Preiswerte Energiegewinnung - Polynomiale Eigenwertprobleme
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- Άνεμονη Μιαούλης
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1 Preiswerte Energiegewinnung - Polynomiale Eigenwertprobleme Dominik Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar Graduiertenkolleg Dynamik heißer Plasmen Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Kompaktseminar Juli 29
2 Gliederung Physikalischer Hintergrund Numerische Methoden
3 Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft
4 Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt
5 Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar
6 Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar Solarkraftwerke: möglich, aber zu teuer
7 Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar Solarkraftwerke: möglich, aber zu teuer Kernspaltungskraftwerk: radioaktiver Verseuchung, Uran begrenzt
8 Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar Solarkraftwerke: möglich, aber zu teuer Kernspaltungskraftwerk: radioaktiver Verseuchung, Uran begrenzt Fusionskraftwerk: preiswert, aber noch nicht realisierbar
9 Kernfusion was ist das? Kernfusion Kernspaltung Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium E = mc 2
10 Weshalb Kernfusion? Energiedichte
11
12 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium
13 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft
14 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit
15 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma
16 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma magnetischer Einschluss
17 TEXTOR im Forschungszentrum Jülich Tokamak Experiment for Technology Oriented Research
18 Bezeichnungen am Torus ϕ ist der toroidale und θ der poloidale Winkel
19 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen
20 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche
21 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche
22 Tokamak v E B B toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern
23 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern
24 Drift-Instabilitäten
25 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r + ik y iωt), I(ω) maximal
26 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
27 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ikr r +ik y iωt) 1 φ 2.5 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
28 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
29 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
30 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
31 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ikr r +ik y iωt) 1 φ 2.5 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
32 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ
33 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ anomaler Transport Γ
34 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1 φ 2 T / ev T n p = T (θ) n(θ) n / 1 19 m 3.5 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ innen θ außen anomaler Transport Γ
35 Drift-Instabilitäten T / ev T n p = T (θ) n(θ) innen θ außen n / 1 19 m 3
36 Eigenwert Gleichung generische Form: 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = a j, b j, φ: [, 2π[ C, 2π-periodische glatte Funktionen in θ gesucht: Eigenpaar (ω, φ) mit maximaler Anwachsrate I(ω)
37 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ =
38 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter:
39 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ
40 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ))
41 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral-Methode k f m θ k (θ ) ψ j, f k ψ j θ k (θ ) j=
42 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral-Methode k f m θ k (θ ) ψ j, f k ψ j θ k (θ ) j= P(ω) φ := ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ =
43 Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Standardlöser: QR-Algorithmus
44 Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Standardlöser: QR-Algorithmus Generalisiertes Eigenwertproblem Ax = λbx (A λb)x = Standardlöser: QZ -Algorithmus
45 Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Generalisiertes Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Ax = λbx (A λb)x = Quadratisches Eigenwertproblem ( λ 2 M + λc + K ) x = Standardlöser: QR-Algorithmus Standardlöser: QZ -Algorithmus
46 Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Generalisiertes Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Ax = λbx (A λb)x = Quadratisches Eigenwertproblem ( λ 2 M + λc + K ) x = Standardlöser: QR-Algorithmus Standardlöser: QZ -Algorithmus Polynomiales Eigenwertproblem d λ j M j x = j=
47 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem)
48 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) dreifache Größe
49 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) dreifache Größe 3N Eigenpaare (ω, φ)
50 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) dreifache Größe 3N Eigenpaare (ω, φ) Eigenvektoren φ linear abhängig
51 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften:
52 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn
53 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x)
54 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig.
55 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { }
56 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α
57 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M ) x =
58 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M ) x = (M 2 α 2 + M 1 βα + β 2 M ) x =
59 allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M ) x = (M 2 α 2 + M 1 βα + β 2 M ) x = (M 2 + M 1 β + β 2 M ) x = (o.b.d.a. α = 1)
60 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem)
61 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 124. QZ -Algorithmus: 1 Stunde.
62 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 124. QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit 1 Eigenwertgleichungen: 1 Jahre
63 Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 124. QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit 1 Eigenwertgleichungen: 1 Jahre nur ein Eigenpaar gesucht iterativer Löser, speziell Jacobi-Davidson-Verfahren
64 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N
65 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V end loop
66 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = end loop
67 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). end loop
68 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. end loop
69 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if end loop
70 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
71 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
72 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
73 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
74 Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w t u
75 Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w Ausgehend von (ν, u) einen Newton-Schritt ( ) P(λ) x F (λ, x) := x H =. x 1 t u
76 Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w Ausgehend von (ν, u) einen Newton-Schritt ( ) P(λ) x F (λ, x) := x H =. x 1 t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν) r = z P (ν) z = r, Q(ν)P (ν) = I Q(ν)P (ν) u = s P (ν) s = P (ν) u P (ν) = =
77 Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w Ausgehend von (ν, u) einen Newton-Schritt ( ) P(λ) x F (λ, x) := x H =. x 1 t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν) r = z P f (ν) z = r, Q(ν)P f (ν) = I Q(ν)P (ν) u = s P f (ν) s = P (ν) u P f (ν) = =
78 Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor
79 Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor
80 Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor gesuchtes Eigenpaar wird i.a. nicht gefunden.
81 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt
82 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen.
83 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter
84 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen.
85 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen.
86 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern.
87 Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern. Wahl des Ritzpaares anhand der Ähnlichkeit zur Approximation.
88 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 8 außen θ innen
89 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 16 außen θ innen
90 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 32 außen θ innen
91 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 64 außen θ innen
92 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 128 außen θ innen
93 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 256 außen θ innen
94 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 512 außen θ innen
95 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 124 außen θ innen
96 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 248 außen θ innen
97 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 496 außen θ innen
98 Ergebnis Beispiel φ 2 R(φ) I(φ) 1 θ/π 2 3
99 Ergebnis Beispiel 1 Beispiel φ 2 R(φ) I(φ) φ 2 R(φ) I(φ) 1 θ/π θ/π 2 3
100 Ergebnis Beispiel ω = i 1 φ 2 R(φ) I(φ) θ/π φ 2 R(φ) I(φ) θ/π Beispiel 2 ω = i 1e ω N ω 496 1e 2 1e 4 1e 6 1e N
101 Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 N dim t/sec Summe 51 59
102 Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 N dim t/sec dim t/sec Summe
103 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert
104 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert Auswirkung auf die Linearisierung 3 M 2 M 1 M λ λ M 2 φ I + I λ φ = I I φ
105 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert Auswirkung auf die Linearisierung 3 M 2 M 1 M λ λ M 2 φ I + I λ φ = I I φ ω α 3 M 3 α 2 M 2 αm 1 M ω 2 φ I + I ω φ = I I φ
106 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j
107 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j r := P( λ) x Sr = SP( λ) x
108 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r )
109 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung
110 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden.
111 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2 ) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3
112 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. 2 φ θ 2 = Zähler(ω) Nenner(ω) φ
113 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. Nenner(ω) 2 φ θ 2 = Zähler(ω)φ
114 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. φ l = Diag ( Nenner(ω) ) 1 φr Nenner(ω) 2 φ θ 2 = Zähler(ω)φ
115 Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. φ l = Diag ( Nenner(ω) ) 1 φr V := Sr 1 φr Nenner(ω) 2 φ θ 2 = Zähler(ω)φ
116 Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 Skalierung ohne mit ohne mit N dim t/sec dim t/sec dim t/sec dim t/sec Summe
117 Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 Skalierung ohne mit ohne mit N dim t/sec dim t/sec dim t/sec dim t/sec Summe
118 Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 Skalierung ohne mit ohne mit N dim t/sec dim t/sec dim t/sec dim t/sec Summe
119 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3
120 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk
121 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls.
122 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k ))
123 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k )) Verfolgen der Moden und Auffinden der maximalen Anwachsrate
124 Wellenzahl K =.4, K = R(φ) innen θ außen
125 Wellenzahl K =.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ
126 Wellenzahl K =.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ)
127 Wellenzahl K =.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) sim(ω, ω)= , sim( φ, φ)=
128 Wellenzahl K =.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) sim(ω, ω)= , sim( φ, φ)=
129 Wellenzahl K =.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) sim(ω, ω)= , sim( φ, φ)=
130 .8 Wellenzahl
131 .8 Wellenzahl I(ω) K
132 .8 Wellenzahl I(ω) φ innen θ außen K
133 Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung:.2 I(ω).1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile.5 1 K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / 1 23 m 2 s innen θ außen innen θ außen
134 Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung:.2 I(ω).1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile.5 1 K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / 1 23 m 2 s innen θ außen innen θ außen
135 Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung:.2 I(ω).1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile.5 1 K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / 1 23 m 2 s innen θ außen innen θ außen
136 Selbstkonsistente Rechnung
137 Selbstkonsistente Rechnung
138 Selbstkonsistente Rechnung
139 Selbstkonsistente Rechnung
140 Selbstkonsistente Rechnung
141 Selbstkonsistente Rechnung Dämpfung in der Fixpunktiteration dynamische Dämpfung Trust region (T, p), exponentielle Terme (L n, E i )
142 Simulation Selbstkonsistente Rechnung n /1 19 m Temperaturprofil Iterationen Iterationen mit Eigenwertberechnung Eigenwertgleichungen dimv N = N = N = N = N = N = Dauer / Minuten 2:42 3:1 1:16 2:55 16:58
143 T / ev Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = m 3 1 n / 1 19 m HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s HFS θ LFS
144 T / ev Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = m 3 n = m 3 1 n / 1 19 m HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s HFS θ LFS
145 T / ev Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = m 3 n = m 3 n = m 3 1 n / 1 19 m HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s HFS θ LFS
146 T / ev Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = m 3 n = m 3 n = m 3 n = m 3 n / 1 19 m HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s HFS θ LFS
147 Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport D =, E = 1, 2, 3
148 Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport D =, E = 1, 2, D =.2, E = 1, 2, 3
149 Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport D =, E = 1, 2, D =.2, E = 1, 2, D =.4, E = 1, 2, 3
150 Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport E= E=2 E=1 D = φ 2 HFS LFS MAST parameters
151 Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport E= E=2 E=1 D = φ 2 HFS LFS MAST parameters 1 E=3 E=2 E=1 5 D =.2 φ 2 HFS LFS
152 Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport E= E=2 E=1 D = φ 2 HFS LFS MAST parameters E=3 E=2 E=1 D =.2 φ 2 HFS LFS E=3 E=2 E=1 D =.4 φ 2 HFS LFS
153 Simulation: magnetische Geometrie R(ω) I(ω) E E K Γ max E x D = D =.2 D = E
154 X-Punkt Geometrie Bisher: Limiter Maschine
155 X-Punkt Geometrie Bisher: Limiter Maschine Besser: Divertor Maschine
156
157
158
159 Limiter und Divertor Maschine
160 Randbedingung φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N
161 φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N
162 φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N Irrationale q:
163 φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N Irrationale q: Torus Koordinaten φ 2 R(φ) I(φ) θ/π
164 φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N Irrationale q: 1.5 Torus Koordinaten φ Magnetfeld Koordinaten φ R(φ) I(φ).5 1 θ/π R(φ) I(φ).5 1 θ/π 1.5 2
165 Zusammenfassung multilevel Jacobi-Davidson Eigenwertlöser Approximation des Suchraumes auf grobem Gitter Korrekturgleichung über preiswerte LR-Zerlegung Verbesserung der Kondition durch Skalierung S l P(λ)S r Verfolgen der Eigenmoden (Wellenzahl) selbstkonsistente Rechnung: Fixpunktiteration mit problemangepasster Dämpfung physikalisches Modell bedarf der Erweiterung Auswirkung der magnetischen Geometrie auf den Verlust Ausblick: X-Punkt-Geometrie in der divertor Maschine
166 Preiswerte Energiegewinnung - Polynomiale Eigenwertprobleme Energiekosten P(ω) φ = 29 Zeit
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