Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Transcript

1 Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης

2 Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ /

3 Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε το υντελετή υχέτιης ρ ΧΥ. Λύη: Παράδειγμα b b b < > α α α ρ

4 Έτω ΧΥ Τ.Μ. με Χ~Ν0 Χ και ΥΧ Υπολογίτε το υντελετή υχέτιης ρ ΧΥ. Λύη: Γραμμικά Ανεξάρτητες. Παράδειγμα 0 d N 0 0 > d N 0 0 ρ

5 Έτω ΧΖ ανεξάρτητες κανονικές Τ.Μ. και ΥαΧbΖ Υπολογίτε το υντελετή υχέτιης ρ ΧΥ. Λύη: Παράδειγμα Z b Z b Z b Ζ Χ Ζ Χ Υ Ζ Χ α α Χ Ζ Ζ Ζ Ζ α α α α ± Ζ 0 0 ή ρ α ρ α α α ρ

6 Τυχαία Διανύματα Οριμός: Η υλλογή των Τ.Μ. ορίζει ένα Τυχαίο Διάνυμα Τ.Δ. που παίρνει τιμές ε ένα m-διάτατο χώρο R m. m

7 Στατιτικές ιδιότητες Τ.Δ. Οι τατιτικές ιδιότητες του Τ.Δ. καθορίζονται από την από κοινού υνάρτηη κατανομής Από κοινού Σ.Π.Π.: m m m P F m m m M F M

8 Στατιτικές ιδιότητες Τ.Δ. Οριακές Σ.Π.Π.: M- ης τάξης: M- ης τάξης: ης τάξης M M M d M M M M M d M M d M M d M d d M M M

9 Στατιτικές ιδιότητες Τ.Δ. Υπό υνθήκη Σ.Π.Π. των Χ Χ Χ Χ :

10 Αναμενόμενες τιμές d d g g d d g g g

11 Διανυματικός υμβολιμός Ορίαμε το Τ.Δ. Χ ως ένα διάνυμα m T... m Οι τιμές του Τ.Δ. μπορούν να οριτούν ως ημεία τον m-διάτατο χώρο Rm: χ T χ χ... χ m

12 Μέη τιμή ενός Τ.Δ. Οριμός: Μέη αναμενόμενη τιμή του Τ.Δ. Χ ορίζεται ως το m διάνυμα Χ m m

13 Πίνακας Συνδιακύμανης ενός Τ.Δ. Οριμός:

14 Ανεξάρτητες/Αυχέτιτες υνιτώες Τ.Δ. Αν M είναι αυχέτιτες θα έχουν διαγώνιο πίνακα υνδιακύμανης: Αν M είναι ανεξάρτητες αυχέτιτες διαγώνιος πίνακας υνδιακύμανης.

15 Πολυδιάτατη Κανονική Κατανομή Ένα Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάτατη κανονική κατανομή εαν έχει Σ.Π.Π. της μορφής: Αν οι υνιτώες του διανύματος είναι ανεξάρτητες:

16 Πολυδιάτατη Κανονική Κατανομή Ο εκθέτης της Σ.Π.Π. γίνεται: Η Σ.Π.Π. γίνεται:

17 Ιδιότητες Πολυδιάτατης Κανονικής Κατανομής Αν το Τ.Δ. Χ μπορεί να χωριτεί: Όπου Τότε: N M N N Ε Ε Χ Ε Σ Σ Σ Σ Σ Χ Χ Χ Χ Χ Χ

18 Ιδιότητες Πολυδιάτατης Κανονικής Κατανομής Αν ο πίνακας υνδιακύμανηςσ Χ είναι διαγώνιος και Χ ακολουθεί κανονική κατανομή οι υνιτώες του Τ.Δ. Χ είναι ανεξάρτητες : Για κανονικές κατανομές μόνο: Κανονικές Αυχέτιτες ΤΜ Κανονικές Ανεξάρτητες ΤΜ

19 Γραμμικές υναρτήεις Τ.Δ. Θεωρείτε το Τ.Δ. ΥΧb. Υπολογίτε μέη τιμή και πίνακα υνδιακύμανης του Υ.

20 Παράδειγμα Έτω Χ ακολουθεί τετραδιάτατη κανονική κατανομή με και Χ Τ Χ Τ. Υπολογίτε την κατανομή του Χ Αντίτοιχα: ~ N

21 Παράδειγμα Υπολογίτε την κατανομή του Aκανονική κατανομή με Α ΑΣ Σ Α Σ Τ Χ Υ Χ Υ Υ Υ ~ N

22 Παράδειγμα Υπολογίτε την κατανομή του δεδομένου του Χ ακολουθεί κανονική κατανομή με Σ Σ

23 Συναρτήεις Τυχαίας Μεταβλητής g Οι υναρτήεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας ορίζονται με βάη ιοδύναμα ενδεχόμενα Συνεχείς ΤΜ: Ετω οι K ρίζες της εξίωης g K. Η ΣΠΠ της ΤΜ δίδεται από ' g g k ' k

24 Παράδειγμα Ετω ότι η ΤΜ ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή. Δώτε την ΣΠΠ της ΤΜ Χ. < ' 0 ' 0 g g g

25 Συναρτήεις πολλών μεταβλητών Δίδεται η από κοινού Σ.Π.Π. των : και οι μεταχηματιμένες Τ.Μ. g g Η από κοινού Σ.Π.Π. των υπολογίζεται αντίτοιχα με τη υνάρτηη μιας Τ.Μ. από τις ρίζες του υτήματος εξιώεων και την Ιακωβιανή Jcobin του μεταχηματιμού: ρίζες g g k k

26 Συναρτήεις πολλών μεταβλητών Η από κοινού Σ.Π.Π. των είναι: Ιακωβιανή: J k k k k J J

27 Παράδειγμα Παράδειγμα: δύο αντιτάεις Χ Χ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες το διάτημα μεταξύ 9 και ohms. Βρείτε την Σ.Π.Π. της Τ.Μ. Υ που αντιπροωπεύει τον παράλληλο υνδυαμό των Χ Χ.

28 Γραμμικός μεταχηματιμός Θεωρείτε το γραμμικό μεταχηματιμό A B ή Υποθέτοντας οτι ο Α είναι nonsingulr έχουμε: n n nn n n n n n b b b

29 Παράδειγμα: Άθροιμα δύο Τ.Μ. Παράδειγμα: Έτω όπου ανεξάρτητες Τ.Μ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. της υναρτήει των Σ.Π.Π. των Παράδειγμα: είναι ανεξάρτητες Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες το [-]. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του αθροίματος τους.

30 Γραμμικός μεταχηματιμός πολυδιάτατης κανονικής κατανομής Το Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάτατη κανονική κατανομή με ΕΧ 0 και πίνακα υνδιακύμανηςσ Χ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του Τ.Δ. Υ ΑΧ όπου Α είναι αντιτρέψιμος.