οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N("

Transcript

1 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική επίδραη την υγεία Ένας φοιτητής του τμήματος Επιτήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων του Γεωπονικού Πανεπιτημίου Αθηνών, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας, πρέπει να μελετήει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες μέω της διατροφής τους ε δύο υγκεκριμένες περιοχές της χώρας, έτω Α και Β, όπου κατεξοχήν καταναλώνονται τρόφιμα τοπικής παραγωγής (η περιεκτικότητα των τροφίμων ε ελήνιο ποικίλει ανάλογα με την περιοχή παραγωγής τους Η ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνει ο άνθρωπος από τις τροφές είναι προφανώς τυχαία μεταβλητή και από τη βιβλιογραφία ο φοιτητής γνωρίζει ότι αυτή ακολουθεί κανονική κατανομή Δε γνωρίζει όμως τις τιμές των παραμέτρων της, τόο για την περιοχή Α όο και για την περιοχή Β και ειδικότερα για τους ενήλικες αυτών των περιοχών Δηλαδή, αν Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α και Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι ~ N( μ, και Y ~ N( μ, όμως δε γνωρίζει τις τιμές των παραμέτρων τους, μ, και μ,, αντίτοιχα Για το κοπό αυτό, με μια τυχαία διαδικαία, επέλεξε 6 ενήλικες από κάθε περιοχή και για καθέναν υπολόγιε/μέτρηε (με κάποια μέθοδο την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνει μέω της διατροφής του Μετά την επεξεργαία των δεδομένων που υγκέντρωε, προέκυψε ότι, η δειγματική μέη τιμή και η δειγματική τυπική απόκλιη για το δείγμα από την περιοχή Α, είναι x 75μgr και s 84μgr, και για το δείγμα από την περιοχή Β, είναι, y 87μ gr και s 9μgr Με βάη τα ευρήματα ε αυτά τα δύο τυχαία δείγματα, τι μπορεί να υμπεράνει ο φοιτητής για την άγνωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες την περιοχή Α, και για την, άγνωτη επίης, μέη τιμή μ, αλλά και για το πώς αυτές υγκρίνονται, δηλαδή, αν είναι ίες ή διαφέρουν και ποια είναι μεγαλύτερη (και πόο αν διαφέρουν Επίης, τι μπορεί να υμπεράνει για τις άγνωτες διαπορές και και για το πώς αυτές υγκρίνονται Αυτά τα ερωτήματα είναι τυπικά παραδείγματα ερωτημάτων τα οποία δίνει απαντήεις η Στατιτική Στην ενότητα αυτή, θα δούμε ( επιτέλους πώς, για παράδειγμα, ο φοιτητής μπορεί, με βάη τα ευρήματα το τυχαίο δείγμα από την περιοχή Α, να «πει κάτι» για τη μέη τιμή μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ της οποίας δε γνωρίζει επακριβώς την κατανομή (γνωρίζει μόνο την οικογένεια κατανομών την οποία ανήκει ή τι μπορεί να πει για το αν οι μέες τιμές μ και μ είναι ίες ή διαφέρουν (και πόο και αντίτοιχα για τις διαπορές και Θα δούμε επίης, τι απαντήεις μπορεί να δώει ε αυτά τα ερωτήματα αν δε γνωρίζει ε ποια οικογένεια κατανομών ανήκει η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ (και της Υ Ένα από τα γενικότερα θέματα που τίθενται με τα ερωτήματα που απαχολούν το φοιτητή, είναι το εξής: πώς, με βάη ένα τυχαίο δείγμα από έναν πληθυμό του οποίου δε γνωρίζουμε την κατανομή (ή γνωρίζουμε μόνο ε ποια οικογένεια κατανομών αυτή ανήκει, μπορούμε να εκτιμήουμε μία ή περιότερες άγνωτες παραμέτρους του Εφόον θεωρούμε ότι το τυχαίο δείγμα που έχουμε τη διάθεή μας, είναι ένα αντιπροωπευτικό, των δυνατών τιμών του πληθυμού, δείγμα, είναι λογικό να Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 9

2 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης εκτιμήουμε τις άγνωτες παραμέτρους του μέω «κατάλληλων» τατιτικών υναρτήεων που θα κατακευάουμε, και θα μπορούμε (όπως έχουμε εξηγήει να υπολογίουμε από το δείγμα Για παράδειγμα, για να εκτιμήουμε την άγνωτη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού, ή αλλιώς, μιας τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, είναι λογικό να χρηιμοποιήουμε τη δειγματική μέη τιμή που είναι μια υνάρτηη του δείγματος και μπορεί να υπολογιθεί από αυτό Κάθε τατιτική υνάρτηη που χρηιμοποιείται για την εκτίμηη μιας άγνωτης παραμέτρου ενός πληθυμού ονομάζεται εκτιμήτρια υνάρτηη ή εκτιμήτρια (estmator της άγνωτης παραμέτρου Η τιμή της εκτιμήτριας για υγκεκριμένη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, ονομάζεται εκτίμηη (estmato της άγνωτης παραμέτρου Έτι, το παράδειγμά μας, αν ως εκτιμήτρια της άγνωτης μέης τιμής μ, της 6 τυχαίας μεταβλητής Χ, επιλέξουμε τη δειγματική μέη τιμή, τότε, η τιμή 6 x 75μgr της, για το υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής από την περιοχή Α, μπορεί να χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγνωτης μέης τιμής μ της Χ, δηλαδή, της άγνωτης μέης ημερήιας ποότητας εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες την περιοχή Α μέω της διατροφής τους Αντίτοιχα, η 6 τιμή y 87μgr της δειγματικής μέης τιμής Y Y, μπορεί να χρηιμοποιηθεί 6 ως μια εκτίμηη της άγνωτης μέης τιμής μ Σημειακή εκτίμηη Η εκτίμηη μιας άγνωτης παραμέτρου ενός πληθυμού μέω της τιμής μιας εκτιμήτριας (για υγκεκριμένη πραγματοποίηη ενός τυχαίου δείγματος από τoν πληθυμό, ονομάζεται ημειακή εκτίμηη (pot estmato της παραμέτρου και η εκτιμήτρια, ονομάζεται ημειακή εκτιμήτρια (pot estmator Είναι προφανές, ότι από κάθε πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, παίρνουμε μια διαφορετική (εν γένει ημειακή εκτίμηη της άγνωτης παραμέτρου του πληθυμού Έτι, αν ο φοιτητής έπαιρνε ένα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 από την περιοχή Α και εύρικε, για παράδειγμα, δειγματική μέη τιμή x 745μgr, αυτή θα ήταν μια άλλη ημειακή εκτίμηη της μέης τιμής μ του πληθυμού Επίης, αν ως εκτιμήτρια της άγνωτης πληθυμιακής μέης τιμής, ο φοιτητής δεν επέλεγε τη δειγματική μέη τιμή, αλλά κατακεύαζε μια άλλη τατιτική υνάρτηη, για παράδειγμα, την m + T max, δηλαδή, το ημιάθροιμα της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος, προφανώς, θα έπαιρνε μια διαφορετική ημειακή εκτίμηη από αυτήν που πήρε, για την ίδια πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, από τη δειγματική μέη τιμή Γεννώνται, επομένως, δύο εύλογα ερωτήματα α Υπάρχει κάποια μέθοδος για να καθορίζουμε/κατακευάζουμε εκτιμήτριες με βάη κάποια κριτήρια και όχι αυθαίρετα; β Ποιο είναι το «φάλμα της εκτίμηης» που κάνουμε, δηλαδή, πόο κοντά την πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίκεται η τιμή της εκτιμήτριας που υπολογίζουμε από την πραγματοποίηη ενός τυχαίου δείγματος; Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 9

3 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σε ότι αφορά το πρώτο ερώτημα, η απάντηη (αφαλώς είναι ναι Μια πολύ γνωτή μέθοδος κατακευής εκτιμητριών είναι η μέθοδος μέγιτης πιθανοφάνειας (method of maxmum lkelhood που προτάθηκε από τον Roald A Fsher (9 Μια άλλη, επίης πολύ γνωτή μέθοδος/τεχνική εκτίμηης, είναι η μέθοδος των ροπών (method of momets που προτάθηκε από τον Karl Pearso (894 Επίης, για τις εκτιμήτριες έχουν οριθεί επιθυμητές ιδιότητες, ή αλλιώς, κριτήρια «καλής υμπεριφοράς» τους, όπως, αμεροληψία, υνέπεια και αποτελεματικότητα Ας δούμε αυτές τις τρεις ιδιότητες (τις μεθόδους εκτίμηης δε θα αναφερθούμε Ιδιότητες εκτιμητριών Είναι προφανές, ότι μια εκτιμήτρια μπορεί να χαρακτηριθεί «καλή» ή όχι, δηλαδή, μπορούμε να θεωρήουμε ότι έχει ή δεν έχει «καλές» ιδιότητες, ανάλογα με τη υμπεριφορά της ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες (από δείγμα ε δείγμα, η οποία περιγράφεται από την κατανομή της, ή αλλιώς, από τη δειγματοληπτική κατανομή Έτι, μια επιθυμητή/καλή ιδιότητα μιας εκτιμήτριας θα μπορούε να είναι η εξής: ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες, κατά μέο όρο να εκτιμά ωτά την άγνωτη παράμετρο, δηλαδή, ούτε να την υπερεκτιμά ούτε να την υποεκτιμά υτηματικά Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται αμεροληψία (ubasedess Μια εκτιμήτρια, έτω θˆ, μιας παραμέτρου θ, ονομάζεται αμερόληπτη (ubased, αν η μέη τιμή της είναι ίη με την αληθή/πραγματική τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, αν E [ ˆ] θ θ Στο Σχήμα-, η κατανομή (α είναι η κατανομή μιας εκτιμήτριας μιας παραμέτρου θ και η κατανομή (β είναι η κατανομή μιας άλλης εκτιμήτριας της ίδιας παραμέτρου θ Προφανώς, η (α είναι κατανομή αμερόληπτης εκτιμήτριας της παραμέτρου θ ενώ η (β, που είναι μετατοπιμένη προς τα αριτερά της αληθούς τιμής της θ, είναι κατανομή μη αμερόληπτης εκτιμήτριας της θ και τείνει να υποεκτιμά τη θ Σχήμα- Στο Σχήμα-, δίνουμε την έννοια της αμεροληψίας πιο παρατατικά Σκεφθείτε ότι ένας κοπευτής τοχεύει με βέλη προς ένα τόχο και θεωρείτε ότι ο τόχος είναι η αληθής/πραγματική τιμή μιας παραμέτρου θ και ο κοπευτής είναι η εκτιμήτρια Οι επαναλαμβανόμενες ρίψεις του βέλους, κατ αναλογία, αντιτοιχούν τις επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες και το ημείο πρόπτωης του βέλους, την εκτίμηη της θ, που φυικά εξαρτάται από τον κοπευτή (την εκτιμήτρια Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 93

4 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 94 Στην περίπτωη του κοπευτή-εκτιμήτριας (α, το ημείο πρόπτωης του βέλους (η εκτίμηη, τις επαναλαμβανόμενες ρίψεις (δειγματοληψίες, βρίκεται υτηματικά μακριά από το τόχο ε υγκεκριμένη περιοχή (πάνω δεξιά, ενώ την περίπτωη (β βρίκεται γύρω/κοντά το τόχο (την αληθή τιμή της παραμέτρου Σχήμα- Ας δούμε αν η δειγματική μέη τιμή,, είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής, μ, ενός πληθυμού, δηλαδή, αν κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μέη τιμή του πληθυμού Όπως έχουμε εξηγήει, ένα τυχαίο δείγμα από έναν πληθυμό που έχει μέη τιμή μ και διαπορά, υνίταται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,,, που είναι ιόνομες, δηλαδή, έχουν την ίδια κατανομή, αυτή του πληθυμού Επομένως, μ ] [ E και ] [ Var για κάθε,,, Έτι, μ μ μ μ μ ( ( ] [ ] [ E E E E Επομένως, για οποιονδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διαπορά, η δειγματική μέη τιμή (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Επίης, για οποιονδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διαπορά, αποδεικνύεται ότι η δειγματική διαπορά S ( (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής διαποράς Πράγματι, E E S E ( ] [ + + E Var E E ] [ ( ( ( ( ] [ ] [ μ ( μ μ + Σημείωη-: Στην προηγούμενη απόδειξη χρηιμοποιήαμε τη γνωτή, από το Α Μέρος, χέη, ] [ ( ] [ ( E E Var, ή αλλιώς, ] [ μ E, καθώς και το ότι, για οποιονδήποτε πληθυμό με μέη τιμή μ και διαπορά, η διαπορά της

5 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης δειγματικής μέης τιμής (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είναι ίη με,, δηλαδή, Var( Πράγματι, Var( Var Var Var( ( Σε αυτή την απόδειξη, χρηιμοποιήαμε και την ανεξαρτηία των ιόνομων τυχαίων μεταβλητών,,, (κεφθείτε ε ποιο ακριβώς ημείο της απόδειξης Σημείωη-: Αν ως εκτιμήτρια της διαποράς,, ενός πληθυμού χρηιμοποιήουμε τη τατιτική υνάρτηη S* (, εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι, E[ S* ], δηλαδή, η S * δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διαποράς, αφού κατά μέο όρο υποεκτιμά τη Αυτός είναι και ο λόγος που την Περιγραφική Στατιτική, ως δειγματική διαπορά ορίαμε τη τατιτική υνάρτηη S ( και όχι την S *, που θα ήταν και πιο «λογικό» Σημείωη-3: Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί (δείτε το ως άκηη ότι αν η μέη τιμή μ είναι γνωτή τότε η τατιτική υνάρτηη εκτιμήτρια της διαποράς ( μ είναι μια αμερόληπτη Η δειγματική μέη τιμή,, είναι, όπως αποδείξαμε, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της + πληθυμιακής μέης τιμής μ Όμως, και η τατιτική υνάρτηη T, αν χρηιμοποιηθεί ως εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ, θα την εκτιμά κατά μέο όρο ωτά, αφού, + E [ T ] E ( E[ ] + E[ ] ( μ + μ μ, δηλαδή, είναι και αυτή, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της μ Παρατηρείτε, επίης, ότι για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,,,,, με α, η τατιτική υνάρτηη T a, μπορεί να χρηιμοποιηθεί ως αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής μ, οποιουδήποτε πληθυμού (δείτε το ως μια απλή άκηη Άραγε, μεταξύ αμερόληπτων εκτιμητριών της ίδιας παραμέτρου ενός πληθυμού, έχει ημαία ποια θα επιλέξουμε ή μήπως δεν έχει; Η απάντηη είναι ότι έχει Η αμεροληψία δεν είναι η μόνη επιθυμητή ιδιότητα για μια εκτιμήτρια Δείτε το Σχήμα-3, τη υνάρτηη πυκνότητας μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας ˆ θ, μιας παραμέτρου θ και τη υνάρτηη πυκνότητας μιας άλλης, αμερόληπτης, επίης, εκτιμήτριας ˆ θ, της ίδιας παραμέτρου θ Η εκτιμήτρια ˆ θ έχει προφανώς μικρότερη Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 95

6 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης διαπορά από την εκτιμήτρια ˆ θ Όπως φαίνεται από το χήμα, για οποιοδήποτε ε > 0, P ( θ ε ˆ θ ( ˆ θ + ε > P θ ε θ θ + ε, δηλαδή, η ˆ θ έχει μεγαλύτερη πιθανότητα από την ˆ θ, να πάρει τιμή που να βρίκεται ε απόταη το πολύ ε, από την αληθή τιμή της παραμέτρου θ Επομένως, η εκτιμήτρια ˆ θ υμπεριφέρεται καλύτερα από την ˆ θ γιατί έχει μικρότερη διαπορά Έτι, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, είναι επιθυμητό (δείτε και το Σχήμα-4 να έχει μικρή διαπορά (αυτό, τεκμηριώνεται και με την ανιότητα Chebyshev Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ, μιας παραμέτρου θ, ονομάζεται πιο αποτελεματική (more effcet από μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ, της ίδιας παραμέτρου θ, αν Var ˆ θ < Var( ˆ ( θ Σχήμα-3 Σχήμα-4 Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι από όλες τις εκτιμήτριες της μέης τιμής, μ, ενός πληθυμού της μορφής, T για την οποία a, με α, τη μικρότερη διαπορά έχει αυτή α για κάθε,,,, δηλαδή, η δειγματική μέη τιμή Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 96

7 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Προφανώς, είναι ενδιαφέρον και φυικά επιθυμητό, από όλες τις αμερόληπτες εκτιμήτριες μιας παραμέτρου να προδιορίουμε εκείνη με την ελάχιτη διαπορά, δηλαδή, να προδιορίουμε την αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιτης διαποράς της παραμέτρου Όμως, για το αν και πώς μπορούμε να προδιορίουμε μια τέτοια εκτιμήτρια δε θα επεκταθούμε περιότερο Ολοκληρώνουμε αυτή τη ύντομη αναφορά ε κάποιες από τις επιθυμητές ιδιότητες των εκτιμητριών, με την ιδιότητα της υνέπειας (cosstecy η οποία κατατάεται τις ιδιότητες που αναφέρονται την αυμπτωτική υμπεριφορά των εκτιμητριών, δηλαδή, το πώς υμπεριφέρεται μια εκτιμήτρια όταν το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται (θεωρητικά, όταν + Δε θα αναφερθούμε εκτενώς, ούτε θα δώουμε τον αυτηρό οριμό της υνέπειας Θα κάνουμε μόνο μια ύντομη αναφορά το νόημά της και θα δώουμε ένα παράδειγμα Όταν, προηγουμένως, αναφερθήκαμε την ιδιότητα της αποτελεματικότητας, προπαθήαμε να εξηγήουμε, γιατί είναι επιθυμητό να έχει μια αμερόληπτη εκτιμήτρια μικρή διαπορά Μπορεί να αποδειχθεί, ότι αν η διαπορά μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας (ακριβέτερα, μια ακολουθίας αμερόληπτων εκτιμητριών υγκλίνει το μηδέν όταν το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται ( +, τότε αυξάνεται η πιθανότητα η εκτίμηη να βρίκεται «κοντά» την τιμή της παραμέτρου Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται υνέπεια Μια εκτιμήτρια ονομάζεται υνεπής (cosstet αν, καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, η εκτίμηη γίνεται καλύτερη/ακριβέτερη, δηλαδή, οι τιμές της εκτιμήτριας πληιάζουν (υγκλίνουν τοχατικά την τιμή της παραμέτρου Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι η δειγματική μέη τιμή είναι υνεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής (αρκεί να θυμηθούμε ότι είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής και ότι η διαπορά της,, τείνει το μηδέν όταν + και εφόον, φυικά, η πληθυμιακή διαπορά,, είναι πεπεραμένη Δηλαδή, όο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, αυξάνεται η πιθανότητα οι τιμές της δειγματικής μέης τιμής,, να βρίκονται κοντά, να υγκλίνουν, την πληθυμιακή μέη τιμή, μ Σημειώνουμε, τέλος, ότι και η αμερόληπτη δειγματική διαπορά, S, είναι υνεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής διαποράς Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε να απαντήουμε το δεύτερο από τα δύο ερωτήματα που θέαμε την αρχή αυτής της ενότητας, δηλαδή, για το τι μπορούμε να πούμε για το φάλμα που κάνουμε, όταν εκτιμάμε μια άγνωτη παράμετρο ενός πληθυμού με βάη την πληροφορία που παίρνουμε από ένα τυχαίο δείγμα τιμών του Μια ημειακή εκτίμηη μιας άγνωτης παραμέτρου ενός πληθυμού, όπως είδαμε, είναι ένας υγκεκριμένος αριθμός (η υγκεκριμένη τιμή της εκτιμήτριας για μια υγκεκριμένη πραγματοποίηη ενός τυχαίου δείγματος από τον πληθυμό Όπως επίης είδαμε, με τις επιθυμητές ιδιότητες των εκτιμητριών, ουιατικά, ζητάμε, οι τιμές της εκτιμήτριας (ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες να βρίκονται, με μεγάλη πιθανότητα, κοντά την πραγματική/αληθή τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, το φάλμα της εκτίμηης να είναι μικρό, με μεγάλη πιθανότητα Μπορούμε όμως, να κάνουμε κάτι ακόμη, ένα επιπλέον βήμα Με βάη, πάντα, την πληροφορία που παίρνουμε από ένα τυχαίο δείγμα, αντί να δίνουμε ένα μόνο αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη ως εκτίμηη της άγνωτης παραμέτρου του πληθυμού, να δίνουμε ένα διάτημα εμπιτούνης, δηλαδή, ένα διάτημα το οποίο να περιέχει, με δεδομένη εμπιτούνη (πιθανότητα, την εκτιμώμενη παράμερο Μια τέτοια εκτίμηη λέγεται εκτίμηη διατήματος (terval estmato Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 97

8 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Ένα 00( - α % διάτημα εμπιτούνης (cofdece terval ( 0 < α <, για μια παράμετρο ενός πληθυμού, είναι ένα διάτημα που υπολογίζεται από ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυμό και έχει πιθανότητα α να περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου Η πιθανότητα α ονομάζεται υντελετής εμπιτούνης (cofdece coeffcet του διατήματος Έτι, κατακευάζοντας για μια άγνωτη παράμετρο ενός πληθυμού, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, δίνουμε ως εκτίμηή της, όχι έναν αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη αλλά δύο αριθμούς που ορίζουν ένα διάτημα το οποίο περιέχει την άγνωτη παράμετρο με οριμένη πιθανότητα, ίη με α Η πιθανότητα αυτή ορίζεται, φυικά, να είναι μεγάλη (υνήθως, ίη με 090 ή 095 ή 098 ή 099 Διευκρινίζουμε και επιημαίνουμε, ότι λέγοντας, «το διάτημα εμπιτούνης υπολογίζεται από ένα τυχαίο δείγμα», εννοούμε ότι τα άκρα του είναι τατιτικές υναρτήεις (υναρτήεις του δείγματος που δεν περιέχουν άγνωτες παραμέτρους, δηλαδή, μπορεί να υπολογιθεί αποκλειτικά από το υγκεκριμένο δείγμα που, κάθε φορά, έχουμε τη διάθεή μας Είναι προφανές, ότι από πραγματοποίηη ε πραγματοποίηη του δείγματος, το διάτημα εμπιτούνης, εν γένει, μεταβάλλεται, είναι δηλαδή, τυχαία μεταβλητή Πριν εξηγήουμε πώς κατακευάζεται, ας δούμε πώς πρέπει να ερμηνεύεται ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης Σύμφωνα με τον οριμό που δώαμε προηγουμένως, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης μιας παραμέτρου ενός πληθυμού, περιέχει την τιμή της παραμέτρου με πιθανότητα α Αυτό, ύμφωνα με την ερμηνεία της πιθανότητας ως οριακή χετική υχνότητα (οριμός της πιθανότητας κατά vo Mses, ημαίνει/έχει την έννοια ότι: ε μεγάλο αριθμό επαναλήψεων του πειράματος, «παίρνω ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από τον πληθυμό και κατακευάζω για την άγνωτη παράμετρο ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης», ποοτό α των δειγμάτων, θα δώουν διάτημα που θα περιέχει την τιμή της παραμέτρου και ποοτό α των δειγμάτων θα δώουν διάτημα που δεν θα περιέχει την τιμή της παραμέτρου Βέβαια, όταν πάρουμε ένα υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα, ποτέ δεν είματε βέβαιοι/δεν ξέρουμε αν το διάτημα εμπιτούνης που θα κατακευάουμε από αυτό, περιέχει/εγκλωβίζει ή όχι την τιμή της παραμέτρου (εκτός αν γνωρίζαμε την τιμή της παραμέτρου Αυτό, φυικά, δε μειώνει την αξία ενός διατήματος εμπιτούνης Η εμπιτούνη μας την εκτίμηη της παραμέτρου με αυτό, είναι ίη με α, είναι αφώς οριμένη και έχει την έννοια που εξηγήαμε προηγουμένως Ας δούμε και μια πιο παρατατική ερμηνεία της εκτίμηης με διάτημα εμπιτούνης που πιτεύουμε ότι θα βοηθήει την κατανόηη Σκεφθείτε ότι προπαθείτε, πετώντας ένα λάο, να «εγκλωβίετε» έναν πακτωμένο/ταθερό πάαλο (να περάετε τη θηλιά του λάου τον πάαλο Ο πάαλος αναπαριτά την παράμετρο που θέλετε να εκτιμήετε και η θηλιά του λάου το διάτημα εμπιτούνης Κάθε φορά που πετάτε το λάο προς τον πάαλο, ελπίζετε ότι θα καταφέρετε να τον «εγκλωβίετε» Όμως αυτό, κάποιες φορές Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 98

9 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης υμβαίνει και κάποιες όχι Κατ αναλογία, κάθε φορά που παίρνετε ένα τυχαίο δείγμα και κατακευάζετε από αυτό ένα διάτημα εμπιτούνης για να εκτιμήετε μια παράμετρο, ελπίζετε ότι θα «εγκλωβίετε» την παράμετρο το διάτημα που κατακευάατε, αλλά όπως υμβαίνει με τη θηλιά και τον πάαλο, κάποιες φορές επιτυγχάνετε και κάποιες αποτυγχάνετε Το ποοτό των «επιτυχιών» ας, ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες, είναι ο υντελετής εμπιτούνης Παρατήρηη: Κάποιος θα μπορούε να δώει την εξής ερμηνεία για ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης: η παράμετρος βρίκεται το υγκεκριμένο διάτημα που κατακευάαμε με πιθανότητα α Προφανώς μια τέτοια ερμηνεία δεν ευταθεί, είναι λάθος, γιατί η παράμετρος είναι, άγνωτη μεν, αλλά ταθερός αριθμός και επομένως ή ανήκει ή δεν ανήκει το υγκεκριμένο διάτημα (πιθανότητες αποδίδουμε τις τιμές τυχαίων μεταβλητών Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού και τη υνέχεια για τη διαπορά του, 00(- α % Διατήματα Εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού Ως εκτιμήτρια της μέης τιμής μ θα χρηιμοποιήουμε τη δειγματική μέη τιμή, αφού όπως διαπιτώαμε τα προηγούμενα, έχει καλές ιδιότητες και επιπλέον, όπως είδαμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές», υπάρχουν αποτελέματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής που μας δίνουν επακριβώς ή με ικανοποιητική προέγγιη την κατανομή της Για αυτές τις περιπτώεις (που γνωρίζουμε επακριβώς ή με ικανοποιητική προέγγιη την κατανομή της, ας δούμε πώς μπορούμε να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για την εκτίμηη της μέης τιμής μ ενός πληθυμού (α Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά (και το μέγεθος του δείγματος οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο Έτω τυχαίο δείγμα,,,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο, από έναν πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη μέη τιμή μ (την οποία θέλουμε να εκτιμήουμε και με γνωτή διαπορά, δηλαδή, ~ N( μ,, για κάθε,,, Στην περίπτωη αυτή, γνωρίζουμε ότι η κατανομή της δειγματικής μέης τιμής, είναι κανονική με μέη τιμή μ και διαπορά, δηλαδή, γνωρίζουμε ότι, ~ N( μ, και επομένως, ( μ Z ~ N(0, Από το Α Μέρος, μάς είναι γνωτό ότι για την τυποποιημένη κανονική κατανομή μπορούμε να ορίουμε ένα υμμετρικό γύρω από τη μέη τιμή της (από το 0 διάτημα, το οποίο η Ζ παίρνει τιμές με δοθεία πιθανότητα α (θυμηθείτε πώς ορίζουμε και υμβολίζουμε ένα άνωα -ποοτιαίο ημείο την τυποποιημένη κανονική κατανομή Έτι, όπως φαίνεται και το Σχήμα-5, η Ζ παίρνει τιμές το υμμετρικό διάτημα z α, z ] με πιθανότητα α Δηλαδή, [ α P ( z Z α α zα Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 99

10 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σχήμα-5 Επομένως, ( μ P ( zα zα α Και επειδή, ( μ z α zα zα μ zα zα μ + zα z μ + z α α ( μ τα ενδεχόμενα, zα zα και zα μ + zα υμβαίνουν με την ίδια πιθανότητα, έτι, P ( zα μ + zα α Αυτό ημαίνει, ότι το τυχαίο διάτημα, ± zα, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθανότητα α, και επομένως, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίνει ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Έτι, κάθε φορά που έχουμε τη διάθεή μας μια υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, υπολογίζουμε την τιμή, x, της και αφού καθορίουμε έναν επιθυμητό υντελετή εμπιτούνης α, μπορούμε να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, αφού η διαπορά,, του πληθυμού μάς είναι γνωτή και η τιμή α z δίνεται από τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής (με αντίτροφη ανάγνωη Κατακευάζοντας για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, με βάη μια υγκεκριμένη πραγματοποίηη x, x,, x του τυχαίου δείγματος, ένα υγκεκριμένο 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, x ± zα, δεν είματε ποτέ βέβαιοι, όπως ήδη έχουμε εξηγήει, αν το διάτημα αυτό περιέχει ή όχι την άγνωτη μέη τιμή μ Γνωρίζουμε όμως, ότι η πιθανότητα να υμβεί αυτό είναι α και έχει την έννοια, όπως επίης εξηγήαμε, ότι αν επαναλάβουμε την προηγούμενη διαδικαία πολλές φορές, ποοτό α των δειγμάτων, θα δώουν Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 00

11 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης διάτημα που θα περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού και ποοτό α των δειγμάτων θα δώουν διάτημα που δε θα την περιέχει Στο Σχήμα-6, δείχνουμε πιο παρατατικά αυτό ακριβώς Θεωρείτε ότι επαναλάβαμε την προηγούμενη διαδικαία 80 φορές και κατακευάαμε (για υγκεκριμένο/γνωτό και υγκεκριμένο μέγεθος δείγματος, 80 διατήματα εμπιτούνης με 095 υντελετή εμπιτούνης το καθένα, x ± 96 Τα τέερα ( από αυτά περιμένουμε να μην περιέχουν την πληθυμιακή μέη τιμή μ Στο χήμα φαίνονται κάποια από αυτά τα 80 διατήματα Παρατηρείτε ότι τα κέντρα των διατημάτων που δεν περιέχουν την μ (το χήμα φαίνονται από τα 4 που περιμένουμε, είναι αρκετά απομακρυμένα από το κέντρο της δειγματοληπτικής κατανομής (της κατανομής της Σχήμα-6 Παρατήρηη: Όπως φαίνεται και το Σχήμα-6, το μήκος, των 00 ( α% διατημάτων εμπιτούνης, x ± zα, από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους δεν αλλάζει, παραμένει ταθερό και είναι ίο με zα Αυτό υμβαίνει γιατί τον τύπο αυτό (του μήκους του διατήματος υγκεκριμένου υντελετή εμπιτούνης δεν εμφανίζεται κάποια ποότητα που μεταβάλλεται από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους (η τυπική απόκλιη του πληθυμού,, είναι ένας μοναδικός/ταθερός αριθμός Περιθώριο φάλματος (marg of error Όταν εκτιμάμε τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού με τη δειγματική μέη τιμή, το φάλμα της εκτίμηης (error of estmato που κάνουμε, για υγκεκριμένο κάθε φορά δείγμα, είναι μ x και προφανώς, από δείγμα ε δείγμα αυτό αλλάζει Είναι, δηλαδή, τυχαία μεταβλητή ( μ Δίνοντας ως εκτίμηη της πληθυμιακής μέης τιμής μ, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, x ± zα, ουιατικά δίνουμε, με προκαθοριμένη πιθανότητα, ίη με α, ένα περιθώριο φάλματος της Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0

12 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης εκτίμηης, ίο με zα Αν και είναι προφανές τι εννοούμε με την όρο περιθώριο φάλματος, καθώς και γιατί, την περίπτωη που εξετάζουμε, αυτό είναι zα (με πιθανότητα α, ας δούμε πώς ορίζεται και πώς τα προηγούμενα προκύπτουν πιο «φορμαλιτικά» Ως περιθώριο φάλματος (marg of error της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής, μ, από τη δειγματική μέη τιμή, ορίζουμε το μέγιτο φάλμα, με πιθανότητα α, που μπορεί να κάνουμε, δηλαδή, ένα θετικό αριθμό d, τέτοιον ώτε, P ( μ d α Επομένως, ιοδύναμα, έχουμε, P ( d μ d α ή d d P ( Z α d Δηλαδή, zα d zα Έτι, εκτιμώντας την άγνωτη μέη τιμή μ με ένα, για παράδειγμα, 95% διάτημα εμπιτούνης, το περιθώριο φάλματος, με πιθανότητα 095, είναι 96 Δηλαδή, η δειγματική μέη τιμή, με πιθανότητα 095, βρίκεται ε απόταη το πολύ ίη με 96 (αριτερά ή δεξιά από την πληθυμιακή μέη τιμή Σημείωη: Όπως διαπιτώαμε, η τυπική απόκλιη,, της δειγματικής μέης τιμής, υνδέεται άμεα με το φάλμα της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής από τη δειγματική μέη τιμή Έτι εξηγείται, γιατί η τυπική απόκλιη, ονομάθηκε τυπικό φάλμα (stadard error Εμπιτούνη vs ακρίβεια και επιλογή μεγέθους δείγματος Είναι φανερό, ότι όο μεγαλύτερο υντελετή εμπιτούνης ορίζουμε, δηλαδή, όο μεγαλύτερη θέλουμε να είναι η πιθανότητα, το διάτημα που θα κατακευάουμε να περιέχει την πληθυμιακή μέη τιμή, τόο το μήκος/εύρος του διατήματος, έτω l, γίνεται μεγαλύτερο Επομένως, αυξάνοντας το υντελετή εμπιτούνης, αυξάνεται το περιθώριο φάλματος, ή αλλιώς, μειώνεται η ακρίβεια της εκτίμηης Παρατηρείτε τον τύπο που δίνει το διάτημα εμπιτούνης Το μήκος/εύρος του διατήματος είναι, l zα d δηλαδή, καθορίζεται από το περιθώριο φάλματος Αν αυξήουμε το υντελετή εμπιτούνης, α, η τιμή z α θα μεγαλώει γιατί είναι αύξουα υνάρτηη του α (ή αλλιώς, φθίνουα υνάρτηη του α και επειδή το είναι ταθερό/μοναδικό για τον πληθυμό και το είναι καθοριμένο, το περιθώριο φάλματος και επομένως το μήκος του διατήματος, αναπόφευκτα, θα μεγαλώει και θα χάουμε ε ακρίβεια Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0

13 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Εφόον, όταν απαιτούμε μεγαλύτερη εμπιτούνη αυξάνεται το περιθώριο φάλματος (χάνουμε ε ακρίβεια, για να ελέγξουμε και τα δύο αυτά μεγέθη, μπορούμε να κάνουμε το εξής Στη φάη χεδιαμού της έρευνας, δηλαδή, πριν πάρουμε το δείγμα, καθορίζουμε, τόο το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης, α, όο και το ανεκτό περιθώριο φάλματος, d Έτι, χρηιμοποιώντας τον τύπο, d zα λύνουμε ως προς το μέγεθος του δείγματος, zα z ή α d l και με αυτόν τρόπο βρίκουμε το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, για να πετύχουμε, το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης, το ανεκτό περιθώριο φάλματος Πριν υνεχίουμε με άλλες περιπτώεις υπολογιμού διατημάτων εμπιτούνης, ας δούμε ένα παράδειγμα Παράδειγμα-: Μια αυτόματη μηχανή υκευάζει καλαμπόκι ε τουβάλια των 5kgr Το βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι είναι τυχαία μεταβλητή, έτω Χ, η οποία, ύμφωνα με τον κατακευατή της μηχανής, ακολουθεί κανονική κατανομή με διαπορά 5 Kgr Ο υπεύθυνος παραγωγής αμφιβάλλει για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι και προκειμένου να το εκτιμήει, επέλεξε τυχαία 5 τουβάλια από την παραγωγή μιας ημέρας, τα ζύγιε και βρήκε ότι έχουν μέο βάρος, 4 8kgr Με βάη την πληροφορία από το τυχαίο δείγμα που πήρε ο υπεύθυνος παραγωγής, τι μπορούμε να υμπεράνουμε για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή; Ως μια εκτίμηη (ημειακή της μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ μπορούμε, προφανώς, να χρηιμοποιήουμε τη δειγματική μέη τιμή, x 4 8kgr, και να υμπεράνουμε ότι η τιμή της μ είναι περίπου ίη με 48kgr Βέβαια, ένα άλλο τυχαίο δείγμα του ιδίου μεγέθους δεν περιμένουμε να δώει ακριβώς την ίδια εκτίμηη, μπορεί να δώει 5kgr, ή 5kgr ή 45kgr ή κάποια άλλη εκτίμηη Γνωρίζουμε όμως ότι η δειγματική μέη τιμή έχει καλές ιδιότητες, όπως, ότι ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μ και ότι όο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, παίρνει τιμές κοντά την πραγματική τιμή της μ, με μεγάλη πιθανότητα Μπορούμε επιπλέον να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης με ικανοποιητική εμπιτούνη, για παράδειγμα 095, δηλαδή ένα διάτημα το οποίο με πιθανότητα 095 να περιέχει την πραγματική τιμή της μέης τιμής, μ Επειδή το δείγμα μας προέρχεται από κανονικό πληθυμό με γνωτή διαπορά, 5 kgr, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή, είναι, 5 5 x ± z005 ή 48 ± z 0 05 ή 4 8 ± 96 ή 4 8 ± Μπορούμε, επομένως, να υμπεράνουμε ότι το διάτημα [ 404, 556] περιέχει, με πιθανότητα 095, το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή Το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης, με πιθανότητα 095, είναι 076kgr Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 03

14 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αν θέλουμε να έχουμε μεγαλύτερη εμπιτούνη την εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή, ας πούμε 099, κατακευάζουμε από το ίδιο δείγμα ένα 99% διάτημα εμπιτούνης Αυτό είναι, 5 5 x ± z00 ή 48 ± z ή 4 8 ± 58 ή 4 8 ± 5 5 Συνεπώς, τώρα μπορούμε να υμπεράνουμε ότι το διάτημα [ 38, 58] περιέχει, με πιθανότητα 099, το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή Όμως, το περιθώριο φάλματος αυτής της εκτίμηης, με πιθανότητα 099, είναι kgr, δηλαδή, μεγάλωε και επομένως χάαμε ε ακρίβεια εκτίμηης Παρατηρείτε ότι το μήκος του 99% διατήματος εμπιτούνης είναι kgr kgr ενώ του 95% διατήματος εμπιτούνης είναι, 076kgr 5kgr (δείτε και το Σχήμα-7 Σχήμα-7 Αν θέλουμε η εμπιτούνη την εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή να είναι 099, και το φάλμα της εκτίμηης να είναι, για παράδειγμα, το πολύ ± 05kgr, δηλαδή, το περιθώριο φάλματος με πιθανότητα 099 να είναι d 0 5kgr (καθοριμένο εκ των προτέρων, τότε το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος που πρέπει να επιλέξουμε είναι, zα 5 z d 05 Στις περιπτώεις που ακολουθούν, δίνουμε μόνο τους τύπους των διατημάτων εμπιτούνης Η μέθοδος που εφαρμόζουμε για να κατακευάουμε αυτά τα διατήματα εμπιτούνης, είναι ανάλογη με αυτήν που εφαρμόαμε προηγουμένως Φυικά, αξιοποιούμε τα αντίτοιχα, κατά περίπτωη, αποτελέματα των Πιθανοτήτων και της Στατιτικής για τις δειγματοληπτικές κατανομές, που αναφέραμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές» (για δείγματα από κανονική κατανομή ή για μεγάλα δείγματα Σημειώνουμε επίης, ότι όα προηγουμένως αναφέραμε για το πώς επηρεάζεται η ακρίβεια της εκτίμηης από το επίπεδο εμπιτούνης, ιχύουν και τις περιπτώεις που ακολουθούν Μόνο οι χετικοί τύποι αλλάζουν (β Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά (και το μέγεθος του δείγματος οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο Στην προηγούμενη περίπτωη υπολογίαμε τον τύπο που δίνει ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός κανονικού πληθυμού του οποίου γνωρίζουμε τη διαπορά, Όμως, ε πρακτικά προβλήματα, η διαπορά του πληθυμού, υνήθως, δεν είναι γνωτή Έτω, λοιπόν, τυχαίο δείγμα,,,,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο, από έναν πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη μέη τιμή μ (την οποία θέλουμε να εκτιμήουμε και με άγνωτη διαπορά Στην περίπτωη αυτή, εκτιμάμε την άγνωτη πληθυμιακή διαπορά,, από την Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 04

15 αμερόληπτη δειγματική διαπορά τυχαία μεταβλητή, S Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης ( μ T, S ( και επειδή γνωρίζουμε ότι η όπου, S S, ακολουθεί την t-κατανομή με βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή, ότι, ( μ T ~ t, S εργαζόμενοι όπως την περίπτωη (α, εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι, το τυχαίο διάτημα, S ± t ; α, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθανότητα α, και επομένως, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίνει ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Υπενθυμίζουμε, ότι με t ; α υμβολίζουμε το άνω α -ποοτιαίο ημείο της t- κατανομής με βαθμούς ελευθερίας, το οποίο δίνεται, για διάφορες τιμές του α και του, από χετικό πίνακα (δείτε και το Σχήμα-8 Σχήμα-8 S Παρατηρείτε, ότι το τυχαίο διάτημα ± t ; α, από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους, μεταβάλλεται, εν γένει, όχι μόνο ως προς την τιμή της δειγματικής μέης τιμής,, αλλά και ως προς την τιμή της δειγματικής τυπικής απόκλιης S Δηλαδή, το μήκος/εύρος, S l t ; α, των 00 ( α% διατημάτων εμπιτούνης που κατακευάζουμε είναι τυχαία μεταβλητή αφού από δείγμα ε δείγμα μεταβάλλεται (ενώ την περίπτωη (α, όπως είδαμε, είναι ταθερό Έτι, και ο προδιοριμός κατάλληλου μεγέθους δείγματος, για να πετύχουμε προκαθοριμένο περιθώριο φάλματος (τον επιθυμητό υντελετή εμπιτούνης, δε μπορεί να γίνει όπως την περίπτωη (α Λύη το πρόβλημα αυτό έχει δώει ο Charles Ste (945, με μια διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας (Ste s two-stage scheme, όμως, δε θα επεκταθούμε περιότερο Ας επανέλθουμε τώρα τα ερωτήματα που απαχολούν το φοιτητή (το ειαγωγικό παράδειγμα της ενότητας Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 05

16 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Παράδειγμα-: Το τυχαίο δείγμα, μεγέθους 6, που πήρε ο φοιτητής από την περιοχή Α, προέρχεται από κανονικό πληθυμό με άγνωτη μέη τιμή, μ, και άγνωτη διαπορά, Δηλαδή, για την τυχαία μεταβλητή, Χ, που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, έχουμε ~ N( μ, Επειδή, η δειγματική μέη τιμή και η δειγματική τυπική απόκλιη είναι, αντίτοιχα, x 75μgr και s 84μgr, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, μ, είναι, ± t 5;0 05 ή 75 ± 3 ή 75 ± Επομένως, μπορούμε να υμπεράνουμε ότι, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 705, 7948] περιέχει την άγνωτη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, μ Το εύρος αυτού του διατήματος είναι ίο με μgr Αν θέλουμε, για τον ίδιο υντελετή εμπιτούνης, καλύτερη ακρίβεια (διάτημα μικρότερου εύρους πρέπει να πάρουμε μεγαλύτερου μεγέθους δείγμα Για να υπολογίουμε το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για να πετύχουμε, ε δεδομένο επίπεδο εμπιτούνης, ένα προκαθοριμένο ανεκτό εύρος για το διάτημα εμπιτούνης, μπορούμε να εφαρμόουμε τη διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας Ste Βέβαια, όπως εξηγήαμε τα προηγούμενα, μπορούμε να βελτιώουμε την ακρίβεια της εκτίμηης αν από το ίδιο δείγμα, κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης με μικρότερο υντελετή εμπιτούνης, για παράδειγμα, 090 Πράγματι, το 90% διάτημα εμπιτούνης που παίρνουμε από το υγκεκριμένο δείγμα, είναι, ± t 5;0 05 ή 75 ± 753 ή 75 ± και το εύρος τώρα είναι μικρότερο (είναι ίο με 368μgr Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δώουμε εκτίμηη με διάτημα εμπιτούνης και για τη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Β, μ (δείτε το ως άκηη (γ Ο πληθυμός ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με γνωτή διαπορά και το μέγεθος του δείγματος μεγάλο Αν το δείγμα,,,, προέρχεται από πληθυμό που ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή, με μέη τιμή μ και διαπορά, τότε, όπως είδαμε το Α Μέρος (ΚΟΘ, για μεγάλο μέγεθος δείγματος (εν γένει, 30, ~ N( μ, κατά προέγγιη Επομένως, την περίπτωη αυτή, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, όπως την περίπτωη (α, δίνεται από τον τύπο, x ± zα Βέβαια, επειδή η κατανομή της δεν είναι κανονική αλλά προεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική, το διάτημα x ± zα είναι υντελετή Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 06

17 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης εμπιτούνης α μόνο κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθανότητα περίπου α, να περιέχει την άγνωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ (δ Ο πληθυμός ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος μεγάλο Αν το δείγμα,,,, προέρχεται από πληθυμό που ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή, με μέη τιμή μ και διαπορά, τότε, για μεγάλο μέγεθος δείγματος (εν γένει, 30, ( μ ~ N(0, κατά προέγγιη S Επομένως, την περίπτωη αυτή, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, δίνεται από τον τύπο, s x ± zα s Βέβαια, όπως και την περίπτωη (γ, το διάτημα x ± zα είναι υντελετή εμπιτούνης α μόνο κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθανότητα περίπου α, να περιέχει την άγνωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ Για διευκόλυνή μας, υνοψίζουμε όλες τις προηγούμενες περιπτώεις, τον πίνακα που ακολουθεί 00(- α % Διατήματα Εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 00 ( α % Δ Ε Κατανομή του Διαπορά Μέγεθος για τη μέη τιμή, μ, πληθυμού του πληθυμού ( του δείγματος ( του πληθυμού Κανονική Γνωτή Οτιδήποτε ± zα Οποιαδήποτε Γνωτή Μεγάλο ( S ± zα Οποιαδήποτε Άγνωτη Μεγάλο ( S ± t ; α (3 Κανονική Άγνωτη Οτιδήποτε Όχι Κανονική Γνωτή ή Άγνωτη Μικρό? Σημείωη: α Είναι προφανές, όμως το επιημαίνουμε, ότι ε κάθε περίπτωη το δείγμα θεωρείται τυχαίο β Για μεγάλο δείγμα από κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά, μπορεί να εφαρμοθεί ή ο τύπος ( ή ο τύπος (3 αφού την περίπτωη αυτή δίνουν ίδιο διάτημα (για μεγάλα, t ; α zα Όμως, για μικρό δείγμα από κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά, το διάτημα (3 αποτελεί μοναδική επιλογή μας γ Ο τύπος (3 (περίπτωη (β, παρότι πρέπει να εφαρμόζεται με την προϋπόθεη ότι ο πληθυμός είναι κανονικός, εντούτοις, έχει διαπιτωθεί, ότι την πράξη δίνει καλά αποτελέματα ακόμη και όταν ο πληθυμός δεν είναι κανονικός Δηλαδή, η πιθανότητα το διάτημα αυτό να περιέχει την πληθυμιακή μέη τιμή δεν απέχει πολύ από α Αρκεί βέβαια, η κατανομή του πληθυμού να μην απέχει δραματικά από την κανονική (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη, κτλ και το δείγμα να μην είναι πολύ μικρό Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 07

18 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης 00(- α % Διάτημα Εμπιτούνης για τη διαπορά,, ενός κανονικού πληθυμού Έτω,,, τυχαίο δείγμα από κανονικό πληθυμό, δηλαδή, ~ N( μ, για κάθε,,, Όπως αναφέραμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές», για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος, ( S ~ χ, όπου, S (, η αμερόληπτη δειγματική διαπορά Επομένως (δείτε και το Σχήμα-9, ( S P ( χ ; α χ ; α α ή, ιοδύναμα, P S S α χ α χ ; ; α Σχήμα-9 Αυτό ημαίνει ότι, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, δείγματος,,,, το διάτημα, x, x,, x, του τυχαίου s, s χ ; α χ ; α είναι ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαπορά,, του πληθυμού Προφανώς, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για την τυπική απόκλιη,, του πληθυμού είναι, s, s χ ; α χ ; α Υπενθυμίζουμε, ότι με χ ; α και χ ; α υμβολίζουμε, αντίτοιχα, το άνω α και το άνω α ποοτιαίο ημείο της κατανομής χ τα οποία δίνονται, για διάφορες τιμές του α και του, από χετικό πίνακα (δείτε και το Σχήμα-9 Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 08

19 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Παράδειγμα-(υνέχεια: Επειδή για την τυχαία μεταβλητή, Χ, που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, έχουμε ότι, ~ N( μ, και η δειγματική τυπική απόκλιη είναι s 84μgr, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη διαπορά,, της Χ, είναι το διάτημα, , 84 ή χ5;005 χ 84, 84 ή [ 385, 690] 5; Επομένως, μπορούμε να υμπεράνουμε ότι, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] περιέχει την άγνωτη διαπορά,, της Χ Επίης, μπορούμε να υμπεράνουμε ότι, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] ή [ 6, 3], περιέχει την άγνωτη τυπική απόκλιη,, της Χ Ως άκηη, μπορείτε να κατακευάετε ένα 99% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη διαπορά,, της Υ Σημείωη: Το διάτημα εμπιτούνης που δώαμε για τη διαπορά ενός κανονικού πληθυμού, όπως είδαμε, κατακευάθηκε «αδιαφορώντας» για τη μέη τιμή του πληθυμού, μ Αν η μέη τιμή του πληθυμού, μ, είναι γνωτή, χρηιμοποιώντας την τυχαία μεταβλητή, S, όπου, S ( μ ( S S (αντί την, με ανάλογο τρόπο (επειδή, ~ χ προκύπτει ότι, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, το διάτημα, s, s χ ; α χ ; α είναι ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαπορά,, του πληθυμού 00(- α % Διάτημα Εμπιτούνης για τη μέη τιμή, p, της κατανομής Beroull Αν,,,, τυχαίο δείγμα από πληθυμό που ακολουθεί κατανομή Beroull με παράμετρο p (πιθανότητα επιτυχίας, δηλαδή, με μέη τιμή μ p και διαπορά p ( p, η τυχαία μεταβλητή, δηλαδή, η δειγματική μέη τιμή, η οποία προφανώς εκφράζει το ποοτό των επιτυχιών το δείγμα Pˆ, για μεγάλα, προεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή με μέη τιμή p p ( p και διαπορά (ΚΟΘ Δηλαδή, για μεγάλα,έχουμε, p p Pˆ ( ~ N p,, κατά προέγγιη Η προέγγιη αυτή είναι ικανοποιητική αν p > 5 και ( p > 5 ή p ( p 0 (θυμηθείτε ότι το πόο μεγάλο πρέπει να είναι το, την περίπτωη αυτή, εξαρτάται και από το p Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 09

20 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Επομένως, κατά προέγγιη, έχουμε, Pˆ p P ( zα zα α p ( p και χρηιμοποιώντας ως εκτιμήτρια της άγνωτης διαποράς p ( p, την Pˆ ( Pˆ, εύκολα προκύπτει ότι το διάτημα, Pˆ P Pˆ ( ˆ ± z α είναι ένα κατά προέγγιη 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για την παράμετρο p (ποοτό τον πληθυμό Έτι, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x,, x, x, του τυχαίου δείγματος x + x + + x,,,, με ποοτό επιτυχιών το δείγμα pˆ, το διάτημα, pˆ ( pˆ pˆ ± z α είναι ένα κατά προέγγιη 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για το ποοτό p τον πληθυμό, εφόον, pˆ > 5 και ( pˆ > 5 Σημείωη: Αν το μέγεθος του δείγματος δεν είναι μεγάλο, η κανονική προέγγιη που χρηιμοποιήαμε δε μπορεί να εφαρμοθεί Στην περίπτωη αυτή, μπορεί να χρηιμοποιηθεί η ακριβής κατανομή της τατιτικής υνάρτηης ˆ + + P ~ B(, p Όμως, την πράξη, ε προβλήματα εκτίμηης ποοτού, υνήθως, δεν αντιμετωπίζουμε πρόβλημα μικρών δειγμάτων Ας δούμε ένα παράδειγμα Παράδειγμα-3: Ένας ερευνητής, προκειμένου να εκτιμήει το ποοτό των ατόμων ε έναν πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α, επέλεξε με βάη ένα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας 00 άτομα από τον πληθυμό αυτό, και βρήκε ότι ομάδα αίματος Α, έχουν τα 89 Προφανώς, πρόκειται για δειγματοληψία από έναν πληθυμό Beroull με παράμετρο p (μέη τιμή, την οποία ο ερευνητής θέλει να εκτιμήει με βάη ένα τυχαίο δείγμα,,,, 00, μεγέθους 00 Η τιμή της δειγματικής μέης τιμής (δειγματικού ποοτού, ˆ P, για τη υγκεκριμένη πραγματοποίηη του δείγματος είναι, p ˆ και επειδή, pˆ > 5 και 00 pˆ ( pˆ ( pˆ > 5, το διάτημα, pˆ ± z α ή ± z 0 05 ή 0445 ± ή ± , είναι ένα κατά 00 προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούνης για την παράμετρο p (ποοτό τον πληθυμό Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0

21 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Επομένως, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 0376, 054] περιέχει το ποοτό των ατόμων τον πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α pˆ ( pˆ Παρατήρηη: Το εύρος, zα, ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για το ποοτό p, προφανώς δεν είναι ταθερό από δείγμα ε δείγμα Όμως, για p ˆ, το γινόμενο pˆ ( pˆ γίνεται μέγιτο και επομένως το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης με πιθανότητα α είναι ίο με z 4 α Εύκολα προκύπτει ότι, αν προκαθορίουμε ένα ανεκτό περιθώριο φάλματος, d, με πιθανότητα α, τότε, για την εκτίμηη του ποοτού τον πληθυμό, απαιτείται μέγεθος δείγματος, zα 4 d Αν έχουμε βάιμους λόγους να πιτεύουμε ότι το άγνωτο πληθυμιακό ποοτό είναι περίπου ίο με κάποια τιμή, έτω p *, τότε, το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος είναι, zα * ( * p p d Έτι, αν το παράδειγμά μας, θέλουμε το φάλμα της εκτίμηης, με πιθανότητα 095, να μην ξεπερνά, για παράδειγμα, το 003, τότε πρέπει να πάρουμε δείγμα μεγέθους, Αν εκτιμάμε/θεωρούμε ότι το ποοτό τον πληθυμό είναι περίπου 040, τότε, το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος είναι, p * ( p * zα d Συχνά, απαιτείται να εκτιμήουμε τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών ή το λόγο των διαπορών τους Για παράδειγμα, ε μια μελέτη για την περιεκτικότητα των ζαχαρότευτλων ε άκχαρα, πρέπει να εκτιμήουμε πόο διαφέρει η μέη περιεκτικότητα ε άκχαρα μιας ποικιλίας ζαχαρότευτλων από τη μέη περιεκτικότητα μιας άλλης ποικιλίας ζαχαρότευτλων Μια ερευνητική ομάδα πρέπει να εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη μείωη της υτολικής πίεης όταν χρηιμοποιείται το φαρμακευτικό κεύαμα Α από τη μέη μείωη της υτολικής πίεης όταν χρηιμοποιείται ένα άλλο φαρμακευτικό κεύαμα Β Ο φοιτητής, το ειαγωγικό παράδειγμα αυτής της ενότητας, ενδιαφέρεται να εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες μέω της διατροφής τους τις δύο περιοχές Α και Β Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου μιας παραγωγικής μονάδας ενδιαφέρεται να εκτιμήει πόο διαφέρει το ποοτό των ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από τη γραμμή παραγωγής Α από το ποοτό των ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από τη γραμμή παραγωγής Β Ο μηχανικός παραγωγής μιας βιομηχανίας τροφίμων πρέπει να εκτιμήει το λόγο της μεταβλητότητας (διαποράς της ποότητας αναψυκτικού που εμφιαλώνεται από τη Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

22 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης μηχανή εμφιάλωης Α προς τη μεταβλητότητα της ποότητας που εμφιαλώνεται από τη μηχανή εμφιάλωης Β Ας δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατακευάουμε διατήματα εμπιτούνης για την εκτίμηη της διαφοράς των μέων τιμών ή του λόγου των διαπορών δύο πληθυμών 00(- α % Διατήματα Εμπιτούνης για τη διαφορά, μ - μ, των μέων τιμών δύο πληθυμών Για να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών, εργαζόματε όπως εργαθήκαμε τα προηγούμενα για την κατακευή ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή ενός πληθυμού Με μια, βέβαια, διαφορά Αντί για ένα δείγμα, χρηιμοποιούμε δύο, ένα από κάθε πληθυμό Ας δούμε ένα παράδειγμα που δόθηκε από τον Studet (την εργαία The probable error of a mea, Bometrka, 6, -5, 908 Παράδειγμα-4: Σε δέκα αθενείς που πάχουν από αϋπνία δόθηκε μια φαρμακευτική αγωγή, έτω Α, και για καθέναν καταγράφηκε η παράταη του ύπνου (ε ώρες Στους ίδιους αθενείς δόθηκε και μια άλλη φαρμακευτική αγωγή, έτω Β, και επίης καταγράφηκε η παράταη του ύπνου για κάθε αθενή (ε ώρες Ας υμβολίουμε με Χ την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την παράταη του ύπνου ε ώρες όταν οι αθενείς παίρνουν τη φαρμακευτική αγωγή Α και με Υ την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την παράταη του ύπνου ε ώρες όταν οι αθενείς παίρνουν τη φαρμακευτική αγωγή Β Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα που υγκεντρώθηκαν Αύξων αριθμός αθενούς ( Παράταη ύπνου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Α ( x Παράταη ύπνου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Β ( y Αν μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπνου αθενών που πάχουν από αϋπνία όταν παίρνουν την αγωγή Α και μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπνου αθενών που πάχουν από αϋπνία όταν παίρνουν την αγωγή Β, το ζητούμενο είναι να κατακευάουμε, από τα τυχαία δείγματα,,, 0 και Y, Y,, Y0, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ μ, της διαφοράς Y των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ Είναι εύλογο, ως εκτιμήτρια της διαφοράς μ μ, να χρηιμοποιήουμε τη διαφορά Y των αντίτοιχων δειγματικών μέων τιμών, όμως, δε μπορούμε να αξιοποιήουμε τα χετικά αποτελέματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής για την κατανομή της Y που παρουιάαμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές» γιατί τα δύο δείγματα δεν έχουν ληφθεί το ένα ανεξάρτητα από το άλλο Βέβαια, τα ζεύγη (, Y, (, Y,,( 0, Y0 είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα αφού αναφέρονται ε διαφορετικούς αθενείς τυχαία επιλεγμένους, όμως τα και Y εντός του ίδιου ζεύγους δεν είναι ανεξάρτητα (δε μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα αφού αναφέρονται τον ίδιο αθενή Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos

23 Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Για να κατακευάουμε, επομένως, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών από δύο δείγματα, ένα από κάθε πληθυμό, πρέπει να διακρίνουμε την περίπτωη που τα δύο δείγματα έχουν ληφθεί ανεξάρτητα από την περίπτωη που τα δύο δείγματα δεν έχουν ληφθεί ανεξάρτητα Εξαρτημένα δείγματα ή δείγματα από ζευγαρωτές παρατηρήεις (Depedet samples, pared samples, matched samples Έτω ότι από κάθε δειγματοληπτική ή πειραματική μονάδα παίρνουμε ένα ζεύγος παρατηρήεων, Y,,,,, δηλαδή, έτω ότι από τα δύο δείγματα (,,, και Y, Y,, Y δημιουργούνται ζεύγη παρατηρήεων, (, Y, (, Y,,(, Y, τα οποία είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, όμως τα και Y εντός του ίδιου ζεύγους δεν είναι ανεξάρτητα Στην επόμενη ενότητα (Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων αλλά και την Ανάλυη Διαποράς θα εξηγήουμε πολύ αναλυτικά ε ποιες περιπτώεις (και γιατί ενδείκνυται να εργαζόματε με τέτοια δείγματα (από ζευγαρωτές παρατηρήεις αλλά και πώς/με ποια κριτήρια πρέπει να δημιουργούνται τα ζεύγη Στο ημείο αυτό αναφέρουμε μόνο ότι ένα ζεύγος παρατηρήεων μπορεί να ληφθεί από την ίδια πειραματική ή δειγματοληπτική μονάδα πριν και μετά από κάποια επέμβαη ή υπό δύο διαφορετικές επεμβάεις ε κάποια χρονική απόταη (όπως το προηγούμενο παράδειγμα, αλλά και από δύο όμοιες ή χεδόν όμοιες μονάδες Παίρνοντας για κάθε ζεύγος (, Y τη διαφορά D Y (η οποία το παράδειγμά μας εκφράζει τη διαφορά των επιδράεων των δύο φαρμάκων τον αθενή, δημιουργούμε ένα τυχαίο δείγμα, D, D,, D, το οποίο μπορούμε να θεωρήουμε ότι προέρχεται από ένα (θεωρητικό πληθυμό, τον πληθυμό των διαφορών, με μέη τιμή μ D μ μ, όπου μ η μέη τιμή της Χ και μ η μέη τιμή της Υ και επομένως, για την κατακευή ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ D μ μ μπορούμε να εφαρμόουμε ό,τι αναφέραμε, κατά περίπτωη, για την κατακευή ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή ενός πληθυμού από ένα δείγμα Έτι, αν για παράδειγμα, θεωρήουμε ότι ο πληθυμός των διαφορών είναι κανονικός με άγνωτη διαπορά D, και μέη τιμή μ D μ μ την οποία θέλουμε να εκτιμήουμε με ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης από ένα τυχαίο δείγμα D, D,, D, τότε με βάη όα αναφέραμε τα προηγούμενα, το διάτημα S D D ± t ; α όπου, D Y και S D ( D D η μέη τιμή και η αμερόληπτη διαπορά του δείγματος των διαφορών αντίτοιχα, είναι ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ D του πληθυμού των διαφορών δηλαδή για τη διαφορά μ μ Επομένως, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη ( x, y, ( x, y,,( x, y των, Y, (, Y,,(, Y, το διάτημα, ( Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 3

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα 12 η Διάλεξη 1 ο Παράδειγμα (1) Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 25kg Το βάρος του καλαμποκιού που συσκευάζεται ανά τσουβάλι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ ΚΥΡΙΑΚΗ Σ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Μεταπτυχιακη Διατριβη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαηματικα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης

Ερωτήσεις κατανόησης Έλεγχος Υποθέσεων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Αν σε ένα στατιστικό έλεγχο υποθέσεων η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται για επίπεδο σημαντικότητας 5%, τότε α) απορρίπτεται για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

2 i d i(x(i), y(i)),

2 i d i(x(i), y(i)), Κεφάλαιο 2 Σύγκλιη ακολουθιών και υνέχεια υνατήεων 2.1 Σύγκλιη ακολουθιών Στον Απειοτικό Λογιμό μελετήαμε τη ύγκλιη ακολουθιών παγματικών αιθμών. Με τον όο ακολουθία παγματικών αιθμών εννοούμε κάθε υνάτηη

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα