5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ"

Transcript

1 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα, τον πληθυµό όπως λέµε, που είναι δύκολο ή αδύνατο, µπορούµε να εξετάουµε ένα µικρό µέρος αυτού του πληθυµού, δηλ. ένα δείγµα. Αυτό γίνεται µε κοπό να υµπεράνουµε κάτι για τον πληθυµό από τα αποτελέµατα εξετάεως του δείγµατος. Οι αρχές και οι µέθοδοι που χρηιµοποιούνται για το κοπό αυτό αποτελούν τη Στατιτική Συµπεραµατολογία. Η διαδικαία λήψεως ενός δείγµατος καλείται δειγµατοληψία. Παράδειγµα 5.. Για ένα πλήθος.000 ενήλικων φοιτητών (αυτός είναι ο πληθυµός) ζητάµε να µελετήουµε το βάρος η το ύψος τους εξετάζοντας µόνον 00 φοιτητές (το δείγµα). Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να βγάλουµε υµπεράµατα για το ποοτό των ελαττωµατικών βιδών από την εξαήµερη παραγωγή ενός εργοταίου εξετάζοντας 0 τυχαίες βίδες από την παραγωγή κάθε ηµέρας. Στην περίπτωη αυτή το ύνολο των βιδών της εξαήµερης παραγωγής αποτελεί τον πληθυµό, ενώ οι 0 βίδες το δείγµα. Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να εξετάουµε εάν ένα νόµιµα είναι κανονικό η όχι ρίχνοντας το πολλές φορές. Ο πληθυµός περιλαµβάνει όλες τις δυνατές ρίψεις. Ένα δείγµα µπορεί να ληφθεί, εάν ξεχωρίουµε µερικές ρίψεις, π.χ. τις πρώτες 0, και ηµειώουµε πόες φορές ήρθε «κεφάλι» και πόες «γράµµατα».

2 Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να βγάλουµε υµπεράµατα για τα χρώµατα 00 φαιρών (πληθυµός) βγάζοντας 0 φαίρες (δείγµα) από το κουτί που περιέχει τις φαίρες µε επανατοποθέτηη η χωρίς επανατοποθέτηη. Μερικά ηµεία πρέπει να τονιτούν ιδιαίτερα. Πρώτο, η λέξη πληθυµός δε ηµαίνει γενικά ό,τι την καθηµερινή γλώα, όπως π.χ. τη φράη «πληθυµός της Αθήνας». εύτερο, η λέξη πληθυµός δηλώνει υχνά ένα πλήθος παρατηρήεων η µετρήεων αντί για πλήθος ατόµων η αντικειµένων. Έτι µπορούµε να θεωρήουµε ότι το Παράδ. 5. ο πληθυµός περιλαµβάνει.000 βάρη ή ύψη και ότι το Παράδ. 5. ο πληθυµός περιλαµβάνει τα χρώµατα των 00 φαιρών. Τρίτο, ο πληθυµός µπορεί να περιλαµβάνει πεπεραµένο (υνήθως) η άπειρο πλήθος τοιχείων. Το πλήθος αυτό παριτάνεται µε Ν και καλείται µέγεθος του πληθυµού. Το πλήθος των τοιχείων του δείγµατος καλείται µέγεθος του δείγµατος και υµβολίζεται µε. Στο Παράδ. 5. είναι Ν.000, 00, ενώ το Παράδ. 5. το Ν είναι άπειρο και 0. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ Εάν βγάλουµε ένα αντικείµενο από ένα κουτί, µπορούµε να το ξαναβάλουµε η να µην το ξαναβάλουµε πριν βγάλουµε ένα άλλο. Στην πρώτη περίπτωη το ίδιο αντικείµενο µπορεί να βγει πολλές φορές, ενώ τη δεύτερη µόνο µια φορά. Έτι έχουµε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη, όπου ένα τοιχείο του πληθυµού µπορεί να εκλεγεί πολλές φορές, και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη, όπου ένα τοιχείο του πληθυµού µπορεί να εκλεγεί το πολύ µια φορά. Ένας πεπεραµένος πληθυµός µπορεί να θεωρηθεί άπειρος ε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη, επειδή µπορούµε να πάρουµε δείγµατα οποιουδήποτε µεγέθους. Σε πολλές περιπτώεις την πράξη, ακόµα και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη από έναν πολύ µεγάλο πληθυµό µπορεί να θεωρηθεί αν δειγµατοληψία άπο άπειρο πληθυµό. ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι φανερό ότι τα υµπεράµατα για τον πληθυµό θα είναι ωτά, εάν το δείγµα εκλεγεί έτι ώτε να αντιπροωπεύει τον πληθυµό αρκετά καλά. Ένα από τα

3 7 πουδαία προβλήµατα της Στατιτικής Συµπεραµατολογίας είναι ο τρόπος εκλογής ενός δείγµατος. Ένας τρόπος εκλογής ενός δείγµατος είναι να διαλέξουµε έτι το δείγµα ώτε κάθε τοιχείο του πληθυµού να έχει την ίδια πιθανότητα να είναι το δείγµα. Έχουµε τότε ένα τυχαίο δείγµα. Από ένα µικρό χετικά πληθυµό µπορούµε να πάρουµε ένα τυχαίο δείγµα χρηιµοποιώντας κλήρους ή έναν πίνακα τυχαίων αριθµών, που έχουν ειδικά βρεθεί για τέτοιους κοπούς. Γενικά όµως, υµπεράµατα για τον πληθυµό από ένα δείγµα είναι ωτά µε κάποια πιθανότητα και όχι βεβαιότητα. Για πεπεραµένο πληθυµό µερικοί υγγραφείς περιορίζουν την έννοια του τυχαίου δείγµατος ε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη µόνον. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Ένας πληθυµός θεωρείται γνωτός, όταν γνωρίζουµε την κατανοµή πιθανότητας f(x) (υνάρτηη πιθανότητας ή υνάρτηη πυκνότητας) για ένα µέγεθος που χαρακτηρίζει τα τοιχεία του πληθυµού και παριτάνεται από µια τυχαία µεταβλητή Χ. Π.χ. το Παράδ. 5. ή Χ µπορεί να παριτάνει το βάρος ή το ύψος καθ' ενός από τους.000 φοιτητές. Εάν ή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή, λέµε ότι ο πληθυµός είναι κανονικά κατανεµηµένος ή ότι έχουµε κανονικό πληθυµό. Όµοια, εάν ή Χ έχει διωνυµική κατανοµή, λέµε ότι ο πληθυµός είναι διωνυµικά κατανεµηµένος ή ότι έχουµε διωνυµικό πληθυµό. Στην έκφραη της f(x) αναµένεται να υπάρχουν οριµένες παράµετροι, όπως µ και την περίπτωη της κανονικής κατανοµής και p την περίπτωη της διωνυµικής. Άλλες παράµετροι (π.χ. ροπές, υντελετές αυµµετρίας και κυρτώεως, κτλ.) µπορούν να υπολογιτούν. Όλες αυτές καλούνται παράµετροι πληθυµού. Όταν ο πληθυµός δίνεται, γνωρίζουµε την f(x), και υνεπώς είναι γνωτές και οι παράµετροι του πληθυµού. Ένα πουδαίο πρόβληµα προκύπτει, όταν ή f(x) του πληθυµού δεν είναι γνωτή ακριβώς, αλλά γνωρίζουµε µόνον οριµένες ιδιότητες της ή έχουµε µια γενική ιδέα της υµπεριφοράς της. Έτι π.χ. µπορούµε να έχουµε ενδείξεις ότι ένας

4 8 πληθυµός είναι κανονικά κατανεµηµένος, αλλά να µη γνωρίζουµε τις τιµές των µ και του πληθυµού, οπότε θα πρέπει να τις εκτιµήουµε. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μπορούµε να πάρουµε τυχαία δείγµατα από έναν πληθυµό και να χρηιµοποιήουµε αυτά τα δείγµατα για να εκτιµήουµε τις παραµέτρους του πληθυµού. Έτω ότι το Παράδ. 5. ή τυχαία µεταβλητή Χ παριτάνει το ύψος των φοιτητών του πληθυµού. Για να διαλέξουµε ένα δείγµα 00 φοιτητών, αρχίζουµε διαλέγοντας ένα φοιτητή. Εάν x είναι το ύψος του φοιτητή, µπορούµε να θεωρήουµε το x αν τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που παριτάνει το ύψος του φοιτητή που διαλέγεται πρώτος (δείκτης ). Όµοια διαλέγουµε την τύχη ένα δεύτερο φοιτητή και, αν x το ύψος του, θεωρούµε το x αν τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που παριτάνει το ύψος του φοιτητή που διαλέγεται δεύτερος. Έτι υνεχίζουµε µέχρι την Χ 00, αφού το µέγεθος του δείγµατος είναι 00. Για απλότητα δεχόµατε ότι ή δειγ- µατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη. Οπότε κάθε φοιτητής µπορεί να εκλεγεί καµία, µία ή περιότερες φορές. Ας ηµειωθεί όµως ότι, επειδή το δείγµα είναι πολύ µικρότερο από τον πληθυµό, δεν έχει ουιατική ηµαία αν ή δειγµατοληψία είναι µε ή χωρίς επανατοποθέτηη. Στη γενική περίπτωη ένα δείγµα µεγέθους µπορεί να περιγραφεί από τις τιµές x,x,,x των τυχαίων µεταβλητών Χ,Χ,...,Χ. Σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη οι Χ,Χ,...,Χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε κατανοµή πιθανότητας (ή κάθε µια) f(x). H κοινή κατανοµή πιθανότητας είναι ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x )...f ( ) P () x Μια ποότητα που προκύπτει από ένα δείγµα τη διαδικαία εκτιµήεως των παραµέτρων του πληθυµού καλείται τατιτική δειγµατική υνάρτηη ή απλά τατιτική υνάρτηη ή δειγµατουνάρτηη. Μαθηµατικά µια τατιτική υνάρτηη για ένα δείγµα µεγέθους µπορεί να οριτεί ως µια υνάρτηη g(χ,...,χ ) των τυχαίων µεταβλητών Χ,...,Χ. H υνάρτηη g(χ,...,χ ) είναι µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές g(x,...,x ). H Στατιτική εξετάζει τέτοιες τυχαίες µεταβλητές και τις τιµές τους. Σε κάθε παράµετρο του πληθυµού θα υπάρχει µια αντίτοιχη τατιτική υνάρτηη από ένα δείγµα. Συνήθως, ή µέθοδος υπολογιµού της τιµής της

5 9 τατιτικής υναρτήεως από το δείγµα είναι όµοια µε τη µέθοδο υπολογιµού της παραµέτρου από έναν (πεπεραµένο) πληθυµό Όπως όµως θα δούµε, ο τρόπος αυτός µπορεί να µη δίνει την «καλύτερη εκτίµηη» για την παράµετρο. Ένα πουδαίο πρόβληµα τη θεωρία δειγµατοληψίας είναι ή εύρεη της κατάλληλης τατιτικής υναρτήεως που θα µας δώει την καλύτερη δυνατή εκτίµηη για µια παράµετρο του πληθυµού. Τέτοια προβλήµατα θα υναντήουµε ε επόµενα κεφάλαια. Γενικά, θα χρηιµοποιήουµε ελληνικά γράµµατα (π.χ. µ, ) για να υµβολίουµε τις παραµέτρους του πληθυµού και λατινικά (π.χ., s) για τις τιµές των αντίτοιχων τατιτικών υναρτήεων. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Όπως είδαµε, µια τατιτική υνάρτηη είναι µια τυχαία µεταβλητή που είναι υνάρτηη των τυχαίων µεταβλητών Χ,...,Χ ενός δείγµατος. Άρα µπορούµε να µιλάµε για κατανοµή πιθανότητας µιας τατιτικής υναρτήεως, που καλείται δειγµατοληπτική κατανοµή ή κατανοµή δειγµατοληψίας. Εάν θεωρήουµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους που µπορούµε να πάρουµε από έναν πληθυµό, έχουµε για κάθε δείγµα µια τιµή για τη τατιτική υνάρτηη. Έτι έχουµε την κατανοµή της τατιτικής υναρτήεως, δηλ. τη δειγµατοληπτική κατανοµή. Από τη δειγµατοληπτική κατανοµή µιας τατιτικής υναρτήεως µπορούµε να υπολογίουµε µέη τιµή, τυπική απόκλιη, ροπές, κτλ. H τυπική απόκλιη καλείται και τυπικό φάλµα. Η ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τυχαίες µεταβλητές για ένα δείγµα µεγέθους η, καλείται δειγµατική µέη τιµή ή µέη τιµή δείγµατος ή τυχαία µεταβλητή... ˆ () Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών ' ένα οριµένο δείγµα, τότε ή µέη τιµή αυτού του δείγµατος είναι x x... x x ˆ ()

6 50 Παράδειγµα 5.5. Σ' ένα δείγµα µεγέθους 5 οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών είναι 7, 9,,,. Συνεπώς ή µέη τιµή του δείγµατος αυτού είναι 7 9 x ˆ 5 5 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έτω f(x) η κατανοµή πιθανότητας ενός πληθυµού. Εάν πάρουµε ένα δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό, είναι φυικό να ζητήουµε την κατανοµή πιθανότητας της τατιτικής υναρτήεως ˆ. Αυτή είναι ή δειγµατοληπτική κατανοµή της µέης τιµής του δείγµατος ή κατανοµή της δειγµατικής µέης τιµής. Σχετικά είναι τα παρακάτω θεωρήµατα. Θεώρηµα 5-: Ή µέη τιµή µ x της δειγµατικής µέης τιµής ˆ είναι ( ˆ ) µ xˆ µ E () όπου µ η µέη τιµή του πληθυµού. Σύµφωνα µε το θεώρηµα αυτό η αναµενόµενη τιµή της δειγµατικής µέης τιµής ιούται µε µ. Θεώρηµα 5-: Εάν ένας πληθυµός είναι άπειρος ή εάν η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, τότε ή διαπορά είναι E [( ˆ µ ) ] xˆ όπου ή διαπορά του πληθυµού. x της δειγµατικής µέης τιµής (5) Θεώρηµα 5-: Εάν ο πληθυµός έχει µέγεθος Ν και πάρουµε δείγµα µεγέθους Ν χωρίς επανατοποθέτηη, τότε αντί για την (5) έχουµε ενώ η µ x δίνεται από την (). Ας ηµειωθεί ότι η () δίνει την (5), όταν Ν. N xˆ () N Θεώρηµα 5-: Εάν ο πληθυµός άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα είναι κανονικός µε µέη τιµή µ και διαπορά, τότε ή δειγµατική µέη τιµή έχει κανονική (δειγµατοληπτική) κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά /.

7 5 Θεώρηµα 5-5: Εάν ο πληθυµός άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα έχει κάποια κατανοµή (όχι αναγκατικά κανονική) µε µέη τιµή µ και διαπορά, τότε η (αντίτοιχη την Χ) τυποποιηµένη µεταβλητή ˆ µ Z (7) είναι αυµπτωτικά κανονική, δηλ. li P z ( Z z) Το θεώρ. 5-5 είναι υνέπεια του κεντρικού οριακού θεωρήµατος.. εχόµατε βέβαια ότι ο πληθυµός είναι άπειρος ή ότι η δειγµατοληψία είναι µε π e / u du (8) επανατοποθέτηη. ιαφορετικά το της (). / την (7) πρέπει να αντικαταταθεί από το x ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Έτω ότι ένας πληθυµός είναι άπειρος και διωνυµικός µε p και q-p αντίτοιχα τις πιθανότητες να έχει (επιτυχία) ή να µην έχει (αποτυχία) ένα τοιχείο του πληθυµού µια οριµένη ιδιότητα. Ένα παράδειγµα αποτελεί ο πληθυµός όλων των δυνατών ρίψεων ενός νοµίµατος µε δώει «κεφάλι». p την πιθανότητα µια oριµένη ρίψη να Θεωρούµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους από τον πληθυµό αυτό και για κάθε δείγµα θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη που παριτάνει την αναλογία ή το ποοτό των επιτυχιών το δείγµα. Έχουµε έτι τη δειγµατοληπτική κατανοµή της δειγµατικής αναλογίας επιτυχιών µε µέη τιµή και τυπική απόκλιη αντίτοιχα ( p) pq p µ p p p (9) Οι χέεις αυτές προκύπτουν από τις () και (5), αν θέουµε µ p, pq. Για µεγάλες τιµές του ( 0) η δειγµατοληπτική κατανοµή της αναλογίας είναι χεδόν κανονική, όπως προκύπτει από το θεώρ Για πεπεραµένο πληθυµό και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη η δεύτερη από τις χέεις (9) πρέπει να αντικαταταθεί από την () µε pq

8 5 Ας ηµειωθεί ότι τα δεξιά µέλη των χέεων (9) προκύπτουν εύκολα από τη µέη τιµή και την τυπική απόκλιη (p και pq ) της διωνυµικής κατανοµής µε διαίρεη µε. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ Θεωρούµε δύο πληθυµούς. Για κάθε δείγµα µεγέθους από τον πρώτο πληθυµό υπολογίζουµε την τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως S. Έτι έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή για το S µε µέη τιµή µ s και τυπική απόκλιη s. Όµοια, για κάθε δείγµα µεγέθους από το δεύτερο πληθυµό υπολογίζουµε την τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως S και έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή µε µέη τιµή µ S και τυπική απόκλιη S. Παίρνοντας όλους τους δυνατούς υνδυαµούς δύο δειγµάτων (ένα από τον πρώτο πληθυµό και ένα από το δεύτερο) έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς S -S των τατιτικών υναρτήεων. Η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της δειγµατοληπτικής αυτής κατανοµής υµβολίζονται αντίτοιχα µε µ S S και και S S δίνονται από τις χέεις µ S S µ S µ S (0) S S S S µε την προϋπόθεη ότι τα δείγµατα δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο. (Λέµε ότι τα δείγµατα είναι ανεξάρτητα, όταν οι S και S είναι ανεξάρτητες.) Για παράδειγµα έτω ότι οι S και S είναι οι µέες τιµές και δύο δειγµάτων από δύο πληθυµούς µε παραµέτρους (µέη τιµή και τυπική απόκλιη) µ,, και µ, αντίτοιχα. Οι χέεις (0) δίνουν () µ xˆ xˆ µ xˆ µ xˆ µ, µ xˆ xˆ xˆ xˆ όπου χρηιµοποιήθηκαν οι () και (5). Οι χέεις (0) και () ιχύουν και για πεπεραµένα ύνολα και δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη. Η τυποποιηµένη µεταβλητή ( ˆ ˆ ) µ µ Z ()

9 5 έχει την περίπτωη αυτή χεδόν κανονική κατανοµή, εάν τα και είναι µεγάλα (, 0). Παρόµοια αποτελέµατα µπορούν να ληφθούν για πεπεραµένους πληθυµούς και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη, αν χρηιµοποιήουµε τις () και (). Αντίτοιχα αποτελέµατα προκύπτουν για δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς των ποοτών από δύο διωνυµικούς πληθυµούς µε παραµέτρους p, q και p, q αντίτοιχα. Στην περίπτωη αυτή S και S είναι οι αναλογίες των επιτυχιών Ρ και Ρ και οι χέεις () δίνουν p q µ p p p p p p, µ µ pp p p () Μερικές φορές ενδιαφερόµατε για τη δειγµατοληπτική κατανοµή του αθροίµατος των τατιτικών υναρτήεων S και S. Με τον προηγούµενο υµβολιµό η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της δειγµατοληπτικής αυτής κατανοµής είναι p q µ S S µ S µ S () S S S S για ανεξάρτητα δείγµατα. Επίης µπορούν να βρεθούν χέεις αντίτοιχες µε τις (). Η ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τυχαίες µεταβλητές για ένα δείγµα µεγέθους, τότε η τυχαία µεταβλητή που δίνει τη δειγµατική διαπορά ή διακύµανη (ή διαπορά ή διακύµανη του δείγµατος) είναι S ( ˆ ) ( ˆ )... ( ˆ ) (5) Επειδή (θεώρ. 5-) Ε(Χ)µ, θα ήταν ωραίο να είχαµε και ( ) E S. Όταν η αναµενόµενη τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως ιούται µε την αντίτοιχη παράµετρο του πληθυµού, η τατιτική υνάρτηη καλείται αµερόληπτη η αβίατη εκτιµήτρια και η τιµή της αποτελεί µια αµερόληπτη ή αβίατη εκτίµηη της παραµέτρου του πληθυµού. Είναι όµως ( S ) µ E () s που για µεγάλα (π.χ. 0) δε διαφέρει ουιατικά από το. Εάν ορίουµε

10 5 ( ) ( ) ( )... S ˆ S (7) τότε έχουµε ( ) Ŝ E (8) Από τις χέεις αυτές φαίνεται γιατί πολλοί που χρηιµοποιούν τατιτικές µεθόδους ορίζουν τη διαπορά ενός δείγµατος ίη µε Ŝ αντί για S [αντικαθιτούν το µε - τον παρονοµατή της (5)]. Εµείς όµως θα χρηιµοποιήουµε τον οριµό (5). Παράδειγµα 5.. Στο Παράδ η διαπορά του δείγµατος (ακριβέτερα η τιµή της) είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s ενώ µια αµερόληπτη εκτίµηη της διαποράς του πληθυµού είναι η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s 5 ŝ Οι προηγούµενες χέεις ιχύουν για δειγµατοληψία από άπειρο πληθυµό ή από πεπεραµένο µε επανατοποθέτηη. Εάν έχουµε δειγµατοληψία από πεπεραµένο πληθυµό µεγέθους Ν χωρίς επανατοποθέτηη, τότε ( ) s N N S µ E (9) Όταν Ν, η χέη αυτή δίνει την (). ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Παίρνοντας όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους από έναν πληθυµό και υπολογίζοντας τη διαπορά κάθε δείγµατος έχουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της δειγµατικής διαποράς. Αντί όµως για την κατανοµή της S ή της Ŝ είναι βολικότερο να βρούµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής ( ) ( ) ( ) ( )... Ŝ S (0) Η κατανοµή της τυχαίας αυτής µεταβλητής περιγράφεται από το ακόλουθο θεώρηµα:

11 55 Θεώρηµα 5-: Εάν ένας πληθυµός έχει κανονική κατανοµή, τότε η τυχαία µεταβλητή (0), που ορίζεται για κάθε δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό, έχει κατανοµή x µε - βαθµούς ελευθερίας. Για το λόγο αυτό η µεταβλητή (0) παριτάνεται υχνά µε x. ΑΓΝΩΣΤΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Σύµφωνα µε τα θεωρ. 5- και 5-5 η τυποποιηµένη τυχαία µεταβλητή µ Z () είναι κανονική, εάν ο πληθυµός (άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα µεγέθους ) είναι κανονικός, ενώ είναι αυµπτωτικά κανονική, εάν ο πληθυµός δεν είναι κανονικός. Είναι φανερό ότι την () η διαπορά του πληθυµού θεωρείται γνωτή. Συχνά όµως δε γνωρίζουµε τη διαπορά του πληθυµού. Ένας τρόπος για να την εκτιµήουµε είναι να χρηιµοποιήουµε µια η περιότερες διαπορές δειγµάτων και να θέουµε την εκτίµηη την (). Μια καλύτερη λύη είναι να αντικατατήουµε την την () µε την τυχαία µεταβλητή Ŝ και να µελετήουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της νέας τατιτικής υναρτήεως µ µ T () Ŝ S Θεώρηµα 5-7: Για δείγµατα µεγέθους από κανονικό πληθυµό η τυχαία µεταβλητή () ακολουθεί την κατανοµή t µε - βαθµούς ελευθερίας. Το θεωρ. 5-7 ιχύει και για δείγµατα από πληθυµό µε καµπύλη πυκνότητας παρόµοια µε την κανονική καµπύλη (κωδωνοειδή). Επειδή δεν είναι απαραίτητο να ξέρουµε τη διαπορά του πληθυµού, λέµε ότι η προηγούµενη µέθοδος ανήκει την ακριβή δειγµατοληψία η δειγµατοληψία για µικρά δείγµατα. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΩΝ ΙΑΣΠΟΡΩΝ Προηγουµένως είδαµε πώς µπορούµε να βρούµε την κατανοµή διαφοράς τατιτικών υναρτήεων (π.χ. διαφοράς µέων τιµών). Με την ίδια µέθοδο µπορούµε να βρούµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς S S των δειγµατικών

12 5 διαπορών. Η κατανοµή όµως αυτή είναι πολύπλοκη. Γι' αυτό θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη S είναι µεγάλη. / S. Εάν ο λόγος αυτός είναι πολύ διαφορετικός του, τότε η διαφορά Θεώρηµα 5-8: Θεωρούµε δύο δείγµατα µε µεγέθη και από δύο κανονικούς πληθυµούς µε διαπορές και. Εάν οι δειγµατικές διαπορές είναι αντίτοιχα S και S, η τατιτική υνάρτηη ( ) Ŝ ( ) S F () S Ŝ ακολουθεί κατανοµή F µε -, - βαθµούς ελευθερίας. Το προηγούµενο θεώρηµα µπορεί να εφαρµοτεί και για πληθυµούς µε καµπύλες πυκνότητας όµοιες µε την κανονική καµπύλη (κωδωνοειδείς καµπύλες). ΑΛΛΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Είναι φανερό ότι εκτός από τη µέη τιµή και τη διαπορά ενός δείγµατος µπορούµε να ορίουµε άλλες τατιτικές υναρτήεις, όπως διάµεη τιµή, πιθανότερη τιµή, υντελετές αυµµετρίας κυρτώεως, κτλ. Οι οριµοί είναι ανάλογοι µε αυτούς του Κεφ.. Επίης µπορούµε τις περιότερες φορές να βρούµε τις δειγµατοληπτικές κατανοµές αυτών των τατιτικών υναρτήεων τουλάχιτον τις µέες τιµές και τις τυπικές αποκλίεις τους, που καλούνται υχνά τυπικά φάλµατα. Μερικά από αυτά τα τυπικά φάλµατα δίνονται τον παρακάτω πίνακα. ΤΥΠΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στατιτική Συνάρτηη Μέη τιµή Τυπικό Σφάλµα xˆ Παρατηρήεις Η χέη Ιχύει για µεγάλα ή µικρά δείγµατα από άπειρο πληθυµό ή, αν η δειγµατοληψία είναι µ επανατοποθέτηη, από πεπεραµένο. Η δειγµατοληπτική κατανοµή της µέης τιµής είνα περίπου κανονική για 0 (αυµπτωτικά κα νονική) και αν ακόµα η κατανοµή του πληθυµού

13 57 Αναλογία p( p) ιάµεη τιµή Τυπική απόκλιη ιαπορά p δ. τ. () S pq π.5 ( ) S () ( ) S S µ µ δεν είναι κανονική. Είναι πάντα µ x µ µέη τιµή πληθυµού Οι προηγούµενες παρατηρήεις για τη µέη τιµή ιχύουν κι εδώ. Είναι πάντα µ p p Για 0 η δειγµατοληπτική κατανοµή τη (δειγµατικής) διάµεης τιµής είναι περίπου κανονική. Η χέη ιχύει για κανονικό ή περίπου κανονικό πληθυµό. Είναι πάντα µ δ.τ. µ Για 00 ή κατανοµή της S είναι περίπου κανονική. H () ιχύει για κανονικό ή περίπου κανονικό πληθυµό. Για µη κανονικό πληθυµό µπορεί να χρηιµοποιηθεί ή (). Όταν µ (που ιχύει για κανονικό πληθυµό), η () δίνει την (). Για 00, µ s µε µεγάλη προέγγιη. Οι προηγούµενες παρατηρήεις για την τυπική απόκλιη ιχύουν κι εδώ. Για κανονικό πληθυµό ή () δίνει την (). Είναι µ S ( ) / δηλ. περίπου για µεγάλο ( 0). ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Εάν ένα δείγµα (ή ακόµα κι ένας πληθυµός) είναι µεγάλο, είναι δύκολο να παρατηρήουµε διάφορα χαρακτηριτικά µεγέθη του ή να υπολογίουµε τιµές τατιτικών υναρτήεων, όπως µέη τιµή, τυπική απόκλιη, κτλ. Γι' αυτό είναι χρήιµο να οργανώνουµε κάπως τα δεδοµένα. Για παράδειγµα θεωρούµε ένα δείγµα µε βάρη 00 κιβωτίων φρούτων ενός αγροτικού υνεταιριµού. Χωρίζουµε τα δεδοµένα ε κλάεις ή τάξεις ή κατηγορίες και βρίκουµε το πλήθος των κιβωτίων κάθε

14 58 κλάεως, που καλείται υχνότητα της κλάεως αυτής. Το αποτέλεµα, που δίνεται τον παρακάτω πίνακα, καλείται κατανοµή υχνότητας ή πίνακας υχνότητας. ΒΑΡΗ 00 ΚΙΒΩΤΙΩΝ ΦΡΟΥΤΩΝ Βάρος (kg) Πλήθος Κιβωτίων Σύνολο 00 Η πρώτη κλάη περιλαµβάνει τα βάρη 0 έως και κιλά (kg). Το διάτηµα αυτό καλείται διάτηµα της κλάεως. Επειδή 5 κιβώτια έχουν βάρος το διάτηµα αυτό, η υχνότητα της κλάεως αυτής είναι 5. Τα βάρη καταγράφονται βέβαια τρογγυλεµένα την πληιέτερη µονάδα, υνεπώς ή πρώτη κλάη περιλαµβάνει την πραγµατικότητα βάρη το διάτηµα Οι ακραίες τιµές 59.5 και.5 καλούνται όρια της κλάεως. Η επόµενη κλάη είναι η.5-5.5, κτλ. Το πλάτος του διατήµατος µιας κλάεως, δηλ. το πάνω όριο µείον το κάτω όριο, υµβολίζεται µε c j. Συνήθως διαλέγουµε όλες τις κλάεις έτι ώτε να έχουν το ίδιο πλάτος, που τότε υµβολίζεται απλά µε c. Στην περίπτωη µας c Το µέο του διατήµατος µιας κλάεως καλείται µέο ή κέντρο της κλάεως και µπορεί να θεωρηθεί αν τιµή αντιπροωπευτική της κλάεως. Στο παράδειγµα µας το κέντρο της πρώτης κλάεως είναι το. Μια γραφική παράταη της κατανοµής υχνότητας µπορεί να δοθεί µε ένα ιτόγραµµα, ή µ' ένα πολύγωνο υχνότητας, δηλ. µια τεθλαµένη πολυγωνική γραµµή που ενώνει τα κέντρα των πάνω πλευρών των ορθογωνίων του ιτογράµµατος.

15 59 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Εάν τον προηγούµενο Πϊνακα ηµειώναµε τη χετική υχνότητα ή το ποοτό των κιβωτίων ε µια κλάη αντί για το πλήθος των κιβωτίων της κλάεως, θα είχαµε µια κατανοµή χετικής υχνότητας. Έτι π.χ. η χετική υχνότητα ή το ποοτό που αντιτοιχεί την κλάη -5 είναι 8/00 ή 8%. Μπορούµε να θεωρήουµε την κατανοµή της χετικής υχνότητας αν µια κατανοµή πιθανότητας, όπου οι πιθανότητες έχουν αντικαταταθεί µε χετικές υχνότητες. Οι χετικές υχνότητες µπορούν να θεωρηθούν αν εµπειρικές πιθανότητες και δρα η κατανοµή της χετικής υχνότητας αν κατανοµή εµπειρικής πιθανότητας. Στο Κεφ. είδαµε ότι για κάθε κατανοµή πιθανότητας f(x) µπορούµε να ορίουµε µια υνάρτηη κατανοµής F(x) Ρ(Χ x) και να την παρατήουµε γραφικά. Κατ αναλογία µπορούµε να ορίουµε για κάθε κατανοµή υχνότητας µια αθροιτική κατανοµή υχνότητας ή µια αθροιτική κατανοµή χετικής υχνότητας και να παρατήουµε γραφικά τα µεγέθη αυτά. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ Μπορούµε να περιγράψουµε µια κατανοµή υχνότητας δίνοντας το κέντρο κάθε κλάεως και την αντίτοιχη υχνότητα. Η ολική υχνότητα πρέπει να είναι, δηλ. f f... f f k Κέντρο Κλάεως Συχνότητα Κλάεως x f x f x k Σύνολο f k Επειδή υπάρχουν f αριθµοί ίοι µε x, f αριθµοί ίοι µε x,...,f k ίοι µε x k, η µέη τιµή τους είναι και η διαπορά (ή διακύµανη) f fx x f x... f kx k x ()

16 0 ( x x) f ( x x)... f ( x x) f ( x x) f k k s (5). Όταν όλες οι κλάεις έχουν το ίδιο πλάτος c, υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για τον υπολογιµό της µέης τιµής και της διαποράς. Σε µια τέτοια κωδικοποιηµένη µέθοδο, όπως λέγεται, αντιτοιχούµε έναν ακέραιο u τo κέντρο κάθε κλάεως µε τo µεταχηµατιµό x α cu () όπου α είναι ένα από τα κέντρα των κλάεων (αυθαίρετα εκλεγµένο). Οι τύποι για τη µέη τιµή και τη διαπορά γίνονται c x α fu α cu (7) fu fu s c (8) Παρόµοιοι τύποι ιχύουν για ροπές ανώτερης τάξεως. Έτι οι ροπές τάξεως περί τη µέη τιµή και την αρχή είναι αντίτοιχα M ( x x)... f ( x x) f ( x x) f k k (9) Οι ροπές αυτές υνδέονται µε τις χέεις κτλ. Εάν γράψουµε ( u u) f M' 0 f x... f x fx k k (0) ' ' ' ' ' ' fu ' ' ' ' τότε οι χέεις () ιχύουν και για τα Μ. Είναι όµως ' ' ( x x) f[ ( α cu) ( α cu) ] fc ( u u) f c και άρα οι () γίνονται M ()

17 0 c c c ( M' M' ) ( M' M' M' M' ) ( M' M' M' M' M' M' ) κτλ. Η δεύτερη από τις () είναι βέβαια ίδια µε την (8). Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να βρούµε κωδικοποιηµένους τύπους για αλλά τατιτικά µεγέθη, όπως η αυµµετρία, η κύρτωη, κτλ. ()

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Κουγιουµτζής ηµήτρης Γενικό Τµήµα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ Θερινό Εξάµηνο 004 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ...4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...8. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων...8..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

1 N N 1 N ( ) x dx (1) , (2) N xi. i= 1. = A exp , (3) dx = 1. (4) x σ 68% 2. (5) σ x x x . (6) . (7)

1 N N 1 N ( ) x dx (1) , (2) N xi. i= 1. = A exp , (3) dx = 1. (4) x σ 68% 2. (5) σ x x x . (6) . (7) Περί φλµάτων µετρήεων κι ποτελεµάτων Προδιοριµός φάλµτος (ή ειότητς) ενός ποτελέµτος Σφάλµ µις µετρήεως: φάλµ νγνώεως, π.χ. ±/ υποδιιρέεως κλίµκος. Σφάλµ πολλπλών, επνληπτικών µετρήεων: ( ) ( ) Πρόκειτι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα