9. SINTEZA SISTEMA SA KONAČNIM IMPULSNIM ODZIVOM

Transcript

1 9. SINTEZA SISTEMA SA KONAČNIM IMPULSNIM ODZIVOM Pozato je da u aalogim sistemima e ostoje fucije eosa oje imaju samo ule, je se to otivi uslovima fiziče ostvaljivosti [R-, P-]. Zbog toga se fucije eosa sistema sa oačim imulsim odzivom (FIR tia) sitetizuju dietom sitezom u z-avi, uglavom uz uotebu ačuaa. U ovom oglavlju će biti azmoteo eolio ostuaa siteze FIR sistema od ojih svai ima svoje edosti i edostate. Najjedostaviji za imeu je metod siteze oji oisti ozose fucije za ogaičavaje imulsog odziva. Nešto složeiji metod je metod fevecijsog odabiaja oji je u tesoj vezi sa metodom ealizacije oji je oisa u odelju Najbolji ezultati se dobijaju oišćejem otimizacioih metoda ojetovaja, osebo Remezovog algoitma za izjedačavaje estemuma. U oeđeju sa IIR sistemima, može se lao uočiti da FIR sistemi oji zadovoljavaju iste secifiacije uve imaju zato viši ed. Objašjeje ove ojave je vlo jedostavo: fucija eosa FIR tia ima zato maji boj slobodih aametaa od fucije eosa IIR tia oja je istog eda. Stoga se može ostaviti itaje imaju li FIR filti imeu u obadi sigala. Odgovo a ovo itaje je višestuo otvda. Pe svega, omoću fucija eosa FIR tia mogu se tačo ostvaiti ee aateistie oje IIR sistemi mogu samo aosimativo da ostvae. Tave aateistie su a ime: lieaa faza, lieaa amlitudsa aateistia, ostata fazi omeaj od 9. Osim toga, mogu se jedostavo ojetovati i seletivi filti od ojih su gabaiti zadati a estadada ači oji oemogućava imeu lasiče siteze u aalogom domeu i esliavaje. Nagli oast iteesovaja za FIR sisteme astao je sa azvojem tehia za bzo izačuavaje disete Fuijeove tasfomacije što je omogućilo ovećaje efiasosti izačuavaja sistema baziaih a FIR stutuama. U osledjih eolio godia, sa ojavom secijalizovaih ocesoa za bzo izačuavaje ovolucije, itees za FIR sisteme je još više oveća. 9. NEKE VAŽNE OSOBINE FIR SISTEMA SA LINEARNOM FAZOM Fucija eosa disetog sistema sa oačim imulsim odzivom (FIR) data je izazima (6.43) i (7.4): M Hz ( ) bz hz [ ] M (9.) Na jediičom ugu fevecijsi odziv FIR sistema dat je izazom: 95

2 96 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom H ( e j ) M h[ ] e j H ( e j ) e jag H ( e j ) M ( ) e jθ( ) (9.) gde je M () amlitudsa aateistia, a θ () faza aateistia sistema. Umesto faze aateistie se, ao i od aalogih sistema, oisti fazo ašjeje defiisao izazom: ili, guo ašjeje: θ( ) τ ( ) (9.3) dθ( ) τg ( ) d (9.4) oje je zato ogodije za izačuavaje i meeje. U slučaju da FIR sistem oseduje lieau fazu aateistiu, jegov imulsi odziv, amlitudsa aateistia, ao i asoed ula u z- avi imaju izvese secifičosti oje će biti detaljije azmotee u daljem testu. 9.. OSOBINE IMPULSNOG ODZIVA FIR SISTEMA SA LINEARNOM FAZOM Posmatajmo FIR sistem sa ealim imulsim odzivom h [ ] čije su i guo i fazo ašjeje ostati: τ g ( ) τ ( ) τ (9.5) Faza aateistia tavog FIR sistema je očigledo lieaa: M θ( ) τ ta M h[ ]si h[ ]cos (9.6) Nalažejem tagesa leve i dese stae jedačie (9.6) dobija se: odoso, M ta si τ cosτ M τ M h[ ]si h[ ]cos M (9.7) h [ ](cossi τ si cosτ) h[ ]si( τ ) (9.8) Tigoometijsa jedačia (9.8) ima mogo ešeja, od ojih je jedo veoma jedostavo: M τ (9.9) h [ ] hm [ ],,, M (9.) Dale, fucija eosa sa oačim imulsim odzivom može imati ostato guo i fazo ašjeje u celom ousom osegu ao ima imulsi odziv oji je simetiča. Ao je M

3 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 97 eaa boj (Ti I FIR filta) imulsi odziv je simetiča u odosu a cetali odbia sa idesom ( M ). Ao je M aa boj (Ti II FIR filta) imulsi odziv je simetiča u odosu a taču oja leži a sedii između odbiaa sa idesima ( M ) i M. Slučaj simetičog imulsog odziva iaza je a slici 9.. h[] h[] (a) (b) Slia 9. Imulsi odziv FIR sistema oji obezbeđuje ostato fazo i guo ašjeje: (a) M eao, (b) M ao. Međutim, u većii imea u teleomuiacijama zahteva se da samo guo ašjeje bude ostato. Tada faza aateistia može da ima složeiji obli: M θ( ) τ + θ ta M h[ ]si h[ ]cos (9.) odale se, sličim ostuom ao u ethodom slučaju, dobija jedačia: čije je ešeje: M h [ ]si( τ θ ) (9.) π θ ± (9.3) M τ (9.4) h [ ] hm [ ],,, M (9.5) U ovom slučaju, fucija eosa sa oačim imulsim odzivom može imati ostato guo ašjeje u celom ousom osegu ao ima imulsi odziv oji je atisimetiča. Ao je M eaa boj (Ti III FIR filta) imulsi odziv je atisimetiča u odosu a cetali odbia sa idesom ( M ). Ao je M aa boj (Ti IV FIR filta) imulsi odziv je atisimetiča u odosu a taču oja leži a sedii između odbiaa sa idesima ( M ) i M. Slučaj atisimetičog imulsog odziva iaza je a slici 9.. h[] h[] (a) (b) Slia 9. Imulsi odziv FIR sistema oji obezbeđuje ostato guo ašjeje: (a) M eao, (b) M ao.

4 98 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 9.. OSOBINE AMPLITUDSKE KARAKTERISTIKE FIR SISTEMA SA LINEARNOM FAZOM Zbog simetičosti ili atisimetičosti imulsog odziva FIR sistema sa lieaom fazom, fevecijsi odziv tavih sistema se može aisati a osebo jedostava ači. Posmatajmo FIR fuciju tia I (imulsi odziv simetiča, M eaa boj). Iz (9.) sledi: ( M 3) M j j j( M ) j (9.6) H( e ) he [ ] + h[( M )] ] e + he [ ] ( M+ ) gde se, a osovu (9.) i smeama M m i m, duga suma može tasfomisati u obli: M M ( M 3) j j j ( M ) he [ ] hm [ e ] he [ ] (9.7) ( M+ ) ( M+ ) čime se (9.6) svodi a: ( M 3) jω j( M ) M He ( ) e h[( M ) ] + h [ ]cos (9.8) Smeom ( M ) iz (9.8) se dobija: ( M ) j j( M ) He ( ) e a cos (9.9) gde je: a h[( M ) ] (9.) a h[( M ) ] (9.) Na sliča ači se, za FIR filta tia II (imulsi odziv simetiča, M aa boj), iz (9.) i (9.) dobija: M j j( M ) He ( ) e b cos (9.) gde je: b h [ M ] (9.3) U slučaju FIR filta tia III (imulsi odziv atisimetiča, M eaa boj), ima se: ( M ) ( M ) j j[ ( M ) π ] j( M ) H ( e ) e a si je a si (9.4) a za FIR filta tia IV (imulsi odziv atisimetiča, M aa boj): M M j j[ ( M ) π ] j( M ) H ( e ) e b si je b si (9.5)

5 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 99 gde su a i b dati izazima (9.) i (9.3). Vidi se da se u sva četii slučaja fevecijsa aateistia može aisati u obliu: j j( M ) jk π H ( e ) e e H ( ) (9.6) gde je K za FIR filte tia I i II, do je K za FIR filte tia III i IV, i gde je H () eala fucija učestaosti oja se, osle oišćeja eih tigoometijsih idetiteta, može aisati u obliu: gde je: H ( ) Q( ) P( ) (9.7) L P( ) α cos (9.8) Kao što se vidi, FIR filta tia I već ima fevecijsi odziv u obliu (9.8), a je Q ( ). Za filta tia II, iz (9.) se osle majih matematičih maiulacija dobija: M ( ) cos H α cos Q( ) P( ) (9.9) gde je: α α α M 5. b b α,, M (9.3) b M Za filta tia III se dobija: ( M 3) ( ) si H α cos Q( ) P( ) (9.3) gde je: α α α α Za filta tia IV se dobija: a ( M 3) ( M ) a ( M 5) ( M 3) α a,,( M 5) α a (9.3) M ( ) si H α cos Q( ) P( ) (9.33) gde je: α α α b M M α b,, M (9.34) 5. α b Kaateističi aameti oji defiišu oliome P ( ) i Q( ) iazai su u Tabeli 9..

6 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom Tabela 9. Kaateističi aameti olioma P() i Q() Ti FIR filta Q () α L Ti I a ( M ) Ti II Ti III Ti IV cos (9.3) M si (9.3) ( M 3) si (9.34) M 9..3 RASPORED NULA U Z-RAVNI FIR SISTEMA SA LINEARNOM FAZOM Zbog simetije ili atisimetije imulsog odziva, ule FIR fucije eosa zadovoljavaju, osim ojugovae omlesosti, i ee dodate uslove. Na ime, ao je M eaa boj, iz (9.) se imeom (9.) ili (9.5) dobija: ( M ) M M M Hz ( ) z 3 ( ) h [ ]( z ( ) ± z [( ) ] ) + h[( M ) ]( z ± z) (9.35) gde za + odgovaa simetičom a za atisimetičom imulsom odzivu. Smeom ( M ), jedačia (9.35) se može dovesti a jedostaviji obli: ( M ) ( M ) ( z ± z ) N( z) H ( z) z a (9.36) D( z) gde su a i a dati fomulama (9.) i (9.). Kao u slučaju simetičog ili atisimetičog imulsog odziva važi: M ( M ) ( M ) Hz ( ) hz [ ] ± hm [ z ] ± hzz [ ] ± z Hz ( ) (9.37) M M ao je z i ula fucije eosa FIR filta sa lieaom fazom H( z), oda i z i taođe moa biti ula fucije eosa H( z). S obziom da ule fucije eosa taođe moaju biti i ojugovao omlese, ule fucije eosa FIR filta moaju imati sledeće osobie:. Komlese ule fucije eosa oje e leže a jediičom ugu javljaju se u vaduletima (guama o četii ojugovao omlese i ecioče ule) a loacijama: z i, z i, z i i ( z i ),. Reale ule fucije eosa oje e leže a jediičom ugu javljaju se u eciočim aovima: z i, z i, 3. Pozvolja boj ojugovao omlesih aova ula može ležati a jediičom ugu ošto je: jφ jφ ( z zi )( z zi ) ( z e i )( z e i ) z z (9.38) zi zi 4. Poizvolja boj ula može ležati u tačama z i ±, je je tada taođe z i ±.

7 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom Slučaj ule u tači z je osebo važa. Iz jedačie (9.37) sledi: ( M ) H( ) ± ( ) H( ) (9.38) Nea je imulsi odziv simetiča. Ao je M eaa boj (Ti I), (9.38) je idetitet. Međutim, ao je M aa boj (Ti II), dobija se H( ) H( ) iz čega sledi da je H( ). Dale, ti II FIR filtaa sa lieaom fazom moa imati ulu u tači z. Ao je imulsi odziv atisimetiča važi obuti zaljuča, tj. da ti III filta (M eao) moa imati ulu u tači z. Duga iteesata tača je z. Tada se (9.37) svodi a: H() ± H() (9.39) U simetičom slučaju to je idetitet, ali u atisimetičom slučaju (9.39) može biti zadovoljeo samo ao je H( ). Dale, ti III i ti IV FIR filta moaju imati ule u tači z. Poliom N ( z) čije ule zadovoljavaju uslove -4 aziva se oliom sa ogledalsom simetijom. 9. SINTEZA FIR SISTEMA POMOĆU PROZORSKIH FUNKCIJA Pošto su, ao što se vidi iz ethodog izlagaja, od iteesa uglavom FIR filti sa lieaom fazom, u većii metoda siteze se uaed etostavlja da je faza lieaa i vodi se ačua samo o aosimaciji amlitudse aateistie. Lieaost faze obezbeđuje se simetičošću ili atisimetičošću imulsog odziva. Nea je dat željei obli amlitudse j aateistie H D ( e ). S obziom da je amlitudsa aateistia disetog sistema otiuala j eiodiča fucija učestaosti ω, H ( e ) se može azviti u Fuijeov ed: D j j D ( e ) hd[ e (9.4) H ] gde su Fuijeovi oeficijeti, odoso oeficijeti imulsog odziva, ema (.8) dati izazom: π j j D ] π H D ( e ) e d π h [ (9.4) Smeom e j z u (9.4) dobija se fucija eosa: HD( z) hd[ ] z (9.4) Kao što se vidi, dobijea fucija eosa (9.4) ije ostvaljiva, je je besoačog eda i ije auzala. Da bi se dobila fucija eosa oačog eda otebo je ogaičiti imulsi odziv, dat sa (9.4), odsecajem oeficijeata čiji je ides veći od ee odabae vedosti. Ao imulsi odziv teba da ima M odbiaa, gde je M eaa boj, oda se odsecaje može ostvaiti a sledeći ači: M h [ ], ~ D h [ ] M, > (9.43)

8 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom čime se dobija fucija eosa Hz ~ ( ) oja još uve ije auzala. Da bi se dobila auzala fucija eosa, otebo je omeiti imulsi odziv za ( M ) odbiaa udeso, što se u z ( M ) domeu svodi a možeje sa z. Dale, M ~ M h M h [ ] h D,,,, (9.44), <, M M M ~ ( 3) ( ) M M M Hz ( ) z Hz ( ) ( ) z h [( M ) ] h [ ] [( ) )] [( ) )] + [ z + z ] (9.45) j Međutim, ao se aalizia dobijea fevecijsa aateistia H ( e ) može se videti da j jω oa zato odstua od željee fevecijse aateistie H D ( e ). Na ime, ao HD ( e ) edstavlja aateistiu idealog NF filta sa lieaom fazom: H D jτ j e, < ( e ), > c c (9.46) oda su odstuaja, oja imaju oscilatoi aate, aočito velia u delovima ousog i eousog osega u eosedoj blizii gaiče učestaosti c. Neoželje oscilacije amlitudse aateistie, oje su iazae a slici 9.3, azivaju se Gibsove oscilacije (Gibbs). H(e jω) π.4π.6π.8π π ω Slia 9.3 Amlitudsa aateistia FIR filta sitetizovaog avougaoom ozosom fucijom za M 5. j Isitivajem fevecijse aateistie H ( e ) može se odediti masimala vedost emašeja amlitude oja izosi oo 9% (.75 db) i soo je ezavisa od izabae vedosti M, što zači da se valitet aosimacije vlo malo oboljšava sa oastom eda aosimacioe fucije. Realizovao slabljeje u eousom osegu je elativo malo, i u ajgoem slučaju izosi svega db. Pojava Gibsovih oscilacija je osledica soe ovegecije Fuijeovog eda, oja je izazvaa disotiuitetom i elazu sa ousog a eousi oseg. Kao je taj disotiuitet uobičajea ojava od svih seletivih filtasih fucija, osto eidaje imulsog odziva ije dobo ešeje.

9 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 3 Najefiasiji ači za suzbijaje Gibsovih oscilacija je imea ozosih fucija za saćivaje Fuijeovog eda (9.4). Nea simetiča seveca oače dužie M, w ( ),,,, M, čija je z-tasfomacija W( z), edstavlja ozosu fuciju. Ao se imulsi odziv dobije elacijom (9.44) modifiuje oišćejem ozose fucije: M wh [ ] M hw[ ] D,,,, (9.47), <, M oda se fucija eosa dobija oišćejem elacije o z-tasfomaciji oizvoda dve sevece (6.) ao: z H w( z) H D ( u) W u du j (9.48) π u C Smeama z e j i u e j υ iz (9.48) se dobija: π j jυ j( υ) Hw( e ) H( e ) W[ e ] dυ π (9.49) U slučaju ostog eidaja imulsog odziva h ozosa fucija ima obli: D [ ], ada se ojavljuju Gibsove oscilacije,,,, M wr[ ] (9.5), <, M i aziva se avougaoa ozosa fucija. Seta avougaoe ozose fucije dat je izazom (4.48): ( ) si( M ) si( ) j j( M ) W R e e (9.5) i iaza je a slici 4.6b. Sada se objašjeju ojave Gibsovih oscilacija može istuiti i a dugi ači. Razlog za ojavu Gibsovih oscilacija je ovolucija u fevecijsom domeu (9.49) između željee fevecijse aateistie i fevecijse aateistie avougaoe ozose fucije oja izaziva odstuaja od željee aateistie. Odstuaja su osledice dve aateistie seta ozose fucije. Šiia glavog lua u setu ozose fucije utiče a šiiu elaze zoe, do amlituda bočih luova u setu ozose fucije utiče a amlitudu Gibsovih oscilacija. Dale, doba ozosa fucija tebalo bi da ima što uži glavi lu i što veće otisivaje bočih luova, što su otaditoi zahtevi. U odelju 4.7 azmataa je imea ozosih fucija u setaloj aalizi sigala oačog tajaja. Patičo, sve ozose fucije oje su oisae u odelju 4.7 mogu biti isoišćee i u sitezi FIR filtaa. Međutim, ostoje ee azlie u ačiu imee ozosih fucija u setaloj aalizi i sitezi FIR filtaa, među ojima su ajvažije:. Pozose fucije u setaloj aalizi ajčešće imaju aa boj člaova (običo ) do ozose fucije u sitezi FIR filtaa imaju eaa boj člaova. Ova azlia je osledica čijeice da ajefiasiji algoitmi za izačuavaje DFT zahtevaju da seveca ima aa boj

10 4 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom člaova, a u sitezi FIR filtaa se izbegava aa boj odbiaa u imulsom odzivu je uosi ecelobojo ašjeje.. Šiia elaze zoe između ousog i eousog osega ovezaa je elieaom elacijom sa šiiom glavog lua u setu ozose fucije. 3. Masimala geša amlitudse aateistie FIR filta zavisi a elieaa ači od masimale amlitude bočih luova u setu ozose fucije. Zbog ojava avedeih od i 3, tešo je uaed oceiti da li će imea izabae ozose fucije dati zadovoljavajući ezultat u sitezi FIR filta. Da bi se olašala imea ozosih fucija, ee aateistie ozosih fucija oje su od iteesa za oces siteze date su u Tabeli 9.. Na ime, u oloama i 3 Tabele 9. date su ibliže vedosti šiie elaze zoe i geše u aosimaciji ideale amlitudse aateistie u db. Iao je imea ozosih fucija uz uotebu Tabele 9. u sitezi FIR filtaa olašaa, oces ojetovaja oji se sastoji od izboa odgovaajuće ozose fucije i izboa odgovaajuće vedosti M ije dovoljo flesibila. Naime, avedee ozose fucije emaju mogućost za fiu otolu šiie elaze zoe, što je jeda od bitih fatoa oji aateiše oces siteze. Tavu otolu omogućavaju Kajzeova i Dolf-Čebiševljeva ozosa fucija oje su oisaa u odelju 4.7. Pozo Tabela 9. Kaateistie eih ozosih fucija u sitezi FIR filtaa. Šiia elaze zoe Miimalo slabljeje u eousom osegu β za evivaleti Kajzeov ozo Šiia elaze zoe sa evivaletim ozoom Pavougaoi.8π/M -.8π/(M-) Haov 6.π/(M-) π/(M-) Hemigov 6.6π/(M-) π/(M-) Blemaov π/(m-) π/(M-) 9.. SINTEZA FIR SISTEMA POMOĆU KAJZEROVE PROZORSKE FUNKCIJE Kajzeova ozosa fucija ašla je ajveću imeu u sitezi FIR filtaa sa lieaom fazom, zbog toga što je defiisaa jedostavim izazom (4.63) u ome se slobodim aametom β može ostvaiti omomis između šiie glavog lua i amlitude bočih luova u setu ozose fucije. Time se idieto može odešavati šiia elaze zoe i vaijacija amlitude u ousom i eousom osegu. Na ime, ao se uotebi veća vedost za β dobija se ozosa fucija sa osteeijim eidom što za osledicu ima maje amlitude bočih luova i veću šiiu glavog lua u setu. Rezultujući filta ima šiu elazu zou, maju vaijaciju amlitude u ousom osegu i veće slabljeje (maju vaijaciju amlitude u eousom osegu). Iteesato je imetiti da se većia ozatih ozosih fucija može aosimiati omoću Kajzeove ozose fucije izboom ogode vedosti za aameta β. U Tabeli 9. su avedee vedosti aameta β oje obezbeđuju istu gešu amlitude ao ee ozate ozose fucije, ao i šiie elaze zoe filta oje se tavom aosimacijom dobijaju. U ojetovaju FIR filtaa uobičajeo je da se amlitudsa aateistia zadaje gabaitima ao a slici 8.a. Pošto je od Gibsovih oscilacija amlituda geše u ousom i eousom osegu ista, i ošto ozose fucije samo ublažavaju dejstvo Gibsovih oscilacija, dozvoljea geša u ousom i eousom osegu moa biti ista, tj. δ δ δ. Ao se u ostuu a

11 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 5 fomiaja secifiacija izabeu azličite vedosti za δ i δ a, u sitezi se moa oistiti maja od dve secificiae vedosti. Postua siteze biće oisa a imeu siteze NF filta, do će asije biti fomulisae izmee oje se u ostuu javljaju ao se vši siteza eog dugog tia fucije eosa. Postua siteze se sastoji iz sledećih faza [K-]:. Na osovu zadatih secifiacija, a, α i α a odeđuje se šiia elaze zoe: Bt (9.5) a gaiča učestaost idealog NF filta: a + c (9.53) i vedosti za δ i δ a ema izazima: δ 5. α (9.54) 5. α + δ a α 5 a. (9.55). Izabee se vedost geše δ ema izazu: δ mi( δ, δa ) (9.56) Ao je δ δ a, izačua se ova vedost za α a ema izazu: αa log δ (9.57) 3. Izabee se vedost aameta β ema emiijsom izazu:, α a < db.4 β.584( αa ) ( α a ), db α a 5 db (9.58).( αa 8.7), α a > 5 db 4. Odedi se boj člaova imulsog odziva ozose fucije ema izazu:.9, α a db D αa 7.95 (9.59), αa > db 4.36 πd M + B t (9.6) 5. Fomia se wk [ ],,,, M a osovu (4.63). 6. Izačuaju se oeficijeti azvoja fucije eosa idealog NF filta: j, c HD ( e ), c < π (9.6) u Fuijeov ed a osovu izaza (9.4), oji se svodi a:

12 6 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom π c j j hd[ ] ( ) π H D e e d π e π j d si π c, M (9.6) 7. Fomia se imulsi odziv FIR filta ema izazu: i fucija eosa: M h [ ] hd wk[ ],,,, M (9.63) M ( M ) Hz ( ) z hz [ ] (9.64) Oisai algoitam za sitezu NF FIR filtasih fucija može se geealizovati i imeiti a ostale tiove filtasih fucija. U slučaju ada teba ojetovati VF filtasu fuciju, meja se izaz (9.5) u: a defiicioi izaz za idealu fuciju eosa (9.6) u: Bt (9.65) a j, c HD ( e < ), c π (9.66) U slučaju siteze FIR filta ousia osega učestaosti, ima se: Bt [( ),( )] mi a a (9.67), < H e c j D( ), c <c, c π (9.68) gde su gaiče učestaosti idealog filta: Bt Bt c, c + (9.69) U slučaju siteze FIR filta eousia osega učestaosti, ima se: Bt [( ),( )] mi a a (9.7) Bt Bt c +, c (9.7), < H e c j D( ), c <c, c π (9.7) Kao ilustaciju siteze FIR filta imeom Kajzeove ozose fucije osmatajmo sitezu NF filta, oji teba da zadovolji sledeće secifiacije: - gaiča učestaost ousog osega ω 3. π ( f 5. ),

13 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 7 - gaiča učestaost eousog osega ωa 5. π (f a 5. ), - masimalo odstuaje amlitude u ousom osegu δ. (α. 74 db), - masimalo odstuaje amlitude u eousom osegu δ a. (α a 4 db). Iz izaza (9.58) dobija se da je otimala vedost aameta, β Pocea eda a osovu (9.6) daje M 3. Međutim, isitivajem ezultata siteze može se utvditi da za ovu vedost M masimum amlitude u eousom osegu evazilazi vedost dozvoljeu secifiacijama. Eseimetalo se može ustaoviti da su ostavljee secifiacije zadovoljee sa M 5. Amlitudsa aateistia sitetizovaog filta je iazaa a slici 9.4. Sa slie 9.4, ao i iz umeičih odataa, može se ustaoviti da su esteme vedosti vaijacije amlitude u ousom osegu δ. 79 i u eousom osegu δ a. 94. Međutim, gaice ousog i eousog osega isu tačo ealizovae. Naočito je velia geša gaice eousog osega, je se a učestaosti ωa 5. π dobija slabljeje od svega db, što je suviše mala vedost. Maja šiia elaze zoe, tj. iža vedost ealizovae gaice eousog osega može se dobiti samo začajijim ovećajem eda fucije eosa FIR filta. H(e jω) (db) π.4π.6π.8π π ω Slia 9.4 Amlitudsa aateistia NF FIR filta sitetizovaog omoću Kajzeove ozose fucije za M ZAKLJUČNA RAZMATRANJA O PRIMENI PROZORSKIH FUNKCIJA Najvažija aateistia metoda siteze FIR filtasih fucija oišćejem ozosih fucija za ogaičavaje imulsog odziva je jedostavost i ostojaje eslicitih izaza za odbie soo svih ozosih fucija (izuzimajući Dolf-Čebiševljevu ozosu fuciju). Međutim, u imei oisaog metoda može doći i do ozbiljih oblema. Na ime, ao ideala fevecijsa aateistia oju teba aosimiati ije data jedostavim izazima, ao što su (9.6), (9.66), (9.68) i (9.7), može se desiti da e ostoji eslicito ešeje za vedost odeđeog itegala (9.4). U tavom slučaju moa se istuiti umeičom izačuavaju itegala (9.4) za šta se može isoistiti Diseta Fuijeova tasfomacija.

14 8 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom Dugi oblem oji se ojavljuje od imee ozosih fucija je elativo mala flesibilost i ojetovaju. Iao se a očetu ostua ojetovaja zadaju secifiacije za gaiče učestaosti i a ema iave gaacije da će te gaice zaista biti i ealizovae u ostuu siteze. Naime, zbog ovolucioe veze setaa ideale aateistie i ozose fucije, ozosa fucija u suštii ublažava disotiuali elaz iz ousog u eousi oseg od idealog filta. Tao se gaiča učestaost idealog filta, c, a omliova ači esliava u dve gaiče učestaosti, i a. U mogim imeama ovaj efeat se može omezovati, ali oead može edstavljati ozbilja oblem. Jeda od glavih edostataa metoda siteze omoću ozosih fucija je što ezultujuće fucije eosa isu otimale i o avom ozatom iteijumu. To zači, a taj zaljuča je otvđe i u asi, da se uve može sitetizovati filta sa boljim efomasama. Ovaj zaljuča važi ča i u slučaju da se oiste otimale ozose fucije, ao što su Kajzeova ili Dolf- Čebiševljeva, je je dejstvo ozose fucije a ezultujuće ešeje osedo, eo ovolucioe elacije. Zbog toga se često, a aočito ao je a asolagaju ačua, oiste alteative metode za ojetovaje FIR filtasih fucija. 9.3 SINTEZA FIR SISTEMA METODOM ODABIRANJA U FREKVENCIJSKOM DOMENU Iz ethodih azmataja se vidi da metod ozosih fucija ije ogoda za imeu u slučajevima ada su secifiacije za fevecijsu aateistiu FIR sistema tave da itegal (9.4) ije lao izačuati. U tavim slučajevima ogoda metod siteze edstavlja metod odabiaja u fevecijsom domeu, oji, osim toga, često omogućava i vlo efiasu ealizaciju FIR sistema. Nea je željei fevecijsi odziv secificia za odeđei boj disetih učestaosti ω. Mada, u iciu, učestaosti a ojima se secificia fevecijsi odziv mogu biti oizvoljo asoeđee, ajčešće se oisti evidistati asoed. π ( + α), α ili,,,, M (9.73) M Kao je o defiiciji Fuijeove tasfomacije: iz (9.73) i (9.74) sledi: M j j H ( e ) h[ ] e (9.74) H ( e ) h[ ] e π H ( + α) H[ + α],,, M M j jπ( +α) M, M - (9.75) Ivezijom izaza (9.75), dobija se tažei imulsi odziv h[ ] u fuciji secificiaih odbiaa fevecijsog odziva H [ +α ] ao: M jπ( + α ) M h [ ] H [ + α] e,,,, M (9.76) M

15 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 9 Međutim, ao se isoisti simetija ili atisimetija imulsog odziva, izačuavaje se može uostiti. Posmatajmo vo slučaj siteze FIR filta sa simetičim imulsim odzivom. U tom slučaju je ogodo fevecijsi odziv secificiati a suu učestaosti, gde je: gde je: gde je: π ( + α), α ili,,,, U (9.77) M M, M eao U (9.78) M, M ao Kao ema jedačii (9.6) za FIR filte sa simetičim imulsim odzivom važi: ( π( + α) ) [ + α] (9.79) M j jπ( +α)( M ) M jπα jπ( +α) M H e H e G e e G [ + α] ( ) H π( + α) M Pošto je imulsi odziv h [ ] eala, u fevecijsom domeu važi uslov simetije: oji se zbog ealosti fucije H ( ω ) svodi a: (9.8) H [ + α] H[ M α ] (9.8) G [ + α] GM [ α] (9.8) gde za odgovaa slučaju α, do za + odgovaa slučaju α. Ao je M aa boj i α, iz (9.8) se dobija: G[ M ] ( π ) (9.83) H Polazeći od (9.76) i oisteći elacije (9.79), (9.8) i (9.8) za tažei imulsi odziv FIR sistema se dobija u slučaju α : U h M G G π [ ] [ ] + [ ]cos ( M + ) do se u slučaju α dobija: U h M G π [ ] [ + ]si ( M + )( + ) (9.84) (9.85) U slučaju siteze FIR filta sa atisimetičim imulsim odzivom, fevecijsi odziv se secificia a suu učestaosti, oji je taođe dat sa (9.77), ali je G[ ] idetiči jedao uli. Vedost goje gaice idesa u sumi zavisi e samo od aosti boja odbiaa M već i od vedosti α. j π ( +α) jπ jπ ( +α)( M ) M jπ( α) jπ ( +α) M He ( ) H e e G [ +α] e e (9.86) M

16 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom gde je G [ +α ] dato izazom (9.8). Uslov simetije fevecijsog odziva (9.8) i dalje važi je je imulsi odziv h [ ] eala, do se uslov simetije za G [ + α ] svodi a: G [ + α] ± GM [ α ] (9.87) gde za + odgovaa slučaju α, do za odgovaa slučaju α. Ao je M eaa boj i α, iz (9.87) se dobija: G[ M ] G[ M ] H ( π ) (9.88) Izazi za h [ ] se lao dobijaju zameom (9.86) u (9.76) odale sledi za α : ( M ) π G M M [ ]si ( + ), M eao h [ ] ( M ) ( ) GM [ ] G [ ]si ( M M + π + ), M ao odoso, za α : gde je: V h M G π [ ] [ + ]cos ( M + )( + ) (9.89) (9.9) M 3, M eao V (9.9) M, M ao Postua ojetovaja se sada svodi a zadavaje vedosti fevecijsog odziva H [ +α ] a suu učestaosti ω. U ousom osegu je H [ + α], do je u eousom osegu H [ + α]. Zatim se odedi G [ + α ] ema (9.8), i a aju imulsi odziv h [ ] oišćejem jedog od izaza (9.84), (9.85), (9.89) i (9.9). Za izbo vedosti M i α ema iavih eoua, teba obati i videti ezultat. Nažalost, ezultati dobijei oisaim ostuom su sličog valiteta ao ezultati dobijei oišćejem avougaoe ozose fucije. Slabljeje u eousom osegu je edoustivo malo, često isod db. Razlog za ovao malo slabljeje je u suviše maloj šiii elaze zoe Δ π M. Da bi se situacija oavila, može se ošiiti elaza zoa dodelom vedosti < H [ + α ] < jedom odbiu u elazoj zoi. Na ime, ao se uzme da odbia u elazoj zoi ima vedost.5, slabljeje u eousom osegu se oavlja i izosi oo 3 db. Podešavajem vedosti odbia fevecijsog odziva u elazoj zoi dobija se još bolje slabljeje u eousom osegu od 44 do 54 db. Ao se uzme više odbiaa u elazoj zoi, dobijaju se još bolji ezultati, ali alažeje otimalih vedosti tavih odbiaa ostaje ozbilja oblem, oji zahteva imeu eog ogama za otimizaciju ili lieaog ogamiaja. Sa dva odbia u elazoj zoi dobija se slabljeje u eousom osegu od 65 do 75 db, a sa ti, od 85 do 95 db. U asi se oiste ajviše četii odbia u elazoj zoi. Da bi se olašala imea metoda fevecijsog odabiaja, u liteatui su ubliovae tabele oje olašavaju izbo slobodih aametaa u fuciji boja odbiaa M, zahtevaog slabljeja u eousom osegu i šiie elaze zoe.

17 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom Najvažija edost metoda fevecijsog odabiaja ad dugim alteativim metodama siteze leži u jedostavosti ealizacije. Naime, ema aalizi u odelju 7..3, metod fevecijsog odabiaja vodi do ealizacije oja je, za slučaj α, oisaa jedačiom (7.) i iazaa a slici 7.5. U slučajevima ada je ousi oseg uza, velii boj odbiaa u fevecijsom domeu biće jeda uli, što zači da će odgovaajuće ezoatose gae a slici 7.5 edostajati. Tada metod fevecijsog odabiaja vodi do ealizacije sa miimalim bojem možača, daleo majim ego u bilo ojoj dugoj stutui. 9.4 OPTIMIZACIONI METODI SINTEZE FIR SISTEMA Pethode dve metode siteze FIR filtasih fucija sa lieaom fazom imaju začaje edostate. Najveći oblem od obe metode je što se gaiče učestaosti ousog i eousog osega i a e mogu ecizo ealizovati. Dugi edostata je što se odstuaja amlitudse aateistie od ideale aateistie u ousom i eousom osegu e mogu ezaviso secificiati. Ao se detaljije aalizia oašaje amlitudse aateistie, lao se može uočiti da su od oba ethodo oisaa metoda siteze odstuaja amlitudse aateistie (geša aosimacije) ajveća u blizii gaičih učestaosti. Iz teoije aalogih, ao i disetih IIR filtaa, ozato je da se zato bolji ezultati u ogledu aosimacije amlitudse aateistie mogu dobiti ao se geša aosimacije avomeo asoedi uuta ousog i eousog osega, što je oazao a imeima Čebiševljeve i elitiče aosimacije u ethodoj glavi. Sliča ideja se može imeiti i u sitezi FIR filtasih fucija, odoso, oblem aosimacije amlitudse aateistie FIR filta se može osmatati ao oblem aosimacije u Čebiševljevom smislu FORMULISANJE APROKSIMACIONOG PROBLEMA Posmatajmo ajjedostaviji slučaj siteze isofevetog FIR filta. Gabaiti oje amlitudsa aateistia teba da zadovolji u tom slučaju se uobičajeo zadaju ema slici 8.a, odoso, za ealu fuciju H (), defiisau izazom (9.6), važe ogaičeja: δ (9.9) H ( ) + δ, δ a H ) δa, a ( (9.93) Kao što je oazao u odelju 9.., eala fucija H () se može oisati izazima (9.7) i (9.8) i Tabelom 9. za sva četii tia FIR fucija sa lieaom fazom. Sada se Čebiševljev aosimacioi oblem može fomulisati a sledeći ači. Nea H d () edstavlja idealu ealu fuciju oju H () teba da aosimia. Nea je, taođe,, W ( ) δ (9.94) K, a < π δa težisa fucija oja oazuje elativa uticaj geše u ojediom osegu. Oda se geša aosimacije sa težiom može defiisati ao:

18 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom odoso, [ H ( ) H ( ) ] W ( ) [ H ( ) Q( ) P( )] E( ) W ( ) d d (9.95) Hd ( ) E( ) W( ) Q( ) P( ) Wˆ( ) Hˆ d ( ) P( ) Q( ) (9.96) Čebiševljev aosimacioi oblem se sastoji u odeđivaju oeficijeata olioma P () oji miimizuju masimalu asolutu vedost E () u osezima učestaosti od iteesa. Dale, teba aći su oeficijeata α, oji zadovoljavaju jedačiu: L mi max ( ) mi max ˆ E W( ) Hˆ ( ) α cos (9.97) d α, [, L] S α, [, L] S gde S edstavlja su (disjutu uiju) osega učestaosti od iteesa. U slučaju filtasih fucija, S edstavlja su učestaosti oje iadaju ousom i eousom osegu. Do ešeja Čebiševljevog aosimacioog oblema je moguće doći ao se imei tzv. teoema alteacije oja glasi: Nea S ozačava zatvoei su oji se sastoji od disjute uije zatvoeih odsuova ose učestaosti u itevalu [, π ). Poteba i dovolja uslov da oliom: L P( ) α cos (9.98) edstavlja jedistveu, ajbolju Čebiševljevu aosimaciju fucije H ˆ d ( ) a suu S je da fucija geše E () ima ba L + estemuma a suu učestaosti S. To zači da moa ostojati ba L + učestaosti i, i,, L +, gde je E ( i ) E( i + ) i: E( i ) max E( ), i,, L + (9.99) S Da bi se imeila teoema alteacije u ostuu siteze FIR filtase fucije moaju se vo isitati ee jee osledice. Pe svega, smeom x cos, iz defiicioe elacije za Čebiševljev oliom (8.6) se dobija: T N (cos ) cos N (9.) tao da se tigoometijsi oliom P () defiisa izazom (9.98) može aisati u obliu: L L P( ) α cos α T (cos) β (cos) (9.) oji je ogodiji za dalju maiulaciju. Vedosti oeficijeata β se mogu odediti a osovu ozavaja oeficijeata Čebiševljevih olioma i oeficijeata α, odoso h [ ], ali, ao što će biti oazao, to ije otebo. Ao su W () i H d () fucije sačijee od ostatih segmeata, oda se iz (9.95) za odeđivaje oložaja estemalih tačaa dobija jedačia: de( ) dh ( ) (9.) d d L

19 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 3 U slučaju FIR filta tia I H () je tigoometijsi oliom L-tog eda o cosω, a jegov izvod ima ajviše L ula. To zači da u otvoeom itevalu < < π fucija H () ima ajviše L loali estemum, oji su ujedo i estemumi fucije geše E (). Kao je, oed toga, izvod: L dp( ) si β (cos ) (9.3) d jeda uli za i π, boj estemalih tačaa u ojima je vi izvod fucije geše jeda uli aste a L +. Osim toga fucija geše moa imati esteme vedosti i a učestaostima i a, iače uslov alteacije estemuma e bi bio zadovolje. Dale, masimala boj estemalih tačaa fucije geše je L + 3 u slučaju NF i VF filtasih fucija. U slučaju PO i NO filtasih fucija masimala boj estemalih tačaa fucije geše je L + 5, je tave fucije imaju o dve gaiče učestaosti ousog i eousog osega. Dale, a osovu teoeme alteacije i ethodog zaljuča, boj estemalih tačaa je L + ili L + 3 od NF i VF fucija eosa i L + do L + 5 od PO i NO fucija eosa. Filta čija fucija eosa ima masimali boj estemuma aziva se filta sa masimalim bojem oscilacija (egl. maximal ile filte), do se filta čija fucija eosa ima više od L + estemuma aziva se filta sa esta oscilacijama (egl. exta ile filte). Duga čijeica, oja se može ustaoviti osmatajem fucije geše u slučaju otimale aosimacije, je da su asolute vedosti svih estemuma jedae, osim u tačama ili π. Doaz ove osobie je vlo jedostava. Ao je vedost fucije geše u eoj estemaloj tači maja od ostalih, oda se i umeaciji estemuma moa izostaviti e samo ta tača, već i jeda suseda estemala tača, je iače e bi bio zadovolje uslov alteacije. Zbog toga se ova lasa filtasih fucija aziva otimala aosimacija ili aosimacija sa jedaim odstuajima (egl. equiile). Sliči ezultati se dobijaju i za ostala ti tia FIR filtasih fucija sa lieaom fazom. Detalja iaz osobia sva četii tia FIR fucija dat je u liteatui [R-4, R-8] REŠAVANJE APROKSIMACIONOG PROBLEMA Teoema alteacije daje otebe i dovolje uslove za ostojaje otimale aosimacije, ali e daje odgovo a itaje ao aći tavu aosimaciju. U liteatui je, stoga, edložeo više ačia za alažeje otimale aosimacije. Na ime, u adovima [H-8, H-9, H-] su oisai aosimacioi ostuci baziai a ešavaju sistema elieaih jedačia u ojima su fise vedosti aametaa L, δ i δ a, do se gaice ousog i eousog osega i a e mogu otolisati. Dugi metod [M-, P-, R-8], oji daas zbog ačuse efiasosti uživa veliu oulaost, oisti ozati Remezov algoitam [R-4] za izjedačavaje estemuma i ecizo otoliše aamete L,, a i δ δa, do je δ (ili δ a ) omeljivi aameta. Ovaj metod je ajčešće ozat ao Pas-MeKlelaov algoitam (Pas-McClella) ema autoima vog ubliovaog ačuasog ogama [M-3, M-4, P-3, R-4] za imeu Remezovog algoitma u ojetovaju FIR filtaa. Na učestaostima estemuma fucije geše otimalog ešeja, [ ˆ H ( ) P( )] ( ) δ,,,, L, važi: E( ) ˆ W ( ) d + (9.4)

20 4 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom gde δ edstavlja masimalu vedost fucije geše E (). Ao se težisa fucija, W (), izabee ema (9.94), oda je δ δ a. Sistem jedačia (9.4) je sistem lieaih jedačia i može se aisati u eueđeom obliu: ili, oišćejem (9.): ( ) δ P( ˆ ) + H d ( ),,,, L + (9.5) Wˆ ( ) L ( ) δ α ˆ cos + H d ( ),,,, L + (9.6) Wˆ ( ) Neozate veličie oje teba odediti iz (9.6) su oeficijeti olioma P (), α, i δ. U matičom obliu, sistem jedačia (9.6) izgleda ovao: cos cos cos L Wˆ ( ) Hˆ ( d ) α α ˆ H ( ) cos cos cos L d ˆ W ( ) α ˆ L Hd ( L ) L+ ( ) δ ˆ cos ( ) cos cos Hd L L L L L+ Wˆ ( L+ ) (9.7) U ethodom azmataju etostavljeo je da su vedosti estemalih učestaosti ozate. Međutim, te vedosti su taođe eozate, tao da u sistemu (9.7) ima uuo ( L + ) eozatih veličia, i to: L + eozatih učestaosti, L + eozatih oeficijeata α, i vedost masimale geše δ. Remezov algoitam zamee iteativo ešava oblem odeđivaja ( L + ) eozatih aametaa. U osovoj veziji algoitma se olazi od etostavljeog sua estemalih učestaosti, ešavajem sistema (9.7) odeđuju se oeficijeti olioma P () i δ, a zatim se izačua fucija geše i tača oložaj ovih L + estemalih učestaosti. Postua se oavlja do se e dobije otimali su estemalih učestaosti. Malim izmeama osove vezije algoitma, jegova efiasost se može dosta oboljšati. Na ime, iz sistema jedačia (9.7) eozata δ se može eslicito izačuati ao: δ ghˆ + ˆ + + ˆ d ( ) gh d ( ) g L+ H d ( L+ g g ( ) g L+ + + Wˆ ( ) Wˆ ( ) Wˆ ( ) L+ L+ ) L+ g Hˆ L+ d ( ) ( ) g Wˆ ( ) (9.8) gde je: g (9.9) L + cos cos odoso, osle smee cos x : i i

21 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 5 g L+ x x (9.) Kao je ema (9.): P( ) L β (cos) β x L P( x) (9.) a vedost olioma P( x) u tačama xi cos i, i,,, L + ema (9.5) izosi: i ˆ ( ) δ P( i ) H d ( i ), i,,, L + (9.) Wˆ ( ) može se imeiti ea od iteolacioih fomula za odeđivaje olioma P( x). Ao se imei Lagažova iteolacioa fomula za P( x) se dobija: i P( x) L b P( ω ) x x L b x x, x cos (9.3) gde je: b L x x x g x L+ (9.4) Dale, modifiovai algoitam se sada sastoji iz sledećih oaa:. Petostavi se očeti su estemalih učestaosti,,,, L +,. Na osovu ozatog oložaja estemalih učestaosti odedi se vedost δ a osovu (9.8), a zatim a osovu (9.3) oeficijeti olioma P( x), odoso P (cos). 3. Na osovu ozatih oeficijeata olioma P( x), izačua se vedost fucije geše (9.96) za veći boj disetih učestaosti. Uobičajeo je da se geša izačuava u 8( M + ) tačaa, gde je M dužia imulsog odziva. Ao je E ( i ) δ a eim učestaostima, oda se izabee ovi su od L + estemalih učestaosti oje edstavljaju oložaje estemuma fucije geše E () oji moaju biti u alteiajućem asoedu. Zatim se oavlja faza. 4. Postua se zavšava ada ostae E ( i ) δ a svim učestaostima, odoso ada δ estae da se meja u iteativom ostuu. Tažei imulsi odziv se može odediti tao što se vo izačua: π π π H Q P,,,, U (9.5) M M M gde je U dato sa (9.78), a zatim se odedi h [ ] ivezom DFT ili dieto a osovu jede od jedačia (9.84) ili (9.89). Iteesato je da je oisai algoitam siguo i vlo bzo ovegia a otimalom ešeju oje je oaateisao jedaim vedostima estemuma fucije geše. Postua je imeljiv i

22 6 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom za vlo velie dužie imulsog odziva M, ča i za M >. Ča i u tavim situacijama boj iteacija eto elazi. Dobijei ezultat je otimala u smislu da ima ajmaju aosimaciou gešu δ za tažeu šiiu elaze zoe a. Ao se težisa fucija W () izabee ema (9.94), oda je δa δ, δ Kδ. Ao je otebo ealizovati fuciju sa oisaim vedostima za δ i δa, oda se običo fisiaju vedosti za M i gaiču učestaost ousog osega, a vedost gaiče učestaosti eousog osega, a, se vaia do se sitezom e dobije fucija oja ima tažee vedosti za δ i δa. Detaljija isitivaja sovedea u [R-4], oazuju da se fucije sa aim i eaim vedostima M e oašaju a očeivai ači. Naime, sitezom veliog boja fucija eosa, utvđeo je da filtasa fucija sitetizovaa za eu vedost M može, za ee vedosti, imati užu elazu zou od fucije sitetizovae za dužiu imulsog odziva M +. Međutim, za ee duge vedosti fucija sitetizovaa za istu vedost M može imati šiu elazu zou od fucije sitetizovae za dužiu imulsog odziva M. Ova, eočeivaa čijeica, otiče od azličitih osobia filtaa tia I, II, III ili IV i uslova alteacije estemuma PRAKTIČNA PRIMENA OPTIMIZACIONOG POSTUPKA U asi se oisai otimizacioi algoitam vlo često imejuje, zbog toga što su a asolagaju ogamse vezije u FORTRAN-u ubliovae u [D-, M-3, P-3, R-4], ao i zbog toga što je algoitam obavezi deo složeih ogamsih sistema za digitalu obadu sigala. U Pilogu je iazaa modifiovaa FORTRAN vezija algoitma iz [D-]. Modifiacije se sastoje u ilagođeju ôda atuelom stadadu FORTRAN77, oeciji uočeih gešaa, ao i u dodavaju ogamsog modula za odeđivaje otebe vedosti M a osovu zadatih secifiacija. Algoitam se ajčešće imejuje za sitezu FIR filtasih fucija NF i VF tia, ousia osega učestaosti sa jedim ili više ousih osega, ojetovaje difeecijatoa i Hilbetovih tasfomatoa. U daljem izlagaju biće objašjee ee secifičosti imee algoitma u avedeim oblastima oje će biti ilustovae ešeim imeima Siteza filtasih fucija U imei algoitma za sitezu seletivih filtasih fucija otebo je a osovu zadatih secifiacija, a, δ i δa odediti oteba boj člaova imulsog odziva M. U tu svhu bi se mogao oistiti izaz (9.59), ali se jime dobija suviše esimističi ezultat, tj. veća vedost M ego što je eohodo. Na osovu veliog boja ešeih imea siteze, u liteatui [R-8] edložea je fomula za odeđivaje dužie imulsog odziva NF filtase fucije: M log( δ δa) 3 34B + (9.6). oja edstavlja geealizaciju izaza (9.59) a slučajeve ada je δ δa. Još bolju oceu vedosti M, sa gešom majom od.3%, daje ešto omliovaija fomula [H-9]: πd ( δ, δa) f ( δ, δa) Bt M + (9.7) B π t t

23 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 7 gde je: D ( δ, δa). 539(log δ) log δ. 476 logδa. 66(log δ ) log δ (9.8) f δ δa + δ δa (, ) (log log ) (9.9) do je B t dato izazom (9.5). U slučaju ousia osega, ocea vedosti M može se taođe izvšiti oišćejem izaza (9.7), ali se vedosti fucija D ( δ, δ a) i f ( δ, δ a) odeđuju iz izaza [M-]: D ( δ, δa). (log δ) log δ. 535 logδa +. 3(log δ ). 5754log δ f δ δa δ δa (9.) (, ) (log log ) (9.) do se vedost B t dobija oišćejem elacije (9.67). Relativa geša ocee eda FIR filta ousia osega je u većii slučajeva maja od 4%. Red FIR filta ousia visoih učestaosti ocejuje se istim suom elacija ao u slučaju ousia isih učestaosti (9.7), (9.8) i (9.9). Jedia azlia je što se vedost B t odeđuje iz izaza (9.65). U slučaju eousia osega učestaosti, ed fucije eosa se ocejuje istim suom elacija ao u slučaju ousia osega učestaosti (9.7), (9.) i (9.), ali se za B t oisti vedost odeđea iz izaza (9.7). Najteži je za oceu eda slučaj ousia osega sa više ousih osega. Tada se može oistiti su izaza (9.7), (9.8) i (9.9) ili (9.7), (9.) i (9.), i čemu se za B t uzima šiia ajuže elaze zoe. Pošto geša i odeđivaju eda može biti velia, dobijei ezultat služi samo ao oijetacija za eseimetalo odeđivaje tačog eda fucije eosa. Kao vi ime siteze, osmatajmo sitezu otimalog FIR NF filta, oji teba da zadovolji sledeće secifiacije: - gaiča učestaost ousog osega. 3π ( F. 5), - gaiča učestaost eousog osega a. 5π ( F a. 5), - masimalo odstuaje amlitude u ousom osegu δ. (α. 74 db), - masimalo odstuaje amlitude u eousom osegu δ a. (α a 4 db). Kao što se vidi, secifiacije su iste ao u imeu ojetovaja FIR filtasih fucija omoću Kajzeove ozose fucije. Pocea eda a osovu (9.7) daje M. Postua siteze oazuje da je to miimala vedost M oja obezbeđuje zadovoljeje secifiacija. Realizovae vedosti za vaijacije amlitude su δ. 93 i δ a. 9. Obe vedosti za vaijacije amlitude sliče su sa ezultatima dobijeim imeom Kajzeove ozose fucije, iao je ed maji za 3. Amlitudsa aateistia sitetizovaog filta je iazaa a slici 9.5.

24 8 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom H(e jω) (db) π.4π.6π.8π π ω Slia 9.5 Amlitudsa aateistia otimalog NF FIR filta za M. Jeda od važih edosti otimizacioog algoitma ad algoitmom siteze oji oisti ozose fucije leži u tome što je moguće sitetizovati fuciju eosa filta ousia osega učestaosti sa azličitim izosima slabljeja u eousim osezima. Kao ime biće oazaa siteza fucije eosa oja teba da zadovolji sledeće secifiacije: - ousi oseg:.4π. 6π, - eousi osezi. 3π i.7π π, - masimalo odstuaje amlitude u ousom osegu δ. 36 (α 55. db), - masimala odstuaja amlitude u eousim osezima δ a. 36 (α a 5 db) i δ a. 36 (α a 7 db ). Pocea eda, a osovu (9.7), (9.) i (9.), daje M 55, što je ujedo i miimala vedost M oja obezbeđuje zadovoljeje secifiacija. Realizovae vedosti za vaijacije amlitude su bolje od tažeih: α 4. db, α a 5. 5 db i α a 7. db. Amlitudsa aateistia sitetizovaog filta ousia osega učestaosti je iazaa a slici 9.6. H(e jω) (db) π.4π.6π.8π π ω

25 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 9 Slia 9.6 Amlitudsa aateistia otimalog FIR filta ousia osega za M 55. Kao teći ime osmataćemo sitezu filtase fucije sa dva ousa osega i ti eousa osega oju je atičo emoguće sitetizovati dugim metodama. Nea su zadate sledeće secifiacije: - ousi osezi:.π. 3π i.6π. 7π, - eousi osezi. π,.36π. 5π i.8π π, - masimalo odstuaje amlitude u ousim osezima δ. 345, - masimala odstuaja amlitude u eousim osezima δ a. 345, δ a. 5 i δ a Na osovu ovavih secifiacija se vidi da su težise fucije oje odgovaaju ousim osezima W ( ) W( ), do su, ema (9.94), težise fucije za eouse osege, W a ( ), W a ( ) 3 i W a3 ( ). Eseimetalo se može utvditi da avedee secifiacije zadovoljava fucija čiji imulsi odziv ima M 55 odbiaa, a čija je amlitudsa aateistia iazaa a slici 9.7. U sitezi fucija eosa sa više ousih ili eousih osega (a tave su atičo sve fucije eosa osim ousia isih ili visoih učestaosti) mogu se ojaviti i ei oblemi u imei otimizacioog ostua. Na ime, ea su zadate sledeće secifiacije za filtasu fuciju ousia osega učestaosti: - ousi oseg:.35π. 6π, - eousi osezi. 3π i.7π π, - masimalo odstuaje amlitude u ousom osegu δ., - masimala odstuaja amlitude u eousim osezima δ a. i δ a.. H(e jω) (db) π.4π.6π.8π π ω Slia 9.7 Amlitudsa aateistia otimalog FIR filta sa više ousih osega za M 55. Navedee secifiacije se mogu zadovoljiti FIR filtom čiji je imulsi odziv dužie M 77 odbiaa čija je amlitudsa aateistia iazaa a slici 9.8. Lao se može uočiti edozvoljei obli amlitudse aateistie u elazoj zoi između ousog i gojeg eousog osega. Ovava amlitudsa izobličeja se mogu otloiti omeom secifiacija za

26 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom gaiče učestaosti i slabljeja, ali je to moguće uaditi samo višestuim oavljajem ostua siteze. H(e jω) (db) π.4π.6π.8π π ω Slia 9.8 Amlitudsa aateistia otimalog FIR filta ousia osega za M Siteza difeecijatoa Iz teoije otiualih sigala je ozato da je Fuijeova tasfomacija izvoda otiualog sigala jedaa oizvodu Fuijeove tasfomacije sigala i fatoa j ω. Disetizacijom otiualog sigala i jegovog izvoda i oišćejem osobia Fuijeove tasfomacije disetog sigala, oje su oisae u dugom i tećem oglavlju, dobija se da evivaleti diseti sistem ima fevecijsu aateistiu j T, - π < < π, oja je, aavo, eiodiča sa eiodom π. Na izlazu disetog sistema dobija se diseti sigal oji edstavlja odbie izvoda otiualog obudog sigala. Dale, ideali diseti difeecijato ima fevecijsi odziv: odoso, imulsi odziv idealog difeecijatoa je: j j(m ) H ( e ) j e, π < < π (9.) T cos π[ ( M ) ] h [ ] T [ ( M ) ] M M (9.3) Ao se imulsi odziv ogaiči a oseg M, gde je M eaa boj, lao se može oazati da važi osobia h [ ] hm [ ], odoso, da je imulsi odziv difeecijatoa atisimetiča. Dale fucija eosa odgovaa tiu III FIR sistema. Ova čijeica ije eočeivaa, je se oeđejem izaza za fevecijsi odziv difeecijatoa (9.), sa oštim izazom za fevecijsi odziv FIR sistema sa lieaom fazom (9.6), uočava da izaz (9.) odgovaa tiu III ili tiu IV FIR sistema. Ti III FIR sistema ije uve ogoda za aosimaciju fevecijsog odziva idealog difeecijatoa u celom osovom osegu, zbog toga što za ti III FIR sistema važi H ( π ).

27 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom Dale ao je otebo sitetizovati šiooojasi difeecijato, oji je defiisa u celom osovom osegu učestaosti (egl. full bad diffeetiato), e može se oistiti ti III FIR sistema, odoso eao M. U asi se zahtev za difeeciajem u celom osovom osegu eto seće, već se običo taži da fevecijsi oseg aste lieao sa učestaošću do ee učestaosti. Izad učestaosti fevecijsi odziv se e secificia ili se ogaičava a ulu. Iz izaza (9.) sledi da se za sitezu difeecijatoa može oistiti i ti IV FIR sistema. U tom slučaju M je ao, tao da se dobija ecelobojo ašjeje. Kod FIR sistema tia IV je H ( π), tao da je moguće ealizovati difeecijato u celom osovom osegu. Ao se u ojetovaju difeecijatoa oisti otimizacioi metod bazia a Čebiševljevom aosimacioom iteijumu, ogodo je težisu fuciju secificiati tao da bude obuto oocioala učestaosti: W ( ), (9.4) Na taj ači se ostiže da elativa geša u estemalim tačama bude ostata je je: δ max W ( )[ H T ( )] T TH ( ) max (9.5) Najvažiji aameti oji se secificiaju i sitezi difeecijatoa su dužia imulsog odziva, M, gaiča učestaost ousog osega, i masimala elativa geša δ. Između ovih aametaa ostoji složea veza, ali u iciu, sa oastom učestaosti aste geša δ. Poašaje fucija tia III i tia IV vlo je azličito, aočito u oolii učestaosti π. Iz detalje aalize sovedee u [R-] vidi se da za dato difeecijatoi tia IV, od ojih je M ao, uve imaju zato maju gešu δ od difeecijatoa tia III. Zbog toga se i sitezi difeecijatoa o avilu oiste ae dužie imulsog odziva, osim u etim slučajevima ada ije dozvoljeo ecelobojo ašjeje. U adu [A-] iaza je jeda iteesata ostua za ibližo odeđivaje otebe dužie imulsog odziva a osovu zadatih secifiacija za šiiu ousog osega difeecijatoa i gešu δ. Pvo se sitetizuju dva difeecijatoa isog eda, čije su šiie ousog osega, a dužie imulsog odziva M i M i odede jihove masimale elative geše u ousom osegu δ i δ. Zatim se oteba dužia imulsog odziva odeđuje ema fomuli: l( δδ) M M + M M l( δ δ ) ( ) (9.6) Najčešće se uzima da je dužia imulsog odziva M vlo ata, a M M+, tao da se oba difeecijatoa lao i bzo sitetizuju. Posle odeđivaja gešaa u ousom osegu, iz (9.6) se odedi tažea dužia imulsog odziva difeecijatoa. Taođe se, zbog zbog boljeg valiteta difeecijatoa, oiste ae vedosti za dužie M, M i M. U Tabeli 9.3 iazai su ei iteesati ezultati, aime, izačuata je oteba dužia imulsog odziva u fuciji šiie osega aosimacije, oja obezbeđuje masimalu gešu aosimacije od % ili.%. Iz tabele se jaso vidi olia je azlia u valitetu aosimacije između tia III i tia IV FIR sistema.

28 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom Tabela 9.3 Poteba ed FIR fucije za aosimaciju difeecijatoa. %.% ω Ti III Ti IV Ti III Ti IV π - - >8 9. π π 5 6 Kao ime siteze difeecijatoa otimizacioim ogamom zasovaom a Čebiševljevoj aosimaciji, osmatajmo sitezu difeecijatoa u celom osovom osegu π. Taav difeecijato se može ealizovati samo ao ti IV FIR sistema, tj. imulsi odziv moa imati aa boj odbiaa. Ao se ao dodati iteijum ostavi zahtev da elativa geša agiba amlitudse aateistie bude maja od %, oda se eseimetalo može ustaoviti da taav zahtev zadovoljava sistem čiji imulsi odziv ima M odbia, je je tada masimala elativa geša.944%. Amlitudsa aateistia difeecijatoa iazaa je a slici 9.9. Siteza difeecijatoa se može izvšiti i omoću ozosih fucija ili metodom fevecijsog odabiaja, ali su dobijei ezultati lošiji od ezultata dobijeih Čebiševljevom aosimacijom..5 H(e jω) π.4π.6π.8π π ω Slia 9.9 Amlitudsa aateistia difeecijatoa za M Siteza Hilbetovog tasfomatoa Kao što je ozato, Hilbetov tasfomato teba da ostvai fazi oma od 9 o između ulazog i izlazog sigala. Dale, fevecijsi odziv Hilbetovog tasfomatoa je: j je He ( ) je j( M ) j( M ), <<π, π<< (9.7) a imulsi odziv Hilbetovog tasfomatoa je:

29 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom 3 si [ ( M ) ], πt h [ ] [ ( M ) ], π M M (9.8) Ao se imulsi odziv ogaiči a oseg M, lao je uočiti da je imulsi odziv atisimetiča, što se i moglo očeivati, s obziom a obli fevecijsog odziva (9.7). Dale i Hilbetov tasfomato se može ealizovati ao FIR sistem tia III ili IV, što za sobom ovlači i ea ogaičeja. Na ime, u tači, H ( ), ezaviso od toga da li je M aa ili eaa boj. S duge stae, H ( π ), od FIR sistema tia III, tj. ada je M eao. Dale, i a oji ači ije moguće ealizovati Hilbetov tasfomato u celom osovom osegu učestaosti, što a seću ije i otebo. U asi se običo zahteva da fazi oma od 9 o bude ostvae u eom osegu učestaosti od iteesa oji se ajčešće aziva ousi oseg. Dale, željea eala fucija učestaosti oju teba ealizovati je: H d ( ), Doja gaiča učestaost,, može biti jedaa π samo od fucija tia IV. (9.9), e može biti jedaa uli, do goja gaiča učestaost, Posebo je iteesata slučaj ada je π. Tada je, od fucija tia III, fevecijsa aateistia simetiča oo sedie osega, π, tj. H ( ω) H ( π ω). S obziom a (9.4) i (9.6), dobija se: H ( ) ( M ) ( M ) a si ( M ) a si cosπ a si ( π ) ( M ) a ( ) + si (9.3) odoso, ( M ) [ ( ) + ] a si (9.3) Iz jedačie (9.3) se vidi da moa biti a za 4,,,. Kao je ema (9.): h M a (9.3) svai dugi odbia imulsog odziva simetičog Hilbetovog tasfomatoa, oji je ealizova ao FIR sistem tia III, biće jeda uli. Ova čijeica ima začaje osledice a složeost ealizacije, je u dietoj ealizaciji FIR stutue edostaje svai dugi možač. Uua boj možeja o odbiu je, dale, jeda ( M +) 4. U slučaju ealizacije Hilbetovog tasfomatoa FIR sistemom tia IV, simetija gaičih učestaosti e dovodi do simetije fevecijsog odziva, je fevecijsi odziv FIR sistema tia IV e može biti simetiča, zbog H ( ) H ( π ). U tom slučaju ema i educije boja odbiaa u

30 4 9. Siteza sistema sa oačim imulsim odzivom imulsom odzivu. Dale, ealizacija Hilbetovog tasfomatoa omoću FIR sistema tia III ima edost u oo dva uta majoj složeosti ealizacije, odoso dva uta većoj bzii ada. Hilbetov tasfomato se može ojetovati svim oisaim metodama siteze FIR fucija eosa, ali se ajbolji ezultati, ao i u ethodim slučajevima dobijaju imeom Čebiševljeve aosimacije. S obziom da ostoji samo jeda oseg učestaosti u ome se aosimia ideala aateistia Hilbetovog tasfomatoa (9.9), težisa fucija se bia da bude ostata i ajčešće je jedaa jediici. Dale, u otimizacioom ostuu se vši miimizacija geše: δ max [ H ( ) H ( ) ] max [ H ( ) ] d (9.33) Detaljo isitivaje aateistia veliog boja Hilbetovih tasfomatoa tia III i tia IV [R-], oazuje da su aateistie oba tia Hilbetovih tasfomatoa veoma sliče, ao je fevecijsi odziv simetiča. Nesimetija fevecijsog odziva, oja je moguća od tia IV, e doosi iava oboljšaja, a ča može i da ovai aateistie. Zbog toga se u sitezi Hilbetovih tasfomatoa soo isljučivo oisti ti III FIR sistema sa simetičom fevecijsom aateistiom. Paameti oje teba secificiati a očetu siteze su dužia imulsog odziva, M, doja gaica ousog osega, i geša aosimacije, δ. Ove secifiacije isu ezavise je su ovezae ibližom fomulom: M 3.83log δ (9.34) oja može oslužiti za oceu jedog od ti aameta, ao su ostala dva zadata. Da bi se dobila ajefiasija ealizacija Hilbetovog tasfomatoa otebo je oistiti ajuži mogući oseg aosimacije i ti III FIR filta. U Tabeli 9.4 iazae su otebe vedosti M i boj možeja u fuciji gaice ousog osega,, za gešu aosimacije od % ili.%. Tabela 9.4 Poteba ed FIR fucije za aosimaciju Hilbetovog tasfomatoa. %.% Ti III Možeja Ti IV Možeja Ti III Možeja Ti IV Možeja. π >7 - >7-4. π π π Za ilustaciju ocesa siteze Hilbetovog tasfomatoa imeom otimizacioog ogama zasovaog a Čebiševljevoj aosimaciji osmatajmo sitezu simetičog Hilbetovog tasfomatoa u osegu.π. 9π. Shodo ethodoj aalizi, taav Hilbetov tasfomato teba ealizovati ao ti III FIR sistema, tj. imulsi odziv teba da ima eaa boj odbiaa. Ao se ao dodati iteijum ostavi zahtev da geša amlitudse aateistie u ousom osegu bude maja od.5, oda se eseimetalo može ustaoviti da taav zahtev zadovoljava sistem čiji imulsi odziv ima M 3 odbia, je je tada masimala geša δ. 7. Amlitudsa aateistia Hilbetovog tasfomatoa iazaa je a slici 9..