ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠOIΗΣΗ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠOIΗΣΗ Λογισμός μεταβολών βέλτιστος έλεγχος και δυναμικός προγραμματισμός με εφαρμογές στα οικονομικά ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΠΕΝΟΣ ΑΘΗΝΑ 999

2 Πρόλογος Οι σημειώσεις αυτές ακολουθούν σχετικά πιστά το κλασσικό σύγγραμμα των Kamien και Schwarz: Dynamic Opimizaion. Eγινε προσπάθεια να αποδοθούν με μεγαλύτερη σαφήνεια ορισμένα σημεία του έργου αυτού ενώ σε άλλα σημεία η παρουσίαση αποκλίνει ουσιαστικά με στόχο την παιδαγωγικότερη παρουσίαση. Από τον πλούτο των παραδειγμάτων του παραπάνω συγγράμματος παρατίθενται εδώ τα κατά την γμώμη μας σημαντικότερα για την κατανόηση της εφαρμογής δυναμικής βελτιστοποίησης στις οικονομικές και διοικητικές επιστήμες. Φιλοδοξείται σε επόμενες εκδόσεις των σημειώσεων να επεκταθούμε και σε άλλα θέματα δυναμικής βελτιστοποίησης και κυρίως στοχαστικού ελέγχου και της σημασίας του στην σύγχρονη χρηματοοικονομική. Β. Μ. - Ν. Μ. Ιούνιος 999

3 ΜΕΡΟΣ Ι: ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με μεθόδους λύσης προβλημάτων δυναμικής βελτιστοποίησης σε συνεχή χρόνο δηλαδή τις μεθόδους του Λογισμού Μεταβολών Βέλτιστου Ελέγχου και Δυναμικού Προγραμματισμού. Το ζητούμενο σε τέτοια προβλήματα δεν είναι μια αριθμητική τιμή αλλά μια συνάρτηση ή σύνολο συναρτήσεων που αντιπροσωπεύει το βέλτιστο «μονοπάτι» των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η πρώτη εφαρμογή του λογισμού μεταβολών (που ιστορικά είναι η πρώτη μέθοδος δυναμικής βελτιστοποίησης που αναπτύχθηκε) θεωρείται ότι σχετίζεται με το πρόβλημα του βραχιστοχρόνου που τέθηκε από τον Bernoulli στο τέλος του 7 ου αιώνα. Το ζητούμενο ήταν η εύρεση της διαδρομής που εξασφαλίζει τη συντομότερη δυνατή διάνυση της απόστασης μεταξύ δύο προκαθορισμένων σημείων από κάποιο αντικείμενο το οποίο βρίσκεται αποκλειστικά κάτω από την επίδραση της βαρύτητας. Λέγεται ότι η λύση του προβλήματος οφείλεται στον Νεύτωνα. Σχήμα Ι.. Οι πρώτες εφαρμογές του λογισμού μεταβολών στα οικονομικά παρουσιάστηκαν στις αρχές του ου αιώνα από τους Ramsey Hoeling κ.α. Η σύγχρονη περίοδος άρχισε από τη δεκαετία του 95 οπότε αναπτύχθηκαν ο δυναμικός προγραμματισμός και ο βέλτιστος έλεγχος. Ολες αυτές οι τεχνικές χρησιμοποιούνται ευρύτατα πια στα οικονομικά και η παρουσίαση τους είναι ο στόχος αυτού του συγγράμματος. Σε ένα πρόβλημα στατικής βελτιστοποίησης επιχειρείται ο υπολογισμός των τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών της συνάρτησης... ) που δίνουν τη μέγιστη ( 3 n τιμή της. Αν η είναι συνεχώς παραγωγίσιμη οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης είναι.... Το αντίστοιχο του παραπάνω προβλήματος σε n

5 δυναμικό πλαίσιο και διακριτό χρόνο συνίσταται στην μεγιστοποίηση της παράστασης ( ).... Εφόσον η τιμή της συνάρτησης σε κάθε περίοδο επηρεάζεται μόνο από την τιμή του την ίδια περίοδο η λύση του προβλήματος συνίσταται στη λύση στατικών προβλημάτων και θα ισχύουν συνθήκες πρώτης τάξης. Η βέλτιστη λύση είναι ένα σύνολο αριθμών.... Αν τα είναι διανύσματα διάστασης N θα υπάρχουν N συνθήκες πρώτης τάξης για κάθε περίοδο και συνολικά. Το πρόβλημα γίνεται πραγματικά δυναμικό αν N συνθήκες η τιμή της σε κάθε περίοδο επηρεάζεται από την τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής τόσο την ίδια περίοδο όσο και π.χ. την προηγούμενη δηλ. έχουμε την αντικειμενική συνάρτηση ). ( Παραδείγματος χάριν το κέρδος μιας επιχείρησης επηρεάζεται από την παραγωγή τόσο στην παρούσα όσο και στην προηγούμενη περίοδο λόγω ύπαρξης κόστους προσαρμογής των νέων επενδύσεων. Σε αυτή την περίπτωση οι συνθήκες πρώτης τάξης σε κάθε περίοδο δεν είναι δυνατό να διαχωρισθούν όπως πρωτύτερα. Με δεδομένο τον εύλογο περιορισμό το πρόβλημα προς λύση είναι το εξής Ma ( ) (Ι..) Σε συνεχή χρόνο η σχέση (Ι..) μετατρέπεται ως εξής: Το κέρδος επηρεάζεται από την παραγωγή την ίδια περίοδο καθώς και τη μεταβολή της παραγωγής σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο (δηλαδή την πρώτη παράγωγο του προϊόντος). Συνεπώς το ανάλογο πρόβλημα της (Ι..) σε συνεχή χρόνο έχει ως εξής Ma ( ( ) ( )) d ( ) ( ) (Ι..) και η λύση είναι μια συνάρτηση () που δίνει τη βέλτιστη παραγωγή κάθε περιόδου. Πριν παρουσιαστεί η μέθοδος λύσης προβλημάτων όπως το παραπάνω ακολουθούν ωρισμένα παραδείγματα. Παράδειγμα Ι... Επιχείρηση έχει δεχθεί παραγγελία B μονάδων προιόντος με χρόνο παράδοσης και επιδιώκει την ελαχιστοποίηση του κόστους εκτέλεσης της

6 παραγγελίας. Το μέσο κόστος παραγωγής είναι αύξουσα γραμμική συνάρτηση της παραγωγής και το μέσο κόστος τήρησης αποθεμάτων είναι σταθερό. Αν συμβολίσουμε το απόθεμα μέχρι το χρόνο ως () θα πρέπει ( ) B. Το απόθεμα κάθε στιγμή είναι η συσσωρευμένη παραγωγή επομένως ο ρυθμός μεταβολής του αποθέματος d / d είναι η παραγωγή. Συνεπώς το συνολικό κόστος εκτέλεσης της παραγγελίας της επιχείρησης κάθε στιγμή είναι c ) ( ) c ( ) c ( ( )) c ( ) όπου ο πρώτος ( όρος είναι συνολικό κόστος παραγωγής γινόμενο του μέσου κόστους c ( ) και του επιπέδου παραγωγής () ενώ ο δεύτερος όρος είναι το κόστος τήρησης αποθεμάτων. Στόχος της επιχείρησης είναι ο προσδιορισμός επιπέδου παραγωγής () και αποθέματος () τέτοιων ώστε Min c ( ) c( ) d όπου ( ) Πρόσθετοι ρεαλιστικοί περιορισμοί είναι και. B Θεωρώντας συνεχή προεξόφληση με επιτόκιο a το πρόβλημα διαμορφώνεται ως εξής Min c ( )) c( ) ( όπου ( ) a( ) e d B Παράδειγμα Ι... Σε μια οικονομία έστω K το κεφάλαιο που δεχόμαστε ότι απαξιώνεται με σταθερό ρυθμό b (K) η συνάρτηση παραγωγής C U η συνάρτηση χρησιμότητας. Οι δύο αυτές συναρτήσεις θεωρούνται δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες αύξουσες και κοίλες. Το προιόν είναι δυνατό είτε να καταναλωθεί είτε να επενδυθεί οπότε είναι ( K) C dk / d bk C ( K) dk / d bk. Αν επιπλέον η μελλοντική χρησιμότητα προεξοφλείται με επιτόκιο r το πρόβλημα της ανάπτυξης συνίσταται στην επιλογή της κατανάλωσης (ή επένδυσης) για κάθε στιγμή ώστε να μεγιστοποιείται η συνολική χρησιμότητα. Ετσι έχουμε σαν ισοδύναμο μαθηματικό πρόβλημα το εξής: Ma U C ( ) d ή Ma UK dk / d bk( ) e r d K ) K K ( ). (

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Βασικό Πρόβλημα-Συνθήκες Πρώτης Τάξης Γενικά αναζητούμε τη λύση προβλημάτων όπως η εύρεση συνάρτησης () που είναι συνεχώς παραγωγίσιμη ώστε να επιτύχουμε όπου η συνάρτηση είναι συνεχής ως προς τα παραγώγους ως προς () εξής. Έστω ότι * ( ) Ma ( ( ) ( )) d (Ι..) ) ( (Ι..) και έχει συνεχείς μερικές. Αναγκαίες συνθήκες για το πρόβλημα βρίσκονται ως είναι η ζητούμενη συνάρτηση και () μια οποιαδήποτε άλλη παραδεκτή συνάρτηση. Αν h() είναι η διαφορά μεταξύ μεταξύ της βέλτιστης λύσης * ( ) και () h( ) ( ) * ( ) και δεδομένου ότι οι δύο λύσεις είναι παραδεκτές θα πρέπει ( ) y( ) * h h (Ι..3). Τώρα η συνάρτηση ( ) ah( ) είναι επίσης παραδεκτή για κάθε σταθερά a εφόσον είναι συνεχώς * παραγωγίσιμη και υπακούει τις σχέσεις (Ι..) και (Ι..). Αν τα ( ) h( ) μείνουν σταθερά το ολοκλήρωμα * * g(a) ( ( ) ah( ) ( )) ah( )) d (Ι..4) είναι συνάρτηση του a. Εφόσον η συνάρτηση * ( ) μεγιστοποιεί την παράσταση (Ι..) η g επιτυγχάνει το μέγιστό της για a = το οποίο συνεπάγεται ότι g ( ) (Ι..5) (συνθήκη πρώτης τάξης για μέγιστο συνάρτησης μιας μεταβλητής). Χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγισης ολοκληρώματος του Leibniz και τον κανόνα της αλυσσωτής παραγώγισης η (Ι..5) γίνεται g (a) d( ( ) ah( ) da * ( ) a( h( )) d

8 ( h( ) h( )) d = (Ι..6) και άρα η παράσταση της (Ι..6) πρέπει να μηδενίζεται για a. Εφαρμόζωντας ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε h d h( ) (Ι..7). Με τη χρήση των σχέσεων (Ι..4) και (Ι..7) η (Ι..6) γίνεται [ ( ( ) d ( )) h( ) ( ( ) d ( )) * h( )] =[ ( ( ) ( )) ] h( ) d h( )( d ) d d ( ( ) ( )) (Ι..8) d Η σχέση (Ι..8) θα πρέπει να ισχύει αν η συνάρτηση *( ) μεγιστοποιεί την (Ι..) και είναι απαραίτητο να ισχύει για κάθε παραδεκτή συνάρτηση h (). Αυτό θα συμβαίνει μόνο όταν η παράσταση μέσα στην παρένθεση είναι ίση με δηλαδή αν ( * ( ) * d ( )) ( ( ) ( )) (Ι..9) d Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται εξίσωση του Euler είναι μια διαφορική εξίσωση δεύτερης (Ι..). Παρατήρηση τάξης και οι σταθερές της υπολογίζονται από τις δύο οριακές συνθήκες Κάναμε τις εξής παραδοχές (α) Υπάρχει η d'/ d (β) Αν γιά κάποια συνεχή συνάρτηση f ισχύει fg για κάθε g τότε πρέπει f. Και οι δύο αυτές παραδοχές μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύουν. Παράδειγμα Ι.. B. Εφαρμόζουμε την εξίσωση Euler: Να βρεθούν τα ακρότατα της παράστασης ( ) d ( ) d Επομένως η εξίσωση Euler δίνεται από τη σχέση και άρα ( ) c c. Οι c / d. c είναι σταθερές ολοκλήρωσης που υπολογίζονται με βάση τις οριακές συνθήκες. Πιο συγκεκριμένα ( ) c και ( ) c c B

9 και άρα ( ) B /. Παράδειγμα Ι.. Να βρεθούν τα ακρότατα της παράστασης d διάφορο του. Είναι B με ( ) όπου B. Συνεπώς η εξίσωση Euler είναι. Επομένως η δεύτερη οριακή συνθήκη δεν ικανοποιείται και δεν υπάρχει συνάρτηση () που να δίνει ακρότατο της παραπάνω παράστασης. Παράδειγμα Ι..3 Επανερχόμενοι στο παράδειγμα Ι.. έχουμε: Min [ c c( )] d ( ) B όπου c c. Υποθέτουμε ότι ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός. Είναι c c d d c / και η εξίσωση Euler γίνεται c c c / c. Ολοκληρώνοντας δύο φορές έχουμε ( ) c / 4c k k όπου k k είναι σταθερές ολοκλήρωσης. Με βάση τις οριακές συνθήκες πρέπει ( ) k και c ( ) / c k k B και άρα k B c / 4c k. 4 Συνεπώς η βέλτιστη συνάρτηση αποθέματος είναι / ) c ( ) / 4c B /. ( Η εξίσωση Euler σε αυτήν την περίπτωση έχει μια οικονομική ερμηνεία. Ηδη γνωρίζουμε ότι c οριακό κόστος παραγωγής είναι είναι είναι το συνολικό κόστος παραγωγής της επιχείρησης άρα το c και ο ρυθμός μεταβολής του οριακού κόστους c. Επίσης το οριακό κόστος τήρησης αποθέματος είναι c. Αρα η εξίσωση του Euler υποδεικνύει ότι πρέπει να εξισωθεί ο ρυθμός μεταβολής του οριακού κόστους παραγωγής με το οριακό κόστος τήρησης αποθέματος. Ειδικές περιπτώσεις λύσης της εξίσωσης Euler Η εξίσωση Euler είναι μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που δεν έχει πάντα αναλυτική λύση. Σε ορισμένες όμως περιπτώσεις η δομή της εξίσωσης είναι τέτοια που η λύση της είναι εύκολη. Παρακάτω αναφέρονται μερικές από αυτές τις περιπτώσεις.

10 Περίπτωση. ( ). Εφόσον η δεν εξαρτάται από το έχουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Παράδειγμα Ι..4 Να βρεθούν τα ακρότατα του [3 ] d ( ) 3 c d / d c σταθερά. Τότε. ( c 3) /( ) c c / c ln c. Οι σταθερές ολοκλήρωσης c c θα πρέπει να υπολογιστούν ώστε να ικανοποιούν τις εξισώσεις που προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες δηλαδή c ln c c ln. c Περίπτωση. (). Παρατηρούμε ότι d d. Αυτό συνεπάγεται ότι η εξίσωση /. Euler γράφεται ως. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η παραπάνω σχέση γίνεται. Ετσι είναι είτε είτε. Στην πρώτη περίπτωση c σταθερά το οποίο εξετάστηκε προηγουμένως. Στη δεύτερη περίπτωση c ( ) c c. Οι σταθερές c c προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες. Παράδειγμα Ι..5 Να βρεθούν τα ακρότατα του e d. Τα ακρότατα είναι της μορφής ( ) c c. Περίπτωση 3. ( ) Η εξίσωση του Euler είναι η οποία δεν είναι διαφορική εξίσωση αλλά υποδεικνύει τη βελτιστοποίηση της σχετικής παράστασης σε κάθε. Το δυναμικό πρόβλημα αναλύεται έτσι σε μια σειρά από στατικά προβλήματα. Περίπτωση 4. Η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν υπεισέρχεται. Τότε η εξίσωση Euler μεταπίπτει σε διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με βάση την εξής παρατήρηση. Έστω η Χαμιλτονιανή

11 H. Τότε παράσταση dh d d d παραγώγιση γίνει πάνω σε λύσεις της Euler τότε dh d d d d d. Αν όμως η οπότε είναι που όμως μηδενίζεται αν η δεν εξαρτάται από το. Αυτό σημαίνει ότι η H είναι σταθερά πάνω στις λύσεις της Euler εφόσον όμως η H γράφεται με βάση τις πρώτες παραγώγους η σχέση εξίσωση πρώτης τάξης. Παράδειγμα Ι..6 Εστω το πρόβλημα βελτιστοποίησης του συναρτησικού d. H c είναι διαφορική c Είναι H c c c που λύνεται σχετικά εύκολα. Αντίθετα η Euler δεν επιλύεται εύκολα αν δεν προηγηθεί το βήμα της μείωσης της τάξης μέσω της εισαγωγής της Χαμιλτονιανής. Παράδειγμα Ι..7 Αν έχουμε την παράσταση d τότε H οπότε η εξίσωση Euler είναι ισοδύναμη με c c. Η εξίσωση αυτή είναι μεν πρώτης τάξης αλλά μη γραμμική. Αντίθετα η εξίσωση Euler είναι που είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης και λύνεται χωρίς δυσκολίες. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι η εισαγωγή της Χαμιλτονιανής συνάρτησης δεν οδηγεί πάντα σε ευχερέστερη λύση

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Δεύτερης Τάξης Στη στατική βελτιστοποίηση ισχύει ότι μια δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση f () σε ανοικτό διάστημα για να έχει μέγιστο (ελάχιστο) στο * είναι απαραίτητο να έχουμε df / d και d f / d ( d f / d ) στο σημείο αυτό (αναγκαίες συνθήκες). Ικανές συνθήκες είναι οι df / d και d f / d (μέγιστο) και d f / d (ελάχιστο). Ανάλογες συνθήκες δεύτερης τάξης ισχύουν για την εύρεση συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης που π.χ μεγιστοποιεί το συναρτησιακό ( ) d (Ι.3.) όπου είναι μια δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η ανάλυση έχει ως εξής. Εχουμε δει στο κεφάλαιο ότι αν η συνάρτηση * ( ) μεγιστοποιεί την (Ι..) αν * για κάθε παραδεκτή συνάρτηση h () η παράσταση g ( a) ( ah a h) d dg έχει μέγιστο στο a. Άρα στο a ( h h ) da. Η έκφραση μέσα στο ολοκλήρωμα καλείται πρώτη μεταβολή. Η ανάλογη έννοια της δεύτερης παραγώγου είναι η δεύτερη μεταβολή. Ειδικότερα παραγωγίζοντας τη g ισχύει ότι g ( a) h( h h) h( h h) d [ h hh h ] d Ι.3. Αυτό ισχύει καθώς ah ah και το ίδιο ισχύει για τις Για να μεγιστοποιεί το *( ) την (Ι.3.) η δεύτερη μεταβολή πρέπει να είναι μη αρνητική. Αν τώρα η είναι παντού κοίλη ως προς ( ) η δεύτερη μεταβολή θα είναι μη θετική διότι η παράσταση στο ολοκλήρωμα είναι τετραγωνική μορφή η οποία είναι μη θετική δεδομένου ότι οι συντελεστές της είναι οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της. Αν επιπλέον της κοιλότητας της ως προς το * ( ) ικανοποιεί την

13 εξίσωση του Euler τότε η συνάρτηση * ( ) μεγιστοιεί την (Ι.3.). Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Υποθέτουμε ότι η εξίσωση Euler ικανοποιείται και η είναι κοίλη σε σχέση με * τα ( ). Θέτουμε ( ) * ( ) και επίσης h( ) ( ) * ( ) * * h ( ) ( ) ( ). Δεδομένου ότι η είναι κοίλη συνάρτηση έχουμε * * * * * ( ) d {( ) [ ( )] } * ( d h h ) d = ( ) d d h (Ι.3.3). Η προτελευταία ισότητα προέκυψε από ολοκλήρωση κατά d μέρη και και η τελευταία είναι απόρροια της εξίσωσης Euler. Η εξίσωση (Ι.3.3) δείχνει ότι καμία συνάρτηση δεν παίρνει μεγαλύτερη τιμή από την η οποία και ικανοποιεί την εξίσωση Euler. Έτσι η * που αντιστοιχεί στην * μεγιστοποιεί την. Σε πολλές περιπτώσεις η δεν είναι παντού κοίλη ως προς τα. Η συνθήκη Legendre που εφαρμόζεται σε τέτοιες περιπτώσεις * απαιτεί η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση να είναι μόνο τοπικά κοίλη ως προς το. Αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει και πάλι από την αναγκαιότητα η σχέση (Ι.3.) να είναι μη θετική. Συγκεκριμένα ολοκληρώνοντας κατά μέρη το δεύτερο μέλος της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης στη (Ι.3.) και λαμβάνοντας υπόψη ότι h ( ) h( ) hh d h (Ι.3.4). Αντικαθιστώντας την (Ι.3.4) στη (Ι.3.) ισχύει d g () h h d (Ι.3.5) d Χρησιμοποιούμε τώρα το παρακάτω αποτέλεσμα Λήμμα. Εστω P( ) Q( ) είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [ ] και έχουμε το συναρτησιακό δευτέρου βαθμού { P ( )[ h( )] Q( )[ h( )] } d (Ι.3.6) οριζόμενο για όλες τις συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις h () στο ] τέτοιες ώστε h ( ) h( ) [ d d d. Αναγκαία αυνθήκη προκειμένου η (Ι.3.6) να είναι μη θετική για όλα τα

14 αυτά τα h είναι ότι P ( ) όπου ]. (Η απόδειξη προκύπτει με εις άτοπο απαγωγή). Από τη στιγμή που η συνάρτηση [ * είναι δεδομένη οι μερικές παράγωγοι της παράστασης (Ι.3.5) είναι αποκλειστικά συναρτήσεις του χρόνου. Αν * * d P( ) ( ( ) ( )) Q( ) σύμφωνα με το λήμμα το γεγονός ότι η d (Ι.3.5) είναι μη θετική απαιτεί να ισχύει * ( ( ) ) (Συνθήκη Legendre) (Ι.3.7) * * Για την περίπτωση ελαχιστοποίησης πρέπει ( ( ) ( )) (Ι.3.8) Συμπερασματικά η εξίσωση Euler και οι συνθήκες Legendre (Ι.3.7) (Ι.3.8) είναι αναγκαίες συνθήκες μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης). Επιπρόσθετα η εξίσωση Euler σε συνδυασμό με την κοιλότητα (κυρτότητα) της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης είναι ικανές για μέγιστο (ελάχιστο). Παράδειγμα Ι.3. Εστω e r [ g ( ) c ] g ( ) g g. Το πρόβλημα είναι Min e r [ g( ) c d ] B r r e c e g( ) r r d / d re g( ) e g ( ). (Ι.3.8) Επομένως η εξίσωση Euler είναι g ( ( )) ( ) rg( ( )) c (Ι.3.9). Ολοι οι όροι της (Ι.3.9) είναι μη αρνητικοί σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος εκτός από το οπότε και αυτός ο όρος είναι θετικός. Η συνθήκη Legendre απαιτεί r ( e g ) για την ελαχιστοποίηση της. Αυτή η σχέση ικανοποιείται πάντα δεδομένου ότι από τις υποθέσεις είναι γνωστό ότι g. Επιπλέον. Αρα η είναι κυρτή ως προς. Επομένως η συνάρτηση που λύνει τη σχέση (Ι.3.9) ελαχιστοποιεί την (Ι.3.8). *

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ισοπεριμετρικά προβλήματα Ενας τύπος προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης είναι ο παρακάτω Ma ( ) (I.4.) όπου όμως οι συναρτήσεις ( ) πρέπει να ικανοποιούν περιορισμούς και επιπλέον G ( ) d B (I.4.) όπου οι G είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις και B σταθερός αριθμός. Για παράδειγμα το πρόβλημα της μέγιστης σε εμβαδό περιοχής περικλειόμενης από ευθεία και καμπύλη μήκους B είναι δυνατό να διατυπωθεί με αυτόν τον τρόπο. Αν η ευθεία εκτείνεται από το σημείο ) () στο ) ( ) ( ( τότε η περιοχή κάτω από την καμπύλη θα δίνεται από την (I.4.) με και ο περιορισμός του μήκους θα είναι G [ ( d / d) ] / (I.4.3). Σε αυτό το πρόβλημα η περίμετρος είναι σταθερή και για αυτό όλη η ομάδα προβλημάτων της μορφής (I.4.) και (I.4.) καλείται «ισοπεριμετρικό πρόβλημα». Εφαρμόζοντας μια μέθοδο λύσης προβλημάτων στατικής βελτιστοποίησης με περιορισμούς προσθέτουμε τον περιορισμό (I.4.) στην παράσταση (I.4.) με τον πολλαπλασιαστή λ. Οποιαδήποτε παραδεκτή συνάρτηση ικανοποιεί τον (I.4.) επομένως για τέτοιες συναρτήσεις () ( ) [ ( ) λ G ( )] d λ B (I.4.3). Το ολοκλήρωμα στα αριστερά παρουσιάζει ακρότατα ως προς εκεί ακριβώς όπου και το ολοκλήρωμα στo δεξιό μέλος της εξίσωσης. Το λ πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε η (I.4.) να ικανοποιείται. Η εξίσωση του Euler για το ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους της (I.4.3) είναι G d d G. Σαν συμπέρασμα μια αναγκαία συνθήκη λύσης

16 του προβλήματος () () έχει ως εξής. Αν η συνάρτηση υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε ικανοποιούνται οι σχέσεις (I.4.) (I.4.). * είναι βέλτιστη λύση τότε Παράδειγμα I.4. Min [ ( )] d υπό τους περιορισμούς ( ) d B. Το ολοκλήρωμα που αντιστοιχεί σε αυτό του δεξιού μέλους της (I.4.3) είναι [() ] d. Η εξίσωση Euler είναι: λ+ λ/ () λ / 4 c c.οι τρεις σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν λ c c θα υπολογισθούν με τη βοήθεια των οριακών συνθηκών και του ολοκληρωτικού περιορισμού (I.4.). Αναλυτικά λ d ( λ / 4 c c) d B ( ) c 4 c c και τελικά c 6B 4 c λ 4( B ). Μια αξιοσημείωτη παρατήρηση είναι ότι κατ αναλογία με τη στατική βελτιστοποίηση μπορεί να αποδειχθεί ότι ο πολλαπλασιαστής λ είναι η οριακή αξία της παραμέτρου B δηλαδή είναι ο ρυθμός μεταβολής της βέλτιστης τιμής του (4.) καθώς μεταβάλλεται το B. Μία καλύτερη δικαιολόγηση της ύπαρξης του πολλαπλασιαστή λ είναι η εξής: Mία μεταβολή h() για να είναι επιτρεπτή θα πρέπει να ικανοποιεί τον ολοκληρωτικό περιορισμό δηλαδή θα πρέπει. Για κάθε τέτοιο h θα πρέπει επίσης η μεταβολή στην αντικειμενική να είναι μηδενική διαφορετικά δεν θα είχαμε βέλτιστο. Άρα θα πρέπει να ισχύει για το συγκεκριμένο h ότι. Μπορεί να αποδειθχεί ότι αυτή η ιδιότητα συνεπάγεται ότι υπάρχει αριθμός -λ τέτοιος ώστε ή Συγκρίνατε το παραπάνω αποτέλεσμα που ισχύει για ολοκληρώματα με την εξής πρόταση της Γραμμικής Άλγεβρας: Έστω διανύσματα R n και τέτοια ώστε αν για

17 R n ισχύει a θα ισχύει και. Θεωρούμε το διάνυσμα z=β-α(αβ)/ α. Ισχύει ότι αz= οπότε θα είναι και βz= δηλαδή β -(αβ) / α =. Αν υπολογίσουμε τώρα το γινόμενο zz θα διαπιστώσουμε ότι μηδενίζεται και έτσι z= πράγμα που αποδεικνύει ότι τα αβ είναι συγγραμμικά. Σαν άσκηση αποδείξτε ότι αν ισχύει για δύο συναρτήσεις fg() ότι για κάθε h() το συνεπάγεται και θα είναι f()=λg() για μία σταθερά λ. Αυτό είναι ακριβώς το αποτέλεσμα που χρησιμοποοιήσαμε.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Προβλήματα με ελεύθερη τελική τιμή Στη μέχρι τώρα ανάλυση η αρχική και τελική τιμή της συνάρτησης () ήταν προκαθορισμένες. Τώρα υποθέτουμε ότι μόνο η αρχική τιμή είναι δεδομένη και έχουμε Ma ( ) d (I.5.) με ( ) και ( ) ελεύθερο. Αυτό ερμηνεύεται με το ότι αντί να ενώνουμε δύο σημεία στο επίπεδο με την καμπύλη ελαχίστου μήκους αναζητούμε την καμπύλη ελαχίστου μήκους που ενώνει βέλτιστα ένα αρχικό σημείο με μια ευθεία κάθετη στον οριζόντιο άξονα. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση () είναι βέλτιστη και η ( ) h( ) είναι παραδεκτή συνάρτηση (δηλαδή ορισμένη στο συνεχώς παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την αρχική συνθήκη). Τότε η μεταβολή h ικανοποιεί τη σχέση h ( ) αλλά δεν τίθεται περιορισμός στο h ). Θεωρούμε το σύνολο των παραδεκτών καμπυλών ( ) ah( ) ( όπου () και h() είναι δεδομένες συναρτήσεις και a αριθμός. Τότε η τιμή του ολοκληρώματος (5.) εξαρτάται από τη σταθερά a. g ( a) ( ( ) ah( ) ( ) ah( )) d (I.5.) Η g(a) λαμβάνει τη μέγιστη τιμή για α= εφόσον η συνάρτηση είναι βέλτιστη. Άρα g () [ ( ) h ( ) h] d. Ολοκληρώνοντας κατά μέρη το δεύτερο όρο της παράστασης έχουμε: d d d (I.5.3) d d h d [ h] h d [( )] h h δεδομένου ότι h ( ). Αντικατάσταση της παραπάνω παράστασης στη σχέση (I.5.3) δίνει d h d [( h)] (I.5.4) d

19 όπου και ορίζονται στο βέλτιστο μονοπάτι ( ( ) ( )). Η σχέση (4) πρέπει να ισχύει για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση h τέτοια ώστε h( ). Επομένως η βέλτιστη συνάρτηση ( ) πρέπει να επαληθεύει τη σχέση d ( ( )) ( ( )) d (I.5.5) που είναι η εξίσωση Euler. Εφόσον η (I.5.5) ισχύει η ισχύς της (I.5.4) απαιτεί για κάθε h. Δεδομένου ότι h( ) παίρνει και τιμές διάφορες του πρέπει ( (I.5.6). Αυτό ερμηνεύεται με το ότι αλλαγή ) του ( ) πολύ κοντά στον τελικό χρόνο δεν πρέπει να επιφέρει καμία μεταβολή της αντικειμενικής τιμής της. Η οριακή συνθήκη (I.5.6) ονομάζεται συνθήκη ransversaliy. Χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με την συνθήκη ( ) για την εύρεση των σταθερών ολοκλήρωσης της εξίσωσης Euler. Ετσι οι αναγκαίες συνθήκες για τον υπολογισμό της βέλτιστης συνάρτησης ( ) είναι η εξίσωση Euler η συνθήκη Legendre και οι οριακές συνθήκες ( ) και (. Παράδειγμα I.5. ) Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ ενός σημείου ( a) Aκαι της κατακόρυφης ευθείας στο σημείο b. Για τη διαμόρφωση του προβλήματος πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο αλλων πλευρών. Ετσι για το μήκος ds που αντιστοιχεί σε d d ισχύει ds = / / [( d) ( d) ] [ ( d / d) ] d. Συνεπώς το πρόβλημα διαμορφώνεται ως εξής: Min b { ( d / d) } / d a με τον περιορισμό ( a) A. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν σε προηγούμενο κεφάλαιο για την περίπτωση ( ) η λύση της Euler είναι ( ) c c. Η συνθήκη τερματισμού δίνει b b ( b) ( b). Επομένως οι σταθερές c c πρέπει να

20 ικανοποιούν τις σχέσεις ( a) ca c A ( b ) c. Αυτό δείχνει ότι η λύση είναι ( ) A που είναι η εξίσωση της οριζόντιας ευθείας που ενώνει τα σημεία ( a A)( b A ). Είναι συνεπώς η συνθήκη Legendre ικανοποιείται.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ο Τύπος Γενικής Μεταβολής Εφαρμογές στα προβλήματα Ελεύθερου χρονικού ορίζοντα - Υπολειμματικής αξίας Έστω τα προβλήματα Ma d με (I.6.) όπου Ma d με (I.6.) μικρές αλλαγές στα άκρα (βλ. σχήμα Ι.6.). Τα προβλήματα είναι ίδια εκτός από τη μικρή μεταβολή των στο δεξί άκρο. + ΣΧΗΜΑ Ι.6.

22 Έστω ότι η λύση του πρώτου προβλήματος και η λύση του δεύτερου προβλήματος. Συμβολίζουμε την τιμή του μεγίστου ως στο πρωτο πρόβλημα ως και στο δεύτερο ως. Η διαφορά των είναι: d d (I.6.3) Ο πρώτος όρος είναι ίσος με O παριστάνει τους όρους που πολλαπλασιάζονται με (I.6.4) όπου ο τελευταίος όρος. Όσον αφορά στο δεύτερο παρατηρούμε ότι αντιστοιχεί στη διαφορά ενός συναρτησιακού για δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν την Euler-Lagrange με ίδιο αρχικό σημείο σημείο και και τελικό. Άρα τα τελικά σημεία διαφέρουν όσον αφορά το κατά. Όμως αυτή είναι η περίπτωση που εξετάσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο οπότε η διαφορά των ολοκληρωμάτων d και d είναι (I.6.5). Έτσι η συνολική διαφορά με βάση τις (I.6.3)-(I.6.5) είναι O = O. (I.6.6) Επομένως έχουμε τον ιδιαίτερα σημαντικό τύπο d d d (I.6.7) που είναι είναι γνωστός σαν τύπος γενικής μεταβολής. Δηλώνει ότι αν αλλάξουμε τα δεξιά άκρα σε η αλλαγή της βέλτιστης τιμής του συναρτησιακού θα είναι d d (σε γραμμική προσέγγιση). Η γενική μεταβολή οδηγεί στη σημαντική εξίσωση Hamilon-acobi που αποτελεί βάση για την προσέγγιση του Δυναμικού Προγραμματισμού που θα παρουσιαστεί αργότερα.

23 Η προσέγγιση Hamilon-acobi έχει συνοπτικά ως εξής: Έστω ότι η ( ) είναι συνεχώς παραγωγίσιμη. Τότε θα είναι d d d και άρα ο τύπος της γενικής μεταβολής συνεπάγεται ότι και. Άρα (I.6.8) και (I.6.9). Η δεύτερη σχέση μπορεί να λυθεί ως προς δίνοντας g (I.6.) όπου g γνωστή συνάρτηση. Έτσι τελικά από τις (I.6.8)- (I.6.) έχουμε τη μερική διαφορική εξίσωση g g (I.6.). Η εξίσωση είναι ως προς ανεξάρτητες μεταβλητές και εξαρτημένη τη. Η σχέση αυτή που πρέπει να ικανοποιείται από τη συνάρτηση βέλτιστης τιμής του συναρτησιακού d οφείλεται στους Hamilon-acobi και επεκτάθηκε από τον Καραθεοδωρή. (Βλέπε και κεφάλαιο περί Δυναμικού Προγρ/σμού). Παράδειγμα I.6. Έστω min d (I.6.) οπότε. Από τη σχέση έπεται ότι. Έτσι η εξίσωση Hamilon-acobi γράφεται 4. Αυτή είναι μια μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Για τη λύση της δοκιμάζουμε τη μορφή v u οπότε έχουμε τη σχέση: 4 d dv d du. Η παράσταση αυτή ισούται με σταθερά καθώς εξαρτάται από δύο μεταβλητές. Έτσι έχουμε: c a u a d du και ad v a d dv.

24 Όσον αφορά στη λύση προβλημάτων με ελεύθερα άκρα εφαρμόζουμε τον τύπο της γενικής μεταβολής που πρέπει να ισούται με μηδέν βέλτιστο για οποιαδήποτε Έτσι αν π.χ ο χρόνος είναι ελεύθερος πρέπει στο βέλτιστο. Παράδειγμα I.6.. Min c c d (I.6.3) όπου (I.6.4) B ελεύθερο. (I.6.5) Πρέπει να ισχύει η εξίσωση Euler οι οριακές συνθήκες (I.6.4) και (I.6.5) και στο (I.6.6). Η Euler-Lagrange έχει λύση σύμφωνα με προηγούμενο κεφάλαιο c (I.6.7) και K 4c (I.6.8). Η (I.6.6) δίνει K K c c c c c (I.6.9). Οι σχέσεις (I.6.5) και (I.6.7)-(6.9) συνεπάγονται c 4c K B (I.6.) και c 4 c B c K (I.6.). Οι σχέσεις (I.6.) και (I.6.) λύνονται ως προς K c προκειμένου να βρεθούν οι δύο άγνωστες σταθερές του προβλήματος. Σε περίπτωση που το τελικό σημείο πρέπει να κείται σε γνωστή συνάρτηση π.χ q q (I.6.) θα πρέπει να ισχύει q q. Άρα η q σχέση της γενικής μεταβολής γράφεται ως q q (I.6.3). Άρα οι οριακές συνθήκες για το q q τελικό σημείο είναι οι (I.6.) και (I.6.3) που λύνονται ως προς και συνδυασμό με την εξίσωση Euler. σε

25 Παράδειγμα I.6.3 Να βρεθεί το βέλτιστο του f d R συνάρτηση και συγκεκριμένα έστω 3 συγκεκριμένη περίπτωση f Rf R και με R όπου 5. Ισχύει R και στη f. Άρα 5. Επίσης R R R είναι κάθετες. Στη συγκεκριμένη περίπτωση. Αυτό σημαίνει ότι οι συναρτήσεις. 5 Παρόμοια είναι η ανάλυση και στην περίπτωση επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης με συναρτησιακό της μορφής d G (6.4) με και ελεύθερο ενώ και δεσμευμένο. Έχουμε δηλαδή ένα πρόβλημα όπου το όφελος είναι συνάρτηση της όλης πορείας που εκφράζεται από το ολοκλήρωμα και ενός όρου που εξαρτάται αποκλειστικά από την κατάληξη του συστήματος. Αν ερμηνεύσουμε το σαν κεφάλαιο η συνάρτηση G είναι η υπολειμματική αξία του εναπομείναντος κεφαλαίου στο χρόνο ολοκλήρωσης της διαδικασίας. Αναγκαίες συνθήκες για βέλτιστο προκύπτουν αν εφαρμόσουμε τον τύπο της γενικής μεταβολής. Στο πλαίσιο αυτό αν υπάρξει μεταβολή στα ο όρος του ολοκληρώματος θα μεταβληθεί κατά υπολειμματική αξία κατά συνολική μεταβολή G G G G είναι μηδενική στο βέλτιστο για τις επιτρεπτές τιμές των προκύπτει λοιπόν ότι αν το είναι ελεύθερο ίση με αντίστοιχα (I.6.4) ενώ η (I.6.5). Από τις (I.6.4)-(I.6.5) παίρνουμε είναι ελεύθερο πρέπει (I.6.6). που πρέπει να Από την (I.6.6) G (I.6.7) ενώ αν το G (I.6.8). Αν ισχύει επιπλέον ότι στον τερματισμό

26 το σύστημα κείται στην καμπύλη q θα πρέπει να ισχύει όπως προηγούμενα q (I.6.9). Άρα τελικά πρέπει σύμφωνα με τις (I.6.6) και (I.6.9) να q έχουμε G G Παράδειγμα I.6.4 q q (I.6.3). Έστω ότι για να παραχθεί «ερευνητικό προιόν» αξίας R απαιτείται «ερευνητική προσπάθεια» ύψους A. Αν το προιόν παραχθεί σε χρόνο η παρούσα αξία του είναι e R R όπου r το προεξοφλητικό επιτόκιο. Η ερευνητική προσπάθεια ανά μονάδα χρόνου z συνδέται με την αντίστοιχη δαπάνη με τη σχέση z Παρατηρούνται δηλαδή φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας για την ερευνητική προσπάθεια σε σχέση με τη δαπάνη. Πώς πρέπει να δαπανηθούν τα χρήματα ώστε να βελτιστοποιηθεί η προεξοφλημένη καθαρή παρούσα αξία; Αν z είναι η συνολική προσπάθεια στον τελικό χρόνο θα πρέπει z και z e R R e r d e R R z A. Επίσης. Επομένως θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την παράσταση e r z d (Ι.6.3) με τους περιορισμούς z (Ι.6.3) r και z A (Ι.6.33). Σε αυτό το πρόβλημα z z e z Euler γράφεται d d z r e z c z ce c r r r z e οπότε η εξίσωση (Ι.6.34). Εφόσον το είναι ελεύθερο θα πρέπει σύμφωνα με την (Ι.6.8) G z z z rr Αρα r r r R r re R e z z e z re R e z rr z (Ι.6.35). Η (Ι.6.34) δίνει και (Ι.6.36) συνεπάγονται c r r λαμβάνεται e A z c r r r re ce (Ι.6.36). Οι σχέσεις (Ι.6.35) ce r rr (Ι.6.37). Από τις (Ι.6.33) και (Ι.6.34) (Ι.6.38). Οι (Ι.6.37)-(Ι.6.38) δίνουν c rr ra (Ι.6.39)

27 και r R r A ln (Ι.6.4). Η (Ι.6.4) ορίζεται όταν R r A R r A R r A R r A (Ι.6.4). Δηλαδή το ερευνητικό πρόγραμμα είναι σκόπιμο να εκτελεστεί μόνο αν η αξία του είναι επαρκώς ψηλότερη από την απαιτούμενη προσπάθεια. Από τις (Ι.6.34) (Ι.6.39) και το γεγονός ότι z εξάγεται ότι η βέλτιστες τροχιές των z είναι r e A r R z (Ι.6.4) και r e ra rr (Ι.6.43)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Ανισοτικοί περιορισμοί Έστω ότι έχουμε το πρόβλημα Ma d (Ι.7.) δεδομένο (Ι.7.) ελεύθερο αλλά επιπλέον πρέπει να ισχύουν ανισοτικοί περιορισμοί ως προς τα συγκεκριμένα (Ι.7.3) και G (Ι.7.4) για γνωστή συνάρτηση G. Εξετάζουμε αναγκαίες συνθήκες για τη λύση του προβλήματος αυτού. Εστω ότι εξετάζουμε μια λύση με τελικό σημείο μικρές αλλαγές συνθήκες είναι H τέτοιο ώστε G. Τότε για θα εξακολουθεί να ισχύει G άρα αναγκαίες. Αν όμως G και εξετάσουμε μεταβολές θα πρέπει G G G. Για αυτά τα θα πρέπει και H διαφορετικά θα μπορούσαμε να βελτιώσουμε την τιμή του συναρτησιακού. Τώρα από το γεγονός ότι G G H συνεπάγεται με βάση τη θεωρία των γραμμικών ανισοτήτων ότι τα διανύσματα G G και H είναι συγγραμμικά αλλά με αντίθετη φορά. (Δώστε γεωμετρική ερμηνεία στο χώρο δηλαδή R ). Στην ειδική περίπτωση όπου το είναι δεδομένο και G a a είναι η οριακή συνθήκη είναι G και άρα η συνθήκη γίνεται απλά. Οι δύο περιπτώσεις γράφονται συνοπτικά ως a a. Γενικά στο πνεύμα των συνθηκών Kuhn-ucker μπορούμε να γράψουμε ότι αναγκαία συνθήκη είναι να υπάρχει αριθμός (Ι.7.4) τέτοιος ώστε G (Ι.7.5) και H G G (Ι.7.6). y y

29 Παράδειγμα Ι.7. Να λυθεί το πρόβλημα Η εξίσωση Euler είναι βάση τις συνοριακές συνθήκες: Min d Ae όπου Be.. Οι παράμετροι προσδιορίζονται με A B B A Ae Ae Ae e Αν. e e τότε Ae e Για να ικανοποιούνται οι οριακές συνθήκες πρέπει να υπάρχει τέτοιο ώστε. Το είναι μη θετικό γιατί εξετάζουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Επίσης. τα H G δεν υπεισέρχονται γιατί το τελικό σημείο είναι δεδομένο. Αρα η αναγκαία το οποίο ισχύει για συνθήκη είναι απλά Ae e δεδομένου ότι A.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Γωνιακές Λύσεις Στα συνήθη προβλήματα λογισμού μεταβολών θεωρούμε ως αποδεκτές λύσεις τις συναρτήσεις που διαθέτουν παράγωγο Αυτό είναι φυσικό καθώς το (Ι.8.). υπεισέρχεται στο συναρτησιακό σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού. Αυτό το ζητούμενο δημιουργεί δυσκολίες καθώς σε πολλές περιπτώσεις προβλημάτων λογισμού μεταβολών ενδέχεται να μην υπάρχει λύση που να είναι αποδεκτή με βάση τα παραπάνω ενώ ταυτόχρονα η ορθότητα ορισμένων λύσεων είναι διαισθητικά προφανής. Οι παρατηρήσεις αυτές αποσαφηνίζονται παρακάτω: d Παράδειγμα Ι.8. Να λυθεί το πρόβλημα Min d όπου 3. Η εξίσωση Euler είναι και έχει πολλές λύσεις όπως α) β) γ) καμία όμως από αυτές δεν ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες. Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση 3 Η συνάρτηση αυτή δεν έχει παράγωγο στο καθώς και (βλ. σχήμα Ι.8.). Όμως σε κάθε η παίρνει την τιμή και έτσι η τιμή της αντικειμενικής d φαίνεται να λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή. Αν όμως αποκλείσουμε την παραπάνω

31 συνάρτηση δεν υπάρχει άλλη που να επιτυγχάνει το μηδενισμό της d. Από την άλλη πλευρά όμως για κάθε μπορούμε να κατασκευάσουμε συνάρτηση με d (αυτό επιτυγχάνεται «εξομαλύνοντας» τη συνάρτηση περί το και το όριο των για είναι η. Ετσι ισχύει inf d αλλά δεν υπάρχει ελάχιστο αυτού του προβλήματος. Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει ότι μπορούμε να αποδεχθούμε ως λύσεις συναρτήσεις με γωνίες που προκύπτουν ως όρια ομαλών συναρτήσεων. ( ) 3 ΣΧΗΜΑ I.8. Εστω λοιπόν ότι είναι αποδεκτές λύσεις που έχουν μεν γωνιακό σημείο αλλά η θέση του γωνιακού αυτού σημείου είναι άγνωστη. Προσπαθούμε να εντοπίσουμε το γωνιακό σημείο θεωρώντας βέβαια ότι οι λύσεις είναι τουλάχιστον συνεχείς συναρτήσεις. Εστω το γωνιακό σημείο. Τότε το d ερμηνεύεται ως d d δηλαδή ως άθροισμα δύο απλών προβλημάτων με οριακές συνθήκες ελεύθερο για το πρώτο και όπου ελεύθερο. Αν θεωρήσουμε μια

32 μεταβολή στα αντίστοιχα με βάση τον τύπο της γενικής μεταβολής έχουμε όπου H H H = H H η συνάρτηση Hamilon (εξηγείστε το αρνητικό πρόσημο). Αναγκαία συνθήκη για ακρότατο ως προς είναι η για κάθε και άκρα στο y. Άρα πρέπει τόσο η αλλαγή από σε H όσο και η H να είναι συνεχείς ως προς την δηλαδή (Ι.8.) και H (Ι.8.3). Οι δύο αυτές συνθήκες επαρκούν για τον προσδιορισμό των δύο επιπλέον αγνώστων. Σε περίπτωση που δεχόμαστε απεριόριστο αριθμό γωνιακών σημείων οι αντίστοιχες συνθήκες είναι ότι οι και H πρέπει να είναι συνεχείς στα αντίστοιχα γωνιακά σημεία. Οι συνθήκες αυτές είναι γνωστές και ως συνθήκες Weirsrass-Erdmann. Παράδειγμα Ι.8. και Συνεχίζοντας το παράδειγμα Ι.8. H. Αν τόσο η όσο και η H μηδενίζονται ανεξάρτητα της τιμής του άρα είναι συνεχείς στο. Επομένως ικανοποιούνται οι συνθήκες Weirsrass-Erdmann. Έστω η συνάρτηση 5 3 Τα δύο τμήματά της ικανοποιούν την εξίσωση Euler ενώ στο έχουμε γωνιακό σημείο με και. Αλλά το σημείο αυτό δεν ικανοποιεί τις συνθήκες Weirsrass-Erdmann. (Αιτιολογείστε την πρόταση).

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Ανισοτικοί περιορισμοί στις μεταβλητές Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το βέλτιστο της παράστασης ( ) d (9.) όπου ( ) ( ) και R( ) ( ) (9.) όπου R() συνεχής συνάρτηση. Αν η λύση που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης Euler με τη βοήθεια των οριακών συνθηκών ικανοποιεί τον περιορισμό (9.) το πρόβλημα έχει λυθεί. Σε περίπτωση που αυτό δε συμβαίνει είναι απαραίτητη η ανάλυση που ακολουθεί. Υποθέτουμε ότι η λύση ικανοποιεί τον περιορισμό ισοτικά στο 3 και ανισοτικά στα και 3 είναι δηλαδή R για 3. Προφανώς για το 3 η 3 τιμή του συναρτησιακού είναι R R d των δύο άκρων δηλαδή στο την Euler-Lagrange. 3. Επίσης τα προβλήματα και πρέπει να έχουν λύσεις που ικανοποιούν 3 Θεωρούμε μια αλλαγή στο κατά μεταβολής για το πρόβλημα στο H ενώ για το πρόβλημα στο είναι. Τότε σύμφωνα με τον τύπο της γενικής H R R 3 η μεταβολή είναι R R. Η συνολική μεταβολή είναι το άθροισμα των μεταβολών και δηλαδή R R R R και θέτοντας τη μεταβολή ίση με προκύπτει η συνθήκη σχέσης αυτής είναι R R R R R. Μια λύση της. Αυτό σημαίνει ότι οι αναγκαίες συνθήκες

34 ικανοποιούνται αν στα σημεία όπου η εφαπτομενικά. Τα ισχύουν και για το 3. συναντά την R η συνάντηση γίνεται Συμπερασματικά οι συνθήκες βελτιστοποίησης της σχέσης (9.) είναι ) Στα διαστήματα όπου R( ) ( ) η εξίσωση Euler ικανοποιείται. ) Στα υπόλοιπα διαστήματα η βέλτιστη συνάρτηση ικανοποιεί τον περιορισμό R( ) ( ). 3) Αν είναι ο χρόνος μετάβασης από διάστημα όπου ισχύει ( ) ( ) R σε διάστημα όπου R( ) ( ) και αντίστροφα οι οριακές συνθήκες που καθορίζουν τις σταθερές ολοκλήρωσης των εξισώσεων Euler είναι της μορφής R ( ) ( ) και R( ) ( ) με την προυπόθεση ότι είναι διαφορετικό του μηδενός. Παράδειγμα I.9. Μια επιχείρηση εκπληρώνει πρόγραμμα παραγγελιών P (). Το κόστος παραγωγής είναι ανάλογο με το τετράγωνο του προιόντος και το κόστος αποθεματοποίησης είναι γραμμική συνάρτηση του προιόντος Τα αποθέματα είναι μη αρνητικά. Να βρεθεί το πρόγραμμα παραγωγής που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος της επιχείρησης. Έστω ότι παράγεται προιόν με ρυθμό z. Έστω Q το απόθεμα στο χρόνο. Είναι Q S Z P. Θεωρώντας Q είναι Q Zzdz Pz P z dz και Zz dz οπότε z και Q S περιορισμός γράφεται ισοδύναμα ως Q ή S dz. Θέτουμε. Έτσι ο ενώ η αντικειμενική

35 συνάρτηση είναι min c Zz dz c Qzdz min c z c zsz περιορισμό S S d d c c. Η εξίσωση Euler είναι c dz με c ( ) ( ) ( ) c3 ( ) c3 c4 c c 4c Η λύση που φαίνεται αμέσως παραπάνω (9.6) ισχύει όταν ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός ενώ όταν ο περιορισμός είναι δεσμευτικός ( ) S( ). Η κλίση () της βέλτιστης συνάρτησης μεταβάλλεται κατά τη σταθερά c3 μεταξύ των διαφορετικών τμημάτων της λύσης και το ίδιο συμβαίνει με το σταθερό όρο c4 της βέλτιστης συνάρτησης (). Αν υποθέσουμε ότι η λύση (9.6) ακολουθείται στο διάστημα και ( ) S( ) στα και οι αριθμοί c3 c4 προσδιορίζονται από τις σχέσεις ) S( ) ) S( ) ) S( ) και ) S( ) (9.7) ( ( ( ( δεδομένου ότι c το οποίο είναι διαφορετικό του μηδενός. c Παρατηρούμε ότι η παραγωγή () αυξάνεται με σταθερό ρυθμό όπου ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός 3 4 c c σε κάθε διάστημα Επιπλέον στο πρώτο τμήμα αυτών των διαστημάτων η παραγωγή υπερβαίνει τις παραγγελίες και συσσωρεύονται αποθέματα (περιοχές Α και Γ) ενώ στο δεύτερο τμήμα η παραγωγή υπολείπεται των παραγγελιών και τα αποθέματα μειώνονται (περιοχές Β και Δ). Η αρχική αύξηση των αποθεμάτων ισούται με την τελική μείωσή τους με συνέπεια στην αρχή κάθε διαστήματος όπου ο περιορισμός είναι δεσμευτικός τα αποθέματα να είναι μηδέν. Στα διαστήματα όπου ο περιορισμός είναι δεσμευτικός η παραγωγή ισούται με τις παραγγελίες και το απόθεμα είναι μηδενικό. Σε περίπτωση κατά την οποία η ο ρυθμός μεταβολής των παραγγελιών είναι πάντα μικρότερος του ρυθμού μεταβολής προιόντος δηλαδή c S ( ) δεν θα ήταν ποτέ c

36 βέλτιστη η συσσώρευση αποθεμάτων αλλά η παραγωγή θα ήταν σκόπιμο να ισούται με τις παραγγελίες. Τέλος είναι φανερό από το σχήμα ότι η βέλτιστη λύση του προβλήματος c δεν αποτελείται από τα τμήματα της ευθείας ( ) c3 που ικανοποιούν τον c περιορισμό ( ) S( ) αλλά από τα τμήματα διαφορετικών ευθειών με την ίδια κλίση και διαφορετικούς σταθερούς όρους c 3c4 δηλαδή την εξίσωση (9.6).