ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)"

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04)

2

3 Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556 [παράγραφος 5] Δίνονται τα διανύσματα α και β π με α, β = 3 και α = α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ, β = β) Αν τα διανύσματα α+ β και κα + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α+ β α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: π 4 αβ = α β συνα,β ( ) = συν = = = 3 Οπότε αβ = β) Έστω γ = α+ β και δ= κα+ β τα δοσμένα διανύσματα Από την υπόθεση έχουμε: γ δ γ δ= 0 α+ β κα+ β = 0 ( )( ) = αβ κα αβ καβ β 0 κα 4 κ β = = ( ) κ + 4+ κ + = 0 4κ + 4+ κ + 8= 0 6κ = κ = γ) Θα υπολογίσουμε αρχικά το τετράγωνο του μέτρου για το γ = α+ β Έχουμε λοιπόν: αβ= α+ β = ( α+ β) = 4α + 4αβ + β = 4 α β = ( ) = = = 4 α+ β = 4 = 6 (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) 3

4 GI_V_MATHP 8558 [παράγραφος 5] Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = ( 4, 6), ΑΓ = (, 8) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία (Μονάδες 0) γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α ( 3, ), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ (Μονάδες 8) α) Η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ Δηλαδή το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΓ Γνωρίζουμε ότι η διανυσματική ακτίνα του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούται με το ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων Οπότε: ΑΜ = ( ΑΒ + ΑΓ) = ( 4, 6) + (, 8) = (, 4) = (, 7) β) Η γωνία Α του τριγώνου είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ Α= ΑΒ, ΑΓ Τη γωνία (Δηλ: το αν είναι αμβλεία ή οξεία ) των διανυσμάτων θα Δηλαδή ( ) την υπολογίσουμε μέσω του συνημιτόνου της Δηλαδή από τη σχέση: ΑΒ ΑΓ συν( ΑΒ, ΑΓ) = ΑΒ ΑΓ Καταρχήν έχουμε ΑΒ > 0, ΑΓ > 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε το εσωτερικό τους γινόμενο ΑΒ ΑΓ = ( 4, 6) (, 8) = = 40 ΑΒ ΑΓ 40 Έτσι συν( ΑΒ, ΑΓ) = = > 0, άρα η γωνία των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ είναι οξεία αφού έχει θετικό συνημίτονο Συνεπώς και η γωνία Α είναι επίσης οξεία ΑΒ = x x,y y 4, 6 = x 3,y γ) Είναι ( B A B A) ( ) ( B B ) ( x 3= 4 και y = 6) ( x = και y = 5), δηλαδή B(, 5) B B Ακόμη ΑΓ = ( xγ x A,yΓ ya ) (, 8) = ( xγ 3,yΓ ) ( x 3= και y = 8) ( x = 5 και y = 7), δηλαδή Γ( 5, 7) Γ Γ Γ Γ B B 4

5 GI_V_MATHP 8575 [παράγραφος ] Δίνονται τα σημεία Α (, ) και ( ) Β 5, 6 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7 = + α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B είναι η yb ya 6 y ya = ( x xa) y = ( x ) y = x y= x+ x x 5 B A xa + xb + 5 ya + yb + 6 β) Αν M το μέσο του AB, τότε xm = = = 3 και ym = = = 4, (Μονάδες 5) αφού οι συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων Οπότε M( 3,4 ) Επιπλέον: ε AB λλ ε AB = λ ε = λε = Οπότε η εξίσωση της μεσοκαθέτου της ε της AB είναι: ( ) ( ) y y = λ x x y 4= x 3 y 4= x+ 3 y= x+ 7 M ε M GI_V_MATHP 858 [παράγραφος 5] Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α = β = και α,β = 60 α) Να αποδείξετε ότι αβ = β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α+ β και α β ( ) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: ο αβ = α β συν α, β = συν60 = 4 = β) Θα υπολογίσουμε αρχικά τα τετράγωνα των μέτρων Έχουμε λοιπόν: α β α β + = + = α + α β+ β = + + = = 4 ( ) ( ) και ( ) α β = α β = α α β+ β = + ( ) = 4+ 8= 6 Άρα α+ β = 4 και α β = 6 5

6 GI_V_MATHP 8584 [παράγραφος ] Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε :x y 8= 0, ε :x 4y+ 0= 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε (Μονάδες 0) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε καιε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β (Μονάδες 0) α) Έστω ( 4,α ) οι συντεταγμένες του σημείου A Το A είναι σημείο της ευθείας ε, κατά συ- ε, οπότε για ( x, y) = ( 4,α) η εξί- νέπεια οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της σωση της ε γίνεται: 4 α 8 0 α 4 α Α 4, β) Η ε είναι στη μορφή Αx+ By+ Γ = 0, με Α = και Β =, οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε Α = = = Β = = = Άρα ( ) Η ζητούμενη ευθεία ε είναι κάθετη στην ε, οπότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι Δηλαδή: ε ε λ λ = λ = ε ε ε Τότε η εξίσωση της ε είναι: y ya = λε ( x xa ) y ( ) = λε ( x 4) y+ = ( x 4) y+ = x+ 8 x+ y 6= 0 γ) Οι συντεταγμένες του σημείου B θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ε και ε ( ε ):x+ y 6= 0 ( ) x + y= 6 6 Έχουμε: 5y = 6 y = ( ε ):x 4y+ 0= 0( ) x + 4y = Τότε η ( ) x + = 6 0x + 6 = 30 0x = 4 x = = Άρα: Β, 5 5 6

7 GI_V_MATHP 8587 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :x 8y+ 6= 0 και ε :x+ y+ 5= 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ Αν οι ευθείες ε και ε τέμνουν τον άξονα yy στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B (Μονάδες 0) β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΜΚ (Μονάδες 5) α) Οι συντεταγμένες του σημείου M θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο ευθειών, αφού το σημείο M είναι κοινό τους σημείο ( ε ) :x ( ) Έχουμε: 8y + 6 = 0 x 8y = 6 x + 6y = 3 ( + ) ( ε ):x+ y+ 5= 0( ) x + y = 5 x + y= 5 7y 7 y x 8 6 x 8 Μ 8, = = Τότε η ( ) = = Άρα ( ) Η ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A Για x = 0 η εξίσωση της ε γίνεται: 8y = 6 y = Άρα Α ( 0, ) Η ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B Για x = 0 η εξίσωση της ε γίνεται: y 5 β) Έστω ( ) Κ Κ = Άρα Β( 0, 5) x,y οι συντεταγμένες του σημείου K Από υπόθεση το K είναι μέσο του τμήματος AB, οπότε οι συντεταγμένες του θα ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων xα + xβ 0 xκ = = = 0 Δηλαδή 3 Άρα Κ yα + y 0, Β 5 3 yκ = = = Για το διάνυσμα ΜΚ έχουμε: 3 5 ΜΚ = ( xκ x Μ,yΚ yμ) = 0+ 8, = 8, Άρα: λ 5 y 5 x 8 6 ΜΚ = = = ΜΚ ΜΚ 7

8 GI_V_MATHP 8589 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :8x+ y 8= 0 και ε :x y+ = 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα xx (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: λx y 3λ + 4= 0, όπου λ (Μονάδες 5) α) Οι συντεταγμένες του σημείου M θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των ευθειών ε και ε, αφού το σημείο Μ ανήκει και στις δύο Έχουμε λοιπόν: ( ) ( ) ε :8x+ y 8= 0 + 9x 7 = 0 x = 3 ε : x y+ = 0 x y+ = 0 y= 4 Άρα M( 3,4 ) Η ευθεία ( ε ) η οποία διέρχεται από το Μ είναι κάθετη στον άξονα xx και έχει εξίσωση της μορφής x Οπότε ( ) = xo, όπου o ε :x= x x= 3 M x η τετμημένη του γνωστού σημείου από το οποίο διέρχεται β) Οι ευθείες που διέρχονται από το M και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση: y 4= λ ( x 3) y 4= λx 3λ λx y 3λ + 4= 0 με λ 8

9 GI_V_MATHP 859 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :x 3y+ 5= 0 και ε :3x+ y 5= 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες μεταξύ τους β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 9) (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων (Μονάδες 7) α) Αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των δύο ευθειών ισούται με 5 Είναι ε : x 3y + 5 = 0 3y = x + 5 y = x + οπότε: λε 3 3 = 3 Είναι ε :3x+ y 5= 0 y= 3x+ 5 οπότε: λε = 3 Τότε: λε λ ( ) ε = 3 = ε ε 3 β) Οι συντεταγμένες του σημείου A θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων ε, αφού το σημείο A ανήκει και στις δύο ευθείες των ( ) ε και ( ) () ( + x 3y+ 5= 0 x 3y= 5 x 3y= 5 ) Έχουμε: 0x = 0 x = 3x + y 5 = 0( ) 3x + y = 5 9x + 3y = 5 Α, Τότε η ( ) 3 y 5 y + = = Άρα ( ) γ) Έστω ( ζ ) η ζητούμενη ευθεία Η ( ζ ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων O, οπότε θα έχει εξίσωση της μορφής y= λx, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο A, κατά συνέπεια η εξίσωσή της επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου A, δηλαδή για x = και y= έχουμε: λ = Άρα η εξίσωση της ( ζ ) είναι y= x 9

10 GI_V_MATHP 8595 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :3x+ y+ 3= 0 και ε :x+ y 4= 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ (Μονάδες 8) ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3x 4y = 0 (Μονάδες 9) α) Οι συντεταγμένες του σημείου A θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών ( ) ε και ( ) ε αφού το σημείο A είναι κοινό σημείο των δύο ευθειών ( + ) ε () :3x y 3 0 3x y = + = 6x y = 6 Έχουμε: 5x = 0 ε :x+ y 4= 0 ( ) x+ y= 4 x+ y= 4 x = Τότε η ( ) 3 ( ) y 3 6 y 3 y 3 + = + = = Άρα Α (,3) β)(i) Το σημείο στο οποίο η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy έχει τετμημένη μηδέν Οπότε για x = 0 η εξίσωση της ( ε ) γίνεται: y+ 3= 0 y= 3 Άρα η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β( 0, 3) Το σημείο στο οποίο η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy έχει τετμημένη μηδέν Οπότε για y= 0 η εξίσωση της ( ε ) γίνεται: x 4= 0 x = 4 Άρα η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Γ( 4,0 ) yγ yβ (ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι: λβγ = = = x x Τότε η εξίσωση της ΒΓ είναι: 3 y yγ = λβγ ( x xγ) y 0 = ( x 4) 4y = 3x 3x 4y = 0 4 Γ Β 0

11 GI_V_MATHP 8598 [παράγραφος 5] AΒ= κ 6κ + 9, κ 3 AΓ =, 6, όπου κ Δίνονται τα διανύσματα ( ) και ( ) α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AB AΓ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα AB και AΓ να είναι κάθετα γ) Για κ = να βρείτε το διάνυσμα BΓ (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) = είναι ( ) α) Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου έχουμε: ΑΒ ΑΓ = κ 6κ ( κ 3) = κ 6κ κ 8 = κ 9 β) Τα AB και AΓ είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν α) ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ = 0 κ 9= 0 κ = 9 κ = 3 ή κ = 3 γ) Για κ ΑΒ = 4, ΑΓ =, 6 Χρησιμοποιώντας το σημείο A ως σημείο αναφοράς έχουμε: και ( ) ΒΓ = ΑΓ ΑΒ =, 6 4, = 4, 6 + = 3,8 ( ) ( ) ( ) ( )

12 GI_V_MATHP 8600 [παράγραφος ] Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες xx και yy αντίστοιχα α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε στα σημεία Α ( 3, 0 ) και Β( 0,6 ) (Μονάδες 8) β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεί A και B είναι yb ya 6 0 λab = = = x x 0 3 Οπότε η ευθεία ε έχει εξίσωση: y y = λ x x y 0= x 3 y= x+ 6 A AB A B ( ) ( ) A (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) β) i) Αφού ε ε, οι δύο ευθείες θα έχουν γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης Οπότε θα είναι λε λ ε = λ ε = Η ευθεία ε διέρχεται από το Ο( 0, 0 ) οπότε έχει εξίσωση της μορφής y= λx με λ= λε =, δηλαδή είναι η ευθεία ( ε ):y= x ii) Το σημείο τομής, έστω M, των δύο ευθειών θα προκύψει από τη λύση του συστήματος των δύο ευθειών, αφού το σημείο M είναι κοινό τους σημείο y= x+ 6 x = x+ 6 x = 5, y= x 6 y= x y= 5 6 οπότε το σημείο τομής τους είναι το Μ, 5 5

13 GI_V_MATHP 860 [παράγραφος ] Έστω Μ ( 3,5 ) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με ( ) Α, α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα xx έτσι, ώστε να ισχύει ( ΚΑ) ( ΚΒ) = (Μονάδες ) α)(i) Έστω Ββ,β ( ) Από την υπόθεση το σημείο Μ ( 3,5 ) είναι το μέσο του τμήματος AB και συνεπώς οι συντεταγμένες του ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων xα + xβ = xμ + β = 6 β = 5 οπότε: yα + yβ = yμ + β = 0 β = 9 Άρα Β( 5,9 ) ii) Έστω ( ε ) η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A και B yb ya 9 8 Τότε λε = λαβ = = = = xb xa 5 4 Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι: y y = λ x x y = x y = x y= x ( ) ( ) για το οποίο ισχύει ( ΚΑ) = ( ΚΒ ) ( ) A ε A β) Έστω Κ( κ,0 ) το σημείο του άξονα xx Α Κ Α Κ Β Κ Β Κ Τότε η ( ) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) κ + 0 = 5 κ κ + = 5 κ + 8 ( ) ( ) 8κ = 04 κ = 3 Άρα Κ ( 3,0 ) κ + = 5 κ + 8 κ+ κ = 5 0κ+ κ

14 GI_V_MATHP 860 [παράγραφος ] Δίνεται η ευθεία ( ε ):y+ x = και το σημείο A(, 4) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ( ε ) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( ε ) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Έστω ( ζ ) η ευθεία που διέρχεται από το Α με ( ζ) ( ε ) ( ) Έχουμε ( ε ):x+ y= y= x+, άρα: λ = ( ) ε Τότε: ( ) ε ( ) λζ λε = λζ = = λ Οπότε η εξίσωση της ( ζ ) είναι: ( ) ( ) y 4 = x y+ 4= x y= x 6 β) Δεδομένου ότι ( ζ) ( ε), η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( ) ε θα είναι το σημείο τομής Κ των δύο ευθειών, το οποίο θα βρεθεί από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ( ε ) και ( ) ζ, 7 7 x = x = ( ε ): x y + = x+ x 6= x = 7 Έχουμε: ( ζ ):y= x 6 y= x 6 y= x y= 6 y= 7 5 Άρα Κ, 4

15 GI_V_MATHP 8603 [παράγραφος 3] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ = AB + 5AΓ και AΕ = 5AB + AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ (Μονάδες 3) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα (Μονάδες ) α) Χρησιμοποιώντας το σημείο Α ως σημείο αναφοράς έχουμε: ΔΕ = ΑΕ ΑΔ = 5ΑΒ + ΑΓ ( ΑΒ + 5ΑΓ) = = 5ΑΒ + ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ = 3ΑΒ 3ΑΓ Άρα ΔΕ = 3ΑΒ 3ΑΓ ΔΕ = 3ΑΒ 3ΑΓ = 3 ΑΒ ΑΓ = 3ΓΒ = 3ΒΓ ΔΕ //ΒΓ β) Είναι: ( ) 5

16 GI_V_MATHP 8604 [παράγραφος 3] Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε: AE = AΔ, AΖ = AΓ 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EZ και ZB ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΔ (Μονάδες 3) β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά (Μονάδες ) α) Θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το A έχουμε: EZ = AZ AE = AΓ AΔ = ( AB + AΔ) AΔ = AB AΔ AΔ AB AΔ + = = AB AΔ Δηλαδή EZ = AB AΔ () και 7 5 ZB = AB AZ = AB AΓ = AB ( AB + AΔ) = AB AB AΔ = AB AΔ = AB AΔ Δηλαδή ZB = AB AΔ ( ) β) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έχουμε: 5 5 () 5 5 ZB = AB AΔ = AB AΔ = EZ ZB = EZ ZB / /EZ και αφού η αρχή του ενός διανύσματος είναι το πέρας του άλλου, τα δύο διανύσματα έχουν κοινό φορέα, που σημαίνει ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά 6

17 GI_V_MATHP 8605 [παράγραφος 4] Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = i + 4 j, OB = 3i + j και ΟΓ = 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB και BΓ (Μονάδες ) β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου (Μονάδες 3) α) Έχουμε ότι: OA = (, 4 ),OB = ( 3, ),OΓ = ( 5, 5) Οπότε: AB = OB OA = ( 3,) (, 4) = (, 3) και BΓ = OΓ OB = ( 5, 5) ( 3,) = (, 6) β) Αρκεί τα διανύσματα AB, BΓ να μην είναι παράλληλα, ώστε τα Α,Β,Γ να μην είναι συγ- det AB, BΓ 0 γραμμικά Οπότε αρκεί: ( ) 3 Όμως det ( AB, BΓ) = = ( 6) ( 3) = 6+ 6= 0 6 ΑΛΛΗ i=,0 j= 0, Οπότε για τα AB και BΓ χρησιμοποιώντας το σημείο α) Γνωρίζουμε ότι ( ) και ( ) O ως σημείο αναφοράς έχουμε: ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = 3i + j ( i + 4j) = 3i + j i 4j = i 3j Άρα: ΑΒ = i 3j ΑΒ = (, 3) Όμοια: ΒΓ = ΟΓ ΟΒ = 5i 5j ( 3i + j) = 5i 5j 3i j = i 6j Άρα: ΒΓ = i 6j ΒΓ = (, 6) ΒΓ =, 6 =, 3 = ΑΒ ΒΓ //ΑΒ, οπότε τα σημεία Α,Β και Γ β) Παρατηρούμε ότι: ( ) ( ) είναι συνευθειακά, κατά συνέπεια δεν αποτελούν κορυφές τριγώνου Συνεπώς τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά, οπότε δεν μπορούν να σχηματίζουν τρίγωνο 7

18 α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β (Μονάδες 0) είναι παράλληλη στο β (Μονάδες 5) GI_V_MATHP 0050 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 7) και β = (, 4) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να α) Ο τύπος για την προβολή διανύσματος σε διάνυσμα είναι: αβ = βπροβα ( ) β Ισχύει ότι: προβα //β προβα= κ β, κ β β προβ α = κ β = κ,4κ Άρα ( ) Έτσι από την ( ) β Επομένως προβ α = ( 3, 6) έχουμε: αβ = βπροβα, 7, 4 =, 4 κ,4κ β β ( )( ) ( )( ) β) Θέλουμε να αναλύσουμε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β α = u+ v Δηλαδή ( ) Όπως φαίνεται από το σχήμα η συνιστώσα u είναι η η προβολή του α πάνω στο β, u = προβ α = 3, 6 δηλαδή ( ) Άρα από τη σχέση ( ) β (, 7) = v + ( 3, 6) v = (, 7) ( 3, 6) = (,) Επομένως α = (,) + ( 3,6) = (, 7) = κ + 44κ 30 = 0κ κ = 8

19 GI_V_MATHP 005 Δίνονται τα διανύσματα α,β α) Να υπολογίσετε τα α με α = και β α + β β = 7, ( ) και α β = β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α + β γ) Να βρείτε την προβολή του α + β στο διάνυσμα β (Μονάδες 6) (Μονάδες 9) (Μονάδες 0) α) Είναι: α = α = και α + β β = 7 α β + β = 7 + β = 7 β = 4 β = ( ) α + β = α+ β = α + 4α β + 4β = = 3 β) Είναι ( ) Έτσι α + β = 3 γ) Ισχύει: β πρoβ( α+ β) = ( α+ β ) β β πρoβ( α+ β) = 7() β Όμως πρoβ( α+ β )//β πρoβ( α+ β) = λβ, λ R ( ) () ( ) β 7 λβ = 7 4λ = 7 λ = 4 7 πρoβ α+ β = β β 4 Από τη ( ) ( ) β β 9

20 GI_V_MATHP 0053 Δίνονται τα διανύσματα α, β με β = α = 4 και α β = 8 α) Να υπολογίσετε την γωνία α, β (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι β+ α = 0 (Μονάδες 5) α) Είναι: αβ 8 8 συν α, β = = = = 4 8 α β Επομένως 0 α, β = 80 0 β) Αφού α, β = 80 θα είναι: α, β αντίρροπα, οπότε λόγω της υπόθεσης β θα είναι β = α β+ α = 0 = α 0

21 GI_V_MATHP 0054 Θεωρούμε τα σημεία P,Λ,K και M του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5PΛ = PK + 3PM α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K,Λ και M είναι συνευθειακά β) Για τα παραπάνω σημεία K,Λ και M να δείξετε ότι ισχύει: AΛ + 3BΛ + MB = AK + AM + BK όπου A και B είναι σημεία του επιπέδου (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Ισχύει: 5PΛ = PK + 3PM PΛ + 3PΛ = PK + 3PM PΛ PK = 3PM 3PΛ PΛ PK = 3 PM PΛ ( ) ( ) 3 KΛ = 3ΛM KΛ= ΛM Επομένως KΛ //ΛM Επιπλέον έχουν ένα κοινό σημείο το Λ Άρα τα σημεία K,Λ και M είναι συνευθειακά β) Αν P σημείο αναφοράς τότε AΛ + 3BΛ + MB = AK + AM + BK ( ) ( PΛ PA) + 3( PΛ PB) + ( PB PM) = PK PA+ PM PA+ PK PB PΛ PA + 3PΛ 3PB+ PB PM PK+ PA PM+ PA PK+ PB= 0 5PΛ 3PM PK = 0 5PΛ = 3PM + PK που ισχύει Επομένως ισχύει και η αρχική σχέση ( )

22 GI_V_MATHP 0055 Θεωρούμε τα σημεία ( ) ( ) ( ) Α α+,3, Βα, 4 και Γ 4,5α + 4, α α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ,ΒΓ β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά γ) Αν α =, να βρείτε αριθμό λ ώστε: ΑΓ = λαβ (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) α) ΑΒ = ( xb x A, yb ya) = ( α α, 4 3) = (,) και ΒΓ = x x,y y = 4 α,5α = 4 α,5α ( ) ( ) ( ) Γ Β Γ Β β) Τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ΑΒ //ΒΓ det ( ΑΒ, ΒΓ) = 0 = 0 5α ( 4 α) = 0 4 α 5α 4α + 4= 0 α = γ) Για α = είναι Α (,3 ), Β(, 4 ) και Γ( 4,9) ΑΓ = x x, y y = 4,9 3 = 6, 6 Άρα ( ) ( ) ( ) Γ Α Γ Α 6 = λ ΑΓ = λαβ 6, 6 = λ, 6, 6 = λ, λ λ= 6 6 = λ Έτσι έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )

23 GI_V_MATHP π Έστω α, β δύο διανύσματα με α =, β =, α, β = και u = α+ β 6 α) Να υπολογίσετε τα γινόμενα αβ και β u (Μονάδες 6) β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u (Μονάδες 9) α) Είναι: 5π 6π π αβ = α βσυν α, β = συν = συν = 6 6 π π 3 = συν π = συν = = Επομένως: αβ = 6 Επίσης: ( ) β u = β α+ β = β α+ β = 6+ = 4 6 Επομένως: β u = 4 6 β) Κατά τα γνωστά έχουμε: u = α+ β = α+ β = α + α β + β = α + 4 αβ+ 4 β = ( ) 4( 6) = + + = + = Επομένως: u =

24 GΙ_V_MATHP 0057 π Δίνονται τα διανύσματα α,β με α =, β =, ( α,β) = Να υπολογίσετε τα εξής: 3 α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β και κατόπιν την τιμή της παράστασης α + α β ( ) β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β + α (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Είναι: Ακόμα αβ = α β συν ( α,β) = = α + α β = α + αβ = + = 3, β + α ( ) ( ) β) Υπολογίζουμε πρώτα τα: ( α β)( β+ α), α β Είναι: ( α β)( β+ α) = αβ+ α β 4αβ = 3 + 4= 9 α β ( α β) α = = 4αβ + 4 β = = 3 Άρα α β = 3 β α β α β + = + = + 4αβ + 4 α = = Άρα β + α = ( ) Επομένως ( α β)( β+ α) συν( α β,β + α) = = = = α β β+ α

25 GI_V_MATHP 0058 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 3 ), β = ( 3,3) α) τη γωνία ( α,β ) β) το διάνυσμα = ( ) u αβ α β α Να υπολογίσετε (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Υπολογίζουμε α β = = 3, α = + 3 = και β = 3+ 9 = = 3 επομένως β) Ισχύει: άρα α β 3 συν( α,β) = = = άρα η γωνία είναι αβ 3 α = α = = 4 και ( ) ( ) o 60 α β = α β = 3 = u = 4β α = 4 3,3, 3 = 4 3 +, 3 ( ) ( ) ( ) 5

26 GI_V_MATHP 0059 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 3 ), β =, α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u= α β β) Να βρείτε το θετικό αριθμό x για τον οποία τα διανύσματα u και κάθετα v = (x,x ) (Μονάδες 0) είναι (Μονάδες 5) α) Έχουμε u = (,3), = (,3) + ( 4,) = ( 3,4) β) Ισχύει ( ) u v u v = 0 3x + 4 x = 0 3x + 4x 4 = 0 Το τριώνυμο έχει Δ = 64 και ρίζες x = < 0, x = > 0 από τις οποίες δεκτή είναι η 3 x = 3 6

27 GI_V_MATHP 0060 Δίνονται τα διανύσματα α = (, ) και β = ( 3, 0) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u = 4α β 3 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης από το σημείο A,αβ ( + ) u 5 (Μονάδες 0) και διέρχεται Μονάδες 5) 3 3 β) Είναι: u = 3 + ( 4) = = 5 = 5 u u 5 Άρα = = = αβ =, 3, 0 = 3 0 = 3 0 = 3, α) Είναι: u = 4α β= 4 (, ) ( 3,0) = ( 4, 4) (,0) = ( 3, 4) Ακόμη ( ) ( ) Συνεπώς A,5 ( ) Επομένως η ευθεία που αναζητούμε περνάει από το σημείο A,5 ( ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 5 Εφαρμόζουμε τον τύπο ε :y y0 = λ ( x x0) Έτσι ε :y 5= 5 ( x ) y 5= 5x 5 Δηλαδή ε :y = 5x 7

28 GI_V_MATHP 006 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (, ), Γ( 4,3) και Δ(,3 ) α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β (Μονάδες 6) α) Είναι AΔ = (,3 ) = (,) και ΔΓ = ( 4,3 3) = (,0) Έτσι ( ) ( ) BΓ = AΔ = AΔ = + = 5 AB = ΔΓ = ΔΓ = + 0 = 4 = και ( ) ( ) β) Το σημείο Κ είναι μέσο του AΓ, επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι: xa + xγ ya + yγ K,, άρα K, = K, AB = x, y Έστω B( x,y ), άρα ( ) Είναι AB = ΔΓ x,y =,0 x = Επομένως B3, ( ) ( ) ( ) x = και y = 0 x = 3 και y= 8

29 GI_V_MATHP 006 Δίνονται τα σημεία A, (, ) B,3 ( ) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα A,B (Μονάδες ) β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου OKΛ, όπου O είναι η αρχή των αξόνων και K,Λ είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες xx, yy αντίστοιχα (Μονάδες 4) α) Αφού xa xb, ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για το AB και είναι ίσος με ( ) 3 λ = = 5 Η ευθεία διέρχεται από το B άρα θα έχει εξίσωση: (ε):y 3= 5( x ) y= 5x 7 β) Για x = 0 έχουμε y= 7 και για y= 0 έχουμε To εμβαδόν επομένως είναι ( ) 7 x = άρα OKΛ = 7 = τμ K,0 5 και Λ( 0, 7) 9

30 GI_V_MATHP 0063 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα AB με μέσο M και A, (, ) M(,5) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου B (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του AB καθώς και τα κοινά της σημεία με τους άξονες (Μονάδες 5) α) Αν B( x,y ) τότε ισχύουν x+ = x+ = 4 x = 5 y y = 0 y= = 5 άρα B( 5,) ( ) 7 β) Για το AB ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης λab = = άρα η κάθετη θα έχει 5 3 λ 3 7 ():y ε 5= 3 x+ y= 3 x = και αφού διέρχεται από το M θα έχει εξίσωση ( ) Για x = 0 έχουμε 4 y = και για y= 0 έχουμε 7 4 x = άρα 3 C 0, 4 7 και 4 D,0 3 30

31 GI_V_MATHP 0065 Δίνεται η ευθεία ε :x+ y+ = 0 και το σημείο Α ( 5, ) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα xx (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η και η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων (Μονάδες 9) α) Επειδή λε = και η ε, η ευθεία η έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και επειδή διέρχεται από το σημείο A έχει εξίσωση: η :y = x 5 y= x 4 ( ) β) Επειδή η ευθεία η είναι παράλληλη προς τον άξονα xx έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 και επειδή διέρχεται από το σημείο A έχει εξίσωση: η :y= ya y= γ) Επειδή και η η και η η διέρχονται από το A προφανώς το σημείο τομής τους είναι το A( 5, ) Η απόσταση του A από την αρχή των αξόνων είναι: ( ) OA = 5 + = 6 3

32 GI_V_MATHP 0066 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α ( 3, ), Β(,) και ( ) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ Γ, 4 (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) 4 α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι λαγ = = 3, οπότε 3 A ΑΒ A ( ) ( ) ΑΓ :y y = λ x x y = 3 x 3 y = 3x+ 9 y= 3x+ 0 β) Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το ύψος ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΓ και διέρχεται από το σημείο Β, οπότε λbδ λαγ = λβδ = και 3 4 ΒΔ :y yβ = λβδ( x xβ) y = ( x+ ) y= x+ x 3y+ 4= Το μέσο Μ της ΒΓ έχει συντεταγμένες: xm = = και ym = = 5 δηλαδή M, 5 3 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΜ είναι λ ΑM = =, οπότε ΑM:y ya = λαm( x xa) y = ( x 3) 5y 5 = 3x + 9 3x + 5y = 4 5 3

33 GI_V_MATHP 0068 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 5, 4), Β(, 6), ( ) Γ 4, και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει AM = AB 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AB (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ (Μονάδες 9) 9 γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 4,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ,Μ (Μονάδες 0) ( ) ( ) α) Είναι: AB = ( x B x A, yb ya) = ( 5 ),6 4 = 4, β) Έστω M( x M,y M) Τότε έχουμε AM = ( x x, y y ) = ( x + 5, y 4) M A M A M M AM = AB x M + 5, ym 4 = 4, x M + 5, ym 4 =, 4 4 Άρα ( ) ( ) ( ) xm + 5= xm = 4 9 Άρα ym 4= ym = 9 M 4, γ) Επειδή xm = xγ για την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Μ,Γ δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, η ευθεία αυτή είναι κατακόρυφη με εξίσωση ΜΓ :x= 4 33

34 GI_V_MATHP 0069 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 3) και β =, α) Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β (Μονάδες 0) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το β (Μονάδες 5) α) Η προβολή του διανύσματος α πάνω στο β είναι παράλληλη στο β, άρα ισχύει προβ α β προβ α λ β = () β β αβ = βπροβα αβ = β λβ αβ = λβ Επίσης ισχύει: β ( ) 3 αβ λ= = = λ= β Άρα προβ α = λ β =, =, β β) Έστω x,y οι δύο ζητούμενες συνιστώσες του α Οπότε ισχύει α = x+ y, x y και x β Από τα παραπάνω προκύπτει ότι x = προβ α =, β και y = α x = (, 3 ), =,

35 GI_V_MATHP 0070 Έστω α και β δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν π 3 α + β = 9, α β = και α, β = 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β και το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u = α 3β (Μονάδες ) (Μονάδες 3) α) Έστω 3 α + β = 9 () έχουμε: 5 α = 0 α = και α β = ( ) και από την ( ) οι δοθείσες σχέσεις Προσθέτοντας κατά μέλη για α = βρίσκουμε β = 3 Επιπλέον από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: π αβ = αβσυν α, β = α β συν = 3 = 3 3 β) Αρχικά θα υπολογίσουμε το τετράγωνο του μέτρου για το διάνυσμα u Έχουμε: u = α 3β u = α 3β u = α 3β u = ( α 3β ) u = 4α αβ + 9β u = 4 α αβ + 9 β u = u = 6 u = 6 35

36 GI_V_MATHP 007 Θεωρούμε τα σημεία Α ( + α,4α ) και Β( 5α ) +, α, α α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB = 0 (Μονάδες ) β) Έστω α = Να βρείτε σημείο Μ του άξονα xx ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ (Μονάδες 3) και AB = 0 3α + 5α = 0 9α + 4 0α + 5α = 00 α) Είναι AB = ( 5α + α, α 4α + ) = ( 3α, 5α) ( ) ( ) 34α 0α 96 = 0 7α 0α 48 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις α =, β) Για α = έχουμε ( ) 4 α = Άρα α = 7 Μ x,0 ώστε ΜΑ Α 5, 6 και Β(, ) Έστω ( ) Οπότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MA = MB x = x + = ΜΒ άρα 6 Μ,0 3 x 0x = x x + 5 x = 64 x =,

37 GI_V_MATHP 007 Θεωρούμε μια ευθεία ( ε ) και ένα σημείο Α ( 6, ) εκτός της ( ) Έστω Μ (, ) η προβολή του Α στην ( ε ) Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας ( ε ) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την ( ε ) ε (Μονάδες 3) (Μονάδες ) ( ) α) Επειδή λαμ = = και ΑΜ ( ε) είναι λε λαμ = λε = 6 ε :y y = λ x x y = x y= x 3 Άρα ( ) M ε ( M ) ( ) β) Έστω B( x,y ) το συμμετρικό του Α ως προς την ( ) Τότε ισχύει B Άρα B(,3) B 6+ x B + yb = xb = και ε = y = 3 B 37

38 GI_V_MATHP 0073 Δίνονται τα σημεία A(,3 ), B(,5) και Γ(, 4) α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) α) Επειδή λαγ = = και λαb = =, οι ΑΒ, ΑΓ δεν είναι παράλληλες, άρα τα 4 3 σημεία Α,Β, Γ δεν είναι συνευθειακά και σχηματίζουν τρίγωνο det AB, AΓ 0 Αλλιώς: ( ) 3 4 β) Το μέσο Μ της ΑΓ έχει συντεταγμένες: xm = = 0 και ym = = δηλαδή M 0, Δ x Δ,y Δ το συμμετρικό του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ Έστω ( ) Τότε ισχύει + x Άρα Δ(, 6) Δ 5+ yδ 5+ yδ = xm xδ = και = yμ = yδ = 6 γ) Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ έχουν κοινό μέσο το Μ, δηλαδή διχοτομούνται 38

39 GI_V_MATHP 040 Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A(3,),B( 3,),Γ(4,0) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς AB (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ, καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό (Μονάδες 6) 3 α) (AB):y-= (x 3) y = (x 3) y= x β) Η AB έχει συντελεστή λab =, επομένως η ΓΔ ως κάθετη στην AB 6 θα έχει συντελεστή λγδ = 6 και αφού διέρχεται από το Γ θα έχει εξίσωση : y 0 = 6(x 4) y = 6x + 4 Το μήκος του ύψους ΓΔ είναι ίσο με την απόσταση d(γ,ab) Είναι Γ(4,0)και (AB): x 6y + 9 = 0 Επομένως (ΓΔ) = d(γ,ab) = = = Σχόλιο: Είναι η GI_V_MATHP 0067, που αποσύρθηκε, με διορθωμένη εκφώνηση 39

40 GI_V_MATHP 048 Δίνονται τα διανύσματα α = i j, β = i 5j και γ = ( 7,3) α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α,β, γ είναι μη συγγραμμικά ανά δύο (Μονάδες 0) β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β (Μονάδες 5) α) Είναι α = (, ), β = (, 5) και γ = ( 7,3) Επομένως έχουν συντελεστές διεύθυνσης : λ α = =, 5 5 λ α = = και 3 λ α = αντίστοιχα 7 Αφού οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ανά δύο διαφορετικοί, τότε τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά ανά δύο β) Θέλουμε να γράψουμε το διάνυσμα γ στη μορφή: γ= κα+ μβ με κ,μ Επομένως ( 7,3) = κ (, ) + μ (, 5) ( 7,3) = ( κ, κ) + ( μ, 5μ ) ( 7,3) = ( κ + μ, κ 5μ ) κ + μ = 7 κ + 4μ = 4 κ 5μ = 3 κ 5μ = 3 Από τις σχέσεις ( ) και ( ) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει μ = 7 και με αντικατάσταση κ = 4, άρα γ = 4α 7β () ( ) 40

41 GI_V_MATHP 8556 Δίνονται τα διανύσματα α και β π με ( α,β) = 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Αν τα διανύσματα α+ β γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α+ β και α =, β = και κα + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) π α) Είναι αβ = α β συνα,β ( ) = συν = = 3 β) ( α+ β) ( κα+ β) ( α+ β) ( κα+ β) = 0 κα + αβ + καβ + β = 0 κ α + + κ + β = 0 κ + + κ + = 0 4κ + 4+ κ + 8= 0 6κ = κ = ( ) γ) Είναι α+ β = α+ β = α + αβ + β = 4 α + 4αβ + β = = ( ) ( ) ( ) Τότε είναι α+ β = 4 = 4 6 = 6 = = 4 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν α= ( x,y ), β= ( x,y) γ= x,y α β+ γ =

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: )

(Έκδοση: ) (Έκδοση: 0 03 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 0 03 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 43 Α. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 06 12 2014)

(Έκδοση: 06 12 2014) (Έκδοση: 06 04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 04 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ www.thetiko.gr 1. Λάθος. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Λάθος 10. Λάθος 11. Λάθος 1. Σωστό 13. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3Μλ2Θ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 ίνονται τα διανύσµατα a= ( x1, y1)

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / 7 / 0 1 8 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑ Β.,.,. ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. σελ.. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.. σελ. 5.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων 1 ίνονται τα διανύσµατα α,, x, y για τα οποία ισχύουν: x+ y= α+ 4 και 4x y= α+ Nδο τα διανύσµατα x, y είναι οµόρροπα Αν ισχύει η ισότητα MA+ 5ΡΑ = 3ΡΜ+ ΡΒ 4ΓΜ νδο τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 Ε_.ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω a, v

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ❶ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΣΤ ❶ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΣΤ ❶ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών α) Να δείξετε ότι οι ευθείες έχουν εξισώσεις : : y x και ( ): y x 5 β) Να βρεθεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Kόλλιας Σταύρος 1

Kόλλιας Σταύρος  1 Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα