Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα"

Transcript

1 Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα οποία προφανώς θα πρέπει να αποφεύγονται. Αντίθετα, µε τον όρο «πειραµατικό σφάλµα» αναφερόµαστε στους παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν τις µετρήσεις µας, και οι οποίοι δεν µπορούν να εξαλειφθούν, καθώς και στην αβεβαιότητα που υπαρχει για την τιµή της κάθε µέτρησης. Η αβεβαιότητα αυτή µπορεί να οφείλεται είτε στον τρόπο που γίνεται η µέτρηση, είτε στη ακρίβεια των οργάνων µέτρησης. Γενικότερα υπάρχουν δύο κατηγορίες σφαλµάτων: τα συστηµατικά σφάλµατα, και τα τυχαία ή στατιστικά σφάλµατα. Συστηµατικά σφάλµατα, είναι τα σφάλµατα τα οποία επηρεάζουν συστηµατικά και µε τον ίδιο τρόπο όλες τις µετρήσεις. Τέτοια είναι τα σφάλµατα που οφείλονται στη λάθος βαθµονόµηση της µετρητικής συσκευής ή σε περιβαλλοντικούς παράγοντες. Για παράδειγµα η χρήση ενός θερµοµέτρου του οποίου η κλίµακα βαθµονόµησης έχει µετατοπιστεί, θα έχει ως αποτέλεσµα το µηδέν της κλίµακας να µην αντιστοιχεί σε 0º C, και εποµένως όλες οι µετρήσεις θα είναι µετατοπισµένες από την πραγµατική θερµοκρασία κατά αυτή τη διαφορά. Αντίστοιχα εάν χρησιµοποιήσουµε για τη µέτρηση ενός µήκους µια µετροταινία που έχει βαθµονοµηθεί σε πολύ διαφορετική θερµοκρασία, τότε λόγω συστολής/διαστολής η κλίµακα της µετροτανίας θα έχει αλλάξει και το µήκος που µετράµε δεν θα αντιστοιχεί στο πραγµατικό µήκος, µε αποτέλεσµα να παίρνουµε συστηµατικά διαφορετικές µετρήσεις. Τα συστηµατικά σφάλµατα τις περισσότερες φορές µπορούν να αναγνωρισθούν και να διορθωθούν κατά την ανάλυση των µετρήσεων. Για παράδειγµα στην περίπτωση του θερµοµέτρου, µετρώντας τη θερµοκρασία πάγου που λιώνει, ή αποσταγµένου νερού που βράζει για τα οποία γνωρίζουµε την πραγµατική τους θερµοκρασία µπορούµε να εκτιµήσουµε αποκλίσεις της κλίµακας και να τις προσθέσουµε αλγεβρικά σε όλες τις µετρήσεις. Τα Τυχαία σφάλµατα, σε αντίθεση επηρεάζουν όλες τις µετρήσεις αλλά µε τυχαίο τρόπο και εποµένως δεν µπορούν να αφαιρεθούν κατά την επεξεργασία τους. Τα τυχαία σφάλµατα οφείλονται σε ατέλειες της πειραµατικής διάταξης και την πεπερασµένη ακρίβεια των µετρητικών οργάνων σε συνδυασµό µε την επίδραση των αισθήσεων µας. Επιπλέον τυχαίες και µη ελεγχόµενες µεταβολές των περιβαλλοντικών συνθηκών µπορεί να επηρεάσουν τις µετρήσεις µας κατά µη επαναλήψιµο τρόπο. Οι παραπάνω παράγοντες θα έχουν ως αποτέλεσµα να παίρνουµε διαφορετικές τιµές από πολλαπλές µετρήσεις του ίδιου µεγέθους. Επειδή ακριβώς οι µετρήσεις διαφέρουν κατά έναν µεταβαλλόµενο, µη προβλέψιµο, παράγοντα δεν είναι δυνατόν να διορθωθούν για την επίδραση των τυχαίων σφαλµάτων (σε αντίθεση µε τα συστηµατικά σφάλµατα η επίδραση των οποίων είναι η ίδια και εποµένως διορθώσιµη). Για παράδειγµα εάν µετράµε το µήκος ενός αντικειµένου µε ένα χάρακα, η τιµή της µέτρησης θα εξαρτάται από την ακριβή θέση που θα τοποθετήσουµε το χάρακα, την εκτίµηση που θα κάνουµε για την ακριβή ένδειξη στο σηµείο που βρίσκεται η ακµή του αντικειµένου (Σχήµα 1), τη γωνία παρατήρησης, κ.λ.π. Το αποτέλεσµα της 1

2 επίδρασης των παραπάνω παραγόντων θα είναι οι µετρήσεις να διαφέρουν µεταξύ τους κατά ένα µικρό τυχαίο ποσό. Σχήµα 1. Παράδειγµα µέτρησης του µήκους µιας ράβδου. Το πραγµατικό µήκος της ράβδου είναι µεταξύ 4.4 και 4.5. Η ακρίβεια µε την οποία µπορεί να γίνει η µέτρηση εξαρτάται από την ακρίβεια του χάρακα. Η επίδραση των τυχαίων σφαλµάτων δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Εαν όµως µετράµε το ίδιο µέγεθος πολλές φορές µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις διαφοροποιήσεις των µετρήσεων ώστε να εκτιµήσουµε την πραγµατική τιµή του µεγέθους και το αντίστοιχο σφάλµα των µετρήσεών µας. Αυτό ακριβώς είναι το αντικείµενο της Θεωρίας Ανάλυσης Μετρήσεων. Εάν θεωρήσουµε ότι έχουµε n µετρήσεις της ίδιας ποσότητας τότε η µέση τιµή των µετρήσεων προσεγγίζει την πραγµατική τιµή του µεγέθους. Η µέση τιµή ορίζεται ώς n x = 1 x n i (1) όπου x i είναι οι επιµέρους µετρήσεις x είναι η µέση τιµή τους. Η µέση τιµή x τείνει στην πραγµατική τιµή όταν το n. Στην πράξη αυτό σηµαίνει ότι όσο µεγαλύτερο αριθµό µετρήσεων έχουµε τόσο καλύτερα προσεγγίζουµε την πραγµατική τιµή του µεγέθους που θέλουµε να µετρήσουµε. Συνήθως 10 µετρήσεις είναι αρκετές για να έχουµε µια αρκετά καλή προσέγγιση της πραγµατικής τιµής του µεγέθους. Η διασπορά των µετρήσεων γύρω από τη µέση τιµή τους, θα µας δώσει µια εκτίµηση των τυχαίων σφαλµάτων, αφού απουσία σφαλµάτων όλες οι µετρήσεις θα ήταν ταυτόσηµες. Η διασπορά των µετρήσεων µπορεί να εκτιµηθεί από την τυπική απόκλιση του δείγµατος που ορίζεται ως: i=1 σ x = n 1 (x x n 1 i ) () i=1 όπου x είναι η µέση τιµή των µετρήσεων. Και πάλι η τυπική απόκλιση του δείγµατος προσεγγίζει την πραγµατική τιµή του σφάλµατος όταν το n. Οταν έχουµε µια µέτρηση α και το σφάλµα της δα γράφουµε (α±δα), το οποίο µας λέει ότι η µετρούµενη ποσότητα µπορεί να πάρει, κατά κύριο λόγο, τιµές στο διάστηµα [α-δα, α+δα]. Οι µονάδες µέτρησης παρατίθενται µετά την παρένθεση, για παράδειγµα γράφουµε (15.30±0.05) cm.

3 Ακρίβεια µετρήσεων: Απόλυτο και Σχετικό Σφάλµα Όπως είδαµε κάθε µέτρηση εµπεριέχει και κάποιο σφάλµα. Εποµένως ο τρόπος µε τον οποίο θα παρουσιάζουµε τις µετρήσεις µας θα πρέπει να ανακλά την ακρίβεια της µέτρησης. Για παράδειγµα εάν µετρήσουµε ένα µήκος 15.5cm µε σφάλµα 0.5cm, τότε γράφουµε (15.5 ±0.5) cm. Δηλαδή η πραγµατική τιµή του µήκους κυµαίνεται κυρίως µεταξύ 15.0 και 16.0 cm. Εάν κάνουµε την παραπάνω µέτρηση µε ένα όργανο µεγαλύτερης ακρίβειας τότε θα βρούµε 15.6 cm µε σφάλµα 0.05cm, ή (15.6±0.05) cm. Δηλαδή τώρα γνωρίζουµε ότι η πραγµατική τιµή είναι πιο κοντά στο 15.6 cm, και µάλιστα βρίσκεται µεταξύ του cm και cm. Τα τυχαία σφάλµατα 0.5 cm και 0.0 cm λέγονται απόλυτα σφάλµατα. Στην περίπτωση µετρήσεων µε αναλογικά όργανα το απόλυτο σφάλµα της κάθε µέτρησης ισούται µε το µισό της ελάχιστης υποδιαίρεσης, καθώς µέσα σε αυτά τα όρια βρίσκεται η καλύτερη εκτίµηση που µπορόυµε να κάνουµε για την τιµή της µέτρησης. Στην περίπτωση µετρήσεων µε ψηφιακά όργανα το απόλυτο σφάλµα του οργάνου µας δίνεται από τον κατασκευαστή. Το σφάλµα των οργάνων είναι το ελάχιστο σφάλµα που µπορεί να έχει µια µέτρηση. Παράγοντες όπως η γωνία παρατήρησης της µετρητικής συσκευής, ο χρόνος αντίδρασης, τυχαίοι περιβαλλοντικοί παράγοντες, συνεισφέρουν επιπλέον στα πειραµατικά σφάλµατα. Μια εκτίµηση του συνολικού σφάλµατος µας δίνεται από την τυπική απόκλιση του δείγµατος η οποία υπολογίζεται µε τη σχέση (). Με βάση τα παραπάνω η τυπική απόκλιση του δείγµατος θα πρέπει να είναι ίση ή µεγαλύτερη από το σφάλµα του οργάνου, αφού ακόµα και εάν αποκλείσουµε όλες τις άλλες πηγές σφάλµατος, η ακρίβεια των µετρήσεων θα καθορίζεται κατ ελάχιστο από την ακρίβεια του οργάνου µέτρησης. Από την παραπάνω συγκριση είναι προφανές ότι η µέτρηση (15.6±0.05) cm είναι πιό ακριβής από τη µέτρηση (15.5 ±0.5) cm, αφού έχει µικρότερο σφάλµα. Ισχύει όµως το ίδιο εάν συγκρίνουµε δύο υποθετικές µετρήσεις ( ±0.5) cm και (15.5 ±0.05) cm; Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να λάβουµε υπ οψιν µας το γεγονός ότι ένα σφάλµα της τάξεως του 0.5 cm έχει πολύ µικρότερη σηµασία σε µία µέτρηση µε µεγάλη αριθµητική τιµή όπως cm απ ότι µια µέτρηση µε σφάλµα 0.05 cm που αναφέρεται σε µία κατά πολύ µικρότερη αριθµητική τιµή. Εποµένως ένας πιό ποσοτικός τρόπος για να εκτιµήσουµε την ακρίβεια µιας µέτρησης είναι να δούµε το σχετικό της σφάλµα που ορίζεται ως Σχετικό σφάλµα: (δx x) 100% όπου δx είναι το σφάλµα και x η τιµή της µέτρησης. Προφανώς όσο µικρότερο είναι το σχετικό σφάλµα τόσο ακριβέστερη είναι η µέτρησή µας. Το απόλυτο σφάλµα έχει µονάδες ίδιες µε τη µετρούµενη ποσότητα, ενώ το σχετικό σφάλµα είναι καθαρός αριθµός. 3

4 Σηµαντικά Ψηφία Από το παραπάνω παράδειγµα βλέπουµε ότι ο αριθµός των ψηφίων της τιµής µιας µέτρησης µας δίνει µία εικόνα της ακρίβειάς της. Ετσι λέµε ότι η µέτρηση cm έχει 5 σηµαντικά ψηφία ενώ η µέτρηση 15.5 cm έχει µόνο τρία σηµαντικά ψηφία. Ιδιαίτερη σηµασία έχουν τα µηδενικά ψηφία στο τέλος µιας τιµής: η τιµή cm υποδηλώνει ότι η µέτρηση αυτή έχει ακρίβεια ~0.01 cm, ενώ η τιµή 15 cm υποδηλώνει ότι έχει ακρίβεια ενός εκατοστού. Εποµένως τα µηδενικά ψηφία στο τέλος µίας τιµής δεν στρογγυλοποιούνται καθώς υποδηλώνουν την ακρίβειά της. Εάν θέλουµε να εκφράσουµε τη µέτρηση 15 cm σε χιλιοστά θα ήταν λάθος να γράψουµε 150 mm, αφού αυτό υποδηλώνει ότι η µέτρηση έχει τρία σηµαντικά ψηφία (ή αλλοιώς ακρίβεια 1 mm), αντί για σηµαντικά ψηφία (και ακρίβεια 1 cm) που είχε η αρχική µέτρηση. Ο ορθός τρόπος για να γίνουν µετρατροπές µονάδων είναι να γραφούν υπό µορφή δύναµης: στην προκειµένη περίπτωση mm. Με αυτό τον τρόπο κρατάµε τον ίδιο αριθµό σηµαντικών ψηφίων και υποδηλώνουµε ότι η ακρίβεια της µέτρησης είναι της τάξεως των 10 mm (ή 1 cm). Αντίθετα τα µηδενικά ψηφία στην αρχή µιας τιµής δεν είναι σηµαντικά ψηφία. Η παραπάνω µέτρηση µπορεί να γραφεί ως 0.15 m, η οποία έχει σηµαντικά ψηφία και υποδηλώνει ακρίβεια 1 cm. Το ίδιο ισχύει και εάν τη γράψουµε ως Km. Η τιµή αυτή έχει σηµαντικά ψηφία, και ακρίβεια Km, δηλαδή 1 cm. Για λόγους οικονοµίας όµως προτιµούµε να γράφουµε και αυτές τις µετρήσεις υπό τη µορφή δύναµης: Km. Έχει ιδαίτερη σηµασία τα σηµαντικά ψηφία µιας µέτρησης να συµφωνούν µε το σφάλµα της. Εάν γράψουµε (15.6±0.05) cm, τότε µε βάση την τιµή της µέτρησης δηλώνουµε ότι η ακρίβειά της είναι της τάξεως cm, ενώ µε βάση το σφάλµα της έχουµε ότι η ακρίβεια της είναι κατα πολύ µικρότερη. Εποµένως η παραπάνω γραφή είναι λάθος. Ο σωστός τρόπος για να γραφεί αυτή η τιµή είναι (15.6±0.05) cm, όπου τόσο η τιµή της µέτρησης όσο και το σφάλµα της δηλώνουν ότι έχει ακρίβεια ~0.01 cm. Ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων θα πρέπει να διατηρείται και όταν γίνονται αριθµητικές πράξεις. Ο γενικός κανόνας είναι ότι ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων του αποτελέσµατος καθορίζεται από την τιµή µε τη µικρότερη ακρίβεια, δηλαδή την τιµή µε τον µικρότερο αριθµό σηµαντικών ψηφίων. Ειδικότερα στην περίπτωση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης το αποτέλεσµα θα έχει τόσα δεκαδικά ψηφία όσα και ο αριθµός µε τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία. Εποµένως η πράξη θα µας δώσει. και όχι.5. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού εάν προσθέσουµε µια τιµή µε µεγάλη ακρίβεια σε µια µικρότερη τιµή η οποία έχει πολύ µεγαλύτερη αβεβαιότητα, η ακρίβεια του αποτελέσµατος θα εξαρτηθεί από τη λιγότερο ακριβή τιµή. Σηµαντικά ψηφία σφαλµάτων Το σφάλµα µιας τιµής έχει ένα σηµαντικό ψηφίο. Εποµένως εάν υπολογίσουµε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση µιας σειράς µετρήσεων, στρογγυλοποιούµε την τυπική απόκλιση στο ένα σηµαντικό ψηφίο, και στη συνέχεια στρογγυλοποιούµε τη µέση τιµή στον αντίστοιχο αριθµό δεκαδικών ψηφίων. Δηλαδή η τιµή ±0.03 θα γραφεί ως 15.37±0.0. 4

5 Τα µη σηµαντικά ψηφία στρογγυλοποιούνται µε βάση τους εξής κανόνες: Εάν το τελευταίο ψηφίο είναι µικρότερο του 5 τότε παραλείπεται (στρογγυλοποίηση προς τα κάτω). Εάν το τελευταίο ψηφίο είναι µεγαλύτερο του 5 τότε ο προηγούµενος αριθµός αυξάνεται κατά 1 (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω) Το 5 στρογγυλοποιείται προς τον κοντινότερο άρτιο αριθµό (µε αυτό τον τρόπο ελαχιστοποιούµε τις αποκλίσεις λόγω στρογγυλοποίησης). Η ίδια µέθοδος για τον προσδιορισµό των σηµαντικών ψηφίων σε αποτελέσµατα πράξεων ακολουθείται σε οποιαδήποτε άλλη πράξη. Εάν έχουµε αµφιβολία σχετικά µε τον αριθµό των σηµαντικών ψηφίων του αποτελέσµατος µιας πράξης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε δυο µεθόδους για να τον εκτιµήσουµε: α) Η µέθοδος µε το ερωτηµατικό Συµπληρώνουµε τις τιµές µε τα λιγότερα σηµαντικά ψηφία µε ερωτηµατικά, και αντίστοιχα θέτουµε ερωτηµατικά στα ψηφία του αποτελέσµατος που προκύπτουν από αυτά τα ψηφία: ; +.3; ; 1.5; ; Εποµένως το αποτέλεσµα της παραπάνω πράξης έχει ένα δεκαδικό ψηφίο (όσα και ο αριθµός.3), και 3 σηµαντικά ψηφία. Η ίδια µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί και στις άλλες αριθµητικές πράξεις. Με αυτό τον τρόπο βρίσκουµε ότι το αποτέλεσµα δεν έχει ποτέ περισσότερα σηµαντικά ψηφία από το λιγότερο ακριβή αριθµό. β) Η µέθοδος µε το αβέβαιο ψηφίο. Σε αυτή την περίπτωση κάνουµε την πράξη µε όλα τα διαθέσιµα δεκαδικά ψηφία. Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε την πράξη αλλάζοντας όµως κατά 1 ή την τιµή του τελευταίου ψηφίου στη µέτρηση µε τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία. Από το αρχικό αποτέλεσµα απορρίπτουµε όσα ψηφία βρίσκονται µετά από το ψηφίο που µεταβλήθηκε. Εποµένως στο πρώτο παράδειγµα που είδαµε, χωρίς να λάβουµε υπ οψιν µας τα σηµαντικά ψηφία το άθροισµα θα είναι: ( ) = Εάν αλλάξουµε το.3 σε.4 έχουµε: ( ) = 1.65 Εποµένως θα πρέπει να κρατήσουµε από το αρχικό αποτέλεσµα µέχρι και το πρώτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή το αποτέλεσµα θα είναι 1.5. Αυτή η µέθοδος είναι ιδαίτερα χρήσιµη όταν κανουµε πιο πολύπλοκες πράξεις, π.χ. ύψωση σε δύναµη, υπολογισµό λογαρίθµων κ.λ.π. Στην περίπτωση πράξεων µε σταθερές, η σταθερά πρέπει να έχει περισσότερα σηµαντικά ψηφία από την ακριβέστερη τιµή ώστε να µην περιορίζει την ακρίβεια του αποτελέσµατος. Για παράδειγµα εάν θέλουµε να υπολογίσουµε την περίµετρο ενός δακτυλίου µε ακτίνα.05cm τότε η τιµή του π που θα χρησιµοποιήσουµε θα είναι π=3.1415, και η περίµετρος θα είναι = cm. 5

6 Στατιστική ερµηνεία των σφαλµάτων και σύγκριση µετρήσεων. Εάν πάρουµε µια σειρά µετρήσεων του ίδιου αµετάβλητου µεγέθους (π.χ. τη θερµοκρασία νερού που βράζει, τις διαστάσεις ενός αντικειµένου κ.λ.π.) και κάνουµε το ιστόγραµµα των τιµών τους θα δούµε ότι ακολουθούν την Κανονική κατανοµή ή κατανοµή Gauss. Οσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός των µετρήσεων τόσο καλύτερα θα προσοµοιάζει το ιστόγραµµα την Κανονική κατανοµή. Αυτό είναι αποτέλεσµα της τυχαίας φύσης των στατιστικών σφαλµάτων. Η Κανονική κατανοµή δίνεται από τη σχέση G(x) = 1 πσ e ( (x µ ) σ ) (3) όπου µ είναι η µέση τιµή της κατανοµής, και σ η τυπική της απόκλιση. Η µέση τιµή καθορίζει τη θέση του κέντρου της κατανοµής, ενώ η τυπική απόκλιση καθορίζει το + εύρος της (Σχήµα ). Οπως για κάθε κατανοµή πιθανότητας ισχύει ότι G(x)dx =1, και ο παράγοντας κανονικοποίησης απαίτηση. 1 πσ προκύπτει από αυτή ακριβώς την Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή που θα είναι στο εύρος x ± dx είναι dp x = G(x)dx. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή µεταξύ σ και +σ είναι +σ σ G(x)dx = 0.68 ή 68%. Λόγω συµµετρίας η πιθανότητα να πάρουµε µία τιµή στη περιοχή [-σ, µ] ή στην περιοχή [µ,+σ] είναι 34.1%. Στον ακόλουθο Πίνακα και Σχήµα δίνονται οι πιθανότητες να πάρουµε τιµές σε περιοχές της κανονικής κατανοµής µε διαφορετικό εύρος. Οι πιθανότητες αυτές είναι ανεξάρτητες της µέσης τιµής της κατανοµής. Πίνακας 1 Εύρος Πιθανότητα [-σ,σ] 68% [-σ, σ] 95.5% [-3σ,3σ] 99.7% [-5σ,5σ] % Σχήµα. Διάγραµµα της Κανονικής κατανοµής όπου φαίνεται η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή περιοχές διαφορετικού εύρους. 6

7 Αποδεικνύεται 1 ότι στο όριο που έχουµε αρκετές µετρήσεις (10 ή παραπάνω) η µέση τιµή της Κανονικής κατανοµής ισούται µε τη µέση τιµή των µετρήσεων ενώ η τυπική απόκλιση της Κανονικής κατανοµής ισούται µε την τυπική απόκλιση του δείγµατος σ x που υπολογίζεται όπως είδαµε µέσω της σχέσης σ x = 1 n 1 n i=1 (x x i ) Αυτό είναι ένα πολύ σηµαντικό αποτέλεσµα το οποίο µας επιτρέπει από τις ίδιες τις µετρήσεις να έχουµε µια πλήρη εικόνα της στατιστικής κατανοµής τους. Επιπλέον µας επιτρέπει να συγκρίνουµε τις µετρήσεις µας µε άλλες µετρήσεις ή µε τιµές που προβλέπονται από κάποια θεωρία. Για παράδειγµα εάν µετρήσουµε το σηµείο ζέσεως του νερού στους (100.5±0.1) C και θέλουµε να συγκρίνουµε κατά πόσο αυτή η τιµή συµφωνεί µε την αναµενόµενη τιµή των C σε πίεση 1atm αρκεί να δούµε πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχουν οι δύο τιµές. Βρίσκουµε ότι δθ = ( ) C = 0.5 C. δηλαδή οι δύο τιµές απέχουν 0.5 C. Δεδοµένου όµως ότι το σφάλµα είναι σ Θ =0.1 C, η απόκλιση αυτή µεταφράζεται σε 5 τυπικές αποκλίσεις, ή 5σ. Δηλαδή όπως λέµε η αναµενόµενη τιµή βρίσκεται πολύ µακρύα από τη µέση τιµή των µετρήσεων, στην «ουρά» της κατανοµής των τελευατίων. Με βάση τον πίνακα 1 έχουµε ότι η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή στο εύρος [- 5σ,5σ] είναι %. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια µέτρηση που θα απέχει 5σ ή περισσότερο από τη µέση τιµή των µετρήσεών µας είναι %. Η µε άλλα λόγια θα χρειαζόταν να πάρουµε ένα εκατοµµύριο µετρήσεις µε ακριβώς την ίδια πειραµατική διάταξη ώστε να έχουµε µια µέτρηση που να µη συµφωνεί µε την αναµενόµενη τιµή των C. Αυτό προφανώς είναι απίθανο, οπότε συµπεραίνουµε ότι οι δύο τιµές δεν συµφωνούν µεταξύ τους, πράγµα που σηµαίναι ότι είτε η αναµενόµενη τιµη είναι λάθος, είτε ότι οι συνθήκες του πειράµατος δεν είναι ιδανικές (π.χ. το νερό περιέχει προσµίξεις από άλατα). Συνήθως θεωρούµε ότι κάποια µέτρηση συµφωνεί µε την αναµενόµενη τιµή εάν απέχουν εώς και 3 τυπικές αποκλίσεις. 1 Η απόδειξη είναι πέρα από τους στόχους αυτής της εισαγωγής. Οµως µια πολύ καλή παρουσίαση βρίσκεται στο βιβλίο των Bevington & Robinson. 7

8 Μετάδοση σφαλµάτων Μέχρι στιγµής είδαµε πως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια σειρά µετρήσεων προκειµένου να εκτιµήσουµε την πραγµατική τιµή ενός µεγέθους και την ακρίβεια µε την οποία τη γνωρίζουµε. Στη συνέχεια θα δούµε πως µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή και το σφάλµα µιας παράγωγης ποσότητας που υπολογίζεται από τις µετρήσεις µας (για παράδειγµα ο όγκος µιας σφαίρας). α. Πιθανό Σφάλµα Ας θεωρήσουµε ότι µετράµε ένα µέγεθος και το σφάλµα του (α±δα), και ότι θέλουµε να υπολογίσουµε ένα µέγεθος β που συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης β=f(α), καθώς και το σφάλµα του δβ. Η τιµή του β που θα αντιστοιχεί στη τιµή α θα είναι f(α). Αντίστοιχα οι τιµές του β που θα αντιστοιχούν στι ακραίες τιµές του α µε βάση το σφάλµα του (α-δα και α+δα) θα είναι β 1 = (α-δα) και β = f(α+δα). Τότε το σφάλµα του β θα είναι δβ = β 1 β = f(α+δα) f(α). Εάν πάρουµε το λόγο του δβ µε το δα θα δβ f (a +δa) f (a) έχουµε: = δa δa ή στο όριο που το δα είναι πολύ µικρό (δα 0) έχουµε δβ f (a +δa) f (a) f (a +δa) f (a) = lim df δa δa δa 0 δa da Εποµένως δβ = df da δa (4) Δηλαδή το σφάλµα στην ποσότητα β ισούται µε το σφάλµα της ποσότητας α επί την παράγωγο ως προς το α, της σχέσης που συνδέει τα δύο µεγέθη. Για παράδειγµα στην περίπτωση που θέλουµε να υπολογίσουµε τον όγκο µιας σφαίρας γνωρίζοντας την ακτίνα της (r±δr) αρκεί να πάρουµε την παράγωγο ως προς την ακτίνα της σχέσης που δίνει τον όγκο: δv = dv dr δr = d 4 dr 3 π r3 δr = 4π r δr Στην περίπτωση που η παράγωγος ποσότητα β προέρχεται από περισσότερα του ενός µετρούµενα µεγέθη α 1, α, α 3,..., α n, µέσω της σχέσης β = f(α 1, α, α 3,..., α n ) η παραπάνω σχέση µπορεί να γενικευθεί ως εξής: δβ = f δa 1 a 1 + f δa a + f δa 3 a f δa n a n (5) Αυτή είναι και η βασική σχέση που µας δίνει το σφάλµα µίας ποσότητας που υπολογίζεται µε βάση άλλες µετρούµενες ποσότητες. Το σφάλµα αυτό ονοµάζεται πιθανό σφάλµα. 8

9 Για παράδειγµα εάν θέλουµε να υπολογίσουµε τον όγκο ενός παραλληλόγραµµου, έχοντας µετρήσει τις πλευρές του (α±δα), (β±δβ) και (γ±δγ), το σφάλµα του όγκου θα είναι δv = V δa a V β δβ + V γ δγ = ( βγ δa) + ( aγ δβ) + ( aβ δγ ) β. Μέγιστο Δυνατό Σφάλµα Μερικές φορές µας ενδιαφέρει να γνωρίζουµε ποιό είναι το µεγαλύτερο δυνατό σφάλµα που µπορεί να έχει µια παράγωγη ποσότητα. Ας θεωρήσουµε ότι θέλουµε να δούµε ποιό είναι το µέγιστο σφάλµα του αθροίσµατος δύο µετρήσεων ((α±δα), και (β±δβ)). Οι µέγιστες τιµές που µπορούν να πάρουν οι ποσότητες α και β είναι (α+δα) και (β+δβ), εποµένως η ανώτερη τιµή που µπορεί να πάρει το άθροισµά τους θα είναι (α+β+δα+δβ). Αντίστοιχα η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει το άθροισµά τους θα είναι (α+β δα δβ) = (α+β)-(δα+δβ). Εποµένως το άθροισµα (α+β) κυµαίνεται µεταξύ (α+β)-(δα+δβ) και (α+β)+(δα+δβ). Αρα το µέγιστο σφάλµα του αθροίσµατος (α+β) θα είναι το άθρισµα των σφαλµάτων του (δα+δβ). δ(a 1 + a + + a n ) = δ(a 1 a a n ) = όπου δa i είναι το σφάλµα της κάθε µέτρησης α i. Για σύγκριση µε βάση τη σχέση (5) το πιθανό σφάλµα του αθροίσµατος θα είναι i i δa i δa i δ(a + β) = δa +δβ. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι το µέγιστο σφάλµα στην περίπτωση της αφαίρεσης δύο ποσοτήτων ισούται µε το άθροισµα των σφαλµάτων τους. Στην περίπτωση πολλαπλασιασµού το σφάλµα του γινοµένου Γ=αβ θα είναι δγ = (a ± δa)(β ± δβ) = aβ 1 ± δa 1 ± δβ a β = aβ 1± δa a + δβ β ± δa a δβ β aβ 1 ± δa a + δβ β όπου χρησιµοποιήσαµε την προσέγγιση ότι ο όρος σχέση µε τους υπόλοιπους. δa a δβ είναι πολύ µικρός σε β 9

10 Στη γενικότερη περίπτωση ν όρων έχουµε Γ=α 1 α α ν µε δγ = a 1 a a ν 1± δa 1 + δa a 1 a + + δa ν a ν Αντίστοιχα µπορούµε να υπολογίσουµε σχέσεις για το µέγιστο δυνατό σφάλµα στην περίπτωση διάιρεσης. Εστω ότι Γ ± δγ = a ± δa β ± δβ = a 1 ± δa a β 1 ± δβ β Αναπτύσσοντας τον όρο 1 ± δβ β ( ) 1 µε βάση τον τύπο του διωνύµου έχουµε Γ ± δγ = a ± δa β ± δβ = a β 1± δa a + δβ β + O όπου Ο είναι όροι ης τάξης και άνω οι οποίοι µπορούν να παραλειφθούν ως πολύ µικροί. Εποµένως Γ ± δγ = a β 1± δa a + δβ β Που έχει παρόµοια µορφή µε τη µορφή της σχέσης για τον πολλαπλασιασµό. Το µέγιστο δυνατό σφάλµα µας δίνει µια συντηρητική εκτίµηση του σφάλµατος η οποία υπερεκτιµά το πραγµατικό σφάλµα. Γι αυτό το λόγο σε όλες τις περιπτώσεις θα χρησιµοποιούµε το πιθανό σφάλµα. 10

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα - &. Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση µίας φυσικής ποσότητας υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση µίας φυσικής ποσότητας υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα - &. ΠΕΙΡΑΜΑ 0 Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn) ΑΣΚΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn) . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Μέτρηση ενός φυσικού µεγέθους ονοµάζεται η σύγκρισή του µε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΑΝΗ Γ. ΛΑΥΡΕΝΤΗ Ο ΗΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΤΗΡΙΩΝ Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών

Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Τάξη - Τµήµα: Ονόµατα µαθητών οµάδας: ) 2).. 3) 4) Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης ) Μέτρηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3)

Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3) ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική 17-01-2009 Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3) Επισηµάνσεις από τη θεωρία Πάνω στον πάγκο

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή άσκηση 1: ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ, ΧΡΟΝΟΥ, ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗΣ

Εργαστηριακή άσκηση 1: ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ, ΧΡΟΝΟΥ, ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΧΟΙ Εργαστηριακή άσκηση 1: ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ, ΧΡΟΝΟΥ, ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΗΣ Τροποποίηση του εργαστηριακού οδηγού (Βαγγέλης ηµητριάδης, 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου) Στόχοι αυτής της εργαστηριακής άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα

Παλαιότερες ασκήσεις

Παλαιότερες ασκήσεις Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY6 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών Παλαιότερες ασκήσεις η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης) Άσκηση ( η σειρά ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Φεβρουάριος 2004 Ζαχαρίας Φθενάκης Γιάννης Μπουρµπάκης

Πρόλογος. Φεβρουάριος 2004 Ζαχαρίας Φθενάκης Γιάννης Μπουρµπάκης i Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό αποτελεί την πρώτη έκδοση, υπό µορφή ϐιβλίου, των εργαστηριακών ασκήσεων που πραγµατοποιούνται στο εργαστήριο ϕυσικής του Τµήµατος ιατροφής και ιαιτολογίας του Τ.Ε.Ι. Κρήτης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι:

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: Μετρήσεις-Αβεβαιότητα-Σφάλματα. Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Στην άμεση μέτρηση το μέγεθος μετράται με κάποιο όργανο. Στην έμμεση μέτρηση το μέγεθος υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙ Μελέτη Ελεύθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙ Μελέτη Ελεύθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙ Μελέτη Ελεύθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Τι μάθαμε μέχρι τώρα:

Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Η μέτρηση μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Κάθε μέτρηση έχει ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ. Παρουσιάζοντας τη μέτρηση σύμφωνα με τη θεωρία σφαλμάτων γράφω δυο αριθμούς: x ± δx ή x ± Σσχ ή x ± %Σσχ όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

A(θ) = n log θ B(x ) = 0. T (x ) = x i. Γ(n)θ n =

A(θ) = n log θ B(x ) = 0. T (x ) = x i. Γ(n)θ n = ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι : ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ» Πέµπτη 24 Ιουνίου 24 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 24 ΘΕΜΑΤΑ. Θεωρώντας ως κριτήριο το µέσο τετραγωνικό σφάλµα : (α ( µονάδες Εστω, 2 δύο εκτιµητές τού g(θ.

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙ Μελέτη Ελεύθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙ Μελέτη Ελεύθερης Πτώσης - &. ΠΕΙΡΑΜΑ ΙΙ Μελέτη Ελεύθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ V Ταχύτητα και Επιτάχυνση

ΠΕΙΡΑΜΑ V Ταχύτητα και Επιτάχυνση ΠΕΙΡΑΜΑ V Ταχύτητα και Επιτάχυνση Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος και θα διερευνήσουµε τους δυο πρώτους νόµους του Newton. Επιπλέον θα µετρήσουµε την επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθµοί. Οι εκαδικοί Αριθµοί

Οι Φυσικοί Αριθµοί. Οι εκαδικοί Αριθµοί Κεφάλαιο 1 ο Οι Φυσικοί Αριθµοί Γνωρίζουµε ότι οι αριθµοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουµε χρησιµοποιούµε τα αριθµητικά σύµβολα. Οι αριθµοί µετρούν συγκεκριµένα πράγµατα και φανερώνουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Z U REC (cm) (V) i =log(z) y i =log(u REC ) x i x i y i 10 74,306 1,000 1,871 1,000 1, ,528 1,079 1,796 1,165 1, ,085 1,146 1,749

Z U REC (cm) (V) i =log(z) y i =log(u REC ) x i x i y i 10 74,306 1,000 1,871 1,000 1, ,528 1,079 1,796 1,165 1, ,085 1,146 1,749 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (ΑΣΚΗΣΗ 3) - set 00 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΟΙΤΗΤΗ Ονοµατεπώνυµο: Γηρούσης Θεόδωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Ατοµάτο Ελέγχο Μάθηµα 7 Εκτίµηση Esimaion στοχαστικών µεγεθών και παραµέτρων µε σνεχείς και διακριτούς αλγόριθµος Καλλιγερόπολος 7 Εκτίµηση Esimaion στοχαστικών µεγεθών και παραµέτρων Σνεχή και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα