Numerische Methoden für Eigenwertprobleme in der Beschreibung von Drift-Instabilitäten in der Plasma Randzone
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1 Numerische Methoden für Eigenwertprobleme in der Beschreibung von Drift-Instabilitäten in der Plasma Randzone Dominik Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar Graduiertenkolleg Dynamik heißer Plasmen Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf März 2009
2 Gliederung Physikalischer Hintergrund Numerische Methoden
3 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma magnetischer Einschluss
4 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen
5 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche
6 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche
7 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern
8 Drift-Instabilitäten
9 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r + ik y iωt), I(ω) maximal
10 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
11 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ikr r +ik y iωt) 1 φ R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
12 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
13 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
14 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
15 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ikr r +ik y iωt) 1 φ R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
16 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ
17 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) φ 2 R(φ) I(φ) 0 innen θ außen Störungswelle φ anomaler Transport Γ
18 Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1 φ 2 T / ev T n p = T (θ) n(θ) n / m R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ 0 innen θ außen 0 anomaler Transport Γ
19 Eigenwert Gleichung 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 generische Form: [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 a j, b j, φ: [0, 2π[ C, 2π-periodische glatte Funktionen in θ gesucht: Eigenpaar (ω, φ) mit maximaler Anwachsrate I(ω)
20 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0
21 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter:
22 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ
23 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ))
24 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral- Methode
25 Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a 0 + b 0 θ 2 φ = 0 Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral- Methode P(ω) φ := ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0
26 Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem)
27 Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem) N = QZ -Algorithmus: 1 Stunde.
28 Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem) N = QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit Eigenwertgleichungen: 10 Jahre
29 Polynomiale Eigenwertprobleme ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M 0 ) φ = 0 3 ω M I M 2 M 1 M 0 + I ω2 φ ω φ = 0. I I φ ωbx = Ax, (generalisiertes Eigenwertproblem) N = QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit Eigenwertgleichungen: 10 Jahre nur ein Eigenpaar gesucht iterativer Löser, speziell Jacobi-Davidson-Verfahren
30 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N
31 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V
32 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0
33 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y).
34 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u.
35 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if
36 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
37 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
38 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
39 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = 0 (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop
40 Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν)P (ν) = I Q(ν) r = z P (ν) z = r, Q(ν)P (ν) u = s P (ν) s = P (ν) u P (ν) = =
41 Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν)P f (ν) = I Q(ν) r = z P f (ν) z = r, Q(ν)P (ν) u = s P f (ν) s = P (ν) u P f (ν) = =
42 Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor
43 Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor
44 Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor gesuchtes Eigenpaar wird i.a. nicht gefunden.
45 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt
46 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen.
47 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter
48 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen.
49 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen.
50 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern.
51 Jacobi-Davidson Verfahren (0.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern. Wahl des Ritzpaares anhand der Ähnlichkeit zur Approximation.
52 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 8 0 außen θ innen
53 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 16 0 außen θ innen
54 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 32 0 außen θ innen
55 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 64 0 außen θ innen
56 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = außen θ innen
57 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = außen θ innen
58 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = außen θ innen
59 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = außen θ innen
60 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = außen θ innen
61 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = außen θ innen
62 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: ω ω N dimv Zeit/s
63 Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: ω ω N dimv Zeit/s
64 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3
65 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk
66 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls.
67 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k ))
68 Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k )) Verfolgen der Moden und Auffinden der maximalen Anwachsrate
69 Wellenzahl K = 0.4, K = R(φ) innen θ außen
70 Wellenzahl K = 0.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ
71 Wellenzahl K = 0.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ)
72 Wellenzahl K = 0.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) sim(ω, ω)= , sim( φ, φ)=
73 Wellenzahl K = 0.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) sim(ω, ω)= , sim( φ, φ)=
74 Wellenzahl K = 0.4, K = R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ) sim(ω, ω)= , sim( φ, φ)=
75 0.08 Wellenzahl
76 0.08 Wellenzahl I(ω) K
77 0.08 Wellenzahl I(ω) φ innen θ außen K
78 Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung: 0.2 I(ω) 0.1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / m 2 s innen θ außen innen θ außen
79 Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung: 0.2 I(ω) 0.1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / m 2 s innen θ außen innen θ außen
80 Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung: 0.2 I(ω) 0.1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / m 2 s innen θ außen innen θ außen
81 Selbstkonsistente Rechnung
82 Selbstkonsistente Rechnung
83 Selbstkonsistente Rechnung
84 Selbstkonsistente Rechnung
85 Selbstkonsistente Rechnung
86 Selbstkonsistente Rechnung Dämpfung in der Fixpunktiteration dynamische Dämpfung Trust region (T, p), exponentielle Terme (L n, E i )
87 Simulation Selbstkonsistente Rechnung n /10 19 m Temperaturprofil Iterationen Iterationen mit Eigenwertberechnung Eigenwertgleichungen dimv N = N = N = N = N = N = Dauer / Minuten 2:42 3:10 1:16 2:55 16:58
88 Zusammenfassung multilevel Jacobi-Davidson Eigenwertlöser Approximation des Suchraumes auf grobem Gitter Korrekturgleichung über preiswerte LR-Zerlegung Verfolgen der Eigenmoden (Wellenzahl) selbstkonsistente Rechnung: Fixpunktiteration mit problemangepasster Dämpfung physikalisches Modell bedarf der Erweiterung
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