Οδηγός λύσης θέματος 2

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος Οδηγός λύσης θέματος 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Να επιλύσουμε ένα αντίστροφο πρόβλημα: y( t) K( t, t ) x( t ) dt xt ( )? μέσω διακριτοποίησης της παραπάνω εξίσωσης και συνόρθωσης ενός σετ σημειακών μετρήσεων του σήματος y(t). (*) τέτοια προβλήματα εμφανίζονται συχνά σε πρακτικές εφαρμογές και οδηγούν πάντα σε ιδιαίτερα ασταθή προβλήματα συνόρθωσης γραμμικών μοντέλων! Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

3 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Θεωρητικό μοντέλο αντίστροφου προβλήματος K (t, t ) x(t ) dt y (t ) Διακριτοποίηση + παρατηρήσεις + σφάλματα y Ax + v = y x A v Σχ. Σχηματική μορφή των εξισώσεων παρατήρησης για τον βέλτιστο προσδιορισμό άγνωστου σήματος από φιλτραρισμένες μετρήσεις. Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

4 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Θεωρητικό μοντέλο αντίστροφου προβλήματος Διακριτοποίηση + παρατηρήσεις + σφάλματα y( t) K( t, t ) x( t ) dt y Ax + v Ζητούμενο: η εκτίμηση του άγνωστου σήματος και η ανάλυση της ακρίβειας εκτίμησης από διαφορετικές μεθοδολογίες συνόρθωσης Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

5 Αρχείο δεδομένων (DataSet2.xls) πίνακας σχεδιασμού Α (4 1) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

6 Αρχείο δεδομένων (DataSet2.xls) διάνυσμα παρατηρήσεων y (4 1) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

7 Αρχείο δεδομένων (DataSet2.xls) διάνυσμα αληθινών τιμών των παραμέτρων x (1 1) Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

8 Διαγνωστική ανάλυση των δεδομένων Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217

9 Η μορφή του πίνακα σχεδιασμού Α

10 Η μορφή του πίνακα Ν x 1-3

11 Η μορφή του πίνακα Ν (1 πρώτες γραμμές) x 1-3

12 Η μορφή του πίνακα Ν (2 πρώτες γραμμές) x 1-3

13 Η μορφή του πίνακα Ν (3 πρώτες γραμμές) x 1-3

14 Ιδιοτιμές του πίνακα Ν+k I λ i k = k = Standard NEQ Matrix Regularized NEQ Matrix Eigenvalue index

15 Ιδιοτιμές του πίνακα Ν+k I λ i k = k = Standard NEQ Matrix Regularized NEQ Matrix Eigenvalue index

16 Ιδιοτιμές του πίνακα Ν+k I λ i k = 1-3 k = 1-4 k = k = Eigenvalue index

17 Signal-to-noise ratio (SNR) 15 παρατηρήσεις SNR i y i y i Observation index

18 Ενδεικτικά αποτελέσματα συνόρθωσης

19 Εκτίμηση σήματος 1 8 Least-squares estimate Ridge estimate 6 4 xˆi Parameter index Max = , Min = , Mean = 3.29, RMS = Max = 189.3, Min = , Mean = 3.121, RMS =

20 Εκτίμηση σήματος Least-squares estimate Ridge estimate True signal 4 xˆi 2 Max = , Min = , Mean = 3.29, RMS = Max = 189.3, Min = , Mean = 3.121, RMS = Max = , Min = , Mean = 3.798, RMS = Parameter index

21 Ακρίβεια εκτίμησης σήματος 6 5 STDs of least-squares solution STDs of ridge regression solution 4 x ˆi Parameter index Οι τυπικές αποκλίσεις των εκτιμήσεων μέσω ΜΕΤ είναι 4-17 φορές μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις των αιχμηρών εκτιμήσεων!

22 Signal-to-noise ratio (SNR) 6 5 SNR of least-squares estimate SNR of ridge regression estimate Εκτιμήσεις παραμέτρων SNR i xˆ i xˆ i Parameter index Οι αιχμηρές εκτιμήσεις του σήματος έχουν σημαντικά μεγαλύτερο SNR από τις αντίστοιχες εκτιμήσεις μέσω ΜΕΤ!

23 Ακρίβεια εκτίμησης σήματος 6 5 STDs of least-squares solution STDs of ridge regression solution Bias of ridge regression solution 4 x ˆi bias (ξ i ) Parameter index Η παρέκκλιση (bias) των αιχμηρών εκτιμήσεων είναι αρκετά μικρότερη από τις τυπικές τους αποκλίσεις

24 Ακρίβεια εκτίμησης σήματος (μέσα τετραγωνικά σφάλματα) Mean Square Errors of least-squares solution Mean Square Errors of ridge regression solution τάξεις μεγέθους MSEM C xˆ ξξ T Parameter index mse = mse =

25 Συνορθωμένα σφάλματα (residuals)

26 Συνορθωμένα σφάλματα 2 Residuals of least-squares solution Residuals of ridge regression solution 15 1 vˆi Observation index Max = 172.9, Min = -135., Mean = -.576, RMS = Max = , Min = , Mean = , RMS = 53.4

27 Συνορθωμένα σφάλματα 2 Residuals of least-squares solution Residuals of ridge regression solution 15 1 vˆi Observation index v T Pv = v T Pv =

28 Συνορθωμένα σφάλματα 5 HISTOGRAM of the residuals of least-squares solution HISTOGRAM of the residuals of ridge regression solution

29 Παρέκκλιση (bias) αιχμηρών εκτιμήσεων σήματος

30 Παρέκκλιση αιχμηρών εκτιμήσεων 2 Ridge regression estimate Bias of ridge regression estimate 15 1 xˆi i Parameter index Max = 189.3, Min = , Mean = 3.121, RMS = Max = 36.28, Min = , Mean = -.148, RMS = 16.97

31 Παρέκκλιση αιχμηρών εκτιμήσεων 25 2 Ridge regression estimate Bias of ridge regression estimate Parameter index Σε ορισμένα σημεία η παρέκκλιση έχει παρόμοια (ή και λίγο μεγαλύτερη) τιμή με την αντίστοιχη εκτίμηση του σήματος. Συνολικά όμως, η λύση αιχμηρής εκτίμησης παραμένει στατιστικά καλύτερη από την κλασσική λύση ελαχίστων τετραγώνων.

32 Παρέκκλιση αιχμηρών εκτιμήσεων 2 HISTOGRAM of ridge-regression parameter estimates HISTOGRAM of ridge-regression parameter biases

33 Προσεγγιστικός υπολογισμός της παρέκκλισης (bias) Διάνυσμα παρέκκλισης (αυστηρή σχέση) 1 ξ k( N ki) x αληθινές τιμές παραμέτρων Διάνυσμα παρέκκλισης (προσεγγιστική εκτίμηση) ˆ 1 ξ k( N ki) xˆ τιμές παραμέτρων με βάση τις αιχμηρές τους εκτιμήσεις

34 Προσεγγιστικός υπολογισμός της παρέκκλισης (bias) Bias of RR solution (rigorous) Parameter index Bias of RR solution (approximate) Max = , Min = , Mean =.18, RMS = Max = 36.28, Min = , Mean = -.148, RMS = 16.97

35 Προσεγγιστικός υπολογισμός της παρέκκλισης (bias) Bias of RR solution (approximate) Bias of RR solution (rigorous) Parameter index

36 Τεχνική έκθεση o Περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης του θέματος και όλων των σχετικών αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκαν. o Παράθεση των αποτελεσμάτων σε κατάλληλους πίνακες με τη βοήθεια συνοδευτικών γραφημάτων (όπου κρίνετε ότι είναι απαραίτητο). o Παράθεση του σχετικού κώδικα ή των υπολογιστικών φύλλων που χρησιμοποιήσατε. o Αναλυτικός σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217