Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή"

Transcript

1 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic System 1984 το οποίο χρησιµοποιεί ένα ελλειψοειδές µε διαστάσεις a = m, b = m, πρακτικά ίδιες µε αυτές του ελλειψοειδούς του GRS 80 που χρησιµοποιείται και στο EΓΣA 87. Oι συντεταγµένες των σηµείων µπορούν να µετατρέπονται σε γεωδαιτικές (φ, λ, h, στο ίδιο ή σε διαφορετικό γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς, καθώς και σε προβολικές, αρκεί να είναι γνωστές οι παράµετροι σύνδεσης µεταξύ του WGS 84 και του άλλου γεωδαιτικού συστήµατος. H συνόρθωση ενός δικτύου GPS γίνεται στις τρεις διαστάσεις στο σύστηµα WGS84 ή σε ένα τοπικό γεωκεντρικό σύστηµα. Tο δίκτυο συνορθώνεται αρχικά ως ελεύθερο ή µε ελάχιστες δεσµεύσεις για τον έλεγχο της ποιότητας των παρατηρήσεων. Στη συνέχεια, εφόσον πρέπει να ενταχθεί σε ένα διαφορετικό από αυτό της συνόρθωσης σύστηµα αναφοράς, εφαρµόζεται ένας µετασχηµατισµός, συνήθως οµοιότητας, στις 3 διαστάσεις, µε βάση τα κοινά σηµεία (τουλάχιστον τρία µεταξύ των δύο συστηµάτων. H διαδικασία που ακολουθείται, στην περίπτωση που η συνόρθωση γίνει στο σύστηµα WGS 84 είναι: 1. Για τα κοινά σηµεία, από τις προβολικές συντεταγµένες (x, y υπολογίζονται οι γεωδαιτικές συντεταγµένες (φ, λ TΣ χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις της απεικόνισης.. Στη συνέχεια, από τις γεωδαιτικές συντεταγµένες (φ, λ, h TΣ του τοπικού συστήµατος, όπου h το γεωµετρικό υψόµετρο (απόσταση από το ελλειψοειδές, υπολογίζονται οι καρτεσιανές συντεταγµένες (X, Y, Z TΣ 3. Yπολογίζονται οι παράµετροι του µετασχηµατισµού οµοιότητας στις τρεις διαστάσεις από τη βέλτιστη προσαρµογή των συντεταγµένων (X, Y, Z GPS

2 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα του συστήµατος GPS στις συντεταγµένες (X, Y, Z TΣ του τοπικού συστή- µατος. 4. Mε βάση τις παραµέτρους µετασχηµατισµού που υπολογίσθηκαν από τα κοινά σηµεία, µετασχηµατίζονται οι συντεταγµένες των υπολοίπων σηµείων από το σύστηµα GPS στο τοπικό. 5. Oι µετασχηµατισµένες στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένες (X, Y, Z TΣ µετατρέπονται σε γεωδαιτικές (φ, λ, h TΣ. 6. Tα (φ, λ TΣ µετατρέπονται σε προβολικές συντεταγµένες (x, y µε βάση τις εξισώσεις απεικόνισης και το υψόµετρο h σε ορθοµετρικό υψόµετρο H (απόσταση από το γεωειδές αφαιρώντας το υψόµετρο του γεωειδούς. H ένταξη του δικτύου γίνεται στο προβολικό επίπεδο. Πίνακας 1. Σχέσεις µεταξύ των καρτεσιανών και των καµπυλόγραµµων γεωδαιτικών συντεταγµένων X i = ( i + h i cs i cs Y i = ( i + h i cs i sin i Z i = [(1 e i + h i ]sin i ( i = arctan i + h i [(1 e i + h i ] X i +Y i i = arctan Y i X i h i = X i +Y i cs i i Aν η συνόρθωση του δικτύου γίνει απευθείας στο τοπικό γεωδαιτικό σύστηµα, τότε µε τα βήµατα 1 έως 4 υπολογίζονται οι προσεγγιστικές συντεταγ- µένες του δικτύου ξεκινώντας από τις προσεγγιστικές τιµές των προβολικών συντεταγµένων (x, y και του υψοµέτρου h, και από τη συνόρθωση προκύπτουν οι εκτιµήσεις των (X, Y, Z TΣ, οι οποίες στη συνέχεια µετασχηµατίζονται σύµφωνα µε τα βήµατα 5, 6. H ένταξη τότε του δικτύου µπορεί να γίνει απευθείας στη συνόρθωση (µε πλεονάζουσες δεσµεύσεις, ή εκ των υστέρων, στο προβολικό επίπεδο. Στη δεύτερη αυτή περίπτωση, η συνόρθωση του δικτύου GPS γίνεται µε ελάχιστες δεσµεύσεις και µετά το βήµα 6 ακολουθεί συνόρθωση µε το µετασχηµατισµό οµοιότητας, όπου ταυτίζονται οι δύο οµάδες των συντεταγ- µένων των γνωστών κορυφών. Aν η συνόρθωση του δικτύου γίνει απευθείας στο τοπικό γεωδαιτικό σύστηµα, µε άγνωστες παραµέτρους τις γεωδαιτικές καµπυλόγραµµες συντεταγµένες (φ, λ, h TΣ, τότε από τα (φ, λ TΣ υπολογίζονται απευθείας οι προβολικές συνεταγµένες και από τα κανονικά υψόµετρα h τα ορθοµετρικά H. Eιδικά για τα υψόµετρα του γεωειδούς, που απαιτούνται για τη µετατροπή των κανονικών υψοµέτρων σε ορθοµετρικά, χρησιµοποιείται κάποια κατάλληλη µέθοδος παρεµβολής, ανάλογα µε την έκταση της περιοχής και τη µορφή

3 Εντάξεις δικτύων GPS 3 µορφή του γεωειδούς. Για µικρές σχετικά αποστάσεις, π.χ. της τάξης των µερικών km, και µε οµαλό σχετικά γεωειδές, οι γεωµετρικές υψοµετρικές διαφορές από το GPS είναι σχεδόν ίδιες µε τις ορθοµετρικές (ΔH = Δh µε ακρίβεια της τάξης των λίγων εκατοστών. Aν γνωρίζουµε και το υψόµετρο H ενός σηµείου µε υψηλή ακρίβεια τότε υπολογίζονται και τα απόλυτα υψόµετρα. Aν τα ορθοµετρικά υψόµετρα των κοινών σηµείων, καθώς και τα υψόµετρα του γεωειδούς, χαρακτηρίζονται από ακρίβεια ανάλογη αυτής των οριζόντιων συντεταγµένων, τότε ο µετασχηµατισµός οµοιότητας στις τρεις διαστάσεις είναι επιτυχής. Διαφορετικά, για να µην καταστραφεί και η καλή ακρίβεια της οριζόντιας θέσης, ο µετασχηµατισµός εκτελείται χωριστά στις δύο διαστάσεις και στη µία διάσταση για τα υψόµετρα. H διαδικασία που ακολουθείται στην περίπτωση αυτή είναι η εξής: 1. Για όλες τις κορυφές του δικτύου οι καρτεσιανές συντεταγµένες (X, Y, Z GPS µετατρέπονται σε γεωδαιτικές (φ, λ, h GPS στο ίδιο ή σε διαφορετικό (τοπικό γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς, αρκεί να είναι γνωστές οι παράµετροι σύνδεσης µεταξύ τους. Tο νέο Eλληνικό Γεωδαιτικό Σύστηµα Aναφοράς (EΓΣA 87 εύκολα µπορεί να συνδέεται µε το WGS 84, λόγω της παραλληλίας που ισχύει µεταξύ των δύο αυτών συστηµάτων.. Aπό τις γεωδαιτικές συντεταγµένες (φ, λ GPS υπολογίζονται οι προβολικές συντεταγµένες (x, y GPS µε βάση τις εξισώσεις απεικόνισης και το ελλειψοειδές του τοπικού συστήµατος, για όλες τις κορυφές του δικτύου. 3. Yπολογίζονται οι παράµετροι του µετασχηµατισµού οµοιότητας στο προβολικό επίπεδο από τη βέλτιστη προσαρµογή των συντεταγµένων (x, y GPS του συστήµατος GPS στις συντεταγµένες (x, y TΣ του τοπικού συστήµατος (εξάρτηση του νέου δικτύου, ή ή από τη νέα συνόρθωση των συντεταγµένων (x, y GPS µε το µοντέλο του µετασχηµατισµού οµοιότητας, ώστε να έλθουν σε ταύτιση µε τις (x, y TΣ (ένταξη του νέου δικτύου. 4. Mε βάση τις παραµέτρους µετασχηµατισµού που υπολογίσθηκαν από τα κοινά σηµεία, µετασχηµατίζονται οι συντεταγµένες (x, y GPS των υπολοίπων κορυφών στις προβολικές (x, y TΣ. Η ένταξη του δικτύου, όπως εµφανίζεται σήµερα στην ελληνική αλλά και στη διεθνή βιβλιογραφία, επιτυγχάνεται µέσω ενός µετασχηµατισµού οµοιότητας µεταξύ των δύο οµάδων συντεταγµένων, αυτών του Ελληνικού Γεωδαιτικού Δικτύου (ΕΓΔ και των αντίστοιχων του νέου δικτύου, που προέκυψαν από το βήµα (6 της παραπάνω διαδικασίας. Στη συνέχεια, αφού υπολογισθούν οι παράµετροι του µετασχηµατισµού από αυτήν τη βέλτιστη προσαρµογή των νέων συντεταγµένων πάνω στις τιµές του ΕΓΔ που εφαρµόζεται για τις κοινές κορυφές, µετασχηµατίζονται και οι υπόλοιπες νέες κορυφές του δικτύου. Η διαδικασία αυτή οδηγεί σε εξάρτηση ή απλή σύνδεση του νέου δικτύου µε το εθνικό σύστηµα και όχι στην ένταξη µε την έννοια που δίναµε στον όρο στα κλασικά δισδιάστατα δίκτυα µε παρατηρήσεις γωνιών ή πλευρών και γωνιών. 3

4 4 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Στα δίκτυα αυτά ένταξη σηµαίνει συνόρθωση µε πλεονάζουσες δεσµεύσεις κρατώντας τις κορυφές του ΕΓΔ σταθερές. Αν χρησιµοποιήσουµε την ίδια ορολογία, τότε η εξάρτηση του δικτύου GPS µε τη βοήθεια της βέλτιστης προσαρ- µογής των νέων συντεταγµένων πάνω στις αντίστοιχες γνωστές τιµές του ΕΓΔ στο προβολικό επίπεδο, ισοδυναµεί µε τη λύση των µερικών εσωτερικών δεσµεύσεων στη συνόρθωση των κλασικών δικτύων, όπου οι εσωτερικές δεσµεύσεις εφαρµόζονται µόνο στα κοινά σηµεία µε προσεγγιστικές συντεταγµένες τις τιµές του ΕΓΔ. Αντίστοιχα, η συνόρθωση µε το µοντέλο του µετασχηµατισµού οµοιότητας που περιγράφεται στην εργασία αυτή αντιστοιχεί στη λύση µε πλεονάζουσες δεσµεύσεις των κλασικών δικτύων. Βέβαια στη λύση αυτή υπάρχει ο κίνδυνος παραµόρφωσης του δικτύου εξαιτίας της πιθανής κακής ποιότητας των συντεταγµένων του ΕΓΔ, πρόβληµα που αναλύθηκε σε πολλές εργασίες της δεκαετίας του 80, όταν τέθηκε το ερώτηµα: εξάρτηση ή ένταξη των δικτύων; Στη συνέχεια αναπτύσσονται οι αλγόριθµοι του µετασχηµατισµού οµοιότητας στις δύο ή στις τρεις διαστάσεις, για την περίπτωση της απλής εξάρτησης του δικτύου, αλλά και για την ένταξη, όπου απαιτείται η ταύτιση των συντεταγµένων των κοινών κορυφών µε τις τιµές του προϋπάρχοντος δικτύου. 6. H εξάρτηση του δικτύου GPS µέσω του µετασχηµατισµού οµοιότητας Η ένταξη των δικτύων GPS γίνεται συνήθως στο τελικό στάδιο των υπολογισµών µε ένα µετασχηµατισµό οµοιότητας στο προβολικό επίπεδο, που προκύπτει από τη βέλτιστη προσαρµογή των νέων συντεταγµένων των κοινών κορυφών Ελληνικού Γεωδαιτικού Δικτύου νέου δικτύου GPS, πάνω στις γνωστές τιµές. Η διαδικασία αυτή οδηγεί σε εξάρτηση ή απλή σύνδεση του νέου δικτύου µε το εθνικό σύστηµα και όχι στην ένταξη µε την έννοια που δίναµε στον όρο στα κλασικά δισδιάστατα δίκτυα µε παρατηρήσεις γωνιών ή πλευρών και γωνιών, µια και οδηγεί σε νέες συντεταγµένες και για αυτά τα κοινά ση- µεία. Ο µετασχηµατισµός οµοιότητας Έστω ότι (α είναι το σύστηµα αναφοράς του προϋπάρχοντος δικτύου (π.χ. του κρατικού και (β το σύστηµα αναφοράς του νέου δικτύου. Tο πρόβληµα της εξάρτησης του νέου δικτύου στο παλιό, τίθεται ως εξής: ζητείται ο µετασχηµατισµός των συντεταγµένων x β που προέκυψαν από το µετασχηµατισµό του συντεταγµένων GPS σε νέες συντεταγµένες x, τέτοιες ώστε να προσαρµόζονται µε βέλτιστο τρόπο στις συντεταγµένες x α του κρατικού δικτύου. Oι συ- 4

5 Εντάξεις δικτύων GPS 5 κρατικού δικτύου. Oι συντεταγµένες x β µετασχηµατίζονται σε x, αλλάζοντας το σύστηµα αναφοράς κατά θέση, προσανατολισµό και µέγεθος. Oι συντεταγµένες x (β µετασχηµατίζονται σε νέες συντεταγµένες x αλλάζοντας το σύστηµα αναφοράς κατά θέση, προσανατολισµό και κλίµακα. Tο µοντέλο του µετασχηµατισµού, για τυχόν κοινό σηµείο i, γράφεται = R ( + x (1 H παραπάνω σχέση µετά τη γραµµικοποίηση, παίρνει τη µορφή p i = E i z+ b i ( όπου p i = (, b i = R ( (, z το διάνυσµα των διορθώσεων των προσεγγιστικών τιµών των παραµέτρων του µετασχηµατισµού, και ( R E i = R ( ( I * (3 ο πίνακας των µερικών παραγώγων ως προς τις άγνωστες παραµέτρους, υπολογισµένος στις προσεγγιστικές τιµές των παραµέτρων µετασχηµατισµού. Iκανοποιώντας το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων p T p = (x x T (x x = min. (4 οι εκτιµήσεις των παραµέτρων του µετασχηµατισµού z ˆ και των νέων συντεταγµένων x ˆ δίνονται από τις σχέσεις ˆ z = (E T E 1 E T x, ˆ x = x G(x x (5 όπου G = E (E T E 1 E T. O πίνακας συµµεταβλητοτήτων των νέων συντεταγµένων, αν εφαρµοσθεί ο νόµος µετάδοσης (συµµεταβλητοτήτων στη δεύτερη των σχέσεων (5, δίνεται από τη σχέση C ˆ x ˆ = G ˆ ( G + (I G ˆ ( (I G (6 C x ˆ C x ˆ C x ˆ C x ˆ όπου ˆ (, ˆ ( οι πίνακες συµµεταβλητοτήτων των συντεταγµένων του παλιού και νέου δικτύου αντιστοίχως. Στην περίπτωση όµως που οι συντεταγµένες του παλιού δικτύου θεωρηθούν γνωστές χωρίς σφάλµα, η σχέση γίνεται C ˆ x ˆ = (I G ˆ C x ˆ ( (I G. (7 Η στατιστική αξιολόγηση των συντεταγµένων που συµµετέχουν στο µετα- 5

6 6 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα µετασχηµατισµό γίνεται µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων στα αποτελέσµατα. Για κάθε σηµείο ελέγχεται η σχέση F i = r i m k m m k m r i F m,m km (8 όπου m = ή 3 (η διάσταση και k = 4 ή 7 (οι άγνωστες παράµετροι αντίστοιχα και το εσωτερικά οµαλοιπηµένο σφάλµα δίνεται από τη σχέση r i = ( 1 ˆ ˆ p i T E i (E T E 1 E i T p i k ˆ, ˆ = H περίπτωση των οριζοντίων δικτύων και 1 m k p ˆ it ˆ. (9 Για τις δύο διαστάσεις οι σχέσεις (1 και ( γράφονται αναλυτικά u i v i cs = ( *sin = xi ( sin cs (+ (+ +,x (10,y µ 1 0 * + ( x +y όπου µ παράµετρος της κλίµακας τέτοια ώστε = (µ +1 και p i ( = ( (* y (* i ( = + cs, sin, ( sin, cs, (- (- ( (* ( (1 (* ο συντελεστής κλίµακας και η γωνία στροφής. Για να απλοποιήσουµε τον αλγόριθµο, αντί των προσεγγιστικών συντεταγ- µένων, χρησιµοποιούµε τις ανηγµένες στο κέντρο βάρους τους συντεταγµένες = x, = y όπου, ( x, y οι µέσες τιµές των και αντιστοίχως. O µετασχηµατισµός αφορά τώρα στο παράλληλα µετατοπισµένο σύστηµα (β, οπότε οι παράµετροι µετάθεσης δεν είναι οι αρχικές αλλά νέες, µετατοπισµένες κατά x και y, αντιστοίχως. Oι εκτιµήσεις των αγνώστων παραµέτρων του µετασχηµατισµού οµοιότητας είναι ανεξάρτητες των προσεγγιστικών τους τιµών και δίνονται από τις σχέσεις 6

7 Εντάξεις δικτύων GPS 7 και ˆ µ = ( ( + ˆ x = 1 ( + (, ˆ = ( ( + ( +, ˆ y = 1 (. (13 O έλεγχος της ένταξης γίνεται µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων στα αποτελέσµατα του µετασχηµατισµού. Για κάθε σηµείο ελέγχεται η σχέση 6 F i = r i F, 6 4 r i όπου r u i = ˆ i + v ˆ i q i ˆ, q i = x i + d i ( (14, d i = 1 x i + (15 και η µεταβλητότητα αναφοράς είναι ( 1 = ˆ 6 u + ˆ v i i (16 Eπιλέγεται το σηµείο µε τη µεγαλύτερη τιµή οµαλοποιηµένου σφάλµατος F που δεν περνά τον έλεγχο και επαναλαµβάνεται η βέλτιστη προσαρµογή, χωρίς τη συµµετοχή του σηµείου αυτού, το οποίο θεωρείται προβληµατικό. H διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται έως να περάσει ο έλεγχος για όλα τα σηµεία. H περίπτωση των τρισδιάστατων δικτύων H ανάλυση που έχει γίνει για τις δύο διαστάσεις ισχύει ανάλογα και για τις τρεις διαστάσεις. Tο δύο συστήµατα αναφοράς, διαφέρουν στη γενική περίπτωση κατά τρεις συνιστώσες παράλληλης µετάθεσης της αρχής του ενός συστήµατος ως προς το άλλο, κατά τρεις γωνίες στροφής των αξόνων του ενός ως προς το άλλο και κατά ένα συντελεστή κλίµακας. H µαθηµατική σχέση του µετασχηµατισµού είναι X i ( Y i ( Z i ( = * R ( X i (GPS Y i (GPS Z i (GPS +X + +Y ( +Z ( (17 7

8 8 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα όπου R, ορθογώνιος πίνακας στροφής (R 1 = R T, συναρτήσει των διευθυνόντων συνηµιτόνων των γωνιών µεταξύ των αξόνων των δύο συστηµάτων, που συνήθως αναλύεται σε γινόµενο τριών επιµέρους πινάκων στροφής τύπου Eu er. Για δεξιόστροφα συστήµατα αναφοράς η αυθαίρετη σειρά των διαδοχικών στροφών µπορεί να είναι π.χ. ε x, ε y, ε z, οπότε R = R 1 (ε x R (ε y R 3 (ε z και cs y cs z cs y sin z sin y R = sin x sin y cs z cs x sin z sin x sin y sin z + cs x cs z sin x cs y cs x sin y cs z + sin x sin z cs x sin y sin z sin x cs z cs x cs y ( (18 Σε πολλές εφαρµογές, όπως κατά τη σύνδεση µεταξύ γεωδαιτικών συστηµάτων αναφοράς, περίπτωση που αναλύεται στο κεφάλαιο αυτό, επειδή οι γωνίες στροφής είναι αρκετά µικρές (δεν ξεπερνούν τα περίπου δευτερόλεπτα τόξου, ο παραπάνω πίνακας R απλοποιείται (sinε ε και csε 1 και η σχέση γίνεται X i ( Y i ( Z i ( 1 + z,+ y = *,+ z 1 + x ( + y,+ x 1 ( X i (GPS Y i (GPS Z i (GPS -X + -Y ( -Z (. (19 O υπολογισµός των παραµέτρων µετασχηµατισµού γίνεται σύµφωνα µε τις σχέσεις (5 έως (7, όπως και στις δύο διαστάσεις. 6.3 Ένταξη του δικτύου στο προβολικό επίπεδο Η συνόρθωση µε το µοντέλο του µετασχηµατισµού οµοιότητας που περιγράφεται στο κεφάλαιο αυτό αντιστοιχεί στη λύση µε πλεονάζουσες δεσµεύσεις των κλασικών δικτύων, όπου οι συντεταγµένες των κοινών κορυφών διατηρούνται σταθερές. Βέβαια, στη λύση αυτή υπάρχει ο κίνδυνος παραµόρφωσης του δικτύου εξαιτίας της πιθανής κακής ποιότητας κάποιας ή κάποιων από τις γνωστές συντεταγµένες, πρόβληµα όµως που αναλύθηκε και αντιµετωπίσθηκε σε πολλές εργασίες της δεκαετίας του 80. Tο διάνυσµα των συντεταγµένων του δικτύου GPS στο προβολικό επίπεδο (στο σύστηµα β του νέου δικτύου και ο πίνακας των συµµεταβλητοτήτων τους γράφεται x x = ( x (, Q Q x = Q Q T ( (0 Q ( 8

9 Εντάξεις δικτύων GPS 9 όπου x το διάνυσµα των συντεταγµένων των κοινών κορυφών παλιού νέου δικτύου και x το διάνυσµα των συντεταγµένων των νέων κορυφών. Για το προϋπάρχον δίκτυο δίνονται οι συντεταγµένες x στο σύστηµα αναφοράς (α, οι οποίες θεωρούνται απόλυτα γνωστές. Η ένταξη επιτυγχάνεται µε συνόρθωση των συντεταγµένων x, όπου το σύστηµα των µη γραµµικών εξισώσεων γράφεται x ( i = R ( x ( i v ( i + x (1 για τις Κ κορυφές του ΕΓΔ (i = 1,,, Κ, και x ( i = R ( x ( i v ( i + x ( για τα Ν νέες κορυφές (i = 1,,, Ν. Άγνωστες είναι οι παράµετροι µετασχη- µατισµού λ, θ και Δx, τα σφάλµατα v ( i, v ( i των παρατηρήσεων x ( i, x ( i και οι νέες συντεταγµένες x ( i των κορυφών του δικτύου στο ΕΣ. Στην εργασία αυτή περιγράφεται η διαδικασία της ένταξης συνορθώνοντας µε το παραπάνω µοντέλο και ακολουθώντας µια διαχωρισµένη µορφή του αλγόριθµου, σύµφωνα µε τα βήµατα: α. Συνόρθωση µε το µοντέλο του µετασχηµατισµού οµοιότητας των κοινών κορυφών ΕΓΔ δικτύου GPS, έτσι ώστε να διατηρηθούν σταθερές οι συντεταγµένες των κορυφών αυτών στις τιµές που δίνονται. β. Διόρθωση και µετασχηµατισµός των συντεταγµένων των νέων κορυφών του δικτύου GPS. γ. Υπολογισµός των στατιστικών παραµέτρων για τον έλεγχο της ένταξης του δικτύου GPS στο ΕΣ. Συνόρθωση µε το µοντέλο του µετασχηµατισµού οµοιότητας στις δύο διαστάσεις Έστω ( και ( τα διανύσµατα των πραγµατικών συντεταγµένων τυχόντος σηµείου P i στο σύστηµα α (προϋπάρχον και στο σύστηµα β (του νέου δικτύου αντιστοίχως. H σχέση µετασχηµατισµού για οποιοδήποτε σηµείο P i, είναι της µορφής ( = R ( + x (3 όπου λ η µεταβολή της κλίµακας, θ της γωνίας στροφής (από τον άξονα των τετµηµένων και µε φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου και Δx το διάνυσµα των παραµέτρων µετάθεσης. Mετά τη γραµµικοποίηση της σχέσης (3 προκύπτει το µικτό µοντέλο w i = E i z+ B i v ( i (4 9

10 10 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα όπου w i = x ( i R x ( i, v ( i το διάνυσµα των σφαλµάτων των παρατηρήσεων, z το διάνυσµα των διορθώσεων των προσεγγιστικών τιµών των παραµέτρων του µετασχηµατισµού, E i = R x ( R i ( ( I *, B i = R (5 οι πίνακες µερικών παραγώγων ως προς τις άγνωστες και τις παρατηρούµενες παραµέτρους αντιστοίχως υπολογισµένοι στις προσεγγιστικές τιµές των παρα- µέτρων µετασχηµατισµού. Aναλυτικά η σχέση (4, για τυχόν σηµείο i, γράφεται όπου w xi w yi w xi w yi = ( = ((, (( µ 1 0 * +, cs* sin* 0 1 +x (sin* cs* +y = ( cs sin *sin cs (+ (+ (- v xi (- v yi (6 (7 Για όλες τις κοινές κορυφές (έστω K, i = 1,,..., K το σύστηµα των γραµµικών µικτών εξισώσεων γράφεται w = E z+ B v (8 όπου E 1 w = x S x, E E = M E K, B = S, v = v v R 0 L 0 και S = 0 R ( L 0 ( (9 ( M M O M ( 0 0 L R ( Oι συντεταγµένες x συνοδεύονται από τον πίνακα συµµεταβλητοτήτων τους ( C x = Q, όπου η άγνωστη µεταβλητότητα αναφοράς και Q ο γνωστός πίνακας των συντελεστών συµµεταβλητοτήτων. Oι παράµετροι του µετασχηµατισµού προσδιορίζονται έτσι ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων v T Q 1 v = min. (30 Oι βέλτιστες εκτιµήσεις των αγνώστων παραµέτρων µετασχηµατισµού και των σφαλµάτων των συντεταγµένων δίνονται από τις σχέσεις 10

11 Εντάξεις δικτύων GPS 11 όπου ( 1 z ˆ = E T M 1 E M = S Q S T, και E T M 1 w, z ˆ = z + z ˆ (31 v ˆ = Q S T M 1 (w E z = Q S T u u = M 1 (w E z = M 1 e ˆ ή u = F ( x S x (3 ( 1 και F ο συµµετρικός πίνακας F = M 1 M 1 E E T M 1 E E T M 1. (33 Oι συντεταγµένες των κοινών κορυφών x, µετά τη συνόρθωση, και µε α- ναφορά στο σύστηµα (α, θα συµπίπτουν µε τις τιµές x σύµφωνα µε τη σχέση x ˆ = S x ˆ + E z ˆ = S ( x v ˆ + E z ˆ = x. (34 Oι πίνακες των συντελεστών συµµεταβλητοτήτων (ή των συµµεταβλητοτήτων στην περίπτωση που οι µεταβλητότητες αναφοράς είναι γνωστές, για τις παραπάνω εκτιµήσεις, δίνονται από τις σχέσεις Qˆ ( 1 και Q ˆ z = E T M 1 E v ( = Q S T F Q S. (35 H εκτίµηση των συντεταγµένων των νέων κορυφών του δικτύου Yπολογίζονται αρχικά οι εκτιµήσεις των νέων κορυφών του δικτύου στο σύστηµα αναφοράς (β v ˆ = Q T Q 1 v ˆ = Q T S T F ( x S x (36 x ˆ = x v ˆ = x + Q T S T F ( x S x (37 και στη συνέχεια οι συντεταγµένες αυτές µετασχηµατίζονται στο σύστηµα (α: x ˆ = x ˆ ( = S x ˆ + E z ˆ. (38 Για τον υπολογισµό του πίνακα των συµµεταβλητοτήτων των συντεταγµένων του ενταγµένου δικτύου, η σχέση αυτή γράφεται ( 1 x ˆ = S ˆ x + S Q T S T F + E E T M 1 E ή σε µορφή πινάκων E T M 1 ( ( x S x * (39 11

12 1 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα όπου [ ] x ˆ = K x + K S S x x K = S Q T S T F + E E T M 1 E ( * (40 ( 1 E T M 1 (41 Oι πίνακες συµµεταβλητοτήτων προκύπτουν αν οι παραπάνω πίνακες συντελεστών πολλαπλασιαστούν µε την εκτίµηση της µεταβλητότητας αναφοράς ˆ = ˆ = 1 f f v ˆ T ˆ v T [ ] ( Q T Q -1 Q * v ˆ Q, +, ˆ ( v *, +, (4 όπου f ολ = n m = K 4 οι βαθµοί ελευθερίας, n = ( + K ο αριθµός των παρατηρήσεων και m = + 4 ο αριθµός των αγνώστων παραµέτρων ( συντεταγµένες + 4 του µετασχηµατισµού. Oι στατιστικοί έλεγχοι που πρέπει να γίνουν για την αξιολόγηση των παραπάνω αποτελεσµάτων, είναι ολικός έλεγχος της µεταβλητόττητας αναφοράς (ή ολικός έλεγχος συµβατότητας, και στην περίπτωση που αποτύχει ο ολικός, ο έλεγχος της ένταξης κατά σηµείο. Στατιστική αξιολόγηση των αποτελεσµάτων Έλεγχος της µεταβλητότητας αναφοράς (ολικός έλεγχος συµβατότητας Eλέγχεται αν οι παρατηρήσεις χαρακτηρίζονται µόνο από τυχαία σφάλµατα. Aν ο έλεγχος αποτύχει, σηµαίνει ή ότι υπάρχουν χονδροειδή σφάλµατα σε κάποιες συντεταγµένες. H εφαρµογή αυτού του ελέγχου απαιτεί να είναι γνωστή κάποια αρχική εκτίµηση της µεταβλητότητας αναφοράς. H µεταβλητότητα α- ναφοράς που ελέγχεται είναι αυτή της προσαρµογής των κοινών σηµείων ˆ v T ˆ = ˆ f = Q 1 v ˆ = ut e ˆ K 4 K 4 (43 όπου f = K 4 οι βαθµοί ελευθερίας, ( K ο αριθµός των µικτών εξισώσεων και 4 οι άγνωστες παράµετροι του µετασχηµατισµού και όχι η ολική της σχέσης (111. Eλέγχεται η µηδενική υπόθεση H : = έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης H a :, όπου είναι µία αρχική εκτίµηση της άγνωστης µεταβλητότητας αναφοράς. Eπειδή οι παρατηρήσεις x προκύπτουν από τη συνόρθωση του δικτύου και ο αντίστοιχος πίνακας Q περιέχει όλη τη 1

13 Εντάξεις δικτύων GPS 13 σχετική πληροφορία, µπορεί να θεωρηθεί = 1. H µηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή όταν ισχύει η σχέση 1 F / f, ˆ F / f,. (44 1 όπου οι ποσότητες (εκατοστιαία σηµεία F / f,, F / f, προκύπτουν από τους πίνακες της κατανοµής F. Έλεγχος της ένταξης κατά σηµείο O έλεγχος αυτός γίνεται µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων αν αποτύχει ο ολικός έλεγχος της µεταβλητότητας αναφοράς. H σάρωση δεδοµένων µπορεί να εφαρµοστεί κατά παρατήρηση, κατά συντεταγµένη, ή κατά σηµείο µε ισοδύναµα αποτελέσµατα. Έστω ότι ελέγχεται το i σηµείο. O έλεγχος γίνεται µε τις σχέσεις f F i = r i f r i όπου r i = u T i F i ˆ { } 1 u i ~ F, f (45 u i = ( M 1ˆ e, e ˆ = S v ˆ και F i ο αντίστοιχος υποπίνακας του F. (46 Για κάθε σηµείο του προϋπάρχοντος δικτύου υπολογίζεται η ποσότητα F. Aπό τα σηµεία που δεν περνούν τον έλεγχο, εκείνο µε τη µεγαλύτερη τιµή F ειναι ύποπτο ότι περιέχει σφάλµατα. Aποµακρύνουµε το σηµείο αυτό από την οµάδα των σηµείων ένταξης και επαναλαµβάνουµε τη συνόρθωση και τον έ- λεγχο. O αλγόριθµος που αναπτύχθηκε µπορεί να εφαρµοσθεί και για την ένταξη κλασικού δικτύου, όπου όµως ο µετασχηµατισµός που εφαρµόζεται εξαρτάται από τη µορφή των παρατηρήσεων που έχουν γίνει (π.χ. αν στο νέο δίκτυο µετρήθηκαν αποστάσεις τότε δεν µεταβάλλεται το µέγεθός του, µ = 0. Eπίσης, σε µια γενικότερη µορφή, µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τη σύνδεση δύο δικτύων στο προβολικό επίπεδο. H σχετική ανάλυση παρουσιάζεται στο βιβλίο Γεωδαιτικοί προσδιορισµοί παραµορφώσεων, για τη σύνδεση δύο διαχρονικών µορφών ενός δικτύου. 13

Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS

Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS 5 Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS H τεχνική των "µεµονωµένων βάσεων" εφαρµόζεται όταν διατίθενται δύο µόνο δέκτες και χρησιµοποιείται για τα συνήθη δίκτυα πύκνωσης µε µικρό α- ριθµό σηµείων.

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 4: Μοντέλα Ανάλυσης και Εξισώσεις Παρατηρήσεων Δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 10 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο έχουν μετρηθεί, μέσω διπλής γεωμετρικής χωροστάθμησης, οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ όλων των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα. 7.1 H αρχή της τρισδιάστατης ολοκληρωµένης γεωδαισίας

Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα. 7.1 H αρχή της τρισδιάστατης ολοκληρωµένης γεωδαισίας 7 Μικτά δίκτυα. GPS και γωνίες, αποστάσεις, υψοµετρικές διαφορές και βαρύτητα. 7.1 H αρχή της τρισδιάστατης ολοκληρωµένης γεωδαισίας Στην κλασική οπογραφία και Γεωδαισία, ο υπολογισµός ενός δικτύου οριζόντιου

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για την συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς

Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς Α. Φωτίου και Χ. Πικριδάς Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ Περίληψη: Παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 16-17 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 358.47 m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωδαιτικό Υπόβαθρο για τη χρήση του HEPOS

Γεωδαιτικό Υπόβαθρο για τη χρήση του HEPOS Επιµορφωτικά Σεµινάρια ΑΤΜ Γεωδαιτικό Υπόβαθρο για τη χρήση του HEPOS Συστήματα & πλαίσια αναφοράς Μετασχηματισμοί συντεταγμένων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 1 Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός σημείου P μετρήθηκαν οι οριζόντιες αποστάσεις προς τρία γνωστά σημεία (βλέπε σχήμα).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ HEPOS (HTRS07) ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (ΕΓΣΑ87)

ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ HEPOS (HTRS07) ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (ΕΓΣΑ87) ΤΑΤΜ ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α.Ε. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ HEPOS (HTRS07) ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (ΕΓΣΑ87) Βασική µεθοδολογία και αριθµητικά

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου

Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 216-217 Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 11: Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Στην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν

Στην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν Στην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν Επεξήγηση Μηχανισµού Προσοµοίωση της ανθρώπινης όρασης B A C Μαθηµατική γεωµετρική περιγραφή ενός φυσικού φαινοµένου ΗΦωτογραµµετρική

Διαβάστε περισσότερα

5/3/2010. A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ B. Στη συσχέτισή του µε το γεωδαιτικό σύστηµα

5/3/2010. A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ B. Στη συσχέτισή του µε το γεωδαιτικό σύστηµα 5/3/ Για να είναι δυνατή η επεξεργασία στα φωτογραµµετρικά όργανα χρειάζεται κάποιο στάδιο προετοιµασίας του ζεύγους των εικόνων. Η προετοιµασία αυτή αφορά: A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 016-017 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων

Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ Διδακτικές σημειώσεις Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ MSc Γεωπληροφορική

Διαβάστε περισσότερα

Απόλυτος Προσανατολισµός

Απόλυτος Προσανατολισµός Για την κατανόηση της διαδικασίας του Απόλυτου Προσανατολισµού, θα θεωρήσουµε ένα στερεό σώµα που αποτελείται από: 1. Τις δύο δέσµες του στερεοσκοπικού ζεύγους και 2. Το στερεοσκοπικό µοντέλο Ας µη ξεχνάµε

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 3: Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Χ, Υ, Ζ σηµείων. Εικονιστικό προϊόν

Χ, Υ, Ζ σηµείων. Εικονιστικό προϊόν Στην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν Επεξήγηση η Μηχανισµού µ Προσοµοίωση της ανθρώπινης όρασης B A C Μαθηµατική γεωµετρική περιγραφή ενός φυσικού φαινοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 9: Η έννοια και η χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. dag@cental.ntua.g Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο των Ανοιχτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων από την Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π.

ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. dag@cental.ntua.g Άδεια χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο των Ανοιχτών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ HEPOS και σύγχρονα γεωδαιτικά συστήµατα αναφοράς: Θεωρία και υλοποίηση, προοπτικές και εφαρµογές. HEPOS workshop 25-26/9/2008 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ Γεωδαιτικά Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο Μεταλλικού Τ1-Τ10

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Αναλυτική Φωτογραμμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτική Φωτογραμμετρία Ενότητα # 3: Μαθηματικό υπόβαθρο Αναλυτικής Φωτογραμμετρίας Καθηγήτρια Όλγα Γεωργούλα Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS

Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ SUPPLEMENTARY COURSE NOTES Για περισσότερες λεπτομέρειες

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια)

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕ801 Χαρτογραφία 1 Μάθηµα επιλογής χειµερινού εξαµήνου Πάτρα, 2016 Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Βασίλης Παππάς, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Το ΕΓΣΑ87 και η υλοποίησή του μέσω του Ελληνικού Συστήματος Εντοπισμού HEPOS

Το ΕΓΣΑ87 και η υλοποίησή του μέσω του Ελληνικού Συστήματος Εντοπισμού HEPOS Το ΕΓΣΑ87 και η υλοποίησή του μέσω του Ελληνικού Συστήματος Εντοπισμού HEPOS Μιχάλης Γιαννίου Ιφιγένεια Σταυροπούλου Δημήτρης Μάστορης Τμήμα Γεωδαιτικών Δεδομένων Διεύθυνση Ψηφιακών Συστημάτων, Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες 1/11/2014. Μουστάκας Δ. Παναγιώτης

Ευχαριστίες 1/11/2014. Μουστάκας Δ. Παναγιώτης Περίληψη Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η επισκόπηση, αλλά και εφαρμογή, των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των ορθομετρικών υψομέτρων στην τοπογραφική πρακτική. Βασικός στόχος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ ΕΙΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ. προς τους φοιτητές/τριες που θα πάρουν μέρος στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 2016

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ ΕΙΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ. προς τους φοιτητές/τριες που θα πάρουν μέρος στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 2016 Θεσσαλονίκη, 13 Ιουνίου 2016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ΕΙΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ προς τους φοιτητές/τριες που θα πάρουν μέρος στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 2016 Αντικείμενο του μαθήματος Το αντικείμενο των

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη σύγκριση μεθόδων ένταξης δικτύου

Σύντομη σύγκριση μεθόδων ένταξης δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Σύντομη σύγκριση μεθόδων ένταξης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Bασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS

Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS Επιµορφωτικά Σεµινάρια ΑΤΜ Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

15/4/2013. Αυτό το περιβάλλον είναι. Ο χάρτης

15/4/2013. Αυτό το περιβάλλον είναι. Ο χάρτης Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική ταυτότητα. Θα πρέπει συνεπώς να λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι)

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 5: Προ επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

HEPOS και μετασχηματισμοί συντεταγμένων

HEPOS και μετασχηματισμοί συντεταγμένων Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή HEPOS και μετασχηματισμοί συντεταγμένων Χριστόφορος Κωτσάκης Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τµήµα Αγρονόµων Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνδεση του ΕΓΣΑ87 µε τα σύγχρονα γεωκεντρικά συστήµατα αναφοράς

Σύνδεση του ΕΓΣΑ87 µε τα σύγχρονα γεωκεντρικά συστήµατα αναφοράς HEPOS Project (ΤΕ.ΒΟ ΑΠΘ) Σύνδεση του ΕΓΣΑ87 µε τα σύγχρονα γεωκεντρικά συστήµατα αναφοράς τύπου-itrf/etrf Χριστόφορος Κωτσάκης Τµήµα Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Το έργο της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχ. Τοµέας Τοπογραφίας Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία Φωτογραµµετρική Οπισθοτοµία Υποδειγµατικά λυµένη άσκηση εδοµένα Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες

Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών Ενημερωτικό σεμινάριο για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών (θεματικές ενότητες 4, 5, 6, 7) Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και

Διαβάστε περισσότερα

Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου

Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Πως ξεπερνάμε το

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο

Παράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Παράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων

Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Μου τη

Διαβάστε περισσότερα

Ηδηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλου περιλαµβάνει:

Ηδηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλου περιλαµβάνει: Προσανατολισµoί στερεοσκοπικών ζευγών Για να είναι δυνατή η συνεχής απόδοση στα φωτογραµµετρικά όργανα χρειάζεται κάποιο στάδιο προετοιµασίας του ζεύγους των εικόνων. Η προετοιµασία αυτή αφορά: A. Στη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας 3 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΤΜ Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας Χ. Κωτσάκης, Μ. Ζουλίδα, Δ. Τερζόπουλος, Κ. Κατσάμπαλος Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Εφαρμογές Παγκοσμίου

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 7: Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη σύγχρονου λογισμικού για τη συνόρθωση και στατιστική επεξεργασία 2Δ και 3Δ γεωδαιτικών δικτύων

Ανάπτυξη σύγχρονου λογισμικού για τη συνόρθωση και στατιστική επεξεργασία 2Δ και 3Δ γεωδαιτικών δικτύων Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γεώργιος Ουζουνούδης Μεταπτυχιακός φοιτητής ΤΑΤΜ, ΑΠΘ Ανάπτυξη σύγχρονου

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις Ιωάννης Φαρασλής Τηλ : 24210-74466, Πεδίον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS GPS Block Ι Η σειρά δορυφόρων GPS Block Ι (Demonstration) ήταν η πρώτη σειρά δορυφόρων και είχε δοκιµαστικό χαρακτήρα, ακολουθήθηκε από την επόµενη επιχειρησιακή

Διαβάστε περισσότερα

Τομοντέλο μετασχηματισμού συντεταγμένων μεταξύ του συστήματος αναφοράς του HEPOS και του ΕΓΣΑ87

Τομοντέλο μετασχηματισμού συντεταγμένων μεταξύ του συστήματος αναφοράς του HEPOS και του ΕΓΣΑ87 HEPOS Workshop Τομοντέλο μετασχηματισμού συντεταγμένων μεταξύ του συστήματος αναφοράς του HEPOS και του ΕΓΣΑ87 Χ. Κωτσάκης & Κ. Κατσάμπαλος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 8: Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων

Σύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Σύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 8: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 3: Ψηφιακός χάρτης διαχείριση - 1 ο μέρος Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Αναλυτική Φωτογραμμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτική Φωτογραμμετρία Ενότητα # 6: Βασικά Φωτογραμμετρικά προβλήματα II Καθηγήτρια Όλγα Γεωργούλα Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα