ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Transcript

1 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη κέηξν θαη λα βξίζθεηαη ζηελ εκηεπζεία O Η εκηεπζεία O ιέγεηαη θεηικόρ ημιάξοναρ O ελώ ε O ιέγεηαη απνηηικόρ ημιάξοναρ O Ι Μ() Αλ ηώξα πάλσ ζηνλ άμνλα έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο ηέηνηνο ώζηε πάξνπκε έλα ζεκείν Μ επεηδή OM // i ζα ππάξρεη αθξηβώο OM ι Τνλ αξηζκό ηνλ νλνκάδνπκε ηεημημένη ηνπ Μ Αιιά θαη αληηζηξόθσο από ηελ ηζόηεηα OM ι πξνθύπηεη όηη ζε θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό αληηζηνηρεί κνλαδηθό ζεκείν Μ ηνπ άμνλα κε ηεηκεκέλε Τν ζεκείν απηό ζπκβνιίδεηαη κε () Καρηεζιανό Επίπεδο Πάλσ ζε έλα επίπεδν ζρεδηάδνπκε δύν θάζεηνπο άμνλεο θαη κε θνηλή αξρή θαη κνλαδηαία δηαλύζκαηα ηα i θαη Λέκε ηόηε όηη έρνπκε έλα οπθοκανονικό ζύζηημα ζςνηεηαγμένων ζηο επίπεδο ή απινύζηεξα έλα ζύζηημα ζςνηεηαγμένων ζηο επίπεδο ή αθόκα έλα καπηεζιανό επίπεδο θαη ην ζπκβνιίδνπκε κε O Τν ζύζηεκα O ιέγεηαη νξζνθαλνληθό γηαηί είλαη νξζνγώλην θαη θαλνληθό ξζνγώλην είλαη γηαηί νη άμνλεο θαη είλαη θάζεηνη θαη θαλνληθό γηαηί ηα δηαλύζκαηα i θαη είλαη ηζνκήθε Πάλσ ζην θαξηεζηαλό επίπεδν O παίξλνπκε έλα ζην M θαη ζεκείν Μ Από ην Μ θέξλνπκε ηελ παξάιιειε ζηνλ πνπ ηέκλεη ηνλ ηελ παξάιιειε ζηνλ πνπ ηέκλεη ηνλ πξνο ηνλ άμνλα θαη ε ηεηκεκέλε ηνπ M σο πξνο ηνλ άμνλα ηόηε ν ιέγεηαη ηεημημένη ηνπ Μ θαη ν ηεηαγμένη ηνπ Μ Η ηεηκεκέλε θαη ε ηεηαγκέλε ιέγνληαη ζςνηεηαγμένερ ηος Μ Έηζη ζε θάζε ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρεί έλα δεύγνο ζπληεηαγκέλσλ Μ i Μ() Μ ζην M Αλ είλαη ε ηεηκεκέλε ηνπ M σο

2 Αιιά θαη αντιστρόυως ζε θάζε δεύγνο ( ) πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ αληηζηνηρεί κνλαδηθό ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ην νπνίν βξίζθεηαη σο εμήο: Πάλσ ζηνλ άμνλα παίξλνπκε ην ζεκείν M ( ) θαη ζηνλ ην ζεκείν M ( ) Από ηα M θαη M θέξλνπκε παξάιιειεο ζηνπο άμνλεο θαη αληηζηνίρσο πνπ ηέκλνληαη ζην Μ Τν ζεκείν Μ είλαη ην δεηνύκελν Έλα ζεκείν Μ κε ηεηκεκέλε θαη ηεηαγκέλε ζπκβνιίδεηαη θαη κε M( ) ή απιά κε ( ) Σσνηεηαγμένες Διανύζμαηος Έζησ O έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζην επίπεδν θαη έλα δηάλπζκα ηνπ επηπέδνπ Με αξρή ην ζρεδηάδνπκε ην δηάλπζκα OA α Αλ A θαη A είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Α ζηνπο άμνλεο θαη αληηζηνίρσο έρνπκε: OA OA OA () Αλ είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ A ηόηε ηζρύεη OA ι θαη OA Επνκέλσο ε ηζόηεηα () γξάθεηαη i Απνδείμακε δειαδή όηη ην είλαη γπαμμικόρ ζςνδςαζμόρ ησλ i θαη Α a a i A A Σηην παπαπάνω καηαζκεςή οι απιθμοί και είναι μοναδικοί Απόδειξη Πξάγκαηη έζησ όηη ηζρύεη θαη i Τόηε ζα έρνπκε i i ( ) i ( ) Αλ ππνζέζνπκε όηη δειαδή όηη ηόηε ζα ηζρύεη i Η ζρέζε απηή όκσο δειώλεη όηη i / / πνπ είλαη άηνπν αθνύ ηα i θαη δελ είλαη ζπγγξακκηθά Επνκέλσο πνπ ζπλεπάγεηαη όηη θαη Ώζηε: Κάθε διάνςζμα ηος επιπέδος γπάθεηαι καηά μοναδικό ηπόπο ζηη μοπθή α i Τα δηαλύζκαηα i θαη ιέγνληαη ζςνιζηώζερ ηνπ δηαλύζκαηνο θαηά ηε δηεύζπλζε ησλ i θαη αληηζηνίρσο ελώ νη αξηζκνί ιέγνληαη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζην ζύζηεκα O Πην ζπγθεθξηκέλα ν ιέγεηαη ηεημημένη ηνπ θαη ν ιέγεηαη ηεηαγμένη ηνπ Από ηνλ ηξόπν πνπ νξίζηεθαλ νη ζπληεηαγκέλεο ελόο δηαλύζκαηνο πξνθύπηεη όηη: Δύο διανύζμαηα είναι ίζα αν και μόνο αν οι ανηίζηοισερ ζςνηεηαγμένερ ηοςρ είναι ίζερ Καζέλα από ηα ίζα δηαλύζκαηα κε ηεηκεκέλε θαη ηεηαγκέλε ζα ην ζπκβνιίδνπκε κε ην δηαηεηαγκέλν δεύγνο ( )

3 Σσνηεηαγμένες Γραμμικού Σσνδσαζμού Διανσζμάηων Αλ γλσξίδνπκε ηηο ζπληεηαγκέλεο δύν δηαλπζκάησλ θαη ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ ηόηε κπνξνύκε λα βξνύκε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ αζξνίζκαηνο α β ηνπ γηλνκέλνπ λα λ R θαη γεληθά θάζε γξακκηθνύ ζπλδπαζκνύ ησλ α θαη β Πξάγκαηη αλ ( ) θαη ( ) ηόηε έρνπκε: ( i ) ( i ) ( ) i ( ) ( i ) ( ) i ( ) Επνκέλσο ( ) θαη ( ) ή ηζνδύλακα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γεληθόηεξα γηα ην γξακκηθό ζπλδπαζκό έρνπκε: ) ( ) ( Γηα παξάδεηγκα αλ ( ) θαη ( ) ηόηε ( ) () () ( ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 3) ( ) () ( ) ( ) ( 4) Σσνηεηαγμένες Μέζοσ Τμήμαηος Αο ζεσξήζνπκε δύν ζεκεία ( ) θαη ( ) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ θαη αο ππνζέζνπκε όηη ( ) είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ Μ ηνπ ΑΒ Επεηδή OM ( OAOB ) θαη OM ( ) OA ) OB ) έρνπκε ( ( ( ) [( ) ( )] Επνκέλσο ηζρύεη ) B( ) Μ() A( ) θαη

4 Σσνηεηαγμένες Διανύζμαηος με Γνωζηά Άκρα Αο ζεσξήζνπκε δύν ζεκεία ( ) θαη ( ) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ θαη αο ππνζέζνπκε όηη ( ) είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο AB ( ) AB Επεηδή OB ( ) θαη OA ( ) έρνπκε: Επνκέλσο: AB OBOA ( ) ( ) ( ) ( ) A( ) B( ) η ζπληεηαγκέλεο ( ) ηνπ δηαλύζκαηνο κε άθξα ηα ζεκεία A ( ) θαη ( ) δίλνληαη από ηηο ζρέζεηο θαη Δειαδή ηεηκεκέλε ηνπ AB ηεηκεκέλε ηνπ Β - ηεηκεκέλε ηνπ Α ηεηαγκέλε ηνπ AB ηεηαγκέλε ηνπ Β - ηεηαγκέλε ηνπ Α Γηα παξάδεηγκα ην δηάλπζκα AB κε αξρή ην ( ) θαη πέξαο ην (37) έρεη ζπληεηαγκέλεο 3 θαη 7 5 δειαδή είλαη ίζν κε ην (5) Μέηρο Διανύζμαηος Έζησ ( ) έλα δηάλπζκα ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ θαη Α ην ζεκείν κε δηαλπζκαηηθή αθηίλα OA α Αλ θαη είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Α ζηνπο άμνλεο θαη αληηζηνίρσο επεηδή ην ζεκείν Α έρεη ηεηκεκέλε θαη ηεηαγκέλε ζα ηζρύεη ( ) θαη ( ) Έηζη ζα έρνπκε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επνκέλσο: Αλ α ( ) ηόηε Α A A() a Γηα παξάδεηγκα αλ (5) ηόηε 5 3

5 Απόζηαζη δύο ζημείων ζηο επίπεδο Αο ζεσξήζνπκε ηώξα δύν ζεκεία ( ) θαη ( ) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ Επεηδή ε απόζηαζε ( ) ησλ ζεκείσλ Α θαη Β είλαη ίζε κε ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο AB ( ) ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν () ζα ηζρύεη: A( ) B( ) ) ( ) ( ) ( () Επνκέλσο: Η απόζηαζε ησλ ζεκείσλ ( ) θαη ) είλαη ίζε κε ( ) ( ) ( ) ( Γηα παξάδεηγκα ε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ ( 7) θαη ( 5 3) είλαη ίζε κε ( ) (5 ) ( 3 7) Παπαηηπήζειρ η απνζηάζεηο ελόο ζεκείνπ Μ() από ηνπο άμνλεο ρρ θαη ςς αληίζηνηρα είλαη Το ςυμμετρικό ενόσ ςημείου Μ() σο πξνο ηνλ σσ είλαη (-) σο πξνο ηνλ είλαη (-) σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ () είλαη (--) σο πξνο ηε δηρηόκν ησλ γσληώλ ρς θαν ρ ς είλαη () 3 Αλ ( ) τότε // // 4 Αλ ( ) τότε ( ) 5 Αλ ( ) τότε Ελώ ( ) και ( ) τότε 6 Αλ Ελώ

6 Σσνθήκη Παραλληλίας Διανσζμάηων Έζησ ) θαη ) δύν δηαλύζκαηα ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ ( Τελ νξίδνπζα ( πνπ έρεη σο ε ηε γξακκή ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο θαη σο ε γξακκή ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο ηε ιέκε οπίζοςζα ηων διανςζμάηων α και β (κε ηε ζεηξά πνπ δίλνληαη) θαη ζα ηε ζπκβνιίδνπκε κε det( α β ) Ιζρύεη ε ηζνδπλακία // det( a ) Γηα παξάδεηγκα: Τα δηαλύζκαηα ( 3 ) θαη 3 det( ) 3 3 ελώ 3 3 ( 3 3 ) είλαη παξάιιεια αθνύ Τα δηαλύζκαηα ( 3 ) θαη 3 det( ) ( ) δελ είλαη παξάιιεια αθνύ Σσνηελεζηής Διεύθσνζης Διανύζμαηος Έζησ ( ) έλα κε κεδεληθό δηάλπζκα θαη A ην ζεκείν ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν ηζρύεη OA a Τε γσλία φ πνπ δηαγξάθεη ν εκηάμνλαο O αλ ζηξαθεί γύξσ από ην θαηά ηε ζεηηθή θνξά κέρξη λα ζπκπέζεη κε ηελ εκηεπζεία Α ηελ νλνκάδνπκε γωνία πος ζσημαηίζει ηο διάνςζμα με ηον άξονα A() φ Είλαη θαλεξό όηη φπ Γηα ηε γσλία φ όπσο είλαη γλσζηό από ηελ Τξηγσλνκεηξία αλ ην δελ είλαη παξάιιειν πξνο ηνλ άμνλα ηζρύεη εφ φ Τν πειίθν ηεο ηεηαγκέλεο πξνο ηελ ηεηκεκέλε ηνπ δηαλύζκαηνο ( ) κε ην ιέκε ζςνηελεζηή διεύθςνζηρ ηνπ θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε ή απιώο κε λ Επνκέλσο: λ εφφ

7 Είλαη θαλεξό όηη Αλ δειαδή αλ α // ηόηε ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηνπ δηαλύζκαηνο είλαη ν Αλ δειαδή αλ α // ηόηε δεν οπίζεηαι ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηνπ δηαλύζκαηνο Αο ζεσξήζνπκε ηώξα δύν δηαλύζκαηα ( ) θαη ( ) κε ζπληειεζηέο δηεύζπλζεο θαη αληηζηνίρσο Τόηε έρνπκε ηηο ηζνδπλακίεο: α // β λ λ Επνκέλσο ε ζπλζήθε παξαιιειίαο γηα δύν δηαλύζκαηα δηεύζπλζεο λ θαη λ δηαηππώλεηαη σο εμήο: α// β λ λ θαη κε ζπληειεζηέο Παπαηηπήζειρ Αλ ( ) και ( ) τότε ιςχφουν οι παρακάτω ιςοδυναμίεσ // det( // ) ό Έζησ Α( ) θαη B ( ) τότε ( ) και αλ αν αν τότε τότε δεν ορίζεται και τότε