ΑΣΚΗΣΗ 4. Το διάγραµµα Hertszprung-Russell

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΗ 4. Το διάγραµµα Hertszprung-Russell"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 4 Το διάγραµµα Hertzsprung-Russell Περιεχόµενα Το διάγραµµα Hertszprung-Russell o Ορισµός o Ερµηνεία o Κατασκευή Στόχος της άσκησης Ο στόχος αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση µε τις βασικές αρχές της αστρικής εξέλιξης και η ερµηνεία των διαφορετικών φυσικών ιδιοτήτων των άστρων. Επιπλέον θα δούµε τεχνικές φωτοµετρίας σε πεδία µε πολλά άστρα. Δεδοµένα Παρατηρήσεις ενός ανοικτού σµήνους στα φίλτρα B και V Εικόνες bias και flat field

2 Το διάγραµµα Hertzsprung-Russell Φασµατοσκοπικές παρατηρήσεις στα τέλη του 19 ου και στις αρχές του 20 ου αιώνα οδήγησαν στο συµπέρασµα οτι τα άστρα δεν έχουν όλα το ίδιο φάσµα. Οι διαφοροποιήσεις µεταξύ των φασµάτων των άστρων και πιο συγκεκριµένα η ύπαρξη φασµατικών γραµµών από διαφορετικά ιόντα ή µεταβάσεις, καθώς και διαφορές στη σχετική ένταση αυτών των φασµατικών γραµµών, είναι κατά κύριο λόγο αποτέλεσµα των διαφορετικών θερµοκρασιών των άστρων. Εποµένως, η ταξινόµηση των άστρων σε φασµατικούς τύπους µας δίνει µια ένδειξη της θερµοκρασίας τους. Το σύστηµα των φασµατικών τύπων αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 1910 και αποτελείται από ένα γράµµα και έναν αριθµό. Οι φασµατικοί τύποι καθορίζονται από τα γράµµατα O, B, A, F, G, K, M, σε σειρά φθίνουσας θερµοκρασίας. Κάθε φασµατικός τύπος χωρίζεται σε υπο-τύπους (συνήθως 10) που καθορίζονται από έναν αριθµό από το 0 εώς 9, επίσης σε σειρά φθίνουσας θερµοκρασίας. Για παράδειγµα ο Ηλιος είναι φασµατικού τύπου G2. Την πρώτη δεκαετία του 20ου αιώνα οι Ejnar Hertzsprung και Henry Norris Russel ανεξάρτητα ανακάλυψαν ότι η λαµπρότητα ενός άστρου σχετίζεται µε τον φασµατικό του τύπο. Αυτή ήταν η πρώτη µορφή του διαγράµµατος Hertszprung-Russell (ή διάγραµµα HR) το οποίο πήρε το όνοµά του από τους 2 αστρονόµους που το κατασκεύασαν πρώτοι. Δεδοµένου όµως ότι ο φασµατικός τύπος ενός άστρου είναι συνάρτηση της θερµοκρασίας του, η οποία επίσης καθορίζει και το χρώµα του, το διάγραµµα HR ουσιαστικά µας δίνει τη συσχέτιση της λαµπρότητας ενός άστρου µε το χρώµα του ή σε ένα πιο θεµελιώδες επίπεδο, µε τη θερµοκρασία του. Στο Σχήµα 1 φαίνεται το διάγραµµα HR άστρων στην περιοχή του Ηλίου. Ο οριζόντιος άξονας είναι η ενεργός θερµοκρασία των άστρων, ή ο δείκτης χρώµατος, ή ο φασµατικός τους τύπος, τα οποία όπως είδαµε σχετίζονται µεταξύ τους. Ο κάθετος άξονας είναι το απόλυτο µέγεθος του άστρου, ή η λαµπρότητά του (συνήθως εκφρασµένη σε σχέση µε τη λαµπρότητα του Ηλιου). Σχήµα 1. Δυο µορφές του διαγράµµατος HR. Αριστερά διάγραµµα της λαµπρότητας (απόλυτου µεγέθους) συναρτήσει του δείκτη χρώµατος ~20500 άστρων στην περιοχή του Ηλιου. Δεξιά παρουσιάζεται το διάγραµµα του απόλυτου µεγέθους συναρτήσει του φασµατικου τύπου των άστρων. Και στα δύο διαγράµµατα ο οριζόντιος άξονας έχει βαθµονοµηθεί και σε σχέση µε την ενεργό θερµοκρασία των άστρων.

3 Βλέπουµε απο το Σχ. 1 ότι τα άστρα δεν βρίσκονται τυχαία κατανεµηµένα στο επίπεδο λαµπρότητας θερµοκρασίας, αλλά αντίθετα καταλαµβάνουν συγκεκριµένες περιοχές. Αυτό µας λέει ότι υπάρχει µια θεµελιώδης φυσική σχέση µεταξύ της λαµπρότητας και της θερµοκρασίας ενός άστρου. Τα περισσότερα άστρα κατανέµονται σε µια διαγώνια ζώνη που διατρέχει το διάγραµµα HR από την περιοχή υψηλών λαµπροτήτων και θερµοκρασιών, προς την περιοχή χαµηλών λαµπροτήτων και θερµοκρασιών. Αυτή η ζώνη είναι η Κύρια Ακολουθία. Καθώς διατρέχουµε την κύρια ακολουθία από το άνω προς το κάτω µέρος της ξεκινάµε από άστρα µεγάλης µάζας και προγενέστερων φασµατικών τύπων (Ο, Β) και καταλήγουµε σε άστρα µικρής µάζας και µεταγενέστερων φασµατικών τύπων (Κ, Μ). Τα άστρα περνούν στη κύρια ακολουθία το µεγαλύτερο (και σταθερότερο) µέρος της ζωής τους κατά το οποίο συντηρούνται από την καύση υδρογόνου. Επιπλέον υπάρχουν κάποια (λιγότερα) άστρα τα οποία δεν βρίσκονται στη κύρια ακολουθία. Αστρα χαµηλής θερµοκρασίας και µεγάλης λαµπρότητας λέγονται γίγαντες και υπεργίγαντες και βρίσκονται πάνω και δεξιά απο την κύρια ακολουθία. Η χαµηλή τους θερµοκρασία αναλογικά µε τη µεγάλη τους λαµπρότητα οφείλεται στη µεγάλη τους ακτίνα. Στις περιοχές των γιγάντων και υπεργιγάντων βρίσκονται εξελιγµένα άστρα τα οποία έχουν φύγει από την κύρια ακολυθία έχοντας καταναλώσει το απόθεµα υδρογόνου τους. Μια δεύτερη κατηγορία άστρων εκτός της κύριας ακολουθίας είναι οι λευκοί νάνοι που βρίσκονται κάτω αριστερά από την κύρια ακολουθία. Αυτά τα άστρα έχουν υψηλή θερµοκρασία και χαµηλή λαµπρότητα το οποίο υποδηλώνει ότι έχουν πολύ µικρές ακτίνες. Οι λευκοί νάνοι είναι το τελικό στάδιο της ζώής άστρων µικρής µάζας (< ~5M. Ασκηση. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα HR για τα φωτεινότερα άστρα αποτυπώνοντας το απόλυτο µέγεθός τους συναρτήσει του φασµατικού τους τύπου. Να χρησιµοποιήσετε τα δεδοµένα του αρχείου HR_bright_stars_sp.dat. Ποιά είναι η θέση του Ηλιου σε αυτό το διάγραµµα; Είναι θερµότερος ή ψυχρότερος από τα άλλα άστρα κατά µέσο όρο; Πιστεύετε ότι αυτό το διάγραµµα αντιπροωπεύει ένα τυχαίο δείγµα των άστρων του Γαλαξία µας; Για ποιό λόγο; Υπόδειξη: Για να αποτυπώσουµε στο διάγραµµα το φασµατικό τύπο των άστρων µπορούµε να αντιστοιχίσουµε την ακολουθία O, B, A, F, G, K, M σε αριθµούς από το 1 εως το 7. Επιπλέον οι φασµατικοί υπό-τύποι (0-9) µπορούν να δοθούν συνδυάζοντάς τους µε τον αριθµό που αντιστοιχεί στο φασµατικό τύπο: π.χ. ένα άστρο φασµατικού τύπου Β6 θα αντιστοιχεί στον αριθµό 26, και ένα άστρο φασµατικού τύπου Κ0 θα αντιστοιχεί στον αριθµό 60. Ασκηση. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα HR για τα κοντινότερα άστρα. Να χρησιµοποιήσετε τα δεδοµένα του αρχείου HR_nearest_stars_sp.dat. Πώς διαφέρει αυτό το διάγραµµα από αυτό των φωτεινότερων άστρων; Πως συγκρίνεται ο Ηλιος µε τα άλλα άστρα στη γειτονιά µας; Ασκηση. Να συνδυάσετε τα δύο προηγούµενα διαγράµµατα και να βρείτε τη θέση των ακόλουθων άστρων: Antares, Vega (α Lyr), Rigel, Belteguese, Aldebaran,

4 Ηλιος. Τι µπορούµε να συµπεράνουµε για το εξελικτικό στάδιο καθενός από αυτά τα άστρα; Ασκηση. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα µεγέθους-χρώµατος ενός ανοικτού αστρικού σµήνους. Ο στόχος αυτής της άσκησης είναι κα κατασκευάσουµε το διάγραµµα HR ενός αστρικού σµήνους χρησιµοποιώντας εικόνες CCD που έχουµε πάρει µε το τηλεσκόπιο του Σκίνακα. Για το σκοπό αυτό παίρνουµε εικόνες του σµήνους σε δύο φίλτρα (Β και V), αναλύουµε τα δεδοµένα µε τις γνωστές µεθόδους ανάλυσης εικόνων CCD, ανιχνεύουµε τα άστρα του σµήνους και µετράµε τις φωτοµετρικές τους παραµέτρους, και τέλος κατασκευάζουµε το διάγραµµα του µεγέθους στο V φίλτρο συναρτήσει του χρώµατος Β- V. Αυτή η µορφή των διαγραµµάτων HR είναι γνωστή ως διαγράµµατα µεγέθουςχρώµατος. Εαν κατασκευάζουµε το διάγραµµα µεγέθους-χρώµατος για ένα αστρικό σµήνος όπου όλα τα άστρα βρίσκονται στην ίδια απόσταση από εµάς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το φαινόµενο µεγεθος αντί για το απόλυτο µέγεθος στον άξονα y. Προκειµένου να αποφύγουµε προβλήµατα στη φωτοµετρική βαθµονόµηση των παρατηρήσεών µας και να µην εξαρτώµαστε σηµαντικά από τις καιρικές συνθήκες, θα χρησιµοποιήσουµε αστρικά σµήνη µε δευτερεύοντα φωτοµετρικά άστρα αναφοράς, Αυτά είναι µη µεταβλητά άστρα για τα οποία έχουµε αξιόπιστες µετρήσεις των µεγεθών τους στα φίλτρα Β και V. Καθώς αυτά τα δευτερεύοντα άστρα αναφοράς είναι στα ίδια πεδία µε το αστρικό σµήνος και θα έχουν παρατηρηθεί στην ίδια αέρια µάζα (ή ζενίθεια γωνία), µπορούµε να αποφύγουµε τον υπολογισµό των συντελεστών ατµοσφαιρικής απόσβεσης. Ο µετασχηµατισµός από τα µεγέθη οργάνου στα πραγµατικά µεγέθη απλοποιείται καθώς η απορρόφηση λόγω της ατµόσφαιρας (δηλ. το γινόµενο του συντελεστη ατµοσφαιρικής απορρόφησης επί την αέρια µάζα) είναι η ίδια για όλα τα άστρα κάθε παρατήρησης και τα άστρα αναφοράς. Εποµένως ο συντελεστής ατµοσφαιρικής απόσβεσης απορροφάται στους συντελεστές των εξισώσεων µετασχηµατισµού (και συγκεκριµένα στο zeropoint). H διαδικασία αυτή ονοµάζεται αυτοβαθµονόµηση (self-calibration) καθώς χρησιµοποιούµε άστρα του ίδου του πεδίου µας για τη φωτοµετρική βαθµονόµηση. Ακολουθούµε τα εξής βήµατα 1. Υπολογίζουµε το µέσο bias και το αφαιρούµε από όλες τις εικόνες. 2. Υπολογίζουµε το µέσο flat field για κάθε φίλτρο ξεχωριστά (αφού πρώτα διαιρέσουµε την κάθε εικόνα flat field δια τη µέση τιµή της). Στη συνέχεια δαιρούµε την κάθε εικόνα µε το flat field του αντίστοιχου φίλτρου. 3. Υπολογίζουµε τα µεγέθη οργάνου για τουλάχιστον 250 άστρα στο πεδίο µας. Αυτό γίνεται χρησιµοποιώντας την εντολή daofind του IRAF. To daofind ανιχνεύει αυτόµατα αντικείµενα σε µια εικόνα. Χρησιµοποιεί έναν αλγόριθµο ο οποίος βρίσκει τοπικά µέγιστα στην κατανοµή της έντασης των pixels στις δυο διαστάσεις (x, y) και επιλέγει από αυτά όσα έχουν FWHM µεγαλύτερο από ένα προκαθοριµένο όριο, και ένταση µεγαλύτερη από n*σ, όπου

5 σ είναι η τυπική απόκλιση της έντασης του ουρανού, και n είναι µια τιµή που ορίζεται από τον χρήστη. Τόσο το προκαθορισµένο όριο του FWHM, όσο και τα n και σ καθορίζονται στις παραµέτρους του daofind. 4. Προκειµένου να βρούµε το ελάχιστο FWHM των άστρων (δηλ. το seeing) και την τυπική απόκλιση του ουρανού χρησιµοποιούµε το imexamine. - Για κάθε φίλτρο ανοίγουµε την εικόνα του σµήνους στο ds9 µε την εντολή display του IRAF. - Με την εντολή r του imexamine µετράµε το FWHM 5-10 άστρων προκειµένου να βρούµε πόσο είναι το seeing των παρατηρήσεών µας. Το FWHM (σε pixels) είναι η τελευταία τιµή στη γραµµή των αποτελεσµάτων του imexamine. - Υπολογίζουµε τη µέση τιµή των FWHM που βρήκαµε. - Στη συνέχεια µετράµε τη µέση ένταση και την τυπική απόκλιση του ουρανού, χρησιµοποιώντας την εντολή m του imexamine σε 3-5 περιοχές της εικόνας χωρίς φωτεινά άστρα. - Υπολογίζουµε τη µέση τιµή της της τυπικής απόκλισης του ουρανού. 5. Τώρα είµαστε έτοιµοι να ορίσουµε τις τιµές των παραµέτρων του daofind. Φορτώνουµε τα πακέτα noao, digiphot, και daophot του IRAF. Με την εντολή ecl> epar datapars θέτουµε τις τιµές των ακόλουθων παραµέτρων: readnoi (θόρυβος ανάγνωσης) και epadu (gain) µε βάση τις παραµέτρους της κάµερας (Πίνακας 1) fwhmpsf και sigma µε βάση τους υπολογισµούς που κάναµε προηγουµένως µε το imexamine. itime ίσο µε το χρόνο έκθεσης των παρατηρήσεων (από το ηµερολόγιο παρατηρήσεων) Πίνακας 1 Παράµετροι για τις κάµερες στο Αστεροσκοπείο Σκίνακα CH360 ANDOR-2 readnoise (e - ) epadu (e/adu) Datamax (counts) Στη συνέχεια καθορίζουµε τις παραµέτρους του αλγόριθµου ανίχνευσης. ecl> epar findpars και θέτουµε τις ακόλουθες τιµές threshold = 5 (επιλέγει αντικείµενα που έχουν ένταση 5σ πάνω από τον ουρανό, δηλ. η παράµετρος n που είδαµε προηγουµένως) sharplo = 0.4 (επιλέγει αντικείµενα που δεν είναι υπεβολικά µικρά) sharphi = 0.8 (επιλέγει αντικείµενα που δεν είναι υπεβολικά εκτεταµένα) roundlo = - 1 (επιλέγει αντικείµενα που δεν είναι υπεβολικά ασύµµετρα) roundhi = +1 (επιλέγει αντικείµενα που δεν είναι υπεβολικά ασύµµετρα)

6 Εάν θέλουµε να ανιχνεύσουµε µόνο φωτεινά άστρα αυξάνουµε την τιµή της παραµέτρου threshold. 7. Τρέχουµε το daofind στην εικόνα του V φίλτρου µε τον ακόλουθο τρόπο ecl> daofind image_v.fit Τελειώνοντας το daofind θα δηµιουργήσει ένα αρχείο ASCII µε όνοµα image_v.coo.1 το οποίο περιέχει τις συντεταγµένες (x,y) σε pixels των άστρων που ανιχνεύθηκαν. 8. Για να δούµε τη θέση των άστρων που ανιχνεύσαµε χρησιµοποιούµε την εντολή tvmark του IRAF (έχοντας ήδη ανοιχτό το ds9). ecl> display image_v.fit ecl> tvmark 1 coords=image_v.coo.1 outimage=image_v_srcs.snap col=204 Η παραπάνω εντολή θα αποτυπώσει µε κόκκινα τετράγωνα (col=204) πάνω στην εικόνα image_v.fit τις θέσεις των αντικειµένων που βρήκε το daofind, και θα σώσει αυτή την εικόνα στο αρχείο image_v_srcs.snap 9. Στη συνέχεια µετρούµε τις φωτοµετρικές παραµέτρους των άστρων δίνοντας την παραπάνω λίστα στην εντολή phot του IRAF, αφού πρώτα έχουµε ορίσει τις παραµέτρους για τη φωτοµετρική ανάλυση. ecl> epar photpars aperture: Η ακτίνα του διαφράγµατος για τη µέτρηση της έντασης της πηγής. Τη θέτουµε στα 3-4xFWHM pixels. ecl> epar fitskypars annulus: η εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου για τον υπολογισµό της έντασης του υποβάθρου, σε pixels. Το θέτουµε ως 5xFWHM pixels. dannulus: Το πλάτος του δακτυλίου για τον υπολογισµό του υποβάθρου (προτεινόµενη τιµή 5 pixels). ecl> phot image_v.fit coords=image_v.coo.1 Τελειώνοντας το phot θα δηµιουργήσει ένα αρχείο ASCII µε όνοµα image_v.mag.1 το οποίο περιέχει τη φωτοµετρία για κάθε µια πηγή στη λίστα image_v.coo Επαναλαµβάνουµε το παραπάνω βήµα για την εικόνα στο Β φίλτρο. Δεδοµένου ότι µας ενδιαφέρει να µετρήσουµε και τα χρώµατα των άστρων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη λίστα των άστρων που ανιχνεύσαµε στην εικόνα στο V φίλτρο. Θα πρέπει να ελέγξουµε ότι το FWHM των άστρων στο Β φίλτρο δεν έχει αλλάξει σε σχέση µε το V φίλτρο, αλλοιώς αλλάζουµε τις παραµέτρους aperture και

7 annulus. Επιπλέον εάν ο χρόνος έκθεσης είναι διαφορετικός θα πρέπει να αναθεωρήσουµε την παράµετρο itime (βήµα 5). ecl> phot image_β.fit coords=image_v.coo.1 Το οποίο θα δηµιουργήσει ένα αρχείο ASCII µε όνοµα image_β.mag.1 το οποίο περιέχει τη φωτοµετρία για κάθε µια πηγή. 11. Στη συνέχεια επιλέγουµε από τα αποτελέσµατα της φωτοµετρικής ανάλυσης µόνο τις στήλες που µας ενδιαφέρουν, δηλ. τις συντεταγµένες της πηγής, το µέγεθος οργάνου και το αντίστοιχο σφάλµα για την πηγή, και µέγεθος οργάνου για τον ουρανό. Αυτό µπορούµε να το κάνου µε την εντολή pdump του ΙRAF. ecl> pdump image_v.mag.1 «ID,XCEN,YCEN,MAG,MERR,MSKY» yes > image_v.mag.dat ecl> pdump image_β.mag.1 «ID,XCEN,YCEN,MAG,MERR,MSKY» yes > image_β.mag.dat Επαναλαµβάνουµε και για την φωτοµετρία στο Β φίλτρο. Προκειµένου να απαλλείψουµε από την ανάλυσή µας άστρα για τα οποία το phot δεν µπόρεσε να υπολογίσει τις φωτοµετρικές παραµέτρους τους (αντικείµενα µε INDEF στις στήλες των µεγεθών) και να συνδυάσουµε τους φωτοµετρικούς καταλόγους στα δύο φίλτρα δίνουµε την ακόλουθη εντολή σε ένα terminal terminal> paste d image_v.mag.dat image_b.mag.dat grep v INDEF > image_vb.mag.dat 12. Φωτοµετρική βαθµονόµηση (υπολογισµός του µεγέθους κανονικοποίησης, zeropoint) Μπορούµε να κανουµε τη φωτοµετρική βαθµονόµηση χρησιµοποιώντας µερικά από τα ίδια τα άστρα του σµήνους για τα οποία γνωρίζουµε τα πραγµατικά τους µεγέθη. Μεγέθη αναφοράς για αυτά τα άστρα µπορούµε να βρούµε από τη βάση δεδοµένων για αστρικά σµήνη WEBDA Αυτή η βάση δεδοµένων έχει συλλέξει σχεδόν όλα τα διαθέσιµα φωτοµετρικά δεδοµένα για αστρικά σµήνη. Η επιλογή Query From Cluster Chart µας δίνει τη δυνατότητα να δούµε τα φωτοµετρικά στοιχεία συγεκριµένων άστρων επιλέγοντάς τα από έναν χάρτη του σµήνους. Επιλέγουµε 5 άστρα του σµήνους για τα οποία βρίσκουµε τα µεγέθη τους από την παραπάνω βάση δεδοµένων. Αυτά θα είναι και τα άστρα αναφοράς για τη φωτοµετρική βαθµονόµηση. Φροντίζουµε τα άστρα αυτά να έχουν ένα αρκετά µεγάλο εύρος χρωµάτων ώστε να είναι αντιπροσωπευτικά του πληθυσµού που παρατηρούµε στο σµήνος.

8 Αναγνωρίζουµε τα ίδια άστρα στις εικόνες µας και καταγράφουµε τα µεγέθη οργάνου (B ins και V ins ) στα δύο φίλτρα στο παρακάτω πίνακα, µαζί µε τα πραγµατικά τους µεγέθη (B std και V std ) που βρήκαµε προηγουµένως. Std star B std B inst z B V std V ins z V Mean Το zeropoint τότε θα είναι απλά η διαφορά του µεγέθους οργάνου και του πραγµατικού µεγέθους για κάθε άστρο αναφοράς που βρίσκουµε από τη βάση δεδοµένων, δηλαδή z V = V std - V ins z B = B std - B ins Υπολογίζουµε τις διαφορές z V και z B και βρίσκουµε τη µέση τιµή τους, η οποία είναι και το µέγεθος κανονικοποίησης για το κάθε φίλτρο. 13. Τέλος εφαρµόζουµε τα παραπάνω µεγέθη κανονικοποίησης στα φωτοµετρικά αποτελέσµατα για όλα τα άστρα του σµήνους προκειµένου να υπολογίσουµε τα τελικά τους µεγέθη. Υπολογίζουµε το χρώµα Β-V για κάθε άστρο. 14. Kατασκευάζουµε το διάγραµµα µεγέθους χρώµατος µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα. 15. Το συγκρίνουµε µε δηµοσιευµένα αντίστοιχα µεγέθη (π.χ. από το WEBDA). Στην περίπτωση του σµήνους Μ52 το διάγραµµα µεγέθους χρώµατος θα πρέπει να είναι παρόµοιο µε αυτό που φαίνεται στο Σχ. 2. Σχήµα 2. Διάγραµµα µεγέθους χρώµατος για το σµήνος Μ52 χρησιµοποιώντας δεδοµένα από τη βάση WEBDA.

ΑΣΚΗΣΗ 3. Φωτοµετρία εικόνων CCD µε το IRAF

ΑΣΚΗΣΗ 3. Φωτοµετρία εικόνων CCD µε το IRAF ΑΣΚΗΣΗ 3 Φωτοµετρία εικόνων CCD µε το IRAF Περιεχόµενα Απόλυτο και φαινόµενο µέγεθος Η κλίµακα του Pogson Το χρώµα των άστρων Ατµοσφαιρική απόσβεση Αέρια µάζα (airmass) και συντελεστές ατµοσφαιρικής απόσβεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5. Χρώµα στην Αστρονοµία

ΑΣΚΗΣΗ 5. Χρώµα στην Αστρονοµία ΑΣΚΗΣΗ 5 Χρώµα στην Αστρονοµία Περιεχόµενα Χρώµα στην Αστρονοµία o Χρώµα άστρων o Χρώµα και θερµοκρασία Ο νόµος του Planck o Ακτινοβολία Μέλανος Σώµατος O νόµος της µετατόπισης του Wien Στόχος της άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6. Ηλικία και απόσταση Αστρικών Σµηνών

ΑΣΚΗΣΗ 6. Ηλικία και απόσταση Αστρικών Σµηνών ΑΣΚΗΣΗ 6 Ηλικία και απόσταση Αστρικών Σµηνών Περιεχόµενα Διάγραµµα µεγέθους-χρώµατος o Κύρια Ακολουθία o Κύρια Ακολουθία Μηδενικής Ηλικίας o Ισόχρονες Μεσοαστρική Απόσβεση Εκτίµηση ηλικίας και απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2. Aνάλυση εικόνων CCD µε το IRAF

ΑΣΚΗΣΗ 2. Aνάλυση εικόνων CCD µε το IRAF ΑΣΚΗΣΗ 2 Aνάλυση εικόνων CCD µε το IRAF Περιεχόµενα Charge-Coupled Devices (CCDs) Βαθµονόµηση: bias, flat fields Ποιότητα ειδώλων (seeing) Λόγος σήµατος προς θόρυβο (signal to noise) Φωτοµετρία διαφράγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 10. Η σταθερά του Hubble: µέτρηση αποστάσεων γαλαξιών

ΑΣΚΗΣΗ 10. Η σταθερά του Hubble: µέτρηση αποστάσεων γαλαξιών ΑΣΚΗΣΗ 10 Η σταθερά του Hubble: µέτρηση αποστάσεων γαλαξιών Περιεχόµενα Κηφείδες Ερυθρά µετατόπιση Φάσµατα γαλαξιών Σκοπός της άσκησης Η µέτρηση της ερυθρής µετατόπισης των γαλαξιών είναι η βασική µέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις μεταβλητότητας AGN. Επεξεργασία εικόνας για φωτομετρία

Παρατηρήσεις μεταβλητότητας AGN. Επεξεργασία εικόνας για φωτομετρία Παρατηρήσεις μεταβλητότητας AGN Επεξεργασία εικόνας για φωτομετρία Eκθέσεις ηλεκτρονικού υποβάθρου Bias Frames Ηλεκτρονικά κάμερας Θερμική παραγωγή ηλεκτρονίων μέσα στην κάμερα Διάφραγμα κλειστό Μηδενικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. Aνίχνευση ακτινοβολίας και η επίδραση των οργάνων παρατήρησης. Εισαγωγή

ΑΣΚΗΣΗ 1. Aνίχνευση ακτινοβολίας και η επίδραση των οργάνων παρατήρησης. Εισαγωγή ΑΣΚΗΣΗ 1 Aνίχνευση ακτινοβολίας και η επίδραση των οργάνων παρατήρησης Εισαγωγή Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για τη μελέτη αστρονομικών αντικειμένων είναι η μέτρηση των χαρακτηριστικών της ακτινοβολίας

Διαβάστε περισσότερα

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19)

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19) Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

Αστρονομία. Ενότητα # 6: Φασματική Ταξινόμηση Αστέρων. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Αστρονομία. Ενότητα # 6: Φασματική Ταξινόμηση Αστέρων. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αστρονομία Ενότητα # 6: Φασματική Ταξινόμηση Αστέρων Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως της Αστροφυσικής Αν. καθηγητής Στράτος Θεοδοσίου Πρόεδρος της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών

Το Φως της Αστροφυσικής Αν. καθηγητής Στράτος Θεοδοσίου Πρόεδρος της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών Το Φως της Αστροφυσικής Αν. καθηγητής Στράτος Θεοδοσίου Πρόεδρος της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών Το φως που έρχεται από τα άστρα είναι σύνθετο και καλύπτει ολόκληρο το εύρος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας.

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας

Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστροφυσική

Εισαγωγή στην Αστροφυσική Εισαγωγή στην Αστροφυσική Ενότητα: Ασκήσεις Ξενοφών Μουσάς Τμήμα: Φυσικής Σελίδα 2 1. Ασκήσεις... 4 Σελίδα 3 1. Ασκήσεις Άσκηση 1 α. Τι είναι οι κηλίδες; β. Πώς δημιουργούνται; Αναπτύξτε την σχετική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληπτική κατανοµή

ειγµατοληπτική κατανοµή Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 ειγµατοληπτική κατανοµή 1. Εισαγωγή Με την ενότητα αυτή, µπαίνουµε στις έννοιες της επαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

T (K) m 2 /m

T (K) m 2 /m Ορθοί και λανθασµένοι τρόποι απεικονίσεως δεδοµένων σε διάγραµµα Από µετρήσεις σηµείου ζέσεως σειράς διαλυµάτων προκύπτουν τα εξής δεδοµένα: m /m.5..5..5.55.. Σύµφωνα µε την θεωρία τα δεδοµένα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Αστρικά Σµήνη: Απόσταση του Σµήνους των Υάδων

Αστρικά Σµήνη: Απόσταση του Σµήνους των Υάδων Αστρικά Σµήνη: Απόσταση του Σµήνους των Υάδων!1 Επειδή τα Αστρικά Σµήνη: (α) βρίσκονται στην ίδια απόσταση (άρα δm=δm) και διεύθυνση και εποµένως πάσχουν από την ίδια Γαλαξιακή και ατµοσφαιρική απορρόφηση,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας

Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας Σκοπός των ασκήσεων είναι η κατανόηση φυσικών φαινοµένων και µεγεθών και η µέτρησή τους. Η κατανόηση αρχίζει µε την µελέτη των σηµειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστρονομία

Παρατηρησιακή Αστρονομία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Παρατηρησιακή Αστρονομία Ενότητα 8: Φωτομετρία με ψηφιακές φωτογραφικές μηχανές Ιωάννης Χ. Σειραδάκης Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΩΝ

ΔΙΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΩΝ ΔΙΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΩΝ Οι διπλοί αστέρες διακρίνονται ως τέτοιοι αν η γωνιώδης απόσταση τους, ω, είναι µεγαλύτερη από την διακριτική ικανότητα του τηλεσκοπίου: ω min =1.22 λ/d λ=µήκος κύµατος παρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 8 5:-8: Σχεδιάστε έναν αισθητήρα (perceptron)

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2010 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο:

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2010 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: ΕΚΦΕ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 010 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας 1) ) 3) Οι στόχοι του πειράµατος 1. Η µέτρηση της επιτάχυνσης

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7α. Φασµατοσκοπία Αστέρων

ΑΣΚΗΣΗ 7α. Φασµατοσκοπία Αστέρων ΑΣΚΗΣΗ 7α Φασµατοσκοπία Αστέρων Περιεχόµενα Αστρικά Φάσµατα Χαρακτηρισµός φασµατικών γραµµών o Ισοδύναµο πλάτος o FWHM o Μέγιστη ένταση Φασµατική ταξινόµιση αστέρων Στόχος της άσκησης Ο στόχος αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το φυσικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την ταλάντωση

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙΙ Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙΙ Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη - &. ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙΙ Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από

Διαβάστε περισσότερα

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων 18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον χάρακα και το κομπιουτεράκι

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή άσκηση 1: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου)

Εργαστηριακή άσκηση 1: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου) ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Εργαστηριακή άσκηση 1: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου) ΣΤΟΧΟΙ Με τη βοήθεια των γραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos Στο παρακάτω σχήµα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο α) Να ορίσετε τις θέσεις των σηµείων (Α), (Β) και (Γ). β) Να υπολογίσετε τη µετατόπιση (ΑΓ). γ) Να υπολογίσετε το διάστηµα (ΑΒΓ).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Z U REC (cm) (V) i =log(z) y i =log(u REC ) x i x i y i 10 74,306 1,000 1,871 1,000 1, ,528 1,079 1,796 1,165 1, ,085 1,146 1,749

Z U REC (cm) (V) i =log(z) y i =log(u REC ) x i x i y i 10 74,306 1,000 1,871 1,000 1, ,528 1,079 1,796 1,165 1, ,085 1,146 1,749 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (ΑΣΚΗΣΗ 3) - set 00 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΟΙΤΗΤΗ Ονοµατεπώνυµο: Γηρούσης Θεόδωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας Φύλλο εργασίας Mπορείτε να βρείτε τη γωνία κάβων; ραστηριότητα Ένα δεξαµενόπλοιο που στο σχήµα είναι στο σηµείο Β, πλέει προς την είσοδο µιας διώρυγας µε την βοήθεια δύο ρυµουλκών που απεικονίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 Στόχοι 1. Η εξοικείωση στη συναρµολόγηση ηλεκτρικών κυκλωµάτων 2. Η εξοικείωση µε τη χρήση των πολυµέτρων στις ηλεκτρικές µετρήσεις 3. Η αντιµετώπιση πρακτικών προβληµάτων 4. Η σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ V Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος

ΠΕΙΡΑΜΑ V Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος ΠΕΙΡΑΜΑ V Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την περιστροφική κίνηση που εκτελεί ένα υλικό σηµείο ή ένα στερεό σώµα, σταθερού µεγέθους και σχήµατος, υπό την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Κατασκευή µαθηµατικών fractals ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 1. Η καµπύλη του Koch H καµπύλη του Κoch ή Νησί του Koch ή χιονονιφάδα του Koch περιγράφηκε για πρώτη φορά από το Σουηδό µαθηµατικό Helge

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Επισηµάνσεις από τη θεωρία

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Επισηµάνσεις από τη θεωρία ΕΚΦΕ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας 1) 2) 3) Επισηµάνσεις από τη θεωρία Παθητικό ηλεκτρικό δίπολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κ α τ α σ κ ε υ ή µ ο ν τ έ λ ο υ σ τ ο λ ο γ ι σ µ ι κ ό E c o t e c t

Κ α τ α σ κ ε υ ή µ ο ν τ έ λ ο υ σ τ ο λ ο γ ι σ µ ι κ ό E c o t e c t Ε. Μ. Π. Σ χ ο λ ή Α ρ χ ι τ ε κ τ ό ν ω ν Ο Ι Κ Ο Ο Μ Ι Κ Η 3 Σύνταξη φυλλαδίου οδηγιών: Π. Γκατσόπουλος, Φ. Μπουγιατιώτη 1 Κ α τ α σ κ ε υ ή µ ο ν τ έ λ ο υ σ τ ο λ ο γ ι σ µ ι κ ό E c o t e c t Το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης

Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Στο πρώτο µάθηµα θα εξοικειωθείς µε τις βασικές εντολές του Scratch που βρίσκονται στην παλέτα κίνηση. Θα µάθεις να µετακινείς ένα αντικείµενο, να το περιστρέφεις και να το

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρατηρήσιμα μεγέθη των αστεριών (λαμπρότητα, L, επιφανειακή θερμοκρασία, T eff

Τα παρατηρήσιμα μεγέθη των αστεριών (λαμπρότητα, L, επιφανειακή θερμοκρασία, T eff ΚΥΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ: oνομάζουμε το σύνολο των θέσεων που καταλαμβάνουν τα αστέρια σε διάγραμμα Λαμπρότητας Θερμοκρασίας όταν καίνε Η στο εσωτερικό τους και παράγουν He. Τα παρατηρήσιμα μεγέθη των αστεριών

Διαβάστε περισσότερα

Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας.

Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Παρ' όλα αυτά, πρώτος ο γάλλος µαθηµατικός Λαπλάςτο 1796 ανέφερε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

αστερισμοί Φαινομενικά αμετάβλητοι σχηματισμοί αστέρων που παρατηρούμε στον ουρανό

αστερισμοί Φαινομενικά αμετάβλητοι σχηματισμοί αστέρων που παρατηρούμε στον ουρανό αστερισμοί Φαινομενικά αμετάβλητοι σχηματισμοί αστέρων που παρατηρούμε στον ουρανό Αστερισμός του χαμαιλέοντα Φυσικά χαρακτηριστικά αστέρων Λαμπρότητα Μέγεθος Θερμοκρασία-χρώμα Φασματικός τύπος Λαμπρότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πως καλιµπράρουµε έναν χάρτη στον Ozi Explorer. Παράδειγµα «καλιµπραρίσµατος» - Χάρτης 1

Πως καλιµπράρουµε έναν χάρτη στον Ozi Explorer. Παράδειγµα «καλιµπραρίσµατος» - Χάρτης 1 Πως καλιµπράρουµε έναν χάρτη στον Ozi Explorer Κ.Αδαµόπουλος (ΣΕΛΑΣ) Με δεδοµένο του ότι έχετε εγκαταστήσει τον Ozi Exporer στον υπολογιστή σας - τον οποίο έχετε αποκτήσει νόµιµα ή έχετε την shareware

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

dλ (7) l A = l B = l = λk B T

dλ (7) l A = l B = l = λk B T Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 2ο Σετ Ασκήσεων Αστρονομίας Author: Σταμάτης Βρετινάρης Supervisor: Νικόλαος Στεργιούλας Λουκάς Βλάχος November 0, 205 Άσκηση (α) Αν η μέση αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ V Ταχύτητα και Επιτάχυνση

ΠΕΙΡΑΜΑ V Ταχύτητα και Επιτάχυνση ΠΕΙΡΑΜΑ V Ταχύτητα και Επιτάχυνση Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος και θα διερευνήσουµε τους δυο πρώτους νόµους του Newton. Επιπλέον θα µετρήσουµε την επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Αστρικά Συστήματα και Γαλαξίες

Αστρικά Συστήματα και Γαλαξίες Αστρικά Συστήματα και Γαλαξίες Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Αστρικά Σμήνη Οι ομάδες των αστέρων Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Αστρικά σμήνη Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων.

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων

Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων Δειγµατοληψία και Κβαντισµός: Μια εικόνα (µπορεί να) είναι συνεχής τόσο ως προς τις συντεταγµένες x, y όσο και ως προς το πλάτος. Για να τη µετατρέψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙV Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙV Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος - &. ΠΕΙΡΑΜΑ ΙV Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την περιστροφική κίνηση που εκτελεί ένα υλικό σηµείο ή ένα στερεό σώµα, σταθερού µεγέθους και σχήµατος,

Διαβάστε περισσότερα