ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. f () (β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με την εξίσωση: + y = 3. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα του y ως προς όταν {= 1, y= 4}. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(1+ ) α στο διάστημα: 0 1. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το μέγιστό της βρίσκεται στο δεξιό σύνορο: = 1. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης y = (1+ )y στο θετικό διάστημα με αρχική συνθήκη y(0) = 1.. (4 μονάδες) (α). Να βρεθεί η μερική παράγωγος f της συνάρτησης f(, y) = ma{, y} (β). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(, y) = y. Να γίνουν τα γραφήματα των ισοσταθμικών της και να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(, y) = + 4y 4y+ 1. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. (δ). Θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης ma{+ y + y = c} με c> 0. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Μέρος Β 3.(1 μονάδες) Μια παραγωγική μονάδα χρησιμοποιεί συντελεστή παραγωγής K με μοναδιαίο κόστος και παράγει ποσότητα Q= K ενός προϊόντος το οποίο διατίθεται με μοναδιαία τιμή. Να βρεθεί το μέγιστο κέρδος Π ως συνάρτηση των παραμέτρων {,} και να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας, ομογένειας και κυρτότητας αυτής της συνάρτησης. Να ερμηνευτούν αυτές οι ιδιότητες, και να σκιαγραφηθεί μια ισοσταθμική της συνάρτησης μέγιστου κέρδους. 4.(1 μονάδες) Ένας καταθέτης άνοιξε τραπεζικό λογαριασμό ποσού 100 χιλιάδων ευρώ με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 4%, και συνεχή ανατοκισμό. Να βρεθεί ο μέγιστος ετήσιος ρυθμός αναλήψεων που θα του εξασφαλίσει εισόδημα για 10 χρόνια. Για το εκθετικό να χρησιμοποιηθεί η παραβολική προσέγγιση. ΤΕΛΟΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 15 Διάρκεια εξέτασης: ώρες 1. (4 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Λύση. Η συνάρτηση είναι γραμμική όσο η παράγωγος είναι σταθερή. Στη συνέχεια έχει μια απότομη αύξηση στην κλίση και συνεχίζει ως αύξουσα με φθίνουσα κλίση μέχρι να καταλήξει να γίνει οριζόντια. f () f() (β). Οι μεταβλητές {,y} συνδέονται με την εξίσωση: + y = 3. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα του y ως προς όταν {= 1, y= 4}. Λύση. Παραγωγίζοντας πλεγμένα ως προς, βρίσκουμε την παράγωγο στο συγκεκριμένο σημείο: 1/ 1/ 1 1/ 1 1/ 1 1 y ( ) + (y ) = (3) + y y = 0 + y = 0 y = = y Στη συνέχεια υπολογίζουμε την ελαστικότητα: y ε= = = 0.5 y 4 (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(1+ ) α στο διάστημα: 0 1. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το μέγιστό της βρίσκεται στο δεξιό σύνορο: = 1. Λύση. Είναι κοίλη γνήσια, διότι η δεύτερη παράγωγος είναι γνήσια αρνητική: (1+ ) 1 f () = α = (1+ ) α f () = (1+ ) = < 0 Έχουμε πρόβλημα κυρτού προγραμματισμού και το μέγιστο θα βρίσκεται στο δεξιό σύνορο αν ικανοποιείται η συνθήκη: 1 f (1) 0 α 0 α 0.5 (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης y = (1+ )y για { 0, y 0}, με αρχική συνθήκη y(0) = 1. Λύση. Η διαφορική εξίσωση είναι χωριζομένων μεταβλητών με γενική λύση: dy dy 1 = (1+ )y (1 )d ln y c d = + = + + y, διότι y 0 Η αρχική συνθήκη μας δίνει: 0= 0+ c c= 0. Επομένως η λύση είναι: ln y= + / y= e(+ / )

3 . (4 μονάδες) (α). Να βρεθεί η μερική παράγωγος f της συνάρτησης f(, y) = ma{, y} Λύση. Η συνάρτηση και η παράγωγος ορίζονται τμηματικά με τον τύπο: f = 0 f = 1 αν y 1 αν y, δηλαδή κάτω από την διαγώνιο f = f = y αν y 0 αν y, δηλαδή πάνω από την διαγώνιο (β). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(, y) = y. Να γίνουν τα γραφήματα των ισοσταθμικών της και να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. Λύση. Οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες παραβολές: y = c = y + c y + c με πάνω σταθμικές το εσωτερικό των παραβολών που είναι κυρτές περιοχές. f = y c y + c Επομένως η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(, y) = + 4y 4y+ 1. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. f = 4y= 0 Λύση. Βρίσκουμε: y = /, ολόκληρη ευθεία από στάσιμα σημεία. fy = 8y 4= 0 f = fy = 4 Ο Εσσιανός πίνακας είναι: H=, fy = 4 fyy = 8 με f = > 0, f = 8> 0, Δ= f f f = 8 ( 4) = 0 yy yy y Ο Εσσιανός πίνακας είναι παντού θετικά ημιορισμένος και επομένως τα στάσιμα είναι ολικά ελάχιστα. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε παρατηρώντας ότι, παραλείποντας τον προσθετικό όρο 1 η παράσταση είναι τετραγωνική μορφή θετικά ημιορισμένη, όχι ορισμένη: f(, y) = + 4y 4y+ 1 = (+ y) + 1, με ελάχιστη τιμή 1 όταν + y= 0 y= /. (δ). Θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης ma{+ y + y = c} με c> 0. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Λύση. Οι συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας μας δίνουν: f = + y f f y 1, g c, y c = = = + = g= + y g gy y = + = y, y c 4y y c y c / 5, c / 5 + = =± =± Από το γράφημα διαπιστώνουμε ότι το μέγιστο βρίσκεται στη θετική λύση, διότι η αντικειμενική συνάρτηση αυξάνει προς τα πάνω δεξιά: y = c / 5, = c / 5 f

4 3.(1 μονάδες) Μια παραγωγική μονάδα χρησιμοποιεί συντελεστή παραγωγής K με μοναδιαίο κόστος και παράγει ποσότητα Q= K ενός προϊόντος το οποίο διατίθεται με μοναδιαία τιμή. Να βρεθεί το μέγιστο κέρδος Π ως συνάρτηση των παραμέτρων {,} και να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας, ομογένειας κυρτότητας και οιονεί κυρτότητας αυτής της συνάρτησης. Να ερμηνευτούν αυτές οι ιδιότητες, και να σκιαγραφηθεί μια ισοσταθμική της συνάρτησης μέγιστου κέρδους. Λύση. Η συνάρτηση κέρδους: Π(K) = R(K) C(K) = Q(K) K= K K είναι κοίλη με μέγιστο στο στάσιμο σημείο: Π (K) = / K = 0 K = / Το μέγιστο κέρδος είναι: 1 Π = Π(K ) = K K = = = Ως συνάρτηση των παραμέτρων είναι: 1. αύξουσα, φθίνουσα. Το μέγιστο κέρδος αυξάνει όταν αυξάνει η τιμή του προιόντος ή όταν ελαττώνεται το κόστος του συντελεστή. Ομογενής βαθμού 1. Αν η τιμή του προιόντος και το κόστος του συντελεστή αυξηθούν κατά το ίδιο ποσοστό, τότε το μέγιστο κέρδος θα αυξηθεί κατά το ίδιο αυτό ποσοστό. 3. κυρτή, κυρτή, (,) κυρτή, διότι ο Εσσιανός πίνακας HΠ είναι θετικά ημιορισμένος: {Π =,Π = }, {Π =,Π =,Π = } {Π > 0,Π > 0,Δ = 0} H 0. Π 4 4 Δ= ΠΠ (Π ) = 4 4 = 0 Καθώς η τιμή του προιόντος αυξάνει και το κόστος του συντελεστή ελαττώνεται, το μέγιστο κέρδος αυξάνει με αύξοντα ρυθμό 4. (,) οιονεί κυρτή, διότι είναι (,) κυρτή. Εξάλλου οι κάτω σταθμικές περιοχές είναι κυρτές, όπως φαίνεται στο γράφημα. Κάτω σταθμική: Π = c / c, κυρτή περιοχή ως εσωτερικό παραβολής Π B C Π c / c Ακραίοι συνδυασμοί {,B} τιμής του προιόντος και κόστους του συντελεστή είναι περισσότερο κερδοφόροι από ενδιάμεσους συνδυασμούς C. Έχουμε: Π () = Π (B) = c, αλλά Π (C) < c

5 4.(1 μονάδες) Ένας καταθέτης άνοιξε τραπεζικό λογαριασμό ποσού 100 χιλιάδων ευρώ με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο 4%, και συνεχή ανατοκισμό. Να βρεθεί ο μέγιστος ετήσιος ρυθμός συνεχών αναλήψεων που θα του εξασφαλίσει εισόδημα για 10 χρόνια. Για το εκθετικό να χρησιμοποιηθεί η παραβολική προσέγγιση. Λύση. Αν ο ετήσιος ρυθμός συνεχών αναλήψεων είναι, τότε το ποσό K στο λογαριασμό καταθέσεων θα μεταβάλλεται στο χρόνο t σύμφωνα με την διαφορική εξίσωση: K = 0.04K Είναι γραμμική αυτόνομη με σταθερή τιμή: 0.04K = 0 K = / 0.04 και γενική λύση: 0.04t K= + ce 0.04 Η σταθερά c καθορίζεται από το αρχικό ποσό της κατάθεσης: K(0) = + c= 100 c= Επομένως κατά τον χρόνο t ο λογαριασμός θα είναι 0.04t K(t) = + (100 )e Το μέγιστο που θα του εξασφαλίσει εισόδημα για 10 χρόνια βρίσκεται από την εξίσωση: (0.04) K(10) = 0 + (100 )e = 0 (e 1) = 100e Επομένως: 4 μ = e Η γραμμική προσέγγιση του εκθετικού δεν είναι ικανοποιητική για την περίπτωση, διότι μας δίνει: e = 10 χιλιάδες ευρώ ετησίως. 0.4 Είναι το εισόδημα που θα είχαμε από το αρχικό ποσό χωρίς τοκισμό. Η παραβολική προσέγγιση του εκθετικού μας δίνει: 0.4 ( 0.4) 0.4 e = = 1.5 χιλιάδες ευρώ ετησίως 0.3 Ο τοκισμός μας εξασφαλίζει ένα επιπλέον ονομαστικό εισόδημα περίπου 5 χιλιάδες ευρώ στην δεκαετία ΤΕΛΟΣ