Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις"

Transcript

1 Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και συμπεράσματα για τη λύση αυτών των προβλημάτων που θα χρειαστούν για την κατανόηση των αριθμητικών μεθόδων που θα χρησιμοποιήσουμε.. Διαφορικές εξισώσεις Διαφορική Εξίσωση (Δ.Ε.) καλούμε μια εξίσωση η οποία συσχετίζει μια άγνωστη παραγωγίσιμη συνάρτηση u με κάποιες από τις παραγώγους της. Αν η u είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής, τότε η διαφορική εξίσωση καλείται Συνήθης Διαφορική Εξίσωση (Σ.Δ.Ε.). Ένα απλό παράδειγμα είναι η εξίσωση u (t) =u(t), t R. (.) Αν η άγνωστη συνάρτηση u είναι δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών, τότε η διαφορική εξίσωση συσχετίζει τη u με κάποιες από τις μερικές παραγώγους της και καλείται Διαφορική Εξίσωση με Μερικές Παραγώγους ή Μερική Διαφορική Εξίσωση (Μ.Δ.Ε). Παραδείγματος χάριν, αν συμβολίσουμε με u xx και u yy τις δεύτερες μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x και y, αντίστοιχα, τότε ένα παράδειγμα Μ.Δ.Ε. είναι η u xx (x, y)+u yy (x, y) =. Κάθε ομαλή συνάρτηση φ που ικανοποιεί μια διαφορική εξίσωση καλείται λύση αυτής της εξίσωσης. Παραδείγματος χάριν, όλες οι συναρτήσεις φ(t) =ce t, όπου c είναι μια αυθαίρετη σταθερά, αποτελούν λύσεις της (.). Επομένως, είναι

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ δυνατόν να υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις οι οποίες μπορούν να ικανοποιούν μια διαφορική εξίσωση. Αν η υψηλότερη σε τάξη παράγωγος, που εμφανίζεται σε μία Σ.Δ.Ε. είναι κ, τότε λέμε ότι η Σ.Δ.Ε. είναι τάξης κ. Αντίστοιχα, μια Μ.Δ.Ε. λέμε ότι είναι τάξης κ, αν η μεγαλύτερη σε τάξη μερική παράγωγος που εμφανίζεται είναι κ. Τη μερική παράγωγο μιας συνάρτησης μπορούμε να τη συμβολίσουμε με τον ακόλουθο τρόπο. Έστω d ένας ακέραιος αριθμός. Τότε, ορίζουμε ως πολυδείκτη α =(α,...,α d ) ένα διάνυσμα του R d, όπου οι συνιστώσες α i είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Το μήκος α του πολυδείκτη α ορίζεται ως α = d i= α i. Για μια συνάρτηση u : R d R, συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους τάξεως α ως προς τις μεταβλητές x,...,x d με D α α u u = x α.... xα d Οι διαφορικές εξισώσεις κατηγοροποιούνται σε γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις. Μια Μ.Δ.Ε. k τάξεως καλείται γραμμική, αν μπορεί να γραφεί στη μορφή a α D α u = f, (.2) α k όπου a α,f είναι κατάλληλα ομαλές συναρτήσεις ανεξάρτητες της u, ορισμένες σε ένα υποσύνολο Ω R d, διαφορετικά καλείται μη γραμμική. Επίσης, αν η f είναι η μηδενική συνάρτηση, τότε η διαφορική εξίσωση (.2) καλείται ομογενής, διαφορετικά καλείται μη ομογενής. Εκτός από τον παραπάνω συμβολισμό της μερικής παραγώγου μιας συνάρτησης, θα χρησιμοποιήσουμε και δείκτες, π.χ. u t = u t, u xx = 2 u x 2, d u xy = 2 u x y. Στα επόμενα κεφάλαια θα θεωρήσουμε Μ.Δ.Ε., το πολύ, δεύτερης τάξεως, όπου η άγνωστη συνάρτηση u είναι δύο μεταβλητών, π.χ. x και y, και περιγράφεται από μια σχέση της μορφής F (x, y, u, u x,u y,u xx,u xy,u yy )=. (.3) Μερικά παραδείγματα Μ.Δ.Ε. είναι τα ακόλουθα, ορισμένα από τα οποία θα δούμε στα επόμενα κεφάλαια:. Η εξίσωση της θερμότητας u t (t, x) αu xx (t, x) =f(t, x), α >. (.4)

3 .. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 2. Η εξίσωση μεταφοράς 3. Η εξίσωση του κύματος 4. Η εξίσωση του Poisson 5. Η εξίσωση του Burgers u t (t, x)+αu x (t, x) =, α R, α. (.5) u tt (t, x) α 2 u xx (t, x) =f(t, x), α >. (.6) 6. H εξίσωση του Korteweg-de Vries (KdV) u xx (x, y)+u yy (x, y) =f(x, y). (.7) u t (t, x)+u(t, x)u x (t, x) =. (.8) u t (t, x)+u(t, x)u x (t, x)+u xxx (t, x) =. (.9) Στα παραπάνω παραδείγματα, οι εξισώσεις του Laplace, κύματος, μεταφοράς και θερμότητας είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις των Burgers και Korteweg-de Vries είναι μη γραμμικές. Στα επόμενα κεφάλαια θα θεωρήσουμε και θα μελετήσουμε αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση γραμμικών Μ.Δ.Ε. Τις γραμμικές Μ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως μπορούμε να τις ταξινομήσουμε με τον ακόλουθο τρόπο, όπου για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι η άγνωστη συνάρτηση u είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών π.χ., x και y. Έστω Ω ένα υποσύνολο του R 2. Τότε, μια γραμμική Μ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως μπορεί να γραφεί στη μορφή a u xx + a 2 u xy + a 22 u yy + a u x + a 2 u y + a u = f, στο Ω R 2, (.) όπου οι a,a 2,a 22,a,a 2,a και f είναι ομαλές συναρτήσεις στο Ω, ανεξάρτητες της u. Με βάση το πρόσημο της ποσότητας D = a 2 2 a a 22, στο σημείο (x,y ) Ω, η(.) καλείται υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική στο (x,y ), αν η D είναι γνήσια θετική, μηδέν ή γνήσια αρνητική στο (x,y ). Η(.) καλείται υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική στο Ω R 2, αν είναι υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική σε κάθε σημείο (x,y ) Ω. Επομένως, η εξίσωση του κύματος (.6) είναι υπερβολική, γιατί η αντίστοιχη ποσότητα D =

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ >, η εξίσωση της θερμότητας (.4) είναι παραβολική, γιατί D = και η εξίσωση του Laplace (.7) είναι ελλειπτική, διότι D = <. Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι οι διαφορικές εξισώσεις μπορεί να έχουν πολλές λύσεις. Παραδείγματος χάριν, αν θεωρήσουμε την εξίσωση του Laplace (.7) με f =, όλες οι συναρτήσεις της μορφής u(x, y) =ax + by + c, με a, b, c R, αποτελούν λύσεις της (.7). Επίσης, όλες οι συναρτήσεις της μορφής u(x, t) =e a2t sin(ax), με a R, αποτελούν λύσεις της εξίσωσης της θερμότητας (.4) με f =. Μια βασική ιδιότητα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι η αρχή της υπέρθεσης ή επαλληλίας, σύμφωνα με την οποία αν έχουμε n λύσεις u,u 2,...,u n, μιας ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, τότε και οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους c u + + c n u n, με c,...,c n R, είναι και αυτός λύση της ίδιας διαφορικής εξίσωσης. Ένας βασικός λόγος του ενδιαφέροντος που υπάρχει για τη μελέτη και την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ότι χρησιμοποιούνται για την περιγραφή διάφορων φυσικών φαινόμενων. Έτσι, μπορούμε να βρούμε την τιμή της θερμοκρασίας μιας μεταλλικής ράβδου, το ύψος ενός κύματος, την ταλάντωση μιας χορδής ή την παραμόρφωση ενός σχοινιού λόγω ενός βάρους που κρεμάμε. Αν θεωρήσουμε ότι κάτω από τις ίδιες συνθήκες ένα φυσικό φαινόμενο πρέπει να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, τότε και η διαφορική εξίσωση που θέλουμε να περιγράφει αυτό το φαινόμενο πρέπει να έχει μοναδική λύση. Για αυτό τον λόγο, επιβάλουμε σε αυτή τη διαφορική εξίσωση βοηθητικές συνθήκες οι οποίες πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να έχει μοναδική λύση. Αναλόγως με το φυσικό φαινόμενο που θέλουμε να περιγράψουμε, αυτές οι βοηθητικές συνθήκες καλούνται είτε συνοριακές συνθήκες είτε αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Συγκεκριμένα, μια αρχική συνθήκη καθορίζει την τιμή της λύσης σε μια καθορισμένη χρονική στιγμή t. Παραδείγματος χάριν, για την εξίσωση της θερμότητας, (.4), μια αρχική συνθήκη είναι u(x, t )=φ(x), για x [a, b]. (.) Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μοναδιάστατο σύρμα από το σημείο x = a έως το σημείο x = b, τότε η λύση u(x, t) της εξίσωσης (.4) περιγράφει την κατανομή της θερμότητας στο σημείο x και στον χρόνο t, και η αρχική συνθήκη (.) περιγράφει

5 .. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 την κατανομή της θερμότητας στο [a, b] στο χρόνο t. Αν τώρα υποθέσουμε ότι μας δίνονται δύο συναρτήσεις g και h, και διατηρήσουμε τη θερμοκρασία u(x, t) ίση με g(t) στο x = a και ίση με h(t) στο x = b, για t t, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε την ακόλουθη συνοριακή συνθήκη για την (.4) u(a, t) =g(t), u(b, t) =h(t), για t t. (.2) Οι συνθήκες (.2) όπου προσδιορίζεται η τιμή της λύσης u στα άκρα του [a, b] καλούνται συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Αν οι τιμές στα άκρα είναι ίσες με μηδέν, τότε οι συνοριακές συνθήκες (.2) καλούνται ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirchlet. Άλλες συνοριακές συνθήκες είναι οι συνοριακές συνθήκες Neumann, οι οποίες περιγράφονται από τις u x (a, t) =g(t), u x (b, t) =h(t), για t t, (.3) όπου g, h είναι γνωστές συναρτήσεις. Παραδείγματος χάριν, αν μονώσουμε τα άκρα x = a και x = b του μονοδιάστατου σύρματος, τότε, επειδή δεν υπάρχει ροή θερμότητας από τα άκρα προς τα έξω, οι συναρτήσεις g και h στην (.3) μηδενίζονται, δηλαδή οι συνοριακές συνθήκες Neumann γίνονται ομογενείς. Υπάρχουν και άλλες συνοριακές συνθήκες, με τις οποίες όμως δεν θα ασχοληθούμε στα επόμενα κεφάλαια, όπως είναι οι συνοριακές συνθήκες Robin, { ux (a, t)+σ u(a, t) =, u x (b, t)+σ 2 u(b, t) =, για t t, με σ,σ 2 (.4) και οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες u(a, t) =u(b, t), u x (a, t) =u x (b, t), για t t. (.5) Για μεθόδους που υλοποιούν αυτές τις συνοριακές συνθήκες (.4), (.5), βλ. π.χ. στο (Ακρίβης & Δουγαλής, 25). Οι διαφορικές εξισώσεις της θερμότητας, της μεταφοράς, του κύματος και του Poisson, (.4) (.7), θεωρούνται θεμελιώδεις εξισώσεις, γιατί η μελέτη τους οδηγεί στην κατανόηση και ανάλυση πολλών άλλων διαφορικών εξισώσεων. Στις επόμενες παραγράφους αυτού του κεφαλαίου θα παρουσιάσουμε ορισμένες ιδιότητες αυτών των διαφορικών εξισώσων και στα επόμενα κεφάλαια θα μελετήσουμε αριθμητικές μεθόδους για την προσέγγιση της λύσης τους. Μια πιο αναλυτική παρουσιάση των διαφορικών εξισώσεων που θα θεωρήσουμε υπάρχει π.χ. στα (Ακρίβης & Αλικάκος, 22 Logan, 24).

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.2 Επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών και αρχικών και συνοριακών τιμών Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε ορισμένες ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων που θα συναντήσουμε, καθώς και των λύσεων τους..2. Πρόβλημα δύο σημείων Θα ασχοληθούμε πρώτα με μια απλή διαφορική εξίσωση σε μία διάσταση, το πρόβλημα δύο σημείων. Έστω u τέτοια, ώστε u (x)+q(x)u(x) =f(x), για x [a, b]. (.6) Είναι γνωστό, βλ. π.χ. (Logan, 24), ότι η γενική λύση u της (.6) προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός δύο γραμμικώς ανεξαρτήτων λύσων της αντίστοιχης ομογενούς, u και u 2, και μιας λύσης u p της μη ομογενούς (.6), u = c u + c 2 u 2 + u p, όπου c,c 2 πραγματικές σταθερές. Αν θεωρήσουμε τώρα ότι η λύση u του (.6) ικανοποιεί, επιπλέον, τις συνθήκες u(a) =a, u (a) =a, (.7) όπου a,a δοσμένες σταθερές, τότε έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, το οποίο έχει μία ακριβώς λύση, σύμφωνα με το ακόλουθο θέωρημα, [βλ. π.χ. (Logan, 24, Chapter 3.4)]. Θεώρημα.. Αν οι συναρτήσεις f,q είναι συνεχείς στο διάστημα [a, b], τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών (.6) (.7) έχει μοναδική λύση στο [a, b]. Αν τώρα, αντί για τις αρχικές συνθήκες (.7), θεωρήσουμε ότι η u ικανοποιεί τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet, u(a) =u(b) =, (.8) τότε δεν είναι σίγουρο ότι υπάρχει μοναδική λύση u του προβλήματος (.6) και (.8), για κάθε συνεχή συνάρτηση f και q. Όμως, μπορούμε να δείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, βλ. π.χ. (Brezis, 997, Κεφάλαιο VIII). Θεώρημα.2. Αν οι συναρτήσεις f,q είναι συνεχείς στο διάστημα [a, b] και q, τότε έχει μοναδική λύση ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται u :[a, b] R, τέτοια ώστε u + qu = f, στο [a, b], με u(a) =u(b) =, (.9)

7 .2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ Η ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ 7 Η υπόθεση ότι q είναι σημαντική για την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του (.9). Αν θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την u πu =, στο [, ], με u() = u() =, (.2) μπορούμε να δούμε ότι οι συναρτήσεις c sin(πx), c R αποτελούν λύσεις του (.2) και επομένως, το πρόβλημα (.2) έχει άπειρες λύσεις. Στη συνέχεια, αν τροποποιήσουμε το (.2) και θεωρήσουμε το πρόβλημα u πu = π, στο [, ], με u() = u() = (.2) από τη θεωρία των Σ.Δ.Ε., βλ. (Logan, 24), έχουμε ότι η γενική λύση αυτής της Δ.Ε. είναι η c sin(πx)+c 2 cos(πx), με c,c 2 R. Όμως για καμία επιλογή των c,c 2 δεν προκύπτει λύση του (.2). Συνεπώς, το (.2) δεν έχει καμμία λύση. Αν τροποποιήσουμε τώρα τις συνοριακές συνθήκες Dirichlet στο πρόβλημα (.9) και θεωρήσουμε το αντίστοιχο πρόβλημα με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Neumann, δηλαδή: Ζητείται, u τέτοια ώστε u + qu = f, στο [a, b], με u (a) =u (b) =, (.22) τότε, όπως και στο Θεώρημα.2 μπορούμε να δείξουμε μοναδικότητα της λύσης αν q, f είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [a, b] και q>. Διαφορετικά, αν π.χ. q = f =, τότε το (.22) γίνεται u =, στο [a, b], με u (a) =u (b) =. (.23) Είναι προφανές ότι όλες οι συναρτήσεις της μορφής u(x) =c, με c R αποτελούν λύση και, άρα, έχουμε άπειρες λύσεις του προβλήματος..2.2 Εξίσωση της θερμότητας Θα θεωρήσουμε τώρα μια απλή παραβολική διαφορική εξίσωση και συγκεκριμένα την εξίσωση της θερμότητας (.4), όπου η χωρική μεταβλητή x ανήκει στο διάστημα [,L], με L > και θα θεωρήσουμε, επιπλέον, αρχικές και ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Έτσι, έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται u :[,L] [, + ) R, τέτοια ώστε u t = u xx, στο [,L] [, + ) (.24) u(,t)=u(l, t) =, για t, (.25) u(x, ) = g(x), στο [,L], (.26) με g μια συνεχή συνάρτηση.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένας τρόπος για να λύσουμε την (.24) είναι να υποθέσουμε ότι u(x, t) = X(x)T (t), δηλαδή να θεωρήσουμε τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, βλ. π.χ. (Logan, 24), οι συναρτήσεις u n, με u n = X n T n, n =, 2,..., όπου u n = X n T n, με X n (x) =c sin (λ n x), και T n (t) =de λ2 n t με λ n = nπ L,c,d R, (.27) ικανοποιούν την εξίσωση (.24) και τις συνοριακές συνθήκες (.25). Λόγω της αρχής της υπέρθεσης, κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων της μορφής (.27) ικανοποιεί τις (.24)-(.25). Επομένως, αν θεωρήσουμε μια άπειρη σειρά συναρτήσεων της μορφής u(x, t) = c n e λ2nt sin(λ n x), με c n R, (.28) n= η οποία συγκλίνει για κάθε σημείο x [,L] και t, τότε αποτελεί και λύση του προβλήματος (.24)-(.25). Μια λύση u της μορφής (.28) θα ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη (.26), μόνο αν u(x, ) = c n sin(λ n x)=g(x), με c n R. (.29) n= Ένα ανάπτυγμα της μορφής (.29) καλείται σειρά Fourier ημιτόνων της g, βλ. π.χ. την Παράγραφο.3. Είναι γνωστό ότι το προβλήμα (.24)-(.26) έχει μοναδική λύση, βλ. π.χ. (Logan, 24). Θεώρημα.3. Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,L], τότε υπάρχει μοναδική λύση u του προβλήματος (.24) (.26). Έστω τώρα ότι γνωρίζουμε το ανάπτυγμα στη μορφή (.29) της συνάρτησης g(x), της αρχικής συνθήκης (.26), δηλαδή είναι γνωστές οι σταθερές c n, n =, 2,..., στην (.29). Τότε, η λύση u του προβλήματος (.24) (.26) δίνεται από την (.28), με σταθερές c n αυτές της (.29). Παρόμοια αποτελέσματα ισχύουν αν αντί για τις συνοριακές συνθήκες Dirichlet (.25), θεωρήσουμε ομογενείς συνοριακές συνθήκες Neumann, δηλαδή αν αναζητήσουμε u, τέτοια ώστε u t = u xx, στο [,L] [, + ) (.3) u x (,t)=u x (L, t) =, για t, (.3) u(x, ) = g(x), στο [,L], (.32)

9 .2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ Η ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ 9 τότε οι συναρτήσεις u n (x, t) =e λ2nt cos(λ n x), λ n = nπ,n=,, 2,..., L ικανοποιούν τις (.3) (.3). Έστω τώρα ότι υπάρχουν σταθερές c n R, τέτοιες ώστε u(x, ) = g(x) = c n cos(λ n x), (.33) όπου η σειρά συγκλίνει για κάθε x [,L]. Αν επιπλέον για κάθε x [,L] και t η σειρά n= c ne λ2 n t cos(λ n x) συγκλίνει, τότε η u(x, t) = n= c n e λ2nt cos(λ n x), με c n R, (.34) n= είναι η μοναδική λύση του προβλήματος αρχικών και συνοριακών τιμών (.3) (.32). Από τη μορφή της λύσης (.28)ή(.34), μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η u φθίνει κατά απόλυτη τιμή, καθώς το t τείνει στο άπειρο. Παράδειγμα.. Αν u(x, t) =e 4π2t sin(2πx), τότε εύκολα βλέπουμε ότι η u είναι λύση του προβλήματος (.24) (.26), με L =και g(x) =sin(2πx). Στο Σχήμα. απεικονίζεται η u στο [, ] [,T], με T =.5..5 u(x, t) t.5 x Σχήμα.: Η ακριβής λύση u του Παραδείγματος..

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.2.3 Εξίσωση μεταφοράς Θα θεωρήσουμε τώρα μια απλή μερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, την εξίσωση μεταφοράς και το αντίστοιχο πρόβλημα αρχικών τιμών: Ζητείται μια συνάρτηση u C (R [,T]), T>, τέτοια ώστε u t (x, t)+αu x (x, t) =, x R, t [,T], (.35) u(x, ) = g(x), x R, (.36) όπου α R και g μια δοσμένη συνάρτηση. Αν θεωρήσουμε την ακόλουθη αλλαγή μεταβλητών x = αr + s, t = r, τότε εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αν η u είναι λύση του (.35), τότε u r = x u r x + t u r t = αu x + u t =. Επομένως, αν θεωρήσουμε ότι z(s, r) :=u(x αt, t), έχουμε z =, δηλαδή η z δεν εξαρτάται από το r και είναι σταθερή ως προς r. r Συνεπώς, η u πάνω σε όλες τις ευθείες x αt = c, με c σταθερά, δεν μεταβάλλει την τιμή της και, έτσι, u(x, t) =z(s, r) =z(s, ) = u(x αt, ) = g(x αt). Λόγω αυτού του γεγονότος, οι ευθείες x αt = c καλούνται χαρακτηριστικές για τη διαφορική εξίσωση (.35), βλ. Σχήμα.2. t t α< α> x x Σχήμα.2: Οι χαρακτηριστικές ευθείες x αt = c πάνω στις οποίες είναι σταθερή η λύση u της διαφορικής εξίσωσης (.35). Παράδειγμα.2. Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα (.35) και ότι η λύση u για t = δίνεται από τη συνάρτηση { αν x g(x) = διαφορετικά.

11 .2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ Η ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Τότε η λύση είναι ή ισοδύναμμα u(x, t) = u(x, t) = { αν x αt διαφορετικά, { αν αt x +αt διαφορετικά, g(x) u(x, 3) α> x α< u(x, 3) x x Σχήμα.3: Η αρχική συνθήκη g και η ακριβής λύση u του Παραδείγματος.2 στην περίπτωση που α> ή α<. Παρατηρούμε ότι για να προσδιορίσουμε με μοναδικό τρόπο τη λύση της διαφορικής εξίσωσης (.35), αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική συνθήκη u(x, ) = g(x). Επίσης, αν α >, μπορούμε να διατυπώσουμε το πρόβλημα (.35) ως πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών ως εξής: Ζητείται μια συνάρτηση u C ([a, b] [,T]), a<b, T>, τέτοια ώστε u t (x, t)+αu x (x, t) =, x [a, b], t [,T], u(x, ) = g(x), x [a, b], u(a, t) =φ (t), t [a, b], (.37) όπου φ (t) =g(a αt). Συνεπώς, σε αντίθεση με τα προβλήματα που είδαμε στις Παραγράφους.2. και.2.2, αρκεί μια συνοριακή συνθήκη για το σημείο x = a για να προσδιορίσουμε μοναδικά τη λύση του προβλήματος (.37). Όμως, στην περίπτωση τώρα που α<, οι χαρακτηριστικές θα έχουν διαφορετική κατεύθυνση

12 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ και διατυπώνουμε το πρόβλημα (.35) ως πρόβλημα συνοριακών τιμών ως εξής: Ζητείται μια συνάρτηση u C ([a, b] [,T]), a<b, T>, τέτοια ώστε u t (x, t)+αu x (x, t) =, u(x, ) = g(x), u(b, t) =φ (t), x [a, b], t [,T], x [a, b], t [a, b], (.38) όπου φ (t) =g(a αt). Και σε αυτή την περίπτωση αρκεί μια συνοριακή συνθήκη για x = b για να προσδιορίσουμε μοναδικά τη λύση του προβλήματος (.38). Είναι προφανές ότι η λύση u του προβλήματος (.35) διατηρεί τη μορφή της αρχικής συνάρτησης, καθώς ο χρόνος t αυξάνει και ιδιαίτερα η μέγιστη κατά απόλυτο τιμή παραμένει σταθερή. Στο Σχήμα.3 βλέπουμε τη λύση του Παραδείγματος.2, για t =3, αν η σταθερά α είναι θετική ή αρνητική..2.4 Εξίσωση κύματος Θα θεωρήσουμε τώρα μια απλή υπερβολική διαφορική εξίσωση και συγκεκριμένα την εξίσωση του κύματος (.6), όπου η χωρική μεταβλητή x ανήκει στο διάστημα [,L], με L> και θα θεωρήσουμε, επιπλέον, αρχικές και ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Έτσι, έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται u :[,L] [, + ) R, τέτοια ώστε u tt = α 2 u xx, στο [,L] [, + ) (.39) u(,t)=u(l, t) =, για t, (.4) u(x, ) = g(x), και u t (x, ) = g (x), στο [,L], (.4) με α> και g, g συνεχείς συναρτήσεις. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, βλ. π.χ. (Logan, 24), οι συναρτήσεις u n, με u n = X n T n, n =, 2,..., όπου u n = X n T n, (.42) X n (x) =c sin (λ n x), και (.43) T n (t) =d sin(λ n αt)+d 2 cos(λ n αt) με λ n = nπ L,c,d,d 2 R, (.44) ικανοποιούν την εξίσωση (.39) και τις συνοριακές συνθήκες (.4). Λόγω της αρχής της υπέρθεσης, κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων της μορφής (.42) ικανοποιεί τις (.39)-(.4). Επομένως, αν θεωρήσουμε μια άπειρη σειρά συναρτήσεων της μορφής u(x, t) = sin(λ n x)(c n sin(λ n αt)+d n cos(λ n αt)), με c n,d n R, (.45) n=

13 .2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ Η ΚΑΙ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ 3 η οποία συγκλίνει για κάθε x [,L] και t, τότε αυτή αποτελεί και λύση του προβλήματος (.39)-(.4). Μια λύση u της μορφής (.45) θα ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη (.4), αν u(x, ) = d n sin(λ n x)=g(x), με d n R, (.46) u t (x, ) = n= c n λ n α sin(λ n x)=g (x), με c n R. (.47) n= Ένας διαφορετικός τρόπος για την περιγραφή της λύσης του προβλήματος (.39) (.4) είναι η αναπαράσταση d Alembert της λύσης, η οποία οδηγεί στην u(x, t) =Φ(x αt)+ψ(x + αt), (.48) όπου Φ, Ψ είναι συνεχείς συναρτήσεις που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες (.4). Μάλιστα, εύκολα μπορούμε να δούμε ότι στην περίπτωση που στην αρχική συνθήκη (.4) η συνάρτηση g μηδενίζεται στο [,L], τότε η ακριβής λύση u του προβλήματος (.39) (.4) δίνεται από u(x, t) = (g(x αt)+g(x αt)). (.49) 2 Παράδειγμα.3. Αν u(x, t) =sin(2πx)(sin(2πt)+cos(2πt)), τότε εύκολα βλέπουμε ότι η u είναι λύση του προβλήματος (.24) (.26), με L = α =, g(x) = sin(2πx) και g (x) =2π sin(2πx). Στο Σχήμα.4, απεικονίζεται η u στο [, ] [,T], με T =..2.5 Ελλειπτική εξίσωση Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται μια συνάρτηση u : Ω = (, ) (, ) R, τέτοια ώστε (u xx (x, y)+u yy (x, y)) + q(x, y)u(x, y) =f(x, y), (x, y) Ω, u(x, y) =g(x, y), (x, y) Ω, (.5) όπου Ω είναι το σύνορο του Ω, q, f C(Ω), g C( Ω) και q(x, y), για κάθε (x, y) Ω. Στη συνέχεια, θα συμβολίζουμε με q min = min (x,y) Ω q(x, y) και Ω =[, ] [, ]. Η υπόθεση q είναι σημαντική για την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος (.5). Παραδείγματος χάριν, αν θεωρήσουμε την (u xx (x, y)+u yy (x, y)) 2π 2 u(x, y) =, (x, y) Ω, u(x, y) =g(x, y), (x, y) Ω, (.5)

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 u(x, t) 2.5 t.5 x Σχήμα.4: Η ακριβής λύση u του Παραδείγματος.3. τότε οι συναρτήσεις u(x, y) =c sin(πx) sin(πy), c R, αποτελούν λύσεις και, επομένως, το πρόβλημα (.5) έχει άπειρες λύσεις. Για τη διαφορική εξίσωση (.5) ισχύει η αρχή του μεγίστου, η οποία δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα, βλ. π.χ. (Larsson & Thomée, 29). Θεώρημα.4. Έστω ότι η λύση u του (.5) είναι τέτοια, ώστε u C 2 ( Ω). Τότε. Αν f(x, y), για κάθε(x, y) Ω, έχουμε ότι max g(x, y), αν q, (x,y) Ω max u(x, y) (x,y) Ω max{ max g(x, y), }, αν q. (.52) (x,y) Ω 2. Αν f(x, y), για κάθε(x, y) Ω, έχουμε ότι min g(x, y), αν q, (x,y) Ω min u(x, y) (x,y) Ω min{ min g(x, y), }, αν q. (.53) (x,y) Ω

15 .3. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 5 Παράδειγμα.4. Αν u(x, t) =sin(πx) sin(πy), τότε εύκολα βλέπουμε ότι η u είναι λύση του προβλήματος (.5), με g =, q = και f(x, y) = (2π 2 + ) sin(πx) sin(πy). Στο Σχήμα.5, απεικονίζεται η u στο [, ] [, ] Σχήμα.5: Η ακριβής λύση u του Παραδείγματος.4..3 Σειρές Fourier Όπως είδαμε στις προηγούμενες παραγράφους, μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη λύση ορισμένων διαφορικών εξισώσεων, όπως π.χ. την εξίσωση της θερμότητας, χρησιμοποιώντας συγκλίνουσες σειρές τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Μια κατηγορία τριγωνομετρικών σειρών συναρτήσεων είναι οι σειρές Fourier, τις οποίες θα παρουσιάσουμε εν συντομία σε αυτή την παράγραφο. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολυώνυμα για να προσεγγίσουμε μία αρκετά ομαλή συνάρτηση f κοντά σε ένα δοσμένο σημείο του πεδιού ορισμού της, π.χ. αν f είναι μια n +φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση κοντά στο x, τότε f(x) n (x x ) k f (k) (x ), για x x. k! k= Ένας άλλος τρόπος για την προσέγγιση μιας συνάρτησης f είναι η χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων με το ανάπτυγμα σε σειρές Fourier της f. Σε αυτή την περίπτωση αντί να χρησιμοποιήσουμε πολυώνυμα, δηλαδή δυνάμεις του x ως

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ βασικές συναρτήσεις, χρησιμοποιούμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις π.χ., sin(kx) και cos(kx), για k =,, 2,... Ορισμός.. Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier μιας συνάρτησης f με περίοδο 2L, L>, δίνεται ως όπου a 2 + [ ak cos( kπx L )+b k sin( kπx L )], (.54) a = L a k = L b k = L k= L L L L L L f(x) dx, f(x) cos( kπx ) dx, k =, 2,..., L f(x) sin( kπx ) dx, k =, 2,... L Παράδειγμα.5. Αν θέλουμε να βρούμε το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης f, με περίοδο 2, η οποία στο [, ] ορίζεται ως f(x) = x, τότε για k =, 2,...,έχουμε και a k = = = x cos(kπx) dx = [ x sin(kπx) kπ [ + x sin(kπx) kπ [ cos(kπx) (kπ) 2 =2 ( )k (kπ) 2 ] ] ] + + ( x) cos(kπx) dx + sin(kπx) kπ sin(kπx) kπ [ cos(kπx) (kπ) 2 dx ] dx x cos(kπx) dx b k = = x sin(kπx) dx = [ x cos(kπx) kπ ] ( x) sin(kπx) dx + cos(kπx) dx kπ x sin(kπx) dx

17 .3. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 7 Ακόμα [ + x cos(kπx) kπ = ( )k kπ ] [ sin(kπx) (kπ) 2 + ] a = cos(kπx) kπ + ( )k kπ + dx x dx =. [ sin(kπx) Επομένως, το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της f είναι ( )k (kπ) 2 k= (kπ) 2 cos(kπx). ] =. Αν θεωρήσουμε τα πεπερασμένα αθροίσματα, S n (x), αυτής της σειράς, S n (x) = 2 + n k= 2 ( )k (kπ) 2 cos(kπx), μπορούμε να δούμε ότι, καθώς αυξάνει το n, το γράφημα τους πλησιάζει αυτό της f, όπως φαίνεται και από το Σχήμα.6. Ενα προφανές ερώτημα που προκύπτει είναι αν η f(x) είναι ίση με την αντίστοιχη τιμή του ανάπτυγματος Fourier της f(x). Μια απάντηση σε αυτό δίνεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα.5. Εστω ότι μια συνάρτηση f :[ L, L] R και η παράγωγος της f, είναι φραγμένες και συνεχείς παντού στο [ L, L], εκτός, ίσως, από ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων. Τότε f(x) = a 2 + a n cos( kπx L )+b n sin( kπx L ), n= σε όλα τα σημεία συνέχειας της f. Μια βασική ιδιότητα που έχουν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αναπτύγματος (.54) είναι ότι είναι ορθογώνιες μεταξύ τους, αν τις ολοκληρώσουμε στο διάστημα [ L, L], δηλαδή L L cos( kπx L ) cos(nπx L ) dx = { L, αν k = n,, διαφορετικά, (.55)

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.9 f (x) = x.9 S S 3.9 S Σχήμα.6: Η συνάρτηση f(x) = x και τα πεπερασμένα αθροίσματα S n (x) της σειράς Fourier με n =, 3, και 5. L L L L { sin( kπx L ) sin(nπx L ) dx = L, αν k = n,, διαφορετικά, (.56) cos( kπx L ) sin(nπx ) dx = για κάθε k, n. (.57) L Επίσης, μπορούμε να δούμε και ότι αν η συνάρτηση f είναι άρτια στο [ L, L], δηλ. f( x) =f(x), τότε επειδή η f(x) sin( kπx L ) είναι περιττή στο [ L, L], οι συντελεστές b k στην (.54) θα μηδενίζονται. Επομένως, το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier μιας άρτιας συνάρτησης έχει μόνο όρους συνημιτόνων, δηλαδή είναι της μορφής f(x) = a 2 + a k cos(kπx), και μάλιστα a k = 2 L L k= f(x) cos( kπx ) dx, k =,,... (.58) L

19 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 9 Ομοια για μια περιοδική περιττή συνάρτηση f μπορούμε να δούμε ότι a k =, k =,,... Επομένως, το ανάπτυγμά της σε σειρά Fourier έχει μόνο όρους ημιτόνων, δηλαδή είναι της μορφής f(x) = b k sin( kπx ), (.59) L με L k= b k = 2 f(x) sin( kπx ) dx, k =, 2,... (.6) L L Εστω τώρα ότι έχουμε μια συνεχή συνάρτηση f στο [,L]. Hf μπορεί να επεκταθεί στο [ L, L] ως άρτια ή ως περιττή συνάρτηση. Επομένως, το ανάπτυγμα της f σε σειρά Fourier μπορεί να γραφεί είτε ως σειρά συνημιτόνων είτε ως σειρά ημιτόνων, αντίστοιχα. Παράδειγμα.6. Εστω f(x) =sin(x), x [,π]. Μπορούμε να επεκτείνουμε την f στο [ π, ] ως μια άρτια συνάρτηση. Έτσι { sin(x), x [ π, ], f(x) = sin(x), x [,π]. Συνεπώς, η f(x) μπορεί να γραφεί ως σειρά συνημιτόνων και, υπολογίζοντας τους αντίστοιχους συντελεστές a k της (.58), έχουμε f(x) = 2 π 4 π 2k 2 cos(2kx). Βιβλιογραφία k= Ακρίβης, Γ., & Αλικάκος, Ν. (22). Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Σύγχρονη Εκδοτική, Αθήνα. Ακρίβης, Γ., & Δουγαλής, Β. (25). Αριθμητικές Μέθοδοι για Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Ιωάννινα. (Πανεπιστημιακές Σημειώσεις). Brezis, H. (997). Συναρτησιακή Ανάλυση: Θεωρία και Εφαρμογές. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα. (Ελληνική μετάφραση από τους Δ. Κραββαρίτη και Ι. Χρυσοβέργη). Larsson, S., & Thomée, V. (29). Partial differential equations with numerical methods (Vol. 45). Springer-Verlag, Berlin. (Paperback reprint of the 23 edition). Logan, D. J. (24). Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις. Liberal Books, Αθήνα. (Ελληνική μετάφραση από τον Ι. Πλατή).

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Κεφάλαιο 5 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή παραβολική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο. Θα κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6)

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6) 15 Απριλίου 2011 (ΔΕΜΠ) Πολλά σημαντικά επιστημονικά προβλήματα στο χώρο της φυσικής περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ). Συνήθως το φυσικό φαινόμενο που μελετάμε παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια τεχνική για την κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων μερικών και ολοκληρωτικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου. Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.. Έστω 0 < a

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους

Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Π Δ Μ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 23 Μαΐου 216 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις

Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις Κεφάλαιο 10 Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για τη διακριτοποίηση μιας διαφορικής εξίσωσης στις πολλές διαστάσεις. Πιο

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων 05-10-1 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ( μον.) ii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) , Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα