ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010

Transcript

1 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :8 Μαϊου 00 ΧΡΟΝΟΣ: :30 ώρες ΤΑΞΗ : A Ενιαίου Λυκείου ΠΕΡΙΟΔΟΣ-ΩΡΑ: Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται απο 3 σελίδες Οδηγίες: (α) Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. (β) Να γράφετε με μελάνι (τα σχήματα μπορούν να γίνουν με μολύβι). (γ) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α: Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδα. () Να λύσετε την εξίσωση x 3x 5 = 0. () Να βρείτε την κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(-,) και Β(3,-4). (3) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης 4x y =. x (4) Να βρείτε το είδος των ριζών της εξίσωσης x 3x + 4 = 0, χωρίς να τη λύσετε. (5) Να λύσετε το σύστημα: x y 6. x y = = 3 (6) Να δείξετε ότι : συν x + εφ x + ημ x + σφ x =. (7) Στο διπλανό σχήμα δίνονται η γωνία Α Βˆ Ε=35 ο, η εφαπτομένη ΑΜ του κύκλου στο Α και η γωνία Β Αˆ Ο=5 ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες χ και ψ. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (8) Στο διπλανό σχήμα δίνονται ΑΒ=8cm, ΔΕ=cm, ΔΓ=4cm και ΒΓ=0cm. Αν ΑΒ//ΔΕ, να υπολογίσετε τις ΑΓ και ΕΓ. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (9) Να λύσετε την εξίσωση 3x 4 7x + 4 = 0. (0) Δίνεται το διπλανό σχήμα. Να βρείτε τις τιμές του x και του ψ.

2 () Να βρείτε τις τιμές του μ ώστε η εξίσωση ( ) 3x μ 3 x μ= 0, να έχει ρίζες πραγματικές. () Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία περνά απο το σημείο τομής των ευθειών ε : 3x y 5 = 0 και ε : x y = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία ε : x y + 8 = 0. 3 (3) Αν 3 συνθ = 0 και + 90 < θ < 80, να δείξετε ότι: ημθ ημθ σφθ + =- στεμθ 9 (4) Δίνεται ΑΒΓ τυχαίο τρίγωνο. Δ, Ε και Μ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίστοιχα. Από το Μ φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη ΑΒ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Η και ευθεία παράλληλη προς τη ΑΓ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Ζ. Να δείξετε ότι (ΜΖ)(ΑΒ)=(ΜΗ)(ΑΓ). (5) Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος με κέντρο Ο. Η Αχ είναι εφαπτομένη του κύκλου στο Α και ΑΓ=ΑΒ. Να δείξετε ότι ΔΓ=ΔΑ. ΜΕΡΟΣ Β: Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδες. () Δίνεται η εξίσωση 3x 4x + 3 = 0, με ρίζες x και x. Χωρίς να λύσετε την εξίσωση, (i) να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις. (α) x + x, (β) x, (γ) x + x x x x (ii) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού η οποία έχει ρίζες ρ, ρ, όπου ρ =. x () (α) Να λύσετε την ανίσωση: (β) Να δείξετε ότι: ( x 5x 4) ( x + x 6) ( x 9) ( x + ) τεμω στεμω - εφω = στεμω συνω 0. ρ = και x

3 3 (3) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=αx + βx + γ, ( α 0). Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε: (α) το πεδίο ορισμού της, (β) το πεδίο τιμών της, (γ) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της, (δ) τις τιμές του x για τις οποίες η f ( x) = 0, (ε) τις τιμές των α, β και γ, (στ) τις τιμές του x για τις οποίες η f ( x) > 0, f( ) f( 0) (ζ) την τιμή της παράστασης. f - ( ) (4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(6,4), Β(-,-) και Γ(3,-). (α) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ, (β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Ε, έτσι ώστε το ΑΔΒΕ να είναι ορθογώνιο, (γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ε ) η οποία περνά απο το Ε και είναι παράλληλη προς την ΑΒ, (δ) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας ( ε ) με τον άξονα ψψ /. τεμ(80 + θ) εφ( 90 + θ) (5) (α) Να δείξετε ότι: σφ( 80 - θ) συν( - θ) εφ(-θ) + ημ 90 συν( 90 + θ) ( - θ) =. (β) Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού ( τεμω) x 3x + εφω + σφω = 0 έχει ρίζες αντίστροφες, να υπολογίσετε την γωνία ω, όπου 0 < ω < 90.. Αν η εξίσωση (6) Στο διπλανό σχήμα οι ΑΕ και ΑΓ είναι εφαπτομένες του κύκλου (Κ,ρ), με σημεία επαφής τα Ε και Β αντίστοιχα. Αν η ΕΔ είναι διάμετρος του κύκλου και ΕΝ = ΒΔ, να δείξετε ότι: (α) τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΒΚΓ είναι όμοια, (β) (ΕΝ)(ΒΚ)=(ΒΓ)(ΝΔ), (γ) οι ΑΓ και ΕΝ είναι παράλληλες. Ο Διευθυντής (Λουκάς Ορφανίδης)

4 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8/05/00 ΔΙΑΡΚΕΙΑ:,5 ΩΡΕΣ ΩΡΑ: ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι (τα σχήματα μπορείτε να τα κάνετε με μολύβι). Τα σχήματα των ασκήσεων να μεταφέρονται στο γραπτό σας. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδα.. Να λύσετε την εξίσωση: x x + 0 = 0.. Να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητό παρονομαστή, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής: 0 7 α) β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης με τύπο: 3x y = x Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(, 3) και είναι παράλληλη με την ευθεία (ε): 4 x + y = 0. 3 o o 5. Αν ημθ = και 70 < θ < 360, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5 6στεμθ + 0συνθ + 4τεμθ Α = ημθ 6. Να λύσετε το σύστημα: x+ y+ ω = 3 x + 3y + 4ω = 0 x+ y ω = 4 7. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα: ημx σφx στεμx συνx =. /4

5 8. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ R, έτσι ώστε οι ευθείες: (ε ): ( μ 3)x y + 0 = 0 (ε ): 8 x + 4y 3 = 0 να είναι κάθετες. 9. Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 3 x 6x + 9x x 5x 3 0. Αν x και x είναι ρίζες της εξίσωσης 3x x + 9 = 0, τότε χωρίς να λύσετε την εξίσωση, να υπολογίσετε τις τιμές των πιο κάτω παραστάσεων: α) + β) 3x 3 3 x + 3xx. x x. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( (ΑΓ) = (ΒΓ)(ΓΔ). ˆΑ 90 0 = ). Να φέρετε το ύψος ΑΔ και να αποδείξετε ότι:. Να λύσετε το σύστημα: x+ y = x xy = 3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ο κύκλος (Κ,R). ΖΔΕ είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Δ, ˆ 0 ΑΔΖ = 45, ΒΔΓ ˆ = 30 0 και ΑΒ = ΒΓ. Να υπολογίσετε τις γωνιές: α) ΒΑΓ ˆ β) ΑΓΒ ˆ γ) ΑΗΒ ˆ αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. 4. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα: συν(90 + θ) εφ(80 θ) στεμ(90 + θ) συν( θ) = ημθ συν(80 θ) σφ(90 θ) τεμ(360 + θ) 5. Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου λ R, το τριώνυμο x λx+ λ 3 γίνεται θετικό για κάθε x R. /4

6 ΜΕΡΟΣ B Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδες.. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f(x) = αx + βx + γ. Σύμφωνα με αυτή, να βρείτε τα ακόλουθα (αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας): α) Το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της f(x). β) Το πρόσημο του α, τις συντεταγμένες και το είδος του ακρότατου και τον άξονα συμμετρίας. γ) Τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 και το πρόσημο της διακρίνουσάς της. δ) Το διάστημα για το οποίο ισχύει ότι f(x) 0. γ ε) Την τιμή της παράστασης Α = β α y x. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: = ημ x. + σφ x + εφ x β) Χρησιμοποιώντας το ερώτημα α ή με άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι: εφ x = εφ x+ + σφ x + εφ x 3. Στο διπλανό σχήμα, δίνονται: Οι εξισώσεις των ευθυγράμμων τμημάτων (ΑΒ):x y+ = 0, ( ΒΓ):3x+ y = 0, τα σημεία Α(0,), Γ(3,) και Ε(4, ) και ότι AB ΔΕ, ΒΓ ΓΔ. Να βρείτε τα ακόλουθα: α) Την εξίσωση της ΔΕ. β) Τις συντεταγμένες του σημείου Β. γ) Την εξίσωση της ΓΔ. δ) Αν Ζ είναι το σημείο τομής της προέκτασης της ΓΔ με τον άξονα των x, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Ζ και να δείξετε ότι η ευθεία x y + 6 = 0 περνά από το σημείο Ζ. y x 3 /4

7 Δίνεται η εξίσωση x στεμθ x + σφ θ = 0 με ρίζες x, x και 80 < θ < 70. Χωρίς να λύσετε την εξίσωση: α) Να δείξετε ότι έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να υπολογίσετε τη γωνιά θ αν οι ρίζες, x είναι αντίστροφες. x γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση με ρίζες ρ = x και ρ = x είναι: x ( στεμθ)x + στεμθ(στεμθ ) = α) Δίνεται η εξίσωση (μ )x (μ )x 3μ 0 με μ Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες: ι) Η εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες. ιι) Η τιμή 3 είναι ρίζα της εξίσωσης. ιιι) Ισχύει η σχέση x+ 3xx + x 0. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = x(x 6)( x 3x + 4). + + = R { }. 6. Στο διπλανό σχήμα, δίνονται: ΣΑ και ΣΓ είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου (Κ,R), οι ΑΒ και ΓΗ είναι διάμετροι και ˆ 0 ΑΔΕ = 90. Να δείξετε ότι: α) (ΑΓ) = (ΑΒ)(ΓΔ) β) Τα τρίγωνα ΓΔΣ και ΗΕΓ είναι όμοια και στη συνέχεια ότι (ΑΣ)(ΕΗ) = (ΓΔ)(ΓΗ). Ο Διευθυντής Χαράλαμπος Σοφοκλή 4 /4

8 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6 / 05 / 00 ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΑ: 07:30 0:00 (Διάρκεια: :30 ώρες) ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Να γράφετε μόνο με μπλε ή μαύρη πέννα (τα σχήματα με μολύβι). β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ή ταινίας. γ) Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. δ) Το γραπτό αποτελείται από 4 σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α Από τα δεκαπέντε (5) θέματα να απαντήσετε δώδεκα (). Κάθε ορθό θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες. ) Να λύσετε την εξίσωση: 6x 7x+ = 0 ) Χωρίς να λύσετε την εξίσωση 3x 5x 6 = 0, να βρείτε: (α) το είδος των ριζών της (β) το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της 3) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης με τύπο ψ= + 3 x 4) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(3, 4) και Β(, 0). 5) Αν εϕθ = 5 και 00 < θ < 90 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6ημθ + τεμθ A = 5σϕθ 6) Να υπολογίσετε τις τιμές του κ ώστε η εξίσωση ( κ ) πραγματικές και ίσες. x + 3x + κ + = 0, να έχει ρίζες - -

9 7) Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται AB = ο 0 και ΓΔ = 60 ο Να δείξετε ότι: (α) ΑΓ ΒΔ (β) ω = ϕ Ν ( ) ( )( ) 8) α δείξετε ότι ισχύει: = 4 9) Να λύσετε το σύστημα: 3ψx x = 5 x ψ= 0) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα OX γωνία 60 και περνά από το σημείο τομής των ευθειών x ψ = 8 και x + 3ψ = 5. ο ) Να λύσετε την ανίσωση: ( )( ) ( ) 3 x x x ) Να δείξετε ότι: εϕθ σϕθ = εϕθ + σϕθ ημ θ 3) Από εξωτερικό σημείο Α του κύκλου (Ο, R) φέρουμε τις εφαπτόμενες ΑΒ, ΑΓ (Β και Γ σημεία επαφής) και τη διάμετρο ΓΟΔ. Να δείξετε ότι οι ευθείες ΑΟ και ΒΔ είναι παράλληλες. 4) Να δείξετε ότι: o o ( ) ( ) ο ο εϕ ( 90 + ω). συν( 80 ω) ο συν 360 ω. εϕ 80 + ω + σϕ( ω). ημ(70 ω ) =τεμω ο 5) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= 90 ) φέρουμε το ύψος ΑΔ. Η διχοτόμος ΒΕ τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ζ. Να δείξετε ότι: (α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΖΔ είναι όμοια (β) (ΒΖ).(ΕΓ) = (ΒΕ).(ΑΖ) - -

10 ΜΕΡΟΣ Β Από τα έξι (6)θέματα να απαντήσετε τέσσερα(4) Κάθε ορθό θέμα βαθμολογείται με δέκα (0) μονάδες λ x λ+ x+λ 9 = 0, λ R, με ρίζες x και x. Να υπολογίσετε τις τιμές του λ ώστε η πιο πάνω εξίσωση: α) να έχει μία ρίζα το β) να έχει ρίζες αντίστροφες γ) να ισχύει P = 4S + όπου Ρ,S το γινόμενο και το άθροισμα των ριζών αντίστοιχα ) Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( ) ) Σε ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΔΓ και Α=Δ= 90 ο ) δίνονται οι κορυφές Β(, ), Γ(3, ) και Δ(0, ). Να βρείτε: (α) τις εξισώσεις των ευθειών ΑΒ, ΓΔ, ΔΑ. (β) τις συντεταγμένες της κορυφής Α. 3) Να λύσετε την ανίσωση : x x x x 4) α) Να αποδείξετε ότι εϕθ εϕθ + = σϕθ τεμθ +τεμθ εϕθ εϕθ β) Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες ρ = και ρ = τεμθ + τεμθ γ) Αν S είναι το άθροισμα των ριζών της πιο πάνω εξίσωσης και ισχύει η σχέση συν (90 θ ). ημ(80 + θ ). τεμ(70 θ ) S = συν ( θ ) + ημ θ 3, με 0 0 < θ < 90 0 να υπολογίσετε τη γωνία θ. 5) Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Μ είναι το μέσο του τόξου ΑΓ και Η το σημείο τομής της ΑΓ με την ΒΜ. Η προέκταση της χορδής ΑΜ συναντά την προέκταση της ΒΓ στο σημείο Δ. Να δείξετε ότι: α) ΒΜ διχοτόμος της ΑΒΓ β) τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΗΒΓ είναι όμοια ( ΑΒΜ ΗΒΓ ) γ) ΓΑ = ΓΔ - 3 -

11 6) Δίνεται η εξίσωση της παραβολής ψ = ( κ 3κ 4) x + ( κ + 3) x+ κ 9, κ R {, 4 }. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε η παραβολή: α) να έχει μέγιστο (max) β) να τέμνει τον άξονα των Οψ στο σημείο με τεταγμένη ψ = 6 γ) να έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 0. Ο Διευθυντής Ιωάννου Παντελής - 4 -

12 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Ενιαίου Λυκείου Ημερομηνία : Ονοματεπώνυμο Μαθητή : Βαθμός : Τμήμα : Αριθμός : Διάρκεια :.30 Ολογράφως : Υπογραφή Καθηγητή : ΟΔΗΓΙΕΣ α) Γράψετε μόνο με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα με μολύβι). β) Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. γ) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α : Να λύσετε ΜΟΝΟ από τα 5 θέματα. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μια μονάδα.. Να λύσετε την εξίσωση : 0χ + 7χ 3 = 0. Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού που να έχει ρίζες x = 3 και x = 8. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ από

13 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Να βρείτε την κλίση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(-3, ) και Β(, 4). ο 5 4. Nα υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. (Δίνονται ημ6 =, 7 ο 5 εφ6 = ). Γ 8 συν6 =, 7 ο o Α Β 5. Να λύσετε την ανίσωση x + 3 < 0. x 5 6. Αν ˆ ˆ ˆ ˆ Α = Δ και Β = Ε, να υπολογίσετε το χ. Α 0 Δ 8 x Β Γ Ε Ζ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ από

14 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Να λύσετε την εξίσωση χ 4 χ 8 = 0 8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης: ψ = 3 x x 4 9. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται κύκλος με κέντρο Κ, τα σημεία του Α, Β, Γ, Δ και η εφαπτομένη του στο Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των χ, ψ, ω καθώς και το μέτρο του τόξου ΑΒ. Δ χ+5 Γ χ+ω K ψ B 55 ο A ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 από

15 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Δίνεται η εξίσωση: 4χ + 3χ 8 = 0. Χωρίς να τη λύσετε, να υπολογίσετε τις πιο κάτω 8 8 παραστάσεις: (α) χ + χ (β) χ χ (γ) + χ χ. Δίνεται η παραβολή ψ = χ 8χ +. Να βρείτε: (i) το είδος του ακρότατου της (μέγιστο ή ελάχιστο), (ii) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της, (iii) τις συντεταγμένες της κορυφής της.. Χωρίς τη χρήση της υπολογιστικής μηχανής να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ημ78 ο συν88 ο συν8 ο συν358 ο ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 4 από

16 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 4χ 4χ + χ + 5χ 3 εφω 4. Να αποδείξετε την ταυτότητα: εφω + + = εφω + εφω ημ ω συν ω 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση συν θ χ σφθ χ + τεμ θ στεμ θ = 0, θ 90 ο κ, κ Ζ, δεν έχει ρίζες πραγματικές. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 από

17 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΜΕΡΟΣ Β : Να λύσετε ΜΟΝΟ 4 από τα 6 θέματα. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με δύο μονάδες.. Δίνεται η εξίσωση χ (λ + 3)χ + 4λ 3 = 0 με ρίζες χ, χ. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ έχει: (α) ρίζες πραγματικές και ίσες, (β) ρίζες αντίθετες, (γ) ρίζες αντίστροφες, (δ) ρίζα το, (ε) ισχύει η ανίσωση ( + χ )( + χ ) 4. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 από

18 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(χ) = αχ + βχ + γ. Από τη γραφική παράσταση να βρείτε: (i) τις συντεταγμένες της κορυφής και να y 3 χαρακτηρίσετε το είδος του ακρότατου (μέγιστο ή ελάχιστο), (ii) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας, 0 (iii) το πεδίο ορισμού της f(χ), 9 (iv) το πεδίο τιμών της f(χ), 8 (v) τις λύσεις της εξίσωσης αχ + βχ + γ = 0, 7 (vi) τις τιμές των α, β, γ, 6 (vii) τα πρόσημα των f(), f(00) x ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 7 από

19 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Αν η ευθεία ψ = (κ + μ)χ + 5 είναι παράλληλη με την ευθεία 3χ ψ + 8 = 0 και η εξίσωση χ (κ μ)χ = 0 έχει άθροισμα ριζών ίσο με το γινόμενο τους, να βρείτε τις τιμές των κ και μ. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8 από

20 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Δίνεται κύκλος που έχει διάμετρο ΑΒ με Α(-, 3) και Β(, 9). Αν Γ είναι σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε η χορδή ΑΓ να τέμνει τον ψψ στο 4 να βρείτε: (i) την εξίσωση της ΑΓ, (ii) την εξίσωση της ΒΓ, (iii) τις συντεταγμένες του Γ, (iv) το σημείο τομής της ΒΓ με τον χχ, (v) την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ΒΓ με τον χχ. y 0 Β 5 Γ A -5 5 x ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 9 από

21 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ Αν + + ο ο ο συν(90 θ) συν(80 θ) σφ(90 θ) ο ο ημ(80 θ) συν(360 θ) ημ( θ) (α) να δείξετε ότι: (i) θ = 60 ο, = ο ο και 0<θ < 90 (ii) το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης εφθ χ μχ + σφθ = 0 είναι ίσο με 3. (β) Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες η εξίσωση 4συν θ χ μχ + 3ημ θ = 0 έχει ρίζες πραγματικές., ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 0 από

22 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΡΝΑΚΑΣ (α) Δίνεται κύκλος (K, R). Από εξωτερικό του σημείο Σ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΑ και ΣΒ, όπου Α και Β είναι τα σημεία επαφής. Θεωρούμε Μ το μέσο του ΣΚ και με διάμετρο τη ΣΜ γράφουμε κύκλο που τέμνει τη ΣΒ στο Γ. Να δείξετε ότι: (i) (ΑΚ)(ΜΣ) = (ΜΓ)(ΚΣ), (ii) ΜΓ = R. (β) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι Α ΒΣΚ ˆ = 30 ο, να δείξετε ότι ΜΣ = R. K Μ Σ Γ Β Οι Εισηγητές: Η Διευθύντρια: Ζ. Ταύρου Σ.Β.Δ. Κ. Χαραλαμπίδης Λ. Σεβέρη Ι. Κλώνης E. Μελαχροινού Δέσποινα Λυσάνδρου ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ από

23 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ.ΙΩΑΝΝΗ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ MAIOY ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: /05/00 ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ Διάρκεια:.30 (0:30 3:00) ΟΔΗΓΙΕΣ : Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Να γράφετε με μελάνι μπλε (με μολύβι μόνο τα σχήματα) Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 4 σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 /00.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης x ψ= x+ 3.. Να βρείτε το άθροισμα (S) και το γινόμενο (Ρ) της εξίσωσης τη λύσετε. 3x + x 9 = 0 χωρίς να 3. Να λύσετε την εξίσωση : 3x + 5x = 0 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία περνά από το σημείο Α(-, 5) και είναι κάθετη προς την ευθεία ψ =x Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ) με πλευρές ΒΓ= 0cm και ΑΒ=6cm. Να βρείτε : α) το μήκος της προβολής της ΑΒ πάνω στην υποτείνουσα ΒΓ. β) το μήκος του ύψους ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. 6. Να λύσετε το σύστημα : y 3x= 5 y 4xy = 7. Για ποια τιμή του κ η εξίσωση ( ) x x κ + κ = έχει ρίζες πραγματικές και ίσες Αν ημω = και 70 < ω < εφω 0συνω Α= 4στεμω, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: /4

24 9. Να υπολογίσετε χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής την αριθμητική τιμή της παράστασης : ημ0 συν35 Α= εφ 5 συν 0 ημ Δίνεται τυχόν τρίγωνο ΑΒΓ και Ε σημείο στην προέκταση της διαμέσου ΑΔ τέτοιο ώστε ΔΕ = ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΒΓ και προς τα δύο μέρη και παίρνουμε τμήματα ΖΒ = ΒΓ = ΓΗ. Να δείξετε ότι : α) το ΑΖΕΗ είναι παραλληλόγραμμο. ΑΖ β) η διάμεσος ΒΘ του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίση με.. Αν x και x είναι οι ρίζες της εξίσωσης κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες x x 6 = 0, χωρίς να λύσετε την εξίσωση, να 4 4 ρ = και ρ = x x y. Στο διπλανό σχήμα δίνονται : ΑΓ διάμετρος, ΒΓ = 70 και xy εφαπτομένη στο Β. Να βρείτε τις γωνίες α, β, γ και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Α α β Κ γ Β 70 Γ x 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( ημ x + συνx ) = εφ x σφx ημxσυνx ( )( x x 5x 3 ) 4. Να λύσετε την ανίσωση : ( x) < 0 5. Στο διπλανό σχήμα δίνονται : ΑΒ διάμετρος και ΑΕΓ = 90. Να αποδείξετε ότι: (ΑΒ)(ΑΕ)=(ΑΔ)(ΑΓ). Δ Ε Α Β Γ /4

25 ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 0/00.. Για ποιες τιμές της παραμέτρου μ η εξίσωση ( ) α) ρίζες αντίθετες β) μία ρίζα τον αριθμό - γ) ισχύει x x 7μ x x 0 μ +μ = έχει:. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές Α(-,), Β(3,). Αν οι εξισώσεις των πλευρών ΒΓ και ΑΓ είναι x + y =8 και 5x y = 7 αντίστοιχα : α) να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ είναι το σημείο Γ(,6) β) να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΓΔ γ) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(-,) και είναι παράλληλη με την με την πλευρά ΒΓ. 3. Αν 3π συν( π θ) συν + θ ημ( θ) π = και 0 <θ< π π ημ + θ σφ θ ημ( π θ), να αποδείξετε ότι: α) π θ= 4 β) Η εξίσωση x τεμθ x + = 0 εφθ έχει ρίζες αντίστροφες. 4. Σε κύκλο (Ο,R) να φέρετε τη διάμετρο ΑΒ,τη χορδή ΒΓ και την εφαπτομένη xay.από το Ο να φέρετε κάθετη στη ΒΓ που την τέμνει στο Μ. Η προέκταση της ΜΟ τέμνει την εφαπτομένη xay στο σημείο Δ. Να δείξετε ότι : α) (ΑΔ)(ΒΑ) =(ΔΟ)(ΒΓ) β) ( ΔΒ) ΔΟ =3R. ( ) 5. Αν x,xείναι οι ρίζες της α x + β x + α + β = 0, α 0 να δείξετε ό τι : 4( α+β) ( x)( x) = α 3/4

26 6. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = α x +β x +γ. Να βρείτε : i. Το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης ( ) ii. Το πρόσημο του α και της διακρίνουσας της f ( x ) iii. Της ρίζες της εξίσωσης f ( x ) =0 f x. iv. Την τιμή του γ v. Τον άξονα συμμετρίας και τις συντεταγμένες της κορυφής της καμπύλης vi. Να δείξετε ότι το α = και το β = 4 vii. Το πρόσημο του f(4) f x <0 viii. Για ποιες τιμές του x ισχύει: ( ) f ( x- ) ix. Να λύσετε την ανίσωση > 0 4/4

27 Οι Εισηγητές Ο Συντονιστής Ο Διευθυντής Α. Ζαντή Ε. Λάζος Δ. Δημητριάδης... Φ.Παστού... Α. Ευστρατίου... Α. Χρυσάνθου... Μ. Ηλιάδου 5/4

28 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΝΕΟΦΥΤΟΥ ΣΧ.ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ/ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗΣ Ημερομηνία: 6 /05/ 00 Χρόνος: ώρες και 30 λεπτά Διδάσκοντες: Γ. Σελιά, Χ. Καττιμέρης, Γ.Ανδρονίκου, Ν. Σκορδής ΟΔΗΓΙΕΣ: - Να γράφετε με μπλε μελάνι. Τα σχήματα μπορείτε να τα κάνετε με μολύβι. - Επιτρέπεται η χρήση σφραγισμένης υπολογιστικής μηχανής. - Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Μέρος Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5/00 μονάδες.. Να λύσετε την εξίσωση: x + 5x 3 = 0. Δίνεται η εξίσωση x 7x + = 0 με ρίζες x και x. Να υπολογίσετε (χωρίς να λύσετε την εξίσωση) τις τιμές των παραστάσεων α) x + x β) x.x 3. Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες: χ = 3, χ = Αν ημθ = και 0 < θ < 90, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνθ και εφθ Να λύσετε την ανίσωση: x 4 x 0 6. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α ( -, ) και είναι παράλληλη με την ευθεία y = 3 x Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης: 4x y = x +

29 0 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ) ηβγ=0 cm και η ΑΒ=8 cm. Nα υπολογίσετε: (α) το μήκος της ΑΓ (β) τις ορθές προβολές των καθέτων πλευρών πάνω στην υποτείνουσα. Α 9. Στο διπλανό σχήμα, ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου (Κ,R). 0 Αν η γωνία ΒΚΓ = 60, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας) 0. Από ένα σημείο Σ εκτός κύκλου φέρνουμε την τέμνουσα ΣΒΓ και την εφαπτομένη ΣΑ. (α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΣΑΓ και ΣΑΒ είναι όμοια. (β) Αν ΣΒ=4cm και ΣΓ=9cm, να υπολογίσετε το τμήμα ΣΑ.. Να αποδείξετε την σχέση: 0 0 ( 80 ). ( 90 ). ( ) 0 0 εφ ( 80 +χ). συν( 360 χ) ημ χ εφ χ ημ χ = συνχ χ ψ=. Να λύσετε το σύστημα:. χ ψ = 5 3. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση: ( ) Στη συνέχεια να βρείτε την διπλή ρίζα. χ + λ+ χ+λ+ 4 = 0 έχει μια διπλή ρίζα. εϕχ ημχ τεμχ 4. Να αποδείξετε την σχέση: = 3 ημ χ + συνχ. 5. Αν, χ χ είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης: ( ) χ 5λ χ+λ 9 = 0, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει η ανίσωση: + < χ χ.

30 3 Μέρος Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 0/00 μονάδες.. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ +βχ+γ σχήματος, να βρείτε: (α) το πρόσημο του α.. Με την βοήθεια του (β) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (γ) το πεδίο τιμών της συνάρτησης. (δ) τον άξονα συμμετρίας. (ε) τις συντεταγμένες του ελαχίστου σημείου. (στ) τις ρίζες της εξίσωσης: (ζ) τις τιμές των α, β και γ. αχ +βχ+ γ = 0 (η) τις τιμές του χ για τις οποίες: αχ +βχ+ γ < 0.. Δίνεται η εξίσωση χ (λ ) χ + λ 3 = 0, λ R, με ρίζες χ και χ. Να υπολογίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει : (α) Ρίζες πραγματικές (β) Ρίζες αντίθετες (γ) Ρίζες αντίστροφες (δ) Άθροισμα ριζών ίσο με το τριπλάσιο του γινομένου των ριζών της. 3. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3, -3), Β(-, 3) και Γ (, 7) Να βρείτε : α) Τις κλίσεις των πλευρών ΑΒ και ΒΓ β) Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ γ) Την εξίσωση του ύψους ΑΔ δ) Τις συντεταγμένες του σημείου Δ

31 4 4. Να λύσετε την ανίσωση: ( χ 4)( χ 3)( χ χ 6) 3χ (α) Να αποδείξετε την σχέση: (β) Αν ισχύει ότι: 0 0 όπου 0 < θ < 90. εϕχ σϕχ = εϕχ+σϕχ ημ χ 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 συν( 360 θ). σϕ( 70 θ) εϕ 80 θ. ημ 90 θ. συν θ =, να υπολογίσετε την γωνία θ 6. Δίνεται ημικύκλιο με διάμετρο ΒΓ. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Α του ημικυκλίου και Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ. Η κάθετη στη ΒΓ στο σημείο Δ τέμνει την ΒΑ στο Ζ, την ΑΓ στο Ε και το ημικύκλιο στο Η. Να δείξετε ότι: (α) (ΔΓ).(ΔΒ) = (ΔΖ).(ΔΕ) και (β) (ΔΗ) = (ΔΖ).(ΔΕ) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Η ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Σάββας Κόκκινος Γιώτα Σελιά Χαραλάμπους Γιώργος Ανδρονίκου Νικόλας Σκορδής

32 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: 6/05/00 ΤΑΞΗ: Α Χρόνος:.30 To εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 4 σελίδες Οδηγίες: α) Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. β) Να γράψετε μόνο με μελάνι (Τα σχήματα μπορούν να γίνουν με μολύβι). γ) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού. ΜΕΡΟΣ Α Από τα 5 θέματα να λύσετε μόνο τα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες.. Να λύσετε την εξίσωση: χ χ 3 = 0. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης: ψ = χ χ 3. Να βρείτε την κλίση της ευθείας που περνά από τα σημεία (-,3) και (,6) 4. Να λύσετε το σύστημα: χ + ψ = 5 χ + ψ = 5 5. Δίνεται η εξίσωση 3χ + 6χ + =0 με ρίζες χ, χ. Χωρίς να λυθεί, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: χ χ α) χ + χ β) χ χ γ) + χ χ 6. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: 7 3 α) β) Αν ημω = και 80 ω 70, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 0 A = εφω + 8τεμω 8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α= ημ(80 + ω)εφ(70 - ω)ημ(90 - ω) συν(90 + ω)σφ(360 - ω)

33 0. Στο τρίγωνο ΑΒΓπου δίνεται πιο κάτω η ΒΓ = x +4x, x > 0. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα και ΔΕ = x+4, να βρεθεί η τιμή του x.. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Κ,R). Αν η γωνία o ABΔ =40 και η ΕΖ είναι διχοτόμος της γωνίας AE Δ, να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΕΖ και ΑΓΒ (να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). χ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία ε : ψ = + και περνά από το σημείο τομής των ευθειών: ε : χ+ψ 5= 0 ε :χ ψ = Να βρεθούν οι τιμές του μ R για τις οποίες το τριώνυμο αρνητικό για κάθε πραγματικό αριθμό χ. 5χ 3χ+μ είναι 4. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= χ χ Από κορυφή Α ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρνουμε μια ευθεία που τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ στο Λ, και την προέκταση της ΒΓ στο Μ. Να δείξετε ότι: (ΔΛ).(ΒΜ)=(ΑΔ).(ΒΛ)

34 3 ΜΕΡΟΣ Β Από τα 6 θέματα να λύσετε μόνο τα 4. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες.. Για ποιες τιμές του λ R, η εξίσωση χ + (λ+ ) χ+λ 8 = 0 α) έχει ρίζες πραγματικές και ίσες; β) έχει ρίζες αντίστροφες; γ) έχει ρίζες αντίθετες; δ) έχει ρίζα τον αριθμό -; ε) έχει ρίζες και χ που ικανοποιούν την σχέση χχ + χ χ χ. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης 0 f(x) = αx + βx + γ, α 0. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f( x) β) το πεδίο τιμών της f(x) γ) το πρόσημο του α δ) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας ε) τις ρίζες και x της εξίσωσης x στ) τις τιμές των α, β, γ αx + βx + γ=0 ζ) την τιμή της παράστασης Κ= f(-3) +f (0) η) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

35 4 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία: Α(,4), Β(-,3), Γ(,7). α) Να βρείτε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ β) Να δείξετε ότι η γωνία A είναι ορθή γ) Να βρείτε την εξίσωση της υποτείνουσας δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της υποτείνουσας με τον άξονα Οχ ε) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. 4. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα ημχ συνχ = ημχσυνχ εφχ. στεμχ τεμχ. σφχ 0 0 ημ(80 θ ). συν (70 + θ ) β) Αν = 0 0 συν (90 θ ). σϕ(90 + θ ) να βρείτε την γωνία θ. και π 0 θ 5. α) Να λύσετε την ανίσωση : χ χ+ ( 3)( χ + 3 χ) 0 ( χ) β) Δίνεται η εξίσωση : χ ( μ+ 3) χ+μ + 6μ 5 = 0 με ρίζες ρ, ρ. Να δείξετε ότι η παράσταση Α = ( ρ ρ ) είναι ανεξάρτητη του μ. Δ 6. Δίνεται τρίγωνο ABΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο(ο,r) με ΒΓ διάμετρο και AB Γ= 30. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο Γ, η οποία τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο σημείο Ρ. Δ Δ α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ABΓ και PAΓ είναι όμοια. β) Να δείξετε ότι (ΑΒ).(ΑΡ)= (ΑΓ) γ) Να δείξετε ότι (ΑΡ)= ( ΒΡ ) 4 δ) Αν ΡΓ= 3 cm να βρείτε το μήκος της ακτίνας R του κύκλου.

36 ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΑΔΙΠΠΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/05/00 ΤΑΞΗ: Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ΩΡΕΣ 30 *** Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 6 σελίδες *** ΟΔΗΓΙΕΣ : Να γράψετε μόνο με μπλε ή μαύρο μελάνι. Τα σχήματα μπορούν να γίνουν με μολύβι. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματισμένης υπολογιστικής μηχανής που φέρει τη σφραγίδα του σχολείου. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Μέρος Α Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με (5) μονάδες. Να λύσετε την εξίσωση: x + 7x + 3 = 0.. Να βρείτε την κλίση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(,3) και Β(,7). 3. Nα εκφράσετε το κλάσμα 4 4 σε ισοδύναμο του με ρητό παρονομαστή Αν 90 < χ < 80 0 και ημχ = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 7 Α = 5 εφχ + 34 συνχ. 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης x y =. x 3 Σελ. of 7

37 εφχ 6. Να αποδείξετε την ταυτότητα: = ημχ συνχ + εφ χ 7. Η εξίσωση: x 6x + 3 = 0 έχει ρίζες τις x, x Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης = + x 5x x Α x 8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της συνάρτησης y = f (x) στο πιο κάτω σχήμα. 9. Δίνεται η εξίσωση: k x 6x + k = 0, k 0 Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η εξίσωση να έχει: α) ρίζες ίσες β) ρίζες αντίστροφες. 0. Να λύσετε το σύστημα: x + y = x + y =. Δίνονται οι ευθείες: ε : y = x 3 και ε : x + 4y 0. = α) Να βρείτε τα σημεία τομής της ε με τους άξονες των β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ε. γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε και Σελ. of 7

38 . Δίνεται κύκλος. H ευθεία εφάπτεται του κύκλου στο σημείο Ε. Να βρείτε τις γωνίες α, β, γ και δ. 3. Στο πιο κάτω σχήμα το Ε είναι μέσο της ΑΒ. Αν ΑΒ=6cm, ΒΔ=cm και ΔΓ=7cm, α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΑΒΓ είναι όμοια β) Αν ΔΕ=4cm να υπολογίσετε το μήκος του ΑΓ. 4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f ( x ) = ( 4 x ) ( x x ). 5. Αν Α( 3,), Β( 6,0) και Γ(,4) είναι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο το σημείο Κ. Σελ. 3 of 7

39 α) Να δείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Β. ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 0 μονάδες. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = ax + βx + γ, a 0. Από τη γραφική παράσταση να βρείτε: α) Την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της. β) Τις συντεταγμένες της κορυφής της και να τη χαρακτηρίσετε. γ) Τις λύσεις της εξίσωσης f ( x) = 0. δ) Το πρόσημο της διακρίνουσας του τριωνύμου f (x) και να το δικαιολογήσετε. ε) Τις τιμές των α, β και γ. στ) Τις λύσεις της εξίσωσης f ( x) = 9. ζ) Τις τιμές του για τις οποίες ισχύει: f ( x) < 0. η) Την τιμή της παράστασης : A = f ( ) f (0). Σελ. 4 of 7

40 . Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(,), Β(4,4) και Δ(3,). Αν η εξίσωση της είναι y = x και η εξίσωση της ΒΓ είναι η y = 4, να δείξετε ότι: α) η ΑΒ είναι παράλληλη με τη ΓΒ, β) η ΑΔ είναι κάθετη στη ΓΔ. γ) να βρείτε την εξίσωση της ΑΔ, και δ) τις συντεταγμένες του σημείου Γ. 3. (i) Δίνεται η εξίσωση x (μ ) x + 5μ 4 = 0 με ρίζες x, x. Χωρίς να λύσετε την εξίσωση, να υπολογίσετε τις πραγματικές τιμές του μ, έτσι ώστε: 4 α) να ισχύει x = x β) να έχει ρίζες αντίθετες, Σελ. 5 of 7

41 γ) να ισχύει + x x 4 (ii) Να λύσετε την εξίσωση: 4x 7x = 0 4. Δίνεται η εξίσωση α) Να βρείτε τη γωνία θ. ημ(80 θ ) εφ(90 θ ) ημ( θ ) = εφ(360 θ ) συν (80 + θ ) 0 με 0 < θ < 90 β) Να δείξετε ότι το τριώνυμο ( συν α) x ( k + ) x + ( k + ) τεμ α, είναι θετικό για όλες τις τιμές του x R 0 π 0 < α < 5. Αν k = στεμθ σφθ, συνθ (α) Να δείξετε ότι: ( + k ) ( k) =, συνθ. + συνθ (β) Να σχηματίσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες x = k, x = + k R 6. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται δύο κύκλοι ( K, R) και ( Λ, ) που εφάπτονται εξωτερικά R στο σημείο B. Αν η AΔ είναι εφαπτομένη του κύκλου ( Λ, ) στο σημείο Δ, α) να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΛΔ είναι όμοια, R β) να δείξετε ότι ( ΒΓ ) =. 5 γ) Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου συναρτήσει του R. δ) Να υπολογίσετε τη γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ με προσέγγιση δεκάτου. Σελ. 6 of 7

42 Οι Εισηγητές Μεσαρίτου Άδα Σ.Β.Δ Τιμοθέου Σάββας Β.Δ Η διευθύντρια Φιλίππου Γεωργία Χατζηγεωργίου Έλενα Ζήκκος Ηλίας Κουμπάρου Χριστίνα Χατζηγιάννη Μαρία Σελ. 7 of 7

43 ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ (ΔΑΣΟΥΠΟΛΗΣ) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 7 Ιουνίου 00 ΤΑΞΗ : A ΧΡΟΝΟΣ : ώρες και 30 λεπτά ΟΔΗΓΙΕΣ: ) Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής που φέρει τη σφραγίδα του σχολείου. ) Τα σχήματα των ασκήσεων να μεταφέρονται στο γραπτό σας. 3) Να γράφετε μόνο με μελάνι (στα σχήματα επιτρέπεται και μολύβι). 4) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από τέσσερις ( 4 ) σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδα.. Να λύσετε την εξίσωση : χ + 5χ 3 = 0. Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τις χ = + 3 και χ = Να απλοποιήσετε το κλάσμα : χ + 7χ 4 χ 6 4. Να βρείτε : α) το πεδίον ορισμού της συνάρτησης ψ = χ β) το πεδίον τιμών της συνάρτησης 3χ ψ = χ + 5. Δίνονται οι ευθείες ( ε ) : ψ = 6χ και ( ε ) : ψ = ( μ + ) χ + 37 Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ ώστε οι ευθείες να είναι: α) παράλληλες β) κάθετες. 5 ο ο 6. Αν ημ θ = και 90 < θ < 80 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: 3 3ημθ 5σφθ Α = 4εφθ + 6συνθ 7. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα : τεμω ημω εφω = συνω /

44 8. Αν η εξίσωση χ + βχ + γ = 0 έχει διακρίνουσα Δ = 6 και άθροισμα ριζών S = 6, να υπολογίσετε τις τιμές των β και γ. 9. Δίνεται η συνάρτηση : ψ = χ + χ + 3. α) Να βρείτε : (i) τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων χ Οχ και ψ Οψ (ii) τον άξονα συμμετρίας της (iii) τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. ( χ 9) (χ + 5χ 3) 0. Να λύσετε την ανίσωση : 0 ( χ) ( χ + 3χ + 5). Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(, 3 ), Β( 4, 5 ) και Γ(, ). Να βρείτε: α) την κλίση της πλευράς ΑΒ του τριγώνου β) την εξίσωση της ευθείας (ε) που περνά από το σημείο Γ και είναι παράλληλη της ΑΒ γ) την εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου.. Στο σχήμα η ΒΔ είναι διάμετρος του κύκλου ( Κ, R) ψ ο και η ΒΕ εφαπτομένη του κύκλου. 60 Αν ΑΒΕ = 60 ο και ΒΓ = 80 ο να υπολογίσετε ω τις γωνιές χ, ψ και ω. χ 80 ο Ε εφθ ημθ 3. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα : = σφθ τεμθ + συνθ 4. Στο σχήμα τα Α, Β, Γ και Δ είναι σημεία του κύκλου, ΑΒ = 5 cm, ΓΔ = cm και ΑΣ = 3 cm. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΣΒΓ και ΣΑΔ είναι όμοια και να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. β) Να υπολογίσετε το μήκος χ του Σ Γ. 5 3 χ 5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 ο ) να φέρετε το ύψος ΑΔ. Η διχοτόμος της γωνιάς Β τέμνει το ύψος ΑΔ στο σημείο Ζ και την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισότητα : ( ΒΖ ) ( ΕΓ) = ( ΒΕ ) ( ΑΖ) /3

45 3 ΜΕΡΟΣ Β : Aπο τις 6 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδες.. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( χ ) = χ + βχ + γ. Η καμπύλη τέμνει τους άξονες συντεταγμένων στα σημεία Α, Β, Γ και έχει ελάχιστη τιμή στο σημείο Δ. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι και 5 αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι f ( χ) = χ 4χ 5. 5 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Γ και Δ. γ) Να βρείτε το πεδίο τιμών της συνάρτησης ψ = f (χ). δ) Mε τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου : χ 4χ 5 για τις διάφορες πραγματικές τιμές του χ.. Δίνεται η εξίσωση μχ ( μ + ) χ + μ + 6 = 0, με μ 0. Αν χ και χ είναι οι ρίζες της, να βρείτε τις τιμές του μ ώστε : α) η εξίσωση να έχει ρίζες αντίθετες β) η εξίσωση να έχει ρίζες ετερόσημες γ) να ισχύει η σχέση : χ χ χ + χ = 4μ 7 + ο ο 3. Αν συν ω 7συνω + 3 = 0 και 0 < ω < 90 να υπολογίσετε το συνω και την αριθμητική τιμή της παράστασης : Β = συνω ημω εφω εφ ω συν ω 4. Η ευθεία (ε) περνά από το σημείο Α( 3, ), τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα Οχ στο σημείο Β και τον άξονα ψ Οψ στο σημείο Γ. Αν ΟΒΑ = 45 ο να βρείτε : α) την εξίσωση της ευθείας (ε) β) τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΒΟΓ δ) την τιμή του κ ώστε η ευθεία που περνά από τα σημεία Δ(, ) και Ζ( 0, κ ) να είναι κάθετη στην ευθεία (ε). /4

46 4 5. α) Να λύσετε την εξίσωση : χ 4 3χ 4 = 0 ο ο ημ(360 θ ) εφ(90 θ ) β) Αν ισχύει η σχέση : = 3 o ο o συν (80 θ ) τεμ(70 + θ ) εφ(80 + θ ) και ο ο 70 < θ < 360, να υπολογίσετε τη γωνία θ. 6. Τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Στο σημείο Β να φέρετε την εφαπτομένη του κύκλου που τέμνει την προέκταση της ΓΔ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) τα μικρά τόξα ΒΓ και ΑΔ είναι ίσα β) ( ΒΔ) = ( ΒΑ) ( ΔΕ) Η Διευθύντρια Γεωργία Κούμα

47 ΛΥΚΕΙΟ Γ. ΤΑΛΙΩΤΗ ΓΕΡΟΣΚΗΠΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑÏΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Μάθημα :Μαθηματικά Διάρκεια εξέτασης :.30 Τάξη : Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία : 8/05/00 ΟΔΗΓΙΕΣ: α)επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματισμένης υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. γ) Να γράφετε μόνο με μελάνι. (Για τα σχήματα επιτρέπεται και το μολύβι) δ) Τα σχήματα των ασκήσεων να μεταφέρονται στο γραπτό σας. ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5/00.. Να λύσετε την εξίσωση: 3χ 5χ = 0. Να βρεθεί η κλίση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(,) και Β (, 6). χ 3. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της συνάρτησης y = χ Να μετατρέψετε σε κλάσματα ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή α) 0 5 β) Αν συνω = και 90 < ˆ ω < 80, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω Δίνεται η εξίσωση 4χ 3χ 5= 0 με ρίζες χ,χ. Χωρίς να λύσετε την εξίσωση να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) χ + χ και χ χ β) 4χ χ + 4χ χ 7. Να λύσετε την ανίσωση: χ 0. 3 χ 8. Να αποδείξετε την ταυτότητα: συνθ + σϕθ = σϕθ ( + ημθ ). /4

48 ( ) 0 9. Δίνεται η εξίσωση: λ χ + 4 χ + =.Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες πραγματικές και ίσες. ( ) 0. Δίνεται η εξίσωση: χ 3κχ κ + = 0. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου κ, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει: α) ρίζες αντίθετες. β) ρίζες αντίστροφες.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: ψ = χ + χ Να δείξετε ότι: ( 360 ) ( ) ( 80 ) συν( 90 θ) ημ ( 80 + θ) συν + θ ημ θ εφ + θ = 3. Δίνεται κύκλος (Ο, R). Αν η ΑΔ είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Α, ΑΒ είναι η διάμετρος του κύκλου και η γωνία τις απαντήσεις σας ). ΔΑΓ ˆ = 65, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.(Να δικαιολογήσετε Α 65 Δ Ο Γ Β 4. Δίνεται η εξίσωση: χ 3χ+ 5= 0, με ρίζες χ, χ. Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες: ρ =, ρ χ = χ. 5. Να λύσετε το σύστημα: 3χ + ψ = 6 χψ = 3 /4

49 ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 0/00.. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: Από τα στοιχεία του σχήματος να βρείτε: ( ) = α + β + γ με α 0. f x x x α) Το πρόσημο του α β) Τις ρίζες της εξίσωσης f( x ) = 0 γ) Την τιμή του γ δ) Tο πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της συνάρτησης ε) Τον άξονα συμμετρίας στ) Τις συντεταγμένες της κορυφής της καμπύλης ζ) Το πρόσημο του f (00) η) Τη λύση της ανίσωσης f( x ) < 0. Να λύσετε την ανίσωση: ( 4χ + )( χ + χ 8)( 3χ 4χ + ) ( 9 χ ) 0 3. Δίνεται η εξίσωση ( ) Να δείξετε ότι: τεμ ω χ τεμω χ ( ) + =0 με ρίζες χ και χ. α) Η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για όλες τις τιμές του ω. β) χ+ χ = σφωστεμω γ) δ) χ χ = σφ ω + = τεμω. χ χ 4. α) Να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας χ, αν 0 < χ < 80 και ισχύει σχέση: ( ) ( ) ( ) ( ) εφ( 80 + χ) συν( 80 χ) ημ( 80 + χ) ημ 360 χ ημ90 χ συν360 χ εφ χ = β) Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Να φέρετε το ύψος ΑΔ και την ΔΕ κάθετη στην ΑΓ ( ΔΕ ΑΓ ). Να δείξετε ότι: ( ) ( ΔΕ) = ( ΑΔ) (ΒΔ ΑΒ ) 3/4

50 5. α) Στο σχήμα δίνονται: ΒΓ διάμετρος του κύκλου, ΑΔ εφαπτομένη του κύκλου και ΒΔ τόξο 60. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές.(να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας ). Δ Α Β Κ Γ β) Να αποδείξετε την ταυτότητα: συνθ συνθ + + = ( + εϕθ ) τεμθ + εϕθ τεμθ εϕθ 6. Δίνονται τα σημεία: Α ( 5, 7), Β ( 7, 4) και (,5) Γ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α= ˆ 90 o β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ. γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη με τη ΒΓ και περνά από το Α. Εισηγητές H Συντονίστρια Β.Δ Ο Διευθυντής... Κ. Χατζηδημητρίου Α. Δημητρίου Α. Φιλιππίδης.. Α.Παπαντωνίου 4/4

51 ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΚΚΙΝΟΧΩΡΙΩΝ ΦΩΤΗ ΠΙΤΤΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 009/00 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ / ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΤΑΞΗ: Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/06/00 ΧΡΟΝΟΣ:, 5 ΩΡΕΣ Οδηγίες : ) Να γράφετε μόνο με μελάνι (μαύρο ή μπλε). ) Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 3) Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. 4) Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 4 σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδα..δίνεται η εξίσωση x - 9x + 5 = 0.Χωρίς να λύσετε την εξίσωση να βρείτε το είδος των ριζών, το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών..να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από το σημείο Α(,-3) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων : (α) 3x f(x) = 4-3+x (β) f(x) = x _ 3x 4.Να βρείτε τις τιμές των κ και λ έτσι ώστε η εξίσωση κ x 5λ = λx+ 5 να είναι αόριστη. 5. Αν α > 0 να βρείτε την τιμή της παράστασης : Α = 3 4 α : α ( ) α. α

52 6. Δίνεται κύκλος με κέντρο το Κ. Η ευθεία ΕΖ είναι εφαπτομένη του κύκλου στο Β. Αν το τόξο ΑΒ = 80, να υπολογίσετε τις γωνίες : ΑΚΒ ˆ, ΑΓΒ ˆ, ΚΑΒ ˆ, ΚΒΕ ˆ, ΑΒΖ ˆ (να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας) 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x - 6x + 7 η οποία παριστάνει παραβολή.να βρείτε : α) Τον άξονα συμμετρίας β) Τις συντεταγμένες της κορυφής. γ) Τις συντεταγμένες του σημείου τομής της παραβολής με τον άξονα ΨΨ. 8. Να λύσετε το σύστημα : x + ψ =5 xψ +x =6 9. Δίνεται 34ημθ +7συνθ Α = 8εφθ -5στεμθ 8 συνθ =- και ημθ >0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 7 0. Να λύσετε την ανίσωση : x( 3x +x - 4 ) > 0. Δίνεται η εξίσωση (μ -)x -4μx+5μ + 6 = 0, μ. Να βρείτε για ποια τιμή του μ : α) η εξίσωση έχει μια ρίζα το -3 β) η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ημ x συνx + =εφx σφx ημx.στεμ x 3. Σε ένα ρόμβο ΑΒΓΔ δίνονται ΑΒ = ( x + 3) cm, ΒΓ= (x ) cm, Α ˆ = 65 + ψ και Β= ˆ 0 + ψ Να υπολογίσετε : α) Τις τιμές των χ και ψ β) Τη γωνία ΑΓΒ ˆ γ) Τη περίμετρο του ρόμβου

53 o 4. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 ), τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα ΔΕ=ΕΖ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρό ΑΔΓΖ είναι τετράγωνο. o o o 5. Αν ισχύει η σχέση : ( ) ( ) x +(συνθ +)x +5 = και (ε ):xσυνθ - ψ =0 0 εφ(80 + ω) + σφ 90 + ω = 5σφ 70 - ω - 6 έχει ρίζες αντίθετες να δείξετε ότι οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. και η εξίσωση (ε ):y= xεφω - ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4 Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδες. ˆB =90 o ).Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( έχει κορυφές Β(3,), Γ(-,-) και η κορυφή Α βρίσκεται πάνω στην ευθεία 3x - ψ -= 0.Να βρείτε : α) Την κλίση της ΒΓ β) Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ γ) Τις συντεταγμένες του σημείου Α δ) Τις συντεταγμένες του σημείου Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x ) =αx +βx+γ. Να βρείτε: (να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις) α) το πρόσημο των α, β και γ β) το πεδίο τιμών γ) τις λύσεις τις εξίσωσης αx +βx+γ = 0 γ -6β δ) την τιμή της παράστασης A= α ε) για ποιες τιμές του x ισχύει αx +βx+γ 0 στ) τη τιμή της παράστασης ( ) f( ) f B= f ( 0) 3

54 3. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( x) = ( x x+ 3)( x+ ) ( 3 x) β) Αν o o o ( ) ( ) ( ) o o συν ( 90 - α ).συν ( 80 - α) συν 70 + α.ημ α.εφ 90 + α Α = και ( ) ( o ) ( o ) Β = ημ α - συν α +4ημ ασυν α + ημ 90 + α συν 80 + α να δείξετε ότι Α = στεμ α Β 4. Από σημείο Α εκτός κύκλου φέρουμε εφαπτόμενες ΑΒ και ΑΓ οπού Β και Γ σημεία του κύκλου.από το Α φέρουμε τη τέμνουσα ΑΔΕ (που δεν περνά από το κέντρο του κύκλου) όπου Δ και Ε σημεία του κύκλου. Να δείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΕΒ είναι όμοια β) ισχύει η σχέση ( ΑΓ ) = ( ΑΕ).( ΑΔ) γ) ισχύει η σχέση ( ΒΔ).( ΕΓ ) = ( ΒΕ).( Γ Δ) 5. Δίνεται η εξίσωση x -3x+λ =0 με ρίζες x, x, α) Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες β) Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης ώστε να ισχύει η σχέση 6. Δίνεται η εξίσωση + ρ ρ ( ) ρ = x x, ρ x = x λx -( 9-λ)x + λ = 0 τεμθx + +εφθ x+ημθ + τεμθ =0 α) Να δείξετε ότι έχει ρίζες ίσες β) Αν x, x οι ρίζες τις εξίσωσης να δείξετε ότι ισχύει η σχέση ) (x + + x x x -ημθσυνθ =6, να βρείτε τις τιμές του λ Εισηγητές : Γιώργος Παντζιαράς (Συντονιστής Β.Δ) Αδάμος Αδάμου Φωτιάδου Καλλισθένη Τσαγκάρης Ανδρέας Γεωργίου Ειρήνη Αγγελή Στέλλα Σολωμού Μαρία (Πετρίδου Πετρούλα) Ο Διευθυντής: Παπαζαχαρίου Μιχάλης 4

55 5

56 ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ ΠΑΦΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ : Α ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 08/06/00 Α ΣΕΙΡΑ ΧΡΟΝΟΣ : : 30 ώρες Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 5 σελίδες ΟΔΗΓΙΕΣ Να γράφετε μόνο με μελάνι μπλε. Τα σχήματα επιτρέπεται να είναι με μολύβι. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματισμένης υπολογιστικής μηχανής. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ.Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.. Να λυθεί η εξίσωση : x + 7x+ 6= 0.. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού (Π.Ο.) και το πεδίο τιμών (Π.Τ.) της συνάρτησης x y =. x 3. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από τα σημεία Α(3,4) και Β(,). 4. Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς και Να απλοποιηθεί το κλάσμα : 3x 0x+ 3. x 9 6. Δίνεται ο κύκλος (Κ,R) και τόξο ΑΒΓ = 74. Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ω, ˆ ϕ και ˆ θ. 3 5συν x 4εϕ x 7. Αν ημ x =, 0 < x < 90, να βρείτε την τιμή της παράστασης A =. 5 6σϕ x 8. Να λυθεί η ανίσωση : x + 7x+ 3 0.

57 ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ ΠΑΦΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ εϕx+ σϕx 9. Να αποδείξετε την ταυτότητα : =. τεμx στεμx 0. Να λυθεί η εξίσωση : x 5x 6 = Αν x, x οι ρίζες της εξίσωσης x 5x+ 3= 0 να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις, χωρίς να τη λύσετε : α) x x x + β) 5xx+ 5xx x x + y = 0. Να λυθεί το σύστημα :. x y = 5 3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν η ευθεία (ε ) : y=x πέρνα από τις κορυφές του παραλληλογράμμου Α και Δ να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από τις κορυφές Β και Γ(5,0) του παραλληλόγραμμου. ( 90 ) ( ) ( 80 ) ( 360 ) ημ ω σϕ ω 4. Να αποδείξετε τη σχέση: = τεμ ω σϕ ω συν ω 5. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΑΜ και ΒΔ. Αν Ε είναι το σημείο τομής των υψών του, να αποδείξετε ότι : α) (ΕΑ)(ΕΜ)=(ΕΒ)(ΕΔ) β) (ΑΓ)(ΓΔ)=(ΒΓ)(ΓΜ)

58 ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ ΠΑΦΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ 4. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 0 μονάδες.. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f x = αx + βx+ γ. της συνάρτησης ( ) Να βρείτε : α) Πεδίο Ορισμού β) Πεδίο Τιμών γ) τις ρίζες της εξίσωσης αx + βx+ γ = 0 δ) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας ε) το πρόσημο της διακρίνουσας στ) το πρόσημο του α ζ) την τιμή του γ η) τις συντεταγμένες του ακρότατου σημείου θ) την τιμή του f ( ) ι) το πρόσημο του γινομένου f ( α) f ( β) όταν α (, 3 ), β ( 3, ) +.. α) Να βρεθεί η γωνία θ, 0 < θ < 90 αν ισχύει : ημ ( 90 θ ) συν ( 80 θ ) εϕ ( 70 ) σϕ ( θ ) συν ( 360 θ ) θ = 3 3 ημω σϕω συν ω β) Να αποδείξετε την ταυτότητα : = 3 εϕω συνω εϕω ημ ω 3

59 ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ ΠΑΦΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ Δίνεται η εξίσωση ( λ ) x ( λ ) x ( λ ) =0, λ. Να βρείτε το λ ώστε : α) Οι ρίζες να είναι αντίθετες β) Οι ρίζες να είναι αντίστροφες γ) Το άθροισμα των ριζών να είναι ίσο με το γινόμενό τους δ) Το άθροισμα των ριζών να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(5,) και Β(3,5). Έστω Κ το σημείο τομής των διαγωνίων του με συντεταγμένες (7, ). α) Να δείξετε ότι το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. β) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του. γ) Αν επιπλέον οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι (9, 3) να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. 5. α) Δίνεται η εξίσωση : x ( λ ) + x+ λ 4=0. Αν x, x είναι οι ρίζες της, να βρεθούν οι τιμές x του λ, ώστε : x x +. x β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού (Π.Ο.) της συνάρτησης f με τύπο : f( x) = 5x 8x+ x + x 4 4

60 ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ ΠΑΦΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ α) Δίνεται κύκλος (Κ,R). Από τυχαίο σημείο Α του κύκλου, φέρουμε κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ πάνω σε διάμετρο ΒΓ του κύκλου. Να αποδείξετε ότι : (ΑΒ)(ΑΓ)=(ΒΓ)(ΑΔ) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του πιο κάτω παραλληλογράμμου. Ο Διευθυντής: Χάρης Χαραλάμπους 5

61 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟ ΛΕΥΚΑΡΩΝ Σχολική χρονιά ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή, /05/00 Ώρα: 7.45 π.μ. Διάρκεια:,5 ώρες ΟΔΗΓΙΕΣ: Να γράφετε μόνο με μπλε ή μαύρη πένα (τα σχήματα με μολύβι). Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Το γραπτό αποτελείται από 5 σελίδες. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. ΜΕΡΟΣ Α : Από τα 5 θέματα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα. Κάθε σωστό θέμα βαθμολογείται με μία () μονάδα.. Να λύσετε την εξίσωση x 9x 0 + =0. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης x + ψ = x 3 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο (, ) και έχει κλίση 3 4. Να κατασκευάσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες χ = 3 και χ = 0 5. Χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3ημ30 4συν εϕ 60 Α= εϕ45 6. Να λύσετε την ανίσωση: 3χ 5χ + 0

62 7. Να βρείτε την τιμή των πιο κάτω αριθμητικών παραστάσεων: ( ) ( ) , 7. 7 Α= + Β= + 8. Η εξίσωση χ 8χ 6= 0 έχει ρίζες χ, χ. Χωρίς να λύσετε την εξίσωση, να βρείτε: α) το είδος των ριζών της β) τις τιμές των παραστάσεων: Α= χ + χ + χ. χ, Β= 3χ + 3χ 9. Στον κύκλο ( Κ, ρ) δίνεται το τόξο ΒΓ= 40 και η ΑΒ διάμετρος. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ και η γωνία ˆ ΓΑΔ. (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). Β Κ 40 Α Δ Γ 0. Δίνονται οι ευθείες ε : ψ = ( κ + ) χ + 5 και ε : 3χ ψ + =. Να βρείτε την τιμή του κ, εάν οι δυο ευθείες είναι παράλληλες. 5. Αν ημω = και 70 < ˆ ω < 360, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 3συνω 4εϕω τεμω. Να λύσετε την ανίσωση: (4χ + ).( χ 9).( χ χ ) < 0 3. Να δείξετε ότι η εξίσωση και ίσες. ( ημ α) χ ( συνα) χ σϕ α 0 + = έχει ρίζες πραγματικές

63 4. Να λύσετε το σύστημα : χ + ψ = 4 χ + ψ = 5 5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα και ΔΕΓ ˆ = 90, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ρόμβος. ΜΕΡΟΣ Β : Από τα 6 θέματα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα 4. Κάθε σωστό θέμα βαθμολογείται με δύο () μονάδες.. Δίνεται η γραφική παράσταση της να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της β) το πεδίο τιμών της f ( χ) αχ βχ γ = + +. Από τη γραφική της παράσταση 3 y γ) τις συντεταγμένες της κορυφής της δ) τις λύσεις της αχ + βχ + γ = 0 ε) την τιμή του γ στ) την τιμή του β και α ζ) την τιμή των f () και f (4) η) τις λύσεις της ανίσωσης f ( χ) x 3

64 . Να λύσετε: α) την εξίσωση 4 χ 3χ 4 0 = και β) την ανίσωση 4 χ.( χ 3χ 4) χ χ χ ( ).( + 4) 0 3. Δίνεται η εξίσωση χ + ( κ ) χ κ + =0 με κ R. Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η εξίσωση έχει: α) μια ρίζα ίση με β) ρίζες αντίθετες γ) γινόμενο ριζών ίσο με 6 δ) ρίζες πραγματικές και ίσες 4. α) Αν 0 < ˆ χ < 90 και ισχύει η ισότητα εϕ(80 χ). σϕ(70 + χ) + τεμ(90 + χ). ημ(360 χ) =, εϕχ. στεμχ να βρείτε σε μοίρες τη γωνία χ. β) Να αποδείξετε την ταυτότητα: + εϕ χ εϕ χ = ημ χ 5. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ, με εξίσωση πλευράς ΑΒ τη ψ = 3χ 4 και κορυφές Α(3,5) και Γ (7, α). α) Αν η κλίση της διαγωνίου ΑΓ είναι -, να βρείτε την τιμή του α β) Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΑΔ γ) Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΓΔ, αν είναι γνωστό ότι το α = 3 δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ 4