ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις στο άτομο που προέρχονται από μαγνητικά φαινόμενα. Θα ασχοληθούμε αρχικά με τα φαινόμενα εκείνα που προκαλούνται από

Transcript

1 1 Λεπτή Υφή (Fi Structur) [FS] Μέχρι τώρα έχουμε μελετήσει το χοντρικό διάγραμμα των ενεργειακών σταθμών των ατόμων. Στην χαμιλτονιανή παίρνουμε μόνο τους μεγαλύτερους όρους, δηλαδή την κινητική ενέργεια, την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-πυρήνα και την άπωση ηλεκτρονίου ηλεκτρονίου. Στην συνέχεια, θα μελετήσουμε και τις ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις στο άτομο που προέρχονται από μαγνητικά φαινόμενα. Θα ασχοληθούμε αρχικά με τα φαινόμενα εκείνα που προκαλούνται από τα εσωτερικά μαγνητικά πεδία. Τα πεδία αυτά είναι υπεύθυνα για την πρόκληση «λεπτής υφής» στα ατομικά φάσματα. Θα ξεκινήσουμε από το υδρογόνο και θα προχωρήσουμε σε άτομα με πολλά ηλεκτρόνια. Στη συνέχεια θα δούμε συνοπτικά τι σημαίνει υπέρλεπτη υφή, που είναι ένα παρόμοιο μικρότερο σε ένταση - φαινόμενο και οφείλεται στις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων και του πυρήνα. 1

2 Τροχιακά μαγνητικά δίπολα Οι κβαντικοί αριθμοί και l, εμφανίστηκαν στην παλιά κβαντική θεωρία των Bohr και Sommrfld. O κύριος κβαντικός αριθμός μπήκε στο μοντέλο του Bohr αξιωματικά ( L ) και αφορούσε την κβάντωση της στροφορμής, ενώ ο τροχιακός κβαντικός αριθμός εισήχθη μερικά χρόνια αργότερα από τον Sommrfld ως διόρθωση για να δικαιολογήσει τις ελλειπτικές τροχιές. Οι δύο αυτοί κβαντικοί αριθμοί επανεμφανίζονται στην θεωρητική κβαντική αντιμετώπιση του θέματος του ατόμου του υδρογόνου και στην περίπτωση των ατόμων με πολλά ηλεκτρόνια. Δύο καθοριστικές σχέσεις που προέρχονται από την κβαντομηχανική περιγραφή των ατόμων [ L ˆ Y (, ) l ( l 1) Y (, ) ] είναι: l, m l, m το μέγεθος L της τροχιακής στροφορμής ενός ηλεκτρονίου, το οποίο δίνεται από τη σχέση: L l( l 1) [FS1] όπου το l παίρνει τιμές από έως (-1). L z και η συνιστώσα της στροφορμής κατά μήκος του άξονα των z είναι κβαντισμένη σε ακέραια πολλαπλάσια του και συγκεκριμένα: m [FS] l όπου ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές από l έως + l. Οι δύο παραπάνω σχέσεις οδηγούν στο διανυσματικό μοντέλο της στροφορμής:

3 3 Η τροχιακή κίνηση του ηλεκτρονίου προκαλεί μια μαγνητική ροπή. Πράγματι, θεωρούμε ένα περιφερόμενο ηλεκτρόνιο, σε κυκλική τροχιά Bohr. Η ηλεκτρονική τροχιά ισοδυναμεί με κυκλικό ρεύμα & από τον ηλεκτρομαγνητισμό ξέρουμε ότι τα κυκλικά ρεύματα ισοδυναμούν με μαγνήτες. Έτσι, το ηλεκτρόνιο ισοδυναμεί με ένα μικρό μαγνήτη με μαγνητική διπολική ροπή μ που δίνεται από τη σχέση: i r ( / T) r, [FS3] όπου Τ η περίοδος της κίνησης. Αν αντικαταστήσουμε την περίοδο T r/, έχουμε: r m m r m r L [FS4] m L 3

4 4 Η τελευταία σχέση μπορεί να γενικευτεί και για την περίπτωση ηλεκτρονίων σε μη κυκλικές τροχιές. Αν θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο με άνυσμα θέσης r σε μια μη κυκλική τροχιά, τότε η μαγνητική διπολική ροπή του είναι: i d A [FS5] όπου i η τιμή του ρεύματος και da η επιφάνεια που σαρώθηκε από το διάνυσμα θέσης καθώς κινήθηκε το ηλεκτρόνιο. H επιφάνεια da σχετίζεται με το μήκος της τροχιάς duμε τη σχέση: 1 d A r du [FS6] 1 έτσι η μαγν. διπολική ροπή γίνεται: Αν αντικαταστήσουμε: i dq / dt, [FS7] i r du 1 dq 1 du r du dqr 1 dqr dt dt 1 dqr p m [FS8] όπου η ταχύτητα και p η ορμή. Επειδή δε η στροφορμή ορίζεται ως L r p [FS9] έχουμε: Ldq L dq L( ) m m m [FS1] Το τελευταίο αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό για τις κυκλικές τροχιές [FS4]. Είναι χρήσιμο να τονιστεί ότι το αποτέλεσμα αυτό προέκυψε επειδή η στροφορμή είναι μια σταθερά της κίνησης και γι αυτό μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα. Αντιμετωπίζοντας το θέμα από την κλασσική του σκοπιά, η στροφορμή L είναι σταθερή επειδή η δύναμη F είναι ακτινική. Έτσι, dl r F [FS11] dt όπου η ροπή. 4

5 5 Επειδή δε η στροφορμή L είναι σταθερή, καταλήγει να είναι κβαντισμένη και να παίρνει τις καθορισμένες τιμές που συναντήσαμε 1. Η σχέση m την μαγνητική διπολική ροπή. L μας δείχνει ότι η τροχιακή στροφορμή σχετίζεται άμεσα με Η ποσότητα: / m καλείται γυρομαγνητικός λόγος & είναι η σταθερά αναλογίας μεταξύ της μαγνητικής ροπής του ηλεκτρονίου και της στροφορμής του. L ~ Επειδή δε, ~ B m [FS1] όπου B η μαγνητόνη του Bohr, που ορίζεται ως: m 4 1 B 9, 7 1 JT [FS13] 1 Η απαίτηση να είναι σταθερή η στροφορμή, σχετίζεται με την ακτινική διεύθυνση της δύναμης. Στα άτομα με πολλά ηλεκτρόνια η προσέγγιση αυτή ισχύει όταν θεωρούμε το πεδίο κεντρικό. Ο συνυπολογισμός των μη κεντρικών δυνάμεων, με το τέχνασμα της εναπομένουσας ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης, θα μπορούσε να σημαίνει ότι οι καταστάσεις της στροφορμής δεν είναι απλές, αλλά ελαφρά αναμεμειγμένες μεταξύ τους. Αυτό ερμηνεύει το γεγονός ότι παρατηρούνται μεταβάσεις που είναι μη επιτρεπτές από τους κανόνες επιλογής, αν και οι πιθανότητες να συμβεί κάτι τέτοιο είναι μικρές. 5

6 6 Μαγνητισμός λόγω spi Στο πείραμα Str-Grlach μια δέσμη από άτομα επηρεάζεται διαφορετικά καθώς περνάει μέσα από ένα ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο. Η δύναμη που δέχεται ένα μαγνητικό δίπολο από το μη-ομογενές πεδίο δίνεται από τη σχέση: F z όπου / db dz z [FS14] db dz η βαθμίδα του πεδίου κατά τη διεύθυνση του άξονα των z. Το αρχικό πείραμα έγινε με άτομα αργύρου στο άτομο του οποίου η κατανομή των ηλεκτρονίων είναι: [Kr] 4d 1 5s 1. Οι συμπληρωμένοι φλοιοί δεν έχουν στροφορμή, επειδή υπάρχουν τόσες κατειλημμένες θετικές καταστάσεις m όσες και αρνητικές. Ακόμη, τα ηλεκτρόνια στους φλοιούς s έχουν l, έτσι τελικά: L. l Δηλαδή η συνολική τροχιακή στροφορμή (επομένως και η μαγν. διπολική ροπή) του ατόμου είναι μηδενική και δεν περιμένουμε επηρεασμό της δέσμης των ατόμων του αργύρου. (Δείτε το βίντεο). Θα πρέπει το μαγνητικό πεδίο να είναι ανομοιογενές για να εκτρέψει ένα μαγνητικό δίπολο. Ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο εξασκεί ροπή στο μαγνητικό δίπολο αλλά όχι δύναμη. Μπορούμε να κατανοήσουμε το φαινόμενο σκεπτόμενοι την αναλογία στην ηλεκτροστατική: Μεμονωμένα ηλεκτρικά φορτία κινούνται όταν βρεθούν μέσα σε ηλεκτρικά πεδία, αλλά ένα ηλεκτρικό δίπολο δεν δέχεται συνισταμένη δύναμη όταν βρεθεί μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, επειδή οι δυνάμεις που εξασκούνται στο αρνητικό και στο θετικό φορτίο αλληλοαναιρούνται. Μια και δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα, όλοι οι ατομικοί μαγνήτες είναι δίπολα. Έτσι, θα πρέπει να εφαρμόσουμε μη ομογενές μαγνητικό πεδίο για να εξασκήσουμε μαγνητική δύναμη πάνω σ ένα άτομο. 6

7 7 Το πείραμα όμως δείχνει ότι η δέσμη των ατόμων του αργύρου διαχωρίζεται και δίνει δύο ίχνη, ένα προς τα πάνω και το άλλο προς τα κάτω. Για την ερμηνεία αυτής της εκτροπής της δέσμης των ατόμων του αργύρου, αφού L, θα πρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε ηλεκτρόνιο έχει μια επιπλέον μαγν. διπολική ροπή. Η διπολική αυτή ροπή οφείλεται στην ιδιοπεριστροφή του ηλεκτρονίου το spi. Όπως η τροχιακή στροφορμή, έτσι και το spi περιγράφεται από δύο κβαντικούς αριθμούς: s και m, με το s m s να παίρνει τιμές από - s έως + s. Η τιμή της στροφορμής λόγω της ιδιοπεριστροφής του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση: s s( s 1) [FS15] και η συνιστώσα της κατά τη διεύθυνση του άξονα των z: s z m [FS16] s Το γεγονός ότι οι αποκλίσεις της δέσμης είναι πάνω-κάτω, δίνει για τα s και s 1/ m s (1/ ) ms τις τιμές: Οι εκτροπές που παρατηρήθηκαν στο πείραμα Str-Grlach επιτρέπουν τον προσδιορισμό της μαγν. ροπής που οφείλεται στο spi. 7

8 8 Η συνιστώσα της μαγν. ροπής, κατά τον άξονα των z βρίσκεται ότι είναι: z gsbms [FS17] όπου ο παράγων: gs ονομάζεται τιμή-g (g-valu) του ηλεκτρονίου και βρέθηκε ότι η τιμή του παράγοντα g είναι πολύ κοντά στο. Η εξίσωση του Dirac δίνει ακριβώς την τιμή, ενώ από την κβαντική ηλεκτροδυναμική(qed) παίρνουμε,319, που συμφωνεί με την τιμή που προσδιορίζεται πειραματικά. Mερικές ακόμη περιπτώσεις που μας οδηγούν στην παραδοχή πως τα ηλεκτρόνια έχουν ιδιοστροφορμή: περιοδικός πίνακας των στοιχείων δεν μπορεί να εξηγηθεί παρά μόνο με την παραδοχή πως τα ηλεκτρόνια έχουν σπιν. Αν αγνοήσουμε το σπιν, περιμένουμε ομαλό φαινόμενο Zma όταν ένα άτομο βρεθεί μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο. Όμως τα περισσότερα άτομα εμφανίζουν ανώμαλο φαινόμενο Zma που είναι ακριβώς συνέπεια του σπιν. Μπορούμε να μετρήσουμε τον γυρομαγνητικό λόγο με διάφορους τρόπους. Το 1915 ο Eisti και ο d Hass μέτρησαν τον γυρομαγνητικό λόγο του ατόμου του σιδήρου και τον βρήκαν διπλάσιο απ ό,τι τον περίμεναν! Απέδωσαν σε πειραματικά σφάλματα το γεγονός και απέρριψαν την τιμή αυτή. Όμως, σήμερα ξέρουμε πως ο μαγνητισμός του σιδήρου προκαλείται από το σπιν και επομένως η τιμή του γυρομαγνητικού λόγου που μετρήθηκε πειραματικά, ήταν η σωστή! 8

9 9 Σύζευξη σπιν-τροχιάς Τα ηλεκτρόνια των ατόμων, όπως έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουν και τροχιακή στροφορμή αλλά και στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής (σπιν). Και οι δύο τύποι στροφορμής έχουν συνέπεια την παραγωγή μαγνητικών διπόλων και με τη σειρά του το γεγονός αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη ενός νέου όρου στην Χαμιλτονιανή για να δείχνει την μαγνητική αλληλεπίδραση. Αυτή η μαγνητική αλληλεπίδραση μεταξύ της στροφορμής λόγω περιφοράς του ηλεκτρονίου και της στροφορμής λόγω ιδιοπεριστροφής, ονομάζεται: «αλληλεπίδραση σπιν τροχιάς». Υπάρχουν εξαιρετικά πολύπλοκες θεωρίες της αλληλεπίδρασης αυτής όπως αυτές που βασίζονται στην εξίσωση του Dirac που δείχνουν πως είναι ένα σχετικιστικό φαινόμενο. Για την ώρα εξετάζουμε την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς ως την αλληλεπίδραση μεταξύ: του μαγνητικού πεδίου που οφείλεται στην περιστροφική κίνηση του ηλεκτρονίου με αυτό που οφείλεται στην ιδιοπεριστροφή του. Θα δώσουμε μια απλή εκτίμηση του μεγέθους της αλληλεπίδρασης βασισμένης στο ημικλασσικό μοντέλο του Bohr και στη συνέχεια θα κάνουμε μια πιο γενική προσέγγιση που ισχύει για την πλήρη κβαντομηχανική εικόνα. 9

10 1 Σύζευξη σπιν-τροχιάς στο μοντέλο του Bohr ο πιο εύκολος τρόπος για να καταλάβει κάποιος την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι να μελετήσει το μοναδικό ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου στην κυκλική τροχιά του γύρω από τον πυρήνα και στη συνέχεια να θεωρήσει το ηλεκτρόνιο στην αρχή του συστήματος αναφοράς. Στο σύστημα αυτό το ηλεκτρόνιο είναι ακίνητο και ο πυρήνας κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r. Η τροχιά του πυρήνα ισοδυναμεί με κυκλικό ρεύμα που με τη σειρά του παράγει ένα μαγνητικό πεδίο της τροχιάς: B i B z κατά τη διεύθυνση του άξονα των z που είναι κάθετος στο επίπεδο z [FS18] αλλά r Z i r / και αν αντικαταστήσουμε επίσης την ταχύτητα και την ακτίνα από τις σχέσεις: ma, r βρίσκουμε: B z Zm Zc, όπου: m m m 4 Z Z c 5 4r 4a N [FS19] όπου 1/137 η σταθερά λεπτής υφής /( hc), και a η ακτίνα του Bohr a /( ) h m. Για το υδρογόνο: Ζ==1, βρίσκουμε: Bz 1T. 1

11 11 Έτσι, το ηλεκτρόνιο ευρισκόμενο σε αυτό το ισχυρό μαγνητικό πεδίο έχει ενέργεια μαγνητικής ελληλεπίδρασης: ESO S Borbital [FS] αντικαθιστώντας από την: z gsbms, (και θεωρώντας g ) βρίσκουμε: E g m B B [FS1] SO S B S z B z S Αντικαθιστώντας την τιμή της συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου βρίσκουμε: Z c Z ESO m a όπου E η τιμή της ενέργειας που δίνεται από τον Bohr Για =1, (και επειδή: R H 4 h E m R ), βρίσκουμε: 8 E R 13,6 V /137,7mV 6cm SO 1 H E,7mV 6cm SO 1 4 m Z E 8 h. [FS] Παρατηρούμε ότι η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι περίπου 1 4 φορές ασθενέστερη από την αλληλεπίδραση που προκύπτει από την πρώτη (χοντρική) προσέγγιση του προβλήματος (δηλ. αυτή που έχουμε αν λάβουμε υπόψη μας μόνο την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων, το ελκτικό δυναμικό μεταξύ του θετικού πυρήνα και των ηλεκτρονίων και την απωστική ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση μεταξύ των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο με πολλά ηλεκτρόνια E R Z / ). H Παρατηρούμε ακόμη πως η ενεργειακή διαφορά εξαρτάται από το Ζ, έτσι, το φαινόμενο περιμένουμε να είναι ισχυρότερο στα βαρύτερα άτομα. Ακόμη, μπορούμε να γράψουμε τη σχέση [FS] με τη βοήθεια της c ESO E Zc ως: [FS3] που δείχνει ότι η ενεργειακή διαφορά λόγω της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς είναι του ιδίου μεγέθους όπως οι σχετικιστικές διορθώσεις που περιμένουμε για το μοντέλο του Bohr. Είναι πράγματι εντυπωσιακό, δεδομένου ότι ο Dirac μας λέει πως θα πρέπει να μελετήσουμε την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς ως ένα σχετικιστικό φαινόμενο. 11

12 1 Σύζευξη σπιν-τροχιάς πέρα από το μοντέλο του Bohr Εδώ θα υπολογίσουμε και πάλι την ενέργεια αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς αλλά δεν θα χρησιμοποιήσουμε σχέσεις που προέκυψαν από το μοντέλο του Bohr. Τα ηλεκτρόνια σε ένα άτομο δέχονται την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου καθώς κινούνται μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο του πυρήνα. Αν το ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα, βλέπει τον πυρήνα να κινείται γύρω του με ταχύτητα -, όπως φαίνεται στο σχήμα: Το μαγνητικό πεδίο που αισθάνεται το ηλεκτρόνιο υπολογίζεται από τον νόμο Biot-Savart : du r B i 3 4 loop [FS4] r όπου duένα στοιχείο της τροχιάς. Αν για απλότητα θεωρήσουμε κυκλική τροχιά ακτίνας r, τότε: dq du idu du Z Z( ) dt dt έτσι: Z Z B r r r 4 r [FS5] Ένα πεδίο Coulomb δίνεται από τη σχέση: Z Z r r 4 r 4 r [FS6] 3 Αν συνδυάσουμε τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε: B [FS7] Ξέρουμε όμως από τις εξισώσεις του Maxwll ότι: γράφεται: 1 B c 1/c, έτσι η τελευταία σχέση [FS8] 1

13 13 Η ίδια σχέση βρίσκεται και για την περίπτωση μη κυκλικών τροχιών 1 B και στην περίπτωση πεδίων που δεν είναι πεδία Coulomb όπως αυτά c των ατόμων με πολλά ηλεκτρόνια. Τώρα, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς δίνεται από τη σχέση: ESO S Borbital [FS9] όπου B S gs s gs s [FS3] m Αντικαθιστούμε την FS8 και FS3 στην FS9 και έχουμε: g c S B ESO s [FS31] Αν έχουμε κεντρικό πεδίο (δηλ. το δυναμικό είναι συνάρτηση μόνο του r όπως για παράδειγμα ένα πεδίο Coulomb, όπου 1 r dv r dr V Z /4 r, μπορούμε να γράψουμε: [FS3] και εισάγοντας τη σχέση αυτή στην σχέση που μας δίνει την ενέργεια της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς, έχουμε: gsb 1 dv ESO s r p c m r dr [FS33] όπου έχουμε αντικαταστήσει: p/ m. Όμως το εξωτερικό γινόμενο της επιβατικής ακτίνας επί την ορμή μας δίνει την στροφορμή, έτσι: gsb 1 dv ESO s l c m r dr [FS34] Ο υπολογισμός αυτός δεν λαμβάνει υπόψη του τα σχετικιστικά φαινόμενα. Συγκεκριμένα, μετατοπίσαμε την αρχή των αξόνων από τον πυρήνα στο ηλεκτρόνιο, πράγμα που δεν είναι πραγματικά επιτρεπτό επειδή το ηλεκτρόνιο επιταχύνεται συνεχώς και δεν μπορεί να θεωρηθεί αδρανειακό σύστημα. Η μετάβαση σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα οδηγεί σε ένα νέο φαινόμενο που καλείται μετάπτωση Thomas το οποίο μειώνει την ενέργεια στο μισό. Αν λοιπόν λάβουμε υπόψη μας την μετάπτωση Thomas και θυμηθούμε ότι /m, παίρνουμε τελικά: B 13

14 14 gs 1 1 dv ESO s l c m r dr [FS35] Είναι το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό που δίνει η εξίσωση του Dirac ( και θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι στην θεωρία του Dirac το gs ). H τελευταία σχέση δείχνει ότι υπάρχει σύζευξη ανάμεσα στο σπιν του ηλεκτρονίου και στην τροχιακή στροφορμή του. Αν έχουμε ένα απλό πεδίο Coulomb και πάρουμε gs, βρίσκουμε: Z 1 ESO s l 8 c m r [FS36] 3 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση αυτή για τα υδρογονοειδή άτομα, και την προηγούμενη σχέση FS35 για τα άτομα με πολλά ηλεκτρόνια, στα οποία το δυναμικό διαφέρει από το δυναμικό Coulomb V 1/ r λόγω της αμοιβαίας άπωσης μεταξύ των ηλεκτρονίων. 14

15 15 Η συνολική στροφορμή Η τροχιακή στροφορμή και το σπιν συνδυάζονται και δίνουν μια συνισταμένη στροφορμή όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Η συνισταμένη αυτή στροφορμή δίνεται από τη σχέση: j l s [FS37] H συνισταμένη στροφορμή j περιγράφεται από τους κβαντικούς αριθμούς j και m j σύμφωνα με τους κανόνες που διέπουν από κβαντική άποψη το μέγεθος της στροφορμής, δηλαδή: j j( j 1) [FS38] και j m [FS39] z j όπου ο κβαντικός αριθμός m παίρνει τιμές από j,( j 1),..., j. j Μπορούμε να βρούμε τις τιμές που μπορεί να πάρει το j αν εφαρμόσουμε τους κανόνες πρόσθεσης των στροφορμών στην κβαντομηχανική. Ας υποθέσουμε πως το C είναι το διάνυσμα της συνισταμένης στροφορμής των επι μέρους διανυσμάτων Α και Β. Δηλ. C=A+B [FS4] Ας θεωρήσουμε δε ότι Α>Β. Στην κλασσική φυσική η γωνία θ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ και 18 μοιρών. Ετσι, το C μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από A B έως A B συμβαίνει στην κβαντομηχανική όπου τα μήκη των διανυσμάτων είναι κβαντισμένα.. Αυτό όμως δεν Συγκεκριμένα είναι: A A( A 1) B B( B 1) C C( C 1) [FS41] όπου A, B, C κβαντικοί αριθμοί. Στην περίπτωση αυτή το C μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές από A B μέχρι A B, [FS4] πράγμα που σημαίνει ότι η γωνία θ μπορεί να πάρει μόνο ειδικές τιμές. 15

16 16 Αν εφαρμόσουμε την τελευταία σχέση στην συνισταμένη στροφορμή j στην περίπτωση ενός ηλεκτρονίου με τροχιακή στροφορμή l και σπιν 1/, βρίσκουμε: 1 j l ή 1 j l Στην περίπτωση που l =, το 1 j Μερικές ακόμη περιπτώσεις εφαρμογής του κανόνα [FS4]: 16

17 17 Υπολογισμός της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στην περίπτωση του υδρογόνου Η τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς δίνεται από τη σχέση FS35, παίρνοντας gs και αναμενόμενες τιμές : 1 1 dv E SO s l c m r dr Αλλά: [FS43] 1dV * 1dV lm lmr sidrd d r dr r dr [FS44] Η συνάρτηση 1 dv r dr εξαρτάται μόνο από το r, έτσι υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα μόνο ως προς το r και έχουμε: 1dV 1dV Rl () r r dr r dr r dr [FS45] όπου R () r η ακτινική κυματοσυνάρτηση. l Το ολοκλήρωμα αυτό μπορεί να υπολογιστεί στην περίπτωση του πεδίου Coulomb όπου ( dv / dr) / r 1/ r γνωστές: Έτσι, για l 1, έχουμε: 1 dv 1 3 r dr r 3 και οι ακτινικές κυματοσυναρτήσεις όπως έχουμε δει -είναι επακριβώς 3 Z a l l l που σημαίνει πως μπορούμε να γράψουμε την αρχική εξίσωση με τη μορφή: [FS46] ESO Cl s l [FS47] όπου Cl μια σταθερά που εξαρτάται από τα l,. Υπολογίζουμε την τιμή: sl : j ( l s) l s l s [FS48] 1 l s j l s 17

18 18 l s j( j 1) l( l 1) s( s 1) [FS49] Έτσι, βρίσκουμε: ' l E C j( j 1) l( l 1) s( s 1) [FS5] SO όπου ' C l Cl / και τελικά με τη βοήθεια και της [FS46] βρίσκουμε: Z ESO E [ ( 1) ( 1) ( 1)] j j l l s s 1 l l l 1 όπου 1/137 η σταθερά λεπτής υφής και E R Z /. Για l, η τελευταία σχέση δίνει: E SO H [FS51] 18

19 Το γεγονός ότι το j παίρνει τιμές l και l για l 1σημαίνει ότι η αλληλεπίδραση σπιν τροχιάς προκαλεί διαχωρισμό των καταστάσεων με διαφορετικό j αλλά το ίδιο l. Έτσι, περιμένουμε οι ηλεκτρονικές καταστάσεις με l 1 να διαχωριστούν και να δώσουν ένα ζευγάρι σταθμών. Εντούτοις, η λεπτή υφή του υδρογόνου είναι πιο πολύπλόκη για δύο λόγους: - Οι στάθμες με την ίδια τιμή του αλλά διαφορετική τιμή του l είναι εκφυλισμένες και - η αλληλεπίδραση σπιν τροχιάς είναι μικρή. Η πρώτη από τις αιτίες που αναφέρθηκαν είναι γενική ιδιότητα όλων των συστημάτων με ένα ηλεκτρόνιο, και η δεύτερη είναι απόρροια του γεγονότος ότι η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς αυξάνεται με το Ζ. Στα άτομα με μεγάλο ατομικό αριθμό η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι η κύρια σχετικιστική διόρθωση και μπορούμε να αγνοήσουμε άλλα φαινόμενα. Η λεπτή υφή για, στο άτομο του υδρογόνου, φαίνεται στο σχήμα: Η πλήρως σχετικιστική θεωρία Dirac προβλέπει ότι οι καταστάσεις με την ίδια τιμή του j είναι εκφυλισμένες. Ο εκφυλισμός των δύο καταστάσεων με j 1/ αίρεται τελικά από την κβαντο-ηλεκτροδυναμική(qed) με το φαινόμενο που καλείται μετάθεση Lamb. Η πολυπλοκότητα της λεπτής υφής του υδρογόνου λόγω άλλων σχετικιστικών και κβαντοηλεκτρο-δυναμικών φαινομένων μας δείχνει ότι το υδρογόνο δεν είναι το καταλληλότερο παράδειγμα για την κατανόηση των φαινομένων που σχετίζονται με την αλληλεπίδραση σπιντροχιάς. 19