Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

Transcript

1 Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς χ στο σημείο χ 0 την παράγωγο f / ( χ 0 ) ) Αν x = x ( t ) η συνάρτηση θέσης ενός κινητού που κινείται πάνω σε άξονα, ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης x ως προς τον χρόνο t, δηλαδή η x / ( t ) ονομάζεται στιγμιαία ταχύτητα του κινητού άρα v ( t ) = x / ( t ) ) Αν v = v ( t ) η συνάρτηση της ταχύτητας v ενός κινητού ως προς τον χρόνο t, τότε η παράγωγος v / ( t ) δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ως προς τον χρόνο ονομάζεται στιγμιαία επιτάχυνση α ( t ) του κινητού, άρα α ( t ) = v / ( t ) = x // ( t ) 4) Αν χ η ποσότητα ενός παραγόμενου προϊόντος από μία επιχείρηση και Κ ( χ ) το κόστος παραγωγής, Ε ( χ ) η είσπραξη, Ρ ( χ ) το κέρδος εκφρασμένα σαν συναρτήσεις της ποσότητας χ τότε : ι) η Κ / ( χ ) - ρυθμός μεταβολής του κόστους ως προς την παραγόμενη ποσότητα χ - ονομάζεται και οριακό κόστος ιι) η Ε / ( χ ) - ρυθμός μεταβολής της είσπραξης ως προς την παραγόμενη ποσότητα χ - ονομάζεται και οριακή εισπραξη

2 ιιι)η Ρ / ( χ ) - ρυθμός μεταβολής του κέρδους ως προς την παραγόμενη ποσότητα χ - ονομάζεται και οριακό κέρδος Λ Υ Μ Ε Ν Α Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Α ) Μία δύναμη εφαρμόζεται σε ένα κινητό που κινείται σε άξονα και του οποίου η απόσταση από τη αρχή Ο του άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από την συνάρτηση S ( t ) = ln ( t + ), t ε [ 0, 5] α) Ποια ήταν η αρχική θέση του κινητού ; β) Να δείξετε ότι το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεμίας όταν εφαρμόστηκε η δύναμη γ) Να δείξετε ότι η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη δ) Να βρείτε το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας και της στιγμιαίας επιτάχυνσης του κινητού sec μετά την εφαρμογή της δύναμης ε) Να βρείτε την μέση ταχύτητα του κινητού κατά την διάρκεια της κίνησης α) Η αρχική θέση του κινητού δίνεται από την συνάρτηση S ( t ) για t = 0 επομένως S ( 0 ) = ln = 0, δηλαδή η αρχική θέση του κινητού είναι το Ο. β) Η ταχύτητα v ( t ) για κάθε χρονική στιγμή είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης δηλαδή v ( t ) = S / ( t ) = [ ln ( t + ) ] / / = ( t + ) = t ε [ 0, 5 ] t + t + Επομένως η αρχική ταχύτητα του κινητού είναι η v ( 0 ) = => 0+ => v ( 0 ) = m / sec 0 δηλαδή το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεμίας όταν εφαρμόστηκε η δύναμη. γ) Η επιτάχυνση του κινητού είναι η παράγωγος της ταχύτητας α ( t ) = v / ( t ) = S // ( t ) = t+ =- t ε [ 0, 5 ] ( t+ ) Προφανώς είναι - < 0 για κάθε t ε [ 0, 5 ] δηλαδή α ( t ) < 0 ( t+ ) ( επιτάχυνση αρνητική ) => κίνηση επιβραδυνόμενη. δ) Στιγμιαία ταχύτητα για t = sec v ( ) = = m / sec + 4 / =

3 Στιγμιαία επιτάχυνση για t = sec α ( ) =- ( + ) = - m / sec (επιβράδυνση) 6 Sτελ - Sαρχ S ( 5 ) - S ( 0 ) ε) Η μέση ταχύτητα του κινητού είναι v μ = = = t - t 5-0 = ln 6 - ln 5 = 5 ln 6 m / sec ) Ένα κινητό εκτελεί επίπεδη κίνηση και η θέση του κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από τις σχέσεις χ = χ ( t ) = t +, ψ = ψ ( t ) = t 4 t, t ε [0, 0] α) Να αποδείξετε ότι η τροχιά του κινητού είναι τμήμα παραβολής β) Να βρείτε την ταχύτητα ν χ ( t ) του κινητού ως προς τον άξονα χ / χ, την ταχύτητα ν ψ ( t ) του κινητού ως προς τον άξονα ψ / ψ, και το μέτρο της ολικής ταχύτητας ν ( t ) του κινητού για κάθε χρονική στιγμή t ε [ 0, 0 ] γ) Να αποδείξετε ότι η ολική επιτάχυνση του κινητού είναι σταθερή. τελ αρχ ψ 0 χ χ - χ + ψ = - ( χ - ) ψ = χ χ + η οποία εφ όσον είναι της μορφής ψ = α χ + β χ + γ είναι πράγματι παραβολή Για t = 0 => χ = 0 + = και για t = 0 => χ = 0 + = δηλαδή χ ε [, ] επομένως είναι τμήμα παραβολής. β) Είναι ν χ ( t ) = χ / ( t ) = ( t + ) / = Όμοια ν ψ ( t ) = ψ / ( t ) = ( t 4 t ) / = t - 4 α) Εφ όσον χ, ψ οι συντεταγμένες του κινητού για κάθε χρονική στιγμή είναι : χ - χ = t + t = () Επομένως η ψ = t 4 t λόγω της χ - () => ψ = ( ) χ - 4 v x v v ψ Από πυθαγόρειο θεώρημα είναι ν ολ = x ψ v + v => => ν ολ = + ( t - 4 ) ν ολ = 4 t - 6 t + 0 με t ε [ 0, 0 ] γ) Η επιτάχυνση ως προς τον άξονα χ / χ είναι α χ ( t ) = χ // ( t ) = ( ) / = 0 Η επιτάχυνση ως προς τον άξονα ψ / ψ είναι α ψ ( t ) = ψ // ( t ) = ( t 4 ) / = = Επομένως η ολική επιτάχυνση είναι α = α ψ ( t ) = προφανώς σταθερή

4 ) Στο παρακάτω σχήμα η πλευρά ΜΝ κινείται με ρυθμό m / sec και παραμένει πάντα κάθετη στην ΑΓ καθώς το Μ κινείται από το Α προς το Γ Την χρονική στιγμή t 0 = 0 το Μ ξεκινά από το Α. α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του πολυγώνου ΑΜΝ ( γραμμοσκιασμένο ) ως συνάρτηση του t β) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού τις χρονικές στιγμές t = sec, t = sec, t = 5 sec Δίνονται ΑΒ = 6 m, AΓ = 6 m ΓΔ = 6 m Ν Ε Α Μ Β Γ Ε Ν Δ Α Β Μ Γ Επί πλέον τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΕ είναι όμοια ( ορθογώνια και A κοινή ) AM MN AM BE 6 t επομένως : = MN= MN= => ΜΝ = t άρα AB BE AB 6 Ε ( t ) = E AMN = ( t ) ( t ) => E ( t ) = t Επί πλέον όταν το Μ φθάσει στο Β θα είναι χ ( t ) = AB t = 6 t = άρα E ( t ) = t, 0 t ιι) Εφ όσον το Μ ξεπεράσει το Β τότε πλέον Ε ΑΜΝ = Ε ΑΒΕ + Ε ΒΜΝΕ ( δεύτερο σχήμα ) Είναι Ε ΑΒΕ = 6 6 = 8 και Ε ΒΜΝΕ = ( ΒΜ ) ( ΜΝ ) = ( ΑΜ ΑΒ ) 6 = = 6 ( χ ( t ) 6 ) = 6 ( t 6 ) = t 6 δηλαδή E ( t ) = E AMN = 8 + t 6 = = t 8 Επί πλέον το Μ θα φθάσει στο Γ όταν χ ( t ) = AΓ t = 6 t = 8 δηλαδή E ( t ) = t 8, < t 8 t, 0 t Έτσι τελικά E ( t ) = Η Ε ( t ) προφανώς είναι t - 8, < t 8 παραγωγίσιμη για t ε [ 0, ) (, 8 ] ( πολυωνυμικές ) με Δ Αν θέσουμε ΑΜ = χ τότε βέβαια εφ όσον το Μ κινείται με ρυθμό => χ / ( t ) = m / sec => => χ ( t ) = t + c () Όμως για t 0 = 0 το Μ βρίσκεται στο Α δηλαδή () χ ( 0 ) = 0 c = 0 άρα χ ( t ) = t, t 0 () ι) Εφ όσον το Μ βρίσκεται μεταξύ του Α και του Β το ΑΜΝ ( πρώτο σχήμα ) είναι τρίγωνο επομένως Ε ΑΜΝ = (ΑΜ ) ( ΜΝ ) Είναι ( ΑΜ ) = χ ( t ) = t 4

5 4 t, 0 t < E / ( t ) = Επομένως :, < t 8 Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή t = sec είναι Ε / () = 4 = 4 m / sec ( εφ όσον t = < ) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή t = 5sec είναι E / ( 5 ) = m / sec ( εφ όσον t = 5 > ) Στο t = θα εξετάσουμε αν η συνάρτηση Ε ( t ) είναι παραγωγίσιμη E (t) - E () t - 8 (t - ) (t + ) lim t - = lim - = lim - = t - t t - t t - E (t) - E () t ( t - ) lim t + = lim t - t + = lim t - t + = t - Επομένως η Ε ( t ) είναι παραγωγίσιμη στο t = sec με Ε / ( ) = ( ρυθμός μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή t = sec ) 4) Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλόγραμμου χ, ψ αυξάνουν ως προς το χρόνο με ρυθμό cm / sec και cm / sec αντίστοιχα. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του ορθογωνίου ως προς τον χρόνο t κατά την χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία οι διαστάσεις του είναι χ = 0 cm και ψ = 40 cm Αν χ ( t ) η συνάρτηση που δίνει το μήκος του ορθογωνίου ως προς τον χρόνο t, τότε βέβαια χ / ( t ) = () Όμοια αν ψ ( t ) η συνάρτηση που δίνει το πλάτος του ορθογωνίου ως προς τον χρόνο t, τότε βέβαια ψ / ( t ) = () Είναι Ε ( t ) = χ ( t ) ψ ( t ) => E / ( t ) = [ χ ( t ) ψ ( t ) ] / = = χ / ( t ) ψ ( t ) + χ ( t ) ψ / ( t ) Επομένως την χρονική στιγμή t 0 είναι : E / ( t 0 ) = χ / ( t 0 ) ψ ( t 0 ) + χ ( t 0 ) ψ / ( t 0 ) => => E / ( t 0 ) = => => E / ( t 0 ) = 70 cm / sec ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Στις ασκήσεις του ρυθμού μεταβολής είναι σημαντικό να βλέπουμε ποια μεγέθη μεταβάλλονται και απλά δίνονται κάποιες τιμές τους ( στην άσκηση οι διαστάσεις χ, ψ είναι μεταβλητές συναρτήσει του χρόνου t, οι τιμές χ = 0, ψ = 40 είναι για μία μόνο χρονική στιγμή t 0 ). Έτσι βέβαια το εμβαδόν είναι Ε ( t ) = χ ( t ) ψ ( t ) => Ε / ( t ) =... και όχι βέβαια Ε ( t ) = 0 40 = 00 ( σταθερό ) => Ε / ( t ) = (00) / = 0 5

6 5) Μία βάρκα σύρεται στην αποβάθρα με ένα σχοινί που διέρχεται από μία τροχαλία Γ ( σχήμα ) και βρίσκεται σε ύψος m από την επιφάνεια της θάλασσας. Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας την χρονική στιγμή t 0 που απέχει από την αποβάθρα 4 m και η ταχύτητα του σχοινιού είναι 0,8 m / sec S Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε : x ( t ) 0 ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) ( ΑΓ ) χ ( t ) = S ( t ) χ ( t ) = S ( t ) - 9 / Επομένως είναι χ / S ( t ) S ( t ) ( t ) = S ( t ) S ( t ) = S ( t ) - 9 S ( t ) - 9 την χρονική στιγμή t 0 η ταχύτητα της βάρκας είναι : / Γ B x A Είναι ΑΓ = m ( σταθερό ύψος αποβάθρας ), ΒΓ = S ( t ) μήκος σχοινιού με S / ( t 0 ) = 0,8 m / sec και ΒΑ = χ ( t ) με χ ( t 0 ) = 4 και χ / ( t ) την ταχύτητα της βάρκας σε κάθε χρονική στιγμή t / και άρα για χ / S ( t0 ) S ( t0 ) ( t 0 ) = () Όμως ( Πυθαγόρειο θεώρημα ) είναι S ( t0 ) - 9 S ( t 0 ) = χ ( t 0 ) + S ( t 0 ) = = 5 S ( t 0 ) = 5 και από () χ / 5 0,8 ( t 0 ) = = m / sec 5-9 6) Θεωρούμε τον κύκλο C με κέντρο το σημείο Κ (, - ) και ακτίνα ρ = 5 Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στον κύκλο και η τετμημένη χ του Μ ελαττώνεται με ρυθμό,5 cm / sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ όταν αυτό διέρχεται από το σημείο Α ( 4, - 6 ) ψ ( t 0 ) = - 6 ψ 4 Ο - Κ Μ -6 χ Η εξίσωση του κύκλου C είναι : ( χ ) + ( ψ + ) = 5 Αν χ ( t ), ψ ( t ) οι συντεταγμένες του Μ ( προφανώς μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου αφού το Μ κινείται ) εφ όσον το Μ είναι πάντα σημείο του κύκλου ισχύει : ( χ ( t ) ) + ( ψ ( t ) + ) = 5 () Από υπόθεση είναι χ / ( t ) = -,5 cm / sec ( εφ όσον η τετμημένη του Μ ελαττώνεται) και για την χρονική στιγμή t 0 που το Μ διέρχεται από το Α, χ ( t 0 ) = 4 και 6

7 Επομένως από () => [ ( χ ( t ) ) + ( ψ ( t ) + ) ] / = ( 5 ) / => => ( χ ( t ) ) ( χ ( t ) ) / + ( ψ ( t ) + ) ( ψ ( t ) + ) / = 0 => => ( χ ( t ) ) χ / ( t ) + ( ψ ( t ) + ) ψ / ( t ) = 0 Από την τελευταία και για t = t 0 έχουμε : ( χ ( t 0 ) ) χ / ( t 0 ) + ( ψ ( t 0 ) + ) ψ / ( t 0 ) = 0 => => ( 4 ) (-,5) + ( ) ψ / ( t 0 ) = 0 => - 4 ψ / ( t 0 ) = 4,5 => ψ / 4,5 ( t 0 ) = - = -, 5 cm / sec 4 7) Δύο πλοία Π και Π απομακρύνονται από ένα λιμάνι Λ κινούμενα ευθύγραμμα με ταχύτητες 5 και μίλια / ώρα αντίστοιχα, οι πορείες τους δε σχηματίζουν γωνία Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης τους Π Π την χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία τα Π και Π απέχουν από το λιμάνι Λ αποστάσεις 0 και 4 μίλια αντίστοιχα Λ Π Π Θέτουμε ΛΠ = χ ( t ) ( απόσταση του πλοίου Π από το λιμάνι Λ ) με χ / ( t ) = 5 και ΛΠ = ψ ( t ) ( απόσταση του πλοίου Π από το λιμάνι Λ ) με ψ / ( t ) = Τέλος Π Π = s ( t ) ( απόσταση των δύο πλοίων ) Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ΛΠ Π έχουμε : ( Π Π ) = ( ΛΠ ) + ( ΛΠ ) ( ΛΠ ) ( ΛΠ ) συνλ s ( t ) = χ ( t ) + ψ ( t ) χ ( t ) ψ ( t ) συν60 0 s ( t ) = χ ( t ) + ψ ( t ) χ ( t ) ψ ( t ) και επομένως => [ s ( t )] / = [ χ ( t ) + ψ ( t ) χ ( t ) ψ ( t ) ] / => s ( t ) s / ( t ) = χ ( t ) χ / ( t ) + ψ ( t ) ψ / ( t ) χ / ( t ) ψ ( t ) χ ( t ) ψ / ( t ) Για την χρονική στιγμή t 0 είναι ΛΠ = 0, ΛΠ = 4 και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ΛΠ Π έχουμε : ( Π Π ) = ( ΛΠ ) + ( ΛΠ ) ( ΛΠ ) ( ΛΠ ) συνλ ( Π Π ) = ( Π Π ) = 756 ( Π Π ) = 6 δηλαδή s ( t 0 ) = 6, χ ( t 0 ) = 0 και ψ ( t 0 ) = 4 Έτσι τελικά : 6 s / ( t 0 ) = s / ( t 0 ) = 756 s / 6 ( t 0 ) = = μίλια / ώρα 8) Αν κατά την χρονική στιγμή t 0 η ακτίνα ενός σφαιρικού μπαλονιού είναι 5 cm και ο ρυθμός αύξησης της ακτίνας του εκείνη την χρονική στιγμή είναι cm / sec να βρείτε τον ρυθμό αύξησης της επιφάνειας και του όγκου του σφαιρικού μπαλονιού την χρονική στιγμή t 0 Αν r ( t ) η ακτίνα του μπαλονιού ( συναρτήσει του χρόνου ), Ε ( t ) η 7

8 επιφάνεια του μπαλονιού και V ( t ) ο όγκος της σφαίρας είναι : 4 E ( t ) = 4 π r ( t ) () και V ( t ) = π r ( t ) () Από την () έχουμε : Ε / ( t ) = [ 4 π r ( t ) ] / = 4 π r ( t ) r / ( t ) => => E / ( t ) = 8 π r ( t ) r / ( t ) Επομένως για την χρονική στιγμή t 0 είναι : E / ( t 0 ) = 8 π r ( t 0 ) r / ( t 0 ) => E / ( t 0 ) = 8 π 5 => E / ( t 0 ) = 80 π cm / sec ο οποίος είναι ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας την στιγμή t 0. 4 Όμοια από την () : V / 4 ( t ) = π r ( t ) = π r ( t ) r / ( t ) => => V / ( t ) = 4 π r ( t ) r / ( t ) και επομένως την χρονική στιγμή t 0 ο ρυθμός μεταβολής του όγκου είναι V / ( t 0 ) = 4 π 5 => V / ( t 0 ) = 00 π cm / sec 9) Γεμίζουμε με νερό μία δεξαμενή σχήματος κώνου ( σχήμα ) ακτίνας 5 m και ύψους 0 m με σταθερό ρυθμό m / min Αν η δεξαμενή έχει στον h πυθμένα της μία τρύπα από την οποία διαφεύγει νερό με ρυθμό m / min 0 όπου h το ύψος της στάθμης του νερού που περιέχεται στην δεξαμενή να βρείτε : α) Τον ρυθμό μεταβολής του ύψους h την χρονική στιγμή κατά την οποία είναι h = 5m β) Αν τελικά θα γεμίσει η δεξαμενή / A 5 m B Ο συνολικός ρυθμός με οποίο γεμίζει ( ή αδειάζει ) h ) m / min () Γ Δ 0 m η δεξαμενή είναι V / ( t ) = ( - 0 Ο όγκος του νερού στην δεξαμενή είναι : V ( t ) = π r ( t ) h ( t ) όπου r ( t ) η ακτίνα ΓΔ Ο h και h ( t ) το ύψος ΟΓ της στάθμης του νερού ( προφανώς και τα δύο μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t εφ όσον ο όγκος του περιεχόμενου στην δεξαμενή νερού μεταβάλλεται ) Άρα V / ( t ) = [ π r ( t ) h ( t ) ] / = π [ r ( t ) r / ( t ) h ( t ) + r ( t ) h / ( t ) ] () Από το σχήμα τα τρίγωνα ΟΓΔ και ΟΑΒ είναι όμοια ( O κοινή και ΟΓ ΓΔ h ( t ) r ( t ) ορθογώνια ) => = => = => r ( t ) = h ( t ) () ΟΑ ΑΒ 0 5 επομένως και r / ( t ) = h / ( t ) (4) Έτσι τελικά η () λόγω των (), () και (4) γίνεται : h ( t ) - = π [ h ( t ) h / ( t ) h ( t ) + ( h ( t ) ) h / ( t ) ] => 0 8

9 => - h ( t ) 0 = 4 π h ( t ) h / ( t ) Επομένως την χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία είναι h ( t 0 ) = 5 είναι : = 4 π 5 h / ( t 0 ) => => h / 6 ( t 0 ) = m / min 5π β) Προφανώς είναι 0 h ( t ) 0 ( εφ όσον το μέγιστο ύψος του νερού h ( t ) είναι το ύψος της δεξαμενής δηλαδή 0 m ) => 0 => => - - h ( t ) 0 0 => - h ( t ) => V / ( t ) Η τελευταία σχέση φυσικά δηλώνει ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναι πάντα θετικός και μάλιστα μεγαλύτερος ή ίσος του m / min, δηλαδή ο όγκος του νερού συνεχώς αυξάνει με ρυθμό τουλάχιστον m / min συνεπώς η δεξαμενή θα γεμίσει. 0) Ένα σημείο Μ κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x ) = ( x ). Η τετμημένη του Μ κινείται με σταθερό ρυθμό cm / sec πάνω στον θετικό ημιάξονα Οχ. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ όπου θ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στο Μ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον θετικό ημιάξονα Οχ - την χρονική στιγμή που η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ( ε ) με εξίσωση χ ψ + = 0 C f ψ (δ) Μ Ο θ χ Αν χ ( t ) η τετμημένη του Μ τότε από υπόθεση είναι χ / ( t ) = cm / sec Αν πλέον ( δ ) η εφαπτομένη της C f στο Μ είναι εφ θ ( t ) = f / ( χ ( t ) ) () Όμως f / ( x ) = (x ) (x ) / => => f / ( x ) = (x ) () Επομένως η () λόγω της () γίνεται : () => εφ θ ( t ) = [ χ ( t ) ] => [εφ θ ( t ) ] / = { [ χ ( t ) ] } / => => θ / ( t ) = 6 [ χ ( t ) ] [ χ ( t ) ] / => συν θ ( t ) => θ / ( t ) = 6 [ χ ( t ) ] χ / ( t ) () Από την τριγωνομετρία συν θ ( t ) είναι = + εφ θ ( t ) (4) και βέβαια για την χρονική στιγμή t 0 συν θ ( t ) είναι εφ θ ( t 0 ) = λ δ = λ ε εφ όσον την χρονική στιγμή t 0 η εφαπτομένη (δ) 9

10 είναι παράλληλη στην (ε), και επειδή λ ε = - B A = => εφ θ ( t 0 ) = (5) Ακόμα την χρονική στιγμή t 0 είναι λ δ = f / ( χ ( t 0 ) ) [ χ ( t 0) ] = [ χ ( t 0) ] = χ ( t 0) = ± χ ( t 0 ) = 0 ( απορρίπτεται αφού χ ( t 0 ) > 0 ) χ ( t 0 ) = (6) Έτσι τελικά η () λόγω των (4), (5) και (6) για την χρονική στιγμή t 0 γίνεται : ( + ) θ / ( t 0 ) = 6 ( ) => θ / ( t 0 ) = 5 rad / sec ) Το κόστος παραγωγής Κ ( χ ), χ μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από τον τύπο Κ ( χ ) = χ 0 χ χ σε δραχμές ενώ τα έσοδα για κάθε μονάδα προϊόντος είναι 40 δρχ. Να βρείτε το μέσο και οριακό κέρδος για την παραγωγή 0 μονάδων προϊόντος Αν Ρ ( χ ) το κέρδος είναι Ρ ( χ ) = Ε ( χ ) Κ ( χ ) () Εφ όσον τα έσοδα για κάθε μονάδα προϊόντος είναι 40 δρχ τότε Ε ( χ ) = 40 χ για χ μονάδες προϊόντος Έτσι Ρ ( χ ) = 40 χ - ( χ 0 χ χ ) => Ρ ( χ ) = - χ + 0 χ 80 χ 000 με χ 0 Το μέσο κέρδος για 00 μονάδες προϊόντος είναι P ( 0 ) - P ( 0 ) Ρ μ = = - = -, δρχ / μον. πρ Το οριακό κέρδος είναι : Ρ / ( χ ) = - χ + 40 χ 80 για χ μονάδες προϊόντος Επομένως το οριακό κέρδος για 0 μονάδες προϊόντος είναι Ρ / ( 0 ) = => Ρ / ( 0 ) = 0 ) Κάτω από μια λάμπα φωτισμού η οποία βρίσκεται σε ύψος 6m από το δρόμο, περνάει ένας διαβάτης. Το διάστημα απομάκρυνσης του διαβάτη δίνεται από τον τύπο s ( t ) = t - t όπου t ο χρόνος σε sec Αν το ύψος του διαβάτη είναι, 70 m να βρεθεί ο ρυθμός επιμήκυνσης της σκιάς του τη χρονική στιγμή που έχει απομακρυνθεί 80 από την κατακόρυφο m. Ο B Α Γ Δ Το διάστημα απομάκρυνσης του διαβάτη είναι s ( t ) = AΓ = t - t ενώ η σκιά του διαβάτη είναι χ ( t ) = ΓΔ Επί πλέον ύψος διαβάτη ΒΓ =,70 m και ύψος λάμπας ΟΑ = 6 m 0

11 Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΒΓΔ είναι όμοια ( Δ κοινή και ορθογώνια ) έτσι : ΟΑ ΑΔ 6 S ( t ) + χ ( t ) = => = => 6 χ ( t ) =,7 χ ( t ) +,7 S ( t ) => ΒΓ Γ,7 χ ( t ) 4 => 4, χ ( t ) =,7 S ( t ) => χ ( t ) = ( t t ) => 7 => χ / 4 ( t ) = ( 6 t ) () 7 Την χρονική στιγμή t 0 που έχει απομακρυνθεί από την κατακόρυφο 80 m θα 80 είναι S ( t 0 ) = t 80 0 t 0 = 9 t 0 6 t 0 80 = 0 Δ = (- 6) 4 9 (- 80) = 6 8 6± 54 Άρα t 0 = 8 δηλαδή t 0 = - 48 / 8 ( απορρίπτεται ) t 0 = 0 / sec Έτσι από την () : χ / 4 ( t 0 ) = m / sec 7 ) Ένας πεζοπόρος ξεκινάει από το σημείο Α και βαδίζει γύρω από μία κυκλική λίμνη ακτίνας km με σταθερή ταχύτητα km / h Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της χορδής ΑΒ όπου Β η θέση του πεζοπόρου την π χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία η γωνία AOB είναι, με Ο το κέντρο της κυκλικής λίμνης Ο Α τόξου όταν η γωνία θ ( t ) είναι σε ακτίνια ) => s ( t ) = θ ( t ) => => s / ( t ) = θ / ( t ) και επειδή s / ( t ) = η ταχύτητα του πεζοπόρου => => = θ / ( t ) => θ / ( t ) =,5 rad / h () Έτσι κατά την χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία θ ( t 0 ) = π () η () λόγω των () και () δίνει : Β Αν χ ( t ) = ΑΒ το μήκος της χορδής τότε ( νόμος συνημιτόνων ) είναι : χ ( t ) = (OA) + (OB) (OA) (OB) συνθ(t) => χ ( t ) = + συν θ (t) => => χ ( t ) = 8-8συνθ ( t ) => => χ / 4 ημθ( t ) / ( t ) = θ ( t ) 8-8συνθ ( t ) () Όμως αν s ( t ) = AB το τόξο που διανύει ο πεζοπόρος είναι s ( t ) = R θ ( t ) ( μήκος

12 π 4ημ χ / ( t 0 ) =,5 =,5 km / h π 8-8συν 4) Σ ένα οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 0 cm η πλευρά ΒΓ αυξάνει με ρυθμό cm / sec. Αν θ η γωνία B του τριγώνου να βρείτε : α) Τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ την χρονική στιγμή t 0 που το τρίγωνο είναι ισόπλευρο β) Τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου την ίδια χρονική στιγμή t 0 Α 0 0 ν(t) θ (t) B Δ Γ ΒΔ Είναι ( στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ ) συν θ ( t ) = ΑΒ => συν θ ( t ) = 0 χ ( t ) όπου χ ( t ) = ΒΓ => => συν θ ( t ) = χ ( t ) => [συν θ ( t ) ] / = [ χ ( t ) ] / 0 0 => - ημ θ ( t ) θ / ( t ) = χ / ( t ) () 0 π Την χρονική στιγμή t 0 που το τρίγωνο είναι ισόπλευρο είναι θ ( t 0 ) = και βέβαια χ / ( t ) = cm / sec ( ρυθμός αύξησης της ΒΓ ) π Επομένως από την () είναι : - ημ θ / ( t 0 ) = 0 θ / ( t 0 ) = - rad / sec 5 β) Το εμβαδόν Ε ( t ) = ( BA ) ( BΓ ) ημ θ ( t ) => E ( t ) = 5 χ ( t ) ημ θ ( t ) => E / ( t ) = 5 [ χ / ( t ) ημ θ ( t ) + χ ( t ) συν θ ( t ) θ / ( t ) ] π Έτσι για την χρονική στιγμή t 0 όπου βέβαια θ ( t 0 ) =, χ ( t 0 ) = ΒΓ = ΑΒ = 0, θ / ( t 0 ) = - 5 και χ / ( t ) = έχουμε : Ε / ( t 0 ) = 5 [ + 0 (- 5 ) ] = 0 cm / sec

13 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ) Χαρακτηρίστε ως Σωστή ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις : dψ α) Ο ρυθμός μεταβολής του χ ως προς ψ είναι η παράγωγος ( Σ ) ( Λ ) d x β) Αν χ ( t ) η συνάρτηση θέσης ενός κινητού που κινείται σε άξονα τότε ο ρυθμός μεταβολής του χ ως προς t την χρονική στιγμή t 0 είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t 0 ( Σ ) ( Λ ) γ) Αν η ταχύτητα ενός κινητού είναι σταθερή κατά την διάρκεια της κίνησης του τότε ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ως προς τον χρόνο είναι 0 καθ όλη την διάρκεια της κίνησης ( Σ ) ( Λ ) δ) Αν ψ = f ( x ) και χ = g ( t ) και οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες dψ d x τότε ο ρυθμός μεταβολής του ψ ως προς t είναι ( Σ ) ( Λ ) d x d t ε) Ο ρυθμός μεταβολής του χ ως προς χ στο χ 0 = - είναι - ( Σ ) ( Λ ) ) Αν χ ( t ) = t η συνάρτηση θέσης ενός κινητού που κινείται σε άξονα τότε : ι) Η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t 0 = είναι : Α. 8 Β. 0 Γ. Δ. 4 Ε. 4 ιι) Η επιτάχυνση του κινητού την χρονική στιγμή t 0 = είναι : Α. 0 Β. Γ. 4 Δ. 6 Ε. ) Αν ψ = f ( χ ) μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f ( ) = 4 και f / ( ) = - τότε ο ρυθμός μεταβολής του ψ ως προς χ στο χ 0 = είναι : Α. 4 Β. 0 Γ. Δ. 8 Ε. κανένα από τα προηγούμενα 4) Τα έσοδα μιας επιχείρησης από την πώληση χ προϊόντων της δίνονται από τον τύπο Ε ( χ ) = 5000 χ Τα οριακά έσοδα της επιχείρησης από την πώληση χ προϊόντων της είναι : Α. ανάλογα της ποσότητας χ Β χ 000 Γ. 000 Δ Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 5) Οι διαγώνιες ενός ρόμβου αυξάνουν με ρυθμούς 0,5 cm / sec και 0, cm / sec Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ρόμβου όταν οι διαγώνιες του έχουν μήκη cm και cm αντίστοιχα είναι : Α. 0, cm / sec B. 0 cm / sec Γ. cm / sec Δ. 0,9 cm / sec Ε. κανένα από τα προηγούμενα 6) Δύο θετικές ποσότητες χ και ψ συνδέονται με την σχέση ψ χ = 0 ι) Ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας ψ ως προς την ποσότητα χ όταν χ = 4 είναι : Α. Β. 0 Γ. / 4 Δ. 4 Ε. 8

14 ιι) Ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας χ ως προς την ποσότητα ψ όταν χ = 4 είναι : Α. Β. 0 Γ. / 4 Δ. 4 Ε. 8 7) Αν χ ( t ) = t t - t 0 ( t o χρόνος σε sec η συνάρτηση θέσης ενός κινητού που κινείται σε άξονα να αντιστοιχίσετε τις εκφράσεις της Α στήλης του πίνακα στις κατάλληλες ποσότητες στην Β στήλη του πίνακα Α. ΣΤΗΛΗ Β. ΣΤΗΛΗ Αρχική θέση του κινητού στον άξονα - Αρχική ταχύτητα του κινητού - Θέση του κινητού την χρονική στιγμή t 0 = 0 Ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t 0 = 6 / Επιτάχυνση του κινητού την χρονική στιγμή t 0 = Μέση ταχύτητα του κινητού κατά τα πρώτα sec της κίνησης 9 8) Την χρονική στιγμή t 0 = 0 ο αρχικός πληθυσμός μικροβίων μιας εστίας μόλυνσης είναι 0 μικρόβια και ο ρυθμός αύξησης των μικροβίων είναι 0 t μικρόβια / ώρα. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : α) Υπάρχουν 500 μικρόβια μετά από ώρες β) Τα μικρόβια αυξάνουν με ρυθμό 600 μικρόβια / ώρα κατά την διάρκεια της ώρας γ) Υπάρχουν..... μικρόβια μετά από 5 ώρες δ) Ο ρυθμός αύξησης των μικροβίων είναι.... κατά την διάρκεια της ης ώρας Θεωρήστε ότι για τα παραπάνω ερωτήματα οι ώρες είναι «χρονικές στιγμές» 4

15 ρ 0 9) Η ακτίνα μιας μπάλας από χιόνι είναι ρ = ρ 0 - t, 0 t ( με ρ 0 την αρχική ακτίνα της μπάλας ). Να βρεθεί ο ρυθμός με - ταβολής του όγκου της σφαίρας κατά την χρονική στιγμή κατά την οποία η ακτίνα της μπάλας είναι η μισή από την αρχική. 0) Δύο κινητά την χρονική στιγμή t 0 = 0 sec βρίσκονται σε απόσταση 00m και κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις με σταθερές ταχύτητες 5m/sec και 0m/sec αντίστοιχα. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασής των δύο κινητών ως συνάρτηση του χρόνου ) ) Ενας άνθρωπος βαδίζει με ταχύτητα Π m/sec έχοντας στραμμένο πάνω του ένα προβολέα που βρίσκεται σε ύψος m από το έδαφος. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ = ΚΠΑ ως προς το χρόνο t κατά τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία ο άνθρωπος απέχει από την κατακόρυφη ΠΚ απόσταση 9m. Κ Α ) Μια δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με μήκος 5m πλάτος 6m και ύψος 0m. Μια βρύση τη γεμίζει με ρυθμό m / min ενώ μια άλλη την αδειάζει με ρυθμό m / min. α) Αν είναι ταυτόχρονα και οι δύο βρύσες ανοιχτές να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους της στάθμης του νερού. β) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται για να γεμίσει η δεξαμενή. ) Ευθεία ( ε ) με συντελεστή διεύθυνσης λ > 0 στρέφεται γύρω από dλ - το σημείο Μ ( 6, ) με ρυθμό = 0 rad/sec. Αν η ( ε ) τέμνει dt τους άξονες στα σημεία Α και Β να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ κατά την χρονική στιγμή κατά την οποία η ( ε ) διέρχεται από το Ν (, - ). 4) Αν ο όγκος μιας σφαίρας μεταβάλλεται ως προς τον χρόνο με ρυθμό ανάλογο της επιφανείας του, αποδείξτε ότι ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του είναι σταθερός. 5) Υλικό σημείο κινείται κατά μήκος ημιπεριφέρειας με διάμετρο το 5

16 ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, με Α ( -, 0 ) και Β (, 0 ). Να βρείτε την θέση του σημείου στην οποία η τετμημένη και η τεταγμένη μεταβάλλονται με τον ίδιο μη μηδενικό ρυθμό. 6) Υλικό σημείο απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων κινού - μενο πάνω στην καμπύλη ψ = x, χ > 0. Να βρείτε πότε ο ρυθμός 48 μεταβολής της τεταγμένης είναι μεγαλύτερος από τον ρυθμό μεταβο - λής της τετμημένης. 7) Αερόστατο αφήνεται από ύψος 00m και ανέρχεται με ταχύτητα ν α = 5 m / sec. Την ίδια χρονική στιγμή από κάτω διέρχεται τραίνο με ταχύτητα ν τ = 0 m / sec ( σχήμα ). Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης τους μετά από χρόνο min. Α Α : αρχική θέση αερόστατου. Κ : αρχική θέση τραίνου ΚΑ : 00 m Κ 8) Δύο αυτοκίνητα Α και Β ξεκινούν από το σημείο Κ μιας κυκλικής πίστας ακτίνας R = km, και κινούμενα με την ίδια φορά Α Β Ο Κ ι) έχουν ταχύτητες v A = 0 km / h, v B = 60 km / h. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της χορδής ΑΒ την χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία είναι : ΚΟΑ = π ιι) ΚΟΒ = π. 9) Σωματίδιο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x ) = x +, x ε R. Η προβολή πάνω στον άξονα ψ / ψ αυξάνεται σύμφωνα με τον τύπο ψ ( t ) = t +, t [ 0, + ) ενώ η τετμημένη του είναι θετική. ι) Να βρείτε την εξίσωση κίνησης της προβολής του στον χ / χ καθώς και την ταχύτητά της την χρονική στιγμή t 0 = 4 sec. ιι) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης του σωματιδίου Μ από το σημείο Κ ( 0, ) όταν ψ ( t 0 ) =. 6

17 0) Σε ένα ρολόι ο δείκτης των λεπτών έχει μήκος 4 εκατοστά, ενώ ο δείκτης των ορών έχει μήκος εκατοστά. Να βρείτε πόσο γρήγορα αλλάζει η απόσταση των άκρων των δεικτών όταν η ώρα είναι. Π ) Υποβρύχιο βρίσκεται σε βάθος 00m και κινείται με ταχύτητα 0 km / h. Την ίδια χρονική στιγμή και σε οριζόντια απόσταση Α / A Β ΑΒ = km κινείται πλοίο με ταχύτητα 0 km / h και διεύθυνση κάθετη σ αυτή του υποβρυχίου. Να βρεθεί ο ρυθμός με- Υ ταβολής της απόστασης τους μετά h. ) Η θέση ενός υλικού σημείου που κινείται σε άξονα δίνεται από την συνάρτηση χ ( t ) = β ημ ( ω t ) όπου t 0 o χρόνος και β, ω θετικές πραγματικές σταθερές. α) Να βρείτε τις συναρτήσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης του κινητού. β) Να αποδείξετε ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη της θέσης του κινητού. γ) Αν την χρονική στιγμή t = είναι χ ( ) = β και η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t = είναι 4 να βρείτε τις θετικές σταθερές ω, β αν ω ε [ 0, π ) ) Το εμβαδόν ενός κυκλικού δακτυλίου ( επιφάνεια που περιέχεται μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων ) παραμένει σταθερό και ίσο με 9 π cm. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του κύκλου με την μεγαλύτερη ακτίνα είναι 0 π cm / sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της περιφέρειας του κύκλου με την μικρότερη ακτίνα όταν αυτός έχει εμβαδόν 6 π cm 4) Οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ ελαττώνονται με ρυθμό και 4 cm / sec αντίστοιχα ενώ η γωνία Α μειώνεται με ρυθμό rad / sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της πλευράς ΒΓ την χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία είναι ΑΒ = 6 cm AΓ = 8 cm και ΒΓ = 0 cm 5) Η ακτίνα ενός κύκλου αυξάνει με ρυθμό cm / sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτό. 7