Rationales Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren für Eigenwertgleichungen in der Plasma Physik

Transcript

1 Rationales Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren für Eigenwertgleichungen in der Plasma Physik Dominik Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar; Kooperation mit D. Reiser Graduiertenkolleg Dynamik heißer Plasmen Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Dezember 2009

2 Gliederung Einführung in die Kernfusion mit dem Tokamak Eigenwertgleichung zur Beschreibung der Verluste Lösen der Eigenwertgleichung Der Multilevel Jacobi-Davidson Algorithmus für rationale Eigenwertprobleme Zusammenfassung

3 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium

4 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft

5 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit

6 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma

7 Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma magnetischer Einschluss

8 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen

9 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche

10 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche

11 Tokamak v E B B toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche

12 Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern

13 Drift Instabilitäten toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern

14 Drift Instabilitäten toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern

15 Divertor und X-Punkt Geometrie

16 Von der PDE zur Eigenwertgleichung PDE

17 Von der PDE zur Eigenwertgleichung PDE Separation: f = f makroskopisch + f mikroskopisch

18 Von der PDE zur Eigenwertgleichung PDE Separation: f = f makroskopisch + f mikroskopisch Linearisierung

19 Von der PDE zur Eigenwertgleichung PDE Separation: f = f makroskopisch + f mikroskopisch Linearisierung Welle φ(θ, t) = k r, k, ω φ k r, k (θ) exp(ik r r + ik y iωt) φ(θ) exp(ik r r + ik y iωt) einsetzen

20 Von der PDE zur Eigenwertgleichung PDE Separation: f = f makroskopisch + f mikroskopisch Linearisierung Welle φ(θ, t) = k r, k, ω φ k r, k (θ) exp(ik r r + ik y iωt) φ(θ) exp(ik r r + ik y iωt) einsetzen Eigenwert-Differentialgleichung

21 Eigenwert-Differentialgleichung Finde Eigenpaar (ω, φ), so dass (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0, P d (ω, θ) φ 2π-periodisch und I(ω) maximal. P n (ω, θ) = P d (ω, θ) = n ω j a j (θ) j=0 d ω j b j (θ) j=

22 Diskretisierung (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0 P d (ω, θ)

23 Diskretisierung (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0 P d (ω, θ) Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter:

24 Diskretisierung (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0 P d (ω, θ) Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ

25 Diskretisierung (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0 P d (ω, θ) Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ g(θ) Diag(g( θ)), n P n (ω) = ω j Diag(a j ( θ)) j=0

26 Diskretisierung (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0 P d (ω, θ) Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ g(θ) Diag(g( θ)), n P n (ω) = ω j Diag(a j ( θ)) k j=0 θ k D k finite Differenzen oder Spektral-Methode k f m θ k (θ 0) ψ j, f k ψ j θ k (θ 0) j=0

27 Diskretisierung (g 2 (θ) 2 θ 2 + g 1(θ) θ + g 0(θ) + P ) n(ω, θ) φ(θ) = 0 P d (ω, θ) Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [0, 2π[ θ g(θ) Diag(g( θ)), n P n (ω) = ω j Diag(a j ( θ)) k j=0 θ k D k finite Differenzen oder Spektral-Methode k f m θ k (θ 0) ψ j, f k ψ j θ k (θ 0) j=0 ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω)

28 Lösen des diskreten Eigenwertproblems diskrete Eigenwertgleichung ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) Bisher: (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 ( M 0 + M 1 ω + M 2 ω 2 + M 3 ω 3) φ = 0

29 Rechnung (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 Standardlöser 2 1 Z /m R/m ω 1024 = i

30 Rechnung (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 Standardlöser 2 1 Z /m R/m ω 1024 = i ω 64 = i

31 Rechnung (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 Standardlöser richtig Z /m 0 1 Z /m R/m ω 1024 = i ω 64 = i R/m ω 1024 = i ω 64 = i

32 Kondition der Eigenwertgleichung { ω c = lim ε 0 εω ω + ω löst die mit ε gestörte Eigenwertgleichung }

33 Kondition der Eigenwertgleichung (- -) (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 ( ( ) G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) c { ω c = lim ε 0 εω ω + ω löst die mit ε gestörte Eigenwertgleichung } log 2 (N)

34 Kondition der Eigenwertgleichung (- -) (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 ( ( ) G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) c { ω c = lim ε 0 εω ω + ω löst die mit ε gestörte Eigenwertgleichung } log 2 (N) Erklärung: Nenner mit P n (ω) ω multipliziert

35 Kondition der Eigenwertgleichung (- -) (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 ( ( ) G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) c { ω c = lim ε 0 εω ω + ω löst die mit ε gestörte Eigenwertgleichung } log 2 (N) Erklärung: Nenner mit P n (ω) ω multipliziert Fazit nicht mit Nenner multiplizieren

36 Kondition der Eigenwertgleichung (- -) (P d (ω) [G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 ] + P n (ω)) φ = 0 ( ( ) G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) c { ω c = lim ε 0 εω ω + ω löst die mit ε gestörte Eigenwertgleichung } log 2 (N) Erklärung: Nenner mit P n (ω) ω multipliziert Fazit nicht mit Nenner multiplizieren Auf niedriger Aufloesung (N = 64) kubische Gleichung anwendbar, Kandidat ermitteln

37 Lösung des rationalen Eigenwertproblems R(ω) φ := ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω)

38 Lösung des rationalen Eigenwertproblems R(ω) φ := ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P n(ω) P d (ω) [ F(ω, R(ω) φ) := ] φ = 0, DF(ω, φ) = ) φ = 0 [ R (ω) φ R(ω) ].

39 Lösung des rationalen Eigenwertproblems F(ω, φ) := R(ω) φ := [ R(ω) φ φ H φ 1 ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) ] [ = 0, DF(ω, R φ) = (ω) ] φ R(ω) 0 2 φ H.

40 Lösung des rationalen Eigenwertproblems F(ω, φ) := R(ω) φ := [ R(ω) φ φ H φ 1 ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) ] [ = 0, DF(ω, R φ) = (ω) ] φ R(ω) 0 2 φ H. Newtonschritt [ ] DF(ω j, ω φ j ) = F (ω φ j, φ j ), ω = ω j+1 ω j, φ = φj+1 φ j R (ω j ) φ j ω + R(ω) φ = R(ω j ), 2 φ H j φ = φ H j φj 1,

41 Lösung des rationalen Eigenwertproblems F(ω, φ) := R(ω) φ := [ R(ω) φ φ H φ 1 ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) ] [ = 0, DF(ω, R φ) = (ω) ] φ R(ω) 0 2 φ H. Newtonschritt [ ] DF(ω j, ω φ j ) = F (ω φ j, φ j ), ω = ω j+1 ω j, φ = φj+1 φ j R (ω j ) φ j ω + R(ω) φ = R(ω j ), 2 φ H j φ = φ H j Update des Eigenvektors φj+1 = ωr 1 (ω j )R (ω j ) φ j. φj 1,

42 Lösung des rationalen Eigenwertproblems F(ω, φ) := R(ω) φ := [ R(ω) φ φ H φ 1 ( G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) ] [ = 0, DF(ω, R φ) = (ω) ] φ R(ω) 0 2 φ H. Newtonschritt [ ] DF(ω j, ω φ j ) = F (ω φ j, φ j ), ω = ω j+1 ω j, φ = φj+1 φ j R (ω j ) φ j ω + R(ω) φ = R(ω j ), 2 φ H j φ = φ H j Update des Eigenvektors φj+1 = ωr 1 (ω j )R (ω j ) φ j. φj 1, Update des Eigenwertes f (ω) := φ H R(ω) φ Newton: ω j+1 = ω j φ H R(ω j ) φ φ H R (ω) φ.

43 Inverse Iteration Löse R(ω) φ = 0 (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) for j = 0,1,2,... do (1.) φ j+1 := R 1 (ω j )R (ω j ) φ j // Update des Eigenvektors (2.) φ j+1 := φ j+1 / φ j+1 // Normierung (3.) r j+1 = R(ω j ) φ j+1 // Residuum if r j+1 klein genug do Stopp end if φ H j+1 r j+1 (4.) ω j+1 := ω j φ H j+1 R (ω) φ j+1 end for // Update des Eigenwertes

44 Inverse Iteration Löse R(ω) φ = 0 (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) for j = 0,1,2,... do (1.) φ j+1 := R 1 (ω j )R (ω j ) φ j // Update des Eigenvektors (2.) φ j+1 := φ j+1 / φ j+1 // Normierung (3.) r j+1 = R(ω j ) φ j+1 // Residuum if r j+1 klein genug do Stopp end if φ H j+1 r j+1 (4.) ω j+1 := ω j φ H j+1 R (ω) φ j+1 end for // Update des Eigenwertes Spezialfall R(ω) φ = (ωi A) φ = 0: Rayleighquotienten-Iteration (1.) ist teuer, i.a. O(N 3 ) Newtonverfahren kann zu anderem Eigenpaar springen

45 Inverse Iteration im Unterraum Löse R(ω) φ = 0, wobei φ span(v ), V C N k, k N (0.) Wähle Suchraum V und Startpaar (ω 0, φ 0 = V x 0 ) for j = 0,1,2,... do (1.) x j+1 := (V H R(ω j )V ) 1 V H R (ω j )V x j // Update des Eigenvektors (2.) x j+1 := x j+1 / x j+1 // Normierung (3.) r j+1 = V H R(ω j )V x j+1 // Residuum if r j+1 klein genug do Stopp end if x H j+1 (4.) ω j+1 := ω j r j+1 x H j+1 V H R (ω)v x j+1 // Update des Eigenwertes end for (1.) ist preiswert, i.a. O(k 2 ) Newtonverfahren kann nur innerhalb von V springen Differentialoperatoren mit FFT in R(ω)V

46 Rationaler Jacobi-Davidson Algorithmus (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) und Suchraum V := [ φ 0 ]

47 Rationaler Jacobi-Davidson Algorithmus (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) und Suchraum V := [ φ 0 ] loop (1.) Orthonormalisiere V end loop

48 Rationaler Jacobi-Davidson Algorithmus (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) und Suchraum V := [ φ 0 ] loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaar (ν, u) in V mit inverser Iteration end loop

49 Rationaler Jacobi-Davidson Algorithmus (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) und Suchraum V := [ φ 0 ] loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaar (ν, u) in V mit inverser Iteration (4.) Berechne Residuum r := R(ν) u. Es gilt r V. end loop

50 Rationaler Jacobi-Davidson Algorithmus (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) und Suchraum V := [ φ 0 ] loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaar (ν, u) in V mit inverser Iteration (4.) Berechne Residuum r := R(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if end loop

51 Rationaler Jacobi-Davidson Algorithmus (0.) Wähle Startpaar (ω 0, φ 0 ) und Suchraum V := [ φ 0 ] loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaar (ν, u) in V mit inverser Iteration (4.) Berechne Residuum r := R(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (I w u H u H w ) R(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := R (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop

52 Die Korrekturgleichung (5.) Gegeben: Näherung (ν, u) der Eigenwertaufgabe ( R(ω) φ = G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) Jetzt Suchraum V [V, t] erweitern mit Newton Schritt (inverse Iteration) s = R 1 (ν)r (ν) u, zusätzlich t = α s u, so dass t u t = u H u u H s s u, R 1 (ν)r (ν) u = s R(ν) s = R (ν) u D j Spektralmethode R(ν) = = O(N 3 )

53 Die Korrekturgleichung (5.) Gegeben: Näherung (ν, u) der Eigenwertaufgabe ( R(ω) φ = G 2 D 2 + G 1 D 1 + G 0 + P ) n(ω) φ = 0 P d (ω) Jetzt Suchraum V [V, t] erweitern mit Newton Schritt (inverse Iteration) s = R 1 (ν)r (ν) u, zusätzlich t = α s u, so dass t u t = u H z u H s s z, Q 1 (ν) r = z Q(ν) z = r, Q(ν) R(ν) Q 1 (ν)r (ν) u = s Q(ν) s = R (ν) u D j Spektralmethode R(ν) = = O(N 3 ) D j finite Differenzen Q(ν) = = O(N)

54 Multilevel Jacobi-Davidson für Rationales Eig. Grobgitterlösung (ω N0, φ N0 ) bei N 0 = 64 mit P(ω) φ = (M 3 ω 3 + M 2 ω 2 + M 1 ω + M 0 ) φ = 0 V = [ φ N0 ], Jacobi-Davidson mit inverser Iteration bei N 0 Feineres Gitter N 1 = 2N 0, Eigenvektor interpolieren φ N1 V = [ φ N1 ], Jacobi-Davidson mit inverser Iteration bei N 0. (ω, φ) auf N final

55 Jacobi-Davidson-Verfahren Korrekturvektor t V ( Abbruch) Neustart mit skaliertem Eigenwertproblem 0 = R(ω)Φ = SR(ω)SΦ, wobei S diag( φ) Orthogonalisierung bzgl..,. S 2, d.h. V H V = I V H S 2 V = I Konvergenzrate (inverse Iteration): lokal quadratisch Zweiseitige inverse Iteration: lokal kubische Konvergenz R(ω) φ = 0 und ψ H R(ω) = 0, φj+1 := R 1 (ω j )R (ω j ) φ j ψ H j+1 := ψ H j R (ω j )R 1 (ω j ) ψ H j+1 ω j+1 := ω j R(ω) φ j+1 ψ H j+1 R (ω) φ j+1 Update des rechten Eigenvektors Update des linken Eigenvektors Update des Eigenwertes Linker V l und rechter V r Suchraum: Vl H R(ω)V r

56 Beispiel Skalierung links ohne Skalierung, rechts mit Skalierung Beschränkung: maximal (4) Durchläufe mit dim V 16, e f 10 9 N EP 1 EP 2 EP 3 EP (4) 5(1) 8(1) 5(1) 64(4) 7(1) 14(1) 8(1) (4) 5(1) 7(1) 4(1) 19(2) 6(1) 12(1) 9(1) (1) 6(1) 9(1) 6(1) 14(1) 30(2) 14(1) 12(1) (1) 7(1) 8(1) 6(1) 24(2) 64(4) 55(4) 25(2) (1) 9(1) 11(1) 9(1) 64(4) 64(4) 64(4) 64(4) (1) 13(1) 14(1) 13(1) 64(4) 64(4) 64(4) 64(4) 64 11(1) 22(2) 10(1) 10(1) 22(2) 25(2) 27(2) 45(3)

57 Parameterstudie 4 I(ω) Ep Ep 1 I(ω) k (Wellenzahl) k (Wellenzahl) N = 4096, 410 k-werte, Toleranz 10 9 : Rechenzeit: durchschnittlich 6 Sekunden je Eigenpaar

58 Zusammenfassung Eigenwertgleichung zur Beschreibung der Drift-Instabilitäten im Tokamak In X-Punkt-Geometrie: kubische Eigenwertgleichungs-Formulierung unbrauchbar Lösung der Rationalen Eigenwertgleichung: Newton, Inverse Iteration, Unterraumiteration Jacobi-Davidson Verfahren: präzise Bestimmung des Eigenwertes über Spektral-Diskretisierung, Korrekturgleichung preiswert über finite Differenzen Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren mit Skalierung und Restarts: schnell, preiswert, präzise Parameterstudien: Restart mit neuem Parameter auf wenigen Leveln gröber physikalische Interpretation

59 Fragen?

60