µοντέλων Αναλυτικές µέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Γεωπληροφορική

Transcript

1 Φίλτρα Kalman Μαθηµατική ισοδυναµία τους µεταξύ των µοντέλων Φίλτρο Bayes (Recursive Bayes Filtering ΜΕΤ κατά διαδοχικά στάδια (Sequential Least Squares Estimation ΜΕΤ κατά Tienstra (Least Squares Tienstra Estimation... Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Για την ιστορία, Μ.Ε.Τ. η απαρχή η αρχική µέθοδος 1795 : Karl Friederich Gauss & Adrien Marie Legendre (refer : Gauss, K.F. (1963. Theory of Motion of the Heavenly Bodies. Dover, New York. Εξελίξεις της αρχικής µεθόδου 1905 : Kruger (refer : Kruger, L. (1905. Uber die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen in zwei Gruppen, Postdam : Tobey (refer : Tobey, W.M. (1930. The Differential Adjustment of Normally Distributed Observations. Geodetic Survey of Canada Pub. 7. Ottawa

2 Για την ιστορία, Εξελίξεις της αρχικής µεθόδου 1950 : Tienstra (refer : Tienstra, J.M. (1956. Theory of the Adjustment of Normally Distributed Observations. Argus, Amsterdam ένα πρόβληµα για το οποίο µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων µπορεί να επιλυθεί σε φάσεις (δηλαδή σε µέρη κατά τρόπο που οι άγνωστοι παράµετροι του προβλήµατος ενδιαφέροντος, οι οποίοι έχουν ήδη υπολογιστεί και οι µετρήσεις που έχουν συνορθωθεί σε µια προηγούµενη φάση, µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως σχεδόν-παρατηρήσεις (quasiobservables σε επόµενη φάση. Για την ιστορία, Εξέλιξη φίλτρα Kalman 1960 : Kalman (refer : Kalman, R.E. (1960. A New Approach to Linear Filtering and Prediction. Journal of Basic Engineering, ASME, 8D. Επέκταση της Μ.Ε.Τ. Προσθήκη ενός δευτερεύοντος µοντέλου διάνυσµα αγνώστων παραµέτρων που µεταβάλλονται µε το χρόνο Εισάγοντας πίνακα συµµεταβλητότητας στο δευτερεύων µοντέλο Συνόρθωση των παρατηρήσεων σε µέρη

3 Για την ιστορία, Εξέλιξη φίλτρο Bayes (Bayesian procedure 197 : Morrison ( refer : Morrison, N. (197. Introduction to Sequential Smoothing and Prediction. McGraw-Hill Book Company, New York. Εξέλιξη διαδικασία διαδοχικής συνόρθωσης (Sequential Procedure 1965 : Schmid & Schmid (refer : Schmid, H.H. & Schmid, E. (1965. A Generalized Least Squares Solution for a Hybrid Measuring System. The Canadian Surveyor, XIX, No. 1, Ottawa rigorously solved sequential procedure achieved by updating the original estimate by a corrective term Για την ιστορία, Εξέλιξη Μέθοδος σηµειακής προσαρµογής (Least Squares Collocation procedure 1969 & 1970 : Krarup ( refer : Krarup, L. (1969. A Contribution to the Mathematical Foundation of Physical Geodesy. Publication No. 44 of the Danish Geodetic Institute, Copenhagen & Krarup, L. (1970. The Method of Least Square Collocation. Studi Geophysica, No., Roc. 14.

4 Για την ιστορία, Εξέλιξη Least Squares Collocation & Stepwise/Sequential Collocation procedure 197 : Moritz (refer : Moritz, H. (197. Advanced Least Squares Method. Report of the Department id Geodetic Science, No. 75, The Ohio State University, Columbus : Moritz (refer : Moritz, H. (1973. Stepwise and Sequential Collocation. Report of the Department of Geodetic Science. No. 03, The Ohio State University, Columbus. Αναδροµική διαδικασία φίλτρου Kalman Η πρόβλεψη του διανύσµατος κατάστασης τη χρονική στιγµή k χρησιµοποιώντας δεδοµένα µέχρι και τη χρονική στιγµή k-1 z k Υπενθύµιση για τους κλασσικούς συµβολισµούς στις εξισώσεις του φ.κ.

5 Αναδροµική διαδικασία φίλτρου Kalman Η ανανεωµένη τιµή του διανύσµατος κατάστασης τη χρονική στιγµή k από δεδοµένα µέχρι και τη χρονική στιγµή k z k Αναδροµική διαδικασία φίλτρου Kalman Μοντέλο του συστήµατος τη χρονική στιγµή k, µέσω του πίνακα µετάβασης Φ z k

6 Αντιστοιχία συµβολισµών στις εξισώσεις του φίλτρου Kalman και της Μ.Ε.Τ. MET W Vˆ P A ( new m KALMAN Z X H k k / k Q V k X k MET Σ ( N Kˆ G ( new KALMAN X Ρ Ρ k / k k / k k / k K k M R k Y m W k Πρόβλεψη του διανύσµατος κατάστασης (δ.κ. Πρόβλεψη του πίνακα µεταβλητότητας του δ.κ. C Υπολογισµός του πίνακα κέρδους Υπολογισµός του διανύσµατος κατάστασης ˆ X = Φ ( ( Ν Υπολογισµός του πίνακα µεταβλητότητας του δ.κ. = G = ( N C = Σ = Σ ˆ X 1 G = σ A T = σ ο [ ο M [ ( N W + A + A = σ ( N ο [ Φ G A T ( Ν A ( N 1 T + Ρ ] ] Χ Φ Τ + Ρ Εξισώσεις Εξισώσεις MET MET m για για το το Φίλτρο Φίλτρο Kalman Kalman ]

7 Εξισώσεις MET για το Φίλτρο Kalman Προβλέψεις του διανύσµατος κατάστασης (δ.κ., και του πίνακα µεταβλητότητας του Υπολογισµός του πίνακα µεταβλητότητας του δ.κ. Υπολογισµός του πίνακα κέρδους Υπολογισµός του δ.κ. Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Φίλτρο Kalman (Kalman filtering Φίλτρο Bayes (Recursive Bayes Filtering ΜΕΤ κατά διαδοχικά στάδια (Sequential Least Squares Estimation ΜΕΤ κατά Tienstra (Least Squares Tienstra Estimation και υπολογιστική αποτελεσµατικότητα τους

8 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Ισοδυναµία του µοντέλου Bayes και των εξισώσεων του φίλτρου Kalman χρησιµοποιώντας ένα λήµµα για την αντιστροφή πινάκων. Συναγωγή των µαθηµατικών σχέσεων για τη διαδικασία συνόρθωσης παρατηρήσεων σε διαδοχικά µέρη και σε φάσεις αντίστοιχα, από τις εξισώσεις του φίλτρου Kalman και του φίλτρου Bayes, µε τη διαγραφή της µεταβολής του χρόνου για το διάνυσµα κατάστασης (άγνωστοι παράµετροι. Απόδειξη της ισοδυναµίας της συνόρθωσης παρατηρήσεων σε διαδοχικά µέρη και σε φάσεις χρησιµοποιώντας το προηγούµενο ίδιο λήµµα αντιστροφής πινάκων. Απόδειξη της ισοδυναµίας των εξισώσεων της διαδικασίας του Tienstra για τη συνόρθωση σε διαδοχικά µέρη και σε φάσεις. Υπολογιστική αποτελεσµατικότητα των µεθόδων του Kalman (διαδοχικά µέρη και Bayes (κατά φάσεις. Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Ισοδυναµία του φίλτρου Bayes και των εξισώσεων του φίλτρου Kalman χρησιµοποιώντας το ακόλουθο λήµµα για την αντιστροφή πινάκων. [ S -1 + Τ Τ R -1 Τ ] -1 = S - S Τ Τ (R + Τ S Τ Τ -1 Τ S S καιrείναι θετικά ορισµένοι πίνακες, διαφορετικής τάξης Τ Τ R -1 Τ είναι ίδιας τάξης µε τον πίνακαs Το λήµµα είναι γνωστό και ως ταυτότητα του Schurr ή ο inside out κανόνας Μια ακόµα χρήσιµη ταυτότητα [ S -1 + Τ Τ R -1 Τ ] -1 Τ Τ R -1 = S Τ Τ (R + Τ S Τ Τ -1

9 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Ισοδυναµία του φίλτρου Bayes και των εξισώσεων του φίλτρου Kalman χρησιµοποιώντας το ακόλουθο λήµµα για την αντιστροφή πινάκων. Εάν αντικαταστήσουµε στην ταυτότητα Schurr [ S -1 + Τ Τ R -1 Τ ] -1 = S - S Τ Τ (R + Τ S Τ Τ -1 Τ S τους πίνακες Τ µε Α, R µε M, και S µε (N -1 καταλήγουµε στην ισοδυναµία ( T Ν + A M A =... = [ ( Ν G A ( Ν δηλ. οι πίνακες συµµεταβλητότητας για τις τιµές των αγνώστων παραµέτρων στις εξισώσεις των φίλτρων Kalman και Bayes είναι µαθηµατικά ισοδύναµοι T ] Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Ισοδυναµία του φίλτρου Bayes και των εξισώσεων του φίλτρου Kalman χρησιµοποιώντας το ακόλουθο λήµµα για την αντιστροφή πινάκων. Για να δειχθεί η ισοδυναµία των δύο σχέσεων υπολογισµού του διανύσµατος κατάστασης ˆX Αρκεί να δειχθεί η ισοδυναµία των δύο σχέσεων για τον πίνακα κέρδους σε κάθε φίλτρο G G = ( N = ( N A A T T [ M M + A ( = [ N ( N + A T A M T ] A για το φίλτρο Kalman ] A T M για το φίλτρο Bayes

10 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Ισοδυναµία του φίλτρου Bayes και των εξισώσεων του φίλτρου Kalman χρησιµοποιώντας το ακόλουθο λήµµα για την αντιστροφή πινάκων. Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα [ S -1 + Τ Τ R -1 Τ ] -1 Τ Τ R -1 = S Τ Τ (R + Τ S Τ Τ -1 Αντικαθιστώντας S µε (Ν -1, Τ µε Α, και R µε M G G = ( N = ( N A A T T [ M M + A ( = [ N ( N + A T A M T ] A για το φίλτρο Kalman ] A T M για το φίλτρο Bayes καταλήγουµε ότι πράγµατι: G (Bayes = G (Kalman Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Τι γίνεται µε τον υπολογιστικό φόρτο στο φίλτρο Bayes? C ˆ X = Φ = Σ ˆ X 1 ιαστάσεις πινάκων: = σ ο ( Ν = σ ο [ Φ ( Ν uxu 1 uxu uxu + Ρ Χ uxu Φ Τ uxu + Ρ m ] uxu Κατ αρχήν δεν απαιτείται αντιστροφή κανενός πίνακα, αφού η αντιστροφή του πίνακα (Ν 1 +Ρ Χ έχει ήδη στο προηγούµενο στάδιο για τον υπολογισµό της πρόβλεψης ˆX 1 του διανύσµατος κατάστασης

11 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων Τι γίνεται µε τον υπολογιστικό φόρτο στο φίλτρο Bayes? Για τον υπολογισµό του πίνακα συµµεταβλητότητας για την τελική (ανανεωµένη τιµή του διανύσµατος κατάστασης απαιτείται η αντιστροφή δύο πινάκων T C ˆ = Σ ˆ = σ ( Ν = ( Ν + A M A X X ο σ ο = σ ιαστάσεις πινάκων: ο [ Ν uxu + A T uxr ( B r xn n P Ο Μ είναι πλήρης στοιχείων, διάστασης r xr. Για ασυσχέτιστες µεταξύ τους παρατηρήσεις είναι διαγώνιος. Τέλος απαιτείται η αντιστροφή του πίνακα Ν (πλήρης στοιχείων που είναι διαστάσεων uxu, u=πλήθος των αγνώστων παραµέτρων xn B n T xr A r xu ] Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε διαδοχικά βήµατα και εξισώσεων του φίλτρου Kalman. Για να δειχθεί η ισοδυναµία αρκεί να θεωρηθεί ότι δεν υφίσταται η διαχρονική µεταβολή του διανύσµατος κατάστασης και συνεπώς να αγνοηθούν οι πίνακες Φ, Ρ m και Υ m. Επίσης αρκεί να αγνοηθούν οι δείκτες 1 και, αλλά διατηρώντας τους εκθέτες ( για να υποδηλωθεί ότι οι αντίστοιχες εκφράσεις αφορούν υπολογισµούς που γίνονται µόνο µε µέρος των διαθέσιµων παρατηρήσεων (partial data

12 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε διαδοχικά βήµατα και εξισώσεων του φίλτρου Kalman. Η πρόβλεψη για το διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων δίνεται πλέον από τη σχέση = ( Ν 1 + Ρ Χ Τ 1 Μ1 W1 και αντίστοιχα η πρόβλεψη για τον πίνακα συµµεταβλητότητας C ˆ = Σ ˆ = σ ο ( Ν1 + Ρ X X Χ Στη βιβλιογραφία, συνήθως οι εξισώσεις για τη διαδικασία συνόρθωσης σε διαδοχικά βήµατα δίνονται για Ρ Χ = 0 Α Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε διαδοχικά βήµατα και εξισώσεων του φίλτρου Kalman. Από τις εξισώσεις του φίλτρου Kalman, ο πίνακας κέρδους T T G = N A [ M + A ( Ν A ] δίνεται πλέον από τη σχέση G = ( Ν Τ Τ 1 + Ρ Χ Α [ Μ + Α ( Ν1 + Ρ Χ Α ]

13 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε διαδοχικά βήµατα και εξισώσεων του φίλτρου Kalman. Η πρόβλεψη για το τελικό διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων δίνεται πλέον από τη σχέση = = G ( W ( Ν 1 + Ρ + A Χ Α Τ [ Μ + Α ( Ν 1 + Ρ Χ Α Τ ] ( W + A και αντίστοιχα η πρόβλεψη για τον πίνακα συµµεταβλητότητας C ˆ = Σ ˆ = σ ο [ ( Ν1 + Ρ Χ G A ( Ν1 + Ρ Χ X X Ο αριθµός και οι διαστάσεις των πινάκων των οποίων απαιτείται η αντιστροφή είναι ίδιος µε εκείνων του φίλτρου Kalman ] Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε φάσεις και των εξισώσεων του φίλτρου Bayes. Όπως και στην περίπτωση εφαρµογής της ΜΕΤ σε διαδοχικά βήµατα... Για να δειχθεί η ισοδυναµία αρκεί να θεωρηθεί ότι δεν υφίσταται η διαχρονική µεταβολή του διανύσµατος κατάστασης και συνεπώς να αγνοηθούν οι πίνακες Φ, Ρ m και Υ m. Επίσης αρκεί να αγνοηθούν οι δείκτες 1 και, αλλά διατηρώντας τους εκθέτες ( για να υποδηλωθεί ότι οι αντίστοιχες εκφράσεις αφορούν υπολογισµούς που γίνονται µόνο µε µέρος των διαθέσιµων παρατηρήσεων (partial data

14 Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε φάσεις και των εξισώσεων του φίλτρου Bayes. Η πρόβλεψη για το διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων δίνεται πλέον από τη σχέση 1 Τ = ( Ν1 + Ρ Χ Α1 Μ1 W 1 και αντίστοιχα η πρόβλεψη για τον πίνακα συµµεταβλητότητας C ˆ = Σ καταλήγει στη σχέση X C ˆ = Σ ˆ = σ ο ( Ν1 + Ρ Χ X X που είναι ο αρχικός (από την προηγούµενη φάση πίνακας συµµεταβλητότητας των παραµέτρων Μαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ µοντέλων αλλά όχι και ως τον υπολογιστικό τους φόρτο Ισοδυναµία του µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων µε τη ΜΕΤ σε φάσεις και των εξισώσεων του φίλτρου Bayes. Ο πίνακας συµµεταβλητότητας για το τελικό διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων δίνεται πλέον από τη σχέση T C ˆ Σ ˆ = [ ( Ν1 + Ρ + A M A ] X X Χ = σ ο = σ N και αντίστοιχα το τελικό διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων υπολογίζεται ως ο ˆ ˆ Τ X = X Ν Α Μ ( W + A Ο αριθµός και οι διαστάσεις των πινάκων των οποίων απαιτείται η αντιστροφή είναι ίδιος µε εκείνων του φίλτρου Bayes

15 Ενδεικτικό παράδειγµα εφαρµογής της ΜΕΤ για την ανάλυση µεγάλου όγκου γεωδαιτικών δεδοµένων ορυφόροι µε αλτίµετρα ραντάρ για πάνω από 30 χρόνια παρέχουν συνεχή κάλυψη των θαλασσίων περιοχών του πλανήτη τεράστιος όγκος διαθέσιµων δεδοµένων για ποικίλες εφαρµογές Λειτουργική αρχή των µετρήσεων

16 δh s ζ Ν + ζ s + ζ t ζ m = Ν + ζ s ζ s N Α ελλειψοειδές h s ζ t γεωειδές ζ t χρονικά µεταβαλλόµενο µέρος της θαλάσσιας τοπογραφίας δh s σφάλµα τροχιάς h s το ύψος του δορυφόρου (από το ελλειψοειδές Α µέτρηση του αλτίµετρου = το ύψος του δορυφόρου από τη στιγµιαία στάθµη της θάλασσας ζ m η (µακροχρόνια µέση στάθµη της θάλασσας Ν αποχή (υψόµετρο του γεωειδούς από το ελλειψοειδές ζ s σταθερό µέρος της θαλάσσιας τοπογραφίας

17 h s dh s = ζ m + ζ t + (A + ε Α + b A ζ = h s Α + ζ t + ε Α + (δh s + b A = ζ + ε + s δh s γεωειδές ελλειψοειδές ζ s N Α h s ζ t ζ πραγµατικό ύψος της θάλασσας ζ το ύψος της θάλασσας (sea surface height, SSH πάνω από το ελλειψοειδές αναφοράς, τη χρονική στιγµή t i, όπως προκύπτει από µια µέτρηση του αλτίµετρου ραντάρ διορθωµένη από τις επιδράσεις της ατµόσφαιρας, της παλίρροιας και άλλων δυναµικών φαινοµένων της θάλασσας h s dh s = ζ m + ζ t + (A + ε Α + b A ζ = h s Α + ζ t + ε Α + (δh s + b A = ζ + ε + s δh s γεωειδές ελλειψοειδές ζ s N Α h s ζ t ζ πραγµατικό ύψος της θάλασσας ζ το ύψος της θάλασσας (sea surface height, SSH πάνω από το ελλειψοειδές αναφοράς, τη χρονική στιγµή t i, όπως προκύπτει από µια µέτρηση του αλτίµετρου ραντάρ διορθωµένη από τις επιδράσεις της ατµόσφαιρας, της παλίρροιας και άλλων δυναµικών φαινοµένων της θάλασσας

18 Παρόλο που οι δυνατότητες υπολογισµού των τροχιών για τους σηµερινούς αλτιµετρικούς δορυφόρους έχουν βελτιωθεί σε πολύ µεγάλο βαθµό, τα σηµερινά µοντέλα επιτρέπουν µεν να υπολογίζονται οι συντεταγµένες των δορυφόρων µε ακρίβεια µερικών cm, αλλά η ακρίβεια των αλτιµετρικών µετρήσεων είναι τυπικά 1-3 cm απαιτείται περαιτέρω συνόρθωση των µετρήσεων για τα µικρά έστω τροχιακά σφάλµατα Εξίσωση παρατήρησης για µια µέτρηση από ένα σηµείο κατά µήκους ενός τροχιακού τόξου i (π.χ. σε µια ανερχόµενη τροχιά Στο σηµείο τοµής του επίγειου ίχνους ενός ανερχόµενου i και ενός κατερχόµενου τόξου j, οι παρατηρούµενες σταθερές τιµές του ύψους της θάλασσας (ζ i και ζ j stationary sea surface- ιδανικά θα πρέπει να ταυτίζονται οι οποιεσδήποτε µικρές διαφορές οφείλονται στα σφάλµατα της τροχιάς κάθε τόξου

19 Σε µικρής έκτασης περιοχές (π.χ. σε λεκάνες όπως η Μεσόγειος µια διαδικασία συνόρθωσης των διαθέσιµων παρατηρήσεων σε ένα πλέγµα αλτιµετρικών τόξων, γνωστή ως crossover adjustment, οδηγεί στην µοντελοποίηση των τροχιακών σφαλµάτων κάθε τόξου χρησιµοποιώντας απλά µαθηµατικά µοντέλα Εξίσωση παρατήρησης από σηµείο ενός τόξου i, όπου (φ,λ είναι οι συντεταγµένες του αντίστοιχου σηµείου στο επίγειο ίχνος ή σε πιο συνεπτυγµένη µορφή Στο σηµείο τοµής ενός ανερχόµενου και ενός κατερχόµενου τόξου ισχύει η διαφορά δύο αντίστοιχων εξισώσεων παρατήρησης

20 Για τόξα µικρού µήκους (<1/4 του µήκους µιας τροχιάς, το σφάλµα της τροχιάς µπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζεται από ένα πολυώνυµο χαµηλού βαθµού ή σε πιο συνεπτυγµένη µορφή, όπου οι άγνωστοι συντελεστές του πολυώνυµου εµπεριέχονται στο διάνυσµα Χ i... Η αντίστοιχη εξίσωση παρατήρησης σε ένα σηµείο τοµή δύο τόξων είναι... ή σε πιο συνεπτυγµένη µορφή... Παράδειγµα 4 ανερχόµενα (S-N και 4 κατερχόµενα (N-S τόξα, µε παραµέτρους ανά τόξο να εκφράζουν το τροχιακό σφάλµα N-S : τόξα 1,, 3, 4 S-N : τόξα 5, 6, 7,

21 Παράδειγµα 4 ανερχόµενακαι 4 κατερχόµενατόξα, µε παραµέτρους ανά τόξο να εκφράζουν το τροχιακό σφάλµα Το σύστηµα των εξισώσεων είναι της γενικής µορφής των εµµέσων παρατηρήσεωναχ + ΒV V + W = 0 Τυπικά το πρόβληµα υπολογισµού των αγνώστων παραµέτρων της πολυωνυµικής έκφρασης των τροχιακών σφαλµάτων είναι ιδιάζον (singular Εξήγηση??? 6 7 8

22 Η λύση του συστήµατος των εξισώσεων παρατήρησης µε βάση το ελαχιστοτετραγωνικό κριτήριο V T PV = min δίνεται από τη γνωστή σχέση Όπου ο πίνακας βαρών των παρατηρήσεων λαµβάνεται να έχει τη µορφή διαγώνιου πίνακα Με το βάρος της i παρατήρησης να ορίζεται από την αναµενόµενη τιµή του θορύβου των µετρήσεων Τα υπόλοιπα των παρατηρήσεων µετά τη συνόρθωση Οι συνορθωµένες παρατηρήσεις στα σηµεία τοµής των τόξων i και j Η εκτίµηση των αντίστοιχων υπολοίπων των παρατηρήσεων Το στοιχείο του διανύσµατος των υπολοίπων που αντιστοιχεί στο σηµείο τοµής P ij

23 Πως αντιµετωπίζεται το πρόβληµα της συνόρθωσης στην περίπτωση που θα πρέπει να ικανοποιούνται και ορισµένες δεσµεύσεις (π.χ. σε κάποιες από τις άγνωστες παραµέτρους, τα τροχιακά σφάλµατα κάποιων τόξων Αυτό επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας έναν υπερπίνακα βαρών Όπου Χ αναπαριστά ένα υποσύνολο των αγνώστων παραµέτρων στους οποίους δίνεται κάποιο ιδιαίτερο βάρος, και αντίστοιχα διαχωρίζονται οι υποπίνακες σχεδιασµού ώστε να αντιστοιχούν στις παραµέτρους χωρίς βάρη και µε βάρη Οι αντίστοιχοι πίνακες των κανονικών εξισώσεων διαµορφώνονται ως Και η τελική λύση για τις άγνωστες παραµέτρους είναι... Στην περίπτωση που όλες οι παράµετροι έχουν βάρη (π.χ. α priori γνώση της ποιότητας των τροχιακών παραµέτρων κάθε τόξου Χ Χ, δηλ. όλες οι παράµετροι θεωρούνται σχεδόν παρατηρήσιµες (quasi-observations

24 Με τον προηγούµενο φορµαλισµό, δηµιουργείται ένας σηµαντικός φόρτος υπολογισµών καθώς οι διαστάσεις του συστήµατος των κανονικών εξισώσεων αυξάνεται γεωµετρικά καθώς αυξάνεται ο συνολικός αριθµός των αλτιµετρικών τόξων που συνεισφέρουν µε µετρήσεις στην κάλυψη µιας περιοχής ενδιαφέροντος και µε τον αριθµό των παραµέτρων που επιλέγονται για να αναπαραστήσουν τα τροχιακά σφάλµατα κάθε τόξου Συνεπώς απαιτείται µια αποτελεσµατική διαδικασία επίλυσης των κανονικών εξισώσεων Παράδειγµα Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σύστηµα των εξισώσεων παρατήρησης ώστε να καταλήξουµε σε ένα σύστηµα κανονικών εξισώσεων που να επιδέχεται µια αποδοτική (ως προς τον υπολογιστικό φόρτο λύση

25 Μπορούµε να αναδιαµορφώσουµε τους αρχικούς πίνακες... Ανερχόµενα (S- N τόξα Κατερχόµενα (N-S τόξα Το σύστηµα των εξισώσεων παρατήρησης αναδιαρθρώνεται στη µορφή... όπου Χ 1, Χ, Χ 3, Χ 4 αναφέρονται στα κατερχόµενα (N-S τόξα (για το κάθε τόξο i, παράµετροι a i0, a i1 και το υπερδιάνυσµα Χ 0 αναπαριστά συνολικά τις άγνωστες παραµέτρους για τα ανερχόµενα (S-N τόξα (a 50, a 51,, a 80, a 81

26 Αντίστοιχα, στο σύστηµα των κανονικών εξισώσεων Ν X + U = 0, ο πίνακας Ν παίρνει την µορφή αιχµής βέλους (arrowhead matrix και αντίστοιχα, το διάνυσµα U στο σύστηµα των κανονικών εξισώσεων Ν X + U = 0, παίρνει την µορφή και η τελική εκτίµηση, για το διάνυσµα Χ των αγνώστων παραµέτρων είναι

27 Η εκτίµηση για τις παραµέτρους των ανερχόµενων (S-N τόξων... και αντίστοιχα των κατερχόµενων (N- S τόξων... όπου, ο πίνακας... αποτελεί και το µοναδικό περιορισµό, ως προς το µέγιστο αριθµό των ανερχόµενων τόξων που µπορούν να συµπεριληφθούν στη συνόρθωση Ο προηγούµενος φορµαλισµός επιτρέπει να αυξηθεί ο αριθµός των τόξων που µπορούν να συµπεριληφθούν στη συνόρθωση Για να αυξηθεί ο αριθµός των κατερχόµενων (N-S τόξων, αρκεί να αυξηθεί το όριο του αθροίσµατος στη σχέση για τις παραµέτρους Χ 0 Για να αυξηθεί ο αριθµός των ανερχόµενων (S-N τόξων, αρκεί να αυξηθεί ο αριθµός των παραµέτρων Χ 0 αυξάνεται και το µέγεθος του πίνακα Μ 0 (πού αποτελεί και το µόνο περιορισµό για τον υπολογιστικό φόρτο στη συγκεκριµένη εφαρµογή

28 Μια παρατήρηση κάθε φορά (δηλ. ο προς αντιστροφή πίνακας είναι µονοδιάστατος Στην πράξη, προκειµένου να ξεπεραστεί το ότι το πρόβληµα υπολογισµού των αγνώστων παραµέτρων της πολυωνυµικής έκφρασης των τροχιακών σφαλµάτων είναι ιδιάζον, εφαρµόζονται δεσµεύσεις στις παραµέτρους τουλάχιστον ενός τόξου, αντικαθιστώντας τον αντίστοιχο υποπίνακα Ν ii (ή Ν i0 µε Ν ii +Ρ Χi (ή Ν i0 +Ρ Χi

29 Την επόµενη φορά θα ασχοληθούµε µε τη Μέθοδο της Σηµειακής Προσαρµογής (Least Squares Collocation