5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ"

Transcript

1 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα, τον πληθυµό όπως λέµε, που είναι δύκολο ή αδύνατο, µπορούµε να εξετάουµε ένα µικρό µέρος αυτού του πληθυµού, δηλ. ένα δείγµα. Αυτό γίνεται µε κοπό να υµπεράνουµε κάτι για τον πληθυµό από τα αποτελέµατα εξετάεως του δείγµατος. Οι αρχές και οι µέθοδοι που χρηιµοποιούνται για το κοπό αυτό αποτελούν τη Στατιτική Συµπεραµατολογία. Η διαδικαία λήψεως ενός δείγµατος καλείται δειγµατοληψία. Παράδειγµα 5.. Για ένα πλήθος.000 ενήλικων φοιτητών (αυτός είναι ο πληθυµός) ζητάµε να µελετήουµε το βάρος η το ύψος τους εξετάζοντας µόνον 00 φοιτητές (το δείγµα). Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να βγάλουµε υµπεράµατα για το ποοτό των ελαττωµατικών βιδών από την εξαήµερη παραγωγή ενός εργοταίου εξετάζοντας 0 τυχαίες βίδες από την παραγωγή κάθε ηµέρας. Στην περίπτωη αυτή το ύνολο των βιδών της εξαήµερης παραγωγής αποτελεί τον πληθυµό, ενώ οι 0 βίδες το δείγµα. Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να εξετάουµε εάν ένα νόµιµα είναι κανονικό η όχι ρίχνοντας το πολλές φορές. Ο πληθυµός περιλαµβάνει όλες τις δυνατές ρίψεις. Ένα δείγµα µπορεί να ληφθεί, εάν ξεχωρίουµε µερικές ρίψεις, π.χ. τις πρώτες 0, και ηµειώουµε πόες φορές ήρθε «κεφάλι» και πόες «γράµµατα».

2 Παράδειγµα 5.. Ζητάµε να βγάλουµε υµπεράµατα για τα χρώµατα 00 φαιρών (πληθυµός) βγάζοντας 0 φαίρες (δείγµα) από το κουτί που περιέχει τις φαίρες µε επανατοποθέτηη η χωρίς επανατοποθέτηη. Μερικά ηµεία πρέπει να τονιτούν ιδιαίτερα. Πρώτο, η λέξη πληθυµός δε ηµαίνει γενικά ό,τι την καθηµερινή γλώα, όπως π.χ. τη φράη «πληθυµός της Αθήνας». εύτερο, η λέξη πληθυµός δηλώνει υχνά ένα πλήθος παρατηρήεων η µετρήεων αντί για πλήθος ατόµων η αντικειµένων. Έτι µπορούµε να θεωρήουµε ότι το Παράδ. 5. ο πληθυµός περιλαµβάνει.000 βάρη ή ύψη και ότι το Παράδ. 5. ο πληθυµός περιλαµβάνει τα χρώµατα των 00 φαιρών. Τρίτο, ο πληθυµός µπορεί να περιλαµβάνει πεπεραµένο (υνήθως) η άπειρο πλήθος τοιχείων. Το πλήθος αυτό παριτάνεται µε Ν και καλείται µέγεθος του πληθυµού. Το πλήθος των τοιχείων του δείγµατος καλείται µέγεθος του δείγµατος και υµβολίζεται µε. Στο Παράδ. 5. είναι Ν.000, 00, ενώ το Παράδ. 5. το Ν είναι άπειρο και 0. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ Εάν βγάλουµε ένα αντικείµενο από ένα κουτί, µπορούµε να το ξαναβάλουµε η να µην το ξαναβάλουµε πριν βγάλουµε ένα άλλο. Στην πρώτη περίπτωη το ίδιο αντικείµενο µπορεί να βγει πολλές φορές, ενώ τη δεύτερη µόνο µια φορά. Έτι έχουµε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη, όπου ένα τοιχείο του πληθυµού µπορεί να εκλεγεί πολλές φορές, και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη, όπου ένα τοιχείο του πληθυµού µπορεί να εκλεγεί το πολύ µια φορά. Ένας πεπεραµένος πληθυµός µπορεί να θεωρηθεί άπειρος ε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη, επειδή µπορούµε να πάρουµε δείγµατα οποιουδήποτε µεγέθους. Σε πολλές περιπτώεις την πράξη, ακόµα και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη από έναν πολύ µεγάλο πληθυµό µπορεί να θεωρηθεί αν δειγµατοληψία άπο άπειρο πληθυµό. ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι φανερό ότι τα υµπεράµατα για τον πληθυµό θα είναι ωτά, εάν το δείγµα εκλεγεί έτι ώτε να αντιπροωπεύει τον πληθυµό αρκετά καλά. Ένα από τα

3 7 πουδαία προβλήµατα της Στατιτικής Συµπεραµατολογίας είναι ο τρόπος εκλογής ενός δείγµατος. Ένας τρόπος εκλογής ενός δείγµατος είναι να διαλέξουµε έτι το δείγµα ώτε κάθε τοιχείο του πληθυµού να έχει την ίδια πιθανότητα να είναι το δείγµα. Έχουµε τότε ένα τυχαίο δείγµα. Από ένα µικρό χετικά πληθυµό µπορούµε να πάρουµε ένα τυχαίο δείγµα χρηιµοποιώντας κλήρους ή έναν πίνακα τυχαίων αριθµών, που έχουν ειδικά βρεθεί για τέτοιους κοπούς. Γενικά όµως, υµπεράµατα για τον πληθυµό από ένα δείγµα είναι ωτά µε κάποια πιθανότητα και όχι βεβαιότητα. Για πεπεραµένο πληθυµό µερικοί υγγραφείς περιορίζουν την έννοια του τυχαίου δείγµατος ε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη µόνον. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Ένας πληθυµός θεωρείται γνωτός, όταν γνωρίζουµε την κατανοµή πιθανότητας f(x) (υνάρτηη πιθανότητας ή υνάρτηη πυκνότητας) για ένα µέγεθος που χαρακτηρίζει τα τοιχεία του πληθυµού και παριτάνεται από µια τυχαία µεταβλητή Χ. Π.χ. το Παράδ. 5. ή Χ µπορεί να παριτάνει το βάρος ή το ύψος καθ' ενός από τους.000 φοιτητές. Εάν ή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή, λέµε ότι ο πληθυµός είναι κανονικά κατανεµηµένος ή ότι έχουµε κανονικό πληθυµό. Όµοια, εάν ή Χ έχει διωνυµική κατανοµή, λέµε ότι ο πληθυµός είναι διωνυµικά κατανεµηµένος ή ότι έχουµε διωνυµικό πληθυµό. Στην έκφραη της f(x) αναµένεται να υπάρχουν οριµένες παράµετροι, όπως µ και την περίπτωη της κανονικής κατανοµής και p την περίπτωη της διωνυµικής. Άλλες παράµετροι (π.χ. ροπές, υντελετές αυµµετρίας και κυρτώεως, κτλ.) µπορούν να υπολογιτούν. Όλες αυτές καλούνται παράµετροι πληθυµού. Όταν ο πληθυµός δίνεται, γνωρίζουµε την f(x), και υνεπώς είναι γνωτές και οι παράµετροι του πληθυµού. Ένα πουδαίο πρόβληµα προκύπτει, όταν ή f(x) του πληθυµού δεν είναι γνωτή ακριβώς, αλλά γνωρίζουµε µόνον οριµένες ιδιότητες της ή έχουµε µια γενική ιδέα της υµπεριφοράς της. Έτι π.χ. µπορούµε να έχουµε ενδείξεις ότι ένας

4 8 πληθυµός είναι κανονικά κατανεµηµένος, αλλά να µη γνωρίζουµε τις τιµές των µ και του πληθυµού, οπότε θα πρέπει να τις εκτιµήουµε. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μπορούµε να πάρουµε τυχαία δείγµατα από έναν πληθυµό και να χρηιµοποιήουµε αυτά τα δείγµατα για να εκτιµήουµε τις παραµέτρους του πληθυµού. Έτω ότι το Παράδ. 5. ή τυχαία µεταβλητή Χ παριτάνει το ύψος των φοιτητών του πληθυµού. Για να διαλέξουµε ένα δείγµα 00 φοιτητών, αρχίζουµε διαλέγοντας ένα φοιτητή. Εάν x είναι το ύψος του φοιτητή, µπορούµε να θεωρήουµε το x αν τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που παριτάνει το ύψος του φοιτητή που διαλέγεται πρώτος (δείκτης ). Όµοια διαλέγουµε την τύχη ένα δεύτερο φοιτητή και, αν x το ύψος του, θεωρούµε το x αν τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που παριτάνει το ύψος του φοιτητή που διαλέγεται δεύτερος. Έτι υνεχίζουµε µέχρι την Χ 00, αφού το µέγεθος του δείγµατος είναι 00. Για απλότητα δεχόµατε ότι ή δειγ- µατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη. Οπότε κάθε φοιτητής µπορεί να εκλεγεί καµία, µία ή περιότερες φορές. Ας ηµειωθεί όµως ότι, επειδή το δείγµα είναι πολύ µικρότερο από τον πληθυµό, δεν έχει ουιατική ηµαία αν ή δειγµατοληψία είναι µε ή χωρίς επανατοποθέτηη. Στη γενική περίπτωη ένα δείγµα µεγέθους µπορεί να περιγραφεί από τις τιµές x,x,,x των τυχαίων µεταβλητών Χ,Χ,...,Χ. Σε δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη οι Χ,Χ,...,Χ είναι ανεξάρτητες και ιόνοµες µε κατανοµή πιθανότητας (ή κάθε µια) f(x). H κοινή κατανοµή πιθανότητας είναι ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x )...f ( ) P () x Μια ποότητα που προκύπτει από ένα δείγµα τη διαδικαία εκτιµήεως των παραµέτρων του πληθυµού καλείται τατιτική δειγµατική υνάρτηη ή απλά τατιτική υνάρτηη ή δειγµατουνάρτηη. Μαθηµατικά µια τατιτική υνάρτηη για ένα δείγµα µεγέθους µπορεί να οριτεί ως µια υνάρτηη g(χ,...,χ ) των τυχαίων µεταβλητών Χ,...,Χ. H υνάρτηη g(χ,...,χ ) είναι µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές g(x,...,x ). H Στατιτική εξετάζει τέτοιες τυχαίες µεταβλητές και τις τιµές τους. Σε κάθε παράµετρο του πληθυµού θα υπάρχει µια αντίτοιχη τατιτική υνάρτηη από ένα δείγµα. Συνήθως, ή µέθοδος υπολογιµού της τιµής της

5 9 τατιτικής υναρτήεως από το δείγµα είναι όµοια µε τη µέθοδο υπολογιµού της παραµέτρου από έναν (πεπεραµένο) πληθυµό Όπως όµως θα δούµε, ο τρόπος αυτός µπορεί να µη δίνει την «καλύτερη εκτίµηη» για την παράµετρο. Ένα πουδαίο πρόβληµα τη θεωρία δειγµατοληψίας είναι ή εύρεη της κατάλληλης τατιτικής υναρτήεως που θα µας δώει την καλύτερη δυνατή εκτίµηη για µια παράµετρο του πληθυµού. Τέτοια προβλήµατα θα υναντήουµε ε επόµενα κεφάλαια. Γενικά, θα χρηιµοποιήουµε ελληνικά γράµµατα (π.χ. µ, ) για να υµβολίουµε τις παραµέτρους του πληθυµού και λατινικά (π.χ., s) για τις τιµές των αντίτοιχων τατιτικών υναρτήεων. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Όπως είδαµε, µια τατιτική υνάρτηη είναι µια τυχαία µεταβλητή που είναι υνάρτηη των τυχαίων µεταβλητών Χ,...,Χ ενός δείγµατος. Άρα µπορούµε να µιλάµε για κατανοµή πιθανότητας µιας τατιτικής υναρτήεως, που καλείται δειγµατοληπτική κατανοµή ή κατανοµή δειγµατοληψίας. Εάν θεωρήουµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους που µπορούµε να πάρουµε από έναν πληθυµό, έχουµε για κάθε δείγµα µια τιµή για τη τατιτική υνάρτηη. Έτι έχουµε την κατανοµή της τατιτικής υναρτήεως, δηλ. τη δειγµατοληπτική κατανοµή. Από τη δειγµατοληπτική κατανοµή µιας τατιτικής υναρτήεως µπορούµε να υπολογίουµε µέη τιµή, τυπική απόκλιη, ροπές, κτλ. H τυπική απόκλιη καλείται και τυπικό φάλµα. Η ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τυχαίες µεταβλητές για ένα δείγµα µεγέθους η, καλείται δειγµατική µέη τιµή ή µέη τιµή δείγµατος ή τυχαία µεταβλητή... ˆ () Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών ' ένα οριµένο δείγµα, τότε ή µέη τιµή αυτού του δείγµατος είναι x x... x x ˆ ()

6 50 Παράδειγµα 5.5. Σ' ένα δείγµα µεγέθους 5 οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών είναι 7, 9,,,. Συνεπώς ή µέη τιµή του δείγµατος αυτού είναι 7 9 x ˆ 5 5 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έτω f(x) η κατανοµή πιθανότητας ενός πληθυµού. Εάν πάρουµε ένα δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό, είναι φυικό να ζητήουµε την κατανοµή πιθανότητας της τατιτικής υναρτήεως ˆ. Αυτή είναι ή δειγµατοληπτική κατανοµή της µέης τιµής του δείγµατος ή κατανοµή της δειγµατικής µέης τιµής. Σχετικά είναι τα παρακάτω θεωρήµατα. Θεώρηµα 5-: Ή µέη τιµή µ x της δειγµατικής µέης τιµής ˆ είναι ( ˆ ) µ xˆ µ E () όπου µ η µέη τιµή του πληθυµού. Σύµφωνα µε το θεώρηµα αυτό η αναµενόµενη τιµή της δειγµατικής µέης τιµής ιούται µε µ. Θεώρηµα 5-: Εάν ένας πληθυµός είναι άπειρος ή εάν η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηη, τότε ή διαπορά είναι E [( ˆ µ ) ] xˆ όπου ή διαπορά του πληθυµού. x της δειγµατικής µέης τιµής (5) Θεώρηµα 5-: Εάν ο πληθυµός έχει µέγεθος Ν και πάρουµε δείγµα µεγέθους Ν χωρίς επανατοποθέτηη, τότε αντί για την (5) έχουµε ενώ η µ x δίνεται από την (). Ας ηµειωθεί ότι η () δίνει την (5), όταν Ν. N xˆ () N Θεώρηµα 5-: Εάν ο πληθυµός άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα είναι κανονικός µε µέη τιµή µ και διαπορά, τότε ή δειγµατική µέη τιµή έχει κανονική (δειγµατοληπτική) κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά /.

7 5 Θεώρηµα 5-5: Εάν ο πληθυµός άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα έχει κάποια κατανοµή (όχι αναγκατικά κανονική) µε µέη τιµή µ και διαπορά, τότε η (αντίτοιχη την Χ) τυποποιηµένη µεταβλητή ˆ µ Z (7) είναι αυµπτωτικά κανονική, δηλ. li P z ( Z z) Το θεώρ. 5-5 είναι υνέπεια του κεντρικού οριακού θεωρήµατος.. εχόµατε βέβαια ότι ο πληθυµός είναι άπειρος ή ότι η δειγµατοληψία είναι µε π e / u du (8) επανατοποθέτηη. ιαφορετικά το της (). / την (7) πρέπει να αντικαταταθεί από το x ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Έτω ότι ένας πληθυµός είναι άπειρος και διωνυµικός µε p και q-p αντίτοιχα τις πιθανότητες να έχει (επιτυχία) ή να µην έχει (αποτυχία) ένα τοιχείο του πληθυµού µια οριµένη ιδιότητα. Ένα παράδειγµα αποτελεί ο πληθυµός όλων των δυνατών ρίψεων ενός νοµίµατος µε δώει «κεφάλι». p την πιθανότητα µια oριµένη ρίψη να Θεωρούµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους από τον πληθυµό αυτό και για κάθε δείγµα θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη που παριτάνει την αναλογία ή το ποοτό των επιτυχιών το δείγµα. Έχουµε έτι τη δειγµατοληπτική κατανοµή της δειγµατικής αναλογίας επιτυχιών µε µέη τιµή και τυπική απόκλιη αντίτοιχα ( p) pq p µ p p p (9) Οι χέεις αυτές προκύπτουν από τις () και (5), αν θέουµε µ p, pq. Για µεγάλες τιµές του ( 0) η δειγµατοληπτική κατανοµή της αναλογίας είναι χεδόν κανονική, όπως προκύπτει από το θεώρ Για πεπεραµένο πληθυµό και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη η δεύτερη από τις χέεις (9) πρέπει να αντικαταταθεί από την () µε pq

8 5 Ας ηµειωθεί ότι τα δεξιά µέλη των χέεων (9) προκύπτουν εύκολα από τη µέη τιµή και την τυπική απόκλιη (p και pq ) της διωνυµικής κατανοµής µε διαίρεη µε. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ Θεωρούµε δύο πληθυµούς. Για κάθε δείγµα µεγέθους από τον πρώτο πληθυµό υπολογίζουµε την τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως S. Έτι έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή για το S µε µέη τιµή µ s και τυπική απόκλιη s. Όµοια, για κάθε δείγµα µεγέθους από το δεύτερο πληθυµό υπολογίζουµε την τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως S και έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή µε µέη τιµή µ S και τυπική απόκλιη S. Παίρνοντας όλους τους δυνατούς υνδυαµούς δύο δειγµάτων (ένα από τον πρώτο πληθυµό και ένα από το δεύτερο) έχουµε µια δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς S -S των τατιτικών υναρτήεων. Η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της δειγµατοληπτικής αυτής κατανοµής υµβολίζονται αντίτοιχα µε µ S S και και S S δίνονται από τις χέεις µ S S µ S µ S (0) S S S S µε την προϋπόθεη ότι τα δείγµατα δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο. (Λέµε ότι τα δείγµατα είναι ανεξάρτητα, όταν οι S και S είναι ανεξάρτητες.) Για παράδειγµα έτω ότι οι S και S είναι οι µέες τιµές και δύο δειγµάτων από δύο πληθυµούς µε παραµέτρους (µέη τιµή και τυπική απόκλιη) µ,, και µ, αντίτοιχα. Οι χέεις (0) δίνουν () µ xˆ xˆ µ xˆ µ xˆ µ, µ xˆ xˆ xˆ xˆ όπου χρηιµοποιήθηκαν οι () και (5). Οι χέεις (0) και () ιχύουν και για πεπεραµένα ύνολα και δειγµατοληψία µε επανατοποθέτηη. Η τυποποιηµένη µεταβλητή ( ˆ ˆ ) µ µ Z ()

9 5 έχει την περίπτωη αυτή χεδόν κανονική κατανοµή, εάν τα και είναι µεγάλα (, 0). Παρόµοια αποτελέµατα µπορούν να ληφθούν για πεπεραµένους πληθυµούς και δειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη, αν χρηιµοποιήουµε τις () και (). Αντίτοιχα αποτελέµατα προκύπτουν για δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς των ποοτών από δύο διωνυµικούς πληθυµούς µε παραµέτρους p, q και p, q αντίτοιχα. Στην περίπτωη αυτή S και S είναι οι αναλογίες των επιτυχιών Ρ και Ρ και οι χέεις () δίνουν p q µ p p p p p p, µ µ pp p p () Μερικές φορές ενδιαφερόµατε για τη δειγµατοληπτική κατανοµή του αθροίµατος των τατιτικών υναρτήεων S και S. Με τον προηγούµενο υµβολιµό η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της δειγµατοληπτικής αυτής κατανοµής είναι p q µ S S µ S µ S () S S S S για ανεξάρτητα δείγµατα. Επίης µπορούν να βρεθούν χέεις αντίτοιχες µε τις (). Η ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ Εάν Χ,Χ,...,Χ είναι οι τυχαίες µεταβλητές για ένα δείγµα µεγέθους, τότε η τυχαία µεταβλητή που δίνει τη δειγµατική διαπορά ή διακύµανη (ή διαπορά ή διακύµανη του δείγµατος) είναι S ( ˆ ) ( ˆ )... ( ˆ ) (5) Επειδή (θεώρ. 5-) Ε(Χ)µ, θα ήταν ωραίο να είχαµε και ( ) E S. Όταν η αναµενόµενη τιµή µιας τατιτικής υναρτήεως ιούται µε την αντίτοιχη παράµετρο του πληθυµού, η τατιτική υνάρτηη καλείται αµερόληπτη η αβίατη εκτιµήτρια και η τιµή της αποτελεί µια αµερόληπτη ή αβίατη εκτίµηη της παραµέτρου του πληθυµού. Είναι όµως ( S ) µ E () s που για µεγάλα (π.χ. 0) δε διαφέρει ουιατικά από το. Εάν ορίουµε

10 5 ( ) ( ) ( )... S ˆ S (7) τότε έχουµε ( ) Ŝ E (8) Από τις χέεις αυτές φαίνεται γιατί πολλοί που χρηιµοποιούν τατιτικές µεθόδους ορίζουν τη διαπορά ενός δείγµατος ίη µε Ŝ αντί για S [αντικαθιτούν το µε - τον παρονοµατή της (5)]. Εµείς όµως θα χρηιµοποιήουµε τον οριµό (5). Παράδειγµα 5.. Στο Παράδ η διαπορά του δείγµατος (ακριβέτερα η τιµή της) είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s ενώ µια αµερόληπτη εκτίµηη της διαποράς του πληθυµού είναι η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s 5 ŝ Οι προηγούµενες χέεις ιχύουν για δειγµατοληψία από άπειρο πληθυµό ή από πεπεραµένο µε επανατοποθέτηη. Εάν έχουµε δειγµατοληψία από πεπεραµένο πληθυµό µεγέθους Ν χωρίς επανατοποθέτηη, τότε ( ) s N N S µ E (9) Όταν Ν, η χέη αυτή δίνει την (). ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Παίρνοντας όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους από έναν πληθυµό και υπολογίζοντας τη διαπορά κάθε δείγµατος έχουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της δειγµατικής διαποράς. Αντί όµως για την κατανοµή της S ή της Ŝ είναι βολικότερο να βρούµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής ( ) ( ) ( ) ( )... Ŝ S (0) Η κατανοµή της τυχαίας αυτής µεταβλητής περιγράφεται από το ακόλουθο θεώρηµα:

11 55 Θεώρηµα 5-: Εάν ένας πληθυµός έχει κανονική κατανοµή, τότε η τυχαία µεταβλητή (0), που ορίζεται για κάθε δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό, έχει κατανοµή x µε - βαθµούς ελευθερίας. Για το λόγο αυτό η µεταβλητή (0) παριτάνεται υχνά µε x. ΑΓΝΩΣΤΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Σύµφωνα µε τα θεωρ. 5- και 5-5 η τυποποιηµένη τυχαία µεταβλητή µ Z () είναι κανονική, εάν ο πληθυµός (άπ' όπου παίρνουµε τα δείγµατα µεγέθους ) είναι κανονικός, ενώ είναι αυµπτωτικά κανονική, εάν ο πληθυµός δεν είναι κανονικός. Είναι φανερό ότι την () η διαπορά του πληθυµού θεωρείται γνωτή. Συχνά όµως δε γνωρίζουµε τη διαπορά του πληθυµού. Ένας τρόπος για να την εκτιµήουµε είναι να χρηιµοποιήουµε µια η περιότερες διαπορές δειγµάτων και να θέουµε την εκτίµηη την (). Μια καλύτερη λύη είναι να αντικατατήουµε την την () µε την τυχαία µεταβλητή Ŝ και να µελετήουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της νέας τατιτικής υναρτήεως µ µ T () Ŝ S Θεώρηµα 5-7: Για δείγµατα µεγέθους από κανονικό πληθυµό η τυχαία µεταβλητή () ακολουθεί την κατανοµή t µε - βαθµούς ελευθερίας. Το θεωρ. 5-7 ιχύει και για δείγµατα από πληθυµό µε καµπύλη πυκνότητας παρόµοια µε την κανονική καµπύλη (κωδωνοειδή). Επειδή δεν είναι απαραίτητο να ξέρουµε τη διαπορά του πληθυµού, λέµε ότι η προηγούµενη µέθοδος ανήκει την ακριβή δειγµατοληψία η δειγµατοληψία για µικρά δείγµατα. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΩΝ ΙΑΣΠΟΡΩΝ Προηγουµένως είδαµε πώς µπορούµε να βρούµε την κατανοµή διαφοράς τατιτικών υναρτήεων (π.χ. διαφοράς µέων τιµών). Με την ίδια µέθοδο µπορούµε να βρούµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή της διαφοράς S S των δειγµατικών

12 5 διαπορών. Η κατανοµή όµως αυτή είναι πολύπλοκη. Γι' αυτό θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη S είναι µεγάλη. / S. Εάν ο λόγος αυτός είναι πολύ διαφορετικός του, τότε η διαφορά Θεώρηµα 5-8: Θεωρούµε δύο δείγµατα µε µεγέθη και από δύο κανονικούς πληθυµούς µε διαπορές και. Εάν οι δειγµατικές διαπορές είναι αντίτοιχα S και S, η τατιτική υνάρτηη ( ) Ŝ ( ) S F () S Ŝ ακολουθεί κατανοµή F µε -, - βαθµούς ελευθερίας. Το προηγούµενο θεώρηµα µπορεί να εφαρµοτεί και για πληθυµούς µε καµπύλες πυκνότητας όµοιες µε την κανονική καµπύλη (κωδωνοειδείς καµπύλες). ΑΛΛΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Είναι φανερό ότι εκτός από τη µέη τιµή και τη διαπορά ενός δείγµατος µπορούµε να ορίουµε άλλες τατιτικές υναρτήεις, όπως διάµεη τιµή, πιθανότερη τιµή, υντελετές αυµµετρίας κυρτώεως, κτλ. Οι οριµοί είναι ανάλογοι µε αυτούς του Κεφ.. Επίης µπορούµε τις περιότερες φορές να βρούµε τις δειγµατοληπτικές κατανοµές αυτών των τατιτικών υναρτήεων τουλάχιτον τις µέες τιµές και τις τυπικές αποκλίεις τους, που καλούνται υχνά τυπικά φάλµατα. Μερικά από αυτά τα τυπικά φάλµατα δίνονται τον παρακάτω πίνακα. ΤΥΠΙΚΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στατιτική Συνάρτηη Μέη τιµή Τυπικό Σφάλµα xˆ Παρατηρήεις Η χέη Ιχύει για µεγάλα ή µικρά δείγµατα από άπειρο πληθυµό ή, αν η δειγµατοληψία είναι µ επανατοποθέτηη, από πεπεραµένο. Η δειγµατοληπτική κατανοµή της µέης τιµής είνα περίπου κανονική για 0 (αυµπτωτικά κα νονική) και αν ακόµα η κατανοµή του πληθυµού

13 57 Αναλογία p( p) ιάµεη τιµή Τυπική απόκλιη ιαπορά p δ. τ. () S pq π.5 ( ) S () ( ) S S µ µ δεν είναι κανονική. Είναι πάντα µ x µ µέη τιµή πληθυµού Οι προηγούµενες παρατηρήεις για τη µέη τιµή ιχύουν κι εδώ. Είναι πάντα µ p p Για 0 η δειγµατοληπτική κατανοµή τη (δειγµατικής) διάµεης τιµής είναι περίπου κανονική. Η χέη ιχύει για κανονικό ή περίπου κανονικό πληθυµό. Είναι πάντα µ δ.τ. µ Για 00 ή κατανοµή της S είναι περίπου κανονική. H () ιχύει για κανονικό ή περίπου κανονικό πληθυµό. Για µη κανονικό πληθυµό µπορεί να χρηιµοποιηθεί ή (). Όταν µ (που ιχύει για κανονικό πληθυµό), η () δίνει την (). Για 00, µ s µε µεγάλη προέγγιη. Οι προηγούµενες παρατηρήεις για την τυπική απόκλιη ιχύουν κι εδώ. Για κανονικό πληθυµό ή () δίνει την (). Είναι µ S ( ) / δηλ. περίπου για µεγάλο ( 0). ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Εάν ένα δείγµα (ή ακόµα κι ένας πληθυµός) είναι µεγάλο, είναι δύκολο να παρατηρήουµε διάφορα χαρακτηριτικά µεγέθη του ή να υπολογίουµε τιµές τατιτικών υναρτήεων, όπως µέη τιµή, τυπική απόκλιη, κτλ. Γι' αυτό είναι χρήιµο να οργανώνουµε κάπως τα δεδοµένα. Για παράδειγµα θεωρούµε ένα δείγµα µε βάρη 00 κιβωτίων φρούτων ενός αγροτικού υνεταιριµού. Χωρίζουµε τα δεδοµένα ε κλάεις ή τάξεις ή κατηγορίες και βρίκουµε το πλήθος των κιβωτίων κάθε

14 58 κλάεως, που καλείται υχνότητα της κλάεως αυτής. Το αποτέλεµα, που δίνεται τον παρακάτω πίνακα, καλείται κατανοµή υχνότητας ή πίνακας υχνότητας. ΒΑΡΗ 00 ΚΙΒΩΤΙΩΝ ΦΡΟΥΤΩΝ Βάρος (kg) Πλήθος Κιβωτίων Σύνολο 00 Η πρώτη κλάη περιλαµβάνει τα βάρη 0 έως και κιλά (kg). Το διάτηµα αυτό καλείται διάτηµα της κλάεως. Επειδή 5 κιβώτια έχουν βάρος το διάτηµα αυτό, η υχνότητα της κλάεως αυτής είναι 5. Τα βάρη καταγράφονται βέβαια τρογγυλεµένα την πληιέτερη µονάδα, υνεπώς ή πρώτη κλάη περιλαµβάνει την πραγµατικότητα βάρη το διάτηµα Οι ακραίες τιµές 59.5 και.5 καλούνται όρια της κλάεως. Η επόµενη κλάη είναι η.5-5.5, κτλ. Το πλάτος του διατήµατος µιας κλάεως, δηλ. το πάνω όριο µείον το κάτω όριο, υµβολίζεται µε c j. Συνήθως διαλέγουµε όλες τις κλάεις έτι ώτε να έχουν το ίδιο πλάτος, που τότε υµβολίζεται απλά µε c. Στην περίπτωη µας c Το µέο του διατήµατος µιας κλάεως καλείται µέο ή κέντρο της κλάεως και µπορεί να θεωρηθεί αν τιµή αντιπροωπευτική της κλάεως. Στο παράδειγµα µας το κέντρο της πρώτης κλάεως είναι το. Μια γραφική παράταη της κατανοµής υχνότητας µπορεί να δοθεί µε ένα ιτόγραµµα, ή µ' ένα πολύγωνο υχνότητας, δηλ. µια τεθλαµένη πολυγωνική γραµµή που ενώνει τα κέντρα των πάνω πλευρών των ορθογωνίων του ιτογράµµατος.

15 59 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Εάν τον προηγούµενο Πϊνακα ηµειώναµε τη χετική υχνότητα ή το ποοτό των κιβωτίων ε µια κλάη αντί για το πλήθος των κιβωτίων της κλάεως, θα είχαµε µια κατανοµή χετικής υχνότητας. Έτι π.χ. η χετική υχνότητα ή το ποοτό που αντιτοιχεί την κλάη -5 είναι 8/00 ή 8%. Μπορούµε να θεωρήουµε την κατανοµή της χετικής υχνότητας αν µια κατανοµή πιθανότητας, όπου οι πιθανότητες έχουν αντικαταταθεί µε χετικές υχνότητες. Οι χετικές υχνότητες µπορούν να θεωρηθούν αν εµπειρικές πιθανότητες και δρα η κατανοµή της χετικής υχνότητας αν κατανοµή εµπειρικής πιθανότητας. Στο Κεφ. είδαµε ότι για κάθε κατανοµή πιθανότητας f(x) µπορούµε να ορίουµε µια υνάρτηη κατανοµής F(x) Ρ(Χ x) και να την παρατήουµε γραφικά. Κατ αναλογία µπορούµε να ορίουµε για κάθε κατανοµή υχνότητας µια αθροιτική κατανοµή υχνότητας ή µια αθροιτική κατανοµή χετικής υχνότητας και να παρατήουµε γραφικά τα µεγέθη αυτά. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ Μπορούµε να περιγράψουµε µια κατανοµή υχνότητας δίνοντας το κέντρο κάθε κλάεως και την αντίτοιχη υχνότητα. Η ολική υχνότητα πρέπει να είναι, δηλ. f f... f f k Κέντρο Κλάεως Συχνότητα Κλάεως x f x f x k Σύνολο f k Επειδή υπάρχουν f αριθµοί ίοι µε x, f αριθµοί ίοι µε x,...,f k ίοι µε x k, η µέη τιµή τους είναι και η διαπορά (ή διακύµανη) f fx x f x... f kx k x ()

16 0 ( x x) f ( x x)... f ( x x) f ( x x) f k k s (5). Όταν όλες οι κλάεις έχουν το ίδιο πλάτος c, υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για τον υπολογιµό της µέης τιµής και της διαποράς. Σε µια τέτοια κωδικοποιηµένη µέθοδο, όπως λέγεται, αντιτοιχούµε έναν ακέραιο u τo κέντρο κάθε κλάεως µε τo µεταχηµατιµό x α cu () όπου α είναι ένα από τα κέντρα των κλάεων (αυθαίρετα εκλεγµένο). Οι τύποι για τη µέη τιµή και τη διαπορά γίνονται c x α fu α cu (7) fu fu s c (8) Παρόµοιοι τύποι ιχύουν για ροπές ανώτερης τάξεως. Έτι οι ροπές τάξεως περί τη µέη τιµή και την αρχή είναι αντίτοιχα M ( x x)... f ( x x) f ( x x) f k k (9) Οι ροπές αυτές υνδέονται µε τις χέεις κτλ. Εάν γράψουµε ( u u) f M' 0 f x... f x fx k k (0) ' ' ' ' ' ' fu ' ' ' ' τότε οι χέεις () ιχύουν και για τα Μ. Είναι όµως ' ' ( x x) f[ ( α cu) ( α cu) ] fc ( u u) f c και άρα οι () γίνονται M ()

17 0 c c c ( M' M' ) ( M' M' M' M' ) ( M' M' M' M' M' M' ) κτλ. Η δεύτερη από τις () είναι βέβαια ίδια µε την (8). Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να βρούµε κωδικοποιηµένους τύπους για αλλά τατιτικά µεγέθη, όπως η αυµµετρία, η κύρτωη, κτλ. ()

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα