ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Transcript

1 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009

2 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή χρηιµοποιήθηκε αρχικά από τους De Moivre και Laplace ως προέγγιη της διωνυµικής κατανοµής για µεγάλο αριθµό δοκιµών ν. Ο Gauss χρηιµοποίηε την κανονική κατανοµή ως προεγγιτική της κατανοµής των τυχαίων φαλµάτων διαφόρων µετρήεων. Για το λόγο αυτό η κατανοµή αυτή αναφέρεται υχνά ως Γκαουιανή κατανοµή. Η ονοµαία κανονική δόθηκε πιο πρόφατα από τον Karl Pearson.

3 Οριµός Ετω X µια υνεχής τυχαία µεταβλητή µε υνάρτηη πυκνότητας ( ) f(x) = x µ e 2, < x <, (1) όπου < µ <, 0 < < είναι παράµετροι. Η κατανοµή της τ.µ. X υµβολίζεται N(µ, 2 ) και καλείται κανονική κατανοµή µε παραµέτρους µ και 2.

4 Σηµειώνουµε ότι η υνάρτηη (1) είναι µη αρνητική και εκτελώντας διαδοχικά τους µεταχηµατιµούς z = (x µ)/ και u = z/ 2 και το ολοκλήϱωµα του Euler, e u2 du = 0 π 2, υµπεραίνουµε ότι f(x)dx = 1 = 1 e 1 2 ( ) 2 x µ dx e z2 /2 dz = 2 e u2 du = 1, π όπως απαιτείται από τον οριµό της υνάρτηης πυκνότητας. 0

5 Θεώρηµα Ετω ότι η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε υνάρτηη πυκνότητας (1). Τότε η µέη τιµή και η διαπορά αυτής δίνονται από τις E(X) = µ, V(X) = 2. Απόδειξη. Η µέη τιµή, ύµφωνα µε τον οριµό, δίνεται από την E(X) = 1 ( ) 2 xe 1 x µ 2 dx. Θέτοντας z = (x µ)/, οπότε x = µ + z, υνάγουµε την E(X) = µ 1 = µ + 1 [ e z2 /2 e z2 /2 dz + 1 ] = µ ze z2 /2 dz

6 Η διαπορά δίνεται από την V(X) = 1 (x µ) 2 e 1 2 ( ) 2 x µ dx. Θέτοντας και πάλιν z = (x µ)/, οπότε x = µ + z, υνάγουµε την V(X) = 2 1 z 2 e z2 /2 dz και ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες, παίρνουµε [ ] V(X) = 2 1 ze z2 / e z2 /2 dz = 2.

7 Το διάγραµµα της υνάρτηης πυκνότητας της κανονικής κατανοµής είναι κωδωνοειδές. Η µέη τιµή µ προδιορίζει τη ϑέη της καµπύλης ως προς τον άξονα των x και η τυπική απόκλιη το οξύ ή πεπλατιµένο του χήµατος. Η ειδική περίπτωη µ = 0, = 1 παρουιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Σχετικά, η τυποποιηµένη τυχαία µεταβλητή Z = (X µ)/ έχει υνάρτηη πυκνότητας ϕ(z) = 1 e z2 /2, < x < (2) και υνάρτηη κατανοµής Φ(z) = z 1 e t2 /2 dt, < z <. (3) Η κατανοµή N(0, 1) καλείται τυποποιηµένη κανονική κατανοµή.

8 Η πινακοποίηη της υνάρτηης κατανοµής της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής (3) διευκολύνει τη χρήη της. Τον χετικό πίνακα υνεπικουρεί και η ακόλουθη ιδιότητά της. Θεώρηµα Η υνάρτηη κατανοµής της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής ικανοποιεί τη χέη Φ( z) = 1 Φ(z), < z <. (4)

9 Απόδειξη. Η υνάρτηη Φ( z) = z ϑέτοντας t = u, µετχηµατίζεται την Εποµένως Φ( z) = z 1 e u2 /2 du = 1 e t2 /2 dt, z 1 e u2 /2 du. Φ(z) + Φ( z) = = z 1 e t2 /2 dt + z 1 e t2 /2 dt = 1 1 e u2 /2 du

10 Ο υπολογιµός πιθανοτήτων που αφορούν µία κανονική τυχαία µεταϐλητή X µε µέη τιµή E(X) = µ και διαπορά V(X) = 2 ανάγεται τον υπολογιµό πιθανοτήτων που αφορούν την τυποποιηµένη τυχαία µεταβλητή Z = (X µ)/ και γίνεται µε τη χρήη των πινάκων της Φ(z), ύµφωνα µε το ακόλουθο πόριµα. Πόριµα Αν η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή N(µ, 2 ), τότε ( ) ( ) ϐ µ α µ P(α X ϐ) = Φ Φ, α ϐ (5) και ειδικότερα ( ) ( ) ϐ µ α µ P(X ϐ) = Φ, P(X α) = 1 Φ. (6)

11 Απόδειξη. Χρηιµοποιώντας το ότι η τυποποιηµένη τ.µ. Z = (X µ)/ ακολουϑεί την N(0, 1) µε υνάρτηη κατανοµής τη Φ(z), παίρνουµε τη Ϲητούµενη έκφραη ( ) ( α µ α µ P(α X ϐ) = P X µ ϐ µ ( ) ( ) ϐ µ α µ = Φ Φ. = P Z ϐ µ ) Επίης P(X ϐ) = P ( X µ ϐ µ ) ( = P Z ϐ µ ) ( ) ϐ µ = Φ, και ( ) α µ P(X α) = 1 P(X α) = 1 Φ.

12 Παράδειγµα Ετω ότι η τυχαία µεταβλητή X, η οποία εκφράζει ποοτικά κάποιο χαρακτηριτικό (ύψος, ϐάρος) των ατόµων ενός πληθυµού, ακολουϑεί την κανονική κατανοµή N(µ, 2 ). Να υπολογιθεί η πιθανότητα η X να απέχει από τον µέο µ το πολύ κ τυπικές αποκλίεις, για κ = 1, 2, 3. Ειάγοντας την τυποποιηµένη τ.µ. Z = (X µ)/, υνάγουµε για τη Ϲητούµενη πιθανότητα την έκφραη P( X µ κ) = P( Z κ) = P( κ Z κ) = Φ(κ) Φ( κ) = 2Φ(κ) 1.

13 Από τον πίνακα της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής έχουµε Φ(1) = 0,8413, Φ(2) = 0,9772 και Φ(3) = 0,9987 και έτι P(µ X µ + ) = P( X µ ) = 2Φ(1) 1 = 0, %, P(µ 2 X µ+2) = P( X µ 2) = 2Φ(2) 1 = 0, %, P(µ 3 X µ+3) = P( X µ 3) = 2Φ(3) 1 = 0, ,7%, Εποµένως, το 68% περίπου των τιµών ενός κανονικού πληθυµού ϐρίκονται ε απόταη το πολύ µιας τυπικής απόκλιης, το 95% περίπου ε απόταη δύο τυπικών αποκλίεων και το 99,7% περίπου ε απόταη τριών αποκλίεων από τον µέο µ του πληθυµού. Τα υµπεράµατα αυτά είναι χρήιµα τη τατιτική υµπεραµατολογία.

14 Παράδειγµα Ας υποθέουµε ότι η διάρκεια κύηης X µιας γυναίκας ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέη τιµή µ = 270 ηµέρες και τυπική απόκλιη = 30 ηµέρες. Να υπολογιθεί η πιθανότητα η διάρκεια της κύηης να είναι µικρότερη από επτά µήνες. Ειάγοντας την τυποποιηµένη τ.µ. Z = (X µ)/, όπου µ = 270 και = 30, υνάγουµε για τη Ϲητούµενη πιθανότητα την έκφραη ( ) X P(X < 210) = P < = P(Z < 2) = Φ( 2) = 1 Φ(2) Από τον πίνακα της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής έχουµε Φ(2) = 0,9773 και έτι P(X < 210) = Φ( 2) = 1 Φ(2) = 1 0,9773 = 0,0227 2%.

15 Παράδειγµα Ετω ότι ο χρόνος εµφάνιης X ενός ϕωτογραφικού ϕιλµ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέη τιµή µ = 30 min και τυπική απόκλιη = 1,2 min. Να υπολογιθούν (α) η πιθανότητα ο χρόνος εµφάνιης ενός ϕιλµ να µη υπερβεί τα 28 min και (ϐ) η πιθανότητα ε δύο τουλάχιτο από 10 ϕιλµ ο χρόνος εµφάνιης να µη υπερβεί τα 28 min. (α) Η πιθανότητα ο χρόνος εµφάνιης να µην υπερβεί τα 28 min δίνεται από την ( ) X P(X 28) = P 1,2 1,2 = P(Z 1,67) = 1 Φ(1,67) = 0,0475 5%.

16 (ϐ) Η πιθανότητα ε δύο τουλάχιτο από 10 ϕιλµ ο χρόνος εµφάνιης να µη υπερβεί τα 28 min ϐρίκεται αν ϑεωρήουµε τον αριθµό Y των ϕιλµ (από τα 10) µε χρόνο εµφάνιης το πολύ 28 min. Τότε η τ.µ. Y ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή, µε ν = 10 δοκιµές και πιθανότητα επιτυχίας p = P(X 28) = 0,05, και η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι P(Y 2) = 1 P(Y < 2) = 1 P(Y = 0) P(Y = 1) ( ) ( ) = 1 (0,05) 0 (0,95) 10 (0,05) 1 (0,95) 9 = 0,

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.1. Ετω ότι η τυχαία µεταβλητή X έχει την οµοιόµορφη κατανοµή το διάτηµα [α, ϐ]. Αν E(X) = 1 και V(X) = 3, (α) να υπολογιθούν οι ταθερές α και ϐ, (ϐ) να προδιοριθεί η πυκνότητα της τυχαίας µεταβλητής Y = X και (γ) να ϐρεθούν οι E(Y) και V(Y). (α) E(X) = α + ϐ 2 (ϐ α)2 = 1, V(X) = = 3 12 α + ϐ = 2, (ϐ α) 2 = 36, ϐ α > 0, α = 2, ϐ = 4 Εποµένως f X (x) = 1 6, 2 x 4

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ϐ) Συνεπώς (γ) f Y (y) = { fx (y) + f X ( y), 0 y 2 f X (y), 2 x 4. f Y (y) = { 1/3, 0 y 2 1/6, 2 x 4. E(Y) = ydy [ y 2 ydy = 6 ] 2 0 [ y ] 4 2 = = 5 3 E(Y 2 ) = E(X 2 ) = α2 + αϐ + ϐ 2 3 ( ) 2 5 = 4, V(Y) = 4 = =