2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα x x μια ευθεία ε, η οποία διέρχεται από τα σημεία: α) Α (- 6, - ) Β (3, 7) β) Α (1, 3) Β (, 4) γ) Α ( 3, 3) Β (0, 4) δ) Α (1, - 1) Β (1, ) ε) Α (0, 3 ) Β (1, 0) 3. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α (-, 3), Β (- 6, 1) και Γ (- 10, - 1) είναι συνευθειακά. 4. Δίνονται τα σημεία Α (7, 5), Β (6, - 7) και Γ (, 3). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (3, - ) και: α) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (, - 5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (0, 3) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (-, 0) δ) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ (, 1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ (0, - ) στ) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (- 1, ), Β (3, - ) και Γ (1, 4). Να βρεθούν: α) οι εξισώσεις των πλευρών του β) οι εξισώσεις δύο υψών του γ) οι εξισώσεις δύο διαμέσων του δ) οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του ε) οι συντεταγμένες του ορθοκέντρου του 61

2 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. στ) οι συντεταγμένες του βαρυκέντρου του ζ) οι συντεταγμένες του εκκέντρου του η) οι συντεταγμένες του περικέντρου του. 8. Στο επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α (κσυνφ, λημφ), Β (κημφ, - λσυνφ) και Γ (κ, λ), όπου κ, λ R και 0 < φ < π. Για ποιες τιμές του φ τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά; 9. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: 3x + 4y - 11 = 0 και x - 3y + 1 = 0 και είναι: α) παράλληλη προς την ευθεία x + y + 1 = 0 β) κάθετη προς την ευθεία 3x - y + 5 = 0 γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στον άξονα x x ε) παράλληλη στον άξονα y y στ) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων ζ) παράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων η) σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 3 τ.μ. 10. Τα σημεία Μ 1 (1, 1), Μ (, ) και Μ 3 (3, - 1) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές ενός παραλληλογράμμου. Να βρεθούν: α) οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του β) οι συντεταγμένες του κέντρου του γ) το εμβαδόν του 11. Μια κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των ευθειών x - 3y + 0 = 0 και 3x + 5y - 7 = 0 και η μια διαγώνιός του βρίσκεται επί της ευθείας x + 7y - 16 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του. 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: x - 3y - 1 = 0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 τ.μ. 13. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρό του. Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ γ) τις εξισώσεις των πλευρών του 6

3 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 14. Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α (1, ) και οι εξισώσεις x - 3y + 1 = 0 και y - 1 = 0 δύο διαμέσων του. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. 15. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: α) ε 1 : 3x - y + 1 = 0 και ε : - 6x + y - 3 = 0 β) ε 1 : x = 4 και ε : x = - 6 γ) ε 1 : y = x και ε : y = x Το σημείο A (3, - 1) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓΔ, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση 3x - y - 5 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του. 17. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ + ) x + λy + 3λ - 1 = 0 και ε : (λ - 1) x + λy + 5 = 0. Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι ε 1 // ε. 18. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (μ + 1) x + (μ + ) y = 0 και ε : μx - (3μ + ) y + 7 = 0. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε 1 και ε να είναι Οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου είναι: 3x + 4y - 7 = 0, x + y + = 0 και x + 3y - 5 = 0. Ζητούνται: α) οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου β) το εμβαδόν του Δίνονται τα σημεία Α (, 1), Β (6, 4) και Γ (, 6). α) Να δειχθεί ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογωνίου παραλλη-λογράμμου ΑΒΓΔ. γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ. 1. Αν οι ευθείες ε 1 : x - y + 1 = 0 και ε : x + y + 3 = 0 είναι οι φορείς των δύο πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου και Α (, - 1) μια κορυφή του, να βρεθούν οι άλλες κορυφές και το εμβαδόν του.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (ημω, συνω) και Β (ημφ, συνφ). Να βρεθεί η απόσταση του Ο (0, 0) από αυτήν (0 ω φ < π ). 63

4 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνονται τα σημεία Α (λ, 0), Β (λ, 3λ), λ 0. Αν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α τέμνει την ευθεία x = - λ στο Γ, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 4. Έστω οι ευθείες ε 1 : x - 3y + 1 = 0, ε : - x + 4y + 3 = 0 και το σημείο Α (1, - ). Να βρεθεί σημείο Μ της ε, ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην ε Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία Α (1, - ), Β (-, 3), Γ (- 1, - 4) και Δ (5, 0). 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y - 3xy - x = 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; 7. Τα σημεία Α (1, 0) και Β (3, 6) ισαπέχουν από το σημείο Γ (- 4, λ). Να υπολογιστεί η τιμή του λ. 8. Δίνονται τα σημεία Α (4, ), Β (3, - 1) και η ευθεία ε: y = - 3x. Να βρεθεί σημείο Γ της ευθείας ε, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β. 9. Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. 30. Για ποιες τιμές των λ, μ R οι ευθείες ε 1 : (μ + 1) x - μy = λ και ε : (μ - 1) x - 3y = λ - 1: α) τέμνονται, β) είναι παράλληλες, γ) συμπίπτουν. 31. θ θ Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση xσυν + yημ + συνθ - 1 = 0, θ [0, π] παριστάνει ευθεία, η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο. 64

5 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3. Θεωρούμε τις ευθείες ε: αx + βy + γ = 0, ε 1 : αx - βy + γ = 0, ε : αx - βy - γ = 0 και ε 3 : αx + βy - γ = 0 (α, β, γ 0). Να αποδείξετε ότι: α) η ε 1 είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον x x β) η ε είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον y y γ) η ε 3 είναι συμμετρική της ε ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. 33. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση x + y = 1. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ (, 3) ως προς άξονα συμμετρίας την (ε). 34. Να εξετάσετε αν η ευθεία λx + λy + 5λ = 3y - x + 7 διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. 35. Θεωρούμε την εξίσωση (λ + λ - 3) x - (λ + λ - ) y - 5λ - 3λ + 8 = 0 (1) Για ποιες τιμές του λ R η (1) παριστάνει ευθεία; 36. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ - 1, λ + 3), λ R. 37. Τριγώνου ΑΒΓ οι κορυφές είναι Α (-, κ), Β (κ, κ) και Γ (κ -, - κ), κ R. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου βάρους του τριγώνου. 38. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες 3x - y + 4 = 0 και 3x - y + 6 = Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x - y - 4λy - λx - 3λ = 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο αυτών ευθειών. 40. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων τα τετράγωνα των αποστάσεων από τα σημεία Α (3, ) και Β (- 1, ) έχουν σταθερή διαφορά c είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ. 41. Να εξετάσετε αν η ευθεία x y = 4 ανήκει στην οικογένεια ευθειών που έχει εξίσωση (x + y - 4) + λ (x - 3y - 4) = Φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Σ (, 3) και προσπίπτουσα στην ευθεία x + y + 1 = 0, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο Μ (1, 1). Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλόμενης ακτίνας. 43. Ένα σημείο P του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία y = x. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο Ρ του Ρ ως προς την ευθεία x + y - 1 = 0 κινείται πάνω στην ευθεία 7x - y - = 0. 65

6 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 44. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) στις ακόλουθες περιπτώσεις: Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη σε ευθεία (ε ). α) Α (1, - 1) και (ε ): x + y - 1 = 0 β) Α (, - 3) και (ε ): x = - 3 γ) Α (-, 1) και (ε ): y = - 1 Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και είναι κάθετη σε ευθεία (ε ). α) Α (- 1, 1) και (ε ): x + y + 1 = 0 β) Α (4, - 3) και (ε ): x + 1 = 0 γ) Α (, - 1) και (ε ): y = 4 Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x x. α) Α (-, 3) και φ = 30 β) Α (4, - 5) και φ = 90 γ) Α (3, - 3) και φ = 135 Τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (x 1, 0) και Β (0, y ). α) Α (4, 0) και Β (0, 4) β) Α (- 3, 0) και Β (0, 1) Είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών (ε 1 ) και (ε ). α) (ε 1 ): 3x - y + 1 = 0 και (ε ): - 6x + y - 3 = 0 β) (ε 1 ): x = 4 και (ε ): x = - 6 γ) (ε 1 ): y = x και (ε ): y = x - 3 Απέχει απόσταση d από γνωστή ευθεία (ε ). α) d = από (ε ): x + y - 1 = 0 β) d = 4 από (ε ): y = 3 Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και απέχει απόσταση d από το Β (x 1, y 1 ). 66

7 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Α (3, - 1) και απέχει d = από το Β (, ) β) Α (, 1) και απέχει d = 1 από το Β (0, 0) Είναι μεσοκάθετη σε γνωστό τμήμα ΑΒ. α) Α (-, 1) και Β (, 3) β) Α (3, 0) και Β (0, - 5) Είναι άξονας συμμετρίας του ΑΒ με Α, Β γνωστά σημεία. α) Α (1, - 1) και Β (- 1, 3) β) Α (- 3, 4) και Β (4, - 3) Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει γωνία φ με γνωστή ευθεία (ε ). α) Α (, 1) και φ = 45 με την x - y + 1 = 0 β) Α (-, 1) και φ = 30 με την y + = 0 Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη σε διάνυσμα ν. α) Α (3, - ) και ν = (0, 1) β) Α (-, - 3) και ν = (, 3) γ) Α (- 1, 0) και ν = (- 4, 0) Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και είναι κάθετη σε διάνυσμα ν. α) Α (5, - ) και ν = (- 1, 3) β) Α (-, ) και ν = (0, 4) Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει γωνία φ με το διάνυσμα ν. α) Α (1, - ) και φ = 60 με το ν = (1, 1) β) Α (0, 3) και φ = 45 με το ν = (, 1) Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο σταθερού εμβαδού. 67

8 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α) Α (- 1, ) και εμβαδόν 3 τ.μ. β) Α (- 1, 0) και εμβαδόν τ.μ. 45. Τον Δεκέμβριο το καλοριφέρ μιας κατοικίας λειτούργησε 4 ώρες την ημέρα και το κόστος έφτασε τις δρχ. ενώ τον Ιανουάριο που λειτούργησε 5 ώρες την ημέρα το κόστος ήταν δρχ. Αν η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος είναι y = αx + β, όπου x οι ώρες λειτουργίας, να βρεθούν: α) οι τιμές των α, β β) το προβλεπόμενο κόστος για τον Φεβρουάριο, αν λειτουργήσει 4,5 ώρες την ημέρα (8 ημέρες). 46. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π 1, Π είναι Π 1 (t - 1, t + ) και Π (3t, 3t - 1) για κάθε χρονική στιγμή t (t > 0). α) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = Η πορεία δύο κινητών που κινούνται ευθύγραμμα ξεκινώντας από τα σημεία Α και Β αντιστοίχως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. y α) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σημείων Α και Β. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ. Γ 60 x γ) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Β από την ευθεία στην οποία κινείται το άλλο κινητό. δ) Να εξετασθεί αν τέμνονται οι διευθύνσεις των δύο A(-3,-1) B(-5,1) κινητών. 48. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο Α (, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π (λ - 1, + λ), λ R. α) Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του Α; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α, όταν κινείται ευθύγραμμα. γ) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 68

9 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 49. Μια τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει τρεις εισόδους, μία σε κάθε κορυφή. Ο αρχηγός της κατασκήνωσης (του οποίου η σκηνή βρίσκεται κάπου μέσα στην κατασκήνωση) θέλοντας να βρει το εμβαδόν της κατασκήνωσης, αποστέλλει τρεις κατασκηνωτές (εφοδιασμένους με πυξίδες και χιλιομετρητές) να μετρήσουν τις αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του. Ο πρώτος προχωρά km βόρεια και αμέσως μετά 1 km ανατολικά και εκεί συναντά την πρώτη είσοδο. Ο δεύτερος προχωρά 3 km ανατολικά και 1 km νότια και εκεί συναντά τη δεύτερη είσοδο. Ο τρίτος προχωρά km δυτικά και συναντά την τρίτη είσοδο. α) Να τοποθετήσετε, σε ένα πρόχειρο σχέδιο, τη σκηνή του αρχηγού και τις εισόδους, αφού πρώτα χαράξετε τις πορείες. β) Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες των τριών εισόδων σ αυτό το σύστημα. γ) Να βρείτε το εμβαδόν της κατασκήνωσης. 50. Σε ένα εργοστάσιο ο νέος διευθυντής ζήτησε να ενημερωθεί για την οικονομική πορεία της επιχείρησης από το έτος που ιδρύθηκε. Οι υπεύθυνοι των οικονομικών του παρέδωσαν το παρακάτω σχεδιάγραμμα: y 3 ε 1 ε ε 1 η ευθεία των εσόδων ε η ευθεία των εξόδων Οx ο άξονας των ετών λειτουργίας Οy ο άξονας των εκατοντάδων εκατομμυρίων δραχμών 1 Ο 4 x α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε 1, ε. β) Να βρείτε πόσα χρόνια μετά την έναρξη της λειτουργίας της, η επιχείρηση αρχίζει να έχει κέρδη. γ) Να βρείτε το κέρδος (έσοδα μείον έξοδα) της επιχείρησης τον τέταρτο χρόνο της λειτουργίας της. δ) Πότε η επιχείρηση θα παρουσιάσει κέρδος 300 εκατομμύρια (3 εκατοντάδες εκατομμύρια); 51. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxy ένα πλοιάριο ξεκινά από ένα λιμάνι Α και κατευθύνεται στο λιμάνι Ο. Το ραντάρ θέσης για κάθε χρονική στιγμή t δίνει συντεταγμένες για το πλοιάριο (t - 40, t - 30), t 0. 69

10 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α) Πού βρίσκεται στο χάρτη το λιμάνι Α; β) Πόσο απέχει το λιμάνι Α από το Ο; γ) Είναι σωστή η πορεία του πλοιάριου; Ποια είναι η εξίσωσή της; 5. Δίνονται οι ευθείες ε 1,ε με εξισώσεις x - y+7 = 0 και x+y - 4=0 αντιστοίχως : i) Να δείξετε ότι ε 1 ε και να βρείτε το σημείο τομής τους Α. ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία x - y +4 = α) Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(4,-3) και Β(-,5). β) Να βρείτε το λ R έτσι ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σημείο Γ(- 3,λ-1). 54. Να βρεθεί η ευθεία που περνά από την τομή των ευθειών με εξισώσεις 3x - y+14=0 και x+y=6, αντίστοιχα και είναι κάθετη στην ευθεία 5x - 6y= Δίνονται τα σημεία Α(,3) και Β(3,4). Αν Μ(x,y) είναι το μέσον του ΑΒ δείξτε ότι x - y+1= i) Να βρείτε τις τιμές του λ R για τι οποίες η εξίσωση :(λ - 3λ+)x+(λ λ )y+3 - λ=0, παριστάνει ευθεία. ii) Πότε η παραπάνω ευθεία είναι : α) Παράλληλη στον x'x β) Παράλληλη στον y'y γ) Παράλληλη στο διάνυσμα α =( 1, - ). 57. Να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε οι ευθείες με εξισώσεις :(λ+1)x - 3λy - =0 και 3λx +(λ+)y+1=0, να είναι κάθετες. 58. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματική τιμή του α οι ευθείες : ε 1 : αx - (α+1)y = 3α - 1 και ε : (3α+1)x+(α - 1)y = 6α - τέμνονται και να βρείτε το σημείο τομής τους. 59. Τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Δ(-1,4), Ε(5,4), Ζ(,-1). Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του. 60. Δίνονται τα σημεία Α(3,0), Β(1,4) και η ευθεία ε: x+y - =0. Nα βρείτε σημείο Μ της ε για το οποίο το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. 61. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : x+y - 3=0, ε : 4x - 3y+1=0 και το σημείο Α(1,-).Να βρείτε σημείο Β της ε τέτοιο ώστε το μέσον Μ του ΑΒ να είναι σημείο της ε 1 70

11 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ μια κορυφή έχει συντεταγμένες (1,4) και οι εξισώσεις των δύο υψών του είναι x - y+4=0 και 3x+y - 14=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και το τρίτο ύψος του. 63. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(,3), το ύψος ΒΔ : 3x - 4y+3=0 και η διάμεσος ΓΜ : 5x+9y - 16=0. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 64. Οι δύο πλευρές παραλληλογράμμου έχουν εξισώσεις x+3y - 4=0, 3x - y - 1=0 και το κέντρο του είναι το σημείο Κ(0,-).Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. 65. Δύο διάμεσοι τριγώνου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y=1 - x και y= - x, ενώ μια κορυφή του τριγώνου είναι το σημείο Α(1,). Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του. 66. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(,3) και ορίζουν στους άξονες συντεταγμένων τμήματα ισομήκη. 67. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(-1,0) και τέμνουν τις ευθείες y=x - 1 και y=x+ σε σημεία με απόσταση Δίνονται οι ευθείες :ε 1 : (λ - 1)x + (λ+1)y + (λ+5)=0 και ε : (λ - 1)x + (λ - )y + (λ - 3)=0.Nα βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες αυτές να τέμνονται σε σημείο του άξονα y'y. Ποιο είναι τότε το σημείο τομής τους. 69. Να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. 70. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το σημείο Ε του ύψους ΑΔ με 1 1 ΑΕ= ΑΔ. Θεωρούμε το σημείο Ζ της ΑΓ για το οποίο είναι ΑΖ= ΑΓ. 3 5 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. 71. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΜΓ και ΑΝΒ από τα οποία το πρώτο είναι έξω από το τετράγωνο και το δεύτερο μέσα σε αυτό. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Μ,Ν είναι συνευθειακά. 7. i) Δείξτε ότι τα τέσσερα σημεία Α(,9), Β(-3,1), Γ(-8,15), Δ(7,6) είναι σημεία της ίδιας ευθείας. ii) Να βρεθεί ο x R ώστε τα σημεία Α(-1,), Β(-,-3), Γ(x,-), να είναι συνευθειακά. 73. Δύο ευθείες παράλληλες οι ε 1, ε περνούν από τα σημεία Α(5,0) και Β(-5,0) αντίστοιχα και τέμνουν την ευθεία ε 3 : 4x+3y - 5=0 στα σημεία Γ και Δ αντιστοίχως ώστε (ΓΔ)=5. Βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των ε 1, ε. 71

12 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 74. Αν Α'(x,y ) είναι το συμμετρικό του Α(x 1,y 1 ) ως προς την ευθεία : ε:αx+βy+γ=0, δείξτε ότι ισχύουν : i) α(x 1 +x )+β(y 1 +y )+γ=0, ii) β(x 1 x )=α(y 1 y ). 75. Να οριστεί η τιμή του λ R ώστε οι ευθείες : 4x - y =1, 3x+9y -1=0, και (λ - 1)x+(λ+3)y -7λ+13=0,να έχουν κοινό σημείο. 76. Δείξτε ότι αν τα σημεία : Α(x 1,y 1 ), Β(x,y ), Γ(λ 1 x 1 +λ x, λ 1 y 1 +λ y ),είναι συνευθειακά, τότε ισχύει ότι λ 1 +λ = Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : ε 1 : μx +(μ - 1)y=4 και ε : (3μ+1)x - μy=7. Να βρεθεί ο μ για να είναι οι ευθείες κάθετες και να βρεθεί το σημείο τομής τους. 78. Για ποια τιμή του κ R οι ευθείες : κx+y+1=0, x+κy+1=0, x+y+κ=0,έχουν κοινό σημείο και να βρεθεί το σημείο αυτό. 79. Για ποια τιμή του μ οι ευθείες : μx+(x+3)y+μ+6=0 και (μ+1)x+(μ - 1)y+μ -=0, τέμνονται σε ένα σημείο του άξονα y'y. 80. Για ποια τιμή των λ,μ R οι ευθείες : λx - y - 1=0 και 6x - 4y - μ=0 i) τέμνονται ii) είναι παράλληλες iii) ταυτίζονται. 81. Αν Α(α,β), Β(γ,δ) και Γ(κα+λγ, κβ+λδ), να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. 8. Δίνονται τα σημεία : Α ( α, ), Β ( β, ), Γ(γ, ), Δ ( δ, ). Να δειχθεί ότι α β γ δ η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΓΔ, αν και μόνο αν ισχύει αβγδ= Να βρεθεί το κ R - {-, 0, }, ώστε οι ευθείες : ε 1 : (κ - )x +κy +7=0 και ε : (κ - 40)x + (κ - 4)y - 5κ+1=0, να είναι κάθετες. 84. Να βρεθεί το κ R, ώστε η εξίσωση ε κ : κx+κ(κ - 1)y +5κ - 3=0, να είναι εξίσωση ευθείας. 85. Δύο ευθείες ΑΓ και ΒΔ διέρχονται από τα σημεία Α(4,0), Β(-4,0) και τέμνουν την ευθεία x+y - 3=0 στα σημεία Γ και Δ. Αν (ΓΔ) = 4, να βρεθεί ο συντελεστής διευθύνσεως των παραλλήλων ευθειών. 86. Να βρεθεί το λ R, ώστε τα σημεία Α(λ+, 3), Β(1,1) και Γ(3, -), να είναι συνευθειακά. 87. ι) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(-3,4), Β(-1,0) και Γ(3,) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. ιι) Να βρείτε την εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας Β του τριγώνου ΑΒΓ. 7

13 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 88. Θεωρούμε τα σημεία Α(-1,), Β(,3), και Γ(4,1). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και σχηματίζει 3π γωνία με το ύψος ΑΔ του τριγώνου Να βρείτε την γωνία των ευθειών (ε 1 ε ) που έχουν εξισώσεις : ε 1 : μx - (μ+1)y+1-3μ=0 και ε : (3μ+1)x - (1 - μ)y + - 6μ= Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι Α(3,4), εφβ= Βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 1 και ΒΓ: x - y=1. Nα 91. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ έχουμε Α(-1,) και Γ(3,1). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Δ. 9. Το κέντρο ενός τετραγώνου είναι το σημείο Κ(1,) και η εξίσωση μιας πλευράς του είναι x+y - 1=0. Nα βρείτε τις εξισώσεις των άλλων πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών του τετραγώνου. 93. Θεωρούμε τις ευθείες ε 1 : x - y=3 και ε : 4x - 3y=1. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρική της ε 1 στην ε. 94. Δίνονται τα σημεία Α(1,-3), Β(4,0) και η ευθεία ε :x - y+=0. Nα βρείτε το σημείο Μ της ε για το οποίο ισχύει (ε,^ ΜΑ)=(ΜΒ,^ε). 95. Οι δύο διχοτόμοι τριγώνου έχουν εξισώσεις x - 1=0, x - y - 1=0 και μια κορυφή του έχει συντεταγμένες (4,-1).Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου. 96. Οι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ 1,λ και λ 3. Να αποδειχθεί ότι λ 1 λ +λ λ 3 +λ 3 λ 1 = Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών :ε 1 : x - y + 1 =0 και ε : x - 4y +3 = Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από τις ευθείες : ε 1 : 3x+4y+ = 0 και ε : 8x+6y - 3 = Nα βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων της γωνίας Α του τριγώνου, ΑΒΓ,με Α(,3), Β(1,0), Γ(4,). Ποια διχοτόμος είναι εσωτερική και ποια εξωτερική. 73

14 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 100. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε οι ευθείες :ε 1 : x+μy+1 = 0 και ε : μx+y+λ = 0 να είναι παράλληλες και η απόσταση τους να είναι Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(3,) και απέχουν από την αρχή των αξόνων 3 μονάδες. 10. Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : ε 1 : 4x - 3y +1 = 0 και ε : 3x+4y - 5 = 0 Αν σε αυτές βρίσκονται οι διαγώνιες ενός τετραγώνου πλευράς, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Αν το σημείο Α(-3,) είναι κορυφή τετραγώνου με διαγώνιο x - 1=0, να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία : ε 1 : 4x+3y - 1 = 0 και απέχουν από αυτή απόστάση Δίνονται τα σημεία Α(0,0) και Γ(-1,3). Να βρεθούν τα σημεία Β(α,β) και Δ(γ,δ) ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Να δειχθεί ότι το άθροισμα των αποστάσεων του τυχαίου σημείου Κ της βάσης ΒΓ από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,-1) φέρουμε το ύψος ΒΚ και την διχοτόμο ΒΛ. Αν οι εξισώσεις του ύψους ΒΚ και της διχοτόμου ΒΛ είναι : ΒΚ : 7x - 10y +1 = 0 και ΒΛ : 3x - y +5 = 0 να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του ΑΒΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με εξισώσεις πλευρών : a α α ΑΒ : y=κx+, BΓ : y=μx+, ΓΑ : y=ρx+, κ,μ,ρ R*. κ μ ρ Aν κ μ ρ, να δείξετε ότι το ορθόκεντρο του ΑΒΓ βρίσκεται στην ευθεία που έχει εξίσωση x+α= Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3κ, 5), Β(4-8κ, 4κ) και Γ(κ+6, -κ). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τριγώνου Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου για τα οποία (ΜΑ) + (ΜΒ) - (ΜΓ) = κ,όπου Α,Β,Γ τρία σταθερά σημεία και κ σταθερό Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία x-3y+1=0 και απέχει από το σημείο Α(,-1) 3 μονάδες. 74

15 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 11. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α(,1), Β(4,-1) Γ(- 4,1), Δ(-1,-3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις ευθείες ε 1 : x+y - =0, ε : 3x+y - 4 = 0, έτσι ώστε οι 3 ευθείες να σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν 3 τετραγωνικές μονάδες Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι εξισώσεις δύο πλευρών είναι 3x+4y - 5 = 0 και 3x+4y+7 = Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 100,8 τ.μ, κορυφή Α(4,) και βάση ΒΓ με εξίσωση x - y+ 6 = 0. Nα βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x - 3y +1) - (3x+y - ) = 0, παριστάνει δύο ευθείες και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες με την διχοτόμο της γωνίας xoy Nα αποδείξετε ότι α R η εξίσωση : (α - 1)x + (3α+4)y +(4α+9) = 0, παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που ορίζονται από την παραμετρική εξίσωση : (λ - 3λ+1)x + (λ +1)y +(λ - 6λ - 1) = 0 (λ R), για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από σταθερό σημείο, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες Θεωρούμε την εξίσωση :(α 3 +3α - 4)x + (α )y +(α 3-3α +5) = 0, α R i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του α. ii) Να εξετάσετε αν όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο 10. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(3λ - 1, 4-5λ), λ R. 11. Μια μεταβλητή ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(3,1) και τέμνει τους άξονες x'x και y'y στα σημεία Β, Γ αντίστοιχα. Σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΟΒΜΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ. 1. Αν το σημείο Α(x 0,y 0 ) κινείτε πάνω στην ευθεία 3x+5y = 0, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ(x 0 +1, 5y 0-4). 13. i) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου α R για τις οποίες καθεμιά από τις εξισώσεις : 3(α - )x - (α - )y - 4α - 1 = 0 και (α - )x + (α - )y +α -3 = 0 παριστάνει ευθεία. ii) Για τις παραπάνω τιμές του α, να αποδείξετε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται. ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών κινείται σε σταθερή ευθεία. 75

16 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 14. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : y = -x, ε : y = x +1. Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : d(m, ε 1 ) : d(μ, ε ) = Να βρεθεί η εξίσωση της δέσμης των ευθειών με κέντρο το σημείο τομής των ευθειών 3x+y - 13 = 0 και x - y - = 0. Nα βρεθεί η ευθεία της δέσμης που διχοτομεί το τμήμα ΑΒ που έχει άκρα τα Α(3, -4) και Β(-1, -). 16. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών της δέσμης ε κ :(x+3y - 9)+κ(4x+y-13)=0 που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με τις ευθείες : ε 1 : 3x - 4y+7 = 0 και ε : 4x +3y +11 = Από το σημείο Α(-1,1) διέρχεται ευθεία ε, τέτοια ώστε το τμήμα αυτής που βρίσκεται μεταξύ των ευθειών ε 1 : x+y - 1 = 0 και ε : x+y - 3 = 0 να διχοτομείται από την ευθεία x - y - 1 = 0. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. 18. Δίνεται ευθεία ε : y - x = 0 και τα σημεία Α(1,-1) και Β(1,0). Να προσδιορίσετε το σημείο Μ της ευθείας ε, ώστε η διχοτόμος της γωνίας ΑΜΒ να είναι κάθετη στην ε. 19. Να προσδιοριστεί το β R, ώστε η εξίσωση : x +βy - 4xy +3x - 5y +β - 1 = 0, να παριστάνει δύο ευθείες και οι οποίες να προσδιοριστούν Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : 1x 3 +8x y - 3xy - y 3 = 0 ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων., παριστάνει σύστημα 131. Δίνονται τα σημεία Α(,0) και Β(0,4). ι) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου (μ) του τμήματος ΑΒ. ιι) Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Β και π σχηματίζει με τη μεσοκάθετο γωνία. 4 ιιι) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο τομής των ευθειών (μ) και (ε), ώστε το άθροισμα των συντεταγμένων επί την αρχή να είναι ίσο με Δίνεται το τετράγωνο με κορυφή (κ,κ),με κ -1. Η εξίσωση της μιας διαγωνίου του τετραγώνου είναι x+y+ = 0. Nα βρεθούν συναρτήσει του κ, οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του τετραγώνου και να προσδιοριστεί η τιμή του κ, αν το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 4 τ.μ Δίνονται οι κάθετες ευθείες ε 1 :κx -y+1=0 και ε :x+μy=0.να προσδιορισθούν οι τιμές του κ και μ, ώστε η ευθεία ε:x - y - = 0, να σχηματίζει με τις ε 1, ε ισοσκελές τρίγωνο. 76

17 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 134. Μια πλευρά ρόμβου έχει εξίσωση x y = 0 και μια κορυφή του είναι το σημείο Α (, ). Αν Κ (4, 8) είναι το κέντρο του ρόμβου να βρεθεί το εμβαδόν του Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β (7, 4) και Γ (5,1). Αν η κορυφή του Α έχει συντεταγμένες (k 3, 3k + 1), να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της. Κατόπιν να δειχθεί ότι το εμβαδό του τριγώνου είναι σταθερό, χωρίς να υπολογισθεί Δίνονται τα σημεία Α (, 3) και Β (4, 5). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ (x, y) του επιπέδου, ώστε να σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΜ εμβαδού 9 τετραγωνικών μονάδων Δίνεται ευθεία ε με συντεταγμένες επί την αρχή α και β. Τυχαίο σημείο Ρ της ε προβάλεται στα σημεία Α και Β των αξόνων ; x x και ψ ψ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ της Α Β για τα οποία A' M = MB' Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (λ, λ), Β (0, λ) και Γ (3λ, 4λ 5), λ R. Να βρεθεί η γραμμή την οποία διαγράφει το βαρύκεντρο του τριγώνου Αν το Α (3, -1) είναι η κορυφή ισοσκελούς τριγώνου και η 3x 4y + 1 = 0 η εξίσωση της βάσης ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 5 τετρ. μονάδες, να βρεθούν οι άλλες δύο κορυφές Δίνεται η ευθεία (ε) : x 3y 6 = 0. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία αυτή και τους δύο άξονες ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη προς την (ε) : 3x + 5y + = 0 και σχηματίζει με τους άξονες x x και y y τρίγωνο εμβαδού 30 τετραγ. μονάδων. 14. Αν Α (3, 4) και Β (5, -) να βρείτε το σημείο Μ ώστε το εμβαδόν του ισοσκελούς τριγώνου ΜΑΒ να είναι 10 τετρ. μονάδες Να δειχτεί ότι η εξίσωση (x + 3y + 9) (x y +1) = 0 (1) παριστάνει δύο ευθείες. Μετά να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι δύο αυτές ευθείες με την (ε) : x y 50 = Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι (ε 1 ) : 3x 4y + 16 = 0 και (ε ) : 3x 4y 14 = Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α (-,-3), Β (5, -), Γ (4, 5) και Δ (-1, 4) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη της ευθείας (ε) : x y + 3 = 0 και που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τετραγωνικών μονάδων. 77

18 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 147. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(1, ) και σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία ω ίση με: i) 30 o ii) 10 o iii) 0 o iv) 90 o 148. Να αποδείξετε ότι: i) τα σημεία Α(1, ), Β(3, 6) και Γ(4, 10) είναι κορυφές τριγώνου, ii) τα σημεία Α(1, ), Β(3, 6) και Γ(4, 8) δεν είναι κορυφές τριγώνου Να βρείτε τι παριστάνουν οι εξισώσεις: i) xy y = 0 ii) x 5x+ 6= 0 iii) x + y = 0 ( )( ) iv) x y+ 1 = 0 v) x+ 1 = y 150. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(6 3λ, 1 + λ) όταν το λ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x y 4λy λx 3λ = 0 παριστάνει δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες ε 1, ε και ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή (ανεξάρτητη του λ) ευθεία καθώς το λ μεταβάλλεται. 15. Να βρείτε ην εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1, ) και τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε x'x y 'y BP = PA Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (, 1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις y = 3x+ 11 και y = x+ 3 Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου Οι δύο πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με 1 εξισώσεις y = x+3 και y = x + 5 και μια κορυφή του είναι το σημείο Α(4, 1). Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι άλλες δύο πλευρές Δύο πλευρές ενός παραλληλογράμμου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις 8 y = x + 6 και y = x ενώ μια διαγώνιός του βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y = x+. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. 78

19 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 156. Δίνονται οι ευθείες ε : y = x + 3 και : y = 4x+ 7 1 ε, καθώς και το σημείο Μ( 1, ). Να βρεθεί η εξίσωση κάθε ευθεία ε, η οποία διέρχεται από το Μ και τέμνει τις ε1, ε στα σημεία Α, Β αντίστοιχα έτσι, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(, 0) και τέμνει τις ευθείες ε : y = x+ 4 και : y x 1 ε 6 = + στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε (ΑΒ) =. 1 1 ii) Ομοίως αν Ρ(0, 1), ε 1 : y = x, ε : y = x + 1 και (ΑΒ) = Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο (1, ), ενώ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο διάμεσοί του είναι οι ε : x 3y+ 1= 0 και ε : y 1 1 =. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1, 5) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι διάμεσοι ΒΕ και ΓΖ του τριγώνου είναι οι ε 1 :5 x 3 y+ 14 = 0 και ε : y x 4 = + αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται η πλευρά ΑΒ, η διάμεσος ΓΜ 4 10 και το ύψος ΑΔ έχουν εξισώσεις y = x, y = x και y = x+ 3αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ Η κορυφή Α ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1, ). Μια πλευρά και μια διάμεσός του βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = x 5 και x = αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 16. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (0, 3) και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε : y = 1 και ε : y = x αντίστοιχα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β(1, ) και Γ(8, 3). Αν y = x είναι η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται μια διχοτόμος του, να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ΑΒ και ΑΓ Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει: i) τον άξονα x ' x σε σημείο με τετμημένη και τον άξονα y' y σε σημείο με τεταγμένη 3, ii) την ευθεία x = 5 σε σημείο με τεταγμένη 4 και της ευθεία y = σε σημείο με τετμημένη 1, iii) την ευθεία y = x 1 σε σημείο με τετμημένη 4 και την ευθεία y = x+ 1 σε σημείο με τεταγμένη.

20 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) 165. Δίνονται οι ευθείες ε : λx+ λ+ 1 y+ 1= 0 1 και ε : x+ y λ + = 0. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των ε1, ε. ii) Αν οι ε1, ε τέμνονται, να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται, το σημείο τομής τους ανήκει σε σταθερή ευθεία Δίνονται οι ευθείες ε ( μ ) x+ μy = μ ε ( μ ) x ( μ ) y μ : 1 και : = +, 1 μ. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ε1, ε για τις διάφορες τιμές του μ, ii) Αν οι ευθείες ε1, ε τέμνονται, να αποδείξετε ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία, την οποία και να προσδιορίσετε Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε :λx 1 ( λ+ 1 ) y+ μ = 0 και ε : ( 3λ+ 1 ) x+ ( λ 1 ) y+ κ = Να βρεθεί η εξίσωση της ευθεία ζ, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1, ) και σχηματίζει με την ευθεία ε :x = 4 οξεία γωνία θ ίση με 60 o Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β(1, 1), Α(α, 0) και Γ(0,γ), όπου α, γ θετικοί με α + γ =. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και ότι η κορυφή Δ ανήκει σε σταθερή ευθεία (ανεξάρτητη των α, γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η ευθεία ε :( 3α 5) x+ ( α 3) y 4α + 8= 0 ισαπέχει από τα σημεία Α(4, 3) και Β(3, ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών 3 ε : y = x ε 1 : y = x και 17. Να βρεθεί το σημείο του άξονα y' y που ισαπέχει από την αρχή των αξόνων και από την ευθεία ε :4x 3y+ 4= Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε : x+ y = 0 που απέχουν από την ευθεία ζ :3x+ 4y 10= 0 απόσταση ίση με. 80

21 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 174. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, οι οποίες είναι κάθετες προς την ευθεία ε : 6x 3y+ 10 = 0 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(1, 4) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x + y 4xy 8x+ 4y+ 3=0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζουν οι ευθείες αυτές με τους άξονες θ θ θ θ π π Δίνονται τα σημεία Α ημ, συν και Β συν, ημ με θ,. Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ, ii) την τιμή του θ για την οποία το τρίγωνο ΟΑΒ έχει το μέγιστο εμβαδόν Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ που έχει κορυφές τα σημεία Α(4, ), Β(6, 0), Γ(1, ), Δ(, ) 179. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη προς την ευθεία ε :3x 4y+ 10= 0 και απέχει από το σημείο Μ(6, ) απόσταση ίση με Να βρείτε για ποιες τιμές του μ η εξίσωση μ x+ μ+ 1 y μ+ 5= 0 ( ) ( ) παριστάνει ευθεία. Επίσης να βρείτε για ποιες τιμές του μ η ευθεία αυτή: i) είναι παράλληλη στον άξονα x ' x, ii) είναι κάθετη στον άξονα x ' x, iii) διέρχεται από το σημείο Ρ(3, 4), iv) διέρχεται από την αρχή των αξόνων, v) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με, vi) σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία 45 o Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε :x = : x 3 3y 1 και ε + κ = 0. 81

22 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης: (i) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α( 1,4) και Β (1, 6) (ii) Της ευθείας, η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ( 1,0) και Δ(0,) (iii) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην ΓΔ.. Να βρείτε τη γωνία, που σχηματίζουν με τον άξονα x x οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία: (i) Α ( 1,4) και Β (1, 6) (ii) Α( 1,3) και Β(0,4) (iii) Α (1, 3) και Β(1, 1) (iv) Α (,3) και Β(,3). 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α( 1, 1) και (i) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = (3, ) (ii) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = (0,1) (iii) Σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω = π / Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α( 1,0), Β (3, ) και Γ( 3,4). Να βρείτε: (i) Τις εξισώσεις των υψών του (ii) Τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών του. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α (3,1), Β(5,5), Γ(1, 3) και Δ ( 1, 1) είναι ρόμβος. Ποιες είναι οι εξισώσεις των διαγωνίων του; Να δείξετε ότι τα σημεία Α(1, 1), Β (,0) και Γ( 1, 3) είναι συνευθειακά. 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και Β ( α ημ θα, συν θ). Α( α συν θα, ημ θ) 8. Δίνονται τα σημεία Α (,3), Β ( 4,5) και Γ(3, 4). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή Α και το κέντρο βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, που διέρχονται από το σημείο Α ( 1,) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 8

23 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 10. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ του 1 3 τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου τα δύο ύψη έχουν εξισώσεις y = x+ και y = x + αντιστοίχως και η κορυφή Α έχει συντεταγμένες ( 1, 4). 11. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(,1) και τέμνει τις ευθείες y = x + 1 και y = x + 1 στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 1. Δίνονται τα σημεία P( κ,1/ κ ) και Q( λ,1/ λ). (i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας PQ. (ii) Αν η ευθεία PQ τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, να δείξετε ότι Α P=Β Q. 13. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α ( α,0) και x y Β (0, β ), είναι η + = 1. α β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x 1 και 3 3 τέμνει τους άξονες x x και yy στα σημεία Α και Β, ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματική τιμή του μ η εξίσωση ( μ 1)x+ μy+ μ =0παριστάνει ευθεία γραμμή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τον άξονα x x, πότε προς τον y y και πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 16. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α (,3) και είναι κάθετη στην ευθεία x 3 y+ 6=0. Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών x 5y+ 3= 0 και x 3y 7= 0 και είναι κάθετη στην ευθεία 4x + y = 1. Τα σημεία Α ( 4,6) και Γ ( 1,1) είναι οι απέναντι κορυφές ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ. Οι πλευρές ΒΓ και ΓΔ του παραλληλόγραμμου ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις x+ 3y = και x y+ = 0 αντιστοίχως. Να υπολογίσετε: (i) Τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. (ii) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου. 83

24 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 19. Να βρείτε την τιμή του λ R, ώστε οι ευθείες και λx+ 3y+ 1 λ = 0 να είναι κάθετες. ( λ 1) x+ λ y+ 8= 0 0. Να βρείτε την τιμή του κ R, ώστε η ευθεία 3x+ 3y+ κ = 0 να διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 3x+ 4y+ 6=0 και 6x+ 5y 9= Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις: (i) x y + 4y 4=0 (ii) x y 4x+ y+ 3= 0.. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (α + α + 3) x+ ( α α + 1) y+ (3α + 1) = 0, α R διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες x+ 4y = 5, 3x y = 1 και 7x 8y+ 1= 0 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 4. Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες (1 + μ) x = (1 μ) y. y = μx και Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από x y x y το σημείο τομής των ευθειών + = 1 και + = 1. α β β α Δίνεται η ευθεία 3x+ y = 3 και το σημείο Α (1, ). Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή. x y Δίνεται η ευθεία ε : + = 1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι α β κάθετη στην ε στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα x x. 8. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α(,3) από την ευθεία (i) x+ y+ 1= 0 (ii) y = x 3 x y (iii) + = 1 3 (iv) 5x+ 3y+ 1 = 0 9. Δίνονται οι ευθείες ε1 : 5x 8y 51= 0 και ε : 5x 8y+ 68= 0. (i) Να δείξετε ότι ε1// ε (ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις (iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των και ε. ε1 και ε ε1 84

25 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 30. Δίνονται οι ευθείες ε1 : 4x 3y 9= 0 και ε : 4x 3y 4= 0. (i) Να δείξετε ότι ε1// ε (ii) Να βρείτε ένα σημείο της ε 1 και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των και ε. ε1 31. Ποιο σημείο της ευθείας x 3y = 30 ισαπέχει από τα σημεία Α (1, 3) και Β (7,9) ; 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες. 33. Η ευθεία ε : 3x y+ 1= 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε1 και ε, που απέχουν 8 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. 34. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές: (i) Α(0,0), Β(6,0), Γ (4,3) (ii) Α(, 4), Β(, 6), Γ(5, 4) (iii) Α(1, ), Β(3, 4), Γ( 5, 4). 35. Δίνονται τα σημεία Α (5,1) και Β (1, 3). Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα οποίο το εμβαδόν του τριγώνου Μ ΑΒ είναι ίσο με 7. x x, για το 36. Δίνονται τα σημεία Α (3, 4) και Β(5, ). Να βρείτε το σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ΜΑ = ΜΒ και ( ΜΑΒ ) = Ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ οι τρεις κορυφές του έχουν συντεταγμένες ( 3,1), (,3) και (4, 5). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου. 38. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σημεία Α (,0) και Β (0,). 39. Να βρείτε το σημείο του άξονα x x, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία 5x+ 1y 60= Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ(1, ) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο ( 1,3) Α απόσταση ίση με Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x y+ = 0, τα οποία απέχουν από την ευθεία 1x 5y+ 60 = 0 απόσταση ίση με 1. 85

26 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 43. Να δείξετε ότι τα σημεία Α( α, β), Β( γ, δ ) και Γ( α γ, β δ) είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν αδ = βγ. 44. Δίνονται τα σημεία Α ( α,0) και Β (0, β ). Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τους άξονες στα σημεία P( p,0) και Q (0, q), να δείξετε ότι: (i) αq+ β p= pq (ii) α p+ βq= 0. Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β. 45. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3x 4y+ 1=0 και 5 x+ 1y+ 4= Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 7 x y+ 1= 0 και x 3y+ 5= 0 και απέχει από το σημείο Α (3, ) απόσταση ίση με Δίνονται τα σημεία Α ( 1, ) και Β (3,1). Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ( ΜΑΒ ) = Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M (1, 0) και τέμνει τις ευθείες y = x+ και y = x στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι, ώστε ( ΑΒ ) =. 49. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λx+ ( λ 1) y = λ και ( λ + 1) x+ λy = λ+ 1 τέμνονται για όλες τις τιμές του λ R. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους; 50. Αν οι τρεις ευθείες ακx + βκy = 1, με κ = 1,, 3, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία ( α, β ), κ = 1,,3, είναι συγγραμμικά. κ κ 51. Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α ( α, β ) με το σημείο τομής των x y x y ευθειών + = 1 και + = 1. α β β α 5. Αν οι ευθείες x y x y + = 1 + = 1 α β και Α Β είναι παράλληλες με Α > α και β > 0, να β ( Α α) δείξετε ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι. α + β 53. Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση x 4xy+ y = 0 παριστάνει δύο ευθείες. 0 (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την x y = 0 γωνία

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε αν οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο. Έπειτα να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους. i) x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 (Απ.: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4) x 2 + y 2 2x + 4y + 5 =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα