Κβαντικοί Καταχωρητές. Τέηαξηε Γηάιεμε

Transcript

1 Κβαντικοί Καταχωρητές Τέηαξηε Γηάιεμε

2 Κλασικός και Κβαντικός Καταχωρητής Έλαο θιαζηθόο θαηαρσξεηήο είλαη έλα ζύλνιν από bits ζηνλ νπνίν απνζεθεύνληαη νη ηηκέο θάπνησλ κεηαβιεηώλ. Οη θβαληηθνί θαηαρσξεηέο είλαη έλα ζύλνιν από qubits δηαηεηαγκέλα ζε ζεηξά.

3 Κβαντικός Καταχωρητής 2 qubit Σηελ θιαζηθή πεξίπησζε ν θαηαρσξεηήο κπνξεί λα βξεζεί ζε 2 2 =4 δηαθνξεηηθέο θαηαζηάζεηο ηηο: [00],[01],[10],[11]. Σηελ πεξίπησζε ηνπ θβαληηθνύ θαηαρσξεηή απηόο βξίζθεηαη ελ ζηελ θαηάζηαζε q R > ν νπνία είλαη, ελ γέλε, γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ ηαλπζηηθώλ γηλνκέλσλ ησλ βαζηθώλ θαηαζηάζεσλ ηνπ θάζε qubit δειαδή qr ij qi q j κε qi q j qiq j Σηελ πεξίπησζε ησλ δύν qubit ζα έρνπκε. i, j q c 00 c 01 c 10 c 11 c 0 c 1 c 2 c 3 c q R i i 0 γηα ην ζύζηεκα ησλ 2 qubit ε 1 είλαη ζε κνξθή πηλάθσλ 1 0 γηα ην ην θάζε qubit 0 θαη 1>= άξα 01>=

4 Κβαντικός Καταχωρητής Σηελ θιαζηθή πεξίπησζε έλαο θαηαρσξεηήο κπνξεί λα βξεζεί είηε ζηελ [00] είηε ζηελ [01] είηε ζηελ [10] είηε ζηελ [11]. Σηελ θβαληηθή ε q R >ζα βξίζθεηαη κε πηζαλόηεηα c i 2 ζηελ θάζε θαηάζηαζε i> Τη ζεκαίλεη απηό ; Έζησ ζπλάξηεζε F(x) πνπ παίξλεη ηηο ηηκέο 1,2,3,4, Σηελ θιαζηθή πεξίπησζε ζα πξέπεη λα πάξεη ηηο ηηκέο δηαδνρηθά αθνύ ν θιαζηθόο θαηαρσξεηήο θνξηώλεη θάζε θνξά κηα ηηκή. Σηελ θβαληηθή πεξίπησζε ν θαηαρσξεηήο θνξηώλεη θαη ηηο 4 ηηκέο ηαπηόρξνλα αθνύ i F q c F c F c F c F c F i R i

5 3 qubits Έστω 3 qubits τα Το τανυστικό τους γινόμενο

6 3 qubits Οι διάφορες βασικές καταστάσεις υπολογίζονται όπως την 101> Μια τυχαία κατάστασης q R >είναι

7 Ν qubits Γενικά για Ν qubits η κατάσταση ενός κβαντικό καταχωρητή γράφεται q q q q q q q q q q n N1 N2 N3 1 0 N1 N2 1 0 αλ αληηζηνηρίζνπκε ηα k m N κε k, m {0,1, } nm q N ζε i γηα ηηο 2 δηαζηάζεηο ηζρύεη Γενικά η κάθε κατάσταση γράφεται i

8 Τι σημαίνουν τα παραπάνω ; Έλαο θβαληηθόο θαηαρσξεηήο πνπ απνηειείηαη από Ν qubit κπνξεί λα θξαηήζεη ηαπηόρξνλα 2 Ν αξηζκνύο. Αλ ζε θβαληηθό θαηαρσξεηή Ν qubit πξνζζέζνπκε άιιν έλα ηόηε νη αξηζκνί πνπ κπνξεί λα θξαηήζεη δηπιάζηάδνληαη γίλνληαη δειαδή 2 Ν+1. Με ηηο θαηάιιειεο θβαληηθέο πύιεο κπνξνύκε λα επεμεξγαζηνύκε ηαπηόρξνλα 2 Ν!!!!!! δεδνκέλα ελώ κε ζηελ ζπκβαηηθή θιαζηθή πεξίπησζε κόλν 1. Σηελ ηδηόηεηα απηή βαζίδεηαη ε δπλαηόηεηα ησλ θβαληηθώλ ππνινγηζηώλ λα επεμεξγάδνληαη κεγάιεο πνζόηεηεο δεδνκέλσλ ζε κεδεληθό ρξόλν ζε ζρέζε κε ηνπο ζπκβαηηθνύο ππνινγηζηέο. Τέηνηεο πεξηπηώζεηο είλαη ςάμηκν ζε ηεξάζηηεο βάζεηο δεδνκέλσλ, θαη πνιύπινθα ππνινγηζηηθά πξνβιήκαηα.

9 Κβαντικές Πύλες Τέηαξηε Γηάιεμε

10 Κλασικές και Κβαντικές Πύλες Σηνπο ζπκβαηηθνύο ππνινγηζηέο: Φπζηθά ζπζηήκαηα πνπ ε πιεξνθνξία δηέξρεηαη από κέζα ηνπο. (ινγηθέο πύιεο απνηεινύκελεο από θπθιώκαηα ηα νπνία κεηαθέξνπλ ηελ πιεξνθνξία ζαλ ηάζε αλάινγα ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηνπο). Σηνπο θβαληηθνύο ππνινγηζηέο : Γξάζεηο πνπ αζθνύληαη ζε θβαληηθνύο θαηαρσξεηέο θαη αληηπξνζσπεύνληαη από ηειεζηέο πνπ είλαη ζπλήζσο πίλαθεο. Από ηηο θβαληηθέο πύιεο δελ δηέξρεηαη ε πιεξνθνξία αιιά αιιάδεη από απηέο θαζώο είλαη απνζεθεπκέλε ζηα qubits.

11 Προϋποθέσεις για τις Κβαντικές Πύλες Απνζηνιή ησλ θβαληηθώλ πνπ ππιώλ είλαη λα αιιάδνπλ ηα δηαλύζκαηα ηνπ ρώξνπ Hilbert. Να ηα αιιάδνπλ αιιά λα αλήθνπλ θαη κεηά ηελ αιιαγή ζηνλ ίδην ρώξν, άξα ζα πξέπεη λα δηαηεξνύλ ην κήθνο ηνπο Γηαλύζκαηνο θαηάζηαζεο (ίζν κε 1). Οη ηειεζηέο πνπ θάλνπλ απηό ην πξάγκα νλνκάδνληαη νξζνκνλαδηαίνη (Unitary) Θα πξέπεη λα δηαηεξνύλ ηε ρξνληθή ζπκκεηξία ηνπ ζπζηήκαηνο, ε ζπκπεξηθνξά ηνπ ζπζηήκαηνο λα κελ αιιάδεη δειαδή αλ αιιάδεη ε ξνή ηνπ ρξόλνπ δειαδή αλ έλαο ηειεζηήο G δξάζεη ζε θαηάζηαζε q R1 > θαη δίλεη q R2 > αλ δξάζεη ζην q R2 > λα δώζεη ην q R1 >. G q q θαη G q q R1 R2 R2 R1

12 Κβαντικές πύλες 1 qubit Κβαληηθέο πύιεο 1 qubit ζα κπνξνύζακε λα πνύκε όηη είλαη όινη νη 2x2 πίλαθεο πνπ δηαηεξνύλ ην κήθνο ηνπ θαηαζηαηηθνύ δηαλύζκαηνο θαη ηελ ηζνηηκία (parity) Απνδεηθλύεηαη όηη κηα κνξθή πνπ κπνξνύλ λα πάξνπλ νη κήηξεο απηέο είλαη i 2 cos sin i 2 i e e 0 U e i i 2 sin cos 2 0 e 0 e 2 2 κε ηα α,β,γ,δ λα είλαη πξαγκαηηθνί αξηζκνί

13 Κβαντική πύλη αδράνειας Δίλαη ε πύιε πνπ αθήλεη αλεπεξέαζην έλα θβαληηθό ζύζηεκα (do nothing) όπσο είλαη θπζηθό πεξηγξάθεηαη από ην κνλαδηαίν 2x2 πίλαθα. Γηα ηελ γεληθή πεξηγξαθή α=β=γ=δ=0 Ιζρύεη I q q θαη ην ζύκβνιν πνπ ρξεζηκνπνηνύκε θαζώο θαη ν πίλαθαο αιεζείαο ηεο θαίλεηαη παξαθάησ q 1 > q o > 0> 0> 1> 1> q> q> q 1 > I q 0 > I

14 Κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης Αλ ζηνλ γεληθό ηύπν γηα ηνπο Unitary πίλαθεο ζέζνπκε γ=0, α=β/2+δ/2 θαη ηειηθά Φ=β+δ πξνθύπηεη ε θβαληηθή πύιε κεηαηόπηζεο θάζεο ε νπνία ηειηθά παίξλεη ηελ κνξθή 1 0 U i 0 e Αλ δξάζεη ε παξαπάλσ πύιε ζ έλα θαηαζηαηηθό δηάλπζκα ην πεξηζηξέθεη θαηά φ δειαδή αλ q είλαη q a 0 b 1 ηόηε a a q0 q1 i i 0 e b e b νπόηε ηειηθά ην θαηαζηαηηθό δηάλπζκα είλαη i q a 0 e b 1 Φ q 1 > q 0 > q 1 > q o > 0> 0> 1> e iθ 1> α 0>+β 1> α 0>+e iθ β 1>

15 Κβαντική πύλη Hadamard Αλ ζηνλ γεληθό ηύπν γηα ηνπο Unitary πίλαθεο ζέζνπκε γ=3π/2, α=π/2, β=3π θαη δ=0 πξνθύπηεη ε θβαληηθή πύιε Hadamard ε νπνία ηειηθά παίξλεη ηελ κνξθή U H ζπγθεθξηκέλε πύιε αλ ην ζύζηεκα βξίζθεηαη ζε ηδηνθαηάζηαζε ην κεηαθέξεη ζε γξακκηθό ζπλδπαζκό ελώ αλ μαλαδξάζεη ην επηζηξέθεη ζηελ αξρηθή ηνπ θαηάζηαζε. Γειαδή ( 0 1 ) θαη ( 1 0 ) q 1 > q o > 0> 1/ 2( 0>+ 1>) 1> 1/ 2( 0>- 1>) q 1 > Η q 0 > 1/ 2( 0>+ 1>) 0> 1/ 2( 0>- 1>) 1>

16 Κβαντική πύλη Not Μηα άιιε θβαληηθή πύιε είλαη ε πύιε Not ε νπνία αιιάδεη ηελ θαηάζηαζε ελόο qubit από 0> ζε 1> ε πύιε ν ζπκβνιηζκόο ηεο θαη ε δξάζε ηεο πεξηγξάθεηαη παξαθάησ

17 Κβαντική πύλη Ελεγχόμενου ΌΧΙ Μηα πύιε ε νπνία δελ δξα κόλν ζε έλα αιιά ζε 2 qubit είλαη ε πύιε CNOT Λέγεηαη πύιε ειεγρόκελνπ όρη, γηαηί αλάινγα κε ην αλ ην έλα qubit (ειέγρνπ C>) είλαη 1> αιιάδεη ην άιιν qubit (ζηόρνπ t>), ελώ αλ είλαη 0> κέλεη σο έρεη. Βιέπνπκε δξάζε, πίλαθα αιεζείαο θαη ηειεζηή παξαθάησ, επηζεκάλεηαη όηη ην qubit ειέγρνπ δελ αιιάδεη. CNOT c t c t i i o o

18 No Cloning Theorem Σηελ θβαληηθή κεραληθή είλαη αδύλαην λα ππάξμεη κεραληζκόο ν νπνίνο ζα δεκηνπξγεί κηα παλνκνηόηππε κε κηα ππάξρνπζα θβαληηθή θαηάζηαζε. Γειαδή δελ είλαη δπλαηόλ λα ππάξμεη θβαληηθή πύιε πνπ ζα αληηγξάθεη έλα qubit ζ έλα άιιν δειαδή δελ είλαη δπλαηόλ λα ππάξμεη πύιε C ηέηνηα ώζηε: C q 0 q q

19 Απόδειξη No Cloning Theorem Έζησ πύιε C ηέηνηα ώζηε C q 0 q q θαη δξα ζε δύν qubits q> θαη b> νξζνγώληα κεηαμύ ηνπο θαη ηα αληηγξάθεη νπόηε 1 C q 0 q q θαη C b 0 b b έζησ c> έλα άιιν qubit ην νπνίν c q b 2 δξώληαο κε ην ηελ C ζην c> έρνπκε C c0 C q b 0 C q0 C b0 ( qq bb Θα πξέπεη όκσο 1 1 C c0 cc c c q b q b ( qq qb bq bb ) Τα πξώηα κέιε είλαη ίζα ελώ ηα δεύηεξα δελ είλαη άξα ε ππόζεζε δεν είλαη ζσζηή άξα δελ ππάξρεη C ηέηνηα ώζηε C q 0 q q 1

20 Συνοψίζοντας Τα qubits είλαη δηαλύζκαηα ζην ρώξν Hilbert. Oη θβαληηθέο πύιεο είλαη Unitary ηειεζηέο πνπ δξνπλ ζηα qubits θαη ηνπο αιιάδνπλ ηελ θαηάζηαζή ηνπο, ζηελ νπζία πεξηζηξέθνληάο ηα αθνύ δελ αιιάδεη ην κήθνο ηνπο (κνλάδα). Οη πνίν δηαδεδνκέλεο θβαληηθέο πύιεο πνπ δξνπλ ζε 1 qubit είλαη ε πύιε αδξάληαο Ι, ε πύιε Ννt, ε πύιε κεηαηόπηζεο θάζεο Φ θαη ε Hadamard Η Σε δύν qubits κπνξνύλ λα δξάζνπλ ε CNOT Καη ε CΦ. Με ηηο CNOT, Φ θαη, Η κπνξνύκε γεληθά λα εθηειέζνπκε νπνηνδήπνηε θβαληηθό ππνινγηζκό. Γελ κπνξνύκε λα αληηγξάςνπκε ηελ θαηάζηαζε ελόο qubit.

21 Κανονικοποίηση Κυματοσυναρτήσεων 2 2 Έζησ q a 0 b 1 κε a b 1 ηόηε ηα ket απηά κπνξεί λα γίλνπλ θαηαζηαηηθά δηαλύζκαηα αλ αληηθαηαζηαζνύλ a b ηα a θαη b κε θαη αληίζηνηρα a b a b θαη ελ γέλε γηα ηελ πεξίπησζε πνιιώλ θαηαζηάζεσλ a i κε a N1 a i0 i i 2