smaj odoso ako promjemo mjeru jedcu mase. Jedako tako, artmetčka sreda se e mjeja ako se frekvecje pojavljvaja svakog podatka proporcoalo povećaju l smaje. Procjea artmetčke srede populacje. Postavlja se ptaje možemo l dobro procjet artmetčku sredu populacje, ako zamo artmetčku sredu uzorka. Odgovor je poztva vrjed: Artmetčka sreda uzorka je ajbolja procjea artmetčke srede populacje. Začeje zraza ajbolja može se preczje matematčk defrat o tome ćemo vše reć poslje. Medja. Jaso je da se artmetčka sreda brojeva alaz zmeđu ajmajeg ajvećeg broja. Tako se.98 z Prmjera 3 alaz zmeđu Pogrješo b blo zaključt da se ljevo deso od artmetčke srede alaz jedako mogo podataka. Tako se u Prmjeru, ljevo od artmetčke srede alaz podataka, a deso 9 h je majh od artmetčke srede, a 9 većh. Zato se uvod pojam medjaa. Medja skupa podataka je sredj podatak ako ma eparo podataka, a artmetčka sreda dvaju sredjh ako ma paro podataka. Na prmjer, za podake,, 4,, 3 medja je 4, 8

10 4 + 7 a za podatke,,4,7,,3 medja je = 5. 5 Prmjer 4. Odredmo medja skupa podataka z Prmjera. Tu ma podataka pa je medja artmetčka sreda -og -og podatka, koja su oba.98. Zato je medja =.98. Geometrjska fzkala terpretacja medjaa. Medja djel podatke a dva jedakobroja djela, jeda ljevo, a drug deso od jega. Također, medja djel hstogram a dva djela odprlke jedakh površa oko polovce je površe ljevo, a oko polovce deso od medjaa. Na prmjer, hstogram z Prmjera, medja djel a ljev do koj ma 48.75% des koj ma 5.5% ukupe površe sl. 6.. U terpretacj sa sustavom masa a pravcu, ljevo deso od medjaa mase su jedake, što e zač da je tu ravoteža jer su krakov razlčt; ravoteža je u artmetčkoj sred. Mod. U ekm slučajevma važa je mod uzorka; to je ajfrekvetj podatak u uzorku. Na prmjer, u Prmjeru. mod je.97 jer ma ajveću frekvecju, broj 3. Slčo skup podataka,,,, 3,, 64, ma dva moda, brojeve oba maju frekvecju. 9

11 Mjere raspršeja podataka. Raspo, kvartl, varjaca stadarda devjacja. Uočte da su za podatke z Prmjera artmetčka sreda medja vrlo blzu brojev.98.98, što općeto e mora bt. Na prmjer, za podatke,,,, 3,, 64 medja je, a artmetčka sreda, što je veće od svh podataka osm jedog. Razlog tome je zbjeost podataka z Prmjera jhova grupraost oko artmetčke srede, što je slučaj s ovma gore. Za opsvaje takvh feomea uvode se mjere raspršeja podataka. Najjedostavja mjera raspršeja podataka je raspo l rag. Raspo podataka,,..., poredah prema velč je razlka - ajvećeg ajmajeg podatka. Na prmjer, raspo podataka,,,,3,,64 je 64-=63, a raspo podataka z Prmjera je.4-.93=. sl.7.. Tu su točkcama predočee frekvecje pojedh podataka. Uočte da je raspo ujedo udaljeost a koordatom pravcu zmeđu ajvećeg ajmajeg podatka, odoso to je dulja tervala određeog ajmajm ajvećm podatkom. Na slc 8. su koturae aproksmacje hstograma dvju serja podataka koj maju jedake raspoe, al se očto bto razlkuju. Name, površe hstograma drukčje su raspoređee.

12 Da bsmo mogl opsvat razlke poput ovh a slc uvodmo pojam kvartla. Ima tr kvartla koj djele hstogram a četr djela, tako da svak ma odprlke 5% površe tm preczje što je dulja uzorka veća. To predočujemo a koturaoj aproksmacj hstograma sl.9.. Prv l doj kvartl je broj od kojega je 5% podataka maje l je jemu jedako. Drug je kvartl medja. Treć l gorj kvartl je broj od kojega je 75% podataka maje l je jemu jedako. Napomjemo da 5% zač ¼, a 75% zač ¾, pa b za prmjeu ove defcje broj podataka trebao bt djeljv s 4, a oda kvartl e b bl jedozačo određe. Zato se za račuaje kvartla občo daju algortm. Opsat ćemo jeda od ajuobčajejh. Prmjer 5. Odredmo kvartle za podatke z Prmjera. Tu je =, pa za prv kvartl možmo.5 dobjemo 5.5. Zato je prv kvartl q zmeđu petog podatka.95 šestoga.96. Pravu vrjedost dobjemo kao q = =.955 Koefcjet.5 u zadjoj formul dobl smo kao 5.5-5, što se slučajo pokloplo s.5 što se odos a prv kvartl. Već smo rekl da je drug kvartl medja što je blo.98. Provjermo to algortmom. Za drug kvartl možmo.5 s dobjemo.5, što zač da je drug kvartl zmeđu -og -og podatka. Kako su oba ta podatka.98, a.5-=.5 dobjemo q = =.98. Za treć kvartl možmo.75 s dobjemo 5.75 pa je q 3 zmeđu 5-og podatka. 6-og podatka.. Kako je =.75 dobjemo q 3 = =.75. Slčo kvartlma defraju se druge podjele, a prmjer a percetle, kojma se hstogram djel a djelova, svak od kojh ma odprlke % površe. Mogu se razmatrat djelov s odprlke % površe td. Općeto govormo o kvatlma.

13 Varjaca stadarda devjacja. Kvartl, percetl, općeto, kvatl dobro opsuju varraje podataka uutar raspoa, al maju jedu ozblju slabost ma h puo: tr kvartla, 99 percetla td. Postavlja se ptaje postoj l ek broj ovsa o podatcma koj dobro opsuje varraje podataka. Odgovor je potvrda, ma h vše, a ajvažja je varjaca. Varjaca je mjera raspaja podataka oko artmetčke srede. Odstupaje podatka od artmetčke srede mjer se razlkom -. Uočte da vrjed: ako je - > oda je podatak već od, tj. alaz se deso od ako je - < oda je podatak maj od, tj. alaz se ljevo od ako je - = oda je =. Za ukupu mjeru odstupaja je dobro uzet zbroj pojedačh odstupaja jer je to ula, tj. odstupaja se međusobo poštavaju. To ćemo potkrjept prmjerom. Prmjer 6. Odredmo odstupaja podataka od artmetčke srede u Prmjeru. zračuajmo jhov zbroj. Odstupaja su, redom: = = -.4 dva puta = -.3 dva puta = = -. tr puta = -. dva puta =.8 dva puta..98 =.8 dva puta..98 = =.38 dva puta.3.98 = =.58 Zbroj odstupaja je Σ = = =. To vrjed općeto, a e samo u ovom prmjeru, što se lako provjer, a tutvo je vrlo jaso. Name, kolko ma tekuće spod prosjeka, tolko mora bt zad prosjeka. Napomea. U fzkaloj terpretacj gdje svakom podatku prdružujemo jedake mase, rezultat Prmjera 6. vrlo je jasa. O upravo govor da je u artmetčkoj sred težšte, tj. ravoteža dopros sla puta krak sle ljevo deso od težšta su jedak. Suma apsoluth odstupaja prosječo apsoluto odstupaje. Kao dobra mjera raspaja podataka oko sredje vrjedost služ suma apsuluth vrjedost odstupaja podataka od artmetčke srede. Defra se kao: SAO:=

14 Na prmjer, korsteć rezultate z Prmjera 6, dobjemo za podatke z Prmjera : SAO =.6+.6 =.54. To tumačmo kao da je ukupo odstupaje a že a vše od prosječe vrjedost.98 oko pola ltre. Ako taj rezultat podjelmo s brojem stakleka, dobt ćemo prosječo apsoluto.54 odstupaje od prosjeka: =.6. To zač da, u prosjeku, u svakoj staklek l ma za.6 ltara vše l.6 ltara maje kemkalje od.98 ltara. Općeto, prosječo apsoluto odstupaje od artmetčke srede, deframo kao PAO:= Nedostatak zraza SAO PAO jest taj da u defcj sadrže apsolutu vrjedost, koja je baš pogoda za dervraje. To ek drug prrod razloz utjecal su da se PAO zamje stadardom devjacjom, koju ćemo sad defrat. Varjaca uzorka s ' defra se kao prosječo kvadrato odstupaje od prosjeka: s ' := Stadarda devjacja uzorka s' je drug korje z varjace uzorka: s':= Prmjer 7. Izračuajmo varjacu stadardu devjacju uzorka podataka z Prmjera s' =.385 jedo drugo su prblže vrjedost s ' = = =. 966 Uočte da je spalo SAO<s'. To vrjed općeto, a e samo u ovom slučaju. Fzkala terpretacja varjace momet ercje oko težšta. Sjetmo se da je momet ercje mase proporcoala mas kvadrato proporcoala radjusu: I = mr. Sjetmo se također da se momet ercje oko stog sredšta zbrajaju. Zamslmo da smo jedču masu rasporedl po pravcu tako da svak podatak uzorka opteretmo jedakom masom m:=, oda će ukupa ercja oko težšta artmetčke srede bt 3

15 I= = s'. Zaključujemo: varjaca uzorka jedaka je mometu ercje oko težšta prpadajućeg sustava masa, pr čemu smo jedču masu jedolko rasporedl a sve podatke svakom po. To je bla jeda od motvacja za defcju varjace uzorka. Name, kako je momet ercje mjera dsperzje raspršeja masa oko težšta, tako je varjaca mjera dsperzje podataka oko artmetčke srede. Fzkalo je jaso da je od svh momeata ercje ajmaj oaj oko težšta. Slčo svojstvo mmalost ma artmetčka sreda: to je real broj od kojega je suma kvadrata odstupaja mmala. To se može lako dokazat. Provjerte da je u Prmjeru suma kvadrata odstupaja od artmetčke srede maja od sume kvadrata odstupaja od medjaa. Procjea varjace populacje. Korgraa varjaca korgraa stadarda devjacja. Za razlku od artmetčke srede uzorka, koja je ajbolja procjea artmetčke srede populacje, varjaca uzorka je ajbolja procjea varjace populacje. Pokazuje se da to svojstvo ma korgraa varjaca uzorka s, defraa kao: s := razlkuje se po tome što u azvku, umjesto ma -, a u ozac što ema crtce. Odatle se defra korgraa stadarda devjacja uzorka s, kojom ćemo procjejvat stadardu devjacju populacje: s:=. Prmjer 8. Izračuajmo korgrau varjacu korgrau stadardu devjacju uzorka podataka z Prmjera. Korsteć se rezultatom Prmjera 6, dobjemo.93 s = =.684, te 9 s =.3888 Vrjed općeto, a može se provjert za ovaj uzorak: SAO < s' < s. Vd se da vrjed s = s '. Zato se za velke devjacje s s' praktčo e razlkuju. Međutm, za male, razlka među jma je ezaemarva. U sljedećoj tablc da je prblža omjer a tr decmale zmeđu s s' za eke kako se povećava, tako se taj omjer prblžava broju. 4

16 s s' 3 5 s s' Sad ćemo obrađee pojmove lustrrat a jedom ovom uzorku, poešto razlčtom od oog u Prmjeru. Prmjer 9. Mjerejem vremea zmeđu dvju uzastoph poruka prstglh a eku adresu dobve su sljedeć podatc u sekudama:, 8,, 7, 4, 4, 4, 6,,, 3,,, 3, 8, 6, 5, 5, 6, 3,, 4, 5, 8,, 6, 7, 9,, 4,, 4, 3, 3, 8, 5, 3, 5, 7, 6. I Prebrojmo podatke. Vdmo da h ma 4, dakle = 4. II Poredajmo podatke prema velč od majeg prema većem:,,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6,6,6, 7, 7, 8, 8, 8,,,, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 9,,,, 3, 5, 7, 3. III Napravmo tablcu frekvecja: Vdmo da frekvecje varraju ako maju opć tred prema opadaju. To b još zraztje blo da smo stavl frekvecje za brojeve od do 3 koj se e pojavljuju. IV Gruprajmo podatke u razrede dulje 5: Vdmo da, ako ovakvog grupraja, frekvecje razreda opadaju, što se dobro vd z hstograma. To je jeda od ajvažjh razloga grupraja. V Odredmo, ajmaj podatak, ajveć podatak raspo: m = ma = 3 raspo = ma m = 3- = 9. 5

17 VI Odredmo medja artmetčku sredu uaprjed procjemo jhov odos. Odredmo kvartle. S obzrom da su podatc vše grupra a početak, medja je maj od artmetčke srede. Kako je = 4, medja je artmetčka sreda -og -og podatka. Dakle: 8 + Medja = = 9 Artmetčka sreda, = 458 =. 45 zasta je medja maj. 4 Prv kvartl: q = 4.5 Drug kvartl medja: q = 9 Treć kvartl: q 3 = 7 VII Odredmo varjacu stadardu devjacju te korgrau varjacu korgrau stadardu devjacju uzorka. Varjaca: s' = Stadarda devjacja: s' = a 4 decmale Korgraa varjaca: s = a 4 decmale Korgraa stadarda devjacja: s = 8.5 a 4 decmale. Velče koje smo odredl u Prmjeru 9 jesu osove deskrptvo statstčke velče uzorka. Za jhovo račuaje možemo se korstt gotovm statstčkm paketma. Na prmjer, pomoću grafčkog kalkulatora te se velče dobju prmjeom jede aredbe. Važa svojstvo stadarde devjacje Čebševljev teorem emprjsko pravlo za zvoolke dstrbucje frekvecja. Čebševljev teorem. Neka je artmetčka sreda s' stadarda varjaca uzorka,,...,. Tada u tervalu < - s', + s' > ma barem 75% podataka, a u tervalu < - 3 s', + 3 s' > ma barem 88% podataka. Napomea. Buduć da je s'<s, Čebševljev teorem vrjed za korgrau stadardu devjacju. Prmjer. Provjermo Čebševljev teorem a uzorku z Prmjera 9. Tu je s' = 5.89 a dvje decmale =.45 pa je < - s', + s' > = < , 7.34> Vdmo da su jemu sv podatc osm podatka 3, pa je tvrdja provjerea. Prmjer. Provjermo Čebševljev teorem a uzorku z Prmjera. Tu je uzorak Prema Prmjeru 3, =.98. Prema Prmjeru 7, s' =.3 a tr decmale, dakle s'=.6. 6

18 Zato je +s'=.44 -s'=.9. Vdmo da su sv zada podatc zmeđu.9.44 a Čebševljev teorem garatra bar 75%. Emprjsko pravlo za zvoolke dstrbucje frekvecja. Letmča pogled a uzorke z Prmjera 9, odoso a jhove hstograme, upućuju a razlke među jma. Površe u hstogramu z Prmjera 9 opadaju, dok za Prmjer vrjed: N Površa je kocetrraa oko artmetčke srede. N Površa je prblžo smetrčo raspoređea ljevo deso od artmetčke srede N3 Površe rastu odprlke do artmetčke srede, potom padaju. Uz ove uvjete hstogram odoso prpada krvulja ma zvoolk oblk. Praksa pokazuje da takav oblk maju hstogram dstrbucja kod velkh uzoraka, pr mjereju mogh statstčkh feomea statstčkh oblježja, poput mase, vse, postotka elemeta koj se može ekom tehološkom metodom zdvojt z eke rudače, grješaka pr mjereju, kvocjeta telgecje td. Za takva statstčka oblježja uočeo je sljedeće emprjsko pravlo sl..: U tervalu < - s', + s' > ma oko 68% podataka, tj. oko /3 podataka površe hstograma U tervalu < - s', + s' > ma oko 95% podataka površe hstograma U tervalu < - 3 s', + 3 s' > su gotovo sv podatc gotovo čtava površa. Napomemo da emprjsko pravlo vrjed samo prblžo e za sva statstčka oblježja, občo, samo za velke uzorke, dok je Čebševljev teorem egzakta vrjed bez kakvh ogračeja. O tome ćemo vše govort u teorj vjerojatost. 7

19 Treba također apomeut da postotc kod prebrojavaja podataka, eće bt jedak oma pr procje površe hstograma. Razlka među jma bt će zatja za relatvo male uzorke. Za statstčka oblježja za koje vrjed emprjsko pravlo kažemo da su prblžo ormalo dstrbura. Već smo vdjel da su sv podatc z Prmjera. u tervalu < - s', + s' >. Također, vd se da je < - s', + s' >= <.95,.3 >, pa zaključujemo da je u tom tervalu od podataka, što je oko 55%. Da smo gledal površu u hstogramu, to b blo odprlke 6% površe, što je još uvjek ešto maje od 68%. Tako, ako je u tom prmjeru statstčko oblježje bla kolča kemkalje u staklekama, što b trebalo bt ormalo dstrburao, uočava se odudaraje od emprjskog pravla. Razlog tome je relatvo mala velča uzorka. U sljedećem ćemo prmjeru podatke z Prmjera upotput s još ovh podataka ovh stakleka. Prmjer. Mjerejem kolče kemkalje u dodath stakleka z Prmjera. dobve su sljedeć podatc ueše u tablcu frekvecja sad uzorak ma dulju f Provjermo emprjsko pravlo o ormaloj dstrburaost kolče kemkalje u staklekama. Tu je =.98 s'=.3455 a šest decmala. Zato, a dvje decmale mamo: s'=.3, s'=.6, 3s'=.9 Vdmo, da je, a dvje decmale: < - s', + s' > = <.95,.> < - s', + s' > = <.9,.4>, < - 3 s', + 3 s' > = <.89,.7>. Buduć da je broj podataka relatvo male, za aslućvaje staja u cjeloj populacj, realje je razmatrat površe u hstogramu, a prmjer uz dulju razreda., ego prebrojavat podatke uzorka u pojedm tervalma. Tako dobjemo vd slku.: U tervalu < - s', + s' > U tervalu < - s', + s' > U tervalu < - 3 s', + 3 s' > je 63.75% površe hstograma. je % površe hstograma je % površe hstograma. 8

20 To se u velkoj mjer slaže s emprjskm pravlom, što am je osloac za vjerovaje da je kolča kemkalje u staklekama prblžo ormalo dstrburaa. Dvje osove vrste statstčkh oblježja: koturaa dskreta statstčka oblježja. U Prmjeru. mjerl smo kolču kemkalje u ltrama rezultate mjereja zapsval a dvje decmale. Jaso je da smo, uz pomoć preczjh uređaja, mjereja mogl provodt a tr, četr l vše decmala. Načelo, rezultat mjereja mogu bt sve preczj, tako da za jhove zapsvaje trebamo sve reale brojeve. Zato kažemo da je kolča koturaa l da ma koturao statstčko oblježje. Slčo je s masom, vsom, obujmom, vremeom td. Na prmjer, u Prmjeru 9. mjer se vrjeme zmeđu dvju poruka, pa je rječ o koturaom statstčkom oblježju, ako su podatc bl cjel brojev. Name, rezultate smo psal u sekudama, a da smo mal preczj uređaj, koj regstrra desetke sekuda, rezultat b vjerojato bl decmal brojev. Drugo važo statstčko oblježje jest dskreto statstčko oblježje. Oo u pravlu astaje u pokusma u kojma ešto prebrojavamo. To ćemo lustrrat prmjerom. Prmjer 3. Da bsmo dobl predodžbu o broju poruka koje prstgu a eku adresu tjekom fksraog vremeskog tervala od 8 do sat prje pode, kotrolral smo tu adresu u 6 takvh tervala. Dobl smo sljedeće podatke. 4, 3,3,,, 5, 7,, 5,,, 3, 6,,,, 4,, 3, 3,, 4, 5, 6,,, 3,,,, 5,,,, 3, 3, 3, 3, 4, 6, 8, 4,,,,, 4, 5,, 5,,,, 3, 3,,, 4,, 5 9

21 Te podatke možemo predočt sljedećom tablcom frekvecja Umjesto ove stvare tablce frekvecja, občo se korst sljedeća, modfcraa ako djelomčog grupraja l vše f Tu smo tr šestce, jedu sedmcu jedu osmcu stavl skupa u razred koj smo azval šest l vše. U ovom je prmjeru rječ o dskretom oblježju pa za grafčko predočavaje podataka je pogoda hstogram, već djagram frekvecja kao a slc. Tu smo zad svake vrjedost a koordatom pravcu postavl dužu kojoj je dulja jedaka prpadoj frekvecj f. Ukupa dulja ovh duža jedaka je ukupom broju podataka u ovom je prmjeru = 6.

22 Još je uobčajeje grafčko predočavaje pomoću djagrama relatvh frekvecja, u kojemu je dulja duže zad pojedog podatka jedaka prpadoj relatvoj frekvecj f /. Ukupa dulja duža sad je jedaka. Djagram frekvecja mogl smo predočt točkcama kao a slc 3. Artmetčka sreda, stadarda devjacja, korgraa stadarda devjacja, raspo kvartl dobju se kao kod koturah oblježja. Dakle, a tr decmale dobjemo: = = s' =.88 s =.896 Raspo = 8- = 8 Prv kvartl q = objaste Drug kvartl medja = 3 objaste Treć kvartla q 3 = 4 objaste. Napomea. Statstčke velče u prmjerma poput Prmjera 3. često se e račuaju za sve podatke, već prblžo, tj. korsteć se podatcma z modfcrae tablce ako djelomčog grupraja. Tada se dobje: = = s' =.769 s =.784 Raspo = 6 - = Prv kvartl q = objaste Drug kvartl medja = 3 objaste Treć kvartla q 3 = 4 objaste.

23 OSNOVE TEORIJE VJEROJATNOSTI ZA INŽENJERE I. VJEROJATNOSNI PROSTOR Skup shoda U teorj vjerojatost razmatraju se događaj koj se mogu, al e moraju dogodt. Takv se događaj zovu slučajm događajma. Dakle, slučaj događaj jest događaj koj e možemo predvdjet. Takv se događaj događaju u ekm pokusma l pr opažajma ekh prrodh pojava. Prmjer. Bacamo dvje kocke ozačee brojevma od do 6 regstrramo brojeve koj su se pojavl a gorjm straama kocaka. Zama as događaj: zbroj brojeva a bačem kockama jest 9. Događaj koj razmatramo u tom pokusu je slučaja zbroj može bt svak broj od do e možemo predvdjet hoće l zbroj bt 9 l eće. Od sada ćemo razmatrat samo slučaje događaje zvat ćemo h, jedostavo, događajma ozačavat velkm slovma abecede: A,B,C, Evo ekolko tpčh pokusa u kojma astaju slučaj događaj: Bacamo kocku čje su strae ozačee brojevma od do 6 od sada ćemo samo govort: bacamo kocku. Iz skupa od 3 karte slučajo bramo jedu kartu. 3 Bramo slučajo trozamekast broj. 4 Bramo slučajo dva trozamekasta broja. 5 Od 5 kaddata slučajo bramo dvojcu od kojh će jeda bt predsjedk, a drug potpresjedk. 6 Bacamo ovčć dok e spade psmo jeda straa ovčća zove se psmo ozaka P, a druga glava ozaka G. 7 Mjermo vrjeme trajaja kemjske reakcje. 8 Mjermo devu temperaturu. Razmotrmo pokus bacaja kocke jeda put regstrramo broj koj se pojavo a gorjoj stra kocke. Možemo govort o razlčtm događajma u tom pokusu, prmjerce, A: spao je broj 6, B: spao je broj 4, C: spao je broj, D: spao je para broj, E: je spao broj.

24 Složt ćete se da su događaj A, B, C jedostav, a da su događaj D, E slože. Name, za događaje događaja A postoj samo po jeda mogućost, slčo je za događaje B,C, za događaje događaja D postoje tr mogućost da se dogod blo koj od događaja A, B, C, dok za događaje događaja E postoj pet mogućost. Jedostave događaje u ekom pokusu zvat ćemo shodma elemetarm događajma. Uočte sljedeće: svak se događaj sastoj od shoda. Vrlo je važo da u pokusu koj razmatramo zamo odredt skup shoda. Prmjer. Odredmo skup shoda za pokuse -8 avedee prje.. Bacaje kocke jeda put. U tom pokusu ma šest shoda; možemo h ozačt brojevma,, 3, 4, 5, 6.. Braje karte z skupa od 3 karte. Navedmo ekolko shoda u tom pokusu. A: as pk, B: as tref, C: sedmca karo, D: kralj herc, E: dečko herc, F: dama herc. Vdmo da u tom pokusu ma shoda kolko karata, dakle ma 3 shoda. 3. Braje trozamekastog broja. Navedmo ekolko shoda e ozačavajuć h slovma: 3, 8, 8, 3. Zaključujemo da u tom pokusu ma shoda kolko trozamekasth brojeva, dakle ma 9 shoda. 4. Braje dvaju trozamekasth brojeva. Navedmo ekolko shoda u tom pokusu. A: zabral smo 3 8, B: zabral smo 34 43, C: zabral smo Naravo da je svejedo zabral m brojeve 3 8 l zabral brojeve 8 3 bto je da smo oba puta odabral sta dva trozamekasta broja, a e kojega smo od jh prje zabral. Zato svak shod možemo smatrat dvočlam skupom koj je podskup skupa svh 9 trozamekasth brojeva kojh ma 9. Takvh podskupova ma. 5. Braje predsjedka potpredsjedka od 5 kaddata. Da bsmo opsal skup shoda ozačmo kaddate malm slovma abecede: a, b, c, d, e. Navedmo ekolko shoda u tom pokusu. A: a predsjedk, c potpredsjedk B: c predsjedk, a potpredsjedk C: d predsjedk, e potpredsjedk. Uočte da su A, C razlčt shod ako u oba slučaja sudjeluju ste osobe ame je svejedo tko će bt predsjedk, a tko potpredsjedk. Događaje A,B,C možemo zapsat kraće: A: ac ; B: ca; C: de. Zaključujemo da svak shod možemo jedozačo zapsat šfrom koja se sastoj od dvaju slova zabrah među slovma a, b, c, d, e. Šfru čtamo tako da je prvo slovo šfre predsjedk, a drugo potpredsjedk, prmjerce šfra ec zač da je e predsjedk, a c potpredsjedk. Uočte dva važa svojstva th šfara. slova šfre su razlčta. bto je mjesto slova u šfr pr zamje slova šfra se mjeja.

25 Svojstvo u matematc maju uređe parov. Dakle svaku takvu šfru, tj. svak shod u tom pokusu možemo smatrat uređem parom kojemu su koordate razlčte z skupa su { a, b, c, d, e}. Uređee parove občo pšemo u oblm zagradama, a koordate odvajamo zarezom. Tako b šfru ab mogl psat kao uređe par a,b, međutm, rad uštede vremea prostora psat ćemo bez zagrada bez zareza. Ispšmo sve shode: ab, ba, ac, ca, ad, da, ae, ea, bc, cb, bd, db, be, eb, cd, dc, ce, ec, de, ed. Vdmo da h ma. Do tog smo broja mogl doć ovakvm razmšljajem: Prvu koordatu smo mogl zabrat a 5 ača, a drugu jer mora bt razlčta od prve a 4 ača bez obzra koju smo prvu zabral. Zato ukupo ma 5 4 = takvh uređeh parova. Drugm rječma, predsjedka možemo zabrat a 5 ač, ako toga potpredsjedka a 4 ača bez obzra kojega smo zabral za predsjedka. Napomea. Pravlo koje smo korstl pr račuaju broja šfara u gorjem prmjeru zove se osovm teoremom prebrojavaja. Njegov se smsao vd z tog prmjera. Bto je da se uoč da se svak sljedeć korak može učt a određe broj ača, bez obzra koj su bl prethod korac. Ako b, recmo, broj ača a koj možemo učt 3. korak ovso o tome koj smo. korak l koj smo. korak zabral, oda e bsmo mogl korstt to pravlo. 6. Bacaje ovčća dok e spade psmo. Evo prjedloga ekolko shoda u tom pokusu. A: psmo je spalo u prvom bacaju. B: psmo je spalo u drugom bacaju. C: psmo je spalo u desetom bacaju. Ako događaje psma ozačmo slovom P, a događaje glave slovom G, oda događaje A, B, C možemo zapsat ovako: A: P; B: GP; C: GGGGGGGGGP. Prtom GP zač da je u prvom bacaju spala glava, a drugom psmo, što je sto kao da je psmo spalo u drugom bacaju. Slčo, GGGP jest zaps događaja psmo je spalo tek četvrt put. Kolko ma takvh zapsa tolko u tom pokusu ma shoda, dakle ma h beskoačo mogo. Po tome se taj pokus razlkuje od prethodh. Treba uočt da je taj skup shoda prebrojv, tj. može se postavt u z: P, GP, GGP, GGGP, GGGGP, GGGGGP, Uočmo još jedu razlku od zmeđu ovh shoda oh prje. Ov shod su ravoprav, što se vd po duž zapsa. Poslje ćemo vdjet kako to utječe a vjerojatost. 7. Mjereje vremea trajaja kemjske reakcje. Tu je shod svako moguće vrjeme trajaja te kemjske reakcje može se ozačt poztvm realm brojem. Ovso o pokusu to može bt blo koj poztv real broj; zato je skup shoda ek terval u skupu realh poztvh brojeva. S doje je strae taj terval omeđe ulom vrjeme trajaja kemjske reakcje e može bt egatvo. S gorje strae taj je terval eodređe kolko ajvše može trajat eka kemjska reakcja?. Taj se pokus bto razlkuje od prethodh. Name, u prethodm je pokusma skup shoda bo koača l prebrojv, a tu je eprebrojv. Treba uočt da smo vrjeme trajaja kemjske operacje shvatl u teoretskom smslu. U praks, vrjeme trajaja ovs o mjeroj skal. Ako, a prmjer, mjermo mjerm strumetom koj regstrra stotku sekude a maje vremeske vrjedost e regstrra, 3

26 oda b skup shoda bo do teoretskog tervala, kojeg če čvoršta podjele tog tervala a stotke. 8. Mjereje deve temperature. Pretpostavmo da je rječ o mjereju temperature u Celzjevm stupjevma a slučajo odabraom mjestu a Zemlj, u slučajo odabrao vrjeme. Skup shoda tog pokusa jest ek terval u skupu realh brojeva kao u prethodom pokusu. Taj je terval omeđe s doje strae brojem 73 apsoluta ula, dok je međa s gorje strae eodređea kao u 7. pokusu. Dakle, shod u ekom pokusu če skup skup shoda, koj ćemo ozačavat slovom S. Treba uočt tr mogućost s obzrom a broj shoda. I. skup shoda je koača. II. skup shoda je beskoača, al prebrojv. III. skup shoda je eprebrojv. U terj vjerojatost u praks pojavljuju se sve tr mogućost sve su važe to se vd z avedeh prmjera. Napomemo da je, što se vjerojatost tče, II blže I, ego III. Najvažj prmjer III. mogućost jesu kad je skup shoda ek terval u skupu realh brojeva o astaju u pokusma u kojma se ešto mjer takve ćemo poajvše razmatrat. Ishod su jedostav događaj; općeto događaj je sastavlje od jedog l vše shoda. Zato svak događaj možemo terpretrat kao ek podskup skupa shoda S. Pr takvoj su terpretacj shod jedočla događaj. Skup svh shoda S također je događaj; taj događaj zovemo sgurm događajem. Pokazuje se da je razumo uvest emoguć događaj; taj događaj terpretra je prazm skupom ozaka Ø. Prmjer 3. Bacamo kocku jeda put. Zapšmo pomoću skupova događaje: S sgur događaj; A: spao je broj već od dva; B: spao je para broj; C: spao je broj već od 3, a maj od 5; D: je spao epara broj; E: spao je broj 4. S = {,,3,4,5,6 } A = { 3,4,5,6} B = {,4,6} C = { 4 } D = {,4,6} E = { 4 }. Treba uočt da se događaj A, D sastoje od sth shoda; kažemo da su ta dva događaja jedaka pšemo A = D. Slčo, C = E. Defcja jedakost događaja u skladu je s defcjom jedakost skupova. Zaključujemo:. Događaj je podskup skupa svh shoda.. Dva su događaja jedaka ako se sastoje od sth shoda. 4

27 Ako je skup shoda koača l beskoača prebrojv, oda se u teorj vjerojatost razmatraju sv podskupov skupa shoda kao događaj. Ako je skup shoda beskoača eprebrojv, pokazuje se da je dobro prhvatt sve podskupove skupa shoda kao događaje, već samo eke. Ta se, za moge zeađujuća čjeca, može točo matematčk obrazložt; m to u ovoj kjz ećemo učt. Napomemo da su u pokusma u kojma je skup shoda ek terval skupa realh brojeva takv as u pravlu zamaju, ajvažj u praks ajzamljvj događaj upravo o koj se skupovo mogu terpretrat kao podterval skupa shoda. Dobro je zat da se o prhvaćaju kao događaj u teorj vjerojatost. Na prmjer, u pokusu mjereja temperature, občo as zamaju događaj poput: A: temperatura je zad ule. B: temperatura je maja od 3º. C: temperatura je zmeđu 4º 5.5º. Prmjer 4. Odredmo broj svh događaja u pokusu bacaja kocke jeda put. Možemo postupt a vše ača.. ač. Popšmo redom sve podskupove skupa {,,3,4,5,6 } člaova prebrojmo h. ulčlah ma samo praz skup emoguć događaj jedočlah ma 6 kolko shoda dvočlah ma 5 tročlah ma četveročlah ma 5 peteročlah ma 6 šesteročlah ma sgur događaj S. Zbrajajem dobjemo: = 64. Uočte u tom zbroju smetrčost bomh koefcjeata. prema broju elemeata. ač. Svakom događaju odoso podskupu skupa S prpšmo šfru dulje 6 sastavljeu od brojeva, kao u prmjerma: događaj podskup spao je para broj ma šfru što treba čtat kao podskup e sadrž, sadrž, e sadrž 3, sadrž 4, e sadrž 5, sadrž 6. Slčo, je šfra podskupa događaja {,,5,6}. Dakle kako je a drugom mjestu zač da broj prpada skupu, a kako je broj a trećem mjestu, to zač da 3 e prpada podskupu; slčo je za ostala mjesta. Treba uočt da događaja ma kolko takvh šfara. Takvh šfara ma 6 = 64 prvo se mjesto bra a ača, drugo opet a dva ača, bez obzra kako je zabrao prvo mjesto td. Zaključvaje z prmjera može se provest općeto dokazat: Ako ma shoda oda ma događaja. Dakle, broj svh događaja ekspoecjalo ovs o broju shoda. Zato je već kod relatvo malog broja shoda, broj događaja tako velk da je praktčo edostupa. Na prmjer, ako ma 3 shod, oda ma 3 = svh događaja. Da bsmo dobl predodžbu o tom broju, zamslmo da etko broj svh 4 sata devo da svake sekude može zbrojt jeda broj. Tada b mu trebao cjel žvot vše od 68 goda da dobroj do tog broja. Zapsvaje brojeva od do 3 trajalo b još duže, a zapsvaje svh događaja u tom slučaju ekom šfrom trajalo b još duže. 5

28 Dobro je što u teorj vjerojatost je važa pops svh događaja u ekom pokusu, već samo ek zamljv događaj broj shoda koj h če. Ako u pokusu ma beskoačo mogo, al prebrojvo shoda, tada, kao u slučaju koačog broja shoda, svak podskup skupa shoda reprezetra ek događaj. Tada, aravo, ma beskoačo mogo svh događaja, a može se dokazat da h ma eprebrojvo mogo. Kao u koačom slučaju, zamat će as samo ek događaj, a e sv. Na prmjer, kod bacaja ovčća dok e spade glava, občo as zamaju događaj poput: A: pokus je trajao 5 bacaja, B: pokus je trajao bar 5 bacaja, C: pokus je trajao ajvše 5 bacaja, D: pokus je trajao zmeđu 5 bacaja, E: pokus je trajao para broj bacaja. Uočte da se događaj A,C,D sastoje od koačo mogo, a događaj B,E od beskoačo mogo shoda. Algebra događaja Vezc, l. Vezcma se u jezku povezuju dvje rečece tako astaje ova rečeca, složea od th dvju. Na prmjer, povezvajem vezkom rečeca: A: Matea vol plvaje, B: Matea vol rukomet, astaje rečeca A B: Matea vol plvaje Matea vol rukomet. Kraće, povezvajem rečeca A, B vezkom astaje rečeca A B. U jezku se, premu ačelu ekoomčost, rečeca A B pše kao: Matea vol plvaje rukomet. Treba uočt da svaka od rečeca A, B ešto tvrd, a da rečeca A B tvrd da vrjed jedo drugo. Slčo, povezvajem vezkom l rečeca: A: Raspsa je atječaj za žejera matematke, B: Raspsa je atječaj za profesora matematke, astaje rečeca A l B: Raspsa je atječaj za žejera matematke l raspsa je atječaj za profesora matematke. Kraće, povezvajem rečeca A, B vezkom l astaje rečeca A l B. Opet, prema ačelu ekoomčost, ta b se rečeca psala kao: Raspsa je atječaj za žejera l profesora matematke. Treba uočt da rečeca A l B tvrd da vrjed jedo l drugo, al dopušta da vrjed jedo drugo. Ta je rečeca tvrdja da je atječaj za oe koj maju jedu od th dploma, al za oe koj maju obje dplome, dakle, koj su ujedo žejer profesor matematke a takvh ma. Treba zat da se vezk l u matematc uvjek shvaća a taj ač uključv l. U svakdašjem govoru to uvjek je tako. Na prmjer, u rečec: Marko je položo spt ocjeom l 3, vezk l e dopušta jedo drugo sključv l. Da b se to aglaslo ta b se rečeca mogla apsat kao: Marko je položo spt l ocjeom l ocjeom 3. 6

29 Zbroj umožak događaja. Pretpostavmo da su rečece A, B formulacje dvaju događaja u ekom pokusu. Tada su rečece A B, A l B također formulacje događaja u tom pokusu. Neka je, a prmjer, u pokusu bacaja kocke jeda put: A: spao je broj već od, B: spao je para broj. Tada je: A B: spao je broj već od spao je para broj. Također: A l B: spao je broj već od l je spao para broj. Zapšmo te događaje kao poskupove skupa shoda skupova terpretacja događaja. A = { 3,4,5,6} B = {,4,6} A B = { 4,6} A l B = {,3,4,5,6} Treba uočt da, u skupovoj terpretacj, događaju A B odgovara presjek skupova A, B; također da događaju A l B odgovara uja skupova A,B. To očto vrjed općeto, a e samo u ovom prmjeru. Uobčajeo je da se događaj A B u teorj vjerojatost zove umoškom produktom događaja A, B da se pše kao A B; također da se događaj A l B zove zbrojem sumom događaja A,B da se pše kao A+B. Dakle, A B = umožak događaja A,B dogodo se događaj A događaj B; dogodla su se oba od događaja A,B, A+B = zbroj događaja A,B dogodo se događaj A l događaj B; dogodo se barem jeda od događaja A, B. Kako smo rekl, u skupovoj terpretacj, događaju A B odgovara presjek skupova A,B, tj. skup A B, a događaju A+B skup A B. Zato se, katkad, t događaj tako ozačuju. 7

30 Treba uočt da su zbrajaje, odoso možeje bare operacje a događajma; oe dvama događajma prdružuju ov događaj, slože od jh, jhov zbroj, odoso jhov umožak. Suprot događaj. Njekom egacjom eke rečece protuslov se tvrdj koju ta rečeca zrče. Na prmjer, A: Marko je položo spt z matematke, je A: Nje Marko položo spt z matematke. Rečecom je A protuslov se rečec A, tj. jom se ječe egra tvrdja zrečea rečecom A. Napomemo da je rečecu je A, uobčajeo zapsat kao: je A: Marko je položo spt z matematke. z estetskh ekh drugh razloga rječ je de uutra Predpostavmo da je rečeca A formulacja ekog događaja. Tada je rečeca je A također formulacja ekog događaja kojega zovemo suprotm događajem događaja A. Na prmjer, ako je u pokusu bacaja kocke jeda put: A: spao je para broj, oda je suprot događaj: je A: je spao para broj. U skupovoj je terpretacj: A = {,4,6} je A = {,3,5}. Treba uočt da se događaj je A sastoj upravo od oh shoda koj e prpadaju događaju A. To zač da je je A komplemet skupa A u skupu svh shoda S. Uobčajeo je da se suprot događaj je A događaja A ozačava kao Ā čta kao e a. Dakle, Ā : suprot događaj događaja A je se dogodo A. U skupovoj terpretacj Ā je komplemet skupa A u skupu S. Treba uočt da je jekaje događaja uara operacja a događajma; oa svakom događaju prdružuje jemu suprot događaj. Prmjer 5. Zapšmo sljedeće događaje skupovo h terpretrajmo: a dogodo se A, al se je dogodo B, b dogodo se točo jeda od događaja A, B, c je se dogodo jeda od događaja A, B, d bar jeda od događaja A,B je se dogodo, 8

31 e dogodo se ajvše jeda od događaja A,B. a A B b A B + BA c A B d A + B e A B + AB + AB. Svojstva operacja a događajma U skupovoj terpretacj operacjama zbrajaja, možeja jekaja a događajma odgovaraju redom operacje uje, presjeka komplemetraja s obzrom a sgur događaj S. Pr tom svojstvma operacja a skupovma odgovaraju prpada svojstva operacja a događajma. U sljedećoj ćemo tablc u ljevom stupcu zapsat važa svojstva uje, presjeka komplemetraja a podskupovma skupa S, a u desom prpada svojstva operacja zbroja, umoška jekaja a događajma. Ta svojstva vrjede za sve dogasđaje A,B,C. A B=B A A+B=B+A A B C=A B C A+B+C=A+B+C A B=B A AB=BA A B C=A B C ABC=ABC A B C=A B A C A B C=A B A C AB+C=AB+AC A+BC=A+BA+C 9

32 A c c = A A = A A A c =S A A =S A A c = Ø A A = Ø A B c =A c B c A B = A B A B c =A c B c A B = A B Prmjer 6. Izrecmo rječma sljedeća svojstva operacja a događajma: a A = A b A + A = S c A A = Ø d DeMorgova pravla. A + B = A B AB = A + B a Događaj: je sta da se je dogodo A jedak je događaju A. Možemo reć ovako: suprot događaj suprotog događaja jedak je početom događaju. To u stvar zač da su događaj A A međusobo suprot A suprota je događaju A, dok je A suprota događaju A. b Za svak događaj vrjed da se dogodo l je. c Međusobo suprot događaj e mogu se stovremeo dogodt d događaj: je sta da se dogodo A l B jedak je događaju: je se dogodo A t se dogodo B. događaj: je sta da se dogodo A B jedak je događaju: je se dogodo A l se je dogodo B. Skup događaja u ekom pokusu skupa s operacjama zbrajaja, možeja jekaja zovemo algebra događaja. Uobčajeo je algebru događaja ozačavat ozakom A,+,,-, gdje A ozačava skup svh događaja. Treba uočt da ma vše razlčth algebra događaja koje su prdružee razlčtm pokusma, al da svaka od jh ma gore apsaa svojstva. Vdjel smo da se dva međusobo suprota događaja e mogu stovremeo dogodt. To zač: ako se dogodo A, oda se je dogodo A obrato, ako se dogodo A, oda se je dogodo A. Općeto: ako se dva događaja e mogu stovremeo dogodt, oda kažemo da se događaj sključuju u skupovoj terpretacj to zač da su prpad podskupov dsjukt. Može se reć ovako:

33 Dva se događaja sključuju ako je jhov umožak emoguć događaj. Ako su dva događaja međusobo suprot, oda se o sključuju, međutm događaj se mogu sključvat, a da e budu suprot. Prmjer 7. Bacamo kocku jeda put. Ispšmo sve događaje koj se sključuju s događajem,,3. A = { } To su događaj {}{}{}{, 5, 6, 4,5}{, 4,6}{, 5,6},{ 4,5,6} 4 Ø emoguć se događaj sključuje sa svakm događajem. Treba uočt da ma vše događaja koj se sključuju s ekm događajem; među jma je samo jeda suprota zadaom događaju. Vjerojatos prostor Kako smo rekl slučaj događaj se može, al e mora dogodt. Vjerojatost događaja jest brojčaa mjera zgleda šase da se taj događaj dogod. Neka je, a prmjer u jedoj kutj 5 crveh, bjelh 3 plavh kuglca koje se e razlkuju osm po boj eka se pokus sastoj od slučajog braja jede kuglce. Ozačmo: A: zvučea je kuglca crvea B: zvučea je kuglca bjela C: zvučea je kuglca plava. U pokusu se može dogodt blo koj od događaja A, B, C. Itutvo je jaso da t događaj emaju jedake zglede ajveć zgled ma događaj A jer crveh kuglca ma ajvše. Mog će, upta da zgled th događaja zraze brojčao, odgovort da događaj A ma šasu zgled 5% jer crvee kuglce če 5% kuglca, da događaj B ma šasu %, a događaj C šasu 3%. Ako se aalzra zaključak o zgledu zvlačeja crvee kuglce, ustaovt ćemo da se o zasva a sljedećm čjecama: ukupa je broj kuglca, svaka kuglca ma jedak zgled da bude zvučea to je smsao uvjeta da se kuglca bra slučajo, crveh kuglca ma 5. Dakle, u 5 od mogućost, zvučea će kuglca bt crvea, pa je zgled zvlačeja 5 crvee kuglce 5%, odoso. Taj model zaključvaja provest ćemo općeto, samo što ećemo govort o zgledu događaja, već o vjerojatost događaja što vjerojatost ećemo zapsvat u oblku postotka, već u oblku razlomka odoso decmala broja. Neka u ekom pokusu ma shoda eka su sv shod međusobo ravoprav maju međusobo jedake zglede da se dogode. Pretpostavmo da se događaj A sastoj od m shoda. Tada je vjerojatost događaja događaja A jedaka m. To kraće pšemo kao: p A = m

34 p je početo slovo latske rječ probabls. Prmjer 8. Bacamo kocku jeda put. Izračuajmo vjerojatost događaja. A: spao je para broj, B: spao je broj već od dva. Zapšmo događaj A kao podskup skupa shoda: A ={,4,6} pa=3/6. Slčo je, B = {,4,5,6} 3, pa je pb = 4/6.. Tu je m=3, =6, pa je To rješeje zahtjeva kometar. Name, pretpostavl smo da brojev,,3,4,5,6 maju međusobo jedake zglede da se pojave da su međusobo ravoprav, tj. da je kocka homogea. Od sad ćemo, ako e budemo drukčje rekl, uvjek smatrat da je kocka koju bacamo homogea. Što b se moglo dogodt ako kocka e b bla homogea? Zamslmo da smo kocku ozačl tako da je 6 asuprot, 5 asuprot, 4 asuprot 3. Zamslmo, također, da smo polovcu kocke koja sadrž strau ozačeu brojem zradl od željeza, a ou drugu od alumja. Ako b pokus bo bacaje takve kocke, skup shoda, pa oda skup događaja, bl b st kao pr bacaju homogee kocke. Međutm vjerojatost b se th događaja promjel, jer shod e b bl međusobo ravoprav veća b bla vjerojatost da spae broj 6 ago broj. Treba mat a umu da se blo koj praktč pokus razlkuje od prpadog dealog zamšljeog, matematčkog pokusa. Objasmo to. Što zač da bacamo homogeu kocku? Je l uopće moguće zradt kocku u matematčkom smslu, posebce homogeu kocku? Ako bsmo mal takvu kocku, teško b blo ostvart apsolutu ravopravost svh shoda pr bacaju. Zato, kad u teorj vjerojatost govormo da bacamo homogeu kocku, zamšljamo deal pokus. Taj b se deal pokus mogao formulrat ovako: Slučajo bramo jeda od brojeva,,3,4,5,6. Postavlja se ptaje može l se ostvart takav pokus. Evo ekolko prjedloga:. Bacamo homogeu kocku ozačeu brojevma,,3,4,5,6.. U kutj je 6 kuglca sth polumjera sth masa ozačeh brojevma od do 6. Slučajo vadmo jedu kuglcu. 3. Šest lstća ozačeo je brojevma od do 6 zatvoreo u 6 kuverata. Bramo slučajo jedu od kuverata. Treba mat a umu da je svak od th pokusa samo prblžo rješeje. Za ove razlčte pokuse kažemo da su ekvvalet. Sa staovšta vjerojatost, o se e razlkuju. Prmjer 9. Kolka je vjerojatost da od dvju slučajo odabarh karata z kupa od 3 karte budu. a dva asa b dva herca. Ozačmo A: zabraa su dva asa, B: zabraa su dva herca. Da bsmo odredl vjerojatost treba odredt broj shoda, a da bsmo odredl broj shoda treba zat što su shod u tom pokusu. Ishod u tom pokusu jest svak dvočla podskup

35 3 skupa od 3 karte. Zato shoda ma. Buduć da je braje karata slučajo, shod su međusobo ravoprav. Događaj A sastoj se od 6 shoda: A = { {as pk, as karo}, {as pk, as herc}, {as pk, as tref}, {as karo, as herc}, {as karo, as tref}, {as herc, as tref} }. 4 Broj shoda od kojh se sastoj događaj A mogl smo zračuat kao, jer je to broj dvočlah podskupova četveročlaa skupa. Dakle, 6 pa =. 3 Slčo se dobje 8 PB = jer ukupo ma 8 herčeva. 3 Svojstva vjerojatost događaja. Iz defcje vjerojatost kao omjera svh povoljh mogućost svh mogućost prozlaze sljedeća svojstva vjerojatost p događaja.. PS = ukupa vjerojatost jedaka je. pa+b = pa + pb, ako se A, B sključuju Ako u. umjesto B stavmo A, dobjemo pa+ A = pa+p A, a kako je A+ A =S ps=, dobjemo pa+p A =, što pšemo kao 3. p A =-pa Ta se formula zove formulom vjerojatost suprotog događaja lako se može zravo zvest. Ako se u tu formulu stav A=S, oda je, A =Ø, pa je 4. PØ =. Ta se formula može zravo dobt z defcje vjerojatost jer se emoguć događaj sastoj od shoda. Postavlja se ptaje vjerojatost sume događaja za dva događaja koja se užo e sključuju. Razmotrmo slku. Neka je: card S =, card A = m, card B = k card AB = r. Zato je card A+B=m+k-r, pa je pa+b =m+k-r/ = m/+k/-r/ 3

36 = pa+pb-pab, dakle, 5. pa+b=pa+pb-pab. Ta se formula zove formulom zbroja dvaju događaja. Oa povezuje vjerojatost dvaju događaja, te vjerojatost jhova zbroja umoška. Ako zamo 3 od th vjerojatost, oda pomoću te formule možemo zračuat četvrtu. Vjerojatosm prostorom zovemo algebru događaja A skupa s fukcjom vjerojatost p: A.[,] koja ma svojstva,-5. Kad ma beskoačo mogo shoda treba dodat još eka svojstva. Može se pokazat da se z svojstava.. mogu zvest svojstva 3., U sljedećm ćemo prmjerma lustrrat uporabu ekh svojstava vjerojatost ekh svojstava operacja a algebr događaja. Prmjer. Iz kupa od 3 karte slučajo zvlačmo karte. Odredte vjerojatost da bude: a zvuče je točo jeda as. b zvuče je točo jeda kralj. c zvuče su as kralj. d zvuče je as l kralj. e je zvuče as l je zvuče kralj. Ozačmo: A: među zvučem kartama je točo jeda as, B: među zvučem je kartama točo jeda kralj. Da bsmo zračual vjerojatost avedeh događaja treba uočt da se A sastoj od dvju kompoeata: asa eke karte koja je as. As se bra a 4 ača, a karta koja je as a 8 ača, bez obzra koj je as zabra. Zato je: 3 pa=4 8/ pb=pa Događaj: zvuče je as kralj jest umožak događaja A,B. Slčo kao do sada zaključujemo da je: 4

37 3 pab=4 4/ d događaj: zvuče je as l kralj jest zbroj događaja A,B. Korsteć se formulom za vjerojatost zbroja događaja dobvamo: pa+b = pa+pb-pab 3 =8/ e događaj: je zvuče as l je zvuče kralj jest zbroj događaja A, B. Korsteć se DeMorgaovom formulom formulom vjerojatost suprotog događaja dobvamo: f p A + B = p AB =-pab 3 = - 6/ Prmjer. Izvedmo formulu za vjerojatost zbroja trju događaja. pa+b+c=pa+b+c =pa+b+pc-pa+bc =pa+pb-pab+pc-pac+ac =pa+pb-pab+pc-pac-pbc+pacbc =pa+pb+pc-pab-pac-pbc+pabcc =pa+pb+pc-pab-pac-pbc+pabc. Svojstva vjerojatost.-5. a algebr događaja zvel smo uz pretpostavku da je skup shoda koača da su shod međusobo ravoprav. Štovše, pokazal smo da se svojstva zvode z prvh dvaju svojstava. Napšmo opet ta dva svojstva vjerojatost:. ps =. pa+b = pa+pb, za svaka dva događaja A,B koja se sključuju. Ta su dva svojstva tolko tutvo jasa da možemo pretpostavt da vrjede a svakoj algebr događaja. Naravo, tada vrjede preostala tr svojstva. Također, ako je broj shoda beskoača prebrojv l ako je skup shoda terval u skupu realh brojeva, oda ećemo vše mat ou formulu vjerojatost kao omjera povoljh svh mogućost. Prmjere račuaja vjerojatost u slučaju beskoačo mogo, al prebrojvo shoda vdjet ćemo poslje. Sad ćemo razmotrt eke prmjere vjerojatost u slučaju kad je skup shoda terval u skupu realh brojeva. Geometrjska vjerojatost. U sljedećm ćemo prmjerma lustrrat kako se može račuat vjerojatost u ekm pokusma s eprebrojvo mogo shoda. Prmjer. Predpostavmo da čestca može ravopravo bt u svakoj točk tervala dulje. Odredmo vjerojatost da udaljeost točke od sredšta tervala bude: a jedaka, b maja l jedaka, c zmeđu 3. 5

38 Ishode tog pokusa možemo terpretrat točkama zadaog tervala; dakle skup je shoda upravo zada terval. Zato shoda ma beskoačo mogo. a ozačmo: A: udaljeost čestce od sredšta tervala jedaka je. Taj se događaj sastoj od dvaju shoda čestca može bt ljevo l deso od sredšta. Buduć da ma beskoačo mogo shoda, a sv su shod ravoprav tako shvaćamo tvrdju da čestca ravopravo može bt u svakoj točk tervala, zaključujemo da je pa= tutvo: omjer broja beskoačost jedak je. To možda može stvort edoumcu: događaj A je moguć, al mu je vjerojatost jedaka ul. Da se uvjermo u to matematčkm rezorajem, pretpostavmo da je pa>. Vjerojatost da je udaljeost čestce od sredšta jedaka.;.;. td. jedaka je pa jer se svak od th događaja također sastoj od po dvaju shoda, a sv su shod ravoprav. Ako bsmo uzel zbroj dovoljo mogo th događaja koj se međusobo sključuju, dobl bsmo događaj kojemu je vjerojatost veća od zbog svojstva. vjerojatost. To je u suprotost sa svojstvom. da je ukupa vjerojatost jedaka. Dakle, e može bt pa> pa mora bt pa=. Treba mat a umu sljedeće: taj smo zaključak zvel z pretpostavke da zasta postoj vjerojatost a algebr događaja u ovom pokusu da oa ma svojstva... b Ozačmo: B: udaljeost čestce od sredšta tervala maja je l jedaka. Taj se događaj terpretra tervalom dulje 4, smetrčm s obzrom a sredšte zadaog tervala dulje taj terval možemo ozačt slovom S, kao sgur događaj. Vdmo da vjerojatost e možemo račuat djeljejem broja povoljh shoda s brojem svh shoda kao u slučaju koačo mogo shoda jer bsmo dobl beskoačo kroz beskoačo. Međutm, možemo postupt slčo, kao vjerojatost događaja uzet omjer dulje tervala koj reprezetra događaj dulje ukupog tervala. Dakle, pb := dulja tervala B/dulja tervala S = 4/. Treba uočt da smo prhvatl razumm ovakvo račuaje vjerojatost al da smo dokazal da je to tako. Napomemo da pr ovakvoj terpretacj vjerojatost u tom pokusu pr terpretacj da su točke terval dulje, prozlaz da je vjerojatost svakog od shoda jedaka što smo dobl u a. Također, može se pokazat da je ovakvo rezoraje matematčk kozsteto. c Ozačmo: C: udaljeost čestce od sredšta tervala je zmeđu 3. Taj se događaj terpretra ujom dvaju tervala, svakog dulje. Zato je: pc=/. Prmjer 3. U svakom treutku vremeskog tervala [,T], ravopravo mogu doć dva sgala. Ako vremesk razmak dolaska sgala bude maj od v gdje je v mal poztva broj, doć će do smetje. Odredmo vjerojatost da dođe do smetje. Kako prv sgal može doć u blo kojem treutku zadaog tervala, a drug sgal također, skup shoda tog pokusa možemo terpretrat skupom svh uređeh parova,y, gdje su, y real brojev sa svojstvom <,y<t. Tu ozačava vrjeme dolaska prvog, a y vrjeme dolaska drugog sgala. Uočte da je taj skup kvadrat kojemu je dulja strace T. Pr toj terpretacj, sgal će doć u vremeskom tervalu majem od v, ako je 6

39 -y<v. Skup uređeh parova s tm svojstvom osjeje je a slc o reprezetra traže događaj A. Vjerojatost ćemo terpretrat kao omjer površe skupa koj reprezetra događaj A ukupe površe. Dakle: T T v p A =. T Vjerojatost u ovm prmjerma azva se geometrjskom, jer smo se pr jeoj defcj korstl geometrjskom predodžbom. Statstčka defcja vjerojatost Što zač da je pr bacaju ovčća jeda put, vjerojatost da spade P jedaka /? Zač l to da će se pr bacaja ovčća jedom dogodt P. Naravo da e zač. Zač l to da će se pr bacaja ovčća puta dogodt P? Ne zač to. Pokusom se možemo uvjert da će se pr bacaja ovčća otprlke puta dogodt P a ujedo G. Evo rezultata broja psama u ekolko pokusa bacaja ovčća po puta. Zapsal smo I međurezultate ako, 5, bacaja. bacaja 5 bacaja bacaja bacaja.pokus pokus pokus pokus pokus

40 6.pokus pokus pokus Izračuajmo omjer broja pojavljvaja psma ukupog broja bacaja u tm pokusma..pokus 3/ =.55.pokus 9/ = pokus 94/ =.47 4.pokus 6/ =.53 5.pokus 89/ = pokus 93/ = pokus / =.55 8.pokus 3/ =.55 Treba uočt da se omjer grupraju oko broja.5, tj. da je pr svakom od bacaja ovčća, omjer prblžo jedak.5. Ukupo, tj. u 6 bacaja, događaj P dogodo se 87 puta. Prpad je omjer: 87/ 6 = Taj je rezultat a dvje decmale jedak broju.5. Ta as razmatraja avode a statstčku defcju vjerojatost kao graču vrjedost relatvh frekvecja događaja. Pojasmo to. Uočmo u ekom pokusu događaj A. Da bsmo statstčk odredl vjerojatost tog događaja poavljajmo zvođeje tog pokusa. Ako se pr zvođeja tog pokusa događaj A dogodo m puta, oda se m zove frekvecja, a kvocjet m/ relatva frekvecja događaja A za zvođeja pokusa. Statstčka vjerojatost događaja A jest grača vrjedost reletvh frekvecja tog događaja kad broj zvođeja pokusa tež k beskoačost. Kraće: pa = lm m/. Naravo, ema matematčkh razloga koj b bezuvjeto garatral da će relatve frekvecje mat lmes. Pokus, poput oog s ovčćem, uvjeravaju as u to. Vdmo da se relatve frekvecje grupraju oko teoretske vjerojatost. Prmjer 4. Treba provjert je l zrađea kocka homogea. Taj b se problem možda mogao rješt uz pomoć tehološke metode kojom se provjerava homogeost materjala. Pretpostavmo da to smo u mogućost, tj. da emamo kakvh pomagala za provjeru homogeost. Tada homogeost možemo provjert pomoću statstčke vjerojatost. Ako pr velkom broju bacaja kocke ustaovmo da su se brojev,, 3, 4, 5, 6 prblžo jedako puta dogodl, tj. ako su jhove relatve frekvecje prblžo jedake 8

41 /6, možemo smatrat da je kocka homogea, ače e. Vdjet ćemo poslje kako se egzaktje odlučuje jesu l rezultat prblžo jedak l e. Statstčka vjerojatost je samo alteratva za taoretsku vjerojatost. U mogm se pokusma e može doć do vjerojatost osm tako. Na prmjer, ako želmo odredt vjerojatost da se atom radja raspade u vremeu t. Naravo da se tada može govort samo o prblžoj vjerojatost. Također, točost se rezultata povećava ako se broj zvođeja pokusa odoso broj mjereja povećava. Uvjeta vjerojatost. Nezavs događaj Ako sazamo eku formacju o pokusu, može se dogodt da se vjerojatost događaja promjee. To ćemo pokazat a prmjerma. Prmjer 5. Kolka je vjerojatost da je pr bacaju kocke spao broj 6 ako zamo da je spao para broj? Ozačmo: A: spao je broj 6. B: spao je para broj. Naravo, pa = /6 ; pb = 3/6. Međutm ako zamo da je spao para broj, ema vše 6 ego samo 3 mogućost shoda: spao je broj l broj 4 l broj 6. Kako su te 3 mogućost ravoprave, zaključujemo da je sad vjerojatost da spade 6 jedaka /3. To se zapsuje kao: pa B = /3 čta kao: vjerojatost da se dogod A ako se dogodo B je /3 odoso uvjeta vjerojatost događaja A uvjeto o B jedaka je /3. Vdmo da se u tom prmjeru uvjeta vjerojatost događaja razlkuje od jegove zvore vjerojatost. Dakle, ako zamo da se dogodo događaj B, oda se skup shoda mjeja. Taj ov skup shoda jest upravo skup shoda koj če događaj B. Tada događaj A če samo o jegov shod koj su ujedo u B, tj. o koj su u A B, tj. u AB. Korsteć se tme zvodmo: pa B = card AB/card B = cardab/cards/cardb/card S = pab/pb. Tom je formulom uvjeta vjerojatost zražea pomoću zvore vjerojatost. Treba uočt da taj zvod vrjed za pokus u kojemu je skup shoda koača u kojemu su shod međusobo ravoprav. Do ste b se formule došlo ako bsmo mal pokus u kojemu se skup shoda S terpretra kao terval realh brojeva, kao podskup rave l kao podskup prostora. Ozakom m ozačmo dulju, površu, odoso obujam. Tada zvodmo: pa B = mab/mb = mab/ms/mb/ms = pab/pb. Dakle, uvjek dolazmo do ste formule: pa B = pab/pb To je formula uvjete vjerojatost. Ta se formula može apsat u oblku: 9

42 pab = pa BpB Ta se formula zove formulom umoška produktom formulom. U avedeom prmjeru lako smo prhvatl da se vjerojatost spadaja broja 6 promjela kad smo sazal da je spao para broj. Međutm, često okolost u kojma se pojavljuje uvjeta vjerojatost zaju, barem a prv pogled, zgledat paradoksalo. Navedmo jeda takav slučaj. Prmjer 6. Trgovačk je putk došao u posjet bračom paru. U ragovoru s jma sazao je da maju dvoje djece. U to je u sobu ušao dječak. Kolka je vjerojatost da je drugo djete dječak? U astavku razgovora trgovačk je putk sazao da je drugo djete mlađe. Kolka je sad vjerojatost da je drugo djete dječak? Prje ego prjeđemo a rješavaje ovog problema za koje je potrebo dodato pojašjeje, pogledajmo jeda drug prmjer, aaloga ovome, al ešto jasj v sam možete pokušat rješt problem s djecom. Prmjer 7. Pokus se sastoj od bacaja dvju kocaka. Pretpostavmo da smo sazal da je a prvoj kock bo broj 6. Kolka je vjerojatost da je a drugoj kock bo broj 6? Pretpostavmo da smo sazal da je a jedoj od kocaka bo broj 6. Kolka je vjerojatost da je a drugoj kock bo 6? Razmotrmo ovaj prmjer rad provjere svoga osjećaja za problem, pokušajte odgovort je l rezultat u oba slučaja st. U prvom slučaju zamo da je a prvoj kock bo rezultat 6. Itutvo am je jaso da ta čjeca e može utjecat a vjerojatost događaja da a drugoj kock bude 6 što zač da vjerojatost treba ostat /6. Tome slčm okolostma vše ćemo se posvett u sljedećoj jedc, a sada tvrdju obrazložmo. Ako je a prvoj kock bo 6, oda su mogle astat sljedećh 6, međusobo ravopravh, mogućost: 6, 6, 63, 64, 65, 66, gdje ov zaps maju uobčajeo začeje a prmjer 63 zač da je a prvoj kock bo 6, a a drugoj 3. Samo u jedoj od th mogućost a drugoj je kock bo 6 to je mogućost 66. Zato je vjerojatost da je a drugoj kock bo 6 jedaka /6 kao da prvu kocku smo bacal. U drugom slučaju koj se samo azgled e razlkuje od prvoga zamo da je a jedoj od kocaka bo 6 al e zamo a kojoj. Sad ma međusobo ravopravh mogućost: 6,6,63,64,65,66,56,46,36,6,6, al sad ma šest mogućost u kojma je 6 a drugoj kock. Zato je vjerojatost da a drugoj kock bude 6 jedaka 6/. Vdmo da se vjerojatost bto razlkuju. Sad ćemo pokušat slčo razmatraje prmjet a slučaj trgovačkog putka djece, koj je još uvjek mstča jer kakve veze može pojam mlađ mat s pojmom spola. Prje svega dogovormo se da je za rođeo djete jedaka vjerojatost da bude dječak kao da bude curca. Zademo da to u stvarost je baš tako vjerojatost rađaja dječaka, odoso curce ovs o mogm okolostma, koje se često mjejaju, ovse o kokretom bračom paru oa se može samo prblžo odredt, kao statstčka vjerojatost.

43 Ako slovom D ozačmo dječaka, a slovom C curcu, oda za dvoje djece mogu astat sljedeće 4 ravoprave mogućost: CC,CD,DC,DD gdje, a prmjer, CD zač da je brač par ajprje dobo curcu, potom dječaka, td.. Nako što je vdo dječaka, trgovačk je putk sazao da su ostale 3 ravoprave mogućost: CD,DC, DD pa je u. slučaju vjerojatost da drugo djete bude dječak jedaka /3 a e / kako b se brzopleto moglo pomslt. U drugom je slučaju trgovačk putk dobo dodatu formacju a osov koje je zaključo da su ostale dvje ravoprave mogućost: CD, DD jer je starje djete dječak. Dakle, u ovom je slučaju vjerojatost da drugo djete bude dječak jedaka / a e /3, kao prje. Ptaje. Nako usvajaja dogovora da je kod svakog para jedaka vjerojatost da se rod curca kao da se rod dječak, uočte da je pokus dobvaja dvoje djece ekvvaleta pokusu bacaja ovčća dva puta. Kako bste formulral aalog zadatatak u tom pokusu? Zadatak. Od trju kutja dvje su praze, a u jedoj je agrada. Natjecatelj slučajo odabre jedu od kutja za koju msl da je u joj agrada. Prje ego je otvor etko pogleda u oe preostale dvje kutje, pokaže jedu koja je praza poud atjecatelju da zamje svoju kutju s oom preostalom. Isplat l se to atjecatelju? Izračuajte relevate vjerojatost. Zadatak. Bomba se deaktvra tako da se prerežu tr točo odredjee žce, a da se četvrta e prereže. Osoba W koja je prsljea a to da pokuša deaktvrat bombu zabere slučajo jedu od žca koju eće prerezat dok ostale tr hoće. a Nako slučajog odabra jede od preostalh trju žca, W je prereže bomba e eksplodra. Ima l W razloga promjet svoj odabr žce koju je a početku odabrao da je e reže? b Razgledavajem trju žca koje je odlučo prerezat W uoč da je jedu pregrzao mš. Ima l sad W razloga promjet svoj počet odabr? Navedmo još ekolko karakterstčh prmjera. Prmjer 8. U kutj je 5 crveh 8 bjelh kuglca. Kuglce zvlačmo redom z kutje bez vraćaja. Kolka je vjerojatost: a da je druga zvučea kuglca bjela, ako je prva bla bjela, b da je druga zvučea kuglca bjela ako je prva zvučea bla cra, Ozačmo: B: prva zvučea kuglca je bjela, B: druga zvučea kuglca je bjela, C: prva zvučea kuglca je crvea, C: druga zvučea kuglca je crvea. a Treba zračuat pb B. Ako je prva zvučea kuglca bla bjela, oda je u kutj ostalo kuglca: 5 crveh 7 bjelh. Zato je:

44 pb B = 7/. b pb C = 8/. Prmjer 9. Neka je pokus kao u prethodom prmjeru. Izračuajmo vjerojatost da: a prva zvučea kuglca bude bjela, a druga crvea, b zvučee kuglce budu razlčth boja. Zadržmo dosadašje ozake. a Treba zračuat vjerojatost umoška događaja B, C. Dobjamo: pbc = pcb zbog komutatvost umoška = pc BpB formula umoška = 5/ 8/3 = /39, b pbc+cb = pbc+pcb jer se događaj BC,CB sključuju = /39+pB CpC zbog a prema a = /39+8/ 5/3 = /39. Treba uočt da događaj BC, CB maju jedake vjerojatost ako su razlčt. To smo dobl račuajem, korsteć se formulom umoška. Postavlja se ptaje jesmo l to mogl zaključt bez račuaja. Jesmo, korsteć se smetrjom. Zamslmo da etko zamje redosljed kuglca ako zvlačeja. Tada oa kuglca koja je zvučea prva postaje druga obrato. Općeto, događaj BC postaje događajem BC obrato. Kako vjerojatost e ovs o zvođeju pokusa, već samo o jegovu karakteru, vjerojatost th događaja moraju bt jedake. Prmjer. Neka je pokus kao u prethoda dva prmjera, samo eka am zvođač sakrje prvozvučeu kuglcu eka je drugozvučea kuglca bla bjela. Kolka je vjerojatost da je sakrvea kuglca bjela? Nek će a brzu reć da to što je zvučeo drug put e može utjecat a rezultat prvog zvlačeja jer je vremesk poslje jega. To je pogrješo. Osvrut ćemo se a to poslje, a sada zračuajmo tražeu vjerojatost. Zadržmo dosadašje ozake. pb B = pbb/pb formula uvjete vjerojatost = pbb/pb komutatvost možeja = pb BpB/pB formula umoška = 7/ pb /pb = 7/ jer je pb = pb z razloga smetrje koj smo objasl u prethodom prmjeru. To ćemo, a drug ač, objast poslje. Treba uočt da je pb = 8/3, a da smo dobl pb B = 7/, pa rezultat drugog zvlačeja utječe a rezultat prvog zvlačeja. Pokažmo sad, a jedostavom prmjeru, da rezultat drugog zvlačeja može utjecat a rezultat prvoga. Zamslmo da smo u kutj mal bjelu 3 crvee kuglce. Pretpostavmo da smo pogledal boju prve kuglce, a da je druga bla bjela. Sada zamo, bez gledaja, da je prva kuglca crvea jer ma samo jeda bjela, a ta je već zvučea. Dakle, pb = /4, al je pb B =.

45 U ekolko smo prethodh prmjera vdjel da vjerojatost ekog događaja ovs o tome je l se dogodo ek drug događaj. Ako je pa B pb, oda kažemo da je događaj A zavsa o događaju B. Ako je pa B = pb, oda kažemo da je događaj A ezavsa o događaju B. Prmjer. Bacamo kocku put. Isptajmo zavsost događaja A: {,,3,4} o događajma B: {3,4,5}, C: {4,5,6}. pa = 4/6, pa B = /3 od trju mogućost: 3,4,5 dvje su povolje: 3,4 pa C = /3 od trju mogućost: 4,5,6 jeda je povolja: 4. Dakle, pa B = pa pa je A ezavsa o B, pa C pa pa je A zavsa o C. Teško je blo uaprjed, bez račuaja, zat da je, u gorjem prmjeru, A ezavsa o B, a zavsa o C. Zač l to da ezavsost dvaju događaja ema tutvu pozadu, tj. da ćemo uvjek ezavsost, odoso zavsost događaja provjeravat račuajem? Ne zač. Jeda od ajvažjh slučajeva u kojma ćemo tutvo prepozavat ezavsost jeste uzastopo zvođeje jedog te stog pokusa l uzastopo zvođeje razlčth pokusa koj e utječu jeda da a drugoga ezavso zvođeje jedog l vše pokusa. Prje ego astavmo s prmjerma, razmotrmo još jedom defcju ezavsost događaja A o događaju B:. pa B = pa pab/pb = pa. pab = papb Treba uočt da je formula. esmetrča to zač: ako slova A,B zamjee mjesta, formula se mjeja. Također treba uočt da je formula. smetrča. Ako A,B zamjee mjesta dobje se formula pba = pbpa, koju, zbog komutatvost možeja događaja komutatvost možeja brojeva, možemo smatrat formulom. S druge strae, ta je formula samo drukčje apsaa formula 3. pb A = pb aravo, smatramo da je pa> pb>. Zaključujemo: Ako je A ezavsa o B, oda je B ezavsa o A. Drugm rječma, Nezavsost događaja jest smetrča relacja. Zato se govor da su A, B međusobo ezavs, odoso da su međusobo zavs. Formula. zove se produktom formulom za ezavse događaje. Ta se formula može shvatt kao: Dva su događaja ezavsa ako samo ako je vjerojatost jhova umoška jedak umošku jhovh vjerojatost. Treba uočt ezatu razlku zmeđu tvrdja formula., 3. s jede formule. s druge strae. U formul. mora bt pb>; slčo, u formul 3. mora bt pa>, dok formula. vrjed ako je jeda od pa, pb l oba. Dogovorom se uzma da je događaj kojemu je vjerojatost ezavsa od blo kojeg događaja, odoso da je svak događaj ezavsa od događaja kojemu je vjerojatost jedaka to posebce vrjed za emoguć događaj. Zato je formula. potpu zaps ezavsost dvaju događaja. 3

46 Prmjer. Bacamo kocku dva puta. Provjermo ezavsost događaja: A: prv je put spao 6, B: drug je put spao 5. Itutvo je jaso jaso da su ta dva događaja ezavsa to e treba provjeravat ame, bez obzra što je spalo prv put, vjerojatost da drug put bude 5 jedaka je /6. Međutm, to se zasta može provjert račuajem. Zapšmo događaje A, B kao podskupove skupa shoda u tom pokusu: A = {6, 6, 63, 64, 65, 66} tu, a prmjer, 64 zač da je prv put spao 6, a drug put 4 B = {5, 5, 35, 45, 55, 65}, AB = {65} Zato je buduć da je ukupo 36 ravopravh shoda: pab = /36, pa = 6/36 = /6; pb = 6/36 = /6; papb = /36. Dakle, pab = papb, pa su A,B međusobo ezavs. Itutvo je jaso da z ezavsost događaja A, B sljed ezavsost događaja A, B ako događaje događaja B e utječe a vjerojatost događaja A, oda a tu vjerojatost e utječe edogađaje događaja B. To se može strogo matematčk dokazat. Pretpostavmo da su A, B ezavs, tj. da je pab = papb. Dokažmo da su A, B također ezavs, tj. da je pa B = pap B. Zasta: pa B = pa - pab = pa papb jer su, prema pretpostavc, A,B ezavs = pa- pb = pap B. Slčo možemo dokazat općeto: Ako su događaj A,B ezavs, oda su međusobo ezavs događaj A, B, događaj A, B te događaj A, B. Mog, bez razloga, mješaju ezavsost sključvost događaja. Zato treba upamtt sljedeće: Dva se događaja sključuju, ako pojavljvaje jedog oemogućuje pojavljvaje drugoga. U toj se defcj e pojavljuje vjerojatost, al vrjed: ako se događaj sključuju, oda je vjerojatost jhova zbroja jedaka zbroju jhovh vjerojatost: pa+b = pa + pb. S druge strae, ezavsost događaja e može se defrat bez vjerojatost zražava se formulom: pab = papb. Ako se dva događaja sključuju oda e mogu bt ezavsa osm ako je jeda od jh emoguć događaj. U sljedećem ćemo se prmjeru korstt dsjuktošću ezasvsošću. Prmjer 3. Bacamo kocku tr puta. Odredmo vjerojatost da spae: a bar jedom 6, b točo jedom 6. Ozačmo: A : spao je bar jedom broj 6, 4

47 A : -t je put spao broj 6 =,,3, B: točo je jedom spao 6. a Uočmo da je A = jedom je bo 6 = A A A 3. Ad je pa = p A = - p A A A3 = - p A p A p A 3 z ezavsost A sljed ezavsost supr. događaja. = - 5/6 5/6 5/6 5 3 = - 6 b B= A A A3 + A A A3 + A A A3 p B = p A A A3 + A A A3 + A A A3 = p A A A3 + p A A A3 + p A A A3 zbog dsjuktost = p A p A p A3 + p A p A p A3 + p A p A p A3 zbog ezavsost = /6 5/65/6 + 5/6 /6 5/6 + 5/6 5/6 /6 = 3 /6 5/6 5/6. Trebalo je uočt da su sva tr prbrojka jedaka ako predočuju vjerojatost razlčth događaja. U svakom od jh jedom se u umošku pojavljuje /6 jer jedom spada 6, a dva se puta pojavljuje 5/6 jer dva puta e spada 6. U sljedećem ćemo prmjeru uz pomoć ezavsost zračuat vjerojatost ekh događaja u pokusu u kojemu ma beskoačo mogo, al prebrojvo shoda. Prmjer 4. Bacamo kocku dok e spade broj 6. Odredmo vjerojatost da bude: a točo 3 bacaja, b bar 3 bacaja, c vše od, a maje od bacaja. a ptočo tr bacaja = pprva dva puta je 6, treć put 6 = pprva dva puta je 6ptreć put 6 zbog ezavsost = 5/6 5/6 /6 b pbar 3 bacaja = pajvše bacaja = p bacaje l bacaja = p bacaje p bacaja zbog dsjuktost = /6 pprv put je 6, drug put 6 = /6 pprv put je 6pdrug put 6 zbog ezavsost = /6 5/6 /6 c Zadatak 3. Izračuajte taj zbroj korsteć se formulom za zbroj člaova geometrjskog reda. 5

48 Formula potpue vjerojatost. Vratmo se pokusu zvlačeja dvju kuglca z kutje s 5 crveh 8 bjelh kuglca. Podsjetmo: pb = 8/3 vjerojatost da prvozvučea kuglca bude bjela je 8/3 pb = 8/3 po ačeku smetrje vjerojatost da je druga kuglca bjela je sta Mogma ačelo smetrje je uvjerljvo. Zato pokušajmo vjerojatost događaja B zračuat a drug ač: B+C = S prv put je zvučea l bjela l crvea kuglca BB+C = BS BB+BC = B pbb+pbc = pb jer se BB BC sključuju jer se B C sklj. pb = pb BpB+pB CpC formula umoška = 7/ 8/3 + 8/ 5/3 = 4/39 + /39 = 8/3 što smo trebal dokazat. Treba uočt da se ovo zvođeje zasva a čjec da se događaj B C sključuju da m je zbroj sgura događaj ta su dva događaja jeda drugome suprot. Slčo se može postupt kad mamo vše a e samo dva događaja koj se međusobo sključuju kojma je zbroj sgur događaj. Kažemo da događaj H, H,,H če potpu skup događaja ako je: HHj = Ø, za j događaj se međusobo sključuju H+ +H = S zbroj događaja je sgur događaj ph>, za sve. Događaj B, C koje smo razmatral prje če potpu skup događaja. Općeto, svaka dva međusobo suprota događaja kojma je vjerojatost poztva če potpu skup 6

49 događaja. U svakom pokusu s koačo mogo shoda, shod če potpu skup događaja. Provjerte. Evo ekolko potpuh skupova događaja u pokusu bacaja kocke 3 puta. H: puta je spao broj 6 =,,,3 H: puta je spao broj 5 =,,,3 3 H: puta je spao para broj =,,,3 4 H: zbroj je = 3,4,5,,8 5 H: ajveć je broj =,,3,4,5,6 6 H: ajmaj je broj =,,3,4,5,6 Prmjer 5. Dokažmo da su skupov -6 potpu skupov događaja. Izračuajmo vjerojatost događaja H U svm slučajevma treba provjert svojstva,, potpuog skupa događaja. H Hj se sključuju za j, jer broj 6 e može spast puta j puta za j. Zbroj događaja H jest sgur događaj jer broj šest mora spast l kako l jedom l dvaput l trput. očto taj je prmjer detča prmjeru jer su brojev 5 6 ravoprav. 3 sto kao u sto kao u očto, samo događaj H maju drukčje vjerojatost ego u. 4 H Hj se sključuju za j jer e može zbroj bt, a ujedo j za j. jer je ajmaj zbroj je 3 kad je a sve tr kocke, a ajveć 8 kad je a sve tr kocke 6 jer se postže svak zbroj zmeđu jh. očto 5 H Hj se sključuju za j, jer e može ajveć rezultat a kockama bt, a ujedo j za j. maksmal broj mora bt jeda od brojeva od do 6, jer se a svakoj kock može postć svak od th brojeva. očto 6 slčo kao u 5, samo se događaj H u tm slučajevma razlkuju a razlkuju se jhove vjerojatost. Prema aalogj a prmjer rješe a početku, mogl bsmo zaključt da vrjed sljedeće: Neka H,,H če potpu skup događaja eka je A blo koj događaj. Tada je: pa = pa HpH+ +pa HpH Ta se formula zove formula potpue vjerojatost. Prje ego dokažemo tu formulu pokažmo kako se oa prmjejuje. 7

50 Prmjer 6. Tr tvorce prozvode prozvod ste marke. Prva prozvod 3% prozvoda, druga 5%, a treća %. U prodaj je z prve tvorce % espravh prozvoda, z druge 3%, a z treće 4%. Kolka je vjerojatost da je slučajo kuplje prozvod esprava? Ozačmo: A: slučajo kuplje prozvod je esprava, H: slučajo kuplje prozvod prozvede je u prvoj tvorc, H: slučajo kuplje prozvod prozvede je u drugoj tvorc, H3: slučajo kuplje prozvod prozvede je u trećoj tvorc. Tada je: ph =.3 jer prva tvorca prozvod 3% prozvoda ph =.5 ph3 =. pa H =. jer prva tvorca prozvod % espravh prozvoda pa H =.3 pa H3 =.4 Prema formul potpue vjerojatost dobjemo: pa = pa HpH+pA HpH+pA H3pH3 = =.9. Dakle, u prodaj je.9% espravh prozvoda. Dokažmo sada formulu potpue vjerojatost. Kako smo već rekl, dokaz je samo tehčk ešto složej od rješeja početog prmjera. A = AS = AH+ +H = Ah+ +Ah Zato je: pa = pah+ +AH = pah+ +pah jer se događaj AH međusobo sključuju = pa HpH+ +pahph prema formul umoška. Formula je dokazaa. Prmjer 7. Neka je kao u prethodom prmjeru. Pretpostavmo da je slučajo kuplje prozvod esprava. Kolka je vjerojatost da je o z prve, kolka da je z druge, a kolka da je z treće tvorce? Pogrješa b bo odgovor da je vjerojatost da je prozvod z prve tvorce.3 td. To je sta za slučajo kuplje prozvod, međutm ako zamo da je o esprava, te se vjerojatost mjejaju uvjeta vjerojatost. Nas e zamaju ph već ph A. ph A = pha/pa = pa HpH/pA =..3/.9 = 6/9 Slčo je: ph A = pa HpH/pA =.3.5/.9 = 5/9 ph3 A = pa H3pH3/pA =.4./.9 8

51 = 8/9. T su brojev redom prblžo jedeak.7;.57;.76 pa su, prema tome, razlčt redom od brojeva.3;,5;.. Kako smo postupl u rješeju tog prmjera, možemo postupt općeto: ph A = pha/pa = pa HpH/pA HpH+ +pa HpH. Ta se formula azva Bayesovom formulom l provjerom hpoteze. 9

52 II. SLUČAJNE VARIJABLE Uvod: Pojam slučaje varjable razdobe vjerojatost Prmjer. Bacamo kocku dva puta zaredom potom: a zbrojmo dobvee rezultate, b oduzmemo drug od prvog rezultata, c regstrramo kolko se puta pojavo broj 6, d regstrramo kolko se puta pojavo broj 5, e regstrramo već od rezultata, f regstrramo maj od rezultata. Kometrajmo taj prmjer. Pretpostavmo da se u pokusu dogodo shod 36 prv put 3, drug put 6. Tada je: rezultat u a 9 rezultat u b 3 rezultat u c rezultat u d rezultat u e 6 rezultat u f 3. Pretpostavmo pak da se dogodo shod 44 oba puta 4. Tada je: rezultat u a 8 rezultat u b rezultat u c rezultat u d rezultat u e 4 rezultat u f 4. Zaključujemo da je u tom prmjeru rječ o fukcjama kojma su vrjedost real brojev, a koje ovse o shodu koj se dogodo. Dakle te su fukcje defrae a skupu svh shoda u pokusu slučajo ovso o shodu koj se dogodo postžu određee vrjedost. Zato se te fukcje zovu slučajm varjablama. Dakle: Slučaja varjabla jest fukcja koja svakom shodu prdružuje ek real broj. Kraće: Slučaja varjabla jest fukcja X: S R, gdje je S skup shoda u ekom pokusu slučaje ćemo varjable občo ozačavat velkm slovma X,Y,Z,U,V,W,.

53 S matematčke strae gledšta gorja defcja je općeto korekta. O tome ćemo ešto vše reć poslje, a za sada apomjemo da je ta defcja korekta u slučaju pokusa s koačo l prebrojvo mogo shoda u početku ćemo razmatrat samo takve pokuse. Skup vrjedost slučaje varjable X ozačavamo ozakom RX. Prmjer. Odredmo skupove vrjedost slučajh varjabla z početog prmjera bacaja kocke dva puta. a RX = {,3,4,5,6,7,8,9,,,} b RY = {-5,-4,-3,-,-,,,,3,4,5} c RZ = {,,,3,4,5,6} d RU = {,,,3,4,5,6} e RV = {,,3,4,5,6} f RW = {,,3,4,5,6}. Slučaje su varjable fukcje, pa su dvje slučaje varjable jedake ako su jedake kao fukcje. Treba uočt da su slučaje varjable Z,U odoso V,W međusobo razlčte ako maju ste domee ste skupove vrjedost. Na prmjer: Z35 =, U35 =. Slčo: V35 = 5, W35 = 3. Ipak, sv će se složt da su varjable Z,U srode. O čemu je tu rječ, sazat ćemo uskoro. Prmjer 3. Bacamo ovčć 3 puta. Slučaja varjabla X regstrra kolko se puta pojavo P. Zapšmo X. Očto je da je RX = {,,,3}. Da bsmo zapsal slučaju varjablu X moramo joj odredt vrjedost u svakom shodu u tom pokusu. Ima ukupo 8 shoda: S = {PPP,PPG,PGP,PGG,GPP,GPG,GGP,GGG}. Vrjed: XPPP = 3 XGPP = XPPG = XGPG = XPGP = XGGP = XPGG = XGGG =. U tom prmjeru treba uočt da ma vše zgleda da slučaja varjabla X poprm vrjedost, ego 3, a da ma jedake zglede da poprm rezultat kao rezultat. To je zato što postoje 3 ravoprave mogućost za postzaje broja odoso za postzaje broja, a samo mogućost za postzaje broja 3. Možemo govort o vjerojatost da slučaja varjabla X poprm eku vrjedost, prmjerce: vjerojatost da X poprm rezultat jedaka je 3/8, vjerojatost da X poprm rezultat jedaka je 3/8, vjerojatost da X poprm rezultat 3 jedaka je /8, vjerojatost da X poprm rezultat jedaka je /8 vjerojatost da X poprm rezultat 4 jedaka je. To se može obrazložt ovako:

54 reć da X poprm rezultat sto je što reć da se dogodo događaj {PPG,PGP,GPP}, a vjerojatost tog događaja je 3/8, reć da X poprm rezultat 3 sto je što reć da se dogodo događaj {PPP}, a vjerojatost tog događaja je /8, reć da X poprm rezultat 4, je sto što reć da se dogodlo ešto emoguće, a vjerojatost emogućeg događaja je, td. Vdmo da se ek događaj u pokusu mogu zapsat u termma slučaje varjable. Da bsmo tako zapsvaje događaja pojedostavl, uvodmo sljedeće ozačvaje: [X=a]: slučaja varjabla postže rezultat a gdje je a ek real broj. Drugm rječma: [X=a] = { w S : X w = a } Umjesto p[x=a] psat ćemo kraće px=a, dakle, px=a = p{ w S : X w = a } Za slučaju varjablu X z prethodog prmjera vrjed: px= = /8 px= = 3/8 px= = 3/8 px =3 = /8 To se kraće zapsuje kao: 3 /8 3/8 3/8 /8 U gorjem su redu tablce vrjedost koje slučaja varjabla postže, a u dojem djelu vjerojatost s kojma se te vrjedost postžu. Treba uočt da je zbroj brojeva u drugom redu jedak. To je zato što je ukupa vjerojatost događaj [X=], [X=], [X=],[X=3] če potpu skup događaja: međusobo se sključuju zbroj m je sgur događaj. Kažemo da je tom tablcom zadaa slučaja varjabla X. Točje, tom je tablcom zadaa razdoba vjerojatost slučaje varjable X, tj. zadae su vjerojatost s kojma slučaja varjabla X postže pojede vrjedost. Da bsmo to pojasl promotrmo slučaju varjablu Y koja regstrra kolko se puta pojavo G u pokusu bacaja ovčća 3 puta. Ta slučaja varjabla ma razdobu: 3 /8 3/8 3/8 /8 Dakle, slučaje varjable X, Y koje se odose a st pokus maju ste razdobe vjerojatost. Kažemo da su te slučaje varjable jedako dstrburae. Međutm X

55 Y su jedake kao fukcje. Na prmjer, XPPP = 3, a YPPP =. Dakle, slučaje varjable mogu bt razlčte, a da maju stu razdobu vjerojatost. U razmatraom slučaju treba uočt da je zbog smetrje jaso da slučaje varjable X,Y moraju bt jedako dstrburae zamjeom slova P,G prelaze jeda u drugu. U teorj vjerojatost slučaje varjable klasfcramo s obzrom a razdobu vjerojatost. U tom ćemo smslu govort da je slučaja varjabla zadaa svojom razdobom vjerojatost prtom treba mat a umu da ma vše slučajh varjabla s stom razdobom vjerojatost. Prmjer 4. U pokusu bacaja kocke dva puta, ozačmo, kao prje: Z: regstrra kolko se puta pojavo broj 6, U: regstrra kolko se puta pojavo broj 5, V: regstrra ajveć broj W: regstrra ajmaj broj. Dskutrajmo razdobe vjerojatost th slučajh varjabla. Očto je da su te slučaje varjable međusobo razlčte. Također, bez račuaja jhovh razdoba, jaso je da su Z U jedako dstrburae to se može obrazlažt zamjeom zakova 5 6 a straama kocke, odoso ravopravošću brojeva 5 6. Razdobom vjerojatost th slučajh varjabla pozabavt ćemo se poslje. Razmotrmo sad slučaje varjable V W. Ako b etko a kock brojeve,,3,4,5,6 redom zamjeo brojevma 6,5,4,3,, slučaja varjabla V postala b slučaja varjabla W obrato. To zač da b pr zamje redosljeda tablca razdobe slučaje varjable V prešla u tablcu razdobe slučaje varjable W. Pokažmo to tako da odredmo te razdobe. Već smo vdjel da je RV = RW = {,,3,4,5,6}. pv= = p = /36 pv= = p++ = 3/36 tumačeje: slučaja varjabla V postže rezultat ako već od rezultata bude, tj. ako se dogod shod prv put, drug put l shod prv put drug put l shod oba puta ; kako se događaj,, međusobo sključuju, a svak ma vjerojatost /36, vjerojatost jhova zbroja je 3/36; slčo dobjemo dalje: pv=3 = p = 5/36 pv=4 = p = 7/36 pv=5 = p = 9/36 pv=6 = p = /36 pw= = p = /36 pw= = p = 9/36 pw=3 = p = 7/36 pw=4 = p = 5/36 pw=5 = p = 3/36 pw=6 = p66 = /36. Dakle, razdobe th varjabla jesu:

56 /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Treba uočt da su V,W razlčte slučaje varjable u stom pokusu, dapače jhove razdobe vjerojatost su razlčte, al vrlo blske. Točo začeje te blskost objast ćemo poslje. Prmjer 5. Bacamo kocku dok se e pojav broj 6. Slučaja varjabla X regstrra broj bacaja. Odredmo razdobu vjerojatost od X. Već smo vdjel da je to pokus s beskoačo mogo, al prebrojvo shoda. Slučaja varjabla X prmjer je slučaje varjable koja poprma beskoačo mogo al prebrojvo vrjedost: RX = N = {,,3,4, }. Izračuajmo ekolko početh vjerojatost: px= = pprv put 6 = /6 px= = pprv put je 6, drug put 6 = 5/6/6 px=3 = pprva dva puta je 6, treć put 6 = 5/6 /6 px=4 = pprva tr puta je 6, četvrt put 6 = 5/6 3 /6. Zato je razdoba vjerojatost slučaje varjable X: 3 4. /6 5/6/6 5/6 /6 5/6 3 /6 5/6 - /6.. Korsteć se formulom za sumu beskoačog reda možemo provjert da je zbroj vjerojatost zasta jedak. /6 +5/6/6 +5/6 /6 +5/6 3 /6+ = /6+5/6+5/6 +5/6 3 + =/6 5 6 =. S druge strae, tutvo je jaso da je zbroj vjerojatost jedak, pa smo tme, korsteć se vjerojatošću, odredl sumu beskoačog reda.

57 Dskreta slučaja varjabla Defcja dskrete slučaje varjable Na osov razmatrah prmjera uvodmo sljedeću defcju. Dskreta slučaja varjabla jest slučaja varjabla kojoj je skup vrjedost koača l beskoača prebrojv. Drugm rječma slučaja varjabla X je dskreta ako je RX = {,, 3,, } l RX = {,, 3, } Događaj [X= ] če potpu skup događaja. To zač da se o međusobo sključuju da je suma jhovh vjerojatost : px= =. Ako ozačmo: p = px=, oda se razdoba vjerojatost slučaje dskrete varjable X može zapsat kao: 3 p p p3 p ako je skup vrjedost koača, odoso kao: 3.. p p p3. ako je skup vrjedost beskoača prebrojv. Prmjer 6. Bacamo kocku puta. Slučaja varjabla X zbraja dobvee rezultate, a slučaja varjabla Y oduzma drug rezultat od prvoga. Odredmo razdobe vjerojatost th slučajh varjabla. Već smo rekl da je RX = {,3,4,5,6,7,8,9,,,}. Nadalje: px= = p = /36 px=3 = p+ = /36 px=4 = p3++3 = 3/36 Slčm razmatrajem zaključujemo da X ma razdobu vjerojatost: /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Također je RY = {-5,-4,-3,-,-,,,,3,4,5}. Nadalje: py = -5 = p6 = /36

58 py = -4 = p5+6 = /36 py= = p =6/36 Zaključujemo da Y ma razdobu vjerojatost: /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Zadatak. Objaste zašto su vjerojatost u tablc razdobe vjerojatost slučajh varjabla X, Y smetrče u odosu a vrjedost 6/36. Zadatak. Dvojca grača bacaju po kocku. Ako zbroj bude 5 dobja prv, ako bude 6 dobja drug, ače e dobja jeda od jh. U kojem odosu mora bt ulože ovac da b gra bla praveda? Treba uočt slčost razdoba vjerojatost slučajh varjabla X,Y z Prmjera 6. Te slučaje varjable su jedako dstrburae, međutm ako b vrjedost slučaje varjable X umajl za 7, dobl bsmo slučaju varjablu koja je jedako dstrburaa kao Y. Točje, eka je Z slučaja varjabla koja zbroj dobvee rezultate, potom tom zbroju oduzme 7. Ta je slučaja varjabla jedako dstrburaa kao Y uočte da Z Y su jedake. Slučaju varjablu Z možemo zapsat kao X-7, dakle Z = X-7 slučaja varjabla defraa kao slučaja varjabla koja postže vrjedost -7 ako X postge vrjedost. Općeto, eka je X slučaja varjabla h reala fukcja kojoj područje defcje sadrž RX, tj. koja je defraa a svakoj vrjedost slučaje varjable X. Tada je defraa slučaja varjabla hx prema pravlu: Ako X postge vrjedost, oda hx postge vrjedost f. Prmjer 7. Neka je X slučaja varjabla z prethodog prmjera h reala fukcja zadaa formulom h:= -7. Tada je hx = Z. Name, hx postže vrjedost -7 ako X postge vrjedost. Zato je hx = X-7 = Z. Treba uočt sljedeće: Ako je h jektva oda vrjed: hx postže vrjedost h ako samo ako X postge vrjedost. Tako ešto e mora vrjedt ako h je jekcja, što potvrđuje sljedeć prmjer. Prmjer 8. Neka je X slučaja varjabla kojoj je razdoba vjerojatost: /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Odredmo skup vrjedost razdobu vjerojatost slučaje varjable Y = X.

59 Tu je h :=. Vrjed: Ako X postge vrjedost 5, Y postge vrjedost 5, ako X postge vrjedost 4, Y postge vrjedost 6, ako X postge vrjedost 5, Y postge vrjedost 5, td. Dakle Y postge vrjedost 5 ako samo ako X postge vrjedost 5 l 5, Y postge vrjedost 6 ako samo ako X postge vrjedost 4 l 4, Y postge vrjedost ako samo ako X postge vrjedost, td. Zaključujemo da je RY = {,,4,9,6,5}. Također, py= = px= = 6/36, py= = p[x=]+[x=-] = /36, py=4 = p[x=]+[x=-] = 8/36, td. Dakle, razdoba vjerojatost od Y zadaa je tablcom: /36 /36 8/36 6/36 4/36 /36. Očekvaje varjaca dskrete slučaje varjable Razdoba slučaje varjable može se grafčk predočt točkama pravca vrjedost slučaje varjable ad kojma su podgut štapov kojma su vse prpade vjerojatost. Evo ekolko razdoba s kojma smo se već susretal jhovh grafčkh predodžba: X 3 /8 3/8 3/8 /8 Y /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36

60 Z /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 U /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36

61 V /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Grafčk prkaz dskreth slučajh varjabla podsjećaju a sustav materjalh čestca a pravcu. Podsjetmo se: sustav materjalh čestca a pravcu če čestce masa m,m,,m smještee u točkama pravca s koordatama,,,. To se kraće može zapsat kao,m,,m,,m predočt kao: Pr razmatraju sustava čestca uobčajeo je defrat ukupu masu m := m +m + +m relatve mase, brojeve: m /m, m /m,,m /m. Treba uočt da je zbroj relatvh masa : m /m+m /m+ +m /m = m +m + +m /m = m/m =. Zato je tablcom

62 m /m m /m m /m zadaa razdoba vjerojatost. Obrato, svaka razdoba vjerojatost dskrete slučaje varjable zadaje ek sustav čestca a pravcu kojemu je ukupa masa. Pr toj korespodecj, vjerojatost p =px= korespodraju relatvm masama m/m. Dvje temelje karakterstke začajke sustava čestca jesu jegovo težšte momet ercje oko težšta. Sjetmo se koordate težšta: T = m + m + + m /m = m /m+ m /m+ + m /m. Aalogo težštu sustava čestca defra se očekvaje EX dskrete slučaje varjable X kojoj je razdoba vjerojatost zadaa tablcom 3 p p p 3 p EX := p + p + + p Prmjer 9. Izračuajmo očekvaja slučajh varjabla odoso jhovh razdoba vjerojatost X-V avedeh a početku. Prje egzaktog rješavaja pokušajmo bar ešto reć o tm očekvajma bez račuaja. Oslajajuć se a aalogju sa sustavom čestca a tutvu predodžbu o težštu, zaključujemo da trebalo bt: EX =.5 EU = 7 jer su podac smetrčo razmješte EV = Također, zaključujemo da b EY trebalo bt blže broju 6, a EZ blže broju da b ta dva broja trebala bt smetrča s obzrom a broj 3.5. Provjermo aše procjee račuajem. EX = /8+ 3/8+ 3/8+3 /8 = /8 =.5 EY = /36+ 3/36+3 5/36+4 7/36+5 9/36+6 /36 = 6/36 EZ = /36+ 9/36+3 7/36+4 5/36+5 3/36+6 /36 = 9/36 Treba uočt da je 3.5-EZ=EY-3.5 što zač da su

63 EY,EZ smetrč s obzrom a 3.5. EU = /36+3 /36+4 3/36+5 4/36+6 5/36+7 6/36+8 5/36+9 4/36+ 3/36+ /36 + /36 = 5/36 = 7. EV = -5 /36+-4 / /36+- 4/36+- 5/36+ 6/36+ 5/36+ 4/36+3 3/36+4 /36+5 /36. = jer su to, po parovma, suprot brojev. Ako dskreta slučaja varjabla postže beskoačo mogo, al prebrojvo vrjedost, očekvaje se defra aalogo: EX := p + p + 3 p 3 + To je beskoač red može se dogodt da dvergra l da kovergra, al e kovergra apsoluto. Tada slučaja varjabla ema očekvaja odoso prpad sustav čestca ema težšte. Prmjer. Bacamo kocku dok se e pojav 6. Slučaja varjabla X regstrra broj bacaja. Izračuajmo EX. Ta slučaja varjabla postže beskoačo mogo, al prebrojvo vrjedost; vdjel smo da ma sljedeću razdobu: 3 4. /6 5/6/6 5/6 /6 5/6 3 /6 5/6 - /6 Prje račuaja pokušajmo predvdjet očekvaje. Itutvo, zbog ravopravost brojeva,,3,4,5,6 očekujemo da će se u 6 bacaja pojavt jedom pojavt 6 slčo je za ostale brojeve. Provjermo to predvđaje račuom. Korstt ćemo se formulom: = /-, -<<. Ta se formula dobje dervrajem formule za zbroj geometrjskog reda: = /-, -<<. EX = /6+ 5/6/6+3 5/6 /6+ 4 5/6 3 /6+ + 5/6 - /6+ =/6+ 5/6+3 5/6 +4 5/ /6 - + =/6 /-5/6 = 6 kako smo predvdjel.

64 Varjaca slučaje varjable. Vratmo se a sustav čestca a pravcu. Sjetmo se mometa ercje oko težšta tog sustava. I T = - T m + - T m T m. Po uzoru a tu formulu, deframo dsperzju lt varjacu VX dskrete slučaje varjable X odoso razdobe vjerojatost slučaje vjerojatost: VX := -EX p + -EX p + + -EX p. Ako X postže beskoačo mogo al prebrojvo vrjedost, taj je red beskoača može bt dvergeta tada razdoba vjerojatost ema varjacu, odoso prpad sustav čestca ema momet ercje. Treba uočt da je varjaca VX poztva da može bt ako samo ako postže samo jedu vrjedost s vjerojatošću. Za račuaje varjace katkad je jedostavja formula: VX = p + p + + p E X slčo je ako je RX beskoača, prebrojv skup. Tu je E X kraća ozaka za EX. Zadatak 3. Izvedte gorju formulu. Prmjer. Bacamo ovčć puta. Slučaja varjabla X regstrra kolko puta se pojavo P. Izračuajmo varjacu od X. Vdjel smo da X ma sljedeću razdobu vjerojatost: 3 /8 3/8 3/8 /8 da je EX =.5. VX = -.5 / / / /8 =.5 /8+.5 3/8+.5 3/8+.5 /8 =.75 To ćemo zračuat pomoću druge formule. VX = /8+ 3/8+ 3/8+3 /8 -.5 = 3-.5=.75. Zadatak 4. Izračuajte varjace slučajh varjabla Y-V z početog prmjera. Momet ercje je mjera dsperzje masa u odosu a težšte; što je masa kocetrraja uz težšte, momet ercje je maj obrato. Aalogo tome, varjaca slučaje varjable je mjera dsperzje raspršeost vjerojatost u odosu a očekvaje; što je vjerojatost kocetrraja uz očekvaje, varjaca je maja obrato.

65 Ako je X dskreta slučaja varjabla h = a+b, leara fukcja, oda je slučaja varjabla Y := hx, tj. Y := ax+b također dskreta. Vrjed: EaX+b = aex+b, VaX+b = a VX. Te formule lako je obrazložt pomoću fzkale terpretacje očekvaja varjace. Pretpostavma da se sustav čestca traslatra po pravcu za b. Tada se težšte sustava traslatra za b, momet ercje oko težšta ostaje st. Prevedeo a jezk slučajh varjabla, to zač da je EX+b = EX+b VX+b = VX. Pretpostavmo sad da se koordte svake čestce pomože brojem a tj. da se sustav čestca stse l rastege s koefcjetom a. Tada se težšte pomože brojem a, dok se momet ercje promje s faktorom a. Prevedeo a jezk slučajh varjabla, to zač da je EaX=aEX VaX=a VX. Kombrajem th formula dobju se tražee formule. Zadatak 5. Dokažte formule EaX+b = aex+b, VaX+b = a VX. Jedolka dskreta razdoba To je ajjedostavja dskreta razdoba. Skup vrjedost joj je ek koača skup: RX = {,, 3,, }, a sve su prpadajuće vjerojatost jedake: px= =/, za svak =,,, odatle azv jedolka razdoba. Uočte da dskreta slučaja varjabla s jedolkom razdobom užo ma koača skup vrjedost e može mat beskoačo mogo prebrojvo vrjedost. Tpč prmjer takve razdobe već smo vdjel o je jeda od ajuobčajejh u astav vjerojatost: to je razdoba slučaje varjable X koja regstrra rezultat kod bacaja kocke. Kod je je RX = {,,3,4,5,6}, a sve su odgovarajuće vjerojatost /6. Uočte da su rezultat koje postže ova slučaja varjabla ekvdstato raspoređe među jma su jedak razmac; ovaj put razmak je, međutm to je općeto, tj. podatc,, 3,, kod jedolke razdobe su užo ekvdstat. I slučaja varjabla koja regstrra rezultat kod bacaja ovčća je jedolko dstrburaa međutm tu treba dogovor: umjesto shoda P,G treba stavt eke brojčae vrjedost:

66 ajbolje je,; to radmo zato što slučaja varjabla, prema defcj prma vrjedost u skupu realh brojeva, smbol P,G su real brojev. Prmjer. Izračuajmo očekvaje varjacu dskrete jedolke razdobe. Ako zadržmo ozake kao do sada, dobt ćemo: EX= + + /, VX= /- + + / Boma razdoba. Razmotrmo pokus bacaja kocke 3 puta. Odredmo razdobu slučaje varjable X koja regstrra broj kolko se puta pojavo broj 6. Jaso je da je RX = {,,,3}. Nadalje: px= = pjedom 6 = pprv put je 6, drug put je 6, treć put je 6 zbog ezavsost = pprv put je 6 pdrug put je 6 ptreć put je 6 = 5/6 3 px= = pjedom 6, dvaput e = pprv put 6, drug treć put e l prv put je 6, drug put jest, treć put je l prva dva puta je 6, treć put jest zbog dsjuktost = pprv put 6, drug treć put put e+pprv put je 6, drug put jest, treć put je + pprva dva puta je 6, treć put jest zbog ezavsost = /6 5/6 5/6 + 5/6 /6 5/6 + 5/6 5/6 = 3 /6 5/6 Broj 3 koj se tu pojavljuje kao faktor, možemo tumačt kao broj a kolko ača od 3 mjesta možemo zabrat jedo mjesto za šestcu, dakle 3= 3. px= = pdvaput 6, jedom e pprva dva puta 6, treć put e l prv treć put 6, drug put e l prv put je 6, drug treć put jest zbog ezavsost = pprva dva puta 6, treć put e+pprv treć put 6, drug put e + pprv put je 6, drug treć put jest zbog ezavsost = /6 /6 5/6 + /6 5/6 /6 + 5/6 /6 /6 = 3 /6 5/6.

67 Broj 3 koj se tu pojavljuje kao faktor možemo tumačt kao broj a kolko ača možemo od 3 mjesta zabrat dva mjesta za šestce, dakle 3 = 3. px=3 = psva tr puta 6 =pprv put 6, drug put 6, treć put 6 zbog ezavsost = /6 /6 /6 = /6 3 Zapšmo tu razdobu. 3 5/6 3 3/65/6 3/6 5/6 /6 3 To je prmjer bome razdobe. Treba uočt da se pokus bacaje kocke 3 puta sastoj od tr uzastopa ezavsa zvođeja pokusa bacaje kocke put. Također, u pokusu bacaje kocke put treba uočt događaj pojavo se broj 6 kojemu je vjerojatost p=/6 jemu suprot događaj je se pojavo broj 6, kojemu je vjerojatost q=5/6. Općeto, možemo zamslt ek pokus ek događaj A u tom pokusu kojemu je vjerojatost pa = p tada suprot događaj događaja A ma vjerojatost q=-p. Zamslmo da taj pokus ezavso zvodmo puta da slučaja varjabla X regstrra kolko se puta pojavo događaj A. Tada je: RX = {,,,,} događaj A može se dogodt l kako l jedom l dvaput td. a ajvše puta. Također: px= = p puta se dogodo događaj A, a - puta se je dogodo A = pprvh puta dogodo se A, a ostalh - puta je se dogodo A = p -p -. Broj koj se tu pojavljuje kao faktor može se shvatt kao broj ača a kolko možemo od mjesta zabrat mjesta za događaj A. Treba uočt da se taj faktor pojavljuje za =, odoso za = kada je jedak. To je bo tpč prmjer bome razdobe. Treba uočt da se ta razdoba opsuje pomoću prrodog broja broj ezavsh zvođeja pokusa realog broja p zmeđu vjerojatost pojavljvaja događaja A u jedom zvođeju pokusa. T brojev azvaju se parametrma razdobe treba uočt da je dskreta, a p kotura parametar.

68 Defcja. Slučaja varjabla X dstrburaa je po bomom zakou s parametrma p, ako je RX = {,,,} px= = p -p -, RX. Ako je tako pšemo X~B,p. Uočte da X ovs o dvama parametrma: dskretom parametru koturaom parametru p. Prmjer 3. Grafčk predočmo bome razdobe B5,; B5,/, B,/, B,9/.

69 Prmjer 4. Odredmo očekvaje bome slučaje varjable X~B,p. Pokušajmo ajprje problem rješt zdravorazumsk. Pođmo od posebog prmjera kada je p=/6 =. Možemo smatrat da je X slučaja varjabla koja broj kolko je blo šestca pr bacaja kocke. Jaso je da očekujemo šestca jedako kao petca, četvorka td.. Dakle EX = = :6 = /6 Aalogm zaključvajem dobl bsmo: Ako je X~ B,p, oda je EX = p. To se može dokazat zravm račuajem. Prmjer 5. Bacamo kocku 6 puta. a Kolko šestca očekujemo da ćemo dobt? b Kolko puta treba bact kocku pa da vjerojatost da bude bar jeda šestca bude veća od.5? Ako slučaja varjabla regstrra broj šestca, oda je X=B6,/6. a Očekva broj šestca upravo je očekvaje slučaje varjable X, dakle EX=6 /6=. b Pretpostavmo da kocku treba bact puta. Zadatak se može zapsat kao: px.5. Međutm: px =-px= =-5/6.

70 Dakle, mora bt: -5/6.5 odakle se dobje 4. Prmjer 6. Bacamo kocku 7 puta. Slučaja varjabla X regstrra broj šestca. Izračuajmo EX pokušajmo procjet pomoću toga ajvjerojatj broj šestca. Izračuajmo ajvjerojatj broj šestca usporedmo s procjeom. Tu je X~B7,/6; zato je EX = 7/6 = +5/6. Izračuajmo ekolko početh vjerojatost: px= = 5/6 7 px= =7 /6 5/6 6 > px= px= = 8 7 /6 5/6 5 > px= px=3 = /6 3 5/6 4 < px=. Zaključujemo da je ajvjerojatje da će bt dvje šestce ako je a osov vrjedost očekvaja etko mogao pomslt da je ajvjerojatje da će bt 3 šestce. Prmjer 7. Odredmo varjacu slučaje varjable X~B,p. Dobje se VX = pq, gdje je q =- p. To se može dobt zravm račuajem. Zadatak 6. Od svh bomh razdoba s stm parametrom, odredte ou koja ma ajveću dsperzju. Prmjer 8. Odredmo rekurzvu vezu koja povezuje dvje uzastope vrjedost bome razdobe. Neka je X~B,p p =px=, =,,,. Tada je ako uvrštavaja skraćvaja p + /p =-p/+q, što se može zapsat u oblku: p p+ = p + q Uočte da je tu zraz p/q stala o se a početku račuaja može zračuat, a da se razlomak -/+ mjeja kako raste, brojk se smajuje, a azvk povećava. Rekurzva je formula aročto potreba za račuaje vjerojatost bome razdobe kad je jako velk već za oko veća kalkulatora e može račuat faktorjele pa bome koefcjete. Međutm, ova formula omogućuje da se, kad se zračua p, da se sve ostale vjerojatost lako zračuaju: sljedeća se vjerojatost dobje z prethode možejem s jedostavm razlomkom. Prmjer 9. Neka je X~B,.. Izračuajmo ekolko prvh vjerojatost. Tu je p/q=/9.9 pa se taj faktor u rekurzvoj formul može shvatt kao djeljeje s 9.9

71 p =.9 =.656 p p = =.6897 dakle, počet rezultat koj je očta a motoru, prema 9.9 rekurzvoj formul za =, možmo sa, a djelmo s 9.9. p 99 p = = p 98 p 3 = = Sad uvđamo koje je pravlo: rezultat koj vdmo a motoru možmo, odoso djelmo prema tom pravlu. Tako dalje dobvamo: p 4 =.8456 p 5 =.8 p 6 = tako dalje. Uočte da je ova rekurzva formula vrlo pogoda za zradu programa koj će am davat vrjedost vjerojatost u bomoj razdob za razlčte parametre p. Razdobe koje su blske prblžo jedake bomoj. Predpostavmo da mamo N predmeta dvju vrsta da z tog skupa predmeta slučajo uzmamo, bez vraćaja, predmeta. Jaso je da će vjerojatost da među zabrah predmeta bude predmeta. vrste dakle - predmeta druge vrste, =,,, ovst o početoj razdob predmeta., odoso. vrste tj. o vjerojatost da slučajm brajem zaberemo predmet. vrste. Također je jaso da razdoba koja regstrra kolko smo slučajo odabral predmeta. vrste je boma. Pojasmo to a kokretm prmjerma. Prmjer. Neka je u spremštu N= predmeta od kojh je 5 prve, a 5 druge vrste eka slučajo bramo =4 predmeta bez vraćaja. Slučaja varjabla X regstrra kolko je među jma predmeta. vrste. Odredmo razdobu od X. Prje rješavaja ekolko apomea. Prema uvjetma, ako slučajo bramo jeda predmet, oda je vjerojatost da o bude. vrste jedak p=5/=.75, a da bude druge vrste q=.5. Da smo zvršl pokus slučajog braja četrju predmeta, jeda po jeda, al da smo svak put predmet vratl atrag, oda b slučaja varjabla koja regstrra kolko je blo predmeta. vrste bla boma s parametrma =4, p=.75 međutm m e vraćamo predmete atrag, pa je tako; vdjet ćemo kako je. Občo je u prmje da su predmet prve vrste sprav, a predmet. vrste esprav l da su jed od jedog prozvođača, drug od drugoga sl.. Vratmo se a rješavaje zvorog problema. Očto je da je RX = {,,,3,4},

72 što zač da možda jeda zabra predmet je. vrste tj. X=, možda je točo jeda. vrste tj. X=, možda h je točo dva. vrste tj. X=, možda h je tr. vrste tj. X=3,, koačo, možda su sva četr. vrste tj. X=4. Vdmo: Slučaja varjabla X postže vrjedost, ako prv zabra bude. vrste, potom drug zabra. vrste td. Vjerojatost da prv zabra bude. vrste je 5/, međutm, vjerojatost da tada drug zabra bude. vrste je vše 5/ jer e vraćamo predmet atrag, pa sada mamo 9 predmeta od kojh je 4 predmeta. vrste, već 4/9 td. Tako dobjemo. px==5/ 4/9 3/8 /7, a e 5/ 4, što bsmo dobl da smo vraćal predmet, tj. da je bla rječ o bomoj razdob. Slučaja varjabla X postže vrjedost, ako zaberemo predmet. vrste 3 predmeta. vrste. Međutm, taj jeda predmet. vrste možemo zabrat prv put, možemo drug put, možemo treć put, odoso možemo tek 4. put. To su sve dsjukte stuacje pa prpadajuće vjerojatost treba zbrojt. px== 5/ 5/9 4/8 3/7+5/ 5/9 4/8 3/7+5/ 4/9 5/8 3/7+5/ 4/9 3/8 5/7 4 5/ 5/9 4/8 3/7 Treba uočt da su sva četr gorja prbrojka, ako azgled razlčta, u stvar jedaka. To se vd ako pomljvog razmatraja jhovh brojka azvka, međutm to se moglo očekvat objast prje kakva račuaja. Name ta su četr prbrojka vjerojatost od 4 elemetara događaja shoda u ovom pokusu, pa trebaju bt međusobo jedak. Također, treba uočt da se rezultat razlkuje od ooga da smo vraćal predmete, tj. da je bla rječ o bomoj razdob. 4 Za px=, postupl bsmo slčo; tu b blo 6 što je jedako mogućost jer je tolko mogućost da se u od 4 braja pojav predmet prve vrste td. Prmjer. Neka je u spremštu N= predmeta od kojh je 5 predmeta. vrste, a 5 je. vrste eka bramo slučajo bez vraćaja =4 predmeta. Neka slučaja varjabla X regstrra kolko je među zabram oh. vrste. Opšmo X. Ovaj se prmjer samo po brojevma razlkuje od prethodog, prema tome, mogao b se rješt po uzoru a taj. Međutm, zbog velkog broja N velkog broja predmeta. vrste predmeta. vrste, zaključujemo da se ovaj pokus eće bto razlkovat od pokusa kad bsmo bral 4 predmeta, jeda po jeda, prtom uvjek predmet vraćal atrag. Name, zborom ekolko predmeta z skupa od predmeta, eće se bto

73 promjet struktura zmeđu oh. oh. vrste. Zato je aša slučaja varjabla prblžo jedaka bomoj razdob B4;.75, jer je =4 p=5 / =.75. Tako se prpadajuće vjerojatost, koje b blo mukotrpo račuat zravo, mogu prblžo, al vrlo preczo, zračuat pomoću prpadajućh vrjedost bome razdobe a ače je važo da zamo da je eka razdoba blska bomoj, jer potoju dobro pozajemo. Očekvaje aše slučaje varjable prblžo je jedaka 4.75 = 3, a varjaca = 7.5. Possoova razdoba. Boma razdoba prmjer je dskrete razdobe s koačo mogo vrjedost. Possoova razdoba također je dskreta, međutm prma beskoačo mogo prebrojvo vrjedost. Točje. Defcja. Kažemo da je dskreta slučaja varjabla X dstrburaa prema Possoovu zakou s parametrom a>, ako je:. RX = {,,, }. px= = e -a a /!, =,,,3, Ako je tako pšemo X~Pa. Uočte da ta razdoba ovs samo o jedom parametru za razlku od bome razdobe koja ovs o dvama parametrma. Zadatak 7. Pokažte da je px=+px=+px=+ =. Uputa: Korstte se formulom za razvoj u red ekspoecjale fukcje. Zadatak 8. Provjerte da.. zasta defraju razdobu vjerojatost. Uputa: Zbog a>, px=> za sve, a z zadatka. prozlaz da je zbroj th brojeva jedak. Prmjer. Predočmo Pa za a=, a= a=/.

74 Prmjer 3. Pokažmo: ako je X~Pa, oda je EX = a VX = a. Uvrštavajuć u formulu: EX = p + p + + p + =, p = e -a a /!, dobt ćemo: EX = e -a a /! + a /! + a /!+ + a /!+ = e -a a+a /!+a /!+ = e -a a e a = a. Slčo se zračua VX. Dakle: Ako je X~Pa, oda je EX = a, VX = a Possoova se razdoba pojavljuje a prmjer kod slučajh varjabla koje broje broj pozva u jedc vremea a ekoj telefoskoj cetral, broj ulaza a eku adresu, broj kvarova a ekom složeom uređaju sl. Prmjeu Possoove razdobe pokazujemo a ekolko prmjera.

75 Prmjer 4. Prosječa broj pozva u mut a ekoj telefoskoj cetral je 8. Odredte vjerojatost da a toj cetral u ekoj mut bude: a ajvše 8 pozva, b zmeđu 5 pozva, c barem 5 pozva Prje rješavaja pokušajte procjet ove vjerojatost odoka. Da bsmo rješl zadatak, moramo prhvatt jeda dogovor, a to je da se broj pozva poaša prema Possoovu zakou. Ako je tako, oda je slučaja varjabla X koja regstrra broj pozva u mut a toj cetral, Possoova s parametrom a=8 ame, parametar a je očekvaje, a očekvaje odgovara prosječom broju pozva, odoso prosječoj vrjedost što je postže ta slučaja varjabla. Sad se ptaja mogu formulrat ovako: a px 8=p +p + +p 8 =e -8 +8/! +8 /! /8! =.595 a 4 decmala mjesta c p5<x< = p 6 +p 7 +p 8 +p 9 = e /6! /9!=.468 d px>4=-px 4=-p -p - p -p 3 -p 4 =.94. Zadatak 9. Predpostavmo da etko dobje prosječo 3 poruke a sat a mobtelu. a Kolko je puta vjerojatje da tjekom sata dođe jeda poruka od toga da e dođe jeda? b Koj je ajvjerojatj broj poruka u jedom satu koja mu je vjerojatost. c Kotrolrajem u sat dobve su rezultat o broju poruka. U kolko odprlke od th sat eće bt jedog pozva, u koloko će bt točo jeda pozv td. Prmjer 5. Uređaj se sastoj od dva djela koj se ezavso kvare jeda od drugoga. Jeda ma prosječo 3 kvara godšje, a drug. Uređaj rad ako mu oba djela rade. Kolka je vjerojatost da će uređaj radt bez kvara a mjesec daa g cjelu godu? Prje rješavaja pokušajte provjert svoju tucju procjet vremea odoka. Neka X ozačava slučaju varjablu koja mjer broj kvarova u mjesecu prvog uređaja, a Y slučaju varjablu koja ozačava broj kvarova u mjesecu a drugom uređaju mjesec smo uzel da bsmo mogl rješt a zadatak, a za b zadatak uzet ćemo da slučaje varjable regstrraju broj kvarova godšje. Da bsmo mogl rješt zadatak moramo pretpostavt da je prosječ broj kvarova mjesečo puta maj od prosječog broja kvarova godšje. Zato je X~P/4, Y~P/6. Buduć da uređaj rad ako oba djela rade buduć da je jhov rad, odoso kvareje ezavso, mamo: a px= Y==pX=pY==e -/4 e -/6 =.659. b Sad je X~P3, Y~P pa je px= Y==pX=pY== e -3 e - =.67.

76 Prmjer 6. Rješmo prethod prmjer uz pretpostavku da uređaj rad ako mu bar jeda do rad. Sada je, uz ste ozake u oba slučaja: a puređaj bez prekda rad mjesec daa = pbar jeda od djelova se eće kvart mjesec daa = px= l Y==pX=+pY=-pX=pY= zbog ezavsost =.966 b px=+py=-px=py==.99. Napomea.. Iako je vjerojatost Possoove razdobe lakše račuat ego bome ovdje je često dobro korstt rekurzvu formulu koju je lako zvest: p + /p = a/+.. Može se pokazat da Possoova razdoba astaje kao lmes bomh razdoba kod kojh parametar tež u beskoačost, a umožak p je stala broj. Tada taj z razdoba tj. jhovh vrjedost prpadh vjerojatost tež upravo k razdob Pp. Drugm rječma, ako želmo tako dobt razdobu Pa, oda parametar redom uzma vrjedost,3,4,, a, parametar p redom uzma vrjedost a/, a/3, a/4,. Zato se ekada Possoova razdoba korst za aproksmacju bome jer za dosta velk e prevelk p, vjerojatost možemo račuat kao kod Possoove razdobe. Zadatak. Smslte strategju za zvođeje Possoove razdobe.

77 Koturae slučaje varjable. Dskrete slučaje varjable povezae su s prebrojavajem u ekom pokusu. Oe prmaju koača skup vrjedost l možda beskoača, al je tada užo prebrojv dskreta. Kod th slučajh varjabla možemo zamšljat da je jedča masa ukupa vjrojatost raspoređea a brojevom pravcu u th koačo točaka odoso prebrojvo mogo točaka. Međutm, u pokusma se prrodo javlja mjereje. Skup brojeva kojma se teoretsk zapsuju rezultat mjereja je koača t dskreta, već ek terval u skupu realh brojeva. Pojasmo to malo a prmjerma.. Slučaja varjabla koja mjer temperaturu u ekom pokusu u stupjevma teoretsk može prmt rezultat u tervalu [-73?, + fty>. Naravo da svak mjer uređaj ma dskretu mjeru skalu, pa b tako mjereje jme postzavalo samo koača skup vrjedost međutm, z teoretskh razloga m e možemo sključt jedu međuvrjedost koje ema a tom, al možda ma l će bt a ekom drugom mjerom uređaju. Ptaje mjere skale za temperaturu je uopće jedostavo ptaje eke teorje prhvaćaju dskreta, a eke kotura karakter temperature; u što tu e možemo ulazt; apomjemo samo da se m, z teoretskh razloga, držmo da je temperatura koturaa.. Slučaja varjabla koja mjer postotak eke tvar u ekoj smjes teoretsk može prmt svaku vrjedost tervalu [,] tu vrjed slča apomea kao prje, što, u slčm prgodama ećemo vše spomjat. 3. Slučaja varjabla koja mjer relatv udo eke tvar u ekoj smjes teoretsk može prmt svaku vrjedost u tervalu [,]. 4. Grješka pr mjereju teoretsk može bt svak real broj td. Prmjer. Zamslmo da rezultat mjereja mogu ravopravo bt brojev u tervalu [,] da slučaja varjabla X regstrra taj rezultat. Tada je vjerojatost jedča masa jedolko raspoređea a tervalu [,]. Name možemo zamslt da smo jedču masu razmazal jedolko po tom tervalu. Mora bt px=a =, za svak a z tervala [,] jer kad b za jeda a ta vrjedost bla poztva, oa b morala bt poztva za sve brojeve z tervala, jer su o ravoprav zbog jedolke raspoređeost vjerojatost; međutm tada b ukupa vjerojatost bla beskoača, a mora bt. Tako mamo azgled paradoksalu stuacju: vjerojatost u svakoj točk je, a ukupa je vjerojatost. S druge strae, pa<x<b = b-a/, za svaka dva broja a,b z tervala za koja je a<b. To je zato što je ukup terval dulje, a terval [a,b] je dulje b-a, a prpada mu vjerojatost proporcoalo dulj tervalu dulje prpada vjerojatost /. Matematčk model za ovakvu razdobu vjerojatost jest kostata fukcja: f:=/, za u tervalu [,].

78 Ta je fukcja poztva a tom tervalu površa spod jea grafa je. Da se odred vjerojatost da slučaja varjabla X poprm rezultat zmeđu brojeva a b, treba dulju tervala od a do b, tj. broj b-a pomožt s /, tj. s vrjedošću fukcje, a to je sto što zračuat površu spod grafa fukcje f od =a, do =b. Kažemo da je slučaja varjabla X eprekuta koturaa ako prma svaku vrjedost a ekom tervalu svaku s vjerojatošću. Ta defcja je matematčk potpuo zadovoljavajuća, al će za as bt dovolja. Prmjer. Opšmo koturau slučaju varjablu X koja prma vrjedost u tervalu [,] kojoj je vjerojatost raspoređea proporcoalo udaljeost od shodšta a e jedolko kao u prethodom prmjeru. Izračuajte vjerojatost da X poprm vrjedost zmeđu.3.7. U ovom slučaju možemo zamslt da smo jedču masu razmazal od = do =, tako da se gustoća amaza povećava proporcoalo s udaljeošću od shodšta koja je, za svak, upravo jedaka. Prpada fukcja f koja to opsuje je kostata kao prje, već je f=c, za od do, gdje je c eka kostata, koju ćemo odredt ovako. Uočmo mal terval [,+ ] zama as vjerojatost da slučaja varjabla X poprm rezultat a tom tervalu. Na tom tervalu fukcja f je prblžo kostata jedaka f a malom tervalu vrjedost su se malo promjele u odosu a početu pa je, u skladu s prethodm prmjerom, p<x<+ f = c Razmotrmo sad broj p X. To je, s jede strae, jedako ukupa vjerojatost. S druge strae ta se vjerojatost dobje kad bsmo zbrojl sve doprose a malm tervalma, a o se dobju, kako zamo, tegrrajem zraza cd od = do = tu prelaz u d. Dakle, cd = opet je površa spod grafa od f jedaka odakle dobjemo c=, tj. f=, za od do. Vjerojatost da X poprm rezultat zmeđu a b dobje se slčo, zbrajajem malh doprosa od =a do =b, tj. tegrrajem od a do b, dakle:

79 b p a < X < b = f d = d = a b a b = b. a Posebo: p.3<x<.7 = površa spod grafa fukcje f od =.3 do =.7.7. = 7 d = = a U ovm se prmjerma javljala fukcja f koja prma vrjedost veće l jedake, koja opsuje razdobu vjerojatost a tervalu. Vdmo da je razumo defrat općeto: ako koturaa slučaja varjabla prma rezultate a tervalu [u,v], oda je razdoba vjerojatost zadaa ekom fukcjom f defraom a tervalu [u,v] za koju vrjed: f ; u, v. [ ] v u. f d = Pr tom je vjerojatost da ta slučaja varjabla poprm vrjedost u tervalu [a,b] : p a < X < b = f d. b a

80 Nekolko kometara.. U ašm je prmjerma vjerojatost bla raspoređea prema ekom pravlu a tervalu [u,v]. To su mogl bt otvore terval poluterval beskoač terval, koačo, ajveć terval: cjel skup realh brojeva. Od sada ćemo smatrat da je uvjek tako, tj. da je vjerojatost a cjelom skupu realh brojeva tj. da je fukcja f zadaa a čtavom skupu realh brojeva; to apravmo tako da a oom djelu gdje ema vjerojatost stavmo da je vrjedost fukcje f jedaka. Zato će od sada bt: f, za sve reale brojeve. f d =. Fukcju f s ovm dvama svojstvma zovemo fukcjom gustoće vjerojatost. Dakle, svaka ovakva fukcja defra eku razdobu vjerojatost koturae slučaje varjable. 3. Vjerojatost da slučaja varjabla X, koja ma fukcju gustoće f, poprm vrjedost a tervalu [a,b], jedaka je površ spod grafa fukcje f od =a do =b tegral. 4. Iako ma puo takvh fukcja f, as će u praks zamat samo ekolko takvh fukcja odoso ekolko tpova l klasa takvh fukcja, što ćemo vdjet poslje. 5. Možemo l opravdat to da fukcju f možemo tegrrat a svm podtervalma? Rekl smo da f opsuje kako je jedča masa razmazaa po -os a početku je to blo samo po tervalu. Razumo je pretpostavt da dok kst vučemo eprekuto, oda će prpada fukcja koja opsuje gustoću amaza bt eprekuta. Također, razumo je pretpostavt da ćemo, možda ekolko puta zastat, pa potom astavt. Na tm mjestma fukcja f će možda bt prekuta jer ćemo astavt razmazvaje po drugom pravlu. Tako će fukcja f bt po djelovma eprekuta, a kako je ukupa masa koju razmazujemo koača, oa će mat tegral a svakom podtervalu. 6. Formule.. koje defraju fukcju gustoće treba gledat u aalogj s dskretom slučajom varjablom. Tako je formula. kotura aalogo uvjeta:. p >, za sve vjerojatost su poztve; evetualo se može dopustt da budu, a formulu. kao aalogo formule p = ukupa vjerojatost je.

81 Jaso je da se formula za vjerojatost da slučaja varjabla X poprm vrjedost a ekom tervalu može smatrat aalogjom oe za dskretu varjablu tegral od doje do gorje grace zamjejuje prjašje zbrajaje vjerojatost. Poslje ćemo vdjet da se ta aalogja provlač dalje: a očekvaje, varjacu sl. Dakle, jedolka fukcja gustoće u prvom prmjeru mogla b se zapsat kao: f=/, za od do =, ače, dok b se leara fukcja gustoće z prmjera. mogla zapsat kao: f=, za od do, =, ače. Jaso je da se sve važo kod prve od ovh dvju fukcja događa a tervalu [,], a kod druge a tervalu [,]. Evo jedog prmjera fukcje gustoće f koja je jedaka t za jeda. Prmjer 3. Pokažmo da je varjable X. f = π + fukcja gustoće vjerojatost eke slučaje Ta je fukcja očto defraa za svak real broj također je očto da je oa strogo poztva tme je potvrđe prv uvjet koj mora zadovoljavat fukcja gustoće. Da bsmo potvrdl drug uvjet moramo zračuat površu spod grafa fukcje f. π π d = arctg = = + π π π Tme je pokazao da je f fukcja gustoće vjerojatost. Pogledajmo kako možemo račuat vjerojatost a tervalma. b pa<x<b= = arctgb arctga a π + π To smo mogl ovako jer je prpada fukcja gustoće f mala prmtvu fukcju tj. fukcju kojoj je dervacja jedaka f pa se račuaje tegrala svod a oduzmaje dvju vrjedost prmtve fukcje. Zaključujemo da b am blo dobro uvjek zat prmtvu fukcju fukcje f. Tako za račuaje vjerojatost e bsmo trebal tegrrat, već samo oduzmat. Kako zamo, prmtva je fukcja određea do a kostatu, što zač da kada zamo jedu, sve se ostale dobju dodavajem kostate. Od svh th, zabrat ćemo jedu dat joj posebo me. Defcja. Fukcja dstrbucje vjerojatost slučaje varjable X jest, prema defcj, fukcja F: R R, zadaa uvjetom: F:=pX< vrjedost te fukcje u realom broju jest vjerojatost da ta slučaja varjabla poprm rezultat maj od tog. Pokazat ćemo da je upravo ta fukcja jeda od prmtvh fukcja fukcje f. Prje toga avedmo ekolko jeh svojstava koje prozlaze z jee defcje.

82 . očto je F rastuća jer se povećajem broja e može ukupa vjerojatost do tog mjesta smajt,. očto je da F prma vrjedost zmeđu jer su jee vrjedost eke vjerojatost 3. razumo je pretpostavt da joj je lmes kad de u beskoačost upravo jer je ukupa vjerojatost, a da joj je lmes kad de u beskoačost jedaka. 4. razumo je pretpostavt da je ta fukcja eprekuta jer malm promjeama vrjedost, malo se mjeja vjerojatost. Sva ta svojstva zravo se dokazuju z sljedeće veze: F = p X < = p < X < = f t dt. Tu smo spod tegrala stavl varjablu t, jer je gorja graca tegrala pa da e dođe do zabue. Tako smo fukcju F opsal pomoću fukcje f. Obrato, z defcje prmtve fukcje, sada sljed da je: F =f za sve osm oh u kojma fukcja f ma prekd a takvh je mjesta koačo mogo; dopušta se općetja stuacja, al m se ogračavamo a ovu. Dakle F je prmtva fukcja fukcje f odoso to je barem po djelovma. Sada je. p a < X < b = f d. b a =Fb-Fa.

83 Prmjer 4. Pokažmo da je fukcja f zadaa s f=, za <- =+, za - =/, za < =, za > fukcja gustoće eke koturae slučaje varjable X. Odredmo fukcju dstrbucje od X acrtajmo slke. Prje rješavaja kometrajmo kako možemo zamšljat ovu fukcju. Netko je jedču masu razmazao po tervalu [-,] tako da je prvm potezom ksta razmazao polovcu mase

84 po tervalu [-,] jedolko pojačavajuć gustoću amaza, potom je zastao ostatak jedolko razmazao po ostalom djelu, tj. po tervalu <,]. Da bsmo rješl problem, prvo treba pokazat da je f za sve, za što jedo treba provjert da zraz + je egatva t za jeda u tervalu [-,]. Kako je f-=, f= kako f raste a tom tervalu tu je f leara fukcja, f e može bt egatva a tom tervalu. Drug je uvjet f d =, što u ovom slučaju postaje + d + d =, što se lako pokaže, pa je f fukcja gustoće. Napomemo da se ovaj uvjet je morao radt pomoću tegrala, već se mogla elemetaro zračuat površa spod grafa fukcje f: to je zbroj površa pravokutog trokuta što ga s koordatm osma č pravac s jedadžbom y=+ a to je jedako / pravokutka što ga pravac s jedadžbom y=/ č s -os od = do = to je /, ukupo. Fukcju dstrbucje određujemo pomoću formule f = f t dt, a kako je f zadaa po djelovma, razlčtm ačma treba tegrrat po djelovma u ovom zadatku se čak e treba tegrrat već površe račuat elemetaro. Dakle: F =, za <- jer je tu f ula pa ema površe = t + dt, za - =površa do + dt, za < =, za >, jer je do = ukupa površa već Nako račuaja dobjemo: F =, za <- = /++/ za - = /+/ za < = za >.

85 Napomee:. Na grafu fukcje F uočte da je eprekuta, rastuća al e strogo da su joj vrjedost zmeđu.. F je dervabla fukcja osm za koačo vrjedost. To treba provjert samo za =-, =, = tako da se gledaju dervacje s ljeva s desa koje uvjek postoje provjerava jesu l jedake. U = -, obje su dervacje pa je F dervabla u. U =, dervacja s ljeva je, a s desa / pa F je dervabla u. U =, dervacja s ljeva je /, a s desa pa F je dervabla u. Dakle za sve osm za = =, F je dervabla vrjed F =f. 3. Pokušajte sam obrazložt zašto je kao u., pa poslje pogledajte objašjeje. Vrjedost fukcje F za ek, dobje se tako da se zračua površa spod grafa fukcje f do toga. Dokle je f eprekuta, površa spod je se takeđer eprekuto mjeja, štovše mjeja se glatko tj. F ma prvu dervacju, tj. brzu promjee, al e užo svuda drugu dervacju, međutm tamo gdje f ma prekd skok, površa će se eprekuto astavt povećavat sa slke je jaso da površa ema skok, al eće bt dervabla u toj točk. Očekvaje varjaca koturae slučaje varjable. Ove dvje važe karakterstke deframo prema uzoru a dskreta slučaj. Tamo je razdoba vjerojatost bla u aalogj sa sustavom čestca a pravcu, očekvaje je odgovaralu težštu sustava čestca, a varjaca mometu ercje oko težšta. Sad umjesto sustava čestca mamo jedču masu raspoređeu po pravcu skupu realh brojeva, a ač kako je oa raspoređea zada je fukcjom gustoće f koja se ače, občo u mehac, ozačava slovom ρ. Dakle:

86 E X = f d u usporedb s dskretm slučajem, suma se zamjejuje tegralom, s, a p s fd. V X = E X f d U ovm formulama, a ače kad je rječ o slučajm varjablama, treba lučt ozaku X za slučaju varjablu od ozake za realu varjablu tj. blo koj real broj. Napomee:. Kao prje, očekvaje ma začeje točke u kojoj je ravoteža. Taj broj može bt poztva egatva.. Varjaca, kao prje, mjer stupaj raspaja oko očekvaja. Iz formule se vd da je uvjek poztva jer tegrramo fukcju koja je umožak jede fukcje koja je kvadrat druge koja je poztva, prema defcj, tj. račuamo površu spod grafa fukcje koj je zad os. Zato, kao prje, možemo defrat stadardu devjacju slučaje varjable X: sx = V X. 3. Za račuaje u kokretm slučajevma pogodja je druga formula za varjacu a dobje se lako z ove, kao prje: V X = f d E X. Tu, kao občo, E X zač EX. Prmjer 5. Izračuajmo očekvaja varjace slučajh varjabla z prethodh prmjera.. f := /, za z [,] :=, ače. Na osov slke jedolka razdoba, odmah am mora bt jaso da je očekvaje. Ipak zračuajmo. E X = f d

87 = = = d 4 4 V X = f d E X = = = d f :=, za z [,] :=, ače. E X = d =. 3 Iz slke je jaso zašto je očekvaje blže ego. 4 V X = d = 9 8 Pokušajte dat fzkale razloge zbog kojh je u ovome slučaju varjaca bto maja ego u prethodom. 3. f := +, za zmeđu := /, za zmeđu :=, ače.

88 Prje račuaja pokušajte odoka ocjet hoće l očekvaje bt poztvo l egatvo. E X = + d + d = + / 3 / + / 4 =. 3 V X = + d + d 44 = / 4 + / 3 + / 6 /44 = Ekspoecjala razdoba. Vrjeme zmedju dvaju kvarova a ekom uređaju l stroju, je egzakto određeo odoso m, sa sadašjm zajem, smo sposob to odredt, već je slučajo. Slčo je s vremeom zmedju dvaju posjeta eke adrese, pozva a ekom telefou, zmedju dvaju radoaktvh raspada, vremeom rada do kvara eke žarulje sl. Zato ma smsla govort o slučajoj varjabl koja regstrra vrjeme zmedju dvaju kvarova, trajaja eke žarulje sl.. Kad se kaže eke, oda to treba pojast. Vrjeme trajaja ovs o mogm faktorma. Da bsmo mal određeju stuacju pretpostavmo da razmatramo žarulje stog prozvođača, koje su prozvedee stom tehologjom od stog prozvođača. Ipak eke od jh maju kraće, a eke duže vrjeme trajaja koje e možemo lako dokučt. ato je vrjeme trajaja slučajo zabrae takve žarulje slučaja varjabla. Da bsmo seb malo stuacju pojasl možemo testrat mogo takvh žarulja tako doć do predodžbe o prosječom vjeku trajaja takvh žarulja, a o dstrbucj vremea trajaja tme se bav statstka o tome ćemo vše govort poslje. Neka je X slučaja varjabla koja regstrra vrjeme trajaja žarulje. Itutvo je jaso da će se vjerojatost da žarulja traje smajvat tjekom vremea, pa je razumo pretpostavt da je fukcja gustoće vjerojatost f slučaje varjable X padajuća za poztve, a za egatve, prrodo, jedaka je. Dakle: f je padajuća za > = za <. Zademo još da će površa spod grafa te fukcje bt. Ima jako puo fukcja koje to zadovoljavaju, međutm, z kokreth sptvaja o kojma ćemo vše govort u statstc, al z razumh fzkalh pretpostavaka o kojma ećemo govort, može se prhvatt e samo to da fukcja f pada već da ekspoecjalo pada za poztve. To zač da je:

89 f = ae - λ, za > gdje je e baza prrodog logartma, a λ a poztv real brojev drug zato da f bude poztva, a prv zato da f bude padajuća. Vezu zmeđu th brojeva dobt ćemo ako uzmemo u obzr da je prpada površa jedaka. Jedadžba: λ e a d =, postaje a =, tj. a= λ. λ To as upućuje a sljedeću defcju. Defcja. Kažemo da slučaja varjabla X ma ekspoecjalu razdobu s parametrom λ >, ako joj je fukcja gustoće vjerojatost f = λe λ, za > =, ače. Ako je tako, pšemo X ~E λ. Dakle, ma beskoačo mogo ekspoecjalh razdoba čak eprebrojvo mogo, al sve su slče parametrzrae su poztvm parametrom λ. Nabrojl smo vše razlčth al slčh pojava koje se prblžo poašaju prema ekspoecjalom zakou. Parametar λ Razlkuje medjusobo te pojave žarulje razlčth kvalteta, strace razlčth posjećeost, rzlčte radoaktve materje sl.. Prmjer 6. Nacrtajmo u stom koordatom sustavu uočmo međusob odos fukcja gustoće ekspoecjalh razdoba za λ =, λ =/, λ =.

90 Uočavamo da je krvulja to strmja što je parametar λ već, tj. brže se prblžava -os. Ako to prmjemo a čjecu da X regstrra vrjeme trajaja, zaključujemo da b vrjeme dakle prosječo vrjeme trajaja moglo bt obruto proporcoalo s λ. To ćemo sada dokazat tako što ćemo pokazat da je, ako je X~E λ, oda je EX = / λ. Name: λ λ λ e E X = λe d = e = / λ =. λ λ pažljvo provjerte preskočee korake u gorjem račuu; uputa: rječ je o parcjaloj tegracj L Hosptalovu pravlu; gdje se u račuu prmjejuje da je λ >?. Slčo, al tehčk ešto teže dobje se: V X =. λ Prje račuaja vjerojatost odredmo fukcju dstrbucje F ekspoecjale razdobe. F =, za epoztve = λe λt = e dt λ Dakle, za poztve je F = e λ. Nacrtajmo slku. Vdmo da graf fukcje a početku aglo raste, a poslje se smruje. To zač da se vjerojatost dosta rao potroš objaste što to praktčk zač. Prmjer 7. Prosječo vrjeme rada žarulje je 8 sat. Odredmo vjerojatost: a da žarulja rad bar 8 sat b da žarulja rad maje od 6 sat.

91 c da žarulja rad zmeđu 5 sat. Prje rješavaja pokušajte a ova ptaja odgovort odoka. Da bsmo rješl ovaj problem prhvatt ćemo pretpostavku da je vrjeme trajaja žarulje ekspoecjalo dstrburao. Dakle, ako slučaja varjabla X regstrra vrjeme trajaja žarulje, oda je: X~E/8. Tu smo zabral λ =/8 jer prosječo vrjeme trajaja 8 sat, a taj broj odgovara očekvaju slučaje varjable X, a oo je / λ. Sad se problem mogu shvatt ovako: a px 8 = p8<x< =-F8 = --e -8/8 =.3679 a 4 decmala mjesta b px<6 = p- <X<6 = F6- = -e -6/8 =.576 c p5<x< = F -F5 = -e -/8 --e -5/8 =.488. Normala Gaussova razdoba. To je ajvažja razdoba u teorj, al u prmje vjerojatost. Tu razdobu prblžo maju moge slučaje varjable koje astaju u praks, prmjerce slučaja varjabla koja a regstrra grješku pr mjereju b regstrra rezultat mjereja a pr. mase, vse, postotka, telgecje, c regstrra rezultate pr dobro odmjereom psmeom sptu td. S druge strae, do ove razdobe može se doć statstčk o čemu će vše bt rječ poslje. Name kad se zvod već broj ezavsh mjereja eke velče, pa se gleda prosječa rezultat, dolaz se do ormale razdobe prblžo, a u lmesu točo; to se može točo matematčk opsat. Razmotrmo ekolko heurstčkh razloga koj am daju aslutt da će se grješke pr mjereju poašat prema ormalom zakou poslje ćemo točo reć o kakvoj je razdob rječ. Neka slučaja varjabla X regstrra grješku pr mjereju koju e možemo egzakto opsat jer astaje slučajo, čak kod ajpreczjh strumeata eka je f fukcja gustoće od X. Tada je prrodo, uz čjecu da je površa spod grafa od f jedaka, predpostavt sljedeće:. grješke teoretsk mogu bt po volj velke, pa je f defraa poztva za sve reale brojeve.. grješke su smetrčo raspoređee oko, pa je f para fukcja. 3. ajvjerojatje su grješke oko ule, a kako demo dalje vjerojatost da greška bude u ekom malom tervalu stale dulje, smajuje se. Zato je f padajuća fukcja za >.

92 4. Trebala b postojat famlja takvh f, ovsh o ekom parametru, koje b opsvale grješke jer jeda je fukcja za strumet koj rad male, a druga za ek koj rad velke grješke; pak te fukcje trebaju bt slče. Ako bsmo tome dodal eke druge razume uvjete l da smo zbog zdravog razuma, al statstčkh razloga pretpostavl da f za > ekspoecjalo opada, ostale b am, kao ajjedostavje, mogućost tpa: b f = ae, gdje su a,b ek poztv real brojev smo stavl rad parost, a predzak mus da b fukcja bla padajuća. Korsteć pozatu čjecu da je: e d = * π lako bsmo došl do veze zmeđu parametara a b, do toga da se f može zapsat kao: = e, σ > ** σ f σ π Graf te fukcje zove se gaussova krvulja; oa je. zvoolka oblka s tjemeom u =.. smetrča s obzrom a y-os, 3. ma točke fleksje u = ± σ. 4. Odoka vdmo da je površa zmeđu th dvju vrjedost veća od /, poslje ćemo to zračuat preczje. To ćemo prblžt a prmjeru. Pretpostavmo da je grješka pr očtavaju rezultata a ekom mjerom strumetu ormalo dstrburaa uz σ =.. Tu čjecu možemo tumačt kao: vjerojatost da grješka bude zmeđu.. je veća od / poslje ćemo vdjet da je oa oko /3. To zač da je vjerojatost da grješka bude veća od. l maja od., maja od / poslje ćemo vdjet da je oa oko /3. 5. Što je σ već, krvulja je spljošteja površa je rastureja; to govor o tome da su grješke raspršeje, dakle veće. Obrato, što je σ maje, krvulja je uža vša; zač grješke su maje, kocetrrae su oko.

93 6. Za slučaju varjablu X koja ma ovakvu fukcju gustoće kažemo da je ormala pšemo: X~N, σ. Specjalo, ako je σ =, kažemo da je razdoba jedča ormala l stadarda tada pšemo: X~N,. Često jedču razdobu ozačavamo s T, a jeu fukcju gustoće s ϕ. Dakle: ϕ = e π Da je sa ** zadaa fukcja gustoće tj. da je površa spod krvulje prozlaz z *, samo se kod tegrraja prmje očta zamjea varjable. Također je očto da sve ove razdobe maju očekvaje zbog smetrčost; tko hoće to može dokazat zravo l korštejem svojstva eparost. Lako se može dokazat parcjala tegracja, zamjea varjable formula * da je varjaca ove razdobe σ. Dakle: Ako je X~N, σ, oda je EX =, VX = σ. Napomea.. Ako graf fukcje f pomakemo za µ oda se tjeme pomake za taj st µ pomak će bt udeso ako je µ >, u suprotom bt će uljevo. Pomcajem za µ fukcja postaje: µ σ f = e, σ π. Ovako pomakuta fukcja također je fukcja gustoće pomakom se površa e mjeja. Slučaju varjablu X koja ma takvu fukcju gustoće pšemo kao: X~N µ,σ. Prtom se očekvaje također pomake za µ pa je. EX = µ. Varjaca se e mjeja krvulja po zgledu ostaje potpuo sta pa je: VX = σ.

94 Sve se to može potvrdt račuom. 3. Pomakuta krvulja ma slča svojstva kao oa početa, samo što je os smetrje pravac s jedadžbom = µ a e vše -os. Sada mamo koaču defcju. Defcja 3. Kažemo da koturaa slučaja varjabla X ma ormalu razdobu s parametrma µ σ, ako joj je fukcja gustoće: µ σ f = e. σ π Pr tom je parametar µ očekvaje, a parametar σ varjaca te slučaje varjable. Račuaje vjerojatost kod ormale razdobe. Već smo vdjel da se vjerojatost kod koturae razdobe ajlakše račua ako am je pozata fukcja dstrbucje tada se vjerojatost da slučaja varjabla poprm rezultat a ekom tervalu svod a oduzmaje vrjedost te fukcje u rubovma tog tervala. U slučaju ormale razdobe e može se fukcja dstrbucje zapsat pomoću pozath elemetarh fukcja već samo pomoću beskoačh redova potecja l ekh drugh fukcja čje se vrjedost e mogu lako račuat, a prmjer, su dostupe a svakom kalkulatoru; jaso je da se, korsteć a prmjer Smphsoovu metodu, može apravt program koj će po volj preczo račuat vrjedost te fukcje. Zato su občo vrjedost fukcje dstrbucje ormale razdobe tabelrae. Tu je dobra vjest da e treba tabelrat te vrjedost za sve ormale razdobe kojh ma eprebrojvo mogo ovs su o dvama spomeutm parametrma, već je dovoljo tablcu ačt za jedču ormalu razdobu. Kako je jedča ormala razdoba smetrča s obzrom a y-os, dovoljo će bt tabelrat vrjedost za poztve. Sad ćemo poblže to objast. Kako je pozato, fukcju dstrbucje F, eke slučaje varjable X, defraa je kao: F = px< oa je prmtva fukcja fukcje gustoće f može se zapsat kao:

95 F = f t dt što je površa spod grafa od f do. U slučaju jedče ormale razdobe, površa do je / pa možemo psat: F = / + ϕ t dt, gdje smo uvažl čjecu da fukcju gustoće jedče ormale razdobe pšemo ozakom ϕ gorja je jedakost geometrjsk jasa za >, međutm oa vrjed za <; oda je vrjedost tegrala egatva. Ozačmo; Φ := ϕ t dt površa spod grafa fukcje ϕ od do. Dakle: F = / + Φ, odoso Φ =F-/ to vrjed za sve. Kako je F prmtva fukcja od ϕ, a Φ se od je razlkuje samo za kostatu za /, oda je Φ prmtva fukcja od ϕ, pa se pomoću je mogu račuat vjerojatost kod jedče ormale razdobe. Dakle, eka je T jedča ormala razdoba a,b blo koja dva reala broja takva da je a<b. Tada je. b pa<t<b = ϕ d prema defcj vjerojatost kod koturae razdobe a = Fb-Fa gdje je F prpada fukcja dstrbucje = / + Φ b / + Φ a = Φ b - Φ a. Fukcja Φ zove se Laplaceova fukcja.

96 Zašto am je Φ zgodja od F za račuaje vjerojatost? Zato što je oa epara fukcja: Φ - = Φ, za sve to prozlaz z jee defcje, al z geometrjske terpretacje, pa, kad tabelramo jee vrjedost za poztve, prpadajuće vrjedost za egatve odmah dobvamo. To bsmo mogl za F, al b tada formula bla drukčja: F- = -F, što je, svakako, teže uvjek račuat ego samo stavt egatv predzak. Treba pak apomeut da je u mogm tablcama tabelraa F, a e Φ. Osova geometrjska razlka zmeđu th dvju fukcja jest da je graf od F zmeđu, a graf od Φ zmeđu / /. Jedakostma: F =, F- =, F=/ Odgovaraja redom Φ =/, Φ - =-/, Φ = Jaso je da e možemo tabelrat svaku vrjedost za poztve, već samo eke dovoljo gusto, pa ostaje problem dokle ćemo daleko radt. Tu mamo sreću što fukcja ϕ ekspoecjalo opada pa će vrlo brzo spod je ostat bezačajo malo površe. Tako se občo tabelra do =4 a može do =3. Sad je jaso da će se rezultat za ste vjerojatost razlkovat ovso o tome kako su preczo tablce zrađee daas uglavom sv bolj kalkulator mogu račuat vrjedost fukcje F, a katkad Laplaceove fukcje. Pokažmo a ekolko prmjera kako se korst Laplaceova fukcja za račuaje vjerojatost. Prmjer 8. Neka je X slučaja varjabla s jedčom ormalom razdobom. Odredmo: p<x<.4 v p-.79<x<-.54 p-5<x<.4. p-.73<x< v px>.3 p-.37<x<. v p X <.5 v p.65<x<.6 v px<.4 p<x<.4 = Φ.4 - Φ = Φ.4 =.4 p-.73<x< = Φ - Φ -.73 = -- Φ.73 = Φ.73 =.673 p-.37<x<. = Φ.- Φ -.37 = Φ.+ Φ.37=.895 v p.65<x<.6 = Φ.6- Φ.65 = =.54

97 v p-.79<x<-.54 = Φ Φ -.79 = Φ.79- Φ.54 =.579 v px>.3 = Φ.3<X< =.5 - Φ.3 =.9 v p X <.5 = p-.5<x<.5 = Φ.5 - Φ -.5= Φ.5=.383 v px<.4 = p- <X<.4 = Φ = Φ.4+.5 =.9 vd a Tu je rezultat kao u prethodom prmjeru prblžo jer je Φ -5 praktčo jedako.5. Slčo, ako je a>4, oda je Φ a =.5 uz velku točost. Napomea.. Sv b rezultat bl ostal st da smo umjesto zakova <, > stavl a ekm l svm mjestma zakove,. To je zato što je rječ o koturaoj razdob.. Svak od ovh rezultata pojed brojev koj u jma sudjeluju maju geometrjske terpretacje koje b trebalo razumjet. Pokazal smo kako se račua vjerojatost stadarde ormale razdobe. Sad ćemo vdjet kako se račua vjerojatost blo koje ormale razdobe. Neka je X~N µ,σ, eka su a, b real brojev takv da je a<b. Tada je: b µ σ e d µ pa<x<b = σ π ako zamjee varjable = t σ a b µ σ t e a µ π σ = dt spod tegrala je fukcja ϕ b µ a µ = Φ Φ. σ σ Dakle, račuaje vjerojatost po volj odabrae ormale razdobe, svod se a račuaje vjerojatost jedče ormale razdobe tj. do oduzmaja vrjedost fukcje Φ. Ovaj smo rezultat zvel pomoću zamjee varjable u određeom tegralu, međutm o ma druga objašjeja, a prmjer geometrjska lako se vd da blo koja ormala razdoba pomakom suproto od očekvaja, potom djeljejem sa stadardom devjacjom postaje jedča ormala razdoba; to grafov fukcja gustoće ljepo prate. Pokažmo to a prmjeru. Prmjer 9. Teža eke populacje ormalo je dstrburaa s prosječom težom 66 kg stadardom devjacjom 5kg. Odredmo vjerojatost da slučajo odabra predstavk te populacje ma: a težu zmeđu 65 7 klograma. b težu veću od 7 kg.

98 Neka slučaja varjabla X regstrra težu slučajo odabraog predstavka te populacje. Iako je ovo stuacja z žvota a ju ćemo prmjet ormalu razdobu koja odgovara dealm uvjetma. Zato je X~N65,5, jer očekvaje treba bt prosječa vrjedost, a stadarda je devjacja propsaa u zadatku poslje ćemo, u statstc, vdjet kako se u takvm praktčm slučajevma određuje stadarda devjacja. Zadatke možemo shvatt ovako: a p65<x<7 = Φ Φ 5 5 = Φ.8- Φ -. = b px>7 =.5 - Φ =.5 - Φ. =.5. 5 Tu smo.5 uzel jer je tu gorja graca beskoača, a spravo shvaća pomoću lmesa. 66 = 5 ta se jedakost Pravlo tr sgme. Najvažje svojstvo ormale razdobe u prmjeama, jest to da terval uutar kojega se alaz gotovo % svh vrjedost slučaje varjable, ovs samo o očekvaju stadardoj devjacj to je za po 3 stadarde devjacje ljevo deso od očekvaja. Preczje, eka je X~N µ,σ. Tada je p µ 3σ < X < µ + 3σ =.9973 Također je. p µ σ < X < µ + σ =.9544 p µ σ < X < µ + σ =.686 Zač s 95% sgurošću možemo tvrdt da se eka velča ormalo dstrburaa alaz za ajvše stadarde devjacje ljevo l deso od očekvaja to zač da je u tom tervalu vše od 95% površe spod prpade krvulje. Slčo, vdmo da za stadardu devjacju ljevo deso od oćekvaja ma oko /3 površe spod te krvulje to je oo što smo raje odoka procjejval da je vše od jede polove. Prmjer. Odredmo terval uutar kojeg se alaz teža slučajo odabrae osobe z Prmjera 9: s vjerojatošću oko.68 s vjerojatošću oko.95 gotovo % U Prmjeru 9 je rječ o ormaloj razdob s µ =66 σ =5, pa je, prema pravlma jeda sgma, dva sgma tr sgma :

99 [66-5,66+5]=[6,7], tj. pteža slučajo zabrae osobe je zmeđu [ 66 5, ]=[56, 76], tj. pteža slučajo zabrae osobe je zmeđu [ , ]=[5, 8], tj. gotovo sve osobe maju težu zmedju 5 8.

100 Dodatc:. Fukcja slučaje varjable S fukcjom slučajh varjabla već smo se susretal pr razmatraju slučaje varjable Y=aX+b, posebce kod ormalh razdoba. Općeto, ako je X slučaja varjabla h reala fukcja reale varjable, oda deframo slučaju varjablu Y:=hX zahtjevom: Ako X postge vrjedost, oda hx postge vrjedost h. Treba razlkovat slučaj dskrete od koturae varjable, takodjer slučaj jektve fukcje h od oe e jektve. Razdoba dskrete slučaje varjable Y:=hX. Neka je razdoba dskrete slučaje varjable zadaa tablcom p p p 3 p 4. Tada se razdoba slučaje varjable Y:=hX može zadat ovako h h h 3 h 4. p p p 3 p 4. Tu treba bt opreza. Name, ako je h jektva, tj. razlčtm argumetma prdružuje razlčte vrjedost, oda su sv h međusobo razlčt, ta tablca zasta jest tablca razdobe slučaje varjable hx. To je, posebce, spujeo ako je h leara fukcja, tj. h:=a+b, za a. Ako h je jektva, oda se može dogodt al e mora da ek od brojeva u prvom redku budu jedak. Tada sve takve smatramo jedm, a prpada je vjerojatost zbroj pojedh vjerojatost. To pokazujemo prmjerom gdje je h kvadrata fukcja, što se često javlja u vjerojatost u statstc. Prmjer. Neka X regstrra razlku rezultata kod dvaju uzastoph bacaja kocke eka je h:=. Opšmo slučaju varjablu Y=hX, tj. Y=X. Već smo se upozal s razdobom od X /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Da odredmo razdobu od X, ajprje prv red kvadrramo, a drug ostavmo a mru: /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Uočavamo da su ek brojev u prvom redku jedak; jh pšemo kao jeda, prpade vjerojatost zbrojmo. Na prmjer, px =5=pX=-5 l X=5=/36+/36=/36. Dakle,

101 /36 /36 8/36 6/36 4/36 /36 je razdoba slučaje varjable X. Uvjerte se da je zbroj vjerojatost. Sjetmo se da je EaX+b=aEX+b, VaX+b=a VX. Tako ešto slčo e vrjed za druge fukcje koje su leare. Dakle, općeto je EhX hex. Na prmjer, očto je da za X z Prmjera. vrjed EX =. Takodjer, lako je zračuat da je EX =/36, dok je EX =. Razdoba koturae slučaje varjable Y:=hX. Da bsmo opsal razdobu slučaje farjable hx, treba joj opsat fukcju gustoće fukcju dstrbucje. Rad toga eka je: f - fukcja gustoće vjerojatost koturae slučaje varjable X. F - fukcja dstrbucje koturae slučaje varjable X. g - fukcja gustoće vjerojatost koturae slučaje varjable Y:=hX. G - fukcja dstrbucje koturae slučaje varjable Y:=hX. Treba opsat g pomoću f h, odoso G pomoću F h. Pokazuje se da je, općeto, bolje poć od opsa fukcje dstrbucje G pomoću F h. Problem ćemo rješt za rastuće fukcje h, te za kvadratu fukcju h to su u prasks ajčešć slučajev.. Slučaj rastuće fukcje h. Vrjed G=Fh -, g=fh - h -, gdje je h - verza fukcja od h. Dokaz: G:=pY<=phX<=pX<h - :=Fh -. Sad, korsteć se formulom za dervacju složee fukcje, dobjemo da je za gotovo sve : g:=g =F h - h - = fh - h -. Kao prmjer, zvest ćemo fukcju gustoće log-ormale razdobe koja je aročto važa u opsu bološkh feomea. Prmjer. log-ormala razdoba Y:=e X, gdje je X ormala razdoba. Neka je X~ N μ,σ h=e ; tada je h - =l, pa za fukcju gustoće g slučaje varjable Y:=e X vrjed: g= e σ π l μ σ, za > sl.... Slučaj fukcje h:=. Tu je, za >: G:=pY<=phX<=pX <=p- <X< =F -F- Zato je g:=g =/ f + f- To ćemo lustrrat a prmjeru kvadrata jedče ormale razdobe, koja je vrlo važa u statstc. Prmjer 3. Neka je X~N, jedča ormala razdoba eka je h:=.

102 Odredmo dstrbucju slučaje varjable Y:=hX, tj. Y:=X. Iz prethode formule dobjemo: g=/ f +/ f- =/ f = e, za > sl.. π Prmjer 4. formula za EX očekvaje kvadrata slučaje varjable. Ako zadržmo prjašje ozake tj. da je f fukcja gustoće od X, a g fukcja gustoće od X mamo: EX := Odavde se dobje EX = g d = g d, jer je g=, za <. f d Sjetmo se da za koturau slučaju varjablu X vrjed. V X = f d E X. Kombrajuć s predhodom formulom, dobjemo važu formulu za varjacu: VX= EX E X, koju često pšemo korstmo u oblku EX = E X + VX. Taj je oblk važa zbog toga što je u jemu očekvaje kvadrata slučaje varjable zražeo pomoću očekvaja varjace od X.. Leara kombacja slučajh varjabla U teorj u praks često je potrebo razmatrat learu kombacju slučajh varjabla, apose ormalh. Već smo se susretal sa zbrojem razlkom dvju varjabla, a sa ekm složejm prmjerma. Općeto: Ako su X,X,,X slučaje varjable a,a,,a real brojev oda se defra leara kombacja ova slučaja varjabla: X=a X +a X + +a X Smsao je: ako X poprm vrjedost r, X vrjedost r,, X rezultat r, oda a X +a X + +a X poprm rezultat a r +a r + +a r. Na prmjer, prema uzoru a artmetčku sredu podataka,,,, defra se artmetčka sreda X slučajh varjabla X, X,, X ; to je varjabla X + X X X = X + X X = vrlo je važa u teorj vjerojatost u matematčkoj statstc. Nje teško vdjet da vrjed bez obzra jesu l varjable dskrete l koturae, 3

103 Ea X +a X + +a X = a EX +a EX + +a EX To je aročto jaso ako se pozovemo a fzkalu terpretacju očekvaja kao težšta za dskrete slučaje varjable. Općeto, e postoj jedostava formula za varjacu leare kombacje slučajh varjabla. Međutm, ako su slučaje varjable X međusobo ezavse, oda vrjed: V a X + a X +... a X = a V X + a V X +... a V X Nezavsost dvju slučajh varjabla grubo b se matematčk doekle epreczo mogla defrat ovako: Dskrete slučaje varjable X,Y su ezavse ako vjerojatost da Y poprm eku vrjedost, e ovs o tome koju je vrjedost poprmla X obrato. Za koturae slučaje varjable sve su pojedače vjerojatost jedake ul, pa se ezavsost može ovako defrat: Koturae slučaje varjable X,Y su ezavse ako vjerojatost da Y poprm vrjedost u ekom tervalu, e ovs o tome u kojem je tervalu vrjedost poprmla X obrato. Nezavsost vše slučajh varjabla defrala b se aalogo. Sada vdmo da vrjed. Ako su X ~ N μ, σ, =,,..., ezavse ormale slučaje varjable, oda je X : = a X a X... a X + + ormala slučaja varjabla s parametrma μ = μ μ σ = a σ a σ Sljedeća dva prmjera maju velku prmjeu u statstc. Prmjer 5. Odredmo očekvaje varjacu artmetčke srede ezavsh ormalh slučajh varjabla jedaako dstrburah s parametrma μ σ. EX = μ, σ σ σ =, drugm rječma X ~ N μ,. X Napomea: Da slučaje varjable su ble ormalo dstrburae, al da su ble ezavse, s medjusobo jedakm očekvajma medjusobo jedakm varjacama, oda b X mao to sto očekvaje, a varjacu puta maju. Ako b, dodato, bo dovoljo velk bar 3, oda b X bo prblžo ormalo dstrbura to je pojedostavljea formulacja cetralog gračog teorema. Prema uzoru a varjacu s korgrau varjacu s defraju se S S kao: z deskrptve statstke 4

104 S := X X X X X X S := X X X X X X. Uočte da vrjed S = X X X X Prmjer 6. Pokažmo da je ES =, ako su X medjusobo ezavse slučaje varjable svaka s očekvajem σ μ varjacom e moraju bt ormalo dstrburae. σ Korsteć se svojstvma očekvaja formulom z Prmjera 4, dobjemo: ES = X X X X = X E X E X E X E = X V X E X V X E X V X E X V X E = σ σ σ μ σ μ = = + U sljedećem prmjeru pokazujemo da se zavse slučaje varjable vrlo često pojavljuju, te lustrramo poašaje varjace. Prmjer 7. Bacamo kocku dva puta. Slučaja varjabla X regstrra već od rezultata, a slučaja varjabla Y maj. Pokažmo da su te dvje slučaje varjable zavse. Odredmo varjace od X, Y X+Y. Vdmo da vrjed: px==/36 jer se to moze dogodt ako samo ako oba puta bude. S druge strae PX= Y== jer, ako je mmal rezultat, oda X e može poprmt rezultat. Razdobe ovh dvju varjabla već smo razmatral. Vdjel smo da je X: Y: /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Zato je a tr decmala mjesta EX=6/36 = 4.47 ; VX =.44 EY=9/36 =.58; VY =.44 Vdmo dalje da je X+Y slučaja varjabla koja zbraja rezultate, dakle X+Y:

105 /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 jer je: px+y==px=y==pa obje kocke =/36 px+y=3=px= Y==pa jedoj kock, a drugoj =/36 px+y=4=p[x=y= l X=3 Y=]=/36+/36=3/36 td. Zato je: EX+Y=5/36=6/36+9/36=EX+EY, Međutm, VX+Y =.449, dok je VX+VY =.44 =.4. H kvadrat razdoba χ. Ta razdoba ma važu prmjeu u statstc pr testraju. Dobje se ovako. Neka su X, X,...,X međusobo ezavse jedče ormale razdobe. Tada je h kvadrat razdoba s stupjeva slobode =,,... defraa kao χ := X + X X Zač, jedče se ormale varjable ajprje kvadrraju, potom zbroje sl.3.. Studetova t-razdoba t s stupjeva slobode Ta se razdoba prrodo pojavla u statstc. Studetove se razdobe razlkuju prema stupju slobode =,,3,... Kako se povećava tako se t-razdoba prblžava jedčoj ormaloj za =3 praktčo joj je jedaka sl.4. Defcja t-razdobe: X t= Y χ gdje su X~N, Y~ ezavse razdobe. Dakle, X + X +... X Y~ gdje su X ezavse jedče ormale razdobe a taj se zraz vrlo često pojavljuje u statstc. F-razdoba. I ta razdoba ma važu prmjeu u testraju. 6

106 Fscherova razdoba Fr,s sa r,s stupjeva slobode sl.5. defra se kao: sχ r F r, s : = rχ s Tu ozaku F e treba brkat sa stadardom ozakom za fukcju dstrbucje. 3. Izvod ekh teoretskh dstrbucja Bomu razdobu već smo zvel. Drugm rječma, zvel smo da ako teoretska razdoba X regstrra kolko se puta dogodo događaj A pr ezavsh zvođeja ekog pokusa, oda je X~B,p, gdje je p vjerojatost da se A dogod u svakom pojedačom pokusu. Slčo ćemo provest za Possoovu, ekspoecjalu ormalu razdobu. Postupak će u svm slučajevma bt aaloga: ajprje ćemo opsat pokus slučaju varjablu, potom ćemo, uz prhvaćaje ekh razumh predpostavaka, dokazat da ta slučaja varjabla ma određeu teoretsku razdobu. Possoova razdoba. Neka slučaja varjabla X opsuje broj poruka a ekoj adres u fksraom vremeskom tervalu. Već smo rekl da pokus pokazuju da se ta slučaja varjabla poaša prema Possoovu zakou sto vrjed za slče slučaje varjable. To ćemo zvest uz eke predpostavke. Recmo da želmo odredt px=, za ek.. predpostavka. Poruka ravopravo može doć u svakom treutku u tom tervalu. Zamslmo da smo zada terval podjell a velk broj u usporedb s vrlo malh tervala, za koj zahtjevamo sljedeću prrodu pretpostavku:. predpostavka. U svakom od th malh tervala mogu astupt samo dvje mogućost l je poruka došla l je. Neka je a prosječa broj poruka u zadaom vremeskom tervalu. Tada možemo smatrat da slučaja varjabla regstrra kolko se puta pojavla poruka u ezavsh zvodjeja pokusa pr kojemu poruka dolazo s vjerojatošću a/ jer ma ravopravh tervala tervala prosječo a poruka. Zato je prblžo X~B,a/ pa je, opet 7

107 a a p X = = a a...! a a a e! To je zato što za velke, u usporedb s, vrjed a a a e,,.... Ekspoecjala razdoba. Predpostavmo da slučaja varjabla X mjer vrjeme rada eke žarulje do kvara l ešto aalogo, poput vremea zmedju dvju poruka a ekoj adres sl.. Treba obrazložt zašto je ta slučaja varjabla ekspoecjalo dstrburaa. Zamslmo da mamo velk broj žarulja koje su počele gorjet u treutku t=, eka je yt broj žarulja u treutku t koje dalje gore. Itutvo je jaso, može se provjert pokusom, da postoj poztva kostata k koja ovs o kvaltet prozvedeh žarulja, tako da bude: yt+ t-yt -kyt t to zač da je broj stradalh žarulja u ekom relatvo malom vremeskom tervalu, proporcoala dulj tog tervala kolč žarulja a početku tog tervala predzak mus je zato što je ljeva straa egatva. Prelaskom a koturae fukcje, aslućujemo da je prpada dferecjala jedadžba dyt = -kytdt koju rješavamo separacjom varjabla dyt/yt = -kdt lako dobjemo yt=ye -kt gdje je y kolča žarulja a početku uočte aalogju s opsom radoaktvog raspada.. Sad dobjemo za fukcju dstrbucje F od X: Ft=pX<t= vjerojatost da slučajo odabraa žarulja strada do vremea t = y t kt -px>t=- = e, za t>. y to je zato jer je yt kolča žarulja koje su prežvjele vrjeme t. Sad za fukcju gustoće slučaje varjable X, dobjemo ft=f't=ke -kt, za t>, što smo trebal pokazat. Normala razdoba. Neka slučaja varjabla X regstrra grješku pr mjereju. Već smo obrazložl zašto b jea fukcja gustoće f trebala bt para fukcja, padajuća za poztve, a rastuća za egatve. Sad ćemo pokazat kako se, uz još eke prrode pretpostavke, može doć do 8

108 tražee formule. Metoda je mala modfkacja metoda koje su još sredom 9. st. predložl astroom Joh Herschel, matematčar, fzčar kemčar James Mawell. Zamslmo da smo zvršl dvje velke serje mjereja. Statstčk bsmo prblžo mogl odredt vjerojatost da grješka u prvoj serj mjereja pade u terval [,+ ], a jedako tako da grješka u drugoj serj mjereja upade u terval [y,y+ y].. predpostavka. Razumo je predpostavt da se grješke u tm dvjema serjama mjereja pojavljuju ezavso, tj., ako te grješke ozačmo kao e, e oda je: pe je u [,+ ] e je u [y,y+ y]= pe je u [,+ ] pe je u [y,y+ y] f fy y ffy y. S druge strae, ako je mal pravokutk sa stracama, y, oda se možemo ptat kolka je vjerojatost da uređe par grješaka e, e upade u takav pravokutk postavlje tako da mu jeda vrh bude u točk,y kao a slc. Uočmo dvje takve točke,y ',y' obje a udaljeost r od shodšta, samo a razlčtm smjerovma. Uočmo pravokutk smješte u tm točkama. Nema kakvog razloga da ek od th smjerova bude povlašte, tj. da se u jegovu pravokutku češće pojavljuje uređe par grješaka ego u ekom drugom. Zato je razumo ako e očto prhvatt sljedeću predpostavku.. predpostavka. Vjerojatost pojavljvaja uređeog para grješke e ovs o smjeru, već samo o udaljeost od shodšta, tj. ffy=g +y, za eku fukcju g. Ako stavmo y=, dobt ćemo g=ff ajprje za poztve, potom za sve jer g treba bt para fukcja, kao f. Zato je: ffy=f +y f, za sve,y, pa možemo stavt y= dobt f =ff, za sve. To logartmramo dobjemo lf=lf+lf. Stavmo sad h:=lf pa ćemo dobt: h=h+h. Razvjmo sad fukcju h oko shodšta: h=a+b+c +d 3 +r uvrstmo u gorju relacju zjedačmo koefcjete. Dobt ćemo: a=h+a, b=b, c=c, d=d, r=4r td. Vdmo da mora bt: a=h b=d=e=...=, pa ostaje h=h+c = lf+c, za ek reala broj c. Zato je f=e h c = f e. Sad skorstmo sljedeće dvje čjece: Mora bt f d = Vrjed e d =, π Iz kojh odmah dobjemo da je c= za ek σ >, tj. σ f = e. σ π σ 9

109 Procjejvaje testraje. Uvod Poovmo eke pojmove z deskrptve statstke. Populacja je skup svh etteta koje razmatramo, a prmjer sv studet ekog sveučlšta če populacju. Razmatramo eko statststčko oblježje populacje, a prmjer vsu. Vsa je slučaja velča. Uzorak je ek podskup populacje slučajo odabra, a prmjer slučajo odabrah 3 studeata. Neka je dulja uzorka, a prmjer =3. Mjerejem slučaje velče X a uzorku dobjemo podataka:,,,. Iterpretramo h kao slučajh vrjedost slučaje varjable X. Prmjer. Da bsmo procjel kolču kemkalje u posudama koje se automatsk pue, zaberemo slučajo posuda provjeravamo kolču kemkalje u jma. Dobvamo podatke koj ako sređvaja, od majeg prema većem možemo zapsat ovako:.98,.98,.98,.99,.99,.,.,.,.,.. Tu slučaja velča X mjer kolču kemkalje u posud, uzorak če odabrae posude, =,, do jesu podatc.98,,.; to su vrjedost slučaje velče X a uzorku. Neka slučaja velča X u prmjeru l općeto ma očekvaje μ varjacu σ : EX = μ σ VX = takve ćemo ozake mat oda ako X ema ormalu razdobu prblžo ormalu razdobu, već eku drugu, ako u pravlu razmatramo samo slučaje velče ormalo dstrburae. Ta su am dva parametra od X epozata pa h procjejujemo a osov mjereja. Očekvaje EX procjejujemo artmetčkom sredom podataka = VX procjejujemo zrazom s = , u azvku je -, a e U gorjem je prmjeru: = =.997

110 s = =.33 s = Dodatak. Načela a kojma se zasva procjejvaje. Slučaje vrjedost slučaje velče X. Slučaja velča X može postć blo koju svoju vrjedost. Neka je,,..., ekh slučajh vrjedost slučaje velče X. Postavlja se ptaje prblže rekostrukcje slučaje varjable X z ovh slučajh vrjedost. Općeto, ptaje slučajh vrjedost slučaje varjable je vrlo važo teško praktčo teoretsko ptaje. Postoje algortm za prblžo određvaje slučajh vrjedost, koje se občo azvaju pseudoslučaje vrjedost. Na prmjer, u programskom paketu Mathematca, pseudoslučaje vrjedost dobvaju se aredbom RadomArray. Prmjeom te aredbe a ormalu dstrbucju s očekvajem μ = 75 stadardom devjacjom σ = 5, za slučajh vrjedost doblo se: {7.45,7.58,75.6,8.44,7.7,78.76,7.6,7.4 66,63.6,7.987,78.936,7.44,88.639,74.88,7.67,7.,76.49,7.733,79.66,7.677,69.84,79.869,79.48, 63.35,74.94,7.7,7.38,73.36,69.499,83.98,77.56,74.83,79.498,63.9,8.3,78.373,8.85,6.944,7.3 93,76.77,83.359,75.5,65.857,75.86,73.678,73.769,7.8 66,65.969,8.366,69.439,78.993,78.954,66.,73.6,76. 94,79.9,73.34,65.35,8.489,79.646,83.993,69.44,7.846,69.5,77.49,73.359,77.6,8.76,74.6,77., 65.35,73.365,7.879,77.68,7.9,77.94,79.597,7.347, 75.3,76.744,79.578,8.396,78.67,78.85,75.475,84.3, ,78.865,7.939,8.,75.353,76.94,8.64,77.56,73.84,7.767,73.7,7.,7.539,83.83} Da bsmo bolje uočaval ove podatke prmjemo aredbu Sort, kojom dobjemo uređeu lstu: {6.34,63.649,64.78,65.86,65.95,66.895,66.98, ,67.,67.6,67.59,67.64,68.73,68.7,68.684, ,69.749,7.98,7.3,7.398,7.43,7.6,7.778,7.8 34,7.,7.7,7.446,7.549,7.694,7.7,7.758,7.83,7.38,7.33,7.38,7.8,7.889,73.6,73.94,73.55, ,73.54,73.66,73.858,73.93,73.95,74.34,74.73, 74.5,74.7,74.336,74.545,74.6,74.67,74.73,74.78,75.4,75.376,75.57,75.579,75.63,75.74,75.77,76. 47,76.69,76.96,76.33,76.477,76.485,76.56,76.57,76.63,76.995,77.663,78.58,78.65,78.67,78.78,79.48,79

111 .74,79.778,79.884,79.887,8.,8.69,8.585,8.6,8.7 49,8.97,8.994,8.7,8.334,8.863,8.93,8.3,8.5 34,83.47,84.76,85.76,87.54} Sad se možemo uvjert u fukcoraje pravla tr sgme. Name, prebrojavajem dobjemo: u tervalu <7,8> je 66 podataka dealo b trebalo bt 68 u tervalu <65,85> je 95 podataka dealo b trebalo bt također 95 u tervalu <6,9> je svh podataka kako b trebalo bt dealo. U ovom prmjeru pošl smo od pozate slučaje varjable tj. pozate dstrbucje. U praks se pojavljuje stuacja da zademo samo podatke, a da e zamo zvoru dstrbucju Tada očekvaje μ procjejujemo artmetčkom sredom podataka = To se zasva a sljedećem razmšljaju. Uz slučaju varjablu X razmatramo ezavsh slučajh varjabla X, X,..., X jedako dstrburah kao X. Uz takvo razmšljaje a slučajh vrjedost,,..., slučaje varjable X možemo gledat ovako: je slučaja vrjedost od X je slučaja vrjedost od X... je slučaja vrjedost od X. X + X X Sad se može terpretrat kao slučaja vrjedost od X : =. Kako je E X = μ, tj. očekvaa vrjedost od X je μ, kažemo da je, kao slučaja vrjedost od X, eprstraa procjea od μ. U ovom slučaju, prmjeom aredbe Mea, dobjemo a jedu decmalu =76. Zaključmo: μ = 75, a procjeom z slučajo odabrah vrjedost dobl smo =76., pa procjejujemo μ 76.. Dakle, ako je broj podataka bo relatvo velk, pr procjejvaju je došlo do grješke. Slčo postupamo pr procje varjace, odoso stadarde devjacje. Kako smo vdjel u Dodatku, ako je: S := X X + X X X X. Oda je ES = σ Zato je s = eprstraa procjea varjace σ. Tme se objašjava čjeca što je u azvku - korgraa varjaca uzorka, a e varjaca uzorka. Nastavljajuć s početm prmjerom, korsteć se aredbom Varace[data], 3

112 dobvamo, prblžo a dvje decmale, s = 3,8 odoso, s = 4.88, što je vrlo dobra procjea stvare stadarde devjacje σ =5. Ovm ačelom, koje smo lustrral a prmjeru procjee očekvaja varjace z uzorka, korstmo se općeto pr procjejvaju. Ubuduće ećemo zvodt formule koje dobjemo ovm ačelom, već ćemo h samo apsat.. Iterval pouzdaost za očekvaje prava vrjedost mjeree velče. Očekvaje procjejujemo artmetčkom sredom podataka, al artmetčka sreda e mora bt u pravlu je jedaka epozatom očekvaju. Zato as zama terval oko uutar kojega će, uz određeu sgurost, bt očekvaje μ. To je terval pouzdaost. Jaso je da šra tervala pouzdaost ovs o raz sgurost da se očekvaje ađe u jemu što je ta raza veća, terval pouzdaost je šr. Iterval pouzdaost se određuje a osov sljedećh važh čjeca koje se mogu strogo matematčk formulrat dokazat. Ako je X ormalo dstrburaa oda je X ormalo dstrburaa s parametrma μ σ X, gdje je X := X gdje su X,...,X ezavse slučaje varjable što aludra a ezavsh mjereja jedako dstrburah kao X što aludra a to da smo svak put mjerl vrjedost slučaje velče X. dakle: σ X ~ N μ,. Zato se može shvatt kao slučaja vrjedost ormale slučaje varjable s dstrbucjom σ N μ,. Vrjed vše, ame σ X ma očekvaje μ varjacu, bez obzra kako je X bla dstrburaa. Razlka je u tome što za opću X, artmetčka sreda e mora bt ormalo dstrburaa. σ Velča σ = zove se stadarda grješka. Oa je to maja što je već što je prrodo, jer što je broj mjereja već sgurost prosjeka treba bt veća. Kako je X ormalo dstrburaa sl.. oa, prema pravlu dvje sgme, postže, s vjerojatošću većom od.95 sve vrjedost u tervalu ± dvje sgme oko srede, specjalo, očekvaje μ b se tu trebalo ać s tom vjerojatošću. Zaključak: σ σ P X < μ < X + >.95 4

113 Zato je, uz 95% vjerojatost, terval pouzdaost σ σ <, + > Smsao tervala pouzdaost je da se očekvaje μ u jemu alaz s vjerojatošću.95 ame μ je slučaja velča alaz se l e alaz u tom tervalu. Taj se smsao može terpretrat a prmjer tako da b se odprlke u 95 od poavljaja ovh mjereja, artmetčka sreda ašla u tervalu σ σ < μ, μ + > što bsmo mogl provjert da zamo μ σ, a to je sto kao da kažemo da b se odprlke u 95 od poavljaja, očekvaje μ ašlo u σ σ tervalu <, + > što bsmo opet mogl provjert da zamo μ σ. Umjesto broja, za vjerojatost.95, mogl bsmo u tablc ormale razdobe ać preczj podatak:.96. Name, P<T<.96 =.475 broj.475 dobje se kao.95/, gdje je T jedča ormala razdoba. Dakle Φ.96 =.475, odoso Φ.475 =. 96 sl... Treba apomeut da bsmo slčo mogl odredt smetrče tervale oko artmetčke srede za druge vjerojatost, a e samo za.95. 5

114 . Ako je velk občo se uzma ako je >3, oda je velča X prblžo ormalo σ dstrburaa s parametrma μ, bez obzra je l X bla ormalo dstrburaa,dakle: σ X ~ N μ, prblžo, ako X je ormalo dstrburaa Zato u ovom slučaju možemo postupt kao u.. Treba apomeut da je predpostavka da zamo σ a da μ procjejujemo z mjereja ereala, ako je emoguća. U praks smo gotovo uvjek prslje procjet σ pomoću s. Tada se stuacja usložjava, medjutm za parametre ormale razdobe, tj. ako predpostavmo da je X ormalo dstrburaa, problem se može rješt. Formula z. može se apsat kao X μ ~ N,, σ medjutm, ako σ zamjemo sa S slučaja varjabla kojoj je očekvaa vrjedost porblžo jedaka s, tada jedču ormalu razdobu a desoj stra treba zamjet sa Studetovom t-razdobom, preczje: X μ ~t-, S gdje je t- Studetova razdoba s k=- stupjeva slobode sl.3. Zato je sl.4.: S S p X t p k < μ < X + t p k = p gdje je začeje broja t p k objašjeo a sl. 4. 6

115 Tu treba bt pažljv jer se u lteratur katkad pojavljuju tzv. dvostrae tablce, uz uobčajee jedostruke. s s Iterval pouzdaost, uz vjerojatost -p, sad je < t p k, + t p k >. Ako je dovoljo velk, recmo oko 3, oda je t- praktčo jedaka jedčoj ormaloj razdob, pa postupamo kao u prmjeru. Prmjer. U 4 mjereja eke ormalo dstrburae velče, dobveo je =3.45 s=.44. Nađte terval pouzdaost za očekvaje te slučaje velče, uz vjerojatost: a.95 b.9 Tu je =4 što je dovoljo velko da korstmo ormalu razdobu a Iterval pouzdaost je < , > 4 4 = < 3.69; 33. > b Faktor kojm ćemo sad možt umjesto s faktorom.96 ać ćemo u tablc ormale razdobe kao broj Φ.45 =.645 sl.5.. Dakle, sad je terval pouzdaost už: < , > 4 4 = < 3.8; 33.8 > Rezultat su terpretra geometrjsk a slc. Ako je mal do 3. Tada, uz pretpostavku da slučaja velča X ma ormalu razdobu, terval pouzdaost određujemo ovako. Faktor kojm ćemo možt stadardu grješku točje, jeu procjeu određujemo, za vjerojatost.95, z tablca Studetove t-razdobe s k=- stupjeva slobode kao broj t.5/ k za kojega vrjed P t > t.5/ k<.5, a broj.5 dobje se kao -.95 sl.6.. 7

116 Opet poavljamo da kod uporabe tablca t-razdobe treba pazt jer su u ekma tabelrae vrjedost t za koje je P t >t = p, gdje je p=.5 l.5 l. td., a u ekma su tabelrae vrjedost t za koje je Pt>t =p tu ema apsolute vrjedost pa su vrjedost u prvm tablcama za, recmo p=.5, ste kao u drugm tablcama za p=.5 aravo uz st broj stupjeva slobode k. Naravo, ako se služmo određem statstčkm paketom, oda terval pouzdaost dobjemop zravo. Prmjer 3. Iz =6 mjereja dobveo je =.44, s =. 54. Odredmo terval pouzdaost za vjerojatost: a.95 b.9 k=6- = 5 a Tu je, prema prhvaćem ozakama, p=.5, t.5/ 5=.3, Iterval pouzdaost je: <.44.3, > 4 4 = <.6; 3.6>. s. 54 = 4 b p=., t./ 5 =.753 sl.7.. Iterval pouzdaost je < , > 4 4 = <.77; 3.>. Taj je terval už ego prethod što je jaso jer je sad vjerojatost maja Da je blo =4, a ostal podatc st kao prje, terval pouzdaost, uz stu vjerojatost bl b dva puta šr jer bsmo u stadardoj grješk djell s umjesto s 4. To je prrodo jer terval pouzdaost treba bt to už što je broj mjereja već. 8

117 3. Testraje varjace očekvaja Skcrat ćemo postupak testraja očekvaja varjace ormalo dstrburah slučajh varjabla. U mogm slučajevma u praks važo je da varjaca e bude prevelka jer to zač prevelko raspaje. Zato b, pr ozbljom poslu, testraje varjace u pravlu trebalo prethodt testraju očekvaja. 3.. Testraje varjace. A. Predpostavmo da je X ormalo dstrburaa slučaja velča s epozatom varjacom σ. Nepozatu varjacu procjel smo sa s a osov mjereja. Testramo hpotezu: H : σ = σ, za eku deklarrau vrjedost σ. Testraje se zasva a čjec z teorje vjerojatost da je: S k ~ χ k, σ gdje je χ k h-kvadrat razdoba s k:=- stupjeva slobode sl.8. oa se zove teststatstka. Zato k možemo terpretrat kao slučaju vrjedost slučaje velče s σ χ k. 9

118 s To zač, ako je H stta hpoteza slutja, oda je k slučaja vrjedost slučaje σ velče χ k dodal smo deks, pa se ljeva straa, kao poztva broj poaša prema joj. Postoje dvje mogućost. I s > σ koja je u praks češća. Tada je, u pravlu, kotrahpoteza σ > σ, dakle mamo: H : σ = σ H a: σ > σ, Tada račuamo: s W ep = k, gdje je k=-. σ Ako je W ep < H.5 k hpoteza se prhvaća, ače se odbacuje sl.9.. Broj a desoj stra dobje se z tablca hkvadrat razdobe za k stupjeva slobode smsao je da je vjerojatost da ta razdoba poprm rezultat već od tog broje jedaka.5 tako b blo za ek drug vo sgfkatost. Nvo sgfkatost raza začajost. Broj α =.5 zove se vo sgfkatost. To je općeprhvaćea vrjedost, medjutm, oa može bt, ovso o problematc,.,.,.5 td. Područje spod grafa fukcje gustoće test-statstke u ovom slučaju H razdobe, djel se a dva djela sl.., jeda maj površe α to je područje odbacvaja, jeda već površe -α to je područje prhvaćaja.

119 Smsao je, za α =.5 sljedeć: Ako je ula hpoteza stta oda će se, odprlke, u 95 od poavljaja po mjereja, ekspermetal podatak W ep ać u području prhvaćaja, a oko 5 puta u području odbacvaja. Općeto, α je pogrješka prve vrste, tj. α := vjerojatost da hpotezu H odbacmo pod uvjetom da je stta. Aalogo: -α := vjerojatost da hpotezu H prhvatmo pod uvjetom da je stta. Dakle, pogrješo je shvaćaje, ače šroko rasprostrajeo, da je to vjerojatost da je ulta hpoteza stta. Naprotv, ako je α maje, tj. -α veće, oda ćemo bt toleratj prema razlc. Kokreto, a raz začajost α =., možda ećemo odbact ula hpotezu, koju smo odbacl za α =.5. II s < σ Tada je, u pravlu, kotrahpoteza H : σ = σ σ < σ H a: σ < σ, dakle mamo: Tada hpotezu prhvaćamo ako je W ep > H.95 k zak ejedakost se mjeja umjesto.5 stavljamo.95. Geometrjsko je tumačeje dao slkom. B Testraje hpoteze σ = σ F-test Predpostavmo da mamo dvje ormalo dstrburae slučaje velče: X s očekvajem μ varjacom σ Y s očekvajem μ varjacom σ. Očekvaja varjace th slučajh varjabla su am epozate procjejujemo h redom: Za X z mjereja s, odoso s s, Za Y z mjereja s, odoso s s. Testramo hpotezu o jedakost th varjaca. Pr tom predpostavmo da su deks odabra tako da bude s > da smo za kotrahpotezu odabral σ >. Dakle mamo: H : σ = σ σ H a : σ >. s σ

120 Testraje se zasva a čjec, da je, uz pretpostavku da je ulta hpoteza stta: S ~ Fk,k, S Fsherova razdoba s k,k = -, - stupjeva slobode sl... Tu velka slova prmjejujemo, kao prje, za odgovarajuće slučaje varjable. Hpotezu, prmjeom F-testa u pojedostavljeom oblku, provjeravamo ovako: s. Račuamo F ep = s. U tablc F razdobe očtavamo broj F.5 k, k, gdje je k = -, k = - sl Ako je F < F k, k hpotezu o jedakost prhvaćamo, a u suprotome ep.5 odbacujemo tj. smatramo da je razlka među jma bta. Napomjemo opet da je postupak testraja varjace sofstcraj od ovog pojedostavljeog prstupa.

121 3.. Testraje očekvaja A Testraje hpoteze μ = μ t-test Predpostavmo da je X ormalo dstrburaa slučaja velča s očekvajem μ varjacom σ. Neka smo a osov mjereja dobl procjee: za jeo očekvaje μ, s za jeu varjacu σ. Testramo hpotezu: H : μ = μ, gdje je μ eka deklarraa vrjedost. Napomjemo da bsmo prje toga trebal provjert hpotezu o blskost varjaca koju treba formulrat, a ako što testraje varjaaca poztvo prođe, možemo prstupt testraju očekvaja. Testraje ulte hpoteze zasva a čjec z teorje vjerojatost, da je X μ ~t-, Studetova razdoba s k:=- stupjeva slobode. Zato je, uz predpostavku S X μ da je ulta hpoteza stta spujeo ~t-. S μ Zato broj možemo terpretrat kao slučaju vrjedost slučaje varjable t-. s Postupak opsujemo uz kotrahpotezu μ μ, dakle mamo: H : μ = μ H a : μ μ μ. Račuamo t ep =. s. U tablc t-razdobe određujemo krtču vrjedost t aalogo kao prje, ovso o broju stupjeva slobode k=-, vou sgfkatost što je občo.5 kotrahpotez koja je, ako drukčje e specfcramo μ μ 3. Ako je t ep < t hpotezu prhvaćamo, ače je odbacujemo sl.4.. 3

122 Napomea o raz začajost području odbacvaja. Za razlku od testraja varjace gdje se područje odbacvaja sastoj od jedog djela, ovdje α područje odbacvaja ma dva smetrča djela, svak površe, gdje je α vo sgfktost sl.5.. To je zato što je kotrahpoteza oblka μ μ, pa se dopuštaju otklo a obje strae. Dakle, u slučaju α =.5, broj t, ozačava broj za kojega je spod grafa t-razdobe površa jedaka.5. Prmjer 4. Prozvođač kemkalja je deklarrao a svojm prozvodma da sadrže ltru kemkalje uz maksmalu pogrješku ±.9 ltara. Kupac mjerejem uzorka od posuda ustaovo prosječ rezultat.97 uz stadardo odstupaje.4. Jesu l rezultat u skladu s deklaracjom? Tu je, prema pravlu «tr sgme», σ =.3, jer je 3.3 =.9. Zato je: μ =., σ =.3, =, =.97, s =. 4. Prvo treba testrat hpotezu o jedakost varjaca: H : σ = σ. Dobvamo: k=- = s W ep = k σ =

123 U tablc hkvadrat razdobe za k=, vo sgfkatost.5 dobvamo prpadajuću krtču vrjedost Kako je < hpotezu o jedakost varajaca prhvaćamo al jedva. Sad prelazmo a testraje očekvaja. H : μ = μ H a : μ μ t ep μ = s =.598 Prpada krtča vrjedost u t-razdob za kotrahpotezu μ μ, uz k= vo sgfkatost α =.5 t =. sl.6.. Kako je.598 >., hpotezu o jedakost očekvaja odbacujemo tj. smatramo da se oe bto razlkuju. Tako smo odbacl deklaracju. Napomee.. Da smo umjesto kotrahpoteze μ μ, uzel kotrahpotezu μ < μ što bsmo apravl da su, a prmjer, sv rezultat mjereja l gotovo sv, bl maj od deklarrae, što ovdje vjerojato je slučaj, hpotezu o jedakost bsmo još uvjerljvje odbacl jer b am krtča vrjedost spala.796, jer je Pt>.796=.5 Name, tada bsmo mal: H : μ = μ H a : μ < μ pa bsmo gledal sad bez apsolute vrjedost μ t ep:= = -.598, što je u krtčom području sl.7.. s 5

124 . Uz pretpostavku ormale dstrbucje sadržaja posuda što je prroda predpostavka već smo je prhvatl, prema pravlu tr sgme : prema deklaracj je sadržaj zmeđu.9.9 zmeđu.94.6 uz vjer..95 prema mjerejma je sadržaj prblžo jer je rječ o ormaloj razdob zmeđu.85.9 zmeđu.89.5 uz vjer..95 odakle možemo dobt tutvu predodžbu o tome zašto smo odbacl hpotezu, al o tome da smo je umalo prhvatl. Vdmo da je smo prhvatl jer je vrjedost μ = spala zva tervala pouzdaost uz vjerojatost.95 koj je.97 ±.54 sl U deklaracj b psalo da je sadržaj posude ±. 9 odakle smo zaključl da je stadardo odstupaje, prema pravlu tr sgme treća od.9, tj..3. Napomjemo da se u deklarcjama u pravlu korst pravlo «dvje sgme», pa b, ako b tako ešto prhvatl trebal uzet σ =.45. Prmjer 5. Možemo l prhvatt da je sadržaj posude u Prmjeru jedak ±.5? U prmjeru je blo =, =.997, s =. 4944, a prema deklaracj je μ =, σ =.5 opet smo šl prema pravlu «tr sgme» W ep = > 6.99 pa se varjace bto razlkuju. Zato odbacujemo deklaracju. Razlog ovog drastčog odbacvaja jest u tome što počet podatc su bl prblžo ormalo dstrbura što je pretpostavka za važeje testa. Testraje hpoteze μ = μ t-test. Tom testu u pravlu predhod F-test. Nako što taj prođe astavlja se s t-testom testraju očekvaja, tj. s testrajem hpoteze: H : μ = μ ulta hpoteza 6

125 Hpoteza se, prmjeom t-testa, provod ovako:. Izračua se: t ep = s + + s + gdje občo ozačavamo: + + s d = s + s. Odred se broj stupjeva slobode k= Prhvat se ek vo sgfkatost α občo α =.5, al može α =. l α =. Smsao voa sgfkatost u testraju je sljedeć: PPostavljea se hpoteza odbacuje postavljea je hpoteza stta = α. 4. Iz tablca t-razdobe zračua se krtča vrjedost pomoću koje odredjujemo upada l zračuata vrjedost t ep u krtčo područje. Krtča vrjedost ovs o vou sgfkatost α, o broju stupjeva slobode dakle o broju mjereja, al o ašoj kotrahpotez koja može bt: a μ μ kad testramo jesu l te dvje velče jedake l razlčte. Tada krtča vrjedost t ma začeje: P t >t = α sl.9., gdje t ozačava Studetovu trazdobu. Hpotezu prhvaćamo ako je t ep <t ače je odbacujemo. Ako zrčto drukčje e kažemo uvjek smatramo da je kotrahpoteza takva. b μ > μ koja ma smsla samo ako je >. Tada krtča vrjedost t ma začeje: Pt>t = α t je drukčj od oog z a. Hpotezu prhvaćamo ako je t ep <t, ače je odbacujemo sl.a. 7

126 c μ < μ koja ma smsla samo ako je <. Tada krtča vrjedost t takodjer ma začeje: Pt>t = α. Hpotezu prhvaćamo ako je t ep > - t, ače je odbacujemo sl.b. Da se bolje uvd razlka zmeđu a, b c, eka je α =.5 ; k = 8. Tada je u a t =.36, a u b c t =.86. Prmjer 6. Neka je z 8 mjereja eke ormale slučaje velče dobve prosjek.56 uz stadardo odstupaje.36; a z mjereja druge ormale slučaje velče prosjek 3. uz stadardo odstupaje.84. Razlkuju l se bto te velče? Podatc se mogu zapsat ovako: = 8, =.56, s =. 36 =, = 3.56, s =.84 k = 7, k =, k = 7.. F-test. H' : σ = F = ep σ s s =.63 F.5 k, k =3.4. Kako je.63 < 3.4 hpotezu prhvaćamo, tj. smatramo da varjace th slučajh velča su bto razlčte.. t-test. Testramo: H : μ = μ H a : μ μ Dobjemo: s d =.5435 t ep = -.984, t ep =.984 Krtča vrjedost za vo sgfkatost.5 za k=7 je t =., jer je Pt>.=.5 polovca od vjerojatost.5. Kako je.984 <., hpoteza se prhvaća pa se smatra da se dvje mjeree velče bto e razlkuju. 8

127 Sljedeće apomee upozoravaju a relatvost zaključka pr testraju u odosu a male promjee podataka l a odabr kotrahpoteze raze začajost. Napomea. Da smo u podatcma mal = 3. 66, a da su ostal podatc ostal st, sve b blo sto osm završog rezultata t ep. Name, blo b: t ep = -.84, t ep =.84 a kako je.49 >., hpotezu o jedakost očekvaja bsmo odbacl.. Da smo u zvorom zadatku odabral kotrahpotezu H a : μ < μ što ačelo ma smsla jer je <, hpotezu o jedakost očekvaja takodjer bsmo odbacl. Name, tada b krtča vrjedost bla t =.74, jer je, za k=7, Pt>.74=.5. Kako je.984>.74 ula hpotezu bsmo odbacl. 3. Da smo mal sve kao u zvorom zadatku zvorom rješeju, sam da smo odabral razu začajost α =., tada bsmo hpotezu takodjer odbacl, jer b tada krtča vrjedost bla kao u., tj. blo b t = Testraje teoretskh razdoba χ - test Jedo od ajčešćh ptaja u statstc jest poašaju l se mjere podatc prema ekom teoretskom zakou razdob l se bto od jega razlkuju. Prmjer 7. Regstrrajem broja poruka a ekoj adres u fksraom vremeskom tervalu, dobve su sljedeć podatc: l vše Dakle, u 6 mjereja je bla jeda poruka, u 6 mjereja točo jeda, u 36 mjereja točo td. Formulacja u zadjem stubcu je takva jer je, možda blo 6 l 7 pozva koj put, pa smo to skupl u jeda podatak. Ukupo je blo = mjereja, koje smo svrstal u L=6 grupa. Postavlja se ptaje poašaju l se t podatc prema Possoovu zakou l, možda, bto odudaraju od jega. O tome je zasta teško odgovort samo uvdom u podatke. Odgovor a ptaje pomoću χ -testa predložeog Karlom Pearsoom 9 zasva se a sljedećem razmšljaju. Brojev u drugom redku tablce zovu se ekspermetale frekvecje f, dakle: f =6, f =6, f =36, f 3 =5, f 4 =, f 5 =7. Prosječa broj poruka, dobje se kao: a= =.8 Jaso je da je a procjea za očekvaje slučaje varjable X koja regstrra broj poruka u fksraom vremeskom tervalu, a ako se podatc zasta poašaju prema Possoovu zakou oda je, prblžo, X ~ Pa, tj. X ~ P.8. U astavku ćemo zračuat prpade teoretske vjerojatost p, =,,,... te razdobe, prema formul p := e -a! a.8, tj. p := e -a! prpade teoretske frekvecje prema formul 9

128 f t := p, tj. f t := p. Imamo, dakle: p = e -.8 =.493 f t = p = e -.8! = f t = p =.749 f t = 7.49 p 3 = f t3 = p 4 = f t4 = p 5 := - p + p + p +p 3 + p 4 =.659 f t5 = 6.59 Tu smo, umjesto pravog p 5 stavl zbroj svh vjerojatost od pete a dalje, tako da ukupa zbroj vjerojatost bude ; slčo tako smo dobl da je ukupa zbroj teoretskh frekvecja jedak. Sljedeć je korak uvodjeje mjere udaljeost ekspermetalh teoretskh frekvecja: χ ep f : = f f t t f + f f t t f + f f t t f + 3 f f t3 t3 f + 4 f f t 4 t 4 f + 5 f f t5 t = 8.75 Završ je korak prhvaćaje l odbacvaje hpoteze o Possoovoj razdob. Taj se krterj zasva a čjec, da je, ako je spujea ulta hpoteza: H : podatc se poašaju prema Possoovoj razdob oda broj možemo terpretrat kao slučaju vrjedost slučaje varjable koja χ ep prblžo ma h-kvadrat razdobu s k:=l- = 6- = 4 stupjeva slobode sl...

129 Iz tablca vdmo da je χ , što je veće od broja, pa, uz razu začajost.5 = α =.5, hpotezu o Possoovoj razdob prhvaćamo ako e sasvm uvjerljvo. Takodjer vdmo da je χ.4 = 7.779, pa a raz začajost α =. tu hpotezu odbacujemo, tj. smatrama da postoj bto odstupaje od Possoove razdobe sl... χ ep U sljedećem ćemo prmjeru dodato lustrrat zašto je spomeuta razdoba rubo Possoova, tako što ćemo samo malo promjet podatke. Prmjer 8. Regstrrajem broja poruka a ekoj adres u fksraom vremeskom tervalu, dobve su sljedeć podatc: l vše Treba testrat predpostavku o Possoovoj razdob. Lako se vd da je tu, kao u Prmjeru 7. spujeo: =, L=6, k=4, a=.8 pa su odgovarajuće teoretske frekvecje jedake. Medjutm, tu je =.4, pa hpotezu o Possoovoj razdob odbacujemo a raz začajost χ ep α =.5. Treba apomeut da bsmo predpostavku prhvatl a raz začajost α =.5, jer je χ 4.43 sl =

130 Općeto, a e samo za Possoovu razdobu, mamo: = f f t χ ep :, k := L-l-, gdje je l broj parametara o kojma ovs teoretska f t razdoba, tj. l= za ormalu bomu l= za Possoovu ekspoecjalu l= za jedolku. Hpotezu o suglasost s teoretskom razdobom prhvaćamo a raz začajost α u pravlu je α =.5 ako je χ < k, ače je odbacujemo sl.4.. ep χ α

131 Metoda ajmajh kvadrata Ižejersk problem. Predpostavmo da mamo dvje velče: y a prmjer, masa temperatura, tlak obujam, prva druga koordata točke u rav td.. Tada postoje dvje mogućost. Prva je da su te velče u određem uvjetma ezavse, a druga je da su zavse. Nezavsost zač da uz svaku očtau vrjedost velče teoretsk možemo očtat blo koju vrjedost velče y takve su, a prmjer, masa zlata temperatura zlata pr uobčajem masama temperaturama; očtaa masa zlata e daje am kakvu formacju o temperatur. Zavsost pak zač da očtaa vrjedost velče potpuo određuje l ogračuje vrjedost velče y. Na prmjer, ako se točka gba po kružc u koordatoj rav, oda očtaa vrjedost varjable općeto uvjetuje dvje moguće vrjedost varjable y. Da b bl još kokretj zamslmo da se točka gba po jedčoj kružc sa sredštem u shodštu. Predpostavmo da smo očtal prvu koordatu da smo dobl =.8. Tada postoje dvje mogućost za vrjedost velče y: Općeto, u ovm okolostma velča može poprmt blo koju vrjedost zmeđu - uključujuć jh. Isto je s velčom y. Međutm, te su dvje velče povezae relacjom: + y = jedadžba kružce. Zato je y = ± pa svakoj vrjedost velče odgovaraju dvje vrjedost velče y osm ako je = l =-; tada je y=. U žejerstvu je važa slučaj kad svaka vrjedost velče, uvjetuje točo jedu vrjedost velče y. To se kraće zapsuje pomoću fukcja: y = f, gdje je f pravlo prema kojemu y ovs o. Najjedostavja pravla zavsost fukcje

132 . leara zavsost y = a + b to je f:= a+b, a grafčk je prkaz te zavsost pravac. kvadrata zavsost y = a^+b+c grafčk prkaz je parabola. 3. kuba zavsost y = a^3+b^+c+d 4. recproča zavsost obruta proporcoalost y = a/ grafčk prkaz je hperbola 4. ekspoecjala zavsost y = ae b 5. potecjska zavsost y=a b td. Uočte da ma vše learh zavsost kvadrath zavsost sl.. Leara je zavsost pozata određea oda ako zamo reale brojeve a,b koefcjete td. Da aglasmo kako leara fukcja zavs o svojm koefcjetma pšemo: f,a,b:= a + b. Slčo, za kvadratu fukcju: f,a,b,c:=a^+b+c. Brojeve a,b odoso a,b,c zovemo parametrma. To je općeto, a e samo za leare l kvadrate veze. Na prmjer, b f, a, b := a e je famlja fukcjskh veza ekspoecjalog tpa ovsa o parametrma a,b. Zamslmo pokus u kojemu mjejamo po volj obujam pla, a pr svakoj kokretoj vrjedost obujma očtavamo tlak. Tu je uobčajeo da velča bude obujam ezavsa velča, velča koju po volj mjejamo a da velča y bude tlak zavsa velča, velča koju dobjemo mjerejem. Prmjer. Predpostavmo da smo mjejal velču pr tom mjerl odgovarajuće vrjedost velče y. Rezultate zapšmo u oblku tablce y Iz prvog pogleda a tablcu uočavamo da se povećavajem velče, povećava velča y. Nas zama pravlo prema kojem se to događa. Brzo uočavamo da smo velču povećaval za jedu mjeru jedcu. Pr tom se velča y povećavala redom za: 3. pa za 3. pa za.8 pa za.5 pa za.9. vdmo da su te promjee, ako razlčte, pak prlčo blske.

133 Kad god pr jedakm promjeama jede velče uočmo odprlke jedake promjee druge velče, moramo posumljat u learu vezu među jma. Dakle: y = a + b. Drug je ač uočavaja možebte leare veze grafčk. U tu svrhu podatke zapšmo u oblku uređeh parova ucrtajmo h u koordat sustav kojemu je horzotala os, a y vertkala: ;., ; 5., 3; 8., 4;., 5; 4.5, 6; 7.4 Uočavamo da su točke odprlke a pravcu. Grafčk uvd u oblk zavsost možemo provest oda ako razmac među vrjedostma velče su jedak su ekvdstat, dok je takav uvd račuajem promjee velče y oteža ako se o može provest. Sjette se da su za crtaje pravca potrebe samo dvje točke, a m h mamo 5. Lako se vd da e postoj pravac koj prolaz kroz sve te točke. Zato od svh pravaca treba zabrat oaj koj ajbolje prolaz pokraj th točaka. Krterj odabraja tog pravca, tj. prpadajućh koefcjeata a,b daje metoda ajmajh kvadrata. Tako je općeto, samo što je oda kad uočea zavsost odudara od leare, otežao braje tpa zavsost. Često to je problem. Name tp veze je u mogm prmjerma predvđe prpadajućm teorjama. Na prmjer, veza zmeđu obujma tlaka pla pr fksraoj temperatur predvđea je u oblku Va-der- Wallsove jedadžbe, Peg-Robsoove jedadžbe sl. a m samo moramo odredt parametre koj se pojavljuju u tm jedadžbama. Općeto mamo vrjedost velče vrjedost zavse velče y. To zadajemo tablcom:... y y y... y Načelo a kojemu se zasva metoda ajmajh kvadrata. Metoda ajmajh kvadrata zasva se a ačelu da su ajbolj o pararametr a,b za koje je suma kvadrata razlka zmeđu mjereh vrjedost, =,,..., zračuath vrjedost f, a, b mmala. Ima vše matematčkh razloga za prhvaćaje ovog ačela, a tu h ećemo spomjat. Napomemo da je dobro razmatrat zbroj razlka ekspermetalh teoretskh podataka jer se poztve egatve razlke odstupaja poštavaju. Da b uzel u obzr poztva y

134 egatva odstupaja, matematčar su a početku razmatral apsolute vrjedost razlka tražl da jhova suma bude mmala. To je loš krterj, al su apsolute vrjedost epogode jer se e mogu općeto dervrat. Taj, al ek drug razloz, prevagul su u korst sume kvadrata. Postupak odredjvaja parametara metodom ajmajh kvadrata. Ozačmo -to odstupaje kao D := y -,, b a f To je razlka zmedju mjeree ekspermatale vrjedost y teoretske vrjedost, tj. vrjedost fukcje f,a,b za =.,, b a f Prema metod ajmajh kvadrata, parametre odredjujemo tako da suma... D D D bude mmala. Taj zraz ovs o epozatm parametrma a, b. Zato pšemo: [ ] [ ] [ ],,...,,,, :, b a f y b a f y b a f y b a F = l, kraće [ ] = = b a f y b a F,, :, F ovs o vrjedostma, y, za =,,..., međutm te su vrjedost pozate. Fukcja F često se azva fukcja clja općeto, fukcja clja može bt eka druga pogoda fukcja, a prmjer, odstupaja se mogu možt ekm težama. Treba odredt parametre a,b u kojma fukcja clja F postže mmum. Uvjet lokalog ekstrema pomoću parcjalh dervacja za fukcju F jesu: = a F = b F Dakle [ ],, = = a b a f y [ ],, = = b b a f y Korsteć svojstva dervacja dervacja zbroja je zbroj dervacja dobjemo: [ ],,,, = = a b a f b a f y [ ],,,, = a b a f b a f y Nako sređvaja dobjemo sustav dvju jedadžba s dvjema epozacama a,b. [ ],,,, = = a b a f b a f y [ ],,,, = = b b a f b a f y * Iz tog sustava odredjujemo epozate parametre a,b. Općeto sustav može mat vše rješeja. Takodjer može se dogodt da eka rješeja odgovaraju maksmumu l sedlastoj točk, a e mmumu. Može se dogodt to da eka rješeja emaju fzkala začeja. Na sreću, u ajvažjem slučaju, slučaju learh veza jma srodh, rješeje tog sustava je jedstveo, tj. parametr se mogu odredt jedozačo.

135 Leara regresja. Određvaje parametara a,b za learu vezu određvaje regresjskog pravca. Tu je f,a,b:=a+b, pa je f,a,b = a +b a b a f =,,,, = b b a f Ako to uvrstmo u sustav *, dobjemo = = b a y = = b a y ako raspsvaja dobjemo sustav dvju learh jedadžba s dvjema epozacama: = = = = + y b a = = = + y b a U tom su sustavu parametr a,b epozace, a brojev koefcjet sustava o su pozat, jer se dobju z mjerh podataka. = = = = y,,,, Rješavajem tog learog sustava dobjemo koače formule dekse spuštamo!: = y y a, = y y b ** Dobve pravac s jedadžbom y = a+b zove se regresjsk pravac. Prmjer. Procjemo oblk veze, odredmo parametre, jedadžbu regresjskog pravca, odstupaja vrjedost fukcje clja ako je: 3 4 y Točke,6,,3,,, 3,-, 4,-3 predočmo u koordatom sustavu. Vdmo da su točke prblžo a pravcu, pa tražmo learu vezu, tj. vezu oblka y=a+b. Uaprjed vdmo da je a< da je b 6. Da bsmo lakše račual a,b z **, zradmo ovakvu tablcu u posljedjem su stupc zbrojev elemeata u odgovarajućem redku: 3 4

136 y y Tu je jos =5, pa z ** dobjemo: a = = = b = = = Dakle, tražea je leara veza: y = to je jedadžba regresjskog pravca. Da bsmo odredl odstupaja vrjedost fukcje clja, zračuajmo ajprje vrjedost fukcje f:= , redom za =,,,3,4. f=5.6 f=3.3 f=. f3=-.3 f4=-3.6 Vdmo da su teoretsk rezultat blsk ekspermetalm podatcma, što pokazuje tablca u posljedjem su redku odstupaja D : = y f. 3 4 y f D Uočte da je zbroj odstupaja jedak ul to vrjed općeto: D =. Mmala vrjedost fukcje clja jedaka je zbroju kvadrata odstupaja: D =.4^ + -.3^ +.^ + -.7^+.6^ =.. Napomea. Za velk broj podataka provođeje metode ajmajh kvadrata može bt mukotrpo. Zato je dobro aučt prmjeu grafčkog kalkulatora l ekog dostupog kompjutorskog programa. Na prmjer, aredba LReg a grafčkom kalkulatoru, za podatke z Prmjera. daje am zaokružeo a tr decmale a=3.7 b = -.33.

137 Dobvea leara veza može am poslužt za procjeu prblžo određvaje vrjedost velče y za vrjedost uutar područja mjereja terpolacja l zva jega ekstrapolacja Prmjer 3. Procjemo vrjedost velče z predhodog prmjera za =.5 =5. Iz f:= , dobjemo f.5= = -.5. Dakle terpolacjom smo dobl da vrjedost =.5 prblžo odgovara vrjedost y= -.5 koju, ače, smo mjerl. Uočte da se ta vrjedost razlkuje od sredje vrjedost u = + 3 =3 koja je jedaka =-.5. Takodjer se dobje f5= = -5.9, pa je y=-5.9 prblža vrjedost velče y za =5 kažemo da smo je dobl ekstrapolacjom. Uočmo da u Prmjeru. dobve regresjsk pravac prolaz podatkom,. Općeto, o e mora prolazt kroz jedu točku. Jeda od razloga zašto se tu tako dogodlo jest taj što je artmetčka sreda vrjedost velče, a artmetčka sreda vrjedost y velče provjerte; to je slučaj, sreda skupa podataka općeto je podatak. Name, regresjsk pravac uvjek prolaz točkom, y, gdje je y + y y : =, y : =. Dakle y = a + b. Odredjvaje prmjeree krvulje. U prjašjm prmjerma sve se vrtjelo oko regresjskog pravca za zada skup podataka. Iače, ako teoretsk l ek drug razloz upućuju a learu vezu među velčama, provodt ćemu learu regresju čak ako podatc zatje odudaraju od pravca. Sasvm su drukčje okolost ako uaprjed emamo kakvh zahtjeva a vrstu veze, već as zama krvulja s relatvo jedostavom jedadžbom, koja će dobro odgovarat podatcma. Na prmjer, letmča pogled a podatke z Prmjera upućuju a malu zakrvljeost a to upućuju zračuata odstupaja D. To am ameće deju da pokušamo tražt ajbolju kvadratu vezu medju podatcma, tj. vezu oblka y = a^+b+c. Prmjer 4. Metodom ajmajh kvadrata odredmo ajbolju kvadratu vezu medju podatcma z Prmjera. Koefcjete a,b,c mogl bsmo zračuat korsteć se formulama *, medjutm m ćemo se poslužt gotovm programom. Na prmjer, aredba QuadReg a grafčkom kalkulatoru daje am uz zaokružvaje a tr decmale a =.4 b = c = 6.9

138 pa dobjemo, ajbolju kvadratu aproksmacju y = Takodjer, za vrjedost fukcje clja dobjemo D =.457 što je za vše od 5% maje ego kod leare regresje. Da dobvea parabola bolje prolaz zadam točkama od regresjskog pravca vd se z crteža. Veze koje se svode a leare. U prmje se često pojavljuju eleare veze medju dvjema velčama koje se, promjeom mjere skale, svode a leare, a prmjer:. y = a b, je eleara veza, a svod se a learu logartmrajem: log y= b log + log a tu su log log y learo povezae,. y = a b, svod se a learu log y= log b + log a tu su log y learo povezae, a 3. y =, b + svod se a lear preko y b + =, tj. a y = + a b a tu su learo poveza, td. y Prmjer 5. Odredmo vezu oblka y = a b ako je: - 4 y Logartmrajem dobjemo log y= log b + log a. Nako zamjea Y:=log y, A:=log b, B:=log a, dobjemo learu vezu Y=A +B. Sad mamo ovakvu tablcu vrjedost zaokružujemo a 4 decmale Y Y Tu je još =5, pa z formula ** dobjemo A = =

139 B = = To zač da je Y= ajbolja leara veza, prema metod ajmajh kvadrata, zmedju Y. Međutm, m trebamo vezu zmeđu y, tj. trebaju am parametr a,b. Njh određujemo pomoću parametara A,B. Name uz zaokružvaje a 3 decmale, z A=log b, dobjemo b= A =.985, a z B=log a, dobjemo a= B =3.5. Dakle, y= , je tražea veza zmeđu y. Vdmo da tu vezu možemo psat kao y=3 Izračuajmo, rad provjere, vrjedost fukcje f:= 3, redom za = -,,,,4. f-=.5 f=3. f=6. f=. f4=48. Vdmo da se teoretsk rezultat jako dobro slažu s ekspermetalm podatcma. Za vrjedost fukcje clja, za f:= 3, dobjemo D =.7 Napomea. Zadatak smo mogl rješt pomoću grafčkog kalkulatora aredbom EpReg.

140 Leara korelacja Korelacja je mjera leare zavsost dvju serja podataka,,..., y, y,..., y. Drugm rječma, ako su točke,y,,y,...,y gruprae oko regresjskog pravca, oda govormo da su podatc korelra learo korelra. Na osov toga govor se da su prpade velče,y korelrae. Raza korelraost mjer se koefcjetom korelacje r : = y y y y Vrjed: r Ako je r poztva oda je koefcjet smjera regresjskog pravca poztva obrato ako je r> oda je a>, a ako je r< oda je a< 3 Što je r blž l - to su velče začajje learo korelrae, tj. podatc su blže regresjskom pravcu, a što je r blž, podatc su razbacaj. 4 Ako je r = l r = - oda su sve točke,y a regresjskom pravcu, tj. podatc su potpuo learo zavs. 5 Ako je r= oda ema kakve leare zavsost među velčama. Prmjer. Odredmo koefcjet korelacje za podatke 3 4 y z Prmjera. u lekcj Metoda ajmajh kvadrata. Napravmo tablcu poput oe za metodu ajmajh kvadrata, samo dodajmo redak s y. 3 4 y y y r = = a pet decmala što je vsoka raza leare zavsost. Uočte da je r<, što je u skladu s tm da je a< sjette se da je jedadžba regresjskog pravca y =

141 Napomea. Naredba LReg uz podatke o parametrma također b am zbacla vrjedost koefcjeta r. Podatc u sljedećem prmjeru su vrlo sko learo korelra. Prmjer. Odredmo koefcjet korelacje za podatke y Uesmo podatke u kvadratu 77 mrežu kao a slc. Vdmo da podatc e prate jeda pravac, pa procjejujemo da je koefcjet korelacje blzu ule y y y Sad je r = a šest decmala što je praktčk jedako ul. Također, može se provjert da je prpada suma kvadrata odstupaja za learu regresju jedaka a šest decmala, što također upućuje a vrlo slabu learu vezu. Learu korelacju e treba shvatt kao jed oblk zavsost dvju velča serja podataka. Dvje velče mogu bt vrlo jaso zavse, a da m je koefcjet leare korelacje jedak ul; to samo zač da su oe learo ekorelrae. To pokazuje sljedeć prmjer. Prmjer 3. Odredmo koefcjet korelacje za podatke y Ucrtavajem podataka vdmo da o e prate jeda pravac. Kako je = y =, vdmo da je r=. Dakle, podac su learo ekorelra. S druge strae, o su zavs. Name, poveza su relacjom y = ^ točke su a parabol. Često se postavlja ptaje koj koefcjet zače vsoku, koj sku, a koj sredju learu korelraost. Na to ptaje ema jasog odgovora. O ovs o zastveom području a koje se prmjejuje, a uutar zastveog područja a kokreta problem koj se razmatra. Na

142 prmjer, u pshologjskm stražvajma, u pravlu, čm je r>.5 smatra se da je korelraost začaja, a ako je r>.8 vrlo začaja, dok u preczm fzkalm l kemjskm stražvajem često t r=.9 e upućuje a začaju korelraost. Prmjer 4. U sljedećoj tablc su u prvom redku bodov prvh 9 ajboljh rezultata postguth z kolokvja a Matematc, a u drugoj su odgovarajuć bodov z Matematke y Odredmo regresjsk pravac koefcjet korelacje. Kometrajmo rezultate. Da dobjemo predodžbu, podatke predočavamo u koordatom sustavu. Predvđamo poztva koefcjet korelacje jer podatc prate glavu djagoalu al e vsok, jer podatc varraju. Procjejujemo da je koefcjet regresjskog pravca ešto maj od. Zadatak se može zradt prema uzoru a prjašje prmjere. M ćemo se poslužt grafčkm kalkulatorom, koj ma gotov program za metodu ajmajh kvadrata learu korelacju. Dobjemo, zaokružujuć a dvje decmale, y= r =.56. Kometar. Dobl smo a=.79<, što je u skladu s čjecom da su rezultat Matematke, ešto ž od rezultata Matematke. Koefcjet korelacje je blzu, al je već od.5, što, pr ovakvoj problematc upućuje a ezaemarvu korelacju. Suma kvadrata odstupaja jedaka je, a četr decmale, što zgleda velko, al taj rezultat treba tumačt tako da je prosječo odstupaje oko 9 bodova, što je tako velko. Zašto as je u ovom prmjeru zamala leara korelacja među rezultatma? Zato što tutvo prhvaćamo da će rezultat z Matematke bt prblžo proporcoal oma z Matematke, tj. da odprlke jedake raze usvajaja ekog zaja uvjetuju odprlke jedake raze usvajaja ovog zaja koje počva a starom. Naravo da to e vrjed za svakog kokretog pojedca, već u prosjeku. Obrazložeje formule za koefcjet korelacje. Serju od podataka možemo shvatt kao vektor u -dmezoalom prostoru. Sjetmo se što za vektore zač da su learo zavs learo korelra. Slke upućuju a to da su dva vektora learo zavsa koleara, proporcoala ako samo ako je kut među jma ul-kut l spruže kut od 8 stupjeva. Što je kut blže l 8, to vektore možemo smatrat vše learo korelram, a što je blže pravom kut, tj. 9 stupjeva, maje korelram. Za kut ϕ među vektorma u=u,u,...,u v= v,v,...,v vrjed

143 u v + uv uv cosϕ = u v zraz u brojku je skalar produkt vektora, a u azvku su orme-dulje vektora. Vrjed: cosϕ Ako je cos ϕ > oda je kut među pravcma šljast, a ako je cos ϕ < oda je taj kut tup 3 Što je cos ϕ blž l - vektor su sve blže tome da budu proporcoal learo zavs, a što je cos ϕ blž, vektor su to maje kolear. 4 Ako je cos ϕ = l cos ϕ = - oda su vektor learo zavs; tada je kut od stupjeva v = c u, za c>, l je kut od 8 stupjeva v = c u, za c<. 5 Ako je cos ϕ = oda su vektor okomt pa su ajudaljej od kolearost. Dakle, cos ϕ ma svojstva aaloga oma koje ma r. To zač da je cos ϕ koefcjet kolerost dvaju vektora slčo kako je r koefcjet leare korelacje dvju serja podataka. Da bsmo razmatraje s vektorma prmjel a razmatraje serja podataka, treba umjesto serja,,..., y, y,..., y gledat pomakute serje,,..., y y, y y,..., y y gdje su y artmetčke srede podataka. Name, ako od tražee leare veze y=a+b oduzmemo sttu relacju y =a +b, dobt ćemo proporcoalost y- y =a -. Ako b zadae točke zasta zadovoljavale tu jedadžbu, blo b y - y =a - y - y =a -. y - y =a -. Međutm, to vrjed samo prblžo, a za mjeru te prblžost razumo je uzet kosus kuta među vektorma u:= -, -,..., - v:= y - y, y - y,..., y - y. Zato je prrodo koefcjet korelacje defrat kao r : = y y y y Na prv pogled, to je oa formula koju smo apsal a početku, međutm, dobje se:

144 + + + = : y y y y y y y y r = y y y y y y y y = y y y y kako smo a početku mal.

145 Iterpolacja aproksmacja skca Iterpolacja. U metod ajmajh kvadrata pošl smo od dvju zavsh velča y, odoso od vrjedost,,..., velče korespodrajućh vrjedost y, y,..., y velče y. Te dvje serje od po podataka možemo shvatt kao uređeh parova:,y,,y,...,y, koje geometrjsk možemo predočt kao točaka rave. Tada, od svh krvulja z fksrae famlje krvulja, bramo ou koja ajbolje prolaz oko ovh točaka. Famlja krvulja zadaa je parametrma. Tako dvoparametarska famlja krvulja može bt zadaa kao skup grafova fukcja f,a,b, gdje su a, b parametr, tj. kao skup krvulja s jedadžbama y = f,a,b. Na prmjer, skup svh pravaca u rav koj su uspored s y- os, č dvoparametarsku famlju krvulja s jedadžbama y = a+b, gdje parametr a,b mogu bt blo koja dva reala broja; dakle, u ovom je slučaju f,a,b:=a+b, za a,b z R. Vdjel smo kako se metodom ajmajh kvadrata odabru parametr a,b tako da prpada krvulja ajmaje odstupa od mjereh podataka. Treba uočt da rezultrajuća krvulja, općeto, e prolaz zadam točkama u pravlu, oa e prolaz t jedom od th točaka. Za razlku od toga, terpolacjom rješavamo problem odabraja krvulje z zadae famlje krvulja koja prolaz svm točkama dobvem mjerejem. Iterpolacjsk polom. Uočmo da su u rezultatma mjereja,y,,y,...,y prve koordate međusobo razlčte, a da druge mogu, al e moraju bt međusobo razlčte. Kroz dvje takve točke u rav prolaz pravac s jedadžbom y=a+b, ako te dvje točke emaju jedake druge koordate, taj je pravac graf poloma. stupja, tj. a. Kroz tr takve točke općeto prolaz parabola s jedadžbom y=a +b+c, tj. graf poloma. stupja, osm ako te tr točke su a jedom pravcu. Općeto, kroz takvh točaka,y,,y,...,y prolaz graf poloma stupja -, osm ako oe su u ekom posebom specjalom položaju, kada je stupaj tog poloma maj od -. Blo kako blo taj je polom jedozačo određe zove se terpolacjsk polom. Ima vše ača zapsa određvaja tog poloma z zadah točaka, a ajpozatj su oaj koj se prpsuje Lagrageu oaj koje se prpsuje Newtou: Lagrageov terpolacjsk polom Newtoov terpolacjsk polom. Slčo kao kod metode ajmajh kvadrata, dobve terpolacjsk polom može poslužt za procjeu vrjedost velče y, za eku vrjedost velče uutar raga podataka to se občo zove terpolacja l zva občo se azva ekstrapolacja. Prmjer. Mjerejem smo dobl podatke - y 4 6 6

146 Odredmo terpolacjsk polom kojemu graf prolaz tm točkama. Procjemo vrjedost velče, ako je vrjedost velče jedaka.5, odoso.5 to su terpolacje Procjemo vrjedost velče, ako je vrjedost velče jedaka 3 to je, tzv. ekstrapolacja Korsteć se Ecelom ako je za ovakve račue preczj programsk paket Mathematca dobjemo da je prpad terpolacjsk polom: f= Zasta, je teško provjert da je f-=4, f=6, f= f = 6. f.5 = = 3.75, pa je tu y f.5 = = 5.5, pa procjejujemo da je y 5.5. f3 = = 7 pa procjejujemo y 7. Te se procjee mogu zravo dobt u Ecelu. Rezultat su skcra a sljedećoj slc: Iterpolacja pomoću sple-a. Uz dobra svojstva, terpolacjsk polom ma edostatke. Jeda od jh je taj što se povećavajem broja mjereja, stupaj poloma, u pravlu povećava. To se, metodom sple-a, razrješava tako da umjesto jedog poloma velkog stupja, korstmo vše poloma žeg stupja zmeđu prve druge točke prv, zmeđu druge trće točke drug td.. Lear sple leara aproksmacja dobva se tako da se svake dvje susjede točke spoje ravom crtom, kvadrat sple tako da svake dvje susjede točke spojmo djelom parabole, a kub sple da svake dvje susjede točke spojmo djelom grafa poloma 3. stupja.

147 Leara aproksmacja lear sple. Prmjer. Podatke z Prmjera. learo terpolrajmo te apravmo procjee. točke -,4,6 povezujemo djelom kube fukcje s jedadžbom y = +6, točke,6, djelom pravca s jedadžbom y = -4 +6, a točke,,6 djelom pravca s jedadžbom y = 4. Zato mamo sljedeće procjee: za =.5 je y - +6 =4 za =.5 je y - = 9 za =3 je y 3 astavljamo s posljedjom jedadžbom. Rješeja su lustrraa crtežom.uspoređvajem s rješejma pomoću terpolacjskog poloma uočavamo slčost razlke: Kub sple. To je ajčešć sple u prmjeama. Za to postoje dva glava razloga. Prv je što je stupaj tr relatvo zak, pa raču su komplcra. Drug je što je taj stupaj dovoljo vsok. Name, graf poloma trećeg stupja u pravlu ma područja rasta pada, lokal mmum lokal maksmum te točku fleksje sl. 5. Ta važa svojstva grafa odgovaraju važm karakterstkama opsa žejerskog procesa, odoso veze među dvjema zavsm varjablama: kad se povećavajem vrjedost jede velče vrjedost druge povećava, odoso smajuje; vrjedost prve velče pr kojoj druga postže ajmaju, odoso ajveću vrjedost u ekom tervalu; te vrjedost prve velče gdje vrjedost druge velče prelaz z ubrzaog rasta u uspore usporeog rasta u ubrza, ubrzaog pada u uspore l usporeog pada u ubrza. Općeto, za zadah točaka,y,,y,...,y račuamo kubh fukcja f, f,..., f koje zadovoljavaju sljedeće uvjete:

148 . Prva kuba fukcja prolaz kroz prvu drugu točku, druga kroz drugu treću, td., dok posljedja fukcja prolaz kroz pretposljedju posljedju točku. To zač da će, ukupo gledao, kub sple prolazt kroz sve točke.. Uvjet da susjede kube fukcje u zajedčkoj točk maju jedake prve dervacje to zač da postoj brza promjee u točkama terpolacje, odoso da postoj tageta a graf kubog sple-a 3. Uvjet da susjede kube fukcje u zajedčkoj točk maju jedake druge dervacje to zač da postoj akceleracje u točkama terpolacje 4. Uvjet koj omogućuje da sple bude jedstveo određe ako ema dodath fomacja smatramo da su to tzv. prrod uvjet: f '' = f '' = Prmjer 3. Podatke z Prmjera. po djelovma kubo terpolrajmo te apravmo procjee. Korštejem programskog paketa Mathematca dobvamo sljedeć rezultat: točke -,4,6 povezujemo djelom grafa kube fukcje s jedadžbom f = + 6, točke,6, djelom grafa kube fukcje s jedadžbom f = 8 + 6, 5 5 a točke,,6 djelom grafa kube fukcje s jedadžbom f 3 = Zato mamo sljedeće procjee: za =.5 je y f.5 = 3. za =.5 je y f 3.5 = 7.5 za =3 je y 3 astavljamo s posljedjom jedadžbom. Rješeja su lustrraa crtežom. Uspoređvajem s rješejma pomoću terpolacjskog poloma uočavamo slčost razlke:

149 Prblžo rješavaje sustava jedadžba skca. Uvod Veća se žejerskh problema svod a rješavaje jedažba: s jedom l vše epozaca, sustava jedadžba, matrčh jedadžba, dferecjalh jedadžba, tegralh jedadžba td. U pravlu, takve se jedadžbe e mogu egzakto rješt. Zato se postavlja problem prblžog rješavaja jedadžba. Ovdje ćemo skcrat Newtoovu metodu Ralphso-Newtoovu metodu za prblžo rješavaje jedadžba s jedom epozacom sustava jedadžba. Jedadžba s jedom epozacom je jedadžba oblka: f=, gdje je f fukcja jede varjable. Tu se ogračavamo a slučaj kad je f reala fukcja reale varjable defraa a ekom tervalu realh brojeva, koja je eprekuta a tom tervalu tj. graf joj je eprekuta crta, štovše, u pravlu mslmo a elemetare fukcje f tj. a fukcje koje se mogu zadat s koačo mogo operacja a kalkulatoru, posebce te fukcje maju dervacje blo kojeg reda. Rješeje jedadžbe je blo koj real broj * takav da je f * =. Može se dogodt da jedadžba ema rješeja, da ma koačo mogo rješeja, l da ma beskoačo mogo rješeja. Prmjer. Jedadžba += ema realh rješeja. Jedadžba -= ma dva rješeja: = - =. Jedadžba s = ma beskoačo mogo rješeja: reale brojeve kπ, gdje k prolaz skupom cjelh brojeva. Grafčka terpretacja rješeja. Reala rješeja jedadžbe f= jesu upravo o real brojev u kojma graf fukcje f sječe -os sl.. Varjata: Reala rješeja jedadžbe f=g jest skup prvh koordoata točaka u kojma se sjeku grafov fukcja f g sl...

150 Iterval zolraost rješeja. To je svak terval [a,b] uutar kojega ma točo jedo rješeje jedadžbe sl.3.. Prmjer. Iterval [-,-] je terval zolraost rješeja - jedadžbe -=, a terval [,] je terval zolraost rješeja te ste jedadžbe sl.4.. Naravo da ma užh tervala zolraost od th. Na prmjer, [.4,.4] takodjer je terval zolraost rješeja jer je.4 < <.4.

151 Prblžo rješeje jedadžbe f=. To je svak broj α za koj vrjed fα. Na prmjer,.4 je prblžo rješeje jedadžbe -=. Name,.4 -=.96- = -.4. Kažemo da je.4 aproksmacja rješeja te jedadžbe jer je.4. Takodjer,.4 je prblžo rješeje te jedadžbe, jer je.4 -=.988- = -.9. Vdmo da je.4 bolja aproksmacja te jedadžbe od aproksmacje.4 ; to se očtuje tme što je.4 blže broju ego što je.4 sl.5.. Pogrješka aproksmacje. To je udaljeost ε stvarog rješeja * prblžog rješeja aproksmacje α, dakle: ε := * - α. U pravlu e zamo točo pogrješku aproksmacje, jer bsmo oda zal rješeje. Zato je potrebo zat eku ocjeu za pogrješku. Ta se ocjea zove ocjea grješke. Na prmjer, za aproksmacju.4 od, vrjed da je ε <. to je ocjea grješke, jer je.4 < <.5. 3

152 Metoda prblžog rješavaja jedadžba. To je svaka metoda kojom se startajuć od ulte aproksmacje, uutar tervala zolraost rješeja *, redom dobvaju sve bolje aproksmacje,,... koje se prblžavaju kovergraju pravom rješeju *.. Metoda tagete Newtoova metoda za prblžo rješavaje jedadžbe s jedom epozacom. Ta se metoda geometrjsk zasva a povlačeju tagete a graf fukcje f koja sudjeluje u jedadžb f= sl.6.. Aaltčk, ako braja ulte aproksmacje =a l =b, za terval zolraost [a,b], dobjemo: f = - f ' = - f f ', općeto, + = - f. f ' Jeda pogled a formulu za metodu tagete. Gorju formulu možemo zvest tako da altčk odredmo presjek tagete a graf fukcje f u točk,f s os. Tako dobjemo u ovsost o, a oda aalogo apšemo opću formulu. Taj pogled je prevše pogoda za popćeje a slučaj sustava jedadžba ako je to moguće. Zgodje je razmšljat da smo, fukcju f zamjel jeom learom aproksmacjom oko, tj. f f +f' - za, a potom umjesto u pravlu komplcrae jedadžbe f=, gledat learu jedadžbu 4

153 f +f' - =, u kojoj smo f zamjel jeom learom aproksmacjom. Learu jedadžbu klako je rješt; ozačmo jeo rješeje s, dakle f = - f ' kako smo već apsal. Naravo je ujedo rješeje jedadžbe f=, već samo prblžo prva aproksmacja, a ako pogodo zaberemo ultu, oda će prva aproksmacja bt bolja od druge, treća bolja od druge td. Prmjer 3. Metodom tagete prblžo rješmo jedadžbu e = +.. korak. Izolacja rješeja. Provodmo je grafčkom aaltčkom metodom. Grafčka metoda: acrtamo u stom koordatom Aaltčka metoda sustavu krvulje s jedadžbama: e -- y=e y = +. - Vdmo da se te krvulje sjeku u dvjema točkama, -.8 zato jedadžba ma dva rješeja sl.7.. Prvo je 3.39 rješeje zmeđu, a drugo zmeđu S objema metodama dolazmo do stog zaključka o broju rješeja.. korak. Račuaje.. dervacje fukcje f := e --. f = e - ; f = e. 3. korak. Provjeravaje mootoost fukcja f, f a dobvem tervalma, potom jhovm epoštavajem a tm tervalma. Polazmo od druge dervacje jer pomoću je lakše možemo ocjet prvu; ako u ovom prmjeru to je potrebo jer sve teče glatko. Očto je f rastuća poztva svugdje, posebce a tm tervalma. f je također rastuća što vdmo zravo, al z toga što je f svugdje poztva; 5

154 Dalje: f >, za sve z [,] što je zbog rasta dovoljo provjert u = f <, za sve z [-,-] što je zbog rasta dovoljo provjert u = korak. Određvaje mmuma apsoluth vrjedost prve dervacje te maksmuma apsoluth vrjedost. dervacje a tm tervalma. Točje: m<m f, za u pojedom tervalu M>ma f, za u pojedom tervalu. ove smo zakove zabral jer će am se m alazt u azvku određee formule, a M u brojku te formule. Moramo posebo radt a svakom od tervala. Iz koraka 3. zademo da su f f mootoe a tm tervalma da a jma e mjejaju predzak. To am omogućuje da m,m zaberemo račuajuć samo vrjedost fukcja u rubovma ače tako ebsmo smjel. Iterval [,]. Skcrajmo grafove od f f. Zaključujemo: m f =e-, pa možemo uzet m=.7 prblž smo rezultat dobl zaokružvajem a že, odoso odbacvajem zameaka. ma f =e, pa možemo uzet M=7.4 zaokružvaje a vše. Iterval [-,-]. Opet skcrajmo grafove. Zaključujemo: m f =-e -, pa možemo uzet m=.6 ma f =e -, pa možemo uzet M= korak. Određvaje uvjeta za zadau točost. f M Iz formule *- + < 3 m zahtjeva u zadatku: *- + <., f M vdmo da je dovoljo uzet da bude: 3 m 3 m <. M f <., odoso Taj uvjet treba posebo račuat za svak od tervala. Iterval [,]. Iterval [-,-] Dobjemo: Dobjemo: f <.3 uzmamo maj broj, odoso, f <.37 zaokružujemo a že. Smsao ove ocjee je sljedeć: kad dođemo da takvog za koj će to vrjedt, oda stajemo, a za dobru prblžu vrjedost uzmamo korak. Braje ulte aproksmacje. Bramo je tako da bude ruba točka tervala uz uvjet f f >. Treba posebo brat za svak od tervala. Iterval [,]. Iterval [-,-] Dobjemo Dobjemo = =- 6

155 7. korak. Račuaje aproksmacja pomoću formule f + =, f ' e + = tj. pomoću formule: e I to se provod posebo za svak terval. Iterval [,]. Iterval [-,-]. e e = = = = 48 e e e = = e = =.488 Rješeje zadovoljava tražee uvjete. 4 =.46 Rješeje zadovoljava tražee uvjete, jer je e <.3 < Sustav dvju jedadžba s dvjema epozacama Umjesto rješavaja jedadžbe s jedom epozacom u praks često dolaze sustav vše jedadžba s vše epozaca. Na prmjer: f,y= g,y=, gdje su f,g fukcje dvju ezavsh varjabla,y je sustav dvju jedadžba s dvjema epozacama. Ako je f,y:= +y - g,y:=-y+, oda sustav postaje: +y - = -y+ =. Rješeje sustava je svak uređe par realh brojeva *,y* za koj vrjed f *,y*= g*,y*=. Na prmjer:,3 je rješeje sustava, jer je +3 - = -3+ =. 3, je rješeje sustava, jer je =, al 3-+ = 6. Geometrjska terpretacja rješeja sustava : to je presjek odgovarajućh krvulja zadah jedadžbama f,y=, odoso g,y= sl.8.. 7

156 Na prmjer, za sustav, to je presjek kružce pravca sl. 9. Vdmo da sustav ma dva rješeja. Prblžo rješeje sustava : to je svak uređe par realh brojeva,y za koj vrjed f,y g*,y*. Na prmjer: -,-.5 je prblžo rješeje sustava, jer je = = -.5. Područje zolraost rješeja *,y* sustava : to je svako područje u rav uutar kojega se alaz *,y*, al jedo drugo rješeje tog sustava. To je občo krug l pravokutk sl.. Svak uređe par,y uutar područja zolraost smatramo prblžm rješejem u pravlu ga možemo uzet za ultu aproksmacju. Napomea o složejm sustavma. Aalogo je sa sustavma od vše jedadžba s vše epozaca. U praks su ajvažj sustav koj maju jedako jedadžba kao epozaca mćemo samo takve razmatrat. Na prmjer za leare takve sustave vrjed da u pravlu maju točo jedo rješeje. Ako ma vše epozaca ego jedadžba, oda u pravlu ma beskoačo mogo rješeja skup rješeja ma dmezju koja je razlka zmedju broja epozaca broja rješeja svaka ova jedadžba u pravlu smajuje stupjeve slobode, tj. smajuje dmezju skupa rješeja. Ako ma vše jedadžba ego epozaca, oda je sustav prezasće u pravlu ema rješeja. 8