Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Transcript

1 Πανεπσ ' ο Θεσσαλία Πολυτε ' Σολ' Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανκών Δπλωματκή εργασία ΠΡΟΣΕΓΓΣΤΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟ ΓΑ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΓΕΝΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥΣ ΑΦΞΗΣ ΚΑ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Εκπό σ: Γεοολυ άτοc Σα/Τ' C Υπεβλήθη γα την εκπλήρωση μέρους των απατήσεων γα την απόκτηση του Δπλώματος Μηχανολόγου Μηχανκού

2 J Γερολυμάτος Σωτήρης Η έγκρση της δπλωματκής εργασίας από το Τμήμα Μηχανολόγων Mηχανcών της Πολυτεχνκής Σχολής του Πανεπστημίου Θεσσαλίας δεν υποδηλώνε αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα (Ν. 5343/32 αρ. 202 παρ. 2).

3 Εγκρίθηκε από τα Μέλη της Τρμελούς Εξεταστκής Επτροπής: Πρώτος Εξεταστής Δρ. Ανδρέας Ζούπας (Επβλέπων) Δδάσκων ΠΔ 407/80, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανκών, Πανεπστήμο Θεσσαλίας Δεύτερος Εξεταστής Δρ. Γεώργος Δ υμπερόπουλος Καθηγητής, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανκών, Πανεπστήμο Θεσσαλίας Τρίτος Εξεταστής Δρ. Δημήτρος Παντελής Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανκών, Πανεπστήμο Θεσσαλίας c r. r l Γ

4 Ευχαρστίες Θα ήθελα να ευχαρστήσω όλους όσους με βοήθησαν στην εκπόνηση αυτής της εργασίας. Αρχκά θα ήθελα να ευχαρστήσω τον επβλέποντα Κ. Ζούπα Ανδρέα γα την πολύτμη βοήθεα κα καθοδήγησή του. Επίσης ευχαρστώ τα υπόλοπα μέλη της εξεταστκής εmτροπής κ(. Λυμπερόπουλο Γώργο κα Παντελή Δημήτρη γα τς οδηγίες τους κα το χρόνο που αφέρωσαν στην εργασία μου. Είμα ευγνώμων στον Αναπληρωτή Καθηγητή Οκονόμου Αντώνο του Πανεπστημίου Αθηνών γα πς κατευθύνσες που μου έδωσε. Ευχαρστώ όλους τους φίλους κα τς φίλες μου που με στήρξαν, ο καθένας με τον τρόπο του σε όλη τη δάρκεα της δουλεάς μου. δαίτερα ευχαρστώ τους φίλους μου Αμαργανό Παναγώτη που με φtλoξενoύσε στο Βόλο το τελευταίο δάστημα των σπουδών μου κα τον Σταμέλο Αντώνη γα την εμψύχωση κα το πείσμα που μου μετέδωσε. Τέλος θέλω να ευχαρστήσω τους γονείς μου Παναγή κα Δήμητρα γα την υλκή κα ηθκή υποστήρξή τους όλα τα χρόνα των σπουδών μου. J 1 Γερολυμάτος Σωτήρης

5 ΠΕΡΛΗΨΗ Τα συστήματα ουρών είνα ένα συνεχώς αναπτυσσόμενο αντκείμενο με μεγάλη εφαρμογή ~ σε δάφορους τομείς της παραγωγής. Σε αυτή την εργασία γίνετα μα παρουσίαση μεθόδων που βοηθάνε στ/ν επίλυση των συστημάτων αυτών. Τα συστήματα ουρών που αντμετωπίζουν είνα τα πο γενκά με αποτέλεσμα την ευρύτερη εφαρμογή των μεθόδων. Η γενκότητα αυτή οδηγεί στην έλλεψη αναλυτκών αποτελεσμάτων κα στη χρήση προσεγγστκών μεθόδων. Αρχκά γίνετα μα ανασκόπηση του θεωρητκού υποβάθρου των συστημάτων ουρών γα την δευκόλυνση κα των λγότερο έμπερων αναγνωστών. Στη συνέχεα αναλύοντα τέσσερς κατηγορίες προσεγγίσεων κα παρουσάζοντα επλεγμένα αποτελέσματα από την κάθε μία. Ακολουθεί αρθμητκή σ\φφση ανάμεσα στς μεθόδους που έχουν παρουσαστεί πάνω σε βασκά μεγέθη των συστημάτων ουρών. Τέλος γίνετα ένας σχολασμός γα την χρησμότητα της κάθε μεθόδου.! r l,

6 1 1 J Περεχόμενα ΕΣΑΓΩΓΗ 2 ΒΑΣΚΕΣ ΕΝΝΟΕΣ ΣΤΑΤΣΤΚΗΣ.4 2: ΣΤΟΧΑΣΤΚΕΣ ΔΑΔΚΑΣΕΣ 8 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ φασεων Κατανομή Erlang Υποε.Δ υετκη κατανομη.. η γεν'κευμενη. κατανομη Εr ang Υπερεκθετκή Κατανομή, Κατανομή του Cox ΘΕΩΡΑ ΟΥΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ G/G/m Περίπτωση ουράς με έναν εξυπηρετητή Περίπτωση ουράς με περσσότερους από έναν εξυπηρετητές ΠΡΟΣΕΓΠΣΗ ΒΑΡΑΣ ΚΥΚΛΟφΟΡΑΣ Περiπτωση ουράς με έναν εξυπηρετητή Περίπτωση ουράς με περσσότερους από έναν εξυπηρετητές ΠΡΟΣΕΓΠΣΗ ΔΥΟ ΡΟΠΩΝ Kramer κα Lagenbach-Belz W. Whitt Πθανότητες μόνμης κατάστασης συστήματος G/G/m ΠΡΟΣΕΓΠΣΗ φασεων Μέθοδος ταύτσης δύο πρώτων ροπών Μέθοδος ταύτσης τρών πρώτων ροπών ΠΡΟΣΕΠΣΗ ΔΑΧγΣΗΣ Περίπτωση ουράς με έναν εξυπηρετητή Περίπτωση ουράς με περσσότερους από έναν εξυπηρετητές ΑΡΘΜΗΤΚΗ ΣΥΓΚΡΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ 65 Ο.. Προοδοκώμενο μήκος ουράς με έναν εξυπηρετητή Π.. ροσδ' OKωΜΕVO μηκος. ουράς με πολλ'εξ ους υπηρετητες Πθανότητα αναμονής ενός αφκvoύμεvoυ πελάτη Κατανομή του αρθμού των πελατών στο σύστημα Προσέ'Υγση φάσεων Σχολασμός 79 ΒΒΛΟΓΡΑφIΑ 8 J 1

7 ΕΣΑΓΩΓΗ Τα συατήματα ουρών σήμερα είνα ένα αντκείμενο με ευρεία κα συνεχή ανάmυξη. Είνα η βασκή μέθοδος μοντελοποίησης προβλημάτων σε μα σερά καίρων τομέων της οκονομίας κα της παραγωγής. Ο βασκότερο τέτοο τομείς είνα η οργάνωση της παραγωγής κα ο τηλεπκονωνίες. Όπως είνα φυσκό αφερώνετα μεγάλη προαττάθεα κα κόπος σε αυτούς τους κλάδους. Δεν είνα εύκολο όμως να βρίσκετα πάντα ένα σύατημα ουράς που κα να εξομοώνε αποτελεσματκά το φυσκό πρόβλημα κα να είνα σχετκά απλό, ώστε να καταλήγε σε αναλυτκές λύσες. Τα συστήματα ουρών που απασχολούν αυτή την εργασία (ο ουρές με γενκευμένους χρόνους αφίξεων κα εξυπηρετήσεων κα παράλληλους εξυπηρετητές) θεωρούντα τα γενκότερα. Δηλαδή συμπερλαμβάνουν την συντρπτκή πλεοψηφία των συστημάτων ουρών. Αυτή η γενκότητα τους όμως μας εμποδίζε να εξάγουμε αναλυτκά αποτελέσματα γα τα μεγέθη του συστήματος. Όπως φαίνετα κα στο πέμπτο κεφάλαο τα αναλυτκά αποτελέσματα είνα ελάχστα κα κυρίως γα την περίπτωση με ένα εξυπηρετητή. r Παρατηρείτα στς μέρες μας πληθώρα ερευνών που στόχο έχουν την λύση περίπλοκων συστημάτων με προσεγγστκές μεθόδους. Ο μέθοδο αυτοί είνα πολύ δαφορετκές μεταξύ τους κα με δαφορετκή σκοπμότητα κα χρήση η κάθε μία. Ο κύρος στόχος αυτής της εργασίας είνα μα ταξνόμηση κα παρουσίαση των πο δαδεδομένων προσεγγατκών μεθόδων. Σε αυτή την εργασία παρουσάζοντα τέσσερς βασκές ομάδες προσεγγίσεων. Γα κάθε μία σχολάζοντα τα γενκά χαρακτηρστκά τους, η χρησμότητα τους, τα υπέρ κα τα κατά. Επίσης παρουσάζοντα κάποα αντπροσωπευτκά αποτελέσματα ερευνών γα την κάθε μία καθώς κα η μέθοδος εξαγωγής τους. Τέλος δίνοντα αναφορές κα γα άλλα αποτελέσματα που παραλείποντα από την εργασία. Η εργασία δαρθρώνετα ως εξής Το πέντε πρώτα κεφάλαα αφερώνοντα σε μα ανακεφαλαίωση του θεωρητκού υποβάθρου που είνα απαραίτητο γα την κατανόηση του αντκεμένου. Πο αναλυτκά στο πρώτο κεφάλαο παρουσάζοντα βασκά στατατκά μεγέθη που χρησμοποούντα στην συνέχεα. Το δεύτερο κεφάλαο παρουσάζε το επστημονκό αντκείμενο στο οποίο βασίζοντα τα συατήματα ουρών, τς ατοχαστκές δαδκασίες. Στο τρίτο κεφάλαο ορίζοντα ο κατανομές φάσεων, μα κατηγορία κατανομών πολύ βασκή γα τα συστήματα ουρών. Στο τέταρτο παρουσάζετα η θεωρία ουρών κα ορίζοντα τα συστήματα ουρών. Τέλος στο πέμπτο κεφάλαο παρουσάζετα πο αναλυτκά το σύστημα ουράς που απασχολεί αυτή την εργασία, η ουρά με γενκευμένους χρόνους αφίξεων κα εξυπηρετήσεων κα παράλληλους εξυπηρετητές. Το επόμενο κομμάτ της εργασίας είνα κα το κυρότερο. Τα κεφάλαα έξ με εν/ά παρουσάζουν τς μεθόδους που επλέχθηκαν. Κατά σερά που παρουσάζοντα ο κατηγορίες προσεγγστκών μεθόδων είνα: προσέγγση βαράς κυκλοφορίας, προσεγγίσες δύο ροπών, προσεγγίσες φάσεων κα προσέγγση δάχυσης. Στο τελευταίο κεφάλαο γίνετα μα ανακεφαλαίωση της συζήτησης. Ο μέθοδο συγκρίνοντα μεταξύ τους κα αναφέροντα κάποο προβληματσμοί που προέκυψαν από την εκπόνηση της εργασίας καθώς κα σκέψες γα μελλοντκή έρευνα. Η ββλογραφία πάνω σε αυτό το αντκείμενο είνα τεράστα. Αυτό προκάλεσε κάποα δυσκολία ατην εύρεση κα συλλογή των καταλληλότερων μεθόδων. Εκτμάτα όμως ότ έγνε μα καλή προαττάθεα στην ταξνόμηση κα ολοκληρωμένη παρουσίαση των μεθόδων με επαρκείς αναφορές γα περατέρω έρευνα. Δηλαδή αυτή η εργασία μπορεί να 2

8 χρησμοποηθε σσν οδηγός γσ κάποον που θέλε νσ πάρε μα δtα των μεθόδων που "κυκλοφορούν" κα να κατευθυνθε αναλόγως. Αυτός ενα ο στόχος κα η προσφορά αυτ~ς της εργααας. 3

9 1. ΒΆΣΚΕΣ ΕΝΝΟΕΣ ΣΤΑΤΣΤΚΗΣ Στο κεφάλαο αυτό γίνετα μα παρουσίαση βασκών στατστκών μεγεθών, με σκοπό την δευκόλυνση του αναγνώστη στην κατανόηση του κύρου θέματος αυτής της εργασίας. Ενδεχόμενο: Ονομάζουμε ενδεχόμενο ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός περάματος που χαρακτηρίζετα οπό τυχαότητα. Δεγματκός χώρος: Ονομάζουμε δεγματκό χώρο το σύνολο όλων των πθανών αποτελεσμάτων ενός περάματος. Συμβολίζετα με Ω Γεγονός: Ονομάζουμε γεγονός ένα υποσύνολο του δεγματκού χώρου. Συμβολίζετα, συνήθως, με κεφαλαίο γράμμα. Ο συνδυασμοί γεγονότων είνα ο παρακάτω. Ένωση γεγονότων ορίζετα το γεγονός να συμβεί οποοδήποτε από τα αυτά κα συμβολίζετα με Λ υ Β. Τομή γεγονότων ορίζετα το γεγονός να συμβούν ταυτόχρονα κα συμβολίζετα AnB. Συμπλήρωμα ενός γεγονότος είνα το γεγονός να μην συμβεί αυτό κα συμβολίζετα με - Λ Δαφορά δύο γεγονότων ορίζετα το γεγονός να συμβεί το πρώτο χωρίς να συμβεί το δεύτερο κα συμβολίζετα Λ - Β= Α n - Β. Τέλος δύο γεγονότα Λ κα Β ονομάζοντα ονεξάρτητα αν η πραγματοποίηση του ενός δεν επρρεάζε την πραγματοποίηση του άλλου. Πθανότητα: Η πθανότητα ενός γεγονότος, Ρ(Λ) ορίζετα ως η συχνότητα της πραγματοποίησης του Λ καθώς επαναλαμβάνετα συνεχώς ένα πείραμα. Δηλαδή Ρ(Λ)= Jim Ν Α Ν... φ Jv r 1 με Ν Α τον αρθμό των πραγματοποήσεων του Α κα Ν τον αρθμό εκτέλεσης του περάματος. Επίσης ορίζετα η υπό συνθήκη πθανότητα, Ρ(Λ/ Β) ως η πθανότητα να πραγματοποηθεί το Α δεδομένου ότ έχε πραγματοποηθεί το Β. Νόμος ολκής πθανότητας Έστω Β τμήματα του δεγματκού χώρου που τον KaMmouv πλήρως. Δηλαδή Ω= υ, Β, Τότε: p(λ)~σ p(anb,)= Σ Ρ(ΛΒ,)Ρ(Β,),, l δότητες Πθανότητας σχύουν ο παρακάτω δότητες: Π.1 Ο<;Ρ(Λ)<; Π.2 Ρ(Ω)=1 4

10 Π.3 }'(.Θ')=Ο Π.4 Ρ(Α)=-Ρ(Λ) Π.5 Ρ(ΛUΒ)=Ρ(Λ)+Ρ(Β)-Ρ(ΛnΒ) πβ P(A/B)~p(AnB). Ρ(Β) Π.7 Γα Α κα Β ανεξάρτητα Ρ(Λ/Β)=Ρ(Α) Π.β Α κα Β ανεξάρτητα αν κα μόνο αν p(anb)~ Ρ(Λ)* Ρ( Β) Τυχαία Μεταβλητή: Ο τυχαίες μεταβλητές είνα μεταβλητές που σχετίζοντα με το ενδεχόμενο ενός περάματος κα παίρνουν μα συγκεκρμένη τμή ανάλογα με αυτό. Μεταφράζουν τον δεγματκό χώρο σε έναν πραγματκό αρθμό, δηλαδή σε μα μετρήσμη μορφή X:Q~R. Ο τυχαίες μεταβλητές χωρίζοντα σε δύο κατηγορlες ανάλογα με τς τμές που παίρνουν. Ο δακρτές τυχαίες μεταβλητές ανήκουν στο σύνολο των ακεραίων Χ ε Ζ ενώ ο συνεχείς τυχαlες μεταβλητές στο σύνολο των πραγματκών XER. J ΚατανομέςΠθανοτήτων Ορlζετα ως κατανομή ή αθροστκή συνάρτηση πθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ η πραγματκή συνάρτηση F( Χ) αν F(x)~P(X"'X). Γα τς συνεχεlς τυχαίες μεταβλητές ορίζετα η συνάρτηση πυκνότητας πθανότητας f(x) ως Γα τς δακρτές ρ( Χ) ως f(x)=df(x) lim p(x<x<x+dx) ax dr-o ax τυχαlες μεταβλητές ορίζετα η συνάρτησης μάζας πθανότητας Προφανώς γα μα δακρτή ruxala μεταβλητή, F(x)= Σ p(i) ί~o Προσδωκόμενητμή Προσδωκόμενη τμή μας τυχαίας μεταβλητής είνα η μέση τμή της μετά από άπερες επαναλήψεςτου περάματος. Ορίζετα ως J Δακύμανση ΕΧ=f Χ df(x) -. Η δακύμανση μας τυχαίας μεταβλητής είνα ένα μέτρο του πόσο συγκεντρωμένες είνα ο τμές που θα πάρε κατά την εκτέλεση του περάματος γύρω από την προσδοκώμενη. Συγκεκρμένα όσο μκρότερη η τμή της τόσο πο κοντά στην προσδοκώμενη τμή είνα τα αποτελέσματα του περάματος. Συμβολίζετα με Var Χ ή σ;. κα είνα ίση με VarX=EX'- ΕΧ' 5

11 Ροπές Ως ροπή n τάξης της τυχαίας μεταβλητής Χ ορίζετα η ποσότητα Ε Χ" Συντελεστής δακύμανσης Το μέγεθος αυτό δίνε μα εκόνα της δακύμανσης σε αδάστατη μορφή. Ορίζετα γα μα τυχαία μεταβλητή Χ ως: Κανονκή κατανομή Ν(μ,σ') c' _ VarX ή C2.=~-1 λ... Γ.~,2.Γ ΕΧ' LtA J Η κανονκή κατανομή είνα από τς πο σημαντκές γα την επστήμη της στατστκής. Μα τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονκή κατανομή έχε το χαρακτηρστκό ότ ο τμές της συγκεντρώνοντα ομοόμορφα γύρω από μα μέση τμή. Η συνάρτηση πυκνότητας πθανότητας μας τέτοας τυχαίας μεταβλητής είνα ~ -(;r-p)' f(x)= ' e,,',!2πσ 2 r Γ όπου μ=εχ κα σ'=varχ. Η γραφκή παράσταση αυτής της συνάρτησης έχε σχήμα "καμπάνας" με κέντρο της το μ. Ως Φ( Χ) ορίζετα η συνάρτηση αθροστκής πθανότητας μας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί κανονκή κατανομή με μ = Ο κα σ'= 1. Εκθετκή κατανομή Εχρ(λ) f Η εκθετκή κατανομή είνα κα αυτή από τς πο σημαντκές με δαίτερη εφαρμογή στην θεωρεία ουρών. Το σημαντκότερο χαρακτηρστκό της είνα η αμνήμονη ή Μαρκοβαννή δότητα η οποία ορίζετα κα συζητέτα στο επόμενο κεφάλαο. Η εκθετκή κατανομή συμβολίζετα με ΕΧρ( λ) όπου λ είνα η παράμετρος της. Ο συναρτήσες πθανότητας της είνα: F(x)=l-e- h x~o Ο χ<ο I(.T)~λo-!". Ο x~o χ<ο Επίσης γα μα μη-αρνητκή τυχαία μεταβλητή Χ με εκθετκή κατανομή: Κατανομή Poisson Poisson (λ) ΕΧ)=λ 1 VarX=λ' C~=l Η κατανομή Poisson είνα το αντίστοχο της εκθετκής κατανομής γα τς δακρτές τυχαίες μεταβλητές. Γα μα τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί κατανομή Poisson έχουμε: L f 6

12 λ' P=-e,.. ΕΧ=λ VαrX=l c'-l Χ-λ l Την εργασία αυτή απασχολούν κα άλλες καταναμές. Χρεάζαντα γα να ορσταύν όμως την έννοα της Μαρκοβαννής αλυσίδας που δίνετα στο επόμενο κεφάλαο. Έτσ θα παρουσαστούναργότερα., 7

13 r 2. ΣΤΟΧΑΣΤΚΕΣ ΔΑΔΚΑΣΕΣ Η θεωρία των ατοχαατκών δαδκασών προήλθε κυρίως από τς ανάγκες των φυσκών. Ξεκίνησε με την μελέτη φυσκών φανομένων τα οποία εξαρτώντα σε μεγάλο βαθμό από τον παράγοντα τύχη κα δεν είνα δυνατή η επακρβώς πρόβλεψη της συμπερφοράς τους ατο μέλλον. Έτσ αυτά τα συστήματα μοντελοποήθηκαν μαθηματκά από τς ατοχαατκές δαδκασίες, ώατε η μελλοντκή κατάσταση των συατημάτων αυτών να προβλεφθεί πθανοθεωρητκά. Σημαντκή κατηγορία τέτοων ατοχαατκών συστημάτων είνα τα συστήματα ουρών αναμονής. Ορσμός Στοχαστκής Δαδκασίας Έστω t μα παράμετρος με πεδίο ορσμού το Τ, κα έστω X(t) μα τυχαία μεταβλητή γα κάθε lετ. Κάθε οκογένεα των τυχαίων μεταβλητών {Χ(),ετ), που είνα ορσμένες ατον ίδο δεγματκό χώρο έστω Ω ονομάζετα ατοχαστκή δαδκασία.! Η παράμετρος ή δείκτης t ατη γενκή περίπτωση συμβολίζε χρόνο. Το σύνολο όλων των δυνατών τμών της τυχαlας μεταβλητής X(t) λέγετα σύνολο καταατάσεων της δαδκασίας (έστω S). Κάθε ατοχαατκή δαδκασία ουσαστκά είνα μα συνάρτηση Χ:Τ,ΩΞψ,ω)-Χ(I,ω)εS. Γα δεδομένα 1~lo κα ω~ωo, η Χ(lο,ωο ) είνα η κατάσταση της δαδκασίας τη χρονκή ατγμή 10' Γα δεδομένο 1=10 κα τυχαίο ω η συνάρτηση Χ (οω) είνα η τυχαία μεταβλητή X(t). Τέλος γα δεδομένο μόνο το ω~ωo η συνάρτηση Χ(, ωο ) περγράφε μα συγκεκρμένη εξέλξη της δαδκασίας ατο χρόνο το οποίο ονομάζετα 1 πραγματοποίηση. Ταξνόμηση Στοχαστκών Δαδκασών Μπορούμε να ταξνομήσουμε τς ατοχαατκές δαδκασίες σε τέσσερς κατηγορlες ανάλογα με τον χαρακτήρα των συνόλων Τ κα S. Αν το σύνολο Τ είνα αρθμήσμο (συνήθως το IΝ ο ) τότε η δαδκασία λέγετα στοχαστκή δαδκασία δακρτού χρόνου ({X":nENo)) Αν το Τ είνα υπεραρθμήσμο τότε η δαδκααία λέγετα στοχαστκή δαδκασία συνεχούς χρόνου ({X(I):I~O)). Αν ο χώρος καταστάσεων S της δαδκασίας είνα αρθμήσμος (συνήθως το IΝ ο ή κάποο υποσύνολό του) η δαδκασία λέγετα στοχαστκή δαδκασία δακρτού χώρου καταστάσεων Αν ο χώρος καταατάσεων S της δαδκασίας είνα υπεραρθμήσμος (συνήθως το IR;) η δαδκασία λέγετα στοχαστκή δαδκασία συνεχούς χώρου καταστάσεων Τα παραπάνω συνδυάζοντα σε τέσσερς κατηγορίες δαδκασών. Μα δαδκασία είνα πλήρως ορσμένη όταν δίνοντα τα παρακάτω: 1. Ο παραμετρκός χώρος Τ 2. Ο χώρος καταατάσεων S 3. Η ατοχαατκή εξάρτηση των μελών της, δηλαδή η συνάρτηση κατανομής των τυχαίων μεταβλητών που απαρτίζουν τη δαδκασία. Δύο δαδκασίες που συμπίπτουν κα στα τρία παραπάνω λέγοντα στοχαστκά σοδύναμες. 8

14 Ενώ αν κάθε τυχαίες μεταβλητές δύο ατοχαατκών δαδκααών είνα μεταξύ τους ανεξάρτητες, ο δαδκααίες είνα ατοχαστκά ανεξάρτητες. Παρακάτω δίνοντα ο ορσμοί σημαντκών μεγεθών στην μελέτη των στοχαστκών δαδκασών. Προσδοκώμενη τμή στο χρόνο Χ,=Ε(Χ,) Μεταβατκή κατανομή της ατοχαστκής δαδκασίας είνα η οκογένεα των κατανομών των τυχαίων μεταβλητών της δαδκασίας (F,(x):tET) ενώ το όρο της καθώς -" 00 λέγετα ορακή κατανομή. Πθανότητα μετάβασης pt" είνα η πθανότητα η δαδκασία φεύγοντας από μα κατάσταση ί να μεταβεί σε μα κατάσταση j σε n βήματα (γα δαδκασίες δακρτού χρόνου). Pij(t) είνα η πθανότητα το σύστημα να μεταβεί από την κατάσταση ί στην j μέσα στον χρόνο (γα δαδκασίες συνεχούς χρόνου). Γα δαδκασίες συνεχούς χρόνου ορίζετα ο ρυθμός μετάβασης q ij που είνα η πθανότητα στην μονάδα του χρόνου το σύστημα να μεταβεί από την κατάαταση ί στην κατάσταση j. Η πθανότητα το σύστημα να βρίσκετα στην κατάσταση j μετά από n χρόνο (ή βήματα) π~'. Με π"j' συμβολίζουμε την αρχκή κατανομή της δαδκασίας. Η πθανότητα το σύστημα να καταλήξε στην κατάσταση j μετά από άπερο χρόνο ή άπερο αρθμό βημάτων ονομάζετα ορακή κατανομή ή κατανομή σορροπίας κα συμβολίζετα ως (n) πj= 1m π j. "~. Πθανότητα εσόδου. Η πθανότητα το σύστημα να εσέλθε σε ένα υποσύνολο του S ανεξάρτητα του πότε. f" Η πθανότητα η δαδκασία να επστρέψε κάποτε στην κατάσταση ί δεδομένου ότ ξεκίνησε από εκεl. Χρόνος πρώτης δάβασης είνα ο χρόνος (ή ο αρθμός βημάτων) πηγαίνοντας από μα κατάσταση ί σε μα κατάσταση j γα πρώτη φορά. Αν ί= j τότε μλάμε γα χρόνο πρώτης επανόδου. Έατω f~' η πθανότητα ο χρόνος πρώτης δάβασης να είνα n βήματα κα Ρ ij η προσδοκώμενη τμή του χρόνου αυτού. Επίσης 1 Π =-. Ρ. Ταξνόμηση καταστάσεων Μα κατάαταση j λέγετα προσβάσμη από την κατάσταση ί αν pt">o γα κάποο n. Αν η κατάσταση j είνα προσβάσμη από την κατάσταση ί κα η ί από την κατάσταση j. τότε λέμε ότ Ο καταστάσες ί κα j επκονωνούν. Κάθε κατάσταση επκονωνεί με τον εαυτό της. Επίσης αν η ί εττκονωνεί με την j κα η j επκονωνεί με την k, τότε η ί εττκονωνεί με την k. Τέλος αν η ί είνα προσβάσμη από την j αλλά η j δεν είνα από την ί τότε δεν επκονωνούν. Έτσ ο χώρος S μπορεί να χωρστεί σε κλάσες, όπου κάθε κατάαταση ανήκε σε μία μόνο κλάση κα καταστάσες που επκονωνούν ανήκουν στην ίδα κλάση. Αν ο χί.φος S αποτελείτα από μία μόνο κλάση τότε η στοχαστκή δαδκασία λέγετα ανάγωγη ή αδαχώρστη. Αν f" < η κατάσταση ί λέγετα μεταβατκή. Αν f,,= η κατάσταση ί λέγετα επαναληπτκή. Εδκή περίπτωση των επαναληmlκών καταστάσεων είνα όταν ρ;:)= 1 όπου η κατάσταση ί λέγετα απορροφητκή. 9

15 Γα τς επαναληπτκές καταστάσες ορίζετα κα η περίοδος της κατάστασης. Έτσ γα μα κατάσταση ί η περίοδος είνα ίση με \ αν ρ::'=ο γα κάθε n που δεν είνα ακέραο πολλαπλάσο του κα ρ:;"'=l '<πεlν Αν δεν υπάρχε τέτοο \ ή αυτό είνα ίσο με 1, τότε η κατάσταση λέγετα απεροδκή. Επίσης γα μα επαναληπτκή κατάσταση ί, αν το μ" είνα πεπερασμένο αυτή ονομάζετα θετκά επαναληπτκή, ενώ αν είνα άπερο ονομάζετα μηδενκά επαναληπτκή. Μα απεροδlκή θετκά επαναληπτκή κατάσταση ονομάζετα εργοδκή. Τέλος τα παραπάνω μπορούν να γενκευθούν κα γα ολόκληρες κλάσες. δότ'1!!ς δαδκασών 1. Μαρκοβανή δότητα Μα στοχαστκή δαδκασία έχε αυτήν την δότητα όταν δεδομένης της τμής της τυχαίας μεταβλητής Χ() ο τυχαίες μεταβλητές X(s),s<t κα X(h),h>t, είνα στοχαστκά ανεξάρτητες. Δηλαδή κάθε μελλοντκή εξέλξη της δαδκασίας εξαρτάτα μόνο από την τωρνή της κατάσταση κα όχ από την παρελθούσα εξέλξή της. Γα αυτό κα η Μαρκοβανή δότητα λέγετα κα αμνήμονη. 2. Στάσμη δαδκασία Είνα η δαδκασία με την δότητα ότ F,(x)~F,+,(x) ή ο τυχαίες μεταβλητές Χ() κα Χ t+s) είνα στοχαστκά σοδύναμες γα κάθε Ανεξάρτητες προσαυξήσες Αν ο τυχαίες μεταβλητές Χ(,),Χ(,)-Χ(,),...,Χ(")-Χ("_,) είνα ανεξάρτητες '<,.,...,"_" " τότε η δlαδlκασα έχε ανεξάρτητες προσαυξήσες. 4. Ομογενείς προσαυξήσες Αν η κατανομή της X(t)-X(s), s<t εξαρτάτα μόνο από τη δαφορά 1-8 κα όχ δαδκασών. από τα 8,\, τότε η δαδκασία έχε ομογενείς προσαυξήσες. Παρακάτω παρουσάζοντα κάποα βασκά εργαλεία γα την μελέτη στοχαστκών 1) ΑντσΤρ.QJllή"χρόνου Γα κάθε στοχαστκή δαδκασία {Χ():εΤ}, Τ=Ζο ή T=Ro μπορούμε να ορσουμε την (Χ(τ-):ετ, γα ορσμένο τετ Τότε η Χ(τ-) λέγετα αντίστροφη στοχαστκή δαδκασία της Χ(). Η παράμετρος τ δεν είνα σημαντκή, καθορίζε απλώς το "σημείο εκκίνησης" του χρόνου της νέας δαδκασίας. Εφόσον είνα τυχαίο όμως, είνα προφανές ότ υπάρχουν άπερες αντίστροφες της Χ(). Έτσ ορίζετα ως τυπκή αντίστροφη η Χ( -). Με βάση τον ορσμό της αντίστροφης δαδκασίας είνα δυνατό τ-<ο, κότ που έρχετα σε αντθεση με τον ορσμό των στοχαστκών δαδκασών που δώσαμε. Στην πραγματκότητα όμως δεν υπάρχε πρόβλημα, αν σκεφτούμε μα στοχαστκή δαδκασία που ήδη έχε λετουργήσε ένα μεγάλο χρονκό δάστημα πχ το (-00,0) πρν αρχίσε η μελέτη της. Η αντστροφή χρόνου έχε μεγάλη σημασία στην μελέτη στοχαστκών δαδκασών κα πο συγκεκρμένα στη θεωρία ουρών. Αρχκά η αντίστροφη δαδκασία μπορεί να μας δώσε πολλές πληροφορίες γα την αρχκή δαδκασία που δεν φαίνοντα εξ αρχής. Επίσης, με αυτόν τον τρόπο απλουστεύοντα πολλοί υπολογσμοί, όπως ο εξσώσες σορροπίας ενός πολύπλοκου συστήματος. Τέλος, συγκεκρμένα στη θεωρα ούρών η δαδκασία εξόδου των πελατών μπορεί να μελετηθεί συνήθως πο εύκολα από τη δαδκασία εσόδου. Στη γενκή περίπτωση η αντίστροφη δαδκασία είνα δαφορετκή από την αρχκή. Παρόλα αυτά ο δύο δαδκασίες έχουν κονή ορακή κατανομή. Κάτ τέτοο εναl αναμενόμενο, καθώς ο πθανότητες μόνμης κατάστασης π, δηλώνουν το ποσοστό του χρόνου που η δαδκασία είνα στην κατάσταση ί, κάτ το οποίο δεν εξαρτάτα από την r! 10

16 κατεύθυναη του χρόνου. Συγκεκρμένα ο Μαρκοβανές δαδκασίες δατηρούν την Μαρκοβανή δότητα κατά την αντστροφή του χρόνου. Αν γα την X(t) το {Χ(,)IΧ(,)1 είνα ανεξάρτητο από το (Χ(,)Χ(,)}.,<,<,. τότε σχύε κα το αντίστροφο κα έτσ η Χ( -) δατηρεί την Μαρκοβανή δότητα. Στην εδκή περίπτωση που η στοχαστκή δαδκασία είνα στοχαστκά σοδύναμη με την αντίστροφή της, λέμε ότ η δαδκασία είνα αντστρέψμη. Επίσης καθώς αυτό σημαίνε ότ η Χ() είνα σοδύναμη με την Χ(τ-) \Τ η αντίστροφη δlαδκασlα, άρα κα η αρχκή, είνα στάσμη. Ένας απλός τρόπος γα να εξακρβώσουμε την αντστρεψμότητα μας δαδκασίας είνα το κρτήρο KolmogoΓov. Σύμφωνα με αυτό μα δαδκασία είνα αντστρέψμη αν κα μόνο αν το γνόμενο των ρυθμών μετάβασης που αντστοχούν σε έναν πεπερασμένο κύκλο μεταβάσεων σούτα με το γνόμενο των ρυθμών μεταβάσεων του ίδου κύκλου, αλλά με την αντίστροφη φορά. Δηλαδή: \ "ΕΝ κα ίο ί,.λεs J ~ 1 j 2) Πθανονεννήτρε& συναρτήσε&. Έστω τυχαία μεταβλητή ΧΕIΝ ο κα P,~ Ρ (X~i) η αντίστοχη συνάρτηση πθανότητας. Ορίζετα ως πθανογεννήτρα συνάρτηση της Χ η G(Z)=Σ Ρ,Ζ'=Ε(ΖΧ) Ο πθανογεwήτρες συναρτήσες βοηθούν πολύ τη,-ο μελέτη μη αρνητκών, ακεραίων, τυχαίων μεταβλητών. Συγκεκρμένα η G(Z) δατηρεί με συνοπτκό τρόπο όλες της τμές των Ρ, Επίσης από την G(Z) μπορούν να ανακτηθούν τα Ρ, Όλα αυτά είνα σχετκά απλά καθώς ο πθανογεwήτρες συναρτήσες μπορούν συνήθως να βρεθούν αναλυτκά. Τέλος ορσμένες μελέτες των τυχαίων μεταβλητών γίνοντα πολύ πο απλές με τη χρήση των πθανογεwητρών συναρτήσεων, όπως η επίλυση αναδρομκών σχέσεων. Από τς πο σημαντκές δότητες των πθανογεννήτρων συναρτήσεων είνα ο: I)Υπάρχε 1-1 αντστοχία μεταξύ πθανογεwητρών κα συναρτήσεων πθανότητας. Συγκεκρμένα J 11)01 ροπές της τυχαίας μεταβλητής Χ μπορούν να υπολογσθούν από της παραγώγους της G(z). Αν ΕΧ'<οο ορίζετα η GI')( ) κα η παραγοντκή ροπή ί τάξης είνα: F,~EX(X -) )... (Χ -i+ 1)=G I "(l) Έτσ γα παράδεγμα η μέση τμή κα η δασπορά του Χ είνα: Ex=F,=GOI(I) VarX~EX(X-1 )+ Ε Χ- E'X=G")( 1)+G")(lΗG")(l)' 11

17 )Η πθανογεwήτρα συνάρτηση του αθροσματος ανεξάρτητων μεταβλητών σούτα με το γνόμενο των αντίστοχων πθονογεwητρών τους. Έτσ αν Χ,Χ'..' Χ, ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με πθανογεννήτρες GX,(Z) κα f=x,+x,+... +X, με πθονογεννήτρα την GΥ (Ζ) τότε lν)έστω Χ, ανεξάρτητες σόνομες τυχαες μεταβλητές με πθανογεwήτρα την Gχ (Ζ) κα Ν ΕIΝο τυχαία μεταβλητή ανεξάρτητη από τς Χ, με πθανογεwήτρα της την GN(z). Τότε η πθονογεwήτρα συνάρτηση του τυχαίου αθροίσματος ΥΝ=Χ +Χ 2 +",+ΥΝ είνα: 3)Μετασχηματσμοί Laplace (Laplace-Stieltjes) Ο μετασχηματσμοί Laplace είνα το αντστοlχο των πθανογεννήτρων συναρτήσεων γα συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Ορίζετα γα την μη αρνητκή συνεχή τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πθονότητας F(x) κα συνάρτηση πυκνότητας f(x) ως: Γ r Γ(Ζ)= f e-~df(x)=f o-~ I(x)dτ~Eo-'-" ο ο Έχουν την ίδα σημασία με τς πθονογεwήτρες συναρτήσες κα αντίστοχες δότητες. I)Υπάρχε 1-1 αντστοχία μεταξύ των μετασχηματσμών Laplace κα της συνάρτησης πυκνότητας πθανότητας. Γα να ανακτηθεί απλώς αντστρέφουμε τον μετασχηματσμό. 11)01 ροπές της Χ μπορούν να υπολογστούν από τς παραγώγους της Γ (Ζ). Αν ΕΧ'<οο τότε ορζεταl η J""(Z) κα, ;(z)=π~,(=i ν)έστω Χ, ανεξάρτητες σόνομες τυχαίες μεταβλητές με I~(z) κα ΝΕΝ, τυχαα μεταβλητή, ανεξάρτητη των GN(z). Τότε ο μετασχηματσμός Laplace του Υ Ν=Χ +Χ 2 +"'+Χ Ν είνα: EX'=(-l)' Γ")(Ο) 111)0 μετασχηματσμός Laplace του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών σούτα με το γνόμενο των αντίστοχων μετασχηματσμών Laplace. Αν Χ,Χ,.,Χ, ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μετασχηματσμούς Laplace I~, (Ζ) κα : (Ζ) Ο μετασχηματσμός Laplace της Y~X,+X,+... +Χ, τότε: ί_! μετασχηματσμό Laplace Χ, με πθονογεννήτρα τυχαίου αθροίσματος r l 12

18 4) Ορακά θεωρήματα στο σηκών δαδκασών Υπάρχουν δύο θεωρήματα στην θεωρία των ατοχαατκών δ,αδ,καα,ών που ονομάζοντα έτα Χρηαμοποούνταl αε αθροlατκές δαδlκααίες που αυξάνοντα με το χρόνο κα περγράφουν προαεγγατκά την αυμπερφορά τους καθώς ο χρόνος ή τα χρονκά βήματα τείνουν ατο άπερο. Αυτά τα θεωρήματα είνα ο lαχυρός νόμος των μεγάλων αρθμών κα το κεντρκό ορακό θεώρημα. Γα μα ακολουθία ανεξάρτητων κα lαόνομων τυχαίων μεταβλητών Χ. με μέαη τμή μ κο δακύμαναη σ' κα επίαης S. ~ Σ Χ,,τα θεωρήματα είνα. k=1 ) αχυρός νόμος των μεγάλων αρθμών. S. m-~μ n-«j n 11) Κεντρκό ορακό θεώρημα limp 11-'''' "- <Χ-'Φ(χ) S -ομ avn Στη αυνέχεlα παραθέτοντα εδκές περπτώαες ατοχαατκών δ,αδ,καα,ών με δαίτερη αημααία. 1, Μαρκοβlανές αλυσίδες, Συχνά ο δαδlκααίες με δακρτό αύνολο καταατάαεων λέγοντα αλυαίδες. Στο κομμάτ αυτό μελετούντα ο αλυαίδες με τη Μαρκοβανή δότητα. Αυτές χωρίζοντα αε Μαρκοβlανές αλυαίδες δακρτού χρόνου κα Μαρκοβlανές αλυαίδες αυνεχούς χρόνου Μρρκοβlανές αλυσίδες δακρτού χρόνου. Σύμφωνα με τον οραμό της Μαρκοβανής δότητας γα μα Μαρκοβανή αλυαίδα δακρτού χρόνου σχύε : J J Η πθανότητα αυτή ορίζετα ως η πθανότητα μετάβασης (ενός βήματος) από την κατάαταση ί στην κατάσταση j στο (π+1)-οστό βήμα. Αν ο πθανότητες είνα στάσμες, δηλαδή ανεξάρτητες του n τότε συμβολίζοντα με ΚΟ η δαδκασία λέγετα χρονκά ομογενείς. Ο πθανότητες μετάβασης ταξνομούντα σε πίνακα που ονομάζετα πίνακας πθανοτήτων μετάβασης (ενός βήματος). Ροο Ρο Ρ20 Ρο! Ρ Ρ21 ΡΟ2 Ρ12 Ρ22 13

19 ο Ρ εlνα ένας τετραγωνκός πlνακας μη αρνητκών ατοχεlων. Η κάθε γραμμή του περλαμβάνε τς πθανότητες το σύστημα φεύγοντας από την συγκεκρμένη κατάσταση να καταλήξε σε κάποα άλλη. Αφού το σύστημα πάντα καταλήγε σε κάποα κατάσταση το άθροσμα της κάθε γραμμής σούτα με 1. Ένας τέτοος πlνακας ονομάζετα στοχαστκός πlνακας. Η πθανότητα το σύστημα να ακολουθήσε ένα μονοπάτ εlνα: Ρ(Χ. Χ' Χ. Χ., Inl r 0=101 1=111.., 11-1=1'1-1' l='n)=πj 'Ρίί "Ρί ί ~ Ο ~-1 " Έτσ βλέπουμε ότ αν εlνα γνωστός ο πlνακας μεταβάσεων κα η αρχκή κατανομή, μπορεl να υπολογστεl η πθανότητα κάθε πραγματοποlησης της δαδκασlας κα έτσ η χρονκή εξέλξή της θεωρεlτα γνωστή. Παρόμοα με τον πlνακα μεταβάσεων ενός βήματος ορlζοντα κα ο πlνακες f περσσότερων βημάτων: p~} "1 POl "' Ρ" p(n) ' p(n)= 10 Ρ" Ρ" p(nj p(iij p(n) Γα τους πlνακες αυτούς κα τα στοχεlα τους σχύουν: ) Είνα κα αυτοί στοχαστκοί πίνακες. 11) Ρ"'= Ρ' 111) p(,+ml~pl" plml, (n+ffl)_σ pl"p,m, v) Pij,'. (σχέση Chapman-KolmogoΓov) - - V) π") =π'ο) Ρ" - - Γενκά η μεταβατκή κατανομή π l " εξαρτάτα τόσο από την αρχκή κατανομή π"l ( όσο κα από τους πlνακες μετάβασης P(n) κα άρα εξαρτάτα κάθε φορά από το n. Σε εδκές περπτώσες όμως εlνα ανεξάρτητη του n. Τότε η δαδκασlα παρουσάζε στάσμη στοχαστκή συμπερφορά. Αυτό συμβαlνε όταν πίο = πϊο Ρ Τότε η κατανομή /., ονομάζετα στάσμη κατανομή κα ο δεlκτης (Ο) δεν εlνα απαραlτητος. Έτσ /,,=πϊοl. Η στάσμη αυτή κατανομή μας αλυσlδας (αν υπάρχε) μπορεl να βρεθεl από το σύστημα: πj=σπ,ρij, Σ π,= (εξlσωση κανονκοποlησης), Προφανώς σε μα στάσμη αλυσlδα η στάσμη κατανομή σούτα με την ορακή. 1.2 Μαρκοβανές αλυσίδες συνεχούς χρόνου Στην περlπτωση που ο παραμετρκός χώρος Τ εlνα συνεχής, η μετάβαση από μα κατάσταση σε μα άλλη μπορεl να συμβεl σε οποαδήποτε χρονκή στγμή t. Έτσ με βάση τον ορσμό της Μαρκοβανής δότητας σχύε: 14

20 P(X(s+t)~ jfx(u)=k)=p(x(s+i)= jix(s)~i) γα O';u';s Αν ο πθανότητες μετάβασης από την κατάσταση ί στην j είνα στάσμες, δηλαδή εξαρτώντα μόνο από το δάστημα t κα όχ από το s η δαδκασία είνα χρονκά ομογενείς κα ο πθανότητες μετάβασης συμβολίζοντα ως: p,(i)=p(x(s+t)~ jjx(s)=i) 'd S~O Ο ρ,() είνα συναρτήσες του χρόνου κα ονομάζοντα συναρτήσες πθανότητας μετάβασης. Αυτές γράφοντα συνοπτκά με την μορφή πίνακα: P~(p,()) Η πθανότητα το σύστημα να βρίσκετα στην κατάσταση j τη χρονκή στγμή t συμβολlζετα με Πj(). Μα αλυσlδα είνα πλήρως ορσμένη όταν δίνετα ο πίνακας P(t) κα η αρχκή κατανομή Π (Ο). Έτσ μπορεί να υπολογστεί η πθανότητα οποασδήποτε πραγματοποίησης. Τέλος αποδεκνύετα ότ Π()=Π(Ο)Ρ(). Ο συναρτήσες ρ,() υποθέτουμε ότ είνα δεξά συνεχείς στο ο κα' ~~ ΡΥ( )=δ, Επίσης aποδεκνύετα ότ είνα παραγωγίσμες στο (0,00) κα υπάρχε η δεξά παράγωγος στο Ο. Έτσ' J p,,(h)- ρ,,(ο) p,(h) q,= Im = lm-- γα 'Φj 'h...o h h...o h κα ~l' p,,(h)- ρ,,(ο) qi 1m. h...o n 1m p,,(h)-l. n. h...o -q, Τα q, γράφοντα συνοmlκά σε μορφή πίνακα: Q= -q, qi, q20 q" qi2 -q, j που ονομάζετα πίνακας ρυθμών μετάβασης με την δότητα q,= Σ q",ο Ενδαφέρον παρουσάζε η μελέτη του συνεχόμενου χρόνου που περνάε το σύστημα σε μα κατάσταση i. Αν ονομάσουμε το τυχαίο αυτό μέγεθος Τ, aποδεκνύετα ότ: P(T,>I+sIT,>s)~P(T,>t). Δηλαδή η κατανομή του χρόνου που απομένε γα τη μετάβαση aπό μα κατάσταση δεν εξαρτάτα από το πόσο χρόνο το σύστημα βρίσκετα ήδη σε αυτήν την κατάσταση. Δηλαδή η τυχαία μεταβλητή Τ, έχε εκθετκή κατανομή κα αποδεκνύετα ότ η μέση τμή της είνα Τέλος όταν περάσε ο χρόνος Τ, το q, q, σύστημα μεταβαίνε στην κατάστασηj με πθανότητα p,~ q,. η Γα την εύρεση των μεταβατκών κατανομών Μαρκοβανών αλυσίδων εlνα αναγκαία επίλυση των παρακάτω συστημάτων δαφορκών εξσώσεων 15

21 f p'(t)=p(i)q p'(t)=qp(t) μελ,σ, την P(O)~1 κα Η επίλυση των παραπάνω εξσώσεων συνήθως είνα δύσκολη. Γ' αυτό έχε αξία η μελέτη της ορακής κα της στάσμης κατανομής. Το δάνυσμα ;;-!,,,, ;;(:) ονομάζετα ορακή κατανομή κα σούτα με την πθανότητα το σύστημα να βρίσκετα σε μα δεδομένη κατάσταση μετά από άπερο χρόνο λετουργίας του συστήματος. Επίσης η ορακή κατανομή κανοποεί την εξίσωση κανονκοποίησης Σ πj -1. δαίτερο ενδαφέρον j παρουσάζε η περίπτωση που η κατανομή π() είνα στάσμη δηλαδή δεν μεταβάλλετα με το χρόνο. Δηλαδή Π()~Π(O)~Π 't Αυτή η στάσμη κατανομή μπορεί να βρεθεί από τς εξσώσες ;;' () =π( t)q Σπ))=! j με Α.Σ, την π( ο),_ο! Ένα σημαντκό εργαλείο με μεγάλη εφαρμογή στην θεωρία ουρών είνα η εμφυτευμένη Μαρκοβαννή αλυσδα. Γα κάθε Μαρκοβαννή αλυσίδα συνεχούς χρόνου X(t) μπορούμε να ορίσουμε μα Μαρκοβαννή αλυσίδα δακρτού χρόνου Χ"' Η τμή της χ" σούτα με την τμή της X(t) αμέσως μετά την π-οστή μετάβαση. Δηλαδή αν " η στγμή της π-οστής μετάβασης Η στοχαστκή συμπερφορά της Χ" είνα ανάλογη της X(t). Όπως έχουμε πε όταν το σύστημα φεύγε από την κατάσταση κατάσταση j με πθανότητα γα *I) γα = } μεταβαίνε στην!, Ο πθανότητες αυτές είνα ο πθανότητες μετάβασης της Χ". Προφανώς ο ορακές κατανομές των δύο δαδκασών δεν είνα ίσες. Η ορακή κατανομή δείχνε το ποσοστό του χρόνου που περνάε μα δαδκασία στην κάθε κατάσταση. Η εμφυτευμένη αλυσίδα όμως κρατάε από την αρχκή μόνο τς μεταβάσες κα όχ το χρόνο ανάμεσα σε αυτές. Έτσ η ορακή κατανομή της δείχνε το ποσοστό των μεταβάσεων που καταλήγε σε μα κατάσταση μετά από άπερα βήματα. Η εμφυτευμένη αλυσίδα έχε δαίτερη χρήση στην μελέτη δαδκασών που αναπαρστούν μεγέθη ουράς που δεν παρουσάζουν την Μαρκοβαννή δότητα. Δαλέγοντας όμως συγκεκρμένες χρονκές στγμές γα να μελετήσουμε την δαδκασία (συνήθως στγμές άφξης ή αναχώρησης ενός πελάτη) η εμφυτευμένη αλυσίδα είνα Μαρκοβαννή. 16

22 1.3 Δαδκασία ένν'1!z.ης~ανάτoυ Η συγκεκρμένη δαδκασία είνα χρήσμη γα την μοντελοποίηση συστημάτων που ο πληθυσμός τους αυξομεώνετα λόγω μεμονωμένων γεwήσεων κα θανάτων. Γα παράδεγμα ο υπολογσμός του μεγέθους μας ουράς ενός συστήματος αναμονής με μεμονωμένες αφίξες κα εξυπηρετήσες. Η δαδκασία αυτή είνα εδκή περίmωση των Μαρκοβανών αλυσίδων συνεχούς χρόνου, οπότε τα παραπάνω σχύουν κ εδώ. Η δαφορά είνα ότ το σύστημα μεταβαίνε πάντα από μα κατάσταση σε μα γετονκή της. Δηλαδή ο ρυθμοί μετάβασης είνα: λ, γα ( j=i+ ) qy= μί γα j=i-l Ο γα Ij -l> Προφανώς q,~(μ,+λ,) κα μ,=ο. 2. Δαδκασία Ροίssοn Είνα ένα από τα πο χρήσμα μοντέλα σε εφαρμογές της θεωρίας ουρών. Είνα το καλύτερο μοντέλο γα την περγραφή φανομένων που συμβαίνουν εντελώς τυχαία στο χρόνο. χρησμοποείτα συνήθως γα την περγραφή αφίξεων σε ένα σύστημα, όπου ο αφίξες είνα μεμονωμένες κα ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ορίζουμε την απαρθμήτρα δαδκασία Ν() που σούτα με τον αρθμό των αφίξεων στο δάστημα (Ο,). Η Ν() περγράφε την δαδκασία Poisson. Η Ν() είνα μα δαδκασία γεννήσεων, δηλαδή έχε ένα σταθερό ρυθμό αφίξεων έστω λ, που δηλώνε την πθανότητα άφξης στη μονάδα του χρόνου, κα μηδενκό αρθμό θανάτου (μ,=ο 't ). Ο χρόνος μεταξύ δύο δαδοχκών αφίξεων είνα ανεξάρτητος κα έχουν την εκθετκή κατανομή. Έστω Τ, ο χρόνος μεταξύ της ί κα της ί-1 άφξης PT,>I}=e"';' Ενώ η μεταβατκή κατανομή της Ν () είνα Ροίssοn(λt) κατανομή. Δηλαδή PN(I)=n}=(λI)' e" n! Η δαδκασία PoIsson έχε ορσμένες πολύ χρήσμες δότητες. I)Υπέρθεση Η Υπέρθεση δύο ή περσσότερων δαδκασών PoIsson με ρυθμούς λ,. λ"... είνα δαδκασία PoIsson με ρυθμό λ=λ,+λ,+... II)Τυχαία επλογή Έστω ότ κάθε άφξη της δαδκασίας Ν() με ρυθμό λ έχε πθανότητα να καταγραφεί ρ. Τότε η δαδκασία των καταγεγραμμένων αφίξεων είνα δαδκασία PoIsson με ρυθμό Ψ-ρ) 111)Αμνήμονη δότητα Η εκθετκή κατανομή είνα η μόνη συνεχής κατανομή με την αμνήμονη ή Μαρκοβανή 17

23 δότητα. Έταl αl ενδάμεααl χρόναl αφίξεων είνα ανεξάρτηταl μεταξύ ταυς. Αυτή είνα η αημαντκότερη δότητα της δαδκασίας PaiSSan, καθώς στη θεωρία αυρών αν αl ενδάμεσαl χρόναl αφίξεων των πελατών έχαυν εκθετκή καταναμή η αυρά μπαρεί να μελετηθεί εύκαλα κα να εξαχθαύν αναλυτκά απατελέσματα. 3. Ανανεωτκέ δαδκασίε Ο ανανεωτκές δαδκασίες είνα γενίκευση της δlαδlκασας Paissan. Η δαφαρά έγκετα στα ότ αl ενδάμεσαl χρόναl πραγματαπαίησης δεν έχαυν αναγκαστκά την εκθετκή καταναμή. Χρησμαπαείταl γα την αναπαράσταση συστημάτων παυ η λεταυργία ταυς χωρίζετα σε κύκλαυς λεταυργίας παυ δlαδέχανταl α ένας ταν άλλα. Η δάρκεα των κύκλων είνα ανεξάρτητες lσόναμες τυχαίες μεταβλητές. Η χρανlκή στγμή παυ τελεώνε α ένας κύκλας κα ξεκνάε α άλλας λέγετα στγμή ανανέωσης. Γενκή απαρθμήτρα ανανεωτκή δαδκασία αρίζετα η δαδκασία Μ() με τμή ταν αρθμό των πραγματαπαήσεων (ή ανανεώσεων) στα δάστημα Ο,. Έστω ότ αl ενδάμεσαl χρόναl των ανανεώσεων δίνανταl από τς τυχαίες μεταβλητές Χ", n=i,2,... Ο Χ" έχαυν κανή καταναμή F(t) κα μέση τμή ΕΧ =1.>0 " μ με εξαίρεση την Χ, παυ μπαρεί να δαφέρε (με καταναμή έστω Α). " Η Ζ. = Σ Χ, αναμάζεταl γενκή ανανεωτκή δαδκασία κα δίνε τα χρόνα της η- ;-1 αστής ανανέωσης. Αν A=F αl δαδκασίες αναφέρανταl ως απλές. Ο χρόνας μεταξύ δύα δαδαχκών ανανεώσεων ονομ6ζετα ανανεωτκός κύκλος με δάρκεα Χn' Ο μεταβατκές καταναμές των παραπάνω δαδκασών είνα' Ρ (2"")=Α*F'"-'i(t) Ρ,..,',_rA*p"-"(t)-A*P"I(r) n>o \JVl \)'-'=(/)-) J -Α( n=o m(t )=ΕΜ ( )~ Σ Α *ρ"-'() όπαυ εναl τα σύμβαλα της συνέλlξης κα F'"I η η-αστή απλή συνέλlξη της F με ταν εαυτό της. Γα την αρακή καταναμή: Αν Ρ(Χ, <oo)~ η δαδκασία αναμάζεταl επαναληπτκή καθώς κάθε κύκλας ανανέωσης τελεώνε κα αρχίζε α επόμενας. Δηλαδή η δαδκασία ανανέωσης επαναλαμβάνετα άπερες φαρές. Επlπλέαν αν α μέσας χρόνας ανανέωσης μ είνα πεπερασμένας η δαδκασία λέγετα θετκά επαναληπτκή, ενώ αν -=00 η δlαδlκασα μ λέγετα μηδενκά επαναληmlκή. Τέλας αν Ρ(Χ,=οο»Ο υπάρχε πθανότητα κάπαας κύκλας να μην τελεώσε κα να μην γίνε άλλη ανανέωση. Τότε η δαδκασία λέγετα 18

24 παροδκή. Ενδαφέρον παρουσάζε η δαίτερη περίπτωση των εναλλασσόμενων ανανεωτκών δαδκασών. Εδώ υποθέτουμε ότ πρν από μα ανανέωση το σύστημα περνάε κάποο "νεκρό" χρόνο με τυχαία δάρκεα έστω Y j Αυτές ο μη-αρνητκές τυχαίες μεταβλητές έχουν κονή κατανομή κα είνα ανεξάρτητες μεταξύ τους κα με τς Χj' Επίσης έχουν μέση τμή Ε YJ~l. ν Έτσ η δάρκεα του ανανεωτκού κύκλου είνα W j=xj+ Υ j όπου ο Wj είνα ανεξάρτητες σόνομες τυχαίες μεταβλητές. Επομένως ο δαδοχκοί χρόνο ανανέωσης σχηματίζουν την ανανεωτκή δαδκασία S.=W,+ 'V,+.. +W. Επίσης ορίζετα η εναλλασσόμενη ανανεωτκή δαδκασία 1(1)=(0, αν ανήκε σε νεκρό χρόνο), δαφoρετncα J " κα η δάρκεα του "ενεργού" χρόνου σε έναν κύκλο R j = J i(l)dl=x j 5., ενώ ο συνολκός ενεργός χρόνος στο Ο, είνα C(I)~f I(x)ix ο Τέλος το ποσοστό του ενεργού χρόνου που ταυτίζετα με την ορακή mθανότητα το σύστημα να βρίσκετα σε ενεργό χρόνο είνα: 4. Αναγεννητκές δαδκασίες ' C(I) r ΠI-':~-- '... m ER Ε(γ ΕΧ EYJ+EXJ ν μ+ν Ορσμένες στοχαστκές δαδκασίες έχουν την δότητα να αναγεννώντα στο χρόνο. Δηλαδή γα την δαδκασία X(t) μπορεί να υπάρξε χρονκή ατγμή, όπου το τμήμα της Χ(!) γα IEII" 00) είνα στοχαστκά σοδύναμο του τμήματος lεο, 00) κα ανεξάρτητο από το 0,1,. Τέτοες δαδκασίες λέγοντα αναγεννητκές. Κάθε απλή ανανεωτκή δαδκασία είνα κα αναγεννητκή, με στγμές αναγέννησης τς στγμές ανανέωσης. Δηλαδή Ο αναγεννητκές δαδκασίες είνα γενίκευση των ανανεωτκών. Έστω Ζ. ο αναγεννητκές στγμές της δαδκασίας Χ(!). Ο χρόνο Τ.=Ζ.-Ζ., είνα ανεξάρτητες, σόνομες, τυχαίες μεταβλητές. Έτσ η Ζ.=Τ,+Τ,+... +Τ. είνα μα ανανεωτκή δαδκασία, εμφυτευμένη στην αναγεννητκή δαδκασία Χ(!). Τα τμήματα της δαδκασίας Χ(!), lεζ " Z.J ονομάζοντα αναγεννητκοί κύκλο με δάστημα Τ. Στην γενκή περίπτωση ο πρώτος αναγεwητκός κύκλος μπορεί να δαφέρε στοχαστκά από τους υπόλοπους. Σε αυτή την περίπτωση αναφερόμαστε σε γενκές αναγεwητκές δαδκασίες σε πλήρη αντστοχία με τς ανανεωτκές. Ο αναγεwητκέςδαδκασίες έχουν εφαρμογή στην θεωρία ουρών. Γα παρόδεγμα, έστω ένα σύστημα αναμονής με έναν εξυπηρετητή. Το σύστημα μεταβαίνε συνεχώς μεταξύ δύο καταστάσεων ελεύθερο-κατελημμένο. Επίσης ξεκνάε τη λετουργία του ελεύθερο. Έτσ κάθε στγμή που το να θεωρηθεί ως αναγεwητκή στγμή. σύστημα εmστρέφεl στην κατάσταση ελεύθερο μπορεl lί οίο πε πατο Τυχαίος περίπατος ορίζετα η ακολουθία μερκών αθροσμάτων, τυχαίων μεταβλητώνπου μπορούν να πάρουν τόσο θετκές όσο κα αρνητκές τμές. 19

25 " Δηλαδή: z,~σy; με Y,EIR Η Ζ, αναφέρετα ως το ύψος του τυχαίου περπάτου στο βήμα n. Τα βήματα στα οποία η Ζ, ξεπερνάε το προηγούμενο μέγστο ή ελάχστο λέγοντα γνήσες ανούσες ή κατούσες σκαλωτές στγμές αντίστοχα. Σε περίπτωση που Z,,;:;:-'Zj ή Zr~ZI' i<n η σκαλωτή στγμή λέγετα μη-γνήσα ανούσα ή κατούσα αντίστοχα. Έστω Ν. Ν" τα βήματα ανάμεσα σε συνεχόμενες γνήσες ανούσες στγμές. Ορίζετα Τ,=Ν+Ν,+ +Ν, η ακολουθία των δαδοχκών γνήσων ανουσών στγμών. Επίσης ορίζετα η ακολουθία των δαδοχκών γνήσων ανουσών υψών (Χ,=Ζτ) κα ο αντίστοχες δαφορές των υψών S,=X,-X,_I Αρα X,=SI+S,+...+S,. Τα ζεύγη (Τ,.Χ,) ονομάζοντα γνήσα ανούντα ζεύγη ή σημεία. Αντίστοχα μεγέθη ορίζοντα κα γα τα υπόλοπα σημεία. Με παύλα συμβολίζοντα τα κατόντα κα με άνω-δείκτη Ο τα μηγνήσα σημεία. Ο τυχαίες μεταβλητές Υ, Υ"... είνα ανεξάρτητες κα σόνομες με αποτέλεσμα κάθε φορά που εμφανίζετα ένα σκαλωτό σημείο (,χ) η συνέχεα της στοχαστκής δαδκασίας (Ζ",- Χ, nei'i.) είνα ένας σοδύναμος τυχαίος περίπατος με τον αρχκό ανεξάρτητος από το παρελθόν τμήμα. Έτσ ο στοχαστκές δαδκασίες {Τ,,) κα (Χ,) είνα απλές ανανεωτκές δαδκασίες, στην περίπτωση γνήσων ανόντων σημείων. Ομοίως ο (Τ,) κα (-Χ,) γα τα κατόντα. Τέλος όταν πραγματοποείτα το ενδεχόμενο (S:=Oj, δηλαδή υπάρχε η πρώτη ανούσα στγμή κα δεν είνα γνήσα, ο τυχαίος περίπατος αναγεννάτal στοχαστκά. Ο τυχαίο περίπατο χωρίζοντα σε δύο κατηγορίες. > Ταλαντευόμενος τυχαίος περίπατος ονομάζετα αυτός που ταλαντεύετα χωρίς φράγμα μεταξύ -00 κα +00, κα Ο ανανεωτκές δαδκασίες T n κα T n είνα μηδενκά επαναληmκές. > Αποκλίνων τυχαος περίπατος ονομάζετα αυτός που αποκλίνε στο +00 ή -00 κα έχε πεπερασμένοελάχστο ή μέγστο αντίστοχα. Επίσης ο ανανεωτκέςδαδκασίες Τ, κα Τ, είνα η πρώτη θετκά επαναληmκή κα η δεύτερη παροδκή ή το αντίστροφο. 6. Κίνηση Brown Η κίνηση Brown είνα μα πολύ σημαντκή στοχαστκή δαδκασία καθώς είνα η βάση της προσέγγσης δάχυσης που θα συζητηθεί αργότερα. Ορσμός Κίνηση Brown με μετατόπση m κα παράμετρο δακύμανσης D' ονομάζετα μα στοχαστκή δαδκασία (Β(), > Ο) που έχε τς παρακάτω δότητες. Α) Η Β() έχε ανεξάρτητες προσαυξήσες. Δηλαδή γα κάθε s < <b <α ο προσαυξήσες (Β()-B(s)) κα (B(a)- Β b)) είνα ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Αυτή η δότητα σχύε κα γα παραπάνω από ένα δαστήματα. Αυτό σημαίνε ότ η κίνηση Brown έχε την Μαρκοβαννή δότητα. Β) Κάθε προσαύξηση iii(rj-ii(s)j ακολουθεί την κανονκή κατανομή με μέση τμή m(r-s) κα δακύμανση D 2 (r-s) Από τα παραπάνω βλέπουμε ότ:! l! Ρ B(t) 5Χ B(s)= ",= Ρ B(t)- B(s) 5.1- X.~Φ (α) 20

26 με κα α= x-xo-m(r-s) D';t-s ;r -,' 1 - f Φ(x)~ G:'""O' dr _φ ν2π την αθραστκή συνάρτηση πθανότητας της κανονκής κατανομής. Ο παράμετρο m κα D' ονομάζοντα απεροστή μέση τμή ΚΟ απεροστή δακύμανση avtlatolxa κα μπορούν να εκφραστούν ως Έστω m=lim ΕΒ(+Δ)-Β()) Δ... Ο F(r. xlxo)~pβ(),ςχiβ(o)=xoj Δ D'=lim Ε(Β(+Δ)-Β())'.< Δ Τότε η F κανοποεl την εξlσωση δάχυσης κα τς παρακάτω αρχκές κα συνορακές συνθήκες of of υ' σ' F -=-m-+--- σ σχ 2 σχ' F(O,x!xo)=f ο, χ <χο), x~ Χ ο,, F(r.Olxo)~O Χο>Ο, >ο Η λύση αυτής της εξlσωσης <lva: ( ) ' \,,,.' ) x-xo-mi D' lx-xo-mt F,χχο=Φ, υ.jί (Ο Φ υίί η οποlα δlνε τη λύση με χρονκή εξάρτηση. r;-(.\_1:_ r;o(.1_ \ Γα την λυση lσορροπας,-, :~~.,.,.,-ο η εξlσωση δάχυσης YIVETa: J of υ' σ' F O=-m-+--- σχ 2 σχ' με την παραπάνω συνορακή συνθήκη κα έχε λύση: 2x~ F(x)~I-o D" 21

27 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΦΑΣΕΩΝ Σε αυτό το κεφάλαο παρουσάζοντα ο κατανομές φάσεων (Phase-type distributions). Στην μοντελοποίηση στοχαστκών συστημάτων έχε φανεί πολύ χρήσμη η εκθετκή κατανομή. Λόγω της μαθηματκής της μορφής αλλά κα της αμνήμονης δότητας καταλήγε σε απλούς κα εύχρηστους τύπους. Επlσης λόγω της "τυχαότητας" που την χαρακτηρlζε μπορεί να περγράψε επαρκώς μεγάλο αρθμό φυσκών προβλημάτων. Καθώς όμως τα προβλήματα γίνοντα πο περίπλοκα, με λγότερες παραδοχές κα εξδανκεύσες, το εκθετκό μοντέλο αρχlζε να υστερεί. Ο κατανομές φάσεων χρησμοποούντα γα να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Έχουν δύο βασκές δότητες που τς καθστούν τόσο χρήσμες. Πρώτον επεδή βασlζοντα στην εκθετκή, δατηρούν μα σχετκά απλή μορφή. Δεύτερον ο συναρτήσες κατανομής τους είνα πυκνές στο πεδlο των συναρτήσεων. που σημαίνε ότ μπορούν να αναπαραστήσουν οποαδήποτε άλλη συνάρτηση. Ορlσμός Έστω μα Μαρκοβαννή αλυσίδα συνεχούς χρόνου με k μεταβατκές καταστάσες κα 1 απορροφητκή. Ο χρόνος που το σύστημα περνάε στην κατάσταση ή φάση ί, = 1,2,..., k έχε εκθετκή Kατ~νoμή με παράμετρο λ,. Επίσης ορίζετα το δάνυσμα κατανομής αρχκής κατάστασης πό Μα τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί κατανομή φάσεων είνα ίση με το χρόνο που κάνε το σύστημα να φτάσε στην απορροφητκή κατάσταση. Γα να ορστεί πλήρως μα τέτοα κατανομή πρέπε, όπως κα σε όλες τς Μαρκοβαννές αλυσίδες, να καθορστούν: 1) Το πλήθος των καταστάσεων ή φάσεων k 2) Ο πίνακας των ρυθμών μετάβασης 3) Η αρχκή κατανομή π~ με Ο ';;π~';; V j, *, Σπ~=l,- Εδκή κατηγορlα των κατανομών φάσεων είνα ο ακυκλκές κατανομές φάσεων. Σε αυτή την περlπτωση, ο πίνακας των ρυθμών μετάβασης είνα άνω τργωνκός. Αυτό σημαίνε ότ το σύστημα δεν μπορεl να μεταβεί από μα κατάσταση ί σε μα κατάσταση j αν j <ί. Η γενκή περlπτωση των κατανομών φάσεων ακόμα κα των ακuκλlκών ενα περlπλοκη. Παρακάτω παρουσάζοντα εδκές περπτώσες που συναντούντα συχνά σε προβλήματα κα χρησμοποούντα ευρύτερα. Παραλείπετα η εκθετκή κατανομή καθώς παρουσάστηκε σε προηγούμενο κεφάλαο. Είνα ακυκλκή κατανομή φάσεων με μία μόνο μεταβατκή κατάσταση που ξεκνά πάντα από αυτήν. l! l 22

28 3.1. Κατανομή Er/ang Er(r,l) Η κατανομή Erlang αποτελεlτα από r δαδοχκές φάσες κάθε μία από τς οποίες ακολουθεί εκθετκή κατανομή με παράμετρο λ. Εδώ το σύστημα ξεκνάε πάντα από την πρώτη φάση, περνάε εκεί κάποο χρόνο που έχε εκθετκή κατανομή κα συνεχίζε στην επόμενη. Όλες ο φάσες είνα υποχρεωτκές κα έχουν την ίδα παράμετρο. Η κατανομή Erlang εlνα σχετκά απλή. Γα να περγραφεί χρεάζετα μόνο δύο παραμέτρους. Χρησμοποείτα κυρlως γα την μοντελοποίηση συστημάτων που απαρτlζοντα από στοχαστκά σοδύναμα δαδοχκά κομμάτα. Γα μα τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί ΕΓ(Γ,λ) κατανομή: J J κα σε μορφή Μαρκοβαννής αλυσίδας γα r=3: -λ λ Ο Ο Q= Ο -λ λ Ο Ο Ο -λ λ Ο Ο Ο Ο ο π l =l, π~=o 'r;j j"?!>2 J J Μα σημαντκή δότητα της κατανομής Erlang έχε να κάνε με το συντελεστή μεταβλητότητας της. Όπως φαίνετα παραπάνω c~= α κα μκραίνε όσο αυξάνετα το r r. Έτσ η κατανομή Erlang μπορεί να προσεγγίσε την σταθερή κατανομή. Έστω μα τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί κατανομή Erlang με εκθετκή παράμετρο,λ. Καθώς r - 00 c~-o κα έτσ η τυχαία μεταβλητή Χ προσεγγίζε σταθερή κατανομή με τμή ΕΧ)=.!. λ Υπάρχε επίσης κα μα ενδαφέρουσα παραλλαγή της Erlang η μlξη δύο Erlang με ίδα εκθετκή παράμετρο κα φάσες r κα r -. Σε αυτή την περίmωση ο δύο επμέρους Erlang είνα αμοβαlα αποκλεόμενες κα επλέγοντα με πθανότητα α κα -α 23

29 r Σε αυτή την περίπτωση: Ε X=,.-a!. Αχ)=αί>";')! ': :(: 1 f 1.)r- -λχ _ \... 1 '.) ς:; "/(,.-I)! κα σε μορφή Μαρκοβαννής αλυσίδας γα r=3: r -λ λ Ο Ο Ο Ο Ο -λ λ Ο Ο Ο Q= Ο Ο -λ Ο Ο λ Ο Ο Ο -λ λ Ο Ο Ο Ο Ο -λ λ Ο Ο Ο Ο Ο Ο ο πl=α, ο π 4-1-α, π~~ο\l j*{1,4) Η κατανομή Erlang έχε πολλές παραλλαγές όπως η παραπάνω που προσπαθούν να την γενκεύσουν, συχνά με πολύ ενδαφέροντα αποτελέσματα. Αυτές ο παραλλαγές χρησμοποούντα στην μοντελοποίηση περίπλοκων προβλημάτων κα δεν αφορούν αυτή την εργασία YΠOεKθεΤIKj KατανOμj j γενlκευμένl KατανOμ!j Er/ang GEr(r,1) Η υποεκθετκή κατανομή ουσαστκά είνα μα γενίκευση της Erlang στην οποία ο φάσες δεν έχουν κατ' ανάγκη lσες παραμέτρους. Ονομάζετα υποεκθετκή κατανομή γατί έχε μκρότερο συντελεστή δακύμανσης από την εκθετκή. Η κύρα δαφορά της από την Erlang είνα ότ δεν περορίζετα ο συντελεστής δακύμανσης στς τμές C;'=1., αλλά 1 _.., παίρνε κα τμές όπου C' "".". λ' Γα μα τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί GE,.(,., λ) κατανομή: 2 1 -<C <- r r-}.,. γ-2 -λ.τ-, 1 ΕΧ=Σ- λ ί, 1 Vαrχ=Σ -, 1=\ λ; L 24

30 , F(x)~l- Σb,e-'", x~o,-,, f(χ)=σb,λ,e-", x~o Η όπου, λ, b j = Π -,--, 1-1.1'''' "'J Λ, κα σε μορφή Μαρκοβαννής αλυσίδας γα r=3: Q= -λ, λ, Ο Ο Ο -λ, λ, Ο Ο Ο -.,., ο ο ο ο ο π l =l, π>ο'fρ2 J 3.3. Υπερεκθετ/κή κατανομή Η(Υ,λ,a) Η υπερεκθετκή κατανομή εlνα μα μlξη αμοβαία αποκλεόμενων εκθετκών φόσεων, Ο φόσες αυτές δεν είνα δαδοχκές όπως στς προηγούμενες περπτώσες αλλό επλέγετα μα μόνο βόση κόποας κατανομής α" Επίσης δεν έχουν αναγκαστκό την ίδα εκθετκή παρόμετρο, Ονομόζετα υπερεκθετκή κατανομή γατί έχε μεγαλύτερο συντελεστή δακύμανσης από την εκθετκή, Γα μα τυχαία μεταβλητή που ακολουθεl Η (r, λ, α) κατανομή: J, F(x)~ 1-Σ a,e- A ",,T~O,-,, f(χ)~σαλe-)", x~o,-, κα σε μορφή Μαρκοβαννής αλυσίδας γα r=3: 25

31 -λ, α α λ, Q= α -λ 2 α λ, α α -λ) λ;. α α α α ο 'rf. πj=aj, J 3.4. Κατανομή του COX C(r.1.ίi) Η κατανομή αυτή παρουσάστηκε από τον Coχ το 1955, που έδεξε ότ κάθε κατανομή με κλασματκό μετασχηματσμό LapIace μπορεί να αναπαρασταθεί από την κατανομή του Coχ. Στην ουσία πρόκετα γα συνδυασμό των στοχείων της υπερεκθετκής κα υποεκθετκής κατανομής. Το αποτέλεσμα είνα μα κατανομή που έχε μεγάλη ευελξία κα μπορεί να προσαρμοστεί σε πάρα πολλά συστήματα. Το σύστημα δέρχετα από δαδοχκές εκθετκές φάσες με τη δαφορά ότ μπορεί να σταματήσε μετά από οποαδήποτε από αυτές. Δεν είνα σίγουρο δηλαδή πόσες φάσες θα εκτελεστούν. Το δάνυσμα Ζ περέχε τς πθανότητες το σύστημα να εσέλθε στην επόμενη φάση. Δηλαδή βγαίνοντας απ' την ί-οστή φάση το σύστημα συνεχίζε στην i +1 με πθανότητα α, κα μπαίνε στην απορροφητκή φάση με πθανότητα -α,. Είνα προφανές ότ η πθανότητα να εκτελεστούν ακρβώς k φάσες είνα k-1 ρ,=(l-α,)πα,. Έτσ η κατανομή του COχ μπορεί να παρουσαστεί κα σαν τη μείξη r υποεκθεtlκών κατανομών με αναλογία την κατανομή Ρ:. Η κατανομή αυτή έχε την πολύ χρήσμη δότητα ότ μπορεί να αναπαραστήσε οποαδήποτε ακυκλκή κατανομή φάσεων. Γα μα τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί C(r, λ,ζ) κατανομή: Α ΕΧ=;ξ; λ: με Α,= 1 κα Περσσότερες αναλυτκές πληροφορίες υπάρχουν γα την περίπτωση r =2. L 26

32 κα σε μορφή Μαρκοβαννής αλυσίδας γα r=3: -λ l α λ Q= Ο -λ, Ο Ο Ο Ο ο (-ο,)λ, ο,,!, (-ο,)λ, -λ) λ Ο Ο J J J 27

33 r 4. ΘΕΩΡίΑ ΟΥΡΩΝ Η θεωρία ουρών ξεκίνησε το 1909, όταν ο Agner Krarup Erlang ( ) δημοσίευσε τη θεμελώδη εργασία του πάνω στην συμφόρηση του τηλεφωνκού δκτύου. Εκτός του ότ μαθηματκοποίησε σε αναλυτκή μορφή αρκετά προβλήματα που προκύπτουν στην τηλεφωνία κα τα έλυσε, ο Erlang έβαλε τς βάσες της θεωρίας ουρών όσο αναφορά τη φύση των υποθέσεων κα τς τεχνκές ανάλυσης, τα οποία χρησμοποούντα συνεχώς μέχρ κα σήμερα ακόμα κα σε τομείς εκτός της τηλεφωνίας. Ο Kendall (1951, 1953) ήταν ο πρώτος που μελέτησε την θεωρία ουρών από τη σκοπά των στοχαστκών δαδlκασών. Η θεωρία ουρών είνα η μαθηματκή μελέτη ουρών ή γραμμών αναμονής. Ως ουρά αναμονής ορίζετα κάθε σύστημα το οποίο παρέχε εξυπηρέτηση κάποου είδους σε πελάτες που προσέρχοντα σε αυτό. Μα ουρά δημουργείτα οποαδήποτε χρονκή στγμή η ζήτηση γα μα υπηρεσία ξεπερνά τη δυνατότητα παροχής της. Το σύστημα που μελετάτα αποτελείτα από πελάτες ή μονάδες που χρεάζοντα κάποα υπηρεσία, το χώρο εξυπηρέτησης κα το χώρο αναμονής όπου περμένουν ο πελάτες που δεν μπορούν να εξυπηρετηθούν αμέσως. Ο πελάτες που εξυπηρετούντα φεύγουν από το σύστημα. Υπάρχουν περπτώσες όπου ο πελάτες αναχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν έχοντας περμένε ήδη κάποο δάστημα στην ουρά ή χωρίς να μπουν καν. Ο αφίξες των πελατών κα η εξυπηρέτηση τους γίνετα με τυχαίο τρόπο. Έτσ δεν μπορεί να προβλεφθεί ακρβώς ο αρθμός των πελατών στο σύστημα (μήκος ουράς) καθώς μεταβάλλετα τυχαία με το χρόνο, είνα δηλαδή μα στοχαστκή δαδκασία. Ο όρο πελάτης κα εξυπηρετητής είνα γενlκοi. Πελάτες μπορεί να θεωρηθεί οτδήποτε χρεάζετα κάποα υπηρεσία κα φτάνε στο σημείο που αυτή παρέχετα, ενώ εξυπηρετητής είνα οποοσδήποτε μηχανσμός παρέχε αυτή την υπηρεσία σε πελάτες που του τροφοδοτούντα Γα παράδεγμα πελάτες σε μα τράπεζα, κλήσης που φτάνουν στο τηλεφωνκό κέντρο, μηχανές που χρεάζοντα επσκευή κα ο επσκευαστής, εμπορεύματα προς φόρτωση, εντολές που φτάνουν σε έναν επεξεργαστή κτλ. Βασκά στοχεία συστήματος ουράς: 1. Αφίξες Περγράφοντα από τους χρόνους αφίξεων των πελατών (1"/,,... ) ή τα δαστήματα μεταξύ δύο δαδοχκών αφίξεων Τ"=,,+,-/". Τα δαστήματα αυτά μπορεί να είνα σταθερά ή σόνομες τυχαίες μεταβλητές, οπότε πρέπε να προσδορστεί η κατανομή τους κα η μέση τμή τους ~. Η παράμετρος λ είνα ο,. μέσος αρθμός αφίξεων στην μονάδα του χρόνου. Επίσης ο αφίξες μπορεί να είνα μεμονωμένες ή σε παρτίδες. Στη δεύτερη περίπτωση πρέπε να δευκρνίζετα πως καθορίζετα το μέγεθος της παρτίδας. Σε κάποες περπτώσες ένας πελάτης μπορεί να μην μπε στο σύστημα είτε από επλογή του επεδή η ουρά είνα μεγάλη είτε επεδή το σύστημα έχε περορσμένο χώρο αναμονής. Ο πληθυσμός των πελατών μπορεί να είνα άπερος ή όχ Στην δεύτερη περίπτωση ο ίδες μονάδες ανακυκλώνοντα στο σύστημα. Επίσης υπάρχε η περίmωση ο πελάτες να ανήκουν σε κλάσες δαφορετκής προτεραότητας με καθεμία δαφορετκό ρυθμό αφίξεων. 28

34 2. Εξυπηρέτηση Ένα σύστημα μπορεί να έχε έναν εξυπηρετητή ή περσαότερους που δουλεύουν παράλληλα. Ένας πελάτης που βρίσκε πάνω από έναν ελεύθερους εξυπηρετητές δαλέγε τυχαα έναν. Αν είνα όλο κατελημμένο τότε φτάχνε ή μπαίνε στην υπάρχουσα ουρά κονή γα όλους τους εξυπηρετητές. Ο πρώτος πελάτης της ουράς πηγαίνε στον πρώτο εξυπηρετητή που είνα δαθέσμος (πχ Τράπεζα). Σε εδκές περπτώσες μπορεί να υπάρχε ξεχωρστή ουρά γα κάθε εξυπηρετητή (πχ Σουπερμάρκετ). Βασκό μέγεθος είνα η μέση τμή του χρόνου εξυπηρέτησης μας μονάδας. Ο χρόνο αυτοί μπορεί πάλ να είνα σταθεροί ή σόνομες τυχαίες μεταβλητές, οπότε πρέπε να προσδορίζετα η κατανομή τους κα η μέση τμή τους.!... Η παράμετρος μ μ στην περίmωση ουράς με έναν εξυπηρετητή που είνα συνεχώς απασχολημένος, συμβολίζε το μέσο αρθμό εξυπηρετήσεων στη μονάδα του χρόνου. Σε μερκές περπτώσες η εξυπηρέτηση γίνετα σε παρτίδες, όπως γα παράδεγμα σε έναν ανελκυστήρα. Σε αυτή την περίπτωση πρέπε να δίνετα κα ο τρόπος δημουργίας των παρτίδων. 3. Πεθαρχεία ουράς Κάθε ουρά εξυπηρετεί τους πελάτες με δαφορετκό τρόπο. Η συνηθσμένη προτεραότητα είνα εξυπηρέτηση με την σερά άφξης (FIFO). Σε συγκεκρμένες περπτώσες η προτεραότητα είνα ανάποδη, εξυπηρετήτα πρώτος αυτός που έφτασε τελευταίος (LlFO). Μπορεί η εξυπηρέτηση να γίνετα εντελώς τυχαία (SIRO) ή με τς λγότερο απατητκές δουλεές πρώτα. Σε συστήματα ΗΝ συνήθως χρησμοποείτα το processor-sharing όπου η παροχή του εξυπηρετητή κατανέμετα ίσα σε όσους είνα στην ουρά ταυτόχρονα. Σε ορσμένες περπτώσες Ο πελάτες ανήκουν σε κλάσες με δαφορετκή προτεραότητα. Ουρές με πεθαρχεία LlFO ή που ο πελάτες ανήκουν σε δαφορετκές κλάσες χωρίζοντα σε δακόmουσες κα μη-δακόπτουσες. Σε δακόπτουσες ουρές αν κατά τη δάρκεα της εξυπηρέτησης έρθε νέος πελάτης (LlFO) ή νέος πελάτης ανώτερης κλάσης η εξυπηρέτηση δακόπτετα κα εξυπηρετήτα ο νέος πελάτης. Σε μη-δακόπτουσες ο νέος πελάτης περμένε την αναχώρηση αυτού που εξυπηρετήτα. Ο δακόmουσες πεθαρχίες χωρίζοντα σε συντηρητκές κα μη-συντηρητκές. Στς πρώτες ο πελάτης που δακόπηκε συνεχίζε την εξυπηρέτηση του από το σημείο που έμενε όταν έρθε η σερά του ενώ στς δεύτερες αρχίζε πάλ από την αρχή. Συμβολσμός ουρών Το πρότυπο συμβολσμού που επκρατεί καθερώθηκε από τον Kendall (1951). Αποτελείτα από τρες παραμέτρους: κατανομή χρόνου μεταξύ δύο δαδοχκών αφίξεων, κατανομή χρόνων εξυπηρέτησης, κα τον αρθμό των εξυπηρετητών. Κάποα συνηθσμένα σύμβολα γα τς κατανομές είνα τα παρακάτω: Μ : εκθετκή κατανομή D : σταθεροί χρόνο Ε, : κατανομή Erlang με r φάσες 29

35 G Ε, : υποεκθετκή κατανομή με r φάσες Η, : υπερεκθετκή κατανομή (μεlγμα r εκθετκών κατανομών) COX, Ph : κατανομή COx με r φάσες : κατανομή τύπου φάσεων G : γενκή κατανομή Άλλο δύο παράμετρο χρησμοποούντα όταν χρεάζετα' η τέταρτη δlνε το μέγστο δυνατό αρθμό πελατών στο σύστημα κα η πέμπτη το μέγεθος του πληθυσμού των πελατών (αν παραλεlποντα θεωρούντα 00 ). Τέλος συμπληρώνετα αε παρένθεση η πεθαρχlα της ουράς αν δεν εlνα FIFD. Γα παράδεγμα: M/G/1/5/10 (L1FO/P-R) σημαlνε ουρά με εκθετκούς χρόνους αφlξεων, γενκούς χρόνους εξυπηρέτηαης, ένα εξυπηρετητή, πέντε θέσες αναμονής, πληθυαμό πελατών δέκα κα πεθαρχlα L1FO, δακόπτουαα, αυντηρητκή. αναμονής. Παρακάτω ορlζοντα τα πο αημαντκά μεγέθη στην μελέτη των συστημάτων 1. J' η στγμή άφξης του j-οστού πελάτη 2. τ j: η στγμή αναχώρησηςτου j-οστού πελάτη 3. T j. το δάστημα μεταξύ της άφξης του j-οστού πελάτη κα του επόμενου. 1 Tj=t}+I-t } κα ET j = λ 4. Wj: ο χρόνος αναμονής του j-οστού πελάτη στην ουρά 5. Υ(): Ο εκονκός χρόνος αναμονής τη χρονκή στγμή. Εlνα ο χρόνος που θα περμενε στην ουρά ένας υποθετκός πελάτης που θα έφτανε τη χρονκή στγμή. 6. X j : χρόνος εξυπηρέτησης του j-οστού πελάτη με μέση τμή l μ 7. Sj: συνολκός χρόνος παραμονής στο σύστημα του j-οστού πελάτη. Προφανώς SJ=Wj+Xj 8. λ: μέσος ρυθμός αφξεων στην μονάδα του χρόνου (γα μεμονωμένες αφlξες). 9. μ: μέσος ρυθμός αναχωρήσεων στη μονάδα του χρόνου (γα έναν εξυπηρετητή κα μεμονωμένες εξυπηρετήσες). 10. m: αρθμός εξυπηρετητών. λ 11. ρ: ρυθμός συνωστσμού ή ένταση κυκλοφορlας. ρ=- Χρήσμο μέτρο του l nμ φόρτου εργασlας του συστήματος. Αν ρ< 1 τότε το σύστημα φτάνε σε κατάσταση σορροπlας. Αντlθετα το σύστημα δεν προλαβαlνε να εξυπηρετήαε τους πελάτες που καταφτάνουν κα η ουρά αυξάνετα συνεχώς. Τέλος στην περlmωαη που In= 1 το Ρ δνε το ποσοστό του χρόνου που το σύστημα ενα κατηλεμμένο κα έτσ η ορακή πθανότητα κενού συστήματος εlνα πo~ 1-Ρ. 12. Qq(r). ο αρθμός των πελατών στο χώρο αναμονής τη χρονκή στγμή. 30

36 13. Q.(t): Ο ορθμός των πελοτών που εξυπηρετούντοl τη χρονκή στγμή t. Προφονώς Q,(t)<c 14. Ο((). ύ uuvu\κόc αοθυό, των πελατών στο σύστημα τη χρονκή στγμή t. Προφονώς Q()~Q:()+Q,() Η 0(1) εlνα μα στοχαστκή δlαδlκασα συνεχούς χρόνου - δακρτών κατσστάσεων (ομοlως ο Q,(t) κα Q,(t) ). Η μελέτη της εlνσl το βσσlκότερο αντκεlμενο της θεωρας ουρών, μσζl με την μελέτη του Sj. Στην γενκή περπτωση δεν μπορούμε να βρούμε σναλυτκά aπoτελέσμστα γσ την μετσβστκή συμπερφορά της. Τέτοα αποτελέσματα υπάρχουν γα την DIDlm ουρά που δεν εμφσνlζε κάποο ενδαφέρον κα τς Μαρκοβlανές ουρές. Γα την γενκή περlmωση της GIGlm ουράς δαπώνοντσl κάποα όρα που θα παρουσαστούν σε επόμενο κεφάλαο. Γα τα αναλυτκά αποτελέσματα των Μσρκοβανώνουρών βλέπε 3,24,32,40,41,42. Γα να απλουστευτε η μελέτη μας μη Μαρκοβσνής ουράς χρησμοποούντα ο εμφυτευμένες δlαδlκσσlες Μσρκοβlσνές αλυσδες στην 0(1). Ορlζονταl ο στοχσστκές δlαδlκσσlες Q>Q(I~) κα Q>Q( τ;). Δηλαδή το μήκος ουράς πρν τη η-οστή άφξη κα μετά την η-οστή ανσχώρηση. Ενδlσφέρον παρουσάζε ότ έχουν κονή ορακή κατανομή στην περlπτωση των μεμονωμένων σφlξεων κσl εξυπηρετήσεων. Δηλσδή αν 11m p(q~= j)=a j κα lim p(q> j)=d j τότε aj=d) n_~ n_φ Θεώρημα του Little Το θεώρημα του LitlIe εlναl μα απλή αλλά πολύ βσσlκή σχέση στην θεωρlα ουρών. Σύμφωνα με αυτό ο μέσος αρθμός των πελατών σε ένσ σύστημσ εlναl ίσος με το ρυθμό σφlξεων επl τον μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα ΕQ=λ ΕS. Το θεώρημα αυτό σχύε γα όλα τα συστήματα ανσμονής αρκεl να έχουν φτάσε σε στατστκή lσορροπlα. Εχε μεγάλη χρησμότητσ κσθώς επτρέπε την εύρεση του EQ με υπολογσμό του ES ή αντστροφα. Ακόμσ το θεώρημσ σχύε κα γα μέρη του συστήματος πχ ΕQ,=λ EW. Χρεάζετα όμως προσοχή στην επλογή του συστήματος ελέγχου που εφαρμόζετα κα των αντlστοlχων μεγεθών. δότητα PASTA Όπως έχε αναφερθεl η δlαδlκασα PoIsson έχε μεγάλη σημασlα στην μοντελοποlηση συστημάτων αναμονής. Η δlαδlκασlα συτή έχε μα πολύ σημαντκή lδότητσ. Καθώς όπως χσρακτηρζετα εlνα "η πο τυχαlα δlαδlκασlσ", το μήκος ουράς δεν εξαρτάτα από τον σν ο πσρατηρητής εναl εκτός του συστήματος ή έχε μπε στην ουρά. Αυτή η δότητα ονομάζετα στην δεθνή βlβλlογραφα ως PASTA (Poisson ArrIvals See Tme Averages). Στην γενκή περlπτωση η ορακή κατανομή της Q(t) (Π j ) δεν συμππτε με τς G) κα d j Όταν όμως η δαδκασία αφξεων ενα Poisson πj=aj=d J ως συνέπεα της δότητας PASTA. 31

37 5. ΥΤΗΜΆΤΑ ΟΥΡΩΝ G/G/m Στο παρόν κεφάλαο παρουσάζοντα τα συστήματα αναμονής που απασχολούν την εργασlα αυτή. Τα συστήματα γενκευμένων αφlξεων κα αναχωρήσεων έχουν το πλεονέκτημα ότ μπορούν να περγράψουν πληθώρα φυσκών συστημάτων καθώς δεν γlνεταl κάποα υπόθεση γα τς κατσνομές των TUXalwv μεταβλητών Τ κα Χ Από την άλλη μερά, γα τον lδο λόγο παραυσάζοντα δυσκολlες στην μελέτη τους, καθώς δεν εμφανlζετα πουθενά η Μαρκοβανή δότητα. Έτσ εlνα αδύνατη η εξαγωγή αναλυτκών αποτελεσμάτων γα βασκά μεγέθη των συστημάτων όπως την ορακή κατσνομή του μήκους ουράς Q(I). ΤΟ μέγεθος που χρησμεύε στην ανάλυση της εlναl η εργασlα συστήματοςπου ορίζετα παρακάτω. Στην εδκή περlπτωση του συστήματος με έναν εξυπηρετητή υπάρχουν κάποες αναλυτκές σχέσες που χρησμεύουν κα στην εξαγωγή προσεγγlσεων. Αντlθετα στην περlπτωση των πολλών εξυπηρετητώνθα δοθούν μόνο τα φράγματα του προσδοκώμενου χρόνου αναμονής πρν προχωρήσουμε στς πρασεγγlσες. Επlσης υποθέτουμε ότ ο αφlξεlς εlνα σνεξάρτητες μεταξύ τους καθώς κα με τους χρόνους εξυπηρέτησης. Γ Ο συμβολσμοl που θα χρησμοποηθούν εlνα ο lδο με του προηγούμενου κεφαλαlου. Επlσης ορlζοντα τα μεγέθη: 1. σ~~ Var τ 2. a:~varx, Var ITl 3. CT~.,. τετραγωνκόςσυντελεστήςδακύμανσης του Τ. 1:.I-J, VarX 4. Cλ'~ ΕΧ' τετραγωνκός συντελεστής δακύμανσης του Χ. 5. D"=r"H-r" Ενδάμεσο χρόνο δαδοχκών αναχωρήσεων. 6. Y"~X"-T" Ανεξάρτητες σόνομες τυχαlες μεταβλητές με συνάρτηση πθανότητσς K(x)~PY"<.TJ, μέση τμή Ey=l- ~ κα δακύμανση VarY=a~+a:.. μ Α Πραφανώς γα νσ φτάσε το σύστημσ σε στατστκή σορροπlα πρέπε ΕΥ<Ο που είνα σοδύναμο με Ρ <. 7. U"_I Περlοδος σργlσς γα το σύστημα πρν την άφξη του π-οστού πελάτη. 8. J"~U,+U'+...+U"_, Συνολκή περlοδος αργlας μέχρ την άφξη του π-οστού πελάτη. 9. " Δάρκεα της π-aστής περόδου αργlσς με συνάρτηση πθανότητας h(x)=pi"<x. 10. Β" Δάρκεα της π-οστής περόδου συνεχούς λετουργlας με συνάρτηση πθανότητσς b(x)~ ΡΒ,,<χ. 11. Ν" Αρθμός εξυπηρετηθέντων πελατών στη δάρκεα της π-οστής συνεχούς λετουργlας. 12. σο Πθσνότητα μσ άφξη νσ βρε το σύστημσ κενό. Δεν εlνσ απσραlτητο σο = Πο δότ ο ενδάμεσο χρόνο αφlξεων εlνα γενlκοl, Στην περlπτωση που ο χρόνο autol έχουν την εκθετκή κατανομή η παραπάνω lσότητσ σχύε λόγω της δότητας L l 32

38 PASTA. 5.1 Περίmωση ουράς με έναν εξυπηρετητή. Η βααlκή στοχαατκή δlαδlκασlα γα την μελέτη της G/G/1 ουράς εlναl η εργασlα συστήματος. Γα κάθε <;Ο ορlζεταl η V(t) ως το άθροσμα των υπολεπόμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών που υπάρχουν στο σύστημα. Η στοχαστκή δlαδlκασlα V () αυξάνετα κατά Χ" όταν εσέρχετα στο σύστημα ο π-οστός πελάτης κα μεώνετα με κλlση -1 στα δαστήματα μεταξύ αφlξεων μέχρ να γlνεl Ο. Στη γενκή περlπτωση η V(t) δεν έχε την Μαρκοβανή δότητα. Η εμφυτευμένη δlαδlκασlα θεωρούμενη στς στγμές αφlξεων όμως εlνα Μαρκοβανή. Επlσης όταν η πεlθαρχlα εlναl FIFO όπως εδώ, αυτή συμπlπτεl με την W". Έτσ θα επκεντρωθούμε στην μελέτη της W". Εlναl προφανές ότ με την υπάρχουσα πεlθαρχlα Wn+I=mαx Wη+Χη-Τ η,ο ή σύμφωνα με τον παραπάνω συμβολσμό W "+I~max W"+ Υ",Ο. Από την παραπάνω σχέση μπορούμε να πούμε ότ κατά τη δάρκεα της πρώτης περόδου λετουργlας σχύε: WII+I=W,,+Y n Καθώς ο χρόνος αναμονής δεν μηδενlζεταl σε μα περlοδο λεlτουργlας. Έτσ φτάνουμε στον παρακάτω αναδρομκό τύπο γα την πρώτη περlοδο λεlτουργlας. Από τον ορσμό του συστήματος W =0 " w"=συ,=1 Το " Σ Υ όμως εlναl ένας τυχαlος περlπατος. Έτσ μπορούμε να συνδέσουμε το χρόνο 1=1 αναμονής με έναν τυχαlο περlπατο έστω: ) ) Αυτός ο τυχαlος περlπατος αποκλlνεl στο -00 κα ταυτlζετα με το χρόνο αναμονής μέχρ την πρώτη γνήσα κατούσα στγμή, η οποlα εlνα στγμή αναγέννησηςτης W". Σε αυτήν τη στγμή ο τυχαlος περlπατος παlρνεl αρνητκή τμή ενώ ο χρόνος αναμονής συνεχlζετα. Έστω αυτή η τμή S,. Στη συνέχεα όταν ξεκνήσε η δεύτερη περlοδος λεlτουργlας ο δύο δlαδlκασlες θα έχουν την lδ,α δαφορά αλλά ο τμές τους θα έχουν μα δαφορά lση με IS,I Δηλαδή W,,~S"+IS,I Όπως βλέπουμε ο γνήσες κατούσες στγμές της S" ταυτlζονταl με τς στγμές αναγέννησης του χρόνου αναμονής κα τα βήματα που απέχουν μεταξύ τους ο στγμές αυτές σούντα με τους πελάτες που εξυπηρετήθηκαν σε έναν κύκλο. 33

39 Επlσης σχύε η σχέση όπου Wn+I=O ή U,,=O. Γσ την ορακή κατανομή του W. υπάρχε ένας πολύ χρήσμος τύπος που σποκαλετα στην δεθνή ββλογραφαως "η ολοκληρωτκήεξσωση του LindIey": W(X)=J. W(x-u)dK(u), χ;"ο Ο. χ<ο Η χρησμότητά της ενα κυρως θεωρητκή καθώς γα να λυθε απστούντα τεχνκές κα αλγόρθμο προχωρημένης θεωρσς πθανοτήτων, Πρν προχωρήσουμε στην μέση τμή κα την δακύμανση του W"' θα αναφερθούμε στον κύκλο λετουργας του συστήματος, Ο κάθε κύκλος λετουργlας σποτελετα από μα περοδο συνεχούς λετουργας κα μα περοδο αργας, στο τέλος της οποlσς ο στοχαστκές δαδκασlες Q(t), γ(), W. αναγεwώντα στοχαστκά, Η πθανότητσ ένας αφκνούμενοςπελάτης να βρε το σύστημσ άδεο εlνσ: Επlσης 1 α ο = ΕΝ Ε Β=ΕΧ.ΕΝ=_μ-α ο EB+EI=EIT) EN= λ'~" Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαο η ορακή πθανότητα κενού συστήματος f είνα π ο =l-ρ. Έτσ από την θεωρεία των εναλλασσόμενων ανανεωτκών δαδκασών: _ Ε! _ ~ _.!..=.Ε. Π ο - Ε+ΕΒ 1 Ρ El- λ.α ο (5.2) Από τα παραπάνω μπορούν να υπολογστούν η προσδοκώμενη τμή κα η δακύμανση του W.. Συγκεκρμένα: Ε W,;λ2.σ;+σ~-αoEIIΊH1- ρ)' 2λ(l-ρ) VarW=-EY + 2ΕΥ +3Ε ΕΥ' ΕΥ'' ' Ε' Ε' ' 2 Ε Ο παραπάνω τύπο εlνα δατερα δύσχρηστο καθώς βσσζοντα σε ροπές του κα το α ο Γα αυτό το λόγο σε πρακτκές εφσρμογές που χρεάζοντα γρήγορα αποτελέσμστα χρησμοποούντα προσεγγσες. 34

40 Όσον αφορά την έξοδο του συατήματος υπάρχουν κάποα ενδαφέροντα αποτελέσματα. Εlνα προφανές ότ D,,=r +I-Τ"=n+l+ W11+1+ Χn+-(1"+ W +χ ) στην κατάσταση σορροπlας Ew,.,=EW,, άρα: ED= ΕΤ=λ Δηλαδή σε ένα σύστημα που βρlακετα σε κατάσταση σορροπlας ο ρυθμός εσόδου εlνα lσος με τον ρυθμό εξόδου πελατών, το οποlο εlνα αναμενόμενο αφού υποθέτουμε ότ το αύατημα βρlσκετα σε σορροπlα. Η δακύμανση εlνα: " D=,_(-ρ)'.!=.E..illJ.,σ, οχ λ' λ Ε lδαlτερη χρησμότητα έχουν ο μετασχηματσμοl Laplace κα Laplace-Stieltjes του W. Ο πρώτος μπορεί να εξαχθεl μέσω της ολοκληρωτκής εξlσωαης του Lindley κα ο δεύτερος από την σχέση (5.1). Αρχκά πρέπε να ορατεl το παρακάτω μέγεθος ώστε να μπορούν να χρησμοποηθούν κα αρνητκές τμές του Χ. W-(xl=(L W(x-u)dK(u), χ<ο ο. x~o Έτσ ο μετασχηματσμός Laplace εlνα: W( 1= W-(S) s. X'(s)T'(-s)-1 W-(s) K'(s)-I ενώ ο μετασχηματσμόςlaplace-stieltjes: W'() S=-,0,0",",,';.-( -""S)'-:---'-'1 OΚ'(s)-1 Τέλος υπάρχουν κάποα φράγματα γα το EW κα το Ε!. Γα το Ε από την σχέση (5.2) κα το γεγονός ότ σ ο <;1 : η σότητα αχύε γα το αύστημα D/D/1. 35

41 Το άνω φράγμα γα το Ε W εlνα: η αότητα αχύε ξανά γα το σύστημα D/D/1. Το κάτω φράγμα εlνα: Ε W,,; λ( στ'+ σ χ') 2( 1-ρ) EW" λ'σχ'+ρ(ρ-2) 2λ(1 ρ) 5.2 Περίπτωση ουράς με περσσότερους από έναν εξυπηρετητές. αναμονής. Σε αυτή την περlπτωση δlνοντα μόνο τα φράγματα του προσδοκώμενου χρόνου (, \, ΟΧ) m-i στ +-- Ρ +-,-, C x-p(2-p) m-i Cx+1 \ m m μ 2λ(1 ρ) ----;;' 2μ <;,WJ<; 2( ρ) λ Στα επόμενα κεφάλαα θα παρουσαστούν μέθοδο που προσπαθούν να λύσουν το κύρο πρόβλημα των G/G/m ουρών. Θυσάζοντας την ακρlβεα των αναλυτκών σχέσεων μπορούν να εξαχθούν πολύ χρήσμες σχέσες γα τα μέτρα λετουργίας μας ουράς. r r r! r 36

42 6, ΠΡΟΣΕΓΓΣΗ ΒΑΡΑΣ ΚΥΚΛΟΦΟΡΑΣ Η πρώτη προσέγγση που θα παρουσαστεί είνα η προσέγγση βαράς κυκλοφορίας (Heavγ-traffic approximation). Αυτή η προσέγγση παρουσάστηκε από τον Kingman το ,10,11 κα προσεγγίζε σε κλεστή μορφή την ορακή κατανομή του χρόνου αναμονής στην ουρά. Γα την προσέγγση αυτή υποθέτουμε ένα σύστημα ουράς όπου ο ρυθμός συνωστσμού Ρ πλησάζε την μονάδα αλλά παραμένε πάντα μκρότερος της. Όπως φαίνετα η μέθοδος δεν κάνε κάποα υπόθεση γα την ίδα την ουρά. Δηλαδή μπορεί να εφαρμοστεί σε οποαδήποτε ουρά που δουλεύε σε βορά κυκλοφορία. Ένα άλλο πλεονέκτημα της μεθόδου είνα η κλεστή μορφή των αποτελεσμάτων. Το μεονέκτημα της είνα ότ η προϋπόθεση γα να σχύε δεν είνα σαφής. Η συνθήκη γα την σχύ της μεθόδου είνα ρ_ Γ δεν υπάρχε δηλαδή κάποα συγκεκρμένη τμή που όταν την ξεπεράσε το Ρ το σύστημα βρίσκετα σε βορά κυκλοφορία. Βέβαα όπως είνα αναμενόμενο καθώς το Ρ μκραίνε, μεώνετα κα η ακρίβεα της μεθόδου. Συνήθως ένα σύστημα ουράς θεωρείτα ότ βρίσκετα σε βαρά κυκλοφορία γα ρ>0.9 αλλά η μέθοδος χρησμοποείτα κα γα ρ>0.75 Αλλά ακόμα κα ο περορσμός Ρ _ Γ δεν μεώνε την αξlα της μεθόδου. Αντθέτως η περίπτωση αυτή παρουσάζε μεγάλο ενδαφέρον. Όταν μα ουρά λετουργεί σε βαρά κυκλοφορία το μήκος ουράς κα ο χρόνος αναμονής μεγαλώνουν πάρα πολύ, βρίσκετα δηλαδή το σύστημα στην χερότερη κατάσταση του. Επίσης με μεγάλο Ρ η ουρά είνα πο επκίνδυνη να βγε εκτός σορροπίας. Τέλος σε πολλές εφαρμογές, όπως σε μα γραμμή παραγωγής είνα επθυμητό το Ρ να βρίσκετα πολύ κοντά στην μονάδα, καθώς έτσ αξοποούντα στο μέγστο ο πόρο του συστήματος. Έτσ αυτή η περίmωση έχε μεγάλο ενδαφέρον που φαίνετα κα από τς μελέτες που ακολούθησαν γενκεύοντας τα αποτελέσματα. 6.1 Περίπτωση ουράς με έναν εξυπηρετητή Παρακάτω παρουσάζετα η απόδεξη του αποτελέσματος του Kingman που έδεξε ότ γα μα G/G/1 ουρά με FIFO πεθαρχία κα ρ_ Γ η ορακή κατανομή του W ακολουθεί την εκθετκή κατανομή (24 Ch. 8.1). Η απόδεξη ξεκνά από τον μετασχηματσμό Laplace του χρόνου αναμονής W που δόθηκε στο προηγούμενο κεφάλαο. J W(s) w- (s) S'(s)A'(-.')-l Ή σz-/~' S' (sja'(-s)-l= ':'.:~ Yf \':') (6.1) J Το ανάπτυγμα σε σερά Mclaurin του S' (s) δίνε: S' (s)= Σ ~ S""(O) k..o k! όπου /") είνα η k-οστή παράγωγος της f 37

43 Από τς δότητες του μετασχηματσμούlaplace: S""(O)=(-I')EX'j Έτσ παlρνοντας τους τρες πρώτους όρους του αναπτύγματος κα ορίζοντας EX'=b, κα ΕΤ'=α, έχουμε: Άρα S' (s)=l-b,s+ "2' s'+o(s') Α '() -s =1 +as+"25 " +0(') s, () () a, b,, S s Α -s -1=s (a,-b')+(2+2-a,b,)s +O(s) (6.2) r r Γ Το δεξl μέλος έχε δύο ρlζες. Η μα εlνα το Ο κα η όλλη έστω s, που κανοποεl την: Σύμφωνα με τους ορσμούς των προηγούμενων κεφαλαlων: Q=-:- b l =-, a 2 -a l =σ τ ' b 2 -b =σ χ Έτσ: λ μ a -b =.!..::R λ κα (στ'+σχ') + (-ρ)' 2 2λ' l Γα βαρό κυκλοφορlα ρ--> Γ όρα αγvoηθεί. Άρα (1-.~ )' -->0 πολύ 2ί. γρήγορα κα έτσ μπορεl να Με παραγοντοποίηση της (6.2) κοντό στο Ο έχουμε: S'(s) Α' (-s)-1 = s(s- s,) Κ (6.3) L 38 1

44 όπου 2 2 σ,+σ l, Κ ='. κα αντκαθατωντας ατην (6.1): 2 με W (s) το μετασχηματσμό LapIace-Stie~jes του W δηλαδή:. - W"(s)~ f e-"dw(t)=sf e-"w(t)dt~sw(s) ΚοντάατοΟ JV'(s)~1 άρααπότην (6.4)~JV-(s)=-s.K (6.5) (6.1), (6.3), (6.5) -,j.jί (s)~, (s-s.) s s-so Ί.. κα ovτατρεφοντας τον μετασχηματσμο: _ 2(1 ο) W (f)= l_e s f = l-e ot{"r'+a..:, Αυτή ενα προαεγγστκά η ορακή κατανομή του χρόνου αναμονής. Η κατανομή αυτή εlνα 2(I-ρ) εκθετκή με παράμετρο -s.~., ') δηλαδή: Α\σ τ +σ χ Εw=λ(στ'+σχ') 2(I-ρ) J J Το αποτέλεαμα μπορε να γραφε κα ως,,, EW(G/G/I)_C r,c x EW(M/M/I) /. 6.2 Περίπτωση ουράς με περσσότερους από έναν εξυπηρετητές Γα πολλούς εξυπηρετητές η προσέγγση καταλήγε στο 39

45 όπου m είνα ο αρθμός των εξυπηρετητών ή W(x)=t-exp(- 2m(l-p; χ 1 σ λ' λ στ +----,- \, m 2 υ Χ λ!!τ +-, EWJ- m - 2m(l-p),., EW(GIGlm)J~ c, :Cx EW(MI Mlm) r r Η παραπάνω προσέγγση είνα γνωστή ως προσέγγση των Kingman-Kollerstrom. Ο Kingman είχε προτείνε αυτό το αποτέλεσμα το , αλλά αποδείχτηκε τελκά από τον KoIIerstrom το ). Γα την απόδεξη η G/G/m ουρά προσεγγίστηκε από μα G/G/1 ουρά με τα ίδα χαρακτηρστκά αλλά τροποποημένους χρόνους εξυπηρέτησης. χ" σους με m Στο προηγούμενο κεφάλαο αναφέροντα κάποα φράγματα γα το EW όταν Ο<;ρ<;l. Το άνω φράγμα γα την ουρά με τον ένα εξυπηρετητή είνα: Ε W<; λ( σο-' + σ /) 2(-ρ) Δηλαδή το άνω όρο του προσδοκώμενου χρόνου αναμονής δίνετα από την τμή του όταν το σύστημα δουλεύε κάτω από βαρά κυκλοφορία, κάτ που είνα απολύτως λογκό. Στην περίπτωση με παραπάνω εξυπηρετητές δεν σχύε το ίδο. Το άνω φράγμα κα η προσέγγση βαράς κυκλοφορίας δεν ταυτίζοντα. Ο Kingman σχυρζόταν ότ τα δύο μεγέθη ταυτίζοντα 12) αλλά αυτό δεν αποδείχτηκε ποτέ κα εξακολουθεί να είνα μόνο υπόθεση. Γ C L 40

46 7. ΠΡΟΣΕΓΓΣΗ ΔΥΟ ΡΟΠΩΝ Σε αυτό το κεφάλαο παρουσάζοντα ο προσεγγίσες δύο ροπών. Ο προσεγγίσες αυτές λέγοντα έτσ γατί βασίζοντα στς ροπές πρώτης κα δεύτερης τάξης των ενδάμεσων χρόνων αφίξεων (ET.ET'j) κα των χρόνων εξυπηρετήσεων (ΕΧ. ΕΧ'). Το αποτέλεσμα κάθε μεθόδου είνα μα φόρμουλα γα τα κυρότερα μεγέθη της ουράς σε κλεστή μορφή. Η κύρα μέθοδος που χρησμοποείτα γα την εξαγωγή αυτών των τύπων είνα η ευρετκή. Δηλαδή ο ερευνητής ξεκνάε από έναν τύπο ο οποίος συμπίmε με τα αναλυτκά αποτελέσματα εδκών περπτώσεων όπως η M/M/m. Στη συνέχεα εσάγε κάποα μεγέθη που πστεύε ότ επηρεάζουν το αποτέλεσμα με κάποους άγνωστους συντελεστές. Τέλος με σύγκρση των αποτελεσμάτων γα δάφορες περπτώσες με γνωστά καταλήγε στην τμή των συντελεστών. Γενκά αυτή η μέθοδος βασίζετα στην λογκή "δοκμή κα σφάλμα" κα παρ' όλο που τα αποτελέσματα φαίνετα να βγαίνουν αβίαστα στην πραγματκότητα είνα αρκετά δύσκολο να μαντέψες τς σωστές εξαρτήσες ανάμεσα στα μεγέθη. Κάτ τέτοο απατεί μεγάλη εμπερία κα εξοκείωση με τη θεωρία ουρών. 1! Το κυρότερο προτέρημα τους είνα η γρήγορη εξαγωγή αποτελεσμάτων γα πρακτκές εφαρμογές, σε αντίθεση με τη χρήση χρονοβόρων υπολογστκών μεθόδων γα την επίλυση αναλυτκών σχέσεων. Κάτ τέτοο τς καθστά δανκές σε περπτώσες που που απατούντα κάποα προκαταρκτκά αποτελέσματα γα λήψη αποφάσεων. Επίσης είνα πολύ χρήσμες σε πρακτκές εφαρμογές αφού η ακρίβεα τους είνα πολύ κανοποητκή κα έτσ εξάγοντα αποτελέσματα χωρίς την χρήση πολύπλοκων τύπων κα μεθόδων. Το μεονέκτημα είνα ότ δεν προσφέρουν στην θεωρητκή ανάλυση των συστημάτων. Ο προσεγγίσες δύο ροπών που μπορεί να βρε κανείς στην ββλογραφία είνα αμέτρητο. Στην εργασία αυτή επλέχθηκαν να παρουσαστούν τρες μέθοδο. Ο μέθοδο αυτοί δίνουν αποτελέσματα γα τα σημαντκότερα μεγέθη ενός συστήματος ουράς κα δίνουν έτσ μα ολοκληρωμένη άποψη γα το σύστημα. Συγκεκρμένα όταν κάποος θέλε να μελετήσε ή να αξολογήσε μα ουρά τα μεγέθη που τον ενδαφέρουν είνα η πθανότητα ένας αφlκνούμενος πελάτης να περμένε, η κατανομή του χρόνου αναμονής κα του μεγέθους της ουράς καθώς κα ο μέσες τμές τους. Γα άλλες προσεγγίσες δύο ροπών ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξε στην παρακάτω ββλογραφία: 5.13,14, Αρχκά η φόρμουλα των Kramer κα Lagenbach-BeIz 20 που δίνε τον μέσο χρόνο αναμονής κα την πθανότητα ένας αφκνούμενος πελάτης να περμένε σε ένα σύστημα G/G/1 που είνα σε κατάσταση σορροπίας. Παρ' όλο που το αποτέλεσμα περορίζετα σε έναν εξυπηρετητή, παρουσάζετα γατί είνα μία από τς πρώτες μεθόδους δύο ροπών που δατυπώθηκαν κα πάνω της βασίστηκαν πολλές άλλες μελέτες. Στην συνέχεα παρουσάζετα το αποτέλεσμα του Ward Whitt 39 γα τα ίδα μεγέθη σε σύστημα G/G/m. Ουσαστκά αποτελεί γενίκευση της προηγούμενης προσέγγσης. Επίσης δίνε προσεγγίσες γα την δακύμανση κα την κατανομή του χρόνου αναμονής. Τέλος παρουσάζετα η φόρμουλα του Adam Shore 31 γα τς ορακές πθανότητες κατάστασης της G/G/m ουράς. 41

47 7.1. Kramer κα Lagenbach.Be/z Προσδοκώμενος χρόνος αναμονής Η έρευνα γα την προσέγγση αυτή ξεκίνησε από την μορφή: όπου η συνάρτηση 9 είνα όρος κανονκοποίησης κα κανοποεί τς παρακάτω ορακές συνθήκες: α) Γα c~~1 g(p,l,c~)~l ώστε η φόρμουλα να συμφωνεί με αυτήν των PoIIaczek-Knintchine γα την M/G/1 ουρά. β) Γα ρ- g(p,c}c~)~l ώστε η φόρμουλα να συμφωνεί με την προσέγγση βαράς κυκλοφορίας. γ) Γα την περίπτωση της 0/0/1 ουράς EW=O άρα C~=C~~O g(p,o,o)<oo Στην συνέχεα η έρευνα χωρίζετα σε δύο περπτώσες C~ < 1 κα C~> c~<l L Γα την πρώτη περίπτωση μελετήθηκε η 01Μ/1 ουρά όπου βρέθηκε ότ η EW= Ρ eχργ 2 (I-ρ)) 2μ(l-ρ) 3ρ ενα μα κανοποητκή προσέγγση. Λαμβάνοντας υπόψν τς ορακές συνθήκες ο Kramer κα Lagenbach-BeIz κατέληξαν γα C} < στη μορφή όπου θ, b αυθαίρετες παράμετρο Στην συνέχεα σύγκρναν τη μορφή αυτή με αποτελέσματα γα συστήματα με C~51 όπως E,IG/I κα E,IG/I Ο καλύτερες συμββαστκέςτμές γα τς παραμέτρουςβρέθηκανa=1, b=2. 42

48 o~>1 Γα την δεύτερη περlπτωαη η μελέτη ξεκlνηαε από την μορφή,, ( g(p,crcx)=expi-(l-p) (o~-)',, ) \ acr+bcx με a,b,c, αυθαlρετες παραμέτρους. Γα την εύρεαη των a,b,c το αποτέλεαμα αυγκρlθηκε με αποτελέαματα ουρών που ο ενδάμεαοl χρόνο άφξης έχουν κατανομές με o~~. Αρχκά αυγκρlθηκε με αποτελέαματα προαομοlωαης της Η, DII ουράς με o~=2 την οποlα επηρεάζε μόνο το α, το οποlο βρέθηκε 1. Στη αυνέχεα αυγκρlθηκε με την Η, DI με o~~4. Από αυτήν την αύγκραη επλέχθηκε c=1. Τέλος αυγκρlνοντας την 9 με αποτελέαματα προαομοlωαης Η, Μ ουρών βρέθηκε b=4. j J Έτσ το τελκό αποτέλεσμα είνα: γα c~::; 1 γα c~~ Πθανότητα αναμονής αφlκνούμενου πελάτη Όπως κα προηγουμένως η μελέτη ξεκνάε από μα γενκή μορφή που πρέπε να κανοποεl κάποες ορακές αυνθήκες: ρ( W>O)=p+(c~-I) ρ( 1-ρ) f(p, o~, o~) όπου η f εlναl άλλη μα αυνάρτηαη κανονlκοποlηαης. Ο ορακές αυνθήκες εlναl: α)γlα o~~ δηλαδή Τ με εκθετκή κατανομή, πρέπε λόγω της δότητας PASTA P(W>O)=p β)γlα ρ"" P(W>O)... l ενώ γα ρ... Ο P(W>O)... O γ)εlναl γνωατό ότ αν o~>1 τότε P(W>O»p κα αν o~< τότε P(W>O)<p. Άρα f>o πάντα. Πάλ η μελέτη χωρlζεταl αε δύο περπτώαες O~51 κα o~>. 43

49 c~<1 όπου τα a, b, c. d εlναl πάλ αυθαlρετες παράμετρο που μπορεl να εξαρτώντα από το ρ. Το γεγονός ότ γα την 0/0/1 ουρά P(W>O)~O άρα οδήγησε στην γενκή μορφή: ( )_ l+acr+bc, (7.1.1) l-p+cc r +dc X p,crcx I(Ρ,O,o)~- -,? Ξεκνώντας την σύγκρση με την 0/Μ/1 ώστε να απαλεφθούν τα a, c βρέθηκαν b= ρ, d= ρ( + ρ) τα οποlα δεν έρχοντα σε σύγκρουση με αποτελέσματα άλλων 0/G/1 ουρών. Γα τα a,c χρησμοποήθηκανκατανομέςerlang 2 κα 4 φάσεων κα κατέληξαν σε: α~l, d=4p' c;> Γα αυτήν την περlπτωση επλέχτηκε η παρακάτω μορφή: ( 2.2) α p,crcx =, 2 2 υ-τ, -- '... χ Ξανά ο παράμετρο a. b, c εlναl αυθαlρετες με πθανή εξάρτηση από το ρ. Από σύγκρση με προσομοώσες Η,/D/I ουρών, βρέθηκε ότ ταράζουν α=4ρ κα b~i+4p2. Το γεγονός ότ η επρροή του c;. στο P(W>O) εlνα σχετκά μκρή, οδήγησε στο c~p'. Η τελκή σχέση εlναl:, γα c r <l γα c~> 1 Τέλος τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να γενκευτούν κα γα ομαδκές αφlξες, κάτ που ξεπερνάε τους σκοπούς αυτής της εργασlας. L 44

50 7.2. 1Μ Whitt Το σύστημα που μελετήθηκε σε αυτή την προσέγγση είνα G/G/m με απερόρστο χώρο αναμονής, ανεξάρτητες εξυπηρετήσες από αφίξες, FIFO πεθαρχεα κα λ p=-<j, nμ Η μελέτη αυτή βασίζετα στην παρακάτω πεντάδα βασκών παραμέτρων (λ, c;, μ, c~, m), Σε μα προσττάθεα να μεωθούν ο παράμετρο γα ευκολία στους υπολογσμούς το μ θεωρείτα ίσο με την μονάδα. Γα να γνε αυτό χωρίς να επφέρε κάποα αλλαγή στο σύστημα πρέπε να αλλάξε με την ίδα κλίμακα κα το λ. Αυτά τα δύο μεγέθη όμως συνδέοντα με το ρυθμό συνωστσμού Ρ που δεν μπορεί να αλλάξε χωρίς να αλλάξε εντελώς τη φύση του συστήματος. Έτσ έχοντας σταθερό το Ρ κα μ~l έχουμε λ=ρm. Τελκά το σύστημα χαρακτηρίζετα απ' την τετράδα πλέον (ρ, C;, c}, m). Η προσέγγση αυτή αξοποεί τα αναλυτκά αποτελέσματα που υπάρχουν γα την M/M/m ουρά. Έτσ η προσέγγση έχε μεγαλύτερη ακρβεα κα συνέπεα με αυτά τα αποτελέσματα. J EW J Η βάση της προσέγγσης αυτής ενα τα παρακάτω προσεγγστκά αποτελέσματα: 1) Η προσέγγση βαράς κυκλοφορίας: 2 2 (C;+Ct) Ε W(p,cT,c"m)~ 2 EW(MIMlm) 2) Ο πολύ ακρβείς προσεγγlσες του Κοσμετάτου 4 γα τα συστήματα M/D/m κα D/M/m: ΕW(ΜIDm)=φ,(m,ρ)(C;;C~) EW(MIMlm) (7.2.1) με (ci+c~) φ,(m, ρ)=1 +y(m, ρ)! κα y(n,,ρ )=lnl"0.24,( _ Ρ )(",-1 ) (4+5n1)t- 2 16mp EW( DI Μ1m )~φ2(m, Ρ )EW (Μ Μ1m) EW(DIΜ 11 ) EW(MIMII) (7.2,2) ) 45

51 με φ,(m, p)=1-4y(m,p) Η μόνη τροποποίηση του Whitt στς φόρμουλες συτές είνσ το όνω όρο του 0.24 στο γ. Χωρίς αυτό το γ απερίζετα όταν ρ_ο κα το φ2 γίνετα αρνητκό γα r>0.2s. Εππλέον η φόρμουλα γα την D/M/m είνα λίγο δύσχρηστη λόγω του όρου Ε W (DI Μ II)J που απατεί την εύρεση ρίζας πολύπλοκης εξίσωσης. Χρησμοποώντας όμως την προσέγγση των Kramer κα Lagenbach-Belz: η εξίσωση (7.2.2) απλοποείτα: EW(DIM 1I ) EW(MIMII) ΕW(DIΜlm)=φ,(m,ρ)(C~~C~) EW(MIMlm) (2.3) όπου φ,(π,.ρ)=φ,(m. ρ )eχ-ρ(-2 1 ;;,e) Η μελέτη χωρίζετα σε αυτό το σημείο σε δύο περmώσες c~=c~ κα c~*c~., Cr=C x Αν c~~c~" τότε η προσέγγση βαράς κυκλοφορίας είνα κανοποητκή. Σε! αντίθετη περίπτωση υπερεκτμά το αποτέλεσμα. Αν c~=c~< ο Whitt επέλεξε να συνδυάσε τς προσεγγίσες (7.2.1) κα (7.2.3) δορθώνοντας τς συναρτήσες κανονκοποίησης. Στην εδκή περίπτωαη που c~~c;.~o.s η προσέγγση είνα γραμμκή παρεμβολή των (7.2.1) κα (7.2.3) κα σε δαφορετκή περίπτωση η συνάρτηση κανονκοποίησης είνα ένα μείγμα των αρχκών. Η προσέγγση είνα: 2 2) 2 )(C~+(~) )) Ε W(p,c,C.m "'Ψ(c,m,p 2 Ε W(M Mlm όπου ψ(c 2,m,Ρ)=\φ.(m,'ρ)2_/I :::~} ( ). φ,(m,ρ)+φ,(m,ρ) κα ψ,m,ρ=mn, 2 46

52 c~;i:c~ Το αποτέλεσμα γα αυτήν την περlπτωση εlνα γενlκευση του προηγουμένου, θ ',(C'.+C',) τ ελ ό 'λ. ανtlκα lστωντας το C με Τ Κ αποτε εσμα εναl: Ε W ( p,c ",C,m) ~φ( p,cr,cx,m,, )(C;+C,) ο Ε( W MIMlm) με φ(ρ,c;,c"m)= ("),(" 4 cr-cx Cx cr+cx 4'_3,φl(m'Ρ)+4'_3'Ψ 2,m,p cr Cx c r Cχ ) ( ' ') "" cx-cr ( ) cx+3ct \" Cr+Cx 1 ~φ3m,ρ+ ~ 1Ψ,m,p 2c r +2c x 2cr +2c x 2 ) Ψ(c', m'ρ)=φ.(m~ρ)f(i~") ~~:~) J 1! φ (m. ρ)~ 1+y(m, ρ) φ,(m, ρ)~1-4y(m, ρ) φ,(m,ρ)~φ,(m,ρ)οχρ ( _2 1 ;;'Ρ) ( )_. φl(m,ρ)+φ,(m,ρ) φ4 m,p -mln, 2. (4+5m)~-2 y(m,p)~mln 0.24,(1-p)(m-l) 16mp J Αν c;=c, - φ= Ψ, δηλαδή η γενκή προσέγγση καλύπτε την προηγουμένη. Επlσης το φ γlνετα lσο με φ όταν c,~o κα lσο με φ, όταν c;~o. Δηλαδή συμφωνεl με τς προσεγγlσες γα τς ουρές M/D/m κα D/M/m nθανότητα αναμονής αφκνούμενου πελάτη Η πθανότητα αναμονής Ρ (W > Ο) ενός αφκνούμενου πελάτη δεν εlνα lση στη γενκή περlπτωση με την πθανότητα όλο ο εξυπηρετητές να εlνα κατελημμένο Ρ (Q;. m). Η σότητα σχύε μόνο όταν ο αφlξες έχουν την. P(W>O) Μαρκοβανή δότητα λόγω της δοτητας PASTA. Ο λόγος όμως n' Λ_... ' εlνα ~ \~""""I σχετκά σταθερός σε σχέση με το m. Έτσ χρησμοποώντας την προσέγγση των Kramer κα Lagenbach-Belz γα το Ρ (W > Ο) της G/G/1 κα το γεγονός ότ Ρ (Q;' I)~ Ρ γα αυτήν την ουρά, μπορούμε να προσεγγlσουμε το λόγο αυτό γα μεγαλύτερα m. Έτσ με την παρακάτω προσέγγση μπορεl να βρεθεl προσεγγστκά κα το P(Q;'m). 47

53 _ ~Ir-' _ Η προσέγγση γσ το P(W>O) βσσlζετα πάλ στα αναλυτκά αποτελέσματα γα την M/M/m ουρά. Συγκεκρμένα υπάρχε η Erlang-c φόρμουλα: P(W>O)=P(N"'m)~ (πρ)" (mp)' +Σ (m p )'-' ( ) m!(i-p) m!(i-p) '-0 k! κα μα απλουστευμένηπροσέγγση της: με β=(1-μ) ;. κα Φ(χ) την αθροστκή συνάρτηση πθανότητας της κανονκής κατανομής. Αυτή η προσέγγση εlνα πολύ καλή γα τα M/G/m συστήματα. Γα τα G/M/m όμως πρέπε να τροποποηθεl κατάλληλα το β. Με αντκατάσταση στην _Ά.- ( ) του βο- ', εχουμε: TCr! Γα να χρησμοποηθεlη ( ) μαζl με τα αναλυτκά αποτελέσματα: Μετά από σύγκρση με άλλες προσεγγίσες κα αναλυτκά αποτελέσματα αποφασίστηκε ότ γα να βελτστοποηθεί η ( ) θα έπρεπε να χρησμοποηθεl το κάτω-φράγμα της ( ). Έτσ η προσέγγση γlνετα: r Η προσέγγση αυτή εlνα αρκετά καλή. Όμως γα C}< υποτμά το αποτέλεσμα, όταν το m είνα μεγάλο κα ταυτόχρονα το Ρ μκρό. Έτσ χρησμοποεlτα η προσέγγση κανονκής κατανομής που δουλεύε καλά κάτω από αυτές τς συνθήκες, γα να βελτωθεl η (7.2.25). Η προσέγγση κανονκής κατανομής είνα: Ρ(Ν"'m)~I-Φ(γ) ( ) m-mp-o.5 οπου γ= )mpz κα Ζ=I+(c~-I)μfI-Χ(χ)fdx ( ) ο όπου Χ(χ) εlνα η αθροστκή συνάρτηση πθανότητας του χρόνου εξυπηρέτησης. 48

54 Στην περίπτωση της G/M/m, cr+ 1 Ζ=-2-' Η τελκή προσέγγση γο την G/M/m είνο η ( ) στς περσσότερες περπτώσες. Στς υπόλοπες χρησμοποείτο ένος συνδυασμός των ( ) κα ( ). Δηλαδή: (2.2.5) αν )'~O.5 ή m~6 ή c~~ P(W(GIMlm»O)= c~(2.2.5)+(i-c~){2.2.6) αν m;>7,γ;>1 κα c~<l 2(1- c~)(y-0.5)(2.2.6)+ -2( I-c~)(Υ-0.5)J(2.2.5) αν m~7,c:<1 κα 0.5<)'<1 Γα την περίπτωση της G/G/m ουρός γενκεύετα η παροπόνω προσέγγση στην: Ρ (w (Ρ, c~, c~, m) > Ο )~min( π, } J 1 Π αν y'i;0.5 ή m'i;6 ή c~;> ) με π= Π 2 αν m~7, γ~ κα C~< π, αν m'?-7,c~<1 κα 0.5<)'<1 π=/π,+(l-/)πs Π2=c~πl+(1-C~)Π6 Π,=2 (I-c~)(γ-Ο.5) Π, (l-c~)( γ-0.5)π -Φ(l+c')(I-ρ)Γm/(c'+c')) π.=mίn, 1-~«I-ρ)Γm) τ χ P(W(MIMlm»O) ( -Φ(2(I-ρ);;I(c~+1)) π,=mίn ( 1. I-Φ«I-ρ)~Ί;;) P(W(MIMlm»O) π,=i-φ(γ) m-mp-0.5 γ~ -.Jmpz,, CT+C X Z=-'-~2i'- 1+c x Το Ζ εδώ είνα μα προσέγγση του ( ) γα την G/G/m. Είνα ακρβές γα c~=1 ή c~=l ή c~~o. Το π, είνα η προσέγγση κότω φρόγματος γα την GIM/m, ενώ το π... είνα η τροποποίηση της με το νέο Ζ. ΤΟ π είνα ο συνδυασμός τους κα συνήθως η τελκή τμή της προσέγγσης. Το π, είνα η προσέγγση κανονκής κατανομής. 49

55 Η δακύμανση του W Γα την δακύμανση η μελέτη ξεκνό από τον υπό συνθήκη χρόνο αναμονής D=(WIW>O). EWl Προφανως ED= Ρ(w>Ό) ( ) το οποίο μπορεί να υπολογστεί από τς δύο προηγούμενες προσεγγίσες. Από προηγουμένη μελέτη 38 χρησμοποείτα η εξής προσέγγση γα τον τετραγωνκό συντελεστή μεταβλητότητας του Ο: 3 Εχ 3 με d X - Εχ3, 4(I-p)d~ c D =2p-1+, " ( ) 3(ε., +!Γ Επεδή η τελκή προσέγγση πρέπε να εξαρτόταl από τς ροπές μόνο πρώτης κα δεύτερης τόξης των Τ κα χ, χρησμοποείτα η παρακότω προσέγγση γα το d', Από την σχέση ( ): Επίσης r' _EWf _, W Ε W' c1+l-p(w>0) P(W>O) VarW=EW'c;" ( ) ( ) C Έτσ από τς σχέσες ( ),( ),( ) κα τς προηγούμενες προσεγγίσες μπορεί να υπολογστεί η δακύμανση του W Η κατανομή του W Η κατανομή του W μπορεί να προσεγγστεί από την παρακότω σχέση: με τα a κα n να κανοποούν το όρο: lim e= P(W <x)~α 50

56 Η ασυμπτωτκή αυτή προσέγγση είνα γνωστό ότ σχύε με σημαντκή γενκότητα. Η παράμετρος n μπορεί να υπολογστεί ως η ρίζα της εξίσωσης:,,2:-χ, Ε e '" =1 Μα απλή προσέγγση βαράς κυκλοφορίας βασσμένη στην τετράδα (p,cic~m) είνα: η οποία μπορεί να βελτωθεί σημαντκά αν συμπερληφθούν κα ροπές ανώτερης τάξης των Τ κα Χ Γα την παράμετρο a υπάρχε η προσέγγση: a~newj 7,3, Πθανότητες μόνμης κατάστασης συστήματος G/G/m Αυτή η προσέγγση βασίζετα στα εξής μεγέθη: λ α) Ένταση κυκλοφορίας ρ=μ" β) Συντελεστές δακύμανσης των Τ κα Χ, c; κα C~ αντίστοχα γ) Προσδοκώμενος αρθμός πελατών στο σύστημα, όπως φαίνετα σε τυχαίο παρατηρητή Ε Q,, δ) Προσδοκώμενος αρθμός πελατών σε G/G/1 ουρά με ίση ένταση κυκλοφορίας, όπως φαίνετα σε τυχαίο παρατηρητή EQ, Τα δύο τελευταία μεγέθη δεν είνα άμεσα υπολογίσμα. Παρ' όλα αυτά υπάρχουν αρκετές καλές προσεγγίσες (όπως ο προηγούμενες) γα το EW. Από αυτές τς προσεγγίσες κα τς αναλυτκές σχέσες ΕQ=λΕS, S=W +Χ μπορούν να υπολογστούναυτά τα μεγέθη. Άρα θεωρούντα γνωστά. Ο πθανότητεςπου θα προσεγγστούνείνα' Ορίζοντας ως Ρd την πθανότητα αναμονής (όχ σε στγμή άφξης): Το σύστημα μπορεί να βρίσκετα σε δύο καταστάσες: 1) Όλο ο εξυπηρετητές είνα κατελημμένο με πθανότητα Ρd J 51

57 2) Έστω κα ένας εξυπηρετητής είνα ελεύθερας με πθανότητα 1-Ρd r Από τον νόμο ολκής πθανότητας έχουμε: όπου I,(j) (j~i,i... m-l) κα I,(j) (j~m,m+l... ) είνα ο υπό συνθήκη κατανομές του Νm' Στη μελέτη συτή τα I,(j) κα I,(j) προσεγγίζοντα θεωρωντας το σύστημα Γ GIGlm ως GIG/I στην περίπτωση 1 κα ως GIG/oo στην περίπτωση Περίπτωση 1 Σσν βάση γσ την μελέτη επλέχθηκε η προσέγγση των Shanthikumar κα Buzacott:, EQ,-p με ρ,= EQ, ( GIG/I)~f -ρ 1'~01 Pj (1-')')-' "1 30 Ρ Ρ Ρ,1 'Υ J Έτσ μα προφανής προσέγγση του, είνα: Περίπτωση 2 Γσ την περίπτωση αυτή η ουρά προσεγγίζετα από την GIG/oo κα σξοποήθηκσν τα αποτελέσματα που υπάρχουν γα την MIG/oo. Είνα γνωστό ότ ο πθανότητες μόνμης κατάστασης ενός συστήματος MIG/oo ακολουθούν κατανομή PoIsson με παράμετρο p,~l. Άρα γσ την ΜIGI m ουρά: μ όπου το Κ =e' p, Σ Ρ/ -' είνσ πσράγοντας κσνονκοποίησης που δασφαλίζε ότ J'-O )! η 1,(1') είνα συνάρτηση πθανότητας. Γα γενκές μη,μσρκοβσνές αφίξες θεωρείτσ ότ η πθανότητα οποουδήποτε εξυπηρετητή να είνα κατηλεμμένος σε τυχαία χρονκή στγμή είνσ σνεξάρτητος του αρθμού των πελατων που εξυπηρετούντα' Δηλαδή το σύστημα θεωρείτα ότ 52

58 αποτελείτα από m ανεξάρτητες ροές πελατών, με μέσο ρυθμό αφίξεων λ η μ καθεμία. Προφανώς αυτή η προσέγγση γίνετα πο ακρβής όσο μεγαλώνε το m. Έτσ καταλήγουμε στην προσέγγση:,, J,(j)=K(;) ρ,'( - p,)m- J, j ';;m-i με κ=i-μ:γ' ξανά παράγοντα κανονκοποίησης. Αυτό που μένε είνα να υπολογστεί τοκ Ρd κα το Ρ2 Από την (7.3.1) το προσδοκώμενο μέγεθος της ουράς είνα' 1 J PJp ' EQ",J-mp=-I- η -Ρ γα πολύ μεγάλα m μ2~.1... Αυτό όμως δεν σχύε γα μκρά m, έτσ mμ τροποποείτα.από την (7.3.1) έχουμε: Ρd='EQ"J-mp)(1- μ) Ε Q,,, = Σ j p,=(i-pd)k(mp,-mp:)+p, ~. +m (7.3.2) j-o 1 Ρ Γα γνωστό Ρ d η παραπάνω εξίσωση μπορεί να λυθεί με έναν αλγόρθμο εύρεσης ρζών. Ρ Έτσ η τελκή προσέγγση είνα' =Ρ (1- '). J-"'+(I_P )1' m) i/(i_ρ,)o- } Ρ J d Ρ Ρ d. " '" \) -Ρ2 EQI-P με Ρ EQI ρ, την ρίζα της εξίσωσης (7.3.2) 1 Ρ d ='EQ",-mP)(I-PI) Ρ 53

59 8. ΠΡΟΣΕΓΓΣΗ ΦΑΣΕΩΝ Μα όλλη μέθοδος γα να αντμετωπστούν ο ουρές με γενκευμένες αφlξεlς κα εξυπηρετήσες εlναl να αντκατασταθεl η όγνωστη κατανομή G (εlτε των ενδόμεσων χρόνων αφlξεlς ετε των χρόνων εξυπηρέτησης) με μα κατανομή φόσεων. Όπως έχε επωθεl ήδη κότ τέτοο εlναl εφκτό επεδή ο κατανομές φόσεων εlνol πυκνές στο πεδlο των συναρτήσεων. Πρέπε όμως να βρεθεl κόθε φορό μα κατανομή φόσεων που να έχε την lδ,α ή παρόμοα συμπερφορό με την αρχκή κατανομή γα να μπορέσε να την αντκαταστήσε Γα να θεωρηθεl η κατανομή φόσεων κανή να αντκαταστήσε την όγνωστη G πρέπε να συμφωνούν ο ροπές τους. Ο αρθμός των ροπών που ταυτlζοντol εξαρτότol από τς απατήσες της κόθε συγκεκρμένης μεθόδου όπως θα δούμε κα παρακότω. Η μέθοδος αυτή χρησμοποlεlταl κυρlως όταν εlναl γνωστές μόνο ο δύο ή τρες πρώτες ροπές της κατανομής ή υπόρχουν μόνο κόποα δεδομένα (ως αποτέλεσμα περόματος γα παρόδεγμα). Όμως ακόμα κα όταν η κατανομή εlναl γνωστή η προσέγγση αυτή μπορεl να βοηθήσε στην κατασκευή ενός μοντέλου με πο απλή μαθηματκή μορφή (π.χ. αντκατόσταση της κανονκής κατανομής). Τα πλεονεκτήματα αυτού του εlδους προσεγγlσεων εlναl ότ χρησμοποώντας τς κατανομές φόσεων το σύστημα ουρός μπορεl να αναλυθεl ευρύτερα θεωρητκό καθώς κα να κατασκευαστούν μοντέλα προσομοlωσης γα αυτό. Το κύρο μεονέκτημα αυτής της μεθόδου εlναl ότ δεν δlνεl όμεσα αποτελέσματα όπως γα παρόδεγμα ο προσεγγlσεlς δύο ροπών. Δηλαδή γα να λυθεl το σύστημα ουρός απατούντα εππλέον μέθοδο κα προσεγγlσεlς. Το αντκεlμενο αυτό εlναl πολύ ευρύ κα καταλαμβόνεl μεγόλο μέρος της βlβλlογραφlας που ασχολεlταl με τα συστήματα ουρός. Στόχος των ερευνητών εlναl να βρουν μεθόδους που πληρούν κατό το μέγστο τα παρακότω κρτήρα: 1) Των αρθμό των ροπών που ταυτlζοντol. 2) Την υπολογστκή "ευκολlα" της μεθόδου. Δηλαδή ο εκφρόσες των παραμέτρων της κατανομής φόσεων δlνονταl σε κλεστή μορφή ή ο αλγόρθμος καταλήγε γα παρόδεγμα σε ένα πρόβλημα βελτστοποlησης? 3) Την γενκότητα της μεθόδου. Η κατανομή φόσεων που χρησμοποlεlταl να εlναl αρκετά πυκνή στο πεδίο των συναρτήσεων ώστε να μπορεί να αντκαταστήσε όσο το δυνατόν περσσότερες κατανομές. r 4) Την ελαχlστοποlηση των φόσεων. Όσο λγότερες φόσες έχε η κατανομή στην οποlα καταλήγουμε τόσο μεώνετα ο υπολογστκός χρόνος του αλγορlθμου. Συγκεκρμένα κόθε ερευνητής αρχκό αναζητό μα υποκατηγορlα των κατανομών φόσεων γα να αvτikαταστήσεl την όγνωστη κατανομή. Αυτές ο κατανομές πρέπε να εlναl αρκετά πυκνές ώστε να μπορούν να αντκαταστήσουν όσο το δυνατό περσσότερες κατανομές, ενώ συγχρόνως να έχουν πολύ λγότερες παραμέτρους από την γενκή περlπτωση. Στη συνέχεα κατασκευόζεl έναν αλγόρθμο που να υπολογlζεl αυτές τς παραμέτρους ταυτlζοντας ροπές της όγνωστης κατανομής με ροπές της κατανομής φόσεων. Συνήθως η μέθοδος καταλήγε σε ένα πρόβλημα βελτστοποlησης που χρησμοποεl μεθόδους που ξεφεύγουν από τους σκοπούς αυτής της εργασlας. Γενκή κατεύθυνση εlνol η επλογή κατανομών φόσεων με όσο το δυνατόν λγότερες παραμέτρους κα φόσες, καθώς αυτό συμβόλλεl στην ευκολlα κα την ταχύτητα των υπολογσμών. 54