Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Transcript

1 Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato

2 Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε ημείο (Σημειακοί εκτιμητές μιας παραμέτρου θ είναι μια υνάρτηη από την οποία μπορούμε να υπολογίουμε την αριθμητική τιμή της παραμέτρου, χρηιμοποιώντας τις μετρήεις του δείγματος. Ο αριθμός που υπολογίζεται, λέγεται εκτιμητής ε ημείο της παραμέτρου Εκτιμητές ε διάτημα είναι ένας τύπος από τον οποίο μπορούμε να κατακευάουμε ένα διάτημα το οποίο ανήκει η παράμετρος του πληθυμού με υγκεκριμένο βαθμό βεβαιότητας, χρηιμοποιώντας τις μετρήεις του δείγματος Stefao G. Giakoumato

3 Εκτιμητές ε ημείο (Poit Etimator Για την κατακευή Εκτιμητών ε Σημείο των παραμέτρων μιας κατανομής χρηιμοποιούμε:.μέθοδο των Ροπών.Μέθοδο Μέγιτης Πιθανοφάνειας 3.Μέθοδος Ελάχιτων Τετραγώνων Stefao G. Giakoumato

4 Μέθοδος των Ροπών (Method of Momet Για να κατακευάουμε ημειακούς εκτιμητές, εξιώνουμε τις θεωρητικές ροπές που περιέχουν τις άγνωτες παραμέτρους με τις αντίτοιχες δειγματικές ροπές Θεωρητική Ροπή k τάξεως µ k x x k P( X x Δειγματική Ροπή k τάξεως m k i x k i Stefao G. Giakoumato

5 Μέθοδος Μέγιτης Πιθανοφάνειας (Method of Maximum Likelihood Ονομάζεται πιθανοφάνεια και υμβολίζεται με L(θ, η κατανομή του δείγματος, όταν θεωρείται υνάρτηη της άγνωτης παραμέτρου θ. Αν f(x είναι η κατανομή από όπου προέρχεται το δείγμα, τότε: L ( θ f ( x i i Ο εκτιμητής μέγιτης πιθανοφάνειας (ΕΜΠ της άγνωτης παραμέτρους θ βρίκεται μεγιτοποιώντας τη υνάρτηη L(θ ως προς το θ Stefao G. Giakoumato

6 Παρατήρηη Οι ροπο-εκτιμητές και οι εκτιμητές μέγιτης πιθανοφάνειας ε άλλες κατανομές υμπίπτουν και ε άλλες δεν υμπίπτουν. Όταν δεν υμπίπτουν, διαλέγουμε τον εκτιμητή με τις καλύτερες ιδιότητες από πιθανοθεωρητικής άποψης Τέτοιες ιδιότητες είναι. Αμεροληψία. Ελάχιτη Διακύμανη 3. Συνέπεια 4. Επάρκεια Stefao G. Giakoumato

7 Stefao G. Giakoumato Εκτιμητές παραμέτρων του πληθυμού o Μέη τιμή (μ o Αναλογία ( o Διαπορά ( ( i i A i i x x x x ˆ ˆ

8 V ( x V ( ˆ ˆ ( ˆ Stefao G. Giakoumato

9 Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Διατήματα Εμπιτούνης Stefao G. Giakoumato

10 Διατήματα Εμπιτούνης Εκτιμητές ε διάτημα Έτω x,x,,x τυχαίο δείγμα και θ μία άγνωτη παράμετρος του πληθυμού. Επιπλέον, έτω -α μία μεγάλη πιθανότητα. Τότε το διάτημα (Α,Δ του οποίου τα άκρα Α (αριτερό και Δ (δεξιό ορίζονται από τη χέη Ρ(Α<θ<Δ-α Λέγεται 00(-α% διάτημα εμπιτούνης για την παράμετρο θ και η πιθανότητα -α λέγεται υντελετής εμπιτούνης. Stefao G. Giakoumato

11 Διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά γνωτή Δείγμα μεγάλο 30 A x x + a a / / Όταν το δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυμό, οι παραπάνω τύποι ιχύουν και για μικρό δείγμα Stefao G. Giakoumato

12 Διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά άγνωτη Δείγμα μεγάλο 30 A x x + a a / / Stefao G. Giakoumato

13 Διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά άγνωτη Δείγμα μικρό <30 A x x + t t, a /, a / Το δείγμα πρέπει να προέρχεται από κανονικό πληθυμό Stefao G. Giakoumato

14 Stefao G. Giakoumato Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μέων τιμών δύο πληθυμών. (δείγματα ανεξάρτητα, & m 30 ( ( m y x m y x A a a / / Όταν οι διαπορές είναι άγνωτες, χρηιμοποιούμε τις αντίτοιχες δειγματικές διαπορές

15 Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μέων τιμών δύο πληθυμών. (δείγματα ανεξάρτητα, & m<30 A ( x y t + m; a / ooled + m ooled ( x y + t + m; a / ( + ( m + m ooled + m Τα δείγματα πρέπει να προέρχονται από κανονικούς πληθυμούς Stefao G. Giakoumato

16 Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών (Δείγματα εξαρτημένα Ζευγαρωτές παρατηρήεις A + t t, a /, a / Το ζεύγη των παρατηρήεων πρέπει να προέρχεται από κανονικό πληθυμό Όταν 30, τότε αντί για t χρηιμοποιούμε την κανονική κατανομή a/ Stefao G. Giakoumato

17 Stefao G. Giakoumato Διάτημα εμπιτούνης για την αναλογία ενός πληθυμού Δείγμα μεγάλο 30 ( ( A a a + / /

18 Stefao G. Giakoumato Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά -, των αναλογιών δύο πληθυμών Δείγμα μεγάλο 30 ( ( ( ( m m A a a / / + + +

19 Διάτημα εμπιτούνης για τη διαπορά ενός πληθυμού A ( X, a / ( X, a / Το δείγμα πρέπει να προέρχεται από κανονικό πληθυμό Stefao G. Giakoumato

20 Διάτημα εμπιτούνης για το λόγο των διαπορών δύο πληθυμών F, m, a/ < < F m,, a/ Τα δείγματα πρέπει να προέρχεται από κανονικούς πληθυμούς Stefao G. Giakoumato

21 Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato

22 Ειαγωγή Σκοπός των τατιτικών ελέγχων υποθέεων είναι η πραγματοποίηη κάποιων ελέγχων αναφορικά με τις παραμέτρους του πληθυμού Παράδειγμα Για μία αθένεια υπάρχει φάρμακο που θεραπεύει μέα ε 0 μέρες. Ένα νέο φάρμακο ιχυρίζεται πως θεραπεύει ε υντομότερο χρονικό διάτημα. Σκοπός είναι να ελεγχθεί αν ο μέος όρος θεραπείας του νέου φαρμάκου είναι μικρότερο από 0 μέρες. Η υπόθεη μ0 λέγεται μηδενική υπόθεη Η 0 Η υπόθεη μ<0 λέγεται εναλλακτική υπόθεη Η Stefao G. Giakoumato

23 Στοιχεία τατιτικού ελέγχου Η εναλλακτική υπόθεη ελέγχεται ε χέη με την μηδενική υπόθεη. Για να γίνει ο έλεγχος χρηιμοποιείται ένα τυχαίο δείγμα, και με βάη αυτό υπολογίζεται ένα τατιτικό (υνάρτηη των τιμών του δείγματος Απορριπτική περιοχή της Η 0 ονομάζεται η περιοχή που όταν το τατιτικό του ελέγχου πάρει τιμές, τότε η Η 0 απορρίπτεται. Η απορριπτική περιοχή υμβολίζεται με R. Stefao G. Giakoumato

24 Στοιχεία τατιτικού ελέγχου (.Η μηδενική υπόθεη Η 0.Η εναλλακτική υπόθεη Η 3.Το τατιτικό του υγκεκριμένου ελέγχου 4.Η απορριπτική περιοχή R Με βάη τα παραπάνω γίνεται ο έλεγχος και εξάγονται υμπεράματα Stefao G. Giakoumato

25 Μορφές ελέγχου o Η μηδενική υπόθεη είναι πάντα της μορφής Η 0 :θθ 0, όπου θ είναι η παράμετρος του πληθυμού που ελέγχεται και Θ 0 είναι μία τιμή o Η εναλλακτική υπόθεη παίρνει τις παρακάτω μορφές θ>θ 0 (μονόπλευρος έλεγχος Θ<θ 0 (μονόπλευρος έλεγχος θ θ 0 (δίπλευρος έλεγχος Stefao G. Giakoumato

26 Σφάλματα o Ονομάζεται φάλμα τύπου Ι η απόρριψη της μηδενικής υπόθεης ενώ είναι ωτή. Η πιθανότητα αυτού του φάλματος υμβολίζεται a. Άρα ap(απόρριψη της Η 0 Η 0 ωτή o Ονομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ η αποδοχή της μηδενικής υπόθεης ενώ είναι λάθος. Η πιθανότητα αυτού του φάλματος υμβολίζεται β. Άρα βp(αποδοχή της Η 0 Η 0 λάθος Stefao G. Giakoumato

27 Ιχύς Ελέγχου και Παρατηρούμενη επίπεδο ημαντικότητας o Ιχύς ενός τατιτικού ελέγχου ονομάζεται η πιθανότητα απόρριψης της Η 0 όταν η Η 0 είναι λάθος. Συμβολίζεται γ-β o Παρατηρούμενη επίπεδο ημαντικότητας ονομάζεται η πιθανότητα να παρατηρηθεί μία τιμή του τατιτικού μεγαλύτερη από αυτή που έδωε το δείγμα. Stefao G. Giakoumato

28 Έλεγχος υπόθεης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά γνωτή Δείγμα μεγάλο 30 δεδομενα από οποιαδήποτε κατανομή Δείγμα μικρόο <30 δεδομενα από κανονική κατανομή H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 Η : μ>μ 0 Η : μ<μ 0 Η : μ μ 0 R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} x µ 0 Stefao G. Giakoumato

29 Έλεγχος υπόθεης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά άγνωτη Δείγμα μεγάλο 30 δεδομένα από οποιαδήποτε κατανομή (προεγγιτικά Δείγμα μικρό <30 δεδομένα από κανονική κατανομή H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 Η : μ>μ 0 Η : μ<μ 0 Η : μ μ 0 R{t>t -,a } R{t<-t -,a} R{{t>t -,a/} ή {t<-t -,a/}} x µ t 0 Stefao G. Giakoumato

30 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των μέων όρων δύο πληθυμών (δείγματα ανεξάρτητα, διαπορές γνωτές ή άγνωτες Δείγματα μεγάλα m & 30 H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ >δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ <δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ δ R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} x y + δ m ή x y + δ m Stefao G. Giakoumato

31 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των μέων όρων δύο πληθυμών (δείγματα ανεξάρτητα, διαπορές ίες. Δείγματα μεγάλα m & <30 H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ >δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ <δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ δ R{t>t +m-,a } R{t<-t +m-,a } R{{t>t +m-,a/ } ή {t<-t +m-,a/ }} t ( + ( m m + + x y δ m Stefao G. Giakoumato

32 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των μέων όρων δύο πληθυμών (δείγματα εξαρτημένα ζευγαρωτές παρατηρήεις H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ >δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ <δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ δ R{t>t +m-,a } R{t<-t +m-,a } R{{t>t +m-,a/ } ή {t<-t +m-,a/ }} t δ Προϋπόθεη: η κατανομή των διαφορών είναι περίπου κανονική Stefao G. Giakoumato

33 Stefao G. Giakoumato Τύποι για ζευγαρωτές παρατηρήεις ( ( i i i i i i i y x

34 Έλεγχος υπόθεης για την αναλογία ενός πληθυμού H 0 : 0 H 0 : 0 H 0 : 0 Η : > 0 Η : < 0 Η : 0 R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} 0 ( 0 0 Stefao G. Giakoumato

35 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά - των αναλογιών δύο πληθυμών H 0 : - δ Η : - >δ H 0 : - δ Η : - <δ H 0 : - δ Η : - δ R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} ( ( + δ m Stefao G. Giakoumato

36 Έλεγχος υπόθεης για τη διαπορά ενός πληθυμού H 0 : 0 Η : > 0 H 0 : 0 Η : < 0 H 0 : 0 Η : 0 R{X >x -,a } R{X <x -,-a } R{{X >x -,a/ } X ( 0 ή {X <x -,-a/ }} Προϋπόθεη: δείγμα από κανονικό πληθυμό Stefao G. Giakoumato

37 Stefao G. Giakoumato Έλεγχος υπόθεης για το λόγο των διαπορών δύο πληθυμών { } { } { } < > > > > < > / ;, ;, ;, όταν, όταν, : : : : F F F R F F R F F R H H H H a a a