2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα x x μια ευθεία ε, η οποία διέρχεται από τα σημεία: α) Α (- 6, - ) Β (3, 7) β) Α (1, 3) Β (, 4) γ) Α ( 3, 3) Β (0, 4) δ) Α (1, - 1) Β (1, ) ε) Α (0, 3 ) Β (1, 0) 3. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α (-, 3), Β (- 6, 1) και Γ (- 10, - 1) είναι συνευθειακά. 4. Δίνονται τα σημεία Α (7, 5), Β (6, - 7) και Γ (, 3). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (3, - ) και: α) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (, - 5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (0, 3) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (-, 0) δ) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ (, 1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ (0, - ) στ) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (- 1, ), Β (3, - ) και Γ (1, 4). Να βρεθούν: α) οι εξισώσεις των πλευρών του β) οι εξισώσεις δύο υψών του γ) οι εξισώσεις δύο διαμέσων του δ) οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του ε) οι συντεταγμένες του ορθοκέντρου του 61

2 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. στ) οι συντεταγμένες του βαρυκέντρου του ζ) οι συντεταγμένες του εκκέντρου του η) οι συντεταγμένες του περικέντρου του. 8. Στο επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α (κσυνφ, λημφ), Β (κημφ, - λσυνφ) και Γ (κ, λ), όπου κ, λ R και 0 < φ < π. Για ποιες τιμές του φ τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά; 9. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: 3x + 4y - 11 = 0 και x - 3y + 1 = 0 και είναι: α) παράλληλη προς την ευθεία x + y + 1 = 0 β) κάθετη προς την ευθεία 3x - y + 5 = 0 γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στον άξονα x x ε) παράλληλη στον άξονα y y στ) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων ζ) παράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων η) σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 3 τ.μ. 10. Τα σημεία Μ 1 (1, 1), Μ (, ) και Μ 3 (3, - 1) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές ενός παραλληλογράμμου. Να βρεθούν: α) οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του β) οι συντεταγμένες του κέντρου του γ) το εμβαδόν του 11. Μια κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των ευθειών x - 3y + 0 = 0 και 3x + 5y - 7 = 0 και η μια διαγώνιός του βρίσκεται επί της ευθείας x + 7y - 16 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του. 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: x - 3y - 1 = 0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 τ.μ. 13. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρό του. Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ γ) τις εξισώσεις των πλευρών του 6

3 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 14. Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α (1, ) και οι εξισώσεις x - 3y + 1 = 0 και y - 1 = 0 δύο διαμέσων του. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. 15. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: α) ε 1 : 3x - y + 1 = 0 και ε : - 6x + y - 3 = 0 β) ε 1 : x = 4 και ε : x = - 6 γ) ε 1 : y = x και ε : y = x Το σημείο A (3, - 1) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓΔ, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση 3x - y - 5 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του. 17. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ + ) x + λy + 3λ - 1 = 0 και ε : (λ - 1) x + λy + 5 = 0. Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι ε 1 // ε. 18. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (μ + 1) x + (μ + ) y = 0 και ε : μx - (3μ + ) y + 7 = 0. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε 1 και ε να είναι Οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου είναι: 3x + 4y - 7 = 0, x + y + = 0 και x + 3y - 5 = 0. Ζητούνται: α) οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου β) το εμβαδόν του Δίνονται τα σημεία Α (, 1), Β (6, 4) και Γ (, 6). α) Να δειχθεί ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογωνίου παραλλη-λογράμμου ΑΒΓΔ. γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ. 1. Αν οι ευθείες ε 1 : x - y + 1 = 0 και ε : x + y + 3 = 0 είναι οι φορείς των δύο πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου και Α (, - 1) μια κορυφή του, να βρεθούν οι άλλες κορυφές και το εμβαδόν του.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (ημω, συνω) και Β (ημφ, συνφ). Να βρεθεί η απόσταση του Ο (0, 0) από αυτήν (0 ω φ < π ). 63

4 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνονται τα σημεία Α (λ, 0), Β (λ, 3λ), λ 0. Αν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α τέμνει την ευθεία x = - λ στο Γ, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 4. Έστω οι ευθείες ε 1 : x - 3y + 1 = 0, ε : - x + 4y + 3 = 0 και το σημείο Α (1, - ). Να βρεθεί σημείο Μ της ε, ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην ε Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία Α (1, - ), Β (-, 3), Γ (- 1, - 4) και Δ (5, 0). 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y - 3xy - x = 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; 7. Τα σημεία Α (1, 0) και Β (3, 6) ισαπέχουν από το σημείο Γ (- 4, λ). Να υπολογιστεί η τιμή του λ. 8. Δίνονται τα σημεία Α (4, ), Β (3, - 1) και η ευθεία ε: y = - 3x. Να βρεθεί σημείο Γ της ευθείας ε, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β. 9. Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. 30. Για ποιες τιμές των λ, μ R οι ευθείες ε 1 : (μ + 1) x - μy = λ και ε : (μ - 1) x - 3y = λ - 1: α) τέμνονται, β) είναι παράλληλες, γ) συμπίπτουν. 31. θ θ Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση xσυν + yημ + συνθ - 1 = 0, θ [0, π] παριστάνει ευθεία, η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο. 64

5 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3. Θεωρούμε τις ευθείες ε: αx + βy + γ = 0, ε 1 : αx - βy + γ = 0, ε : αx - βy - γ = 0 και ε 3 : αx + βy - γ = 0 (α, β, γ 0). Να αποδείξετε ότι: α) η ε 1 είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον x x β) η ε είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον y y γ) η ε 3 είναι συμμετρική της ε ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. 33. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση x + y = 1. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ (, 3) ως προς άξονα συμμετρίας την (ε). 34. Να εξετάσετε αν η ευθεία λx + λy + 5λ = 3y - x + 7 διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. 35. Θεωρούμε την εξίσωση (λ + λ - 3) x - (λ + λ - ) y - 5λ - 3λ + 8 = 0 (1) Για ποιες τιμές του λ R η (1) παριστάνει ευθεία; 36. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ - 1, λ + 3), λ R. 37. Τριγώνου ΑΒΓ οι κορυφές είναι Α (-, κ), Β (κ, κ) και Γ (κ -, - κ), κ R. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου βάρους του τριγώνου. 38. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες 3x - y + 4 = 0 και 3x - y + 6 = Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x - y - 4λy - λx - 3λ = 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο αυτών ευθειών. 40. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων τα τετράγωνα των αποστάσεων από τα σημεία Α (3, ) και Β (- 1, ) έχουν σταθερή διαφορά c είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ. 41. Να εξετάσετε αν η ευθεία x y = 4 ανήκει στην οικογένεια ευθειών που έχει εξίσωση (x + y - 4) + λ (x - 3y - 4) = Φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Σ (, 3) και προσπίπτουσα στην ευθεία x + y + 1 = 0, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο Μ (1, 1). Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλόμενης ακτίνας. 43. Ένα σημείο P του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία y = x. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο Ρ του Ρ ως προς την ευθεία x + y - 1 = 0 κινείται πάνω στην ευθεία 7x - y - = 0. 65

6 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 44. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) στις ακόλουθες περιπτώσεις: Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη σε ευθεία (ε ). α) Α (1, - 1) και (ε ): x + y - 1 = 0 β) Α (, - 3) και (ε ): x = - 3 γ) Α (-, 1) και (ε ): y = - 1 Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και είναι κάθετη σε ευθεία (ε ). α) Α (- 1, 1) και (ε ): x + y + 1 = 0 β) Α (4, - 3) και (ε ): x + 1 = 0 γ) Α (, - 1) και (ε ): y = 4 Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x x. α) Α (-, 3) και φ = 30 β) Α (4, - 5) και φ = 90 γ) Α (3, - 3) και φ = 135 Τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (x 1, 0) και Β (0, y ). α) Α (4, 0) και Β (0, 4) β) Α (- 3, 0) και Β (0, 1) Είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών (ε 1 ) και (ε ). α) (ε 1 ): 3x - y + 1 = 0 και (ε ): - 6x + y - 3 = 0 β) (ε 1 ): x = 4 και (ε ): x = - 6 γ) (ε 1 ): y = x και (ε ): y = x - 3 Απέχει απόσταση d από γνωστή ευθεία (ε ). α) d = από (ε ): x + y - 1 = 0 β) d = 4 από (ε ): y = 3 Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και απέχει απόσταση d από το Β (x 1, y 1 ). 66

7 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Α (3, - 1) και απέχει d = από το Β (, ) β) Α (, 1) και απέχει d = 1 από το Β (0, 0) Είναι μεσοκάθετη σε γνωστό τμήμα ΑΒ. α) Α (-, 1) και Β (, 3) β) Α (3, 0) και Β (0, - 5) Είναι άξονας συμμετρίας του ΑΒ με Α, Β γνωστά σημεία. α) Α (1, - 1) και Β (- 1, 3) β) Α (- 3, 4) και Β (4, - 3) Διέρχεται από σημείο Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει γωνία φ με γνωστή ευθεία (ε ). α) Α (, 1) και φ = 45 με την x - y + 1 = 0 β) Α (-, 1) και φ = 30 με την y + = 0 Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη σε διάνυσμα ν. α) Α (3, - ) και ν = (0, 1) β) Α (-, - 3) και ν = (, 3) γ) Α (- 1, 0) και ν = (- 4, 0) Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και είναι κάθετη σε διάνυσμα ν. α) Α (5, - ) και ν = (- 1, 3) β) Α (-, ) και ν = (0, 4) Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει γωνία φ με το διάνυσμα ν. α) Α (1, - ) και φ = 60 με το ν = (1, 1) β) Α (0, 3) και φ = 45 με το ν = (, 1) Διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο σταθερού εμβαδού. 67

8 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α) Α (- 1, ) και εμβαδόν 3 τ.μ. β) Α (- 1, 0) και εμβαδόν τ.μ. 45. Τον Δεκέμβριο το καλοριφέρ μιας κατοικίας λειτούργησε 4 ώρες την ημέρα και το κόστος έφτασε τις δρχ. ενώ τον Ιανουάριο που λειτούργησε 5 ώρες την ημέρα το κόστος ήταν δρχ. Αν η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος είναι y = αx + β, όπου x οι ώρες λειτουργίας, να βρεθούν: α) οι τιμές των α, β β) το προβλεπόμενο κόστος για τον Φεβρουάριο, αν λειτουργήσει 4,5 ώρες την ημέρα (8 ημέρες). 46. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π 1, Π είναι Π 1 (t - 1, t + ) και Π (3t, 3t - 1) για κάθε χρονική στιγμή t (t > 0). α) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = Η πορεία δύο κινητών που κινούνται ευθύγραμμα ξεκινώντας από τα σημεία Α και Β αντιστοίχως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. y α) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σημείων Α και Β. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ. Γ 60 x γ) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Β από την ευθεία στην οποία κινείται το άλλο κινητό. δ) Να εξετασθεί αν τέμνονται οι διευθύνσεις των δύο A(-3,-1) B(-5,1) κινητών. 48. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο Α (, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π (λ - 1, + λ), λ R. α) Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του Α; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α, όταν κινείται ευθύγραμμα. γ) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 68

9 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 49. Μια τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει τρεις εισόδους, μία σε κάθε κορυφή. Ο αρχηγός της κατασκήνωσης (του οποίου η σκηνή βρίσκεται κάπου μέσα στην κατασκήνωση) θέλοντας να βρει το εμβαδόν της κατασκήνωσης, αποστέλλει τρεις κατασκηνωτές (εφοδιασμένους με πυξίδες και χιλιομετρητές) να μετρήσουν τις αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του. Ο πρώτος προχωρά km βόρεια και αμέσως μετά 1 km ανατολικά και εκεί συναντά την πρώτη είσοδο. Ο δεύτερος προχωρά 3 km ανατολικά και 1 km νότια και εκεί συναντά τη δεύτερη είσοδο. Ο τρίτος προχωρά km δυτικά και συναντά την τρίτη είσοδο. α) Να τοποθετήσετε, σε ένα πρόχειρο σχέδιο, τη σκηνή του αρχηγού και τις εισόδους, αφού πρώτα χαράξετε τις πορείες. β) Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες των τριών εισόδων σ αυτό το σύστημα. γ) Να βρείτε το εμβαδόν της κατασκήνωσης. 50. Σε ένα εργοστάσιο ο νέος διευθυντής ζήτησε να ενημερωθεί για την οικονομική πορεία της επιχείρησης από το έτος που ιδρύθηκε. Οι υπεύθυνοι των οικονομικών του παρέδωσαν το παρακάτω σχεδιάγραμμα: y 3 ε 1 ε ε 1 η ευθεία των εσόδων ε η ευθεία των εξόδων Οx ο άξονας των ετών λειτουργίας Οy ο άξονας των εκατοντάδων εκατομμυρίων δραχμών 1 Ο 4 x α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε 1, ε. β) Να βρείτε πόσα χρόνια μετά την έναρξη της λειτουργίας της, η επιχείρηση αρχίζει να έχει κέρδη. γ) Να βρείτε το κέρδος (έσοδα μείον έξοδα) της επιχείρησης τον τέταρτο χρόνο της λειτουργίας της. δ) Πότε η επιχείρηση θα παρουσιάσει κέρδος 300 εκατομμύρια (3 εκατοντάδες εκατομμύρια); 51. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxy ένα πλοιάριο ξεκινά από ένα λιμάνι Α και κατευθύνεται στο λιμάνι Ο. Το ραντάρ θέσης για κάθε χρονική στιγμή t δίνει συντεταγμένες για το πλοιάριο (t - 40, t - 30), t 0. 69

10 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α) Πού βρίσκεται στο χάρτη το λιμάνι Α; β) Πόσο απέχει το λιμάνι Α από το Ο; γ) Είναι σωστή η πορεία του πλοιάριου; Ποια είναι η εξίσωσή της; 5. Δίνονται οι ευθείες ε 1,ε με εξισώσεις x - y+7 = 0 και x+y - 4=0 αντιστοίχως : i) Να δείξετε ότι ε 1 ε και να βρείτε το σημείο τομής τους Α. ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία x - y +4 = α) Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(4,-3) και Β(-,5). β) Να βρείτε το λ R έτσι ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σημείο Γ(- 3,λ-1). 54. Να βρεθεί η ευθεία που περνά από την τομή των ευθειών με εξισώσεις 3x - y+14=0 και x+y=6, αντίστοιχα και είναι κάθετη στην ευθεία 5x - 6y= Δίνονται τα σημεία Α(,3) και Β(3,4). Αν Μ(x,y) είναι το μέσον του ΑΒ δείξτε ότι x - y+1= i) Να βρείτε τις τιμές του λ R για τι οποίες η εξίσωση :(λ - 3λ+)x+(λ λ )y+3 - λ=0, παριστάνει ευθεία. ii) Πότε η παραπάνω ευθεία είναι : α) Παράλληλη στον x'x β) Παράλληλη στον y'y γ) Παράλληλη στο διάνυσμα α =( 1, - ). 57. Να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε οι ευθείες με εξισώσεις :(λ+1)x - 3λy - =0 και 3λx +(λ+)y+1=0, να είναι κάθετες. 58. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματική τιμή του α οι ευθείες : ε 1 : αx - (α+1)y = 3α - 1 και ε : (3α+1)x+(α - 1)y = 6α - τέμνονται και να βρείτε το σημείο τομής τους. 59. Τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Δ(-1,4), Ε(5,4), Ζ(,-1). Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του. 60. Δίνονται τα σημεία Α(3,0), Β(1,4) και η ευθεία ε: x+y - =0. Nα βρείτε σημείο Μ της ε για το οποίο το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. 61. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : x+y - 3=0, ε : 4x - 3y+1=0 και το σημείο Α(1,-).Να βρείτε σημείο Β της ε τέτοιο ώστε το μέσον Μ του ΑΒ να είναι σημείο της ε 1 70

11 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ μια κορυφή έχει συντεταγμένες (1,4) και οι εξισώσεις των δύο υψών του είναι x - y+4=0 και 3x+y - 14=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και το τρίτο ύψος του. 63. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(,3), το ύψος ΒΔ : 3x - 4y+3=0 και η διάμεσος ΓΜ : 5x+9y - 16=0. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 64. Οι δύο πλευρές παραλληλογράμμου έχουν εξισώσεις x+3y - 4=0, 3x - y - 1=0 και το κέντρο του είναι το σημείο Κ(0,-).Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. 65. Δύο διάμεσοι τριγώνου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y=1 - x και y= - x, ενώ μια κορυφή του τριγώνου είναι το σημείο Α(1,). Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του. 66. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(,3) και ορίζουν στους άξονες συντεταγμένων τμήματα ισομήκη. 67. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(-1,0) και τέμνουν τις ευθείες y=x - 1 και y=x+ σε σημεία με απόσταση Δίνονται οι ευθείες :ε 1 : (λ - 1)x + (λ+1)y + (λ+5)=0 και ε : (λ - 1)x + (λ - )y + (λ - 3)=0.Nα βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες αυτές να τέμνονται σε σημείο του άξονα y'y. Ποιο είναι τότε το σημείο τομής τους. 69. Να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. 70. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το σημείο Ε του ύψους ΑΔ με 1 1 ΑΕ= ΑΔ. Θεωρούμε το σημείο Ζ της ΑΓ για το οποίο είναι ΑΖ= ΑΓ. 3 5 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. 71. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΜΓ και ΑΝΒ από τα οποία το πρώτο είναι έξω από το τετράγωνο και το δεύτερο μέσα σε αυτό. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Μ,Ν είναι συνευθειακά. 7. i) Δείξτε ότι τα τέσσερα σημεία Α(,9), Β(-3,1), Γ(-8,15), Δ(7,6) είναι σημεία της ίδιας ευθείας. ii) Να βρεθεί ο x R ώστε τα σημεία Α(-1,), Β(-,-3), Γ(x,-), να είναι συνευθειακά. 73. Δύο ευθείες παράλληλες οι ε 1, ε περνούν από τα σημεία Α(5,0) και Β(-5,0) αντίστοιχα και τέμνουν την ευθεία ε 3 : 4x+3y - 5=0 στα σημεία Γ και Δ αντιστοίχως ώστε (ΓΔ)=5. Βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των ε 1, ε. 71

12 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 74. Αν Α'(x,y ) είναι το συμμετρικό του Α(x 1,y 1 ) ως προς την ευθεία : ε:αx+βy+γ=0, δείξτε ότι ισχύουν : i) α(x 1 +x )+β(y 1 +y )+γ=0, ii) β(x 1 x )=α(y 1 y ). 75. Να οριστεί η τιμή του λ R ώστε οι ευθείες : 4x - y =1, 3x+9y -1=0, και (λ - 1)x+(λ+3)y -7λ+13=0,να έχουν κοινό σημείο. 76. Δείξτε ότι αν τα σημεία : Α(x 1,y 1 ), Β(x,y ), Γ(λ 1 x 1 +λ x, λ 1 y 1 +λ y ),είναι συνευθειακά, τότε ισχύει ότι λ 1 +λ = Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : ε 1 : μx +(μ - 1)y=4 και ε : (3μ+1)x - μy=7. Να βρεθεί ο μ για να είναι οι ευθείες κάθετες και να βρεθεί το σημείο τομής τους. 78. Για ποια τιμή του κ R οι ευθείες : κx+y+1=0, x+κy+1=0, x+y+κ=0,έχουν κοινό σημείο και να βρεθεί το σημείο αυτό. 79. Για ποια τιμή του μ οι ευθείες : μx+(x+3)y+μ+6=0 και (μ+1)x+(μ - 1)y+μ -=0, τέμνονται σε ένα σημείο του άξονα y'y. 80. Για ποια τιμή των λ,μ R οι ευθείες : λx - y - 1=0 και 6x - 4y - μ=0 i) τέμνονται ii) είναι παράλληλες iii) ταυτίζονται. 81. Αν Α(α,β), Β(γ,δ) και Γ(κα+λγ, κβ+λδ), να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. 8. Δίνονται τα σημεία : Α ( α, ), Β ( β, ), Γ(γ, ), Δ ( δ, ). Να δειχθεί ότι α β γ δ η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΓΔ, αν και μόνο αν ισχύει αβγδ= Να βρεθεί το κ R - {-, 0, }, ώστε οι ευθείες : ε 1 : (κ - )x +κy +7=0 και ε : (κ - 40)x + (κ - 4)y - 5κ+1=0, να είναι κάθετες. 84. Να βρεθεί το κ R, ώστε η εξίσωση ε κ : κx+κ(κ - 1)y +5κ - 3=0, να είναι εξίσωση ευθείας. 85. Δύο ευθείες ΑΓ και ΒΔ διέρχονται από τα σημεία Α(4,0), Β(-4,0) και τέμνουν την ευθεία x+y - 3=0 στα σημεία Γ και Δ. Αν (ΓΔ) = 4, να βρεθεί ο συντελεστής διευθύνσεως των παραλλήλων ευθειών. 86. Να βρεθεί το λ R, ώστε τα σημεία Α(λ+, 3), Β(1,1) και Γ(3, -), να είναι συνευθειακά. 87. ι) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(-3,4), Β(-1,0) και Γ(3,) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. ιι) Να βρείτε την εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας Β του τριγώνου ΑΒΓ. 7

13 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 88. Θεωρούμε τα σημεία Α(-1,), Β(,3), και Γ(4,1). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και σχηματίζει 3π γωνία με το ύψος ΑΔ του τριγώνου Να βρείτε την γωνία των ευθειών (ε 1 ε ) που έχουν εξισώσεις : ε 1 : μx - (μ+1)y+1-3μ=0 και ε : (3μ+1)x - (1 - μ)y + - 6μ= Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι Α(3,4), εφβ= Βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 1 και ΒΓ: x - y=1. Nα 91. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ έχουμε Α(-1,) και Γ(3,1). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Δ. 9. Το κέντρο ενός τετραγώνου είναι το σημείο Κ(1,) και η εξίσωση μιας πλευράς του είναι x+y - 1=0. Nα βρείτε τις εξισώσεις των άλλων πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών του τετραγώνου. 93. Θεωρούμε τις ευθείες ε 1 : x - y=3 και ε : 4x - 3y=1. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρική της ε 1 στην ε. 94. Δίνονται τα σημεία Α(1,-3), Β(4,0) και η ευθεία ε :x - y+=0. Nα βρείτε το σημείο Μ της ε για το οποίο ισχύει (ε,^ ΜΑ)=(ΜΒ,^ε). 95. Οι δύο διχοτόμοι τριγώνου έχουν εξισώσεις x - 1=0, x - y - 1=0 και μια κορυφή του έχει συντεταγμένες (4,-1).Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου. 96. Οι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ 1,λ και λ 3. Να αποδειχθεί ότι λ 1 λ +λ λ 3 +λ 3 λ 1 = Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών :ε 1 : x - y + 1 =0 και ε : x - 4y +3 = Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από τις ευθείες : ε 1 : 3x+4y+ = 0 και ε : 8x+6y - 3 = Nα βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων της γωνίας Α του τριγώνου, ΑΒΓ,με Α(,3), Β(1,0), Γ(4,). Ποια διχοτόμος είναι εσωτερική και ποια εξωτερική. 73

14 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 100. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε οι ευθείες :ε 1 : x+μy+1 = 0 και ε : μx+y+λ = 0 να είναι παράλληλες και η απόσταση τους να είναι Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(3,) και απέχουν από την αρχή των αξόνων 3 μονάδες. 10. Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : ε 1 : 4x - 3y +1 = 0 και ε : 3x+4y - 5 = 0 Αν σε αυτές βρίσκονται οι διαγώνιες ενός τετραγώνου πλευράς, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Αν το σημείο Α(-3,) είναι κορυφή τετραγώνου με διαγώνιο x - 1=0, να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία : ε 1 : 4x+3y - 1 = 0 και απέχουν από αυτή απόστάση Δίνονται τα σημεία Α(0,0) και Γ(-1,3). Να βρεθούν τα σημεία Β(α,β) και Δ(γ,δ) ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Να δειχθεί ότι το άθροισμα των αποστάσεων του τυχαίου σημείου Κ της βάσης ΒΓ από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,-1) φέρουμε το ύψος ΒΚ και την διχοτόμο ΒΛ. Αν οι εξισώσεις του ύψους ΒΚ και της διχοτόμου ΒΛ είναι : ΒΚ : 7x - 10y +1 = 0 και ΒΛ : 3x - y +5 = 0 να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του ΑΒΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με εξισώσεις πλευρών : a α α ΑΒ : y=κx+, BΓ : y=μx+, ΓΑ : y=ρx+, κ,μ,ρ R*. κ μ ρ Aν κ μ ρ, να δείξετε ότι το ορθόκεντρο του ΑΒΓ βρίσκεται στην ευθεία που έχει εξίσωση x+α= Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3κ, 5), Β(4-8κ, 4κ) και Γ(κ+6, -κ). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τριγώνου Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου για τα οποία (ΜΑ) + (ΜΒ) - (ΜΓ) = κ,όπου Α,Β,Γ τρία σταθερά σημεία και κ σταθερό Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία x-3y+1=0 και απέχει από το σημείο Α(,-1) 3 μονάδες. 74

15 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 11. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α(,1), Β(4,-1) Γ(- 4,1), Δ(-1,-3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις ευθείες ε 1 : x+y - =0, ε : 3x+y - 4 = 0, έτσι ώστε οι 3 ευθείες να σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν 3 τετραγωνικές μονάδες Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι εξισώσεις δύο πλευρών είναι 3x+4y - 5 = 0 και 3x+4y+7 = Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 100,8 τ.μ, κορυφή Α(4,) και βάση ΒΓ με εξίσωση x - y+ 6 = 0. Nα βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x - 3y +1) - (3x+y - ) = 0, παριστάνει δύο ευθείες και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες με την διχοτόμο της γωνίας xoy Nα αποδείξετε ότι α R η εξίσωση : (α - 1)x + (3α+4)y +(4α+9) = 0, παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που ορίζονται από την παραμετρική εξίσωση : (λ - 3λ+1)x + (λ +1)y +(λ - 6λ - 1) = 0 (λ R), για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από σταθερό σημείο, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες Θεωρούμε την εξίσωση :(α 3 +3α - 4)x + (α )y +(α 3-3α +5) = 0, α R i) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του α. ii) Να εξετάσετε αν όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο 10. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(3λ - 1, 4-5λ), λ R. 11. Μια μεταβλητή ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(3,1) και τέμνει τους άξονες x'x και y'y στα σημεία Β, Γ αντίστοιχα. Σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΟΒΜΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ. 1. Αν το σημείο Α(x 0,y 0 ) κινείτε πάνω στην ευθεία 3x+5y = 0, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ(x 0 +1, 5y 0-4). 13. i) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου α R για τις οποίες καθεμιά από τις εξισώσεις : 3(α - )x - (α - )y - 4α - 1 = 0 και (α - )x + (α - )y +α -3 = 0 παριστάνει ευθεία. ii) Για τις παραπάνω τιμές του α, να αποδείξετε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται. ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών κινείται σε σταθερή ευθεία. 75

16 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 14. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : y = -x, ε : y = x +1. Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : d(m, ε 1 ) : d(μ, ε ) = Να βρεθεί η εξίσωση της δέσμης των ευθειών με κέντρο το σημείο τομής των ευθειών 3x+y - 13 = 0 και x - y - = 0. Nα βρεθεί η ευθεία της δέσμης που διχοτομεί το τμήμα ΑΒ που έχει άκρα τα Α(3, -4) και Β(-1, -). 16. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών της δέσμης ε κ :(x+3y - 9)+κ(4x+y-13)=0 που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με τις ευθείες : ε 1 : 3x - 4y+7 = 0 και ε : 4x +3y +11 = Από το σημείο Α(-1,1) διέρχεται ευθεία ε, τέτοια ώστε το τμήμα αυτής που βρίσκεται μεταξύ των ευθειών ε 1 : x+y - 1 = 0 και ε : x+y - 3 = 0 να διχοτομείται από την ευθεία x - y - 1 = 0. Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. 18. Δίνεται ευθεία ε : y - x = 0 και τα σημεία Α(1,-1) και Β(1,0). Να προσδιορίσετε το σημείο Μ της ευθείας ε, ώστε η διχοτόμος της γωνίας ΑΜΒ να είναι κάθετη στην ε. 19. Να προσδιοριστεί το β R, ώστε η εξίσωση : x +βy - 4xy +3x - 5y +β - 1 = 0, να παριστάνει δύο ευθείες και οι οποίες να προσδιοριστούν Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : 1x 3 +8x y - 3xy - y 3 = 0 ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων., παριστάνει σύστημα 131. Δίνονται τα σημεία Α(,0) και Β(0,4). ι) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου (μ) του τμήματος ΑΒ. ιι) Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Β και π σχηματίζει με τη μεσοκάθετο γωνία. 4 ιιι) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο τομής των ευθειών (μ) και (ε), ώστε το άθροισμα των συντεταγμένων επί την αρχή να είναι ίσο με Δίνεται το τετράγωνο με κορυφή (κ,κ),με κ -1. Η εξίσωση της μιας διαγωνίου του τετραγώνου είναι x+y+ = 0. Nα βρεθούν συναρτήσει του κ, οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του τετραγώνου και να προσδιοριστεί η τιμή του κ, αν το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 4 τ.μ Δίνονται οι κάθετες ευθείες ε 1 :κx -y+1=0 και ε :x+μy=0.να προσδιορισθούν οι τιμές του κ και μ, ώστε η ευθεία ε:x - y - = 0, να σχηματίζει με τις ε 1, ε ισοσκελές τρίγωνο. 76

17 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 134. Μια πλευρά ρόμβου έχει εξίσωση x y = 0 και μια κορυφή του είναι το σημείο Α (, ). Αν Κ (4, 8) είναι το κέντρο του ρόμβου να βρεθεί το εμβαδόν του Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β (7, 4) και Γ (5,1). Αν η κορυφή του Α έχει συντεταγμένες (k 3, 3k + 1), να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της. Κατόπιν να δειχθεί ότι το εμβαδό του τριγώνου είναι σταθερό, χωρίς να υπολογισθεί Δίνονται τα σημεία Α (, 3) και Β (4, 5). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ (x, y) του επιπέδου, ώστε να σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΜ εμβαδού 9 τετραγωνικών μονάδων Δίνεται ευθεία ε με συντεταγμένες επί την αρχή α και β. Τυχαίο σημείο Ρ της ε προβάλεται στα σημεία Α και Β των αξόνων ; x x και ψ ψ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ της Α Β για τα οποία A' M = MB' Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (λ, λ), Β (0, λ) και Γ (3λ, 4λ 5), λ R. Να βρεθεί η γραμμή την οποία διαγράφει το βαρύκεντρο του τριγώνου Αν το Α (3, -1) είναι η κορυφή ισοσκελούς τριγώνου και η 3x 4y + 1 = 0 η εξίσωση της βάσης ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 5 τετρ. μονάδες, να βρεθούν οι άλλες δύο κορυφές Δίνεται η ευθεία (ε) : x 3y 6 = 0. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία αυτή και τους δύο άξονες ενός ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη προς την (ε) : 3x + 5y + = 0 και σχηματίζει με τους άξονες x x και y y τρίγωνο εμβαδού 30 τετραγ. μονάδων. 14. Αν Α (3, 4) και Β (5, -) να βρείτε το σημείο Μ ώστε το εμβαδόν του ισοσκελούς τριγώνου ΜΑΒ να είναι 10 τετρ. μονάδες Να δειχτεί ότι η εξίσωση (x + 3y + 9) (x y +1) = 0 (1) παριστάνει δύο ευθείες. Μετά να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι δύο αυτές ευθείες με την (ε) : x y 50 = Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι (ε 1 ) : 3x 4y + 16 = 0 και (ε ) : 3x 4y 14 = Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α (-,-3), Β (5, -), Γ (4, 5) και Δ (-1, 4) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη της ευθείας (ε) : x y + 3 = 0 και που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τετραγωνικών μονάδων. 77

18 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 147. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(1, ) και σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία ω ίση με: i) 30 o ii) 10 o iii) 0 o iv) 90 o 148. Να αποδείξετε ότι: i) τα σημεία Α(1, ), Β(3, 6) και Γ(4, 10) είναι κορυφές τριγώνου, ii) τα σημεία Α(1, ), Β(3, 6) και Γ(4, 8) δεν είναι κορυφές τριγώνου Να βρείτε τι παριστάνουν οι εξισώσεις: i) xy y = 0 ii) x 5x+ 6= 0 iii) x + y = 0 ( )( ) iv) x y+ 1 = 0 v) x+ 1 = y 150. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(6 3λ, 1 + λ) όταν το λ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x y 4λy λx 3λ = 0 παριστάνει δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες ε 1, ε και ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή (ανεξάρτητη του λ) ευθεία καθώς το λ μεταβάλλεται. 15. Να βρείτε ην εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1, ) και τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε x'x y 'y BP = PA Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (, 1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις y = 3x+ 11 και y = x+ 3 Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου Οι δύο πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με 1 εξισώσεις y = x+3 και y = x + 5 και μια κορυφή του είναι το σημείο Α(4, 1). Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι άλλες δύο πλευρές Δύο πλευρές ενός παραλληλογράμμου βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις 8 y = x + 6 και y = x ενώ μια διαγώνιός του βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y = x+. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. 78

19 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 156. Δίνονται οι ευθείες ε : y = x + 3 και : y = 4x+ 7 1 ε, καθώς και το σημείο Μ( 1, ). Να βρεθεί η εξίσωση κάθε ευθεία ε, η οποία διέρχεται από το Μ και τέμνει τις ε1, ε στα σημεία Α, Β αντίστοιχα έτσι, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(, 0) και τέμνει τις ευθείες ε : y = x+ 4 και : y x 1 ε 6 = + στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε (ΑΒ) =. 1 1 ii) Ομοίως αν Ρ(0, 1), ε 1 : y = x, ε : y = x + 1 και (ΑΒ) = Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο (1, ), ενώ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο διάμεσοί του είναι οι ε : x 3y+ 1= 0 και ε : y 1 1 =. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1, 5) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι διάμεσοι ΒΕ και ΓΖ του τριγώνου είναι οι ε 1 :5 x 3 y+ 14 = 0 και ε : y x 4 = + αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται η πλευρά ΑΒ, η διάμεσος ΓΜ 4 10 και το ύψος ΑΔ έχουν εξισώσεις y = x, y = x και y = x+ 3αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ Η κορυφή Α ενός τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (1, ). Μια πλευρά και μια διάμεσός του βρίσκονται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις y = x 5 και x = αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 16. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (0, 3) και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε : y = 1 και ε : y = x αντίστοιχα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β(1, ) και Γ(8, 3). Αν y = x είναι η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται μια διχοτόμος του, να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ΑΒ και ΑΓ Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει: i) τον άξονα x ' x σε σημείο με τετμημένη και τον άξονα y' y σε σημείο με τεταγμένη 3, ii) την ευθεία x = 5 σε σημείο με τεταγμένη 4 και της ευθεία y = σε σημείο με τετμημένη 1, iii) την ευθεία y = x 1 σε σημείο με τετμημένη 4 και την ευθεία y = x+ 1 σε σημείο με τεταγμένη.

20 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) 165. Δίνονται οι ευθείες ε : λx+ λ+ 1 y+ 1= 0 1 και ε : x+ y λ + = 0. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των ε1, ε. ii) Αν οι ε1, ε τέμνονται, να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται, το σημείο τομής τους ανήκει σε σταθερή ευθεία Δίνονται οι ευθείες ε ( μ ) x+ μy = μ ε ( μ ) x ( μ ) y μ : 1 και : = +, 1 μ. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ε1, ε για τις διάφορες τιμές του μ, ii) Αν οι ευθείες ε1, ε τέμνονται, να αποδείξετε ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία, την οποία και να προσδιορίσετε Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε :λx 1 ( λ+ 1 ) y+ μ = 0 και ε : ( 3λ+ 1 ) x+ ( λ 1 ) y+ κ = Να βρεθεί η εξίσωση της ευθεία ζ, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(1, ) και σχηματίζει με την ευθεία ε :x = 4 οξεία γωνία θ ίση με 60 o Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β(1, 1), Α(α, 0) και Γ(0,γ), όπου α, γ θετικοί με α + γ =. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και ότι η κορυφή Δ ανήκει σε σταθερή ευθεία (ανεξάρτητη των α, γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η ευθεία ε :( 3α 5) x+ ( α 3) y 4α + 8= 0 ισαπέχει από τα σημεία Α(4, 3) και Β(3, ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών 3 ε : y = x ε 1 : y = x και 17. Να βρεθεί το σημείο του άξονα y' y που ισαπέχει από την αρχή των αξόνων και από την ευθεία ε :4x 3y+ 4= Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε : x+ y = 0 που απέχουν από την ευθεία ζ :3x+ 4y 10= 0 απόσταση ίση με. 80

21 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 174. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, οι οποίες είναι κάθετες προς την ευθεία ε : 6x 3y+ 10 = 0 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(1, 4) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x + y 4xy 8x+ 4y+ 3=0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζουν οι ευθείες αυτές με τους άξονες θ θ θ θ π π Δίνονται τα σημεία Α ημ, συν και Β συν, ημ με θ,. Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ, ii) την τιμή του θ για την οποία το τρίγωνο ΟΑΒ έχει το μέγιστο εμβαδόν Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ που έχει κορυφές τα σημεία Α(4, ), Β(6, 0), Γ(1, ), Δ(, ) 179. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη προς την ευθεία ε :3x 4y+ 10= 0 και απέχει από το σημείο Μ(6, ) απόσταση ίση με Να βρείτε για ποιες τιμές του μ η εξίσωση μ x+ μ+ 1 y μ+ 5= 0 ( ) ( ) παριστάνει ευθεία. Επίσης να βρείτε για ποιες τιμές του μ η ευθεία αυτή: i) είναι παράλληλη στον άξονα x ' x, ii) είναι κάθετη στον άξονα x ' x, iii) διέρχεται από το σημείο Ρ(3, 4), iv) διέρχεται από την αρχή των αξόνων, v) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με, vi) σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία 45 o Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε :x = : x 3 3y 1 και ε + κ = 0. 81

22 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης: (i) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α( 1,4) και Β (1, 6) (ii) Της ευθείας, η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ( 1,0) και Δ(0,) (iii) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην ΓΔ.. Να βρείτε τη γωνία, που σχηματίζουν με τον άξονα x x οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία: (i) Α ( 1,4) και Β (1, 6) (ii) Α( 1,3) και Β(0,4) (iii) Α (1, 3) και Β(1, 1) (iv) Α (,3) και Β(,3). 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α( 1, 1) και (i) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = (3, ) (ii) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = (0,1) (iii) Σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω = π / Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α( 1,0), Β (3, ) και Γ( 3,4). Να βρείτε: (i) Τις εξισώσεις των υψών του (ii) Τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών του. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α (3,1), Β(5,5), Γ(1, 3) και Δ ( 1, 1) είναι ρόμβος. Ποιες είναι οι εξισώσεις των διαγωνίων του; Να δείξετε ότι τα σημεία Α(1, 1), Β (,0) και Γ( 1, 3) είναι συνευθειακά. 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και Β ( α ημ θα, συν θ). Α( α συν θα, ημ θ) 8. Δίνονται τα σημεία Α (,3), Β ( 4,5) και Γ(3, 4). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή Α και το κέντρο βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, που διέρχονται από το σημείο Α ( 1,) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 8

23 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 10. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ του 1 3 τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου τα δύο ύψη έχουν εξισώσεις y = x+ και y = x + αντιστοίχως και η κορυφή Α έχει συντεταγμένες ( 1, 4). 11. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ(,1) και τέμνει τις ευθείες y = x + 1 και y = x + 1 στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 1. Δίνονται τα σημεία P( κ,1/ κ ) και Q( λ,1/ λ). (i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας PQ. (ii) Αν η ευθεία PQ τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, να δείξετε ότι Α P=Β Q. 13. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α ( α,0) και x y Β (0, β ), είναι η + = 1. α β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x 1 και 3 3 τέμνει τους άξονες x x και yy στα σημεία Α και Β, ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματική τιμή του μ η εξίσωση ( μ 1)x+ μy+ μ =0παριστάνει ευθεία γραμμή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τον άξονα x x, πότε προς τον y y και πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 16. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α (,3) και είναι κάθετη στην ευθεία x 3 y+ 6=0. Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών x 5y+ 3= 0 και x 3y 7= 0 και είναι κάθετη στην ευθεία 4x + y = 1. Τα σημεία Α ( 4,6) και Γ ( 1,1) είναι οι απέναντι κορυφές ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ. Οι πλευρές ΒΓ και ΓΔ του παραλληλόγραμμου ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις x+ 3y = και x y+ = 0 αντιστοίχως. Να υπολογίσετε: (i) Τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. (ii) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου. 83

24 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 19. Να βρείτε την τιμή του λ R, ώστε οι ευθείες και λx+ 3y+ 1 λ = 0 να είναι κάθετες. ( λ 1) x+ λ y+ 8= 0 0. Να βρείτε την τιμή του κ R, ώστε η ευθεία 3x+ 3y+ κ = 0 να διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 3x+ 4y+ 6=0 και 6x+ 5y 9= Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις: (i) x y + 4y 4=0 (ii) x y 4x+ y+ 3= 0.. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (α + α + 3) x+ ( α α + 1) y+ (3α + 1) = 0, α R διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες x+ 4y = 5, 3x y = 1 και 7x 8y+ 1= 0 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 4. Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες (1 + μ) x = (1 μ) y. y = μx και Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από x y x y το σημείο τομής των ευθειών + = 1 και + = 1. α β β α Δίνεται η ευθεία 3x+ y = 3 και το σημείο Α (1, ). Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή. x y Δίνεται η ευθεία ε : + = 1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι α β κάθετη στην ε στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα x x. 8. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α(,3) από την ευθεία (i) x+ y+ 1= 0 (ii) y = x 3 x y (iii) + = 1 3 (iv) 5x+ 3y+ 1 = 0 9. Δίνονται οι ευθείες ε1 : 5x 8y 51= 0 και ε : 5x 8y+ 68= 0. (i) Να δείξετε ότι ε1// ε (ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις (iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των και ε. ε1 και ε ε1 84

25 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 30. Δίνονται οι ευθείες ε1 : 4x 3y 9= 0 και ε : 4x 3y 4= 0. (i) Να δείξετε ότι ε1// ε (ii) Να βρείτε ένα σημείο της ε 1 και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των και ε. ε1 31. Ποιο σημείο της ευθείας x 3y = 30 ισαπέχει από τα σημεία Α (1, 3) και Β (7,9) ; 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες. 33. Η ευθεία ε : 3x y+ 1= 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε1 και ε, που απέχουν 8 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. 34. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές: (i) Α(0,0), Β(6,0), Γ (4,3) (ii) Α(, 4), Β(, 6), Γ(5, 4) (iii) Α(1, ), Β(3, 4), Γ( 5, 4). 35. Δίνονται τα σημεία Α (5,1) και Β (1, 3). Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα οποίο το εμβαδόν του τριγώνου Μ ΑΒ είναι ίσο με 7. x x, για το 36. Δίνονται τα σημεία Α (3, 4) και Β(5, ). Να βρείτε το σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ΜΑ = ΜΒ και ( ΜΑΒ ) = Ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ οι τρεις κορυφές του έχουν συντεταγμένες ( 3,1), (,3) και (4, 5). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου. 38. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σημεία Α (,0) και Β (0,). 39. Να βρείτε το σημείο του άξονα x x, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία 5x+ 1y 60= Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ(1, ) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο ( 1,3) Α απόσταση ίση με Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x y+ = 0, τα οποία απέχουν από την ευθεία 1x 5y+ 60 = 0 απόσταση ίση με 1. 85

26 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 43. Να δείξετε ότι τα σημεία Α( α, β), Β( γ, δ ) και Γ( α γ, β δ) είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν αδ = βγ. 44. Δίνονται τα σημεία Α ( α,0) και Β (0, β ). Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τους άξονες στα σημεία P( p,0) και Q (0, q), να δείξετε ότι: (i) αq+ β p= pq (ii) α p+ βq= 0. Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β. 45. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3x 4y+ 1=0 και 5 x+ 1y+ 4= Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 7 x y+ 1= 0 και x 3y+ 5= 0 και απέχει από το σημείο Α (3, ) απόσταση ίση με Δίνονται τα σημεία Α ( 1, ) και Β (3,1). Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ( ΜΑΒ ) = Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M (1, 0) και τέμνει τις ευθείες y = x+ και y = x στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι, ώστε ( ΑΒ ) =. 49. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λx+ ( λ 1) y = λ και ( λ + 1) x+ λy = λ+ 1 τέμνονται για όλες τις τιμές του λ R. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους; 50. Αν οι τρεις ευθείες ακx + βκy = 1, με κ = 1,, 3, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία ( α, β ), κ = 1,,3, είναι συγγραμμικά. κ κ 51. Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α ( α, β ) με το σημείο τομής των x y x y ευθειών + = 1 και + = 1. α β β α 5. Αν οι ευθείες x y x y + = 1 + = 1 α β και Α Β είναι παράλληλες με Α > α και β > 0, να β ( Α α) δείξετε ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι. α + β 53. Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση x 4xy+ y = 0 παριστάνει δύο ευθείες. 0 (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την x y = 0 γωνία

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να

Διαβάστε περισσότερα

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα.

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα. Κεφάλαιο ο : Η ευθεία στο επίπεδο Θέµατα «Ανάπτυξης» Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (,5) και οι διάµεσοι ΒΕ και ΓΖ έχουν εξισώσεις x 4y + = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: i) y = x- 1 ii) y = 3 5x 5x 6 iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Επιμέλεια: Αλκιβιάδης Τζελέπης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Επιμέλεια: Αλκιβιάδης Τζελέπης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Επιμέλεια: Αλκιβιάδης Τζελέπης Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Άλκης Τζελέπης Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα