και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H"

Transcript

1 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που περιέχεται τα νέου τύπου τιγάρα, μπορεί να υπολογίει ένα διάτημα εμπιτούνης και να πάρει έτι μια εκτίμηη για την άγνωτη μέη ποότητα νικοτίνης. Στην περίπτωη όμως, που ενδιαφέρεται να γνωρίζει μόνο αν τα νέου τύπου τιγάρα η μέη ποότητα νικοτίνης δεν υπερβαίνει ένα μέγιτο επιτρεπτό όριο, τότε πρέπει να κάνει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο υποθέεων ώτε να μπορεί να αποφαίει μεταξύ των υποθέεων: Η μέη ποότητα νικοτίνης δεν υπερβαίνει το μέγιτο επιτρεπτό όριο. Η μέη ποότητα νικοτίνης υπερβαίνει το μέγιτο επιτρεπτό όριο. Ο τατιτικός έλεγχος υποθέεων (hypothe tetg) είναι μια υμπεραματική διαδικαία/μέθοδος που προφέρει η Στατιτική Συμπεραματολογία και βρίκει εφαρμογή ε τοχατικά προβλήματα απόφαης μεταξύ δύο εναλλακτικών υποθέεων. Η μία υπόθεη έχει επικρατήει να υμβολίζεται με H και ονομάζεται μηδενική υπόθεη (ull hypothe), και η άλλη με H και ονομάζεται εναλλακτική υπόθεη (alteratve hypothe). Αναγκαία προϋπόθεη για τη ωτή εφαρμογή των τατιτικών ελέγχων και κυρίως για τη ωτή ερμηνεία των αποτελεμάτων τους, είναι η κατανόηη της λογικής και του νοήματός τους. Στη υνέχεια, αυτό θα προπαθήουμε. Να αναδείξουμε τη λογική, το νόημα και τα όρια εφαρμογής τους.. Βαικές Έννοιες Η γενική ιδέα της διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεων είναι η εξής: θέτουμε ως μηδενική υπόθεη ( H ) αυτή για την οποία αμφιβάλουμε, αυτή που αμφιβητείται, και εξετάζουμε αν ένα τυχαίο δείγμα που παίρνουμε από τον πληθυμό υνηγορεί-δίνει αποδείξεις υπέρ της απόρριψής της, έναντι της εναλλακτικής ( H ). Δηλαδή, η H, απορρίπτεται ή δεν απορρίπτεται με βάη το τι παρατηρείται το τυχαίο δείγμα που πήραμε από τον πληθυμό. Πιο υγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η H είναι αληθής, αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα είναι ακραίο, δηλαδή, αν έχει πολύ μικρή πιθανότητα να υμβεί, τότε απορρίπτουμε την H. Σε αντίθετη περίπτωη, δηλαδή, αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα δεν είναι ακραίο-πάνιο (όταν είναι αληθής η H ) τότε το δείγμα που πήραμε δε μας δίνει αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της H και «αποτυγχάνουμε να την απορρίψουμε». Βέβαια, με αυτή τη τρατηγική παίρνουμε «ρίκο», γιατί και τα ακραία, έτω και με πολύ μικρή πιθανότητα, μπορεί να υμβούν. Πιο υγκεκριμένα, με την υπόθεη ότι η H είναι αληθής, αν κρίνουμε ότι αυτό που παρατηρείται το τυχαίο δείγμα είναι ακραίο και την απορρίψουμε, τότε ακριβώς ένα από τα παρακάτω μπορεί να υνέβη: (α) είτε η H πράγματι δεν είναι αληθής, όποτε αποφαίαμε ωτά, (β) είτε η H είναι αληθής και το ακραίο οφείλεται την τύχη, δηλαδή, υνέβη κάτι πάνιο (εμφανίθηκε ένα δείγμα που πάνια εμφανίζεται). Στην περίπτωη αυτή, Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 5

2 απορρίψαμε λανθαμένα την H. Αυτό το φάλμα ονομάζεται φάλμα τύπου Ι (type I error). Εφόον, υπό την H, το ακραίο υπάρχει πιθανότητα, έτω πολύ μικρή π.χ.., να υμβεί, τότε, απορρίπτουμε λανθαμένα την H με πιθανότητα.. Ανάλογα, είναι δυνατόν, λανθαμένα να μην απορρίψουμε την H. Δηλαδή, να αποτύχουμε να απορρίψουμε την H, ενώ είναι αληθής η H. Αυτό το φάλμα ονομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ (type II error). Το «ρίκο», επομένως, είναι διπλό, με πιθανότητα, λανθαμένης απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου Ι) P(απόρριψη της H αληθής η H ) και λανθαμένης μη απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ). Είναι φανερό, ότι για να προχωρήουμε πρέπει να αποαφηνιτεί, α) τι εννοούμε επακριβώς όταν λέμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα»; Πώς εκφράζεται; Μπορεί να μετρηθεί-ποοτικοποιηθεί; β) Πώς κρίνουμε ότι «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» είναι ή όχι «ακραίο»; Δηλαδή, με ποιον αφή κανόνα θεωρείται το παρατηρούμενο το δείγμα «ακραίο»; Επίης, πρέπει να απαντήουμε τα εύλογα ερωτήματα: Πώς υπολογίζονται οι πιθανότητες φάλματος τύπου Ι και φάλματος τύπου ΙΙ; Μπορούν να ελαχιτοποιηθούν; Σχετίζονται με κάποιο τρόπο; Μπορούμε να τις θέουμε υπό τον έλεγχό μας; Για να απαντήουμε τα ερωτήματα αυτά, ας χρηιμοποιήουμε ένα υγκεκριμένο παράδειγμα. Θα μας βοηθήει την κατανόηη. Παράδειγμα: Το όριο αντοχής ενός τύπου καλωδίων είναι τυχαία μεταβλητή Χ, με μέη τιμή μ 5 Kgr και τυπική απόκλιη 75 Kgr. Το εργοτάιο που κατακευάζει αυτόν τον τύπο καλωδίων ιχυρίζεται ότι βελτίωε τα υλικά που χρηιμοποιεί και πλέον το όριο αντοχής των καλωδίων έχει αυξηθεί. Για να ελεγχθεί ο ιχυριμός του εργοταίου, ως μηδενική υπόθεη θέτουμε την H : μ 5 Kgr, δηλαδή, αυτήν η οποία αμφιβητείται από τον ιχυριμό που ελέγχουμε. Γενικά, η H δηλώνει ότι τον πληθυμό η κατάταη παραμένει αμετάβλητη, δεν υπάρχει αλλαγή/διαφορά ή αλλιώς, ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν έχει επίδραη την εξαρτημένη μεταβλητή για τον πληθυμό (το παράδειγμά μας, ότι η βελτίωη των υλικών δεν έχει επίδραη το όριο αντοχής των καλωδίων). Ένας δεύτερος κανόνας για τον καθοριμό της H, που έχει επίης καθιερωθεί τη διεθνή επιτημονική πρακτική, είναι ο εξής: Ως μηδενική υπόθεη θέτουμε την υπόθεη της οποίας η λανθαμένη απόρριψη εγκυμονεί τους περιότερους κινδύνους. Δηλαδή, αυτή που απαιτεί μεγαλύτερη προταία από φάλμα τύπου Ι. Για αυτό έχει επικρατήει να λέγεται μηδενική υπόθεη (υποθέτουμε μηδενική αλλαγή/διαφορά την τιμή της ελεγχόμενης παραμέτρου). Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 5

3 Ως εναλλακτική θέτουμε την H : μ > 5 Kgr, δηλαδή, η H δηλώνει ότι η βελτίωη των υλικών επηρεάζει, και ειδικότερα αυξάνει, το όριο αντοχής των καλωδίων. Γενικά, η H δηλώνει ότι τον πληθυμό υπάρχει αλλαγή/διαφορά ή αλλιώς, ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή έχει επίδραη την εξαρτημένη μεταβλητή για τον πληθυμό. Ο έλεγχος που μόλις διατυπώαμε, είναι ένας μονόπλευρος και ειδικότερα H : μ μ H : μ μ δεξιόπλευρος έλεγχος. Γενικότερα, οι έλεγχοι, ονομάζονται H : μ > μ H : μ < μ μονόπλευροι (oe-taled) έλεγχοι (δεξιόπλευρος και αριτερόπλευρος αντίτοιχα) H : μ μ και ο έλεγχος,, ονομάζεται αμφίπλευρος (two-taled). Σημειώνουμε, H : μ μ επίης, ότι τα δύο ύνολα τιμών της παραμέτρου που ελέγχουμε (το παράδειγμά μας, της μ ) που ορίζουν οι δύο υποθέεις, πρέπει προφανώς να είναι ξένα μεταξύ τους (ή το ένα άρνηη του άλλου). Τέλος, υπογραμμίζουμε ότι και οι δύο υποθέεις αναφέρονται τον πληθυμό γι αυτό δηλώνονται με όρους παραμέτρων του πληθυμού. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει και την Ειαγωγή, τη τατιτική προέγγιη προβλημάτων ελέγχεται η υμφωνία θεωρίας και εμπειρίας. Έτι, το παράδειγμά μας, αφού διατυπώαμε την υπόθεη ότι η άγνωτη μέη τιμή του πληθυμού των ορίων αντοχής των καλωδίων μετά τη βελτίωη των υλικών είναι 5Kgr ( H : μ 5 Kgr), παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα καλωδίων από το ύνολο της παραγωγής του εργοταίου και μετράμε το όριο αντοχής κάθε καλωδίου του δείγματος. Για τις ανάγκες του παραδείγματος, έτω ότι ένα τυχαίο δείγμα,,... μεγέθους 5, μας έδωε τις μετρήεις x, x,..., x5 με x 55 Kgr. Η «εμπειρία», δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, υμφωνεί άραγε με την υπόθεη H : μ 5 Kgr, δηλαδή, με ό,τι αυτή υνεπάγεται για το δείγμα (με βάη τη θεωρία πιθανοτήτων) ή μήπως δίνει αποδείξεις εναντίον της H και υπέρ της H. Για να απαντήουμε ε αυτό το ερώτημα, πρέπει, πρώτα απ όλα, να κατακευάουμε/επιλέξουμε μια κατάλληλη τατιτική υνάρτηη (tattc) T T (,,..., ), δηλαδή, μια υνάρτηη του δείγματος-δειγματουνάρτηη, ώτε να ποοτικοποιήουμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» και η οποία, υπό την H, δηλαδή όταν ιχύει η H, να ακολουθεί γνωτή κατανομή (χωρίς άγνωτες παραμέτρους) ώτε να μπορούμε να υπολογίουμε τις απαιτούμενες για τον έλεγχο πιθανότητες. Στο παράδειγμά μας, που αφορά τον έλεγχο της μέης τιμής, μ, του πληθυμού, είναι λογικό να επιλέξουμε ως τατιτική υνάρτηη Τ, τη δειγματική μέη τιμή της οποίας η κατανομή, υπό την H : μ 5 Kgr, είναι Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 5

4 γνωτή, αφού το μέγεθος του δείγματος που πήραμε είναι αρκετά μεγάλο και επομένως από το Κ.Ο.Θ. έχουμε 75 ~ N(5, ) ή ~ N(5, 4.75 ). 5 Εναλλακτικά, ως τατιτική υνάρτηη Τ, μπορούμε να επιλέξουμε την 5 ( 5) 5 Z ~ N(,) Έτι, «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», το παράδειγμά μας εκφράζεται από τη τατιτική υνάρτηη με τιμή, το υγκεκριμένο δείγμα που πήραμε, x 55 Kgr ή, ιοδύναμα, από την ( 5) 5 Z, 75 με τιμή (55 5) 5 z.. 75 Ας δούμε τώρα πώς με ποιον κανόνα ορίζουμε το «ακραίο». ος τρόπος: Επιλέγουμε-(προ)καθορίζουμε το ανεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι Αν η H : μ 5 Kgr είναι αληθής, είναι λογικό να αναμένουμε ότι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης το δείγμα που πήραμε (δηλαδή, η μέη τιμή του δείγματος) θα είναι κοντά την τιμή 5Kgr. Αντιθέτως, αν η H : μ 5 Kgr δεν είναι αληθής, αναμένουμε η μέη τιμή του δείγματος να είναι μακριά (προς την κατεύθυνη της H, δηλαδή δεξιότερα) του 5. Ένας λογικός, επομένως, έλεγχος είναι ο εξής: ορίζουμε μια τιμή c με βάη την οποία θα κρίνεται αν η δειγματική μέη τιμή βρίκεται μακριά από την μ 5 Kgr, δηλαδή θα θεωρείται ακραία. Έτι, αν το παράδειγμά μας επιλέξουμε c 53 Kgr τότε επειδή x 55 > 53, αυτό που παρατηρείται το δείγμα κρίνεται ακραίο και η H απορρίπτεται. Το κριτήριο αυτό είναι φυικά λογικό, όμως, πόο λογική-εύλογη είναι η αυθαίρετη τιμή c 53 Kgr με την οποία οριοθετήαμε τις ακραίες από της μη ακραίες δειγματικές μέες τιμές. Αν, για παράδειγμα, επιλέξουμε c 57 Kgr, τότε x 55 < 57 δηλαδή τώρα το Κατά προέγγιη Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 53

5 παρατηρούμενο το δείγμα δεν κρίνεται ακραίο και το δείγμα δεν υποτηρίζει απόρριψη της H. Τίθεται, επομένως, το ερώτημα: πώς επιλέγουμε την τιμή της ταθεράς c; Πριν απαντήουμε ε αυτό το εύλογο ερώτημα, ας υπολογίουμε την πιθανότητα να κάνουμε φάλμα τύπου Ι την περίπτωη που επιλέξουμε c 53 Kgr και αντίτοιχα την περίπτωη που επιλέξουμε c 57 Kgr. Για c 53 Kgr, έχουμε: P(φάλμα τύπου Ι)P(απόρριψη της H αληθής η H ) P ( 53 μ 5) P( ) P( Z.) Φ(.) Ομοίως, για c 57 Kgr, έχουμε: P( 57 μ 5) P( ) P( Z.83) Φ(.83) Και για οποιοδήποτε c, έχουμε: 5 c 5 ( c 5) P( c μ 5) P( ) P( Z ( c 5) ) Φ 75 5 Από τα παραπάνω, είναι φανερό ότι η τιμή της ταθεράς c επηρεάζει (ακριβέτερα, καθορίζει) την πιθανότητα φάλματος τύπου Ι που κάνουμε. Έτι, με κριτήριο τον έλεγχο του μεγέθους του φάλματος τύπου Ι (θυμηθείτε και πώς ορίζουμε την H ), μπορούμε να επιλέξουμε την τιμή της c ως εξής: Ορίζουμε ένα μέγιτο ανεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι και με βάη αυτό υπολογίζουμε την τιμή της c. Με αυτό τον τρόπο, καθορίζουμε έναν απολύτως αφή κανόνα για να κρίνουμε αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα, δηλαδή η τιμή της τατιτικής υνάρτηης Τ (το παράδειγμά μας, της ή της ( 5) Z 75 5 ), είναι Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 54

6 «ακραία» ή όχι, και πλέον, αποφαίζουμε για την απόρριψη ή τη μη απόρριψη της H, με κριτήριο ένα προκαθοριμένο μέγεθος φάλματος τύπου Ι. Το ανεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι που προκαθορίζουμε, υμβολίζεται με α και ονομάζεται επίπεδο ημαντικότητας (level of gfcace) του ελέγχου (γιατί από αυτό προκύπτει η τιμή της c που ορίζει αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα είναι ημαντικό-ημαντική απόδειξη για να υποτηρίξει την απόρριψη της H ). Συνήθως το επίπεδο ημαντικότητας,α, ορίζεται ίο με. ή.5. Ας ολοκληρώουμε τον έλεγχο, το παράδειγμά μας, θέτοντας επίπεδο ημαντικότητας α. 5. Πρέπει να επιλέξουμε τιμή c τέτοια ώτε: 5 c 5 P( c μ 5).5 P ( c 5) P Z 75 5 ( c 5).5 Φ ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ z c Έτι, επιλέγοντας c έχουμε x 55 > και επομένως απορρίπτουμε την H με πιθανότητα εφαλμένης απόρριψης το πολύ 5%. Ιοδύναμα, αν ως τατιτική υνάρτηη επιλέξουμε την ( 5) Z 75 5, έχουμε: P( Z c). 5 c z , δηλαδή, ως τιμή της c επιλέγουμε το α. 5 άνω ποοτιαίο ημείο της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, z. 5, και επειδή η (55 5) 5 τιμή της τατιτικής υνάρτηης το δείγμα, z., είναι 75 μεγαλύτερη από την c z , δηλαδή z. > z , απορρίπτουμε την H με πιθανότητα εφαλμένης απόρριψης το πολύ 5%. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 55

7 Αν η φύη του προβλήματος που εξετάζουμε επιβάλλει μεγαλύτερη «προταία» από φάλμα τύπου Ι, δηλαδή από εφαλμένη απόρριψη της H, τότε πρέπει να είματε πιο «υντηρητικοί» την απόρριψη της H και αυτό το επιτυγχάνουμε καθορίζοντας μικρότερο ανεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας. Έτι, το παράδειγμά μας, αν επιβάλλεται πιο αυτηρός έλεγχος του ιχυριμού του εργοταίου, κάνουμε τον έλεγχο ε μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας, δηλαδή, κάνουμε τον έλεγχο με μικρότερη ανοχή ε εφαλμένη απόρριψη της H, π.χ. με α.. Στην περίπτωη αυτή έχουμε: P( 5 c 5 c μ 5). P ( c 5) P Z 75 5 ( c 5). Φ ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ z c 75 Έτι, για α. είναι c και επειδή η x 55 δεν είναι μεγαλύτερη από αυτή, ε επίπεδο ημαντικότητας α. δεν απορρίπτουμε την H. ( 5) 5 Ιοδύναμα, αν ως τατιτική υνάρτηη επιλέξουμε την Z, έχουμε: 75 P( Z c). c z.. 33 και επειδή η τιμή της τατιτικής υνάρτηης το δείγμα, z., δεν είναι μεγαλύτερη από την c z.. 33, ε επίπεδο ημαντικότητας α. δεν απορρίπτουμε την H. Η ταθερά c ονομάζεται κρίιμη τιμή ή όριο απόρριψης (crtcal value, rejecto lmt) γιατί με βάη αυτή κρίνεται αν μια τιμή της τατιτικής υνάρτηης, Τ, είναι ακραία ή όχι. Ανάλογα, η τατιτική υνάρτηη Τ, ονομάζεται τατιτική Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 56

8 υνάρτηη ελέγχου (tet tattc) και οι τιμές της για τις οποίες απορρίπτεται η H ορίζουν την κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης (crtcal rego, rejecto rego). Όταν απορρίπτεται η H, το δείγμα χαρακτηρίζεται τατιτικά ημαντικό (tattcally gfcat) και έχει την έννοια ότι διαφέρει ημαντικά από αυτό που αναμενόταν από την H. Στο παράδειγμά μας, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η κρίιμη τιμή είναι c 54.8 ή, ιοδύναμα, c z Η κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης 75 είναι C { x : x 5 + z } [54.8, + ) ή, ιοδύναμα, 5 ( x 5) 5 C { z : z z } [.645, + ) και τα ευρήματα το 75 δείγμα ( x 55kgr ή, ιοδύναμα, z. ), ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, είναι τατιτικά ημαντικά. Σχόλιο. Επιημαίνουμε ότι, θέτοντας μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας, απαιτούμε πιο «ημαντικές αποδείξεις» για την απόρριψη της H και τον χαρακτηριμό των ευρημάτων μας το δείγμα ως τατιτικά ημαντικών. Έτι, μπορεί, ε κάποιο επίπεδο ημαντικότητας α, π.χ. α. 5, να απορρίπτουμε την H και ε κάποιο μικρότερο, π.χ. α., να μην την απορρίπτουμε γιατί απαιτούμε ημαντικότερες αποδείξεις. Όο πιο μικρό είναι το επίπεδο ημαντικότητας το οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την H, τόο πιο ημαντική είναι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που παρατηρείται το δείγμα, με την έννοια ότι δίνει πιο ιχυρές αποδείξεις εναντίον της H. Άρα, όο πιο μικρό είναι το επίπεδο ημαντικότητας το οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την H, τόο πιο ημαντικό, τατιτικά, είναι το αποτέλεμα του ελέγχου. Τέλος, είναι προφανές, ότι αν η H απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ημαντικότητας α, τότε επίης απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μεγαλύτερο, ενώ αν δεν απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ημαντικότητας α, τότε επίης δεν απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μικρότερο. Σημείωη: Ας δούμε, και με μια άλλη διατύπωη, τι ημαίνει «κάνω φάλμα τύπου Ι». Έτω ότι κάνω τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α και ότι η μηδενική υπόθεη είναι αληθής. Τότε, από όλα τα δείγματα μεγέθους που μπορώ να πάρω από τον πληθυμό, ποοτό το πολύ α από αυτά θα δώουν τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που απορρίπτει τη μηδενική υπόθεη (εν προκειμένω εφαλμένα). Συνοψίζοντας, ο έλεγχος του παραδείγματός μας, με τη διαδικαία που περιγράψαμε, έγινε ε έξι βήματα: ο Βήμα Ορίαμε τις δύο υποθέεις (ύμφωνα με όα αναφέρθηκαν): H : μ 5 Kgr, H : μ > 5 Kgr ο Βήμα Ορίαμε το επίπεδο ημαντικότητας α του ελέγχου: α. 5 3 ο Βήμα Ορίαμε τη τατιτική υνάρτηη ελέγχου: την ή, ιοδύναμα, Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 57

9 ( 5) 5 την Z ο Βήμα Επιλέξαμε από τον πληθυμό ένα τυχαίο δείγμα και υπολογίαμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου: x 55 Kgr ή, ιοδύναμα, z. (μέγεθος δείγματος, 5 ). 5 ο Βήμα Ορίαμε την κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου: C { x : x 5 + z. 5} { x : x } [54.8, + ), 5 5 ή, ιοδύναμα, x 5 C { z : z z } [.645, + ) ο Βήμα Εξετάαμε αν η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου βρίκεται ή όχι την κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου και αποφαίαμε με πιθανότητα φάλματος τύπου Ι, α. 5, για την απόρριψη ή όχι της μηδενικής υπόθεης: επειδή x 55 [54.8, + ) ή, ιοδύναμα, επειδή z. [.645, + ), ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, απορρίψαμε την H : μ 5 Kgr. Προοχή: Στη διατύπωη του αποτελέματος πρέπει οπωδήποτε να αναφέρεται το επίπεδο ημαντικότητας του ελέγχου γιατί με βάη αυτό κρίνεται αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα είναι τατιτικά ημαντικό ή όχι και κατά υνέπεια αν η μηδενική υπόθεη απορρίπτεται ή δεν απορρίπτεται. Στη διατύπωη του αποτελέματος θα αναφερθούμε και τη υνέχεια. Σημείωη: Διευκρινίζουμε ότι όταν λέμε «περιοχή απόρριψης», πάντοτε εννοούμε «περιοχή απόρριψης της H». Όπως, ήδη, έχουμε αναφέρει, με αυτόν τον τρόπο που εργαθήκαμε, πετύχαμε να θέουμε υπό τον έλεγχό μας το φάλμα τύπου Ι, δηλαδή, να αποφαίουμε με γνωτή-προκαθοριμένη πιθανότητα εφαλμένης απόρριψης της H. Ένας παρεμφερής τρόπος χειριμού του φάλματος τύπου Ι είναι ο ακόλουθος. ος τρόπος: Υπολογίζουμε την P-Τιμή (P-Value) του δείγματος Με δεδομένο ότι η H : μ 5 είναι αληθής, υπολογίζουμε την πιθανότητα να εμφανιθεί η τιμή x 55 Kgr που εμφανίθηκε το δείγμα ή κάποια μεγαλύτερή της (δηλαδή, κάποια τιμή προς την κατεύθυνη της H ). Ζητάμε την πιθανότητα P( 55 / H ) ή P ( 55 / μ 5) και επειδή γνωρίζουμε την κατανομή της έχουμε, P( 55 μ 5) P( ) P( Z.) Φ(.) Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται P-Τιμή (P-Value) του δείγματος και είναι η πιθανότητα να εμφανιθεί η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που εμφανίθηκε (το παράδειγμά μας, x 55 Kgr ή z. ) ή κάποια πιο μακριά (πιο ακραία), προς την κατεύθυνη της H, δεδομένου ότι η Η ο είναι αληθής. Έτι, Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 58

10 υπολογίζοντας την P-τιμή του δείγματος, γνωρίζουμε πόο πιθανή ήταν η εμφάνιη του δείγματος που πήραμε με την υπόθεη ότι η H είναι αληθής. Επομένως, όο πιο μικρή είναι η P-Τιμή τόο ιχυρότερες ενδείξεις εναντίον της H προκύπτουν από το υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα ή αλλιώς τόο πιο ημαντική είναι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που δίνει το δείγμα. Στο παράδειγμά μας, υπολογίαμε ότι η P-Τιμή του δείγματος που πήραμε, είναι ίη με.7 ή.7%. Eπομένως, αν κάνουμε τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α. %, δηλαδή, αν θέλουμε πιο «ημαντικές αποδείξεις» εναντίον της H από αυτές που παρατηρούνται το δείγμα, τότε δεν την απορρίπτουμε, ενώ αν κάνουμε τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α.5 5% τότε την απορρίπτουμε (γιατί την περίπτωη αυτή, απαιτούμε λιγότερο «ημαντικές αποδείξεις» εναντίον της H ) 3. Στο επόμενο χήμα έχουμε μεγεθύνει τη δεξιά ουρά της κατανομής της Z και φαίνονται ευκρινώς οι περιοχές που αντιτοιχούν το α. 5, την P τιμ ή.7 και το α. Έτι, υπολογίζοντας την P-Τιμή, μπορούμε άμεα να την υγκρίνουμε με όποιο α και αν επιλέξουμε και να αποφαίουμε για την απόρριψη ή όχι της H. Ειδικότερα, αν P-Τιμή α, τότε, ε επίπεδο ημαντικότητας α, η H απορρίπτεται. αν P-Τιμή > α, τότε, ε επίπεδο ημαντικότηταςα, η H δεν απορρίπτεται. Συνοψίζοντας, από τα παραπάνω, είναι προφανές, ότι. H P-τιμή μπορεί να οριθεί και ως εξής: P-Τιμή είναι η ελάχιτη τιμή του επιπέδου ημαντικότητας για την οποία απορρίπτεται η Η ο.. H P-τιμή είναι ένα μέτρο το οποίο εκφράζει πόο ιχυρές είναι οι αποδείξεις που προκύπτουν από το δείγμα, εναντίον της Η ο. Σημείωη: Στη βιβλιογραφία, για την P-Τιμή, χρηιμοποιείται και ο όρος, παρατηρούμενο επίπεδο ημαντικότητας (oberved gfcace level). Τον αναφέρουμε, όμως, δεν τον υνιτούμε. 3 Θυμηθείτε ότι μικρότερο α ημαίνει ότι απαιτούνται πιο ημαντικές αποδείξεις εναντίον της H. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 59

11 Σε αυτή την ενότητα, προπαθήαμε, με ένα παράδειγμα, να περιγράψουμε, να εφαρμόουμε και κυρίως να αναδείξουμε το νόημα και τη λογική της γενικής διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεων. Βέβαια, το παράδειγμα που χρηιμοποιήαμε, ο έλεγχος είναι ένας μονόπλευρος, δεξιόπλευρος έλεγχος για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού του οποίου γνωρίζουμε τη διαπορά,, και το τυχαίο δείγμα που χρηιμοποιήαμε είναι αρκετά μεγάλο ώτε η προέγγιη που παίρνουμε από το Κ.Ο.Θ. για την κατανομή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου να είναι ικανοποιητική. Δηλαδή, είναι μια ειδική-υγκεκριμένη περίπτωη ελέγχου για τη μέη τιμή ενός πληθυμού. Όμως, η μέθοδος που αναλύαμε είναι γενική. Δεν αλλάζει αν, αντί μονόπλευρος, ο έλεγχος είναι αμφίπλευρος ή αντί τη μέη τιμή, μ, αφορά τη διαπορά,, ενός πληθυμού, ή αν το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο ή όχι, ή αντί τη μέη τιμή ενός πληθυμού αφορά τη διαφορά μ μ των μέων τιμών μ, μ δύο πληθυμών, κ.ο.κ. Οι διάφορες περιπτώεις τατιτικών ελέγχων διαφοροποιούνται, ή την επιλογή τατιτικής υνάρτηης ελέγχου ή/και τη μορφή της περιοχής απόρριψης ([ c, + ) ή (-, c] ή, c ] [ c, + ), αντίτοιχα). ( Στην επόμενη ενότητα, δίνουμε τη τατιτική υνάρτηη ελέγχου και την περιοχή απόρριψης για διάφορες περιπτώεις που μπορεί να εμφανιθούν τον τατιτικό έλεγχο της μέης τιμής, μ, ενός πληθυμού.. Στατιτικοί έλεγχοι υποθέεων για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού Θα αναφερθούμε τον έλεγχο της υπόθεης, H : μ μ, δηλαδή, της υπόθεης ότι η άγνωτη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού έχει τιμή μ. Ειδικότερα, θα δώουμε τη τατιτική υνάρτηη ελέγχου τις ακόλουθες περιπτώεις (α), (β) και (γ) όπου ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή ακολουθεί αντίτοιχα, κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά οποιαδήποτε κατανομή με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος δείγματος είναι μεγάλο. (α) Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά. Έτω τυχαίο δείγμα,,... από ένα πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμενη), δηλαδή, ~ N( μ, ),,,...,. Από τη θεωρία πιθανοτήτων γνωρίζουμε ότι την περίπτωη αυτή, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, ανεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, είναι κανονική κατανομή με ( μ ) ~ N( μ, ) και επομένως Z ~ N(, ). ( μ ) Επειδή η διαπορά,, του πληθυμού είναι γνωτή, την Z δεν υπάρχουν άγνωτοι παράμετροι και επομένως η τιμή της, z, μπορεί να υπολογιθεί από το δείγμα. Έτι, εργαζόμενοι όπως το παράδειγμά μας, αν x η τιμή της το δείγμα, έχουμε: Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 6

12 Σε επίπεδο ημαντικότητας α, απορρίπτουμε την H : μ μ, έναντι της H : μ > μ, όταν, x μ + zα, ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ z ) z α έναντι της H : μ < μ, όταν, x μ zα, ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ ) z z α έναντι της H : μ μ, όταν, x μ zα ή x μ + z ή, ιοδύναμα, όταν, α ( x μ ) z z α Σημείωη: Στην περίπτωη που η διαπορά,, του πληθυμού είναι γνωτή και το μέγεθος του δείγματος,, είναι μεγάλο (θεωρητικά +, την πράξη 3 ), οι παραπάνω περιοχές απόρριψης ιχύουν για οποιονδήποτε πληθυμό, όχι κατ ανάγκη κανονικό (βλ. Κ.Ο.Θ.). Όμως, την περίπτωη αυτή, οι αντίτοιχοι έλεγχοι είναι κατά προέγγιη επιπέδου ημαντικότητας α, γιατί η κατανομή της τατιτικής υνάρτηης ( μ ) ελέγχου ή, ιοδύναμα, της Z δεν είναι, την περίπτωη αυτή, κανονική αλλά προεγγίζεται από την κανονική. Φυικά, όο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόο καλύτερη είναι η προέγγιη. Η υπόθεη που κάναμε ότι η διαπορά,, του πληθυμού είναι γνωτή, δεν είναι μια ρεαλιτική υπόθεη. Στην πράξη, η διαπορά του πληθυμού υνήθως είναι άγνωτη. Oι δύο περιπτώεις που ακολουθούν, αναφέρονται το πώς εργαζόματε όταν η διαπορά του πληθυμού είναι άγνωτη. (β) Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά. Έτω τυχαίο δείγμα,,... από ένα πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμενη), δηλαδή, ~ N( μ, ),,,...,. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 6

13 Επειδή η διαπορά του πληθυμού,, είναι άγνωτη, δε μπορούμε ως τατιτική ( μ υνάρτηη ελέγχου να χρηιμοποιήουμε την Z ) γιατί δε μπορούμε να υπολογίουμε την τιμή της, z, από το δείγμα. Γι αυτό, εκτιμάμε την άγνωτη διαπορά,, από την (αμερόληπτη) δειγματική διαπορά S ( ) ( μ ) και ως τατιτική υνάρτηη ελέγχου, χρηιμοποιούμε την T, η οποία, S είναι γνωτό ότι όταν ~ N( μ, ),,,...,, και ανεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, ακολουθεί την κατανομή t (την κατανομή Studet με - βαθμούς ελευθερίας). Δηλαδή, ( μ ) T ~ t. S Είναι επομένως λογικό, την περίπτωη που εξετάζουμε, οι περιοχές απόρριψης να ορίζονται με βάη το άνω α ή το άνω α ποοτιαίο ημείο της κατανομής t ( t ; α και t ; α, αντίτοιχα). Έτι, έχουμε: Σε επίπεδο ημαντικότητας α, απορρίπτουμε την H : μ μ, έναντι της H : μ > μ, όταν, x μ + t ;α ή, ιοδύναμα, όταν, t x ( μ ) t ; α έναντι της H : μ < μ, όταν, x μ t ;α ή, ιοδύναμα, όταν, t x ( μ ) t ; α έναντι της H : μ μ, όταν, x μ t ; α ή x μ + ή, ιοδύναμα, όταν, t ; α t x ( μ ) t ; α Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 6

14 Στο ημείο αυτό, αξίζει να αναφέρουμε λίγα τοιχεία για την προέλευη της κατανομής Studet. Η κατανομή t ή κατανομή Studet, προτάθηκε το 98 από τον Wllam Goet. Στη χετική εργαία που δημοίευε ("The probable error of a mea", Bometrka, 6, -5, 98), για λόγους εμπορικού απορρήτου, χρηιμοποίηε το ψευδώνυμο Studet. O Goet είχε πουδάει Χημεία και Μαθηματικά και εργαζόταν το Δουβλίνο για τη γνωτή ζυθοποιία Gue ε θέματα τατιτικής υμπεραματολογίας. Τα προβλήματα τατιτικής υμπεραματολογίας που μελετούε, αφορούαν πειράματα το κτήμα της ζυθοποιίας για τη βελτίωη ποικιλιών κριθαριού!!! Αφετηρία της ιδέας του Goet ήταν μια απλή παρατήρηη. Επειδή ήταν αναγκαμένος να εργάζεται με ( μ μικρού μεγέθους δείγματα, παρατήρηε ότι η κατανομή της T ) για μικρά S δείγματα, έχει μεν κωδωνοειδή μορφή και είναι υμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα το όπως η Z ~ N(, ), όμως έχει πιο «παχιές» ουρές. Παρατήρηε, δηλαδή, ότι για μικρά δείγματα, η Z ~ N(, ), για πολύ μικρές και πολύ μεγάλες τιμές της ( μ ) T προβλέπει μικρότερες πιθανότητες από αυτές με τις οποίες S υμβαίνουν. Δείτε το χήμα που ακολουθεί, όπου φαίνεται η Z ~ N(, ) και το ( μ ) ιτόγραμμα 5 τιμών της T που υπολογίθηκαν από 5 δείγματα S μεγέθους 4 το καθένα από μια κανονική κατανομή. Η παρατήρηη του Goet είναι προφανής. Παρατηρείτε, επίης, το παρακάτω χήμα, την Z ~ N(, ) και την t για και. Η t είναι πιο πεπλατυμένη (πιο χαμηλή κορυφή και πληιάζει τον οριζόντιο άξονα πιο αργά). Επίης, παρατηρείτε ότι η μορφή της επηρεάζεται από το μέγεθος του δείγματος. Η t παρουιάζει αυτή τη μεταβλητότητα ως προς το, γιατί η διαπορά της, V ( t ), >, εξαρτάται από το. Γι αυτό, όο το αυξάνεται, η μεταβλητότητά της ελαττώνεται και πληιάζει την Z ~ N(, ( ) ) 4. 4 Σκεφθείτε επίης ότι η t επηρεάζεται από δύο τυχαίες ποότητες ( και S ) ενώ η μόνο από την. Όο το αυξάνεται η εκτίμηη χρηιμοποιείται περιότερη πληροφορία! ( μ ) Z της από την S γίνεται καλύτερη γιατί Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 63

15 Η αξία και η χρηιμότητα της κατανομής t τον έλεγχο τατιτικών υποθέεων αναγνωρίθηκε και αναδείχθηκε, πολλά χρόνια αργότερα, από τον διακεκριμένο τατιτικό και γενετιτή R.. Fher ("pplcato of "Studet'" dtrbuto", Metro 5: 9 4, 95). Έκτοτε, η κατανομή t είναι γνωτή και ως κατανομή Studet (Studet dtrbuto) και οι χετικοί έλεγχοι τατιτικών υποθέεων ως t-tet. Σημείωη: Σημειώνουμε, τέλος, ότι παρότι το t-tet προϋποθέτει να είναι κανονικός ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή και από τον οποίο παίρνουμε το δείγμα, εντούτοις, την πράξη αποδεικνύεται «ανθεκτικό» ε αυτή την υπόθεη. Δηλαδή, το επίπεδο ημαντικότητας του ελέγχου είναι κοντά το α ακόμη και αν η υπόθεη της κανονικότητας του πληθυμού δεν ικανοποιείται. Φυικά, αυτό δε υμβαίνει αν η κατανομή του πληθυμού απέχει δραματικά από την κανονική κατανομή (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη κ.τλ.) και το μέγεθος του δείγματος είναι πολύ μικρό. (γ) Ο πληθυμός ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο. Έτω τυχαίο δείγμα,,... από ένα πληθυμό με κατανομή F (οποιαδήποτε), με άγνωτη διαπορά και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμενη). Με την υπόθεη ότι το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (θεωρητικά +, την πράξη 3 ) μπορεί να αποδειχθεί 5 ότι η τατιτική υνάρτηη ( μ T ) προεγγίζεται ικανοποιητικά από την Z ~ N(, ). Δηλαδή, S ( μ ) T Z ~ N(,). S Επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α, απορρίπτουμε την H : μ μ, έναντι της H : μ > μ, όταν, x μ + z α, ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ z ) zα. έναντι της H : μ < μ, όταν, x μ z α, 5 Η απόδειξη παραλείπεται. Σημειώνουμε μόνο ότι για την απόδειξη χρηιμοποιείται το Κ.Ο.Θ. και όχι μόνο! Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 64

16 ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ ) z zα. έναντι της H : μ μ, όταν, x μ zα ή x μ + zα ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ ) z zα. ( μ Σχόλιο: Επειδή, την περίπτωη αυτή, η κατανομή της T ) δεν είναι S κανονική N (, ), αλλά προεγγίζεται από την N (, ), οι έλεγχοι είναι επιπέδου ημαντικότητας α, κατά προέγγιη. Φυικά, όο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόο καλύτερη είναι η προέγγιη. Ερώτηη: Αν ο πληθυμός είναι κανονικός, με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, τότε προφανώς εφαρμόζεται ο έλεγχος της περίπτωης (β) αλλά και της περίπτωης (γ). Τι λέτε, τίθεται ουιατικό δίλημμα επιλογής ελέγχου 6 ; Ας δούμε τώρα μερικές ακήεις και εφαρμογές. Θα μας βοηθήουν να εξοικειωθούμε τη διάκριη των παραπάνω περιπτώεων, που ίως φαντάζουν λαβύρινθος. Όμως, δεν είναι! Εφαρμογή-: Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος μιας υγκεκριμένης φυλής αγελάδων είναι 4Kgr (ανά αγελάδα). Ένας ερευνητής θέλει να ελέγξει αν τις κτηνοτροφικές μονάδες της Μακεδονίας και της Θράκης οι αγελάδες της υγκεκριμένης φυλής έχουν τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Για το κοπό αυτό και με βάη ένα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, επέλεξε ένα δείγμα 4 αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής από μονάδες της Μακεδονίας και της Θράκης και κατέγραφε κάθε μέρα, επί ένα έτος, την παραγωγή γάλακτος κάθε μιας αγελάδας του δείγματος. Η μέη ετήια παραγωγή των 4 αγελάδων, βρέθηκε 39Kgr με τυπική απόκλιη 5Kgr. Θα κάνουμε κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για να ελέγξουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, αν αυτό που παρατηρήθηκε το δείγμα υποτηρίζει ότι η μέη ετήια απόδοη των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Ο πληθυμός του οποίου θα ελέγξουμε τη μέη τιμή είναι οι ετήιες αποδόεις γάλακτος όλων των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής που εκτρέφονται τη Μακεδονία και τη Θράκη. Ας υμβολίουμε με Χ την ετήια παραγωγή γάλακτος ε Kgr, μιας οποιαδήποτε αγελάδας της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη και με,,... 4 τις ετήιες αποδόεις τυχαίου δείγματος 4 αγελάδων από τον πληθυμό. Στο υγκεκριμένο δείγμα που πήρε ο ερευνητής, οι τιμές του δείγματος, x, x,... x4, έδωαν x 39kgr με 5kgr. 6 Θυμηθείτε ότι για μεγάλα ιχύει: t α zα ; Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 65

17 Ως μηδενική υπόθεη θέτουμε αυτή που αμφιβητείται από τον ερευνητή (γι αυτό την ελέγχει) δηλαδή την: H : μ 4 Kgr. Ως εναλλακτική θέτουμε την H : μ 4 Kgr, γιατί ο ερευνητής θέλει να ελέγξει πιθανή διαφοροποίηη της μέης απόδοης και όχι διαφοροποίηή της προς κάποια κατεύθυνη (αύξηη ή μείωη). Ως τατιτική υνάρτηη ελέγχου θα χρηιμοποιήουμε την ( μ ) Z ~ N(,) γιατί η διαπορά του πληθυμού είναι άγνωτη και το S μέγεθος του δείγματος είναι 4 > 3 (περίπτωη (γ)). Επειδή ο έλεγχος είναι αμφίπλευρος, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είναι: z z.5 ή z z. 5 ή z.96 z.96 ή z. 96. Υπολογίζουμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου το δείγμα. Έχουμε: ( x μ ) (39 4) 4 z.8. 5 Ελέγχουμε αν η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που βρήκαμε, βρίκεται την περιοχή απόρριψης. Πράγματι, επειδή z.8. 96, η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου βρίκεται την περιοχή απόρριψης και επομένως ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη. Συμπέραμα: Σε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, το δείγμα δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Αλλιώς: Το δείγμα δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Η πιθανότητα το υμπέραμα αυτό να είναι λάθος είναι το πολύ 5%. Παρατήρηη-: Αν ο ερευνητής έχει υπόνοιες ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη, είναι μικρότερη από την αναφερόμενη τη βιβλιογραφία, τότε πρόκειται για άλλο πρόβλημα, για άλλο ερευνητικό ερώτημα. Στην περίπτωη αυτή πρέπει να γίνει ο έλεγχος της H : μ 4 Kgr έναντι της H : μ < 4 Kgr. Ερώτηη: Τι λέτε, είναι απαραίτητο να κάνουμε τον έλεγχο ή μήπως μπορούμε να υμπεράνουμε το αποτέλεμά του από το αποτέλεμα του αμφίπλευρου ελέγχου που ήδη κάναμε; Παρατήρηη-: Αν κάνουμε τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α., η περιοχή απόρριψης είναι: z z. ή z z. 5 ή z.58 z.58 ή z. 58. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 66

18 Η τιμή, z. 8, της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου, φυικά, δεν αλλάζει και επειδή τώρα δε βρίκεται την περιοχή απόρριψης, η μηδενική υπόθεη ε επίπεδο ημαντικότητας α. δεν απορρίπτεται. Δηλαδή, η διαφορά των 9Kgr (μεταξύ δειγματικού μέου, x 39kgr, και μηδενικής υπόθεης, μ 4 Kgr) τώρα δεν κρίνεται ως τατιτικά ημαντική. Αυτό, φυικά, δεν είναι παράδοξο αφού θέτοντας α. απαιτούμε πλέον πιο ιχυρές αποδείξεις εναντίον της μηδενικής υπόθεης. Ερώτηη: Σε επίπεδο ημαντικότητας α. ή α. 3 είναι άραγε τατιτικά ημαντική αυτή η παρατηρούμενη διαφορά; Για να απαντήουμε, μπορούμε φυικά να υγκρίνουμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου με την αντίτοιχη, για κάθε περίπτωη, κρίιμη τιμή. Μπορούμε όμως να κάνουμε κάτι καλύτερο και να δώουμε μια πληρέτερη απάντηη. Να υπολογίουμε την P-τιμή του δείγματος, δηλαδή, το ελάχιτο επίπεδο ημαντικότητας για το οποίο απορρίπτεται η μηδενική υπόθεη ή αλλιώς, να υπολογίουμε πόο ημαντική (... επιτέλους) είναι αυτή η τιμή που εμφανίθηκε το υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα. Έχουμε: P τιμή P( Z.8) P( Z.8) + P( Z.8) [ Φ(.8)] + [ Φ(.8)].6. Έτι, ε επίπεδο ημαντικότητας α. και α. δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη ενώ ε επίπεδο ημαντικότητας α. 3 την απορρίπτουμε. Άκηη-: Από έναν πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή, πήραμε ένα δείγμα μεγέθους 9, με x 6 μονάδες και μονάδες. Ας κάνουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεης H : μ 65 έναντι της εναλλακτικής H : μ 65. Προφανώς, κατάλληλο είναι το t-tet (κανονικός πληθυμός με άγνωτη διαπορά, περίπτωη (β)). Ο έλεγχος είναι αμφίπλευρος και επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είναι: t t8;.5 t.36 t.36 ή t.36. (6 65) 9 Επειδή t. 5, η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου δεν βρίκεται την περιοχή απόρριψης και επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α.5, δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη. Ερώτηη: Μη απορρίπτοντας την H : μ 65, αποδείξαμε άραγε ότι είναι αληθής; Δηλαδή, αποδεχόματε ότι η μέη τιμή, μ, του πληθυμού είναι ίη με 65 και είματε βέβαιοι γι αυτό; Απάντηη: Όχι! Δεν αποδείξαμε ότι μ 65. Απλώς αποτύχαμε να απορρίψουμε την H : μ 65. Γι αυτό, το υμπέραμα δε γράψαμε ότι αποδεχόματε τη μηδενική Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 67

19 υπόθεη αλλά ότι δεν την απορρίπτουμε. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας κάνουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, τον έλεγχο της H : μ 55 έναντι της H : μ 55. (6 55) 9 Η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου είναι t. 5. Η περιοχή απόρριψης είναι όπως και προηγουμένως, t.36 ή t. 36, και επομένως η μηδενική υπόθεη H : μ 55, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, επίης δεν απορρίπτεται. Δηλαδή, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, τόο η H : μ 65 όο και η H : μ 55 δεν απορρίπτονται. Επομένως, αν γράψουμε ότι αποδεχόματε τη μηδενική, τι αποδεχόματε; Ότι η μέη τιμή είναι 65 ή ότι είναι 55; Η απάντηη είναι η εξής: όπως έχουμε αναφέρει, όταν ε ένα τατιτικό έλεγχο απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη όπως και όταν δεν την απορρίπτουμε, δεν είματε βέβαιοι για το υμπέραμά μας. Είναι πιθανόν να κάνουμε φάλμα τύπου Ι ή φάλμα τύπου ΙΙ, αντίτοιχα. Την πιθανότητα φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, την πιθανότητα να κάνουμε φάλμα όταν απορρίπτουμε τη μηδενική τη γνωρίζουμε. Είναι το πολύ α και τη δηλώνουμε. Όταν δεν απορρίπτουμε τη μηδενική δεν είναι ωτό το υμπέραμά μας να γράψουμε ότι «αποδεχόματε τη μηδενική υπόθεη» χωρίς να έχουμε υπολογίει και να δηλώνουμε την πιθανότητα αυτό το υμπέραμα να είναι λάθος, δηλαδή, χωρίς να έχουμε υπολογίει την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ. Και αυτό γιατί αποδοχή ημαίνει απόδειξη-βεβαιότητα κάτι το οποίο δε υμβαίνει αφού υπάρχει πιθανότητα το υμπέραμά μας αυτό να είναι λάθος. Επειδή, όπως θα δούμε την επόμενη ενότητα, ο υπολογιμός της πιθανότητας φάλματος τύπου ΙΙ, υνήθως, δεν είναι εφικτός (γιατί είναι υνάρτηη της πραγματικής τιμής της παραμέτρου που ελέγχουμε), όταν η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α, δεν απορρίπτεται, το υμπέραμα πρέπει να γράφουμε «η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α, δεν απορρίπτεται» ή ακριβέτερα, «ε επίπεδο ημαντικότητας α, αποτύχαμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεη» και να αποφεύγουμε να γράφουμε «ε επίπεδο ημαντικότητας α αποδεχόματε τη μηδενική υπόθεη». Συμπληρωματικά με το αποτέλεμα του ελέγχου, και προκειμένου να έχουμε μια εκτίμηη της άγνωτης μέης τιμής που ελέγχουμε, μπορούμε να υπολογίουμε ένα ( α ) % διάτημα εμπιτούνης. Στην περίπτωη που εξετάζουμε, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη μέη τιμή, μ, του πληθυμού είναι: x ± t ; ή 6 ± t α 8;. 5 ή 6 ± 9. 4 ή [5.776, 69.4]. 9 Δηλαδή, με βάη αυτό που παρατηρείται το δείγμα, η μηδενική υπόθεη H : μ 65 (ή η μηδενική υπόθεη H : μ 55) ε επίπεδο ημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται και το διάτημα [5.776, 69.4], με πιθανότητα 95%, περιέχει η άγνωτη μέη τιμή, μ, του πληθυμού. Παρατηρείτε ότι τόο η τιμή 55 όο και η τιμή 65 βρίκονται εντός του 95% διατήματος εμπιτούνης. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 68

20 Ερώτηη: Τι λέτε, χετίζεται το διάτημα εμπιτούνης με την περιοχή μη απόρριψης της μηδενικής υπόθεης; Σχόλιο για το νόημα της μη απόρριψης της μηδενικής υπόθεης: Κάτι ανάλογο με τη διαδικαία ελέγχου τατιτικών υποθέεων που περιγράψαμε, υμβαίνει και τη διαδικαία λήψης δικατικών αποφάεων. Όταν ένας πολίτης οδηγείται ε δίκη, αυτό υμβαίνει γιατί αμφιβητείται η αθωότητά του. Οι δικατές θέτουν ως μηδενική υπόθεη ότι ο κατηγορούμενος πολίτης είναι αθώος 7 (δηλαδή, αυτή που αμφιβητείται) και ως εναλλακτική ότι είναι ένοχος. Η δικατική διαδικαία κοπό έχει να διαπιτώει αν υπάρχουν ημαντικά αποδεικτικά τοιχεία εναντίον της αθωότητας του κατηγορουμένου, δηλαδή, εναντίον της μηδενικής υπόθεης. Αν δεν προκύψουν τέτοια τοιχεία η μηδενική υπόθεη δεν απορρίπτεται και ο κατηγορούμενος απαλλάεται των κατηγοριών. Αυτό δε ημαίνει ότι, κατ ανάγκη, αποδείχθηκε η αθωότητά του. Σημαίνει ότι δεν βρέθηκαν ημαντικά τοιχεία εναντίον της αθωότητάς του. Άκηη-: Από έναν πληθυμό με άγνωτη κατανομή και άγνωτη διαπορά, πήραμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 36. Από παλαιότερες έρευνες είναι γνωτό ότι η μέη τιμή του πληθυμού είναι μ 83, όμως υπάρχουν υπόνοιες ότι έχει αλλάξει. Το δείγμα που πήραμε έδωε, x 86. και. α) Να γίνει, ε επίπεδο ημαντικότητας α.5, κατάλληλος τατιτικός έλεγχος για τη μέη τιμή του πληθυμού. β) Αν αλλαγή της μέης τιμής ημαίνει μόνο αύξηη, αλλάζει κάτι τον έλεγχο που πρέπει να κάνουμε; Στο υμπέραμα; α) Με βάη όα έχουμε αναφέρει για τον καθοριμό των δύο υποθέεων, πρέπει να κάνουμε τον έλεγχο της H : μ 83 έναντι της H : μ 83. Παρότι δε γνωρίζουμε αν είναι κανονική η κατανομή του πληθυμού ούτε και τη διαπορά του, επειδή το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή ( x μ ) απόρριψης του ελέγχου είναι z z. 5 (περίπτωη (γ)), δηλαδή, z z.5 ή z z.5 z.96 ή z.96. (86. 83) 36 Η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου είναι z. 9 και επειδή, προφανώς, δεν ανήκει την περιοχή απόρριψης, ε επίπεδο ημαντικότητας α.5, η μηδενική υπόθεη δεν απορρίπτεται. Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, δε δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι έχει αλλάξει η μέη τιμή. β) Είναι προφανές, ότι την περίπτωη αυτή, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, πρέπει να κάνουμε τον έλεγχο της ίδιας μηδενικής υπόθεης H : μ 83, έναντι όμως της εναλλακτικής H : μ > 83. Επειδή τώρα πρόκειται για μονόπλευρο-δεξιόπλευρο έλεγχο, η περιοχή απόρριψης είναι, z z.5 ή z. 645 και επειδή για την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου έχουμε z , η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, απορρίπτεται. Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη τιμή έχει αυξηθεί! 7 Έτι προβλέπεται από το δικαιακό μας ύτημα ( ακόμη.): «ο κατηγορούμενος είναι αθώος μέχρι αποδείξεως του εναντίου». Ας ελπίουμε ότι δε θα επιτρέψουμε ε μεθόδους ιεράς εξέταης όπου ο κατηγορούμενος έπρεπε να αποδείξει την αθωότητά του... Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 69

21 Ερώτηη: Εξηγείτε, με βάη τη λογική της διαδικαίας ελέγχου, γιατί τα αποτελέματα των δύο ελέγχων που κάναμε τα (α) και (β) δεν είναι αντιφατικά 8. Εφαρμογή-: Τα βιομηχανικά απόβλητα που ρίχνονται τα ποτάμια, απορροφούν το διαλυμένο το νερό οξυγόνο, με υνέπεια αυτό να μειώνεται και όταν η μέη τιμή του δεν υπερβαίνει τα 5ppm, να δημιουργείται οβαρό πρόβλημα επιβίωης των υδρόβιων οργανιμών. Tο πρόβλημα αυτό είχε διαπιτωθεί, πριν από αρκετά χρόνια, και τον ποταμό Καλαμά. Για την αντιμετώπιή του εφαρμόθηκε ειδικό πρόγραμμα αποκατάταης και προταίας του ποταμού. Ένας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας που είχε κοπό να διερευνήει αν απέδωαν τα μέτρα προταίας, έπρεπε, μεταξύ άλλων δεικτών, να μελετήει την ποότητα διαλυμένου οξυγόνου τα νερά του ποταμού. Για το κοπό αυτό, πήρε, με βάη κατάλληλο χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, μετρήεις από ημεία της κοίτης του ποταμού. Οι μετρήεις έδωαν τις εξής τιμές διαλυμένου οξυγόνου(ε ppm): 5, 5., 5., 5., 4.9, 5.3, 5, 5., 5., 5.. Με βάη αυτές τις τιμές, μπορεί ο φοιτητής να υμπεράνει ότι τον ποταμό Καλαμά η μέη ποότητα διαλυμένου οξυγόνου είναι πλέον μεγαλύτερη από 5ppm; Ο φοιτητής μελετάει την ποότητα, Χ, διαλυμένου οξυγόνου τα νερά του ποταμού Καλαμά με βάη ένα τυχαίο δείγμα,,..., μετρήεων. Αν μ είναι η άγνωτη μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, πρέπει να κάνει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για να ελέγξει αν οι τιμές x, x,... x που έδωε το υγκεκριμένο δείγμα που πήρε, υποτηρίζουν την απόρριψη της μηδενικής υπόθεης H : μ 5ppm ή, πιο ωτά, της H : μ 5ppm, υπέρ της εναλλακτικής 9. H : μ > 5 ppm Η κατανομή του πληθυμού δεν είναι γνωτή. Επίης, η διαπορά του δεν είναι γνωτή και το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό ( < 3 ). Αυτή η περίπτωη δεν εντάεται τις περιπτώεις (α), (β) ή (γ) που μελετήαμε προηγουμένως. Αν το μέγεθος του δείγματος ήταν μεγάλο, ως περιοχή απόρριψης θα μπορούαμε να πάρουμε την αντίτοιχη, για τον έλεγχο που κάνουμε, της περίπτωης (γ). Όμως δεν είναι. Επίης, αν γνωρίζαμε ότι η κατανομή του πληθυμού είναι κανονική, θα εφαρμόζαμε το t-tet (περίπτωη (β)). Τι κάνουμε επομένως; Με βάη όα μέχρι τώρα γνωρίζουμε, ένα δρόμο έχουμε. Να ανατρέξουμε τη βιβλιογραφία και να αναζητήουμε, από ανάλογες έρευνες, πληροφορίες για την κατανομή της ποότητας διαλυμένου οξυγόνου τα νερά ποταμών με υνθήκες ανάλογες του Καλαμά. Τέτοιες έρευνες πράγματι βρέθηκαν και από αυτές προκύπτει ότι η κατανομή διαλυμένου οξυγόνου προομοιάζει με την κανονική και ε κάθε 8 Σκεφθείτε ότι, παρότι τόο ο αμφίπλευρος όο και ο δεξιόπλευρος έλεγχος έγιναν το ίδιο επίπεδο ημαντικότητας, εντούτοις τον δεξιόπλευρο είματε πιο ανεκτικοί ε φάλμα λανθαμένης απόρριψης της μηδενικής. 9 Σημειώτε ότι η περιοχή απόρριψης της μηδενικής δεν αλλάζει αν αντί της H : 5 ppm μ θεωρήουμε την H : μ 5ppm. Ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή είναι οι τιμές διαλυμένου οξυγόνου την κοίτη του ποταμού. Η Στατιτική προφέρει και άλλο δρόμο. Με κατάλληλους τατιτικούς ελέγχους αλλά και με κατάλληλες γραφικές μεθόδους και εργαλεία μπορούμε να ελέγξουμε αν το δείγμα μας προέρχεται από κανονικό πληθυμό και αν αυτό δε υμβαίνει μπορούμε να εφαρμόουμε μη παραμετρικούς ελέγχους. Σε όλα αυτά θα αναφερθούμε ε άλλη ενότητα. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 7

22 περίπτωη δεν παρουιάζει οβαρές αυμμετρίες. Με βάη αυτή την πληροφορία και δεδομένου ότι το μέγεθος του δείγματος δεν είναι πολύ μικρό, μπορούμε να εφαρμόουμε το t-tet (περίπτωη (β)) αφού όπως έχουμε αναφέρει η εμπειρία έχει δείξει ότι αυτό είναι «ανθεκτικό» την υπόθεη της κανονικότητας του πληθυμού. Η υνέχεια είναι πλέον γνωτή. Ορίζουμε το επίπεδο ημαντικότητας του ελέγχου, έτω α. 5, και υπολογίζουμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου ( μ ) T αφού προηγουμένως υπολογίουμε την τιμή x της και την τιμή S της S το δείγμα που πήραμε. (5. 5) Έτι έχουμε, x 5. ppm και. 5ppm και επομένως, t Ελέγχουμε αν η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται την περιοχή απόρριψης. Ο έλεγχος είναι δεξιόπλευρος και επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είναι: t t 9;. 5 ή t. 833 και επειδή t , η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου βρίκεται την περιοχή απόρριψης και επομένως ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη. Συμπέραμα: Σε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, το δείγμα δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα διαλυμένου οξυγόνου τον ποταμό Καλαμά είναι πλέον μεγαλύτερη από 5ppm. Ερώτηη: Ο φοιτητής με τον έλεγχο που έκανε, απέρριψε τη μηδενική υπόθεη ότι η μέη ποότητα διαλυμένου οξυγόνου είναι μικρότερη ή το πολύ ίη με 5ppm υπέρ της εναλλακτικής ότι είναι μεγαλύτερη από 5ppm με πιθανότητα αυτό το υμπέραμα να είναι λάθος το πολύ 5%. Όμως, για τον επιβλέποντα καθηγητή, αυτό το υμπέραμα δεν είναι αρκετό και του ζήτηε μια εκτίμηη της μέης ποότητας διαλυμένου οξυγόνου. Τι πρέπει να κάνει ο φοιτητής; Άκηη-3 (κατανόηης): Ένας ερευνητής έκανε ένα μονόπλευρο τατιτικό έλεγχο, ε επίπεδο ημαντικότητας α., και το αποτέλεμα του ελέγχου ήταν ότι η μηδενική υπόθεη απορρίπτεται. Ένας άλλος ερευνητής, χρηιμοποιώντας το ίδιο δείγμα έκανε έναν αμφίπλευρο έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, και το αποτέλεμα του ελέγχου ήταν ότι η μηδενική υπόθεη δεν απορρίπτεται. Είναι δυνατόν να είναι ωτά και τα δύο αποτελέματα; Απάντηη: Όχι. Σκεφθείτε γιατί. Ερώτηη: Αν, ε επίπεδο ημαντικότητας α, η μηδενική υπόθεη H : μ μ απορρίπτεται υπέρ της εναλλακτικής H : μ > μ τότε, το ίδιο επίπεδο ημαντικότητας, πρέπει απαραιτήτως να απορρίπτεται και υπέρ της H : μ μ ; Απάντηη: Όχι! Σκεφθείτε γιατί. Το δείγμα που χρηιμοποιήαμε είναι δυτυχώς υποθετικό. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 7

23 3. Η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ και η ιχύς ενός τατιτικού ελέγχου Στη διαδικαία τατιτικού ελέγχου υποθέεων που περιγράψαμε τα προηγούμενα, δεν αναφερθήκαμε καθόλου το τι υμβαίνει με την πιθανότητα λανθαμένης μη απόρριψης της H, δηλαδή, την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ. Η πιθανότητα αυτή υμβολίζεται με β. Έτι, ενώ αν απορρίψουμε την H, γνωρίζουμε με ποια πιθανότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί να είναι λάθος (είναι το πολύ α ), αντίθετα, αν δεν απορρίψουμε την H, με όα μέχρι τώρα αναφέραμε, δεν γνωρίζουμε με ποια πιθανότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί να είναι λάθος, αφού δεν υπολογίαμε την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ). Φροντίαμε, δηλαδή, για την «προταία» από φάλμα τύπου Ι και δεν αχοληθήκαμε με το φάλμα τύπου ΙΙ, δηλαδή, με το φάλμα που κάνουμε όταν, ενώ είναι αληθής η H, αποτυγχάνουμε να απορρίψουμε την H. Κατά υνέπεια, δε γνωρίζουμε και την πιθανότητα, β P(απόρριψη της H αληθής η H ), δηλαδή, την ικανότητα του ελέγχου να «διακρίνει-αναγνωρίζει» υπαρκτές ημαντικές διαφορές του δείγματος από την H και έτι να μην αποτυγχάνει να την απορρίψει. Η πιθανότητα, β, ονομάζεται ιχύς (power) του ελέγχου ή, ακριβέτερα (θα δούμε τη υνέχεια γιατί), υνάρτηη ιχύος (power fucto) του ελέγχου. Μεγαλύτερη ιχύς ημαίνει μεγαλύτερη πιθανότητα να μην αποτύχουμε να απορρίψουμε την H όταν είναι αληθής η H (και επομένως πιο καλός έλεγχος). Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πώς μπορούμε να υπολογίουμε την πιθανότητα λανθαμένης μη απόρριψης της H, β, και, κατά υνέπεια, την ιχύ, β, του ελέγχου. Στο παράδειγμά μας με τη μέη αντοχή των καλωδίων, τον έλεγχο της H : μ 5 Kgr, έναντι της H : μ 5 Kgr, ε επίπεδο ημαντικότητας > α., δεν απορρίψαμε την H. Ας υπολογίουμε την πιθανότητα, η απόφαή μας αυτή να είναι λανθαμένη, δηλαδή, την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β. Αν μεταξύ των δύο υποθέεων, αληθής είναι η H : μ > 5 Kgr, δηλαδή, αν η πραγματική-αληθής μέη τιμή, μ, της αντοχής των καλωδίων μετά τη βελτίωη των υλικών είναι ένας αριθμός μ μεγαλύτερος των 5Kgr, τότε ζητάμε την πιθανότητα β, να μην απορρίψουμε την H : μ 5 Kgr (ενώ θα έπρεπε, αφού αληθής είναι η H ). Έχουμε: β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H : μ μ > 5 ) μ P ( < μ μ) ( μ < μ P ) ( μ P Z < ) Φ( ) μ Δηλαδή, β Φ( ), μ > Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 7

24 Παρατηρούμε, ότι η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, εξαρτάται από την πραγματική τιμή μ της άγνωτης παραμέτρου μ. Έτι, κάνοντας τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α., αν η πραγματική τιμή είναι μ 58, η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ είναι: β Φ( ) Φ(.9) Φ(.9).84, 4.75 ενώ αν μ 6 είναι, β Φ( ) Φ (.7) Φ (.7) Δηλαδή, το παράδειγμά μας, όο πιο μακριά από την H : μ 5 Kgr (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου μ, τόο η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ ελαττώνεται 3. Αντίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου, μ β Φ( ), μ > 5, 4.75 εξαρτάται και αυτή από την πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου, μ, και μάλιτα, το παράδειγμά μας, είναι μια αύξουα υνάρτηη γιατί η τιμή της αυξάνεται όταν η πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου μ, αυξάνεται. Έτι, όο πιο μακριά από την H : μ 5 Kgr (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου μ, τόο αυξάνεται η ικανότητα του ελέγχου να «αναγνωρίζει» ημαντικές διαφορές του δείγματος από την H και να μην αποτυγχάνει να την απορρίψει ωτά 4. Η γραφική παράταη της υνάρτηης ιχύος ονομάζεται καμπύλη ιχύος (power curve) του ελέγχου. Στο χήμα που ακολουθεί φαίνεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου του παραδείγματός μας για α.. 3 Είναι λογικό; 4 Είναι λογικό; Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 73

25 Από την καμπύλη ιχύος φαίνεται ότι, όο αυξάνεται η πραγματική τιμή της μ, η ιχύς του ελέγχου τείνει προς το. Επίης, όταν η πραγματική τιμή της παραμέτρου μ, τείνει προς την τιμή 5, η ιχύς του ελέγχου μειώνεται και τείνει προς το. α!! Σχόλιο για τη χρηιμότητα της καμπύλης ιχύος: Με χρήη κατάλληλου λογιμικού, είναι πολύ εύκολο να πάρουμε την καμπύλη ιχύος ενός τατιτικού ελέγχου. Έτι, έχουμε τη διάθεή μας μια γραφική αναπαράταη της «αποδοτικότητας» του ελέγχου, δηλαδή, της ικανότητάς του να απορρίπτει ωτά τη μηδενική υπόθεη. Αν, για παράδειγμα, το εργοτάιο ιχυριθεί ότι η μέη αντοχή των καλωδίων με τα νέα υλικά αυξήθηκε και μάλιτα τώρα πλέον είναι ίη με 59Kgr, και πράγματι είναι έτι, τότε, από την καμπύλη ιχύος του ελέγχου και χωρίς άλλους υπολογιμούς εύκολα διαπιτώνουμε ότι η πιθανότητα να διακρίνει ωτά ο έλεγχος τις δύο υποθέεις και να απορριφθεί ωτά η H : μ 5 Kgr υπέρ της H : μ μ 59 Kgr είναι περίπου 9%. Επίης, από την καμπύλη ιχύος, μπορούμε να δούμε πόο γρήγορα αυξάνει η ιχύς του ελέγχου και να υγκρίνουμε γραφικά την ιχύ του με την ιχύ κάποιου άλλου ελέγχου για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H. Αναφέρουμε, τέλος, χωρίς απόδειξη, ότι ο έλεγχος που εφαρμόαμε το παράδειγμά μας, είναι ο πλέον ιχυρός από οποιονδήποτε άλλο, δηλαδή, οδηγεί τη μικρότερη δυνατή πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H. Από τον οριμό της πιθανότητας φάλματος τύπου ΙΙ, β, είναι προφανές ότι αυτή επηρεάζεται από το επίπεδο ημαντικότητας, α, του ελέγχου (αφού η κρίιμη τιμή του ελέγχου προκύπτει από το α ). Όμως, πώς επηρεάζεται; Ας κάνουμε τον έλεγχο του παραδείγματός μας ε μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας, α.. Στην περίπτωη αυτή, φυικά, η H : μ 5Kgr δεν απορρίπτεται Η κρίιμη τιμή τώρα είναι c 5 + z ή, ιοδύναμα, μ c z. 3.9 και επομένως, β Φ( ), μ > 5. Έτι, αν για 4.75 παράδειγμα, μ 58, τότε β Φ( ) Φ(.4) Αφού, όπως είδαμε, δεν απορρίπτεται ε α.. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 74

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (ypothesis Testig) Βασικές έννοιες Γενική μεθοδολογία Σφάλμα τύπου Ι και -vlue Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 4 ο - Κ. Μπλέκας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΠΑΤΑΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ ΑΜ: /4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ ΚΥΡΙΑΚΗ Σ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Μεταπτυχιακη Διατριβη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαηματικα

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Έλεγχοι υποθέσεων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.1 Μέθοδοι Κατακευής 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα