Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα"

Transcript

1 Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Τεύχος 2 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Σελίδα 22: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Δεκαδικοί Αριθμοί Δουκάκης Σπυρίδων & Σαράφης Ιωάννης Αθήνα, Οκτώβριος 2014 Έκδοση 1.0 ISSN:

2 Πρόλογος Το δεύτερο τεύχος της περιοδικής έκδοσης για τα Μαθηματικά Γυμνασίου επιχειρεί να συμβάλλει στην προσπάθεια δόμησης κατάλληλου διδακτικού υλικού, το οποίο μπορεί να αξιοποιηθεί τόσο στο πλαίσιο της σχολικής τάξης, όσο και στο σπίτι από τον ίδιο τον μαθητή και την μαθήτρια. Το υλικό περιλαμβάνει φύλλα εργασίας τα οποία είναι δομημένα σε μορφή δίστηλου. Τα φύλλα εργασίας περιλαμβάνουν στην αριστερή στήλη και μέσα σε κατάλληλα πλαίσια θεωρία, χρήσιμες πληροφορίες, ιστορικά σημειώματα κ.α., τα οποία χαρακτηρίζονται από συγκεκριμένα εικονίδια 1 για να μπορεί ο μαθητής και η μαθήτρια να διακρίνει το στόχο τους. Στο κύριο μέρος του φύλλου εργασίας ο μαθητής καλείται να εργαστεί ατομικά ή συνεργατικά για να οικοδομήσει τις γνώσεις τους, μέσα σε ένα πλαίσιο σκαλωσιάς μάθησης, βάσει του ισχύοντος προγράμματος σπουδών, των οδηγιών διδασκαλίας, του υλικού του σχολικού βιβλίου και του υλικού του βιβλίου εκπαιδευτικού. Το υλικό συνοδεύεται από επιλεγμένα μικροπειράματα 2 που προέρχονται από το ψηφιακό σχολείο, από άλλες πηγές ή έχουν αναπτυχθεί από τους συγγραφείς. Κάθε κεφάλαιο ολοκληρώνεται με ασκήσεις, που καλείται να λύσει ο μαθητής. Οι ασκήσεις έχουν αναπτυχθεί με γνώμονα τις ανάγκες της σχολικής τάξης και την εμβάθυνση των μαθητών στις μαθηματικές έννοιες. Τα φύλλα εργασίας και οι ασκήσεις αποτελούν μία οργανωμένη συγκέντρωση των υπαρχουσών πηγών υλικού και στοχεύουν στην υποστήριξη της μάθησης των μαθητών και στην ενίσχυση της μαθηματικής εκπαίδευσης, μέσα από ένα πλούσιο σε πηγές πλαίσιο. Για το λόγο αυτό το υλικό προσφέρεται με άδεια creative commons, ώστε να είναι διαθέσιμο και «ανοικτό» σε όλη την εκπαιδευτική μαθηματική κοινότητα. Το υλικό έχει δουλευτεί στις τάξεις, έχει αξιοποιηθεί από δεκάδες μαθητές και μαθήτριες και από αρκετούς εκπαιδευτικούς. Ευχαριστούμε για τη βοήθεια όλους τους συναδέλφους που μας στήριξαν σε αυτή την προσπάθεια και κυρίως τους συναδέλφους μαθηματικούς του PIERCE-Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος και της Ελληνογαλλικής Σχολής Καλαμαρί. Το Τεύχος 2 περιέχει υλικό για τα ακόλουθα: Α Γυμνασίου, Μέρος Α Αριθμητική-Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Α Γυμνασίου, Μέρος Α Αριθμητική-Άλγεβρα, Κεφάλαιο 3, Δεκαδικοί Αριθμοί Καλή μελέτη! Σπυρίδων Δουκάκης & Ιωάννης Σαράφης Αυτό το υλικό διατίθεται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή 4.0 ( Ευχαριστίες στους/στις εκπαιδευτικούς: Η αναφορά σε αυτό θα πρέπει να γίνεται ως εξής: Δουκάκης, Σ., & Σαράφης, Ι. (2014). Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου, Τεύχος 2, (Έκδοση 1.0, σ. 64). Βροντάκη Εμμανουήλ, Διαμάντη Χρήστο, Κάντα Σπυριδούλα, Μιχαλοπούλου Γεωργία και Πέρδο Αθανάσιο. 1 Τα εικονίδια προέρχονται από το βιβλίο: Βακάλη Α., Γιαννόπουλος Η., Ιωαννίδης Ν., Κοίλιας Χ., Μάλαμας Κ., Μανωλόπουλος Ι., Πολίτης Π. (1999), Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον, ΙΤΥΕ, Διόφαντος. 2 Τα μικροπειράματα προέρχονται από το Ψηφιακό σχολείο (dschool.edu.gr) και έχουν αναπτυχθεί από την ομάδα του Εργαστήριου Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας με συντονιστή τον Καθ. Κυνηγό Χρόνη.

3 Α Γυμνασίου, Μέρος Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα

4

5 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά αποτελεί το ένα νιοστό του μεγέθους και συμβολίζεται με το 1. ν Κεφάλαιο 2ο: Κλάσματα Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος 1. Δραστηριότητα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν μια πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ ίσα κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. (α) Σε πόσα ίσα κομμάτια χωρίσαμε την πίτσα;... (β) Ποιο μέρος της πίτσας έφαγε ο πρώτος από τους φίλους;... (γ) Πώς διαβάζεται το μέρος της πίτσας που έφαγε ο πρώτος από τους φίλους; Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων, που αποτελείται από κ τέτοια ίσα μέρη, δίνεται από το 1 κλάσμα κ = κ ν ν και διαβάζεται «κάπα νιοστά».... (δ) Μπορείτε να βρείτε το μέρος της πίτσας που έφαγε ο δεύτερος από τους φίλους;... (ε) Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε;... Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν μπορεί να είναι μηδέν. Ένα κλάσμα είναι μικρότερο από το 1 όταν: Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 όταν: Ένα κλάσμα είναι ίσο με 1 όταν: Στο κλάσμα 3 Αριθμητής Κλασματική γραμμή 8 Παρονομαστής Ο Αριθμητής και ο Παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος. Όλα τα νιοστά, δηλαδή ν νιοστά, μας δίνουν την αρχική ποσότητα: ν 1 ν =. Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή το Δώστε δύο παραδείγματα κλασμάτων που είναι μεγαλύτερα του Δώστε δύο παραδείγματα κλασμάτων που είναι μικρότερα του Γράψτε δύο φυσικούς αριθμούς σε μορφή κλάσματος. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 5 από 32

6 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Δραστηριότητα (α) Παρατηρώντας το παρακάτω σχήμα, μπορείτε να βρείτε ποιο μέρος του μήκους Ένα κλάσμα είναι ίσο με 0 όταν: του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ; Πειραματιστείτε με το μικροπείραμα mpa2_1.ggb Χρειάζεται να χωρίσω το τμήμα σε ίσα μέρη. Κάνοντας δοκιμές και πειραματισμό διαπιστώνω ότι χρειάζεται να το χωρίσω το τμήμα ΑΒ σε.. ίσα μέρη, ώστε να μπορώ να προσδιορίσω το μέρος που έχει το μήκος του τμήματος ΑΚ σε σχέση με το τμήμα ΑΒ. Έτσι, το τμήμα ΑΒ χωρίστηκε σε.. ίσα μέρη, ενώ παρατηρώ ότι το μήκος του τμήματος ΑΚ είναι ίσο με τα.. του ΑΒ. Αφού προσδιορίσετε ποιο μέρος του όλου είναι το τμήμα ΑΚ, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος του γνωρίζοντας το μήκος του ΑΒ. Για να βρείτε την τιμή του μέρους χρειάζεται να ξεκινήσετε από την τιμή του όλου που είναι η τιμή της μονάδας. (β) Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΚ, αν γνωρίζουμε ότι το ΑΒ είναι 32 cm; Άσκηση Αφού το μήκος του ΑΒ είναι 32 cm, το ΑΚ θα έχει μήκος μικρότερο του ΑΒ. Επειδή το ΑΒ είναι 32 cm, κάθε ένα από τα.. ίσα μέρη του ΑΒ θα είναι ίσο με:.... Έχοντας υπολογίσει το μήκος που έχει ένα μέρος του ΑΒ, μπορώ να υπολογίσω το μήκος που θα έχει το ΑΚ, αφού γνωρίζω πόσα μέρη του ΑΒ είναι το ΑΚ. Το ΑΚ είναι ίσο με τα.. του ΑΒ. Συνεπώς, το ΑΚ θα έχει μήκος.. Μια σοκολάτα ζυγίζει 120 gr και έχει 6 ίσα κομμάτια. (α) Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το κάθε κομμάτι; (β) Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 40 gr; 7. Άσκηση Κατά την διάρκεια της εκδρομής, ένας φίλος σας, έχει ένα παγούρι που χωράει 500 ml νερού. Τον ρωτάτε αν έχει αρκετό νερό ακόμα και σας απαντάει: «Κοίτα εδώ! Έχει απομείνει το 1 4 του νερού μου». Πόσα ml νερού έχει ακόμα στο παγούρι του; Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 6 από 32

7 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Δραστηριότητα Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα Δύο κλάσματα α β και γ δ λέγονται ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών. Επειδή εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους είναι ίσα και μπορεί να γραφεί: α γ = β δ Τα παρακάτω πέντε τετράγωνα είναι χωρισμένα αντίστοιχα, σε ίσα μέρη. (α) Προσπαθήστε να βρείτε για καθεμία περίπτωση το κλάσμα του τετραγώνου που αποτελεί το χρωματισμένο μέρος του; (β) Στη συνέχεια συγκρίνετε τα κλάσματα, που θα βρείτε μεταξύ τους. α γ Αν δύο κλάσματα β και δ είναι ισοδύναμα τότε τα «χιαστί γινόμενα»: α δ και β γ είναι ίσα. Δηλαδή: α γ Αν = β δ τότε α δ = β γ Τι παρατηρείτε για τα κλάσματα που βρήκατε; Η διαίρεση των όρων ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) λέγεται απλοποίηση του κλάσματος. Το κλάσμα εκείνο που δεν μπορεί να απλοποιηθεί (δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης αριθμητή και παρονομαστή) λέγεται ανάγωγο. Ένα κλάσμα είναι ανάγωγο όταν ο ΜΚΔ του αριθμητή και παρανομαστή είναι 1. Το επίθετο ανάγωγο στα μαθηματικά προέρχεται από τη λέξη αναγωγή, δεν σχετίζεται με τη λέξη αν-αγωγή. Για να ελέγξετε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα χρειάζεται να υπολογίσετε αν τα «χιαστί γινόμενα» είναι ίσα. Για να κατασκευάσετε ισοδύναμα κλάσματα ή για να διαπιστώσετε ότι δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, μπορείτε να εφαρμόσετε τους παρακάτω κανόνες: 1. Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο. 2. Όταν οι όροι ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό ( 0) προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο. 9. Να γράψετε δύο ισοδύναμα κλάσματα. 10. Να εξετάσετε αν τα κλάσματα μικροπείραμα mpa2_2.ggb. 3 5 και = = : 5 2 = = 15 15: 5 3 είναι ισοδύναμα. Εργαστείτε στο Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 7 από 32

8 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Για να απλοποιήσετε ένα κλάσμα χρειάζεται να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του, με τον ίδιο αριθμό. Για να οδηγηθείτε σε ένα ανάγωγο κλάσμα χρειάζεται να διαιρέσετε αριθμητή και παρονομαστή με τον ΜΚΔ. Άρα για να απλοποιήσετε ένα κλάσμα: 1. Βρίσκετε έναν κοινό διαιρέτη αριθμητή και παρονομαστή. 2. Διαιρείτε αριθμητή και παρονομαστή με τον κοινό διαιρέτη. 11. Να εξετάσετε αν τα κλάσματα 3 8 και είναι ισοδύναμα. 12. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Το κλάσμα 8 9 δεν απλοποιείται. Να εξηγήσετε γιατί. Για να κάνετε ένα κλάσμα ανάγωγο: 1. Βρίσκετε τον ΜΚΔ αριθμητή και παρονομαστη. 2. Διαιρείτε αριθμητή και παρονομαστή με τον ΜΚΔ. 14. Να μετατρέψετε το κλάσμα 2 σε ένα ισοδύναμο κλάσμα με παρονομαστή Για να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε ισοδύναμο κλάσμα με άλλο παρονομαστή, 1. Χρειάζεται να διαιρέσετε το ζητούμενο παρονομαστή με αυτόν του κλάσματος 2. Χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε τους όρους του κλάσματος με το πηλίκο που προκύπτει. 15. Δίνονται τα κλάσματα 1 4, και 3. Να εξετάσετε αν κάποια από τα κλάσματα 12 είναι ίσα. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 8 από 32

9 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Όταν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα και όταν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές ονομάζονται ετερώνυμα Δίνονται τα κλάσματα 7, 2 3, 5 7, 5 3 και 4. Να εξετάσετε αν κάποια από τα 14 κλάσματα είναι ομώνυμα. 17. Να μετατρέψετε σε ομώνυμα τα κλάσματα 5 6 και 3 4. Για να μετατρέψετε σε ομώνυμα δύο ή περισσότερα κλάσματα: 1. Ελέγχετε αν τα κλάσματα απλοποιούνται. 2. Αν απλοποιούνται τα κάνετε ανάγωγα. 3. Βρίσκετε το ΕΚΠ των παρονομαστών των ανάγωγων κλασμάτων. 4. Διαιρείτε το ΕΚΠ με τον παρονομαστή του κάθε κλάσματος. 5. Πολλαπλασιάζετε τους δύο όρους κάθε κλάσματος επί τον αντίστοιχο αριθμό που βρήκατε. 18. Να μετατρέψετε σε ομώνυμα τα κλάσματα 2 3, 3 5 και Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 9 από 32

10 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων 19. Δραστηριότητα Εργαστείτε στο μικροπείραμα mpa2_3.ggb για να διερευνήσετε τι μέρος του μεγάλου τετραγώνου καλύπτει κάθε χρώμα στο σχήμα. Από δύο ομώνυμα κλάσματα, εκείνο που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο. Για να συγκρίνετε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπετε σε ομώνυμα και συγκρίνετε τους αριθμητές τους. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή. Αν το κλάσμα α β είναι μεγα- γ λύτερο του κλάσματος δ μπορείτε να γράψετε: α γ > β δ Στο ωρολόγιο πρόγραμμα έχετε 40 ώρες μαθημάτων την εβδομάδα. Κάποιες από αυτές είναι: 7 ώρες αγγλικά, 4 ώρες μαθηματικά, 3 ώρες γυμναστική, 5 ώρες αρχαία, 5 ώρες νέα και 1 ώρα πληροφορική. (α) Ποιο μέρος του ωρολογίου προγράμματος είναι τα αγγλικά;... (β) Ποιο μέρος του ωρολογίου προγράμματος είναι τα μαθηματικά;... (γ) Ποιο μέρος του ωρολογίου προγράμματος είναι τα αρχαία;... (δ) Ποιο μέρος του ωρολογίου προγράμματος είναι η γυμναστική;... (ε) Ποιο μέρος του ωρολογίου προγράμματος είναι η πληροφορική;... (στ) Ποιο μέρος του ωρολογίου προγράμματος είναι τα νέα;... (ζ) Ποιο μάθημα καταλαμβάνει περισσότερες ώρες;... (η) Να γράψετε τα παραπάνω μαθήματα από αυτό που καταλαμβάνει μεγαλύτερο προς αυτό που καταλαμβάνει μικρότερο μέρος. 7 ώ ρ ε ς > 5 ώρες... (αγγλικά) (αρχαία) 21. Να συγκρίνετε τα κλάσματα 7 12 και Να συγκρίνετε τα κλάσματα 7 10 και 7. Γράψτε την αντίστοιχη σχέση Να συγκρίνετε τα κλάσματα 5 8 και 4. Γράψτε την αντίστοιχη σχέση. 9 Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 10 από 32

11 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Να εξηγήσετε γιατί το κλάσμα 2 3 είναι μικρότερο του Να εξηγήσετε γιατί το κλάσμα 3 2 είναι μεγαλύτερο του Μεταξύ ποιων διαδοχικών φυσικών αριθμών βρίσκεται το κλάσμα 7 8 ; 27. Μεταξύ ποιων διαδοχικών φυσικών αριθμών βρίσκεται το κλάσμα 16 3 ; Η ευθεία των αριθμών Να τοποθετήσετε στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα: (α) 2 3 και (β) Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 2 5 και μικρότερο από το 3 5 Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 11 από 32

12 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Α.2.4. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων 30. Δραστηριότητα Έχετε 7 μπισκότα και θέλετε να τα μοιράσετε σε 4 άτομα. Καταγράψτε τρόπους με τους οποίους θα τα μοιράσετε. Για να προσθέσετε δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα χρειάζεται να προσθέσετε τους αριθμητές τους. Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα αρχικά χρειάζεται να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτετε τους αριθμητές τους. α γ α+γ + = β β β Με αντίστοιχο τρόπο μπορείτε να εργαστείτε για την αφαίρεση κλασμάτων. α γ α-γ - = β β β 31. Άσκηση Ως μέλος του 15μελούς έχετε αναλάβει να ενημερώσετε τα 12 τμήματα του σχολείου για μία φιλανθρωπική δράση που θα οργανώσει το 15μελές. Την πρώτη περίοδο ενημερώνετε τα 4 12 των τμημάτων, ενώ την δεύτερη περίοδο ενημερώνετε τα 2 12 των τμημάτων. Πόσα τμήματα έχετε ενημερώσει συνολικά; 32. Να υπολογίσετε το άθροισμα Να υπολογίσετε τη διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων 7 20 και Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 12 από 32

13 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Ισχύει ότι: α+β = α +1 β β Μερικές φορές αντί να 4 γράψετε 1+, μπορείτε να 5 4 γράψετε 1. 5 Ο συμβολισμός αυτός, που παριστάνει το άθροισμα ενός ακέραιου με ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας, ονομάζεται μεικτός αριθμός. Για να μετατρέψετε ένα αποτέλεσμα σε μεικτό αριθμό εκτελείτε την ευκλείδεια διαίρεση: Δ = δ π + υ. Οπότε το κλάσμα γράφεται: Δ δ π + υ = = δ δ δ π υ υ υ + = π + = π δ δ δ δ Ισχύει ότι: υ υ π = π+ δ δ Γενικά ελέγχετε πόσες φορές χωράει ο παρονομαστής στον αριθμητή και το αποτέλεσμα καθορίζει τον ακέραιο αριθμό του μεικτού. Το υπόλοιπο τοποθετείται ως εκθέτης του νέου κλάσματος. Για να μετατρέψετε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα: Βρίσκετε το π δ + υ. Το τοποθετείτε στον αριθμητή και στον παρονομαστή τοποθετείτε το δ. υ π = δ + π δ+υ δ 34. Να εξετάσετε αν ισχύει ότι: = Να δείξετε ότι ισχύει: α-β α = 1 β β Να βρείτε τη διαφορά: 15 1 και το αποτέλεσμα να γίνει μεικτός Να βρείτε το άθροισμα: Ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσετε στο 3 7 για να βρείτε άθροισμα 6 9 ; 39. Δίνεται ο μεικτός Να τον γράψετε σε κλάσμα. 40. Να εργαστείτε και με άλλα κλάσματα και μικτούς στο μικροπείραμα mpa2_4.ggb. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 13 από 32

14 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. α γ α γ = β δ β δ Το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού επί ένα κλάσμα είναι το κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή επί τον φυσικό αριθμό και με τον ίδιο παρονομαστή. γ λ γ γ λ = = λ δ δ δ A.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων 41. Σχεδιάστε δύο τετράγωνα και χωρίστε το ένα σε 5 ίσα μέρη με τη χρήση κάθετων γραμμών και το άλλο σε 3 ίσα μέρη με την χρήση οριζόντιων γραμμών. Στη συνέχεια ζωγραφίστε το 1 5 του πρώτου τετραγώνου και τα 2 3 τετραγώνου. Εργαστείτε στο μικροπείραμα mpa2_5.ggb. του δεύτερου Διερευνήστε τι συμβαίνει όταν τοποθετήσετε το δεύτερο τετράγωνο πάνω στο πρώτο. 42. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα γινόμενα. (i) = (ii) = (iii) 2 14 = (iv) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα γινόμενα. (i) 5 3 = (ii) = = (iii) = (iv) = Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 1. Τα κλάσματα που έχουν γινόμενο 1 λέγονται αντίστροφα. 44. Να ελέγξετε αν τα ακόλουθα κλάσματα είναι αντίστροφα. (i) = (ii) 2 10 (iii) (iv) Να γράψετε δύο αντίστροφα κλάσματα που είναι ταυτόχρονα ισοδύναμα. 46. Να γράψετε ένα κλάσμα που δεν έχει αντίστροφο. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 14 από 32

15 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α α α 1 = β β Αντιμεταθετική α γ γ α = β δ δ β Προσεταιριστική α γ ε α γ ε = β δ ζ β δ ζ 47. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα γινόμενα. (i) 5 1 = (ii) 2 Τι παρατηρείτε; (iii) 2 1 (iv) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα γινόμενα. (i) = (ii) (iii) (iv) Τι παρατηρείτε; 49. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα γινόμενα. (i) = (ii) = (iii) = Επιμεριστική α γ ε α γ α ε + = + β δ ζ β δ β ζ Τι παρατηρείτε; 50. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα γινόμενα (i) = (ii) = Τι παρατηρείτε; 51. Σε ένα σχολείο με 252 μαθητές, τα 5 είναι αγόρια. Να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα 9 κορίτσια έχει το σχολείο; Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 15 από 32

16 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α A.2.6. Διαίρεση κλασμάτων Με τον τρόπο αυτό μπορεί να παρουσιαστεί το πηλίκο δύο κλασμάτων. Γράφοντας 1 1 : 2 4 είναι σαν να τίθεται το ερώτημα: «Πόσα 1 4 υπάρχουν στο 1 2 ;» Για να διαιρέσετε δύο φυσικούς αριθμούς αρκεί να πολλαπλασιάσετε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. 1 α α : β=α = β β Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσετε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. α γ α δ : = β δ β γ 52. Α. Πόσα 1 4 υπάρχουν στο 1 ; Διερευνήστε τι συμβαίνει αξιοποιώντας τα παρακάτω 2 σχήματα Να κάνετε τις διαιρέσεις. (i) 9 3: 4 = (ii) 54. Να κάνετε τις διαιρέσεις. (i) 8 1: = (iii) 14 : = (iv) 4 14 : 9 3 = 3 9 : 7 14 = (ii) 4 2 : 3 15 = (iii) 9 : = (iv) 3 12 : 5 20 = 55. Να κάνετε τις διαιρέσεις. (i) 5 1: 2 = (ii) 2 :1 3 = (iii) 1 : = (iv) 1 1 : 4 1 = Ένα κλάσμα, του οποίου ένας τουλάχιστον όρος του είναι κλάσμα, ονομάζεται σύνθετο κλάσμα. 56. Να ελέγξετε αν τα ακόλουθα κλάσματα είναι σύνθετα κλάσματα. (i) (ii) (iii) 5 3 (iv) Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 16 από 32

17 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Για να μετατρέψετε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό είναι χρήσιμο να θυμάστε ότι το σύνθετο κλάσμα είναι η διαίρεση δύο κλασμάτων: α β γ δ Συνεπώς μπορεί να γραφεί ως: α γ : β δ, όπου για να γίνει η διαίρεση αντιστρέφεται το δεύτερο κλάσμα: α δ β γ Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γίνει και ως εξής: Πολλαπλασιάζεται μέσους και άκρους. ή με άλλο λόγια Πολλαπλασιάζεται τον αριθμητή του πρώτου με τον παρονομαστή του δεύτερου και τον παρονομαστή του πρώτου με αριθμητή του δεύτερου. Γενικά: α β α δ = γ β γ δ 57. Να μετατρέψετε σε απλά τα σύνθετα κλάσματα: (i) = 58. Να εκτελέσετε τις πράξεις: (ii) = (iii) = Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 17 από 32

18 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Υλικό αξιολόγησης Ανακεφαλαίωση 1. Τι είναι κλάσμα; 2. Τι σχέση έχει ο Αριθμητής και ο Παρανομαστής με τον Διαιρετέο και τον διαιρέτη; 3. Κάθε αριθμός μπορεί να γραφεί με την μορφή κλάσματος; 4. Μπορεί ένα κλάσμα να είναι μεγαλύτερο του 1; 5. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; 6. Πώς ελέγχουμε ότι δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα; 7. Τι είναι ανάγωγο κλάσμα; 8. Πώς απλοποιούμε ένα κλάσμα; 9. Τι είναι ομώνυμα και τι ετερώνυμα κλάσματα; 10. Πώς κάνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα ομώνυμα; 11. Πώς συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα; 12. Πώς γράφουμε ότι ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα άλλο; 13. Πώς τοποθετούμε τα κλάσματα στην ευθεία των αριθμών; 14. Πώς προσθέτουμε και πώς αφαιρούμε κλάσματα; 15. Πώς γράφουμε ένα κλάσμα με την μορφή μεικτού αριθμού; 16. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα; 17. Τι είναι αντίστροφα κλάσματα; 18. Ποια κλάσματα δεν έχουν αντίστροφο κλάσμα; 19. Ποιες ιδιότητες των πράξεων ισχύουν στα κλάσματα; Πώς διαιρούμε δύο κλάσματα; 21. Τι είναι σύνθετο κλάσμα; 22. Πώς μετατρέπουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό; Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 18 από 32

19 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Υλικό αξιολόγησης 23. * Ο Στέφανος κατέγραψε ότι από τα βιβλία στο σπίτι του το 1 2 είναι μυθιστορήματα, ενώ ο Ανδρέας διαπίστωσε ότι από τα βιβλία που υπάρχουν στο σπίτι του το 1 5 είναι μυθιστορήματα. Ο Στέφανος υποστήριξε ότι στο σπίτι του υπάρχουν περισσότερα βιβλία με μυθιστορήματα από ό,τι τα βιβλία με μυθιστορήματα του Ανδρέα. Α. Έχει δίκιο ο Στέφανος; Β. Γιατί; Γιατί όχι; Γ. Τι χρειάζεται να κάνουμε; 24. *Η Κατερίνα έγραψε = Α. Είναι σωστή η λύση; Β. Η Κατερίνα ρωτήθηκε σχετικά και είπε: «Έφαγα 1 από τα 2 τοστ που είχα και η Χαρά έφαγε τα 2 από τα 3 τοστ που είχε. Άρα μαζί φάγαμε 3 από τα 5 τοστ που είχαμε». Γ. Χρειάζεται να πούμε κάτι στην Κατερίνα για να κατανοήσει το θέμα; *Ο Βασίλης έγραψε 1 : = Α. Είναι σωστή η λύση; Β. Ποιος είναι ο πιθανός λόγος που έδωσε αυτό το αποτέλεσμα; 26. *Ποιο σχήμα έχει σκιασμένο το 1 3 της επιφάνειάς του; Α. Η Μαρία υποστήριξε ότι κανένα από τα σχήματα δεν έχει σκιασμένο το 1 3 της επιφάνειάς του. Β. Τι χρειάζεται να κάνετε για να ελέγξετε αυτό που υποστηρίζει η Μαρία; 27. *Ο Χρήστος έγραψε ότι: 1 > Α. Έχει δίκιο; Β. Αν χρειάζεται να κάνετε κάτι, τι θα ελέγχατε; * New Zealand Ministry of Education Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 19 από 32

20 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Υλικό αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση 2.1. Να βρείτε την τιμή της μεταβλητής x για να ισχύει η ισότητα: x 7 Α = 1 Δ. x = Αν Α = + 2 :, Β = (α) Τις τιμές των Α, Β, Γ (β) Την παράσταση Α :B + Γ + Β A και Γ = 3 : να υπολογίσετε: 2.3. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α (5 4 ) Β. Γ. Δ. Ε : : + : Ένα τμήμα ενός δρόμου ασφαλτοστρώνεται σε 5 ώρες αν εργαστεί μια ομάδα από το συνεργείο που έχει αναλάβει το έργο, σε 7 ώρες αν εργαστεί μια άλλη ομάδα και σε 9 ώρες αν εργαστεί μια τρίτη ομάδα. Α. Τι μέρος του έργου ασφαλτοστρώνει σε μια ώρα κάθε ομάδα; Β. Τι μέρος του έργου ασφαλτοστρώνουν σε μια ώρα όταν εργαστούν και οι τρείς ομάδες ταυτόχρονα; 2.5. Α. Σε μια τάξη 25 μαθητών, 6 μαθητές πήραν στο διαγώνισμα των Μαθηματικών βαθμό άριστα. Να βρείτε το μέρος των μαθητών που πήρε βαθμό άριστα. Β. Σε μια άλλη τάξη 20 μαθητών, 4 μαθητές πήραν βαθμό άριστα. Να βρείτε το μέρος των μαθητών που πήρε βαθμό άριστα. Γ. Να μετατρέψετε τα παραπάνω κλάσματα σε ισοδύναμα με παρονομαστή το 100 και να βρείτε ποια από τις δυο τάξεις είχε μεγαλύτερο ποσοστό άριστων στα μαθηματικά Να βρείτε για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού y έχουν νόημα τα παρακάτω κλάσματα: Α. Β. Γ. 3 y 2y 6 y Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να βρείτε τις τιμές των παρακάτω κλασμάτων: 3x+ 3 2x 2 4x 12 5x+ 20 Α. Β. Γ. Δ Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 20 από 32

21 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Υλικό αξιολόγησης 2.8. Να βρείτε ποια κλασματική μονάδα παριστάνει καθένα από τα παρακάτω κλάσματα με την προϋπόθεση ότι ορίζονται τα κλάσματα: x+ 2 x 3 5x+ 10 2x 4 Α. Β. Γ. Δ. 2x+ 4 3x 9 25x+ 50 4x Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή ω (ω 0, φυσικός) ώστε να ισχύει: ω Α. 1 5 < Β. ω 1 3 < Γ. 4 1 ω > Δ. 9 1 ω > Αν α, β, γ 0,να αποδείξετε ότι: 2α β β Α. = 2 Β. 4α + 6β = α α 2β β α+ β+ γ αβ+ βγ+ γα Γ. = + + Δ. = + + αβγ αβ βγ αγ αβγ α β γ Αν είναι 3 4 x+ y= και z+ y=, να υπολογίσετε την παράσταση x+ 2y+ z. 2 3 Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 21 από 32

22 Α Γυμνασίου, Μέρος Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 3 - Δεκαδικοί αριθμοί

23

24 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 3 Α Η θέση των ψηφίων σε έναν αριθμό προσδιορίζει την τάξη τους (δηλαδή την αξία τους σε συγκεκριμένες μονάδες). Κάθε δεκαδικός αριθμός έχει: α) ακέραιο μέρος, β) δεκαδικό μέρος, τα οποία διαχωρίζονται από την υποδιαστολή. Στο δεκαδικό μέρος οι τάξεις είναι τα δέκατα, τα εκατοστά, τα χιλιοστά, τα δεκάκις χιλιοστά, τα εκατοντάκις χιλιοστά, τα εκατομμυριοστά κ.λπ. Στο ακέραιο μέρος οι τάξεις είναι σε Μονάδες, Δεκάδες, Εκατοντάδες κ.λπ. Δέκα μονάδες μίας τάξης είναι μία μονάδα μεγαλύτερης τάξης. Κεφάλαιο 3o: Δεκαδικοί αριθμοί Α.3.1. Δεκαδικά κλάσματα - Δεκαδικοί αριθμοί - Διάταξη δεκαδικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση 1. Δραστηριότητα (α) Να καταγράψετε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό με 4 διαφορετικά ψηφία.... (β) Να προσδιορίσετε τις μονάδες, τις δεκάδες, τις εκατοντάδες και τις χιλιάδες του παραπάνω αριθμού.... (γ) Να καταγράψετε έναν δεκαδικό αριθμό.... (δ) Να προσδιορίσετε στον δεκαδικό αριθμό 7435,62 τις μονάδες, τις δεκάδες, τις εκατοντάδες, τις χιλιάδες, τα δέκατα, τα εκατοστά (ε) Για να γίνουν τα δέκατα 7 στον παραπάνω αριθμό, πόσα εκατοστά χρειάζονται; Κάθε φυσικός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός, με μηδενικό δεκαδικό μέρος. Τα μηδενικά στην αρχή του ακεραίου μέρους ή στο τέλος του δεκαδικού, είναι σα να μην υπάρχουν. Στους υπολογιστές και σε ορισμένες χώρες, για το διαχωρισμό του ακέραιου από το δεκαδικό μέρος, αντί του κόμματος «,», χρησιμοποιείται η τελεία «.». (π.χ.: αντί του 5,124)... (στ) Να γράψετε έναν φυσικό αριθμό. Στη συνέχεια να τον γράψετε ως δεκαδικό αριθμό (ζ) Τι σχέση έχουν οι αριθμοί σε καθένα από τα παρακάτω ερωτήματα. (i) 7,500 και 7,5 (ii) 005,2 και 5,2 Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 24 από 32

25 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 3 Α Εργαστείτε στο μικροπείραμα mpa3_1.ggb. Αν δύο δεκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει το μεγαλύτερο ψηφίο στην αρχική τάξη. Να γράψετε δύο τέτοιους δεκαδικούς αριθμούς Αν δύο δεκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από το ίδιο ψηφίο της ίδιας τάξης, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει το αμέσως επόμενο ψηφίο μεγαλύτερο. Να γράψετε δύο τέτοιους δεκαδικούς αριθμούς Για να στρογγυλοποιήσετε ένα δεκαδικό αριθμό: Προσδιορίζετε τη δεκαδική τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Εξετάζετε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης. Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται. Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1. (α) Επιλέξτε δύο από τους αριθμούς και προσπαθήστε να τους γράψετε ολογράφως (β) Προσπαθήστε να τους τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά στο δεξί πλαίσιο. (γ) Με βάση τους αριθμούς που έχετε τοποθετήσει σε αύξουσα τάξη, να στρογγυλοποιήσετε στη μονάδα τους 6 αριθμούς που έχουν επισημανθεί. Εργαστείτε στο μικροπείραμα mpa3_2.ggb. 3. Στα τρία τρίμηνα στο μάθημα της πληροφορικής της α γυμνασίου, τρεις μαθητές έλαβαν τους βαθμούς που εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα. Να υπολογίσετε το μέσο όρο του μαθητή και να τον στρογγυλοποιήσετε στη μονάδα. ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ❻ α τρίμηνο β τρίμηνο γ τρίμηνο Μέσος όρος Τελικός βαθμός 1ος μαθητής ος μαθητής ος μαθητής Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 25 από 32

26 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 3 Α Στον δεκαδικό αριθμό 0, 9 λείπουν δύο ψηφία του. (α) Συμπληρώστε τα κενά έτσι, ώστε κανένα ψηφίο του αριθμού να μην είναι ίδιο με άλλο. (β) Βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος ή ο μικρότερος δεκαδικός που μπορείτε να γράψετε; Δεκαδικό κλάσμα Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρονομαστή μια δύναμη του 10. Στην περίπτωση που το πηλίκο δεν είναι ακριβές, συνήθως ο δεκαδικός αριθμός γράφεται με προσέγγιση δέκατου ή εκατοστού ή χιλιοστού κλπ. Οι δεκαδικοί αριθμοί και τα δεκαδικά κλάσματα είναι διαφορετικές αναπαραστάσεις των ίδιων αριθμών. Κάθε δεκαδικός αριθμός γράφεται ως δεκαδικό κλάσμα, αν ως αριθμητή γράψετε τον αριθμό χωρίς την υποδιαστολή και ως παρονομαστή δύναμη του 10 με τόσα μηδενικά, όσα και τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού. 5. Σκεφτείτε κάποια στιγμή όπου αφού σας έβαλαν θερμόμετρο για να δουν τη θερμοκρασία σας, ακούσατε να σας λένε, αφού σας έβαλαν: «Έχεις δέκατα!». Τι σημαίνει; 6. Έστω ο δεκαδικός αριθμός 0,5. Δώστε ένα παράδειγμα που χρησιμοποιείται αυτό τον αριθμό για να εκφράσετε κάποια αγορά. 7. Καταγράψτε τέσσερα δεκαδικά κλάσματα που το καθένα να έχει διαφορετικό παρονομαστή από το άλλο. 8. Να γράψετε τα ακόλουθα κλάσματα, ως δεκαδικούς αριθμούς με την εκτέλεση των αντίστοιχων διαιρέσεων: (α) 20 4 (β) 50 8 (γ) Κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως δεκαδικός αριθμός, με τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του. 9. Να γράψετε, ως κλάσματα, τους δεκαδικούς αριθμούς: (α) 2,35 και (β) 0,348. (α) 2,35 (β) 0,348 Για να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα: 1. Μετατρέπετε το κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό. 2. Μετατρέπετε τον δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα. 10. Να γράψετε, ως δεκαδικούς αριθμούς, τα κλάσματα: (α) (β) Τι παρατηρείτε σε σχέση με την γραφή του δεκαδικού αριθμού και το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που έχει; Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 26 από 32

27 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 3 Α Να μετατρέψετε το κλάσμα 10 8 σε δεκαδικό κλάσμα. 12. Να τοποθετήσετε στην ευθεία των αριθμών τους δεκαδικούς αριθμούς: (α) 0,8 (β) 1,35 Καταγράψτε τον τρόπο με τον οποίο θα τοποθετήσετε ένα δεκαδικό αριθμό στην ευθεία των αριθμών σε σχέση με την γραφή του δεκαδικού αριθμού; 13. Εργαστείτε στο μικροπείραμα mpa3_3.ggb. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 27 από 32

28 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Τυπική προβολή Α.3.3. Υπολογισμοί με τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης Τα σύμβολα για τις βασικές πράξεις είναι τα ακόλουθα:,, και Με το πάτημα του πλήκτρου στην οθόνη εμφανίζεται το αποτέλεσμα της πράξης. 14. Να καταγράψετε τα βήματα που θα ακολουθήσετε για να εκτελέσετε τις πράξεις: (α) Άθροισμα των αριθμών 128,35 και 59, (β) Διαφορά των αριθμών 752 και 38, (γ) Γινόμενο των αριθμών 1520,39 και 3, (γ) Πηλίκο των αριθμών 859 και 10, Τα ακόλουθα πλήκτρα αποτελούν βοηθητική μνήμη: εμφανίζει στην οθόνη τον αριθμό που είναι τοποθετημένος στη μνήμη, σβήνει το περιεχόμενο της μνήμης και Προτεραιότητα πράξεων: Προηγούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. Δυνάμεις Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις Προσθέσεις και Αφαιρέσεις Οι πράξεις ίδιας προτεραιότητας εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά. προσθέτει στον αριθμό που υπάρχει στη μνήμη το περιεχόμενο της οθόνης αφαιρεί από τον αριθμό που υπάρχει στη μνήμη το περιεχόμενο της οθόνης 15. Να καταγράψετε τα βήματα που θα ακολουθήσετε για να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: (1,5 : 3 + 0,4 7) 5 31,2 : (0, ,3 : 1,1 ) με τη χρήση υπολογιστή τσέπης ή την αριθμομηχανή του υπολογιστή σε τυπική προβολή. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 28 από 32

29 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Επιστημονική Προβολή Ένας επιστημονικός υπολογιστής τσέπης ή η επιστημονική προβολή της αριθμομηχανής του υπολογιστή περιλαμβάνει και σύμβολα για άλλες πράξεις, όπως την πράξη της δύναμης, αλλά και την χρήση των παρενθέσεων. Με το πλήκτρο μπορείτε να υπολογίσετε δυνάμεις. Αρχικά πληκτρολογείτε την βάση Στη συνέχεια πατάτε το παραπάνω πλήκτρο και Τέλος, πληκτρολογείτε τον εκθέτη. 16. Να υπολογίσετε με τη χρήση υπολογιστή τσέπης ή την αριθμομηχανή του υπολογιστή τις δυνάμεις και να καταγράψετε το αποτέλεσμα: (α) 2, (β) 2, (γ) 2, (α) 0, (β) 0, (γ) 0, Τι παρατηρείτε ανάμεσα στις δυνάμεις με την ίδια βάση και το αποτέλεσμα της πράξης; 17. Ποια αριθμητική παράσταση υπολογίζεται, με τις παρακάτω πράξεις που έχουν γίνει στο κομπιουτεράκι και ποιο είναι το τελικό αποτέλεσμα; 7,28 5,2 0,4? 5,8 4,2? 2,4 7,1? 5? 0,1? 2,03 0,47? 3,2??? 18. Πώς μπορούν να αξιοποιηθούν οι παρενθέσεις σε έναν επιστημονικό υπολογιστή τσέπης ή στην επιστημονική προβολή της αριθμομηχανής του υπολογιστή; Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 29 από 32

30 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Ασκήσεις προς λύση 3.1. Δίνονται τα ψηφία 4, 1, 5, 6, 9, 2, 7. Αφού τοποθετήσετε τα ψηφία σε αύξουσα σειρά, να τοποθετήσετε υποδιαστολή, ώστε να προκύψει αριθμός ο οποίος θα βρίσκεται μεταξύ των: Α. 1 και 10 Β. 100 και Γ και Να συμπληρώσετε το ψηφίο που λείπει στον αριθμό 12, 7 αν γνωρίζετε ότι, όταν ο αριθμός στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο δέκατο, γίνεται ίσος με 12, Αν είναι x = 3,4, y = 2,7 και z = 6,3, να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α. x + y Β. y + z Γ. z + x Δ. x + y + z 3.4. Αν x = 19,2-13,8 και y = 93,5-87,3, να κάνετε τις πράξεις: Α. y - (y - x) + 4 Β. x + y - (y + 2) Γ. x - (y - 5) 3.5. Να κάνετε τις πράξεις: Α. 12,34 + 6,09-12,98 + 1,56 Β. 0, ,06-1,99 + 1, Να κάνετε τις πράξεις: Α. (12,5 : 10) - (846 : 1.000) + (313 : 100) Β. (0,03 : 0,1) + (0,6 : 0,001) - (0,7 : 0,01) 3.7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 2 Α. 20 x ( 20 x) 2 +, όταν x = 0,1 Β. 2 y + 2 y 0,3, όταν y = 0, Αν x - y = 3 και z = w = 1,5, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) ( ) ( ) ( 2 ) K = 13 x y + 1,4: 0,14 w + x y z z 3.9. Τα 4 5 του λίτρου γάλακτος κοστίζουν 0,8 ευρώ. Να υπολογίσετε πόσο κοστίζουν: Α. το 1 5 Β. το 1 λίτρο Γ. τα 3 λίτρα Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α. ( 3,4 2,1) ,01 + 0, Β. 2 3 ( ,8: 0,9) + ( ,5: 0,01) Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 30 από 32

31 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 2 Α Μια μικρή οικογενειακή γαλακτοβιομηχανία διαθέτει 950 κιλά γάλα και θέλει να τα συσκευάσει σε μπουκάλια χωρητικότητας 2 λίτρων το καθένα. Πόσα δοχεία θα χρειαστεί; Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι 52,4 dm.να υπολογίσετε την πλευρά του Να υπολογίσετε το εμβαδόν ορθογωνίου που έχει μήκος 1,3 m και πλάτος 4,7 m. Πρόταση Διδασκαλίας και Συνοδευτικά φύλλα εργασίας v 1.0 Σελίδα 31 από 32

32

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητής = Παρονομαστής

Αριθμητής = Παρονομαστής Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 5 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Δουκάκης Σπυρίδων

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Με ποιους τρόπους μπορούμε να φτιάξουμε ισοδύναμα κλάματα; Ποια διαδικασία ονομάζουμε απλοποίηση ενός κλάσματος; Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Ποια κλάσματα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 17: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα Θεωρία Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα. Πως λέγονται οι όροι ενός κλάσματος. Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος λέγεται αριθμητής ενώ ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από αυτήν λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 4 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Σελίδα 19: Α Γυμνασίου, Μέρος Β,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών Ρητοί αριθμοί (ℚ ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν με ένα κλάσμα με ακέραιους όρους. Με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 4, Εξισώσεις και προβλήματα

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 4, Εξισώσεις και προβλήματα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 3 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 4, Εξισώσεις και προβλήματα Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Δεκαδικοί Αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δεκαδικό κλάσμα λέγεται... Βάλε σε κύκλο τα κλάσματα που είναι δεκαδικά 3 7 13

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Γ ΤΑΞΗ) ΟΝΟΜΑ:. (ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΑΤΕ ΝΑ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ ΜΑΖΙ: Υπάρχουν άραγε αριθμοί ανάμεσα στο 0 και

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 23 ο Κεφάλαιο 44 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Κεφάλαιο 23 ο Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Η σωστή ενέργεια Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κλάσματα, πρέπει να είναι ομώνυμα. Τώρα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 7: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα (!,!,!,!,! ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας,!!!!! χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες και εφαρμογίδια.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί. Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 1, Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί. Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 1, Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 1 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Σελίδα 16: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί Α

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη του άλφα; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης; Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Μετρήσεις Μεγεθών Η

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Τεύχος 1οο ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΚΡΙΒΟΠΟΥΛΟΥΥ ΓΕΩΡΓΙΑ Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Υπενθύμιση Δ τάξης Ασκήσεις Μάθημα 1 ο 1. Να κάνεις τις προσθέσεις : 209 101 595 614

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Γνωρίζω μέχρι τώρα Στην πρόσθεση, οι προσθετέοι και το άθροισμα είναι ομοειδείς αριθμοί. Π.χ 8 κεράσια + 6 κεράσια = κεράσια

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Λυκείου που θέλουν ένα μεθοδικό και πλήρες βοήθημα στην Άλγεβρα. Το μάθημα αυτό αποτελεί τη γέφυρα ανάμεσα στο γυμνάσιο και το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα