Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation

Transcript

1 Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το βασικό µοντέλο LSC Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη ΜΕΤ Με διαστάσεις - L: nx1, A: nxu, X: ux1, V: nx1, όπου n: #παρατηρήσεων, u: #αγνώστων παραµέτρων Μπορεί να εκφραστεί ως ακολουθώντας το συµβολισµό της Μεθόδου Σηµειακής Προσαρµογής (ΜΣΠ), όπου x συµβολίζει το διάνυσµα των παρατηρήσεων, και n το θόρυβο τους (x και n έχουν διαστάσεις nx1) Η ΜΣΠ, συµπεριλαµβάνοντας µια νέα ποσότητα s (το λεγόµενο σήµα) που επεκτείνει το προηγούµενο µοντέλο στη µορφή

2 Το βασικό µοντέλο LSC Η ποσότητα s θα µπορούσε να ερµηνευθεί ότι εκφράζει τις ατέλειες του µαθηµατικού µοντέλου µε το οποίο επιχειρείται να περιγράφουν πλήρως ή ακριβώς οι σχέσεις µεταξύ των µετρήσεων x και των αγνώστων παραµέτρων Χ του φυσικού µοντέλου κάτι σαν µια πρόσθετη διόρθωση s στις παρατηρήσεις. Ωστόσο, κάτι τέτοιο δεν φαίνεται να ήταν η επιδίωξη στην αρχική διατύπωση της ΜΣΠ Το βασικό µοντέλο LSC Η µέτρηση έχει δύο άγνωστες συνιστώσες - το σήµα s και το θόρυβο n Σήµα (signal) Τι παρατηρούµε Θόρυβος (noise) o θόρυβος σχετίζεται µε τα σφάλµατα της µετρητικής διάταξης το σήµα, σχετίζεται µε τη συµπεριφορά του παρατηρούµενου µεγέθους σε ένα συγκεκριµένο περιβάλλον µετρήσεων, όπως Οι αποκλίσεις της κατακορύφου στο πεδίο βαρύτητας Η αλλοίωση στην απόσταση που διασχίζει ένα δορυφορικό ραδιοσήµα µέσα από τη «µολυσµένη» ατµόσφαιρα ή τα ηλεκτρόνια της ιονόσφαιρας

3 x µετρήσεις εντοπισµού του δορυφόρου (π.χ. από επίγειους σταθµούς λέιζερ) s διαταραχές της κανονικής τροχιάς εξ αιτίας του γήινου πεδίου βαρύτητας n Θόρυβος των µετρήσεων ΑX µοντέλο της κανονικής τροχιάς του δορυφόρου (π.χ. Κεπλέρια έλλειψη) Static GNSS surveying Baseline > 30km Horizontal: 2.5mm+0.5ppm RMS Vertical: 5mm+0.5ppm RMS Baseline > 30km Horizontal: 4mm+0.5ppm RMS Vertical: 9mm + 0.5ppm RMS Το τυπικό επίπεδο θορύβου στις µετρήσεις του οργάνου Μέτρο της συµπεριφοράς της παρατηρούµενης απόστασης µεταξύ σηµείων εξ αιτίας της διαφοροποίησης της ατµόσφαιρας κατά µήκος της διαδροµής των ραδιοσηµάτων GPS (ή των οπτικών ακτινών στις µετρήσεις π.χ. µε total stations)

4 g x - Ένδειξη βαρυτήµετρου s Ανωµαλία βαρύτητας n Θόρυβος των µετρήσεων X Παράµετροι του κανονικού πεδίου βαρύτητας + άλλες συστηµατικές επιδράσεις στις µετρήσεις (π.χ. ολίσθηση βαρυτήµετρου) Αx+s Αx Μετρήσεις βαρύτητας s Όλες οι ποσότητες που αφορούν το πεδίο βαρύτητας της Γης (αποκλίσεις της κατακορύφου, υψόµετρα του γεωειδούς, ανωµαλίες βαρύτητας) σχετίζονται µεταξύ τους...

5 Στο βασικό της ΜΣΠ Συνήθως εισάγεται ο συµβολισµός Όπου η ποσότητα Ζ εκφράζει το τυχαίο σφάλµα των παρατηρήσεων, µετά την αφαίρεση του συστηµατικού µέρους ΑΧ Ο συµβολισµός s χρησιµοποιείται για να δηλώσει το σήµα στα σηµεία των µετρήσεων Όπου χρησιµοποιείται ο συµβολισµός s υπονοείται ότι ο υπολογισµός του σήµατος γίνεται σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος (χωρίς απαραίτητα εκεί να έχουν γίνει σε αυτά µετρήσεις) Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων στο βασικό µοντέλο της ΜΣΠ ; Διαστάσεων 1x(p+n) (1xp) (1xn) Βάσει του γνωστού ελαχιστοτετραγωνικού κριτηρίου βελτιστοποίησης της ΜΕΤ, όπου το διάνυσµα των υπολοίπων των µετρήσεων αποτελείται από το σήµα s στα σηµεία ενδιαφέροντος και από την τυχαία συνιστώσα της εκάστοτε µέτρησης και o πίνακας βαρών Ρ αποτελείται από υποπίνακες που εκφράζουν τις συµµεταβλητότητες για τα σήµατα s, τις παρατηρήσεις x και τις µεταξύ τους συνδιακυµάνσεις

6 εδοµένου ότι στο γενικό µοντέλο της ΜΣΠ κάθε παρατήρηση x έχει δύο τυχαίες συνιστώσες Το σήµα s και το θόρυβο n Ο πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας C xx υπολογίζεται ως και υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ σήµατος και θορύβου Αντίστοιχα υπολογίζονται οι πίνακες συµµεταβλητότητας C sx και C sx Οι οποίοι παρατηρείται ότι είναι απλά πίνακες µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας µεταξύ των σηµάτων s και s, στα σηµεία των µετρήσεων και τα άλλα σηµεία ενδιαφέροντος

7 Από το ελαχιστοτετραγωνικού κριτηρίου βελτιστοποίησης της ΜΕΤ µαζί µε τη δεσµευτική εξίσωση όπου Προκύπτει η αντίστοιχη εξίσωση για τον υπολογισµό των σηµάτων s σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος Οι κανονικές εξισώσεις προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης όπου W υπολογίζεται από κάποιες παρατηρήσιµες (W = AX - x) ή προσεγγιστικές τιµές (W = AX 0 - x) των παραµέτρων, και η εκτίµηση του διανύσµατος των αγνώστων δίνεται ως, όπου και τελικά

8 Ο πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας C = C XX για τα σήµατα στα σηµεία παρατήρησης, ο πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας D για το θόρυβο των µετρήσεων και ο πίνακας βαρών Ρ Χ συµπεριλαµβάνονται ως τρεις ξεχωριστοί τύποι πληροφοριών Στην περίπτωση που δεν έχουµε a priori γνώση των παραµέτρων Ρ Χ = 0 και W = -x ή W = AX 0 x, ανάλογα µε το αν επιθυµούµε να επιλύσουµε ως προς τις ίδιες τις παραµέτρους ή τις διορθώσεις ως προς κάποιες προσεγγιστικές τιµές τους Αντίστοιχα, ο πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας των παραµέτρων δίνεται ως και στην περίπτωση που Ρ Χ = 0 = 0, προκύπτει ο πίνακας µεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας των παραµέτρων που προβλέπεται από τη ΜΣΠ

9 Πρόβλεψη του σήµατος s σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων Στο µοντέλο της ΜΕΤ, η εκτίµηση των υπολοίπων των µετρήσεων και ο αντίστοιχος πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας τους δίνεται από τις σχέσεις Πρόβλεψη του σήµατος s σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων Στο ΜΣΠ, το σήµα s σε σηµεία ενδιαφέροντος διαφορετικά από σηµεία όπου έχουν γίνει µετρήσεις είναι σαν µια συνορθωµένη µέτρηση := µηδενική µέτρηση + το υπόλοιπο της εξισώνοντας το δεξί µέλος µε το αντίστοιχο από την προηγούµενη αντίστοιχη σχέση από τη ΜΕΤ και αποµονώνοντας τον υποπίνακα C s προκύπτει

10 Υπολογιστικός φόρτος εφαρµογής της ΜΣΠ Ο υπολογισµός των αγνώστων παραµέτρων, απαιτεί δύο αντιστροφές πινάκων που εµπεριέχονται στην έκφραση και οι δύο προς αντιστροφή πίνακες είναι πλήρεις µε τις nxn υποφαινόµενες διαστάσεις uxu Σε πολλές εφαρµογές, µπορεί να έχουν ειδική µορφή και να αντιστρέφονται µε αποδοτικό τρόπο Για τον υπολογισµό του σήµατος s στα σηµεία των µετρήσεων, καθώς και του σήµατος s σε σηµεία ενδιαφέροντος διαφορετικά από σηµεία όπου έχουν γίνει µετρήσεις ΕΝ ΑΠΑΙΤΟΥΝΤΑΙ επιπλέον αντιστροφές πινάκων Εναλλακτικός τρόπος εξαγωγής των εξισώσεων της ΜΣΠ Ξεκινώντας από ένα µη-γραµµικό µοντέλο της µορφής που µετά τη γραµµικοποίηση του είναι της µορφής Όπου * υποδηλώνει υπερπίνακα ή υπερδιάνυσµα Στον υπολογισµό των στοιχείων του W σηµειώστε την απουσία συµµετοχής των σηµάτων s και s εξήγηση?

11 Με αντίστοιχους a priori πίνακες βαρών για τις παραµέτρους, τα σήµατα s, s και τις παρατηρήσεις Τα σήµατα s και s έχουν εκ της φύσεως τους φυσική συσχέτιση Οι παράµετροι Χ, όπως και οι παρατηρήσεις L, θεωρούνται ότι δεν σχετίζονται στατιστικά µε τα σήµατα s και s Για να σχηµατιστούν και να επιλυθούν οι κανονικές εξισώσεις απαιτείται να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση Όπου οι δύο πρώτοι όροι είναι οι νόρµες (δηλ. το άθροισµα των τετραγώνων που ελαχιστοποιείται) που αφορούν αντίστοιχα τις παραµέτρους, και τα σήµατα s και s, ενώ η ελαχιστοποίηση της νόρµας για τις διορθώσεις των παρατηρήσεων υπεισέρχεται µέσω του τρίτου όρου και έµµεσα µέσω του υπερδιανύσµατος V* στην δεσµευτική συνθήκη που εκφράζει ο τέταρτος όρος. ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ, ο συγκεκριµένος φορµαλισµός ανάγει τη ΜΣΠ στο κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ µε τη χρήση παραµέτρων µε βάρη.

12 Εφαρµόζοντας την αντίστοιχη σχέση του κλασσικού µοντέλου της ΜΕΤ για την εκτίµηση των παραµέτρων προκύπτει Όπου για ευκολία µένει να δούµε τη συγκεκριµένη µορφή του πίνακα (Β* Ρ* -1 Β* Τ ) C ss C sx Η εκτίµηση του διανύσµατος των αγνώστων παραµέτρων προκύπτει τελικά ως η ακολουθώντας το συµβολισµό της ΜΣΠ

13 C ss C sx Η εκτίµηση (πρόβλεψη) του διανύσµατος των σηµάτων σε σηµεία διαφορετικά από τα σηµεία των µετρήσεων η εκτίµηση σηµάτων στα σηµεία των µετρήσεων... και οι διορθώσεις των παρατηρήσεων στα σηµεία των µετρήσεων... καθώς επίσης και η συνδυασµένη ποσότητα σήµα + θόρυβος στα ίδια σηµεία...

14 Πίνακας µεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας C X Ξεκινώντας από τον αντίστοιχο πίνακα από το κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ και αντικαθιστώντας και τελικά επειδή Βασικές εξισώσεις για τον a posteriori υπολογισµό των διαφόρων πινάκων συνδιακύµανσης

15 Βασικές εξισώσεις για τον a posteriori υπολογισµό των διαφόρων πινάκων συνδιακύµανσης Από τα στοιχεία στις θέσεις (1,1) στις προηγούµενες εξισώσεις προκύπτει ο a posteriori πίνακας για τα σήµατα σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος, διαφορετικών από τα σηµεία των µετρήσεων ή αντίστοιχα η έκφραση µε τους συµβολισµούς της ΜΣΠ

16 Από το κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ προκύπτουν δύο εκφράσεις για τους a posteriori πίνακες µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας για τα σήµατα στα σηµεία των µετρήσεων και τις µετρήσεις στα εν λόγω σηµεία Αντίστοιχες εκφράσεις δεν υπάρχουν στην αρχική θεώρηση της ΜΣΠ Από το κλασσικό µοντέλο της ΜΕΤ προκύπτει ο a posteriori πίνακες µεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας για τα υπόλοιπα των µετρήσεων

17 Αποµένουν να εξαχθούν οι εκφράσεις για τους πίνακες µεταβλητότητας- συµµεταβλητότητας Μεταξύ των σηµάτων σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων και των σηµάτων στα σηµεία των µετρήσεων Μεταξύ των σηµάτων στα σηµεία των µετρήσεων και των µετρήσεων στα εν λόγω σηµεία Μεταξύ των σηµάτων σε σηµεία διαφορετικά από εκείνα των µετρήσεων και των µετρήσεων είτε το σαν άσκηση Από τα στοιχεία στις θέσεις (1,2) στις προηγούµενες εξισώσεις προκύπτει ο a posteriori πίνακας για τα σήµατα s σε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος (διαφορετικών από τα σηµεία των µετρήσεων), και τα σήµατα s στα σηµεία των µετρήσεων ή αντίστοιχα η έκφραση µε τους συµβολισµούς της ΜΣΠ

18 Από τα στοιχεία στις θέσεις (1,3) και (2,3) στις προηγούµενες εξισώσεις προκύπτουν δύο εκφράσεις για τους a posteriori πίνακες συµµεταβλητότητας για τα σήµατα s και s και τις µετρήσεις Αντίστοιχες εκφράσεις δεν υπάρχουν στην αρχική θεώρηση της ΜΣΠ Μερικές παρατηρήσεις Εάν έχουµε κάποια εφαρµογή όπου τα δεδοµένα θεωρούνται χωρίς σφάλµατα, στις προηγούµενες εκφράσεις αρκεί να εξαλειφθούν όλες οι ποσότητες που αναφέρονται στην εκτίµηση των υπολοίπων των µετρήσεων, δηλαδή και αντίστοιχα όλοι οι πίνακες µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας που εµπεριέχουν το διάνυσµα των συνορθωµένων µετρήσεων µηδενίζονται

19 Παράδειγµα παρεµβολή σε πεδίο ταχυτήτων µικρο-µετακινήσεων µετακινήσεων Παράδειγµα παρεµβολή σε πεδίο ταχυτήτων µικρο-µετακινήσεων µετακινήσεων

20 Ενδεικτική συνάρτηση συµµεταβλητότητας (covariance function) From: Ján HEFTY (2007) - GEO-KINEMATICS OF CENTRAL AND SOUTH-EAST EUROPE RESULTING FROM COMBINATION OF VARIOUS REGIONAL GPS VELOCITY FIELDS

21 Παράδειγµα παρεµβολή σε πεδίο ταχυτήτων µικρο-µετακινήσεων µετακινήσεων After: Legrand J., Altamimi Z., and Jamet O. (2006) - Interpolation of the European velocity field using least squares collocation method, EUREF Symposium Riga, Latvia, June. Παράδειγµα παρεµβολή σε πεδίο ταχυτήτων µικρο-µετακινήσεων µετακινήσεων After: Legrand J., Altamimi Z., and Jamet O. (2006) - Interpolation of the European velocity field using least squares collocation method, EUREF Symposium Riga, Latvia, June.

22 Καλή προετοιµασία για την εξεταστική και την παρουσίαση για το Ατοµικό Θέµα σας...