Σύνδεση µε τα προηγούµενα: Στα ενδότερα της µεθόδου

Transcript

1 Στα ενδότερα της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ακαδ Έτος 189 Μέθοδος Ελαχίστων ετραγώνων Σύνδεση µε τα προηγούµενα: Στα ενδότερα της µεθόδου Λεπτοµέρειες από τη θεωρία ΜΕ Η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, προϋποθέτει την ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος των τετραγώνων των αποκλίσεων των από τις εκτιµήσεις των αναµενόµενων τιµών τους E{}, οι οποίες είναι συναρτήσεις των αγνώστων παραµέτρων Άγνωστοι παράµετροι παρατήρηση 1 σφάλµα 1 παρατήρηση σφάλµα παρατήρηση σφάλµα 3 3 παρατήρηση σφάλµα n n Κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων (- (- min Βέλτιστη εκτίµηση του Λεπτοµέρειες από τη θεωρία ΜΕ Ηµέθοδοςµπορείναγενικευθεί, εάν θεωρήσουµε τον θετικά ορισµένο πίνακα µεταβλητοτήτων-συµµεταβλητοτήτων των 1 ο σ Ρ οπότε η ποσότητα προς ελαχιστοποίηση είναι η τετραγωνική µορφή (east sqaes nom ( - P ( - min Λεπτοµέρειες από τη θεωρία ΜΕ Ηµέθοδοςµπορείναγενικευθεί, 1 ο σ Ρ ( - P ( - min ο συνηθέστερο στατιστικό µοντέλο που χρησιµοποιείται σε πολλά προβλήµατα συνόρθωσης γεωδαιτικών, είναι η λεγόµενη µέθοδος των εµµέσων, η οποία µπορεί εύκολα να µετασχηµατιστεί ή να της επιβληθούν δεσµεύσεις, ανάλογα µε την περίσταση και το πρόβληµα ενδιαφέροντος Οιαναµενόµενεςτιµέςτων, µπορούν να αναπαρασταθούν από γραµµικές σχέσεις που συνδέουν τους συντελεστές (δηλ τα στοιχεία του πίνακα σχεδιασµού Ακαιτιςάγνωστες παραµέτρους πχ όπως συµβαίνει στιςδορυφορικές παρατηρήσεις, ρ ij [(X j - i (Y j -y i (Z j -z i ] 1/ οι σχέσεις αυτές συνήθως δεν εξάγονται άµεσα αλλά µετά από κατάλληλη γραµµικοποίηση (συνήθως κατά ayo µη-γραµµικών σχέσεων E{ }, µε Ρ E{ }, µε Ρ : (n πίνακας (γνωστών συντελεστών, ank (αφού n Αείναι πλήρους βαθµού : το ( 1 διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων το (n 1 τυχαίο διάνυσµα των : ο (n n πίνακας µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας των συνιστωσών του, µε τον πίνακα βαρών P γνωστό (θετικά ορισµένο και τοσ ο (a pioi τυπικήαπόκλισητηςµονάδαςβάρους αυθαίρετα ορισµένο (Gass - Makoff Γενικά, για n, τοσύστηµα των παρατήρησης είναι αδύνατον να επιλυθεί Προσθέτονταςτο(n 1διάνυσµατων πιθανών σφαλµάτων του, το παραπάνω µοντέλο γίνεται:, µε Ε{ } Ρ (Gass - Makoff Αυτόείναιτοµοντέλοπουο Gass, µέσω της µεθόδου της µέγιστης πιθανοφάνειας, κατέληξε στην µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Ο ndei Makoff(ή Makov, προσδιόρισε τις παραµέτρους του ίδιου µοντέλου, µέσω της µεθόδου της βέλτιστης ανεπηρέαστης εκτίµησης Makoff mode, µε Ε{ } Ρ

2 Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων E{ } και ( - P ( - min Κανονικές εξισώσεις ( P - P Εάν P I ισοβαρείς παρατηρήσεις ( P P E{ } και ( - Εκτίµηση αγνώστων παραµέτρων Καλύτερες τιµές για το διάνυσµα των (& των υπολοίπων τους Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγει και η µέθοδος της Βέλτιστης Γραµµικής Ανεπηρέαστης Εκτίµησης, όπως επίσης και εκείνη της Μέγιστης Πιθανοφάνειας µε την προϋπόθεση ότι οι παρατηρήσεις ακολουθούν την κανονική κατανοµή (κατανοµή Gass ο πρόβληµα της εκτίµησης παραµέτρων και της συνόρθωσης αφορά τον ποσοτικό προσδιορισµό επιλεγµένων µεγεθών που περιγράφουν ένα φυσικό σύστηµα ενδιαφέροντος, µε γνωστές από προηγούµενες αναλύσεις σχέσεις µεταξύ τους(ποιοτικά χαρακτηριστικά που έχουν εκφραστεί µε µαθηµατικές εξισώσεις Στην πράξη, ο αριθµός των παραµέτρων ενός φυσικού συστήµατος, επιδιώκεται να είναι όσον το δυνατόν µικρότερος Η ανεύρεση της λειτουργικής σχέσης µεταξύ των άγνωστων παραµέτρων και των παρατηρούµενων ποσοτήτων διαδραµατίζει βασικό ρόλο στη µεθοδολογία ανάλυσης ενός φαινοµένου, ενός πειράµατος ή µιας µετρητικής διαδικασίας ο µοντέλο είναι το κεντρικό στοιχείο τόσο στο σχεδιασµό της συλλογής, όσο και στην επεξεργασία των δεδοµένων που παρατηρούνται Σε συµβολική µορφή µπορεί να γραφτεί ως f(q, όπου f : συναρτήσεις f j, j1,,,m που συνδέουν n ποσότητες q i, i1,,, n που εκφράζονται συµβολικά από το διάνυσµα q f(q Λόγω των νόµων της φύσης ή της γεωµετρίας, σε κάποιες περιπτώσεις, µερικές από τις συνιστώσες του διανύσµατος q µπορεί να είναι πλήρως γνωστές, ή στη στατιστική ορολογία χωρίς σφάλµατα / eoess συνήθως αυτές αναφέρονται ως σταθερές και εκφράζονται ως οι συνιστώσες ενός διανύσµατος c γενικά οι τιµές τους θεωρούνται δεδοµένες και δεν επιχειρείται βελτιστοποίηση των τιµών τους πχ, η σταθερά της παγκόσµιας έλξης της βαρύτητας, η ταχύτητα του φωτόςστο κενό, f(q Σε αντίθεση µε τις σταθερές, υπάρχουν ποσότητες για τις οποίες δεν έχουµε καµία ή κάποια πληροφορία Αυτές είναι άγνωστες παράµετροι p, p1,,,, που συνήθως εκφράζονται από ένα διάνυσµα πχ, τα υψόµετρα ή άλλες συντεταγµένες σηµείων, Παραµετρικόςβαθµόςενόςφυσικούσυστήµατος: είναι o ελάχιστος αριθµός των παραµέτρων που απαιτούνται για τον πλήρη καθορισµό του συστήµατος από κάποιο µαθηµατικό µοντέλο πχ ο πβ ενός επίπεδου τριγώνου είναι 3, αφού τρία µεγέθη (3 γωνίες ή πλευρές και 1 γωνία, ή 1 πλευρά και γωνίες, αρκούν για τον προσδιορισµό του f(q Μεταξύ σταθερών και παραµέτρων, είναι οι ποσότητες των (obsevabes k, k1,,,n οποιαδήποτε φυσική ή γεωµετρική ποσότητα που µπορεί να παρατηρηθεί ή να µετρηθεί Εκφράζονται από τις αριθµητικές τιµές των µετρήσεων µε κάποια ακρίβεια Ο αριθµός τους δεν πρέπει να είναι µικρότερος του πβ του συστήµατος ενδιαφέροντος, γιατί αλλιώς δεν έχουµε επαρκείς πληροφορίες για τον προσδιορισµό του, πχ για ένα επίπεδο τρίγωνο δύο γωνίες δεν αρκούν, γιατί δίνουν µόνο το σχήµα αλλά όχι και το µέγεθος του τριγώνου f(q f(c,, c,, ή συνήθως f(,, Άµεση αναφορά στις σταθερές c παραλείπεται (αυτές θεωρούνται µέρος του συναρτησιακού µοντέλου Οι άγνωστοι παράµετροι, γενικά, δεν µετρώνται απευθείας, και θεωρούνται ανεξάρτητοι µεταξύ τους, αλλά προσδιορίζονται, έµµεσα, µέσω του συναρτησιακού µοντέλου από τις παρατηρήσεις γι αυτό, και συνήθως το διάνυσµααποκαλείται και λύση του εκάστοτε προβλήµατος ενδιαφέροντος Οποιεσδήποτε παρατηρήσεις που δεν συνδέονται συναρτησιακά µε κάποιες από τις παραµέτρους του εκάστοτε προβλήµατος είναι εν πολλοίς άχρηστες f(q f(c,, c,, ή συνήθως f(,, Σε κάθεµια από τις συνιστώσεςτου µαθηµατικού µοντέλου, αντιστοιχούν τρεις µαθηµατικοί χώροι ορισµού του µοντέλου: του χώρουχτων παραµέτρων ή του χώρου των λύσεων (paamete ή sotion space µε διάσταση ή συµβολικά dimχ του χώρου L των (obsevation space µε διάσταση nήσυµβολικά diml n του χώρου F των συναρτησιακών σχέσεων f (mode space µε διάσταση mήσυµβολικά dimf m Paamete space X -Χώρος των παραµέτρων X (dimx m ( o ( o Mode space F -Χώρος των µοντέλων f F (dimfm G n H n Obsevation space L -Χώρος των L (dimln m n ( o ( o σχέσεις µεταξύ παραµέτρων, και µοντέλων

3 Οιφυσικέςή γεωµετρικές σχέσεις που συνδέουν τις µετρήσεις µε τις παραµέτρους ενδιαφέροντος σε ένα πείραµα ή µετρητική διαδικασία, αποτελούν το βασικότερο στοιχείο της ανάλυσης των διαθέσιµων δεδοµένων ύποι µοντέλων α µοντέλα που τις εκφράζουν µπορεί να είναι άµεσα(diect, έµµεσα(indiect, µικτά(impicit Γραµµικάήµη-γραµµικά, και να συναντώνται αυτούσια ή σε συνδυασµούς ύποι µοντέλων και εκτιµήσεις τους Στην πραγµατικότητα, οι παρατηρήσεις διαφέρουν από τις πραγµατικές τιµές των παρατηρούµενων µεγεθών ενδιαφέροντος, εξ αιτίας αναπόφευκτων σφαλµάτων στις µετρήσεις πρόβληµα επιλογής κατάλληλων τιµών των παραµέτρων µε τη βοήθεια των από τις διαθέσιµες (συνήθως πλεονάζουσες µετρήσειςη ΜΕ οδηγεί σε βέλτιστες εκτιµήσεις των παραµέτρων σύµφωνα µε το κριτήριο ελαχιστοποίησης, και από αυτές στον υπολογισµό των κατ εκτίµηση βέλτιστων τιµών των παρατηρούµενων µεγεθών (συνόρθωση των ιάφορες δυνατές τιµές του διανύσµατος των παραµέτρων Αντίστοιχες τιµές f(, του διανύσµατος των παρατηρούµενων µεγεθών Αντίστοιχες τιµές των σφαλµάτων (υπόλοιπο των µετρήσεων φ συνάρτηση φ( ελαχίστων τετραγώνων (ή/και επεκτάσεις της, πχ ελάχιστα τετράγωνα φ(min µε βάρη Μαθηµατικό µοντέλο f( Κριτήριο ελαχιστοποίησηςφ( min Σφάλµατα - f(, ύποι µοντέλων Epicit in : οι παράµετροι εκφράζονται απευθείας από τις µετρήσεις(φορµαλισµός στο χώρο X g( ήστηγραµµικήµορφή G G, γνωστά, dim G n, dim m Απλούστερηπερίπτωση, (δηλ G Ι και n m Σε κάποιες περιπτώσεις: g(, µοντέλα συνθηκών (condition modes, που εκφράζουν τις φυσικές ή γεωµετρικές σχέσεις που συνδέουν τις µετρήσεις µεταξύ τους α β G dim G m n, dim m γ G [ ], [αβγ], [ -π ] ύποι µοντέλων Epicit in : οι µετρήσεις εκφράζονται απευθείας ως συνάρτηση των παραµέτρων(φορµαλισµός στο χώρο L h( ήστηγραµµικήµορφή H H, γνωστά, dim H n, dim n m H εκφράζει το µετασχηµατισµό από το χώρο F στονχώροl Εάνm > τοσύστηµατωνείναιυπέρκαθορισµένο(ovedetemined Εάνm < τοσύστηµατωνείναιυπόκαθορισµένο(ndedetemined Εάνm τοσύστηµατωνείναι µοναδικά καθορισµένο(niqey detemined ύποι µοντέλων Impicit: υπάρχει µια µικτή σχέση µεταξύ µετρήσεων και παραµέτρων(φορµαλισµός στο χώρο F f(, ήστηγραµµικήµορφή,, γνωστά, dim f m, dim m, dim m, dim m n ΟιδιαστάσειςτωνΑκαιΒκαιοβαθµόςτους(ank καθορίζουν εάν το σύστηµα των είναι υπέρκαθορισµένο(ovedetemined, υπό-καθορισµένο (ndedeteminedήµοναδικάκαθορισµένο(niqey niqey detemined Σαφώς, το συγκεκριµένο µοντέλο είναι το πιο γενικό και τα προηγούµενα άµεσα και έµµεσα µοντέλα αποτελούν ειδικές περιπτώσεις του Epicit in? g( ή G? Μοναδική λύση n Ηλύσηενός µαθηµατικού µοντέλου είναι ισοδύναµη µε τον µετασχηµατισµό (, (, Γραµµικό σύστηµα? ΝΑΙ Epicit in? H( ή H? ΝΑΙ < n n? Υποκαθορισµένη λύση > n Μη γραµµική λύση Εφικτή η γραµµικοποίηση? ΝΑΙ γραµµικοποίηση Μετατροπή από impicit σε epicit µορφή Υπερκαθορισµένη λύση Χ L δ ( O ( o ( o F f ( ( o, o Miscose vecto O ( ( o ( o f(,,,, 1 f(, f(, Μη γραµµικές σχέσεις µεταξύ παραµέτρων και Μη γραµµικές σχέσεις µεταξύ παραµέτρων και f(, f( f( (o (o m, mn, m1 - γνωστά δ 1, n1 - άγνωστα δ,, (o δ Β (o ιανύσµατα διάστασης m m εξισώσεις (διάστασητουχώρουf f(,,,, 1 f(, f(, (o (o (o (o ( ( ( o ( o

4 Μη γραµµικές σχέσεις µεταξύ παραµέτρων και Με άλλα λόγια, επειδή τα περισσότερα µοντέλα που χρησιµοποιούµε στις εφαρµογές της ΜΕ είναι µηγραµµικά, συνήθως µετά από τη γραµµικοποίησή τους εκφράζονται από το γραµµικό µέρος µιας σειράς ayo, όπου για τη γραµµικοποίηση χρησιµοποιούνται οι µετρήσεις και προσεγγιστικέςτιµές ( για τις παραµέτρους ενδιαφέροντος f (, f ( ( δ, ( ( ( ( f (, ( ( ( ( ( ( ( ( Για να υπολογιστεί το διάνυσµαδ, πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είτε το διάνυσµα στον χώρο L min ( είτε το διάνυσµα της προβολής του στον χώρο F min ( γραµµικό µοντέλο δ, όπου, από το νόµο µετάδοσης των σφαλµάτων, M Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων (φορµαλισµός στο χώρο F ( min ( [( δ ( δ ] δ Σύστηµα κανονικών ( ( Πίνακας κανονικών διάνυσµα διορθώσεις του διανύσµατος (o (o (o δ Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων (φορµαλισµός στο χώρο L φ vaiation k ( δ ] fnction min ( ΜαθηµατικότέχνασµαπουπροτάθηκεαπότονLagange (το δεν µπορεί πάντα να µετασχηµατιστεί στο, γιατίγενικάοπίνακαςβδενείναικανονικός (τετραγωνικός k F (Lagange coeates, άγνωστο διάνυσµα διάστασης m, παίζειτονίδιορόλοόπωςκαιτα διανύσµατα δ και Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων (φορµαλισµός στοχώροl k k Α δ Α k Ηαπευθείας αντιστροφή του πίνακα τωνκε (λόγω( και των µηδενικών υποπινάκων του δεν αποτελεί πάντα µια αποδοτική διαδικασία min ( Α k Α k Σύστηµα κανονικών k Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων (φορµαλισµός στοχώρο L αντιστροφή του πίνακα των κανονικών µε διαµερισµό k X U D Y V [ D ] Y [ V U ], : αντιστρέψιµος k [ ] δ - M [ ] k ( M δ M δ Σύστηµα κανονικών Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων, Ελαχιστοποίηση της νόρµας των ελαχίστων τετραγώνων στο χώρο L ( ( ( Ελαχιστοποίηση της νόρµας των ελαχίστων τετραγώνων στο χώρο F M δ M min ( min ( ο ίδιο αποτέλεσµα, αφού M N ( M δ (, κανονικές εξισώσεις ( U M, M : πίνακας βαρών των στο χώρο F δ -N U, k M(, k, Επέκταση, στην γενικότερη περίπτωση a- pioi γνώσης των παραµέτρων Οι άγνωστοι παράµετροι αντιµετωπίζονται ως µερικώς γνωστοί (qasi-obsevabes obsevabes, δηλ µε a-pioi θεωρούµενο γνωστό πίνακα βαρών P X ή πίνακα συµµεταβλητότητας X Ελαχιστοποίηση της νόρµας των ελαχίστων τετραγώνων minimm : φ vaiation k fnction ( δ ] ιαµόρφωση του συστήµατος των κανονικών k k Α δ Α k Επιπλέον όροι k ( δ ] min k Α k Α Σύστηµα κανονικών k

5 Εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων, ο σύστηµα των κανονικών, στη γενικότερη µορφή του ( M M ή ( M Ρ M -N N ( M P U M ( U, k M ( ( k, (, Γίνεται µε την εφαρµογή του νόµου µετάδοσης των σφαλµάτων Γενικάεάνµεταξύδύοτυχαίωνδιανυσµάτων X, Y υφίσταται µια γραµµική σχέση της µορφής Υf(X, και ο πίνακας συµµεταβλητότητας για τις συνιστώσες τουχείναι X οαντίστοιχοςπίνακας συµµεταβλητότητας για τις συνιστώσες του Υ δίνεται απότησχέση: ( X ( X Y X X X 1 ( X Y X σ ο σ ο 1 f X f X f X ( ( ( X QY QX X X X Ρ (/σ ο Q : πίνακες συντελεστών βαρών Για το διάνυσµα των κλεισιµάτων των µετρήσεων (miscose vecto f ( (, M / είναι ο δεύτερος πίνακας σχεδιασµού, και Ας σηµειωθεί ότι ο πίνακας µπορεί να υπολογιστεί πριν από τη συνόρθωση των, και γι αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη στατιστική αξιολόγηση τους Για το διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων ( o [ ( M N ( o ( ( M M ] M M Ο πίνακας συµµεταβλητότητας είναι ίδιος µε τον δ [ ( M M N: πίνακας κανονικών M ] γιατί το διάνυσµα των αρχικών προσεγγιστικών τιµών (o περιέχει σταθερές τιµές Για το διάνυσµα των υπολοίπων των µετρήσεων k M ( (M N M - M L, Εφαρµόζοντας το νόµο µετάδοσης των σφαλµάτων στην προηγούµενη σχέση L L ( L M[ I - ( µη αντιστρέψιµος πίνακας, χρήσιµος για την αξιολόγηση των M k L και αντικαθιστώντας για τον πίνακα M M] Για το διάνυσµα των συνορθωµένων ( o M ( δ L f (, L ( Όπως είναι εµφανές (και αναµενόµενο ο πίνακας συµµεταβλητότητας των συνορθωµένων θα περιέχει στοιχεία µε µικρότερες τιµές διασποράς από τις αντίστοιχες τιµές των πρωτογενών (πριν από τη συνόρθωση Μια ακόµα λεπτοµέρεια Στις συνορθώσεις µε τη ΜΕ χρησιµοποιούνται οι πίνακες (συµµεταβλητότητας, P (βαρών ή (συµµεταβλητότηταςτωνυπολοίπων των P σ ο σ ο Ποιες είναι οι επιπτώσεις εάν δεν γνωρίζουµε εκ των προτέρων (a-pioi το συντελεστή σ της διασποράς των (vaiance of nit eight και συνεπώς ο χρησιµοποιούµενος στη συνόρθωση πίνακας συµµεταβλητότητας δεν θα έχει τη σωστή κλίµακα ; η αναµενόµενη τιµή της νόρµας θα επηρεαστεί ; Χρησιµοποιώντας τις προηγούµενες σχέσεις των κανονικών, και τις σχέσεις υπολογισµού των συντελεστών Lagange k και της εκτιµήτριας των υπολοίπων των µπορεί να δειχθεί ότι η το άθροισµα των τετραγώνων των σφαλµάτων των που ελαχιστοποιείται για την εφαρµογή της ΜΕ δίνεται από τη σχέση ( Μια ακόµα λεπτοµέρεια ( Α ΜΑ ( M N M όπου M tace( M Η αναµενόµενη τιµή της συγκεκριµένης νόρµας µπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως: {( } { E E δ Nδ} E{ M} {( } { E E δ Nδ} E{ E{ E ace { ( } tace[ δ N δ} t δδ N δδ N ] tace( N M} N tace[ δ N ] d όπου d είναι πραγµατικός αριθµός, και µπορεί να δειχθεί ότι cd E { M } E{ tace( M } tace[ M και επειδή εξ ορισµού ισχύει E{ [ ] [ ] } M E { } M E { M } tace( M M tace[ M ] m c όπου c είναι πραγµατικός αριθµός m - ]

6 και χρησιµοποιώντας τον πίνακα βαρώνρ αντί του πίνακα συµµεταβλητότητας E{( εκ των υστέρων (a a posteioi συντελεστής διασποράς και τελικά, όλοι οι πίνακες συµµεταβλητότητας υπολογίζονται στη σωστή τους κλίµακα 1 } E{ P σ ο 1 E{ σ ο } σ ο βαθµοί ελευθερίας σ ο σ ο N L } m P m σ ο ( M σ ο P LP Έστω ότι ζητείταινα επιλυθεί το σύστηµα των µε χρήση της µεθόδου των εµµέσων ο σύστηµα σε πινακοποιηµένη µορφή δίνεται από τη σχέση ο διάνυσµα των καλύτερων εκτιµήσεων των (συνορθωµένες παρατηρήσεις α υπόλοιπα των µετρήσεων(σφάλµατα Ο πίνακας σχεδιασµού ο διάνυσµα των καλύτερων εκτιµήσεων των παραµέτρων Παράδειγµα # Έστω ότι ζητείταινα εξεταστεί αν τα δεδοµένα (,y: (,, (1,-3, (,, (,-5 απεικονίζουν µια ευθεία γραµµή y D ή σε πινακοποιηµένη µορφή Παράδειγµα # Έστωότιέχετεταακόλουθαχωροσταθµικάδεδοµένα, (σκέλος όδευσης, µήκος όδευσης (km, υψοµετρική διαφορά, m: (1, 4, 51, (, 3, 34, (3,, 5, (4, 3, -613, (5,, -68, (6,, 3 και (7,, 17 Επιπλέονείναι γνωστάταυψόµετραη Y1 1 m, και H Y 175 m Ζητείται η επίλυση του χωροσταθµικού δικτύου, µε τρόποπουταδύοσηµεία(υ1 καιυ γνωστού υψοµέτρου να διατηρήσουν το υψόµετρό τους και µετά την συνόρθωση των, οι οποίες θεωρούνται ισοβαρείς

7 Υπάρχουν περισσότερες από µία µεθοδολογίες για την επιβολή δεσµεύσεων στο δίκτυο Να θεωρηθούν τα ύψη των σηµείων Y1 και Y, σταθερά και να µην εισαχθούν σαν άγνωστες παράµετροι στο σύστηµα των Ήαλλιώς Να επιλυθεί το δίκτυο σεδύο φάσεις: δηλ, να συνορθωθεί πρώτα το δίκτυο µε εισαγωγή των υψοµέτρων όλων των σηµείων ως αγνώστων παραµέτρων του δικτύου, και στη συνέχεια να επιβληθούν οι δεσµεύσεις για τα υψόµετρα των σηµείων Y1 και Y Η δεύτερη µέθοδος επιτρέπει µια εκτίµηση της παραµόρφωσης που µπορεί να προκαλέσει στο δίκτυο η επιβολή περισσοτέρων δεσµεύσεων από τις απαραίτητες Σανάσκηση Γεωµετρική ερµηνεία της ΜΕ Θεµελιώδεις υποχώροι Σύνολο διανυσµάτων που απαρτίζουν τον υποχώρο Περιορισµοί που πρέπει να ικανοποιεί ο υποχώρος Ο χώρος των στηλών(ange space R( αποτελείται από όλους τους γραµµικούς συνδυασµούς των στηλών ενόςπίνακαα Είναιυποχώροςτου R Ο χώρος γραµµών(comn space ενόςπίνακαα ουσιαστικά είναι ο χώρος στηλών του ανάστροφου πίνακαα καισυµβολίζεταιµε R( Ο µηδενοχώρος (n space ή αλλιώς πυρήναςν(α αποτελείται από τα διανύσµατα για τα οποία ισχύει Α Ο αριστερός µηδενοχώρος του Α που είναι µηδενοχώρος τουα Περιέχειόλαταδιανύσµαταγιατοοποίαισχύει y καισυµβολίζεταιµεν(α Γεωµετρική ερµηνεία της ΜΕ ο κλασσικό γραµµικό ή γραµµικοποιηµένο µοντέλο είναιτηςµορφήςε{ } o o o o απότοοποίο προκύπτουν οι κανονικές εξισώσεις και οι εκτιµήσεις o o Γεωµετρική ερµηνεία της ΜΕ R({ z z }: χώρος των στηλών του επειδή ank,ορίζειένανχώρο R, R οδιάνυσµατων ανήκεισεέναν άλλοχώρο R Ηβέλτιστη εκτίµηση του διανύσµατος, ορίζεται έτσι ώστε το διάνυσµα Α είναι η ορθογώνια προβολή του διανύσµατος των στο χώρο R((των στηλών του Α R( υ πχ εάνο χώροςε είναι δισδιάστατος υ Στηνπράξη, ηβέλτιστηλύση υπολογίζεταιµετημε ελαχιστοποιώντας τη νόρµα (- υ υ min ηλ, τοδιάνυσµαυτων σφαλµάτων(υπόλοιπα των µετρήσεων σεκάθεστήλητουα Α (- Α Α (Α Α υ - - (Α Α Μ, όπουμ Ι - (Α Α Α υ (Α Α H, H: : hat mati, H H, H H, HMIκαιΗΜ Η M υ Στηνπράξη, ηβέλτιστηλύση υπολογίζεταιµετημε ελαχιστοποιώντας τη νόρµα (- υ υ min ηλ, τοδιάνυσµαυτων σφαλµάτων(υπόλοιπα των µετρήσεων σεκάθεστήλητουα Α (- Α Α (Α Α υ - - (Α Α Μ, όπουμ Ι - (Α Α Α υ (Α Α H, H: hat mati, τελεστής της ορθογώνιας προβολής του στον συµπληρωµατικό του χώρου των στηλών του Α H H, H H, HMIκαιΗΜ ΗM υ ην επόµενη φορά µια σηµαντική επέκταση της ΜΕ Πως αντιµετωπίζουµε το πρόβληµα εφαρµογής της ΜΕ όταν οι άγνωστοι παράµετροι ενδιαφέροντος αλλάζουν µε το χρόνο, όπως και όταν οι παρατηρήσεις συλλέγονται σε χρονικά διαφορετικές εποχές ;