ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΚΑΜΕΡΑΣ ΕΙΚΟΝΟΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΤΑΘΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΚΑΜΕΡΑΣ ΕΙΚΟΝΟΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΤΑΘΜΟΥ"

Transcript

1 ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΚΑΜΕΡΑΣ ΕΙΚΟΝΟΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΤΑΘΜΟΥ Α. Γεωργόπουλος, Χ. Ιωαννίδης, Ε. Λάµπρου, Γ. Πανταζής, Κ. Νικολίτσας Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Περίληψη Οι εικονογεωδαιτικοί ολοκληρωµένοι σταθµοί αποτελούν µια από τις πρόσφατες εξελίξεις των τοπογραφικών οργάνων, µε δυνατότητα µέτρησης γωνιών και µηκών µέσω σκόπευση σε ειδικής οθόνης. Ο νέος τρόπος σκόπευσης καθώς και η ενσωµάτωση ψηφιακής φωτοµηχανής στο εσωτερικό του τηλεσκοπίου του οργάνου χρήζουν ελέγχου και βαθµονόµησης. Στην εργασία αυτή αναπτύχθηκαν και εφαρµόσθηκαν µεθοδολογίες για τη βαθµονόµησης της ψηφιακής κάµερας (CCD) και τον προσδιορισµό των στοιχείων του εσωτερικού προσανατολισµού της, δηλαδή της σταθεράς c, της θέσης του πρωτεύοντος σηµείου (x ο, y ο ), της χαρακτηριστικής καµπύλης ακτινικής διαστροφής του φακού και της αφινικότητας (γεωµετρική αλλοίωση του εικονοστοιχείου). Με την προτεινόµενη µεθοδολογία διερευνάται η δυνατότητα και η αξιοπιστία προσδιορισµού των παραµέτρων του εσωτερικού προσανατολισµού της ψηφιακής κάµερας, µε τη χρήση κατάλληλων αλγορίθµων καθώς και η επαναληπτικότητά τους. Τα αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τις ονοµαστικές τιµές που δίνει ο κατασκευαστής. Παρουσιάζονται διάφορες πειραµατικές δοκιµές, για διάφορες αποστάσεις µεταξύ του σταθµού και του αντικειµένου λήψης της εικόνας µέτρησης, ώστε να διαπιστωθούν τυχόν µεταβολές στις παραµέτρους και να µοντελοποιηθούν οι παράµετροι του συστήµατος. Abstact In ecent yeas imaging total stations appeaed, offeing the possibility if measuing angles and distances though pointing enabled via a digital sceen. These innovative ways of pointing as well as the incopoation of a digital camea in the total station need calibation and thoough contol. In this pape a methodology both fa calibating the digital (CCD) camea οf the imaging total stations as well as fo detemining the elements οf thei inteio oientation is developed and pesented. The main aim is the detemination οf the calibated focal length οf the CCD camea, the position οf the pincipal point (x ο, y ο ), the chaacteistic cuve οf the adial distotion ( ) and the affinity, i.e. the geometic distotion οf the pixel. The poposed methodology seves to investigate the possibility and the eliability οf detemining the paametes οf the inteio oientation οf the digital camea using suitable algoithms, as well as thei epeatability. The esults ae compaed with the nominal values given by the manufactue. Finally, seveal expeimental tests ae pesented fo vaious taking distances between the total station and the object, in ode to establish possible vaiations οf the paamete values and help towads thei modeling.

2 . Εισαγωγή Ο υπολογισµός των παραµέτρων του εξωτερικού προσανατολισµού της µηχανής λήψης µιας εικόνας αποτελεί πρωταρχικό αντικείµενο για κάθε φωτογραµµετρική εφαρµογή, προκειµένου να διευκολυνθούν οι υπολογισµοί. Από την εποχή της αναλογικής φωτογραµµετρίας είχαν κατασκευαστεί µετρητικές φωτοµηχανές, επονοµαζόµενες φωτοθεοδόλιχα, οι οποίες είχαν τη δυνατότητα να δίνουν πληροφορία σχετικά µε τη θέση του σηµείου λήψης και τον προσανατολισµό του οπτικού άξονα σε κάθε λήψη. Οι µηχανές αυτές, όπως οι Ρ3 και Ρ3 της εταιρείας Wild ή UMK της εταιρείας Cal Zeiss Jena, ήταν ιδιαίτερα χρήσιµες στις επίγειες εφαρµογές, αλλά και σε εναέριες λήψεις, π.χ. σε αρχαιολογικές εφαρµογές. Σήµερα η ιδέα αυτή υλοποιείται µε την κατασκευή των σύγχρονων ολοκληρωµένων εικονογεωδαιτικών σταθµών (Imaging Total station). Οι σταθµοί αυτοί ενσωµατώνουν µια ή περισσότερες κάµερες σε συγκεκριµένη θέση, ώστε να µπορούν απευθείας ή µε ελάχιστους υπολογισµούς να καταγράφονται οι παράµετροι του εξωτερικού προσανατολισµού σε κάθε λήψη εικόνας. Η κάµερα των σταθµών αυτών βρίσκεται µέσα στο τηλεσκόπιο (όπως στα µοντέλα GPT 7i και IS της εταιρείας Topcon), είτε λίγο έξω από αυτό (στο µοντέλο VX της εταιρείας Timble) είτε και στις δύο θέσεις, µε γνωστή την εκκεντρότητα τοποθέτησή της ως προς το κέντρο του τηλεσκοπίου του εικονογεωδαιτικού σταθµού (σηµείο τοµής των αξόνων). Έτσι, οι γωνίες στροφής του κέντρου λήψης της κάµερας αντιστοιχίζονται απευθείας µε τις γωνίες που αναγράφονται στην οθόνη του γεωδαιτικού σταθµού: η ζενίθια γωνία z αντιστοιχεί στη γωνία ω, η οριζόντια γωνία αντιστοιχεί στη γωνία φ και η γωνία κ είναι µηδενική, αφού το όργανο είναι πάντα οριζοντιωµένο. Επιπλέον, οι συντεταγµένες του κέντρου λήψης της εικόνας είναι γνωστές σε επίγειο γεωδαιτικό σύστηµα συντεταγµένων. Οι εικονογεωδαιτικοί σταθµοί διαθέτουν λειτουργικό σύστηµα Windows CE, οθόνες αφής, δυνατότητα σύνδεσης µε περιφερειακά µέσω θύρας RS3 και USB θύρες αλλά και ασύρµατα µέσω bluetooth. Είναι δυνατή η σύνδεσή τους στο διαδίκτυο για λήψη και αποστολή στοιχείων σε πραγµατικό χρόνο, ενώ καταγράφουν κατ επιλογή του χρήστη την εικόνα κάθε σηµείου που µετράται ή οποιαδήποτε άλλη επιλεγεί. Η σκόπευση µπορεί να γίνει από οθόνη και όχι από το τηλεσκόπιο, εφόσον ότι βλέπει το τηλεσκόπιο µεταφέρεται άµεσα στην οθόνη είτε του εικονογεωδαιτικού σταθµού είτε ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η ανάλυση των καµερών που φέρουν, ενώ αρχικά ήταν ιδιαίτερα χαµηλή (6 8 ή 58 6 εικονοψηφίδες) για φωτογραµµετρική (µετρητική) χρησιµοποίηση των συλλεγοµένων εικόνων, στα τελευταία µοντέλα έχει αυξηθεί, φθάνοντας τις εικονοψηφίδες, που είναι ικανοποιητική για µεγάλο εύρος εφαρµογών εγγύς φωτογραµµετρίας. Συνεπώς, η ύπαρξη της κάµερας στους εικονογεωδαιτικούς σταθµούς, πέραν της διευκόλυνσης που παρέχει στην εκτέλεση των καθαρά γεωδαιτικών-τοπογραφικών µετρήσεων, παρέχει πλέον την δυνατότητα για ταυτόχρονη συλλογή των απαραίτητων εικόνων για την εκτέλεση καθαρά φωτογραµµετρικών διαδικασιών, π.χ. αναγωγών, στερεοαποδόσεων κ.ο.κ. Οµως, η χρήση των σταθµών αυτών στις επίγειες φωτογραµµετρικές εφαρµογές, προϋποθέτει τον έλεγχο και τη βαθµονόµηση των καµερών τους, ώστε να είναι γνωστές οι απαραίτητες παράµετροι, προκειµένου αφενός να γίνεται ο προγραµµατισµός των λήψεων και αφετέρου να πραγµατοποιείται µε ακρίβεια η φωτογραµµετρική επεξεργασία των εικόνων τους.. Βαθµονόµηση ψηφιακών φωτοµηχανών Στις φωτογραµµετρικές εφαρµογές απαιτείται ο προσδιορισµός του κατάλληλου, κάθε φορά, µοντέλου κεντρικής προβολής που περιγράφει καλύτερα το σύστηµα φωτογράφησης που

3 χρησιµοποιείται. Οι παράµετροι που την καθορίζουν αποτελούν τον εσωτερικό προσανατολισµό, τα βασικά στοιχεία του οποίου για µια φωτογραµµετρική λήψη είναι η σταθερά της µηχανής (c) ή η βαθµονοµηµένη εστιακή απόσταση, η θέση του πρωτεύοντος σηµείου στο σύστηµα των σηµείων πλαισίου (x ο, y ο ) και η χαρακτηριστική καµπύλη της ακτινικής διαστροφής του φακού ( ). Ο προσδιορισµός των παραµέτρων αυτών λέγεται διακρίβωση ή βαθµονόµηση της φωτοµηχανής. Κάθε φωτογραφική µηχανή πρέπει να ελέγχεται, γιατί για την Φωτογραµµετρία αυτή αποτελεί το όργανο µέτρησης - καταγραφής της αρχικής πληροφορίας. Η βαθµονόµηση θεωρητικά ολοκληρώνεται όταν: α. έχει οριστεί πάνω στο εστιακό επίπεδο προβολής ένα ικανοποιητικό σηµείο αναφοράς, δηλαδή ένα σηµείο αρχής των συντεταγµένων. Ως τέτοιο θα µπορούσε να θεωρηθεί η προβολή του κέντρου συµµετρίας του φακού πάνω στην εικόνα και β. για όλα τα σηµεία του επιπέδου προβολής έχει υπολογιστεί η τιµή της πρωτεύουσας απόστασης (σταθερά της µηχανής) c. Αυτές οι τιµές έχουν νόηµα, δεδοµένου ότι λόγω της επίδρασης της ακτινικής διαστροφής, παρατηρείται µικρο-διαφοροποίηση της κλίµακας απεικόνισης από σηµείο σε σηµείο επάνω στο εστιακό επίπεδο. Οι διαφοροποιήσεις αυτές µετασχηµατίζονται σε διαφοροποιήσεις της σταθεράς c. Κάθε φωτογραφική µηχανή µπορεί να θεωρηθεί ως ένα όργανο που καταγράφει διευθύνσεις. Για τη διακρίβωση της µηχανής θα πρέπει να συγκριθούν οι τιµές των διευθύνσεων που καταγράφηκαν από τη µηχανή µε τις "αληθείς" τιµές τους. Ουσιαστικά αυτό ισοδυναµεί µε τη σύγκριση της συµπεριφοράς της µηχανής µε το µοντέλο της κεντρικής προβολής, από το οποίο διαφέρει λόγω, κυρίως, της επίδρασης της ακτινικής διαστροφής. Iδανικό θα ήταν να υπήρχε ένα σηµείο στο αντικείµενο για κάθε σηµείο της εικόνας, ώστε η σύγκριση αυτή να είναι πλήρης. Επειδή όµως κάτι τέτοιο δεν είναι πρακτικό, καταγράφονται σηµεία κατά µήκος των διαγωνίων της εικόνας (ευθείες µε περισσότερη πληροφορία) και ενδεχοµένως και κατά µήκος της οριζόντιας και της καθέτου του εστιακού επιπέδου. Με τη βοήθεια των ακτινικών αποστάσεων πάνω στο αρνητικό ή την ψηφιακή εικόνα, που µπορούν να µετρηθούν µε ακρίβεια σε κάποιο κατάλληλο όργανο και επίσης µε τη συνεφαπτοµένη των αντιστοίχων διευθύνσεων υπολογίζονται οι (ενεργές) τιµές της πρωτεύουσας απόστασης για όλα τα σηµεία που παρατηρήθηκαν. Υπολογίζεται δηλαδή η επίδραση της αντίστοιχης κλίµακας σε κάθε σηµείο. Για τις µετρήσεις αυτές είναι απαραίτητο να χρησιµοποιηθεί ως σηµείο αναφοράς κάποιο κατάλληλο και βολικό σηµείο πάνω στην εικόνα. Στην εφαρµογή µιας οπτικής µεθόδου βαθµονόµησης µπορεί κάλλιστα να χρησιµοποιηθεί το σηµείο αυτοευθυγράµµισης. Για βαθµονοµήσεις µε εστίαση σε κοντινές αποστάσεις θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το σηµείο τοµής των ευθειών που συνδέουν τα απέναντι σηµεία πλαισίου ή, όταν αυτά δεν υπάρχουν, τις απέναντι γωνίες του αρνητικού. Η βαθµονόµηση των ψηφιακών µηχανών δεν διαφέρει εν γένει από την βαθµονόµηση των αναλογικών µηχανών, δεδοµένου ότι οι µηχανές αυτές συµπεριφέρονται, εν πολλοίς, όπως οι αναλογικές. Η βασική διαφορά τους είναι η απουσία της φωτοευαίσθητης επιφάνειας, το ρόλο της οποίας αναλαµβάνει το σύστηµα CCD. Έτσι οι ψηφιακές λήψεις εξ ορισµού δεν παρουσιάζουν µη επιπεδότητα της φωτοευαίσθητης επιφάνειας. Οµως στις ψηφιακές µηχανές πρέπει να ελέγχεται το µέγεθος και το σχήµα της εικονοψηφίδας (pixel) και ενδεχόµενες γεωµετρικές αλλοιώσεις οι οποίες οφείλονται στην ηλεκτρονική µεταφορά του σήµατος από το CCD στη µνήµη του υπολογιστή. Το σύνολο αυτών των γεωµετρικών παραµορφώσεων εισάγεται στο µαθηµατικό µοντέλο ως δύο συντελεστές αφινικού µετασχηµατισµού. Έτσι, ένα συχνά χρησιµοποιούµενο µαθηµατικό µοντέλο για την βαθµονόµηση ψηφιακών µηχανών (CCD, βιντεοκάµερες κ.τ.λ.) είναι:

4 ( - ) α + x ( - ) α + ( - ) α3 + x y α + x α5 y α6 x = x p + x x + y = y + y - α + x - α + x y α + - y α + y α p όπου: x p, y p ( ) ( ) 3 ( ) 5 οι εικονοσυντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου x, y οι εικονοσυντεταγµένες ως προς το πρωτεύον σηµείο η ακτινική απόσταση του µετρούµενου σηµείου από το πρωτεύον σηµείο α, α παράµετροι ακτινικής διαστροφής α 3, α παράµετροι έκκεντρης διαστροφής α 5, α 6 παράµετροι αφινικού µετασχηµατισµού. Η διαδικασία αυτοβαθµονόµησης ψηφιακών µηχανών µπορεί να αυτοµατοποιηθεί πλήρως, µε την χρήση κατάλληλα κωδικοποιηµένων στόχων στο πεδίο ελέγχου, οι οποίοι ανιχνεύονται, αποκωδικοποιούνται και µετρώνται χωρίς την επέµβαση χειριστή. Έτσι, αποφεύγεται σηµαντικός όγκος εργασίας, λόγω του µεγάλου αριθµού σηµείων που πρέπει να µετρηθούν σε κάθε εικόνα για την διαδικασία βαθµονόµησης ιδιαίτερα των µη µετρητικών µηχανών, ή επιτυγχάνεται εξαγωγή αποτελεσµάτων σε πραγµατικό χρόνο κατά την παρακολούθηση δυναµικών φαινοµένων. Το ποια µέθοδος ενδείκνυται για κάθε εφαρµογή, εξαρτάται από τη φύση της εργασίας. Εκείνες οι µέθοδοι που απλώς υπολογίζουν τους αγνώστους του προσανατολισµού είναι πιο ακριβείς, δεν λαµβάνουν όµως υπόψη τις διάφορες συνθήκες εργασίας. Θα έπρεπε τέλος να επισηµανθεί ότι, παρόλο που ορισµένες µη µετρητικές µηχανές παρουσιάζουν κάποια ικανότητα επαναληπτικότητας, θα πρέπει κανονικά κανείς να κάνει βαθµονόµηση κάθε λήψης. Γενικώς πάντως, οι µη µετρητικές µηχανές είναι σταθερότερες από όσο θεωρούνται και µπορούν να χρησιµοποιούνται για εργασίες µε απαιτήσεις ακρίβειας, µε την προϋπόθεση ότι γίνεται κατάλληλη επεξεργασία στις µετέπειτα µετρήσεις εικονοσυντεταγµένων. 3. Μεθοδολογία βαθµονόµησης της φωτοµηχανής εικονογεωδαιτικού σταθµού 3. Πεδία ελέγχου Η Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών του Ε. Μ. Πολυτεχνείου έχει µακρόχρονη δραστηριότητα σε θεωρητικά, ερευνητικά και πρακτικά θέµατα διακρίβωσης επίγειων, αναλογικών και ψηφιακών φωτοµηχανών. Στο πλαίσιο της δραστηριότητας αυτής δηµιουργήθηκαν δύο () ειδικών προδιαγραφών τρισδιάστατα πεδία ελέγχου. Το ένα βρίσκεται σε εσωτερική αίθουσα του κτιρίου, για βαθµονόµηση µε εστίαση σε κοντινές αποστάσεις, µέχρι m, και αποτελείται από 6 στόχους τοποθετηµένους σε κατακόρυφους στύλους και 36 στόχους σε τοίχο στο βάθος του πεδίου (Σχήµα αριστερά). Το δεύτερο είναι εξωτερικού χώρου, για βαθµονόµηση µε εστίαση σε µακρινές αποστάσεις, µεγαλύτερες των m, και αποτελείται από 7 διάσπαρτους στόχους σε 5 επίπεδα εξωτερικών όψεων του κτιρίου (Σχήµα δεξιά). Η επιλογή της µορφής των στόχων (Σχήµα ), που τοποθετήθηκαν, έγινε µε κριτήριο την εξασφάλιση της µέγιστης διακριτικής ικανότητας κατά την σκόπευσή τους από το γεωδαιτικό σταθµό για τις µετρήσεις γωνιών, αλλά και κατά την αναγνώρισή τους σε κάθε εικόνα που λαµβάνεται για το πεδίο ελέγχου. Ο προσδιορισµός των γεωδαιτικών συντεταγµένων (X, Y, Z) των στόχων έγινε σε τοπικό σύστηµα αναφοράς, πραγµατοποιώντας µετρήσεις οριζόντιων και ζενίθιων γωνιών και εφαρµόζοντας τη µέθοδο της εµπροσθοτοµίας στο χώρο. Σε κάθε πεδίο ελέγχου το σύστηµα ορίσθηκε από δύο σηµεία, υλοποιηµένα µε κατάλληλα βάθρα που φέρουν κεφαλή µε εξαναγκασµένη κέντρωση (Σχήµα 3). Για τις µετρήσεις χρησιµοποιήθηκε ο ολοκληρωµένος

5 γεωδαιτικός σταθµός TDA 55 της εταιρείας Leica, ο οποίος παρέχει ακρίβεια στη µέτρηση γωνιακών µεγεθών ±.5 cc. Ετσι, οι συντεταγµένες X i, Y i, Z i κάθε στόχου υπολογίσθηκαν µε ακρίβεια ±.mm σε κάθε άξονα. Ο υπολογισµός γίνεται επιλύοντας ένα τριδιάστατο δίκτυο µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (περίπτωση µεταβολής συντεταγµένων), χρησιµοποιώντας ως εξισώσεις παρατήρησης αυτές των οριζόντιων και των ζενίθιων γωνιών. Σχήµα. Το εσωτερικό (αριστερά) και τµήµα του εξωτερικού (δεξιά) πεδίου ελέγχου, του Εργ. Φωτογραµµετρίας ΣΑΤΜ ΕΜΠ, για διακρίβωση επίγειων φωτοµηχανών i ζενί θ z z ζενί θ YO Γ Γ β β A YO Α Σχήµα. Η µορφή του επιλεγέντος στόχου Σχήµα 3. Σχηµατική παράσταση των γεωδαιτικών µετρήσεων για τον υπολογισµό των συντεταγµένων των πεδίων ελέγχου 3. Λογισµικό Για τις ανάγκες βαθµονόµησης ψηφιακών φωτοµηχανών, το Εργαστήριο Φωτογραµµετρίας της Σχολής Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών ΕΜΠ, έχει αναπτύξει το ειδικό λογισµικό βαθµονόµησης Calibation_CCD, σε περιβάλλον MatLab, µε ταυτόχρονο προσδιορισµό των παραµέτρων εσωτερικού και εξωτερικού προσανατολισµού µιας εικόνας, µε χρήση της συνθήκης συγγραµµικότητας. Η επίλυση γίνεται µε εφαρµογή της µεθόδου της δέσµης, ενώ οι προσεγγιστικές τιµές των αγνώστων προσδιορίζονται µε χρήση του Αµεσου Γραµµικού Μετασχηµατισµού (DLT) παραµέτρων. Το πρόγραµµα συµπληρώνεται από βιβλιοθήκη που αναπτύχθηκε, για την αυτοµατοποίηση των µετρήσεων των σηµείων του πεδίου ελέγχου, στην περίπτωση που χρησιµοποιούνται ειδικά κωδικοποιηµένοι στόχοι. Οι παράµετροι βαθµονόµησης που προσδιορίζονται µε το λογισµικό Calibation_CCD, είναι η σταθερά της µηχανής, οι συντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου, οι συντελεστές των πολυωνύµων της ακτινικής διαστροφής και της ασύµµετρης παραµόρφωσης και οι αφινικές παραµορφώσεις. Για την µοντελοποίηση της ακτινικής διαστροφής χρησιµοποιήθηκαν οι δύο 3 5 πρώτες παράµετροι του πολυωνύµου Κ και Κ ( δ = Κ + Κ ), για την ασύµµετρη

6 / + Ρ παραµόρφωση οι παράµετροι Ρ και Ρ της συνάρτησης: ( ) Ρ() = Ρ και για τις αφινικές παραµορφώσεις δύο παράµετροι: λ : για την διαφορετική κλίµακα µεταξύ των αξόνων, δηλαδή ο συντελεστής κλίµακας του άξονα y θεωρώντας ότι ο άξονας x έχει συντελεστή κλίµακας, και ε : για την µη καθετότητα των αξόνων, δηλαδή η απόκλιση από την καθετότητα του άξονα y από τον x. Όλοι οι άγνωστοι παράµετροι υπολογίζονται σε ενιαία συνόρθωση µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, εφαρµόζοντας τη µέθοδο της δέσµης, µε εξίσωση παρατήρησης τη συνθήκη συγγραµµικότητας: x = x A ΠΝ A ΠΝ c + x + x d + x af, y = y c + y + y d + y af όπου: x, y : διορθώσεις των εικονοσυντεταγµένων λόγω ακτινικής διαστροφής x d, y d : διορθώσεις των εικονοσυντεταγµένων λόγω ασύµµετρης παραµόρφωσης x af, y af : διορθώσεις των εικονοσυντεταγµένων λόγω αφινικών παραµορφώσεων 6 x = (x x ) (K + K + K 3 + K) 6 y = (y y ) (K + K + K + K) 3 x y d d = P ( + (x x ) ) + P (x x ) (y y ) = P (x x ) (y y ) + P ( + (y y ) ) και x y af af = ε (y y = λ (y y ) ) Εναλλακτικά της παραπάνω διαδικασίας, η βαθµονόµηση φωτοµηχανών µπορεί να γίνει µέσω του λογισµικού BINGO-F, που διαθέτει το Εργαστήριο Φωτογραµµετρίας, και το οποίο είναι ένα από τα πλέον διαδεδοµένα διεθνώς προγράµµατα επίλυσης φωτοτριγωνισµού. Χρησιµοποιώντας µπλοκ (επικαλυπτόµενων) εικόνων, προσδιορίζει ταυτόχρονα τις παραµέτρους προσανατολισµού τους και τις γεωδαιτικές συντεταγµένες των σηµείων σύνδεσης, µε εφαρµογή της µεθόδου συνόρθωσης µε δέσµες. Αν τα σηµεία σύνδεσης έχουν γνωστές συντεταγµένες (εικόνες από πεδίου ελέγχου) είναι δυνατόν στις άγνωστες παραµέτρους των (εξωτερικών) προσανατολισµών των εικόνων να προστεθούν οι παράµετροι του εσωτερικού προσανατολισµού της φωτοµηχανής, οπότε ακολουθείται η διαδικασία επίλυσης φωτοτριγωνισµού µε αυτοβαθµονόµηση. Το λογισµικό BINGO-F παρέχει την δυνατότητα εισαγωγής ως αγνώστων της σταθεράς της µηχανής, των συντεταγµένων του πρωτεύοντος σηµείου και µεγάλου αριθµού (περίπου 3) πρόσθετων παραµέτρων, που απορροφούν κάθε πιθανή διαστροφή των φακών ή παραµόρφωση των εικόνων. Εφαρµογή Αµφότερες οι παραπάνω διαδικασίες βαθµονόµησης εφαρµόσθηκαν στη ψηφιακή κάµερα του εικονογεωδαιτικού σταθµού VX της εταιρείας Timble, µε χρήση και των δύο πεδίων ελέγχου της ΣΑΤΜ. Ο σταθµός VX της Timble (Σχήµα ), πέραν των καθαρά τοπογραφικών χαρακτηριστικών του για τη διενέργεια µετρήσεων διευθύνσεων, µε ακρίβεια ±3 cc, και µηκών, µε ακρίβεια ±3mm, διαθέτει ενσωµατωµένη ψηφιακή φωτοµηχανή (Colo Digital Image Senso) για συλλογή εικόνων και αποθήκευσή τους σε µορφή JPEG. Τα χαρακτηριστικά της κάµερας, που παρέχει ο κατασκευαστής, είναι: ανάλυση 8x536 pixels και FOV 6.5 o x.3 o σταθερά της µηχανής 3mm, που αντιστοιχεί σε 79 pixels (διάσταση pixel 3.µm) βάθος πεδίου από 3m µέχρι άπειρο. Για τις ανάγκες των πειραµάτων βαθµονόµησης της κάµερας του σταθµού VX, έγιναν: λήψεις εικόνων του εσωτερικού πεδίου ελέγχου, από 8 διαφορετικές αποστάσεις, σε 3 θέσεις και προσανατολισµούς του οργάνου κάθε φορά (Σχήµα 5) και 8 λήψεις εικόνων του εξωτερικού πεδίου ελέγχου, από 3 θέσεις του οργάνου (Σχήµα 6).

7 Σχήµα. Ο εικονογεωδαιτικός σταθµός Timble VX Σχήµα 5. Σχηµατική παράσταση των θέσεων λήψης των εικόνων, στο εσωτερικό πεδίο ελέγχου Σχήµα 6. Σχηµατική παράσταση των θέσεων λήψης των εικόνων, στο εξωτερικό πεδίο ελέγχου Η βαθµονόµηση µε το λογισµικό Calibation_CCD έγινε µε τις εικόνες του εσωτερικού πεδίου ελέγχου. Για κάθε εικόνα έγινε διαφορετική επίλυση και προσδιορίσθηκαν οι 9 παράµετροι του εσωτερικού προσανατολισµού της φωτοµηχανής και (ως παραπροϊόν) τα στοιχεία του εξωτερικού προσανατολισµού της εικόνας. Τα συνολικά αποτελέσµατα των επιλύσεων, για τις παραµέτρους βαθµονόµησης της κάµερας του συγκεκριµένου εικονογεωδαιτικού σταθµού και τις αβεβαιότητες προσδιορισµού τους, είναι: c = 73 pixel ± pixel x o = 3 pixel ± 7 pixel y o = -38 pixel ± pixel K =. E-9 K =.77 E-6 P =.6 Ε-7 P = 3.67 Ε-7 λ =.8 ε = g.5 Από τα αποτελέσµατα αυτά προκύπτουν τα παρακάτω συµπεράσµατα για την κάµερα του εικονογεωδαιτικού σταθµού: εµφανίζει µεγάλη σταθερότητα για όλες τις παραµέτρους του εσωτερικού προσανατολισµού, εκτός από τις συντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου διατηρείται η ίδια απόσταση εστίασης (προφανώς στο άπειρο) της κάµερας, ανεξάρτητα από την απόσταση σκόπευσης του οργάνου στον κύριο οπτικό άξονα (εξάλλου διαθέτει µεγάλο βάθος πεδίου) η σταθερά της µηχανής προσδιορίζεται µε ιδιαίτερα µικρή αβεβαιότητα και η τιµή της δεν διαφέρει από το µέγεθος που δίνει πάγια ο κατασκευαστής (για όλα τα παραγόµενα όργανα VX), καθώς είναι µέσα στο εύρος αβεβαιότητας σ ο πρακτικά εµφανίζεται αδυναµία υπολογισµού τιµών για τις συντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου (τόσο του x o όσο και του y o ), λόγω της µεγάλης αβεβαιότητας προσδιορισµού τους η ακτινική διαστροφή είναι αµελητέα, καθώς δεν υπερβαίνει τα 3.5 pixel σε όλη την εικόνα (Σχήµα 7). Στην περίπτωση βαθµονόµησης της ακτινικής διαστροφής, ώστε να µηδενίζεται σε ακτίνα pixel (οπότε η σταθερά της µηχανής γίνεται 7.8 pixel, άρα επίπτωση µικρότερη από pixel), η απόλυτη τιµή της είναι µικρότερη από.7 pixel σε όλη την εικόνα.

8 Σχήµα 7. ιάγραµµα ακτινικής διαστροφής Οι εικόνες του εξωτερικού πεδίου ελέγχου αξιοποιήθηκαν για τη βαθµονόµηση του ίδιου εικονογεωδαιτικού σταθµού, µε την διαδικασία της αυτοβαθµονόµησης µέσω του λογισµικού BINGO-F. Στις έξι (6) εικόνες του πεδίου απεικονίζονται (συνολικά) 3 στόχοι, διατεταγµένοι σε 3 επίπεδα-τοίχους (Σχήµα 6). Έγιναν διάφορες επιλύσεις του µπλοκ των 6 εικόνων στο BINGO-F, εισάγοντας ως αγνώστους του εσωτερικού προσανατολισµού της κάµερας διάφορους συνδυασµούς των αγνώστων που παρέχει το λογισµικό. Τα καλύτερα αποτελέσµατα (µε τη µικρότερη αβεβαιότητα στον προσδιορισµό των αγνώστων) προέκυψαν για τις επιλύσεις: Με αγνώστους παραµέτρους βαθµονόµησης τη σταθερά της µηχανής (c) και δύο συντελεστές (Κ, Κ) του πολυωνύµου της ακτινικής διαστροφής. Η τιµή της σταθεράς προσδιορίσθηκε: c = 73 pixel ± 7 pixel, ενώ η απόλυτη τιµή της διαστροφής διατηρήθηκε µικρότερη από pixel σε όλη την εικόνα. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι η ακρίβεια συνόρθωσης των γεωδαιτικών συντεταγµένων στο πεδίο ελέγχου ήταν καλύτερη από ±mm οριζοντιογραφικά και ±7mm υψοµετρικά. Με αγνώστους παραµέτρους βαθµονόµησης τη σταθερά της µηχανής (c), τις συντεταγµένες του πρωτεύοντος σηµείου (x o, y o ) και δύο συντελεστές (Κ, Κ) του πολυωνύµου της ακτινικής διαστροφής. Στην περίπτωση αυτή τα αποτελέσµατα ήταν: c = 7 pixel ± 8 pixel, x o = -33 pixel ± 6 pixel, y o = -3 pixel ± 9 pixel και η απόλυτη τιµή της διαστροφής µικρότερη από pixel σε όλη την εικόνα. Πάντως, δεν παρατηρήθηκε ουσιαστική αλλαγή στις τιµές των βασικών παραµέτρων βαθµονόµησης όπως υπολογίσθηκαν και στις υπόλοιπες επιλύσεις που επιχειρήθηκαν. Για παράδειγµα, µε χρήση εννέα (9) αγνώστων εσωτερικού προσανατολισµού, προέκυψαν: c = 76 pixel ± pixel, x o = -3 pixel ± 6 pixel, y o = - pixel ± 9 pixel, d < pixel. Συνεπώς, τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από τη (διαφορετική) διαδικασία βαθµονόµησης µε τις εικόνες του εσωτερικού πεδίου ελέγχου (λήψεις από αποστάσεις 5-9m), συµφωνούν πλήρως µε τα εξαχθέντα από την εφαρµογή φωτοτριγωνισµού µε αυτοβαθµονόµηση, µε το λογισµικό BINGO-F, µε χρήση των εικόνων του εξωτερικού πεδίου ελέγχου (λήψεις από αποστάσεις 9-6m). 5. Συµπεράσµατα Οι εικόνες που λαµβάνονται από τους εικονογεωδαιτικούς σταθµούς µπορούν να χρησιµοποιηθούν για φωτογραµµετρικές εφαρµογές, αξιοποιώντας τη δυνατότητα, που παρέχει το όργανο, για ταυτόχρονη πραγµατοποίησης και των αναγκαίων τοπογραφικών µετρήσεων. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι η γνώση των παραµέτρων του εσωτερικού προσανατολισµού της ενσωµατωµένης κάµερας, µέσω εκτέλεσης διαδικασιών βαθµονόµησής της. Στο άρθρο αυτό αναπτύχθηκε η µεθοδολογία για την βαθµονόµηση της φωτοµηχανής και ελέγχθηκε η

9 αποτελεσµατικότητά της για την περίπτωση του εικονογεωδαιτικού σταθµού VX της Timble, που διαθέτει µια κάµερα 3Mpixel. Τα αποτελέσµατα ήταν ιδιαίτερα ενθαρρυντικά, καθώς διαπιστώθηκε µεγάλη σταθερότητα στη γεωµετρία της φωτοµηχανής. Προσδιορίσθηκαν, πρακτικά, οι ίδιες τιµές των παραµέτρων βαθµονόµησης σε όλες τις επιχειρηθείσες δοκιµές, µε εφαρµογή διαφορετικών διαδικασιών και διαφορετικών αποστάσεων λήψης. Σηµαντική είναι η διαπίστωση ότι η ακτινική διαστροφή του φακού είναι αµελητέα, µε δυνατότητα εξαγωγής αποτελεσµάτων ακριβείας µε την εφαρµογή φωτογραµµετρικής αναγωγής. Η επανάληψη της διαδικασίας βαθµονόµησης της κάµερας ανά τακτά διαστήµατα, ανάλογα µε την ένταση και τις συνθήκες χρήσης του σταθµού, διασφαλίζει την διαρκή επίτευξη φωτογραµµετρικών αποτελεσµάτων συγκεκριµένης ακρίβειας. Βιβλιογραφία Γεωργόπουλος, Α. και Ιωαννίδης Χ., 7. ιακρίβωση επιγείων ψηφιακών φωτοµηχανών. Πρακτικά (CD) oυ Τακτικού Εθνικού Συνεδρίου Μετρολογίας, Θεσσαλονίκη. Baakou A., Geogopoulos A. and Pantazis G., 8, Exploiting the contempoay Topcon imaging total station fo cultual heitage ecoding. Poceedings of the th Intenational Confeence on Vitual Systems and Multimedia (VSMM), Lemesos, Cypus. Σαµαρά Α.,. ιερεύνηση Βαθµονόµησης Ψηφιακής Μηχανής. ιπλωµατική εργασία, Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα «Γεωπληροφορικής», Σχολή Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών, ΕΜΠ, Αθήνα. Τριάντου Ε., 9. Γεωµετρική Τεκµηρίωση του Ι.Ν. Γέννησης του Χριστού ιερεύνηση δυνατοτήτων του εικονογεωδαιτικού σταθµού GPT-73i της TOPCON. ιπλωµατική εργασία, Σχολή Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών, ΕΜΠ, Αθήνα. l.pdf Atkinson K.B., 996. Close ange Photogammety and Machine Vision. Whittles Publishing, ISBN X. Fase C., 997. Digital camea self-calibation, ISPRS Jounal of Photogammety and Remote Sensing, 5(997): Guen A., Huang T.S.,. Calibation and oientation of cameas in Compute Vision, Spinge, New Yok. McGlone J.C. (ed.),. Manual of Photogammety, 5 th edition, ASPRS. Walse B.,. Development and Calibation of an Image Assisted Total Station. Dissetation, Swiss Fedeal Institute of Technology, Zuich, Switzeland. Zhang Z., Zheng S. and Zhan Z.,. Digital Teestial Photogammety with Photo Total Station. In: Poceedings of the XX ISPRS Congess, Istanbul, Tukey, vol. XXXV, pat B5, pp. 3-37,

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος Φωτογραμμετρία Εισαγωγή Ορισμοί Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εφαρμογές Εισαγωγή Προσδιορισμός θέσεων Με τοπογραφικά όργανα Σχήμα Μέγεθος Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. «Φωτογραμμετρική αποτύπωση μετώπων εκσκαφής μορφής πρανών» ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΛΓΑ Ι.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. «Φωτογραμμετρική αποτύπωση μετώπων εκσκαφής μορφής πρανών» ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΛΓΑ Ι. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Φωτογραμμετρική αποτύπωση μετώπων εκσκαφής μορφής πρανών» ΟΛΓΑ Ι. ΓΚΙΚΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: Παρτσινέβελος Παναγιώτης (επιβλέπων) Γαλετάκης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

1. PHOTOMOD Montage Desktop (βασικό πρόγραμμα)

1. PHOTOMOD Montage Desktop (βασικό πρόγραμμα) PHOTOMOD 4.4 Lite Προσοχή: Πριν από την εκκίνηση του PHOTOMOD πρέπει να ενεργοποιηθεί η λειτουργία PHOTOMOD System Monitor (παρουσιάζεται με το εικονίδιο ) με την εντολή: START Programs PHOTOMOD Utility

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Φωτογραμμετρία & Τοπογραφία

Φωτογραμμετρία & Τοπογραφία Φωτογραμμετρία & Τοπογραφία Επίγειες μετρήσεις ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εναέριες μετρήσεις Δορυφορικές μετρήσεις Ορισμός: Η επιστήμη τεχνική που ασχολείται με την εξαγωγή πληροφορίας από μετρήσεις σε εικόνες Είδος πληροφορίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Τεκμηρίωση Μνημείων. Πολιτιστικών Αγαθών. Α. Γεωργόπουλος & Χ. Ιωαννίδης Εργαστήριο Φωτογραμμετρίας. Εισαγωγή

Γεωμετρική Τεκμηρίωση Μνημείων. Πολιτιστικών Αγαθών. Α. Γεωργόπουλος & Χ. Ιωαννίδης Εργαστήριο Φωτογραμμετρίας. Εισαγωγή Γεωμετρική Τεκμηρίωση Πολιτιστικών Αγαθών Α. Γεωργόπουλος & Χ. Ιωαννίδης Εργαστήριο Φωτογραμμετρίας Σχολή Αγρ.. & Τοπογράφων Μηχ. ΕΜΠ ιήμερο Συνέδριο προσωπικού του Τμήματος Αναδασμού, ΚΕΓΕ Αγρού, 17-18/11/2008

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ TOPCON GPT-3100Ν Reflectorless

ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ TOPCON GPT-3100Ν Reflectorless ΝΕΑ ΣΕΙΡΑ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΩΝ ΣΤΑΘΜΩΝ 3100N TOPCON REFLECTORLESS, ΣΤΑ 350m H σειρά Γεωδαιτικών Σταθμών 3100Ν με δυνατότητα μέτρησης απόστασης χωρίς πρίσμα στα 350 μέτρα περιλαμβάνει στην γκάμα της όργανα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 33 Λεπτοί Φακοί- ιάδοση Ακτίνας Εξίσωση Λεπτού Φακού-Μεγέθυνση Συνδυασµός Φακών ΟιεξίσωσητουΟπτικού Φωτογραφικές Μηχανές : Ψηφιακές και Φιλµ ΤοΑνθρώπινοΜάτι;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005 Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η µελέτη των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών O11 Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί α) στη μελέτη του φαινομένου της εξασθένησης φωτός καθώς διέρχεται μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

UAV και οι ακρίβειες των κοινών ψηφιακών μηχανών

UAV και οι ακρίβειες των κοινών ψηφιακών μηχανών UAV και οι ακρίβειες των κοινών ψηφιακών μηχανών Γιάννης Γιαννίρης ΑΤΜ, MSc Φωτογραμμετρίας Εισήγηση στο 4ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Θεσσαλονίκη 26-27-28 Σεπτεμβρίου 2014

Διαβάστε περισσότερα

TOPCON ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ Tree Company Corporation A.E.B.E.

TOPCON ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ Tree Company Corporation A.E.B.E. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ GPT-3000N series TOPCON REFLECTORLESS Με πλήρες Αλφαριθμητικό Πληκτρολόγιο! H σειρά Γεωδαιτικών Σταθμών GPT-3000Ν NON PRISM με δυνατότητα μέτρησης απόστασης χωρίς πρίσμα περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ 7.1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διαδιδόμενη από οπτικό μέσο α με δείκτη διάθλασης n 1 προσπίπτει σε άλλο οπτικό μέσο β με δείκτη διάθλασης n 2 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Επίγειες Γεωδαιτικές Μετρήσεις Μήκη Γωνίες Υψομετρικές διαφορές Παράμετροι οργάνων μέτρησης Ανάγνωση/Μέτρηση Σφάλμα/Αβεβαιότητα Μήκη Μέτρηση Μήκους Άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση παχών ασφαλτικών στρώσεων οδοστρώµατος µε χρήση γεωφυσικής µεθόδου

Εκτίµηση παχών ασφαλτικών στρώσεων οδοστρώµατος µε χρήση γεωφυσικής µεθόδου Εκτίµηση παχών ασφαλτικών στρώσεων οδοστρώµατος µε χρήση γεωφυσικής µεθόδου Ανδρέας Λοΐζος Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Χριστίνα Πλατή Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ Γεώργιος Ζάχος Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα τελευταία

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική δραστηριότητα και προοπτικές ΑΠΘ. Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Ερευνητική δραστηριότητα και προοπτικές ΑΠΘ. Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ερευνητική δραστηριότητα και προοπτικές από τη λειτουργία του δικτύου μόνιμων σταθμών GNSS του ΤΑΤΜ-ΑΠΘ ΑΠΘ Χ. Πικριδάς, Α. Φωτίου, Δ. Ρωσσικόπουλος, Μ. Χατζηνίκος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΧΩΡΟΒΑΤΗΣ Ο χωροβάτης είναι το Τοπογραφικό όργανο, που χρησιμοποιείται στη μέτρηση των υψομέτρων σημείων.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Πολυτεχνική Σχολή ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Πολυτεχνική Σχολή ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης ΘΕΜΑΤΙΚΗ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΕΡΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ Ιωάννης Φαρασλής Τηλ : 24210-74466, Πεδίον Άρεως, Βόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ HEPOS και σύγχρονα γεωδαιτικά συστήµατα αναφοράς: Θεωρία και υλοποίηση, προοπτικές και εφαρµογές. HEPOS workshop 25-26/9/2008 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ Γεωδαιτικά Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS)

Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS) Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS) ρ. ΧΑΛΚΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ xalkias@hua.gr Χ. Χαλκιάς - Εισαγωγή στα GIS 1 Ορισµοί ΓΠΣ Ένα γεωγραφικό πληροφοριακό σύστηµα Geographic Information

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι Ενόργανες Μέθοδοι Ανάλυσης είναι σχετικές μέθοδοι και σχεδόν στο σύνολο τους παρέχουν την αριθμητική τιμή μιας φυσικής ή φυσικοχημικής ιδιότητας, η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΙΑΣΤΡΟΦΗΣ ΥΠΕΡΕΥΡΥΓΩΝΙΩΝ ΦΑΚΩΝ ΑΠΟ ΛΗΨΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές προϊόντων (1/3) Πλέγµα τριγώνων (polygon meshes) Εικόνες απόστασης (range images)

Μορφές προϊόντων (1/3) Πλέγµα τριγώνων (polygon meshes) Εικόνες απόστασης (range images) Μορφές προϊόντων (1/3) Νέφη σηµείων (point clouds) + Εύκολος τρόπος παρουσίασης στον Η/Υ + Ικανοποιητικό τελικό προϊόν για απλά σχήµατα / όψεις υσκολία ερµηνείας για αντικείµενα µε σύνθετες µορφές Απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργική Φωτογράφηση

Δημιουργική Φωτογράφηση Φωτογραφική Ομάδα «Πολύμορφο» 2η Παρουσίαση: Δημιουργική Φωτογράφηση Πάτρα, Νοέμβρης 2010 Σύνοψη Παρουσίαση 1η: Βασικοί κανόνες αισθητικής στη φωτογραφία. Παρουσίαση 2η: Τεχνικές Δημιουργικής Φωτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS

Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS Επιµορφωτικά Σεµινάρια ΑΤΜ Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 2: Εισαγωγή στην Αεροφωτογραφία. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών. (Geographical Information Systems GIS)

Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών. (Geographical Information Systems GIS) Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών (Geographical Information Systems GIS) ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ, ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΛΚΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ Εισαγωγή στα GIS 1 Ορισµοί ΣΓΠ Ένα σύστηµα γεωγραφικών πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον...

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... Περιεχόμενα Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... 111 Πρόλογος Στο κείμενο αυτό παρουσιάζονται οι νέες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση Γωνίας Brewster Νόμοι του Fresnel

Μέτρηση Γωνίας Brewster Νόμοι του Fresnel Μέτρηση Γωνίας Bewse Νόμοι του Fesnel [] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο πείραμα, δέσμη φωτός από διοδικό lase ανακλάται στην επίπεδη επιφάνεια ενός ακρυλικού ημι-κυκλικού φακού, πολώνεται γραμμικά και ανιχνεύεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑ Ο ΗΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑ Ο ΗΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑ Ο ΗΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΕΣΥ KO-ΑΙΟΛΙΚΟ/02/01/08-11-2011 1/6 ΕΣΥ ΚΟ-ΑΙΟΛΙΚΟ Έκδοση: 02 Αναθεώρηση: 01 Ηµεροµηνία αρχικής έκδοσης: 01-02-2008 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS

Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS 5 Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS H τεχνική των "µεµονωµένων βάσεων" εφαρµόζεται όταν διατίθενται δύο µόνο δέκτες και χρησιµοποιείται για τα συνήθη δίκτυα πύκνωσης µε µικρό α- ριθµό σηµείων.

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις µε παλµογράφο

Μετρήσεις µε παλµογράφο Η6 Μετρήσεις µε παλµογράφο ΜΕΡΟΣ 1 ο ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Α. Γενικά Κατά την απεικόνιση ενός εναλλασσόµενου µεγέθους (Σχήµα 1), είναι γνωστό ότι στον κατακόρυφο άξονα «Υ» παριστάνεται το πλάτος του µεγέθους, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Παρουσίασης

Περιεχόμενα Παρουσίασης Χρήση HEPOS στην παραγωγή LSO/VLSO Ευάγγελος Καράμπελας Προϊστάμενος Τμήματος Παροχής Στοιχείων & Προϊόντων ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α.Ε. Μεσογείων 288 155 62 Χολαργός Τηλ: 210 6505 833 E-mail: vkarabel@ktimatologio.gr

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος

Στόχος της εργασίας και ιδιαιτερότητες του προβλήματος ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κουλουμέντας Παναγιώτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Χανιά,Νοέμβριος 2014 Επιτροπή: Ζερβάκης Μιχάλης (επιβλέπων)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ZScan Τρισδιάστατη σάρωση χωρίς σαρωτή laser Τι είναι το ZScan Το ZScan είναι ένα σύστηµα τρισδιάστατης σάρωσης (3D scanning) για τη συλλογή νέφους σηµείων (pointcloud) µέσω ψηφιακής φωτογραφικής µηχανής,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης. Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα

Α.Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ιδάσκων: Βασίλειος Γαργανουράκης. Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα Ανθρώπινη Όραση - Χρωµατικά Μοντέλα 1 Τι απαιτείται για την όραση Φωτισµός: κάποια πηγή φωτός Αντικείµενα: που θα ανακλούν (ή διαθλούν) το φως Μάτι: σύλληψη του φωτός σαν εικόνα Τρόποι µετάδοσης φωτός

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση Περίληψη: Λέγοντας «μέτρηση διπλού άστρου» εννοούμε τη μέτρηση δύο γωνιών, της «γωνίας θέσης»

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις αρχαιολογικών χώρων και ανασκαφών µε χρήση τηλεκατευθυνόµενου ελικοπτέρου.

Αποτυπώσεις αρχαιολογικών χώρων και ανασκαφών µε χρήση τηλεκατευθυνόµενου ελικοπτέρου. Αποτυπώσεις αρχαιολογικών χώρων και ανασκαφών µε χρήση τηλεκατευθυνόµενου ελικοπτέρου. Σκαρλάτος ηµήτρης Τοπ/φος Μηχ/κός, M.Sc. ΓεωΑνάλυση Α.Ε. ρ. Μηχ. Τοκµακίδης Κωνσταντίνος Τοπ/φος Μηχ/κός Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας 3 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΤΜ Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας Χ. Κωτσάκης, Μ. Ζουλίδα, Δ. Τερζόπουλος, Κ. Κατσάμπαλος Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ - Επί της Μελέτης 1. Προκαθορισµένα επίπεδα φόρτισης Σύµφωνα µε το Άρθρο 50 - Μελέτη προσδιορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 35 Περίθλαση απλής σχισµής ή δίσκου Intensity in Single-Slit Diffraction Pattern Περίθλαση διπλής σχισµής ιακριτική ικανότητα; Κυκλικές ίριδες ιακριτική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

170 ΕΜΠ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΙΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ G.I.S.

170 ΕΜΠ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΙΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ G.I.S. 170 ΕΜΠ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΙΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ G.I.S. Καθ. Βασίλειος Ασημακόπουλος ρ. Έλλη Παγουρτζή Μονάδα Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιάρκεια σε ηµέρες εκπαίδευσης:

ιάρκεια σε ηµέρες εκπαίδευσης: ΕΠΕΑΕΚ 2.5.1.α «Ανάπτυξη των Ι ΒΕ και λειτουργία Προγραµµάτων δια βίου εκπαίδευσης» ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΜΕΤΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ ΙΑ ΒΙΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ια του Τµήµατος: Γεωπληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Άσκηση 4. Διαφράγματα. Θεωρία Στο σχεδιασμό οπτικών οργάνων πρέπει να λάβει κανείς υπόψη και άλλες παραμέτρους πέρα από το πού και πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ TOMEAΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ στο µάθηµα των Υδροδυναµικών Μηχανών Ι ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της Εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ - ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ - ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ - ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΚΥΡΙΑΚΙ ΟΥ ΣΟΦΙΑ Πτυχιακή εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή άσκηση L0: Ασφάλεια και προστασία από ακτινοβολία Laser. Σύγκριση έντασης ακτινοβολίας Laser με συμβατικές πηγές φωτός

Εργαστηριακή άσκηση L0: Ασφάλεια και προστασία από ακτινοβολία Laser. Σύγκριση έντασης ακτινοβολίας Laser με συμβατικές πηγές φωτός Εργαστηριακή άσκηση L0: Ασφάλεια και προστασία από ακτινοβολία Laser. Σύγκριση έντασης ακτινοβολίας Laser με συμβατικές πηγές φωτός Σκοπός: Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η κατανόηση και επίγνωση των κινδύνων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΣΤΟΝ Η/Σ ΒΑΣΙΛΙΚΟ ΤΗΣ ΑΗΚ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

UAV Unmanned Aerial Vehicle Ebee Sensefly

UAV Unmanned Aerial Vehicle Ebee Sensefly maps Ι.ΜΠΟΥΤΖΟΥΡΟΓΛΟΥ Η.ΠΟΝΤΙΚΑΣ Ο.Ε. ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ UAV Unmanned Aerial Vehicle Ebee Sensefly ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΧΑΡΤΗ ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ Ενεργειακές µετρήσεις σε κτήρια, κέλυφος Χρήση θερµοκάµερας, διαπίστωση και προσδιορισµός απωλειών από θερµογέφυρες. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Ενεργειακές Μετρήσεις σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Η συμβολή των Συστημάτων Πληροφοριών στην Γεωμετρική Τεκμηρίωση Μνημείων

Η συμβολή των Συστημάτων Πληροφοριών στην Γεωμετρική Τεκμηρίωση Μνημείων Η συμβολή των Συστημάτων Πληροφοριών στην Γεωμετρική Τεκμηρίωση Μνημείων Χαράλαμπος ΙΩΑΝΝΙΔΗΣ Εργαστ. Φωτογραμμετρίας Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Ε.Μ.Π. E-mail: cioannid@survey.ntua.gr ΣΥΜΠΟΣΙΟ:

Διαβάστε περισσότερα