ΔΡΓΑΣΗΡΙΑΚΔ ΑΚΗΔΙ ΦΤΙΚΗ ΑΠΟ ΣΟΝ ΣΟΜΟ ΙI

Transcript

1 Δζληθό Μεηζόβην Πνιπηερλείν Σνκέαο Φπζηθήο ρνιή Δθαξκνζκέλσλ Μαζεκαηηθώλ θαη Φπζηθώλ Δπηζηεκώλ ΔΡΓΑΣΗΡΙΑΚΔ ΑΚΗΔΙ ΦΤΙΚΗ ΑΠΟ ΣΟΝ ΣΟΜΟ ΙI 1 1

2

3 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Άζθεζε 1. Δμαλαγθαζκέλεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο πληνληζκόο Παξάξηεκα Άζθεζεο Άζθεζε. Δμαλαγθαζκέλεο κεραληθέο ηαιαληώζεηο. 4 Παξάξηεκα Άζθεζεο... 4 Άζθεζε 3. Μειέηε ησλ θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο κε αεξνηξνρηά Παξάξηεκα Άζθεζεο Άζθεζε 4. Μηθξνθύκαηα 6 Άζθεζε 5. πκβνιή θαη πεξίζιαζε ηνπ θσηόο Παξάξηεκα Άζθεζεο Άζθεζε 8. Μειέηε αθνπζηηθώλ θπκάησλ ζε ερεηηθό ζσιήλα.. 9 Παξάξηεκα Άζθεζεο Άζθεζε 9. Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ ζηα πγξά Παξάξηεκα Άζθεζεο Άζθεζε 3 Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο πιηθώλ Άζθεζε 31. Θεξκηνληθή εθπνκπή ειεθηξνλίσλ Παξάξηεκα Άζθεζεο Άζθεζε 3. Βαζκνλόκεζε ζεξκνδεύγνπο Παξάξηεκα Άζθεζεο Φπζηθέο ζηαζεξέο Moλάδεο κέηξεζεο Φπζηθώλ κεγεζώλ

4 Άζθεζε 1 Δμαλαγθαζκέλεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο - πληνληζκόο 1.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή ζα κειεηήζνπκε ην θαηλόκελν ηνπ ζπληνληζκνύ ρξεζηκνπνηώληαο έλα ειεθηξηθό θύθισκα RLC ζε ζεηξά. Από ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ ζα πξνζδηνξίζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο, όπσο ηελ ηδηνζπρλόηεηα (ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ), ηνλ ζπληειεζηή πνηόηεηαο θαη ηελ αληίζηαζε απσιεηώλ ηνπ θπθιώκαηνο, θαζώο θαη ηνλ ζπληειεζηή απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ. Θα θαηαγξαθνύλ επίζεο, ε θακπύιε ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή, όπσο θαη ε θακπύιε θάζεο σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο δηέγεξζεο θαη ζα παξαηεξεζνύλ, ηέινο, νη ειεύζεξεο θζίλνπζεο ηαιαληώζεηο ηνπ θπθιώκαηνο. 1. Θεσξία 1..1 Πεξηγξαθή ελόο θπθιώκαηνο ζπληνληζκνύ ρήκα 1.1 Κύθισκα RLC ζε ζεηξά. Σν δηάγξακκα ηνπ θπθιώκαηνο ζην ρ. 1.1 παξηζηάλεη έλα θύθισκα απνηεινύκελν από κηα αληίζηαζε R, έλα πελίν L, θαη έλαλ ππθλσηή C ζε ζεηξά. Αλ ν ππθλσηήο είλαη αξρηθά θνξηηζκέλνο κε ηάζε U, ζα θπθινθνξήζεη ζην θύθισκα ξεύκα Θ, θαη ην ζύζηεκα ζα εθηειέζεη ηαιαληώζεηο. Η ηαιάλησζε πεξηιακβάλεη πεξηνδηθή κεηαθνξά ελέξγεηαο απν ηνλ ππθλσηή ζην πελίν, δειαδή από ην ειεθηξηθό ζην καγλεηηθό πεδίν θαη αληίζηξνθα. Δμ αηηίαο ηεο αληίζηαζεο R, ην ξεύκα Θ θαη επνκέλσο ε ελέξγεηα πνπ παξακέλεη ζηα πεδία ζπλερώο κεηώλεηαη, κε απνηέιεζκα κηα βαζκηαία ειάηησζε ηνπ πιάηνπο ησλ ηαιαληώζεσλ. Γηα κία ιεπηνκεξή κειέηε ησλ θπθισκάησλ ζπληνληζκνύ θαη ησλ ειεθηξηθώλ ηνπο ηαιαληώζσλ ζαο παξαπέκπνπκε ζην Παξάξηεκα Π1 ηεο άζθεζεο. Αλ ζην θύθισκα δελ ππήξρε απόζβεζε (R = ) ζα είρακε ακείσην ηαιαλησηή κε ραξαθηεξηζηηθή θπζηθή ζπρλόηεηα ή ηδηνζπρλόηεηα: σ ν = 1 LC (1.1) όπνπ L ε απηεπαγσγή ηνπ πελίνπ θαη C ε ρσξεηηθόηεηα ηνπ ππθλσηή. Η ζπρλόηεηα απηή εμαξηάηαη επνκέλσο, κόλνλ απν ηα ζηνηρεία L, C ηνπ θπθιώκαηνο. 4

5 Παξαηήξεζε: Όπσο γλσξίδνπκε ε ζπρλόηεηα f, ζπλδέεηαη κε ηε γσληαθή (ή θπθιηθή) ζπρλόηεηα σ, κε ηε ζρέζε σ = πf. ηελ Άζθεζε απηή, όπσο άιισζηε θαη ζηηο ππόινηπεο Αζθήζεηο πνπ αλαθέξνληαη ζε ηαιαληώζεηο, νλνκάδνπκε ζπλήζσο ζπρλόηεηα, γηα ιόγνπο ζπληνκίαο, θαη ηε γσληαθή ζπρλόηεη, σ. 1.. Δμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο θπθιώκαηνο ζπληνληζκνύ Αλ ζην παξαπάλσ θύθισκα πξνζζέζνπκε σο πεγή ελέξγεηαο ηελ ελαιιαζζόκελε ηάζε U = U cosσt (ρ. 1.), παξάγνληαη εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο, νη νπνίεο, ύζηεξα από έλα κεηαβαηηθό ζηάδην, θζάλνπλ ζε κηα κόληκε θαηάζηαζε, όπνπ ην ξεύκα Θ, ηαιαληώλεηαη εκηηνληθά κε ηε ζπρλόηεηα σ ηεο δηεγείξνπζαο ηάζεο. Θ = Θ cos(σt + θ) (1.) Σν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο Θ, πνπ δηαηεξείηαη ζηαζεξό, δίλεηαη απν ηε ζρέζε Θ = U o R ( L 1/ C) (1.3) U ρήκα 1. Κύθισκα RLC δηεγεηξόκελν απν ελαιιαζζόκελε ηάζε, U = U cosσt. θαη ε δηαθνξά θάζεο θ, κεηαμύ ξεύκαηνο θαη ηάζεο, πνπ νθείιεηαη ζηε δξάζε ησλ ρσξεηηθώλ θαη επαγσγηθώλ ζηνηρείσλ ηνπ θπθιώκαηνο, δίλεηαη απν ηε ζρέζε: tanθ = 1 L C R (1.4) Η παξάζηαζε Ζ = R ( L 1/ C) νλνκάδεηαη εκπέδεζε ή ζύλζεηε αληίζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο, ελώ ην αληίζηξνθν ηήο αληίζηαζεο Y = 1/Ζ, νλνκάδεηαη ζύλζεηε αγσγηκόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Η ζύλζεηε αγσγηκόηεηα Τ, κεηξάηαη ζε Siemens (S) (1 S = 1 Ω -1 ) Όπσο πξνθύπηεη από ηελ Δμ. (1.3), ην πιάηνο ηνπ ξεύκαηνο παίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ όηαλ Lσ = 1/Cσ, νπόηε έρνπκε Ζ = R θαη ην θύθισκα εκθαλίδεη σκηθή ζπκπεξηθνξά. Σόηε, από ηε ζρέζε Lσ = 1/Cσ θαη ηελ Δμ. (1.1), έρνπκε: σ = σ ζ = 1 LC = σ (1.5) Η ζπρλόηεηα απηή νλνκάδεηαη ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ θαη ζπκβνιίδεηαη κε ην σ ζ θαη, όπσο βιέπνπκε, ζπκπίπηεη κε ηελ ηδηνζπρλόηεηα σ, ηνπ ζπζηήκαηνο. ην ρ. 1.3 θαίλεηαη ε θακπύιε ζπληνληζκνύ ελόο θπθιώκαηνο RLC ζε ζεηξά, δειαδή ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ πιάηνπο ηνπ ξεύκαηνο Θ, σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, f = σ/π, γηα ηξεηο δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο αληίζηαζεο, R. Παξαηεξείηαη όηη όζν κηθξόηεξε είλαη ε R, ηόζν νμύηεξνο είλαη ν ζπληνληζκόο. ε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ην ξεύκα θζάλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ Δμ. (1.5) θαη ην πιάηνο ηνπ είλαη ηόηε I max = U o R (1.6) 5

6 ρήκα 1.3 Κακπύιε ζπληνληζκνύ ελόο θπθιώκαηνο RLC ζε ζεηξά γηα ηξείο δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο αληίζηαζεο, R. H ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ είλαη f = (1 6 /π) s -1. Σν εύξνο δώλεο ζπρλνηήησλ νξίδεηαη σο Γf = f f 1, όπνπ f 1 θαη f είλαη νη ζπρλόηεηεο δεμηά θαη αξηζηεξά ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ηηκέο ηνπ ξεύκαηνο ίζεο κε ην 1/ =,77 ηεο κέγηζηεο ηηκήο ηνπ, I max. H oμύηεηα κηαο ηέηνηαο θακπύιεο κεηξάηαη κε ην εύξνο δώλεο ζπρλνηήησλ Γf = f f 1, όπνπ f 1 θαη f είλαη νη ζπρλόηεηεο δεμηά θαη αξηζηεξά ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ, πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ηηκέο ηνπ ξεύκαηνο ίζεο κε ην 1/ =,77 ηεο κέγηζηεο ηηκήο ηνπ (ρ. 1.3). Δπεηδή ε ελέξγεηα, άξα θαη ε ηζρύο ηεο ηαιάλησζεο, είλαη αλάινγε ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ πιάηνπο ηνπ ξεύκαηνο, νη ηηκέο απηέο αληηζηνηρνύλ ζηε κηζή ηηκή ηεο ηζρύνο. Με άιια ιόγηα, ζηηο ηηκέο f 1 θαη f ηεο ζπρλόηεηαο δηέγεξζεο ε ηζρύο έρεη κεησζεί θαηά 5%. Δίλαη θαλεξό όηη όζν πην νμεία είλαη ε θακπύιε ζπληνληζκνύ, ηόζν ζηελόηεξε είλαη θαη ε δώλε, Γf, ησλ ζπρλνηήησλ πνπ επηιέγνληαη από ην θύθισκα Ο παξάγνληαο πνηόηεηαο ή ππέξηαζεο Q, ελόο θπθιώκαηνο ζπληνληζκνύ Γηα λα ραξαθηεξίζνπκε ηελ επηιεθηηθόηεηα ελόο ηαιαληνύκελνπ ζπζηήκαηνο, εηζάγνπκε ηελ έλλνηα ηεο πνηόηεηάο ηνπ. Απηή νξίδεηαη από ηελ παξάκεηξν Q (λα κε ζπγρέεηαη κε ην θνξηίν) πνπ θαιείηαη ζπληειεζηήο πνηόηεηαο ελόο θπθιώκαηνο θαη δίλεηαη απν ην πειίθν: κέγηζηε απνηακηεπκέλε ελέξγεηα ζηνλ ζπληνληζκό Q = π θαηαλαιηζθόκελε ελέξγεηα ζε ρξόλν κηαο πεξηόδνπ Με βάζε ηνλ νξηζκό απηό βξίζθνπκε όηη Q = Lσ / R (1.7) Μπνξεί εμάιινπ λα απνδεηρζεί όηη ην Q ηζνύηαη κε ην πειίθν ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ δηα ηνπ εύξνπο δώλεο ζπρλνηήησλ Γf = f f 1, ηεο θακπύιεο (ρ. 1.3) Q = f f (1.8) 6

7 Από ηελ Δμ. (1.8) πξνθύπηεη όηη όζν πην νμεία είλαη ε θακπύιε ζπληνληζκνύ, ηόζν κεγαιύηεξε είλαη ε ηηκή ηνπ Q. Απηό άιισζηε δηθαηνινγεί θαη ηελ νλνκαζία ηνπ, γηαηί κία νμεία θακπύιε ζπληνληζκνύ ππνδεηθλύεη όηη ην θύθισκα θάλεη επηινγή ζηελήο πεξηνρήο ζπρλνηήησλ θαη είλαη επνκέλσο θαιήο πνηόηεηαο. ηελ θαηάζηαζε ζπληνληζκνύ ηα πιάηε ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηνπ πελίνπ θαη ηνπ ππθλσηή είλαη ίζα: U O L = σ LI = I /σ C = U O C Καη επεηδή ζην ζπληνληζκό I = U /R, έρνπκε όηη U O L = U O C = QU (1.9) Σν Q πνιιέο θνξέο ιέγεηαη θαη ζπληειεζηήο ππεξηάζεσο ηνπ θπθιώκαηνο θαη κπνξεί εύθνια λα ππνινγηζηεί από ηελ Δμ. (1.9), αλ γλσξίδνπκε ην U θαη ην U O L ή ην U O C. ρήκα 1.4 Οη θακπύιεο ηεο ηάζεο U (έληνλε θακπύιε) θαη ηνπ ξεύκαηνο Ι (γθξί θακπύιε) ζε δηεγεηξόκελν θύθισκα RLC ζεηξάο, σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t. (α) Γηα σ < σ ην ξεύκα πξνεγείηαη ηεο ηάζεο. Πξάγκαηη, ην κέγηζην ηνπ ξεύκαηνο εκθαλίδεηαη εδώ λσξίηεξα από ην κέγηζην ηεο ηάζεο. (β) Γηα σ > σ ην ξεύκα έπεηαη ηεο ηάζεο. Όπσο πξνθύπηεη από ηελ Δμ. (1.4), ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ (σ = σ ) ην ξεύκα είλαη ζε θάζε κε ηελ εθαξκνδόκελε ηάζε (θ = ), νπόηε ηα δύν κεγέζε ηαιαληώλνληαη ζε θάζε, κε απνηέιεζκα ε κέζε ηζρύο λα είλαη κέγηζηε. 'Οηαλ ε ζπρλόηεηα ηεο δηεγείξνπζαο ηάζεο είλαη κεγαιύηεξε ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ (σ > σ ), ππεξηζρύεη ε επαγσγηθή αληίζηαζε (Lσ > 1/Cσ) θαη απν ηελ Δμ. (1.4) πξνθύπηεη όηη tanθ <, νπόηε ην ξεύκα έπεηαη ηεο ηάζεο (ρ. 1.4β), ελώ γηα ζπρλόηεηεο κηθξόηεξεο ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ (σ < σ ) ππεξηζρύεη ε ρσξεηηθή αληίζηαζε (1/Cσ > Lσ), νπόηε έρνπκε tanθ > θαη ην ξεύκα πξνεγείηαη ηεο ηάζεο (ρ. 1.4α). Η κεηαβνιή ηεο θάζεο, θ, κεηαμύ ξεύκαηνο θαη ηάζεο σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο απεηθνλίδεηαη ζην ρ. 1.5, γηα 3 δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηνπ παξάγνληα Q. 7

8 ρήκα 1.5 Μεηαβνιή ηεο δηαθνξάο θάζεο θ, κεηαμύ ηάζεο θαη ξεύκαηνο γηα ην θύθισκα ζπληνληζκνύ RLC ζεηξάο ηνπ ρ. 1.3, σο ζπλάξηεζε ηνπ πειίθνπ σ/σ, όπνπ σ ε ζπρλόηεηα δηέγεξζεο θαη σ ε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ. Η δηαθνξά θάζεο κεδελίδεηαη, όηαλ ε ζπρλόηεηα δηέγεξζεο ζπκπίπηεη κε ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ. Γηα σ> σ, ην θ είλαη αξλεηηθό (ην ξεύκα πζηεξεί σο πξνο ηελ ηάζε), ελώ γηα σ < σ, ην θ είλαη ζεηηθό. Ο ζπληειεζηήο πνηόηεηαο Q, κπνξεί ηέινο λα πξνζδηνξηζηεί από ηηο ειεύζεξεο θζίλνπζεο ηαιαληώζεηο ελόο θπθιώκαηνο RLC, θαη ηζνύηαη κε ηνλ αξηζκό, n, ησλ αθηηλίσλ θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα ίζν κε e. Καη επεηδή ε ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη αλάινγε ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ πιάηνπο, έρνπκε ηε δπλαηόηεηα λα κεηξήζνπκε ην Q κέζσ ηεο κέηξεζεο ηνπ πιάηνπο. Μεηξώληαο δειαδή ηνλ αξηζκό ησλ θύθισλ, n, θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ην πιάηνο κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/ ή ζην 6% ηεο αξρηθήο ηηκήο, ππνινγίδνπκε ηνλ παξάγνληα Q από ηε ζρέζε αθνύ ζηνλ έλα θύθιν πεξηιακβάλνληαη π αθηίληα. Q = πn, (1.1) 1.3 Μέζνδνο Γηα λα κειεηήζνπκε ην θαηλόκελν ηνπ ζπληνληζκνύ ζην θύθισκα RLC, ηξνθνδνηνύκε ηα άθξα ηνπ θπθιώκαηνο κε κηα απιή εκηηνληθή ηάζε κεηαβιεηήο ζπρλόηεηαο θαη, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο f, κεηξνύκε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηνπ ξεύκαηνο Θ θαη ηεο ηάζεο, U. Με βάζε ηηο ηηκέο απηέο ραξάδνπκε ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ, δειαδή ηελ εμάξηεζε ηεο ηηκήο ηνπ πιάηνπο ηνπ ξεύκαηνο Θ, από ηε ζπρλόηεηα δηέγεξζεο f. Απν ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο σο εμήο: Από ηε ζέζε ηνπ κεγίζηνπ ηεο Θ βξίζθνπκε ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ f. Από ηελ ηηκή ηνπ κεγίζηνπ ηεο Θ ππνινγίδνπκε ηελ νιηθή σκηθή αληίζηαζε R νι, ηνπ θπθιώκαηνο. Η R νι πεξηιακβάλεη, εθηόο απν ηελ R κ (βι. ρ. 1.6), ηελ σκηθή αληίζηαζε R α, ησλ ππνινίπσλ ζηνηρείσλ ηνπ θπθιώκαηνο πνπ θαιείηαη αληίζηαζε απσιεηώλ. Έρνπκε επνκέλσο R νι = R κ + R α (1.11) 8

9 Απν ην εύξνο Γf ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ θαη κε ηε βνήζεηα ηεο Δμ. (1.8) ππνινγίδνπκε ηνλ ζπληειεζηή πνηόηεηαο (ή ππεξηάζεσο), Q. Από ηε κέηξεζε ηεο ρξνληθήο θαζπζηέξεζεο, Γt, κεηαμύ ησλ θπκαηνκνξθώλ ηεο ηάζεο, U, θαη ηνπ ξεύκαηνο, Θ, πξνζδηνξίδνπκε ηε κεηαηόπηζε ηεο θάζεο, θ, κεηαμύ ξεύκαηνο θαη ηάζεο. Δίλαη πξνθαλέο όηη ε κεηαηόπηζε ηεο θάζεο θ, ζπλδέεηαη κε ηε ρξνληθή θαζπζηέξεζε Δt, κε ηε ζρέζε: t T 36 t f 36 (1.1) Απν ηε γλσζηή ηηκή ηεο ρσξεηηθόηεηαο ηνπ ππθλσηή, C, θαη ηηο ηηκέο ησλ R νι θαη σ θαη κε ηε βνήζεηα ηεο Δμ. (1.7) κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηνπ L. 1.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Η πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη ηα αθόινπζα ζηνηρεία: (βι. ρ. 1.6): Μία παικνγελλήηξηα ρακειώλ ζπρλνηήησλ, σο πεγή εκηηνληθήο ηάζεο θαη ηεηξαγσληθώλ παικώλ κεηαβιεηήο ζπρλόηεηαο Σν θύθισκα RLC πνπ πξόθεηηαη λα κειεηήζνπκε θαη έλαλ παικνγξάθν γηα ηε κέηξεζε ηεο πεξηόδνπ θαη ηνπ πιάηνπο ησλ παικώλ ρήκα 1.6 Πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηε κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ ζπληνληζκνύ ζε θύθισκα RLC. Η δηάηαμε απνηειείηαη από κία παικνγελλήηξηα ρακειώλ ζπρλνηήησλ, ην θύθισκα RLC θαη έλαλ παικνγξάθν (κε εηθνληδόκελν) Η γελλήηξηα παικώλ Σν πιάηνο ηεο εκηηνληθήο ηάζεο θαη ησλ παικώλ πνπ παξάγνληαη από ηε γελλήηξηα ξπζκίδεηαη κε ην θνπκπί «ΑMPLITUDE», ελώ ε ζπρλόηεηα ξπζκίδεηαη από ην ζπλδπαζκό ηνπ θνπκπηνύ θαη «FREQUENCY RANGE» θαη ηνπ ξενζηάηε «FREQUENCY», ζην αξηζηεξό κέξνο ηεο γελλήηξηαο. Σν πιάηνο ησλ παικώλ ξπζκίδεηαη από έσο 1 V, ελώ ε ζπρλόηεηά ηνπο από έσο MHz. Δπίζεο, κε ην πάηεκα ησλ θαηάιιεισλ θνπκπηώλ «FUNCTION», πνπ βξίζθνληαη ζην πάλσ δεμί κέξνο ηεο πξόζνςεο ηνπ νξγάλνπ, νη παικνί πνπ παξάγνληαη από ηε γελλήηξηα είλαη εκηηνληθήο, ηξηγσληθήο ή νξζνγώληαο κνξθήο, αληηζηνίρσο. 9

10 Η ζπρλόηεηα ησλ παικώλ αλαγξάθεηαη ζηελ ςεθηαθή νζόλε πνπ βξίζθεηαη ζην αξηζηεξό κέξνο ηεο πξόζνςεο ηεο γελλήηξηαο, ελώ ην πιάηνο ησλ παικώλ πνπ παίξλνπκε από ηε γελλήηξηα πξνζδηνξίδεηαη κε ηνλ παικνγξάθν ή κε άιινλ κεηξεηή. Ο δηαθόπηεο ON/OFF ηνπ νξγάλνπ βξίζθεηαη ζηελ πίζσ όςε ηνπ Σν θύθισκα RLC Σν θύθισκα απηό (βι. ρ. 1.6) απνηειείηαη από κηα βάζε από πιεμηγθιάο γηα ηε ζπλαξκνιόγεζε ηνπ θπθιώκαηνο, ζηελ νπνία βάζε, κε θαηάιιεινπο ρεηξηζκνύο, εηζάγνληαη ή αθαηξνύληαη ηα ζηνηρεία R, L θαη C. Σελ αληίζηαζε R, ηελ απνθαινύκε «κεηξεηηθή», επεηδή ρξεζηκνπνηείηαη θαη γηα ηε κέηξεζε ηνπ ξεύκαηνο, όπσο ζα δνύκε πην θάησ (Παξάγξ ) θαη γη απηό ηε ζπκβνιίδνπκε κε R κ. εκεηώλνπκε όηη νη ηηκέο ηεο αληίζηαζεο θαη ηνπ ππθλσηή είλαη R κ = 1 Ω, θαη C = 4,7 nf αληηζηνίρσο, ελώ νη ηηκέο ηεο απηεπαγσγήο L, θαη ηεο αληίζηαζεο απσιεηώλ ηνπ θπθιώκαηνο, πνπ είλαη ε σκηθή αληίζηαζε πεξηέιημεο ηνπ πελίνπ R L, πξνζδηνξίδνληαη πεηξακαηηθά από ηνλ ζπνπδαζηή Ο παικνγξάθνο Ο παικνγξάθνο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε κέηξεζε ηεο πεξηόδνπ θαη ηνπ πιάηνπο ησλ παικώλ ζε δηάθνξα ζεκεία ηνπ θπθιώκαηνο RLC, έρεη κεγάιε αληίζηαζε εηζόδνπ θαη δελ αιινηώλεη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ θπθιώκαηνο. Η ιεηηνπξγία ηνπ παικνγξάθνπ πεξηγξάθεηαη αλαιπηηθά ζηελ Άζθεζε 15, ηνπ Σόκνπ Ι ησλ Δξγαζηεξηαθώλ Αζθήζεσλ Φπζηθήο πλδέζεηο γηα ηε κέηξεζε ησλ ρξαθηεξηζηηθώλ ηνπ θπθιώκαηνο RLC Γηα λα κεηξήζνπκε ην πιάηνο ηεο εθαξκνδόκελεο ηάζεο U, ζπλδένπκε ην θαλάιη ChI ηνπ παικνγξάθνπ ζηα άθξα ηεο γελλήηξηαο, όπσο θαίλεηαη ζην ρ (Βι. Παξάγξ ) Γηα λα κεηξήζνπκε ην πιάηνο θαη ηε θάζε ηνπ ξεύκαηνο Ι, πνπ δηαξξέεη ην θύθισκα, ζπλδένπκε ην θαλάιη ChII ηνπ παικνγξάθνπ ζηα άθξα ηεο κεηξεηηθήο αληίζηαζεο R κ = 1 Ω (ζέζεηο Γ θαη Β ηνπ θπθιώκαηνο), πξνζέρνληαο ώζηε ην καύξν (γεησκέλν) βύζκα ηνπ παικνγξάθνπ λα ζπλδεζεί κε ην άθξν Γ ηεο αληίζηαζεο R κ (πνπ αληηζηνηρεί ζηε R1 γείσζε ηεο γελλήηξηαο), θαη λα κεηξήζνπκε ηελ ηάζε U O (Παξάγξ ). Δίλαη πξνθαλέο όηη ην ξεύκα Θ, βξίζθεηαη από ηε ζρέζε Θ = 1 U R O R κ ελώ ε κεηαηόπηζε ηεο θάζεο ηνπ ξεύκαηνο σο πξνο εθείλελ ηεο ηάζεο πνπ ηξνθνδνηεί ην θύθισκα βξίζθεηαη κε ηε κέηξεζε ηεο ρξνληθήο θαζπζηέξεζεο κεηαμύ ησλ δύν θπκαηνκνξθώλ, όπσο ζα δνύκε ζηελ Δθηέιεζε ηνπ Πεηξάκαηνο (Παξάγξ. 1.5.). Γηα λα κεηξήζνπκε ην πιάηνο ηεο ηάζεο, U C, ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή, αληαιιάζζνπκε ηηο ζέζεηο κεηαμύ ηεο κεηξεηηθήο αληίζηαζεο, R κ, θαη ηνπ ππθλσηή, C, έηζη ώζηε ην έλα άθξν ηνπ ππθλσηή λα είλαη γεησκέλν, θαη ζπλδένπκε ηα άθξα ηνπ ππθλσηή κε ην θαλάιη ChII ηνπ παικνγξάθνπ (πξνζέρνληαο πάληα ώζηε ην καύξν (γεησκέλν) βύζκα ηνπ παικνγξάθνπ λα ζπλδεζεί κε ην γεησκέλν άθξν ηνπ ππθλσηή C) (Παξάγξ ). Βηβιηνγξαθία 1. E.M. Purcell, Μαζήκαηα Φπζηθήο Παλεπηζηεκίνπ Berkeley, Σόκνο : Ηιεθηξηζκόο θαη Μαγλεηηζκόο, Κεθ. 8: Παξαγξ. 8.1 θαη 8., Παλεπηζηεκηαθέο Δθδόζεηο Δ.Μ.Π. (Αζήλα 4). 1

11 . Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Β: Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο-Οπηηθή, Κεθ. 34, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 3. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Β: Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο, Οπηηθή, ύγρξνλε Φπζηθή, Κεθ. 3: Παξάγξ , Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 4. Η.J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ, Κεθάιαην, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 199). 5. H.D. Young θαη R.A. Freedman, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή Sears and Zemansky, Σόκνο Α : Μεραληθή-Κύκαηα, Κεθ. 13: Παξάγξ. 13.8, Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 9). 1.5 Δθηέιεζε πλαξκνινγήζηε ην θύθισκα RLC ζεηξάο όπσο θαίλεηαη ζην ρ. 1.6, ζπλδέζηε ην κε ηε γελλήηξηα θαη ζέζηε ζε ιεηηνπξγία ηε γελλήηξηα θαη ηνλ παικνγξάθν. πλδέζηε κεηά ην θαλάιη ChI ηνπ παικνγξάθνπ ζηα άθξα ηεο γελλήηξηαο. ΠΡΟΟΥΗ: ε όιεο ηηο κεηξήζεηο ζαο ην καύξν (γεησκέλν) θαιώδην ηνπ παικνγξάθνπ πξέπεη λα ζπλδέεηαη πάληα κε ην αξλεηηθό (), γεησκέλν, βύζκα ηεο γελλήηξηαο, ώζηε λα κελ βξαρπθπθιώλεηαη θαλέλα από ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο Καηαγξαθή ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ ηνπ ξεύκαηνο 1. Αθνύ ζπλδέζεηε ην θαλάιη ChI ηνπ παικνγξάθνπ ζηα άθξα ηνπ θπθιώκαηνο, όπσο θαίλεηαη ζην ρ. 1.6, επηιέμηε ζηε γελλήηξηα ηελ θιίκαθα ζπρλνηήησλ ησλ khz θαη ξπζκίζηε ηε ζπρλόηεηα ζην 1 khz.. Ρπζκίζηε από ηε γελλήηξηα ην πιάηνο U, ηεο θπκαηνκνξθήο πνπ εθαξκόδεηαη ζηα άθξα ηνπ θπθιώκαηνο RLC ζηελ ηηκή 1 V, κεηξώληαο ην κε ηνλ παικνγξάθν. 3. πλδέζηε ηα άθξα Γ θαη Β ηεο αληίζηαζεο R κ ζην θαλάιη ChII ηνπ παικνγξάθνπ γηα λα Rκ κεηξήζεηε ην πιάηνο ηεο ηάζεο, U, ζηα άθξα ηεο αληίζηαζεο. (Πξνζνρή θαη πάιη λα ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο ηα καύξα, γεησκέλα, θαιώδηα ησλ δύν θαλαιηώλ). Καηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο (f θαη U ) ζηνλ Πίλαθα Ι. Rκ R κ = 1 Ω Πίλαθαο Ι. U = 1 V f γελ (khz) 1.. Rκ U (V) I (ma) 4. Υσξίο λα κεηαβάιεηε ην πιάηνο ηεο ηάζεο ηεο θπκαηνγελλήηξηαο U, επαλαιάβεηε ηα βήκαηα 3 θαη 4 γηα ζπρλόηεηεο ηεο γελλήηξηαο f γελ, κεηαμύ 1 θαη kηz, κε βήκα 1 kηz θαη ζπκπιεξώζηε ηνλ Πίλαθα Ι. Πξνζνρή: ηελ πεξηνρή ηνπ ζπληνληζκνύ (8 1 kηz, κέγηζην U Rκ ) ρξεζηκνπνηήζηε βήκαηα ησλ, kηz. 5. Πξνζδηνξίζηε, θαηά πξνζέγγηζε, ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, ηε ζπρλόηεηα δειαδή εθείλε γηα ηελ νπνία ην πιάηνο ηνπ ξεύκαηνο παίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ. f =... 11

12 1.5. Καηαγξαθή ηεο θακπύιεο θάζεο ηνπ ξεύκαηνο 1. Υσξίο λα αιιάμεηε θαζόινπ ηελ πξνεγνύκελε ζπλδεζκνινγία, παξαηεξήζηε ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ ηελ θπκαηνκνξθή ηήο εθαξκνδόκελεο ηάζεο U, ζην θαλάιη ChI, θαη ηελ Rκ θπκαηνκνξθή ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηεο κεηξεηηθήο αληίζηαζεο, U (πνπ ε ρξνληθή ζπκπεξηθνξά ηεο ηαπηίδεηαη κε εθείλελ ηνπ ξεύκαηνο Θ), ζην θαλάιη ChII, κεηαηνπηζκέλεο θαηά Γt, ιόγσ ηεο δηαθνξάο θάζεο κεηαμύ ξεύκαηνο θαη ηάζεο.. Γηα ηηκέο ζπρλνηήησλ κεηαμύ θαη khz κεηξήζηε ηε δηαθνξά ρξόλνπ Γt, (είηε από ηηο ζέζεηο ησλ κεγίζησλ, είηε από ηηο ζέζεηο κεδεληζκνύ ησλ θπκαηνκνξθώλ) θαη θαηαγξάςηε ηηο κεηξήζεηο ζηνλ Πίλαθα ΙΙ. Γύξσ από ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, δειαδή ζηελ πεξηνρή ζπρλνηήησλ 8 1 khz, ρξεζηκνπνηήζηε έλα βήκα,5 kηz. Οη ηηκέο ηεο Γt ζεκεηώλνληαη κε ζεηηθό πξόζεκν όηαλ ην ξεύκα πξνεγείηαη ηεο ηάζεο θαη κε αξλεηηθό πξόζεκν ζηελ αληίζεηε πεξίπησζε. 3. Πξνζδηνξίζηε κε αθξίβεηα ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, πνπ αληηζηνηρεί ζην Γt =. f (khz) 3 Γt (s) Πίλαθαο ΙΙ f/f θ πεηξ (κνίξεο) f = Καηαγξαθή ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή 1. Αλαζπλαξκνινγήζηε ην θύθισκα πνπ δίλεηαη ζην ρ. 1.6, ελαιιάζνληαο ηηο ζέζεηο ηεο κεηξεηηθήο αληίζηαζεο, R κ, κε ηνπ ππθλσηή, C, (δνζέληνο όηη ην έλα άθξν ηνπ ππθλσηή πξέπεη λα είλαη γεησκέλν).. πλδέζηε ην θαλάιη ChII ηνπ παικνγξάθνπ ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή θαη κεηξήζηε ην C πιάηνο ηεο ελαιιαζζόκελεο ηάζεο, U, ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή ζπλαξηήζεη ηεο ζπρλόηεηαο, f, ζην δηάζηεκα 1 khz. Γύξσ από ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, δειαδή ζηελ πεξηνρή ζπρλνηήησλ 8 1 khz, ρξεζηκνπνηήζηε έλα βήκα,5 kηz. πκπιεξώζηε ηνλ Πίλαθα ΙΙΙ. f (khz) 3 Πίλαθαο ΙΙΙ C U (V) Παξαηήξεζε ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ ηνπ θπθιώκαηνο 1. Δλαιιάμηε θαη πάιη ηηο ζέζεηο κεηξεηηθήο αληίζηαζεο θαη ππθλσηή θαη κεηαθέξηε ηνλ επηινγέα θπκαηνκνξθήο (FUNCTION) ηεο γελλήηξηαο ζηε ζέζε «νξζνγώληνη παικνί». Ρπζκίζηε ηε γελλήηξηα ώζηε λα παξάγεη ζπρλόηεηα, khz θαη επηιέμηε ζηνλ παικνγξάθν ηελ θαηάιιειε ζάξσζε (,,5 ms/div) γηα λα έρεηε πιεξέζηεξε εηθόλα ζηελ νζόλε. ην 1

13 θαλάιη ChII, ζα εκθαλίδεηαη ηώξα ε εηθόλα ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ ηνπ θπθιώκαηνο κε απόζβεζε. Οη ηαιαληώζεηο απηέο ζα δηεγείξνληαη κε θάζε άλνδν θαη κε θάζε θάζνδν ηνπ νξζνγώληνπ παικνύ.. Μεηξήζηε ηνλ αξηζκό ησλ θύθισλ, n, θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ην πιάηνο ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/, δειαδή ζην 6 % ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο. θάληε κηα εθηίκεζε ηνπ παξάγνληα Q από ηε ζρέζε Q = πn (1.1) 3. Απμήζηε αξγά ηε ζπρλόηεηα ηεο γελλήηξηαο κέρξη ηα 1 khz θαη παξαθνινπζήζηε ηελ εμέιημε ηεο θζίλνπζαο θπκαηνκνξθήο ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ, ζεκεηώλνληαο ηηο όπνηεο παξαηεξήζεηο ζαο. 4. Κιείζηε ηνλ δηαθόπηε ηεο γελλήηξηαο θαη ηνλ παικνγξάθν θαη απνζπλδέζηε ην θύθισκα ηνπνζεηώληαο ηα θαιώδηα ζηηο ππνδνρέο ηνπο. 1.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Υάξαμε ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ ηνπ ξεύκαηνο Rκ 1. Τπνινγίζηε ηηο ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηνπ ξεύκαηνο, Θ = U / R κ, όπνπ R κ = 1 Ω, σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, f, θαη θαηαρσξήζηε ηηο ηηκέο ηνπο ζηνλ Πίλαθα Ι.. Υαξάμηε ζε ραξηί κηιιηκεηξέ ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ (Θ σο ζπλάξηεζε ηνπ f) θαη από απηήλ πξνζδηνξίζηε κε αθξίβεηα ηελ ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ, f, θαζώο θαη ηνπ δf. Tν ζθάικα λα πξνζδηνξηζηεί θαη' εθηίκεζε από ηελ θακπύιε. 3. Πξνζδηνξίζηε, κε ηε κεγαιύηεξε δπλαηή αθξίβεηα, ην εύξνο δώλεο Γf = f f 1 (βι. ρ. 1.3) θαη από ηελ ηηκή απηή ππνινγίζηε ηελ ηηκή Q θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα ηεο δq (Δμ. 1.8). Q δq =. 4. Από ηελ ηηκή ηνπ Θ ζηνλ ζπληνληζκό θαη ηνπ πιάηνπο ηεο εθαξκνδόκελεο ηάζεο U, ππνινγίζηε (Eμ, 1.6) ηελ νιηθή αληίζηαζε, R νι θαη, από απηήλ, ηελ αληίζηαζε απσιεηώλ ηνπ θπθιώκαηνο (Δμ. 1.1), πνπ είλαη ε σκηθή αληίζηαζε ηνπ πελίνπ, R L. R L δr L = 1.6. Υάξαμε ηεο θακπύιεο θάζεο ηνπ ξεύκαηνο 1. Από ηηο κεηξήζεηο πνπ έρνπλ θαηαρσξεζεί ζηνλ Πίλαθα ΙΙ ππνινγίζηε ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ηεο δηαθνξάο θάζεο, θ πεηξ (θ πεηξ = πγt / Σ) θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ Πίλαθα ΙΙ.. ε έλα δεύηεξν ραξηί κηιιηκεηξέ, θαη κε βάζε ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΙΙ, ζρεδηάζηε ηελ θακπύιε θ πεηξ σο ζπλάξηεζε ηνπ f / f θαη ζπγθξίλεηε ην δηάγξακκα απηό κε ηε κνξθή ηεο αλακελόκελεο ζεσξεηηθήο θακπύιεο (ρ. 1.5). 3. Από ηελ πεηξακαηηθή θακπύιε ππνινγίζηε θαη πάιη ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, f, θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα ηεο, δf. πγθξίλεηε ηελ ηηκή απηή κε εθείλελ πνπ βξήθαηε ζην 1.6.1, βήκα. 4. Από ηε γλσζηή ηηκή ηνπ C, (C = 4,7 nf 5%) θαη ηελ ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ, f, πνπ βξήθαηε, ππνινγίζηε ηελ ηηκε ηεο απηεπαγσγήο, L, θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα ηεο δl. L δl =. 5. Tελ νιηθή αληίζηαζε R νι, θαζώο θαη ην ζθάικα ηεο, κπνξείηε λα ηελ ππνινγίζεηε θαη από ηελ ηηκή ηνπ παξάγνληα ππεξηάζεσο, Q (Δμ. 1.7). πγθξίλεηε ηελ ηηκή απηή κε εθείλελ πνπ ππνινγίζαηε ζην 1.6.1, βήκα 4. Πνηα από ηηο δύν κεζόδνπο ππνινγηζκνύ ηεο R νι είλαη πξνηηκόηεξε θαη γηαηί; 13

14 1.6.3 Υάξαμε ηεο θακπύιεο ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή 1. ε έλα ηξίην ραξηί κηιιηκεηξέ, ραξάμηε κε βάζε ηνλ Πίλαθα ΙΙΙ, ηελ πεηξακαηηθή C θακπύιε ηνπ ελαιιαζζόκελεο ηάζεο, U, ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή ζπλαξηήζεη ηεο ζπρλόηεηαο, f.. Από ηελ θακπύιε απηή εθηηκήζηε θαη πάιη ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ f, (κέγηζην ηεο C C U ) θαη, από ηελ ηηκή ηεο U ζηνλ ζπληνληζκό, ππνινγίζηε ηνλ παξάγνληα ππεξηάζεσο, Q δq (Δμ. 1.9). 3. πγθξίλεηε ηηο ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ f, πνπ βξήθαηε κε ηηο ηξεηο κεζόδνπο. Πνηα, θαηά ηε γλώκε ζαο, είλαη ε αθξηβέζηεξε θαη γηαηί; Παξαηήξεζε ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ ηνπ θπθιώκαηνο 1. Από ηνλ αξηζκό ησλ θύθισλ, n, θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ην πιάηνο ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/, θάληε κηα εθηίκεζε ηνπ παξάγνληα Q κε ηε βνήζεηα ηεο Δμ ρνιηάζηε ζπλνιηθά θαη ζύληνκα ηα απνηειέζκαηά ζαο από ηελ παξαηήξεζε ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ. 3. πγθξίλεηε ηηο ηηκέο ηνπ παξάγνληα ππεξηάζεσο Q, πνπ βξήθαηε κε ηηο δύν πξνεγνύκελεο κεζόδνπο (Δμ. 1.8 θαη Δμ. 1.9) κε εθείλελ πνπ πξνδηνξίζαηε από ηηο ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο (Δμ. 1.1). Πνηα από ηηο ηξεηο κεζόδνπο είλαη πξνηηκόηεξε θαη γηαηί; 14

15 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ 1 (Π1) Δμαλαγθαζκέλεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο - πληνληζκόο Π1.1. Κπθιώκαηα ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ RLC Έλα πελίν από κνλσκέλν ζύξκα δεκηνπξγεί κία απηεπαγσγή L. Όηαλ ην πελίν απηό ζπλδέεηαη ειεθηξηθά κε έλαλ ππθλσηή C, ηόηε ηα ζηνηρεία απηά δεκηνπξγνύλ ην ιεγόκελν θύθισκα L,C, ην νπνίν νπζηαζηηθά είλαη έλαο ειεθηξνκαγλεηηθόο ηαιαλησηήο ζηνλ νπνίν κπνξεί θαλείο λα δηεγείξεη ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο. ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο πξνζζέηνπκε θαη ηελ αληίζηαζε απσιεηώλ R νι, πνπ παξηζηά ηηο ζπλνιηθέο απώιεηεο ηνπ θπθιώκαηνο, δειαδή ηηο απώιεηεο ζηνλ ππθλσηή ζην πελίν θαη ζηα ζπλδεηηθά θαιώδηα. εκεηώλνπκε όηη, ζε ζπρλόηεηεο f < khz, νη νιηθέο απώιεηεο ζρεδόλ ηαπηίδνληαη κε ηηο απώιεηεο ζηελ σκηθή αληίζηαζε ηνπ πελίνπ, δειαδή R νι = R L. πλήζσο ε δηέγεξζε ηνπ θπθιώκαηνο γίλεηαη κε κηα γελλήηξηα ελαιιαζζόκελεο ηάζεο, πνπ ζα ηελ απνθαινύκε πεγή. Έηζη, αλάινγα κε ην πώο ε πεγή ζπλδέεηαη κε ηα ζηνηρεία L,C, (ηελ R L ηε ζεσξνύκε ελζσκαησκέλε ζην πελίν) ηα θπθιώκαηα ρσξίδνληαη ζε θπθιώκαηα ζεηξάο (ρ. Π1.1α) θαη θπθιώκαηα παξαιιήινπ (ρ. Π1.1β). Με ηα θπθιώκαηα παξαιιήινπ δελ ζα αζρνιεζνύκε ζηελ Άζθεζε απηή. Αλάινγα κε ην είδνο ηνπ ζήκαηνο πνπ παξάγεη ε πεγή, ζηα θπθιώκαηα απηά κπνξνύλ λα δηεγεξζνύλ ειεύζεξεο ή εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο. Σηο ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο ηηο παξαηεξεί θαλείο ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ, όηαλ ε πεγή παξάγεη νξζνγώληνπο παικνύο ζρεηηθά κεγάιεο δηάξθεηαο, ζηα κέησπα ηνπ παικνύ. Η ηαιάλησζε είλαη θζίλνπζα θαη γίλεηαη κε ζπρλόηεηα πεξίπνπ σ = 1/(LC) 1/, πνπ νλνκάδεηαη θπζηθή ζπρλόηεηα ή ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ηαιαλησηή. ηελ πεξίπησζε όπνπ ε πεγή παξάγεη αξκνληθό ζήκα ηύπνπ U(t) = U cos(σt), νη ηαιαληώζεηο ζην θύθισκα ζα είλαη εμαλαγθαζκέλεο θαη ε ζπρλόηεηά ηνπο εδώ είλαη ε ίδηα κε απηή ηεο πεγήο. Απηό πνπ δηαθνξνπνηείηαη είλαη ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο θαη ην πιάηνο ηεο, ην νπνίν κεγηζηνπνηείηαη όηαλ ε ζπρλόηεηα ηεο πεγήο ζπκπίπηεη κε ηε θπζηθή ζπρλόηεηα ηνπ ηαιαλησηή. Π1.. Δμαλαγθαζκέλεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο ζε θύθισκα RLC ζεηξάο ην θύθισκα RLC ζεηξάο (ρ. Π1.1α), ε πεγή ελαιιαζζνκέλεο ηάζεο ζπλδέεηαη ζε ζεηξά κε ηα ππόινηπα ζηνηρεία, νπόηε ην ελαιιαζζόκελν ξεύκα πνπ δεκηνπξγείηαη ζην θύθισκα δηαξξέεη όια ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο θαη έρεη εληαία ηηκή παξά ην όηη νη ελαιιαζζόκελεο ηάζεηο ζηα ζηνηρεία απηά δηαθέξνπλ. Σν πιάηνο ηνπ ελαιιαζζόκελνπ απηνύ 15

16 ξεύκαηνο κπνξεί λα ππνινγηζηεί. Πξάγκαηη έζησ όηη ε πεγή ελαιιαζζόκελεο ηάζεο παξάγεη ειεθηξηθό ζήκα ηύπνπ: U( t) U cos( t) (Π1.1) όπνπ σ είλαη ε θπθιηθή ζπρλόηεηα θαη U είλαη ην πιάηνο ηεο παξαγόκελεο ελαιιαζζόκελεο ηάζεο. Γηα ιόγνπο θαιύηεξεο επνπηείαο, ζα ππνζέζνπκε όηη ε εζσηεξηθή αληίζηαζε ηεο πεγήο είλαη κεδέλ, δειαδή ε πεγή είλαη κία ηδαληθή πεγή ελαιιαζζόκελεο ηάζεο. Μεηαμύ άιισλ απηό ζεκαίλεη όηη ε πεγή δε ζπκβάιεη ζηελ αληίζηαζε απσιεηώλ. Με δεδνκέλεο ηηο ηηκέο U θαη σ, ηξία είλαη ηα εξσηήκαηα πνπ αλαθύπηνπλ εδώ: πνηα είλαη ε ζπλάξηεζε ξεύκαηνο Θ = Θ(σ) πνηα είλαη ε ζπλάξηεζε θάζεο θ = θ(σ), σο πξνο απηήλ ηεο πεγήο πνηα είλαη ε ζπλάξηεζε ηάζεο ζην πελίν, U L = U L (σ), ή ζηνλ ππθλσηή, U C = U C (σ). Π1..1 Η ζπλάξηεζε ξεύκαηνο. Κακπύιε ζπληνληζκνύ ξεύκαηνο Σε ζπλάξηεζε ξεύκαηνο ζα ηελ ππνινγίζνπκε θαηαθεύγνληαο ζηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο, όπνπ ε ηάζε ηεο πεγήο U θαη ε αληίζηαζε απσιεηώλ R, απνδίδνληαη κε πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο, ελώ νη αληηζηάζεηο ηνπ πελίνπ θαη ηνπ ππθλσηή κε ηηο θαληαζηηθέο ηηκέο, jσl θαη 1 / jσc αληίζηνηρα, όπνπ j είλαη ε θαληαζηηθή κνλάδα. ηνλ θαληαζηηθό αξηζκό j πξνζδίδεηαη ε ηδηόηεηα: j = 1. Δπνκέλσο ζε κηγαδηθέο κεηαβιεηέο ν δεύηεξνο λόκνο ηνπ Kirchhoff έρεη ηε κνξθή U L U C U R U ή I RL I RC I R U I ή j I L I R U (Π1.α,β,γ) j C όπνπ İ είλαη ην κηγαδηθό ξεύκα πνπ ξέεη ζην θύθισκα. Από ηελ ηειεπηαία ζρέζε πξνθύπηεη I R U 1 j( L ) C (Π1.3) Η Δμ. (Π1.3) νξίδεη ην πιάηνο αιιά θαη ηε θάζε ηνπ ελαιιαζζόκελνπ ξεύκαηνο, σο πξνο εθείλελ ηεο πεγήο θαη νπζηαζηηθά είλαη ν λόκνο ηνπ Ohm, δηαηππσκέλνο ζε κηγαδηθή κνξθή. ηνλ παξαλνκαζηή ε κηγαδηθή αληίζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο απνηειείηαη από δύν κέξε, ην πξαγκαηηθό θαη ην θαληαζηηθό. Σν πιάηνο ηνπ ελαιιαζζνκέλνπ ξεύκαηνο πνπ παξαηεξείηαη ζηελ νζόλε ελόο παικνγξάθνπ (αλεμαξηήησο θάζεο) ηζνύηαη κε ην κέηξν ηεο κηγαδηθήο παξάζηαζεο (Π1.3) θαη είλαη I( ) (Π1.4) R U 1 L C Βιέπνπκε όηη ην πιάηνο ηνπ ξεύκαηνο είλαη κία πεξίπινθε ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο σ θαη κεγηζηνπνηείηαη εθεί όπνπ ειαρηζηνπνηείηαη ν παξαλνκαζηήο, δειαδή ζηε ζπρλόηεηα σ γηα ηελ νπνία ηζρύεη 16

17 curent (A) 1 L ή C 1 (Π1.5α,β) LC Καζηεξώζεθε ε ζπρλόηεηα σ λα απνθαιείηαη ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, κε ηελ έλλνηα όηη ε ηηκή ηεο ζπκπίπηεη κε ηε θπζηθή ζπρλόηεηα ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ ζην θύθισκα όηαλ νη απώιεηέο ηνπ είλαη κεδέλ θαη, επνκέλσο, ην θύθισκα ζπληνλίδεηαη όηαλ ε γελλήηξηα παξάγεη ηε ζπρλόηεηα απηή. εκεηώλνπκε αθόκε όηη, ζηελ Ηιεθηξνληθή θαη ηελ Ηιεθηξνηερλία, ν παξαλνκαζηήο ηεο (Π1.4), δειαδή ην κέηξν ηεο κηγαδηθήο αληίζηαζεο, νλνκάδεηαη ζύλζεηε αληίζηαζε ή εκπέδεζε ηνπ θπθιώκαηνο RLC θαη ζπλεζίδεηαη λα ζπκβνιίδεηαη κε ην θεθαιαίν Ζ. Από ηελ Δμ. (Π1.4) πξνθύπηεη όηη ην ξεύκα ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ είλαη I U (Π1.6) R Όπσο βιέπνπκε δελ εμαξηάηαη από ηα ζηνηρεία L θαη C, αιιά κόλν από ηελ αληίζηαζε απσιεηώλ. ην ρ. Π1. δίλνληαη ηξεηο θακπύιεο ζπληνληζκνύ ξεύκαηνο πνπ θαηαγξάθεθαλ ζε ηξία θπθιώκαηα πνπ έρνπλ ίδηα ζηνηρεία L θαη C, αιιά δηαθνξεηηθή αληίζηαζε απσιεηώλ U =1 V R 1 = 1 Ω R =,5 Ω f (Hz) ρήκα Π1. Η θακπύιε ζπληνληζκνύ ζηα άθξα ηεο αληίζηαζεο. ην θύθισκα κε ηελ νμύηεξε θακπύιε ην R είλαη 1 Ω, ζηε δεύηεξε,5 Ω, ελώ ζηελ ηξίηε 6,5 Ω. ρνιηάδνληαο ηηο θακπύιεο απηέο κπνξνύκε λα πνύκε όηη: Όζν κηθξόηεξεο είλαη νη απώιεηεο ηόζν νμύηεξε είλαη ε θακπύιε θαη κεγαιύηεξν ην ξεύκα ζπληνληζκνύ. 17

18 Η ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ δελ εμαξηάηαη από ηηο απώιεηεο ζην θύθισκα, θαζώο όιεο νη θακπύιεο κεγηζηνπνηνύληαη ζηε ζπρλόηεηα σ (π 1 rad/s) Η θακπύιε ζπληνληζκνύ δελ είλαη ζπκκεηξηθή θαη Θ() = Θ( ) =. Σειηθά, γηα ηε ζπλάξηεζε ηνπ ελαιιαζζόκελνπ ξεύκαηνο πνπ ξέεη ζην θιεηζηό θύθισκα, κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηε ζρέζε I( t) I( U cos( t ) ) cos( t ) (Π1.7) 1 R L C όπνπ θ είλαη ε δηαθνξά θάζεο κεηαμύ ηεο ηάζεο ηεο πεγήο θαη ηνπ ελαιιαζζνκέλνπ ξεύκαηνο. ηα ζπκπεξάζκαηα πξέπεη λα πξνζζέζνπκε αθόκε ην αθόινπζν: γεληθά, ην ελαιιαζζόκελν ξεύκα ζην θύθισκα δελ κεηαβάιιεηαη κε ηελ ίδηα θάζε κε απηή ηεο πεγήο, παξά κόλν ζε κία εηδηθή πεξίπησζε. Πην θάησ ζα δνύκε όηη απηό ζπκβαίλεη κόλν ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ θαη θαζώο εδώ ην ξεύκα εμαξηάηαη κόλν από ηηο ηηκέο U θαη R θαη έρνπκε θ =, ιέκε όηη ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ ην θύθισκα RLC έρεη σκηθή ζπκπεξηθνξά. Π1..3. Η ζπλάξηεζε θάζεο ηνπ ξεύκαηνο ρήκα Π1.3 Η θακπύιε ηεο θάζεο ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηεο αληίζηαζεο σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο δηέγεξζεο. Δύθνια παξαηεξείηαη ζηελ νζόλε ελόο παικνγξάθνπ όηη ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ελαιιαζζόκελνπ ξεύκαηνο είλαη κεηαηνπηζκέλε σο πξνο απηή ηεο πεγήο. Μπνξεί λα δείμεη θαλείο όηη ε εθαπηνκέλε ηεο γσληαθήο απηήο κεηαηόπηζεο ηζνύηαη κε ην πειίθν ηνπ θαληαζηηθνύ κέξνπο ηεο Δμ. (Π1.3) πξνο ην πξαγκαηηθό. Αιιά γηα λα γίλνπλ νη ζρεηηθνί ππνινγηζκνί ζσζηά πξέπεη πξώηα ην κηγαδηθό ξεύκα λα αλαιπζεί ζε δύν κέξε: ην πξαγκαηηθό θαη ην θαληαζηηθό θαη ζηε ζπλέρεηα ηα δύν απηά κέξε λα δηαηξεζνύλ. Η δηαδηθαζία απηή νδεγεί ζηε ζρέζε 1 L C tan (Π1.8) R 18

19 ην ρ. Π1.3 δίλνληαη ηξεηο θακπύιεο θάζεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ Δμ. (Π1.8) θαη αληηζηνηρνύλ ζηηο θακπύιεο ζπληνληζκνύ πνπ δίλνληαη ζην ρ. Π1.. Βιέπνπκε όηη: ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ (1 Hz), ε θάζε ηνπ ξεύκαηνο ζπκπίπηεη κε ηε θάζε ηεο πεγήο, θαζόηη ε κεηαμύ ηνπο δηαθνξά θάζεο είλαη κεδέλ ηελ πεξηνρή ηεο σ, ε αληίζηαζε απσιεηώλ επεξεάδεη έληνλα ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θάζεο ηηο ρακειέο ζπρλόηεηεο σ < σ, ηζρύεη θ >, δειαδή ε θάζε ηνπ ξεύκαηνο πξνπνξεύεηαη ηεο θάζεο ηεο πεγήο (όπσο όηαλ βξαρπθπθιώλεηαη ην πελίν). ηηο πςειέο ζπρλόηεηεο σ > σ, έρνπκε θ <, δειαδή ε θάζε ηνπ ξεύκαηνο θαζπζηεξεί έλαληη ηεο θάζεο ηεο πεγήο (όπσο όηαλ βξαρπθπθιώλεηαη ν ππθλσηήο). Οη δύν ηειεπηαίεο ηδηόηεηεο είλαη ιίγν-πνιύ πξνθαλείο, θαζώο ζηηο ρακειέο ζπρλόηεηεο ε αληίζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο θπξηαξρείηαη από ηνλ παξάγνληα 1/σC (ρσξεηηθή αληίζηαζε), ελώ ζηηο πςειέο από ηνλ παξάγνληα σl (επαγσγηθή αληίζηαζε). Π1..4. Ο ζπληειεζηήο πνηόηεηαο Q ηνπ ηαιαλησηή Οη απώιεηεο ζηνπο ηαιαλησηέο νξίδνληαη κε πνιινύο ηξόπνπο, αιιά ν πην ρξήζηκνο είλαη εθείλνο ηνπ παξάγνληα απσιεηώλ, Q, ν νπνίνο επηηξέπεη ηε ζύγθξηζε δηαθόξσλ ηαιαλησηώλ, όπσο ηνπ κεραληθνύ, ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνύ, ηνπ αηνκηθνύ, ηνπ κνξηαθνύ θ.ι.π., επεηδή ν παξάγσλ απηόο είλαη έλαο αδηάζηαηνο αξηζκόο, ελώ, γηα παξάδεηγκα, ε αληίζηαζε απσιεηώλ ζην θύθισκα RLC εθθξάδεηαη ζε Ω. Όζν κεγαιύηεξνο είλαη ν παξάγσλ Q, ηόζν κηθξόηεξεο είλαη νη απώιεηεο ζηνλ ηαιαλησηή. Γηα παξάδεηγκα, ζηνλ ραιαδία, ν παξάγσλ Q είλαη (!), ελώ ζηνπο ειεθηξνκαγλεηηθνύο ηαιαλησηέο είλαη ηεο ηάμεο ηνπ 1. Καζηεξώζεθαλ ηέζζεξηο ηξόπνη κέηξεζεο ηνπ Q, πνπ επηιέγνληαη αλάινγα κε ηηο πεηξακαηηθέο ζπλζήθεο. Οη ηέζζεξηο απηνί ηξόπνη πεξηγξάθνληαη αθνινύζσο. Π Ειεύζεξεο θζίλνπζεο ηαιαληώζεηο Δδώ ν ζπληειεζηήο Q νξίδεηαη σο έλαο αξηζκόο πνπ ηζνύηαη κε ηνλ αξηζκό ησλ αθηηλίσλ θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα ίζν κε e. Η άκεζε εθαξκνγή ηνπ νξηζκνύ παξνπζηάδεη νξηζκέλεο δπζθνιίεο, θαζώο νη κεηξεηέο κεηξνύλ ζπλήζσο ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο θαη όρη ηελ ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή. Αιιά, επεηδή ε ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη αλάινγε ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ πιάηνπο, πξνθύπηεη ε δπλαηόηεηα κέηξεζεο ηνπ Q κέζσ ηεο κέηξεζεο ηνπ πιάηνπο. Έηζη, κεηξώληαο ηνλ αξηζκό ησλ θύθισλ n, θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ην πιάηνο κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/ ή ζην 6% ηεο αξρηθήο ηηκήο, ν παξάγνληαο Q ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε Q = πn (Π1.9) αθνύ ζηνλ έλα θύθιν πεξηιακβάλνληαη π αθηίληα. Π Ηιεθηξνκαγλεηηθνί ηαιαλησηέο ηνπο ειεθηξνκαγλεηηθνύο ηαιαλησηέο ν παξάγσλ Q νξίδεηαη ηζνδύλακα από ην πειίθν Q E E L π (Π1.1) R 19

20 όπνπ Ε L είλαη ε κέγηζηε απνζεθεπκέλε ελέξγεηα ζην πελίν ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ θαη E R είλαη ε θαηαλαιηζθόκελε ελέξγεηα ζηελ R ζε ρξόλν κηαο πεξηόδνπ. Με βάζε ηνλ νξηζκό απηό πξνθύπηεη ε ζρέζε L Q (Π1.11) R Δπνκέλσο, κεηξώληαο ηηο παξακέηξνπο σ, R θαη L, κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ παξάγνληα Q από ηελ Δμ. (Π1.11). Π Κακπύιε ζπληνληζκνύ Ο παξάγνληαο πνηόηεηαο, Q, κπνξεί λα ππνινγηζηεί ζηηο θακπύιεο ζπληνληζκνύ, από ηηο ηηκέο ησλ δύν ζπρλνηήησλ, δεμηά θαη αξηζηεξά, f 1 θαη f αληηζηνίρσο, ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ, f, ζηηο νπνίεο ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα. Η ζρεηηθή αλάιπζε νδεγεί ζηε ζρέζε f Q (Π1.1) f όπνπ f είλαη ε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ θαη Γf = f f 1, είλαη ε δώλε δηέιεπζεο ηνπ θπθιώκαηνο RLC. ηε κέζνδν απηή ε Γf κεηξάηαη από ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ άκεζα. Γηα ην ζθνπό απηό, θαηαγξάθνπκε ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ, ζεκείν-ζεκείν, κε κεγάιε ιεπηνκέξεηα. ηε ζπλέρεηα, κεηξάκε ην εύξνο ηεο θακπύιεο Γf, ζε Hz, ζην ύςνο 1/ 1/,7 ηεο θνξπθήο (ρ.π1.), δειαδή ζηηο ζπρλόηεηεο όπνπ ην πιάηνο ηαιάλησζεο κεηώλεηαη θαηά έλα παξάγνληα,7. Γηα παξάδεηγκα, ζηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ πνπ δίλεηαη ζην ρ. Π1., κε κέγηζην ξεύκα,4 Α, ην εύξνο Γf είλαη 1 Hz. Δπνκέλσο εδώ ν παξάγσλ πνηόηεηαο Q είλαη f /Γf = 1Hz/1Hz = 1. Π Μέηξεζε ηεο ηάζεο ζπληνληζκνύ ζηνλ ππθλσηή Η κέζνδνο απηή είλαη ε πιένλ ελδεδεηγκέλε, θαζώο είλαη ε ιηγόηεξν θνπηαζηηθή θαη επηπιένλ δηαζθαιίδεη ηε κεγαιύηεξε αθξίβεηα ζηε κέηξεζε ηνπ Q. Δδώ αξθνύλ δύν κεηξήζεηο: ηεο ηάζεο ηεο γελλήηξηαο U θαη ηεο ηάζεο ζηνλ ππθλσηή U C ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ. Απνδεηθλύεηαη όηη ζην ζπληνληζκό ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή είλαη Q θνξέο πςειόηεξε από ό,ηη ε ηάζε ηεο γελλήηξηαο, δειαδή Η Δμ. (Π1.13) ζεκειηώλεηαη ζηελ παξάγξαθν πνπ αθνινπζεί. U U C Q (Π1.13) Π1..5. πληνληζκόο ηάζεο ζηνλ ππθλσηή Καη πάιη ζα θαηαθύγνπκε ζηε κηγαδηθή κνξθή ησλ λόκσλ Ohm θαη Kirchhoff U L U C U R U ή U C U ( R jl) U I( R jl) U (Π1.14α,β) 1 R j L C

21 Οπόηε από ηελ Δμ. (Π1.14β) πξνθύπηνπλ γηα ην κέηξν θαη ηε θάζε ηεο U C νη ζρέζεηο: U C U, ( 1 LC) R C RC RC tan θαη arctan (Π1.15) 1 LC 1 LC νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ νπνίσλ δίλνληαη ζηα ρ.π1.7 θαη ρ.π1.8 αληίζηνηρα. Η ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ ηεο ηάζεο πξνζδηνξίδεηαη από ην αθξόηαην ηνπ παξαλνκαζηή ζηελ πξώηε από ηηο Δμ. (Π1.15) θαη ε ηηκή ηεο ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε R 1 r 1 (Π1.16) L Q όπνπ Q = σl/r. πλεπώο ν ζπληνληζκόο ηάζεο γίλεηαη ζε ζπρλόηεηα ιίγν κηθξόηεξε ηεο σ! Δίλαη ελδηαθέξνλ λα δνύκε πόζε είλαη ε ηάζε ζπληνληζκνύ ζηνλ ππθλσηή. Έηζη από ηηο Δμ. (Π1.11), (Π1.15) θαη (Π1.16) πξνθύπηεη U Q U Q, γηα Q 3 (Π1.17) 4Q 1 U Cr ρνιηάδνληαο ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ ηάζεο ζηνλ ππθλσηή (ρ. Π1.4) κπνξνύκε λα πνύκε όηη όπσο θαη ζην ξεύκα, ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή κεγηζηνπνηείηαη πεξίπνπ ζηε ζπρλόηεηα 1/(LC) 1/. Παξαηεξνύκε όκσο θαη ηηο αθόινπζεο δηαθνξέο: Η θνξπθή ηεο θακπύιεο κεηαηνπίδεηαη πξνο ηηο ρακειόηεξεο ζπρλόηεηεο θαζώο νη απώιεηεο ζην θύθισκα απμάλνληαη. εκεηώλνπκε όηη ε κεηαηόπηζε απηή δελ ιακβάλεη ρώξα ζην ζπληνηζκό ξεύκαηνο ε αληίζεζε κε ην ξεύκα, ζηε ζπρλόηεηα σ = ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή δελ κεδελίδεηαη, αιιά είλαη U ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή είλαη, κε θαιή πξνζέγγηζε, ίζε κε Q θνξέο ηελ ηάζε ηεο πεγήο. 1

22 Από ηελ ηειεπηαία παξαηήξεζε πεγάδεη ε πην απιή, εύθνιε, αθξηβήο θαη γξήγνξε κέζνδνο γηα ηε κέηξεζε ηνπ Q, πνπ είλαη ε αθόινπζε: Με έλαλ παικνγξάθν κεηξάκε ηελ ηάζε ηεο πεγήο θαη, ζηε ζπλέρεηα, κεηαβάιινπκε ηε ζπρλόηεηα έσο όηνπ κεγηζηνπνηεζεί ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή. Μεηξάκε αθνινύζσο ηελ ηάζε ζπληνληζκνύ ζηνλ ππθλσηή θαη ν ιόγνο ηνλ δύν ηάζεσλ δίλεη ηνλ παξάγνληα Q (βι. Δμ. Π1.17). Γηα παξάδεηγκα, ζην ρ. Π1.4, ζην θύθισκα κε ηελ νμύηεξε θακπύιε, ην Q είλαη 5, ζηε δεύηεξε 1, ελώ ζηελ ηξίηε 4. Σηο ίδηεο ηηκέο δίλνπλ θαη νη ιόγνη f /Γf. Π1..6. Η θακπύιε θάζεο ηεο ηάζεο ζηνλ ππθλσηή Καη εδώ (ρ. Π1.5) παξαηεξνύληαη νξηζκέλεο δηαθνξέο ζε ζρέζε κε ηε ζπλάξηεζε θάζεο ηνπ ξεύκαηνο. Οη θπξηόηεξεο δηαθνξέο είλαη: ε ηαιάλησζε ηεο ηάζεο ζηνλ ππθλσηή πάληνηε θαζπζηεξεί έλαληη ηεο ηάζεο ηεο πεγήο (θ < παληνύ, ρ. Π1.5). ζηηο πνιύ ρακειέο ζπρλόηεηεο (f << f ) ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή κεηαβάιιεηαη κε ηελ ίδηα ζρεδόλ θάζε κε απηή ηεο πεγήο (θ ). ζηε θπζηθή ζπρλόηεηα (ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ), f, ε θαζπζηέξεζε ηεο θάζεο είλαη 9 κνίξεο αθξηβώο θαη δελ εμαξηάηαη από ηνλ παξάγνληα Q (θ = 9 ζε όιεο ηηο θακπύιεο). ζηηο πνιύ πςειέο ζπρλόηεηεο, (f >> f ), ε ηάζε ζηνλ ππθλσηή κεηαβάιιεηαη κε θαζπζηέξεζε πεξίπνπ 18 ν (θ 18 ). Π1.3. Παξαηεξήζεηο ζρεηηθά κε ηελ πεηξακαηηθή δηάηαμε Η πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη κία γελλήηξηα παικώλ θαη έλαλ παικνγξάθν δύν θαλαιηώλ. Δπίζεο πεξηιακβάλεη θαη κία βάζε ζπλαξκνιόγεζεο ηνπ θπθιώκαηνο από πιεμηγθιάο κε κπόξλεο, όπνπ κε θαηάιιειε θαηαζθεπή εηζάγνληαη ηα ζηνηρεία R = 1 Ω, ην πελίν θαη ν ππθλσηήο C = 4,7 nf. Με ηα ζηνηρεία απηά δύλαηαη λα ζπλαξκνινγεζεί ην θύθισκα R,L,C ζεηξάο, θαζώο απηά εύθνια ηνπνζεηνύληαη, αλαδηαηάζζνληαη ή αλαηξνύληαη από ηε βάζε ζπλαξκνιόγεζεο. εκεηώλνπκε όηη ε απηεπαγσγή L θαη ε αληίζηαζε ηεο πεξηέιημεο ηνπ πελίνπ R L πξνζδηνξίδνληαη από ηνλ ζπνπδαζηή. Σν πιάηνο θαη ε ζπρλόηεηα ηεο παξαγόκελεο από ηε γελλήηξηα ηάζεο ξπζκίδνληαη κε δύν θνπκπηά (amplitude θαη frequency). H ηάζε ξπζκίδεηαη από έσο 1 V, ελώ ε ζπρλόηεηα από έσο MHz. Η ζπρλόηεηα ηεο παξαγόκελεο ηάζεο αλαγξάθεηαη ζηελ ςεθηαθή νζόλε πνπ βξίζθεηαη ζην αξηζηεξό κέξνο ηεο πξόζνςεο ηεο γελλήηξηαο. Δπίζεο, κε πάηεκα ησλ

23 θαηάιιεισλ θνπκπηώλ (function), πνπ βξίζθνληαη ζην πάλσ δεμί κέξνο ηεο πξόζνςεο ηνπ νξγάλνπ, ε γελλήηξηα παξάγεη ζήκαηα ηξηγσληθήο, νξζνγώληαο ή εκηηνληθήο κνξθήο. Η γελλήηξηα ηεο Άζθεζεο έρεη δύν εμόδνπο. Η κία έρεη εζσηεξηθή αληίζηαζε 5, ελώ ε άιιε 6 Ω. Αιιά αθόκε θαη ε ρξήζε ηεο πελεληάσκεο εμόδνπ είλαη πξνβιεκαηηθή, θαζώο ηα 5 Ω πξνθαινύλ κείσζε ηεο ηάζεο εμόδνπ όηαλ ην θύθισκα RLC αξρίδεη λα θαηαλαιώλεη κεγάια ξεύκαηα (5 ma) ζηελ πεξηνρή ηνπ ζπληνληζκνύ. Γηα λα δηαηεξείηαη ε ηάζε εμόδνπ ζηαζεξή ζε όιν ην θάζκα ζπρλνηήησλ, ζηελ παξνύζα Άζθεζε ρξεζηκνπνηείηαη, όρη ε έμνδνο ησλ 5 Ω, αιιά ησλ 6 Ω, ε νπνία ζθόπηκα ππέζηε ειεθηξνληθή ηξνπνπνίεζε ηεο εζσηεξηθήο αληίζηαζεο ζηα επίπεδα 1 mω, νπόηε ε ηηκή απηή κπνξεί κε άλεζε λα ζεσξεζεί κεδέλ. ηελ έμνδν απηή ην ζήκα δηαηεξείηαη ζηαζεξό ζε όιν ην θάζκα ζπρλνηήησλ θαη δελ εμαξηάηαη από ην επίπεδν ηνπ ξεύκαηνο πνπ θαηαλαιώλεη ην θύθισκα RLC, ππό ηνλ όξν, όκσο, όηη ην ξεύκα θαηαλάισζεο δελ ππεξβαίλεη ηα 4 ma. Έηζη, πέξαλ ησλ 4 ma, ελεξγνπνηείηαη ην ζύζηεκα πξνζηαζίαο, πνπ κεηώλεη ηελ ηάζε εμόδνπ ζην κεδέλ. Σνλίδνπκε ηδηαίηεξα όηη ε αλαγξαθόκελε ζηελ ςεθηαθή νζόλε ηάζε ηζρύεη κόλν γηα ηελ έμνδν 5 Ω. Αιιά θαζώο ε δεύηεξε έμνδνο, ή έμνδνο ησλ 1 mω, πξνζηαηεύεηαη ειεθηξνληθά από έλα ηπραίν βξαρπθύθισκα (Θ max = 4 ma), ζε θαλνληθέο ζπλζήθεο ιεηηνπξγίαο ηεο γελλήηξηαο ην θύθισκα πξνζηαζίαο ζθόπηκα κεηώλεη ηελ ηάζε εμόδνπ 5 θνξέο. Eπνκέλσο, ε παξαγόκελε ελαιιαζζόκελε ηάζε ζηελ έμνδν απηή δελ ζπκπίπηεη κε ηελ ηηκή πνπ αλαγξάθεηαη ζηελ ςεθηαθή νζόλε ηνπ νξγάλνπ. Έηζη ε ηηκή ηεο πξνζδηνξίδεηαη κε ηνλ παικνγξάθν ή κε άιινλ κεηξεηή. Η παξαηήξεζε απηή δελ ηζρύεη γηα ηε ζπρλόηεηα, δηόηη ε αλαγξαθόκελε ζηελ νζόλε ηηκή ζσζηά απνδίδεη ηε ζπρλόηεηα ζηηο δύν εμόδνπο. 3

24 Άζθεζε Δμαλαγθαζκέλεο κεραληθέο ηαιαληώζεηο.1 θνπόο θνπόο ηεο Άζθεζεο απηήο είλαη ε κειέηε ησλ ειεύζεξσλ θαη ησλ εμαλαγθαζκέλσλ κεραληθώλ ηαιαληώζεσλ ελόο θιαζηθνύ ζπζηήκαηνο πνπ απνηειείηαη από έλα ειαηήξην θαη κία κάδα, ε νπνία κπνξεί λα θηλείηαη κε ειεγρόκελε ηξηβή. Θα κειεηεζνύλ πξώηα νη ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο όηαλ ε κάδα θηλείηαη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά κε ειάρηζηεο ηξηβέο θαη ζα πξνζδηνξηζηνύλ ε ζηαζεξά ησλ ειαηεξίσλ, ν ζπληειεζηήο πνηόηεηαο θαη ε ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Θα θαηαγξαθνύλ, αθνινύζσο, νη θακπύιεο ζπληνληζκνύ (θαη πξναηξεηηθά ηεο θάζεο) ησλ εμαλαγθαζκέλσλ ηαιαληώζεσλ θαη ζα πξνζδηνξηζηεί ε ηαρύηεηα ηεο κάδαο όηαλ θηλείηαη θάησ από ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο.. Θεσξία Έλα θιαζηθό παξάδεηγκα αξκνληθνύ ηαιαλησηή είλαη ην ζύζηεκα πνπ απνηειείηαη από έλα ειαηήξην θαη κία κάδα, ε νπνία εθηειεί ηαιαληώζεηο κηθξνύ πιάηνπο. ηε ζπλέρεηα ζα κειεηήζνπκε πξώηα ηηο ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο κε κεδεληθή απόζβεζε (ηδαληθέο) θαη ηηο ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε θαη αθνινύζσο ηηο ηδαληθέο εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο θαη ηηο εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε. Μ x ρήκα.1 Απιόο αξκνληθόο ηαιαλησηήο, απνηεινύκελνο από κηα κάδα Μ, ζπλδεδεκέλε κε έλα ειαηήξην πνπ είλαη παθησκέλν ζην έλα άθξν ηνπ. Η κάδα εθηειεί ηαιαληώζεηο κηθξνύ πιάηνπο, πνπ ππνδεηθλύνληαη κε ην δηπιό βέινο. Σν x παξηζηάλεη ηελ απνκάθξπλζε ηεο κάδαο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο...1 Διεύζεξεο αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ρσξίο απώιεηα ελέξγεηαο Η πεξίπησζε ησλ αξκνληθώλ ηαιαληώζεσλ ρσξίο απώιεηα ελέξγεηαο είλαη ηδαληθή θαη αζθαιώο απνηειεί κηα πξνζέγγηζε ηεο πξαγκαηηθόηεηαο, όηαλ έλα ζώκα εθηειεί ηαιαληώζεηο κηθξνύ πιάηνπο θαη κε πάξα πνιύ κηθξή απόζβεζε. Έζησ όηη ε κάδα ηνπ ζώκαηνο είλαη Μ, ε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ k θαη ε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνύ ζώκαηνο βξίζθεηαη ζην ζεκείν x = (ρ..1). Από ηε καζεκαηηθή αλάιπζε (βι. Παξάξηεκα Π, Παξάγξ. Π.1, ζην παξάξηεκα ηεο άζθεζεο πνπ αθνινπζεί) πξνθύπηεη όηη ε απνκάθξπλζε x ηεο κάδαο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο πεξηγξάθεηαη από ηε ζρέζε x x sin( t ) (.1) 4

25 όπνπ θ θαη x είλαη ε αξρηθή θάζε θαη κεηαηόπηζε αληηζηνίρσο θαη ε σ, πνπ δίλεηαη από ηελ k (.) M είλαη ε γσληαθή ή θπθιηθή ζπρλόηεηα ησλ ηαιαληώζεσλ πνπ εθηειεί ε κάδα. Η ζπρλόηεηα f είλαη πξνθαλώο f 1 k (.3) π π M Όπσο βιέπνπκε ζηελ ηδαληθή πεξίπησζε, ε ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο εμαξηάηαη κόλνλ από ηηο ζηαζεξέο k θαη Μ... Διεύζεξεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε ε έλα ζύζηεκα κε απώιεηεο νη ηαιαληώζεηο ζηγά-ζηγά ζβήλνπλ. Μηα ζπλεζηζκέλε πεξίπησζε ηαιαληώζεσλ κε απόζβεζε είλαη απηή ζηελ νπνία ε δύλακε ηξηβήο, πνπ πξνθαιεί ηηο απώιεηεο, είλαη αλάινγε πξνο ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο. ηελ αλάιπζε πνπ αλαπηύζζεηαη ζην Παξάξηεκα Π, ζεσξνύκε όηη ε επηθάλεηα πάλσ ζηελ νπνία γίλεηαη ε θίλεζε ηνπ ζώκαηνο δελ πξνβάιεη αληίζηαζε ηξηβήο θαη όηη ε ηξηβή δεκηνπξγείηαη κόλνλ εμαηηίαο ηεο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο κέζα ζε θάπνην καγλεηηθό πεδίν ή έλα πγξό ή αέξην. πλεπώο, γηα ηε δύλακε ηξηβήο κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηε ζρέζε dx Fηξ b (.4) dt όπνπ ην b απνθαιείηαη ζηαζεξά ηξηβήο. πκβνιίδνπκε κε γ ηελ πνζόηεηα b (.5) M ε νπνία είλαη κηα ζηαζεξά κε δηαζηάζεηο αληηζηξόθνπ ρξόλνπ θαη νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο εμαζζέλεζεο. Από ηε καζεκαηηθή επεμεξγαζία ηνπ ζπζηήκαηνο απηνύ, ε νπνία πεξηγξάθεηαη αλαιπηηθά ζην Παξάξηεκα Π., πξνθύπηεη όηη ν ραξαθηήξαο ηεο θίλεζεο εμαξηάηαη από ηε ζρέζε κεηαμύ ηεο ζηαζεξάο γ θαη ηεο ηδηνζπρλόηεηαο ή θπζηθήο ζπρλόηεηαο f ή σ ηνπ ζπζηήκαηνο. Ξερσξίδνπλ ηξεηο πεξηπηώζεηο: 1. αζζελήο απόζβεζε: όηαλ γ < σ. θξίζηκε απόζβεζε: όηαλ γ = σ 3. ηζρπξή ή ππεξθξίζηκε απόζβεζε: όηαλ γ > σ...1αζζελήο απόζβεζε (γ < σ ) ηελ πεξίπησζε απηή ην ζύζηεκα εθηειεί κηα ηαιάλησζε ηεο κνξθήο (βι Π..1) t x( t) Ae cos( t ) (.6) ην πιάηνο ηεο νπνίαο, όπσο πξνθύπηεη από ηελ Δμ. (.6), κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ηνλ ρξόλν. Οξίδνπκε σο ζηαζεξά ρξόλνπ η, ηνλ ρξόλν πνπ απαηηείηαη ώζηε λα θζάζεη ην πιάηνο ηαιάλησζεο ζην 1/e =,37 ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο (βι. ρ..). Από ηελ Δμ. (.6) βιέπνπκε όηη ε ζηαζεξά ρξόλνπ ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ κειεηάκε είλαη ίζε κε 1/γ. Η γσληαθή ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο, σ, είλαη κηθξόηεξε από ηε γσληαθή ηδηνζπρλόηεηα σ, θαηά έλαλ παξάγνληα 1 / (βι. Παξάξηεκα Π..1), έρνπκε δειαδή 5

26 1 (.6α) / Μηα ηέηνηα αζζελήο απόζβεζε απεηθνλίδεηαη ζην ρ... Η πεξίνδνο Σ ηεο ηαιάλησζεο ζπλδέεηαη κε ηε γσληαθή ζπρλόηεηα σ κε ηε γλσζηή ζρέζε Σ = σ/π. ρήκα. Γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ηαιάλησζεο κε αζζελή απόζβεζε. Παξαηεξνύκε όηη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν, κε ζηαζεξά ρξόλνπ η, ίζε κε 1/γ. Η γσληαθή ζπρλόηεηα σ ηεο ηαιάλησζεο ζπλδέεηαη κε ηε θπζηθή γσληαθή ζπρλόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο σ κε ηελ Δμ. (.6α) θαη είλαη, ελ γέλεη, κηθξόηεξε από απηήλ.... Κξίζηκε απόζβεζε (γ = σ ) ρήκα.3 Γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ηαιάλησζεο κηαο ηαιάλησζεο κε θξίζηκε απόζβεζε (γ = σ ) θαη δύν ηαιαληώζεσλ κε ππεξθξίζηκε απόζβεζε. Παξαηεξνύκε όηη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο κεηώλεηαη αζπκπησηηθά σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ θαη ε κείσζε απηή είλαη ηαρύηεξε ζηελ πεξίπησζε ηεο θξίζηκεο απόζβεζεο. ηελ ππεξθξίζηκε απόζβεζε, ε κνξθή ηεο θακπύιεο (α) ή (β) εμαξηάηαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Από ηε καζεκαηηθή αλάιπζε απηήο ηεο πεξίπησζεο (βι. Παξάξηεκα Π..) πξνθύπηεη όηη ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο, ην ζώκα ηείλεη πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά,ρσξίο ηαιάλησζε. ην ρ..3 δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ηαιάλησζεο κε θξίζηκε απόζβεζε....3 Θζρπξή (ππεξθξίζηκε) απόζβεζε (γ > σ ) Η πεξίπησζε απηή πινπνηείηαη όηαλ έλα ζώκα κεηαθηλείηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη αθήλεηαη λα εθηειέζεη ηαιάλησζε π.ρ. κέζα ζην κέιη. Από ηε καζεκαηηθή αλάιπζε ηνπ 6

27 πξνβιήκαηνο (βι. Π..3) πξνθύπηεη όηη ε απνκάθξπλζε, x, δίλεηαη από ην άζξνηζκα δύν ηαιαληώζεσλ πνπ θζίλνπλ ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. Αλάινγα κε ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο, θαη πην ζπγθεθξηκέλα από ηελ αξρηθή ηαρύηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, νη θακπύιεο έρνπλ ηε κνξθή (α) ή (β) ηνπ ρ..3. Αλ ζπγθξίλεη θαλείο ηνπο ρξόλνπο επηζηξνθήο ηνπ ζώκαηνο ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ζηηο πεξηπηώζεηο γ = σ θαη γ > σ, δηαπηζηώλεη όηη ν ρξόλνο απηόο είλαη ειάρηζηνο ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο...3 Δμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε πληνληζκόο Γηα λα δηαηεξεζεί ην πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ ζηαζεξό κε ην ρξόλν, ην ζύζηεκα ζα πξέπεη λα ηξνθνδνηείηαη κε ελέξγεηα κε ηξόπν πεξηνδηθό. ηα κεραληθά ζπζηήκαηα απηό επηηπγράλεηαη κε ηελ άζθεζε κηαο πεξηνδηθήο δύλακεο πάλσ ζην ζώκα (ρ..4) ζπλήζσο εκηηνληθήο κνξθήο, αλ θαη απηό δελ είλαη απαξαίηεην. Οη ηαιαληώζεηο πνπ δηεγείξνληαη ζην ζύζηεκα είλαη ηώξα εμαλαγθαζκέλεο. Ύζηεξα από έλα κεηαβαηηθό ζηάδην ε δηάξθεηα ηνπ νπνίνπ εμαξηάηαη από ηηο ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο, νη ηαιαληώζεηο απηέο θζάλνπλ ζε κηα κόληκε θαηάζηαζε. ρήκα.4 Όηαλ ζηνλ αξκνληθό ηαιαλησηή ηνπ ρ..1 επηδξά κηα εμσηεξηθή πεξηνδηθή δύλακε F(t), ην ζύζηεκα ζα εθηειεί εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο. Σν x ζπκβνιίδεη ηελ απνκάθξπλζε ηεο κάδαο, Μ, από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο, ζηελ νπνία x =. Έζησ όηη ε εθαξκνδόκελε πεξηνδηθή δύλακε έρεη ηε κνξθή: F F cos( t) (.7) Από ηελ αλαιπηηθή καζεκαηηθή επεμεξγαζία ηνπ πξνβιήκαηνο (βι. Παξάξηεκα Π.3.) πξνθύπηεη όηη ζηε κόληκε θαηάζηαζε, ε γεληθή ιύζε είλαη πεξηνδηθή θαη έρεη ηε κνξθή όπνπ ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο, Α, δίλεηαη από ηε ζρέζε x Acos( t ) (.8) F / M A (.9) ( ) 4 7

28 θαη ε δηαθνξά θάζεο, θ, κεηαμύ ηεο δηεγείξνπζαο δύλακεο θαη ηεο κεηαηόπηζεο δίλεηαη από ηελ tan (.1) Οη Δμ. (.8), (.9) θαη (.1) είλαη όπσο κπνξνύκε εύθνια λα δνύκε, εληειώο αληίζηνηρεο ησλ Δμ. (1.), (1.3) θαη (1.4) ηεο Άζθεζεο 1, πνπ κειεηάεη ηηο εμαλαγθαζκέλεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο. Όπσο θαη ζε εθείλε ηελ πεξίπησζε, ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο Α γίλεηαη κέγηζην όηαλ σ σ, όηαλ δειαδή ε ζπρλόηεηα ηεο δηέγεξζεο είλαη πεξίπνπ ίζε κε ηε θπζηθή ζπρλόηεηα, σ, ηνπ ζπζηήκαηνο (βι. Παξάξηεκα Π, Παξάγξ. Π.3). Η ζπρλόηεηα απηή νλνκάδεηαη ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ θαη ζπκβνιίδεηαη κε ην σ ζ. Δμάιινπ από ηελ Δμ. (.1) πξνθύπηεη όηη ζηελ πεξίπησζε απηή, θ =, κε άιια ιόγηα ε απνκάθξπλζε ηεο κάδαο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο βξίζθεηαη ζε θάζε κε ηε δηεγείξνπζα δύλακε. Έρνπκε αθξηβώο ηελ πεξίπησζε ηνπ ζπληνληζκνύ ηεο εμσηεξηθήο δύλακεο κε ην δηεγεηξόκελν ζύζηεκα, όπσο θαη ζηελ Άζθεζε 1. Έλα άιιν ρξήζηκν κέγεζνο πνπ πεξηιακβάλεη ηα κεγέζε σ θαη γ θαη ρξεζηκνπνηείηαη επξύηαηα είλαη ν ζπληειεζηήο πνηόηεηαο Q ηνπ ζπζηήκαηνο, πνπ εθθξάδεη ηνλ ξπζκό κε ηνλ νπνίν θζίλεη ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή θαη νξίδεηαη σο ν αξηζκόο ησλ αθηηλίσλ θαηά ηνλ νπνίν πξέπεη λα ηαιαλησζεί ην ζύζηεκα ώζηε λα κεησζεί ε ελέξγεηά ηνπ θαηά έλαλ παξάγνληα e από ηελ αξρηθή ηεο ηηκή. Έρνπκε δειαδή Q = πν (.11) όπνπ Ν ν αξηζκόο ησλ ηαιαληώζεσλ. Δπεηδή ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή είλαη αλάινγε πξνο ην ηεηξάγσλν ηνπ πιάηνπο, ζην δηάζηεκα απηό ην πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ έρεη κεησζεί θαηά e 1/ (βι. Παξάξηεκα Π1, ρ. Π.1). Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη, επί πιένλ, όηη ην Q κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη από ηε ζρέζε Q πνπ, ζηελ πεξίπησζε αζζελνύο απόζβεζεο, γίλεηαη Q (.11α, β) Όπσο είδακε ζηελ Άζθεζε 1 κπνξεί λα απνδεηρζεί όηη ην Q ηζνύηαη θαη κε ην πειίθν ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ δηα ηνπ εύξνπο δώλεο ζπρλνηήησλ Γf ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ (ρ..5): f Q f (.1) Τπελζπκίδνπκε όηη Γf είλαη ην εύξνο δώλεο ζπρλνηήησλ, ην νπνίν νξίδεηαη σο Γf = f f 1, όπνπ f 1 θαη f (ρ..5) είλαη νη ζπρλόηεηεο δεμηά θαη αξηζηεξά ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηαιάλησζεο ίζεο κε ην 1/ =,77 ηεο κέγηζηεο ηηκήο ηνπ (βι. Άζθεζε 1, ρ. 1.3). Από ηελ Δμ. (.1) πξνθύπηεη όηη όζν πην νμεία είλαη ε θακπύιε ζπληνληζκνύ (κηθξόηεξν Γσ), ηόζν κεγαιύηεξε είλαη ε ηηκή ηνπ Q. Απηό άιισζηε δηθαηνινγεί θαη ηελ νλνκαζία ηνπ, γηαηί κία νμεία θακπύιε ζπληνληζκνύ ππνδεηθλύεη όηη ην ζύζηεκα θάλεη επηινγή ζηελήο πεξηνρήο ζπρλνηήησλ θαη είλαη επνκέλσο θαιήο πνηόηεηαο (βι θαη Άζθεζε 1, ρ. 1.3). 8

29 (α) (β) ρήκα.5 Καλνληθνπνηεκέλεο θακπύιεο (α) ηνπ πιάηνπο Α θαη (β) ηεο θάζεο θ ηεο ηαιάλησζεο σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο δηέγεξζεο σ, γηα δύν ηαιαλησηέο πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ηδηνζπρλόηεηα, σ, αιιά δηαθνξεηηθό ζπληειεζηή πνηόηεηαο Q, κε Q > Q 1. ην (α) έρεη ζεκεησζεί θαη ην εύξνο δώλεο ζπρλνηήησλ (Δσ) 1 = σ σ 1, γηα ηελ πεξίπησζε Q = Q 1., όπνπ σ θαη σ 1 είλαη νη ζπρλόηεηεο δεμηά θαη αξηζηεξά ηεο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηαιάλησζεο ίζεο κε ην 1/ κέγηζηεο ηηκήο ηνπ. =,77 ηεο ην ρ..5 δίλνληαη νη θαλνληθνπνηεκέλεο θακπύιεο ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο Α(σ)/Α max θαη ηεο θάζεο, θ, σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, γηα δύν ηαιαλησηέο πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ηδηνζπρλόηεηα σ αιιά δηαθνξεηηθό ζπληειεζηή πνηόηεηαο, Q. Μπνξεί αθόκε λα δεηρζεί όηη [βι. Παξάξηεκα Π.3, Δμ. (Π.36)], ζην ζπληνληζκό, ην κέγηζην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο, Α max, ζπλδέεηαη κε ην Q θαη κε ην πιάηνο ηεο αζθνύκελεο δύλακεο, F, κε ηε ζρέζε F M F Q k Amax (.13) όπνπ k είλαη ε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ..3 Μέζνδνο Γηα ηε δηεμαγσγή ηεο Άζθεζεο ρξεζηκνπνηείηαη κηα πεηξακαηηθή δηάηαμε πνπ απνηειείηαη από δύν όκνηα ειαηήξηα θαη έλα βαγνλάθη, ην νπνίν κπνξεί λα νιηζζαίλεη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά, πξαθηηθά ρσξίο ηξηβέο (ρ..6). Σηο εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο ηηο δηεγείξεη έλαο δνλεηήο, ν νπνίνο ηξνθνδνηείηαη από κηα γελλήηξηα, ην πιάηνο θαη ε ζπρλόηεηα ησλ ηαιαληώζεσλ ηεο νπνίαο κπνξνύλ λα ξπζκηζηνύλ. Σν βαγνλάθη κπνξεί λα θηλεζεί κέζα ζην δηάθελν ηνπ ππξήλα ελόο ειεθηξνκαγλήηε, όπνπ κπνξεί λα δεκηνπξγεζεί ηζρπξό καγλεηηθό πεδίν, ην νπνίν πξνθαιεί ηηο απώιεηεο ιόγσ ηξηβήο ηνπ ζπζηήκαηνο. ηα πεηξάκαηα πνπ εθηεινύληαη ζηελ εξγαζία απηή, ε εμσηεξηθή δύλακε αζθείηαη ζην ζώκα κε ηελ αξκνληθή κεηαβνιή ηνπ ζεκείνπ ζηήξημεο ηνπ αξηζηεξνύ ειαηεξίνπ (ρ..6). Με ηελ θίλεζε ηνπ άθξνπ ηνπ ειαηεξίνπ κεηαθέξεηαη πάλσ ζην ζώκα κηα ελαιιαζζόκελε 9

30 δύλακε, ε νπνία επηδξά ζην ζύζηεκα όπσο θαη ζην ζεσξεηηθό κνληέιν (βι. Παξάγξ. Π.4.1). πλεπώο όιν ην καζεκαηηθό ππόβαζξν θαη ηα ζπκπεξάζκαηα πνπ αλαπηύμακε πξνεγνπκέλσο κπνξνύλ λα επεθηαζνύλ θαη ζηελ πεξίπησζε όπνπ ην ζεκείν ζηήξημεο ηνπ ελόο από ηα δύν ειαηήξηα ηαιαληώλεηαη αξκνληθά. ρήκα.6 Η πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα κειέηε ησλ εμαλαγθαζκέλσλ ηαιαληώζεσλ κε ηξηβή. Η δηάηαμε απνηειείηαη από δύν όκνηα ειαηήξηα κε ζηαζεξέο k 1 = k θαη έλα βαγνλάθη Μ από αινπκίλην, πνπ είλαη ζπλδεδεκέλν αλάκεζα ζηα δύν ειαηήξηα θαη κπνξεί λα νιηζζαίλεη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά πξαθηηθά ρσξίο ηξηβέο. Δμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο δηεγείξεη έλαο δνλεηήο. Σν βαγνλάθη θηλείηαη κέζα ζην δηάθελν ηνπ ππξήλα ελόο ειεθηξνκαγλήηε, ν νπνίνο δεκηνπξγεί ηελ ηξηβή ζηελ θίλεζε ηνπ βαγνληνύ. Σν x αληηζηνηρεί ζηελ απνκάθξπλζε ηνπ βαγνληνύ θαη ην y ζηελ απνκάθξπλζε ηνπ άθξνπ ηνπ ειαηεξίνπ από ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο (x = θαη y = ), αληηζηνίρσο. Δπεηδή ζηε δηάηαμή καο ηα ειαηήξηα είλαη δύν θαη όρη έλα όπσο ζην ζεσξεηηθό κνληέιν, θαη είλαη αθξηβώο όκνηα θαη ζπλδεδεκέλα ζε ζεηξά, κπνξνύκε λα δείμνπκε όηη ην κέγηζην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο θαηά ηνλ ζπληνληζκό, Α max, θαη ε αληίζηνηρε κέγηζηε απνκάθξπλζε ηνύ άθξνπ ηνύ ειαηεξίνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ y, ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε y Amax Q (14) Δάλ επνκέλσο κεηξήζνπκε ηα Α max θαη y θαηά ηνλ ζπληνληζκό, ε Δμ. (.14) καο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα πξνζδηνξίζνπκε, αιιά θαη λα ξπζκίζνπκε, ηνλ ζπληειεζηή πνηόηεηαο, Q..3.1 Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο θαη ηεο ηδηνζπρλόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο Q αξθεί λα κεηξήζνπκε ηνλ αξηζκό Ν ησλ ηαιαληώζεσλ πνπ απαηηνύληαη γηα λα κεησζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/ ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο θαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ Δμ. (.11). Γηα ηε κέηξεζε ηεο θπζηθήο ζπρλόηεηαο (ηδηνζπρλόηεηαο) σ ή f ηνπ ζπζηήκαηνο, πξέπεη λα κεηξήζνπκε ηε ζπρλόηεηα σ ή f ησλ ειεύζεξσλ (κε δηεγεηξόκελσλ θαη ρσξίο εμσηεξηθή απόζβεζε) ηαιαληώζεώλ ηνπ, κεηξώληαο ηελ πεξίνδν ηαιάλησζήο ηνπ κε έλα ρξνλόκεηξν θαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο Δμ. (.11α) θαη (.6α), πνπ ζπλδένπλ ηα κεγέζε σ, σ θαη Q..3. Ρύζκηζε ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο, Q Έζησ όηη ζέινπκε λα ξπζκίζνπκε ην Q ζε κηα ηηκή ίζε κε 4. ύκθσλα κε ηελ Δμ. (.14), ζην ζπληνληζκό, ην πιάηνο ηαιάλησζεο ηνπ βαγνληνύ είλαη Q / θνξέο κεγαιύηεξν από εθείλν ηνπ δνλεηή. Γηα λα ξπζκίζνπκε ινηπόλ ην Q, δηεγείξνπκε ζην ζύζηεκα κηα ηαιάλησζε ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ σ ζ, ξπζκίδνπκε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ δνλεηή y, π.ρ. ζηελ ηηκή 1 mm θαη ξπζκίδνπκε ην ξεύκα ησλ πελίσλ ηνπ ειεθηξνκαγλήηε, 3

31 έσο όηνπ ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ βαγνληνύ Α max, γίλεη Q / = θνξέο ηελ ηηκή ηνπ y, ζηε ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε mm. Οπόηε Q = Α max /y = = Καηαγξαθή ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ ηνπ ζπζηήκαηνο γηα νξηζκέλε ηηκή ηνπ Q Αθνύ πξώηα γίλεη ξύζκηζε ηεο επηζπκεηήο ηηκήο ηνπ Q, ζηε ζπλέρεηα γίλεηαη κέηξεζε ησλ πιαηώλ ηαιάλησζεο ηνπ βαγνληνύ, Α max, ζπλαξηήζεη ηεο ζπρλόηεηαο δηέγεξζεο, σ, γύξσ από ηελ ηηκή ηήο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ σ ζ, ηελ νπνία πξνζδηνξίδνπκε κε ηε βνήζεηα ηεο 1 Δμ, (Π.36) f f 1. (ηελ πεξηνρή 1 Hz ην πιάηνο ηαιάλησζεο ηνπ δνλεηή Q είλαη ζηαζεξό θαη δελ είλαη απαξαίηεηνο ν έιεγρόο ηνπ)..3.4 Μέηξεζε ηεο θάζεο ηαιάλησζεο ηνπ βαγνληνύ σο πξνο απηήλ ηνπ δνλεηή (ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ) Όπσο είδακε ζην ρ..5 (β), όηαλ ε ζπρλόηεηα δηέγεξζεο σ, δηαθέξεη από εθείλελ ηνπ ζπληνληζκνύ σ ζ, ππάξρεη κηα δηαθνξά θάζεο θ, κεηαμύ ηεο απνκάθξπλζεο ηεο κάδαο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηεο θαη ηεο δηεγείξνπζαο δύλακεο F, (Δμ..1). Με άιια ιόγηα νη ηαιαληώζεηο ηνπ βαγνληνύ θαζπζηεξνύλ (ή πξνεγνύληαη) ζε ζρέζε κε εθείλεο ηνπ δνλεηή. Η θαζπζηέξεζε απηή κπνξεί λα κεηξεζεί πεηξακαηηθά κε ηε κέηξεζε ηεο ρξνληθήο δηαθνξάο Γt, κεηαμύ ηεο δηέιεπζεο ηνπ δνλεηή θαη ηνπ βαγνληνύ από ηα αληίζηνηρα ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπο. Από ηελ ηηκή ηνπ Γt κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηε δηαθνξά θάζεο θ ζε κνίξεο, ζύκθσλα κε ηε ζρέζε t 36 (.15) T όπνπ Σ = π/σ είλαη ε πεξίνδνο ησλ ηαιαληώζεσλ. Όηαλ ε ρξνληθή θαζπζηέξεζε είλαη κεδέλ, δειαδή ζην ζπληνληζκό, ηα ζώκαηα θηλνύληαη ζε θάζε (θ = ). Η ρξνληθή δηαθνξά Γt κεηξηέηαη κε ηε βνήζεηα δύν θσηνππιώλ, όπσο ζα δνύκε ζηελ Παξάγξ..4 (Πεηξακαηηθή δηάηαμε)..3.5 Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ βαγνληνύ ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο O πξνζδηνξηζκόο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ βαγνληνύ γίλεηαη κε ηε κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ πνπ απαηηείηαη γηα λα πεξάζεη κπξνζηά από κηα θσηεηλή δέζκε κηα κηθξή ζεκαία, γλσζηνύ πιάηνπο, πνπ είλαη ζπλδεδεκέλε πάλσ ζην βαγνλάθη. Η κέηξεζε απηήο ηεο ρξνληθήο δηάξθεηαο γίλεηαη κε ηε βνήζεηα κηαο θσηνπύιεο, όπσο ζα δνύκε ζηελ Παξάγξ Πεηξακαηηθή δηάηαμε Όπσο είδακε θαη ζηελ Παξάγξ..3 θαη απεηθνλίδεηαη ζην ρ..6, ε πεηξακαηηθή δηάηαμε απνηειείηαη από έλα βαγνλάθη από αινπκίλην, πνπ κπνξεί λα νιηζζαίλεη πάλσ ζε κηα αεξνηξνρηά, πξαθηηθά ρσξίο ηξηβέο. Γηα ηελ πεξηγξαθή ηεο αεξνηξνρηάο θαη ηεο ιεηηνπξγίαο ηεο, ζαο παξαπέκπνπκε ζηελ Άζθεζε 7 (Εξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, ΔΜΠ, Σόκνο Ι, Παξάγξ ). Σν βαγνλάθη ζπλδέεηαη κε ηε βνήζεηα δύν όκνησλ ειαηεξίσλ, αθελόο κε έλα ζηαζεξό ηνίρσκα θαη αθεηέξνπ κε ην άθξν ελόο δνλεηή, ν νπνίνο δηεγείξεη ηηο εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο ζην ζύζηεκα. Ο δνλεηήο απηόο ηξνθνδνηείηαη από κηα γελλήηξηα, κε ηε βνήζεηα ηήο νπνίαο κπνξνύκε λα ξπζκίζνπκε ην πιάηνο θαη ηε ζπρλόηεηα ησλ ηαιαληώζεώλ ηνπ ζηηο επηζπκεηέο ηηκέο. Η ηηκή ηεο επηιεγκέλεο ζπρλόηεηαο αλαγξάθεηαη ζε ςεθηαθή κνξθή ζηελ πξόζνςε ηεο γελλήηξηαο. 31

32 Η δηάηαμε πεξηιακβάλεη αθόκε έλαλ ειεθηξνκαγλήηε, ν νπνίνο θέξεη έλα δηάθελν ζηνλ ππξήλα ηνπ. Σν βαγνλάθη θηλείηαη κέζα ζην δηάθελν ηνπ ππξήλα, όπνπ δεκηνπξγείηαη ηζρπξό καγλεηηθό πεδίν όηαλ ν ειεθηξνκαγλήηεο δηαξξέεηαη από ξεύκα. Σν καγλεηηθό απηό πεδίν πξνθαιεί ηηο απώιεηεο ιόγσ ηξηβήο ηνπ ζπζηήκαηνο, θαη ην κέγεζνο ηεο ηξηβήο ειέγρεηαη κε ηε κεηαβνιή ηεο έληαζεο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ κέζα ζην δηάθελν. Σν ξεύκα από ην νπνίν εμαξηάηαη ε έληαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ξπζκίδεηαη κε ηε κεηαβνιή ηεο ηάζεο ηνπ ηξνθνδνηηθνύ, πνπ ηξνθνδνηεί ηα πελία ηνπ ειεθηξνκαγλήηε. Γύν κεηξεηέο έλαο ηεο ηάζεο ηξνθνδόηεζεο ηνπ δνλεηή θαη έλαο ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαζρίδεη ηα πελία ηνπ ειεθηξνκαγλήηε, βξίζθνληαη ζηελ πξόζνςε ηνπ ηξνθνδνηηθνύ θαη επηηξέπνπλ ηε κέηξεζε ησλ κεγεζώλ απηώλ. Ο δνλεηήο θαη ην βαγνλάθη έρνπλ ζηεξεσκέλε ζηελ θνξπθή ηνπο από κηα ζεκαία. Η ιεπηή ζεκαία 1 (,35 mm) είλαη θνιιεκέλε πάλσ ζηνλ πύξν ηνπ δνλεηή (βι. ρ..7) θαη ε πιαηηά ( mm), πάλσ ζηελ πξνέθηαζε ηνπ βαγνληνύ (βι. ρ.. 7 θαη.8). Οη κεηξήζεηο ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο θάζεο ηνπ βαγνληνύ γίλνληαη κε ηε κέηξεζε δηαθόξσλ ρξνληθώλ δηαζηεκάησλ, ηα νπνία κεηξνύληαη κε κία ή δύν ζεκαίεο θαη κία ή δύν θσηνπύιεο, αλάινγα κε ηελ πεξίπησζε. Γηεπθξηλίδεηαη όηη νη κεηξήζεηο απηέο είλαη πξναηξεηηθέο θαη γίλνληαη κόλνλ εθόζνλ δηαηίζεηαη αξθεηόο ρξόλνο. ηελ αληίζεηε πεξίπησζε, νη θσηνπύιεο δελ ρξεζηκνπνηνύληαη, νπόηε ηα ρ..7 θαη.8, θαζώο θαη ην θείκελν πνπ αθνινπζεί εδώ, δελ ιακβάλνληαη ππόςε. Η θάζε θσηνπύιε απνηειείηαη από κηα πεγή ππέξπζξνπ θσηόο θαη έλαλ αληρλεπηή ππέξπζξνπ θσηόο. Σε θσηνπύιε πνπ είλαη ζηεξεσκέλε πάλσ ζην ρξνλόκεηξν ζα ηελ απνθαινύκε κεηξηθή, θαη ηε δεύηεξε ζπγαηξηθή. Η θσηεηλή δέζκε ηεο κεηξηθήο θσηνπύιεο βξίζθεηαη απέλαληη από ηε ζεκαία ηνπ δνλεηή 1, (ιεπηό ζύξκα θνιιεκέλν πάλσ ζηνλ δνλεηή), ελώ ηεο ζπγαηξηθήο βξίζθεηαη απέλαληη από ηε ζεκαία ηνπ βαγνληνύ, όηαλ ην ζύζηεκα ηζνξξνπεί, όηαλ δειαδή δελ εθηειεί ηαιαληώζεηο. Η ιεπηνκεξήο πεξηγξαθή ησλ θσηνππιώλ θαη ηεο ιεηηνπξγίαο ηνπο δίλεηαη ζηελ Άζθεζε 7 (Εξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, ΔΜΠ, Σόκνο Ι, Παξάγξ. 7.3.). ρήκα.7 Σν ζρήκα απεηθνλίδεη ηε δηέιεπζε ηνπ άθξνπ ηνπ δνλεηή (ζεκαία 1 ) θαη ηνπ εκπξόο άθξνπ ηνπ βαγνληνύ (ζεκαία ) κπξνζηά από ηε κεηξηθή θαη ηε ζπγαηξηθή θσηνπύιε, (δειαδή αλάκεζα ζηε θσηεηλή πεγή θαη ηνλ αληρλεπηή ηνπ θσηόο ηεο αληίζηνηρεο θσηνπύιεο) αληηζηνίρσο. Σν ρξνλόκεηξν κεηξάεη ην ρξόλν αλάκεζα ζηελ έλαξμε ηεο δηαθνπήο ηεο κεηξηθήο θσηνπύιεο θαη ηελ έλαξμε ηεο δηαθνπήο ηεο ζπγαηξηθήο (ζέζε PULSE). Αλ νη θσηνπύιεο είλαη ηνπνζεηεκέλεο ζηηο αληίζηνηρεο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ησλ δύν ζεκαηώλ, ν ρξνλνδηαθόπηεο κεηξάεη ηνλ ρξόλν Γt, αλάκεζα ζηε δηέιεπζε ηνπ άθξνπ ηνπ δνλεηή θαη ηνπ άθξνπ ηνπ βαγνληνύ από ηηο αληίζηνηρεο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο. (α) Κάηνςε ηεο δηάηαμεο (β) Πιάγηα όςε ηνπ δνλεηή θαη (γ) Υξνλνδηάγξακκα ηεο ηαιάλησζεο δνλεηή θαη βαγνληνύ. 3

33 ΠΡΟΟΥΗ: Οη ζεκαίεο απηέο είλαη πνιύ εύζξαπζηεο θαη εύθνια κπνξνύλ λα θαηαζηξαθνύλ κε ην παξακηθξό άγγηγκα ηνπο. Γηα ην ιόγν απηό δελ πξέπεη λα ηηο αγγίδνπκε. Όηαλ ν επηινγέαο ιεηηνπξγηώλ ηνπ ρξνλνκέηξνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε PULSE, ην ρξνλόκεηξν κεηξάεη ην ρξνληθό δηάζηεκα Γt, από ηε ζηηγκή ηεο δηαθνπήο ηεο δέζκεο ηεο κεηξηθήο θσηνπύιεο (δηέιεπζε ζεκαίαο 1 ) κέρξη ηε δηαθνπή ηεο δέζκεο ηεο ζπγαηξηθήο θσηνπύιεο (δηέιεπζε ζεκαίαο ). Η κέηξεζε ηεο ρξνληθήο θαζπζηέξεζεο γίλεηαη κε δύν θσηνπύιεο ζηε ζέζε PULSE (βι. ρ..7). Όηαλ ν επηινγέαο ιεηηνπξγηώλ ηνπ ρξνλνκέηξνπ είλαη ζηε ζέζε GATE, ην ρξνλόκεηξν κεηξάεη ην ρξνληθό δηάζηεκα θαηά ην νπνίν δηαθόπηεηαη ε θσηεηλή δέζκε ηεο θσηνπύιεο, από έλα αληηθείκελν πνπ πεξλάεη κπξνζηά ηεο. Ο πξνζδηνξηζκόο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ βαγνληνύ γίλεηαη κε κία κόλν θσηνπύιε ζηε ζέζε GATE, κε ηε κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ δηαθνπήο ηεο θσηεηλήο δέζκεο από ηε ζεκαία, ηελ θνιιεκέλε πάλσ ζηε πξνέθηαζε ηνπ βαγνληνύ (βι. ρ..8). Αλ ην πιάηνο ηεο ζεκαίαο είλαη Γl θαη ν ρξόλνο δηαθνπήο ηεο δέζκεο είλαη Γt, ηαρύηεηα ηνπ βαγνληνύ, π, δίλεηαη πξνθαλώο από ηε ζρέζε l (.17) t ρήκα.8 Σν ζρήκα απεηθνλίδεη ηε δηέιεπζε ηνπ βαγνληνύ κέζα από ηε θσηνπύιε, δειαδή αλάκεζα ζηε θσηεηλή πεγή θαη ηνλ αληρλεπηή ηνπ θσηόο. είλαη ε ζεκαία ε ζηεξεσκέλε πάλσ ζηελ πξνέθηαζε ηνπ βαγνληνύ. Καζώο ηαιαληώλεηαη ην βαγόλη, άξα θαη ε ζεκαία, ην ρξνλόκεηξν ηεο θσηνπύιεο (ζέζε GATE) κεηξάεη ην ρξνληθό δηάζηεκα θαηά ηνλ νπνίν έρεη δηαθνπεί ε θσηεηλή δέζκε, δειαδή ην ρξόλν Γt, πνπ ρξεηάδεηαη ε ζεκαία γηα λα δηαζρίζεη ηε θσηνπύιε. (α) Πιάγηα όςε, (β) Κάηνςε. 33

34 Βηβιηνγξαθία 1. H. J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ, 3 ε έθδνζε Κεθ. : Παξάγξ Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 199).. F. S. Crawford, Μαζήκαηα Φπζηθήο Παλεπηζηεκίνπ. Berkeley, Σόκνο 3: Κπκαηηθή Κεθ. 3: Παξάγξ. 3.. (Αζήλα 1979). 3. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 13: Παξάγξ Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 4. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 15: Παξάγξ Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 5. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, A. C. Helmholz, B. J. Moyer, Μαζήκαηα Φπζηθήο Παλεπηζηεκίνπ Berkeley, Σόκνο 1: Μεραληθή, Κεθ. 7. Παλ. Δθδόζεηο ΔΜΠ (Αζήλα 1998). 6. M. Alonso, E.J. Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Ι: Μεραληθή θαη Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 1: Παξάγξ. 1.1 θαη (Αζήλα 1981)..5 Δθηέιεζε ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ: (α) ηελ Άζθεζε απηή κειεηάκε κόλν ηε κόληκε ηαιάλησζε ηνπ ζπζηήκαηνο, κεηά ην ηέινο δειαδή ηεο κεηαβαηηθήο πεξηόδνπ (όπσο άιισζηε θάλακε θαη ζηε καζεκαηηθή αλάιπζε, βι. Παξάξηεκα Π.3). Γηα ην ιόγν απηό, θάζε θνξά πνπ γίλεηαη αιιαγή ζηελ θαηάζηαζε ηεο δηεγείξνπζαο δύλακεο, ζα πξέπεη λα πεξηκέλνπκε λα θζάζεη ην ζώκα ζηε λέα κόληκε θαηάζηαζή ηνπ, κεηά από θάπνην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ κπνξεί λα είλαη κηθξό ή κεγάιν αλάινγα κε ηελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο Q. Γηα ιόγνπο πξνζηαζίαο, ηα ειαηήξηα είλαη ραιαξσκέλα ζην θπζηθό ηνπο κήθνο όηαλ ε αεξνηξνρηά δελ ιεηηνπξγεί. (β) Οη κεηξήζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο Παξαγξ..5.4 θαη.5.5 είλαη πξναηξεηηθέο θαη γίλνληαη κόλνλ εθόζνλ δηαηίζεηαη αξθεηόο ρξόλνο (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε 3σξεο ή 4σξεο Άζθεζεο). ηελ αληίζεηε πεξίπησζε, νη θσηνπύιεο δελ ρξεζηκνπνηνύληαη..5.1 Μέηξεζε ηεο ζπρλόηεηαο ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ 1. πλδέζηε ην θπζεηήξα ηεο αεξνηξνρηάο ζηα V. Πηέζηε ηνλ δηαθόπηε ιεηηνπξγίαο ηνπ ζηε ζέζε ΟΝ. Δπηιέμηε κηα ηθαλνπνηεηηθή παξνρή αέξα κε ηνλ επηινγέα ηνπ ηξνθνδνηηθνύ (έλδεημε πεξίπνπ γηα ηξνθνδνζία δύν δηαηάμεσλ).. Οξηδνληηώζηε πξνζεθηηθά ηελ αεξνηξνρηά κε ηνπο θνριίεο ηνπ δηπινύ ππνζηεξίγκαηνο, θαη ηεληώζηε ηα ειαηήξηα ηνπ βαγνληνύ, κεηαηνπίδνληαο ην ζηήξηγκα ησλ ειαηεξίσλ έσο όηνπ ην δεμί (αξηζηεξό) άθξν ηνπ βαγνληνύ λα βξίζθεηαη ζην ζεκείν 4 (16) cm. 3. Μεηαηνπίζηε ηνλ ειεθηξνκαγλήηε, έηζη ώζηε ην βαγνλάθη λα βξίζθεηαη πεξίπνπ ζην θέληξν ηνπ ππξήλα ηνπ. πξώμηε ην βαγνλάθη θαηά 5 cm από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη ειεπζεξώζηε ην, γηα λα εθηειέζεη ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο. Μεηξήζηε ηνλ ρξόλν 1 ηαιαληώζεσλ, Σ 1, εθηηκώληαο θαη ην ζθάικα ηεο κέηξεζεο, ΓΣ 1. Καηαγξάςηε ηελ ηηκή ηνπ κε ηε κνξθή: Σ 1 =.. Από ηελ ηηκή απηή θαη κε ηε βνήζεηα ηεο γλσζηήο ζρέζεο f = 1/Σ, ππνινγίζηε ηελ ηηκή θαη ην ζθάικα ηεο ζπρλόηεηαο f ηνπ ζπζηήκαηνο, ιακβάλνληαο ππόςε όηη Σ = Σ 1 /1 f =.. 34

35 .5. Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη πξνζδηνξηζκόο ηεο ηδηνζπρλόηεηαο ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ 1. Μεηαηνπίζηε θαη πάιη ην βαγνλάθη θαηά 5 cm από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ειεπζεξώζηε ην, θαη κεηξήζηε ηνλ αξηζκό Ν, ησλ ηαιαληώζεσλ θαηά ηε δηάξθεηα ησλ νπνίσλ ην αξρηθό ηνπο πιάηνο κεηώλεηαη θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/ (ην πιάηνο γίλεηαη ίζν κε ην 6% ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο) θαη από ηελ Δμ. (.11) ππνινγίζηε ηνλ ζπληειεζηή πνηόηεηαο, Q, ηνπ ζπζηήκαηνο θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα ηνπ. Q =... Με ηε βνήζεηα ηεο Δμ. (.11α) ππνινγίζηε ηελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή εμαζζέλεζεο, γ, θαη, αθνινύζσο, ρξεζηκνπνηώληαο ηελ Δμ. (.6α), πξνζδηνξίζηε ηελ ηηκή ηεο ηδηνζπρλόηεηαο, σ ή f, ηνπ ζπζηήκαηνο γ =.., f =.., σ = Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο ρξόλνπ ηεο απόζβεζεο ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ όηαλ νη απώιεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη πνιύ κηθξέο 1. Μεηαηνπίζηε θαη πάιη ην βαγνλάθη θαηά 5 cm θαη κεηξήζηε ηε ζηαζεξά ρξόλνπ η, ηεο απόζβεζεο ησλ ηαιαληώζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο, ην ρξόλν δειαδή πνπ απαηηείηαη ώζηε λα κεησζεί ην πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ ηνπ βαγνληνύ ζην 1/e =,37 ηεο αξρηθήο ηνπ ηηκήο (βι. ρ..). Δθηηκήζηε ην ζθάικα ηεο κέηξεζεο θαη θαηαγξάςηε ηελ ηηκή ηνπ κε ηε κνξθή: η =.. Καηαγξάςηε επίζεο ηελ ηηκή ηεο κάδαο ηνπ βαγνληνύ, Μ, ε νπνία αλαγξάθεηαη επάλσ ηνπ: Μ = Μέηξεζε ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ ηνπ ζπζηήκαηνο γηα Q = 5 ΠΡΟΟΥΗ: ην πείξακα απηό ε δηάξθεηα ηεο κεηαβαηηθήο πεξηόδνπ είλαη πεξίπνπ 3 s. πλεπώο, κεηά από θάζε αιιαγή ηεο ζπρλόηεηαο, ε θαηαγξαθή ησλ ηηκώλ πξέπεη λα γίλεηαη κεηά από παξέιεπζε 3 δεπηεξνιέπησλ. 1. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ηε γελλήηξηα ηνπ δνλεηή (ν δηαθόπηεο ιεηηνπξγίαο βξίζθεηαη ζην πίζσ κέξνο ηνπ νξγάλνπ). Ακέζσο, ν δνλεηήο ηίζεηαη ζε ηαιάλησζε κε ζπρλόηεηα 1 Hz. Η ζπρλόηεηα απηή είλαη πνιύ πςειή. Γηα λα κεησζεί ε ηηκή ηεο, παηήζηε δύν θνξέο ην θνπκπί Range (ην θάησ), πνπ βξίζθεηαη ζηελ πξόζνςε ηεο γελλήηξηαο. Η ζπρλόηεηα ησλ ηαιαληώζεσλ ζα γίλεη ηώξα 1 Hz. Σν θνπκπί AMPLITUDE δελ ην πεηξάδνπκε. Σν πιάηνο ηαιάλησζεο ηνπ δνλεηή, y, είλαη ξπζκηζκέλν από ηνλ ππεύζπλν ηεο Άζθεζεο θαη είλαη,,1 mm.. Γηα λα ξπζκίζεηε ην ζπληειεζηή πνηόηεηαο Q ζηελ ηηκή 5, ζέζηε ζε ιεηηνπξγία ην ηξνθνδνηηθό ηνπ ειεθηξνκαγλήηε θαη ξπζκίζηε ηελ ηηκή ηνύ ξεύκαηνο έσο όηνπ ζην ζπληνληζκό, ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ βαγνληνύ Α max, λα είλαη 1,5 θνξέο κεγαιύηεξν από εθείλν ηνπ δνλεηή y. ύκθσλα κε ηελ Δμ. (.14), ε ηηκή ηνπ Q ηζνύηαη ηώξα κε 5 (βι. Παξάγξ..3.). 3. Από ηελ ηηκή ηνπ f πνπ πξνζδηνξίζαηε ζην.5.1, βήκα, θαη γηα Q = 5, ππνινγίζηε, κε ηε βνήζεηα ηεο Δμ, (Π.36) f f 1, ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, f ζ, ηνπ ζπζηήκαηνο. f ζ =.. 4. Mε ην θνπκπί ADJUST ξπζκίζηε ηε ζπρλόηεηα ηνπ δνλεηή ζηελ ηηκή ηήο ζπρλόηεηαο ζπληνληζκνύ f ζ, πνπ πξνζδηνξίζαηε. Μεηξήζηε ην πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ Α ηνπ βαγνληνύ θαη θαηαγξάςηε ην ζηελ πξώηε ζεηξά ηνπ Πίλαθα Ι θαη ηνπ Πίλαθα ΙΙ. 1 Q 35

36 5. Δπαλαιάβεηε ηηο κεηξήζεηο απηέο γηα αξθεηέο ζπρλόηεηεο κέζα ζην δηάζηεκα,6 1,4 Hz, αθνινπζώληαο κηα δηαδηθαζία ζε δύν ζηάδηα (δύν θιάδνπο), όπσο δηεπθξηλίδεηαη αθνινύζσο. Καη γηα ηνπο δύν θιάδνπο, ε πξώηε κέηξεζε γίλεηαη ζηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ f ζ, θαη αθνινπζνύλ ηέζζεξηο κεηξήζεηο κε βήκα,5, ηέζζεξηο κε βήκα,1 θαη νη ππόινηπεο κε βήκα, Hz ή θαη κεγαιύηεξν, θαηά ηελ θξίζε ζαο. ζην πξώην ζηάδην θαηαγξάθεηαη ν θιάδνο ησλ ρακειώλ ζπρλνηήησλ (f ζ,6 Hz), μεθηλώληαο από ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, f ζ. Με ηνλ ηξόπν απηό ζπκπιεξώλεηε ηνλ Πίλαθα Ι ζην δεύηεξν ζηάδην θαηαγξάθεηαη ν θιάδνο ησλ πςειώλ ζπρλνηήησλ (f ζ 1, Hz), μεθηλώληαο θαη πάιη από ηε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, f ζ. Με ηνλ ηξόπν απηό ζπκπιεξώλεηε ηνλ Πίλαθα ΙΙ. Πίλαθαο Ι Πίλαθαο ΙΙ f ζ =.. s -1 Q = 5 f ζ =.. s -1 Q = 5 f (Hz) A(cm) f (Hz) A(cm) f ζ =. f ζ,5 = f ζ =. f ζ +,5 =.5.5 Μέηξεζε ηεο θακπύιεο θάζεο ηνπ ζπζηήκαηνο γηα Q = 5 (ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ) ΠΡΟΟΥΗ: Καη ζην πείξακα απηό ε δηάξθεηα ηεο κεηαβαηηθήο πεξηόδνπ είλαη πεξίπνπ 3 s. πλεπώο, κεηά από θάζε αιιαγή ηεο ζπρλόηεηαο, ε θαηαγξαθή ησλ ηηκώλ πξέπεη λα γίλεηαη κεηά από παξέιεπζε 3 δεπηεξνιέπησλ. 1. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ην ρξνλόκεηξν κε ηηο θσηνπύιεο. Δμνηθεησζείηε κε ηε ιεηηνπξγία ησλ θσηνππιώλ. Ο επηινγέαο ιεηηνπξγηώλ πξέπεη λα βξίζθεηαη ζηε ζέζε PULSE θαη ν κνριόο ηεο κλήκεο (Memory) θάζεηνο, ζηε ζέζε ΟΝ. Σν βαγνλάθη θαη ε ζεκαία 1, πνπ βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ πύξν ηνπ δνλεηή, πξέπεη λα βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο θαη λα είλαη αθίλεηα. Ρπζκίζηε ηε ζέζε ηήο κεηξηθήο θσηνπύιεο, έηζη ώζηε ην άθξν ηεο ζεκαίαο 1 ηνπ δνλεηή λα δηαθόπηεη ηελ ππέξπζξε δέζκε, όηαλ ε ζεκαία βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. Η δηαθνπή ηεο δέζκεο πξέπεη λα γίλεηαη από ηε πιεπξά ηεο ζεκαίαο πνπ βξίζθεηαη ζε κηθξόηεξε απόζηαζε από ην βαγνλάθη. Όηαλ ε δέζκε δηαθόπηεηαη, ην θόθθηλν ιακπάθη πνπ βξίζθεηαη ζην πάλσ κέξνο ηεο θσηνπύιεο αλάβεη, θη έηζη κπνξνύκε λα δηαπηζηώζνπκε πόηε δηαθόπηεηαη ε θσηνπύιε.. Με ηνλ ίδην ηξόπν ξπζκίζηε ηε ζέζε ηεο ζπγαηξηθήο θσηνπύιεο. Η δέζκε ηεο πξέπεη λα δηαθόπηεηαη από ην βαγνλάθη θαη όρη από ηε ιεπηή ζεκαία, πνπ βξίζθεηαη ζηελ πξνέθηαζε ηνπ βαγνληνύ. Οη θσηνπύιεο είλαη ξπζκηζκέλεο ζσζηά, όηαλ ην εκπξόο άθξν ηεο ζεκαίαο 1 θαη ην εκπξόο άθξν ηνπ βαγνληνύ δηαθόπηνπλ ηηο δέζκεο ζηα ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπο. 3. Καζώο ν δνλεηήο θαη ην βαγνλάθη ηαιαληώλνληαη, ζα ελεξγνπνηήζνπλ ην ρξνλόκεηξν θαη ζα εκθαληζηεί ζηελ νζόλε ηνπ κηα ηπραία ηηκή. Αγλνήζηε ηελ ηηκή απηή. Γηα λα θέξεηε ην ρξνλόκεηξν ζε θαηάζηαζε εηνηκόηεηαο, παηήζηε ην θόθθηλν θνπκπί Reset θαη θξαηήζηε ην παηεκέλν. Η έλδεημε ηνπ νξγάλνπ ζα κεδεληζηεί. Διεπζεξώζηε ην θνπκπί απηό ηε ζηηγκή πνπ ε ζεκαία 1, ηνπ δνλεηή βξίζθεηαη πεξίπνπ ζηε ζέζε ηεο κέγηζηεο απόθιηζεο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Μόιηο ειεπζεξώζεηε ην θνπκπί, θαζώο ε ζεκαία θαη ην βαγνλάθη είλαη ζε θίλεζε, ζα δηαθόςνπλ δηαδνρηθά ηηο θσηεηλέο δέζκεο ησλ θσηνππιώλ ηνπο, όηαλ βξεζνύλ 36

37 ζηα αληίζηνηρα ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπο. Η πξώηε δηαθνπή ζα ελεξγνπνηήζεη ην ρξνλόκεηξν, ελώ ε δεύηεξε ζα ην απελεξγνπνηήζεη. Η ρξνληθή δηαθνξά Γt, κεηαμύ απηώλ ησλ δπν γεγνλόησλ ζα εκθαληζηεί ζηελ νζόλε ηνπ ρξνλνκέηξνπ (βι. ρ..7). Καηαγξάςηε ην Γt ζηελ πξώηε ζεηξά ηνπ Πίλαθα ΙΙΙ θαη ηνπ Πίλαθα IV. 4. Δπαλαιάβεηε ηηο κεηξήζεηο απηέο γηα αξθεηέο ζπρλόηεηεο κέζα ζην δηάζηεκα,6 1,4 Hz, αθνινπζώληαο ηελ ίδηα αθξηβώο δηαδηθαζία κε εθείλελ πνπ αθνινπζήζαηε γηα ηε κέηξεζε ηεο θακπύιεο ζπληνληζκνύ (Παξάγξ..5.4, βήκα 5) θαη ζπκπιεξώζηε ηνπο Πίλαθεο ΙΙΙ θαη IV. Πίλαθαο ΙII Πίλαθαο IV f ζ =.. s -1 Q = 5 f ζ =.. s -1 Q = 5 f (Hz) Γt (s) f (Hz) Γt (s) f ζ =. f ζ =. f ζ,5 = f ζ +,5 = εκεηώλνπκε όηη, ζηε ιεηηνπξγία PULS, ην ζύζηεκα αδπλαηεί λα κεηξήζεη ρξνληθά δηαζηήκαηα πνπ είλαη κηθξόηεξα από κία νξηζκέλε ηηκή (~ 3 ms). ηηο ζπρλόηεηεο πνπ ν ρξόλνο θαζπζηέξεζεο είλαη κηθξόηεξνο από ηελ ηηκή απηή ην ζύζηεκα αξρίδεη λα κεηξά ηελ πεξίνδν ησλ ηαιαληώζεσλ θαη όρη ηε ρξνληθή θαζπζηέξεζε. Σέηνηεο ηηκέο ρξόλνπ πξέπεη λα αγλνεζνύλ. Μεηά ην ηέινο απηώλ ησλ κεηξήζεσλ ζέζηε εθηόο ιεηηνπξγίαο ηε γελλήηξηα ηνπ δνλεηή..5.6 Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ βαγνληνύ σο ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο, ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο (ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ) 1. Μεηαηνπίζηε ηνλ ειεθηξνκαγλήηε πξνο ηε πιεπξά ηνπ βαγνληνύ ζηελ νπνία βξίζθεηαη ε πξνέθηαζε κε ηε ζεκαία. Σν βαγνλάθη πξέπεη λα βξίζθεηαη κέζα ζην καγλεηηθό πεδίν θαη λα εμέρεη από απηό κόλν θαηά ~1 mm. Με ηε ξύζκηζε απηή ην βαγνλάθη κπνξεί λα θηλείηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ζε κηα δηαδξνκή 1 cm.. Θέζηε ηνλ επηινγέα ιεηηνπξγηώλ ηεο θσηνπύιεο ζηε ζέζε GATE. Ο κνριόο ηεο κλήκεο (Memory) πξέπεη λα είλαη θάζεηνο, ζηε ζέζε ΟN, θαη ε δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα ηνπ ρξνλνκέηξνπ πξέπεη λα είλαη,1 ms. 3. Τςώζηε ηε ζπγαηξηθή θσηνπύιε, έηζη ώζηε ε δέζκε ηεο λα δηαθόπηεηαη από ηε ζεκαία, πνπ βξίζθεηαη ζηελ πξνέθηαζε ηνπ βαγνληνύ. Σν πιάηνο ηεο ζεκαίαο είλαη,,1 mm. Δδώ ην ρξνλόκεηξν κεηξά ην ρξόλν θξαγήο ηεο ππέξπζξεο δέζκεο από ηε ζεκαία ηνπ βαγνληνύ. (ε απηή ηε κέηξεζε, ε κεηξηθή θσηνπύιε αδξαλεί θαη, γηα θάζε ελδερόκελν, ηελ απνκαθξύλεηε από ηελ αξρηθή ηεο ζέζε θαηά 3 εθαηνζηά γηα λα κε δηαθνπεί ε δέζκε ηεο από ηε ζεκαία ηνπ δνλεηή). 4. Γηα λα επηηύρεηε ηελ θξίζηκε απόζβεζε εθαξκόζηε ζηνλ ειεθηξνκαγλήηε ξεύκα 1 Α. Μεηαηνπίζηε ην βαγνλάθη θαηά 1 cm πξνο ηελ πιεπξά ηεο ζεκαίαο, ειεπζεξώζηε ην θαη παξαθνινπζήζηε ηελ θίλεζή ηνπ. Όηαλ ε απόζβεζε είλαη θξίζηκε ή ππεξθξίζηκε, ην βαγνλάθη επηζηξέθεη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ρσξίο ηαιάλησζε, αζπκπησηηθά, ελώ όηαλ ε απόζβεζε είλαη κηθξόηεξε από ηελ θξίζηκε, ηόηε ε επηζηξνθή ηνπ γίλεηαη κε ηαιαληώζεηο γύξσ από ην ζεκείν ηζνξξνπίαο. Θα πξέπεη λα απμήζεηε ή λα κεηώζεηε ην ξεύκα πνπ δηαξξέεη ηα πελία ηνπ ειεθηξνκαγλήηε θαη λα επαλαιάβεηε ην πείξακα κε ην βαγνλάθη έσο όηνπ, κε δηαδνρηθέο πξνζεγγίζεηο, επηηύρεηε ηελ θξίζηκε απόζβεζε ησλ ηαιαληώζεσλ. 37

38 5. ην πείξακα απηό ην βαγνλάθη κεηαηνπίδεηαη θάζε θνξά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαηά 1 cm θαη αθήλεηαη λα επηζηξέςεη. Γηα λα κεηξήζεηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ βαγνληνύ ζε θάπνην ελδηάκεζν ζεκείν, πνπ απέρεη π.ρ. 4 cm από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, κεηαηνπίζηε ην βαγνλάθη θαηά 4 cm θαη ξπζκίζηε ηε ζέζε ηεο ζπγαηξηθήο θσηνπύιεο, έηζη ώζηε ζην ζεκείν απηό ε δέζκε ηεο λα αξρίζεη λα δηαθόπηεηαη από ηε ζεκαία. Η δέζκε πξέπεη λα δηαθόπηεηαη από ηελ πιεπξά ηεο ζεκαίαο πνπ βξίζθεηαη ζε κηθξόηεξε απόζηαζε από ην βαγνλάθη, επεηδή ε πιεπξά απηή ηεο ζεκαίαο ζα ζπλαληήζεη πξώηε ηε δέζκε, θαζώο ε ζεκαία ζα θηλείηαη πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. 6. Μεηαηνπίζηε ην βαγνλάθη θαηά 1 cm θαη αθήζηε ην λα επηζηξέςεη. ηελ νζόλε ηνπ ρξνλνκέηξνπ ζα εκθαληζηεί ην ρξνληθό δηάζηεκα, Γt, δηαθνπήο ηεο δέζκεο ζηε ζέζε απνκάθξπλζεο x = 4 cm (βι. ρ..8). εκεηώζηε ηελ ηηκή. Δπαλαιάβεηε ηε δηαδηθαζία απηή γηα δηάθνξα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα 1 cm θαη απέρνπλ κεηαμύ ηνπο,5 cm θαη γξάςηε ηα απνηειέζκαηά ζαο ζηνλ Πίλαθα V. 7. Μεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα δηαθνπήο θαη ζε δύν ζεκεία πνπ απέρνπλ,5 cm από ηα δύν άθξα ηνπ δηαζηήκαηνο 1 cm. Η κέηξεζε ζην ζεκείν ηζνξξνπίαο (x = ) δελ έρεη λόεκα, ν ρξόλνο δηαθνπήο ζα είλαη άπεηξνο. Πίλαθαο V x (cm) Γt (s) π = Γl/Γt(cm/s) 4,,5,5 1, 9,75 8. βήζηε όια ηα όξγαλα θαη ραιαξώζηε ηα ειαηήξηα. ΠΡΟΟΥΗ: Μελ θιείζεηε ηνλ ειεθηξνκαγλήηε, εάλ πξνεγνπκέλσο δελ έρεηε κεδελίζεη ην ξεύκα πνπ ηνλ δηαξξέεη. Ο ειεθηξνκαγλήηεο ζεξκαίλεηαη έληνλα όηαλ ηξνθνδνηείηαη κε ξεύκαηα ηεο ηάμεο ησλ 3 Α θαη κπνξεί λα θαεί, αλ μεράζεηε λα ηνλ θιείζεηε..6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ.6.1 Πξνζδηνξηζκόο ηεο ζηαζεξάο ησλ ειαηεξίσλ, ηνπ ζπληειεζηή εμαζζέλεζεο ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ θαη ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, όηαλ νη απώιεηεο ιόγσ ηξηβήο είλαη πνιύ κηθξέο 1. Από ηελ ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο f ησλ ειεπζέξσλ ηαιαληώζεσλ, πνπ πξνζδηνξίζαηε ζην.5.1 θαη από ηε γλσζηή ηηκή ηεο κάδαο Μ, ππνινγίζηε κε ηε βνήζεηα ηεο Δμ. (.3), ηε ζηαζεξά ησλ ειαηεξίσλ ηνπ ζπζηήκαηνο, k k = ±.., θαη από απηήλ ππνινγίζηε ηε ζηαζεξά ηνπ θάζε ειαηεξίνπ, ιακβάλνληαο ππόςε όηη, αληί γηα έλα, έρεηε δύν ίδηα ειαηήξηα ζε ζεηξά, δειαδή k 1 = k = k/ (βι. Παξάξηεκα Π, Παξάγξ. Π.4.) k 1 = k = ±..,. Από ηελ ηηκή ηεο ζηαζεξάο ρξόλνπ η, πνπ ππνινγίζαηε ζην.5. θαη ηε ζρέζε η = 1/γ, ππνινγίζηε ηελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή εμαζζέλεζεο, γ. γ = ±.. 3. Από ηελ ηηκή ηνπ γ θαη κε βάζε ηελ Δμ. (.11α), ππνινγίζηε ηνλ ζπληειεζηή πνηόηεηαο, Q, ησλ ειεύζεξσλ ηαιαληώζεσλ κε κηθξή απόζβεζε: Q = ±.. 4. πγθξίλεηε ηελ ηηκή ηνπ Q, πνπ ππνινγίζαηε εδώ κε εθείλε πνπ είραηε πξνζδηνξίζεη ζηελ Παξάγξ..5.. πκθσλνύλ νη δύν ηηκέο κεηαμύ ηνπο; 38

39 .6. Υάξαμε ησλ θακππιώλ ζπληνληζκνύ [θαη ησλ θακππιώλ θάζεο] ηνπ ζπζηήκαηνο γηα Q = 5 1. Με βάζε ηνπο Πίλαθεο Ι θαη ΙΙ, ζρεδηάζηε ζε γξαθηθή παξάζηαζε ηελ πεηξακαηηθή θακπύιε ζπληνληζκνύ, δειαδή ην πιάηνο ηαιάλησζεο, Α, σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, f, γηα Q = 5. πκπίπηεη ε ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο ζηελ νπνία ην πιάηνο παίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ, κε ηελ ηηκή f ζ πνπ είραηε ππνινγίζεη; Πόζν (επί ηνηο εθαηό) δηαθέξεη ε ηηκή ηεο ζπρλόηεηαο απηήο από ηελ f ;. Από ηελ πεηξακαηηθή θακπύιε ζπληνληζκνύ θαη ηελ Δμ. (.1) κπνξείηε λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή πνηόηεηαο, Q πεηξ (Βι. ρ..5α). Q πεηξ =.. ±.. πκθσλεί ε ηηκή απηή κε εθείλελ πνπ επηβάιαηε εζείο, θαη πνπ ήηαλ ίζε κε 5; 3. ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ: Με βάζε ηνπο Πίλαθεο ΙΙΙ θαη IV, ζρεδηάζηε ζε γξαθηθή παξάζηαζε ηηο πεηξακαηηθέο θακπύιεο θάζεο, δειαδή ηε γσλία θάζεο θ, σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, f, γηα Q = πγθξίλεηε ηε κνξθή ησλ πεηξακαηηθώλ θακππιώλ ησλ Α [θαη θ] σο ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο, f, κε ηηο αληίζηνηρεο ζεσξεηηθέο πνπ εηθνλίδνληαη ζην ρ..5 (α) [θαη (β)]..6.3 Υάξαμε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ βαγνληνύ σο ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο, ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο (ΠΡΟΑΙΡΔΣΙΚΟ) 1. Με βάζε ηεο ηηκέο πνπ έρεηε γξάςεη ζηνλ Πίλαθα V θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε π = Δl/Δt (όπνπ Δl ην πιάηνο ηεο ζεκαίαο,, Δl = mm), ππνινγίζηε ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ηεο ηαρύηεηαο π, σο ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο x, θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ ίδην Πίλαθα V.. Υαξάμηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε π = f(x) θαη ζπγθξίλεηε ηε κνξθή ηεο κε ηε ζεσξεηηθή πνπ δίλεηαη ζην Παξάξηεκα Π.., ρ. Π.. 3. Πνηα είλαη ε ηηκή ηήο γ (γ θξ ) ζηηο ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο; (βι. Παξάγξ...) γ θξ =.. ±.. 39

40 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ (Π) Δμαλαγθαζκέλεο κεραληθέο ηαιαληώζεηο Π.1 Διεύζεξεο αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ρσξίο απώιεηα ελέξγεηαο Έζησ όηη ε κάδα ηνπ ζώκαηνο είλαη Μ, ε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ k, θαη ε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνύ ζώκαηνο βξίζθεηαη ζην ζεκείν x = (ρ..1). Αλ κεηαθηλήζεη θαλείο ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ (θαηά κία απόζηαζε κηθξή ζε ζρέζε κε ην κήθνο ηνπ ειαηεξίνπ) θαη ελ ζπλερεία ην αθήζεη ειεύζεξν, ην ζώκα ζα αξρίζεη λα εθηειεί ηαιαληώζεηο γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Η πεξίπησζε απηή είλαη ε πην απιή θαη ε δηαθνξηθή εμίζσζε πνπ πεξηγξάθεη ηε θίλεζε ηεο κάδαο είλαη: d x M dt kx d x k ή x dt M όπνπ έρνπκε ζπκβνιίζεη κε σ ηελ έθθξαζε d x ή x (Π.1) dt Η ιύζε ηεο Δμ. (.1) είλαη: k (Π.) M x x sin( t ) (Π.3) όπνπ θ θαη x είλαη ε αξρηθή θάζε θαη κεηαηόπηζε αληηζηνίρσο θαη ε σ, πνπ δίλεηαη ζηελ Δμ. (Π.), είλαη ε γσληαθή ή θπθιηθή ζπρλόηεηα ησλ ηαιαληώζεσλ πνπ εθηειεί ε κάδα. Π. Διεύζεξεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε ε έλα ζύζηεκα κε απώιεηεο νη ηαιαληώζεηο ζηγά-ζηγά ζβήλνπλ. Μία ζπλεζηζκέλε πεξίπησζε είλαη απηή ζηελ νπνία ε δύλακε ηξηβήο, πνπ πξνθαιεί ηηο απώιεηεο, είλαη αλάινγε πξνο ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο. Σέηνηα είλαη ε πεξίπησζε όπνπ ην ζώκα θηλείηαη κέζα ζε θάπνην πγξό ή αέξην, νπόηε ε θίλεζε ηνπ ζώκαηνο γίλεηαη κε ηξηβή ηύπνπ Stokes, ε ηηκή ηεο νπνίαο είλαη αλάινγε ηεο ηαρύηεηάο ηνπ. Όκνην ραξαθηήξα έρεη θαη ε θίλεζε θάπνηνπ αγώγηκνπ ζώκαηνο, όηαλ απηό δηαζρίδεη ηεο γξακκέο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ. ηελ πεξίπησζε απηή, ηα ξεύκαηα Foucault πνπ επάγνληαη ζην ζώκα δεκηνπξγνύλ καγλεηηθό πεδίν πνπ επηβξαδύλεη ηελ θίλεζε. Έηζη, ε καγλεηηθή απηή αιιειεπίδξαζε ζπκβάιιεη ζηελ εκθάληζε κίαο ηξηβήο, ε ηηκή ηεο νπνίαο είλαη αλάινγε πξνο ηα επαγόκελα ξεύκαηα, επνκέλσο πξνο ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο. ηελ αλάιπζε πνπ αθνινπζεί ζεσξνύκε όηη ε επηθάλεηα πάλσ ζηελ νπνία γίλεηαη ε θίλεζε ηνπ ζώκαηνο δελ πξνβάιεη αληίζηαζε ηξηβήο. ην κνληέιν καο ε ηξηβή δεκηνπξγείηαη ιόγσ θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο κέζα ζε θάπνην καγλεηηθό πεδίνπ ή θάπνην πγξό ή αέξην. πλεπώο, γηα ηε δύλακε ηξηβήο κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηε ζρέζε F ηξ dx b (Π.4) dt όπνπ b είλαη ε ζηαζεξά ηξηβήο. Η δηαθνξηθή εμίζσζε θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο πνπ θηλείηαη κε ηξηβέο ηύπνπ Stokes είλαη: d x dx M b k x dt dt d x b dx k ή x dt M dt M d x dx ή x (Π.5) dt dt 4

41 b όπνπ είλαη κία ζηαζεξά κε δηαζηάζεηο αληηζηξόθνπ ρξόλνπ. Αλ δνθηκάζνπκε M ιύζεηο ηεο κνξθήο x(t) = Ae pt, ηόηε ε ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε ηεο Δμ. (.5γ) ζα είλαη: κε ξίδεο : p p (Π.6) θαη 1 (Π.7) Ο ραξαθηήξαο ηεο θίλεζεο εμαξηάηαη από ην πξόζεκν ηηο ππόξξηδεο πνζόηεηαο. Ξερσξίδνπλ ηξεηο πεξηπηώζεηο: 1) αζζελήο απόζβεζε: όηαλ γ < σ ) θξίζηκε απόζβεζε: όηαλ γ = σ 3) ηζρπξή απόζβεζε: όηαλ γ > σ Π..1 Αζζελήο απόζβεζε (γ < σ ) ηελ πεξίπησζε απηή, ε κηγαδηθή ξίδα νδεγεί ζε ζπδπγείο κηγαδηθνύο εθζέηεο: i θαη i (Π.8) 1 όπνπ 1 / απόζβεζεο είλαη ηεο κνξθήο:. Η γεληθή ιύζε ζηελ πεξίπησζε ηεο αζζελνύο t x( t) Ae cos( t ) (Π.9) θαη παξηζηάλεη κηα ηαιάλησζε, ην πιάηνο ηεο νπνίαο κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν. Δδώ ε ζπρλόηεηα είλαη κηθξόηεξε από ηε ζπρλόηεηα σ θαηά έλαλ παξάγνληα Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = έρνπκε x = x θαη π = π, ηόηε 1 /. x Acos θαη A ( cos sin) (Π.1) από ηηο νπνίεο πξνθύπηεη όηη A x ( x) / θαη tan ( x) / x (Π.11) Έλα άιιν ρξήζηκν κέγεζνο πνπ πεξηιακβάλεη ηα κεγέζε σ θαη γ θαη ρξεζηκνπνηείηαη επξύηαηα είλαη ν ζπληειεζηήο πνηόηεηαο Q, ηνπ ζπζηήκαηνο, πνπ εθθξάδεη ηνλ ξπζκό κε ηνλ νπνίν θζίλεη ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή θαη νξίδεηαη σο ν αξηζκόο n, ησλ αθηηλίσλ θαηά ηνλ νπνίν πξέπεη λα ηαιαλησζεί ην ζύζηεκα γηα λα κεησζεί ε ελέξγεηά ηνπ θαηά έλαλ παξάγνληα e από ηελ αξρηθή ηεο ηηκή. Έρνπκε δειαδή Q = πn (Π.1) Λόγσ ηνπ όηη ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαλησηή είλαη αλάινγε πξνο ην ηεηξάγσλν ηνπ πιάηνπο, ζην δηάζηεκα απηό ην πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ κεηώλεηαη θαηά e 1/ (ρ. Π.1). Από ηα παξαπάλσ κπνξεί εύθνια λα πξνθύςεη όηη ην Q κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη από ηε ζρέζε 41

42 Q πνπ, ζηελ πεξίπησζε αζζελνύο απόζβεζεο, γίλεηαη Q (Π.13) ηα ειεθηξηθά θπθιώκαηα LC, ν ζπληειεζηήο πνηόηεηαο είλαη ηεο ηάμεο ηνπ 1 έσο 1 3, ζηα κέηαιια 1 3 έσο 1 4, ελώ ζε πηεδνειεθηξηθνύο θξπζηάιινπο ραιαδία, από ηνπο νπνίνπο είλαη θαηαζθεπαζκέλνη ν βεκαηνδόηεο ηνλ ξνινγηώλ, είλαη ηεο ηάμεο ηνπ 1 5 έσο 1 6. Η κνξθή ηεο κεηαβνιήο ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο, Α, σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ, t, γηα αζζελή απόζβεζε δίλεηαη ζην ρ. Π.1 A (cm) 1 n=8 5 A = 1/e Q = Q π 8 =π*8 t (s) ρήκα Π.1 H κεηαβνιή ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο, Α, σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t, γηα αζζελή απόζβεζε. Δδώ n = 8 είλαη ν αξηζκόο ησλ ηαιαληώζεσλ γηα λα κεησζεί ην πιάηνο Α, θαηά έλαλ παξάγνληα e 1/ από ηελ αξρηθή ηνπ ηηκή, νπόηε Q = π 8. Π.. Κξίζηκε απόζβεζε (γ = σ ) Η πεξίπησζε απηή πινπνηείηαη ζηηο αλαξηήζεηο ησλ απηνθηλήησλ, ζηνπο δπγνύο, ζην βαιιηζηηθό γαιβαλόκεηξν θαη ζε δηάθνξνπο αλαινγηθνύο κεηξεηέο ξεύκαηνο θαη ηάζεο πνπ έρνπλ δείθηε από βειόλα. Δδώ ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν έρεη κία δηπιή ξίδα (Π.14) 1 Οπόηε ε γεληθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο παίξλεη ηε κνξθή: x t) ( C C t)exp( ) (Π.15) ( 1 t Αλ ην ζώκα ηζνξξνπεί ζην ζεκείν x = θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t =, είλαη x( ) = x θαη π() =, ηόηε ε ηειεπηαία ζρέζε απινπνηείηαη θαη παίξλεη ηε κνξθή x t) x (1 t)exp( ) (Π.16) ( t 4

43 Η ζπλάξηεζε x(t) δελ αιιάδεη πξόζεκν γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ t, ζπλεπώο ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο ην ζώκα ηείλεη πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά, ρσξίο ηαιάλησζε. Αλ απνκαθξύλεη θαλείο ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη ελ ζπλερεία ην ειεπζεξώζεη, ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο απηό ζα επηζηξέςεη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο αιιά, θαηά ηε δηαδξνκή, ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ζα δηαγξάςεη ηελ θακπύιε πνπ δίλεηαη ζην ρ. Π.. Η θακπύιε απηή κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ηελ Δμ. (Π.16) θαη ηελ παξάγσγό ηεο. Όκνηα είλαη θαη ε θίλεζε ηεο βειόλαο ησλ αλαινγηθώλ νξγάλσλ, όπσο π.ρ. ηνπ ακπεξνκέηξνπ όηαλ απηή επηζηξέθεη ζην ζεκείν «κεδέλ». ρήκα Π. Η ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο, π = dx/dt, σο ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο, x, από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, ζηελ πεξίπησζε ηεο θξίζηκεο απόζβεζεο. Π..3 Θζρπξή απόζβεζε (γ > σ ) Η πεξίπησζε απηή πινπνηείηαη όηαλ έλα ζώκα κεηαθηλείηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη αθήλεηαη λα εθηειέζεη ηαιάλησζε π.ρ. κέζα ζην κέιη. Όπσο μέξνπκε από ηελ πείξα καο, ην ζώκα ζα ηείλεη πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά. Δδώ έρνπκε δύν πξαγκαηηθέο ξίδεο ηνπ ραξαθηεξηζηηθνύ πνιπσλύκνπ: 1 ( ) 1 θαη 1 ( ) Η γεληθή ιύζε ηεο Δμ. (Π.5) έρεη ηε κνξθή ( 1 1 t (Π.17) x t) C exp( t) C exp( ) (Π.18) όπνπ νη ζηαζεξέο C 1 θαη C ππνινγίδνληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο, x() = x θαη π() = π. Έηζη έρνπκε: x C 1 θαη 1 x 1 C (Π.19) 1 ηελ εηδηθή πεξίπησζε όηαλ π() =, ε Δμ. (Π.18) παίξλεη ηελ απιή κνξθή 43

44 x x( t) 1 exp( t) exp( 1t) (Π.) 1 Δπεηδή ν δεύηεξνο όξνο εμαζζελεί κε ηνλ ρξόλν πην γξήγνξα από ηνλ πξώην, ε θίλεζε ηνπ ζώκαηνο δίλεηαη πξνζεγγηζηηθά από ηε ζρέζε: x1 x t) exp( t) (Π.1) ( 1 Αλ ζπγθξίλεη θαλείο ηνπο ρξόλνπο επηζηξνθήο ηνπ ζώκαηνο ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ζηηο πεξηπηώζεηο γ = σ θαη γ > σ, ζα δηαπηζηώζεη όηη ν ρξόλνο απηόο είλαη ειάρηζηνο ζε ζπλζήθεο θξίζηκεο απόζβεζεο. Π.3 Δμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε - πληνληζκόο Γηα λα δηαηεξεζεί ην πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ ζηαζεξό κε ην ρξόλν, ην ζύζηεκα ζα πξέπεη λα ηξνθνδνηείηαη κε ελέξγεηα κε ηξόπν πεξηνδηθό. ηα κεραληθά ζπζηήκαηα απηό επηηπγράλεηαη κε ηελ άζθεζε κηαο πεξηνδηθήο δύλακεο πάλσ ζην ζώκα (ρ..4) ζπλήζσο εκηηνληθήο κνξθήο, αλ θαη απηό δελ είλαη απαξαίηεην. Η κνξθή ηεο δηεγείξνπζαο δύλακεο κπνξεί λα είλαη π.ρ. ηνπ ηύπνπ ηξηγσληθώλ ή ηεηξαγσληθώλ παικώλ. Οη ηαιαληώζεηο πνπ δηεγείξνληαη ζην ζύζηεκα ππό ηελ επίδξαζε θάπνηαο εμσηεξηθήο πεξηνδηθήο δύλακεο είλαη ηώξα εμαλαγθαζκέλεο. Η εμίζσζε θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο ην νπνίν εθηειεί εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο κε απόζβεζε είλαη d x dx d x dx M b k x F( t) ή x F( t) / M (Π.) dt dt dt dt όπνπ F(t) είλαη ε δηεγείξνπζα δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ζώκα. Η ζρέζε απηή είλαη κηα κε νκνγελήο γξακκηθή δηαθνξηθή εμίζσζε δεπηέξαο ηάμεο θαη, όπσο είλαη γλσζηό, ε ιύζε ηεο είλαη ην άζξνηζκα ηεο ιύζεο ηεο νκνγελνύο [F(t) = ], πεξίπησζε πνπ είδε αλαιύζεθε, θαη κηαο ιύζεο ηεο πιήξνπο εμίζσζεο (ηνπ ιεγόκελνπ εηδηθνύ νινθιεξώκαηνο). Η ιύζε ηεο νκνγελνύο εμίζσζεο έρεη ηε κνξθή: t e C exp( it) C exp( i ) (Π.3) x( t) 1 t Από ηελ άιιε πιεπξά, ην εηδηθό νινθιήξσκα ηεο πιήξνπο εμίζσζεο εμαξηάηαη από ηε ζπλάξηεζε F(t) θαη, όηαλ απηή είλαη αξκνληθή, έρεη δειαδή ηε κνξθή F(t) = F cos(σt), ηόηε θπζηθό είλαη λα εμεηαζζεί έλα εηδηθό νινθιήξσκα κε κνξθή αξκνληθώλ ζπλαξηήζεσλ κε ηε ζπρλόηεηα ηεο δηεγείξνπζαο δύλακεο: Η αληηθαηάζηαζε ηεο x(t) ζηελ Δμ. (Π.) δίλεη: x( t) cos( t) sin( t) (Π.4) όπνπ: a ( ) F / M cos( t) ( ) sin( t) (Π.5) k b θαη (Π.6) M M 44

45 Σν αξηζηεξό κέινο ηεο Δμ. (Π.5) πξέπεη είλαη κεδέλ θάζε ρξνληθή ζηηγκή. Απηό κπνξεί λα ηζρύζεη κόλνλ όηαλ νη αγθύιεο ζηε ζρέζε απηή είλαη θαη νη δύν ίζεο κε κεδέλ. Έηζη έρνπκε ) F / M θαη ( ) a. (Π.7) ( Δπνκέλσο, ( ) F 4 / M θαη 4 F Έλαο ηζνδύλακνο ηξόπνο γξαθήο ηεο ιύζεο x( t) cos( t) sin( t) έρεη ηε κνξθή / M (Π.8) όπνπ x Acos( t ) (Π.9) F / M A θαη ( ) 4 tan (Π.3α,β) Η ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ σ ζ πξνζδηνξίδεηαη από ην αθξόηαην ηνπ παξαλνκαζηή ηεο Δμ. (Π.3α) θαη ε ηηκή ηεο είλαη (rad/s) ή f f (Hz). (Π.31α,β) Βιέπνπκε όηη, ζηηο εμαλαγθαζκέλεο ηαιαληώζεηο, ε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ σ ζ είλαη κηθξόηεξε από ηε σ κε ηελ νπνία ηαιαληώλεηαη έλα ζύζηεκα ρσξίο ηξηβέο. Δπίζεο, είλαη κηθξόηεξε θαη από ηε ζπρλόηεηα πνπ παξαηεξείηαη ζηα ζπζηήκαηα πνπ εθηεινύλ ειεύζεξεο ηαιαληώζεηο κε κηθξή απόζβεζε όπνπ, όπσο είδε είδακε, ε ζπρλόηεηα απηή είλαη (Π.3) ηελ θαηάζηαζε ζπληνληζκνύ, ηελ ηηκή ηνπ κέγηζηνπ πιάηνπο ηελ ππνινγίδνπκε ζέηνληαο ζηελ Δμ. (Π.3α) σ = σ ζ. A max F / M F / M F / M (Π.33α,β,γ) 4 ( ) f b f Αλ ηώξα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ζπληειεζηή πνηόηεηαο ε έθθξαζε γηα ην κέγηζην πιάηνο γίλεηαη M Q ~ (Π.34) b F M F Q k Amax (Π.35) Δίλαη επίζεο ρξήζηκε θαη ε ζρέζε πνπ πεξηιακβάλεη ηα κεγέζε σ ζ, σ θαη Q. Έηζη, από ηηο Δμ. (Π. 3) θαη (Π.13), έρνπκε: 1 1 θαη f f 1 Q 1 (Π.36) Q 45

46 Π.4 Ιδηαηηεξόηεηεο ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο ηεο Άζθεζεο Π.4.1 Δθαξκνγή εμσηεξηθήο δύλακεο ηα πεηξάκαηα πνπ εθηεινύληαη ζηελ εξγαζία απηή, ε εμσηεξηθή δύλακε αζθείηαη ζην ζώκα κε ηελ αξκνληθή κεηαβνιή ηνπ ζεκείνπ ζηήξημεο ηνπ αξηζηεξνύ ειαηεξίνπ (ρ..6). Με ηελ θίλεζε ηνπ άθξνπ ηνπ ειαηεξίνπ αζθείηαη πάλσ ζην ζώκα κηα ελαιιαζζόκελε δύλακε, ε νπνία επηδξά ζην ζύζηεκα κε ηνλ ίδην ηξόπν όπσο θαη ζην ζεσξεηηθό κνληέιν. Δπεηδή απηό δελ είλαη πξνθαλέο, ζα ην δείμνπκε κε ηνπο εμήο απινύο ζπιινγηζκνύο: Έζησ όηη ην ζώκα ηζνξξνπεί ζην ζεκείν x = ελώ ην ζεκείν ζηήξημεο ηνπ αξηζηεξνύ ειαηεξίνπ ηζνξξνπεί ζην ζεκείν y =. Έζησ αθόκα όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ε κάδα Μ θηλείηαη πξνο ηηο ζεηηθέο ηηκέο ηνπ x θαη είλαη x > θαη y > (ρ..6). Αλ ην ζεκείν ζηήξημεο ηαιαληώλεηαη γύξσ από ζεκείν y = ζύκθσλα κε ηε ζρέζε y = y cos(σt) ηόηε, γηα ηε κάδα Μ, κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηε ζρέζε b k F x bx k1 ( x y) k x ή x x x cos( t) (Π.37) M M M M όπνπ k = k 1 +k είλαη ε ειαζηηθή ζηαζεξά ηνπ ζπζηήκαηνο θαη F = k 1 y είλαη ην πιάηνο ηεο ελαιιαζζόκελεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα. Η Δμ. (Π.37) κπνξεί λα γξαθηεί θαη κε ηε κνξθή F x x x cos( t) (Π.38) M όπνπ γ = b/m θαη σ = k/m. Βιέπνπκε ινηπόλ όηη ε Δμ. (Π.38) είλαη όκνηα κε ηελ Δμ. (Π.), πνπ πξνθύπηεη από ηελ αλάιπζε ηνπ ζεσξεηηθνύ κνληέινπ. πλεπώο όιν ην καζεκαηηθό ππόβαζξν θαη ηα ζπκπεξάζκαηα ηεο Παξαγξ. Π.3 κπνξνύλ λα επεθηαζνύλ θαη ζηελ πεξίπησζε όπνπ ην ζεκείν ζηήξημεο ηνπ ελόο από ηα δύν ειαηήξηα ηαιαληώλεηαη αξκνληθά. Π.4. Αξηζκόο ειαηεξίσλ ην ζεκείν απηό πξέπεη λα επηζεκάλνπκε κηα άιιε ηδηαηηεξόηεηα ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο: ηα ειαηήξηα είλαη δύν θαη όρη έλα όπσο ζην ζεσξεηηθό κνληέιν. Δπηπιένλ ηα ειαηήξηα είλαη όκνηα, δειαδή k 1 = k = k /. πλεπώο ην πιάηνο F ηεο ελαιιαζζόκελεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα είλαη Η αληηθαηάζηαζε ηεο Δμ. (Π.39) ζηελ Δμ. (Π.35) δίλεη: F A k k1y y (Π.39) max F y Q Q (Π.4) k 46

47 Άζθεζε 3 Μειέηε ησλ θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο κε αεξνηξνρηά 3.1 θνπόο ηελ Άζθεζε απηή ζα κειεηεζνύλ νη θαλνληθνί ηξόπνη ηαιάλησζεο ελόο ζπζηήκαηνο κε δύν ή ηξία βαγόληα ζπδεπγκέλα κεηαμύ ηνπο κε ειαηήξηα, πνπ θηλνύληαη κε ακειεηέα ηξηβή πάλσ ζε επζύγξακκε αεξνηξνρηά. Θα δεκηνπξγεζνύλ δηαθξνηήκαηα, ηα νπνία ζα θαηαγξαθνύλ θαη ζα πξνζδηνξηζηνύλ νη ζηαζεξέο ησλ ειαηεξίσλ ηνπ ζπζηήκαηνο. Σέινο, ζα ππνινγηζηνύλ νη ζεσξεηηθέο ηηκέο ησλ ζπρλνηήησλ ησλ θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο θαη ησλ δηαθξνηεκάησλ θαη ζα ζπγθξηζνύλ κε ηηο αληίζηνηρεο πεηξακαηηθέο ηηκέο πνπ πξνέθπςαλ από ηηο κεηξήζεηο. 3. Θεσξία 3..1 Οη θαλνληθνί ηξόπνη ηαιάλησζεο Όηαλ δύν ή πεξηζζόηεξα ζώκαηα (πνπ ζα νλνκάδνπκε παξαθάησ θαη ηαιαλησηέο) είλαη ζπδεπγκέλα κεηαμύ ηνπο, έηζη ώζηε λα κπνξνύλ λα αληαιιάζζνπλ ελέξγεηα θαη λα απνηεινύλ έλα επζηαζέο ζύζηεκα, ε γεληθή θίλεζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη εμαηξεηηθά πνιύπινθε θαη θαλέλαο από ηνπο ηαιαλησηέο δελ εθηειεί ελ γέλεη αξκνληθή ηαιάλησζε. Από ηελ αηειείσηε πνηθηιία ηξόπσλ θίλεζεο, κε ηνπο νπνίνπο κπνξεί λα ηαιαλησζεί έλα ηέηνην ζύζηεκα ζπδεπγκέλσλ ηαιαλησηώλ, ππάξρνπλ νξηζκέλνη ηξόπνη ζηνπο νπνίνπο ε θίλεζε νιόθιεξνπ ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη αξκνληθή. ε απηνύο ηνπο ηξόπνπο θίλεζεο, πνπ ιέγνληαη θαλνληθνί ηξόπνη ηαιάλησζεο (ΚΣΣ), όινη νη ηαιαλησηέο εθηεινύλ απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε ηελ ίδηα γσληαθή ζπρλόηεηα, πεξλνύλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή θαη ε δηαθνξά θάζεο κεηαμύ νπνησλδήπνηε δύν ηαιαλησηώλ είλαη o ή 18 o. Τπάξρνπλ ηόζνη ΚΣΣ όζν είλαη θαη ην πιήζνο ησλ ζπδεπγκέλσλ αξκνληθώλ ηαιαλησηώλ. ε θάζε ΚΣΣ αληηζηνηρεί, ελ γέλεη, κία δηαθνξεηηθή γσληαθή ζπρλόηεηα ζπιινγηθήο θίλεζεο θαη έλαο δηαθνξεηηθόο "ζρεκαηηζκόο" ηνπ ζπζηήκαηνο, δειαδή κηα δηαθνξεηηθή ζρέζε θάζεο o ή 18 o θαη πιαηώλ κεηαμύ ησλ δηαθόξσλ ηαιαλησηώλ. Αλ έλα ζύζηεκα n ζπδεπγκέλσλ ηαιαλησηώλ ηαιαληώλεηαη ζε θάπνηνλ από ηνπο n ΚΣΣ ηνπ, κε γσληαθή ζπρλόηεηα σ, ηόηε ε απνκάθξπλζε θάζε ηαιαλησηή, i, από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t, κπνξεί λα γξαθεί σο y i (t) = A i cos(σt+θ), i = 1,,3 n (3.1) Οη ζπρλόηεηεο ησλ δηαθόξσλ ΚΣΣ εμαξηώληαη από ηα θπζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνύ ζπζηήκαηνο (π.ρ. ηε κάδα ησλ ηαιαλησηώλ θαη ηε ζηαζεξά k ησλ ειαηεξίσλ). Με θαηάιιειεο αξρηθέο ζπλζήθεο (κπνξνύκε λα θάλνπκε ην ζύζηεκα λα ηαιαληώλεηαη κε έλαλ από ηνπο ΚΣΣ. Γηα ηελ αλαιπηηθή κειέηε ηεο θίλεζεο ρσξίο ηξηβέο 3 ζπδεπγκέλσλ ηαιαλησηώλ, ζαο παξαπέκπνπκε ζην Παξάξηεκα Π3, ζην ηέινο απηήο ηεο Άζθεζεο ύζηεκα κε ηξεηο ζπδεπγκέλνπο ηαιαλησηέο Σν ρ. 3.1 δείρλεη έλα ζύζηεκα ηξηώλ ζσκάησλ, α, β θαη γ, κε ηελ ίδηα κάδα Μ, ζπδεπγκέλσλ κεηαμύ ηνπο θαη κε ηα αθιόλεηα ηνηρώκαηα κε ειαηήξηα ηεο ίδηαο ζηαζεξάο k. 47

48 ρήκα 3.1. Μεραληθό ζύζηεκα ηξηώλ ζσκάησλ κε ηελ ίδηα κάδα Μ, ζπδεπγκέλσλ κεηαμύ ηνπο θαη κε ηα αθιόλεηα ηνηρώκαηα κε ειαηήξηα πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ζηαζεξά k θαη ακειεηέα κάδα. (α) Καηάζηαζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο, (β) Απνκάθξπλζε ησλ ηξηώλ καδώλ από ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο θαηά y α, y β θαη y γ, αληηζηνίρσο Από ηελ αλαιπηηθή κειέηε (βι. Παξάξηεκα Π3) πξνθύπηεη όηη νη γσληαθέο ζπρλόηεηεο ησλ 3 ΚΣΣ ηνπ ζπζηήκαηνο απηνύ είλαη σ 1 = k M, σ = k M, σ 3 = ελώ νη ζρέζεηο κεηαμύ ησλ πιαηώλ, Α 1, Α, Α 3, ησλ ηξηώλ ζσκάησλ, γηα θάζε έλαλ από ηνπο ΚΣΣ, είλαη: k M (3.) 1 oο ΚΣΣ (σ 1 ) : Α α = Α γ, Α β = + Α α (3.3α) νο ΚΣΣ (σ ) : Α α = Α γ, Α β = (3.3β) 3 oο ΚΣΣ (σ 3 ) : Α α = Α γ, Α β = Α α (3.3γ) t = t = T/ 1 oο ΚΣΣ νο ΚΣΣ 3 νο ΚΣΣ ρήκα 3.. ρεκαηηθή παξάζηαζε ησλ 3 θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο (ΚΣΣ) ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ απεηθνλίδεηαη ζην ρ. 3.1, γηα ρξόλνπο t = θαη t = T/, όπνπ T ε πεξίνδνο ηαιάλησζεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζηνλ αληίζηνηρν ηξόπν. Σα βέιε απεηθνλίδνπλ ηηο απνκαθξύλζεηο ησλ ηξηώλ καδώλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο, αληηζηνίρσο. Παξαηεξνύκε όηη, ζηνλ ν θαλνληθό ηξόπν ηαιάλησζεο, ε θεληξηθή κάδα δελ ηαιαληώλεηαη. Οη Δμ. (3.3) ππνδεηθλύνπλ όηη, γηα λα δηεγεξζεί έλαο θαλνληθόο ηξόπνο ηαιάλησζεο (i = 1,, ή 3), αξθεί νη αξρηθέο απνκαθξύλζεηο, Α α, Α β θαη Α γ, λα ηθαλνπνηνύλ ηηο αληίζηνηρεο ζρέζεηο (Δμ. 3.3). Οη ηξεηο ΚΣΣ απεηθνλίδνληαη ζρεκαηηθά ζην ρ. 3., γηα ρξόλνπο t = θαη t = T/ αληηζηνίρσο, όπνπ ηα βέιε ππνδεηθλύνπλ ηε θνξά θίλεζεο ηνπ θάζε ζώκαηνο. To T = π/σ είλαη ε πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο, ν ρξόλνο δειαδή πνπ απαηηείηαη γηα ηελ εθηέιεζε κηαο πιήξνπο ηαιάλησζεο 48

49 3..3 ύζηεκα κε δύν ζπδεπγκέλνπο ηαιαλησηέο. Γηαθξνηήκαηα ρήκα 3.3. ύζηεκα δύν ζσκάησλ κε ηελ ίδηα κάδα Μ, ζπδεπγκέλα κε δύν δηαθνξεηηθά ειαηήξηα κε ζηαζεξέο k (ζθιεξό ειαηήξην) θαη k (καιαθό ειαηήξην) αληηζηνίρσο. Σα δύν αθξαία (ζθιεξά) ειαηήξηα είλαη αθιόλεηα ζπλδεδεκέλα ζηα απέλαληη ηνηρώκαηα. (α) Θέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο, (β) 1 νο ΚΣΣ θαη (γ) νο ΚΣΣ. Σν ρ. 3.3 δείρλεη έλα ζύζηεκα δύν ζσκάησλ, α θαη β, κε ηελ ίδηα κάδα Μ, ζπδεπγκέλσλ κεηαμύ ηνπο κε έλα καιαθό ειαηήξην ζηαζεξάο k, ελώ κε ηα απέλαληη ηνηρώκαηα είλαη ζηαζεξά ζπλδεδεκέλα κε δύν ζθιεξά ειαηήξηα ζηαζεξάο k. Αθνινπζώληαο αλάινγε δηαδηθαζία όπσο εθείλε ηεο Παξαγξ. Π3.1.1 (Βι. θαη Βηβιηνγξαθηθή αλαθνξά 1) δελ είλαη δύζθνιν λα δείμνπκε όηη νη γσληαθέο ζπρλόηεηεο ησλ δύν θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη σ 1 = k M θαη σ = k k M ελώ νη αληίζηνηρεο ζρέζεηο κεηαμύ ησλ πιαηώλ ηαιάλησζεο ησλ δύν ζσκάησλ είλαη (3.4) 1 oο ΚΣΣ (σ 1 ) : Α α = Α β (ρ. 3.3 β) νο ΚΣΣ (σ ) : Α α = Α β (ρ. 3.3 γ) (3.5) Ο ραξαθηεξηζηηθόο ηξόπνο θίλεζεο ησλ δύν καδώλ ζηνπο δύν ΚΣΣ ππνδεηθλύεηαη κε ηα βέιε ζην ρ. 3.3, ελώ νη απνκαθξύλζεηο ησλ δπν ζσκάησλ ζηνπο δύν ΚΣΣ δίλνληαη (βι. Δμ. 3.1) από ηηο ζρέζεηο: 1 oο ΚΣΣ (σ 1 ) : y α (t) = A α cos(σ 1 t + θ 1 ) θαη y β (t) = A α cos(σ 1 t + θ 1 ) oο ΚΣΣ (σ ) : y α (t) = A α cos(σ t + θ ) θαη y β (t) = Α α cos(σ t + θ ) (3.6) ε έλαλ γεληθό (αθαλόληζην) ηξόπν θίλεζεο ηνπ ζπζηήκαηνο, νη απνκαθξύλζεηο y α (t) θαη y β (t) ησλ δύν ζσκάησλ δίλνληαη από κηα γξακκηθή επαιιειία ησλ απνκαθξύλζεσλ Α 1 cos(σ 1 t + θ 1 ) θαη Α cos(σ t + θ ) ζηνπο δύν ΚΣΣ: y α (t) = Α 1 cos(σ 1 t + θ 1 ) + Α cos(σ t + θ ) y β (t) = Α 1 cos(σ 1 t + θ 1 ) Α cos(σ t + θ ) (3.7) Καζεκία από ηηο Δμ. (3.7) εθθξάδεη ππέξζεζε δύν ηαιαληώζεσλ, κε ηηο ζπρλόηεηεο σ 1 θαη σ ησλ δύν ΚΣΣ. 49

50 Αλ ππνζέζνπκε ηώξα όηη ηα πιάηε Α 1 θαη Α κε ηα νπνία ζπλεηζθέξνπλ νη δύν ΚΣΣ είλαη ίζα θαη όηη νη αξρηθέο θάζεηο ηνπο είλαη π/ (θ 1 = θ = π/), νη Δμ. (3.7) δίλνπλ y α (t)= A1 cos t sinavt (3.8) y β (t)= A1 sin t cosavt όπνπ Γσ = σ σ 1 σ δ θαη σ av = (σ 1 + σ ) / (3.9) Οη y α (t) θαη y β (t) απνδίδνληαη ζην ρ. 3.4 ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. Αλαγλσξίδνπκε ηε ραξαθηεξηζηηθή κνξθή ησλ δηαθξνηεκάησλ πνπ ζπλαληήζακε θαη ζηελ Άζθεζε 15 ηνπ βηβιίνπ «Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σόκνο Ι», θαηά ηε κειέηε ηεο ζύλζεζεο δύν ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ πνπ έρνπλ ιίγν δηαθνξεηηθέο ζπρλόηεηεο κεηαμύ ηνπο. Με σ δ ζπκβνιίδνπκε ηε γσληαθή ζπρλόηεηα ηνπ δηαθξνηήκαηνο, ελώ ην σ av είλαη ε κέζε γσληαθή ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο. Τπελζπκίδνπκε όηη, όπσο θαίλεηαη θαη ζην ρ. 3.4, ζην δηαθξόηεκα ν θάζε ηαιαλησηήο ηαιαληώλεηαη κε ηε κέζε γσληαθή ζπρλόηεηα, σ av, ελώ ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο δηακνξθώλεηαη κε ηε γσληαθή ζπρλόηεηα ηνπ δηαθξνηήκαηνο, σ δ. Η πεξίνδνο ηνπ δηαθξνηήκαηνο, Σ δ, είλαη πξνθαλώο ίζε κε π/σ δ, ελώ ε πεξίνδνο δηακόξθσζεο (modulation)), Σ mod, είλαη ίζε κε Σ δ. Έρνπκε επνκέλσο: Πεξίνδνο δηαθξνηήκαηνο: Σ δ = π/σ δ = π/(σ σ 1 ) Πεξίνδνο δηακόξθσζεο: Σ mod = Σ δ = 4π/(σ σ 1 ) (3.1) Μέζε πεξίνδνο ηαιάλησζεο: Σ av = 4π/(σ + σ 1 ) Τ av β ρήκα 3.4 Η απνκάθξπλζε ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ γηα δύν παλνκνηόηππνπο ζπδεπγκέλνπο ηαιαλησηέο, α θαη β, κε ην ίδην αξρηθό πιάηνο ηαιάλησζεο, όηαλ νη δύν ζπρλόηεηεο ησλ ηαιαληώζεσλ δηαθέξνπλ θαηά κηθξή πνζόηεηα (δειαδή σ δ = σ 1 σ << σ av = ½ (σ 1 + σ ). Η κνξθή απηήο ηεο ηαιάλησζεο νλνκάδεηαη δηαθξόηεκα. Η πεξίνδνο ηνπ δηαθξνηήκαηνο είλαη Σ δ = π/(σ σ 1 ), ελώ ε κέζε πεξίνδνο ηαιάλησζεο είλαη: Σ av = 4π/(σ + σ 1 ). Σν Σ mod = Σ δ είλαη ε πεξίνδνο δηακόξθσζεο ηεο ηαιάλησζεο. Πην ζπγθεθξηκέλα ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο πνπ εθηειεί θάζε ηαιαλησηήο κε γσληαθή ζπρλόηεηα σ av, δηακνξθώλεηαη από ηελ παξάζηαζε cos(t / Σ) γηα ηνλ έλαλ θαη sin(t / Σ) γηα ηνλ άιιν ηαιαλησηή θαη πεξηγξάθεηαη από ηε δηαθεθνκκέλε γξακκή ζην ρ. 3.4 (έρεη ζρεδηαζηεί θαη ε ζπκκεηξηθή ηεο σο πξνο ηνλ άμνλα ηνπ ρξόλνπ, t). Δίλαη πξνθαλέο όηη ηα πιάηε δηακόξθσζεο ησλ δύν ηαιαλησηώλ έρνπλ κεηαμύ ηνπο δηαθνξά θάζεο π/ θαη, επεηδή 5

51 ε ελέξγεηα είλαη αλάινγε πξνο ην ηεηξάγσλν ηνπ πιάηνπο ηαιάλησζεο ηνπ θάζε ηαιαλησηή, αληηιακβαλόκαζηε όηη αληαιιάζζεηαη ελέξγεηα κεηαμύ ησλ δύν ηαιαλησηώλ θαηά ηνλ αθόινπζν ηξόπν: θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ ελόο ηεηάξηνπ ηεο πεξηόδνπ δηακόξθσζεο ην πιάηνο δηακόξθσζεο ηνπ ελόο ηαιαλησηή ειαηηώλεηαη ελώ ηνπ άιινπ απμάλεηαη, νπόηε ε ελέξγεηα κεηαθέξεηαη από ηνλ πξώην ηαιαλησηή ζηνλ δεύηεξν θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ επνκέλνπ ηεηάξηνπ ηεο πεξηόδνπ δηακόξθσζεο ε ξνή ηεο ελέξγεηαο έρεη αληίζεηε θνξά, θ.ν.θ. Απηή ε αληαιιαγή ελέξγεηαο είλαη πιήξεο, κόλνλ όηαλ νη δύν κάδεο είλαη ίζεο, ηα πιάηε ηαιάλησζεο ησλ δύν ηαιαλησηώλ είλαη ίζα κεηαμύ ηνπο θαη ν ιόγνο (σ 1 + σ )/(σ 1 σ ) είλαη αθέξαηνο αξηζκόο. Γηαθνξεηηθά θακία από ηηο δύν κάδεο δελ αθηλεηνπνηείηαη πνηέ ηειείσο. 3.3 Μέζνδνο ην πξώην πείξακα κεηξηέηαη ε πεξίνδνο ησλ θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο ελόο ζπζηήκαηνο ηξηώλ ίδησλ ζπδεπγκέλσλ βαγνληώλ, πνπ κπνξνύλ λα νιηζζαίλνπλ κε πνιύ κηθξή ηξηβή πάλσ ζε νξηδόληηα αεξνηξνρηά. Σα ηξία βαγόληα ζπλδένληαη, κεηαμύ ηνπο θαη κε ηα ζηαζεξά άθξα ηεο αεξνηξνρηάο, κε ειαηήξηα πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ζηαζεξά k (ρ. 3.1 θαη 3.5). Κάζε θαλνληθόο ηξόπνο ηαιάλησζεο δηεγείξεηαη μερσξηζηά, κε ηελ επηινγή θαηάιιεισλ αξρηθώλ απνκαθξύλζεσλ ησλ ηξηώλ βαγνληώλ πνπ κεηξνύληαη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά. ελατήριο ρήκα 3.5 Γηάηαμε κε ηξία ζπδεπγκέλα βαγόληα πάλσ ζε κηα αεξνηξνρηά (όρη ππό θιίκαθα). Σα ηξία βαγόληα έρνπλ ηελ ίδηα κάδα Μ, θαη είλαη ζπλδεδεκέλα, κεηαμύ ηνπο θαη κε ηα ζηαζεξά άθξα, κε 4 ίδηα ειαηήξηα, ζηαζεξάο k. ε έλα βνεζεηηθό πείξακα (βιέπε ηξίην πείξακα παξαθάησ) κεηξηέηαη ε ζηαζεξά k, ησλ ειαηεξίσλ. Οη γσληαθέο ζπρλόηεηεο ησλ ΚΣΣ, πνπ βξίζθνληαη από ηηο πεξηόδνπο ησλ ΚΣΣ, ζπγθξίλνληαη κε ηηο ζεσξεηηθά αλακελόκελεο ηηκέο (Eμ. 3.). ην δεύηεξν πείξακα κεηξηέηαη ε πεξίνδνο ησλ ΚΣΣ δύν ζπδεπγκέλσλ βαγνληώλ πνπ δηεγείξνληαη θαηάιιεια (Eμ. 3.4). Γίλεηαη ρξήζε ηκήκαηνο ηεο αεξνηξνρηάο κε ζηαζεξά άθξα (κε ηε βνήζεηα θαη ελόο θηλεηνύ αθξνδέθηε ζθηγθηήξα), ελώ ην ειαηήξην πνπ ζπλδέεη ηα δύν βαγόληα είλαη πνιύ "καιαθόηεξν" (κηθξόηεξν k) από ηα άιια δύν, πνπ ζπλδένπλ ηα βαγόληα κε ηα άθξα (ρ. 3.3). ηε ζπλέρεηα πξνθαινύληαη δηαθξνηήκαηα ζην ζύζηεκα, κε θαηάιιειεο αξρηθέο απνκαθξύλζεηο θαη κεηξηέηαη ε ζπρλόηεηα αληαιιαγήο ελέξγεηαο κεηαμύ ησλ δύν ζπδεπγκέλσλ βαγνληώλ. Σέινο, ζε έλα ηξίην πείξακα, κεηξώληαη νη ζηαζεξέο k θαη k ησλ ζθιεξώλ θαη ησλ καιαθώλ ειαηεξίσλ. Υξεζηκνπνηείηαη έλα ηκήκα ηεο αεξνηξνρηάο κε ζηαζεξά άθξα θαη έλα κόλν από ηα βαγόληα, ην νπνίν ζπλδέεηαη, κε όκνηα ειαηήξηα, κε ηα ζηαζεξά άθξα ηεο αεξνηξνρηάο. Από ηελ πεξίνδν ηαιάλησζεο ηνπ αξκνληθνύ ηαιαλησηή ππνινγίδεηαη θάζε θνξά ε ζηαζεξά ηνπ αληίζηνηρνπ ειαηεξίνπ. Οη γσληαθέο ζπρλόηεηεο ησλ ΚΣΣ, πνπ πξνζδηνξίδνληαη πεηξακαηηθά από ηηο πεξηόδνπο ησλ ΚΣΣ θαη ησλ δηαθξνηεκάησλ, ζπγθξίλνληαη κε ηηο ζεσξεηηθά αλακελόκελεο ηηκέο (Eμ. 3., 3.4 θαη 3.9). 51

52 3.4. Πεηξακαηηθή δηάηαμε Η πεηξακαηηθή δηάηαμε (ρ. 3.5) απνηειείηαη από κηα αεξνηξνρηά κε ηα δηάθνξα εμαξηήκαηά ηεο, ηξία εηδηθά βαγόληα θαη έλα ρξνλόκεηξν. ηελ Άζθεζε ππάξρεη επίζεο κηα ζπιινγή ειαηεξίσλ, 4 "ζθιεξώλ" θαη "καιαθώλ", θαζώο θαη κεξηθά βύζκαηα θαη βηδσηνί ζπλδεηήξεο, γηα ηε ζύλδεζή ηνπο κε ηα βαγόληα θαη κε ηα ζηαζεξά άθξα ηεο αεξνηξνρηάο. Η κάδα ησλ βαγνληώλ, καδί κε ηα εμαξηήκαηα ηνπο (βύζκα βηδσηόο ζπλδεηήξαο) πνπ αλαγξάθεηαη πάλσ ζε απηά, είλαη κεηξεκέλε κε αθξίβεηα,1gr. ΠΡΟΟΥΗ: Πξνζέμηε λα κε ρηππήζεηε ή ραξάμεηε ηελ αεξνηξνρηά, γηαηί θάζε παξακόξθσζε κπνξεί λα πξνθαιέζεη κόληκν εκπόδην ζηελ θίλεζε ελόο βαγνληνύ. Επίζεο κελ αληαιιάζζεηε ηα ειαηήξηα δύν δηαθνξεηηθώλ Αζθήζεσλ, γηαηί είλαη έηζη νκαδνπνηεκέλα θαηόπηλ κεηξήζεσλ, ώζηε λα ειαρηζηνπνηεζεί ε δηαθνξά κεηαμύ ησλ ζηαζεξώλ ηνπο. Βηβιηνγξαθία 1. F.S. Crawford, Μαζήκαηα Φπζηθήο Παλεπηζηεκίνπ Berkeley. Σόκνο 3: Κπκαηηθή, Κεθ. 1: Παξάγξ. 1.4 θαη 1.5 (Αζήλα 1979).. H.J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ Κεθ.3: Παξάγξ , Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 199). 3. M. Alonso θαη E.J. Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Ι: Μεραληθή θαη Θεξκνδπλακηθή Κεθ. 1: Παξάγξ. 1.1 (Αζήλα 1981). 4. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ.16: Παξάγξ. 16.5, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 5. H.D. Young θαη R.A. Freedman, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή Sears and Zemansky, Σόκνο Α : Μεραληθή-Κύκαηα, Κεθ. 16: Παξάγξ. 16.6, 16.7, Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 9) 3.5 Δθηέιεζε Σξεηο ζπδεπγκέλνη αξκνληθνί ηαιαλησηέο 1. πλδέζηε ην ηξνθνδνηηθό ηνπ θπζεηήξα ζηα V AC. Πηέζηε ηνλ δηαθόπηε ιεηηνπξγίαο ζηε ζέζε ΟΝ. Δπηιέμηε κηα ηθαλνπνηεηηθή παξνρή αέξα κε ηνλ επηινγέα ηνπ ηξνθνδνηηθνύ (έλδεημε πεξίπνπ γηα ηξνθνδνζία δύν δηαηάμεσλ).. Οξηδνληηώζηε πξνζεθηηθά ηελ αεξνηξνρηά κε ηνπο θνριίεο ηνπ δηπινύ ππνζηεξίγκαηνο (κε ηε βνήζεηα ηνπ επηβιέπνληα). Έλα βαγόλη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά κπνξεί λα θάλεη κηθξέο κεηαθηλήζεηο, πόηε πξνο ηε κία θαη πόηε πξνο ηελ άιιε θαηεύζπλζε ιόγσ αζπκκεηξίαο ή δηαθύκαλζεο ηεο ξνήο θάησ από ην βαγόλη, δελ πξέπεη όκσο λα επηηαρύλεηαη ζηαζεξά πξνο κία θαηεύζπλζε. Δπίζεο έλα βαγόλη δελ πξέπεη λα θάζεηαη αζύκκεηξα σο πξνο ηηο δύν πιεπξέο ηεο αεξνηξνρηάο (ρξεζηκνπνηήζηε ηελ αεξνζηάζκε). 3. Σνπνζεηήζηε ηα βύζκαηα ζηηο επάλσ ηξύπεο ζηα άθξα ησλ βαγνληώλ θαη βηδώζηε ηνπο ζπλδεηήξεο (ε δνπιεηά απηή λα γίλεη πάλσ ζηνλ πάγθν, θαη όρη πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά). 4. πλδέζηε ηα άθξα ησλ ηεζζάξσλ "ζθιεξώλ" ειαηεξίσλ κε ηνπο ζπλδεηήξεο ησλ βαγνληώλ. Υεηξηζηείηε ηα ειαηήξηα κε πξνζνρή, ρσξίο λα ηα πηέδεηε ή λα ηα εθηείλεηε ππεξβνιηθά. 5. Με ζπληνληζκέλε ζπλεξγαζία ηξηώλ ρεξηώλ, ζεθώζηε ηε δηάηαμε θαη ηνπνζεηήζηε ηελ πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά κε πξνζνρή, ώζηε λα κε ηε ρηππήζεηε. Σνπνζεηήζηε βύζκαηαβηδσηνύο ζπλδεηήξεο ζηα αθιόλεηα άθξα ηεο αεξνηξνρηάο θαη ζπλδέζηε κε απηά ηα άθξα ησλ ειαηεξίσλ πνπ είλαη ειεύζεξα. Ο θάζε ηαιαλησηήο θηλείηαη ηώξα πνιύπινθα πέξα-δώζε, κε πνιύ κηθξή ηξηβή. 5

53 6. πγθξαηήζηε κε πξνζνρή ηα βαγόληα (ζπλεξγαζία ηξηώλ πάληνηε ρεξηώλ) θαη θέξηε ηα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο (όπνπ ην κήθνο ησλ ηεζζάξσλ ειαηεξίσλ είλαη ην ίδην). Με ηε κεηξηθή θιίκαθα ηεο αεξνηξνρηάο, ζεκεηώζηε ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ησλ ηξηώλ βαγνληώλ y 1, y, y 3 (ηνπ αληίζηνηρνπ άθξνπ ηνπο). 7. Απνκαθξύλεηε, θαηά ην ίδην κήθνο (πεξί ηα 5 cm) θαη πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε, ηα δύν αθξαία βαγόληα, θαη θαηά έλα κήθνο ίζν κε 5 cm, αιιά πξνο ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε, ην κεζαίν βαγόλη (Δμ. 3.3α). Αθήζηε ηα ηαπηόρξνλα λα ηαιαλησζνύλ. Θα πξέπεη λα βιέπεηε ηώξα ηνλ 1 ν ΚΣΣ ηνπ ζπζηήκαηνο (ρ. 3.). 8. Μεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n = 1 πιήξσλ ηαιαληώζεσλ θαη θαηαρσξήζηε ηελ ηηκή ζηνλ Πίλαθα Ι ζηε ζηήιε nt Δπαλαιάβεηε ην βήκα 8 άιιεο 4 θνξέο, θαζώο ην ζύζηεκα ηαιαληώλεηαη ζπλερώο, θαη ζπκπιεξώζηε ηε ζηήιε nt 1 ηνπ Πίλαθα Ι. Δθηηκήζηε ην ζθάικα ηνπ ρξνλνκέηξνπ δt ρξ. Πίλαθαο Ι n = 1 Α/Α κέηξεζεο nσ 1 (s) nσ (s) nσ 3 (s) 1... nt 1 = nt = nt = T 1 = T = T 3 = 1 = = 3 = 1. ηε ζπλέρεηα, δηεγείξεηε ηνλ ν ΚΣΣ: πγθξαηήζηε κε πξνζνρή ηα βαγόληα θαη θέξηε ηα πάιη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. Πηέζηε ειαθξά ην κεζαίν ζηα πιάγηα ώζηε λα παξακείλεη αθίλεην θαη απνκαθξύλεηε ηα άιια δύν ζε αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο, θαηά κήθνο ηεο αεξνηξνρηάο θαη θαηά ην ίδην κήθνο (Δμ. 3.3β), ίζν πεξίπνπ κε 5 cm. πγθξαηήζηε ηα αθίλεηα γηα ιίγν θαη κεηά αθήζηε ηα ειεύζεξα ηαπηόρξνλα. Θα πξέπεη λα βιέπεηε ηώξα ηνλ ν ΚΣΣ ηνπ ζπζηήκαηνο (ρ. 3.). 11. Καζώο ην ζύζηεκα ηαιαληώλεηαη ζπλερώο, κεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n = 1 πιήξσλ ηαιαληώζεσλ θαη θαηαρσξήζηε ηελ ηηκή ζηνλ Πίλαθα Ι ζηε ζηήιε nt. 1. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 1 θαη 11 άιιεο 4 θνξέο, θαζώο ην ζύζηεκα ηαιαληώλεηαη ζπλερώο θαη ζπκπιεξώζηε ηε ζηήιε nt ηνπ Πίλαθα Ι. 13. Σέινο δηεγείξεηε ηνλ 3 ν ΚΣΣ. πγθξαηήζηε κε πξνζνρή ηα βαγόληα θαη θέξηε ηα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. Κξαηήζηε ην κεζαίν αθίλεην πηέδνληάο ην ειαθξά θαη απνκαθξύλεηε ηα δύν αθξαία θαηά ην ίδην κήθνο, ίζν πεξίπνπ κε 5 cm, θαη πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε. Κξαηήζηε ηα δύν αθξαία αθίλεηα ζηελ λέα ηνπο ζέζε. Απνκαθξύλεηε ηώξα ην κεζαίν (κε ην ηξίην ρέξη) πξνο ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε θαηά κία απόζηαζε ίζε κε 5 cm (Δμ. 3.3γ). Πεξηκέλεηε ιίγν θαη αθήζηε ηαπηόρξνλα ηα ηξία βαγόληα. Θα πξέπεη λα βιέπεηε ηώξα ηνλ 3 ν ΚΣΣ ηνπ ζπζηήκαηνο (ρ. 3.). 14. Μεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n = 1 πιήξσλ ηαιαληώζεσλ θαη θαηαρσξήζηε ηελ ηηκή ζηνλ Πίλαθα Ι, ζηε ζηήιε nt 3. 53

54 15. Δθηειέζηε ηα βήκαηα 13 θαη 14 άιιεο 4 θνξέο θαη ζπκπιεξώζηε ηε ζηήιε nt 3 ηνπ Πίλαθα Ι. 16. πγθξαηήζηε κε πξνζνρή ηα βαγόληα θαη θέξηε ηα πεξίπνπ ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. Απνζπλδέζηε ηα αθξαία ειαηήξηα από ηα άθξα ηεο αεξνηξνρηάο. Με ζπγρξνληζκέλεο θηλήζεηο θαηεβάζηε ην ζύζηεκα πξνζεθηηθά πάλσ ζηνλ πάγθν θαη απνζπλδέζηε ην κεζαίν βαγόλη από ηα άιια δύν, ηα νπνία ζα ρξεζηκνπνηήζεηε ζην επόκελν πείξακα. (Αθήζηε έλα ειαηήξην ζπλδεδεκέλν κε θαζέλα από απηά ηα δύν βαγόληα). εκεηώζηε ηηο ηηκέο ηεο κάδαο θάζε βαγνληνύ πνπ αλαγξάθνληαη πάλσ ηνπο (πεξηιακβάλνληαη θαη ηα εμαξηήκαηα), θαζώο θαη ηα αληίζηνηρα ζθάικαηα: Μ α =...., Μ β =...., Μ γ =...., 3.5. Γύν ζπδεπγκέλνη αξκνληθνί ηαιαλησηέο: Γηαθξνηήκαηα. 1. πλδέζηε κεηαμύ ηνπο ηα δύν βαγόληα (πνπ έρνπλ από έλα "ζθιεξό" ειαηήξην ζπλδεδεκέλν) κε έλα καιαθό ειαηήξην (έρεη κηθξόηεξε δηάκεηξν από ην "ζθιεξό"), πάλσ ζηνλ πάγθν. Μεηαθέξεηε καδί ηα δύν βαγόληα θαη ηνπνζεηήζηε ηα πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά, πξνο ην άθξν ηεο πνπ δελ ζπλδέεηαη κε ην θπζεηήξα (απηό ζεξκαίλεηαη ιηγόηεξν). πλδέζηε ην έλα ζθιεξό ειαηήξην κε ην άθξν απηό.. πλδέζηε έλα βύζκα-βηδσηό αθξνδέθηε κε ηνλ εηδηθό ζθηγθηήξα-αθξνδέθηε θαη ηνπνζεηήζηε ηνλ επάλσ ζηελ αεξνηξνρηά θαη ζε απόζηαζε πεξίπνπ 11 cm από ην πξνεγνύκελν άθξν ηεο. θίμηε ειαθξά ηνλ θνριία πνπ βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ ζθηγθηήξα, ώζηε ην εμάξηεκα απηό λα ζηαζεξνπνηεζεί. πλδέζηε ην άιιν ζθιεξό ειαηήξην ηεο δηάηαμεο κε ηνλ αθξνδέθηε ηνπ ζθηγθηήξα. Σν ζύζηεκα ησλ δύν ζπδεπγκέλσλ ηαιαλησηώλ ζα ηαιαληώλεηαη ηώξα αθαλόληζηα. 3. πγθξαηήζηε κε πξνζνρή ηα βαγόληα θαη θέξηε ηα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. εκεηώζηε ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο, y 1 θαη y (αληίζηνηρα άθξα ησλ βαγνληώλ). 4. Απνκαθξύλεηε ηα δύν βαγόληα παξάιιεια ζηελ αεξνηξνρηά, θαηά ηελ ίδηα απόζηαζε (πεξί ηo 1 cm) θαη πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε. πγθξαηήζηε ηα γηα ιίγν, πηέδνληάο ηα πιεπξηθά πνιύ ειαθξά θαη κεηά αθήζηε ηα ειεύζεξα ηαπηόρξνλα. Θα πξέπεη λα βιέπεηε ηνλ 1 ν ΚΣΣ ηνπ ζπζηήκαηνο (ρ. 3.3, β). Μεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n = 1 πιήξσλ ηαιαληώζεσλ. Καηαρσξήζηε ηελ ηηκή ζηε ζηήιε nσ 1 ηνπ Πίλαθα ΙΙ. 5. Δπαλαιάβεηε ην βήκα 5 άιιεο 4 θνξέο, θαζώο ην ζύζηεκα ηαιαληώλεηαη ζπλερώο, θαη ζπκπιεξώζηε ηε ζηήιε nσ 1. n = 1, Πίλαθαο ΙΙ n δ = 8, Μ α =...., Μ β =.... Α/Α nσ 1 (s) nσ (s) n δ Σ δ (s) 1. nt 1 = nt = T 1 = T = 1 = = nt δ = T δ = δ = 54

55 7. ηε ζπλέρεηα, δηεγείξεηε ηνλ ν ΚΣΣ: πγθξαηήζηε κε πξνζνρή ηα βαγόληα θαη θέξηε ηα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. Απνκαθξύλεηέ ηα θαηά ηελ ίδηα απόζηαζε αιιά ζε αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο. πγθξαηήζηε ηα γηα ιίγν αθίλεηα θαη κεηά αθήζηε ηα ειεύζεξα. Βεβαησζείηε όηη ηα αθξαία ειαηήξηα δελ ζπζπεηξώλνληαη εληειώο ζην αξρηθό ηνπο κήθνο. Θα πξέπεη λα βιέπεηε ηνλ ν ΚΣΣ (ρ. 3.3, γ). 8. Μεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n = 1 πιήξσλ ηαιαληώζεσλ. Καηαρσξήζηε ηελ ηηκή ζηε ζηήιε nσ ηνπ Πίλαθα ΙΙ. 9. Δθηειέζηε ζπλνιηθά πέληε θνξέο ην βήκα 7 θαζώο ην ζύζηεκα ηαιαληώλεηαη ζπλερώο θαη ζπκπιεξώζηε ηε ζηήιε nσ. 1. Φέξηε ηα βαγόληα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. ηε ζπλέρεηα ζα κεηξήζεηε ηελ πεξίνδν δηαθξνηεκάησλ. πγθξαηήζηε ην έλα βαγόλη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη απνκαθξύλεηε ην άιιν πεξί ηα 3 cm. Αθήζηε ην ειεύζεξν θαη παξαθνινπζήζηε ηελ θίλεζή ηνπ επί αξθεηέο ηαιαληώζεηο, γηα λα δηαπηζηώζεηε ηα δηαθξνηήκαηα θαη λα εμνηθεησζείηε κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο, ηδηαίηεξα όηαλ ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζήο ηνπο κεδελίδεηαη. 11. Μεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n δ = 8 πεξηόδσλ δηαθξνηεκάησλ (δειαδή κεηαμύ κεδεληζκώλ ηεο κεηαηόπηζεο ηεο κίαο κάδαο). Καηαρσξήζηε ηελ ηηκή ζηελ ηειεπηαία ζηήιε ηνπ Πίλαθα ΙΙ. 1. Δπαλαιάβεηε ην βήκα 1 άιιεο 4 θνξέο, θαζώο ην ζύζηεκα εθηειεί δηαθξνηήκαηα, θαη ζπκπιεξώζηε ηελ ηειεπηαία ζηήιε Μέηξεζε ησλ ζηαζεξώλ k θαη k' ησλ ειαηεξίσλ 1. Φέξηε ηα δύν βαγόληα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο. Απνζπλδέζηε ην βαγόλη πνπ είλαη ζπλδεδεκέλν κε ηνλ ζθηγθηήξα θαη αθήζηε πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά κόλν ην άιιν βαγόλη, ζπλδεδεκέλν κε ην ζηαζεξό άθξν ηεο αεξνηξνρηάο. Απνζπλδέζηε ην ζθιεξό ειαηήξην από ην βαγόλη πνπ απνκαθξύλαηε θαη αθήζηε ην καιαθό ζπλδεδεκέλν.. Υαιαξώζηε ηνλ ζθηγθηήξα-αθξνδέθηε θαη κεηαθηλήζηε ηνλ πξνο ην βαγόλη, ώζηε ε απόζηαζή ηνπ από ην ζηαζεξό άθξν λα είλαη πεξί ηα 6 cm. ηαζεξνπνηήζηε ηνλ, ζθίγγνληαο ειαθξά ηνλ θνριία. πλδέζηε ην ζθιεξό ειαηήξην (πνπ απνζπλδέζαηε πξνεγνπκέλσο) κεηαμύ ηνπ ζθηγθηήξα-αθξνδέθηε θαη ηνπ βαγνληνύ. Ο αξκνληθόο ηαιαλησηήο πνπ εηνηκάζαηε ηαιαληώλεηαη ηώξα ειεύζεξα πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά, κε δύν ζθιεξά ειαηήξηα. 3. Φέξηε ηνλ ηαιαλησηή ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη απνκαθξύλεηέ ηνλ από απηήλ γύξσ ζηα 5 cm. Αθήζηε ηνλ ειεύζεξν λα ηαιαλησζεί γηα ιίγν θαη κεηξήζηε ην ρξνληθό δηάζηεκα n = 1 ηαιαληώζεώλ ηνπ. Καηαρσξήζηε ην απνηέιεζκα ζηνλ Πίλαθα ΙΙΙ ζηε ζηήιε nt. 4. Δθηειέζηε ην βήκα 3 άιιεο ηέζζεξηο θνξέο θαη ζπκπιεξώζηε ηε ζηήιε nt. 5. Φέξηε ηνλ ηαιαλησηή ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, απνζπλδέζηε ηνλ από ηα ζηαζεξά άθξα ηεο δηάηαμεο θαη ηνπνζεηήζηε ηνλ ζηνλ πάγθν. 6. πλδέζηε ηώξα ην άιιν καιαθό ειαηήξην κε ην άιιν βαγόλη, ηνπνζεηήζηε ην βαγόλη απηό κε ηα δύν καιαθά ειαηήξηα πάλσ ζηελ αεξνηξνρηά θαη επαλαιάβεηε ηα βήκαηα 3 θαη 4 γηα ηα καιαθά ειαηήξηα. πκπιεξώζηε ηε ζηήιε nσ. 7. εκεηώζηε ηηο κάδεο Μ α =...., Μ β =.... ησλ βαγνληώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε. 55

56 Πίλαθαο ΙΙΙ n = 1, Μ α =...., Μ β =.... Α/Α Μέηξεζεο nσ (s) nσ (s) 1. nt = nt = T = T = = = 6. Φέξηε ηνλ ηαιαλησηή ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, απνζπλδέζηε ηα ειαηήξηα από ηα ζηαζεξά άθξα ηεο δηάηαμεο θαη ηνπνζεηήζηε ην βαγόλη πάλσ ζηνλ πάγθν. 7. Απνζπλδέζηε κε πξνζνρή ηα ειαηήξηα θαη ηνπνζεηήζηε ηα ζηηο αξρηθέο ηνπο ζέζεηο, κέζα ζην θνπηί πνπ ππάξρεη γηα ην ζθνπό απηό. 3.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Τπνινγηζκόο ησλ ζηαζεξώλ ησλ ειαηεξίσλ 1. Από ηηο κεηξήζεηο ηνπ Πίλαθα ΙΙΙ ππνινγίζηε ηηο κέζεο ηηκέο ησλ nt θαη nt θαη, από απηέο, ηηο κέζεο πεξηόδνπο T θαη T ησλ δύν ηαιαλησηώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε, θαη ην ζηαηηζηηθό ζθάικα ηνπο δσ θαη δσ, αληίζηνηρα. πγθξίλεηε ηα ζθάικαηα απηά κε ην ζθάικα ηνπ ρξνλνκέηξνπ, δσ ρξ, πνπ εθηηκήζαηε ζην βήκα 9 ηεο Παξαγξ , θαη ρξεζηκνπνηήζηε σο δσ (θαη δσ ), ην κεγαιύηεξν από ηα δύν. Καηαγξάςηε ηα απνηειέζκαηα κε ηε κνξθή Σ = ±. θαη Σ = ±... Από ηηο ηηκέο ησλ Σ θαη Σ ππνινγίζηε ηηο αληίζηνηρεο κέζεο γσληαθέο ζπρλόηεηεο θαη θαη ηα ζθάικαηά ηνπο δσ θαη δσ, αληίζηνηρα. 3. Από ηε ζρέζε σ = k M (3.11) πνπ δίλεη ηελ γσληαθή ζπρλόηεηα γηα αξκνληθό ηαιαλησηή ζπλδεδεκέλν κε δύν ειαηήξηα ζηαζεξάο k, θαη ηελ ηηκή ηεο κάδαο (Μ α ή Μ β ) ηνπ βαγνληνύ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε θάζε θνξά, βξείηε ηηο ζηαζεξέο k θαη k' ησλ ζθιεξώλ θαη ησλ καιαθώλ ειαηεξίσλ, αληίζηνηρα. Τπνινγίζηε ην ζηαηηζηηθό ζθάικα δk θαη δk' (ιύζηε σο πξνο k ηελ έθθξαζε πνπ δίλεη ηελ πεξίνδν θαη εθαξκόζηε ηνλ θαλόλα ηεο δηάδνζεο ηνπ ζθάικαηνο) θαη γξάςηε ηα απνηειέζκαηα κε ηε κνξθή: k = ±. θαη k = ± Τπνινγηζκόο ησλ ζπρλνηήησλ ησλ ΚΣΣ θαη ηεο σ δ 1. Υξεζηκνπνηήζηε ηελ ηηκή πνπ κεηξήζαηε γηα ηελ k (ζθιεξό ειαηήξην) θαη ηε γλσζηή ηηκή ηεο κάδαο, Μ (πνπ εδώ είλαη ε κέζε ηηκή ησλ καδώλ Μ α, Μ β, Μ γ ) γηα λα ππνινγίζεηε ηηο 56

57 ζεσξεηηθά αλακελόκελεο ηηκέο ησλ γσληαθώλ ζπρλνηήησλ ησλ ηξηώλ ΚΣΣ, σ 1, σ, σ 3 (Δμ. 3.) θαη ηα ζθάικαηά ηνπο, γηα ην ζύζηεκα κε ηξεηο ηαιαλησηέο.. Από ηηο κεηξήζεηο ηνπ Πίλαθα I, βξείηε ηηο κέζεο ηηκέο θαη ηα ζθάικαηα ησλ πεξηόδσλ ( T ± δσ) ησλ ηξηώλ ΚΣΣ. Από ηηο ηηκέο απηέο βξείηε ηηο αληίζηνηρεο κέζεο γσληαθέο ζπρλόηεηεο, 1,, 3 θαη ηα ζθάικαηά ηνπο θαη ζπγθξίλεηέ ηηο κε ηηο ζεσξεηηθά αλακελόκελεο ηηκέο ηνπ βήκαηνο Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 1 θαη γηα ην ζύζηεκα ησλ δύν ηαιαλησηώλ, ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΙΙ θαη ηελ Δμ. (3.4) (κε M ίζν κε ηε κέζε ηηκή ησλ Μ α θαη Μ β ). 4. Από ηελ ηειεπηαία ζηήιε ηνπ Πίλαθα ΙΙ πξνζδηνξίζηε ηε κέζε πεξίνδν, T δ, ησλ κεραληθώλ δηαθξνηεκάησλ, ηελ αληίζηνηρε γσληαθή ζπρλόηεηά ηνπο, δ, θαη ην ζθάικα ηεο, δσ δ, θαη ζπγθξίλεηέ ηελ κε ηε ζεσξεηηθά αλακελόκελε ηηκή (Δμ. 3.9). 5. Πνηα είλαη ε ζπρλόηεηα αληαιιαγήο ελέξγεηαο κεηαμύ ησλ δύν ηαιαλησηώλ; (βι. θαη ρ. 3.4). 57

58 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ 3 (Π3) Μειέηε ησλ θαλνληθώλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο κε αεξνηξνρηά Π3.1 Οη θαλνληθνί ηξόπνη ηαιάλησζεο Από ηε ζεσξεηηθή κειέηε ηεο θίλεζεο ρσξίο ηξηβέο Ν ζπδεπγκέλσλ ηαιαλησηώλ, πξνθύπηεη όηη, αλ νη εμηζώζεηο θίλεζεο είλαη γξακκηθέο, ηόηε ε πην γεληθή θίλεζε πνπ κπνξεί λα εθηειέζεη ν νπνηνζδήπνηε, i, από ηνπο Ν ηαιαλησηέο, ζε έλαλ ηπρόληα γεληθό (αθαλόληζην) ηξόπν θίλεζεο ηνπ ζπζηήκαηνο, κπνξεί λα εθθξαζηεί καζεκαηηθά σο y i (t) = N j 1 A ij cos(σ j t + θ j ), i = 1,,..., N (Π3.1) Η ζρέζε απηή κάο ιέεη όηη ε απνκάθξπλζε y i (t) από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνύ ηαιαλησηή i, ηε ρξνληθή ζηηγκή t, κπνξεί λα γξαθεί σο γξακκηθή επαιιειία (ππέξζεζε) Ν αλεμάξηεησλ αξκνληθώλ θηλήζεσλ, πνπ εθηεινύληαη κε ηηο ζπρλόηεηεο σ j ησλ ΚΣΣ θαη κε πιάηε Α ij θαη θάζεηο θ j. Tα Α ij θαη θ j εμαξηώληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο, δειαδή από ηελ απνκάθξπλζε θαη ηελ ηαρύηεηα ησλ δηαθόξσλ ζπδεπγκέλσλ ηαιαλησηώλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t =. Η Δμ. (Π3.1) δίλεη ηε δπλαηόηεηα κειέηεο ηεο θίλεζεο ηνπ θαζελόο μερσξηζηνύ κέξνπο ηνπ ζπζηήκαηνο, όηαλ απηό εθηειεί κηα γεληθή θίλεζε. Π3.1.1 ύζηεκα κε ηξεηο ζπδεπγκέλνπο ηαιαλησηέο ρήκα Π3.1. Μεραληθό ζύζηεκα ηξηώλ ζσκάησλ κε ηελ ίδηα κάδα Μ, ζπδεπγκέλσλ κεηαμύ ηνπο κε ειαηήξηα πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ζηαζεξά, k, θαη ακειεηέα κάδα. (α) Καηάζηαζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο, (β) Απνκάθξπλζε ησλ ηξηώλ καδώλ από ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο θαηά y α, y β θαη y γ, αληηζηνίρσο Σν ρ. Π3.1 δείρλεη ζρεκαηηθά έλα κεραληθό ζύζηεκα ηξηώλ ζσκάησλ κε ηελ ίδηα κάδα Μ, ζπδεπγκέλσλ κεηαμύ ηνπο κε ειαηήξηα πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ζηαζεξά k θαη ακειεηέα κάδα. Σα ζώκαηα κπνξνύλ λα θηλνύληαη θαηά κήθνο ηεο δηάηαμεο ρσξίο ηξηβέο. Αλ y α, y β θαη y γ είλαη νη αληίζηνηρεο απνκαθξύλζεηο ησλ καδώλ α, β, θαη γ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο ηε ζηηγκή t, εθαξκόδνληαο ηνλ ν λόκν ηνπ Νεύησλα ζην θάζε ζώκα, βξίζθνπκε y M α = kyα + k(y β y α ) t y β M β t = k(y β y α ) + k(y γ y β ) (Π3.) y γ M γ t = k(y γ y β ) ky γ Δθόζνλ M α = M β = M γ = Μ, δηαηξώληαο θαη ηηο ηξεηο εμηζώζεηο κε ην Μ θαη απινπνηώληαο έρνπκε 58

59 y t α = k M y α + k M y β y β t = k M y α k M y β + k M y γ (Π3.3) y γ t = k M y β k M y γ Αλ ην ζύζηεκα ηαιαληώλεηαη ζε θάπνηνλ ΚΣΣ κε γσληαθή ζπρλόηεηα σ, ηόηε ε απνκάθξπλζε θάζε ζώκαηνο ηνπ ζπζηήκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t κπνξεί λα γξαθεί σο y i (t) = A i cosσt, i = α, β, γ (Π3.4) ηελ Δμ. (Π3.4) νη δηαθνξέο θάζεο o ή 18 o κεηαμύ ησλ ηαιαλησηώλ έρνπλ απνξξνθεζεί ζηα πξόζεκα ησλ ζπληειεζηώλ Α i. Αληηθαζηζηώληαο ηηο Δμ. (Π3.4) ζηηο (Π3.3), παίξλνπκε έλα ζύζηεκα νκνγελώλ εμηζώζεσλ, πνπ έρεη ιύζε κόλν γηα ηηκέο ηνπ σ πνπ κεδελίδνπλ ηελ νξίδνπζα ησλ ζπληειεζηώλ ησλ αγλώζησλ, k k M M k k k M M M k k M M (Π3.5) Λύλνληαο ηελ Δμ. (Π3.5) σο πξνο σ, βξίζθνπκε γηα ηηο γσληαθέο ζπρλόηεηεο ησλ ηξηώλ ΚΣΣ: σ 1 = k M, σ = k M, σ 3 = k M (Π3.6) Αληηθαζηζηώληαο ηηο Δμ. (Π3.4) θαη (Π3.6) ζηηο (Π3.3) παίξλνπκε ηηο εμήο ζρέζεηο κεηαμύ ησλ πιαηώλ, ραξαθηεξηζηηθέο γηα θάζε έλαλ από ηνπο ΚΣΣ: 1 oο ΚΣΣ (σ 1 ) : Α 1 = Α 3, Α = + Α 1 νο ΚΣΣ (σ ) : Α 1 = Α 3, Α = (Π3.7) 3 oο ΚΣΣ (σ 3 ) : Α 1 = Α 3, Α = Α 1 Οη Δμ. (Π3.7) ππνδεηθλύνπλ όηη, γηα λα δηεγεξζεί έλαο θαλνληθόο ηξόπνο ηαιάλησζεο (i), αξθεί νη αξρηθέο απνκαθξύλζεηο, Α i, λα ηθαλνπνηνύλ ηελ αληίζηνηρε Δμ. (Π3.7). Οη ηξεηο ΚΣΣ απεηθνλίδνληαη ζρεκαηηθά ζην ρ. 3. ηεο Άζθεζεο 3. 59

60 Άζθεζε 4 Μηθξνθύκαηα 4.1 θνπόο θνπόο ηεο άζθεζεο απηήο είλαη ε πεηξακαηηθή κειέηε νξηζκέλσλ θπκαηηθώλ θαηλνκέλσλ θαη ηδηνηήησλ κε ηε βνήζεηα ησλ κηθξνθπκάησλ. πγθεθξηκέλα ζα κειεηεζνύλ ηα θαηλόκελα ηεο πόισζεο, θαζώο θαη ηεο ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο από κία θαη δύν ζρηζκέο πεπεξαζκέλνπ εύξνπο. Θα πξνζδηνξηζηεί επίζεο ην κήθνο θύκαηνο ησλ κηθξνθπκάησλ κε ηελ ηερληθή ηνπ ζπκβνινκέηξνπ Michelson. 4. Θεσξία Σα κηθξνθύκαηα είλαη ειεθηξνκαγλεηηθά θύκαηα κε κήθνο θύκαηνο από,1 έσο 1 cm πεξίπνπ. Σα θαηλόκελα θαη νη ηδηόηεηεο πνπ ζα κειεηεζνύλ εδώ δελ ραξαθηεξίδνπλ κόλν ηα κηθξνθύκαηα, αιιά όινπο ηνπο ηύπνπο θπκάησλ (θσο, ήρνο, πδάηηλα θύκαηα θ.ι.π.) θαη επνκέλσο κπνξνύλ λα παξαηεξεζνύλ θαη κε θύκαηα δηαθνξεηηθήο θύζεο, αξθεί λα ρξεζηκνπνηεζνύλ νη θαηάιιειεο δηαηάμεηο παξαγσγήο θαη αλίρλεπζήο ηνπο. Οη γεληθέο έλλνηεο από ηε ζεσξία ηεο Γεσκεηξηθήο θαη Φπζηθήο Οπηηθήο ζρεηηθά κε ηελ αλάθιαζε, δηάζιαζε θαη πόισζε ησλ θπκάησλ πεξηέρνληαη ζηελ Αζθεζε 13, «Αλάθιαζε, δηάζιαζε θαη πόισζε ηνπ θσηόο». ηνπ βηβιίνπ «Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο» Σόκνο Ι. Δμ άιινπ, ε βαζηθή ζεσξία ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο ζπκβνιήο αλαπηύζζεηαη ζηελ Άζθεζε 5, «πκβνιή θαη πεξίζιαζε ηνπ θσηόο» ηνπ παξόληνο ηόκνπ («Δξγαζηεξηαθέο αζθήζεηο Φπζηθήο» Σόκνο ΙΙ). Έηζη θξίλεηαη ζθόπηκν λα κελ επαλαιεθζεί ε ζεσξία ησλ θαηλνκέλσλ πόισζεο θαη ζπκβνιήο ησλ θπκάησλ ζηελ Άζθεζε απηή θαη, γηα ηε ζρεηηθή κειέηε ηνπο, παξαπέκπεηαη ν ζπνπδαζηήο ζηηο πην πάλσ Αζθήζεηο, θαζώο θαη ζην Παξάξηεκα Π7 ζην δεύηεξν κέξνο απηνύ ηνπ Σόκνπ. 4.3 Μέζνδνο Πόισζε ησλ θπκάησλ Γηα ηε κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο πόισζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί ε δέζκε ησλ κηθξνθπκάησλ πνπ παξάγνληαη από έλαλ πνκπό κηθξνθπκάησλ, Π, (βι. ρ. 4.1), ελώ σο αλαιπηήο ρξεζηκνπνηείηαη έλαο αληρλεπηήο (δέθηεο), Γ, κηθξνθπκάησλ, ζπληνληζκέλνο ζηε ζπρλόηεηα ηνπ παξαγόκελνπ θύκαηνο. Από ηνλ ηξόπν παξαγσγήο ηνπο, ηα κηθξνθύκαηα πνπ εθπέκπνληαη από ηνλ πνκπό απνηεινύλ αθηηλνβνιία κνλνρξσκαηηθή, ζύκθσλε θαη γξακκηθά πνισκέλε, κε ραξαθηεξηζηηθό επίπεδν θάζεην ζηνλ κεγάιν άμνλα ηεο ρνάλεο (θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ηεο δηόδνπ ηνπ πνκπνύ). Γηα λα δηαπηζηώζνπκε θαη πεηξακαηηθά πνηα είλαη ε θαηάζηαζε πόισζεο ησλ κηθξνθπκάησλ, ζηξέθνπκε αξγά ηνλ αληρλεπηή θαη παξαηεξνύκε ηε κεηαβνιή ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ σο ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο ζηξνθήο ηνπ αληρλεπηή (ρ. 4.1). Αλ ε δέζκε είλαη πξάγκαηη γξακκηθά πνισκέλε, ηόηε ε έληαζε, Θ, ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ ηνπ αληρλεπηή κεηαβάιιεηαη ζπλαξηήζεη ηεο γσλίαο ζηξνθήο, ζ, ηνπ αληρλεπηή ζύκθσλα κε ην λόκν ηνπ Malus [βι. Δμ. (13.4) ηεο Άζθεζεο 13 ηνπ βηβιίνπ «Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο» ηόκνο Ι] I = I cos ζ (4.1) 6

61 ρήκα 4.1 (α) Πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηελ κειέηε ηεο πόισζεο ησλ κηθξνθπκάησλ θαη (β) Λεπηνκεξήο απεηθόληζε ηνπ δέθηε. Π: πνκπόο, Γ: δέθηεο (αληρλεπηήο), M:κνηξνγλσκόλην. R είλαη ε απόζηαζε κεηαμύ πνκπνύ θαη δέθηε Πην ζπγθεθξηκέλα, ζ είλαη ε γσλία κεηαμύ ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ επηπέδσλ πόισζεο ηνπ πνισηή θαη ηνπ αληρλεπηή, αληηζηνίρσο. Σν θαηλόκελν ηεο πόισζεο κπνξεί λα κειεηεζεί θαη κε ηε βνήζεηα ηεο ζράξαο πόισζεο, κηαο κεηαιιηθήο πιάθαο κε παξάιιειεο ζρηζκέο. Σνπνζεηώληαο πνκπό θαη αληρλεπηή κε ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπο επίπεδα θαηαθόξπθα θαη παξάιιεια κεηαμύ ηνπο, έηζη ώζηε λα έρνπκε κέγηζην ζήκα εμόδνπ, παξεκβάιινπκε ηε ζράξα πόισζεο κεηαμύ πνκπνύ θαη αληρλεπηή, όπσο θαίλεηαη ζην ρ. 4.. Αλ νη ζρηζκέο είλαη θαηαθόξπθεο, θαη επνκέλσο παξάιιειεο ζην δηαδηδόκελν ειεθηξηθό πεδίν, ην ζήκα εμόδνπ ειαηηώλεηαη ζρεδόλ ζην κεδέλ. Απηό ζπκβαίλεη δηόηη ην ειεθηξηθό πεδίν εμαλαγθάδεη ζε ηαιάλησζε θαηά κήθνο ησλ κεηαιιηθώλ ισξίδσλ ηα ειεθηξόληα αγσγηκόηεηαο, ηα νπνία αθ ελόο κεηαβηβάδνπλ κέξνο ηεο ελέξγεηάο ηνπο ζην πιέγκα ηνπ κεηάιινπ ιόγσ θξνύζεσλ, θαη αθ εηέξνπ αθηηλνβνινύλ αλαηξεηηθά πξνο ηελ πξνζπίπηνπζα αθηηλνβνιία. Αλ όκσο νη κεηαιιηθέο ισξίδεο κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ είλαη νξηδόληηεο, ζρεκαηίδνπλ δειαδή γσλία 9 κε ην ειεθηξηθό πεδίν, ηόηε ην ζήκα εμόδνπ παξακέλεη ζρεδόλ ακεηάβιεην, εθ όζνλ ηα ειεθηξόληα δελ κπνξνύλ λα θηλεζνύλ θαηά ην πιάηνο ησλ κεηαιιηθώλ ισξίδσλ θαη επνκέλσο νύηε απνξξνθνύλ νύηε αθηηλνβνινύλ ελέξγεηα. Έηζη πξνζδηνξίδεηαη πεηξακαηηθά ε ραξαθηεξηζηηθή δηεύζπλζε πόισζεο (άμνλαο ηνπ πνισηή) ηεο ζράξαο, πνπ ζα είλαη ε δηεύζπλζε ε θάζεηε ζηηο ζρηζκέο. ρήκα 4. Πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηελ επίδεημε ηεο πόισζεο ησλ κηθξνθπκάησλ κε ηε βνήζεηα ηεο ζράξαο πόισζεο. Π: πνκπόο, Γ: δέθηεο, : ζράξα πόισζεο. 61

62 4.3. Πεξίζιαζε από κία ζρηζκή Γηα ηε κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο πεξίζιαζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί ε δηάηαμε πνπ απεηθνλίδεηαη ζην ρ Η δέζκε ησλ κηθξνθπκάησλ, κήθνπο θύκαηνο ι, πνπ εθπέκπεηαη από ηνλ πνκπό Π, πξνζπίπηεη πάλσ ζηε ζρηζκή πνπ ζα ζρεκαηίζεηε κε ηηο δύν κεηαιιηθέο πιάθεο Μ 1 θαη Μ, θξνληίδνληαο ώζηε ε ζρηζκή λα έρεη έλα εύξνο, D, πνπ λα αληηζηνηρεί ζε 3 κήθε θύκαηνο ηεο δέζκεο. ρήκα 4.3 Πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηε κειέηε ηεο πεξίζιαζεο κηθξνθπκάησλ από κία ζρηζκή. Π: πνκπόο, Γ: δέθηεο (αληρλεπηήο), Μ 1, Μ : κεηαιιηθέο αλαθιαζηηθέο πιάθεο, νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε δεκηνπξγία ηεο ζρηζκήο κε πιάηνο D. Όπσο αλαπηύζζεηαη αλαιπηηθά ζηελ Άζθεζε 7 θαη ηδηαίηεξα ζην Παξάξηεκα Π7 απηήο ηεο Άζθεζεο (βι. Παξάγξ. Π7.6), ην απνηέιεζκα ηεο πεξίζιαζεο ηνπ θύκαηνο από ηε ζρηζκή είλαη ε δηακόξθσζε ηεο έληαζήο ηνπ ζε θξνζζνύο σο ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο ζ, ζύκθσλα κε ηελ εμίζσζε: sin Dsin I(ζ) = I max όπνπ β = (4.) όπνπ I max ε έληαζε ζην κέγηζην ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ (ζ = ), θαη απεηθνλίδεηαη ζρεκαηηθά ζην ρ ρήκα 4.4 Καηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο, Θ, ύζηεξα από πεξίζιαζε από κία ζρηζκή, πιάηνπο D, πάλσ ζε νζόλε πνπ βξίζθεηαη ζε κεγάιε απόζηαζε, r, από ηε ζρηζκή. Η ζέζε x = ι/d αληηζηνηρεί ζηνλ πξώην ζθνηεηλό θξνζζό (n = 1), θ.ν.θ. W π είλαη ην γξακκηθό εύξνο ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο. 6

63 Η έληαζε ηεο πεξηζιώκελεο δέζκεο κεδελίδεηαη ζηηο γσλίεο, ζ, γηα ηηο νπνίεο κεδελίδεηαη ην sinβ θαη επνκέλσο ηθαλνπνηνύλ ηελ ζπλζήθε nι = D sinζ, όπνπ n = ±1, ± (4.3) Απηή είλαη ε ζπλζήθε γηα ηελ εκθάληζε ζθνηεηλώλ θξνζζώλ ηάμεο n ζηε ζέζε ζ. Γηα κεγάιεο απνζηάζεηο κεηαμύ πνκπνύ θαη δέθηε (r >> x), κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη sinζ x/r, νπόηε ε Δμ. (4.3) γίλεηαη Dx nιr (4.4) όπνπ x ε απόζηαζε ελόο ζθνηεηλνύ θξνζζνύ από ην θέληξν ηεο εηθόλαο θαη r ε απόζηαζε κεηαμύ ζρηζκώλ θαη δέθηε. Από ηελ Δμ. (4.4) πξνθύπηεη εμάιινπ όηη ην γξακκηθό εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο είλαη [βι. θαη Π5, Δμ. (Π5.19)]: W π (4.5) Μεηξώληαο ηελ έληαζε, Θ ζ, πνπ θζάλεη ζηνλ αληρλεπηή, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ πιάηνπο ηεο ζρηζκήο, D, σο ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο πεξίζιαζεο, ζ, ζπγθξίλνπκε ηα πεηξακαηηθά καο απνηειέζκαηα κε ηα πξνβιεπόκελα από ηε ζεσξία [ρ. 4.4 θαη Δμ. (4.) θαη (4.5)] πκβνιή από δύν πιαηηέο ζρηζκέο Γηα ηε κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο ζπκβνιήο από δύν ζρηζκέο ζα ρξεζηκνπνηεζεί ε δηάηαμε πνπ απεηθνλίδεηαη ζην ρ ρήκα 4.5 ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο γηα ηε κειέηε ηεο ζπκβνιήο από δύν πιαηηέο ζρηζκέο. Π: πνκπόο, Γ: δέθηεο, Μ 1, Μ, Μ 3 : κεηαιιηθέο αλαθιαζηηθέο πιάθεο, κεηαμύ ησλ νπνίσλ ζρεκαηίδνληαη νη δύν ζρηζκέο πιάηνπο D. Η απόζηαζε, d, κεηαμύ ησλ δύν ζρηζκώλ είλαη ίζε κε ην πιάηνο ηεο κεηαιιηθήο πιάθαο Μ. Η δέζκε κηθξνθπκάησλ, κήθνπο θύκαηνο ι, πξνζπίπηεη ζηηο ζρηζκέο εύξνπο D, ίζνπ πεξίπνπ κε έλα κήθνο θύκαηνο. Η απόζηαζε, d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ, πνπ αληηζηνηρεί ζην πιάηνο ηεο κεηαιιηθήο πιάθαο Μ, είλαη πεξίπνπ ίζε κε κήθε θύκαηνο. Γεκηνπξγνύληαη έηζη θξνζζνί ζπκβνιήο από ηηο δύν ζρηζκέο, ησλ νπνίσλ όκσο ε έληαζε είλαη δηακνξθσκέλε από ην θαηλόκελν ηεο πεξίζιαζεο, ιόγσ ηνπ πεπεξαζκέλνπ πιάηνπο, D, ηεο θάζε ζρηζκήο. Η έληαζε ηεο πεξηζιώκελεο δέζκεο, γηα ηελ πεξίπησζε όπνπ ην πιάηνο, D, ηεο ζρηζκήο είλαη ζπγθξίζηκν κε ηελ απόζηαζε, d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ (όπσο ζηελ πεξίπησζή καο) δίλεηαη από ηε ζρέζε: Θ = Θ max ( ) cos α (4.6) όπνπ α = ( ) θαη β = (4.7) 63

64 θαη απεηθνλίδεηαη ζρεκαηηθά ζην ρ. 4.6 ρήκα 4.6 Απεηθόληζε ηεο έληαζεο ηεο πεξηζιώκελεο δέζκεο (θξνζζνί ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο) ησλ κηθξνθπκάησλ από δύν όκνηεο πιαηεηέο ζρηζκέο, εύξνπο D, κε κεηαμύ ηνπο απόζηαζεο d (Δμ. 4.6). Σα α θαη β, σο ζπλάξηεζε ησλ d, D, ζ θαη ηνπ κήθνπο θύκαηνο, ι, ησλ κηθξνθπκάησλ, δίλνληαη από ηηο Δμ. (4.7). Σν ραξαθηεξηζηηθό ηεο εηθόλαο απηήο είλαη όηη ζην εζσηεξηθό θάζε θξνζζνύ πεξίζιαζεο, εκθαλίδνληαη ιεπηνί θξνζζνί ζπκβνιήο ζε κεηαμύ ηνπο απνζηάζεηο αληηζηξόθσο αλάινγεο ηεο απόζηαζεο, d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ. Γηα ηελ πεξίπησζε ηήο δηάηαμεο ζην εξγαζηήξην, όπνπ D = ι θαη d = ι, ν πξώηνο (θαη κνλαδηθόο) κεδεληζκόο ηεο πεξίζιαζεο ζα ζπκβεί γηα sinζ = ±1, ζύκθσλα κε ηηο Δμ. (4.6) θαη (4.7). Μεδεληζκόο ζηνπο θξνζζνύο ζπκβνιήο, εμάιινπ, ζα εκθαληζηεί γηα ηηκέο sinζ = ±1/6, ± 3/6 θαη ± 5/6, ελώ κέγηζηα ζπκβνιήο γηα sinζ =, ±1/3 θαη ±/3 Σν επόκελν κέγηζην ζηνπο θξνζζνύο ζπκβνιήο, γηα sinζ = ±3/3 = ±1, ζπκπίπηεη κε κεδεληζκό ηεο πεξίζιαζεο (ειιείπνπζα ηάμε) θαη δελ εκθαλίδεηαη. Η εηθόλα επνκέλσο πνπ αλακέλεηαη ζην πείξακα είλαη όκνηα κε απηήλ ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ ζην ρ. 4.6, πέληε δειαδή ιεπηνί θξνζζνί ζπκβνιήο κέζα ζηνλ θεληξηθό θξνζζό ηεο πεξίζιαζεο. Κξνζζνί πεξίζιαζεο εο ηάμεο δελ ζα εκθαληζηνύλ ζην πείξακα απηό, εθόζνλ D = ι θαη sinζ = ±1 γηα ηνλ πξώην κεδεληζκό ηεο έληαζεο ιόγσ πεξίζιαζεο. Μεηαθηλώληαο ηνλ αληρλεπηή ζε πεξηθέξεηα θύθινπ κε θέληξν ην κέζν ηεο πιάθαο Μ, θαηαγξάθνπκε ηηο γσλίεο, ζ, γηα ηηο νπνίεο παξαηεξνύκε κέγηζηα θαη ειάρηζηα ηεο έληαζεο θαη ζπγθξίλνπκε ηα πεηξακαηηθά καο απνηειέζκαηα κε ηα πξνβιεπόκελα από ηε ζεσξία [ρ. 4.6 θαη Δμ. (4.6) θαη (4.7)] Μέηξεζε κήθνπο θύκαηνο κηθξνθπκάησλ κε ην ζπκβνιόκεηξν ηνπ Michelson. Η πεηξακαηηθή δηάηαμε γηα ηε κέηξεζε ηνπ κήθνπο θύκαηνο κε ην ζπκβνιόκεηξν ηνπ Michelson απεηθνλίδεηαη ζην ρ Μία δέζκε κηθξνθπκάησλ από ηνλ πνκπό Π, πξνζπίπηεη πάλσ ζηε κία όςε επίπεδεο εκηπεξαηήο πιάθαο Μ, πνπ ηνπνζεηείηαη ππό γσλία 45 σο πξνο ην πξνζπίπηνλ θύκα. Η πιάθα απηή επηηξέπεη κεξηθή (ηε κηζή έληαζε) δηάδνζε θαη κεξηθή (ηε κηζή έληαζε) αλάθιαζε ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνύ θύκαηνο. Έηζη ζην Μ ηα κηθξνθύκαηα ρσξίδνληαη ζε δύν θύκαηα ίζεο έληαζεο, ηα νπνία, αθνύ αλαθιαζηνύλ ζηηο κεηαιιηθέο πιάθεο Μ 1 θαη Μ αληηζηνίρσο, αθνινπζώληαο ηηο δηαδξνκέο πνπ ππνδεηθλύνληαη από ηα βέιε ζην ζρήκα, αλαζπληίζεληαη ζηελ πίζσ πιεπξά ηεο πιάθαο Μ. Σν απνηέιεζκα ηεο ζπκβνιήο, πνπ αληρλεύεηαη κε ην δέθηε, Γ, εμαξηάηαη από ηε δηαθνξά θάζεο ησλ δύν θπκάησλ ζην ζεκείν αλαζύλζεζήο ηνπο, δειαδή από ηε δηαθνξά δξόκνπ κεηαμύ ησλ δύν θπκαηηθώλ δηαδξνκώλ. Δίλαη πξνθαλέο ηώξα όηη, αλ κεηαθηλήζνπκε ηε κεηαιιηθή πιάθα Μ 1 ή ηε Μ θαηά ηε δηεύζπλζε ηεο πξνζπίπηνπζαο αθηηλνβνιίαο θαη θαηά κήθνο ίζν πξνο ι/, πξνθαινύκε κηα κεηαβνιή ζηε δηαθνξά θάζεο θαηά π (αθνύ ε αληίζηνηρε δηαδξνκή ηνπ θύκαηνο κεηαβάιιεηαη ζπλνιηθά θαηά ι). Μεηαθηλώληαο επνκέλσο βαζκηαία, θαηά κήθνο ηεο δηαδξνκήο ησλ θπκάησλ, ηε κία από ηηο δύν κεηαιιηθέο πιάθεο, αλαδεηνύκε ηηο ζέζεηο εθείλεο ηεο πιάθαο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε κέγηζηε (ή ειάρηζηε) έλδεημε ηνπ αληρλεπηή, δειαδή 64

65 ζηελ εληζρπηηθή (ή αλαηξεηηθή) ζπκβνιή. Έηζη, κεηξώληαο ηελ απόζηαζε αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθέο ζέζεηο εληζρπηηθήο (ή αλαηξεηηθήο) ζπκβνιήο, πνπ αληηζηνηρεί ζε ι/, κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε ην κήθνο θύκαηνο ησλ θπκάησλ πνπ εθπέκπεη ν πνκπόο Π. ρήκα 4.7 ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο (α) γηα ηε κέηξεζε ηνπ κήθνπο θύκαηνο ησλ κηθξνθπκάησλ κε ην ζπκβνιόκεηξν ηνπ Michelson. Π: πνκπόο, Γ: δέθηεο, Μ1, Μ,: κεηαιιηθέο αλαθιαζηηθέο πιάθεο θαη Μ: εκηπεξαηή πιάθα. Η δέζκε ησλ κηθξνθπκάησλ από ηνλ Π πξνζπίπηεη πάλσ ζηε κία όςε ηεο Μ, πνπ επηηξέπεη κεξηθή δηάδνζε θαη κεξηθή αλάθιαζε ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνύ θύκαηνο. Έηζη ζην Μ ηα κηθξνθύκαηα ρσξίδνληαη ζε δύν θύκαηα (1 θαη ) ίζεο έληαζεο, ηα νπνία, αθνύ αλαθιαζηνύλ ζηηο κεηαιιηθέο πιάθεο Μ1 θαη Μ αληηζηνίρσο, αθνινπζώληαο ηηο δηαδξνκέο πνπ ππνδεηθλύνληαη από ηα βέιε ζην ζρήκα (β), αλαζπληίζεληαη ζηελ πίζσ πιεπξά ηεο πιάθαο Μ θαη αληρλεύνληαη από ηνλ δέθηε, Γ. 4.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Η πεηξακαηηθή δηάηαμε ηεο Άζθεζεο πεξηιακβάλεη: Έλαλ πνκπό κηθξνθπκάησλ (Π) ηνπ ηύπνπ δηόδνπ ηνπ Gunn (Gunn diode). Η δίνδνο απηή, ζε ζπλδπαζκό κε κηα θνηιόηεηα ζπληνληζκνύ ζε ζπρλόηεηα 1,55 GHz, παξάγεη κηθξνθπκαηηθή ειεθηξνκαγλεηηθή αθηηλνβνιία κήθνπο θύκαηνο.85 cm θαη ηζρύνο 15 mw, ζύκθσλε θαη γξακκηθά πνισκέλε θαηά κήθνο ηνύ άμνλα ηεο δηόδνπ. Η δίνδνο δξα σο κε-γξακκηθόο αληηζηάηεο, πνπ ηαιαληώλεηαη ζηε ζπρλόηεηα ησλ κηθξνθπκάησλ, ε δε ηξνθνδνζία ηεο γίλεηαη από ην δίθηπν. Γηαζέηεη κηα ρνάλε γηα ηελ θαηεύζπλζε ηεο δέζκεο ησλ κηθξνθπκάησλ θαη έλαλ γσληνκεηξηθό δείθηε γηα ηε κέηξεζε ηεο γσλίαο πόισζεο. ΠΡΟΟΥΗ: Παξόιν πνπ ν πνκπόο πιεξνί ηνπο θαλόλεο αζθαιείαο, θαιό είλαη νη ρξήζηεο λα κελ θνηηνύλ από θνληά κέζα ζηε ρνάλε εθπνκπήο ησλ κηθξνθπκάησλ. Έλαλ αληρλεπηή (δέθηε) (Γ) κε ρνάλε όκνηα κε εθείλελ ηνπ πνκπνύ, ε νπνία ζπιιέγεη ην κηθξνθπκαηηθό ζήκα θαη ην νδεγεί ζε κηα δίνδν Schottky, κέζα ζε θνηιόηεηα ζπληνληζκνύ ζηα 1,55 GHz. Η δίνδνο αληαπνθξίλεηαη κόλν ζηε ζπληζηώζα ηνπ θύκαηνο πνπ είλαη πνισκέλε θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ηεο δηόδνπ (θάζεηε ζην κεγάιν άμνλα ηεο ρνάλεο) θαη παξάγεη κηα ζπλερή ηάζε αλάινγε ηεο έληαζεο ηνύ κηθξνθπκαηηθνύ ζήκαηνο. Η έλδεημε νδεγείηαη ζε κεηξεηή ελζσκαησκέλν ζηνλ δέθηε ή ζε εμσηεξηθό πνιύκεηξν, ην νπνίν ζπλδέεηαη κε ηνλ δέθηε θαη παξέρεη κεγαιύηεξε αθξίβεηα ζηηο κεηξήζεηο. Ο δέθηεο ηξνθνδνηείηαη από κπαηαξίεο θαη δηαζέηεη έλαλ γσληνκεηξηθό δείθηε γηα ηε κέηξεζεο ηεο γσλίαο, ζ, κεηαμύ ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ επηπέδσλ πνκπνύ θαη δέθηε. 65

66 Έλα ςεθηαθό πνιύκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηνπ ζήκαηνο εμόδνπ ηνπ αληρλεπηή, κε κεγαιύηεξε αθξίβεηα από απηήλ ηνπ κεηξεηή πνπ είλαη ελζσκαησκέλνο ζηνλ δέθηε κηιηακπεξνκέηξνπ. Ράγεο ζηήξημεο ηνπ πνκπνύ θαη ηνπ δέθηε κηθξνθπκάησλ Μία ζράξα πόισζεο Γύν κεηαιιηθέο αλαθιαζηηθέο πιάθεο Μία εκηπεξαηή πιάθα Έλα πιαθίδην από πνιπαηζπιέλην Έλαλ κηθξό θαη έλαλ κεγάιν ράξαθα, γηα ηε κέηξεζε ησλ απνζηάζεσλ. Βηβιηνγξαθία 1. H.J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ, 3 ε έθδνζε, Κεθ. 1: Παξάγξ. 1.8, Κεθ. 1: Παξάγξ , Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 199).. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Β : Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο, Οπηηθή, ύγρξνλε Φπζηθή, Κεθ. 34: Παξάγξ. 34.5, Κεθ. 37: Παξάγξ θαη 37.5, Κεθ. 38: Παξάγξ , Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 3. R.A. Serway, C.J. Moses, C.A. Moyer, ύγρξνλε Φπζηθή, Κεθ. 1, Παξάγξ. 1.3, Παλ. Δθδόζεηο Κξήηεο (Ηξάθιεην ). 4. M. Young, Οπηηθή θαη Λέηδεξ, Κεθ. 5, Παλεπηζηεκηαθέο Δθδόζεηο Δ.Μ.Π. (Αζήλα 8). 5. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Β': Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο-Οπηηθή, Κεθ. 39: Παξάγξ , Κεθ. 4: Παξάγξ. 4.1, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 6. F. S. Crawford, Μαζήκαηα Φπζηθήο Παλεπηζηεκίνπ Berkeley. Σόκνο 3: Κπκαηηθή, Κεθ. 9: Παξάγξ. 9.6 (Αζήλα 1979) Alonso-Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή», Σόκνο ΙΙ, «Πεδία & Κύκαηα», Παξ. 13.7,.4,.7 & Δθηέιεζε Πόισζε 1. Πξαγκαηνπνηήζηε ηε δηάηαμε ηνπ ρ. 4.1 θαη ζπλδέζηε ην ηξνθνδνηηθό κε ην δίθηπν αθνύ ειεγρζεί ην ζύζηεκα από ηνλ επηβιέπνληα.. Δπζπγξακκίζηε πνκπό (Π) θαη αληρλεπηή(γ), ώζηε ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπο επίπεδα λα είλαη θαηαθόξπθα (ζ = ) αλαδεηώληαο ηε κέγηζηε έλδεημε ηνπ κηθξνακπεξνκέηξνπ. Καηαγξάςηε ζηνλ Πίλαθα I ηε κέγηζηε απηή έλδεημε ηνπ κηθξνακπεξνκέηξνπ πνπ αληηζηνηρεί ζε ζ = ν. Πίλαθαο Ι ζ (deg) Θ(ζ) (κα) cosζ Θ(ζ) ζεσξ (κα) 1 δζ =, δθ(ζ) =. 66

67 3. ηξέθνληαο αλά 1 ηνλ αληρλεπηή από σο +9 (δεμηά) θαη από σο 9 (αξηζηεξά), κεηξήζηε ηηο αληίζηνηρεο ελδείμεηο Θ(ζ) ηνπ κηθξνακπεξνκέηξνπ θαη θαηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα Ι. Δθηηκήζηε θαη θαηαγξάςηε ζπγρξόλσο κε ηηο κεηξήζεηο θαη ηα ζθάικαηα αλάγλσζεο δζ θαη δθ(ζ). 4. Ξαλαθέξηε ην δείθηε ηνπ αληρλεπηή ζηελ θαηαθόξπθε ζέζε (ζ = ) θαη ηνπνζεηήζηε ηε ζράξα πόισζεο () κεηαμύ πνκπνύ (Π) θαη αληρλεπηή (Γ), όπσο ζην ρ. 4.. Πξνζδηνξίζηε πεηξακαηηθά ηε ραξαθηεξηζηηθή δηεύζπλζε πόισζεο (άμνλα ηεο ζράξαο πόισζεο) σο πξνο ηε δηεύζπλζε ησλ παξάιιεισλ ζρηζκώλ. 5. Δπηβεβαηώζηε όηη ζηε ζέζε όπνπ ε δηεύζπλζε πόισζεο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ είλαη παξάιιειε πξνο ηηο ζρηζκέο, ε δηαδηδόκελε έληαζε κεδελίδεηαη Πεξίζιαζε από κία ζρηζκή 1. Πξαγκαηνπνηήζηε ηε δηάηαμε ηνπ ρήκαηνο ρεκαηίζηε κία ζρηζκή πιάηνπο D = 5,6 cm (δύν κήθε θύκαηνο). Σνπνζεηήζηε ηνλ αληρλεπηή ζηνλ θεληξηθό θξνζζό ηεο πεξίζιαζεο, πνπ αληηζηνηρεί ζηε κέγηζηε έλδεημε, Θ, ηνπ κηθξνακπεξνκέηξνπ θαη ζεσξήζηε όηη ε ζέζε απηή αληηζηνηρεί ζηε γσλία ζ =. Καηαγξάςηε ηελ έλδεημε Θ max, θαζώο θαη ηελ απόζηαζε, r, κεηαμύ ζρηζκήο θαη αληρλεπηή. 3. Μεηαθηλήζηε ηνλ δέθηε (Γ) θαηά κήθνο πεξηθέξεηαο θύθινπ κε θέληξν ην κέζν ηεο ζρηζκήο. Καηαρσξήζηε ζηνλ Πίλαθα ΙΙ ηηο ελδείμεηο Θ(ζ) ηνπ κηθξνακπεξόκεηξνπ γηα κηα ζεηξά γσληώλ ζ κε βήκα 5 (θαη πξνο ηηο δύν πιεπξέο ηνπ θεληξηθνύ κεγίζηνπ). 5 Πίλαθαο ΙΙ D = ι ζ (deg) Θ(ζ) (κα) sinζ Θ(ζ)/Θ max δζ =, δθ(ζ) =.W π =. 4. Καηαγξάςηε ηε γσλία ηνπ πξώηνπ κεδεληζκνύ κε ην ζθάικα ηεο. Παξαηεξείηε θαη δεπηεξεύνληα κέγηζηα; Καηαγξάςηε επίζεο ην γξακκηθό εύξνο W π ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο. 5. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα, 3 θαη 4 γηα ζρηζκή πιάηνπο D = 8,4cm (ηξία κήθε θύκαηνο) θαη θαηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα ΙΙΙ. Πίλαθαο ΙΙΙ D = 3ι ζ (deg) sinζ Θ(ζ) (κα) Θ(ζ)/Θ max 5 δζ =, δθ(ζ) =.W π =. 67

68 4.5.3 πκβνιή από δύν πιαηηέο ζρηζκέο 1. Πξαγκαηνπνηήζηε ηε δηάηαμε ηνπ ρήκαηνο 4.5. Σα πιάηε ησλ ζρηζκώλ είλαη d =,8 cm (έλα κήθνο θύκαηνο). εκεηώζηε όηη ην πιάηνο, D, ηνπ κεζαίνπ αλαθιαζηήξα, Μ, είλαη ίζν κε πεξίπνπ δύν κήθε θύκαηνο.. Σνπνζεηήζηε ηνλ αληρλεπηή, Γ, ζηνλ θεληξηθό θξνζζό, πνπ αληηζηνηρεί ζηε κέγηζηε έλδεημε ηνπ κηθξνακπεξόκεηξνπ θαη ζεσξήζηε όηη ε ζέζε απηή αληηζηνηρεί ζηε γσλία ζ =. Καηαγξάςηε ηελ έλδεημε Θ max, θαζώο θαη ηελ απόζηαζε, r, κεηαμύ ζρηζκήο θαη αληρλεπηή. Μεηαθηλήζηε ηνλ αληρλεπηή, Γ, ζε πεξηθέξεηα θύθινπ, κε θέληξν ην κέζν ηνπ Μ. Καηαγξάςηε ζηνλ Πίλαθα IV ηηο γσλίεο, ζ πεηξ, γηα ηηο νπνίεο παξαηεξείηε κέγηζηα θαη ειάρηζηα ηεο έληαζεο, θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηεο έληαζεο, I(ζ) (θαη πξνο ηηο δύν πιεπξέο ηνπ θεληξηθνύ κεγίζηνπ). (Τπόδεημε: εκεηώζηε όηη γηα ηηο ζπγθεθξηκέλεο 3. απνζηάζεηο θαη πιάηε ζρηζκώλ ε ζεσξία πξνβιέπεη ην ζρεκαηηζκό πέληε θξνζζώλ ζπκβνιήο κέζα ζηνλ θεληξηθό θξνζζό πεξίζιαζεο). Πίλαθαο ΙV ζ πεηξ (deg) Θ(ζ) (κα) ζ ζεσξ (deg) δζ = ± πκβνινκεηξία - Μέηξεζε ηνπ κήθνπο θύκαηνο 1. Πξαγκαηνπνηήζηε ηε δηάηαμε ηνπ ρ. 4.7, πάλσ ζηελ εηδηθή γη απηό βάζε ηνπ ζπκβνινκέηξνπ. πγθεθξηκέλα ηνπνζεηήζηε ηνλ πνκπό, Π, θαη ηνλ αληρλεπηή, Γ, κε ηνπο άμνλεο ζπκκεηξίαο ηνπο λα ζρεκαηίδνπλ κεηαμύ ηνπο γσλία 9. Σνπνζεηήζηε, αθνινύζσο, ηελ εκηπεξαηή πιάθα, Μ, έηζη ώζηε λα βξίζθεηαη ζηελ ηνκή απηώλ ησλ αμόλσλ θαη ην επίπεδό ηεο λα δηρνηνκεί ηε κεηαμύ ηνπο γσλία. Σνπνζεηήζηε αθόκα ηηο δύν κεηαιιηθέο πιάθεο, Μ 1 θαη Μ, κε ηα θέληξα ηνπο ζηελ πξνέθηαζε ησλ αμόλσλ ζπκκεηξίαο πνκπνύ θαη αληρλεπηή θαη ηα επίπεδά ηνπο θάζεηα ζηνπο άμνλεο απηνύο.. Απνκαθξύλνληαο αξγά ηε κία κεηαιιηθή πιάθα, π.ρ. ηελ Μ 1, θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ πνκπνύ (ή ηνπ αληρλεπηή γηα ηελ Μ ), αλαδεηήζηε δηαδνρηθέο ζέζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ειάρηζηεο (ή κέγηζηεο) ελδείμεηο ηνπ κηθξνακπεξνκέηξνπ θαη κεηξήζηε ηηο απνζηάζεηο ηνπο, l i, από ηελ αξρηθή απζαίξεηε ζέζε, κε ηε βνήζεηα ηνπ ράξαθα. Καηαρσξήζηε ζηνλ Πίλαθα V ηα απνηειέζκαηά ζαο, γηα δέθα πεξίπνπ δηαδνρηθά ειάρηζηα (ή κέγηζηα). Πίλαθαο V l i (cm) Γl i (cm) ι i (cm) =.. δι = ±.. 68

69 4.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πόισζε 1. Με βάζε ην λόκν ηνπ Malus (Δμ. 4.1), θαη ρξεζηκνπνηώληαο σο Θ ηε κέγηζηε ηηκή Θ(ζ) πνπ αληηζηνηρεί ζε ζ =, ππνινγίζηε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο Θ(ζ) ζεσξ, γηα ηηο ηηκέο ηνπ ζ πνπ έρεηε θαηαγξάςεη ζηνλ Πίλαθα Ι θαη θαηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο ζηελ ηξίηε ζηήιε ηνπ Πίλαθα Ι.. ρεδηάζηε, ζην ίδην ραξηί κηιιηκεηξέ, ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ Θ(ζ) θαη Θ(ζ) ζεσξ σο ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο ζ, ζεκεηώλνληαο θαη ηα ζθάικαηα. πκθσλνύλ νη πεηξακαηηθέο κε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο; Δμεηάζηε πνύ κπνξεί λα νθείινληαη νη ηπρόλ δηαθνξέο. 3. Ση ζπκπεξάζκαηα βγάδεηε γηα ηελ θαηάζηαζε πόισζεο ησλ κηθξνθπκάησλ θαη γηαηί; 4. Δμεγήζηε ζύληνκα πώο δηθαηνινγείηαη ε δηεύζπλζε (άμνλαο) πόισζεο πνπ πξνζδηνξίζαηε πεηξακαηηθά κε ηε βνήζεηα ηεο ζράξαο σο πξνο ηε δηεύζπλζε ησλ παξάιιεισλ ζρηζκώλ ηεο Πεξίζιαζε από κία ζρηζκή 1. Γηα θάζε ηηκή ηεο γσλίαο ζ ηνπ Πίλαθα ΙΙ, ππνινγίζηε ηελ αληίζηνηρε ηηκή ηνπ sinζ θαη θαηαρσξήζηε ηηο ηηκέο πνπ βξήθαηε ζηελ ηξίηε ζηήιε ηνπ Πίλαθα ΙΙ.. Από ηηο ηηκέο ησλ Θ(ζ) ηνπ Πίλαθα Ι ππνινγίζηε ην ιόγν Θ(ζ)/Θ max γηα όιεο ηηο γσλίεο πνπ έρεηε θαηαγξάςεη θαη θαηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηά ζαο ζηελ ηέηαξηε ζηήιε ηνπ Πίλαθα ΙΙ. 3. ε ραξηί κηιιηκεηξέ, παξαζηήζηε γξαθηθά ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ηνπ ιόγνπ Θ(ζ)/Θ, σο ζπλάξηεζε ηνπ sinζ θαη ζπγθξίλεηε ηε κνξθή ηεο θακπύιεο κε ηελ ζεσξεηηθά αλακελόκελε (ρ. 4.4). 4. Δπαλαιάβεηε ηα βήκαηα 1, θαη 3 κε ηα δεδνκέλα ηνπ Πίλαθα ΙΙΙ, γηα ηε ζρηζκή κεγαιύηεξνπ εύξνπο. 5. Με βάζε ηηο Δμ. (4.), ππνινγίζηε ηε γσλία ηνπ πξώηνπ κεδεληζκνύ ηεο θακπύιεο πεξίζιαζεο γηα ηηο ζρηζκέο πιάηνπο 5,6 cm θαη 8,4 cm θαη ζπγθξίλεηε κε ηα πεηξακαηηθά ζαο απνηειέζκαηα. 6. Τπνινγίζηε ην γξακκηθό εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο (Δμ. 4.5) θαη ζπγθξίλεηε ηηο ζεσξεηηθέο απηέο ηηκέο κε εθείλεο πνπ πξνζδηνξίζαηε ζην πείξακα πκβνιή από δύν πιαηηέο ζρηζκέο 1. Με βάζε ηηο Δμ. (4.6) θαη (4.7) ππνινγίζηε ηηο γσλίεο, ζ ζεσξ, γηα ηηο νπνίεο πεξηκέλνπκε λα έρνπκε κέγηζηα θαη ειάρηζηα ηεο έληαζεο αληηζηνίρσο, ιόγσ ηεο ζπκβνιήο ησλ κηθξνθπκάησλ από ηηο δύν ζρηζκέο ηνπ πεηξάκαηόο ζαο θαη θαηαρσξήζηε ηηο ηηκέο ηνπο ζηνλ Πίλαθα IV.. πγθξίλεηε ηηο πεηξακαηηθέο κε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο ησλ γσληώλ ζ θαη ζρνιηάζηε πνύ κπνξεί λα νθείινληαη νη ηπρόλ δηαθνξέο πκβνινκεηξία - Πξνζδηνξηζκόο κήθνπο θύκαηνο 1. Τπνινγίζηε θαη θαηαρσξήζηε ζηνλ Πίλαθα V ηηο απνζηάζεηο Γl i = l i+1 l i πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δύν δηαδνρηθά ειάρηζηα (ή κέγηζηα) θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηνύ κήθνπο θύκαηνο, ι i, θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ Πίλαθα V.. Τπνινγίζηε ηε κέζε ηηκή,, θαζώο θαη ην απόιπην, δι, θαη ην ζρεηηθό ζθάικα ηήο κέζεο ηηκήο ηνύ κήθνπο θύκαηνο, ι. πγθξίλεηε ηελ ηηκή πνπ πξνζδηνξίζαηε κε ηελ ηηκή πνπ δίλεη ν θαηαζθεπαζηήο γηα ην κήθνο ηνπ θύκαηνο πνπ εθπέκπεη ν πνκπόο. 69

70 Άζθεζε 5 πκβνιή θαη πεξίζιαζε ηνπ θσηόο 5.1 θνπόο θνπόο ηεο Άζθεζεο είλαη ε θαηαλόεζε ησλ βαζηθώλ ελλνηώλ ηεο θπκαηηθήο νπηηθήο, κε ηελ παξαηήξεζε θαηλνκέλσλ πνπ εξκελεύνληαη κε ηελ θπκαηηθή ζεσξία ηνπ θσηόο. πγθεθξηκέλα, κειεηώληαη νη εηθόλεο ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο ιέηδεξ από απιέο, δηπιέο θαη πνιιαπιέο ζρηζκέο, θαζώο θαη από νπηηθά θξάγκαηα. ηελ πεξίπησζε ηνπ θξάγκαηνο πξνζδηνξίδνληαη επηπιένλ παξάκεηξνη, όπσο ην εύξνο ηεο ζρηζκήο θαη ε ππθλόηεηα ησλ ζρηζκώλ. Παξέρεηαη επίζεο ζηνλ ζπνπδαζηή ε δπλαηόηεηα λα γλσξίζεη κηα ζεκαληηθή εθαξκνγή ησλ θαηλνκέλσλ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο ζηελ αλάιπζε πνιπρξσκαηηθήο αθηηλνβνιίαο. 5. Θεσξία Γηα κηα αλαιπηηθή πεξηγξαθή ησλ βαζηθώλ ελλνηώλ ηεο θπκαηηθήο νπηηθήο θαη κηα ζύληνκε παξνπζίαζε ηεο ζεσξίαο ησλ θαηλνκέλσλ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο παξαπέκπνπκε ζην Παξάξηεκα Π5, ζην δεύηεξν κέξνο απηνύ ηνπ Σόκνπ. Δδώ ζα δώζνπκε κόλν ηα απνηειέζκαηα ησλ ζεσξεηηθώλ ππνινγηζκώλ, πνπ είλαη απαξαίηεηα γηα ηελ εθηέιεζε θαη ηελ επεμεξγαζία ησλ πεηξακάησλ ηεο Άζθεζεο. Δπηπιένλ, ζα ζρνιεζνύκε κόλν κε ηελ πεξίπησζε όπνπ ε νζόλε παξαηήξεζεο ησλ θαηλνκέσλ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο είλαη ζε πνιύ κεγάιε απόζηαζε ζε ζρέζε κε ηηο δηαζηάζεηο ησλ πεγώλ θαη ησλ απνζηάζεσλ κεηαμύ απηώλ (Πεξίζιαζε Fraunhoffer) πκβνιή ηνπ θσηόο από δύν ζύκθσλεο ζεκεηαθέο πεγέο Η δεκηνπξγία δύν ζύκθσλσλ πεγώλ αλάγεηαη ζπλήζσο ζηε δηαίξεζε ηνπ κεηώπνπ θύκαηνο κηαο ζύκθσλεο κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο κε δύν παλνκνηόηππεο ζρηζκέο, S 1, S, πνιύ κηθξνύ εύξνπο ζε απόζηαζε d κεηαμύ ηνπο (ρ. 5.1). Η παξεκβνιή κηαο ηέηνηαο αζπλέρεηαο ζην κέησπν ηνπ θύκαηνο έρεη σο απνηέιεζκα ηε δεκηνπξγία δύν δεπηεξνγελώλ ζεκεηαθώλ πεγώλ ζθαηξηθώλ θπκάησλ ζηηο ζρηζκέο. ην ρ. 5.1 απεηθνλίδεηαη ζρεκαηηθά κηα δηάηαμε γηα ηελ παξαηήξεζε ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο από δύν ζρηζκέο. Δμαηηίαο ηεο ζπκβνιήο ησλ δύν ζθαηξηθώλ θπκάησλ, ζα δεκηνπξγεζεί πάλσ ζηελ νζόλε κηα ζεηξά από ελαιιαζζόκελνπο θσηεηλνύο θαη ζθνηεηλνύο θξνζζνύο. Όπσο πεξηγξάθεηαη αλαιπηηθά θαη απνδεηθλύεηαη ζην Παξάξηεκα Π5 (Παξάγξ. Π5.4), αλ ε απόζηαζε r, κεηαμύ ζρηζκώλ θαη νζόλεο είλαη πνιύ κεγαιύηεξε από ηελ απόζηαζε d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ (πεξίζιαζε Fraunhoffer), αιιά θαη από ηελ απόζηαζε y, πξνθύπηνπλ νη αθόινπζεο ζπλζήθεο, γηα ηε δεκηνπξγία θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ αληίζηνηρα, ζε θάπνηα απόζηαζε, y, από ην θέληξν ζπκκεηξίαο, Ο, ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο 7

71 ρήκα 5.1 (α) πκβνιή από δύν ζύκθσλεο ζεκεηαθέο πεγέο πνπ πξνέξρνληαη από ηε δηαίξεζε ηνπ κεηώπνπ κηαο ζύκθσλεο κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο, κε ηε βνήζεηα δύν ζρηζκώλ S 1 θαη S. (β) Κξνζνί ζπκβνιήο πνπ παξάγνληαη από ηε ζύκβνιή δύν ζρηζκώλ, όπσο εκθαλίδνληαη ζηελ νζόλε (Πείξακα ηνπ Young). θσηεηλνί θξνζζνί: d sinζ = m ι ή y r d m ι (5.1) ζθνηεηλνί θξνζζνί: d sinζ = (m + 1/) ι ή y r d (m + 1/) ι (5.) όπνπ ζ ε γσλία κεηαμύ ηεο απ επζείαο θαη ηεο πεξηζιώκελεο αθηίλαο θαη m =, ±1, ±,... Παξαηεξνύκε όηη νη απνζηάζεηο, y, ησλ θξνζζώλ από ην θέληξν ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο εηλαη αληηζηξόθσο αλάινγεο ηεο απόζηαζεο, d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ. H απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ θσηεηλώλ (ή ζθνηεηλώλ) θξνζζώλ βξίζθεηαη εύθνια από ηελ Δμ. (5.1) ή ηελ (5.) σο Γy r d ι (5.3) 5.. Πεξίζιαζε από κηα ζρηζκή Η πην ραξαθηεξηζηηθή πεξίπησζε πεξίζιαζεο ζπκβαίλεη όηαλ ην επίπεδν κέησπν ελόο κνλνρξσκαηηθνύ ζύκθσλνπ θσηεηλνύ θύκαηνο παξεκπνδίδεηαη ζηε δηάδνζή ηνπ από κηα ιεπηή ζρηζκή εύξνπο D (ρ. 5.). ύκθσλα κε ηελ αξρή ηνπ Huygens, θάζε ζεκείν ηνπ κεηώπνπ από ην έλα άθξν ηεο ζρηζκήο ώο ην άιιν γίλεηαη δεπηεξνγελήο πεγή ζθαηξηθώλ θπκάησλ ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο, ηα νπνία δηαδίδνληαη από ηε ζρηζκή. πλεπώο, ην πιάηνο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζε έλα ηπρόλ ζεκείν ηεο νζόλεο παξαηήξεζεο πξνθύπηεη από ηελ ππέξζεζε όισλ ησλ ζηνηρεησδώλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύληαη ζηε ζρηζκή, κε ζπλέπεηα λα παξαηεξνύληαη, πάλσ ζηελ νζόλε, θσηεηλνί θαη ζθνηεηλνί θξνζζνί πεξίζιαζεο. Λόγσ ζπκκεηξίαο, ζην θέληξν ηεο εηθόλαο πεξίζιαζεο (ζεκείν Ο) ζα έρνπκε εληζρπηηθή ζπκβνιή θαη ζα ζρεκαηηζηεί ν θεληξηθόο θξνζζόο πεξίζιαζεο. 71

72 ύκθσλα κε ηε ζεσξία πνπ αλαπηύζζεηαη αλαιπηηθά ζην Παξάξηεκα Π3 (Παξάγξ. Π3.5) έρνπκε ηελ αθόινπζε ζπλζήθε γηα ζθνηεηλνύο θξνζζνύο nι = D sinζ, n = ±1, ±... (5.4) Γηα r >> x, (βι. ρ. 5.), ε Δμ. (5.4) καο δίλεη x n = D r nι (5.5) όπνπ x n, ε απόζηαζε ησλ ζθνηεηλώλ θξνζζώλ από ην θέληξν ζπκκεηξίαο, Ο, ηεο εηθόλαο, ρήκα 5. (α) Καηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο, ύζηεξα από πεξίζιαζε από κία ζρηζκή, πιάηνπο D, πάλσ ζε νζόλε πνπ βξίζθεηαη ζε κεγάιε απόζηαζε, r, από ηε ζρηζκή. Η ζέζε x αληηζηνηρεί ζηνλ πξώην ζθνηεηλό θξνζζό (n = 1). (β) Φσηνγξαθία ηεο εηθόλαο πνπ βιέπνπκε ζηελ νζόλε. Δδώ δηαθξίλεηαη ζαθώο κόλνλ ν θεληξηθόο θσηεηλόο θξνζζόο. είλαη, όπσο βιέπνπκε, αληηζηξόθσο αλάινγε ηνπ εύξνπο D ηεο ζρηζκήο. Aπό ηελ Δμ. (5.5) πξνθύπηεη όηη ε απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ ζθνηεηλώλ θξνζζώλ είλαη Γx = r D ι (5.6) ελώ ην γξακκηθό εύξνο ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πξνθύπηεη επίζεο από ηελ Eμ. (5.5) γηα n 1 = 1 θαη n = 1 θαη βξίζθεηαη ίζν κε W π = n x x n = 1 r D (5.7) 7

73 O αξηζκόο ησλ ζθνηεηλώλ θξνζζώλ n ζθ, πνπ ζεσξεηηθά κπνξνύλ λα παξαηεξεζνύλ εθαηέξσζελ ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ δίλεηαη από ηε ζπλζήθε [βι. Δμ. (Π5.)] n ζθ D (5.8) 5..3 πκβνιή - πεξίζιαζε από δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρηζκέο Αλ ζεσξήζνπκε δύν παξάιιειεο ζρηζκέο πεπεξαζκέλνπ εύξνπο D, ζε κηθξή απόζηαζε d, ηε κία από ηελ άιιε, θαη ηηο θσηίζνπκε κε έλα επίπεδν κνλνρξσκαηηθό θύκα ηόηε, ζε νζόλε πνπ απέρεη απόζηαζε r >> d > D, ζα παξαηεξήζνπκε κηα ζύλζεηε εηθόλα θξνζζώλ, πνπ πξνθύπηεη από ην ζπλδπαζκό ησλ θξνζζώλ πεξίζιαζεο από θάζε ζρηζκή θαη ησλ θξνζζώλ ζπκβνιήο πνπ πξνέξρνληαη από ηελ ππέξζεζε ησλ θπκάησλ από ηηο δύν ζρηζκέο. Από ηε ζεσξία πνπ αλαπηύζζεηαη αλαιπηηθά ζην Παξάξηεκα Π7 (Παξάγξ. Π5.7) πξνθύπηεη όηη νη θξνζζνί πεξίζιαζεο ζα είλαη πιαηύηεξνη από ηνπο θξνζζνύο ζπκβνιήο, δειαδή κέζα ζε θάζε θξνζζό πεξίζιαζεο ζα πεξηέρεηαη έλαο αξηζκόο ιεπηώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο, ν νπνίνο ζα εμαξηάηαη από ην ιόγν d/d (ρ. 5.4). Αλάινγεο εηθόλεο ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο ζα παξαηεξήζνπκε, αλ αληί γηα δύν ρξεζηκνπνηήζνπκε Ν παξάιιειεο ζρηζκέο ίδηνπ εύξνπο, D, θαη ζε ίζεο κηθξέο απνζηάζεηο, d, κεηαμύ ηνπο. Γηα Ν > όκσο ζα ππάξρεη ιεπηή δνκή ζηνπο θξνζζνύο ζπκβνιήο, ε νπνία ζα γίλεηαη αθόκε ιεπηόηεξε θαζώο ην Ν απμάλεη. πγθεθξηκέλα, εθηόο ησλ θύξησλ θσηεηλώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο, πνπ νθείινληαη ζηε ζπκβνιή θπκάησλ από δηαδνρηθέο ζρηζκέο (απόζηαζε d), ζα εκθαληζηνύλ θαη δεπηεξεύνληεο θσηεηλνί θξνζζνί, πνπ νθείινληαη ζηε ζπκβνιε θπκάησλ από ζρηζκέο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απνζηάζεηο d, 3d, 4d,... Απνδεηθλύεηαη όηη (βι. Π7, Παξάγξ. Π5.7) όηη νη θύξηνη θσηεηλνί θξνζζνί βξίζθνληαη θαη πάιη ζηηο ζέζεηο γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη ε ζρέζε d sinζ = mι (m =, ±1, ±,...) ή y r d m ι (5.1) αιιά αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο θύξηνπο θσηεηλνύο θξνζζνύο, ζα ππάξρνπλ Ν 1 ζθνηεηλνί θξνζζνί, θαη αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο ζθνηεηλνύο θξνζζνύο, ζα ππάξρεη έλαο δεπηεξεύσλ θσηεηλόο θξνζζόο. Καηά ζπλέπεηα, αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο θύξηνπο θσηεηλνύο θξνζζνύο ζα ππάξρνπλ Ν δεπηεξεύνληεο θσηεηλνί θξνζζνί (βι. ρ. 5.5), ε έληαζε ησλ νπνίσλ είλαη πνιύ κηθξόηεξε από ηελ έληαζε ησλ θύξησλ θξνζζώλ θαη κεηώλεηαη ζπλερώο όηαλ απμάλεηαη ν αξηζκόο ησλ ζρηζκώλ, Ν. Σν εύξνο, W ζ, ησλ θύξησλ θσηεηλώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο δίλεηαη από ηε ζρέζε r W ζ Nd (5.9) πνπ δείρλεη όηη, θαζώο ην Ν απμάλεη, ην εύξνο ησλ θύξησλ θξνζζώλ κεηώλεηαη. πγρξόλσο εληείλεηαη ε απόιπηε θσηεηλή έληαζε, ε θαζαξόηεηα θαη ε νμύηεηά ηνπο. 73

74 ρήκα 5.4 Γεσκεηξηθή απεηθόληζε (a) θξνζζώλ πεξίζιαζεο κηαο κνλαδηθήο ζρηζκήο, πιάηνπο D, (b) θξνζζώλ ζπκβνιήο πνπ ζα πξνέθππηαλ από δύν παξάιιειεο απείξσο ιεπηέο ζρηζκέο, κε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε d, θαη (c) θξνζώλ ζπκβνιήο-πεξηζιαζεο από δύν παξάιιειεο παλνκνηόηππεο ιεπηέο ζρηζκέο κε d = 5D. Παξαηεξνύκε όηη κέζα ζε θάζε θξνζζό πεξίζιαζεο, πεξηέρνληαη πεξηζζόηεξνη ιεπηνί θξνζζνί ζπκβνιήο θαη θάζε πέκπην πιεπξηθό κέγηζην ζπκβνιήο απνπζηάδεη γηαηί ζπκπίπηεη κε έλα ειάρηζην ηεο πεξίζιαζεο ηεο θάζε ζρηζκήο. ρήκα 5.5 Γεσκεηξηθή απεηθόληζε θξνζζώλ ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο πνπ πξνθύπηνπλ όηαλ κνλνρξσκαηηθό θσο, κε κήθνο θύκαηνο ι, πξνζπίπηεη πάλσ ζε: (α) ηέζζεξηο (4), (β) νθηώ (8) θαη (γ) δεθαέμε (16) παξάιιειεο παλνκνηόηππεο ζρηζκέο, ζε απόζηαζε d κεηαμύ ηνπο. Παξαηεξνύκε όηη νη θύξηνη θσηεηλνί θξνζζνί βξίζθνληαη πάληα ζηηο ίδηεο ζέζεηο (d sinζ = mι), ελώ απμάλεηαη ε θσηεηλόηεηα θαη κεηώλεηαη ην εύξνο ηνπο, όηαλ απμάλεη ν αξηζκόο ησλ ζρηζκώλ. Αληηζηνίρσο, απμάλεηαη ν αξηζκόο θαη κεηώλεηαη ε έληαζε ησλ δεπηεξεπόλησλ θσηεηθώλ θξνζζώλ. 74

75 5..4 Οπηηθά θξάγκαηα Όηαλ ν αξηζκόο ησλ ζρηζκώλ, Ν, ζε κηα ζπζηνηρία παξάιιεισλ ζρηζκώλ γίλεη πνιύ κεγάινο θαη ην εύξνο ησλ ζρηζκώλ, D, απεηξνζηό ζε ζρέζε κε ην κήθνο θύκαηνο, ι, ηόηε, αθελόο νη θύξηνη θξνζζνί ζπκβνιήο ζα γίλνπλ πνιύ ιεπηνί θαη έληνλνη ελώ νη δεπηεξεύνληεο θξνζζνί ζα έρνπλ ακειεηέα έληαζε, αθεηέξνπ ε πεξίζιαζε από θάζε ζρηζκή εθθπιίδεηαη ζε έλα ππόβαζξν ζρεδόλ ζηαζεξήο θσηεηλήο έληαζεο, όπσο εηθνλίδεηαη ζην ρ. 5.5 (γ). Οη θσηεηλνί θξνζζνί ζα βξίζθνληαη, όπσο θαη ζηηο πξνεγνύκελεο πεξηπηώζεηο, ζηηο ζέζεηο όπνπ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο d sinζ = mι (m =, ±1, ±,...) ή y r d m ι (5.1) Μηα ηέηνηα ππθλή ζπζηνηρία παξάιιεισλ ζρηζκώλ είλαη γλσζηή σο νπηηθό ή πεξηζιαζηηθό θξάγκα θαη έρεη ηδηαίηεξε ζεκαζία ζε εθαξκνγέο αλάιπζεο πνιπρξσκαηηθήο αθηηλνβνιίαο (θαζκαηόκεηξα νξαηνύ θαη ππεξύζξνπ) ιόγσ ηεο κεγάιεο δηαθξηηηθήο ηθαλόηεηάο ηνπ. Πξάγκαηη, αλ αληί κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο πξνζπέζεη ζην θξάγκα πνιπρξσκαηηθή δέζκε (απνηεινύκελε από δηάθξηηεο θαζκαηηθέο γξακκέο), από ηελ Δμ. (5.1) ζπλάγεηαη όηη, (γηα κηα δεδνκέλε ηάμε θξνζζώλ, π.ρ. γηα m = 1), αληί ελόο ιεπηνύ θξνζζνύ ζα έρνπκε κηα ζεηξά ιεπηώλ έγρξσκσλ θξνζζώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα δηάθνξα κήθε θύκαηνο, ι, ηεο αθηηλνβνιίαο (βι. Άζθεζε 7, «Οπηηθή θαζκαηνζθνπία»). Η απόζηαζε κεηαμύ απηώλ ησλ έγρξσκσλ θξνζζώλ, θαη ζπλεπώο ε δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα ηνπ θξάγκαηνο, ζα απμάλεη κε ηελ ππθλόηεηα ησλ ζρηζκώλ, Ν, πνπ νξίδεηαη σο Ν = 1/d (5.1) θαη αληηζηνηρεί ζηνλ αξηζκό ησλ ζρηζκώλ αλά κνλάδα κήθνπο ηνπ θξάγκαηνο. 5.3 Mέζνδνο Γηα ηε κειέηε ησλ θαηλνκέλσλ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο ηνπ θσηόο ρξεζηκνπνηείηαη δέζκε ιέηδεξ, αζπλέρεηεο (slides) κε κία, δύν, ηξείο θαη ηέζζεξηο ζρηζκέο, θαζώο θαη έλα νπηηθό θξάγκα δηέιεπζεο. Η δέζκε ιέηδεξ πξνζπίπηεη θάζεηα ζηελ επηθάλεηα ηεο αζπλέρεηαο θαη ε παξαηήξεζε ηεο εηθόλαο ησλ θξνζζώλ γίλεηαη ζε βαζκνλνκεκέλε νζόλε (ραξηί κηιηκεηξέ) ζε κεγάιε απόζηαζε (ζηνλ ηνίρν) από ηελ αζπλέρεηα. ηελ πεξίπησζε ηεο κηαο ζρηζκήο, ζα κεηξεζνύλ ζηελ νζόλε ε απόζηαζε, x n, ελόο ζθνηεηλνύ θξνζζνύ (κηαο ζπγθεθξηκέλεο ηάμεο, n) από ην θέληξν ηεο εηθόλαο, θαζώο θαη ην γξακκηθό εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ γηα θάζε πεξίπησζε, θαη ζα ζπγθξηζνύλ κε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο απηώλ ησλ κεγεζώλ πνπ ππνινγίδνληαη από ηηο Δμ. (5.5) θαη (5.7) αληηζηνίρσο. ηε ζπλέρεηα, ζα ππνινγηζηεί ην εύξνο, D, κηαο άγλσζηεο ζρηζκήο, κε βάζε ηε κέηξεζε είηε ηεο απόζηαζεο, x n, είηε ηνπ γξακκηθνύ εύξνπο, W π, ηνπ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο. ηηο αζπλέρεηεο κε δύν ίδηεο ζρηζκέο ζα πξαγκαηνπνηεζνύλ αλάινγεο κεηξήζεηο απνζηάζεσλ θαη εύξνπο θξνζζώλ πάλσ ζηελ νζόλε. πγθεθξηκέλα ζα κεηξεζνύλ ε απόζηαζε, y m, ηνπ θσηεηλνύ θξνζζνύ (ηάμεο m) ζπκβνιήο από ην θέληξν ηεο εηθόλαο θαη ην εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο, θαη νη ηηκέο απηέο ζα ζπγθξηζνύλ κε ηηο πξνβιεπόκελεο από ηηο Δμ. (5.1) θαη (5.7) αληηζηνίρσο. Δπίζεο ζα ππνινγηζηεί ν ιόγνο ξ = d/d γηα έλα άγλσζην ζύζηεκα ζρηζκώλ. Η κειέηε ηεο εηθόλαο θξνζζώλ από πνιιαπιέο ζρηζκέο ζα είλαη πνηνηηθή θαη ζα αθνξά ζηελ έληαζε θαη δηαθξηηόηεηα ησλ θξνζζώλ. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ππθλόηεηαο, Ν, ησλ ζρηζκώλ ελόο άγλσζηνπ θξάγκαηνο, ζα κεηξεζεί ε απόζηαζε, y m, ελόο θξνζζνύ κηαο ζπγθεθξηκέλεο ηάμεο από ην θέληξν ηεο εηθόλαο θαη ζα ρξεζηκνπνηεζεί ε αθξηβήο κέζνδνο πξνζδηνξηζκνύ ηνπ sinζ. Πην αλαιπηηθά, εθόζνλ Ν = 1/d, ε Δμ. (5.1) γίλεηαη mιν = sinζ (5.11) όπνπ sinζ = y/(r + y ) (5.1) 75

76 Η ρξήζε ηεο Δμ. (5.1) αληί ηεο πξνζεγγηζηηθήο ζρέζεο sinζ y/r επηβάιιεηαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ θξάγκαηνο γηα αθξηβείο κεηξήζεηο, επεηδή ζηα θξάγκαηα ε απόθιηζε ησλ θξνζζώλ από ην θέληξν ηεο εηθόλαο είλαη κεγάιε θαη ην y είλαη ζπγθξίζηκν κε ην r. Γηα ηε κειέηε ηεο αλάιπζεο πνιπρξσκαηηθήο δέζκεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί πεγή ιεπθνύ θσηόο, ζε ζπλδπαζκό κε νπηηθό θξάγκα δηέιεπζεο θαη άιια βνεζεηηθά νπηηθά ζηνηρεία, όπσο θπθιηθό άλνηγκα κηθξήο δηακέηξνπ (ίξηδα) θαη ζπγθεληξσηηθόο θαθόο. Γεδνκέλνπ όηη ε ιάκπα ππξαθηώζεσο (πεγή ιεπθνύ θσηόο) έρεη κεγάιε έθηαζε εθπνκπήο θαη επνκέλσο κηθξό βαζκό ζπκθσλίαο, πεξηνξίδνπκε, κε ην κηθξό θπθιηθό άλνηγκα, ηελ πεξηνρή εθπνκπήο, κε απνηέιεζκα λα βειηηώλεηαη ν βαζκόο ζπκθσλίαο. 5.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Δμαξηήκαηα Η πεηξακαηηθή δηάηαμε (ρ. 5.6) πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί ζε απηή ηελ Άζθεζε απνηειείηαη από ηα αθόινπζα ζηνηρεία: ρήκα 5.6 Πιάγηα όςε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο γηα ηε κειέηε ησλ θαηλνκέλσλ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο. Φ: κεηαιιηθόο θνξέαο, L: ιέηδεξ, Β 1 : καγλεηηθή βάζε, Α: αζπλέρεηα (slide), O: νζόλε. 1. Λέηδεξ: O ιέηδεξ He-Ne είλαη παξόκνηνο κε εθείλνλ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ Άζθεζε 13 (Εξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σόκνο Ι). Γίλεη κηα ιεπηή (δηαηνκήο 3 mm) παξάιιειε κνλνρξσκαηηθή δέζκε κε ι = 63,8 nm θαη ηζρύ,5 mw. ΠΡΟΟΥΗ! Επαλαιακβάλνπκε θη εδώ όηη απαηηείηαη ηδηαίηεξε πξνζνρή ζηε ρξήζε ηνπ ιέηδεξ. Ελώ ε έληαζή ηνπ είλαη ρακειή γηα λα πξνθαιέζεη θάςηκν, κπνξεί λα επηθέξεη ζνβαξή βιάβε ζην κάηη, αλ πξνζπέζεη, είηε απεπζείαο είηε από αλάθιαζε, πάλσ ζε απηό. πλεπώο, όηαλ δελ παίξλνπκε κεηξήζεηο ή όηαλ δελ θάλνπκε παξαηεξήζεηο, ην δηάθξαγκα ζηελ έμνδν ηνπ ιέηδεξ πξέπεη λα είλαη θιεηζηό.. Δπζύγξακκνο κεηαιιηθόο θνξέαο: Πξόθεηηαη γηα κεηαιιηθή δνθό κήθνπο πεξί ην 1 m, πνπ ηνπνζεηείηαη πάλσ ζην κεηαιιηθό ηξαπέδη εξγαζίαο θαη ρξεζηκεύεη γηα ηε ζηήξημε ηνπ ιέηδεξ (ή ηεο πεγήο ιεπθνύ θσηόο), θαζώο θαη ησλ καγλεηηθώλ βάζεσλ. 3. Μαγλεηηθέο βάζεηο: Μεραληθά εμαξηήκαηα κε καγλεηηθή επίζηξσζε ζηε βάζε ηνπο, γηα λα ζπγθξαηνύληαη ζηαζεξά πάλσ ζηνλ κεηαιιηθό θνξέα. ηεξίδνπλ θαη ζπγθξαηνύλ δηάθνξα νπηηθά ζηνηρεία θαη εμαξηήκαηα. 4. Πεγή ιεπθνύ θσηόο: Πξόθεηηαη γηα ιπρλία ππξαθηώζεσο ηνπνζεηεκέλε ζε θαηάιιειν κεηαιιηθό πιαίζην, έηζη ώζηε λα κπνξεί λα ζηεξεώλεηαη ζηνλ κεηαιιηθό θνξέα θαη λα ζηεξίδεη άιια νπηηθά εμαξηήκαηα. 5. Οπηηθά ζηνηρεία εμαξηήκαηα: Σα νπηηθά ζηνηρεία πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηελ Άζθεζε έρνπλ καγλεηηθή επίζηξσζε πάλσ ζην πιαίζην πνπ ηα πεξηβάιιεη. Θα ρξεζηκνπνηεζνύλ ηα αθόινπζα: Μία αζπλέρεηα κε ηέζζεξηο απιέο ζρηζκέο, δηαθνξεηηθνύ αιιά γλσζηνύ εύξνπο, D Μία κεηαιιηθή αζπλέρεηα κε κία ζρηζκή αγλώζηνπ εύξνπο, D 76

77 Μία αζπλέρεηα κε 4 ζπζηήκαηα δύν ζρηζκώλ. Γηα ηα ηξία ζπζηήκαηα είλαη γλσζηά ηα εύξε, D, ησλ ζρηζκώλ θαη νη απνζηάζεηο, d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ. Γηα ην ηέηαξην ζύζηεκα ηα κεγέζε απηά είλαη άγλσζηα Μία αζπλέρεηα κε ζπζηήκαηα πνιιαπιώλ ζρηζκώλ (από σο 5 ζρηζκέο) Έλα νπηηθό θξάγκα άγλσζηεο ππθλόηεηαο ζρηζκώλ Έλα θπθιηθό άλνηγκα κηθξήο δηακέηξνπ (ίξηο) γηα ηνλ πεξηνξηζκό ησλ δηαζηάζεσλ ηεο πεγήο ιεπθνύ θσηόο (πξνζέγγηζε ζεκεηαθήο πεγήο) Έλαο ζπγθεληξσηηθόο θαθόο κε εζηηαθή απόζηαζε 48 mm, γηα ηε δεκηνπξγία παξάιιειεο δέζκεο ιεπθνύ θσηόο, πνπ ζηε ζπλέρεηα ζα αλαιπζεί από ην θξάγκα. ΠΡΟΟΥΗ! Η πνηόηεηα ησλ εηθόλσλ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο ζα κεησζεί, αλ ππάξρνπλ δαθηπιηθά απνηππώκαηα ζηηο επηθάλεηεο ησλ νπηηθώλ ζηνηρείσλ. πλεπώο κελ αγγίδεηε κε ηα δάθηπια απηέο ηηο επηθάλεηεο, αιιά λα θξαηάηε ην θάζε νπηηθό ζηνηρείν (θαη εηδηθά ην νπηηθό θξάγκα) από ηελ πεξηθέξεηα ηνύ πιαηζίνπ ηνπ. ε πεξίπησζε πνπ θάπνην ζηνηρείν ρξεηάδεηαη θαζαξηζκό, απνηαλζείηε ζηνλ επηβιέπνληα. Βηβιηνγξαθία 1. H.J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ, 3 ε έθδνζε, Κεθ. 1: Παξάγξ θαη , Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 199).. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Β : Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο, Οπηηθή, ύγρξνλε Φπζηθή, Κεθ. 37: Παξάγξ θαη Κεθ. 38: Παξάγξ , Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 3. M. Young, Οπηηθή θαη Λέηδεξ, Κεθ. 5, Παλεπηζηεκηαθέο Δθδόζεηο Δ.Μ.Π. (Αζήλα 8). 4. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Β': Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο-Οπηηθή, Κεθ. 39: Παξάγξ , Κεθ. 4: Παξάγξ. 4.1, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 5. F. S. Crawford, Μαζήκαηα Φπζηθήο Παλεπηζηεκίνπ Berkeley. Σόκνο 3: Κπκαηηθή, Κεθ. 9: Παξάγξ. 9.6, Δξγαζηήξηα Φπζηθήο Δ.Μ.Π. (Αζήλα 1979). 5.5 Δθηέιεζε Πξνεηνηκαζία ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο 1. πλαξκνινγήζηε ηε δηάηαμε πνπ θαίλεηαη ζην ρ Σνζεηήζηε πάλσ ζηνλ κεηαιιηθό θνξέα (Φ) ην ιέηδεξ (L) θαη κία καγλεηηθή βάζε (Β 1 ), ζε κηθξή απόζηαζε από ην ιέηδεξ. Σνπνζεηήζηε ζε κεγάιε απόζηαζε (πάλσ από 1 m) από ηε βάζε, πάλσ ζηνλ ηνίρν, ηε βαζκνλνκεκέλε νζόλε (Ο) θαη αλάςηε ην ιέηδεξ αλνίγνληαο ην δηάθξαγκα εμόδνπ ηεο δέζκεο. Πξνζαξκόζηε ηελ νζόλε έηζη, ώζηε ε δέζκε ηνπ ιέηδεξ λα πέθηεη ζε έλα θεληξηθό ζεκείν ηεο νζόλεο θαη ζεκεηώζηε κε κνιύβη απηή ηε ζέζε, πνπ ζα αληηπξνζσπεύεη ην θέληξν ηεο εηθόλαο ησλ θξνζζώλ. Κιείζηε ην δηάθξαγκα εμόδνπ ηνπ ιέηδεξ.. Πξνζαξκόζηε ηελ αζπλέρεηα (Α) κε ηηο απιέο ζρηζκέο ζηε βάζε. Αλνίμηε ην δηάθξαγκα εμόδνπ ηνπ ιέηδεξ θαη κεηαθηλήζηε ηελ αζπλέρεηα εγθάξζηα ζηε δέζκε, κέρξηο όηνπ ε πξώηε ζρηζκή ζπλαληήζεη ηε δέζκε. Παξαηεξήζηε ηελ εηθόλα πεξίζιαζεο θαη κεγηζηνπνηήζηε ηελ έληαζή ηεο, εθηειώληαο κηθξέο εγθάξζηεο κεηαηνπίζεηο ηεο αζπλέρεηαο, έηζη ώζηε ην θέληξν ηεο δέζκεο ηνπ ιέηδεξ λα πξνζπέζεη ζηε ζρηζκή. Βεβαησζείηε όηη ε δέζκε πξνζπίπηεη θάζεηα Πεξίζιαζε από κία ζρηζκή 1. Μεηξήζηε κε κεηξεηηθή ηαηλία ηελ απόζηαζε, r, κεηαμύ αζπλέρεηαο θαη νζόλεο θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα απηήο ηεο κέηξεζεο r =.. 77

78 . Mεηξήζηε ζηελ νζόλε ηελ απόζηαζε, x n, ηνπ ζθνηεηλνύ θξνζζνύ ηάμεο n (επηιέμηε ηελ ηάμε n θαηάιιεια γηα θάζε ζρηζκή, έηζη ώζηε ην x n λα είλαη κεηξήζηκν) από ην θέληξν ηεο εηθόλαο, θαη ην εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ θαη εθηηκήζηε ηα ζθάικαηα, δx m θαη δw π, γηα απηέο ηηο κεηξήζεηο. (Γηα ηελ εθηίκεζε ησλ ζθαικάησλ ζπδεηήζηε κε ηνλ επηβιέπνληα). Γηα λα ειαρηζηνπνηείηαη ην ζθάικα κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ θξνζζώλ, είλαη ζθόπηκν λα κεηξάηαη ε απόζηαζε κεηαμύ ζπκκεηξηθώλ θξνζζώλ εθαηέξσζελ ηνπ θεληξηθνύ θαη λα ππνδηπιαζηάδεηαη ε ηηκή πνπ πξνθύπηεη. Καηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο γηα ηηο ζρηζκέο γλσζηνύ εύξνπο ζηνλ Πίλαθα Ι. ΠΙΝΑΚΑ Ι Α/Α D (mm) x n (mm) x n (mm) W π (mm) W π (mm) κέηξεζε ππνινγηζκόο κέηξεζε ππνινγηζκόο Άγλσζη ε δx m =. θαη δw π =. 3. Mεηξήζηε πόζνπο ζθνηεηλνύο θξνζζνύο παξαηεξείηε εθαηέξσζελ ηνπ θεληξηθνύ γηα ηε ζρηζκή κε D =,8 mm. n ζθ = 4. Πξνζαξκόζηε ζηε βάζε ηε κεηαιιηθή αζπλέρεηα κε ηε ζρηζκή άγλσζηνπ εύξνπο. Μεηξήζηε ζηελ νζόλε ην γξακκηθό εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ (ή ηελ απόζηαζε, x n, θάπνηνπ ζθνηεηλνύ θξνζζνύ) θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα ηεο κέηξεζεο. W π =.. ή x n =.. γηα n = πκβνιή - πεξίζιαζε από δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρηζκέο 1. Σνπνζεηήζηε ζηε βάζε ηελ αζπλέρεηα κε ηα ζπζηήκαηα ησλ δύν ζρηζκώλ. Μεηξήζηε ζηελ νζόλε ηελ απόζηαζε, y m, ηνπ θσηεηλνύ θξνζζνύ ζπκβνιήο ηάμεο m (πάιη επηιέμηε ηελ ηάμε, m, έηζη ώζηε ην y m λα είλαη κεηξήζηκν) θαη ην γξακκηθό εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο γηα ηα ζπζηήκαηα ζρηζκώλ κε γλσζηά ηα d θαη D. Δθηηκήζηε ηα ζθάικαηα ησλ κεηξήζεσλ, δy m θαη δw π, θαη θαηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα ΙΙ. ΠΙΝΑΚΑ ΙΙ Α/Α d (mm) y m (mm) y m (mm) D (mm) W π (mm) W π (mm) κέηξεζε ππνινγηζκόο κέηξεζε ππνινγηζκόο 1,5,4,5,4 3,5,8 δy m =. θαη δw π. 78

79 . Σνπνζεηήζηε ζηε βάζε ηελ αζπλέρεηα ηνπ ζπζηήκαηνο κε ηα άγλσζηα d θαη D. Μεηξήζηε ζηελ νζόλε ηελ απόζηαζε, y m, θάπνηνπ θσηεηλνύ θξνζζνύ ζπκβνιήο θαη ην γξακκηθό εύξνο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο θαη εθηηκήζηε ηα ζθάικαηα ησλ κεηξήζεσλ y m =.., W π =.. 3. Toπνζεηήζηε ζηε βάζε ηελ αζπλέρεηα κε ηα ζπζηήκαηα πνιιαπιώλ ζρηζκώλ κε ην ίδην D θαη παξαηεξήζηε ζηελ νζόλε ηηο εηθόλεο πεξίζιαζεο-ζπκβνιήο, αξρίδνληαο από ην ζύζηεκα δύν ζρηζκώλ κέρξη ην ζύζηεκα πέληε ζρηζκώλ. Καηαγξάςηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο, ζεκεηώλνληαο ηηο νκνηόηεηεο θαη ηηο δηαθνξέο πνπ ηπρόλ έρνπλ νη εηθόλεο Οπηηθό θξάγκα 1. Σνπνζεηήζηε ην νπηηθό θξάγκα ζηε καγλεηηθή βάζε θαη κεηξήζηε ζηελ νζόλε ηελ απόζηαζε, y m, ηνπ θσηεηλνύ θξνζζνύ πνπ επηιέμαηε από ην θέληξν ηεο εηθόλαο. Δθηηκήζηε ην ζθάικα ηεο κέηξεζεο. y m =.. γηα m =. Με έλα ιεπθό ραξηί πξνζπαζήζηε λα δηαπηζηώζεηε αλ ην θξάγκα ιεηηνπξγεί θαη σο θξάγκα αλάθιαζεο Αλάιπζε πνιπρξσκαηηθήο δέζκεο θσηόο 1. Απνκαθξύλεηε ην ιέηδεξ από ηνλ κεηαιιηθό θνξέα θαη ζηε ζέζε ηνπ ηνπνζεηήζηε ηελ πεγή ιεπθνύ θσηόο.. ηεξίμηε ζην κεηαιιηθό πιαίζην ηεο πεγήο ην θπθιηθό άλνηγκα κηθξήο δηακέηξνπ (ίξηδα) όζν ην δπλαηόλ πην θνληά ζηνλ ιακπηήξα. 3. Σνπνζεηήζηε ζηνλ θνξέα κία αθόκε καγλεηηθή βάζε, Β, αλάκεζα ζηελ πεγή θαη ηελ άιιε καγλεηηθή βάζε θαη ζηεξίμηε ηνλ ζπγθεληξσηηθό θαθό ζηε βάζε Β. 4. Μεηαηνπίζηε ηε Β θαηά κήθνο ηνπ θνξέα, κέρξηο όηνπ ε δέζκε ηνπ ιεπθνύ θσηόο λα εμέξρεηαη παξάιιειε από ην θαθό. 5. Σνπνζεηήζηε ην νπηηθό θξάγκα ζηε βάζε Β 1 θαη αθήζηε ηε δέζκε λα πξνζπέζεη πάλσ ηνπ. 6. Παξαηεξήζηε ζε ιεπθή νζόλε, ζε κηθξή ζρεηηθά απόζηαζε κεηά ην θξάγκα, ηελ εηθόλα ησλ έγρξσκσλ θξνζζώλ θαη γξάςηε ηηο παξαηεξήζεηο ζαο. 5.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πεξίζιαζε από κία ζρηζκή 1. Τπνινγίζηε ηηο αλακελόκελεο ηηκέο γηα ηα x n θαη W π πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο 4 ζρηζκέο γλσζηνύ D από ηηο Δμ. (5.5) θαη (5.7), θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηελ 3 ε θαη 5 ε ζηήιε, αληηζηνίρσο, ηνπ Πίλαθα Ι. Να ιάβεηε ππόςε ζαο όηη ην κήθνο θύκαηνο ηνπ ιέηδεξ είλαη ι = 63,8 nm (κε ακειεηέν ζθάικα), αιιά ε απόζηαζε, r, θέξεη ζθάικα κέηξεζεο, ην νπνίν δηαδίδεηαη ζηελ ππνινγηδόκελε ηηκή ησλ x n θαη W π. πγθξίλεηε ηηο ηηκέο πνπ κεηξήζαηε κε εθείλεο πνπ ππνινγίζαηε. πκθσλνύλ;. Δρνληαο ππόςε ηελ Δμ. (5.8) ππνινγίζηε πνηνο είλαη ν ζεσξεηηθά αλακελόκελνο αξηζκόο θξνζζώλ γηα ηε ζρηζκή D =,8 mm θαη ζπγθξίλεηέ ηνλ κε ηνλ κέγηζην αξηζκό θξνζζώλ, n ζθ, πνπ παξαηεξήζαηε γηα απηή ηε ζρηζκή. 3. Τπνινγίζηε ην εύξνο, D, ηεο άγλσζηεο ζρηζκήο από ηηο κεηξήζεηο ηνπ εύξνπο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο (ή ηεο απόζηαζεο, x n, θάπνηνπ ζθνηεηλνύ θξνζζνύ) ρξεζηκνπνηώληαο ηηο Δμ. (5.5) ή (5.7). Πξνζνρή ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ ζθάικαηνο δd, 79

80 δνζέληνο όηη ππεηζέξρνληαη ζθάικαηα κεηξήζεσλ θαη γηα ην r αιιά θαη γηα ην W π (θαη ην x n ). D = πκβνιή - πεξίζιαζε από δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρηζκέο 1. Τπνινγίζηε ηηο αλακελόκελεο ηηκέο γηα ηα y m θαη W π πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα 3 ζπζηήκαηα δύν ζρηζκώλ κε γλσζηά ηα d θαη D από ηηο Δμ. (5.1) θαη (5.7) θαη θαηαρσξήζηε ηηο θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηελ 4 ε θαη 6 ε ζηήιε, αληηζηνίρσο, ηνπ Πίλαθα ΙΙ. πκθσλνύλ νη ηηκέο πνπ κεηξήζαηε κε εθείλεο πνπ ππνινγίζαηε, κέζα ζηα όξηα ησλ ζθαικάησλ;. Από ηηο κεηξήζεηο ηεο απόζηαζεο, r, κεηαμύ θξάγκαηνο θαη νζόλεο, ηεο απόζηαζεο, y m, θάπνηνπ θσηεηλνύ θξνζζνύ ζπκβνιήο από ην θέληξν ηεο εηθόλαο θαη ηνπ εύξνπο, W π, ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ πεξίζιαζεο, ππνινγίζηε, κε ηε βνήζεηα ησλ Δμ. (5.1) θαη (5.7), ηα d θαη D ηνπ άγλσζηνπ ζπζηήκαηνο δύν ζρηζκώλ θαη ζηε ζπλέρεηα ππνινγίζηε ην ιόγν ξ = d/d ξ = D d =. 3. ρνιηάζηε ηηο νκνηόηεηεο θαη ηηο δηαθνξέο ησλ εηθόλσλ πεξίζιαζεο-ζπκβνιήο γηα ηα ζπζηήκαηα, 3, 4 θαη 5 ίδησλ ζρηζκώλ. Παξαηεξήζαηε δεπηεξεύνληεο θσηεηλνύο θξνζζνύο ζπκβνιήο γηα ηα ζπζηήκαηα 3, 4 θαη 5 ζρηζκώλ; Οπηηθό θξάγκα 1. Λακβάλνληαο ππόςε ηηο κεηξήζεηο ηεο απόζηαζεο, r, κεηαμύ θξάγκαηνο θαη νζόλεο θαη ηεο απόζηαζεο, y m, θάπνηνπ θξνζζνύ, θαζώο θαη ηηο Δμ. (5.11) θαη (5.1), ππνινγίζηε ηελ ππθλόηεηα ζρηζκώλ ηνπ θξάγκαηνο Ν =..... Λεηηνπξγεί ην θξάγκα σο θξάγκα αλάθιαζεο; Αλάιπζε πνιπρξσκαηηθήο δέζκεο θσηόο Πεξηγξάςηε πώο θαίλνληαη νη έγρξσκνη θξνζζνί θαη κε πνηα ζεηξά εκθαλίδνληαη ηα δηάθνξα ρξώκαηα, θαη γηαηί. 8

81 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ 5 (Π5) πκβνιή θαη πεξίζιαζε ηνπ θσηόο Π5.1 Βαζηθέο έλλνηεο θπκαηηθήο νπηηθήο Σα θαηλόκελα ηεο ππέξζεζεο θσηεηλώλ αθηίλσλ πεξηγξάθνληαη θαη εμεγνύληαη επαξθώο από ηελ θπκαηηθή ζεσξία ηνπ θσηόο, ζε ζπλδπαζκό κε ηελ ειεθηξνδπλακηθή ζεσξία ηνπ Maxwell. ύκθσλα κε απηή ηε ζεσξία, ην θσο είλαη έλα εγθάξζην ειεθηξνκαγλεηηθό θύκα, όπνπ ην παιιόκελν κέγεζνο είλαη ην δηάλπζκα Δ ηνπ ειεθηξηθνύ (θαη Β ηνπ καγλεηηθνύ) πεδίνπ. Η δηεύζπλζε ηαιάλησζεο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ θαζνξίδεη ηελ πόισζε ηνπ θσηεηλνύ θύκαηνο. Αλ όιεο νη δπλαηέο δηεπζύλζεηο ηαιάλησζεο ζπλππάξρνπλ θαη έρνπλ ην ίδην πιάηνο, ην θσηεηλό θύκα είλαη γλσζηό σο θπζηθό θσο θαη νη πεγέο πνπ ην εθπέκπνπλ σο θπζηθέο πεγέο (ειηαθό θσο, ιακπηήξεο ππξαθηώζεσο ή εθθελώζεσο αεξίνπ). Αλ όκσο ην ειεθηξηθό (θαη ην καγλεηηθό) πεδίν ηαιαληώλεηαη ζε κία κόλν δηεύζπλζε, ην θσηεηλό θύκα αλαθέξεηαη σο γξακκηθά πνισκέλν θσο. Καηά ηε δηάδνζε ελόο θσηεηλνύ θύκαηνο, ηα ζεκεία πνπ έρνπλ ίδηα θάζε νξίδνπλ κηα επηθάλεηα πνπ είλαη γλσζηή σο κέησπν θύκαηνο. ηελ πεξίπησζε ζεκεηαθήο πεγήο, πνπ εθπέκπεη πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο ζην ρώξν (ηξηζδηάζηαην θύκα), ην κέησπν θύκαηνο είλαη επηθάλεηα ζθαίξαο πνπ δηαζηέιιεηαη κε ηαρύηεηα ίζε κε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Αλ ε πεγή εθηείλεηαη θαηά κήθνο κηαο επζείαο, ην κέησπν θύκαηνο γύξσ από ην θεληξηθό κέξνο ηεο πεγήο είλαη θπιηλδξηθή επηθάλεηα κε άμνλα ηελ πεγή. Αλ ην θσηεηλό θύκα θηλείηαη ζε κία δηάζηαζε (παξάιιειε δέζκε), ην κέησπν θύκαηνο είλαη επίπεδν, θάζεην ζηε δηεύζπλζε δηάδνζεο. Η δέζκε ιέηδεξ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ Άζθεζε απηή έρεη πνιύ κηθξό άλνηγκα, θαη επνκέλσο κπνξεί λα ζεσξεζεί, κε θαιή πξνζέγγηζε, παξάιιειε, θαη ην αληίζηνηρν κέησπν θύκαηνο επίπεδν. Π5. πκθσλία θσηεηλήο δέζκεο Μηα ζεκειηώδεο έλλνηα ζηελ θπκαηηθή νπηηθή είλαη ε ζπκθσλία ηεο θσηεηλήο πεγήο, ε νπνία ζρεηίδεηαη άκεζα κε ην βαζκό κνλνρξσκαηηθόηεηαο ηεο δέζκεο πνπ εθπέκπεη ε πεγή. Αλ κηα θσηεηλή πεγή εμέπεκπε ζε κία θαη κόλν ζπρλόηεηα, σ, ηόηε, γλσξίδνληαο ην πεδίν Δ ζε κηα δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή γηα κηα ζπγθεθξηκέλε ζέζε ηνπ κεηώπνπ ηνπ θύκαηνο, ζα ήκαζηαλ ζε ζέζε, από ηε ιύζε ηεο εμίζσζεο ηνπ θύκαηνο, λα πξνβιέςνπκε κε αθξίβεηα ηελ ηηκή ηνπ πεδίνπ θάζε ρξνληθή ζηηγκή t γηα θάζε άιιε ζέζε ηνπ κεηώπνπ ηνπ θύκαηνο. Μηα ηέηνηα (ηδαληθή) πεγή ραξαθηεξίδεηαη από απόιπηε ζπκθσλία. ηελ πξαγκαηηθόηεηα, όκσο, αθόκε θαη θσηεηλέο δέζκεο πνπ εθπέκπνληαη από αηνκηθέο πεγέο (ζηηο νπνίεο ε εθπνκπή αθηηλνβνιίαο είλαη απνηέιεζκα κεηαπηώζεσλ κεηαμύ ελεξγεηαθά ζηελώλ ειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ) παξνπζηάδνπλ έλα θαζκαηηθό εύξνο Γλ = Γσ/π, δελ είλαη δειαδή απόιπηα κνλνρξσκαηηθέο, πξάγκα ην νπνίν νθείιεηαη ζε δηάθνξεο θπζηθέο αηηίεο (πεπεξαζκέλε δηάξθεηα ελεξγεηαθώλ κεηαπηώζεσλ, δηεύξπλζε ηεο θαζκαηηθήο γξακκήο ιόγσ ηνπ θαηλνκέλνπ Doppler ή ζπγθξνύζεσλ κεηαμύ αηόκσλ θιπ.). Απηό ην γεγνλόο ζέηεη νξηζκέλνπο πεξηνξηζκνύο όζνλ θνξά ζηελ (αθόκε θαη θαηά πξνζέγγηζε) πξόβιεςε ηεο ηηκήο ηνπ πεδίνπ κεηά από παξέιεπζε ελόο νξηαθνύ ρξνληθνύ δηαζηήκαηνο, t ζ, ην νπνίν ζρεηίδεηαη άκεζα κε ην θαζκαηηθό εύξνο ηεο πεγήο θαη δίλεηαη από ηε ζρέζε t ζ = 1/Γλ Σν ρξνληθό απηό δηάζηεκα είλαη γλσζηό σο ρξόλνο ζπκθσλίαο θαη ε απόζηαζε (Π5.1) l ζ = c t ζ πνπ ζα δηαλύζεη ην θσηεηλό θύκα ζην ρξόλν t ζ, είλαη ην κήθνο ζπκθσλίαο ηεο πεγήο. (Π5.) 81

82 Μηα ηέηνηα πεγή ραξαθηεξίδεηαη από κεξηθή ζπκθσλία, κε ηελ έλλνηα όηη, κέζα ζην ρξόλν t ζ ή γηα απόζηαζε δηάδνζεο l ζ, ππάξρεη έλαο βαζκόο ζπζρέηηζεο ηεο θάζεο ηνπ θσηεηλνύ θύκαηνο κε ηελ αξρηθή θάζε, ελώ γηα t > t ζ ε θάζε ηνπ θύκαηνο ζα είλαη ηπραία θαη, επνκέλσο, ε ηηκή ηνπ πεδίνπ δελ ζα κπνξεί λα εθηηκεζεί, νύηε θαηά πξνζέγγηζε. Αλ έρνπκε κηα θπζηθή πεγή θσηόο (ιάκπα ππξαθηώζεσο), κπνξνύκε λα βειηηώζνπκε ην βαζκό ζπκθσλίαο ηεο, πεξηνξίδνληαο ηελ επηθάλεηα εθπνκπήο ηεο ζε πνιύ κηθξέο δηαζηάζεηο (πξνζέγγηζε ζεκεηαθήο πεγήο). Απηό ζπκβαίλεη επεηδή ν βαζκόο ζπζρέηηζεο ηεο θάζεο κεηαμύ γεηηνληθώλ ζηνηρεησδώλ πεγώλ είλαη πνιύ θαιύηεξνο από ό,ηη είλαη ζηελ πεξίπησζε καθξηλώλ ζηνηρεησδώλ πεγώλ. Π5.3 πκβνιή ηνπ θσηόο ηε γεληθή πεξίπησζε ηεο ππέξζεζεο δύν θσηεηλώλ θπκάησλ, ην απνηέιεζκα πνπ ζα πξνθύςεη κπνξεί λα πεξηγξαθεί από ηε ζπληζηακέλε ησλ δηαλπζκάησλ ησλ ειεθηξηθώλ πεδίσλ ζηα δηάθνξα ζεκεία όπνπ ζπλαληώληαη ηα κέησπα ησλ θπκάησλ. Δίλαη επλόεην όηη, γηα λα ππάξμεη κηα ρξνληθά κε κεηαβαιιόκελε ζηαζεξή εηθόλα ππέξζεζεο, πξέπεη: (α) νη θσηεηλέο πεγέο πνπ εθπέκπνπλ ηα θύκαηα λα είλαη ζύκθσλεο θαη (β) νη ζπρλόηεηεο ησλ θπκάησλ λα είλαη κεηαμύ ηνπο ίζεο Γηαθνξεηηθά, ε δηαθνξά θάζεο κεηαμύ ησλ δύν θπκάησλ, γηα θάζε ζεκείν ηνπ ρώξνπ ζπλάληεζήο ηνπο, ζα κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν, κε ζπλέπεηα ε ζπληζηακέλε λα έρεη κηα πεξίπινθε εμάξηεζε από ην ρξόλν. Οη δύν παξαπάλσ πξνηάζεηο απνηεινύλ ηηο βαζηθέο πξνϋπνζέζεηο γηα ηελ επίηεπμε ηεο εηδηθήο πεξίπησζεο ππέξζεζεο πνπ είλαη γλσζηή σο ζπκβνιή. Η απινύζηεξε πεξίπησζε ζπκβνιήο ζπκβαίλεη όηαλ ηα δηαλύζκαηα ησλ ειεθηξηθώλ πεδίσλ ησλ δύν θπκάησλ είλαη ζπγγξακκηθά, όηαλ δειαδή ηα θύκαηα είλαη γξακκηθά πνισκέλα ζηελ ίδηα δηεύζπλζε. Αλ ηζρύνπλ νη παξαπάλσ πξνϋπνζέζεηο ζπκβνιήο, ε δηαθνξά θάζεο ζε έλα ηπρόλ ζεκείν ηνπ ρώξνπ είλαη ζηαζεξή κε ην ρξόλν θαη εμαξηάηαη κόλν από ηε ζέζε ηνπ ζεκείνπ (δει. από ηε δηαθνξά δξόκνπ πνπ δηαλύνπλ ηα θύκαηα από ηηο πεγέο). Σόηε δεκηνπξγείηαη κηα ζηαζεξή ρξνληθά εηθόλα ζπκβνιήο, αιιά κε ρσξηθή δηαθύκαλζε ηεο θσηεηλόηεηαο κεηαμύ κηαο κέγηζηεο θαη κηαο ειάρηζηεο ηηκήο, πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο πεξηνρέο όπνπ ηα δύν κέησπα ζπκβάιινπλ ζε θάζε (εληζρπηηθή ζπκβνιή) ή ζε αληίζεηε θάζε (αλαηξεηηθή ζπκβνιή). Αλ νη εληάζεηο ησλ ζπκβαιινκέλσλ θπκάησλ είλαη ίζεο, εύθνια πξνθύπηεη όηη νη πεξηνρέο ειάρηζηεο θσηεηλόηεηαο ζα είλαη ζθνηεηλέο. Έηζη δεκηνπξγείηαη ε εηθόλα ησλ θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο. Θα πξέπεη λα αλαθεξζεί όηη δύν θσηεηλά θύκαηα πνπ πιεξνύλ ηηο πην πάλσ πξνϋπνζέζεηο, αιιά είλαη γξακκηθά πνισκέλα ζε θάζεηεο κεηαμύ ηνπο δηεπζύλζεηο, δελ ζπκβάιινπλ. Απηό πνηνηηθά εμεγείηαη από ην γεγνλόο όηη, ζε απηήλ ηελ πεξίπησζε, ε ππέξζεζε ησλ πεδίσλ είλαη δηαλπζκαηηθή θαη, ζπλεπώο, ε ζπληζηακέλε δελ γίλεηαη πνηέ κεδέλ (γηα νπνηαδήπνηε δηαθνξά θάζεο), ελώ ζηελ πεξίπησζε ησλ ζπγγξακκηθώλ πεδίσλ (ίδηα γξακκηθή πόισζε) ε ππέξζεζε είλαη αιγεβξηθή. Δπνκέλσο, γηα ηελ ύπαξμε ζπκβνιήο πξνθύπηεη θαη κηα ηξίηε πξνϋπόζεζε πνπ αλαθέξεη όηη (γ) αλ ηα θσηεηλά θύκαηα είλαη γξακκηθά πνισκέλα, πξέπεη λα έρνπλ ηελ ίδηα δηεύζπλζε ηαιάλησζεο ησλ πεδίσλ ή, ηνπιάρηζηνλ, ζπληζηώζεο ηαιάλησζεο ζηελ ίδηα δηεύζπλζε. Με δεδνκέλν όηη ε θσηεηλή έληαζε (ηζρύο αλά κνλάδα επηθαλείαο) ελόο θύκαηνο είλαη αλάινγε ηεο κέζεο ηηκήο ηνπ ηεηξαγώλνπ ηεο έληαζεο ηνπ πεδίνπ, Θ, πξνθύπηεη από ηε καζεκαηηθή επεμεξγαζία όηη, γηα δύν ζπκβαιιόκελα θύκαηα ηεο ίδηαο γξακκηθήο πόισζεο, ε θσηεηλή έληαζε ηνπ ζπληζηάκελνπ θύκαηνο ζα δίλεηαη από ηε ζρέζε Θ = Θ 1 + Θ + I 1 I cos(δθ) (Π5.3) όπνπ Θ 1, Θ νη θσηεηλέο εληάζεηο ησλ επηκέξνπο θπκάησλ θαη δθ ε δηαθνξά θάζεο ησλ δύν θπκάησλ, πνπ είλαη ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο. 8

83 ηα ζεκεία όπνπ ηα δύν θύκαηα θζάλνπλ ζε θάζε (δθ =, ±π, ±4π) παξαηεξείηαη κέγηζηε έληαζε: Θ max = Θ 1 + Θ + I 1 I (Π5.4) θαη ηα ζεκεία απηά αλαθέξνληαη σο ζεκεία (πεξηνρέο) κέγηζηεο εληζρπηηθήο ζπκβνιήο. Αληίζηνηρα ζηα ζεκεία πνπ ηα δύν θύκαηα θζάλνπλ ζε αληίζεηε θάζε (δθ = ±π, ±3π, ±5π) παξαηεξείηαη ειάρηζηε έληαζε Θ min = Θ 1 + Θ - I 1 I (Π5.5) θαη ηα ζεκεία απηά αλαθέξνληαη σο ζεκεία (πεξηνρέο) ειάρηζηεο αλαηξεηηθήο ζπκβνιήο. Από ηηο Δμ. (Π5.5) θαη (Π5.6) πξνθύπηεη όηη, γηα δύν ζπκβαιιόκελεο δέζκεο, κε ηελ ίδηα γξακκηθή πόισζε θαη ίζε έληαζε, ε θσηεηλή έληαζε ηνπ ζπληζηάκελνπ θύκαηνο ζα δίλεηαη από ηε ζρέζε Θ max = 4Θ, Θ min =. (Π5.6) νπόηε νη πεξηνρέο κέγηζηεο εληζρπηηθήο ζπκβνιήο ζρεκαηίδνπλ ηνπο θσηεηλνύο θξνζζνύο, ελώ ηα ζεκεία ειάρηζηεο αλαηξεηηθήο ζπκβνιήο ζρεκαηίδνπλ ηνπο ζθνηεηλνύο θξνζζνύο ζπκβνιήο. Π5.4 πκβνιή από δύν ζεκεηαθέο ζύκθσλεο πεγέο ηελ πξάμε, ε δεκηνπξγία δύν ζύκθσλσλ πεγώλ αλάγεηαη ζπλήζσο ζηε δηαίξεζε ηνπ κεηώπνπ κηαο ζύκθσλεο κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο από δύν παξόκνηεο νπέο πνιύ κηθξήο δηακέηξνπ, ζε απόζηαζε d κεηαμύ ηνπο (ρ. Π5.1). Με βάζε ηελ αξρή ηνπ Huygens, ε παξεκβνιή κηαο ηέηνηαο αζπλέρεηαο ζην κέησπν ηνπ θύκαηνο έρεη σο απνηέιεζκα ηε δεκηνπξγία δεπηεξνγελώλ ζεκεηαθώλ πεγώλ ζθαηξηθώλ θπκάησλ ζηηο νπέο. Σα θσηεηλά θύκαηα πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο δύν νπέο ηθαλνπνηνύλ ηηο ηξεηο πξνϋπνζέζεηο γηα ζπκβνιή, αθνύ εθπέκπνληαη από ζύκθσλεο πεγέο θαη έρνπλ ίδηεο ζπρλόηεηεο θαη πνιώζεηο. Αλ αληί ησλ νπώλ ρξεζηκνπνηήζνπκε αζπλέρεηα κε δύν παξάιιειεο ζρηζκέο πνιύ κηθξνύ εύξνπο, ζα πξνθύςνπλ δύν ζπζηνηρίεο ζύκθσλσλ πεγώλ, κε απνηέιεζκα ηα δεπηεξνγελή θύκαηα λα έρνπλ θπιηλδξηθά κέησπα θαη ε εηθόλα ησλ θξνζζώλ ζπκβνιήο, πνπ ζα παξαηεξεζεί ζε κηα νζόλε ζε απόζηαζε r από ηηο πεγέο, ζα γίλεη εληνλόηεξε. ρήκα Π5.1 (α) πκβνιή από δύν ζύκθσλεο ζεκεηαθέο πεγέο πνπ πξνέξρνληαη από ηε δηαίξεζε ηνπ κεηώπνπ θύκαηνο κηαο ζύκθσλεο κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο, κήθνπο θύκαηνο ι, κε ηε βνήζεηα δύν ζρηζκώλ S 1 θαη S, πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε d. Η θσηεηλή έληαζε πάλσ ζε κηα νζόλε, πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε r από ηηο ζρηζκέο, έρεη ηελ απεηθνληδόκελε εκηηνλνεηδή κνξθή Θ(ζ, y) (β) Κξνζζνί ζπκβνιήο πνπ πξνθύπηνπλ από ηε ζπκβνιή ησλ δύν ζρηζκώλ, όπσο εκθαλίδνληαη ζηελ νζόλε (Πείξακα ηνπ Young). 83

84 Θεσξνύκε έλα ζεκείν Ρ πάλσ ζηελ νζόλε, ζε απόζηαζε y από ην θέληξν ζπκκεηξίαο ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο (ρ. Π5.1). Αλ ε απόζηαζε r κεηαμύ ζρηζκώλ θαη νζόλεο είλαη πνιύ κεγαιύηεξε από ηελ απόζηαζε d, κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ (πξνζέγγηζε καθξηλνύ πεδίνπ), ηόηε κπνξνύκε λα ηζρπξηζηνύκε όηη y << r θαη sinζ y/r, νπόηε ε δηαθνξά δξόκνπ γηα ην ζεκείν Ρ ηεο νζόλεο ζα δίλεηαη από ηε ζρέζε r 1 r = d sinζ d r y (Π5.7) Από απηή ηε ζρέζε θαη ζύκθσλα κε όζα αλαθέξζεθαλ παξαπάλσ, πξνθύπηνπλ νη αθόινπζεο ζπλζήθεο, γηα θσηεηλνύο θαη ζθνηεηλνύο θξνζζνύο αληίζηνηρα θσηεηλνί θξνζζνί: d sinζ = m ι ή y = r d m ι (Π5.8α) ζθνηεηλνί θξνζζνί: d sinζ = (m + 1/) ι ή y = r d (Π5.8β) (m + 1/) ι όπνπ m =, ±1, ±,... Παξαηεξνύκε όηη νη απνζηάζεηο ησλ θξνζζώλ από ην θέληξν ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο είλαη αληηζηξόθσο αλάινγεο ηεο απόζηαζεο d κεηαμύ ησλ ζρηζκώλ. Η δηαθνξά θάζεο ησλ δύν θπκάησλ ζην ζεκείν Ρ είλαη (εθόζνλ ηα δύν θύκαηα βξίζθνληαη ζε θάζε ζηηο πεγέο) δθ = ( r 1 r ) = d sinζ θαη, έρνληαο ππόςε ηελ (Eμ. Π5.3) θαη όηη Θ 1 = Θ = Θ, βξίζθνπκε όηη ε θαηαλνκή έληαζεο ζηελ νζόλε, σο πξνο ζ ή ην y, δίλεηαη από ηε ζρέζε (Π5.9) Θ = 4 Θ cos π ( d sinζ) = 4 Θ cos d ( r y) = Θ max cos α (Π5.1) Όπνπ α = πd r y (Π5.11) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο Δμ. (Π5.1) δίλεηαη ζην ρ. Π5. σο ζπλάξηεζε ηνπ dsinζ, ηεο δηαθνξάο θάζεο,θ, θαη ηεο απόζηαζεο y. ρήκα Π5. Καηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο ύζηεξα από ζπκβνιή από δύν παλνκνηόηππεο πεγέο ( ή ζρηζκέο). Οη ηξεηο θιίκαθεο δείρλνπλ, αληηζηνίρσο, ηελ απόζηαζε, y, ελόο ζεκείνπ ηεο εηθόλαο από ην θέληξν (y = ), ηε δηαθνξά θάζεο, θ, κεηαμύ ησλ δύν θπκάησλ ζηε ζέζε απηή (βι. ρ. Π5.1) θαη ηε δηαθνξά δξόκνπ εθθξαζκέλε σο πνιιαπιάζην ηνπ κήθνπο θύκαηνο, ι. Tα κέγηζηα εκθαλίδνληαη ζηα ζεκεία όπνπ ην dsinζ είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ ι. 84

85 H απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ θσηεηλώλ (ή ζθνηεηλώλ) θξνζζώλ βξίζθεηαη εύθνια από ηελ Δμ. (Π5.8α) (ή ηελ Π5.8β) σο Γy = r d ι (Π5.1) Π5.5 Πεξίζιαζε ηνπ θσηόο Αλ θσηίζνπκε έληνλα (κε κηα δηεπξπκέλε δέζκε ιέηδεξ) έλα αληηθείκελν κε ζαθέο πεξίγξακκα (π.ρ. κηα ιεπίδα μπξαθηνύ, κηα θαξθίηζα ή έλα θπθιηθό δηάθξαγκα), ζα παξαηεξήζνπκε, πάλσ ζε κηα νζόλε ζρεηηθά θνληά ζην αληηθείκελν, κηα εηθόλα ακπδξώλ θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ πεξηνρώλ (θξνζζώλ) πνπ πεξηβάινπλ ηε ζθηά ηνπ αληηθεηκέλνπ. Παξόκνηα θαηλόκελα ζα ζπκβνύλ, αλ θσηίζνπκε κηα νπή ή ζρηζκή κε κηα δέζκε ιέηδεξ: πάιη ζε κηα νζόλε θνληά ζηελ αζπλέρεηα ζα παξαηεξήζνπκε όηη ε δηαρσξηζηηθή γξακκή ζην πεξίγξακκα ηνπ αληηθεηκέλνπ δελ είλαη ζαθήο, αιιά δηακνξθώλεηαη από δηαθπκάλζεηο θσηεηλόηεηαο. Αλ ε νζόλε παξαηήξεζεο κεηαηνπηζηεί ζε κεγάιε απόζηαζε από ηελ αζπλέρεηα, ε εηθόλα πνπ ζα παξαηεξήζνπκε δελ ζα ζπκίδεη ην αληηθείκελν, θαζώο ε ζθηά ζα έρεη αληηθαηαζηαζεί από θάπνην ζαθή ζρεκαηηζκό θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ. Απηά ηα θαηλόκελα, πνπ είλαη γλσζηά σο θαηλόκελα πεξίζιαζεο ηνπ θσηόο, δελ είλαη ζπκβαηά κε ηελ επζύγξακκε δηάδνζε ηνπ θσηόο θαη νθείινληαη ζηελ θπκαηηθή θύζε ηνπ θσηόο. Πνηνηηθά, ε εμήγεζή ηνπο ζπλνςίδεηαη σο εμήο: H παξεκβνιή ηνπ αληηθεηκέλνπ (αζπλέρεηαο) πξνθαιεί ηε δηαθνξνπνίεζε ηνπ κεηώπνπ ηνπ θύκαηνο, κε ζπλέπεηα ηε δεκηνπξγία ελόο κεγάινπ αξηζκνύ δεπηεξνγελώλ πεγώλ, νη νπνίεο εθπέκπνπλ ζθαηξηθά θύκαηα. Αλ ε παξαηήξεζε γίλεηαη θνληά ζηελ αζπλέρεηα, ηα κέησπα ησλ θπκάησλ πνπ ζπκβάιινπλ είλαη ζθαηξηθά θαη έρνπλ σο απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε ελαιιαζζόκελσλ θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ πνπ πεξηβάιινπλ ηε ζθηά ηνπ αληηθεηκέλνπ. Απηή είλαη ε πεξίπησζε ηεο πεξίζιαζεο θνληηλνύ πεδίνπ ή πεξίζιαζεο Fresnel, όπσο είλαη πην γλσζηή, θαη απεηθνλίδεηαη ζην ρ. Π5.3. ρήκα Π5.3 Πεξίζιαζε θσηόο θαηά Fresnel (νζόλε παξαηήξεζεο πνιύ θνληά ζηελ αζπλέρεηα) από ιεπίδα παιηάο μπξηζηηθήο κεραλήο. Η ζπκβνιή ησλ θπκάησλ, πνπ εθπέκπνληαη από ηα άθξα ηεο αζπλέρεηαο, έρεη σο απνηέιεζκα ηε δεκηνπξγία ελαιιαζζόκελσλ θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ πνπ πεξηβάιινπλ ηε ζθηά ηνπ αληηθεηκέλνπ. Αλ ε απόζηαζε αζπλέρεηαο-νζόλεο απμάλεηαη ζπλερώο, ζα παξαηεξνύκε κηα ζπλερή κεηαβνιή ηεο εηθόλαο Fresnel θαη, ζην όξην όπνπ ηα ζπκβάιινληα θύκαηα έρνπλ γίλεη ζρεδόλ 85

86 επίπεδα, ε εηθόλα ζηελ νζόλε ζα είλαη εληειώο δηαθνξνπνηεκέλε, απνηεινύκελε από έλα ζύζηεκα δηάθξηησλ θξνζζώλ. Πεξαηηέξσ αύμεζε ηεο απόζηαζεο δελ επηθέξεη άιιε πνηνηηθή αιιαγή ζηελ παξαηεξνύκελε εηθόλα. Απηή ε πεξίπησζε είλαη γλσζηή σο πεξίζιαζε καθξηλνύ πεδίνπ ή πεξίζιαζε Fraunhofer, θαη απηή είλαη ε πεξίζιαζε πνπ κειεηάκε ζηε ζπγθεθξηκέλε Άζθεζε. Οπζηαζηηθά δελ ππάξρεη δηαθνξά κεηαμύ ζπκβνιήο θαη πεξίζιαζεο σο πξνο ηε θπζηθή δηαδηθαζία, αθνύ θαη ηα δύν θαηλόκελα αλαθέξνληαη ζε ππέξζεζε ζύκθσλσλ θπκάησλ. πλήζσο κε ηνλ όξν ζπκβνιή ελλννύκε ηελ ππέξζεζε κεξηθώλ θσηεηλώλ θπκάησλ πνπ πξνέξρνληαη από δηάθξηηεο ζύκθσλεο πεγέο, ελώ κε ηνλ όξν πεξίζιαζε αληηιακβαλόκαζηε ηελ ππέξζεζε ελόο κεγάινπ αξηζκνύ θπκάησλ πνπ πξνέξρνληαη από κηα ζεηξά δηαδνρηθώλ ζύκθσλσλ πεγώλ. Πάλησο, ν δηαρσξηζκόο ησλ όξσλ δελ είλαη πάληνηε ζαθήο θαη απηό θαίλεηαη από ην γεγνλόο όηη νκηινύκε γηα πεξηζιαζηηθό θξάγκα, παξόιν πνπ ε εηθόλα θξνζζώλ ζην θξάγκα νθείιεηαη ζε ζπκβνιή από δηάθξηηεο πεγέο. Δμάιινπ, ζηελ πεξίπησζε ζπκβνινκεηξίαο πνιιαπιώλ δεζκώλ (Fabry-Perot) έρνπκε ζπκβνιή, όρη από κεξηθά κόλν, αιιά από έλα κεγάιν αξηζκό θσηεηλώλ θπκάησλ. Π5.6 Πεξίζιαζε από κία ζρηζκή Η πιένλ ραξαθηεξηζηηθή πεξίπησζε πεξίζιαζεο, από εθπαηδεπηηθή ζθνπηά, ζπκβαίλεη όηαλ ην επίπεδν κέησπν ελόο κνλνρξσκαηηθνύ ζύκθσλνπ θσηεηλνύ θύκαηνο «παξεκπνδίδεηαη» ζηε δηάδνζή ηνπ από κηα ιεπηή ζρηζκή εύξνπο D (ρ. Π5.4). ύκθσλα κε ηελ αξρή ηνπ Huygens, θάζε ζεκείν ηνπ κεηώπνπ από ην έλα άθξν ηεο ζρηζκήο σο ην άιιν γίλεηαη δεπηεξνγελήο πεγή ζθαηξηθώλ θπκάησλ ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο, ηα νπνία δηαδίδνληαη από ηε ζρηζκή. πλεπώο, ην πιάηνο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζε έλα ηπρόλ ζεκείν, Ρ, ηεο νζόλεο παξαηήξεζεο πξνθύπηεη από ηελ ππέξζεζε όισλ ησλ ζηνηρεησδώλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύληαη ζηε ζρηζκή. Δπεηδή ζε απηήλ ηελ Άζθεζε ζα κειεηήζνπκε ηελ πεξίζιαζε καθξηλνύ πεδίνπ (Fraunhofer), ζεσξνύκε όηη ηα θύκαηα θζάλνπλ ζηελ νζόλε κε (ζρεδόλ) επίπεδα κέησπα. Λόγσ ηνπ δηαθνξεηηθνύ δξόκνπ πνπ δηαλύνπλ ηα δηαδνρηθά θύκαηα, ππάξρεη κηα δηαθνξά θάζεο κεηαμύ ηνπο. Η κέγηζηε δηαθνξά δξόκνπ αληηζηνηρεί ζηα θύκαηα πνπ πξνέξρνληαη από ηηο άθξεο ηεο ζρηζκήο θαη είλαη δ max = r 1 r D sinζ. Όηαλ ην κήθνο θύκαηνο ι >> D, όηαλ δειαδή ι >> δ max, θαη ηα θύκαηα πνπ εθπέκπνληαη από ηα άθξα ηεο ζρηζκήο είλαη ζε θάζε, ηόηε ζα ππεξηίζεληαη εληζρπηηθά ζην Ρ, αλεμάξηεηα ηεο ζέζεο ηνπ Ρ ζηελ νζόλε. Όηαλ όκσο ι << D, ζα ππάξρνπλ πεξηνρέο ζηελ νζόλε όπνπ ηα θύκαηα θζάλνπλ κε δηαθνξά θάζεο 18 ν θαη ζα ζπκβάιινπλ αλαηξεηηθά. Έηζη, δεκηνπξγνύληαη νη θσηεηλνί θαη ζθνηεηλνί θξνζζνί πεξίζιαζεο. Λόγσ ζπκκεηξίαο, ζην θέληξν ηεο εηθόλαο πεξίζιαζεο (ζεκείν Ο) ζα έρνπκε εληζρπηηθή ζπκβνιή (ηα αληίζηνηρα θύκαηα από ην πάλσ θαη ην θάησ κηζό ηεο ζρηζκήο δηαλύνπλ ίζνπο δξόκνπο) θαη ζα ζρεκαηηζηεί ν θεληξηθόο θξνζζόο πεξίζιαζεο. Η θαηαλνκή ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ θαη ηεο θσηεηλήο έληαζεο πάλσ ζηελ νζόλε ππνινγίδνληαη έπεηηα από ζρεηηθά πεξίπινθε καζεκαηηθή επεμεξγαζία σο ζπλαξηήζεηο ηεο απόζηαζεο x (ή ηεο γσλίαο ζ). πγθεθξηκέλα, ε θαηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο δίλεηαη από ηελ Θ(ζ) = Θ max sin όπνπ Θ max ε έληαζε ζην θέληξν ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ θαη (Π5.13) 86

87 β = π D sinζ D r x (επεηδή x << r) (Π5.14) Ι(θ, y) ρήκα Π5.4 (α) Καηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο, ύζηεξα από πεξίζιαζε από κία κνλή ζρηζκή, πάρνπο D. Η θσηεηλή έληαζε πάλσ ζε κηα νζόλε, πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε r >> D από ηηο ζρηζκέο, έρεη ηελ απεηθνληδόκελε κνξθή Θ(ζ, y). ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα εκθαλίδνληαη νη ηηκέο ηνπ n, πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο κεδεληζκνύο ηεο έληαζεο (ζθνηεηλνί θξνζζνί) (β) Φσηνγξαθία ηεο εηθόλαο πνπ βιέπνπκε ζηελ νζόλε. Γηαθξίλoληαη ζαθώο κόλνλ ν θεληξηθόο θσηεηλόο θξνζζόο θαη νη θξνζζνί δεύηεξεο ηάμεο. Aπό ηελ Δμ. (Π5.13) πξνθύπηεη όηη νη ζθνηεηλνί θξνζζνί βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο γηα ηηο νπνίεο sinβ =, β ή (Π5.15) β = nπ, n = ±1, ±... Δπνκέλσο, από ηελ (Π5.14) έρνπκε ηελ αθόινπζε ζπλζήθε γηα ζθνηεηλνύο θξνζζνύο nι = D sinζ, n = ±1, ±... (Π5.16) 87

88 ησλ νπνίσλ ε απόζηαζε, x n, από ην θέληξν ζπκκεηξίαο Ο ηεο εηθόλαο πξνθύπηεη από ηελ Δμ. (Π5.14) ίζν κε x n = r D nι (Π5.17) Όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ζπκβνιήο από δύν ζεκεηαθέο πεγέο, έηζη θαη εδώ νη απνζηάζεηο, x n, ησλ ζθνηεηλώλ (θαζώο θαη ησλ θσηεηλώλ ζε θαιή πξνζέγγηζε) θξνζζώλ από ην θέληξν ηεο εηθόλαο πεξίζιαζεο είλαη αληηζηξόθσο αλάινγεο ηνπ εύξνπο D ηεο ζρηζκήο. Από ηελ Δμ. (Π5.17) πξνθύπηεη όηη ε απόζηαζε κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ ζθνηεηλώλ θξνζζώλ είλαη Γx = r D ι (Π5.18) Σν γξακκηθό εύξνο ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ πξνθύπηεη επίζεο από ηελ Eμ. (Π5.17) γηα n 1 = 1 θαη n = 1 W π = x n x n1 = r D (Π5.19) O αξηζκόο ησλ θξνζζώλ, n, πνπ ζεσξεηηθά κπνξνύλ λα παξαηεξεζνύλ από κηα ζρηζκή εμαξηάηαη από ηηο παξακέηξνπο ι θαη D θαη, επεηδή πξέπεη sinζ < 1, από ηελ Δμ. (Π.5.16) πξνθύπηεη n sinζ = D 1 n D (Π5.) Η Δμ. (Π5.) δίλεη ηνλ αξηζκό ησλ ζθνηεηλώλ θξνζζώλ εθαηέξσζελ ηνπ θεληξηθνύ θσηεηλνύ θξνζζνύ. Όηαλ ι >> D (πξνζέγγηζε ζεκεηαθήο πεγήο), από ηελ Δμ. (Π5.19) πξνθύπηεη όηη ην εύξνο ηνπ θεληξηθνύ θξνζζνύ γίλεηαη πνιύ κεγάιν, ελώ από ηελ Δμ. (Π5.) έρνπκε όηη n << 1, δελ παξαηεξείηαη δειαδή νπζηαζηηθά πεξίζιαζε, αθνύ όιε ε θσηεηλή έληαζε θαηαλέκεηαη ζηνλ εμαηξεηηθά επξύ θεληξηθό θξνζζό. Έηζη θαηαιήγνπκε ζην ίδην ζπκπέξαζκα πνπ είρακε θαηαιήμεη πνηνηηθά πην πάλσ, όηη δειαδή, όηαλ ην εύξνο ηεο ζρηζκήο είλαη πνιύ κηθξό ζε ζρέζε κε ην κήθνο θύκαηνο ηεο αθηηλνβνιίαο, ηα ζηνηρεηώδε θύκαηα από ηε ζρηζκή θζάλνπλ, γηα θάζε απόζηαζε x από ην θέληξν ηεο εηθόλαο, (ζρεδόλ) ζε θάζε, νπόηε δελ δεκηνπξγνύληαη θξνζζνί πεξίζιαζεο αιιά έλα θσηεηλό ππόβαζξν ζηαζεξήο έληαζεο. Πξάγκαηη, γηα ι >> D, από ηελ Δμ. (Π5.14) πξνθύπηεη όηη ην β γίλεηαη πνιύ κηθξό, έηζη ώζηε sinβ β θαη από ηελ Δμ. (Π5.13) ζπκπεξαίλνπκε όηη Θ(ζ) = Θ ν γηα θάζε ηηκή ηεο ζ. Π5.7 πκβνιή-πεξίζιαζε από δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρηζκέο Αλ ζεσξήζνπκε δύν παξάιιειεο ζρηζκέο πεπεξαζκέλνπ εύξνπο, D, ζε κηθξή απόζηαζε d ηε κία από ηελ άιιε, θαη ηηο θσηίζνπκε κε έλα επίπεδν κνλνρξσκαηηθό θύκα ηόηε, ζε νζόλε πνπ απέρεη απόζηαζε r >> d > D, ζα παξαηεξήζνπκε κηα ζύλζεηε εηθόλα θξνζζώλ, πνπ πξνθύπηεη από ην ζπλδπαζκό ησλ θξνζζώλ πεξίζιαζεο από θάζε ζρηζκή θαη ησλ θξνζζώλ ζπκβνιήο πνπ πξνέξρνληαη από ηελ ππέξζεζε ησλ θπκάησλ από ηηο δύν ζρηζκέο. Δπεηδή νη ζρηζκέο έρνπλ ην ίδην εύξνο θαη d << r, νη εηθόλεο πεξίζιαζεο από θάζε ζρηζκή ζα ζπκπίπηνπλ ζηελ νζόλε. πλήζσο ε απόζηαζε d είλαη κεγαιύηεξε από ην εύξνο D θαη επεηδή, ζύκθσλα κε ηηο Δμ. (Π5.8), (Π5.1), (Π5.17), (Π5.18) θαη (Π5.19), νη απνζηάζεηο θαη ηα εύξε ησλ θξνζζώλ πάλσ ζηελ νζόλε είλαη αληηζηξόθσο αλάινγα ησλ δηαζηάζεσλ ηεο αζπλέρεηαο, πξνθύπηεη όηη νη θξνζζνί πεξίζιαζεο ζα είλαη πιαηύηεξνη από ηνπο θξνζζνύο ζπκβνιήο, δειαδή κέζα ζε θάζε θξνζζό πεξίζιαζεο ζα πεξηέρεηαη έλαο αξηζκόο ιεπηώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο πνπ ζα εμαξηάηαη από ην ιόγν d/d (ρ. Π5.5). 88

89 Η καζεκαηηθή έθθξαζε πνπ δίλεη ηελ θαηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο από δύν παξάιιειεο ζρηζκέο πξνθύπηεη από ην ζπλδπαζκό ησλ Δμ. (Π5.1) θαη (Π5.13) ρήκα Π5.5 Γεσκεηξηθή απεηθόληζε ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο από δύν παλνκνηόηππεο παξάιιειεο ζρηζκέο, S 1 θαη S, πιάηνπο D θαη ζε απόζηαζε d κεηαμύ ηνπο, πνπ δηαηξνύλ ην κέησπν θύκαηνο κηαο ζύκθσλεο κνλνρξσκαηηθήο δέζκεο, κήθνπο θύκαηνο ι. Η θσηεηλή έληαζε πάλσ ζε κηα νζόλε, πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε r από ηηο ζρηζκέο έρεη ηελ απεηθνληδόκελε κνξθή Θ(ζ, y), απνηεινύκελε από ελαιιαζζόκελνπο θσηεηλνύο θαη ζθνηεηλνύο θξνζζνύο. Θ = Θ ν sin cos α (Π5.1) όπνπ ηα α θαη β δίλνληαη από ηηο Δμ. (Π5.11) θαη (Π5.14) αληηζηνίρσο. Αλάινγεο εηθόλεο ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο ζα παξαηεξήζνπκε, αλ αληί γηα δύν ρξεζηκνπνηήζνπκε πνιιέο παξάιιειεο ζρηζκέο ίδηνπ εύξνπο D θαη ζε ίζεο κηθξέο απνζηάζεηο d κεηαμύ ηνπο. Γηα Ν > όκσο ζα ππάξρεη ιεπηή δνκή ζηνπο θξνζζνύο ζπκβνιήο, ε νπνία ζα γίλεηαη ιεπηόηεξε θαζώο ην Ν απμάλεη. πγθεθξηκέλα, εθηόο ησλ θύξησλ θσηεηλώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο, πνπ νθείινληαη ζηε ζπκβνιή θπκάησλ από δηαδνρηθέο ζρηζκέο (απόζηαζε d), ζα εκθαληζηνύλ θαη δεπηεξεύνληεο θσηεηλνί θξνζζνί, πνπ νθείινληαη ζηε ζπκβνιή θπκάησλ από ζρηζκέο πνπ απέρνπλ απνζηάζεηο d, 3d, 4d,... Από ηε καζεκαηηθή επεμεξγαζία ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπκε ηελ αθόινπζε γεληθή ζρέζε πνπ δίλεη ηελ θαηαλνκή ηεο θσηεηλήο έληαζεο ηεο εηθόλαο ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο γηα Ν ίδηεο ζρηζκέο. 89

90 Θ = Θ ν sin sin N N sin (Π5.) όπνπ α θαη β δίλνληαη πάιη από ηηο Δμ. (Π5.11) θαη (Π5.14) αληηζηνίρσο. Η Δμ. (Π5.) ηζρύεη γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην Ν. Γηα Ν = 1 ε Δμ. (Π5.) απινπνηείηαη ζηελ Δμ. (Π5.13), ελώ γηα Ν = ζηελ (Π5.1). Οη θύξηνη θσηεηλνί θξνζζνί βξίζθνληαη ζηα ζεκεία όπνπ sinnα/νsinα = 1, δει. όηαλ α =, ±π, ±π,... θαη, αλ ιάβνπκε ππόςε ηηο Δμ. (Π5.1), ε ζπλζήθε απηή γξάθεηαη π d sinζ = mπ d sinζ = mι (m =, ±1, ±,...) (Π5.3) H ηειεπηαία ζρέζε είλαη ίδηα κε ηελ Δμ.(Π5.8α) πνπ δίλεη ηηο ζέζεηο ησλ θσηεηλώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο από δύν ζεκεηαθέο πεγέο ζε απόζηαζε d κεηαμύ ηνπο. Οη ζθνηεηλνί θξνζζνί βξίζθνληαη ζηα ζεκεία όπνπ sinnα/νsinα = ή όηαλ sinnα = θαη α =, δειαδή γηα ηηο αθόινπζεο ηηκέο ηεο α π π α = ±, ± N N, ± 3 π,... ± N ( N 1) π N, ± ( N 1) π N (Π5.4) Eπνκέλσο, αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο θύξηνπο θσηεηλνύο θξνζζνύο, ζα ππάξρνπλ Ν 1 ζθνηεηλνί θξνζζνί. Δπίζεο, αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο ζθνηεηλνύο θξνζζνύο, ζα πξέπεη λα ππάξρεη έλαο δεπηεξεύσλ θσηεηλόο θξνζζόο θαη, θαηά ζπλέπεηα, αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο θύξηνπο θσηεηλνύο θξνζζνύο ζα ππάξρνπλ Ν δεπηεξεύνληεο θσηεηλνί θξνζζνί, ε ζέζε ησλ νπνίσλ θαζνξίδεηαη από ηε ζπλζήθε όηη ν αξηζκεηήο ηεο πνζόηεηαο sinnα/νsinα πξέπεη λα παίξλεη κέγηζηεο ηηκέο, δει. sinnα = 1. Με βάζε ηνπο παξαπάλσ πεξηνξηζκνύο θαη ηηο ζπλζήθεο, ν δεπηεξεύνληεο θσηεηλνί θξνζζνί ζα ζπκβνύλ γηα ηηο ηηκέο α = ± 3 π N, ± 5 π N,... ± m π (m = 3, 5, 7...) (Π5.5) N Δίλαη εύθνιν λα δεηρζεί από ηελ Δμ. (Π5.) όηη ε έληαζε ησλ δεπηεξνγελώλ θξνζζώλ είλαη πνιύ κηθξόηεξε από ηελ έληαζε ησλ θύξησλ θξνζζώλ θαη κεηώλεηαη ζπλερώο, όηαλ απμάλεηαη ν αξηζκόο ησλ ζρηζκώλ Ν, ελώ απμάλεηαη ν αξηζκόο ηνπο. Σν εύξνο, W, ησλ θύξησλ θσηεηλώλ θξνζζώλ κπνξεί λα εθηηκεζεί από ηνλ ππνινγηζκό ηεο απόζηαζεο κεηαμύ πιεζηέζηεξσλ ζθνηεηλώλ θξνζζώλ εθαηέξσζελ ηνπ θσηεηλνύ. Από ηηο Δμ. (Π5.8β) θαη (Π5.5) έρνπκε όηη ην εύξνο ησλ θύξησλ θσηεηλώλ θξνζζώλ ζπκβνιήο είλαη r W ζ Nd (Π5.6) πνπ ζεκαίλεη όηη, θαζώο ην Ν απμάλεηαη, ην εύξνο ησλ θύξησλ θξνζζώλ κεηώλεηαη θαη ζπγρξόλσο απμάλεηαη ε θαζαξόηεηα θαη ε νμύηεηά ηνπο. Δπίζεο, είλαη πξνθαλέο όηη, όηαλ απμάλεηαη ην Ν, ζα απμάλεηαη θαη ε απόιπηε θσηεηλή έληαζε ησλ θύξησλ θξνζζώλ. ην ρ. Π5.6 εηθνλίδνληαη νη εηθόλεο ησλ θξνζζώλ ζπκβνιήο από 1,, 3, 4 θαη 5 παξάιιειεο παλνκνηόηππεο ζρηζκέο ζε ίζεο κεηαμύ ηνπο απνζηάζεηο. 9

91 ρήκα Π5.6 Δηθόλεο ζπκβνιήο-πεξίζιαζεο από (α) κία, (β) δύν, (γ) ηξεηο, (δ) ηέζζεξεηο θαη (ε) πέληε παξάιιειεο παλνκνηόηππεο ζρηζκέο, ζε ίζεο κεηαμύ ηνπο απνζηάζεηο. Παξαηεξνύκε όηη, όηαλ απμάλεηαη ν αξηζκόο ησλ ζρηζκώλ, κεηώλεηαη ην εύξνο ησλ θύξησλ θξνζζώλ θαη απμάλεηαη ε θαζαξόηεηα θαη ε νμύηεηά ηνπο, ελώ αληηζέησο κεηώλεηαη ε έληαζε θαη απμάλεηαη ν αξηζκόο ησλ δεπηεξνγελώλ θξνζζώλ. ηελ πξάμε, ε παξαηήξεζε κε γπκλό κάηη ησλ δεπηεξνγελώλ θξνζζώλ είλαη αξθεηά δύζθνιε ζηηο πεξηζζόηεξεο πεξηπηώζεηο. Απηό νθείιεηαη ζηε ρακειή έληαζε θαη κεησκέλε δηαθξηηηθή ηθαλόηεηα, ιόγσ ηνπ ζπλσζηηζκνύ ηνπο, εηδηθά όηαλ ν αξηζκόο ησλ ζρηζκώλ είλαη κεγάινο. 91

92 Άζθεζε 8 Μειέηε αθνπζηηθώλ θπκάησλ ζε ερεηηθό ζσιήλα 8.1 θνπόο θνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κειέηε ησλ ζηάζηκσλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ κέζα ζε ερεηηθό ζσιήλα. Θα θαηαγξαθεί ε αθνπζηηθή πίεζε θαηά κήθνο ηνπ ζσιήλα, όηαλ ην ειεύζεξό ηνπ άθξν είλαη θιεηζηό θαη όηαλ ην άθξν απηό είλαη αλνηθηό, θαη ζα κεηξεζνύλ νη ηέζζεξηο πξώηεο ζπρλόηεηεο ζπληνληζκνύ ζηηο δύν απηέο πεξηπηώζεηο. Θα πξνζδηνξηζζεί επίζεο ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ ήρνπ θαζώο θαη ν ζπληειεζηήο αλάθιαζεο ηνπ ήρνπ από ην αλνηθηό άθξν νπ ζσιήλα. Η ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζα κεηξεζεί κε δύν κεζόδνπο: κε ηε κέζνδν ησλ ζηάζηκσλ θπκάησλ θαη κε ηε κέζνδν radar. 8. Θεσξία ηεξεά αληηθείκελα, πνπ πάιινληαη ή ηαιαληώλνληαη γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο θαη βξίζθνληαη ζε άκεζε επαθή κε ηνλ αηκνζθαηξηθό αέξα, παξάγνπλ αθνπζηηθά θύκαηα πνπ δηαδίδνληαη πξνο όιεο ηηο θαηεπζύλζεηο. Σα θύκαηα απηά πξνθαινύλ κηθξέο θηλήζεηο ησλ κνξίσλ ηνπ αέξα γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη ε ζπρλόηεηα ηεο θίλεζεο ησλ κνξίσλ είλαη ε ίδηα κε εθείλε ηεο ερεηηθήο πεγήο. Η δηεύζπλζε ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ είλαη ε ίδηα κε ηε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ ερεηηθνύ θύκαηνο, επνκέλσο ηα αθνπζηηθά θύκαηα είλαη δηακήθε θύκαηα. Δίλαη πξνθαλέο όηη, εμαηηίαο ησλ κηθξώλ απηώλ θηλήζεσλ ησλ κνξίσλ ηνπ αέξα, δεκηνπξγνύληαη δηαθπκάλζεηο ηεο ππθλόηεηαο ηνπ αέξα, αιιά θαη ηεο πίεζεο γύξσ από ηε κέζε ηηκή ηνπο. Πξάγκαηη, θαζώο ην ζώκα ηαιαληώλεηαη θαη ε επηθάλεηά ηνπ θηλείηαη, π. ρ. πξνο ηα δεμηά (ρ. 8.1), ν αέξαο πνπ βξίζθεηαη ζηε δεμηά ηεο πιεπξά ζπκπηέδεηαη θαη έηζη δεκηνπξγείηαη έλα πύθλσκα (ζην νπνίν ε ππθλόηεηα θαη ε πίεζε ηνπ αέξα είλαη ειαθξώο κεγαιύηεξεο από ηε κέζε ηηκή). Σν πύθλσκα απηό δηαδίδεηαη πξνο ηα δεμηά κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζηνλ αέξα. Παλλόμενη μεμβράνη ρήκα 8.1. ηηγκηόηππν ηεο πίεζεο πνπ δεκηνπξγεί ζηνλ αέξα κηα παιιόκελε κεκβξάλε. To επίπεδν θύκα κεηαδίδεηαη θαλνληθά θαη πξνο ηηο δύν θαηεπζύλζεηο, αιιά εδώ, γηα ιόγνπο επνπηείαο, έρεη παξαιεηθζεί ην ηκήκα ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηα αξηζηεξά. Όηαλ, ζηε ζπλέρεηα, ην ζώκα θηλεζεί πξνο ηα αξηζηεξά, δεκηνπξγείηαη ζηε δεμηά πιεπξά ηνπ ζώκαηνο έλα αξαίσκα, πνπ θαη απηό θηλείηαη πξνο ηα δεμηά κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ. Έηζη, ην παιιόκελν ζώκα παξάγεη ζηνλ αέξα κία ζεηξά από ππθλώκαηα θαη αξαηώκαηα, ηα νπνία δηαδίδνληαη ζην ρώξν, είηε κε ηε κνξθή επίπεδσλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ, όηαλ νη δηαζηάζεηο ηεο πεγήο είλαη κεγαιύηεξεο από ην κήθνο θύκαηνο ηνπ ήρνπ, είηε κε ηε κνξθή ζθαηξηθώλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ, όηαλ ην κήθνο θύκαηνο είλαη κεγαιύηεξν από ηηο δηαζηάζεηο ηεο πεγήο. ην ρ. 8.1 δίλεηαη έλα ζηηγκηόηππν ηεο πίεζεο πνπ δεκηνπξγεί ζην ρώξν κηα παιιόκελε κεκβξάλε. Παξόιν πνπ ην αθνπζηηθό θύκα δηαδίδεηαη θαη πξνο ηελ 9

93 αληίζεηε θαηεύζπλζε, γηα ιόγνπο επνπηείαο έρεη παξαιεηθζεί ζην ζρήκα ην ηκήκα ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηα αξηζηεξά ηάζηκα αθνπζηηθά θύκαηα Σα ζηάζηκα αθνπζηηθά θύκαηα δεκηνπξγνύληαη από ηελ ππέξζεζε δύν θπκάησλ y 1 θαη y πνπ ζπλππάξρνπλ ζηνλ ίδην ρώξν θαη δηαδίδνληαη πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο, έρνπλ ίζν κήθνο θύκαηνο, ι, θαη ίζν, ή πεξίπνπ ίζν, πιάηνο ηαιάλησζεο, Α. Σέηνηεο ζπλζήθεο δεκηνπξγνύληαη όηαλ ην επίπεδν αθνπζηηθό θύκα πξνζπίπηεη θάζεηα πάλσ ζηελ επίπεδε επηθάλεηα ελόο ζηεξενύ. Η καζεκαηηθή επεμεξγαζία ησλ ζηάζηκσλ ερεηηθώλ θπκάησλ αλαπηύζζεηαη αλαιπηηθά ζην Παξάξηεκα Π3, ζην ηέινο απηήο ηεο Άζθεζεο, όπνπ απνδεηθλύεηαη όηη ε εμίζσζε ελόο ζηάζηκνπ θύκαηνο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα x, είλαη Y = y 1 + y = Α cos kx cos σt (8.1) όπνπ k = π/ι ν θπκαηηθόο αξηζκόο θαη σ = π f ε γσληαθή ζπρλόηεηα ηνπ θύκαηνο. Όπσο είλαη γλσζηό, ην κήθνο θύκαηνο, ι, θαη ε ζπρλόηεηα, f, ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε όπνπ c ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ ήρνπ. π = ι f (8.) Η εηθόλα ελόο ζηάζηκνπ θύκαηνο, σο ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο, x, ζε δηαδνρηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο δίλεηαη ζην ρ. 8.. Οιόθιεξν ην θύκα πάιιεηαη κε γσληαθή ζπρλόηεηα σ. x ρήκα 8.. Η εηθόλα ελόο ζηάζηκνπ θύκαηνο κεηαηόπηζεο σο ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο ζε δηαδνρηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. ηηο ζέζεηο nπ/k έρνπκε θνηιίεο, ελώ ζηηο ζέζεηο (n+1)π/k έρνπκε δεζκνύο κεηαηόπηζεο. Οη ζέζεηο όπνπ ε κεηαηόπηζε ησλ κνξίσλ ηνπ αέξα είλαη κεδεληθή, νλνκάδνληαη δεζκνί κεηαηόπηζεο, ελώ νη ζέζεηο ζηηο νπνίεο ε κεηαηόπηζε είλαη κέγηζηε νλνκάδνληαη θνηιίεο κεηαηόπηζεο. Όπσο αλακέλεηαη (θαη όπσο απνδεηθλύεηαη ζην Παξάξηεκα Π3, Παξάγξ. Π8. θαη Π8.3) νη θνηιίεο ηεο κεηαηόπηζεο αληηζηνηρνύλ ζε δεζκνύο ηεο πίεζεο θαη αληηζηξόθσο. 8.. ηάζηκα θύκαηα ζε ερεηηθνύο ζσιήλεο Έλαο πνιύ απνηειεζκαηηθόο ηξόπνο παξαγσγήο επίπεδσλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ είλαη ε δηέγεξζε θαη δηάδνζε ησλ θπκάησλ κέζα ζε ζσιήλεο, ηα πιεπξηθά ηνηρώκαηα ησλ νπνίσλ ιεηηνπξγνύλ σο θπκαηνδεγνί θαη δελ επηηξέπνπλ ηε δηάδνζε ηνπ ήρνπ πξνο όιεο ηηο θαηεπζύλζεηο. Έηζη, ν ήρνο νδεγείηαη πξνο κία κόλν θαηεύζπλζε θαη δελ δηαρέεηαη όπσο ζηνπο αλνηθηνύο ρώξνπο, νπόηε κπνξεί λα δηαδνζεί ζε κεγάιεο απνζηάζεηο, αλεμάξηεηα από ην αλ ν άμνλαο ηνπ ζσιήλα θακππιώλεηαη. Γηα ηε δηάδνζε επίπεδσλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ ζηνπο ζσιήλεο αξθεί ε δηάκεηξνο ηνπ ζσιήλα λα είλαη πνιύ κηθξόηεξε από ην κήθνο, ι, ηνπ ερεηηθνύ θύκαηνο. Γηα παξάδεηγκα, 93

94 ζηε ζπρλόηεηα ησλ 1 Hz, ην κήθνο θύκαηνο ι είλαη 33 cm, νπόηε ε δηάκεηξνο ηνπ ζσιήλα κπνξεί λα είλαη 3 5 cm. ηελ πξάμε ν όξνο απηόο πινπνηείηαη πνιύ πην εύθνια από ην λα θαηαζθεπάδεη θαη λα δηεγείξεη θαλείο κεκβξάλεο κε δηάκεηξν 3 5 m! Γηα ηε δηέγεξζε ησλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ ζηνπο ζσιήλεο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί έλα κηθξό κεγάθσλν, ε δηάκεηξνο ηνπ νπνίνπ λα είλαη όζε θαη ε δηάκεηξνο ηνπ ζσιήλα. Αλ ζην έλα άθξν ηνπ ζσιήλα ηνπνζεηήζνπκε κηα παιιόκελε κεκβξάλε θαη ην κήθνο ηνύ ζσιήλα είλαη άπεηξν, ηόηε ζην ζσιήλα ζα δηαδίδεηαη κόλν ην νδεύνλ θύκα. Αλ όκσο ην κήθνο ηνπ ζσιήλα είλαη πεπεξαζκέλν θαη ην άιιν άθξν ηνπ είλαη θιεηζηό, ζα δεκηνπξγεζνύλ κέζα ζην ζσιήλα ζηάζηκα θύκαηα (βι. Παξάξηεκα Π8.4). Η ζηήιε ηνύ αέξα κέζα ζην ζσιήλα κπνξεί λα ηαιαληώλεηαη κε έλα πιήζνο (n) ΚΣΣ (βι. Άζθεζε 3), πνπ εμαξηώληαη από ηηο νξηαθέο ζπλζήθεο ζηα άθξα ηνπ ζσιήλα. ην Παξάξηεκα Π3, Παξάγξ. Π8.4 εμεηάδνπκε ηξεηο βαζηθνύο ηύπνπο ερεηηθώλ ζσιήλσλ: (α) ζσιήλα αλνηθηό θαη θαηά ηα δύν άθξα, (β) ζσιήλα θιεηζηό κόλν θαηά ην έλα άθξν θαη (γ) ζσιήλα θιεηζηό θαη θαηά ηα δύν άθξα. Από ηε καζεκαηηθή επεμεξγαζία ησλ ηξόπσλ ηαιάλησζεο ζηηο ηξεηο απηέο πεξηπηώζεηο πξνθύπηνπλ ηα αθόινπζα απνηειέζκαηα γηα ηηο δπλαηέο ηηκέο ηνπ κήθνπο θύκαηνο, ι n, ζηνλ n-νζηό ΚΣΣ: (α) ε ζσιήλα αλνηθηό θαη ζηα δύν άθξα είλαη πξνθαλέο όηη θαη ζηα δύν άθξα ζα έρνπκε θνηιίεο κεηαηόπηζεο. Η ζεκειηώδεο ζπρλόηεηα αληηζηνηρεί ζε έλα ζηάζηκν θύκα κε δύν θνηιίεο κεηαηόπηζεο ζηα αλνηθηά άθξα θαη έλαλ δεζκό ζην θέληξν ηνπ ζσιήλα. Οη θαλνληθνί ηξόπνη ηαιάλησζεο (ΚΣΣ) ηνπ αέξα κέζα ζηνλ ζσιήλα αληηζηνηρνύλ ζε κήθε θύκαηνο πνπ δίλνληαη από ηε ζρέζε Lα n, n = 1,, 3, 4 (8.3) n (βι. Παξάγξ. Π8.4.1), όπνπ L α ην αθνπζηηθό κήθνο ηνπ ζσιήλα. ην Παξάξηεκα Π3, Παξάγξ εμεγείηαη γηαηί, ζηελ πεξίπησζε ελόο ζσιήλα αλνηθηνύ θαη θαηά ηα δύν άθξα, ην αθνπζηηθό κήθνο ηνπ ζσιήλα ηζνύηαη κε L + (,63R), όπνπ L θαη R ην γεσκεηξηθό κήθνο θαη ε αθηίλα ηνπ ερεηηθνύ ζσιήλα, αληηζηνίρσο. Οη ηξεηο πξώηνη ΚΣΣ, δειαδή ηα ζηάζηκα θύκαηα κεηαηόπηζεο ζηνλ πξώην, δεύηεξν θαη ηξίην ΚΣΣ, γηα έλα ζσιήλα κε αλνηθηά θαη ηα δύν ηνπ άθξα, δίλνληαη ζην ρ. 8.3 (α) (β) ε ζσιήλα κε ην έλα άθξν θιεηζηό θαη ην άιιν αλνηθηό ε ζεκειηώδεο ζπρλόηεηα αληηζηνηρεί ζε έλα ζηάζηκν θύκα κε έλαλ δεζκό κεηαηόπηζεο ζην θιεηζηό άθξν θαη κία θνηιία ζην αλνηθηό άθξν ηνπ ζσιήλα. Οη ΚΣΣ κέζα ζην ζσιήλα αληηζηνηρνύλ ζε κήθε θύκαηνο πνπ δίλνληαη από ηε ζρέζε 4Lα n n = 1, 3, 5, 7, (8.4) n ηελ πεξίπησζε απηή, ην αθνπζηηθό κήθνο ηνπ ζσιήλα ηζνύηαη κε L α = L +.63R (βι. Παξάξηεκα Π3, Παξάγξ. 8..5). Οη ηξεηο πξώηνη ΚΣΣ, δειαδή ηα ζηάζηκα θύκαηα κεηαηόπηζεο ζηνλ πξώην, δεύηεξν θαη ηξίην θαλνληθό ηξόπν ηαιάλησζεο, γηα έλα ζσιήλα κε έλα άθξν θιεηζηό θαη ην άιιν αλνηθηό, δίλνληαη ζην ρ. 8.3 (β). 94

95 ρήκα 8.3. ηάζηκα θύκαηα κεηαηόπηζεο ζηνλ πξώην, δεύηεξν θαη ηξίην θαλνληθό ηξόπν ηαιάλησζεο (ΚΣΣ), γηα έλαλ ερεηηθό ζσιήλα κήθνπο L = 3 cm: (α) κε αλνηθηά θαη ηα δύν άθξα θαη (β) κε ην έλα άθξν αλνηθηό θαη ην άιιν θιεηζηό. Όπσο είλαη θπζηθό, ζηα αλνηθηά άθξα έρνπκε θνηιίεο κεηαηόπηζεο (θαη δεζκνύο πίεζεο) θαη ζηα θιεηζηά δεζκνύο κεηαηόπηζεο (θαη θνηιίεο πίεζεο). (γ) Σέινο, ζε ζσιήλα θιεηζηό θαη ζηα δύν άθξα ζα έρνπκε, ππνρξεσηηθά, δεζκνύο κεηαηόπηζεο (θνηιίεο πίεζεο) θαη ζηα δύν άθξα. Η ζεκειηώδεο ζπρλόηεηα αληηζηνηρεί ζε έλα ζηάζηκν θύκα κε δύν δεζκνύο κεηαηόπηζεο ζηα θιεηζηά άθξα θαη κία θνηιία κεηαηόπηζεο ζην θέληξν ηνπ ζσιήλα. Οη ΚΣΣ ηνπ αέξα κέζα ζην ζσιήλα αληηζηνηρνύλ ζε κήθε θύκαηνο πνπ δίλνληαη από ηε ζρέζε L n όπνπ n = 1,, 3, 4 (8.5) n Δδώ, επεηδή θαη ηα δύν άθξα ηνπ ζσιήλα είλαη θιεηζηά, ην αθνπζηηθό ηνπ κήθνο ζπκπίπηεη κε ην γεσκεηξηθό (βι. Παξάξηεκα Π3, Παξάγξ. 8..5). 8.3 Μέζνδνο ηελ άζθεζε απηή κειεηάκε ηε δεκηνπξγία ζηάζηκσλ ερεηηθώλ θπκάησλ κέζα ζε ζσιήλα θιεηζηό θαηά ηα δύν άθξα, θαζώο θαη ζε ζσιήλα κε ην έλα άθξν θιεηζηό θαη ην άιιν αλνηθηό. Σα ερεηηθά θύκαηα δηεγείξνληαη κέζα ζηνλ ερεηηθό ζσιήλα κε ηε βνήζεηα ελόο κεγαθώλνπ πνπ ζπλδέεηαη ζην έλα άθξν ηνπ ζσιήλα. Με ηε βνήζεηα ελόο κηθξνθώλνπ, πνπ βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ ζσιήλα θαη παξάγεη ζήκα αλάινγν ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο, κπνξνύκε λα κειεηήζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ησλ θπκάησλ πνπ δηαδίδνληαη κέζα ζηνλ ζσιήλα. Σνλίδνπκε όηη ην ζήκα πνπ δηεγείξεη ην κηθξόθσλν είλαη αλάινγν πξνο ηελ αθνπζηηθή πίεζε θαη όρη πξνο ηε κεηαηόπηζε. Δπνκέλσο, ζηελ πεηξακαηηθή δηάηαμε κεηξάηαη θαη κειεηάηαη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο (Δμ. Π8.8) θαη όρη ηεο κεηαηόπηζεο. Σν ζήκα ηνπ κηθξνθώλνπ, αθνύ εληζρπζεί θαηάιιεια κε ηε βνήζεηα ελόο εληζρπηή, δηνρεηεύεηαη ζην έλα θαλάιη ελόο παικνγξάθνπ, ην άιιν θαλάιη ηνπ νπνίνπ είλαη ζπλδεδεκέλν ζηελ έμνδν ηεο γελλήηξηαο. Έηζη ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ παξαηεξνύκε ην ζήκα εμόδνπ ηνπ κηθξνθώλνπ ζε ζρέζε κε ην ζήκα εηζόδνπ ζην κεγάθσλν, ην νπνίν ρξεζηκεύεη σο ζήκα αλαθνξάο. 95

96 Μεηξώληαο ηελ έληαζε ηνπ ζήκαηνο ηνπ κηθξνθώλνπ ζηελ έμνδν ηνπ κεγαθώλνπ (πνπ απνηειεί θνηιία πίεζεο θαη δεζκό κεηαηόπηζεο), κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηηο ζπρλόηεηεο ζπληνληζκνύ ηνπ ζσιήλα καο, ηηο ζπρλόηεηεο δειαδή εθείλεο γηα ηηο νπνίεο ε απόθξηζε ηνπ κηθξνθώλνπ εκθαλίδεη κέγηζηα. [Τπελζπκίδνπκε (βι. θαη Άζθεζε 1, Παξάγξ. 1.) όηη ζηνλ ζπληνληζκό ην πιάηνο ηνπ θύκαηνο παίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ]. Μεηαθηλώληαο ην κηθξόθσλν θαηά κήθνο ηνπ ζσιήλα, κπνξνύκε λα αληρλεύζνπκε ηηο θνηιίεο θαη ηνπο δεζκνύο ηεο πίεζεο ησλ ζηάζηκσλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύληαη κέζα ζην ζσιήλα, γηα ζσιήλα θιεηζηό θαηά ην έλα ή θαη θαηά ηα δύν άθξα. Σξνθνδνηώληαο, ζηε ζπλέρεηα, ην κεγάθσλν κε νξζνγώληνο παικνύο κεγάιεο δηάξθεηαο θαη παξαηεξώληαο ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ ηνπο δηαδηδόκελνπο θαη αλαθιώκελνπο θξνπζηηθνύο ερεηηθνύο παικνύο, κεηξάκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ κε ηε κέζνδν radar, όπσο πεξηγξάθεηαη ζηελ «Δθηέιεζε», Παξάγξ Πεηξακαηηθή δηάηαμε Η πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη (ρ. 8.4): κηα γελλήηξηα ζπρλνηήησλ γηα ηελ ηξνθνδνζία ηνπ κεγαθώλνπ (βι. Άζθεζε 1, Παξάγξ ) έλα κεγάθσλν γηα ηε κεηάδνζε ηνπ ζήκαηνο από ηε γελλήηξηα ζηνλ ερεηηθό ζσιήλα έλαλ ερεηηθό ζσιήλα, κήθνπο 9 cm, ην έλα άθξν ηνπ νπνίνπ ηξνθνδνηείηαη από ην κεγάθσλν, ελώ ην άιιν κπνξεί λα είλαη αλνηθηό ή λα θιείλεη κε ηε βνήζεηα ελόο αλαθιαζηήξα έλα κηθξόθσλν γηα ηελ αλίρλεπζε ηνπ ήρνπ πνπ δηαδίδεηαη κέζα ζηνλ ζσιήλα. έλαλ εληζρπηή ηνπ ζήκαηνο ηνπ κηθξνθώλνπ, πνπ ηίζεηαη ζε ιεηηνπξγία κέζσ ελόο δηαθόπηε, ν νπνίνο βξίζθεηαη πάλσ ζην θάιπκκά ηνπ. έλαλ παικνγξάθν (βι. Άζθεζε 15, «Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο», Σόκνο Ι) Ο ερεηηθόο ζσιήλαο έρεη κήθνο 9 cm, εζσηεξηθή δηάκεηξν 3, cm θαη είλαη θαηαζθεπαζκέλνο από πιεμηγθιάο. ην αξηζηεξό ηνπ άθξν βξίζθεηαη ε πεγή ηνπ ήρνπ, ην κεγάθσλν, ελώ ζην δεμί άθξν βξίζθεηαη ν αλαθιαζηήξαο, ν νπνίνο κπνξεί λα αθαηξεζεί. Ο ζπληειεζηήο αλάθιαζεο ηεο κεκβξάλεο είλαη ζρεδόλ όζνο θαη ηνπ αλαθιαζηήξα. Έηζη, όηαλ ην κεγάθσλν δελ ηξνθνδνηείηαη, ε κεκβξάλε ηνπ ζπκπεξηθέξεηαη σο αλαθιαζηήξαο ελώ, όηαλ ηξνθνδνηείηαη από ηε γελλήηξηα, εθηειεί θαζνξηζκέλε θίλεζε ηνπ ηύπνπ y 1 (t) = y sin(σt). Όκσο, επεηδή ην πιάηνο ηαιάλησζεο ηεο κεκβξάλεο είλαη πνιύ κηθξό, ελώ ην κήθνο θύκαηνο ησλ ερεηηθώλ θπκάησλ είλαη ηεο ηάμεο ηνπ 1 m, γηα ηα αλαθιώκελα θύκαηα πνπ πξνζπίπηνπλ ζηελ επηθάλεηά ηεο ε κεκβξάλε ζπκπεξηθέξεηαη ζαλ αθίλεηνο αλαθιαζηήξαο, πλεπώο, ην αξηζηεξό άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη κνλίκσο θιεηζηό κε ηε κεκβξάλε ηνπ κεγαθώλνπ. Όηαλ θαη ην δεμί άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη θιεηζηό κε ηνλ αλαθιαζηήξα, ν ζσιήλαο ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο απνηειεί ζσιήλα κε θιεηζηά θαη ηα δύν άθξα ηνπ. Όηαλ ν αλαθιαζηήξαο αθαηξείηαη, ην έλα άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη θιεηζηό (ην θιείλεη ε κεκβξάλε ηνπ κεγαθώλνπ) ελώ ην άιιν είλαη αλνηθηό. Θεσξνύκε επίζεο όηη ε κεκβξάλε είλαη αθιόλεηε, όηη δειαδή ε θίλεζή ηεο δελ επεξεάδεηαη από ηα αθνπζηηθά θαηλόκελα πνπ δηαδξακαηίδνληαη κέζα ζην ζσιήλα 96

97 ρήκα 8.4. ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο γηα ηε κειέηε αθνπζηηθώλ θπκάησλ κέζα ζε ερεηηθό ζσιήλα. Σν κεγάθσλν, πνπ βξίζθεηαη ζην έλα άθξν ηνπ ζσιήλα θαη ηξνθνδνηείηαη από κηα γελλήηξηα αθνπζηηθώλ ζπρλνηήησλ, δηεγείξεη αθνπζηηθά θύκαηα κέζα ζην ζσιήλα, ηα νπνία αλαθιώληαη ζην άιιν άθξν ηνπ, δεκηνπξγώληαο ζηάζηκα θύκαηα. Η κεκβξάλε ηνπ κεγαθώλνπ θιείλεη ην έλα άθξν ηνπ ερεηηθνύ ζσιήλα, ελώ ην άιιν άθξν κπνξεί λα είλαη είηε αλνηθηό είηε θιεηζηό, κε ηελ αθαίξεζε ή ηνπνζέηεζε ελόο αλαθιαζηήξα. Οη δεζκνί θαη νη θνηιίεο ησλ θπκάησλ απηώλ αληρλεύνληαη από έλα κηθξόθσλν, πνπ κπνξεί λα κεηαθηλείηαη θαηά κήθνο ηνπ ζσιήλα. Σν ζήκα εμόδνπ ηνπ κηθξνθώλνπ, αθνύ εληζρπζεί, παξαηεξείηαη ζηελ νζόλε ελόο παικνγξάθνπ. Βηβιηνγξαθία 1. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή Κεθ. : Παξάγξ..,.4,.5, Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994).. H.C. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ.16: Παξάγξ. 16.6, Κεθ.17: Παξάγξ. 17. Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 3. H. J. Pain, Φπζηθή ησλ ηαιαληώζεσλ θαη ησλ θπκάησλ, 3 ε έθδνζε, Κεθ. 4: Παξάγξ. 4.11, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 199). 8.4 Δθηέιεζε Δηζαγσγηθά ηελ άζθεζε απηή γίλνληαη πεηξάκαηα δύν εηδώλ: Πεηξάκαηα κε ζήκαηα αξκνληθά, δειαδή εκηηνληθά, θαη πεηξάκαηα κε θξνπζηηθνύο ερεηηθνύο παικνύο. εκεηώλνπκε όηη θαη ηα δύν είδε πεηξακάησλ δηεμάγνληαη ζε εληαία πεηξακαηηθή δηάηαμε πνπ δίλεηαη ζην ρ Έηζη, γηα ηελ εθηέιεζε ησλ πεηξακάησλ: 1. πλαξκνινγήζηε ην θύθισκα πνπ δίλεηαη ζην ρ.8.4. ην θαλάιη ChΙ ζα βιέπνπκε ην ζήκα ηεο γελλήηξηαο, πνπ ζεσξείηαη ζήκα αλαθνξάο, ελώ ζην θαλάιη ChΙΙ ζα βιέπνπκε ηελ απόθξηζε ηνπ κηθξνθώλνπ.. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ηνλ παικνγξάθν θαη ηε γελλήηξηα. Η επαηζζεζία ηνπ παικνγξάθνπ ζην θαλάιη ChΙΙ πξέπεη λα είλαη ίζε κε 5 mv/cm. H ηάζε ηεο γελλήηξηαο πξέπεη λα είλαη 5 V p-p, θαη ε αξρηθή ηηκή ηήο ζπρλόηεηαο πεξίπνπ 5 Hz. 3. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ηνλ εληζρπηή ηνπ κηθξνθώλνπ, κεηαθέξνληαο ηνλ δηαθόπηε ιεηηνπξγίαο (πνπ βξίζθεηαη πάλσ ζην θάιπκκα ηνπ εληζρπηή) από ηε ζέζε OFF ζηε ζέζε ON Πεηξάκαηα κε εκηηνληθά ζήκαηα 1. Ρπζκίζηε ηνλ κεηαγσγό ηεο γελλήηξηαο ώζηε λα παξάγεη εκηηνληθό ζήκα, αθαηξέζηε ηνλ αλαθιαζηήξα από ηνλ ζσιήλα (ζσιήλαο αλνηθηόο θαηά ην έλα άθξν) θαη ηνπνζεηήζηε ην 97

98 κηθξόθσλν θνληά ζηε κεκβξάλε ηνπ κεγαθώλνπ, όπνπ αλακέλεηαη λα ππάξρεη θνηιία ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο θαη δεζκόο ηεο κεηαηόπηζεο.. Αξρίδνληαο από κηα ζπρλόηεηα ίζε κε 5 Hz, αξρίζηε λα απμάλεηε ηε ζπρλόηεηα, f, αξγά θαη, κεηξώληαο ηελ απόθξηζε ηνπ κηθξνθώλνπ ζηνλ παικνγξάθν, ζεκεηώζηε ηηο πξώηεο ηέζζεξηο ηηκέο ηεο ζπρλόηεηαο, f 1, f, f 3 θαη f 4, γηα ηηο νπνίεο ε αθνπζηηθή πίεζε κεγηζηνπνηείηαη, θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ Πίλαθα Ι. Οη ζπρλόηεηεο απηέο αληηζηνηρνύλ, πξνθαλώο, ζηηο 4 πξώηεο ζπρλόηεηεο ζπληνληζκνύ ηνπ ζσιήλα. Πίλαθαο Ι σιήλαο κε ην έλα άθξν αλνηθηό θαη ην άιιν θιεηζηό f 1 (Hz) f (Hz) f 3 (Hz) f 4 (Hz) 3. Μεηαθηλώληαο ην κηθξόθσλν θαηά κήθνο ηνπ ζσιήλα, κε βήκα 5 cm, κεηξήζηε ην πιάηνο ηνπ ζήκαηνο, ς, ζην θαλάιη ChΙΙ ηνπ παικνγξάθνπ σο ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο, x, από ην κεγάθσλν, (δειαδή ηελ θαηαλνκή ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο) ζηελ πξώηε, f 1, θαη ζηε δεύηεξε, f, ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ θαη ζπκπιεξώζηε ηνλ Πίλαθα ΙΙ. Πίλαθαο ΙI σιήλαο κε ην έλα άθξν αλνηθηό θαη ην άιιν θιεηζηό x (cm) 5 1 ς 1 (cm) f = f 1 ς (cm) f = f 4. Σνπνζεηήζηε ηνλ αλαθιαζηήξα ζην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα θαη επαλαιάβαηε ηηο κεηξήζεηο ησλ βεκάησλ 1 θαη κε θιεηζηά θαη ηα δπν άθξα ηνπ ζσιήλα, θαη ζπκπιεξώζηε ηνπο Πίλαθεο ΙΙΙ θαη IV. f 1 (Hz) Πίλαθαο ΙΙΙ σιήλαο κε ηα δύν άθξα θιεηζηά f f 3 (Hz) (Hz) f 4 (Hz) Πίλαθαο ΙV σιήλαο κε ηα δύν άθξα θιεηζηά x (cm) 5 1 ς 1 (cm) f = f 1 ς (cm) f = f 98

99 5. Όηαλ θαηαγξάθεηε ηελ θαηαλνκή ηεο πίεζεο θαηά κήθνο ηνπ ζσιήλα ζηε δεύηεξε ζπρλόηεηα ζπληνληζκνύ, f, πξνζέμηε πώο αιιάδεη ε θάζε ηαιάλησζεο ζηα ηκήκαηα πνπ βξίζθνληαη δεμηά θαη αξηζηεξά από ηνλ δεζκό. πγθξίλεηε ηε θάζε ηνπ ζήκαηνο ηνπ κηθξνθώλνπ (θαλάιη ChΙΙ) κε ην ζήκα αλαθνξάο πνπ βιέπεηε ζην θαλάιη ChΙ. 6. Μεηξήζηε ηε ζεξκνθξαζία ηνπ πεξηβάιινληνο κε ην ζεξκόκεηξν πνπ ζα ζαο δώζεη ν επηβιέπσλ, ζ = Πεηξάκαηα κε θξνπζηηθνύο ερεηηθνύο παικνύο - Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ κε ηε κέζνδν radar 1. Ρπζκίζηε ηε γελλήηξηα ώζηε λα παξάγεη νξζνγώληνπο ειεθηξηθνύο παικνύο, κε ζπρλόηεηα επαλάιεςεο f = 1 Hz θαη πιάηνο 5 V, θαη παξαηεξήζηε ηελ απόθξηζε ηνπ κηθξνθώλνπ, ς, ζην θαλάιη ChΙΙ. ηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ, θέξηε ην ζήκα αλαθνξάο (ChΙ) ζην πάλσ κέξνο ηεο νζόλεο, θαη ην ζήκα ηνπ κηθξνθώλνπ (ChΙΙ) ζην θάησ. Έηζη, θάησ από ην κέησπν ηνπ παικνύ αλαθνξάο πνπ θαίλεηαη ζην θαλάιη ChΙ, ζα εκθαληζηεί ζην θαλάιη ChΙΙ ε απόθξηζε ηνπ κηθξνθώλνπ. Έζησ όηη ην κηθξόθσλν βξίζθεηαη θνληά ζηε κεκβξάλε (θάησ από απηή) θαη ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη θιεηζηό. H δηάξθεηα ηνπ ζεηηθνύ παικνύ είλαη πξνθαλώο Σ = (½)/f =,5 s. Σα θαηλόκελα πνπ παξαηεξνύκε είλαη ηα αθόινπζα: ηελ άλνδν ηνπ παικνύ, όηαλ δειαδή ε ηάζε ηεο γελλήηξηαο γίλεηαη απόηνκα 5 V, ην καγλεηηθό πεδίν ηνπ πελίνπ έιθεη ηε κεκβξάλε ηνπ κεγαθώλνπ θαη απηή κεηαηνπίδεηαη (ειάρηζηα) πξνο ηα αξηζηεξά. Από ηε ζηηγκή απηή ζηνλ ζσιήλα αξρίδεη λα δηαδίδεηαη έλαο θξνπζηηθόο παικόο αξλεηηθήο πίεζεο δειαδή αξαίσζεο. ηνλ παικό απηό ην κηθξόθσλν αληαπνθξίλεηαη κε έλαλ ζηελό (ζεηηθό) παικό ηάζεο (ρ. 8.5). Ύζηεξα από,5 s, όηαλ ε ηάζε ηεο γελλήηξηαο από 5 V απόηνκα κεδεληζηεί, ε κεκβξάλε απόηνκα κεηαθηλείηαη (ειάρηζηα) πξνο ηα δεμηά θαη επηζηξέθεη ζηελ αξρηθή ηεο ζέζε. Από ηε ζηηγκή απηή ζην ζσιήλα αξρίδεη λα δηαδίδεηαη ν θξνπζηηθόο παικόο ζεηηθήο πίεζεο δειαδή πύθλσζεο. ηνλ παικό απηό, ην κηθξόθσλν αληαπνθξίλεηαη κε έλαλ ζηελό (αξλεηηθό) παικό ηάζεο (ρ. 8.5). Σνλ παικό απηόλ ζα ηνλ νλνκάζνπκε ελαξθηήξην, δηόηη δεκηνπξγείηαη ζρεδόλ αθαξηαία ιόγσ κηθξήο απόζηαζεο (1 cm) ηνπ κηθξνθώλνπ από ην κεγάθσλν. ρήκα 8.5. Οη παικνί ηνπ κηθξνθώλνπ από δηαδνρηθέο αλαθιάζεηο ηνπ ήρνπ, όηαλ ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη θιεηζηό, όπσο απηνί θαίλνληαη ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ. Παξαηεξήζηε όηη νη παικνί αξαίσζεο έρνπλ αληίζεηε πνιηθόηεηα από ηνπο παικνύο πύθλσζεο. Ο δεύηεξνο παικόο παξάγεηαη από ηνλ ελαξθηήξην παικό πνπ ηαμίδεςε ζην ζσιήλα από ηε κεκβξάλε σο ηνλ αλαθιαζηήξα θαη, κεηά από αλάθιαζε ζην άιιν άθξν, επέζηξεςε ζηελ 99

100 πεξηνρή ηνπ κηθξνθώλνπ, δεκηνπξγώληαο έηζη ηελ πξώηε ερώ. Η πξώηε ερώ ζα αλαθιαζηεί από ηε κεκβξάλε ηνπ κεγαθώλνπ θαη ζα αξρίζεη θαη πάιη λα ηαμηδεύεη πξνο ηνλ αλαθιαζηήξα, όπνπ ζα αλαθιαζηεί γηα δεύηεξε θνξά, δεκηνπξγώληαο ηε δεύηεξε ερώ θ.ν.θ. Έηζη, νη δηαδνρηθέο αλαθιάζεηο ηνπ αξρηθνύ θξνπζηηθνύ παικνύ από ηνλ αλαθιαζηήξα θαη ηε κεκβξάλε ζα δεκηνπξγήζνπλ ζηελ έμνδν ηνπ κηθξνθώλνπ κηα ζεηξά ειεθηξηθώλ παικώλ, ην ύςνο ησλ νπνίσλ, ιόγσ απσιεηώλ, κεηώλεηαη εθζεηηθά. Γηαθξίλεηαη κε βεβαηόηεηα αθόκε θαη ν παικόο πνπ αληηζηνηρεί ζηε δεθάηε ερώ (ρ. 8.5). Η εηθόλα ησλ παικώλ πνπ βιέπεη θαλείο ζην θαλάιη ηνπ κηθξνθώλνπ κπνξεί λα αμηνπνηεζεί γηα ηε κέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ κε ηε κέζνδν radar. ηε κέζνδν radar κεηξάκε ην ρξνληθό δηάζηεκα θαηά ην νπνίν ν θξνπζηηθόο παικόο δηαλύεη ηελ απόζηαζε κπξνο πίζσ, θαζώο απηόο ηαμηδεύεη ζην ζσιήλα. Γηα λα κεηξεζεί ν ρξόλνο απηόο ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ κε ηθαλνπνηεηηθή αθξίβεηα, είλαη πξνηηκόηεξν λα κεηξεζεί ν ρξόλνο π.ρ. 1 δηαδξνκώλ θαη όρη κόλν κίαο. Τπελζπκίδνπκε όηη, ζηνλ ερεηηθό ζσιήλα ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο, ην κήθνο, L, ηεο δηαδξνκήο κπξνο πίζσ πνπ δηαλύεη ν ήρνο είλαη (1,8,) m.. Μεηξήζηε ην ρξόλν ησλ 8 1 δηαδνρηθώλ δηαδξνκώλ κπξνο πίζσ ηνπ θξνπζηηθνύ παικνύ ζηνλ θιεηζηό ζσιήλα. εκεηώζηε ηηκή θαη ζθάικα. t = 3. Αθαηξέζηε ηνλ αλαθιαζηήξα από ην δεμί άθξν ηνπ ζσιήλα. Παξαηεξήζηε όηη ε εηθόλα ησλ παικώλ πνπ βιέπεηε ηώξα ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ (θαλάιη ChΙΙ) έρεη ηε κνξθή ηνπ ρ ρήκα 8.6 Οη παικνί ηνπ κηθξνθώλνπ από δηαδνρηθέο αλαθιάζεηο ηνπ ήρνπ όηαλ ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη αλνηθηό, όπσο απηνί θαίλνληαη ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ. Παξαηεξήζηε ηε δηαθνξά ησλ δηαδνρηθώλ παικώλ θξνύζεο ζε ζρέζε κε ην ρ βήζηε όια ηα όξγαλα θαη ηνλ εληζρπηή ηνπ κηθξνθώλνπ, γηα λα κελ αδεηάζεη ε κπαηαξία ηνπ. 8.5 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πεηξάκαηα κε εκηηνληθά ζήκαηα 1. Από ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΙΙ, ζρεδηάζηε ζε έλα πξώην ραξηί κηιηκεηξέ ηελ θαηαλνκή ηεο πίεζεο ζηνπο δύν πξώηνπο ΚΣΣ, όηαλ ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη αλνηθηό θαη ζπγθξίλεηε κε ηε ζεσξεηηθά αλακελόκελε θαηαλνκή (βι. θαη ρ. 8.3 β). 1

101 . Από ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΙV, ζρεδηάζηε ζε έλα δεύηεξν ραξηί κηιηκεηξέ ηελ θαηαλνκή ηεο πίεζεο ζηνπο δύν πξώηνπο ΚΣΣ, όηαλ ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη θιεηζηό θαη ζπγθξίλεηε κε ηε ζεσξεηηθά αλακελόκελε (βι. θαη ρ. 8.3 α). 3. Από ηηο ηέζζεξηο απηέο θαηαλνκέο ηεο πίεζεο, πξνζδηνξίζηε ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ηνπ κήθνπο θύκαηνο, ι π, ζε θάζε πεξίπησζε θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ Πίλαθα V. ι π (cm) ι ζ (cm) σιήλαο κε έλα άθξν θιεηζηό θαη ην άιιν αλνηθηό Πίλαθαο V σιήλαο κε θιεηζηά θαη ηα δύν άθξα 1 νο ΚΣΣ νο ΚΣΣ 1 νο ΚΣΣ νο ΚΣΣ 4. Από ηελ αλάιπζε ησλ ΚΣΣ (Δμ. 8.4 θαη 8.5) ππνινγίζηε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο ηνπ κήθνπο θύκαηνο, ι ζ, πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο πξώηνπο ΚΣΣ γηα ζσιήλα κε αλνηθηό θαη θιεηζηό ην ειεύζεξν άθξν, αληηζηνίρσο, θαη θαηαρσξήζηε ηηο επίζεο ζηνλ Πίλαθα V. πκθσλνύλ όιεο νη πεηξακαηηθέο ηηκέο ηνπ ι κε ηηο ζεσξεηηθά αλακελόκελεο; Αηηηνινγήζηε ηηο δηαθνξέο. 5. Υξεζηκνπνηώληαο, ηώξα, ηηο ηηκέο απηέο, ι π, θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ησλ ζπρλνηήησλ f 1, f από ηνπο Πίλαθεο Ι θαη ΙΙΙ, ππνινγίζηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ (Δμ. 8.), αλάγνληαο ηελ ηηκή ηεο ζηε ζεξκνθξαζία C (Δμ. 8.6). Ο ππνινγηζκόο πξέπεη λα γίλεη από εθείλε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε πνπ ζαο δίλεη ην ι, θαη επνκέλσο θαη ην c, κε ηε κεγαιύηεξε αθξίβεηα. Αηηηνινγήζηε ηελ επηινγή ηεο θακπύιεο Πεηξάκαηα κε θξνπζηηθνύο ερεηηθνύο παικνύο - Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ κε ηε κέζνδν radar 1. Από ηελ ηηκή ηνπ ρξόλνπ, t, πνπ κεηξήζαηε γηα 8 1 δηαδξνκέο ηνπ θξνπζηηθνύ παικνύ θαη ην γλσζηό κήθνο, L, ηεο δηαδξνκήο κπξνο πίζσ, ππνινγίζηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ, π, (ηηκή θαη ζθάικα) κε ηε κέζνδν radar θαη ζπγθξίλεηέ ηελ κε ηελ ηηκή πνπ πξνζδηνξίζαηε ζην πξνεγνύκελν πείξακα θαη κε ηε ζεσξεηηθή ηεο ηηκή (Δμ. 8.6).. Δξκελεύζηε ηελ εηθόλα ησλ θξνπζηηθώλ παικώλ πνπ βιέπαηε ζηελ νζόλε ηνπ παικνγξάθνπ, όηαλ ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζσιήλα ήηαλ αλνηθηό (ρ. 8.6). πκπιήξσζε: Η ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ, π, ζηα αέξηα εμαξηάηαη από ηε ζεξκνθξαζία, θπξίσο ιόγσ ηεο εμάξηεζεο ηεο ππθλόηεηαο ηνπ αεξίνπ από ηε ζεξκνθξαζία. Όπσο απνδεηθλύεηαη (βι. Παξάξη. Π8.4 θαη Βηβι. Αλαθνξά 4), ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζε ζεξκνθξαζία (ζε βαζκνύο Κειζίνπ) δίλεηαη, ζε θαιή πξνζέγγηζε, από ηε ζρέζε:, 66 m/s (8.6) όπνπ π είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ κέζα ζην αέξην ζηνπο ν C. ηνλ αέξα, θαη ππό θαλνληθέο ζπλζήθεο, ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ππνινγίδεηαη ζηα 331,3 m/s, ελώ ζηνπο ν C είλαη ίζε κε 344 m/s. 11

102 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ 8 (Π8) Π8.1 ηάζηκα αθνπζηηθά θύκαηα Έζησ όηη ην επίπεδν αθνπζηηθό θύκα δηαδίδεηαη πξνο ηηο αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ άμνλα x θαη όηη, ζην ζεκείν x =, πξνζπίπηεη θάζεηα ζηελ επηθάλεηα ελόο επίπεδνπ ζηεξενύ, δειαδή ηνπ αλαθιαζηήξα. Θα ζεσξήζνπκε αθόκε όηη ην θύκα δελ εμαζζελεί θαηά ηε δηάδνζή ηνπ. Αλ, ζην πξνζπίπηνλ θύκα, ε κεηαηόπηζε ησλ κνξίσλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπο είλαη y 1 (x,t) = y sin(σt + kx), όπνπ y είλαη ην πιάηνο ηαιάλησζε, σ ε θπθιηθή ζπρλόηεηα θαη k = π/ι ν θπκαηηθόο αξηζκόο, ηόηε ε εμίζσζε ηνπ αλαθιώκελνπ θύκαηνο είλαη: y (x,t) = G y ς 1 (x,t) = y sin(σt k x), όπνπ G y είλαη ν ζπληειεζηήο αλάθιαζεο ηνπ ήρνπ γηα ηε κεηαηόπηζε. Η ζπκβνιή ησλ δύν θπκάησλ δίλεη: x, t) y y y sin( t kx) y sin( t kx) y sinkxcos( ) (Π8.1) ( 1 t ρήκα Π8.1. H κεηαηόπηζε, y, σο ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο, x, ζην ζηάζηκν θύκα κεηαηόπηζεο ηε ζηηγκή t =. Σα βέιε δείρλνπλ ηε θνξά κεηαθίλεζεο ησλ κνξίσλ ζην αληίζηνηρν δηάζηεκα. Μεηά από ρξόλν t = π/σ ε θακπύιε ζα έρεη αληηζηξαθεί πιήξσο σο πξνο ηνλ άμνλα x. Η Δμ. (Π8.1) είλαη ε θιαζζηθή ζπλάξηεζε ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ κπνξεί λα γξαθεί ζε κνξθή γηλνκέλνπ δύν ζπλαξηήζεσλ. Η κία είλαη ζπλάξηεζε κόλν ηνπ x θαη ε άιιε κόλν ηνπ t: x, t) y y Y( x) f ( ) (Π8.) ( 1 t όπνπ ε f(t) είλαη κηα αξκνληθή ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ θαη ε Τ(x) είλαη ε ιεγόκελε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ησλ πιαηώλ. ην ρ. Π8.1 παξηζηάλεηαη έλα ζηάζηκν θύκα κεηαηόπηζεο ηε ζηηγκή t =. Σα βέιε δείρλνπλ ηε θνξά κεηαθίλεζεο ησλ κνξίσλ ζην αληίζηνηρν δηάζηεκα. ην επόκελν ήκηζπ ηεο πεξηόδνπ, δειαδή κεηά από ρξόλν t = π/σ, ε θακπύιε ζα έρεη πιήξσο αληηζηξαθεί σο πξνο ηνλ άμνλα x. Όπσο βιέπνπκε, ζε κεξηθά ζεκεία ηνπ ρώξνπ ην πιάηνο ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ έρεη ηηκή δηπιάζηα εθείλνπ ηνπ πξνζπίπηνληνο (θνηιίεο κεηαηόπηζεο). Αληίζηνηρα ππάξρνπλ ζεκεία όπνπ ην πιάηνο είλαη κεδέλ (δεζκνί κεηαηόπηζεο). Οη θνηιίεο θαη νη δεζκνί νξίδνληαη από ηα κεδεληθά θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο: 1

103 Y x) x sinkx. (Π8.3) ( Έηζη, νη θνηιίεο βξίζθνληαη ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη kx n όπνπ n =, 1,, 3, 4, (Π8.4) ελώ νη δεζκνί βξίζθνληαη ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη kx n όπνπ n =, 1,, 3, 4, (Π8.5) Π8. Οη θάζεηο ηαιαληώζεσλ ησλ κνξίσλ ην ζηάζηκν θύκα ηα κόξηα ηνπ αέξα ηαιαληώλνληαη κε δύν δηαθξηηέο θάζεηο. Σε κία από απηέο κπνξνύκε λα ηε ζεσξήζνπκε κεδεληθή. Έζησ όηη ζηε κεδεληθή θάζε ηαιαληώλνληαη ηα κόξηα πνπ βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα [< x < π] (ζην ρ. Π8.1, k = 1), δειαδή ζην δηάζηεκα κεηαμύ δύν δεζκώλ, όπνπ Τ(x) =. ην δηάζηεκα απηό ηα κόξηα ηαιαληώλνληαη κε δηαθνξεηηθό πιάηνο, αιιά κε ηελ ίδηα θάζε. ην ακέζσο δηπιαλό δηάζηεκα, [π < x < π], όπνπ Τ(x) <, ε θάζε ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ δηαθέξεη από εθείλε ηνπ πξνεγνύκελνπ δηαζηήκαηνο θαηά 18. πλεπώο, ηα ζεκεία όπνπ Τ(x) = είλαη ζεκεία απόηνκεο κεηαβνιήο ηεο θάζεο ηαιάλησζεο θαηά 18. Φπζηθά, ύζηεξα από ρξόλν t = π/σ, νη θάζεηο απηέο αληηζηξέθνληαη. πλνςίδνληαο κπνξνύκε λα πνύκε όηη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο Τ(x) πεξηέρεη δύν πιεξνθνξίεο: Η απόιπηε ηηκή ηεο Τ(x) καο δίλεη ην πιάηνο ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ ζην ζεκείν x. Σν πξόζεκν ηεο Τ(x) καο πιεξνθνξεί γηα ηε θάζε ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ ζην ζπγθεθξηκέλν δηάζηεκα. Βιέπνπκε όηη δεμηά θαη αξηζηεξά από ηνπο δεζκνύο ηα κόξηα θηλνύληαη πξνο ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε (ρ. Π8.1). Αλ ζε θάπνην δεζκό ηα κόξηα ζπλσζηίδνληαη (πύθλσκα), ζηνλ δηπιαλό δεζκό ηα κόξηα απνκαθξύλνληαη ην έλα από ην άιιν (αξαίσκα). πλεπώο, ζηνπο δεζκνύο κεηαθίλεζεο αλακέλεηαη λα ππάξρεη ε κεγαιύηεξε πίεζε, έρνπκε επνκέλσο κηα θνηιία πίεζεο, ελώ, αληίζεηα, ζηηο θνηιηέο ηεο κεηαηόπηζεο αλακέλεηαη λα ππάξρεη ε κηθξόηεξε πίεζε, θαη έρνπκε έλα δεζκό πίεζεο. ην ρ. Π8.1, ζην ζεκείν x = 3,, δεκηνπξγείηαη πύθλσκα θαη ε πίεζε θάπνηα ζηηγκή ζα απνθηήζεη ηε κέγηζηε ζεηηθή ηηκή ελώ, αληίζεηα, ζην ζεκείν x = 4,5 δεκηνπξγείηαη αξαίσκα θαη ε πίεζε εδώ θάπνηα ζηηγκή ζα απνθηήζεη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο. Σαιάλησζε ησλ κνξίσλ κε αληίζεηε θάζε γύξσ από ηνπο δεζκνύο ζεκαίλεη θίλεζε ησλ κνξίσλ πξνο αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο. Απηό γίλεηαη πην ζαθέο όηαλ εμεηάζεη θαλείο ην ραξαθηήξα ηεο θίλεζεο ησλ κνξίσλ ζηα δύν δηπιαλά δηαζηήκαηα πνπ ηα ρσξίδεη έλαο δεζκόο κεηαηόπηζεο. ηα δηαζηήκαηα πνπ βξίζθνληαη δεμηά θαη αξηζηεξά από ηνπο δεζκνύο κεηαηόπηζεο (βειάθηα ζην ρ. Π8.1), ηα κόξηα ηνπ αέξα θηλνύληαη ή νκόξξνπα (ηα κελ πιεζηάδνπλ ηα δε) ή αληίξξνπα (ηα κελ απνκαθξύλνληαη από ηα δε). ηνπο δεζκνύο κεηαηόπηζεο, όπνπ ε θίλεζε ησλ κνξίσλ ζηα δύν δηπιαλά δηαζηήκαηα είλαη αληίξξνπε, αλακέλνπκε λα ππάξρεη αξαίσζε ηνπ αέξα (αξλεηηθή ηηκή ηεο πίεζεο). Δλώ εθεί όπνπ ε θίλεζε ησλ κνξίσλ ζηα δηπιαλά δηαζηήκαηα είλαη νκόξξνπε, αλακέλνπκε αύμεζε ηεο πίεζεο θ.ν.θ. Δπνκέλσο, νη θνηιίεο ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο βξίζθνληαη ζηνπο δεζκνύο κεηαηόπηζεο. Γελ πξέπεη λα καο δηαθεύγεη ην γεγνλόο όηη ηα βειάθηα ζην ζρήκα δηαηεξνύλ ηε θνξά απηή κόλν θαηά ηε κηζή πεξίνδν ηεο ηαιάλησζεο. ην επόκελν ήκηζπ ηεο πεξηόδνπ ηα βειάθηα ζα αιιάμνπλ ηε θνξά ηνπο θαη επνκέλσο, εθεί όπνπ ηα κόξηα ζπλσζηίδνληαλ, ηώξα ζα αξαηώλνπλ θαη εθεί όπνπ απηά πξνεγνπκέλσο αξαίσλαλ, ηώξα ζα ζπλσζηίδνληαη θ.ν.θ 13

104 Π8.3 Κνηιίεο θαη θόκβνη ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο ζηα ζηάζηκα θύκαηα Έζησ όηη ε θπκαηηθή εμίζσζε ηεο πίεζεο είλαη όκνηα κε απηή πνπ εμεηάζακε ζηελ πεξίπησζε ησλ ζηάζηκσλ θπκάησλ κεηαηόπηζεο: ς 1 (x,t) = p sin (σt + kx + α), γηα ην πξνζπίπηνλ θαη ς (x,t) = p sin (σt kx + α) γηα ην αλαθιώκελν. Η ζπκβνιή ησλ δύν θπκάησλ δίλεη x, t) p sin( t kx) p sin( t kx) p coskxsin( t ) (Π8.6) ( 1 Η Δμ. (Π8.6) παξηζηάλεη έλα ζηάζηκν θύκα θαη κπνξεί θαη πάιη λα γξαθηεί κε ηε κνξθή: x, t) Φ ( x) f ( ) (Π8.7) ( 1 t όπνπ f(t) είλαη κηα αξκνληθή ζπλάξηεζε ρξόλνπ θαη Φ(x) είλαη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ησλ πιαηώλ πίεζεο. Όπσο βιέπνπκε, πάλσ ζηνλ αλαθιαζηήξα θαη ζε κεξηθά άιια ζεκεία ε αθνπζηηθή πίεζε έρεη δηπιάζηα ηηκή από εθείλελ ηνπ πξνζπίπηνληνο (θνηιίεο πίεζεο). Αληηζηνίρσο ππάξρνπλ ζεκεία όπνπ ε αθνπζηηθή πίεζε είλαη κεδέλ (δεζκνί πίεζεο). Καη εδώ, νη δεζκνί θαη νη θνηιίεο νξίδνληαη από ηα κεδεληθά θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο Φ x) p coskx (Π8.8) ( ε νπνία απνηειεί αληηθείκελν κειέηεο ηεο Άζθεζεο. Δπνκέλσο, νη θνηιίεο ηεο πίεζεο βξίζθνληαη ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη kx n όπνπ n =, 1,, 3, 4,. (Π8.9) ελώ νη δεζκνί ηεο πίεζεο βξίζθνληαη ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη kx n όπνπ n = 1,, 3, 4,.. (Π8.1) πλεπώο, δηαπηζηώλνπκε θαη πάιη όηη, εθεί όπνπ ζην ζηάζηκν θύκα ππάξρνπλ δεζκνί κεηαηόπηζεο, έρνπκε θνηιίεο ζηελ πίεζε θαη αληηζηξόθσο νη δεζκνί ηεο πίεζεο βξίζθνληαη ζηηο θνηιίεο κεηαηόπηζεο. Π8.4 Η ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζηα αέξηα Η ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ, π, ζηα αέξηα εμαξηάηαη από ηε ζεξκνθξαζία, θπξίσο ιόγσ ηεο εμάξηεζεο ηεο ππθλόηεηαο ηνπ αεξίνπ από ηε ζεξκνθξαζία. Απηό ην βιέπεη θαλείο θαιύηεξα, αλ ζηε ζρέζε πνπ νξίδεη ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ p (Π8.11) όπνπ γ = c p /c V είλαη ν ιόγνο ησλ εηδηθώλ ζεξκνηήησλ (πνπ, ζηελ πξάμε, δελ εμαξηάηαη από ηε ζεξκνθξαζία), ξ ε ππθλόηεηα θαη p ε πίεζε ηνπ αέξα. Αλ ιάβππκε ππόςε όηη ξ = m/v, όπνπ m ε κάδα θαη V ν όγθνο, θαη ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε γλσζηή ζρέζε από ηε ζεξκνδπλακηθή pv nrt (Π8.1) όπνπ Σ ε απόιπηε ζεξκνθξαζία ηνπ αέξα θαη n ν αξηζκόο ησλ γξακκνκνξίσλ, εύθνια βξίζθνπκε όηη, γηα δύν δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο Σ θαη Σ, ν ιόγνο ησλ ηαρπηήησλ ηνπ ήρνπ ζηνλ αέξα δίλεηαη από ηε ζρέζε T T (Π8.13) Η ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζηνπο C είλαη ίζε κε m/s. Δπνκέλσο, αλ Σ είλαη ε ζεξκνθξαζία ησλ C (73 Κ) θαη π ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζηε ζεξκνθξαζία απηή, έρνπκε 14

105 T T 331,3 T , , m s 1 (Π8.14) όπνπ ε ζεξκνθξαζία ζε βαζκνύο Κειζίνπ, = Σ 73. Με θαιή πξνζέγγηζε (γηα ζεξκνθξαζίεο πεξηβάιινληνο) ε Δμ. (Π8.14) κπνξεί λα γξαθεί κε ηε κνξθή (νη δύν πξώηνη όξνη ηνπ αλαπηύγκαηνο θαηά Taylor):, 66 ή 331,3, 66 m s 1 (Π8.15) Π8.5 Αλάθιαζε ηνπ ήρνπ από ην αλνηρηό άθξν ηνπ ζσιήλα Έζησ όηη ν ζσιήλαο είλαη θαηαζθεπαζκέλνο από πιεμηγθιάο. Όπσο ήδε είδακε, ζην θιεηζηό άθξν ηνπ ζσιήλα ν ζπληειεζηήο αλάθιαζεο, G, ησλ θπκάησλ από κία επίπεδε επηθάλεηα είλαη 1 θαη 1, γηα ηελ κεηαηόπηζε θαη πίεζε αληίζηνηρα. ην αλνηρηό άθξν ηνπ ζσιήλα, αληίζεηα από ό,ηη αξρηθά ζα πεξίκελε θαλείο, έρνπκε θαη πάιη αλάθιαζε, εμαηηίαο ηεο αιιαγήο πνπ πθίζηαηαη ε δηάδνζε ηνπ ήρνπ ζε απηό ην άθξν. Πξάγκαηη, όζν ηα ερεηηθή θύκαηα δηαδίδνληαη κέζα ζην ζσιήλα, απηά παξακέλνπλ επίπεδα. Βγαίλνληαο όκσο από ην ζσιήλα, ηα επίπεδα θύκαηα αξρίδνπλ λα θακππιώλνληαη θαη ζε κεγάιεο απνζηάζεηο γίλνληαη ζθαηξηθά. Λόγσ ηνπ όηη ηα ζθαηξηθά θύκαηα δηαρένληαη πξνο όιεο ηηο θαηεπζύλζεηο, έμσ από ην ζσιήλα ε έληαζε ηνπ ήρνπ πνιύ γξήγνξα εμαζζελεί, θαζώο απνκαθξπλόκαζηε από ην αλνηρηό άθξν. Γηαπηζηώζεθε όηη, ζε απόζηαζε,63r, όπνπ R είλαη ε εζσηεξηθή αθηίλα ηνπ ζσιήλα, ε αθνπζηηθή πίεζε κεηώλεηαη ζε ηέηνην βαζκό, πνπ πξαθηηθά κπνξεί λα ζεσξεζεί κεδέλ, ζεσξνύκε δειαδή όηη πέξαλ ηεο απόζηαζεο απηήο ν ήρνο δελ ππάξρεη. (Γη απηό ζηα πλεπζηά κνπζηθά όξγαλα, ζην αλνηρηό άθξν πξνζζέηνπλ δηάθνξεο ρνάλεο θαη θώλνπο πνπ απνζθνπνύλ ζηελ πην απνηειεζκαηηθή έμνδν ηνπ ήρνπ από απηά.) Απηό καο επηηξέπεη λα ζρεκαηίζνπκε έλα κνληέιν ηνπ θαηλνκέλνπ, όπνπ ε αλάθιαζε ηνπ ήρνπ δελ γίλεηαη αθξηβώο ζην αλνηρηό άθξν, αιιά ζε απόζηαζε,63r, έμσ από ην ζσιήλα. Δπνκέλσο, ν ζπληειεζηήο αλάθιαζεο ζην αλνηρηό άθξν ηνπ ζσιήλα αλακέλεηαη λα είλαη αξθεηά θνληά ζηε κνλάδα Με άιια ιόγηα ην αθνπζηηθό κήθνο, L α, είλαη απμεκέλν θαηά,63r, ζε ζρέζε κε ην πξαγκαηηθό ηνπ κήθνο, L. Έρνπκε δειαδή: L α = L +,63R (Π8.16) ύκθσλα κε ην κνληέιν καο, κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη ν ζπληειεζηήο αλάθιαζεο ζην αλνηρηό άθξν ηνπ ζσιήλα είλαη ίζνο κε 1 γηα ηελ κεηαηόπηζε θαη κε 1 γηα ηελ πίεζε. Με άιια ιόγηα, όηαλ ην θύκα πιεζηάδεη ην αλνηρηό άθξν ηνπ ζσιήλα, έλα πύθλσκα αλαθιάηαη θαη δηαδίδεηαη πξνο ηα πίζσ σο αξαίσκα, ελώ έλα αξαίσκα, αλαθιάηαη θαη δηαδίδεηαη πξνο ηα πίζσ σο πύθλσκα. Απηό ην βιέπεη θαλείο ζηα πεηξάκαηα κε ηνπο θξνπζηηθνύο αθνπζηηθνύο παικνύο. Σν πιάηνο ηνπ αλαθιώκελνπ παικνύ από ην αλνηρηό άθξν ηνπ ζσιήλα έρεη ζρεδόλ ην ίδην πιάηνο κε απηό πνπ αλαθιάηαη από ηνλ αλαθιαζηήξα. 15

106 Άζθεζε 9 Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ ζηα πγξά 9.1. θνπόο θνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ, π, ζηελ αηζπιηθή αιθνόιε, κε ηε κέζνδν ελόο ζηάζηκνπ ππεξερεηηθνύ θύκαηνο πνπ γίλεηαη νξαηό κε νπηηθέο κεζόδνπο, θαζώο θαη ν πξνζδηνξηζκόο ηνπ ζπληειεζηή ζπκπηεζηόηεηαο ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ πγξνύ. 9.. Θεσξία 9..1 Σαρύηεηα δηάδνζεο θπκάησλ Η ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ δηακήθσλ θπκάησλ,, κέζα ζε έλα πιηθό κε δηαζηάζεηο πνιύ κεγαιύηεξεο από ην κήθνο θύκαηνο, ι, ησλ θπκάησλ απηώλ, δίλεηαη από ηε ζρέζε: 1 4 G k 3 (9.1) όπνπ ην 1/k είλαη ν ζπληειεζηήο ζπκπηεζηόηεηαο ηνπ πγξνύ, G ην κέηξν δηάηκεζεο θαη ξ ε ππθλόηεηα ηνπ πιηθνύ. Αληηζηνίρσο, ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ εγθάξζησλ θπκάησλ (π s ) κέζα ζε νπνηνδήπνηε πιηθό δίλεηαη από ηε ζρέζε: G s (9.) Δπεηδή ζηα ξεπζηά (πγξά, αέξηα) ην κέηξν δηάηκεζεο είλαη κεδέλ (G = ), ην απνηέιεζκα είλαη όηη: δελ δηαδίδνληαη εγθάξζηα θύκαηα ζηα πγξά ε Δμ. (9.1) γηα ηα δηακήθε θύκαηα απινπνηείηαη ζηελ αθόινπζε: 1 (9.3) k ad Σν 1/k ad είλαη, ζηελ πεξίπησζε απηή, ν αδηαβαηηθόο ζπληειεζηήο ζπκπηεζηόηεηαο 1. ηελ Δμ. (9.3) ν ζπληειεζηήο k ad, θαζώο θαη ε ππθλόηεηα ηνπ πγξνύ, ξ, εμαξηώληαη από ηε ζεξκνθξαζία, (ζ ζε ν C ή Σ ζε Κ), πξάγκα πνπ ζεκαίλεη όηη θαη ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ κέζα ζην πγξό εμαξηάηαη από ηε ζεξκνθξαζία. ε όια ηα πγξά ν ιόγνο Γπ/Γζ = Γπ/ΓΣ, πνπ δίλεη ηε κεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ αλά βαζκό Κειζίνπ, έρεη αξλεηηθή ηηκή (γηα παξάδεηγκα, γηα ηε γιπθεξίλε έρνπκε Γπ/ΓΣ = 1,8 ms -1 / ν C θαη γηα ηελ αηζπιηθή αιθνόιε Γπ/ΓΣ = 3,6 ms -1 / ν C), εθηόο από ηελ πεξίπησζε ηνπ λεξνύ όπνπ ν ιόγνο απηόο είλαη ζεηηθόο, κε ηηκή +,5 ms -1 / ν C. Απηό ζεκαίλεη όηη, θαζώο ε ζεξκνθξαζία ηνπ λεξνύ απμάλεη, απμάλεη θαη ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ, αιιά κόλν κέρξη ηνπο 74 ν C, όπνπ ε π έρεη θαη ηε κεγαιύηεξε ηηκή ηεο (1557 m/s). ηηο πςειόηεξεο ζεξκνθξαζίεο ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζην λεξό αξρίδεη λα ειαηηώλεηαη, θαζώο ε ζεξκνθξαζία απμάλεη 1 Δπεηδή ζηα ερεηηθά θύκαηα (ηδηαίηεξα ζηνπο ππεξήρνπο) έρνπκε γξήγνξεο ελαιιαγέο κεηαμύ ζπκπηέζεσλ θαη εθηνλώζεσλ, δελ ππάξρεη αξθεηόο ρξόλνο γηα ηε κεηαθνξά ηεο ζεξκόηεηαο από ηηο ζπκπηεδόκελεο πεξηνρέο πξνο ηηο εθηνλνύκελεο, κε απνηέιεζκα νη δηαδηθαζίεο λα είλαη αδηαβαηηθέο, θαη γη απηό θαη ην k αληηθαζίζηαηαη ζηελ πεξίπησζε απηή από ην k ad.εθηνλώζεσλ, δελ ππάξρεη αξθεηόο ρξόλνο γηα ηε κεηαθνξά ηεο ζεξκόηεηαο από ηηο ζπκπηεδόκελεο πεξηνρέο πξνο ηηο εθηνλνύκελεο, κε απνηέιεζκα νη δηαδηθαζίεο λα είλαη αδηαβαηηθέο, θαη γη απηό θαη ην k αληηθαζίζηαηαη ζηελ πεξίπησζε απηή από ην k ad. 16

107 9.3 Μέζνδνο ηελ παξνύζα εξγαζία ζα κεηξεζεί ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζηελ αηζπιηθή αιθνόιε κε ηε κέζνδν ηνπ ζηάζηκνπ ερεηηθνύ θύκαηνο (βι. Άζθεζε 3). Σν ερεηηθό πεδίν δεκηνπξγείηαη από κηα επίπεδε πεγή ππεξήρσλ, κέζα ζε έλα γπάιηλν δνρείν πνπ πεξηέρεη ηελ αιθνόιε (ρ. 9.1). Σν δνρείν δηαπεξλάηαη από κηα θσηεηλή δέζκε θαη, ζηα ζεκεία όπνπ ην ερεηηθό πεδίν δελ εθηξέπεη ηηο αθηίλεο (δεζκνί κεηαηόπηζεο), απηέο ζπλερίδνπλ ηελ πνξεία ηνπο θαη αθήλνπλ, ζε έλα πέηαζκα πίζσ από ην δνρείν, έλα θσηεηλό ίρλνο κε ηε κεγαιύηεξε ιακπξόηεηα. Αλ, αληηζέησο, ζην ηζρπξό ερεηηθό πεδίν ππάξρνπλ ζεκεία πνπ εθηξέπνπλ έληνλα ην θσο (θνηιίεο κεηαηόπηζεο), ηόηε ην θσηεηλό ίρλνο ησλ αθηίλσλ πνπ δηέξρνληαη από ηα ζεκεία απηά ζα έρεη ηελ ειάρηζηε ιακπξόηεηα. Με ηνλ ηξόπν απηό, ην ερεηηθό πεδίν κέζα ζην πγξό γίλεηαη νξαηό πάλσ ζην πέηαζκα κε ηε κνξθή θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ, ε απόζηαζε κεηαμύ ηώλ νπνίσλ κπνξεί εύθνια λα κεηξεζεί. Όπσο είλαη γλσζηό, ζε έλα ζηάζηκν θύκα ε απόζηαζε κεηαμύ δύν δεζκώλ ή δύν θνηιηώλ, θαη επνκέλσο κεηαμύ δύν θσηεηλώλ ή ζθνηεηλώλ θξνζζώλ, ηζνύηαη κε ι/, όπνπ ι ην κήθνο ηνπ δηαδηδόκελνπ θύκαηνο. Έηζη, παξαηεξώληαο ηελ εηθόλα ησλ θξνζζώλ πάλσ ζην πέηαζκα, κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε ην κήθνο θύκαηνο, ι, ηνπ ήρνπ πνπ δηαηαξάζζεη ηελ ηζνξξνπία ηνπ πγξνύ. Από ηελ ηηκή ηνπ κήθνπο θύκαηνο θαη ηεο ζπρλόηεηαο, f, ηεο πεγήο, κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ κέζα ζην πγξό. Σν γπάιηλν δνρείν είλαη γεκάην κε ην πγξό ζην νπνίν ζέινπκε λα κεηξήζνπκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ. Μηα ερεηηθή πεγή (ειεθηξνκεραληθόο κεηαηξνπέαο) ζηέιλεη έλα ερεηηθό θύκα ην νπνίν, αλαθιώκελν ζηνλ ππζκέλα ηνπ δνρείνπ, δεκηνπξγεί έλα ζηάζηκν ερεηηθό πεδίν θαηά κήθνο ηνπ άμνλα z (βι. Άζθεζε 3). Δπεηδή, όπσο είλαη γλσζηό, ν δείθηεο δηάζιαζεο εμαξηάηαη από ηελ ππθλόηεηα ηνπ πγξνύ ζε θάζε ζεκείν, είλαη πξνθαλέο όηη ζα δηακνξθώλεηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα z θαη ζα αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή ηεο ππθλόηεηαο, άξα θαη ηεο πίεζεο κέζα ζην πγξό. Αλ ηώξα, κε ηε βνήζεηα ελόο ιέηδεξ θαη ελόο ζπγθεληξσηηθνύ θαθνύ, θσηίζνπκε ην γπάιηλν δνρείν κε κηα απνθιίλνπζα θσηεηλή δέζκε, ε εηθόλα ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο ζα πξνβιεζεί πάλσ ζε έλα πέηαζκα, πίζσ από ην δνρείν (ρ. 9.1). Ο ηξόπνο κε ηνλ νπνίν γίλεηαη νξαηό ην ερεηηθό πεδίν εμεγείηαη ιεπηνκεξώο ζην Παξάξηεκα Π9 (βι. Π9.1 θαη Π9.3), ζην δεύηεξν κέξνο απηνύ ηνπ Σόκνπ. Πην ζπγθεθξηκέλα, ζην Παξάξηεκα Π9.1 εμεηάδνπκε ηηο γεληθόηεξεο ζπλζήθεο ππό ηηο νπνίεο παξαηεξείηαη εθηξνπή ηνπ θσηόο, όηαλ απηό δηέξρεηαη κέζα από έλα νπηηθώο αλνκνηνγελέο κέζνλ, ελώ ην πώο θαη γηαηί ζην αθνπζηηθό πεδίν δεκηνπξγνύληαη ζπλζήθεο πνπ πξνθαινύλ ηελ εθηξνπή ηνπ θσηόο, πεξηγξάθεηαη ζην Π9.3. Γηα ηελ πξαγκαηνπνίεζε ηεο κεζόδνπ ρξεζηκνπνηείηαη ε δηάηαμε πνπ απεηθνλίδεηαη ζην ρ.9.1 ρήκα 9.1. Γηάηαμε γηα ηε κέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ ζηα πγξά. Η δέζκε ηνπ ιέηδεξ, κεηά ηνλ ζπγθεληξσηηθό θαθό, δηέξρεηαη κέζα από ην γπάιηλν δνρείν πνπ πεξηέρεη ην κειεηνύκελν πγξό θαη θαηεπζύλεηαη πξνο ην πέηαζκα. Ο πηεδνειεθηξηθόο θξύζηαιινο, πνπ ηξνθνδνηείηαη από κηα γελλήηξηα ππεξήρσλ (κε εηθνληδόκελε) ζηέιλεη έλα ππεξερεηηθό θύκα ην νπνίν, αλαθιώκελν ζηνλ ππζκέλα ηνπ δνρείνπ, δεκηνπξγεί έλα ζηάζηκν θύκα θαηά κήθνο ηνπ άμνλα z, ην νπνίν πξνβάιιεηαη πάλσ ζην πέηαζκα κε ηε κνξθή θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ. Γεμηά απεηθνλίδεηαη ζρεκαηηθά ε εηθόλα ησλ θξνζζώλ πνπ βιέπνπκε πάλσ ζην πέηαζκα. 17

108 Από ηελ εηθόλα πνπ παίξλνπκε ζην πέηαζκα ππνινγίδνπκε ηελ απόζηαζε κεηαμύ δύν θσηεηλώλ θξνζζώλ θαη, επνκέλσο, ην ι/. Δπεηδή είλαη γλσζηή θαη ε ζπρλόηεηα, f, ηεο ερεηηθήο πεγήο, κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ, π, κέζα ζην κειεηνύκελν πγξό από ηε ζρέζε π = ι f. Η δηαδηθαζία απηή, επεηδή ζηεξίδεηαη ζε κηα ζπκβνινκεηξηθή κέζνδν, παξέρεη κεγάιε αθξίβεηα, θαη ην ζρεηηθό ζθάικα Γπ/π παξακέλεη κηθξόηεξν ηνπ 1%. 9.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Η πεηξακαηηθή δηάηαμε (ρ. 9.1) πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε πεξηιακβάλεη: Μηα γελλήηξηα ππεξερεηηθώλ ζπρλνηήησλ (δελ απεηθνλίδεηαη). Η γελλήηξηα απηή παξέρεη ελαιιαζζόκελε ηάζε ζπρλόηεηαο 8 khz θαη, επηπιένλ, πξνζθέξεη ηε δπλαηόηεηα ειέγρνπ ηεο ηηκήο ηεο ηάζεο εμόδνπ Μηα επίπεδε πεγή ππεξήρσλ από ραιαδία (πηεδνθξύζηαιιν) πνπ, όηαλ ηξνθνδνηεζεί από ηε γελλήηξηα, παξάγεη ππεξήρνπο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο κε εθείλε ηεο πεγήο (8 khz) Έλα γπάιηλν δνρείν, πνπ πεξηέρεη ην πγξό ζην νπνίν επηζπκνύκε λα κεηξήζνπκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ. Μέζα ζην πγξό απηό δεκηνπξγείηαη ην ζηάζηκν ππεξερεηηθό πεδίν από ηελ πεγή ππεξήρσλ Έλα ιέηδεξ He-Ne ηζρύνο 3 mw (δελ απεηθνλίδεηαη) Έλαλ ζπγθεληξσηηθό θαθό εζηηαθήο απόζηαζεο f =, cm Έλα πέηαζκα από ραξηί κηιιηκεηξέ, πάλσ ζην νπνίν, κε ηε βνήζεηα ηνπ θαθνύ, πξνβάιιεηαη ε εηθόλα ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ δεκηνπξγείηαη ζην πγξό Μηα κεηξνηαηλία γηα ηε κέηξεζε ησλ δηαθόξσλ απνζηάζεσλ (δελ απεηθνλίδεηαη) Έλα ζεξκόκεηξν, γηα ηε κέηξεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ πγξνύ (δελ απεηθνλίδεηαη) Βηβιηνγξαθία 4. H.C. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ.14: Παξάγξ. 14.4, Κεθ.16: Παξάγξ. 16.6, Κεθ.17: Παξάγξ.17., Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 5. H.C. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Β : Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο-Οπηηθή, Κεθ. 37: Παξάγξ. 37.3, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 6. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 11: Παξάγξ. 11.6, 11.7, Κεθ. 19: Παξάγξ. 19.5, Κεθ. : Παξάγξ..4, Κεθ. 1: Παξάγξ. 1.1, Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 7. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Β : Ηιεθηξνκαγλεηηζκόο, Οπηηθή, ύγρξνλε Φπζηθή, Κεθ. 34: Παξάγξ. 34., Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 8. H.D. Young θαη R.A. Freedman, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή Sears and Zemansky, Σόκνο Α : Μεραληθή-Κύκαηα, Κεθ. 11: Παξάγξ. 11.4, Κεθ. 16: Παξάγξ. 16.1, 16., 16.4, Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 9). 18

109 9.5 Eθηέιεζε 1. Γεκίζηε ην γπάιηλν δνρείν κε αηζπιηθή αιθνόιε, έσο 1 cm θάησ από ην ρείινο ηνπ.. Βπζίζηε ηελ πεγή ησλ ππεξήρσλ θαηά mm κέζα ζην λεξό. 3. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ην ιέηδεξ θαη θξνληίζηε ώζηε ε θσηεηλή δέζκε λα πεξλάεη κέζα από ην θέληξν ηνπ θαθνύ θαη, ζηε ζπλέρεηα, 1 cm θάησ από ηελ πεγή ππεξήρσλ θαη λα θαηαιήγεη ζην πέηαζκα. 4. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ηελ πεγή ππεξήρσλ θαη ξπζκίζηε ηελ ηάζε εμόδνπ κε ην θνπκπί «Amplitude». (Πξνζνρή: Να κελ ππεξβείηε ηελ έλδεημε πνπ ζεκεηώλεηαη κε έλα! ζην ηέινο ηεο καύξεο δώλεο). 5. Δάλ όια έρνπλ γίλεη ζσζηά, κε θαηάιιειε ξύζκηζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο, ζα παξαηεξήζεηε πάλσ ζην πέηαζκα έλαλ αξηζκό ελαιιαζζόκελσλ θσηεηλώλ θαη ζθνηεηλώλ θξνζζώλ. Η εηθόλα απηή είλαη ε πξνβνιή (ππό κεγέζπλζε) ηνπ ζηάζηκνπ ππεξερεηηθνύ πεδίνπ, πνπ δεκηνπξγείηαη από ηε δέζκε ησλ ππεξήρσλ θαζώο απηή αλαθιάηαη ζηνλ ππζκέλα ηνπ γπάιηλνπ δνρείνπ. Αλ ε εηθόλα δελ είλαη ηθαλνπνηεηηθά θαζαξή, αλεβάζηε ιίγν ηε βάζε ηνπ δνρείνπ (κε ηε βνήζεηα ηνπ πιεπξηθνύ θνριία), σζόηνπ πεηύρεηε κηα θαζαξή εηθόλα. 6. Μεηξήζηε έλαλ αξηζκό, n, θσηεηλώλ θξνζζώλ (π.ρ. 1 15) θαη ηελ απόζηαζε, α, κεηαμύ ηνπ πξώηνπ θαη ηνπ n-ζηνύ θξνζζνύ θαη εθηηκήζηε ην ζθάικα, δα. 7. Μεηξήζηε ηε ζεξκνθξαζία ζ ηνπ λεξνύ. 8. Μεηξήζηε ηελ απόζηαζε από ηελ εζηία ηνπ θαθνύ (ε εζηία ηνπ θαθνύ βξίζθεηαη ζηα cm από ηνλ θαθό) κέρξη ην κέζνλ ηνπ γπάιηλνπ δνρείνπ, l 1, θαη ηελ απόζηαζε, l, από ην κέζνλ ηνπ γπάιηλνπ δνρείνπ κέρξη ην πέηαζκα (βι. ρ. 9.1), θαη εθηηκήζηε ηα αληίζηνηρα ζθάικαηα δl 1 θαη δl. 9. βήζηε όια ηα όξγαλα θαη αδεηάζηε ην γπάιηλν δνρείν, κεηαθέξνληαο ηελ αηζπιηθή αιθνόιε πίζσ ζην αξρηθό ηεο δνρείν. 9.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ 1. Τπνινγίζηε ηελ απόζηαζε κεηαμύ δύν γεηηνληθώλ θσηεηλώλ θξνζζώλ.. Λακβάλνληαο ππόςε όηη ε εηθόλα ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ βιέπεηε ζην πέηαζκα είλαη (l 1 + l )/l 1 θνξέο κεγαιύηεξε από ηελ αιεζηλή εηθόλα, ππνινγίζηε ην ι/ ηνπ ζηάζηκνπ ππεξερεηηθνύ θύκαηνο θαη, από απηό, ηελ ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ π, θαζώο θαη ην ζρεηηθό ζθάικα Γπ/π. Η ζπρλόηεηα ηνπ ερεηηθνύ θύκαηνο είλαη γλσζηή θαη ίζε κε f = 8 khz. Θεσξήζηε όηη ην ζθάικα ζηε ζπρλόηεηα είλαη κεδέλ. 3. Από ηελ Δμ. (9.3) ππνινγίζηε ηνλ αδηαβαηηθό ζπληειεζηή ζπκπηεζηόηεηαο, k ad, ηνπ πγξνύ. 4. πγθξίλεηε ηελ ηηκή ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ πνπ κεηξήζαηε ζηελ αηζπιηθή αιθνόιε κε ηελ ηηκή πνπ δίλεη ε Βηβιηνγξαθία (Πίλαθαο Ι). Αλ ε ηηκή δελ αλαθέξεηαη ζηε ίδηα ζεξκνθξαζία, λα ζπγθξίλεηε ηηο δύν ηηκέο αθνύ γίλνπλ νη ζρεηηθέο δηνξζώζεηο (βι. Παξάγξ. 9..1). 19

110 1) ηε ζεξκνθξαζία 5 o C. Πίλαθαο Ι (Αλαθνξά 6) Τγξό Σαρύηεηα ηνπ ήρνπ 1) Αθεηόλε (m/s) 1174 Μεζπιηθή αιθνόιε 1143 Μεζπιηθή αιθνόιε 113 o Αηζπιηθή αιθνόιε 1144 Πξνππιηθή αιθνόιε 15 Γιπθεξόιε (γιπθεξίλε) 194 Τδξάξγπξνο 145 Νεξό 1493 Νεξό, o C 14 Νεξό, o C 148 Θαιάζζην λεξό, 3.5% 1533 Θαιάζζην λεξό, 3.5%, 15 o Η ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ ζηνλ αέξα, ζε θαλνληθέο ζπλζήθεο πίεζεο θαη ζεξκνθξαζίαο είλαη 343 m/s. (1 m/s) = (3,6 km/h). 11

111 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ 9 (Π9) Μέηξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ήρνπ ζηα πγξά Π9.1. Γηάδνζε ηνπ θσηόο ζε νπηηθώο αλνκνηνγελή κέζα Αλ έλα θσηεηλό θύκα δηαδίδεηαη ζε έλα κέζν ν δείθηεο δηάζιαζεο, n, ηνπ νπνίνπ κεηαβάιιεηαη, π.ρ., θαηά ηε δηεύζπλζε z, όπνπ ππάξρεη δειαδή κηα βαζκίδα dn/dz, ηόηε νη αθηίλεο ηνπ θσηόο θακππιώλνληαη θαη ην θσο νδεύεη πξνο ηελ πεξηνρή όπνπ ν δείθηεο δηάζιαζεο απμάλεηαη (απηό ζπκβαίλεη, γηα παξάδεηγκα, όηαλ ειαηηώλεηαη ε ζεξκνθξαζία). Έηζη δεκηνπξγείηαη ην γλσζηό θαηλόκελν ηνπ αληηθαηνπηξηζκνύ (mirage), ηεο νπηηθήο απάηεο δειαδή πνπ παξαηεξείηαη ζπλήζσο ην θαινθαίξη πάλσ από ηελ άκκν ηεο εξήκνπ ή από αζθαιηνζηξσκέλνπο δξόκνπο. Πξάγκαηη, ζε κεγάιε απόζηαζε από ηνλ παξαηεξεηή ( μπζηή γσλία παξαηήξεζεο), ε άζθαιηνο θαίλεηαη λα είλαη βξεγκέλε, ελώ ζηελ πξαγκαηηθόηεηα ν νδεγόο βιέπεη έλα ηκήκα ηνπ νπξαλνύ. Σν θαηλόκελν νθείιεηαη αθξηβώο ζηελ θακπύισζε ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ, πνπ δηαζιώληαη ζε ζηξώκαηα αέξα κε απμαλόκελν πξνο ηα πάλσ δείθηε δηάζιαζεο, επεηδή ε ζεξκνθξαζία ηνπ αέξα ειαηηώλεηαη κε ηελ απνκάθξπλζε από ην έδαθνο (ρ. Π9.1), ρήκα Π9.1. Κακπύισζε θσηεηλήο αθηίλαο πάλσ από ηελ ππξαθησκέλε άζθαιην Αο εμεηάζνπκε κηα απιή απόδεημε πνπ αλαθέξεηαη ζηνλ ππνινγηζκό ηεο αθηίλαο θακππιόηεηαο ελόο θσηεηλνύ θύκαηνο, ην νπνίν δηαδίδεηαη κέζα ζε νπηηθό κέζν, ν δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ νπνίνπ κεηαβάιιεηαη θαηά ηελ θαηεύζπλζε z (ρ. Π9.). Έζησ όηη δύν πνιύ θνληηλέο θσηεηλέο αθηίλεο L θαη L θηλνύληαη ζε ρώξν όπνπ ν δείθηεο δηάζιαζεο απμάλεηαη πξνο ηηο αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ z (ρ. Π9.). Αλ ζεσξήζνπκε δύν ηζνθαζηθέο επηθάλεηεο S θαη S (δειαδή ηηο δύν θνληηλόηεξεο επηθάλεηεο ζηηο νπνίεο ην θύκα έρεη ηελ ίδηα θάζε), ηόηε ε κεηαμύ ηνπο απόζηαζε είλαη ίζε κε ην κήθνο θύκαηνο. Δθ όζνλ ν δείθηεο δηάζιαζεο, n, ηνπ κέζνπ κεηαβάιιεηαη θαηά ηε δηεύζπλζε z, ζα κεηαβάιιεηαη θαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θσηόο, c, κέζα ζην κέζνλ θαηά ηε δηεύζπλζε απηή θαη, επνκέλσο, θαη ην κήθνο θύκαηνο, ι, ηνπ θσηόο, δνζέληνο όηη ι(n) = c/λ = c /nλ, (Π9.1) όπνπ c είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο ζην θελό θαη λ ε ζπρλόηεηά ηνύ θσηεηλνύ θύκαηνο. 111

112 ρήκα Π9. Γηάδνζε θσηεηλνύ θύκαηνο ζε αλνκνηoγελέο κέζν Έζησ όηη ι θαη ι + dι είλαη ηα κήθε θύκαηνο ησλ δύν αθηίλσλ L θαη L, αληηζηνίρσο. Από ην ρ. Π9. παξαηεξνύκε όηη 1 1 d dln. (Π9.) R dr dr Αλ ινγαξηζκίζνπκε ηελ Δμ. (Π9.1), παίξλνπκε: πνπ,ζε ζπλδπαζκό κε ηελ Δμ. (Π9.), δίλεη: ln lnc lnn ln 1 dlnn 1 dn, (Π9.3) R dr n dr δνζέληνο όηη dlnc = θαη dlnλ =, αθνύ ηα c θαη λ είλαη κεγέζε ζηαζεξά, αλεμάξηεηα από ην δείθηε δηάζιαζεο. ρήκα Π9.3. Δθηξνπή ηεο αθηίλαο πάλσ ζην πέηαζκα, εμ αηηίαο ηεο κεηαβνιήο ηνπ δείθηε δηάζιαζεο θαηά ηελ θαηεύζπλζε z Αο ζεσξήζνπκε ηώξα (ρ. Π9.3) έλαλ δηαθαλή θύιηλδξν δηακέηξνπ l, θαηαζθεπαζκέλν από έλα πιηθό κε αλνκνηνγέλεηα dn/dz ζην δείθηε δηάζιαζεο. Όηαλ κηα αθηίλα θσηόο δηαπεξλά έλαλ θύιηλδξν δηακεηξηθά, ε εθηξνπή, d, ηνπ ίρλνπο ηεο αθηίλαο πάλσ ζε έλα πέηαζκα πνπ απέρεη απόζηαζε a από ηνλ θύιηλδξν, απνδεηθλύεηαη όηη είλαη, κε θαιή πξνζέγγηζε: dn d al (Π9.4) dz 11

113 όηαλ νη γσλίεο είλαη κηθξέο θαη a >> l. εκεηώλνπκε όηη ε αιιαγή ηνπ πξνζήκνπ ηεο dn/dz ζπλεπάγεηαη θαη αιιαγή ηνπ πξνζήκνπ ηεο εθηξνπήο. Π9.. Κνηιίεο θαη δεζκνί ηεο αθνπζηηθήο πίεζεο Όηαλ νη αθνπζηηθέο αληηζηάζεηο (Ζ = ξ c) ηνπ πγξνύ Ζ 1 θαη ηνπ γπαιηνύ Ζ δηαθέξνπλ πνιύ, δειαδή όηαλ Ζ 1 << Ζ, ν ζπληειεζηήο αλάθιαζε ηεο πίεζεο (G p = (Z Z 1 )/(Z + Z 1 )) είλαη ζρεδόλ 1, νπόηε ην ζηάζηκν θύκα ηεο πίεζεο δεκηνπξγείηαη από ηε ζπκβνιή δύν θπκάησλ πνπ έρνπλ ζρεδόλ ην ίδην πιάηνο. Έζησ όηη ε εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη πξνο ηηο αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ z είλαη p 1 (z,t) = p sin(σt + kz + α), θαη ηνπ αλαθιώκελνπ είλαη p (z,t) = p sin(σt kz + α), όπνπ k = π/ι είλαη ν θπκαηηθόο αξηζκόο, p είλαη ην πιάηνο ηεο ελαιιαζζόκελεο πίεζεο, σ είλαη ε θπθιηθή ζπρλόηεηα θαη α είλαη ε αξρηθή θάζε ηεο ηαιάλησζεο ζην ζεκείν z =. Η ζπκβνιή ησλ δύν θπκάησλ δίλεη P z, t) p p p sin( t kz) p sin( t kz) p coskzsin( t ) (Π9.5) ( 1 Η Δμ. (Π9.5) είλαη ε γλσζηή εμίζσζε ζηάζηκνπ θύκαηνο. Όπσο βιέπνπκε, πάλσ ζηνλ αλαθιαζηήξα (z =, cos kz = 1) θαη ζε κεξηθά άιια ζεκεία, ε αθνπζηηθή πίεζε έρεη ηηκή δηπιάζηα από ην πιάηνο, p (θνηιίεο πίεζεο), ελώ ππάξρνπλ ζεκεία όπνπ ε αθνπζηηθή πίεζε είλαη κεδέλ (cos kz =, δεζκνί πίεζεο). Οη δεζκνί θαη νη θνηιίεο νξίδνληαη, πξνθαλώο, από ηα κεδεληθά θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο p coskz. Δπνκέλσο, νη θνηιίεο ηεο πίεζεο βξίζθνληαη ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη kz n ή z k n, όπνπ n =, 1,, 3, 4,.. (Π9.6α) ελώ νη δεζκνί ηεο πίεζεο βξίζθνληαη ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη kz 1 n ή z n, όπνπ n =, 1,, 3, 4,.. (Π9.6β) Π9.3 Πσο γίλεηαη νξαηό ην ερεηηθό πεδίν Όπσο είδακε, ε ελαιιαζζόκελε πίεζε ζην ζηάζηκν ερεηηθό πεδίν νξίδεηαη από ηελ Δμ. (Π9.5) P (z, t) = p cos(kz) sin(σt+α) Από ηε ζρέζε απηή πξνθύπηεη όηη ε βαζκίδα ηεο πίεζεο σο πξνο ηνλ άμνλα z είλαη: (Π9.5) dp k sin( kz)sin( t ). (Π9.7) dz Η πίεζε ζην πγξό επεξεάδεη θαη κεηαβάιιεη ηελ ηηκή ηνπ δείθηε δηάζιαζεο, εθόζνλ κεηαβάιιεη ηελ ππθλόηεηά ηνπ. Δμ αηηίαο, επνκέλσο, ηεο βαζκίδαο πίεζεο, δεκηνπξγείηαη κηα βαζκίδα ζηνλ δείθηε δηάζιαζεο ηνπ πγξνύ ε νπνία, ζύκθσλα κε ηελ εμίζσζε Lorentz, είλαη: d n 1 dp ad ( n 1)( n ) (Π9.8) dz 6n dz Από ηηο Δμ. (Π9.7) θαη (Π9.8) έρνπκε dn A( n) ad sin( kz)sin( t ) (Π9.9) dz νπόηε νη θνηιίεο ηεο βαζκίδαο dn/dz βξίζθνληαη εθεί όπνπ ε ζπλάξηεζε sin(kz) κεγηζηνπνηείηαη, δειαδή ζηα ζεκεία, γηα ηα νπνία ηζρύεη 113

114 kz θ π 1 nπ ή zθ n, κε n =, 1,, 3, 4,.. (Π9.1) Με άιια ιόγηα νη θνηιίεο ηεο βαζκίδαο ηνπ δείθηε δηάζιαζεο αληηζηνηρνύλ ζηνπο δεζκνύο ηεο πίεζεο (βι. Δμ. Π9.6β). πλεπώο, ζηνπο δεζκνύο ηεο πίεζεο ε βαζκίδα dn/dz 1 κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν θαη ελαιιάζζεη ην πξόζεκό ηεο κε πιάηνο kad ( n 1)( n ) p. 6n Αληίζεηα, ζηηο θνηιίεο ηεο πίεζεο, όπνπ kzθ nπ (βι. Δμ. Π9.6α), ε βαζκίδα dn/dz κεδελίδεηαη θαη ν δείθηεο δηάζιαζεο παξακέλεη ζηαζεξόο κε ην ρξόλν. ρήκα Π9.4. Όηαλ κηα θσηεηλή δέζκε δηαζρίδεη ην γπάιηλν δνρείν, γεκάην κε πγξό κέζα ζην νπνίν έρεη ζρεκαηηζηεί έλα ζηάζηκν θύκα, νη θσηεηλέο αθηίλεο δελ εθηξέπνληαη από ηελ πνξεία ηνπο ζηηο θνηιίεο ηεο πίεζεο, δεκηνπξγώληαο έηζη θσηεηλνύο θξνζζνύο πάλσ ζην πέηαζκα, ελώ εθηξέπνληαη πάλσ θάησ (εδώ δεμηάαξηζηεξά) ζηνπο δεζκνύο ηεο πίεζεο, ζρεκαηίδνληαο έηζη ζθνηεηλνύο θξνζζνύο. Έηζη, νη θνηιίεο πίεζεο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο, πνπ δελ εθηξέπνπλ ην θσο, παξνπζηάδνληαη ζην ιεπθό πέηαζκα σο θσηεηλνί θξνζζνί, ελώ νη δεζκνί πίεζεο, πνπ εθηξέπνπλ ην θσο πάλσ θάησ, εηθνλίδνληαη σο ζθνηεηλνί θξνζζνί (ρ. Π9.4). 114

115 Άζθεζε 3 Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο πιηθώλ 31.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή ζα κεηξήζνπκε ηνλ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο δύν ζηεξεώλ ζσκάησλ, ελόο θαινύ θαη ελόο θαθνύ αγσγνύ ηεο ζεξκόηεηαο, ζα κεηξήζνπκε ηε ζηαζεξά ρξόλνπ ζέξκαλζεο κηαο κεηαιιηθήο ξάβδνπ θαη ζα πξνζδηνξίζνπκε ηελ θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο κέζα ζε απηήλ. 3. Θεσξία Μηα θαηεγνξία θαηλνκέλσλ κε κεγάιν πξαθηηθό θαη επηζηεκνληθό ελδηαθέξνλ αλαθέξεηαη ζε εθείλα πνπ παξαηεξνύληαη ζε καθξνζθνπηθά ζπζηήκαηα πνπ δελ βξίζθνληαη ζε θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο. Σα θαηλόκελα απηά κπνξνύλ λα ραξαθηεξηζζνύλ κε ηνλ γεληθό όξν θαηλόκελα κεηαθνξάο. Η ζεξκηθή αγσγηκόηεηα είλαη έλα παξάδεηγκα θαηλνκέλνπ κεηαθνξάο θαη εθδειώλεηαη εθεί όπνπ ε ζεξκνθξαζία ελόο ζώκαηνο δελ είλαη ε ίδηα ζε όια ηνπ ηα ζεκεία. ε κηθξνζθνπηθό επίπεδν, ε ξνή ζεξκόηεηαο ζπλδέεηαη κε ην γεγνλόο όηη, ζε έλα ζώκα, ε ελέξγεηα ηαιάλησζεο ησλ αηόκσλ (ή ησλ κνξίσλ) ηνπ γύξσ από ηηο ζέζεηο ηζνξξνπίαο ηνπο εμαξηάηαη άκεζα από ηε ζεξκνθξαζία. Αλ γηα θάπνην ιόγν ε ζεξκνθξαζία κηαο πεξηνρήο ηνύ ζώκαηνο είλαη πςειόηεξε από ό,ηη ζην ππόινηπν ζώκα, εμαηηίαο ηεο αιιειεπίδξαζεο ησλ αηόκσλ ε απμεκέλε ελέξγεηα ηαιάλησζεο ησλ αηόκσλ απηώλ ζα αξρίζεη λα κεηαδίδεηαη ζηα γεηηνληθά άηνκα, σζόηνπ εμηζσζεί ε ζεξκνθξαζία ζε όιε ηε κάδα ηνπ πιηθνύ. Μαθξνζθνπηθά, ε δηάδνζε ηεο ελέξγεηαο ηαιάλησζεο ησλ αηόκσλ εθδειώλεηαη σο ξνή ζεξκόηεηαο από ηηο ζεξκόηεξεο πξνο ηηο ςπρξόηεξεο πεξηνρέο ηνπ ζώκαηνο θαη ηείλεη λα εμηζώζεη ηε ζεξκνθξαζία, όηαλ ε ζεξκηθή ηζνξξνπία ηνπ ζώκαηνο έρεη δηαηαξαρζεί. ηα κέηαιια, ε θίλεζε ησλ ειεύζεξσλ ειεθηξνλίσλ δίλεη έλαλ πξόζζεην κεραληζκό δηάδνζεο ηεο ζεξκόηεηαο. Σα ειεύζεξα ειεθηξόληα θηλνύληαη ηαρύηαηα ζε νιόθιεξν ηνλ όγθν ηνπ κεηάιινπ (ηππηθά έλα ειεύζεξν ειεθηξόλην ζα πξνζπεξάζεη κεξηθέο εθαηνληάδεο άηνκα πξηλ ζπγθξνπζζεί) θαη έηζη κεηαθέξνπλ ελέξγεηα πνιύ πην απνηειεζκαηηθά, κε απνηέιεζκα ε ζεξκηθή αγσγηκόηεηα ησλ κεηάιισλ λα είλαη δεθάδεο ή θαη εθαηνληάδεο θνξέο κεγαιύηεξε από εθείλε ησλ δηειεθηξηθώλ πιηθώλ. Γηα ηελ πνζνηηθή πεξηγξαθή ηνπ θαηλνκέλνπ, ζεσξνύκε κηα νκνγελή ξάβδν κήθνπο L, ε νπνία βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα x, κε ην έλα ηεο άθξν ζην ζεκείν x θαη ην άιιν ζην x L (ρ. 3.1). Η ξάβδνο έρεη ζηαζεξή εγθάξζηα δηαηνκή εκβαδνύ S. Έζησ όηη έρνπκε δύν επίπεδα Α θαη Α, θάζεηα ζηνλ άμνλα ηεο ξάβδνπ, πνπ βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο x θαη x x αληίζηνηρα. Αλ ε ζεξκόηεηα ξέεη κόλν πξνο ηελ θαηεύζπλζε + x, ηα επίπεδα απηά ζα είλαη επηθάλεηεο ζηαζεξήο ζεξκνθξαζίαο, έζησ T θαη T T αληίζηνηρα. Πεηξακαηηθά βξίζθεηαη όηη, γηα κηθξά x, ε πνζόηεηα ζεξκόηεηαο, Q, πνπ ξέεη ζηε κνλάδα ηνπ ρξόλνπ από ηελ επηθάλεηα Α πξνο ηελ Α, είλαη αλάινγε ηνπ εκβαδνύ S θαη ηνπ ιόγνπ T / x. Έρνπκε δειαδή: Q T S (3.1) t x 115

116 ρήκα Ράβδνο, κήθνπο L, πνπ δηαζρίδεηαη από ζεξκηθή ξνή, θαηά ηελ θαηεύζπλζε +x. To άθξν ζην x = βξίζθεηαη ζηε ζεξκνθξαζία πεξηβάιινληνο, Σ π, ελώ ην άιιν άθξν ηεο (x = L) βξίζθεηαη ζε ζεξκνθξαζία Σ L. Ο ζπληειεζηήο, πνπ ραξαθηεξίδεη ην πιηθό θαη νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, κπνξεί λα ζεσξεζεί πξαθηηθά αλεμάξηεηνο ηεο ζεξκνθξαζίαο γηα κηθξέο πεξηνρέο ζεξκνθξαζίαο. Σν αξλεηηθό πξόζεκν δείρλεη όηη ε ξνή ηεο ζεξκόηεηαο είλαη αξλεηηθή (πξνο ηα αξλεηηθά x ), όηαλ ν ιόγνο T / x είλαη ζεηηθόο. ηελ νξηαθή πεξίπησζε κηαο πιάθαο απεηξνζηνύ πάρνπο, dx, κεηαμύ ησλ άθξσλ ηήο νπνίαο ππάξρεη δηαθνξά ζεξκνθξαζίαο dt, ηζρύεη ν ζεκειηώδεο λόκνο ηεο ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο: dq dt S (3.) dt dx Σν πειίθν dt/dx ιέγεηαη ζεξκνβαζκίδα θαη εθθξάδεη ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο αλά κνλάδα κήθνπο. Τιηθά κε κεγάιν ι είλαη θαινί αγσγνί ηεο ζεξκόηεηαο, ελώ απηά κε κηθξό ι είλαη θαθήο πνηόηεηαο αγσγνί ή, αιιηώο, κνλσηέο. ηνλ Πίλαθα I αλαθέξνληαη νη ηηκέο ηνπ ι γηα κεξηθά πιηθά, θαζώο θαη ε ζεξκηθή αγσγηκόηεηα ηνπ ληθειίνπ, ι, ζε δηάθνξεο ζεξκνθξαζίεο, Σ. Πίλαθαο I ε θαηάζηαζε ζεξκηθήο ηζνξξνπίαο ε ζεξκνθξαζία ηνπ ζώκαηνο είλαη ε ίδηα ζε όια ηνπ ηα ζεκεία. Όηαλ όκσο ε ηζνξξνπία απηή δηαηαξάζζεηαη, δηακνξθώλεηαη ζην ζώκα κηα θαηαλνκή ζεξκνθξαζίαο, ε νπνία εμαξηάηαη γεληθώο από ην ρξόλν θαη ππαθνύεη ζηελ εμίζσζε αγσγηκόηεηαο: T T T T c f (3.3) t x y z όπνπ f είλαη ε ηζρύο (αλά κνλάδα όγθνπ) ησλ εζσηεξηθώλ πεγώλ ζεξκόηεηαο, ε ππθλόηεηα θαη c ε εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ πιηθνύ. Τπελζπκίδνπκε όηη εηδηθή ζεξκόηεηα ελόο πιηθνύ είλαη ε ζεξκόηεηα πνπ απαηηείηαη γηα λα απμεζεί ε ζεξκνθξαζία ηεο κνλάδαο ηεο κάδαο ηνπ πιηθνύ θαηά έλα βαζκό θαη δίδεηαη ζπλήζσο ζε cal/g. ηηο πεξηπηώζεηο όπνπ f =, όηαλ δειαδή 116

117 κέζα ζην ζώκα δελ ππάξρνπλ πεγέο ζεξκόηεηαο θαη ε ζεξκόηεηα κπνξεί λα ξέεη κόλν πξνο ηελ θαηεύζπλζε x, ε εμίζσζε αγσγηκόηεηαο απινπνηείηαη ζηε κνλνδηάζηαηε κνξθή: T T c (3.4) t x Η γεληθή ιύζε, T(x,t), απηήο ηεο εμίζσζεο κπνξεί λα βξεζεί κε ηε ρξήζε ησλ κεζόδσλ Fourier, αλ είλαη γλσζηέο νη ζπλνξηαθέο θαη νη αξρηθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Μηα πνηνηηθή εηθόλα γηα ηηο ιύζεηο απηέο κπνξνύκε λα απνθνκίζνπκε, εάλ εμεηάζνπκε ηελ πεξίπησζε ηεο ξάβδνπ, πνπ είλαη θαη ε απινύζηεξε. Γηα ην ζθνπό απηό, αο ζεσξήζνπκε κηα νκνγελή ξάβδν κήθνπο L θαη δηαηνκήο S. Έζησ όηη ην αξηζηεξό ηεο άθξν έρεη κόληκα ηε ζεξκνθξαζία πεξηβάιινληνο, Σ π. Έζησ αθόκε όηη, ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ε ζεξκηθή ηεο ηζνξξνπία δηαηαξάζζεηαη θαη, ζην δεμηό ηεο άθξν, κε θάπνην ηξόπν, αξρίδεη λα πξνζθέξεηαη ζηαζεξή ζεξκηθή ηζρύο, P (ρ. 3.α). Μεηά ηελ πάξνδν αξθεηνύ ρξόλνπ, ζα επηηεπρζεί κηα κόληκε θαηάζηαζε, ζηελ νπνία ε ζεξκνθξαζία ζα είλαη αλεμάξηεηε ηνπ ρξόλνπ ζε θάζε ζεκείν ηεο ξάβδνπ. Η ξνή ζεξκόηεηαο, d Q/ dt, ζα έρεη ηελ ίδηα ηηκή ζε όια ηα ζεκεία ηεο ξάβδνπ, θαη επνκέλσο (ή ηζνδύλακα), ζύκθσλα κε ηελ Δμ. (3.), ζα έρνπκε dt / dx ζηαζ. ηελ θαηάζηαζε απηή ε ζεξκνθξαζία κεηαβάιιεηαη γξακκηθά κε ην x θαη, αλ ηα δύν άθξα ηεο ξάβδνπ βξίζθνληαη ζηηο ζεξκνθξαζίεο Σ π (ζην x = ) θαη Σ L (ζην x L ) αληηζηνίρσο, ε θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ ζα είλαη: TL T T( x) T x (3.5) L Δθόζνλ, ζηε κόληκε θαηάζηαζε, έρνπκε θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ κηα γξακκηθή θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο [ρ. 3.(α)], ε ξάβδνο απιώο άγεη ηε ζεξκόηεηα θαη δελ ηελ απνξξνθά, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη όηη ε εηζεξρόκελε ζηε ξάβδν ξνή ζεξκόηεηαο ηζνύηαη κε ηελ εμεξρόκελε. Αληίζεηα, ζηελ αξρή ηεο ζέξκαλζεο, δειαδή θαηά ηε κεηαβαηηθή πεξίνδν [δηαθεθνκκέλεο θακπύιεο ζην ρ. 3.(α)], κόλνλ έλα κέξνο ηεο ζεξκόηεηαο ξέεη πξνο ηα ςπρξόηεξα κέξε ηεο ξάβδνπ, ελώ ην ππόινηπν απνξξνθάηαη από ην πιηθό ηεο θαη πξνθαιεί αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ησλ ηκεκάησλ ηνπ, έσο όηνπ ε θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο γίλεη γξακκηθή. ρήκα 3.. Καηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε κηα ξάβδν, ην έλα άθξν ηεο νπνίαο (x = ) βξίζθεηαη ζηε ζεξκνθξαζία πεξηβάιινληνο, Σ π, ελώ ζην άιιν άθξν (x = L) πξνζθέξεηαη ζηαζεξή ζεξκηθή ηζρύο, P. (α) Καηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ, γηα δηάθνξεο ρξνληθέο ζηηγκέο, από κέρξη. Παξαηεξνύκε όηη, ζηε κόληκε θαηάζηαζε (t = ), δηακνξθώλεηαη θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ κηα γξακκηθή αύμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο σο πξνο x, από Σ π έσο Σ L. (β) Υξνληθή εμέιημε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ ζεξκαηλόκελνπ άθξνπ (x = L) ηεο ξάβδνπ. Η ζεξκνθξαζία ηείλεη εθζεηηθά πξνο ηελ ηηκή Σ L. 117

118 ην ρ. 3. (β) δίλεηαη ε ρξνληθή εμέιημε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ ζεξκαηλόκελνπ άθξνπ (x = L) ηεο ξάβδνπ. Η καζεκαηηθή αλάιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο δείρλεη όηη ε άλνδνο ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο ξάβδνπ αθνινπζεί κηα εθζεηηθή ζπλάξηεζε, όκνηα κε απηήλ ηεο θόξηηζεο ελόο ειεθηξηθνύ ππθλσηή, θαη όηη ε αληίζηνηρε ζηαζεξά ρξόλνπ ζέξκαλζεο (η ) είλαη αλάινγε πξνο ηνλ παξάγνληα ηεο Δμ. (3.6): η ~ c L (3.6) Αμίδεη λα ηνληζηεί εδώ όηη ε ζηαζεξά ρξόλνπ ζέξκαλζεο δελ εμαξηάηαη από ηε δηαηνκή ηεο ξάβδνπ, εμαξηάηαη όκσο έληνλα από ην κήθνο ηεο. Δλδεηθηηθά αλαθέξνπκε όηη ε ζηαζεξά ρξόλνπ ζέξκαλζεο κηαο ξάβδνπ από νξείραιθν, κήθνπο 7 cm, είλαη πεξίπνπ 1 s. Όπσο βιέπνπκε, αθόκα θαη ζηα κέηαιια, ε δηάδνζε ηεο ζεξκόηεηαο είλαη κηα ζρεηηθά αξγή δηαδηθαζία 3.3 Μέζνδνο κέηξεζεο ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο ι Καινί αγσγνί Θεσξνύκε κία νκνγελή ξάβδν, ην έλα άθξν (ην αξηζηεξό) ηεο νπνίαο είλαη ζε επαθή κε έλα ζώκα κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο (πξαθηηθά ζηαζεξήο ζεξκνθξαζίαο ίζεο κε ηε ζεξκνθξαζία ηνπ πεξηβάιινληνο), ελώ ζην άιιν άθξν, κέζσ ελόο ιακπηήξα, παξέρεηαη γλσζηή ζεξκηθή ξνή, Ρ (ρ. 3.α). Μεηά ην πέξαο ηεο κεηαβαηηθήο πεξηόδνπ, ζηε κόληκε θαηάζηαζε, ζα δηακνξθσζεί ζηε ξάβδν κηα γξακκηθή θαηαλνκή ζεξκνθξαζίαο θαη ζύκθσλα κε ηελ Δμ. (3.1) ζα ηζρύεη: Q T T 1 P S ή P t L L S (3.7) όπνπ L είλαη ην κήθνο ηεο ξάβδνπ θαη T είλαη ε δηαθνξά ζεξκνθξαζίαο κεηαμύ ησλ δύν άθξσλ ηεο. Αλ θαηαγξαθεί ην κέηξν ηεο ζεξκνβαζκίδαο, T / L, ζπλαξηήζεη ηνπ P, ζα πξνθύςεη κηα επζεία, ε θιίζε ηεο νπνίαο είλαη ίζε κε Κ = 1/ιS. πλεπώο, ε ηηκή ηνύ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, ηνπ πιηθνύ ηεο ξάβδνπ κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ηε ζρέζε: ι = 1/KS, δνζέληνο όηη ε δηαηνκή, S, ηεο ξάβδνπ είλαη γλσζηή Καθνί αγσγνί (κνλσηέο) Αληηθείκελν ηεο κειέηεο εδώ είλαη έλα κνλσηηθό πιηθό κε ηε κνξθή ιεπηνύ θύιινπ. Σν θύιιν απηό ηνπνζεηείηαη πάλσ ζε έλα ζώκα κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο θαη, ζηε ζπλέρεηα, πάλσ ζην θύιιν ηνπνζεηείηαη έλαο ζεξκόο κεηαιιηθόο δίζθνο, ε ζεξκνθξαζία ηνύ νπνίνπ θαηαγξάθεηαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ, t. (ρ. 3.3). Ο δίζθνο ζα αξρίζεη λα ςύρεηαη θαη, ζηελ πεξίπησζε πνπ ν δίζθνο ςύρεηαη κόλν κέζσ ηνπ πιηθνύ πνπ κειεηνύκε, πξνθύπηεη όηη ε ζεξκνθξαζία ηνπ δίζθνπ ζα αθνινπζήζεη κηα θζίλνπζα εθζεηηθή ζπλάξηεζε, όκνηα κε εθείλε ηεο ειεθηξηθήο εθθόξηηζεο ελόο ππθλσηή. Πξάγκαηη, ε νιηθή ζεξκηθή ελέξγεηα, Q νι, πνπ κπνξεί λα ράζεη ν δίζθνο είλαη Q νι = mc (Σ αξρ Σ π ) (3.8) 118

119 ρήκα 3.3. ρεκαηηθή απεηθόληζε ηεο κεζόδνπ πνπ ρξεζηκνπνηνύκε γηα ηνλ πεηξακαηηθό πξνζδηνξηζκό ηεο ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο θαθώλ αγσγώλ (κνλσηώλ) ηεο ζεξκνθξαζίαο. Σν κνλσηηθό θύιιν ηνπνζεηείηαη κεηαμύ ελόο ζώκαηνο κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο, πνπ βξίζθεηαη ζηε ζεξκνθξαζία πεξηβάιινληνο, Σ π, θαη ελόο ζεξκνύ κεηαιιηθνύ δίζθνπ, ε ζεξκνθξαζία, Σ, ηνπ νπνίνπ θαηαγξάθεηαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ, t. όπνπ mc είλαη ε ζεξκνρσξεηηθόηεηά ηνπ (m ε κάδα ηνπ θαη c ε εηδηθή ηνπ ζεξκόηεηα). Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t ε ζεξκνθξαζία ηνπ δίζθνπ είλαη Σ, ε ηηκή ηεο ελέξγεηαο πνπ έρεη ράζεη ν δίζθνο ζα είλαη ίζε κε Παξαγσγίδνληαο ηελ Q(t) σο πξνο ην ρξόλν, έρνπκε: Q = mc (Σ T π ) (3.9) dq d( T Tπ ) mc (3.1) dt dt Από ηελ άιιε, ε ζεξκηθή ξνή πνπ δηαπεξλά ην ιεπηό θύιιν (Δμ. 3.) είλαη: d Q dt ( T T S S ) π (3.11) dt dx a όπνπ a είλαη ην πάρνο ηνπ θύιινπ θαη S ην εκβαδόλ ηνπ δίζθνπ. Δμηζώλνληαο ηελ Δμ. (3.11) κε ηελ (3.1) έρνπκε: d( T T mc dt Σελ Δμ. (3.1) κπνξνύκε λα ηε γξάςνπκε θαη σο: π ) ( T Tπ ) S (3.1) a d( T Tπ ) S dt ( T T ) mca Οινθιεξώλνληαο ηελ Δμ. (3.13) παίξλνπκε: S ln( T Tπ ) t ζηαζ. mca π (3.13) (3.14) 119

120 Δπεηδή ζηελ αξρή ( t ), έρνπκε T ( t ) T, βξίζθνπκε όηη αξρ ζηαζ ln( T T ) θαη έηζη αξρ π ln( T T π S ) t ln( T mca αξρ T από ηελ νπνία ηειηθά πξνθύπηεη π ) (3.15) S t mca T Tπ ( Tαξρ Tπ ) e (3.16) Όπσο βιέπνπκε, ε ζεξκνθξαζία ηνπ δίζθνπ κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν, ηείλνληαο ζηε ζεξκνθξαζία πεξηβάιινληνο, Σ π (ρ. 3.4). Έηζη, αλ κεηξεζεί ε ζεξκνθξαζία, Σ, ηνπ δίζθνπ ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ, t, θαη ελ ζπλερεία ζρεδηαζηεί ην ln( T Tπ ) σο ζπλάξηεζε ηνπ t, ζα βξεζεί, ζύκθσλα κε ηελ Δμ. (3.15), κηα επζεία, ε θιίζε, K, ηεο νπνίαο είλαη: S K (3.17) mca H ηηκή ηνύ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, ηνπ πιηθνύ ηνπ κνλσηηθνύ θύιινπ κπνξεί, επνκέλσο, λα ππνινγηζηεί από ηε ζρέζε: mca (K) (3.18) S από ηε ζηηγκή πνπ έρνπκε πξνζδηνξίζεη ηελ θιίζε, Κ, ηεο επζείαο, εθόζνλ ηα m, c θαη a είλαη γλσζηά. 3.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε ηελ πεηξακαηηθή δηάηαμε ρξεζηκνπνηείηαη έλα ζώκα κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο, κε κάδα ίζε κε M 15 kg. Η δηάηαμε πεξηιακβάλεη αθόκα Γηα ηε κέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, θαιώλ αγσγώλ Μία κεηαιιηθή ξάβδν από νξείραιθν. Σν έλα ηεο άθξν είλαη ζε επαθή κε ην παξαπάλσ ζώκα, ελώ ζην άιιν είλαη ελζσκαησκέλνο έλαο ειεθηξηθόο ιακπηήξαο, ν νπνίνο δξα σο πεγή ζεξκόηεηαο (ρ. 3.5). Η δηάκεηξνο θαη ην κήθνο ηεο ξάβδνπ είλαη 11, ±,1 mm θαη 7, mm αληίζηνηρα. Καηά κήθνο ηεο ξάβδνπ ππάξρνπλ 5 αβαζείο ππνδνρέο, νη νπνίεο απέρνπλ κεηαμύ ηνπο 15, ±,1 mm. Πξννξηζκόο ηνπο είλαη λα βειηηώζνπλ ηε ζεξκηθή επαθή ηνπ ζεξκόκεηξνπ κε ηε ξάβδν. Η πξώηε ππνδνρή απέρεη 5 mm από ηελ επηθάλεηα ηνπ ζώκαηνο κεγάιεο κάδαο. Έλα ηξνθνδνηηθό κε δύν ζηαζεξνπνηεκέλεο πεγέο: κία πεγή ξεύκαηνο, ε νπνία δελ ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ Άζθεζε απηή, θαη κία πεγή ξπζκηδόκελεο ηζρύνο. Ο κεηξεηήο ηεο πεγήο απηήο δείρλεη απεπζείαο ηελ παξερόκελε ζην ιακπηήξα ηζρύ, P = I U, όπνπ U είλαη ε ηάζε ζηνλ ιακπηήξα θαη I ην ξεύκα πνπ ηνλ δηαξξέεη. Η ηζρύο, P, κπνξεί λα κεηαβάιιεηαη από έσο 15 W. 1

121 ρήκα 3.5. ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο γηα ηε κέηξεζε ηεο ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο κηαο κεηαιιηθήο ξάβδνπ, ην επάλσ άθξν ηεο νπνίαο ζεξκαίλεηαη κε ειεθηξηθό ιακπηήξα, ηξνθνδνηνύκελν από ηελ πεγή ηζρύνο Ρ, ελώ ην άιιν άθξν ηεο έρεη ηνπνζεηεζεί πάλσ ζε έλα ζώκα κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο. Η ξάβδνο θέξεη 5 εγθνπέο γηα ηελ ηνπνζέηεζε ηνπ ζεξκνκέηξνπ, πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε κέηξεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ. Έλα ςεθηαθό ζεξκόκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο ξάβδνπ ζηα πέληε ηεο ζεκεία. Η δηαθξηηηθή ηνπ ηθαλόηεηα είλαη,1 o C, όκσο ε ηηκή ηεο ζεξκνθξαζίαο κεηξάηαη κε ζθάικα,5 o C. Γηα ηελ επθνιία ησλ κεηξήζεσλ, ζην πιάη ηνπ κεγάινπ ζώκαηνο είλαη ζηεξεσκέλε ε βάζε ζηήξημεο ηνπ ζεξκόκεηξνπ (ρ. 3.6). Η ζεξκηθή αδξάλεηα ηνπ ζεξκόκεηξνπ είλαη πεξίπνπ 3 s. Έλα ρξνλόκεηξν Γηα ηε κέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, θαθώλ αγσγώλ ρήκα 3.6. ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο πεηξακαηηθήο δηάηαμεο γηα ηε κέηξεζε ηεο ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο κνλσηηθνύ θύιινπ. (α) ην πξώην ζηάδην, ν δίζθνο ηνπνζεηείηαη πάλσ ζηε βάζε ηνπ θαη ζηεξίδεηαη ζε ηέζζεξηο κνλσηέο από ηεθιόλ. Μέζα ζηε κία ππνδνρή ηνπνζεηείηαη ν ζεξκαληήξαο, θαη ζηελ άιιε ην ζεξκόκεηξν (κε εηθνληδόκελα) θαη θαηαγξάθεηαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ. (β) ην δεύηεξν ζηάδην, ην ππό κειέηε κνλσηηθό θύιιν ηνπνζεηείηαη κεηαμύ ηνπ ζεξκνύ κεηαιιηθνύ δίζθνπ θαη ηνπ ζώκαηνο κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο, γηα ηελ θαηακέηξεζε θαη πάιη ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνύ κεηαιιηθνύ δίζθνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ. 11

122 Έλαλ κεηαιιηθό δίζθν, ε δηάκεηξνο ηνπ νπνίνπ είλαη 59,, 3 mm. Ο δίζθνο ζεξκαίλεηαη πάλσ ζηε βάζε ηνπ θαη ζηεξίδεηαη ζε ηέζζεξηο κνλσηέο από ηεθιόλ (ρ. 3.6α). Ο δίζθνο απηόο έρεη δύν ππνδνρέο, κηα αβαζή (~1,5 cm) ε νπνία πξννξίδεηαη γηα ηελ ππνδνρή ηνπ ζεξκνκέηξνπ θαη κία βαζηά (~5 cm) γηα ηελ ππνδνρή ηνπ ζεξκαληήξα. (Πξνζνρή: Σπρόλ αληαιιαγή ησλ ππνδνρώλ κπνξεί λα πξνθαιέζεη ηελ ππεξζέξκαλζε θαη θαηαζηξνθή ηνπ ζεξκαληήξα). Έλα ιεπηό κνλσηηθό θύιιν από ην ππό κειέηε πιηθό (ρ. 3.6β). Σν πάρνο ηνπ είλαη a =,1 ±,5 mm. Έλαλ ειεθηξηθό ζεξκαληήξα γηα ηε ζέξκαλζε ηνπ κεηαιιηθνύ δίζθνπ (δελ θαίλεηαη ζηα ζρήκαηα). Έλα ςεθηαθό ζεξκόκεηξν γηα ηε κέηξεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ κεηαιιηθνύ δίζθνπ. Έλα ρξνλόκεηξν. Βηβιηνγξαθία 1. M. Alonso θαη E.J. Finn, Θεκειηώδεο Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Ι: Μεραληθή θαη Θεξκνδπλακηθή Κεθ. 15: Παξάγξ. 15.1, 15.3 (Αζήλα 1981).. H.C. Ohanian, Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. : Παξάγξ..4, Δθδόζεηο πκκεηξία (Αζήλα 1991). 3. H.D. Young, Παλεπηζηεκηαθή Φπζηθή, Σόκνο Α : Μεραληθή-Θεξκνδπλακηθή, Κεθ. 15: Παξάγξ. 15.1, 15.7, Δθδόζεηο Παπαδήζε (Αζήλα 1994). 4. Halliday-Resnick, Φπζηθή, Μέξνο Ι, Κεθ., Παξάγξ..4, Δθδόζεηο Γ.Α. Πλεπκαηηθνύ (Αζήλα 1976). 3.5 Δθηέιεζε Μέηξεζε ηεο ζηαζεξάο ρξόλνπ ζέξκαλζεο ηεο ξάβδνπ 1. Σνπνζεηήζηε ην ζεξκόκεηξν ζηελ ππνδνρή 5 ηεο ξάβδνπ, έηζη όπσο απηό θαίλεηαη ζην ρ Πξηλ ζέζεηε ζε ιεηηνπξγία ην ηξνθνδνηηθό, βεβαησζείηε πξώηα όηη είλαη ξπζκηζκέλν ζην κεδέλ, όηη δειαδή ην θνπκπί ξύζκηζεο βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηέξκα αξηζηεξά. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ην ηξνθνδνηηθό θαη εθαξκόζηε ηζρύ 3 W ζηελ πεγή ηζρύνο. 3. Καηαγξάςηε, κε ηε βνήζεηα ηνπ ζεξκνκέηξνπ, ηε ρξνληθή εμέιημε ηεο ζεξκνθξαζίαο αλά 3 s επί 5 min. Καηαρσξήζηε ηηο ηηκέο πνπ κεηξήζαηε ζηνλ Πίλαθα II Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, ηνπ πιηθνύ ηεο ξάβδνπ (νξείραιθνπ) 1. Καζώο ε πεγή ηζρύνο είλαη αθόκα ξπζκηζκέλε ζηα 3 W, κεηξήζηε ηηο ζεξκνθξαζίεο T 1 θαη T 5 ζηηο δύν αθξαίεο ππνδνρέο ηεο ξάβδνπ. Οη ππνδνρέο απηέο απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε L 6,, cm.. Δπαλαιάβαηε ην βήκα 1 γηα 6, 9, 1 θαη 15 W, πεξηκέλνληαο θάζε θνξά 5 ιεπηά γηα λα απνθαηαζηαζεί ε κόληκε θαηάζηαζε ζηε ξάβδν. Καηαγξάςηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα IΙI. 1

123 3.5.3 Δύξεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ ζηε κόληκε θαηάζηαζε Ακέζσο κεηά ην ηέινο ηνπ ηειεπηαίνπ βήκαηνο ηνπ πξνεγνύκελνπ πεηξάκαηνο, θαζώο ε εθαξκνδόκελε ηζρύο είλαη 15 W, κεηξήζηε ηε ζεξκνθξαζία θαη ζηα ελδηάκεζα ηξία ζεκεία ηεο ξάβδνπ, όπνπ ππάξρνπλ νη αληίζηνηρεο ππνδνρέο. Καηαγξάςηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα IV. Η ζέζε x = αληηζηνηρεί, πξνθαλώο, ζηε βάζε ηεο ξάβδνπ Μέηξεζε ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, θαθνύ αγσγνύ ζεξκόηεηαο. 1. Μεηξήζηε ηε κάδα, m, ηνπ κεηαιιηθνύ δίζθνπ, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ δπγό ηεο Άζθεζεο.. Σνπνζεηήζηε ην ζεξκόκεηξν θαη ηνλ ειεθηξηθό ζεξκαληήξα ζηηο αληίζηνηρεο ππνδνρέο ηνύ κεηαιιηθνύ δίζθνπ, θαζώο απηόο βξίζθεηαη πάλσ ζηε βάζε ηνπ (ρ. 3.6α). Ο ζεξκαληήξαο πξέπεη λα εηζάγεηαη ζηε βαζηά ππνδνρή. Απηό ην δηαπηζηώλεηε όηαλ απηόο εηζρσξεί ζηνλ δίζθν ζε όιν ηνπ ζρεδόλ ην κήθνο. Θέζηε ζε ιεηηνπξγία ηνλ ζεξκαληήξα θαη, όηαλ ε ζεξκνθξαζία ηνπ δίζθνπ θζάζεη ηνπο 75 o C, ζβήζηε ηελ ηξνθνδνζία ηνπ θαη, αθνύ πξώηα βγάιεηε ηνλ ζεξκαληήξα από ηνλ δίζθν, ηνπνζεηήζηε ηνλ, ζβεζηό, ζηελ εηδηθή βάζε ηνπ. 3. Με ηε βνήζεηα ηνπ ζεξκνκέηξνπ παξαθνινπζήζηε ηε ρξνληθή κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνύ δίζθνπ (ε νπνία νθείιεηαη ζηελ απώιεηα ζεξκόηεηαο πξνο ηνλ πεξηβάιινληα αέξα), θαηαγξάθνληάο ηελ θάζε 3 s, επί 3 min. Καηαρσξήζηε ηα απνηειέζκαηα ζηνλ Πίλαθα V. 4. Σνπνζεηήζηε ην θύιιν ηνύ κνλσηηθνύ πιηθνύ πάλσ ζην ζώκα κεγάιεο ζεξκνρσξεηηθόηεηαο θαη, ελ ζπλερεία, ηνπνζεηήζηε, κε κεγάιε πξνζνρή, ηνλ ζεξκό δίζθν πάλσ ζην θύιιν (ρ. 3.6β). 5. Παξαθνινπζήζηε ηε ρξνληθή κεηαβνιή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ δίζθνπ, θαηαγξάθνληαο ηελ ηηκή ηεο θάζε 3 s, επί 6 ιεπηά. Καηαρσξήζηε ηηο κεηξήζεηο ζαο ζηνλ Πίλαθα VI. 6. Μεηξήζηε ηε ζεξκνθξαζία ηνπ πεξηβάιινληνο, Σ π, εηζάγνληαο ην ζεξκόκεηξν ζηελ ππνδνρή πνπ ππάξρεη ζην ζώκα κεγάιεο κάδαο. 13

124 3.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πξνζδηνξηζκόο ηεο ζηαζεξάο ρξόλνπ ζέξκαλζεο ηεο κεηαιιηθήο ξάβδνπ. 1. Από ηα δεύγε ηηκώλ ηνπ Πίλαθα II, ζρεδηάζηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ηνπ ζεξκαηλόκελνπ άθξνπ ηεο ξάβδνπ ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. Από ηελ θακπύιε ηήο παξάζηαζεο πξνζδηνξίζηε ηε ζηαζεξά ρξόλνπ ζέξκαλζεο ηεο ξάβδνπ, η, ιακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη ζε ρξόλν η ε ζεξκνθξαζία θζάλεη ζηα 63 % ηεο κεγίζηεο κεηαβνιήο ηεο. Καηαγξάςηε ηελ ηηκή ηνπ η κε ινγηθό αξηζκό ζεκαληηθώλ ςεθίσλ, δίρσο λα ππνινγίζεηε ην ζθάικα ηεο, η =... Τπνινγίζηε ηε ζηαζεξά ρξόλνπ ζέξκαλζεο ηεο ξάβδνπ γηα ηελ πεξίπησζε πνπ ην κήθνο ηεο ζα ήηαλ 7 θνξέο κεγαιύηεξν (49 cm). Πόζε ώξα δηαξθεί ε κεηαβαηηθή πεξίνδνο, t κεη, κηαο ηέηνηαο ξάβδνπ (t κεη ~ 5η ); 3.6. Πξνζδηνξηζκόο ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, ηνπ πιηθνύ ηεο ξάβδνπ 1. Από ηα δεδνκέλα ηνπ Πίλαθα ΙΙI, ππνινγίζηε, γηα θάζε ηηκή ηεο παξερόκελεο ηζρύνο P, ηελ αληίζηνηρε ζεξκνβαζκίδα, (T 5 T 1 )/L. ρεδηάζηε ηελ θακπύιε ηεο ζεξκνβαζκίδαο ζπλαξηήζεη ηεο P.. Από ηελ θιίζε ηεο επζείαο, Κ, θαη ην ζθάικα ηεο, δκ, πνπ ζα βξείηε κε ηε γξαθηθή κέζνδν, (βι. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σόκνο Ι, Κεθ. Γ: Παξάγξ. Γ7) ππνινγίζηε ηελ ηηκή ηνπ ι (Δμ. 3.7), θαζώο θαη ην ζθάικα ηήο ηηκήο απηήο. ι =.. ± Δύξεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ ζηε κόληκε θαηάζηαζε Από ηα δεύγε ηηκώλ ηνπ Πίλαθα ΙV, ζρεδηάζηε ηηο ηηκέο ηεο ζεξκνθξαζίαο, T, ζπλαξηήζεη ηεο ζέζεο, x. Η θακπύιε πνπ πξνθύπηεη εθθξάδεη ηελ θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ όπσο απηή δηακνξθώλεηαη ζηε κόληκε θαηάζηαζε Πξνζδηνξηζκόο ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, ηνπ κνλσηηθνύ θύιινπ 1. Από ηα δεδνκέλα ησλ Πηλάθσλ V θαη VI, ζρεδηάζηε, ζην ίδην δηάγξακκα, ηηο δύν θακπύιεο ησλ ζεξκνθξαζηώλ (ε πξώηε νθείιεηαη ζηελ απώιεηα ζεξκόηεηαο πξνο ην πεξηβάιινλ θαη ε δεύηεξε κέζσ ηνπ κνλσηηθνύ θύιινπ), σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ, t. Γηαπηζηώζηε ηε κηθξή απώιεηα ζεξκόηεηαο πξνο ην πεξηβάιινλ.. Από ηα δεδνκέλα ηνπ Πίλαθα VI (κε ην κνλσηηθό θύιιν), ππνινγίζηε ηηο ηηκέο ηνπ ln( T Tπ ) θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηελ ηξίηε ζηήιε ηνπ Πίλαθα. εκεηώζηε όηη νη ινγάξηζκνη πνπ ππνινγίδνληαη είλαη νη θπζηθνί. 3. Από ηα δεύγε ηηκώλ t, θαη ln( T T ) ηνπ Πίλαθα VI, ζρεδηάζηε ηε κεηαβνιή ηνύ π ln( T Tπ ) σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ, t, θαη πξνζδηνξίζηε ηελ θιίζε, Κ, ηεο επζείαο, θαζώο θαη ην ζθάικα ηεο, δκ, κε ηε γξαθηθή κέζνδν (βι. Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο, Σόκνο Ι, Κεθ. Γ: Παξάγξ. Γ7). 4. Από ηελ θιίζε ηεο επζείαο θαη ην ζθάικα ηεο ππνινγίζηε ηελ ηηκή θαη ην ζθάικα ηνπ ζπληειεζηή ζεξκηθήο αγσγηκόηεηαο, ι, ηνπ κνλσηηθνύ θύιινπ (Δμ. 3.18). ι =.. ±.. εκείσζε: Η εηδηθή ζεξκόηεηα ηνπ νξείραιθνπ είλαη c 37 J kg -1 K

125 Άζθεζε 31 Θεξκηνληθή εθπνκπή ειεθηξνλίσλ 31.1 θνπόο ηελ άζθεζε απηή κειεηάηαη ην θαηλόκελν ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο θαη ειέγρνληαη νη δύν βαζηθνί λόκνη ηνπ θαηλνκέλνπ, ν λόκνο ηνπ Langmuir ή λόκνο 3/ (ηξηώλ δεπηέξσλ) θαη ν λόκνο ηνπ Richardson. Πξνζδηνξίδεηαη εμάιινπ ην έξγν εμαγσγήο ησλ ειεθηξνλίσλ από ην βνιθξάκην κε ηε κέζνδν Richardson. 31. Θεσξία Σν θαηλόκελν ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο Όπσο είλαη γλσζηό, ζηηο πςειέο ζεξκνθξαζίεο ηα κέηαιια εθπέκπνπλ ειεθηξόληα. Αλ ηα ειεθηξόληα απηά δελ ζπιιέγνληαη από άιινλ αγσγό, ζα ζρεκαηηζηεί πάλσ από ηε ζεξκή επηθάλεηα έλα λέθνο ειεθηξνλίσλ, νη ξνέο ησλ νπνίσλ, από θαη πξνο ηελ επηθάλεηα, ζα είλαη ίζεο. Αλ όκσο, θνληά ζηε ζεξκή επηθάλεηα, ηνπνζεηεζεί έλαο αγσγόο ζηνλ νπνίν εθαξκόδεηαη ζεηηθό δπλακηθό ζε ζρέζε κε ηε ζεξκή κεηαιιηθή επηθάλεηα, έλα κέξνο ησλ ειεθηξνλίσλ ηνπ λέθνπο ζα νδεγεζεί πξνο ηνλ αγσγό απηό. Η ζεξκή επηθάλεηα βξίζθεηαη ζπλήζσο ζε ρώξν πςεινύ θελνύ, ώζηε λα πξνζηαηεύεηαη από ηηο νμεηδώζεηο θαη λα δηεπθνιύλεηαη ε θίλεζε ησλ ειεθηξνλίσλ. ηηο ειεθηξνληθέο δηαηάμεηο, ε ζεξκή επηθάλεηα ιεηηνπξγεί σο πεγή ειεθηξνλίσλ θαη νλνκάδεηαη θάζνδνο. Ο δεύηεξνο αγσγόο, ζπλήζσο ππό κνξθή κεηαιιηθνύ δίζθνπ ή θπιίλδξνπ, ιεηηνπξγεί σο ζπιιέθηεο ειεθηξνλίσλ θαη νλνκάδεηαη άλνδνο. Σα δύν ειεθηξόδηα, άλνδνο θαη θάζνδνο, ηνπνζεηεκέλα ζε ρώξν πςεινύ θελνύ, ζπγθξνηνύλ ηελ νλνκαδόκελε δίνδν θελνύ θαη απνηεινύλ ηα βαζηθόηεξα ζηνηρεία ησλ ειεθηξνληθώλ ιπρληώλ, θαζνδηθώλ ζσιήλσλ ησλ παικνγξάθσλ, ξαληάξ, ηειενξάζεσλ θαη νζνλώλ ππνινγηζηώλ, θιείζηξσλ, πεγώλ αθηίλσλ Υ, ειεθηξνληθώλ κηθξνζθνπίσλ θ.η.ι Θέξκαλζε ηεο θαζόδνπ - Αλνδηθό ξεύκα Η ζέξκαλζε ηεο θαζόδνπ, άκεζε ή έκκεζε (ρ. 31.1), επηηπγράλεηαη κε έλαλ ζεξκαληήξα, ν νπνίνο ηξνθνδνηείηαη ζπλήζσο από κηα μερσξηζηή πεγή ηάζεο 6,3 V ac. Πεγή ειεθηξνλίσλ είλαη έλα ιεπηό ζηξώκα νμεηδίνπ ηνπ βαξίνπ (BaO) πνπ βξίζθεηαη πάλσ ζε θύιιν ληθειίνπ. ηηο ζεξκνθξαζίεο 1 11 o C, ην BaO έρεη ηε κεγαιύηεξε απόδνζε εθπνκπήο, ίζε κε 1 ma/cm, θαη ρξεζηκνπνηείηαη ζρεδόλ ζε όιεο ηηο ειεθηξνληθέο δηαηάμεηο πνπ αλαθέξακε πην πάλσ. Όηαλ ζηελ άλνδν εθαξκόδεηαη ζεηηθό δπλακηθό ζε ζρέζε κε ηελ θάζνδν, ε ξνή ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ θαηαθζάλνπλ ζηελ άλνδν δεκηνπξγεί έλα ξεύκα, ην ιεγόκελν αλνδηθό ξεύκα Θ A, ην νπνίν κπνξεί λα κεηξεζεί, αξθεί ε ζύλδεζε ηεο αλόδνπ κε ηνλ ζεηηθό πόιν ηεο πεγήο αλνδηθήο ηάζεο (ρ.31.1) λα γίλεη κέζσ ελόο επαίζζεηνπ κεηξεηή ξεύκαηνο. 15

126 ρήκα 31.1 Κύθισκα ηξνθνδόηεζεο δηόδνπ θελνύ κε θάζνδν εκκέζνπ ζεξκάλζεσο. Η θάζνδνο ζεξκαίλεηαη κε ηε βνήζεηα ελόο ζεξκαηλόκελνπ λήκαηνο πνπ ηξνθνδνηείηαη από κηα πεγή ξεύκαηνο ζέξκαλζεο. Μεηαμύ αλόδνπ θαη θαζόδνπ εθαξκόδεηαη ε αλνδηθή ηάζε (U Α ) κε ηε βνήζεηα κηαο πεγήο ζπλερνύο ηάζεο ( 3 V). Σα ειεθηξόληα (e ) πνπ κεηαβαίλνπλ από ηελ θάζνδν ζηελ άλνδν δεκηνπξγνύλ ηo αλνδηθό ξεύκα (I Α ), ην νπνίν κεηξάηαη κε έλα ακπεξόκεηξν (Α) Ο ξόινο ηεο αλνδηθήο ηάζεο - Νόκνο ηνπ Langmuir ή λόκνο ησλ 3/ Σν αλνδηθό ξεύκα είλαη κηα πεξίπινθε ζπλάξηεζε ηεο αλνδηθήο ηάζεο, U Α, θαη ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο θαζόδνπ Σ. ην ρ. 31. δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο, I A, ζπλαξηήζεη ηεο αλνδηθήο ηάζεο, U Α, γηα κηα δίνδν, ε θάζνδνο θαη ε άλνδνο ηεο νπνίαο είλαη θαηαζθεπαζκέλεο από ην ίδην πιηθό θαη ε ζεξκνθξαζία ηήο θαζόδνπ δηαηεξείηαη ζηαζεξή. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο I Α = I Α (U Α ) κπνξεί λα ρσξηζηεί ζε ηξεηο πεξηνρέο: Πεξηνρή επηβξάδπλζεο ησλ ειεθηξνλίσλ (U Α < ), Πεξηνρή θνξηίσλ ρώξνπ ηνπ λέθνπο ειεθηξνλίσλ ( < U Α < U θνξ ), όπνπ U θνξ είλαη ε ηάζε θνξεζκνύ Πεξηνρή θόξνπ (U Α > U θνξ ). ηε ζπλέρεηα ζα εμεηάζνπκε θάζε πεξηνρή ρσξηζηά I. ηελ πξώηε πεξηνρή ην αλνδηθό ξεύκα είλαη εθζεηηθή ζπλάξηεζε ηεο ηάζεο θαη είλαη ζπγθξηηηθά πνιύ κηθξόηεξν από ό,ηη ζηηο άιιεο δύν πεξηνρέο. Οθείιεηαη ζε ειεθηξόληα πνπ εγθαηαιείπνπλ ηελ θάζνδν κε κεγάιεο αξρηθέο ηαρύηεηεο θαη, παξά ην γεγνλόο όηη ε άλνδνο ηα απσζεί, εθείλα πνπ έρνπλ ζεξκηθή ελέξγεηα κεγαιύηεξε από eu Α ζπγθξνύνληαη κε ηελ άλνδν θαη δεκηνπξγνύλ ην αλνδηθό ξεύκα. Σν αλνδηθό ξεύκα αθνινπζεί ηνλ λόκν I Α = I exp (U Α /kt). II. ηε δεύηεξε πεξηνρή ηεο θακπύιεο ην αλνδηθό ξεύκα επεξεάδεηαη ζε κεγάιν βαζκό από ην ειεθηξηθό πεδίν ηνπ λέθνπο ειεθηξνλίσλ πνπ δεκηνπξγείηαη πάλσ από ηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ θαη ππαθνύεη ζηνλ λόκν: I A I B U B U, επεηδή I (31.1) 3/ 3/ A A όπνπ B κηα ζηαζεξά. Η Δμ. (31.1) απνηειεί ηνλ πξώην ζπνπδαίν λόκν ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο θαη νλνκάδεηαη λόκνο ηνπ Langmuir ή λόκνο ησλ "3/" (λόκνο ησλ ηξηώλ δεπηέξσλ). Ο Langmuir πξώηνο εμήγαγε ζεσξεηηθά ησλ λόκν απηό, κε ηελ πξνζέγγηζε όηη νη αξρηθέο ηαρύηεηεο ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη κεδέλ. (βι. Παξάξηεκα Π31, Παξάγξ. Π31.3). 16

127 Ι Α Σ ζηαζεξή Ι Ακ Πεξηνρή Ι I Α =Θ exp(-u Α /kt) Πεξηνρή ΙΙ I Α ~ U Α 3/ Πεξηνρή κόρου Περιοχή ΙΙΙ Ι U Α ρήκα 31.. Η θακπύιε ξεύκαηνο-ηάζεο ηεο δηόδνπ όηαλ ε ζεξκνθξαζία, Σ, ηεο θαζόδνπ είλαη ζηαζεξή. ηελ Πεξηνρή Ι ε ζπκπεξηθνξά ηνπ ξεύκαηνο είλαη εθζεηηθή, ζηελ Πεξηνρή ΙΙ αθνινπζεί ην λόκν ηνπ Langmuir, ελώ ζηελ Πεξηνρή ΙΙΙ, πνπ είλαη ε πεξηνρή θόξνπ, ην ξεύκα παξακέλεη ζρεδόλ ζηαζεξό. ΙΙΙ. ηελ ηξίηε πεξηνρή, ή πεξηνρή θόξνπ, ην αλνδηθό ξεύκα (Θ Αθ ) παξακέλεη ζρεδόλ ακεηάβιεην. ηελ πεξηνρή απηή νη κεγάιεο αλνδηθέο ηάζεηο απνξξνθνύλ πιήξσο ην λέθνο θαη επηβάιινπλ ζε όια ηα ειεθηξόληα πνπ εμέξρνληαη από ηελ θάζνδν λα θηλεζνύλ πξνο ηελ άλνδν. Η κηθξή αύμεζε ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο, πνπ παξαηεξείηαη θαζώο απμάλεηαη ε αλνδηθή ηάζε, νθείιεηαη ζηε κείσζε ηνπ έξγνπ εμαγσγήο πνπ πξνθαιεί ε αλνδηθή ηάζε θαη νλνκάδεηαη θαηλόκελν Schottky (βι. Παξάξηεκα Π31, Παξάγξ. Π31.4) Ο ξόινο ηεο ζεξκνθξαζίαο - Νόκνο ηνπ Richardson Σν ξεύκα θνξεζκνύ ηεο αλόδνπ εμαξηάηαη πνιύ έληνλα από ηε ζεξκνθξαζία, Σ, αιιά εμίζνπ έληνλα θαη από ην έξγν εμόδνπ ησλ ειεθηξνλίσλ,, από ην κέηαιιν, ην νπνίν νξίδεηαη σο ε ειάρηζηε ελέξγεηα πνπ απαηηείηαη γηα λα απειεπζεξσζνύλ ηα ειεθηξόληα από ηελ επηθάλεηα ηνπ κεηάιινπ. ην Παξάξηεκα Π31, δίλνληαη ζηνλ Πίλαθα Ι νη ηηκέο ηνπ, γηα κεξηθά κέηαιια, όπσο κεηξήζεθαλ πεηξακαηηθά. Η ζεξκνθξαζηαθή εμάξηεζε ηνπ ξεύκαηνο θνξεζκνύ, Θ Αθ, κειεηήζεθε πξώηα πεηξακαηηθά, θαη απνδείρζεθε αξγόηεξα ζεσξεηηθά, από ηνπο Richardson θαη Dushmann (αλεμάξηεηα ν έλαο από ηνλ άιινλ). ηε βηβιηνγξαθία ν λόκνο απηόο απνθαιείηαη λόκνο Richardson-Dushmann ή λόκνο ηνπ Richardson. Δίλαη ν δεύηεξνο ζπνπδαίνο λόκνο ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο θαη έρεη ηε κνξθή: I Aθ C T exp (31.) kt όπνπ Σ ε ζεξκνθξαζία ηεο θαζόδνπ ζε βαζκνύο Kelvin (Κ), ην έξγν εμόδνπ, k ε ζηαζεξά Boltzmann θαη C κηα ζηαζεξά, πνπ εμαξηάηαη κόλν από ην πιηθό ηνπ κεηάιινπ [βι. Παξάξηεκα Π31, Παξάγξ. Π31., Δμ. (Π31.4)]. 17

128 31..5 Μείσζε ηνπ έξγνπ εμόδνπ - Φαηλόκελν Schottky Γηα ηε κείσζε ηνπ έξγνπ εμόδνπ Γ, ζηελ πεξηνρή ΙΙΙ ηνπ ρ. 31., νη ζρεηηθνί ππνινγηζκνί δίλνπλ (βι. Παξάξηεκα Π31, Παξάγξ. Π31.4, Δμ. Π31.33): 3 e (31.3) 4 όπνπ ε είλαη ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ θαη ε ε δηειεθηξηθή δηαπεξαηόηεηα ηνπ θελνύ. Δπεηδή ζηνλ λόκν Richardson ην έξγν εμόδνπ βξίζθεηαη ζηνλ εθζέηε, αθόκα κηα κηθξή κεηαβνιή ηνπ (γηα ε = 1 7 V/m έρνπκε Γ =,1 ev) επεξεάδεη αηζζεηά ην ξεύκα θόξνπ. ηε δίνδν πςειήο ηάζεο, γηα παξάδεηγκα ζηηο πεγέο αθηίλσλ X, ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζπρλά είλαη ηεο ηάμεο 1 7 V/m. Αλ ε θάζνδνο ηεο ιπρλίαο είλαη θαηαζθεπαζκέλε από πνιπθξπζηαιιηθό βνιθξάκην ( = 4,5 ev, Σ = 5 Κ), ηόηε ην κεγάιν ειεθηξηθό πεδίν ζα επηθέξεη αύμεζε ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο θαηά 8% θαη, επνκέλσο, ε κείσζε ηνπ ζα πξέπεη νπσζδήπνηε λα ιακβάλεηαη ππόςε. πλεπώο, ηα κεγάια ειεθηξηθά πεδία ηξνπνπνηνύλ ηε ζρέζε Richardson ζηε κνξθή: I Aθ C T exp (31.4) kt 31.3 Μέζνδνο Η κειέηε ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο γίλεηαη κε ηε βνήζεηα κηαο δηόδνπ πςεινύ θελνύ, πνπ απεηθνλίδεηαη ζηα ρ θαη O πεηξακαηηθόο πξνζδηνξηζκόο ηνπ εθζέηε 3/ ζηνλ Νόκν ηνπ Langmuir γίλεηαη κε ηνλ αθόινπζν ηξόπν. Βιέπνπκε όηη, αλ ινγαξηζκήζνπκε ηελ Δμ. (31.1), βξίζθνπκε ηε ζρέζε: ln I Α = ln B + (3/) lnu Α (31.5) Αλ, επνκέλσο, θαηαγξάςνπκε ηε ζρέζε κεηαμύ αλνδηθνύ ξεύκαηνο, I Α, θαη αλνδηθήο ηάζεο, U Α, θαη ραξάμνπκε ηηο ηηκέο ηνπ ln I Α σο ζπλάξηεζε ηνπ lnu Α, ζα πξέπεη λα βξνύκε κηα επζεία κε θιίζε ίζε κε 3/. Γηα ηελ θαηαγξαθή απηή ζα πξέπεη λα εθαξκόζνπκε ζην λήκα ηεο θαζόδνπ έλα ζηαζεξό ξεύκα ζέξκαλζεο θαη, κεηαβάιινληαο ζηαδηαθά ηελ αλνδηθή ηάζε, λα κεηξάκε ην αλνδηθό ξεύκα. Γηα ηε κέηξεζε ηνπ έξγνπ εμαγσγήο ρξεζηκνπνηείηαη ε ζρέζε ηνπ Richardson (Δμ. 31.), πνπ καο δίλεη ην ξεύκα θνξεζκνύ ηεο ιπρλίαο, σο ζπλάξηεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο, Σ, θαη ηνπ έξγνπ εμαγσγήο,, ηνπ κεηάιινπ. Πξάγκαηη, αλ ινγαξηζκίζνπκε ηε ζρέζε απηή, βξίζθνπκε I A 1 ln ln C. (31.6) T k T I 1 A Η Δμ. (31.6) δείρλεη όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ y ln σο ζπλάξηεζε ηνπ x, T T είλαη κηα επζεία πνπ ηέκλεη ηνλ άμνλα ησλ y ζην ζεκείν ln C, ελώ ε θιίζε ηεο είλαη /k. Η κέηξεζε ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο θόξνπ ζε δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο ηεο θαζόδνπ κάο δίλεη επνκέλσο ηε δπλαηόηεηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ θιίζε /k ηεο επζείαο ηεο Δμ. (31.6) θαη, από απηήλ, ην έξγν εμαγσγήο,. Υξεζηκνπνηώληαο γηα ηε ζηαζεξά ηνπ Boltzmann ηελ ηηκή k 8,6171 πξνζδηνξίδνπκε ην έξγν εμόδνπ ζε κνλάδεο ev. 5 ev K 18

129 31.4 Πεηξακαηηθή δηάηαμε Η κειέηε ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο γίλεηαη κε ηε βνήζεηα κηαο δηόδνπ πςεινύ θελνύ, ε θάζνδνο ηεο νπνίαο είλαη θαηαζθεπαζκέλε από πνιπθξπζηαιιηθό βνιθξάκην, ππό κνξθή ιεπηνύ ζύξκαηνο ζε ζρήκα δηθ-δαθ θαη είλαη ακέζνπ ζεξκάλζεσο (ρ. 31.3α). Αξηζηεξά θαη πίζσ από ηελ θάζνδν βξίζθεηαη έλαο κεηαιιηθόο δίζθνο, πξννξηζκόο ηνπ νπνίνπ είλαη λα εμνκαιύλεη θαη λα νκνγελνπνηεί ην πεδίν κεηαμύ θαζόδνπ θαη αλόδνπ. Η θάζνδνο, ην κήθνο θαη ε δηάκεηξνο ηεο νπνίαο είλαη 7 mm θαη,16 mm αληηζηνίρσο, ζεξκαίλεηαη κε έλα ζρεηηθά κεγάιν ξεύκα ζέξκαλζεο ηεο ηάμεο ησλ,5 Α. Η ζεξκνθξαζία ηεο θαζόδνπ πξνζδηνξίδεηαη έκκεζα από ηελ ηηκή ηνπ ξεύκαηνο ζέξκαλζεο, Θ ζ, πνπ ηε δηαξξέεη, κε ηε βνήζεηα ηνπ πίλαθα πνπ είλαη αλαξηεκέλνο ζηε βάζε ηεο ιπρλίαο, (βι. θαη Παξάξηεκα Π31, Πίλαθα ΙΙΙ). Η πεηξακαηηθή δηάηαμε πεξηιακβάλεη αθόκα: ην ηξνθνδνηηθό, ην νπνίν παξέρεη δύν ξπζκηδόκελεο ηάζεηο, 5 V DC θαη 3 V, DC γηα ηελ ηξνθνδόηεζε ηεο δηόδνπ κε ηελ αλνδηθή ηάζε, θαη κία μερσξηζηή πεγή ξπζκηδόκελνπ θαη θαιά ζηαζεξνπνηεκέλνπ ξεύκαηνο, Θ ζ, γηα ηε ζέξκαλζε ηεο θαζόδνπ. (Η πεγή ηάζεο ησλ 5 V δελ ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ Άζθεζε απηή) έλα βνιηόκεηξν (πνιύκεηξν, V), γηα ηε κέηξεζε ηεο αλνδηθήο ηάζεο, U A. Έλα ςεθηαθό ακπεξόκεηξν κεγάιεο αθξίβεηαο θαη δηαθξηηηθήο ηθαλόηεηαο (Α), γηα ηε κέηξεζε ηνπ ξεύκαηνο ζέξκαλζεο, Θ ζ, ηεο θαζόδνπ έλα επαίζζεην ςεθηαθό κηθξνακπεξόκεηξν (πνιύκεηξν κα), γηα ηε κέηξεζε ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο, Θ A. έλα ςεθηαθό ακπεξόκεηξν κεγάιεο αθξίβεηαο θαη δηαθξηηηθήο ηθαλόηεηαο (Α), γηα ηε κέηξεζε ηνπ ξεύκαηνο ζέξκαλζεο, Θ ζ, ηεο θαζόδνπ. (α) (β) ρήκα (α) ρεκαηηθή παξάζηαζε ηεο ιπρλίαο ηεο Άζθεζεο. (β) Η ζπλδεζκνινγία ηεο ιπρλίαο (Λ) κε ηελ πεγή αλνδηθήο ηάζεο, κέζσ ελόο κηθξνακπεξνκέηξνπ (κα) γηα ηε κέηξεζε ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο (Θ A ). Κ είλαη ε θάζνδνο θαη Γ ν δίζθνο αλόδνπ ηεο ιπρλίαο. Η αλνδηθή ηάζε, U A, κεηξάηαη κε έλα βνιηόκεηξν (V), ην αλνδηθό ξεύκα, Θ Α, κε έλα κηθξνακπεξόκεηξν (κα) θαη ην ξεύκα ζέξκαλζεο (Θ ζ )κε έλα ακπεξόκεηξν (Α). Βηβιηνγξαθία 1. F. Mandl, ηαηηζηηθή Φπζηθή, Κεθ. 11, Παξάγξ , Δθδόζεηο Πλεπκαηηθνύ (Αζήλα). A.C. Melissinos: Experiments in Modern Physics. ζει , (Academic Press, 1966) A.J. Dekker: Solid State Physics. Κεθ. 9. (Macmillan 1964) 19

130 31.5 Δθηέιεζε ΠΡΟΟΥΗ ηελ Άζθεζε απηή ρξεζηκνπνηείηαη ζπλερήο ηάζε κέρξη 3 V, πνπ είλαη επηθίλδπλε γηα ηε δσή. Επνκέλσο, όηαλ ζπλαξκνινγνύκε ην ειεθηξηθό θύθισκα ηεο Άζθεζεο, ζα πξέπεη λα έρνπκε ζβεζηό ην ηξνθνδνηηθό θαη λα έρνπκε κεδελίζεη όιεο ηηο ηάζεηο ηνπ, ζηξέθνληαο ηέξκα αξηζηεξά ηα αληίζηνηρα πνηελζηόκεηξα πνπ ηηο ξπζκίδνπλ. Σν ηξνθνδνηηθό ηίζεηαη ζε ιεηηνπξγία κόλν κεηά ηνλ έιεγρν ηνπ θπθιώκαηνο από ηνλ ππεύζπλν επηβιέπνληα ηεο Άζθεζεο Πεηξακαηηθόο πξνζδηνξηζκόο ηνπ εθζέηε ζην λόκν ηνπ Langmuir 1. Βεβαησζείηε όηη ην ηξνθνδνηηθό δελ βξίζθεηαη ζε ιεηηνπξγία θαη όηη νη ηάζεηο ησλ ηξηώλ πεγώλ ηνπ ηξνθνδνηηθνύ είλαη ξπζκηζκέλεο ζην κεδέλ. ηε ζπλέρεηα ζπλαξκνινγήζηε ην ειεθηξηθό θύθισκα πνπ δίλεηαη ζην ρ. 31.3(β).. Μεηά ηνλ έιεγρν ηνπ θπθιώκαηνο από ηνλ επηβιέπνληα ηεο Άζθεζεο, ζέζηε ζε ιεηηνπξγία ην ηξνθνδνηηθό. 3. Αξγά θαη κε πξνζνρή εθαξκόζηε ζηελ θάζνδν ην ξεύκα ζέξκαλζεο, Θ ζ, πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζεξκνθξαζία ησλ 1 Κ, ζπκβνπιεπόκελνη ηνλ πίλαθα πνπ είλαη αλαξηεκέλνο ζηε βάζε ζηήξημεο ηεο δηόδνπ. 4. πκπιεξσκαηηθά, κεηξήζηε θαη ηελ ηάζε ζέξκαλζεο ηεο θαζόδνπ, U ζ, δνζέληνο όηη, ζην πείξακα απηό, ζα πξέπεη λα ιακβάλεηαη ππόςε θαη ε πηώζε ηάζεο θαηά κήθνο ηεο θαζόδνπ θαηά ηελ επεμεξγαζία ησλ δεδνκέλσλ (βι. ΗΜΔΙΩΗ ακέζσο πην θάησ). 5. Καηαγξάςηε ηηο ηηκέο ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο, Θ A, ζπλαξηήζεη ηεο αλνδηθήο ηάζεο U A, όηαλ απηή κεηαβάιιεηαη από 6 έσο V, κε βήκα V θαη θαηαγξάςηε ηηο ζηνλ Πίλαθα Ι. U A Πίλαθαο I Σ = 1 K, Θ ζ =..ma, U ζ =..V Θ A U A (U ζ /) ln [U A (U ζ /)] ln Θ A (V) 6 8 (ma) (V) ΗΜΔΙΩΗ: εκεηώλνπκε όηη ζην πείξακα απηό, ε αλνδηθή ηάζε, U A, πνπ κεηξήζαηε πξέπεη λα κεησζεί θαηά έλαλ παξάγνληα U ζ /, δνζέληνο ε εθπνκπή ησλ ειεθηξνλίσλ γίλεηαη θπξίσο από ην θέληξν ηεο θαζόδνπ, όπνπ ε ζεξκνθξαζία ηεο είλαη ιίγν πςειόηεξε, ελώ ην δπλακηθό ηεο είλαη ζεηηθόηεξν ηνπ κεδελόο θαηά U ζ /. πλεπώο, ε πξαγκαηηθή δηαθνξά δπλακηθνύ κεηαμύ αλόδνπ θαη θαζόδνπ δελ είλαη U A, πνπ δείρλεη ην βνιηόκεηξν V, αιιά U A U ζ /. Δπεηδή U ζ 5 6 V, ζην δηάζηεκα 6 V, ν παξάγνληαο U ζ / δελ είλαη ακειεηένο. 13

131 31.5. Πεηξακαηηθόο πξνζδηνξηζκόο ηεο ζρέζεο Ι A = f(u A ) γηα ζεξκνθξαζίεο ηεο θαζόδνπ 1, 5 θαη Κ 1. Γηα ηε ζεξκνθξαζία ηεο θαζόδνπ πνπ ξπζκίζαηε πξνεγνπκέλσο, πξνζδηνξίζηε ηηο ηηκέο ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο, Θ A, ζπλαξηήζεη ηεο αλνδηθήο ηάζεο, U A, όηαλ απηή κεηαβάιιεηαη από έσο 3 V, κε βήκα 1 V θαη θαηαγξάςηε ηηο ζηνλ Πίλαθα ΙΙ. Πίλαθαο IΙ T = K T = 5 K T = 1 K U A I A U A I A U A I A (V) (ma) (V) (ma) (V) (ma) 1. Δπαλαιάβεηε ηηο κεηξήζεηο ηνπ πξνεγνύκελνπ βήκαηνο γηα ζεξκνθξαζίεο 5 θαη Κ θαη ζπκπιεξώζηε ηνλ Πίλαθα ΙΙ Έιεγρνο ηνπ λόκνπ Richardson θαη κέηξεζε ηνπ έξγνπ εμόδνπ ηνπ βνιθξακίνπ 1. Ρπζκίζηε ηελ αλνδηθή ηάζε ζηα 3 V.. Καηαγξάςηε ηηο ηηκέο ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο θόξνπ, Θ Αθ, ζπλαξηήζεη ζεξκνθξαζίαο ηεο θαζόδνπ, Σ, όηαλ απηή κεηαβάιιεηαη από 1 Κ έσο 17 Κ, κε βήκα 5 Κ. Πίλαθαο IΙΙ U A =..V T Θ Αθ 1/Σ I Αθ /T ln(i Aθ /T ) (K) (ma) (K 1 ) (Α K )

132 31.6 Δπεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ Πξνζδηνξηζκόο ηνπ εθζέηε ζηνλ Nόκν ηνπ Langmuir 1. Από ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα Ι, πξνζδηνξίζηε ηηο ηηκέο ησλ ln(i A ), U A U ζ θαη ln (U A U ζ ) θαη ζπκπιεξώζηε ηνλ Πίλαθα Ι.. ε ραξηί κηιηκεηξέ, ραξάμηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ln (I A ) σο ζπλάξηεζε ηνπ ln (U A U ζ ) θαη πξνζδηνξίζηε ηελ ηηκή ηεο θιίζεο ηεο επζείαο θαζώο θαη ην ζθάικα ηεο, κε ηε κέζνδν πνπ πεξηγξάθεηαη ζηνλ πξώην Σόκν ηνπ βηβιίνπ «Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο», Σόκνο Ι, Παξάγξ. Γ7. 3. Γηα λα ηζρύεη ν λόκνο ηνπ Langmuir, ε θιίζε απηή ζα πξέπεη λα είλαη ίζε κε ηνλ εθζέηε ηήο Δμ. (31.1). Αλ ε ηηκή πνπ κεηξήζαηε δηαθέξεη από ηελ ηηκή 3/, πνην είλαη, θαηά ηε γλώκε ζαο, ην αίηην πνπ πξνθαιεί ηε δηαθνξά απηή; Καηαγξαθή ησλ θακπύισλ Ι A = f(u A ) γηα ηξεηο ζεξκνθξαζίεο ηεο θαζόδνπ 1. ε έλα ραξηί κηιιηκεηξέ ραξάμηε ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο I A σο ζπλάξηεζε ηνπ U A, ζην δηάζηεκα 3 V, γηα ηηο ηξεηο ζεξκνθξαζίεο ηεο θαζόδνπ πνπ κεηξήζαηε. (Δδώ ν παξάγνληαο U ζ / κπνξεί λα αγλνεζεί).. πγθξίλεηε ηηο δηθέο ζαο θακπύιεο κε απηή πνπ δίλεηαη ζην ρ ρνιηάζηε ην απνηέιεζκα. Γηαηί ν θνξεζκόο δελ είλαη απόηνκνο; Έιεγρνο ηνπ λόκνπ Richardson θαη κέηξεζε ηνπ έξγνπ εμόδνπ ηνπ βνιθξακίνπ 1. Από ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΙΙΙ πξνζδηνξίζηε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ησλ 1/Σ, θαη ln(i Aθ /T ) θαη θαηαρσξήζηε ηηο ζηνλ ίδην Πίλαθα.. ε έλα ραξηί κηιιηκεηξέ ζρεδηάζηε ηα πεηξακαηηθά ζεκεία y = ln (I Aθ /T ) σο ζπλάξηεζε ησλ x = 1/T. ύκθσλα κε ηελ Δμ. (31.6), πεξηκέλνπκε όηη ηα ζεκεία απηά ζα ζρεκαηίδνπλ κηα επζεία, κε θιίζε ίζε κε /k. 3. Πξνζδηνξίζηε ηελ ηηκή ηεο θιίζεο ηεο βέιηηζηεο επζείαο πνπ κπνξέζαηε λα ραξάμεηε, θαζώο θαη ην ζθάικα ηεο (πάιη κε ηε κέζνδν πνπ πεξηγξάθεηαη ζηνλ Σόκν Ι, Παξάγξ. Γ7). Από ηελ ηηκή ηεο θιίζεο απηήο, ππνινγίζηε ην έξγν εμόδνπ,, ησλ ειεθηξνλίσλ από ην βνιθξάκην, θαζώο θαη ην ζθάικα ηνπ. 4. Η απνδεθηή ηηκή γηα ην έξγν εμαγσγήο ηνπ πνιπθξπζηαιιηθνύ βνιθξακίνπ είλαη 4,5 ev. Αλ ε ηηκή ηνπ πνπ κεηξήζαηε δηαθέξεη ζεκαληηθά από απηήλ, πνην είλαη, θαηά ηε γλώκε ζαο, ην θπξηόηεξν αίηην πνπ πξνθάιεζε απηή ηε δηαθνξά; 13

133 ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΑΚΗΗ 31 (Π31) Θεξκηνληθή εθπνκπή ειεθηξνλίσλ Π31.1 Σν κέζν εζσηεξηθό δπλακηθό U, ε ελέξγεηα Fermi, Δ F, θαη ην έξγν εμόδνπ Η θβαληηθή ζεσξία ησλ κεηάιισλ, ζηελ απινύζηεξή ηεο κνξθή, ζεσξεί όηη ηα ειεθηξόληα πνπ πξνθαινύλ ηελ ειεθηξηθή αγσγηκόηεηα είλαη ειεύζεξα λα θηλεζνύλ ζην εζσηεξηθό ηνπ κεηάιινπ. Από ηελ απαγνξεπηηθή αξρή ηνπ Pauli πξνθύπηεη όηη, αθόκε θαη ζηε ζεξκνθξαζία Σ = Κ, απηά ηα ειεύζεξα ειεθηξόληα δελ παγώλνπλ σο πξνο ηελ θίλεζή ηνπο. Πξάγκαηη, ηε ρακειόηεξε ελεξγεηαθή ζηάζκε κπνξνύλ λα θαηαιάβνπλ κόλν δύν ειεθηξόληα, ελώ ηα ππόινηπα ζα θαηαλεκεζνύλ ζε ελεξγεηαθέο ζηάζκεο θαηά δεύγε, ζε κηα πεξηνρή ελεξγεηαθώλ ζηαζκώλ, πνπ εθηείλεηαη από ην κεδέλ έσο θάπνηα κέγηζηε ηηκή, πνπ νλνκάδεηαη ελέξγεηα Fermi θαη ζπκβνιίδεηαη κε E F. Γηα ηελ ηηκή ηεο ελέξγεηαο Fermi E F, νη ζρεηηθνί ππνινγηζκνί δίλνπλ: h (3π n) 8mπ /3 E F (Π31.1) όπνπ h είλαη ε ζηαζεξά ηνπ Planck, m είλαη ε κάδα ηνπ ειεθηξνλίνπ θαη n είλαη ν αξηζκόο ησλ ειεθηξνλίσλ αλά κνλάδα όγθνπ ηνπ ζηεξενύ. Η ππθλόηεηα ησλ ελεξγεηαθώλ θαηαζηάζεσλ αλά κνλάδα ελέξγεηαο θαη αλά κνλάδα όγθνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε: dn 8π 3 ( E ) (m ) E (Π31.) 3 de h Ο δεηνύκελνο αξηζκόο, dn, ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ έρνπλ ελέξγεηεο ζην δηάζηεκα κεηαμύ Ε θαη Ε + de είλαη αλάινγνο ηεο ππθλόηεηαο ησλ ελεξγεηαθώλ θαηαζηάζεσλ ξ(ε) αιιά θαη ηεο πηζαλόηεηαο f(e) λα είλαη θαηεηιεκκέλε ε θαηάζηαζε κε ελέξγεηα Ε. Η ηειεπηαία πξνθύπηεη από ηε ζηαηηζηηθή Fermi-Dirac θαη είλαη ίζε κε Δπνκέλσο, ν αξηζκόο dn είλαη: ( E) e 1 f (Π31.3) ( EEF ) / kt 1 8π 3 EdE dn ( E) f ( E)dE m (Π31.4) 3 ( EEF )/ kt h e 1 Κάησ από θαλνληθέο ζπλζήθεο, ηα ειεθηξόληα αγσγηκόηεηαο είλαη κελ ειεύζεξα ζην εζσηεξηθό ηνπ κεηάιινπ, βξίζθνληαη όκσο εγθισβηζκέλα κέζα ζην κέηαιιν, κέζα ζε έλα πεγάδη δπλακηθνύ βάζνπο U, Σν U νλνκάδεηαη κέζν εζσηεξηθό δπλακηθό ηνπ κεηάιινπ (βι. ρ. Π31.1α). [Δδώ ζεσξνύκε κεδεληθή ηελ ελέξγεηά ησλ ειεθηξνλίσλ όηαλ απηά έρνπλ απειεπζεξσζεί από ηελ επηθάλεηα ηνπ κεηάιινπ θαη είλαη αθίλεηα (ζηάζκε θελνύ)]. ύκθσλα κε όζα είπακε πην πάλσ, γηα λα εμέιζεη ζην θελό έλα ειεθηξόλην πνπ έρεη ελέξγεηα ίζε κε ηελ ελέξγεηα Fermi, E F, ζηνπο Κ, ζα πξέπεη λα πξνζιάβεη κηα ειάρηζηε πξόζζεηε ελέξγεηα,, πνπ νλνκάδεηαη έξγν εμόδνπ, ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη ε ζρέζε U = E F + (Π31.5) Γηα παξάδεηγκα, ζην βνιθξάκην, ζην νπνίν U = 1, ev, ε E F ζηνπο Κ είλαη 5,7 ev. Δπνκέλσο ην έξγν εμόδνπ ηνπ είλαη = 1, 5,7 = 4,5 ev. ην ρ. Π31.1α παξηζηάλεηαη γξαθηθά ην πεγάδη δπλακηθνύ ζην εζσηεξηθό ηνπ κεηάιινπ, ελώ ζην ρ. Π31.1β δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο Δμ. (Π31.4), πνπ απνδίδεη ηελ ελεξγεηαθή θαηαλνκή ησλ ειεθηξνλίσλ κέζα ζηα κέηαιια. 133

134 ρήκα Π31.1. (α) Γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ θξέαηνο δπλακηθνύ ζην εζσηεξηθό ελόο κεηάιινπ ζηε ζεξκνθξαζία Σ = Κ. (β) Η ελεξγεηαθή θαηαλνκή ησλ ειεθηξνλίσλ κέζα ζε έλα κέηαιιν, ζηε ζεξκνθξαζία Σ 1 = Κ θαη ζε κηα ζεξκνθξαζία Σ >. Καη ζηα δύν ζρήκαηα: E F, είλαη ε ελέξγεηα Fermi, ην έξγν εμόδνπ, θαη U ην κέζν εζσηεξηθό δπλακηθό ηνπ κεηάιινπ. Βιέπνπκε όηη, ζε ζεξκνθξαζίεο Σ >, ζηελ ελεξγεηαθή θαηαλνκή εκθαλίδεηαη κία εθζεηηθή νπξά, ε νπνία εθηείλεηαη έσο ην άπεηξν. Πξνθαλώο, ζηε ζεξκηνληθή εθπνκπή ζπκκεηέρνπλ ηα ειεθηξόληα ηεο εθζεηηθήο νπξάο, πνπ θηλνύληαη πξνο ηελ επηθάλεηα ηνπ ζηεξενύ θαη νη θηλεηηθέο ηνπο ελέξγεηεο μεπεξλνύλ ην άζξνηζκα E F +. ρνιαζηηθόο ππνινγηζκόο ηνπ ζπλνιηθνύ ηνπο αξηζκνύ (βι. Παξάγξ. Π31.) νδεγεί ηειηθά ζηε ζρέζε Richardson: J I S (1 D)4πemk 3 h T kt e (Α/m ) (Π31.6) όπνπ D είλαη ν κέζνο ζπληειεζηήο αλάθιαζεο ησλ ειεθηξνλίσλ από ην ζθαινπάηη δπλακηθό ηεο επηθάλεηαο, ελώ ε ζηαζεξά 4πemk /h 3 είλαη ίζε κε 1,4 1 4 A/m Κ (ζε κεξηθά κέηαιια ε ηηκή απηή βξίζθεηαη πνιύ θνληά ζηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο). ηνλ Πίλαθα Ι, δίλνληαη γηα κεξηθά κέηαιια, νη ηηκέο ησλ κεγεζώλ U, E F θαη, όπσο κεηξήζεθαλ πεηξακαηηθά. Πίλαθαο Ι Μέηαιιν Li Na K Cu Ag Au Ca W Al U (ev) 6,9 5, 3,9 11,1 1, 1,3 7,5 1, 14,7 E F (ev) 4,7 3.1,1 7, 5,5 5,5 4,3 5,7 11,7 (ev), 1,9 1,8 4,1 4,7 4,8 3, 4,5 3, 134

135 Π31. Ο λόκνο ηνπ Richardson Έζησ όηη ε επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ είλαη θάζεηε ζηνλ άμνλα x ελόο ζπζηήκαηνο αλαθνξάο x, y, z. Έζησ αθόκε όηη dn είλαη ν αξηζκόο ησλ ειεύζεξσλ ειεθηξνλίσλ κε ζπληζηώζεο x ησλ ηαρπηήησλ κεηαμύ π x θαη π x + dπ x. Θεσξνύκε όηη νη ζπληζηώζεο ησλ ηαρπηήησλ έρνπλ θαηεύζπλζε από ην εζσηεξηθό ηνπ κεηάιινπ πξνο ην εμσηεξηθό. Με ηελ πξνϋπόζεζε όηη ε ελέξγεηεο, Ε, ησλ ειεθηξνλίσλ απηώλ είλαη κεγαιύηεξεο από ην άζξνηζκα E f +, [ρ. Π31.3(β)] θαη όηη ηα ειεθηξόληα δελ αλαθιώληαη ζην δπλακηθό ζθαινπάηη ηεο επηθάλεηαο αιιά εμέξρνληαη όια ζην θελό, ε ζπλεηζθνξά απηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ ζηελ ππθλόηεηα ηνπ ζεξκηνληθνύ ξεύκαηνο dj x είλαη: dj x e dn (Π31.7) όπνπ e είλαη ην θνξηίν ηνπ ειεθηξνλίνπ. Η ελέξγεηα ηνπ ειεθηξνλίνπ ζπλδέεηαη κε ηελ νξκή ηνπ p κέζσ ησλ ζρέζεσλ: x p p x p y p z E (Π31.8) m m p me (Π31.9) Έηζη, ζύκθσλα κε ηελ θαηαλνκή Fermi-Dirac, ν αξηζκόο dn p ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ έρνπλ ζπληζηώζεο νξκήο κεηαμύ p x, p y, p z θαη p x + dp x, p y + dp y θαη p z + dp z αληηζηνίρσο, είλαη: dn 3 h p exp dp dp m kt dp x y z p (Π31.1) x p y pz EF Ο αξηζκόο dn p ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ έρνπλ ζπληζηώζεο x ησλ νξκώλ ηνπο κεηαμύ p x x θαη p x + dp x, αιιά κε νπνηεζδήπνηε ηηκέο ησλ ζπληζησζώλ p y θαη p z είλαη 1 dpz dn p x dp d 3 x p y (Π31.11) h px p y pz E F exp m 1 kt Οινθιεξώλνληαο θαη ζπκβνιίδνληαο ην dnp x p x m κε E x, βξίζθνπκε όηη: 1/ πm m EF Ex ktln 1 exp de 3 x h E (Π31.1) x kt Ο αξηζκόο ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ βνκβαξδίδνπλ ηε κνλάδα ηεο επηθάλεηαο ζηε κνλάδα ηνπ ρξόλνπ είλαη ή d 1/ E d xdn p d N Px (Π31.13) x m 4 h m EF Ex ktln 1 exp 3 (Π31.14) kt de Γηα όια ηα πιηθά, θαη γηα ηελ πςειόηεξε ζεξκνθξαζία πνπ κπνξεί λα αληέμεη ην πην ππξίκαρν πιηθό, έρνπκε: x 135

136 >> kt, δειαδή E x E F >> kt (ρ. 31.4). πλεπώο, ην εθζεηηθό ζηελ Δμ. (Π31.14) είλαη πνιύ κηθξόηεξν ηεο κνλάδαο. Η πξνζέγγηζε ln(1 + x) x δίλεη γηα ηελ Δμ. (Π31.14) 4πm Ex EF d ktexp de 3 x (Π31.15) h kt ηε ζεξκηνληθή εθπνκπή ζπκβάιινπλ κόλνλ εθείλα ηα ειεθηξόληα γηα ηα νπνία είλαη E U (βι. ρ. Π31.1β). πλεπώο, ε νιηθή ππθλόηεηα ξεύκαηνο πνπ δηαζρίδεη ηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ είλαη: J x e U 4πem Ex EF d ktexp dex. (Π31.16) U 3 h kt Οινθιεξώλνληαο ηελ παξαπάλσ ζρέζε, θαη επεηδή U E F = (ρ. Π31.1), έρνπκε ηειηθά J 4 πem k T exp (Π31.17) 3 h kt όπνπ, γεληθεύνληαο, ζπκβνιίζακε κε J ηελ νιηθή ππθλόηεηα ξεύκαηνο. Η ζηαζεξά A = 4πemk /h 3 νλνκάδεηαη ζηαζεξά ηνπ Sommerfeld θαη είλαη ίζε κε 1,4 1 4 A/m K. Δίλαη γλσζηό από ηελ θβαληνκεραληθή όηη έλα πνζνζηό ησλ ειεθηξνλίσλ ζα αλαθιαζηεί από ην ζθαινπάηη δπλακηθνύ (ρ. Π31.1α), έζησ θαη αλ απηά έρνπλ αξθεηή ελέξγεηα γηα λα ην ππεξβνύλ. Ο ζπληειεζηήο αλάθιαζεο εμαξηάηαη από ηελ ελέξγεηα ησλ ειεθηξνλίσλ, όπσο επίζεο θαη από ην ζρήκα ηνπ ζθαινπαηηνύ, ην νπνίν γεληθά είλαη άγλσζην. Αλ D είλαη ν κέζνο ζπληειεζηήο αλάθιαζεο, ηόηε ν λόκνο ηνπ Richardson κπνξεί λα γξαθεί σο: J (1 D) A T exp (Π31.18) kt εκεηώλνπκε όηη ε πεηξακαηηθή ηηκή ηνπ D γηα ην πνιπθξπζηαιιηθό βνιθξάκην είλαη πεξίπνπ,15. Π31.3 Ο λόκνο ηνπ Langmuir ή ησλ "3/" 'Έζησ δίνδνο θελνύ κε επίπεδα θαη παξάιιεια ειεθηξόδηα, πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε d, πνιύ κηθξόηεξε από ηηο δηαζηάζεηο ηνπο. Έζησ αθόκε όηη ε επίπεδή θάζνδνο είλαη ζεξκή θαη όηη ε αλνδηθή ηάζε είλαη πάληα κηθξόηεξε ηεο ηάζεο θνξεζκνύ. ην ρώξν κεηαμύ ησλ δύν ειεθηξνδίσλ ζα δεκηνπξγείηαη επνκέλσο έλα λέθνο ειεθηξνλίσλ θαη, θαη επέθηαζε, έλα θνξηίν ρώξνπ. Θεσξνύκε όηη ν άμνλαο x είλαη θάζεηνο ζηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ θαη όηη ην ζεκείν x = αληηζηνηρεί ζηελ επηθάλεηά ηεο. Αλ ηα ειεθηξόληα εγθαηαιείπνπλ ηελ θάζνδν κε κεδεληθέο αξρηθέο ηαρύηεηεο ηόηε, ζην ρώξν κεηαμύ ησλ δύν ειεθηξνδίσλ θαη ζε απόζηαζε x από ηελ θάζνδν, ην δπλακηθό U(x) ζα ηθαλνπνηεί ηε γλσζηή από ηνλ ειεθηξνκαγλεηηζκό εμίζσζε Poisson ζε κία δηάζηαζε: d U( x) dx ( x) (Π31.19) όπνπ ξ είλαη ε ρσξηθή ππθλόηεηα θνξηίνπ (θνξηίν αλά κνλάδα όγθνπ). Η θίλεζε θνξηηζκέλσλ ζσκαηηδίσλ πνπ έρνπλ ηαρύηεηα π x, θνξηίν e θαη ζπγθέληξσζε θνξέσλ n, δεκηνπξγεί κηα ππθλόηεηα ξεύκαηνο (ξεύκα αλά κνλάδα επηθάλεηαο), J x, ίζε κε J x ne x (Π31.) Η ππθλόηεηα θνξηίνπ, ξ, θαη ε ζπγθέληξσζε θνξέσλ, n, ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε ne (Π31.1) ελώ ε ηαρύηεηα ησλ ειεθηξνλίσλ ζην ζεκείν x, όπνπ ην δπλακηθό είλαη U(x), είλαη 136

137 e x U ( x) m (Π31.) Αληηθαζηζηώληαο ζηελ Δμ. (Π31.19) ηηο Δμ. (Π31. Π31.) βξίζθνπκε d U( x) J x m U( x) (Π31.3) dx e Πνιιαπιαζηάδνληαο θαη ηα δύν κέιε επί du( x) θαη νινθιεξώλνληαο παίξλνπκε: dx du dx J x 4 m U e const. (Π31.4) ηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ (x = ) έρνπκε U(x) = αιιά θαη du/dx =, από όπνπ πξνθύπηεη όηη ε ζηαζεξά ζηελ Δμ. (Π31.4) είλαη κεδέλ. Οινθιεξώλνληαο έρνπκε 4 U 9 3/ x m J x (Π31.5) e Έζησ όηη ε άλνδνο βξίζθεηαη ζε απόζηαζε x = d από ηελ θάζνδν θαη έρεη δπλακηθό U Α. Αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο απηέο ζηελ Δμ. (Π31.5) βξίζθνπκε ηελ ππθλόηεηα ξεύκαηνο ζηελ άλνδν: J 4 e 3/ x d U A (Π31.6) 9d m Όηαλ ε άλνδνο θαη ε θάζνδνο απνηεινύλ έλα ζύζηεκα νκόθεληξσλ θπιίλδξσλ, ην ξεύκα, αλά κνλάδα κήθνπο ηεο δηόδνπ, δίλεηαη από ηε ζρέζε: J 8 e 3/ x d U A (Π31.7) 9r m A όπνπ r Α είλαη ε αθηίλα ηεο αλόδνπ θαη β έλαο αδηάζηαηνο αξηζκόο, πνπ εμαξηάηαη από ην ιόγν ησλ αθηίλσλ αλόδνπ r Α θαη θαζόδνπ r Κ. Όηαλ r Α > 1r Κ, β 1. Η Δμ. (Π31.7) απνηειεί ηνλ πξώην ζπνπδαίν λόκν ηεο ζεξκηνληθήο εθπνκπήο θαη νλνκάδεηαη λόκνο ηνπ Langmuir, από ην όλνκα εθείλνπ πνπ ηνλ εμήγαγε πξώηνο ζεσξεηηθά ή λόκνο ησλ "3/". εκεηώλνπκε όηη, πξηλ εθεπξεζεί ην ηξαλδίζηνξ, όιεο νη ειεθηξνληθέο ιπρλίεο ελίζρπζεο θαη επεμεξγαζίαο ηνπ ειεθηξηθνύ ζήκαηνο ιεηηνπξγνύζαλ ζηελ πεξηνρή ησλ 3/, κε έκκεζε ζέξκαλζε ηεο θαζόδνπ ζε ζεξκνθξαζία 11 Κ. Π31.4 Σν θαηλόκελν Schottky Όηαλ έλα ειεθηξόλην, κε θνξηίν e, απνκαθξύλεηαη από ηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ (ρ. Π31.), ην επαγόκελν ζε απηήλ ζεηηθό θνξηίν έιθεη ην ειεθηξόλην κε κηα δύλακε ίζε κε εθείλε πνπ ζα αζθνύζε πάλσ ηνπ έλα ζεηηθό θνξηίν + e ζε ζέζε θαηνπηξηθή ηνπ ειεθηξνλίνπ, δειαδή: e F( x) (Π31.8) 4 (x) 137

138 ρήκα Π31. Όηαλ έλα ειεθηξόλην, κε θνξηίν e, απνκαθξύλεηαη από ηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ, ην επαγόκελν ζε απηήλ ζεηηθό θνξηίν έιθεη ην ειεθηξόλην πξνο ηα πίζσ. Από ηελ άιιε κεξηά, ην ειεθηξηθό πεδίν, ε, πνπ δεκηνπξγεί ε αλνδηθή ηάζε, έιθεη ην ειεθηξόλην πξνο ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε θαη, ζε θάπνηα απόζηαζε, x, νη δύν απηέο δπλάκεηο εμηζώλνληαη, ζα έρνπκε δειαδή Λύλνληαο σο πξνο x, βξίζθνπκε e 4 (x ) e (Π31.9) 1/ 1 e x 4 (Π31.3) ε απνζηάζεηο ζπγθξίζηκεο κε ηηο αηνκηθέο απνζηάζεηο ηνπ ζηεξενύ, ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηεο ειθηηθήο δύλακεο F(x) είλαη πνιύ πην πεξίπινθε από ηελ Δμ. (Π31.8) θαη παξακέλεη αθόκα άγλσζηε. Αλ όκσο δεηείηαη ν ππνινγηζκόο ηεο κεηαβνιήο ηνπ έξγνπ εμαγσγήο θαη όρη ηεο ηηκήο ηνπ, ηόηε ε γλώζε ηεο απόιπηεο ηηκήο ηεο δελ είλαη απαξαίηεηε. Όηαλ ην ειεθηξηθό πεδίν απνπζηάδεη, ην έξγν εμόδνπ ηζνύηαη εμ νξηζκνύ κε ην έξγν απνκάθξπλζεο ηνπ ειεθηξνλίνπ από ηελ επηθάλεηα ζην άπεηξν. Δάλ όκσο ππάξρεη ειεθηξηθό πεδίν, ε, ην έξγν εμόδνπ ζα ηζνύηαη κε ην έξγν απνκάθξπλζεο ηνπ ειεθηξνλίνπ από ηελ επηθάλεηα έσο ην ζεκείν x : x x ( ) ( F( x) e ) F( x)dx F( x)dx e x. (Π31.31) Σν πξώην νινθιήξσκα ζην δεμί κέξνο ηεο Δμ. (Π31.31) εθθξάδεη εμ νξηζκνύ ην έξγν εμόδνπ απνπζία ειεθηξηθνύ πεδίνπ θαη είλαη ίζν κε. ην δεύηεξν νινθιήξσκα, γηα απνζηάζεηο x > x, ε ζπλάξηεζε F(x) απνδίδεηαη αξθεηά θαιά από ηελ Δμ. (Π31.8) (γηα ε 1 5 V/m, x 6 nm) θαη ζπλεπώο: ( e dx e ) e x e x (Π31.3) x x x Αληηθαζηζηώληαο ην x από ηελ Δμ. (Π31.3), έρνπκε ηειηθά 1/ 3 ( e ) 4 ή 1/ 3 ( e ) 4 (Π31.33) πνπ καο δίλεη ηε κείσζε ηνπ έξγνπ εμόδνπ ζηελ,, πεξηνρή θόξνπ (ρ. 31.) εμαηηίαο ηνπ θαηλνκέλνπ Schottky. 138

139 Π31.5 Η ζεξκνθξαζία ηεο θαζόδνπ θαη ε θαηαλνκή ηεο Η ζέξκαλζε ηεο θαζόδνπ ηεο ιπρλίαο ηεο Άζθεζεο γίλεηαη άκεζα, κε ηε δηνρέηεπζε ξεύκαηνο ηεο ηάμεο,5 Α. θνπόο ηεο αλάιπζεο πνπ αθνινπζεί είλαη λα ππνινγηζηεί ε ηηκή θαη ε θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο ζηελ θάζνδν. Έζησ όηη ε θάζνδνο έρεη ηε κνξθή ελόο επζύγξακκνπ ιεπηνύ ζύξκαηνο, ην κήθνο θαη ε δηάκεηξνο ηνύ νπνίνπ είλαη L θαη d αληίζηνηρα. Έζησ αθόκε ην ζύξκα απηό δηαξξέεηαη από έλα ζπλερέο ξεύκα ζέξκαλζεο, Θ ζ. Αλ εμεηάζνπκε έλα ηκήκα ηεο θαζόδνπ πνπ έρεη κήθνο dx θαη βξίζθεηαη "πνιύ καθξηά" από ηα ςπρξά ηεο άθξα, εμηζώλνληαο ηελ παξαγόκελε από ην ξεύκα ζεξκηθή ηζρύ κε ηελ αθηηλνβνινύκελε, βξίζθνπκε I ( T)dx 4 πd ( T) T dx, (Π31.34) π d 4 όπνπ ξ(t) θαη ε(t) είλαη ε εηδηθή αληίζηαζε θαη ε αθεηηθή ηθαλόηεηα [Βι. Άζθεζε 35, Δμ. (35.4)] ηνπ βνιθξακίνπ αληηζηνίρσο, ζε ζεξκνθξαζία T, ελώ ζ είλαη ε ζηαζεξά ησλ Stefan- Boltzmann. Η Δμ. (Π31.34) κπνξεί λα γξαθηεί θαη σο I π ( T) T 3/ d ( T), (Π31.35) όπνπ ην δεμί κέινο ηεο Δμ. (Π31.35) είλαη ζπλάξηεζε κόλν ηεο ζεξκνθξαζίαο. Γηα ηελ πεξίπησζε ηνπ βνιθξακίνπ, ε ζρέζε κεηαμύ Θ ζ θαη T έρεη κειεηεζεί εθηελώο θαη δίλεηαη ζηνλ Πίλαθα II (γηα θάζνδν κε δηάκεηξν 1 cm θαη "άπεηξν" κήθνο), ελώ ζηνλ Πίλαθα III δίλνληαη νη ηηκέο ηεο ζεξκνθξαζίαο πνπ δεκηνπξγνύληαη ζε ζύξκα βνιθξακίνπ κε δηάκεηξν,16 mm θαη άπεηξν κήθνο. Δπεηδή, όκσο, ε θάζνδνο ηεο Άζθεζήο καο δελ έρεη άπεηξν κήθνο, ε παξνπζία ησλ ςπρξώλ άθξσλ ηεο ζπληειεί ζηε δηακόξθσζε κηαο θαηαλνκήο ζεξκνθξαζίαο, κε κέγηζην ζην θέληξν, θαη ε ηηκή ηνύ κεγίζηνπ απηνύ είλαη ελ γέλεη κηθξόηεξε από ηηο ηηκέο ηνπ Πίλαθα ΙΙΙ. Η δηαθνξά απηή είλαη ηόζν κηθξόηεξε, όζν κεγαιύηεξνο είλαη ν ιόγνο κήθνπο πξνο δηάκεηξν ηνπ ζύξκαηνο θαη όζν πςειόηεξε είλαη ε ζεξκνθξαζία. Πίλαθαο ΙΙ Πίλαθαο ΙΙΙ Σ (Κ) (d = 1 cm) 58, , , , 18 97, Θ ζ (A) (d =,16 mm) Σ (Κ) 1, , , , , , , ,684 1, , , ,

140 ρήκα Π31.3 Η θαηαλνκή ηεο ζεξκνθξαζίαο, T(x) θαηά κήθνο κηαο θαζόδνπ από βνιθξάκην, κήθνπο 7 mm θαη δηακέηξνπ,16 mm, σο ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο, x, από ηα άθξα ηεο, γηα ηξεηο δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο. To T αληηζηνηρεί ζηελ εθάζηνηε ηηκή ηεο ζεξκνθξαζίαο πνπ δεκηνπξγείηαη ζε ζύξκα βνιθξακίνπ, κε ηελ ίδηα δηάκεηξν αιιά κε άπεηξν κήθνο (βι. Πίλαθα ΙΙΙ). Παξαηεξνύκε όηη, όζν πςειόηεξε είλαη ε ζεξκνθξαζία, ηόζν πεξηζζόηεξν πξνζεγγίδεηαη ε ηδαληθή θαηαλνκή. ην ρ. Π31.3 δίλεηαη ε ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο (Π31.34) πνπ ππνινγίζηεθε κε αξηζκεηηθέο κεζόδνπο γηα ηξεηο ζεξκνθξαζίεο ηεο θαζόδνπ από βνιθξάκην, ην κήθνο θαη ε δηάκεηξνο ηήο νπνίαο είλαη 7 θαη,16 mm αληίζηνηρα, είλαη δειαδή όκνηα κε ηελ θάζνδν πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηε ιπρλία ηεο Άζθεζεο. ρνιηάδνληαο ηηο θακπύιεο πνπ δίλνληαη ζην ρ. Π31.3 κπνξνύκε λα πνύκε όηη: ζηελ θεληξηθή πεξηνρή ηεο θαζόδνπ, όζν πςειόηεξε είλαη ε ζεξκνθξαζία, ηόζν ιηγόηεξν δηαθέξεη ε θαηαλνκή από εθείλελ κηαο θαζόδνπ κε άπεηξν κήθνο γηα κηα θάζνδν από βνιθξάκην κε κήθνο 7 mm θαη δηάκεηξν,16 mm, ε ζεξκνθξαζία ηήο θεληξηθήο πεξηνρήο ηήο θαζόδνπ ειάρηζηα δηαθέξεη από ηε ζεξκνθξαζία Σ, πνπ ζα είρε κηα "άπεηξε" ζε κήθνο θάζνδνο, ππό ηελ πξνϋπόζεζε όηη Σ > 16 Κ. Σέινο, αο ζεκεησζεί όηη, αλ ε δηάκεηξνο ηεο θαζόδνπ δηαθέξεη από ηελ ηηκή ησλ,16 mm, νη πξαγκαηηθέο ζεξκνθξαζίεο ηεο θαζόδνπ ζα δηαθέξνπλ από εθείλεο πνπ αλαγξάθνληαη ζηε βάζε ηεο ιπρλίαο. Π31.6 Μεξηθέο αηέιεηεο ηεο δηόδνπ θελνύ Να επηζεκάλνπκε κεξηθέο θαηαζθεπαζηηθέο αηέιεηεο ηεο ιπρλίαο ηεο Άζθεζεο: Η θάζνδνο είλαη ακέζνπ ζεξκάλζεσο, νπόηε ε επηθάλεηά ηεο δελ είλαη ηζνδπλακηθή, ιόγσ πηώζεο ηάζεο θαηά κήθνο ηεο θαζόδνπ. ηηο κηθξέο αλνδηθέο ηάζεηο απηό εηζάγεη κηα ανξηζηία ζηε δηαθνξά δπλακηθνύ κεηαμύ αλόδνπ θαη θαζόδνπ. Σν ζρήκα ηεο θαζόδνπ δελ είλαη επζύγξακκν, αιιά είλαη ζε κνξθή δηθ-δαθ. Η άλνδνο βξίζθεηαη ζε κεγάιε απόζηαζε από ηελ θάζνδν. Ο δίζθνο πνπ βξίζθεηαη πίζσ από ηελ θάζνδν θάπσο εμνκαιύλεη ην ειεθηξηθό πεδίν, αιιά όρη αξθεηά, κε απνηέιεζκα ην ειεθηξηθό πεδίν κεηαμύ αλόδνπ θαη θαζόδνπ λα κελ είλαη νκνγελέο θαη λα απέρεη πνιύ από ηα ειεθηξηθά πεδία ησλ ζεσξεηηθώλ κνληέισλ. Έηζη, ζε κηθξέο απνζηάζεηο από ηελ θάζνδν, ην ειεθηξηθό πεδίν είλαη ζρεδόλ θπιηλδξηθό, ελώ ζε κεγαιύηεξεο είλαη ζρεδόλ επίπεδν θ.ι.π. 14

141 Σν ειεθηξηθό πεδίν ηεο αλόδνπ δε δξα νκνηόκνξθα ζε όιε ηελ επηθάλεηα ηεο θαζόδνπ. Έληνλα δξα ζηελ επηθάλεηα πνπ είλαη ζηξακκέλε πξνο ηελ άλνδν, αιιά ζρεδόλ θαζόινπ πξνο ηελ πίζσ επηθάλεηα, πνπ είλαη ζηξακκέλε πξνο ηνλ δίζθν εμνκάιπλζεο. Δπαθόινπζν απηνύ είλαη ν κε απόηνκνο θνξεζκόο ηνπ ξεύκαηνο ζηε ιπρλία. Πξάγκαηη, θαζώο ε αλνδηθή ηάζε απμάλεηαη, πξώηα θνξέλλπηαη ην ηκήκα ηνπ ξεύκαηνο πνπ νθείιεηαη ζε ειεθηξόληα εμέξρνληαη από ηελ πιεπξά ηεο θαζόδνπ πνπ βιέπεη ηελ άλνδν, ζηε ζπλέρεηα ε πεξηνρή ηνπ θνξεζκέλνπ ξεύκαηνο ζηγά-ζηγά αγθαιηάδεη όιν θαη κεγαιύηεξν κέξνο ηεο επηθάλεηαο έσο όηνπ θνξεζηεί θαη ην ηκήκα πνπ εμέξρεηαη από ην πίζσ κέξνο ηεο θαζόδνπ (βι. ρ. Π31.4). Σέινο, νη γεσκεηξηθέο αηέιεηεο ηεο ιπρλίαο παίδνπλ ζεκαληηθό ξόιν όηαλ κειεηάηαη ν «λόκνο ησλ 3/», αιιά δελ παίδνπλ ξόιν όηαλ κειεηάηαη ε ζρέζε Richardson, θαζώο ην ξεύκα θόξνπ εμαξηάηαη κόλν από ηε ζεξκνθξαζία, αξθεί ε ηηκή ηεο αλνδηθήο ηάζεο λα δηαζθαιίδεη θνξεζκό όιεο ηεο επηθάλεηαο ηεο θαζόδνπ, λα απνξξνθά δειαδή θαη ην λέθνο ειεθηξνλίσλ πνπ ππάξρεη ζην πίζσ κέξνο ηεο θαζόδνπ. ρήκα Π31.4 Ο θνξεζκόο ηνπ αλνδηθνύ ξεύκαηνο επέξρεηαη βαζκηαία, θαζώο απμάλεη ε αλνδηθή ηάζε. Πξώηα θνξέλλπηαη ην ηκήκα πνπ νθείιεηαη ζε ειεθηξόληα, e, πνπ εμέξρνληαη από ηελ εκπξόο πιεπξά ηεο θαζόδνπ, K, (πξνο ηελ άλνδν, A) θαη ηειεπηαίν εθείλν πνπ εμέξρεηαη από ηελ πίζσ πιεπξά ηεο. 141

142 Άζθεζε 3 Βαζκνλόκεζε ζεξκνδεύγνπο 3.1 θνπόο θνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κειέηε ηνπ ζεξκνειεθηξηθνύ θαηλνκέλνπ, θαζώο θαη ε βαζκνλόκεζε ελόο ζεξκνδεύγνπο ηύπνπ Chromel-Constantan. 3. Θεσξία Σν ζεξκνειεθηξηθό θαηλόκελν Δηζαγσγή Σν ζεξκνειεθηξηθό θαηλόκελν είλαη ε απεπζείαο κεηαηξνπή κηαο δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο ζε ειεθηξηθό δπλακηθό, θαζώο θαη ην αληίζηξνθν θαηλόκελν. Πην ζπγθεθξηκέλα, ε δηαθνξά ζεξκνθξαζίαο κεηαμύ ησλ δύν άθξσλ ελόο αγσγνύ έρεη σο απνηέιεζκα ηε δεκηνπξγία κηαο δηαθνξάο δπλακηθνύ κεηαμύ ησλ δύν απηώλ άθξσλ (θαη επνκέλσο δηέιεπζε ξεύκαηνο, Φαηλόκελν Seebeck) θαη, αληηζηξόθσο, ε δηέιεπζε ειεθηξηθνύ ξεύκαηνο κέζα από ηελ επαθή δύν δηαθνξεηηθώλ αγσγώλ πξνθαιεί ςύμε ή ζέξκαλζε ηεο επαθήο, αλάινγα κε ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο (Φαηλόκελν Peltier). Γηαηάμεηο πνπ βαζίδνληαη ζην ζεξκνειεθηξηθό θαηλόκελν κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ κε ηε κεηαηξνπή ζεξκόηεηαο ζε ειεθηξηθή ελέξγεηα, γηα ηελ ςύμε ή ηε ζέξκαλζε ζπζθεπώλ, θαζώο θαη γηα κέηξεζε, ξύζκηζε ή έιεγρν ηεο ζεξκνθξαζίαο. Η εθαξκνγή ηνύ ζεξκνειεθηξηθνύ θαηλνκέλνπ πνπ ζα κειεηεζεί ζηελ Άζθεζε απηή είλαη ην ζεξκνζηνηρείν ή ζεξκνδεύγνο Σν θαηλόκελν Peltier Σν 1834, ν Γάιινο Φπζηθόο J. C. Peltier παξαηήξεζε όηη, όηαλ έλα ξεύκα, Θ, δηαξξέεη ηελ επαθή δύν δηαθνξεηηθώλ αγσγώλ, εθηόο από ηε γλσζηή ζεξκόηεηα Joule πνπ εθιύεηαη κέζα ζηνλ όγθν ησλ αγσγώλ ιόγσ ηεο αληίζηαζήο ηνπο, εθιύεηαη ή απνξξνθάηαη, αλάινγα κε ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο, κηα πξόζζεηε πνζόηεηα ζεξκόηεηαο (ρ. 3.1α). Η πεηξακαηηθή κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ έδεημε όηη ε πξόζζεηε ζεξκόηεηα (ζεξκόηεηα Peltier), Q P, είλαη αλάινγε πξνο ην θνξηίν πνπ δηαζρίδεη ηελ επαθή, είλαη δειαδή αλάινγε πξνο ηελ πξώηε δύλακε ηνπ Θ θαη όρη πξνο ην ηεηξάγσλό ηνπ, ζε αληίζεζε κε ηε ζεξκόηεηα Joule. Έρνπκε δειαδή Q P = Κ P Ι t, (3.1) όπνπ t είλαη ε ρξνληθή δηάξθεηα δηέιεπζεο ηνπ ξεύκαηνο θαη Κ P ν ζπληειεζηήο Peltier. Ο ζπληειεζηήο απηόο εμαξηάηαη από ηα κέηαιια πνπ βξίζθνληαη ζε επαθή θαη από ηε ζεξκνθξαζία ηνπο. Δπηπιένλ, ελώ ε ζεξκόηεηα Joule δελ εμαξηάηαη από ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο, ε ζεξκόηεηα Peltier εθιύεηαη, ζεξκαίλνληαο επνκέλσο ηελ επαθή, όηαλ ην ξεύκα ξέεη πξνο ηε κία θαηεύζπλζε (π.ρ. από ην κέηαιιν Β πξνο ην κέηαιιν Α, ρ. 3.1) θαη 14

143 απνξξνθάηαη, ςύρνληαο ηελ επαθή, όηαλ ην ξεύκα ξέεη πξνο ηελ αληίζεηε θαηεύζπλζε. Από ηελ Δμ. (3.1) πξνθύπηεη όηη ε κνλάδα ηνπ ζπληειεζηή Peltier είλαη ην Volt. Γηα ηα πεξηζζόηεξα δεύγε κεηάιισλ, ε ηηκή απηνύ ηνπ ζπληειεζηή είλαη πνιύ ρακειή, ηεο ηάμεο ηνπ V, θαη γηα ην ιόγν απηό ε ζεξκόηεηα Peltier πνιύ δύζθνια δηαρσξίδεηαη από ηε ζεξκόηεηα Joule. ρήκα 3.1. Όηαλ ε επαθή δύν δηαθνξεηηθώλ αγσγώλ, Α θαη Β, δηαξξέεηαη από ξεύκα, ε επαθή απηή ςύρεηαη ή ζεξκαίλεηαη αλάινγα κε ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο To θαηλόκελν Seebeck - Θεξκνειεθηξεγεξηηθή δύλακε Σν 181, ν Πξώζνο Φπζηθόο T. J. Seebeck δηαπίζησζε όηη έλα θύθισκα πνπ απνηειείηαη από δύν δηαθνξεηηθά κέηαιια, νη επαθέο ησλ νπνίσλ δηαηεξνύληαη ζε δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο, δηαξξέεηαη από ειεθηξηθό ξεύκα. Η ηηκή απηνύ ηνπ ξεύκαηνο είλαη αλάινγε ηεο δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο κεηαμύ ησλ δύν επαθώλ θαη εμαξηάηαη από ηνλ ηύπν ησλ κεηάιισλ πνπ βξίζθνληαη ζε επαθή. Δίλαη πξνθαλέο όηη, γηα λα δηαξξέεηαη ην θύθισκα από ξεύκα, ζα πξέπεη λα έρεη δεκηνπξγεζεί κηα δηαθνξά δπλακηθνύ αλάκεζα ζηηο δύν επαθέο όηαλ νη ζεξκνθξαζίεο ηνπο δελ είλαη ίζεο. Σν θαηλόκελν απηό, πνπ νλνκάζηεθε θαηλόκελν Seebeck είλαη, όπσο αληηιακβαλόκαζηε, ην αληίζηξνθν ηνπ θαηλνκέλνπ Peltier. ρήκα 3.. Όηαλ νη επαθέο δύν δηαθνξεηηθώλ αγσγώλ, Α θαη Β, βξίζθνληαη ζε δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο, ην θύθισκα ησλ αγσγώλ απηώλ δηαξξέεηαη από ξεύκα, Θ, ε ηηκή ηνπ νπνίνπ εμαξηάηαη από ηε δηαθνξά κεηαμύ ησλ δύν ζεξκνθξαζηώλ Σ 1 θαη Σ. Δδώ Σ 1 > Σ. Μηα ζρεκαηηθή παξάζηαζε ηνπ θαηλνκέλνπ Seebeck δίλεηαη ζην ρ. 3., ην νπνίν εηθνλίδεη έλα θιεηζηό θύθισκα απνηεινύκελν από δύν δηαθνξεηηθά κέηαιια, Α θαη Β, νη επαθέο ησλ νπνίσλ δηαηεξνύληαη ζε ζεξκνθξαζίεο Σ 1 θαη Σ. Λόγσ ηεο δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο Σ 1 Σ, 143

144 ην θύθισκα δηαξξέεηαη από ξεύκα. Η δηαθνξά δπλακηθνύ, U, ζηελ νπνία νθείιεηαη απηό ην ξεύκα, ε νπνία απνθαιείηαη θαη ζεξκν-ειεθηξεγεξηηθή δύλακε δίλεηαη από ηε ζρέζε U C( T ) 1 T (3.) όπνπ C είλαη κία ζηαζεξά πνπ νλνκάδεηαη ζηαζεξά ηνπ δεύγνπο ησλ δύν κεηάιισλ. Πξνθαλώο ε ηηκή ηεο C εμαξηάηαη από ηηο ρξεζηκνπνηνύκελεο κνλάδεο ησλ U θαη Σ Σν ζεξκνζηνηρείν Σν ζεξκνζηνηρείν ή ζεξκνδεύγνο, ζηελ απινύζηεξή ηνπ κνξθή, ζπλίζηαηαη ζηελ επαθή δύν δηαθνξεηηθώλ κεηάιισλ θαη ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε κέηξεζε ή ηνλ έιεγρν ηεο ζεξκνθξαζίαο.(ρ. 3.3) Η ιεηηνπξγία ηνπ βαζίδεηαη ζην θαηλόκελν Seebeck, ηε κεηαηξνπή δειαδή ηεο δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο κεηαμύ ησλ επαθώλ ησλ δύν κεηάιισλ ζε δηαθνξά ειεθηξηθνύ δπλακηθνύ. Μεηξώληαο απηή ηε δηαθνξά δπλακηθνύ κε έλα θαηάιιειν βνιηόκεηξν (V), κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηε δηαθνξά ζεξκνθξαζίαο πνπ ηε δεκηνύξγεζε. Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε κηα άγλσζηε απόιπηε ζεξκνθξαζία, T 1, ζα πξέπεη ε κία από ηηο δύν επαθέο λα βξίζθεηαη ζηε ζπγθεθξηκέλε απηή ζεξκνθξαζία (θύξηα επαθή), ελώ ε άιιε επαθή (επαθή αλαθνξάο, ζπλήζσο ε ςπρξή) λα δηαηεξείηαη ζε κηα γλσζηή ζεξκνθξαζία αλαθνξάο, T (π.ρ. ζηνπο ν C). ε βαζκνύο Κειζίνπ, ζπκβνιίδνπκε ζπλήζσο ηε ζεξκνθξαζία κε ζ, αληί γηα Σ. ρήκα 3.3 Απινπνηεκέλε παξάζηαζε ελόο ζεξκνζηνηρείνπ, απνηεινύκελνπ από δύν δηαθνξεηηθά κέηαιια, Α θαη Β, ηα ζεκεία επαθήο ησλ νπνίσλ βξίζθνληαη ζε ζεξκνθξαζίεο T 1 θαη T, αληηζηνίρσο. Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ άγλσζηε ζεξκνθξαζία, T 1, κεηξάκε κε έλα βνιηόκεηξν, V, ηελ ειεθηξεγεξηηθή δύλακε πνπ παξάγεηαη εμαηηίαο ηεο δηαθνξάο ζεξκνθξαζίαο T T 1 (ή ζ ζ 1 ζε ν C) κεηαμύ ησλ δύν επαθώλ. Η ζεξκνθξαζία T ή ζ (πνπ νλνκάδεηαη ζεξκνθξαζία αλαθνξάο) ζα πξέπεη λα είλαη γλσζηή θαη ζπλήζσο είλαη ίζε κε ν C. Σα ζύγρξνλα επηζηεκνληθά θαη βηνκεραληθά ζεξκνζηνηρεία ρξεζηκνπνηνύλ ειεθηξνληθέο κεζόδνπο γηα ηελ αληηζηάζκηζε ηεο ςπρξήο επαθήο θαη ηε ξύζκηζε ησλ κεηαβνιώλ ζεξκνθξαζίαο ζηηο επαθέο ζύλδεζεο ησλ ειεθηξνδίσλ, κε απνηέιεζκα ηε κεγαιύηεξε επθνιία ζηε ρξήζε ηνπο θαη ηελ αύμεζε ηεο αθξηβείαο ηνπο. ήκεξα, ηα ζεξκνδεύγε θαιύπηνπλ έλα εύξνο ζεξκνθξαζηώλ πνπ εθηείλεηαη από έσο 3 Κ θαη, επεηδή έρνπλ κεγάιε κεραληθή αληνρή, είλαη πνιύ πην βνιηθά ζηε ρξήζε ηνπο από ηα αληίζηνηρα γπάιηλα θαη εύζξαπζηα ζεξκόκεηξα πδξαξγύξνπ, γηα ηε κέηξεζε θαη ηνλ έιεγρν ζεξκνθξαζηώλ ζηελ επηζηήκε θαη ηε βηνκεραλία. 144