ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΜΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μεταπτυχιακή Εργασία

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΜΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΣΤΗΜΑΤΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΧΩΡΟΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ ΣΕ ΘΕΡΜΑΙΝΟΜΕΝΗ ΕΚΤΟΞΕΥΟΜΕΝΗ ΦΛΕΒΑ Μαρία Αρ. Λιάτσικου Επιβλέπων: Θ. Καρακασίδης, Επίκουρος Καθηγητής Βόλος, 2011

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ...3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Χρονοσειρές και δυναμικά συστήματα Περιγραφικό μοντέλο χρονοσειρών Η συνιστώσα της τάσης Το στοιχείο της περιοδικότητας Η μη ομαλή συνιστώσα Δυναμικά συστήματα Ο χώρος των φάσεων Ο ελκυστής Το σύστημα Lorenz Γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Γραμμικά μέτρα Μέτρα κεντρικής τάσης Μέτρα μεταβλητότητας Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) Φάσματα ισχύος (Power spectrum) - Μετασχηματισμοί Fourier Μη γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Ανακατασκευή του χώρου των φάσεων Επιλογή χρόνου υστέρησης τ (time delay) Εκτίμηση της διάστασης εμβύθισης m (embedding dimension) Ανακατασκευή του χώρου των φάσεων στο σύστημα Lorenz Μη γραμμικά χαρακτηριστικά του δυναμικού συστήματος (invariant measures) Διάσταση συσχέτισης (correlation dimension) Εκθέτες Lyapunov ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΝΕΟΤΕΡΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Τα Γραφήματα Επαναφοράς (Recurrence Plots- RP) Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς (Recurrence Quantification Analysis - RQA) Ποσοστό σημείων επαναφοράς (% Recurrence ή %REC) Ποσοστό ντετερμινισμού (%Determinism ή %DET) Μέγιστη διαγώνιος γραμμή (Maxline) Χρόνος παγίδευσης (Trapping Time, TT) Ποσοστό Laminarity (% Laminarity ή %LAM)

3 3. Συνάρτηση Συσυσρέτισης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Περιγραφή του πειράματος Παρουσίαση των χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟΊ ΧΡΟΝΟΙ ΚΑΙ ΣΥΧΝΌΤΗΤΕΣ Επιλογή χρόνου υστέρησης τ Φάσμα ισχύος...55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Ανάλυση με τη Μέθοδο Γ ραφημάτων Επαναφοράς Ποσοτική ανάλυση επαναφοράς...69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ...80 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Για την ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας οφείλονται ιδιαίτερες ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή κ. Θεόδωρο Καρακασίδη, Επίκουρο Καθηγητή του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας, για την ουσιαστική, διαρκή και αποτελεσματική βοήθειά του. Επίσης, ευχαριστώ ιδιαίτερα τους κ. κ. Δημήτριο Σοφιανόπουλο και Θεοφάνη Γραμμένο, Επίκουρο Καθηγητή και Λέκτορα του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας, αντίστοιχα, καθώς και τον κ. Αντώνιο Λιακόπουλο, διευθυντή εργαστηρίου Υδρομηχανικής και Περιβαλλοντικής Τεχνικής. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Παναγιώτη Παπανικολάου, για τα δεδομένα που μας παραχώρησε. 3

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια απόκτησης του μεταπτυχιακού τίτλου Εφαρμοσμένης Μηχανικής και Προσομοίωσης Συστημάτων του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας. Πραγματεύεται την εφαρμογή μεθόδων της γραμμικής και κυρίως μη γραμμικής ανάλυσης των χρονοσειρών, και επικεντρώνεται κυρίως σε μεθόδους που βασίζονται στην ανακατασκευή του χώρου των φάσεων, όπως η μέθοδος των Γραφημάτων Επαναφοράς, της Ποσοτικής Ανάλυσης Επαναφοράς καθώς και της Συνάρτησης Συσυσχέτισης. Οι μέθοδοι αυτές εφαρμόστηκαν σε χρονοσειρές θερμοκρασίας, που μετρήθηκαν σε πειραματική διάταξη θερμαινόμενης, οριζόντιας εκτοξευόμενης φλέβας σε δεξαμενή με νερό σε θερμοκρασία περιβάλλοντος. Οι μετρήσεις έγιναν στο εργαστήριο Υδρομηχανικής και Περιβαλλοντικής Μηχανικής του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας [Παλαμιτζόγλου 2005] (οι χρονοσειρές χορηγήθηκαν από τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Π. Παπανικολάου). Αρχικά παρουσιάζονται τα θεωρητικά στοιχεία σχετικά με τη γραμμική και μη γραμμική ανάλυση χρονοσειρών και στη συνέχεια αυτά που αφορούν τις μεθόδους των Γραφημάτων Επαναφοράς, της Ποσοτικής Ανάλυσης Επαναφοράς και της Συνάρτησης Συσυσχέτισης. Από την ανάλυση συνάγονται ουσιώδη αποτελέσματα στην εφαρμογή των παραπάνω μεθόδων και καταδεικνύεται η χρησιμότητά τους. 4

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη των δυναμικών συστημάτων, όπως περιβαλλοντικών, οικονομικών κλπ είναι απαραίτητη για την κατανόηση, πρόβλεψη και έλεγχο της συμπεριφοράς τους. Συνήθως δεν είναι γνωστές οι εξισώσεις και οι κανόνες που περιγράφουν το σύστημα και υπάρχουν μόνο ορισμένα μετρήσιμα μεγέθη, που καταγράφονται στο χρόνο και τα οποία εξαρτώνται από τη δυναμική του συστήματος. Αυτή η μελέτη οδηγεί στην ανάλυση χρονοσειρών. Οι περισσότερες μέθοδοι που αφορούν την ανάλυση των χρονοσειρών έχουν ως προϋπόθεση τη γραμμικότητα των συστημάτων. Έτσι, οι κλασσικές γραμμικές μέθοδοι, όπως η φασματική ανάλυση, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, κλπ που εφαρμόζονται στη μελέτη χρονοσειρών και που προέρχονται από γραμμικά συστήματα έχουν επιτυχή αποτελέσματα. Δεν μπορούν όμως να διακρίνουν τη χαοτική συμπεριφορά αυτών, η οποία πιθανόν να υπάρχει και να είναι αποτέλεσμα της μη γραμμικότητας ορισμένων αιτιοκρατικών συστημάτων. Για το λόγο αυτό, προτάθηκαν μη γραμμικές μέθοδοι, στηριγμένες στην ανακατασκευή του χώρου των φάσεων [Kantz and Schreiber, (2003), Marwan, (2003)]. Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η εφαρμογή των μη γραμμικών μεθόδων στην ανάλυση χρονοσειρών δυναμικού συστήματος πειραματικών δεδομένων (μεταβολών θερμοκρασίας). Η μελέτη αφορά τα δυναμικά χαρακτηριστικά της μεταβολής της θερμοκρασίας σε μία οριζόντια κυλινδρική θερμαινόμενη φλέβα, η οποία έρεε σε μία ισοθερμική δεξαμενή νερού (Παλαμιτζόγλου 2005). Η ανάλυση των χρονοσειρών βασίζεται στο πλαίσιο της χρονικής υστέρησης, της διάστασης εμβύθισης και στην ανακατασκευή του χώρου των φάσεων του συστήματος και έγινε με τη βοήθεια των υπολογιστικών πακέτων Matlab και Visual Recurrence Analysis (Kononov 2007). Η χρονική υστέρηση βρέθηκε με εφαρμογή της συνάρτησης αμοιβαίας πληροφορίας και η διάσταση εμβύθισης με εφαρμογή της μεθόδου των ψευδών γειτόνων. Επίσης χρησιμοποιήθηκαν μη γραμμικές μέθοδοι, βασισμένες στα Γραφήματα Επαναφοράς (Recurrence Plots) και στην Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς (Recurrence Quantification Analysis) και παρουσιάζεται η εφαρμογή τους στην ανάλυση πειραματικών δεδομένων. Από την παρατήρηση των Γραφημάτων Επαναφοράς προέκυψε ότι, προχωρώντας προς το κέντρο της φλέβας, υπάρχουν διαφορετικές δομές σ αυτά. Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω αποτελεσμάτων, έγινε η ποσοτικοποίησή τους με την Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς. Η Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς μετρά παραμέτρους όπως %recurrence, %determinism, %laminarity, trapping time (Zbilut and Webber, 5

7 1992). Η μελέτη, επίσης, επεκτάθηκε, εξετάζοντας τις συσχετίσεις που ενδεχομένως υφίστανται μεταξύ των χρονοσειρών και συνεπώς των τμημάτων της φλέβας. Γι αυτόν το σκοπό χρησιμοποιήθηκε η Συνάρτηση Συσυσχέτισης. Τέλος, εξάγονται ουσιαστικά συμπεράσματα για την αποτελεσματικότητα των παραπάνω μεθόδων στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων και στην ανάλυση των χρονοσειρών και γίνονται προτάσεις για μελλοντική έρευνα. 6

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα σημαντικότερα σημεία της γραμμικής και μη γραμμικής ανάλυσης των χρονοσειρών. 1. Χρονοσειρές και δυναμικά συστήματα Ως χρονοσειρά ορίζεται ένα σύνολο Ν διαδοχικών παρατηρήσεων κάποιου μεγέθους χ, για κάποιο χρονικό διάστημα Τ. Οι χρονοσειρές, δηλαδή, παράγονται από την παρατήρηση και καταγραφή διαφόρων χαρακτηριστικών μεγεθών δυναμικών συστημάτων. Η ανάλυση χρονοσειρών αποτελεί ένα σημαντικό εργαλείο για τη μελέτη και κατανόηση της συμπεριφοράς των δυναμικών συστημάτων, το οποίο έχει βρει εφαρμογές σε πολλά επιστημονικά πεδία, όπως η μετεωρολογία, η υδρολογία, η βιολογία, κλπ. Οι χρονοσειρές προέρχονται από συστήματα ντετερμινιστικά ή στοχαστικά. Τα ντετερμινιστικά συστήματα ακολουθούν κάποιους κανόνες εξέλιξης που περιγράφονται συνήθως από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διαφορών. Στα στοχαστικά συστήματα n επόμενη κατάσταση δε σχετίζεται με την προηγούμενη. Οι μεταβλητές του συστήματος, συναρτήσει του χρόνου, περιγράφουν την κατάσταση του συστήματος σε δεδομένη χρονική στιγμή. Ο χώρος των καταστάσεων ενός συστήματος είναι μια μαθηματική κατασκευή, που καθορίζεται από τις μεταβλητές του συστήματος. Έτσι, οι καταστάσεις ενός δυναμικού συστήματος προσδιορίζονται από μια σειρά σημείων και η εξέλιξη του συστήματος δίνεται από μία τροχιά στον χώρο καταστάσεων του συστήματος, η οποία, σε κάποιες περιπτώσεις, μπορεί να διαμορφώνει ένα γεωμετρικό σχήμα που ονομάζεται ελκυστής και αποτελεί μία πεπερασμένη υποπεριοχή του χώρου των φάσεων, στην οποία τελικά κινείται το σύστημα. Ένα ντετερμινιστικό σύστημα μπορεί να είναι είτε γραμμικό, τα εργαλεία για την ανάλυση του οποίου είναι αρκετά ανεπτυγμένα, είτε μη γραμμικό, που είναι πιο πολύπλοκο. Τα μη γραμμικά ντετερμινιστικά συστήματα παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. 7

9 Η θεωρία του χάους εστιάζει στη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων και περιγράφει τη συμπεριφορά τους. Ένα ντετερμινιστικό μη γραμμικό σύστημα ονομάζεται χαοτικό σύστημα, αν η τροχιά του εμφανίζει ευαισθησία σε αρχικές συνθήκες. Πρέπει να τονιστεί ότι κάθε χαοτικό σύστημα είναι μη γραμμικό καθώς και ότι ένα γραμμικό σύστημα δεν είναι δυνατόν να είναι χαοτικό. Χαρακτηριστικό παράδειγμα χαοτικού δυναμικού συστήματος αποτελεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων Lorenz (Lorenz, 1963). 1.1 Περιγραφικό μοντέλο χρονοσειρών Κάθε χρονοσειρά x1,x2,... xn μπορεί να περιγραφεί από το απλό μοντέλο xt =μι+βι+γι (1.1) όπου: μt είναι η συνιστώσα τάσης (trend component) και περιγράφει τη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά της χρονοσειράς st είναι το στοιχείο της περιοδικότητας ή εποχικότητας (cyclical or seasonal component) και περιγράφει κανονικές διακυμάνσεις κάποιας περιόδου yt είναι η μη ομαλή συνιστώσα (irregular component) που απομένει όταν αφαιρεθούν από τη χρονοσειρά τα μt και st. Η χρονοσειρά των yt μπορεί να αποτελείται από πλήρως τυχαίες διακυμάνσεις, οπότε λέγεται λευκός θόρυβος (white noise), ή να παρουσιάζει κάποια δομή, όπως στην περίπτωση χαοτικών συστημάτων. Μια χρονοσειρά θεωρείται στάσιμη όταν οι στατιστικές της ιδιότητες δεν αλλάζουν με το χρόνο. Όταν δε μεταβάλλεται η μέση τιμή και η διασπορά, μιλάμε για ασθενή στασιμότητα (weak stationarity). Έτσι, όταν σε μια χρονοσειρά υπάρχει τάση ή περιοδικότητα, αυτή δεν είναι στάσιμη και η απαλοιφή τους αποσκοπεί στο να γίνει Η συνιστώσα της τάσης Η τάση είναι μια συνιστώσα ενός απλού μοντέλου χρονοσειράς που περιγράφει τη μακροπρόθεσμη συμεριφορά της. Μια πραγματική χρονοσειρά είναι φυσικό να εμφανίζει κάποια τάση, όπως για παράδειγμα η χρονοσειρά μέτρησης της κυκλοφορίας σε μια οδική αρτηρία μπορεί να παρουσιάζει αυξητική τάση με το χρόνο. Μια τέτοια τάση μπορεί να περιγραφεί από μία απλή συνάρτηση του χρόνου f(t), π.χ. από ένα πολυώνυμο κάποιας τάξης. Για μια πιο πολύπλοκη τάση χρειάζεται 8

10 να προσαρμόσουμε μια πιο σύνθετη συνάρτηση, όπως εκθετική ή πολυώνυμο μεγάλης τάξης. Σε πολλές εφαρμογές στην ανάλυση χρονοσειρών δε μας ενδιαφέρει η μακροπρόθεσμη τάση που μπορεί να οφείλεται σε εξωγενείς παράγοντες αλλά οι αλλαγές που γίνονται σε μικρότερη χρονική κλίμακα. Σε αυτές τις περιπτώσεις η τάση πρέπει να απαλειφθεί. Οι μέθοδοι για την απαλοιφή της τάσης είναι το γραμμικό φιλτράρισμα, η μέθοδος των διαφορών, η προσαρμογή μιας συνάρτησης καθώς και πιο σύνθετες μέθοδοι που μπορεί να βρει κανείς σε βιβλία κλασσικής ανάλυσης χρονοσειρών (Brockwell and Davis 1991) Το στοιχείο της περιοδικότητας Η περιοδικότητα που μπορεί να παρουσιάζει μια χρονοσειρά είτε οφείλεται σε εξωγενείς παράγοντες και δε μας ενδιαφέρει να τη μελετήσουμε, οπότε θέλουμε να την απαλείψουμε, ή είναι σημαντική για τη μελέτη μας και θέλουμε να την προσδιορίσουμε. Ένα παράδειγμα είναι η κυκλοφορία σε μία οδική αρτηρία που παρουσιάζει συστηματικές μεταβολές στις διάφορες ώρες της ημέρας Αν θέλουμε να μελετήσουμε τη μεταβολή της κυκλοφορίας στις διάφορες περιόδους της ημέρας, προσδιορίζουμε αυτή τη μεταβολή ως συνάρτηση του χρόνου για μια ημέρα. Αν θέλουμε να δούμε αν η κυκλοφορία έχει κάποια δυναμική, δηλαδή αν η κυκλοφορία σε κάποια ώρα της ημέρας εξαρτάται από την κυκλοφορία τις προηγούμενες ώρες, για να μελετήσουμε τέτοιες σχέσεις, πρέπει να απαλείψουμε την περιοδικότητα, δηλαδή την κίνηση που αναλογεί λόγω της συγκεκριμένης ώρας της ημέρας. Και στις δύο περιπτώσεις θα πρέπει να εκτιμήσουμε πρώτα την περιοδικότητα. Αυτό επιτυγχάνεται με αντικειμενικό τρόπο, χρησιμοποιώντας την ανάλυση Fourier Η μη ομαλή συνιστώσα Η μη ομαλή συνιστώσα είναι το στοιχείο που απομένει εάν αφαιρεθεί η τάση και η περιοδικότητα και παρουσιάζει είτε στοχαστική συμπεριφορά είτε, σε αρκετές περιπτώσεις, χαοτική συμπεριφορά. 9

11 1.2 Δυναμικά συστήματα Σύστημα είναι μια διάταξη αλληλεπιδρώντων μερών σε ένα ενιαίο σύνολο. Δυναμικό λέγεται το σύστημα που εξελίσσεται στο χρόνο (dynamical system). Κάθε σύστημα μπορεί να δώσει ως μετρήσιμες τουλάχιστον τόσες χρονοσειρές όσες είναι και οι μεταβλητές που το περιγράφουν. Οι χρονοσειρές σχηματίζονται από τη χρονική εξέλιξη των μεταβλητών του συστήματος ή είναι πολύπλοκες συναρτήσεις αυτών. Από την ανάλυση των χρονοσειρών μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για το σύστημα. Σε ένα δυναμικό σύστημα δεν γνωρίζουμε, εν γένει, πόσες μεταβλητές περιγράφουν την κατάσταση του συστήματος ούτε και τους νόμους που περιγράφουν την εξέλιξή του, έχουμε πρόσβαση μόνο σε μερικές μετρήσιμες ποσότητες του συστήματος. Θεωρούμε πως το υπό μελέτη σύστημα που παρατηρούμε μέσω μιας χρονοσειράς είναι αιτιοκρατικό και όχι στοχαστικό. Συγκεκριμένα θεωρούμε ότι είναι ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα, διακριτό (discrete) ή συνεχές (continuous), το οποίο ορίζεται από εξισώσεις διαφορών ή από διαφορικές εξισώσεις αντίστοιχα. Ξεκινώντας από κάποια αρχική συνθήκη, το σύστημα δίνεται (σε συνεχή ή διακριτό χρόνο) ως st=ft (so) (1.2) όπου: st το διάνυσμα θέσης του συστήματος τη χρονική στιγμή t, st e Rd, d η διάσταση του Ευκλείδιου χώρου καταστάσεων του συστήματος, s0 το διάνυσμα θέσης για χρόνο 0 (αρχική συνθήκη), ft : Rd ^ Rd η συνάρτηση του συστήματος που απεικονίζει το s0 στο st t συνεχής ή διακριτός χρόνος. Μία χρονοσειρά xi (i=1,2,...,n) μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από ένα δυναμικό σύστημα ως η προβολή xi κάθε σημείου st της τροχιάς του συστήματος, δηλαδή x=h(st) (1.3) όπου h: Rd ^ Rd είναι η συνάρτηση προβολής που λέγεται και συνάρτηση παρατήρησης. 10

12 1.2.1 Ο χώρος των φάσεων Ο χώρος των φάσεων είναι ο μαθηματικός χώρος του οποίου οι συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες μεταβλητές που χρειάζονται για να καθορίσουν την κατάσταση του δυναμικού συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή. Η μη γραμμικότητα έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση πολύπλοκων δομών στο χώρο των φάσεων. Σε τέτοιες περιπτώσεις ο χώρος των φάσεων μπορεί να χαρακτηρίζεται από τη συνύπαρξη περιοχών χάους και περιοχών οργανωμένης συμπεριφοράς των μεταβλητών (για παράδειγμα Συριόπουλος και Λεοντίσης, 2000, Kantz and Schreiber, 2003). Ο χώρος των φάσεων προσφέρει έναν τρόπο μετατροπής των αριθμών σε εικόνες. Η πλήρης γνώση ενός δυναμικού συστήματος μια μοναδική στιγμή του χρόνου παριστάνεται με ένα σημείο Ο ελκυστής Ο ελκυστής είναι μία υποπεριοχή στο χώρο των φάσεων, προς την οποία τείνουν ασυμπτωτικά στο χρόνο οι τροχιές για ένα εύρος αρχικών συνθηκών. Ο ελκυστής φαίνεται στο σύστημα αφού σταθεροποιηθεί και αρχίσει να επαναλαμβάνει κάποια συμπεριφορά. Συνεπώς, οι αρχικές συνθήκες και η συμπεριφορά στις πρώτες επαναλήψεις δε συμπεριλαμβάνονται στον ελκυστή. Ο ελκυστής μπορεί να είναι ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος, ένα πεπερασμένο σύνολο τέτοιων σημείων (για περιοδικές τροχιές διακριτών συστημάτων), ένας οριακός κύκλος (για περιοδικές τροχιές συνεχών συστημάτων), ένας τόρος (για ψευδο-περιοδικές τροχιές συνεχών συστημάτων) ή κάποιο άλλο μηπεπερασμένο σύνολο σημείων, ο ονομαζόμενος χαοτικός ή παράξενος ελκυστής Το σύστημα Lorenz Το σύστημα Lorenz είναι ένα από τα πιο γνωστά χαοτικά δυναμικά συστήματα. Ο μετεωρολόγος Edward Lorenz προσπαθώντας να ερμηνεύσει την πρόβλεψη του καιρού χρησιμοποίησε τρεις μη γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Σ.Δ.Ε. (Lorenz, 1963): 11

13 dxi.. =σ(χ2-χι) dt dx2 =r X1-X2-X1X3 (1.4) dt = XiX2-bX3 dt To μοντέλο αυτό είναι ένα τρισδιάστατο αυτόνομο συνεχές δυναμικό σύστημα που παράγεται από μία δραστική περικοπή (απλοποίηση) μιας ανάπτυξης των εξισώσεων μεταφοράς θερμότητας μέσω ρευμάτων συναγωγής (convention) όπου: x1 είναι το πλάτος της πρώτης οριζόντιας αρμονικής της κατακόρυφης ταχύτητας του ρευστού, χ2 το πλάτος της αντίστοιχης θερμοκρασιακής ταλάντωσης, χ3 μια συνάρτηση θερμοκρασιακού πεδίου, σ ο αριθμός του Prandtl, r ο κανονινοποιημένος αριθμός του Rayleigh, b μία παράμετρος που σχετίζεται με οριζόντιο κυματοδιάνυσμα. Ανακαλύφθηκε από τον Lorenz ότι για τις τιμές των παραμέτρων σ=10 r=28 και b=8/3 το σύστημα γίνεται χαοτικό, δηλαδή μια μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες θα επιφέρει δραματική αλλαγή στα δεδομένα. Στο σχήμα 1.1 βλέπουμε τις χρονοσειρές από τις λύσεις των τριών μεταβλητών του συστήματος για τις τιμές αυτές των παραμέτρων (Παπαϊωάννου, 1999). Σχήμα 1.1: Οι χρονοσειρές των x1(t), x2(t), x3(t) του ΣΔΕ του Lorenz στην χαοτική περιοχή. 12

14 Σχήμα 1.2: Ο χώρος των φάσεων του συστήματος Lorenz. 2. Γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Η γραμμική ανάλυση χρονοσειρών μελετά γραμμικά χαρακτηριστικά, όπως η αυτοσυσχέτιση και το φάσμα ισχύος. Τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς που μπορεί να αναπαράγει ένα γραμμικό μοντέλο περιορίζονται στη μέση τιμή, τη διασπορά και την αυτοσυσχέτιση. Η γραμμική ανάλυση περιγράφει ικανοποιητικά μια γραμμική διαδικασία αλλά όχι και μία μη γραμμική. Όταν η γραμμική ανάλυση εφαρμόζεται σε μία πραγματική χρονοσειρά, που έχει φαινομενικά στοχαστική συμπεριφορά, χάνεται ένα μεγάλο μέρος της πληροφορίας. Αυτό το μέρος της πληροφορίας διερευνά η μη γραμμική ανάλυση. 2.1 Γραμμικά μέτρα Τα κύρια γραμμικά μέτρα είναι τα μέτρα στατιστικών δεδομένων, δηλαδή τα μέτρα κεντρικής τάσης, τα μέτρα μεταβλητότητας, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και το φάσμα ισχύος Μέτρα κεντρικής τάσης Έστω xi,x2,...,xnοι τιμές των παρατηρήσεων για μια μεταβλητή x που μελετάμε. Τα μέτρα κεντρικής τάσης είναι (Κόλυβα και Μπόρα, 1998): Η δειγματική μέση τιμή (sample mean) ή ο μέσος όρος( average) είναι το κέντρο ισορροπίας των δεδομένων και ορίζεται ως: 13

15 X1 + Χ Xn 1 Χμ= = ~ Σ Xi n n ~ f (1.5) Η δειγματική διάμεσος (sample median) που, σε μία διατεταγμένη αύξουσα σειρά των x1,x2,...,xnορίζεται ως η κεντρική τιμή: n +1 δ= 2 (1.6)», ^,, n +1 Αν το n περιττός, το δ αντιστοιχεί στην τιμή , ενω αν το n άρτιος, το δ 2 αντιστοιχεί στο ημιάθροισμα των n n +1 κ α ι Μέτρα μεταβλητότητας Έχει διαπιστωθεί ότι διαφορετικά δείγματα από τον ίδιο πληθυσμό μπορεί να έχουν το ίδιο μέτρο κεντρικής τάσης αλλά να κατανέμονται περισσότερο ή λιγότερο γύρω από το κέντρο. Τα κυριότερα μέτρα διασποράς των δεδομένων είναι (Κόλυβα και Μπόρα, 1998): Η δειγματική διακύμανση ή δειγματική διασπορά s2 (sample variance) η οποία μετράει τη μεταβλητότητα των παρατηρήσεων γύρω από τη δειγματική μάζα και ορίζεται ως: 1 n 1 s 2 Χμ) 2 n - τ Σ ( x - 1 i=1 n -1 n (Σ Χ 2-Πχμ2) i=1 (1.7) Η δειγματική τυπική απόκλιση s (standard deviation) η οποία εκφράζει κατά πόσο η τιμή της μεταβλητής απέχει από τη μέση τιμή, και ορίζεται ως: s=4s*. (1.8) Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης η<(τ) (autocorrelation function) μετράει τη γραμμική συσχέτιση μεταξύ των διαδοχικών τιμψν μιας χρονοσειράς (Brett and Tuller, 1991) και είναι αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του φάσματος ισχύος. Δίνει ανάλογες πληροφορίες με το φάσμα ισχύος, οι οποίες όμως αφορούν το πεδίο του χρόνου και όχι το πεδίο των συχνοτήτων. Ορίζεται ως: 14

16 1 N 1 Γχ(τ) = N ( Χί - Χ μ ) ( X t - τ Χ μ ) ί=1+τ s 2 (1.9) όπου χκ η μέση τιμή, s2η διασπορά, τ η υστέρηση και Ν ο αριθμός των σημείων Φάσματα ισχύος (Power spectrum) - Μετασχηματισμοί Fourier Η κατασκευή του φάσματος ισχύος αποτελεί μέρος της ανάλυσης των χρονοσειρών και αποσκοπεί στην εύρεση τυχόν ισχυρών συχνοτήτων. Το φάσμα ισχύος έχει άμεση σχέση με το στοιχείο της περιοδικότητας. Αν η χρονοσειρά έχει έντονη περιοδικότητα με περίοδο k, το φάσμα ισχύος δείχνει έντονη ισχύ για συχνότητα 1/k. Σε κάθε χρονοσειρά υπάρχουν μικροί και μεγάλοι κύκλοι με μορφή ημιτόνου (ή συνημιτόνου). Σκοπός είναι να διακρίνουμε τους κύκλους που συμβάλουν σε μεγάλο ποσοστό στη διακύμανση της χρονοσειράς και να αγνοήσουμε αυτούς που συμβάλουν σε μικρό ποσοστό. Η χρονοσειρά αναλύεται με βάση τη σειρά Fourier και η διακύμανση υπολογίζεται από το συνδυασμό των συντελεστών ημιτόνου και συνημιτόνου. Σκοπός είναι η εύρεση χαρακτηριστικών συχνοτήτων, η αφαίρεση περιοδικής ή εποχικής συνιστώσας και η πρόβλεψη. Στο φάσμα ισχύος, μια περιοδική ή σχεδόν περιοδική χρονοσειρά διακρίνεται από μια χαοτική, καθώς, στην πρώτη περίπτωση, έχουμε χαρακτηριστικές κορυφές, ενώ στη δεύτερη το φάσμα ισχύος είναι ευρυζωνικό. Θεωρούμε μία χρονοσειρά μήκους N ως μια σειρά από κύκλους περιόδου 2,3,...,Τ. Οι αντίστοιχες συχνότητες είναι 1/2, 1/3,...,1/Τ, ή, σε γωνιακές συχνότητες, 2π/2, 2π/3,..., 2π/Τ. Η θεμελιώδης συχνότητα ταλάντωσης, δηλαδή η συχνότητα της πρώτης αρμονικής ταλάντωσης, είναι f=1/t και η θεμελιώδης γωνιακή συχνότητα είναι ω=2π/τ=2πγ Μια χρονοσειρά διακριτού χρόνου μπορεί να θεωρηθεί ως μια περιοδική κυματομορφή περιόδου το πολύ Τ που δίνεται από τη σειρά Fourier: M Xn= αο+ ^ (ak cos(2nkfri) + bk sin(2 nkfii)) *=1 (1.10) όπου α0 είναι η μέση τιμή, αι< και bk είναι τα πλάτη για κάθε συνημιτονοειδή και ημιτονοειδή ταλάντωση στις αρμονικές συχνότητες kω=2πkf αντίστοιχα, και M μπορεί να τείνει στο άπειρο. 15

17 Όταν ο χρόνος είναι συνεχής, η χρονοσειρά είναι μια συνεχής κυματομορφή με υψηλότερη περίοδο Τ. Καθώς η περίοδος Τ αυξάνει, το διάστημα μεταξύ των ταλαντώσεων μικραίνει. Αφήνοντας την περίοδο να τείνει στο άπειρο, ορίζουμε το μετασχηματισμό Fourier για ένα συνεχές φάσμα συχνοτήτων f: w F(f)= J x(t)e i2nft dt (1.11) w Όταν ο χρόνος δεν είναι συνεχής, και έχουμε μια χρονική σειρά Ν στοιχείων, ορίζεται ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier με επίσης Ν στοιχεία και για -1/2<f<1/2 ως: N FD(f)= ^ xne 'i2πfn (1.12) n=1 Τα στοιχεία του μετασχηματισμού Fourier F(f) ή του διακριτού μετασχηματισμού Fourier FD(f) είναι μιγαδικοί αριθμοί. Το φάσμα ισχύος δίνεται από το τετράγωνο του μέτρου των μιγαδικών αριθμών του διακριτού μετασχηματισμού Fourier: Px(f)=limE 1 2M +1 M ^ x e ( ί2π(η ) Λ2 n= M ή Pper(f) N 1 ^ Χ η β Λ ( ί 2 π! η ) 2 n=0 (1.13) Στο σχεδιασμό του φάσματος ισχύος υπολογίζονται συνήθως οι συχνότητες τόσο στη γραμμική μορφή της χρονοσειράς όσο και στη λογαριθμική μορφή, όπου υπάρχουν νόμοι κλίμακας της μορφής P(f)=cf α (Mandelbrot,2002,Bak et. al, 1992). (α) (β) Σχήμα 1.3: Φάσμα ισχύος του συστήματος Lorenz (α) στη γραμμική κλίμακα (β) στη λογαριθμική κλίμακα. 16

18 3. Μη γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Στη μη γραμμική ανάλυση των χρονοσειρών υποθέτουμε ότι η ρρονοσειρά παράγεται από ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα που ενδεχομένως περιέχει θόρυβο και ότι το αιτιοκρατικό μέρος της διαδικασίας διαμορφώνει, κατά κύριο λόγο, τη χρονοσειρά. Γι αυτό θέλουμε να μελετήσουμε χαρακτηριστικά του αιτιοκρατικού δυναμικού συστήματος, να το περιγράψουμε με κατάλληλο μοντέλο και να πετύχουμε καλύτερες προβλέψεις. Η γενική μεθοδολογία ασχολείται με τα εξής θέματα: Ανακατασκευή του χώρου των καταστάσεων Εκτίμηση των χαρακτηριστικών του δυναμικού συστήματος (διάσταση ελκυστή, εκθέτες Lyapunov) Μη γραμμικά μοντέλα πρόβλεψης Για μία λεπτομερή παρουσίαση μπορεί κανείς να ανατρέξει στους Kantz και Schreiber (2003). 3.1 Ανακατασκευή του χώρου των φάσεων Για να διαπιστώσουμε ότι η χρονοσειρά προέρχεται από ντετερμινιστικό ή στοχαστικό σύστημα θα πρέπει να γίνει ανακατασκευή του χώρου των φάσεων, δηλαδή να κατασκευαστεί ένας χώρος φάσεων μόνο από τη χρονοσειρά με τα ίδια χαρακτηριστικά που έχει ο αυθεντικός χώρος φάσεων του συστήματος που την έδωσε. Με την ανακατασκευή του χώρου των φάσεων μπορούμε να δούμε τη δομή της μονοδιάστατης χρονοσειράς παρατηρώντας τα διαγράμματα διασποράς σε υψηλότερες διαστάσεις. Εάν το σύστημα είναι κατά βάση αιτιοκρατικό περιμένουμε ότι κάθε μέτρηση εξαρτάται από έναν αριθμό προηγούμενων μετρήσεων, δηλαδή xn+1=f(xn,xn.1,xn. 2,...,xn-m) και για μικρά At αυτές οι τιμές εμπεριέχουν πληροφορία ισοδύναμη με αυτή κάποιων παραγώγων που θα μπορούσαν να περιγράφουν την εξέλιξη του συστήματος. Το θεώρημα του Takens επιτρέπει κάτω από κάποιες συνθήκες να κατασκευάσουμε ένα νέο χώρο καταστάσεων διάστασης m από τη γνώση της χρονοσειράς και μόνο (Takens 1981). Σ αυτόν το χώρο, οι ανακατασκευασμένες τροχιές από τη χρονοσειρά αποτελούν τον ανακατασκευασμένο ελκυστή. Ο ανακατασκευασμένος ελκυστής διατηρεί τις τοπολογικές ιδιότητες του αρχικού ελκυστή και το ανακατασκευασμένο δυναμικό σύστημα, έχει τα ίδια δυναμικά χαρακτηριστικά με το αρχικό σύστημα, δηλαδή επιτυγχάνεται εμβύθιση (embedding) του αρχικού συστήματος στο ανακατασκευασμένο σύστημα. Το θεώρημα του Takens 17

19 δίνει τη συνθήκη m > 2D+ 1 για την ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων, όπου D είναι η μορφοκλασματική διάσταση του ελκυστή. Η πιο απλή μέθοδος ανακατασκευής του χώρου καταστάσεων είναι η μέθοδος των υστερήσεων. Οι παράμετροι της ανακατασκευής είναι: Η υστέρηση (delay) τ που ορίζει με ποια χρονική διαφορά επιλέγονται οι m παρατηρήσεις για χρόνους μικρότερους της χρονικής στιγμής i Η διάσταση εμβύθισης (embedding dimension) m που ορίζει τον αριθμό των παρατηρήσεων που γίνονται συνιστώσες του ανακατασκευασμένου διανύσματος Επιλογή χρόνου υστέρησης τ (time delay) Η επιλογή του χρόνου υστέρησης τ είναι σημαντική ιδιαίτερα όταν η δειγματοληψία της χρονοσειράς έχει γίνει με μικρό χρόνο δειγματοληψίας τ5. Αν το τ επιλεγεί μικρό, οι διαδοχικές τιμές είναι ισχυρά συσχετισμένες και δεν έχουμε επιπλέον πληροφορία, ενώ αν το τ επιλεγεί μεγάλο, οι τιμές γίνονται ασυσχέτιστες με αποτέλεσμα να χάνεται πληροφορία για τη δυναμική του συστήματος. Έτσι ως βέλτιστη επιλογή θεωρείται η μικρότερη τιμή του τ που καθιστά τις συνιστώσες του ανακατασκευασμένου διανύσματος καταστάσεως ασυσχέτιστες. Για την επιλογή του τ μπορούν να εφαρμοστούν δύο μέθοδοι, ο υπολογισμός της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και ο υπολογισμός της συνάρτησης μέσης αμοιβαίας πληροφορίας (average mutual information) I(X,Y), η οποία μετράει τη γραμμική και μη γραμμική συσχέτιση δύο μεταβλητών X και Y και δίνεται από τη σχέση: Ι(Χ,Υ)= X X p(x,y)log yeyxex p(x,y ) ^ pi(x)p2(y ) (1.14) Σύμφωνα με την πρώτη, επιλέγεται ο χρόνος τ για τον οποίο μηδενίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για πρώτη φορά. Αν δε φθίνει γρήγορα προς το 0, επιλέγεται το τ για το οποίο η συνάρτηση πέφτει στο 1/e. Σύμφωνα με τη δεύτερη, επιλέγεται η υστέρηση τ που αντιστοιχεί στο πρώτο τοπικό ελάχιστο της Ι(τ). Επιλογή χρόνου υστέρησης τ (time delay) στο σύστημα Lorenz Στο σχήμα 1.3 δίνεται η επιλογή του χρόνου υστέρησης τ χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση αμοιβαίας πληροφορίας σε χρονοσειρά του δυναμικού χαοτικού 18

20 συστήματος Lorenz. Ο χρόνος υστέρησης που προκύπτει είναι τ=2, όπου είναι το πρώτο τοπικό ελάχιστο. Σχήμα 1.4: Επιλογή του χρόνου υστέρησης από τη συνάρτηση αμοιβαίας πληροφορίας Εκτίμηση της διάστασης εμβύθισης m (embedding dimension) Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση του m είναι η μέθοδος των ψευδών γειτόνων (method of false nearest neighbors, FNN) (Kennel et al 1992). H μέθοδος βασίζεται στη σχέση ψευδών γειτόνων και αυτo-τομών. Αν για κάποια διάσταση εμβύθισης m δύο σημεία του ανακατασκευασμένου ελκυστή είναι πολύ κοντά, τότε είτε είναι πραγματικά γειτονικά σημεία και βρίσκονται κοντά λόγω της δυναμικής του συστήματος, ή είναι ψευδή γειτονικά σημεία και βρίσκονται κοντά λόγω αυτo-τομής του ελκυστή. Αυξάνουμε κατά ένα τη διάσταση εμβύθισης και εξετάζουμε την απόσταση τους. Αν η απόσταση μεγάλωσε δραματικά (σύμφωνα με κάποιο όριο για το λόγο των αποστάσεων για m και m+1) τότε τα σημεία είναι ψευδείς γείτονες στο χώρο κι άρα το m δεν είναι ικανοποιητικά μεγάλο. Για κάθε σημείο βρίσκουμε το κοντινότερο του σημείο και ελέγχουμε αν είναι ψευδή γειτονικό σημείο. Αν βρούμε σημαντικό ποσοστό ψευδών γειτονικών σημείων αυξάνουμε το m κατά 1. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι τη διάσταση για την οποία η πρόσθεση μιας καινούριας συνιστώσας δε δίνει ψευδή γειτονικά σημεία. Τυπικό κριτήριο τερματισμού για το ποσοστό των ψευδών γειτονικών σημείων είναι το 1%. Μειονέκτημα της μεθόδου αποτελεί η εξάρτηση του m από το τ, καθώς, για την εφαρμογή της, πρέπει να γίνει ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων για κάθε m, πρέπει, δηλαδή, πρώτα να οριστεί η παράμετρος υστέρησης τ. Επιπροσθέτως, η μέθοδος FNN είναι ευαίσθητη στην ύπαρξη θορύβου. 19

21 Εκτίκηση της διάστασης εκβύθισης m στο σύστηκα Lorenz Στο σχήκα 1.4 παρουσιάζεται η εύρεση της διάστασης εκβύθισης m εφαρκόζοντας τη κέθοδο FNN σε χρονοσειρά του δυνακικού χαοτικού συστήκατος Lorenz. Από το σχήκα επιλέγουκε διάσταση εκβύθισης m=3 γιατί το ποσοστό των ψευδών γειτόνων σύκφωνα κε τη κέθοδο FNN πέφτει κάτω από 1%. Σχήμα 1.5: Εκτίκηση της διάστασης εκβύθισης m του συστήκατος Lorenz κε τη κέθοδο FNN Ανακατασκευή του χώρου των φάσεων στο σύστημα Lorenz Με τα δεδοκένα της επιλογής του χρόνου υστέρησης τ=2 και της διάστασης εκβύθισης m=3 για το σύστηκα Lorenz ανακατασκευάζουκε το χώρο των φάσεων και παρατηρούκε τα διαγράκκατα διασποράς σε υψηλότερες διαστάσεις. 20

22 Σχήμα 1.6: Ανακατασκευή του χώρου των καταστάσεων του συστήματος Lorenz. 3.2 Μη γραμμικά χαρακτηριστικά του δυναμικού συστήματος (invariant measures) Τα μη γραμμικά χαρακτηριστικά δίνουν πληροφορίες για το υπό μελέτη σύστημα, όπως για τη διάσταση του ελκυστή του συστήματος και την πολυπλοκότητά του. Επίσης βοηθούν στην επιλογή κατάλληλου μοντέλου για τη χρονοσειρά. Τα μη- γραμμικά χαρακτηριστικά ορίζονται στα πλαίσια της θεωρίας των μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων και του χάους ως αναλλοίωτα μέτρα του συστήματος (invariant measures), δηλαδή ως σταθερά μεγέθη που δεν αλλοιώνονται από την εξέλιξη του συστήματος, καθώς και τη διαδικασία παρατήρησης του όταν αναφερόμαστε σε χρονοσειρές. Τέτοια χαρακτηριστικά είναι η μορφοκλασματική διάσταση και οι εκθέτες Lyapunov Διάσταση συσχέτισης (correlation dimension) Ένας ελκυστής, όπως κάθε γεωμετρικό αντικείμενο, χαρακτηρίζεται από την Ευκλείδεια διάσταση του Ευκλείδειου χώρου που περιέχει τον ελκυστή (π.χ. για τον ανακατασκευασμένο χώρο είναι η διάσταση εμβύθισης m) και την τοπολογική διάσταση της πολλαπλότητας πάνω στην οποία βρίσκεται ο ελκυστής. Για να χαρακτηρίσουμε όμως την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας εισάγουμε τη μορφοκλασματική διάσταση. Η διάσταση αυτή είναι συνεπής με τη συνήθη έννοια της διάστασης, δηλαδή πεπερασμένα σύνολα σημείων έχουν διάσταση 0, γραμμές έχουν διάσταση 1 και επιφάνειες έχουν διάσταση 2. Για γεωμετρικά αντικείμενα με την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας, όπως τυπικά είναι οι παράξενοι ελκυστές, η μορφοκλασματική διάσταση είναι μη-ακέραιος αριθμός. Η διάσταση συσχέτισης 21

23 (correlation dimension) ν είναι ένα από τα αναλλοίωτα μέτρα που εκφράζουν τη μορφοκλασματική διάσταση. Ένας ελκυστής μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο σημείων χ,, με P( x,-xj < r) την πιθανότητα δύο σημείων του ελκυστή να βρίσκονται σε απόσταση μικρότερη από r. Αν N(r) είναι ο αριθμός των σημείων που βρίσκονται μέσα σε μία υπερσφαίρα ακτίνας r με κέντρο το σημείο x,, τότε η μέση τιμή ως προς όλα τα x,, <N(r)>, προσεγγίζει ικανοποιητικά την παραπάνω πιθανότητα. Σύμφωνα με το νόμο κλιμάκωσης (scaling law), όταν το r^o, το <N(r)> θα είναι ανάλογο του r ν, δηλαδή για μικρές ακτίνες r η πιθανότητα η απόσταση δύο σημείων του ελκυστή να είναι μικρότερη του r αλλάζει αναλογικά με κάποια δύναμη της απόστασης r με σταθερό εκθέτη ν. Αν ο ελκυστής έχει συνηθισμένη μορφή (πεπερασμένο σύνολο σημείων, γραμμή, επιφάνεια κτλ) ο εκθέτης ν είναι ακέραιος, ενώ αν είναι παράξενος το ν είναι μη ακέραιος. Το <N(r)> για ένα σύνολο σημείων xj=1,..n, όπως η ανακατασκευασμένη τροχιά από τη χρονοσειρά μπορεί να εκτιμηθεί από το άθροισμα συσχέτισης (correlation sum) C(r), σύμφωνα με την εξίσωση (1.15): 2 C(r)= N (N -1) N 1 Σ Σ 0 ( r - x -x, ) i=1 j=i+l (1.15) όπου Θ(χ) είναι η συνάρτηση Heaviside με Θ(χ) = 0 όταν χ < 0, και Θ(χ) = 1 όταν χ > 0. Το C(r) μετράει όλα τα δυνατά ζευγάρια (x, xj) της ανακατασκευασμένης τροχιάς που έχουν απόσταση μικρότερη από r για δεδομένη διάσταση εμβύθισης. Για N ^ «και r από το νόμο κλιμάκωσης υπολογίζουμε τη διάσταση συσχέτισης σύμφωνα με την εξίσωση (1.16): v=dlogc(r) d log r (1.16) Τα δύο όρια ( N ^ «και r ) δεν ικανοποιούνται στην πραγματικότητα αφού οι χρονοσειρές έχουν πεπερασμένο μήκος και τα δεδομένα δίνονται με πεπερασμένη ακρίβεια. Περιμένουμε λοιπόν το γράφημα του logc(r) vs log r να σχηματίζει ευθεία γραμμή (δηλαδή να έχει σταθερή κλίση) για κάποιο διάστημα σχετικά μικρών τιμών του r, που το ονομάζουμε περιοχή κλιμάκωσης του r (scaling region). Εναλλακτικά, θα πρέπει για την περιοχή κλιμάκωσης του r, το γράφημα της παραγώγου που 22

24 δίνεται στην εξίσωση (1.16) να σταθεροποιείται σε μια οριζόντια γραμμή στο ύψος της τιμής ν. Γ ια την εκτίμηση χαρακτηριστικής για το σύστημα διάστασης συσρέτισης ν από μια χρονοσειρά θα πρέπει επιπλέον το ίδιο οριζόντιο επίπεδο της παραγώγου της (1.16) να παρατηρείται για διαφορετικές ανακατασκευές του ελκυστή. Για τις ανακατασκευές συνήθως χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της υστέρησης, με κατάλληλη σταθερή τιμή του τ και αυξανόμενη διάσταση εμβύθισης m. Για μικρές τιμές του m, όπου η ανακατασκευή του ελκυστή δεν είναι ικανοποιητική, το οριζόντιο επίπεδο που δίνει την εκτίμηση του ν ^ ) θα αυξάνει με την αύξηση του m. Για μεγαλύτερες τιμές του m θα πρέπει το οριζόντιο επίπεδο να συγκλίνει στο ίδιο ύψος, δηλαδή ν = ν ^ ). Καθώς το m μεγαλώνει ακόμα περισσότερο η περιοχή κλιμάκωσης σταδιακά εξαφανίζεται και η εκτίμηση του ν δεν είναι πια δυνατή. Η διαδικασία υπολογισμού της διάστασης συσχέτισης ν παριστάνεται γραφικά με τέσσερα σχήματα. Το πρώτο σχήμα είναι το γράφημα logc(r) vs log r για ένα εύρος τιμών του m, το δεύτερο είναι το γράφημα dlogc(r)/dlogr vs logr για το ίδιο εύρος τιμών του m, ενώ το τρίτο σχήμα είναι το γράφημα v(m) vs m όπου ν ^ ) είναι η εκτίμηση της κλίσης από τα γραφήματα στο πρώτο σχήμα ή του οριζοντίου επιπέδου από τα γραφήματα στο δεύτερο σχήμα αντίστοιχα για κάθε τιμή του m. Το τέταρτο σχήμα δείχνει τις περιοχές κλιμάκωσης και είναι [logn,logr2] vs m. Εκτίμηση της διάστασης συσχέτισης ν στο σύστημα Lorenz Στο σχήμα 1.7 φαίνεται γραφικά η εκτίμηση της διάστασης συσχέτισης μιας χρονοσειράς σημείων της x μεταβλητής του συστήματος Lorenz στη χαοτική περιοχή, χρησιμοποιώντας ανακατασκευές του χώρου καταστάσεων με τ=2 και m=1,2,...,10. 23

25 (α) (β) Σχήμα 1.7: Εκτίμηση διάσταση συσρέτισης για το σύστημα Lorenz στη χαοτική περιοχή (α) διάγραμμα logc(r) vs logr, (β) διάγραμμα dlogc(r)/ dlogr (slope) vs logr, (γ) διάγραμμα v(m) vs m και (δ) διάγραμμα [logr!, logr2] vs m. Στο σχήμα 1.7(α) φαίνεται πως τα γραφήματα logc(r) vs logr για m=1,2,...,10 παρουσιάζουν γραμμική συμπεριφορά για μεγάλο εύρος τιμών της απόστασης r. Η κλιμάκωση δε διατηρείται για πολύ μικρά r (logr<-0.5), γιατί δεν υπάρχουν αρκετά σημεία σε σφαίρες με τόσο μικρές ακτίνες και η στατιστική είναι φτωχή, καθώς και για πολύ μεγάλα r (logr>1), όπου η αυτό-ομοιότητα καταστρέφεται από τη γεωμετρία του ελκυστή. Στο σχήμα 1.7(β) από το οριζόντιο επίπεδο της κλίσης dlogc(r)/ dlogr φαίνεται πως η περιοχή κλιμάκωσης είναι για -0,5<logr<1, για μεγάλα m. Για μικρά m η περιοχή κλιμάκωσης επεκτείνεται σε ακόμα μικρότερα r. Η οριζόντια γραμμή για m=1 αντιστοιχεί σε κλίση 1, ενώ για m=2 πλησιάζει την κλίση 2 και αυτό δείχνει ότι για αυτές τις τιμές του m η ανακατασκευή δεν είναι ικανοποιητική. Για μεγαλύτερα m τα γραφήματα της κλίσης συγκλίνουν στην ίδια στάθμη που αντιστοιχεί σε κλίση ν=2. 24

26 Στο σχήμα 1.7(γ) φαίνεται η σταθερή εκτίμηση του ν για m>3, όπου φαίνεται και το μικρό όριο σφάλματος ±SD (όπου SD είναι η τυπική απόκλιση). Η πραγματική διάσταση συσχέτισης είναι 2,06. Στο σχήμα 1.7(δ) φαίνονται οι δύο περιοχές κλιμάκωσης Εκθέτες Lyapunov Η ιδιότητα των χαοτικών δυναμικών συστημάτων να έχουν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες κάνει τροχιές τους που αρχικά είναι πολύ κοντά να αποκλίνουν γρήγορα και μάλιστα εκθετικά. Ο μέσος εκθέτης που αντιστοιχεί στη διεύθυνση της μεγαλύτερης απόκλισης των τροχιών είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης Lyapunov. Γενικά για ένα δυναμικό σύστημα που παράγει τροχιές σε κάποιο χώρο διάστασης m υπάρχουν m εκθέτες Lyapunov, ένας για κάθε διεύθυνση. Ένας αρνητικός εκθέτης Lyapunov δηλώνει το βαθμό σύγκλισης τροχιών στη διεύθυνση που του αντιστοιχεί ενώ ένας θετικός εκθέτης Lyapunov δηλώνει το βαθμό απόκλισης των τροχιών σε αυτήν τη διεύθυνση. Αν το αιτιοκρατικό δυναμικό σύστημα δεν είναι χαοτικό τότε δεν έχει κανένα θετικό εκθέτη Lyapunov. Υπάρχουν μέθοδοι εκτίμησης όλου του φάσματος των εκθετών Lyapunov αλλά εδώ θα περιοριστούμε στην εκτίμηση του μέγιστου εκθέτη Lyapunov λ1 (maximal Lyapunov exponent), που μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε το σύστημα χαοτικό αν λ1> 0, καθώς και να μετρήσουμε το βαθμό πολυπλοκότητας του συστήματος με την τιμή του λ1. Γ ια τον υπολογισμό του μέγιστου εκθέτη Lyapunov εφαρμόζεται η μέθοδος Kantz [Kantz 1994]. Όπως και άλλες μέθοδοι, η μέθοδος Kantz στηρίζεται στο γεγονός ότι η απόσταση ανάμεσα σε δύο τροχιές αυξάνει με ρυθμό που καθορίζεται από το μέγιστο εκθέτη Lyapunov. Η μέθοδος ελέγχει για εκθετική απόκλιση γειτονικών τροχιών και μας επιτρέπει να αποφασίσουμε αν έχει νόημα να υπολογίσουμε εκθέτη Lyapunov για τη δεδομένη χρονοσειρά. Πρώτα, επιλέγεται ένα σημείο Sno του ανακατασκευασμένου χώρου φάσεων και βρίσκονται όλα τα γειτονικά διανύσματα μέσα σε μια ακτίνα ε. Στη συνέχεια, υπολογίζονται ο μέσος όρος των αποστάσεων όλων των γειτόνων από την τροχιά αναφοράς, συναρτήσει του σχετικού χρόνου Δη. O λογάριθμος της μέσης απόστασης στον χρόνο Δη είναι ο ενεργός ρυθμός απομάκρυνσης για το χρονικό διάστημα Δη. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για πολλές τιμές του ηο, σύμφωνα με την Εξίσωση 1.17: 25

27 1 N 1 S(An)=- ^ ln ( «0=1 U(S.«) 2 (Sn 0 + Δ η) - (Sn + Δη)) SneU(S«0) (1.17) όπου Sno είναι τα ανακατασκευασμένα διανύσματα, και U(Sno) η γειτονιά διαμέτρου ε του Sno. Δεδομένου ότι η ελάχιστη διάσταση εμβύθισης m και η βέλτιστη ακτίνα γειτονιάς ε δεν είναι γνωστή από πριν, το S(rn) πρέπει να υπολογιστεί για μια γκάμα τιμών m και ε. Το μέγεθος της γειτονιάς ε θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο, αλλά αρκετά μεγάλο ώστε να υπάρχουν αρκετοί γείτονες, διότι εάν δεν υπάρχουν αρκετοί γείτονες ο αλγόριθμος δεν κάνει υπολογισμούς. Εάν για κάποια περιοχή τιμών Δη το S(rn) παρουσιάζει μια εύρωστη γραμμική αύξηση τότε η κλίση που προκύπτει είναι μια καλή εκτίμηση του μέγιστου LE. Εκτίμηση του μέγιστου εκθέτη Lyapunov στο σύστημα Lorenz Στα ακόλουθα σχήματα φαίνεται γραφικά η εκτίμηση του μέγιστου εκθέτη μιας χρονοσειράς σημείων της x μεταβλητής του συστήματος Lorenz (τ5=0.1ε) χρησιμοποιώντας ανακατασκευές του χώρου καταστάσεων με τ=2 και m=2,3,...,9. 26

28 (α) (β) Σχήμα 1.8: (α) 8 σχήματα, ένα για κάθε διάσταση εμβύθισης και (β) γραφική παράσταση με τον εκτιμώμενο εκθέτη και το αντίστοιχο σφάλμα. 27

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΝΕΟΤΕΡΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Πέραν των κλασσικών μη γραμμικών μεθόδων ανάλυσης χρονοσειρών, έχουν αναπτυχθεί νέες μέθοδοι από τη δεκαετία του '80 και μετά. Στην ανάπτυξη των νέων αυτών μεθόδων οδήγησε η ανάγκη τεκμηριωμένης απόδειξης κάποιων μη γραμμικών χαρακτηριστικών των δυναμικών συστημάτων, όπως η ύπαρξη ή μη χάους σε ένα δυναμικό σύστημα, εφαρμόζοντας τις κλασσικές μη γραμμικές μεθόδους. Βασίζονται στο ρυθμό επαναληπτικότητας ή επαναφοράς (recurrence) των καταστάσεων του συστήματος στον ανακατασκευασμένο χώρο των φάσεων. Το 1987 ο Eckmann [Eckmann 1987] εισήγαγε μία νέα μέθοδο για την οπτικοποίηση της επαναφοράς των τροχιών των δυναμικών συστημάτων στον ανακατασκευασμένο χώρο των φάσεων, αυτή των Γραφημάτων Επαναφοράς (Reccurence Plots). Πάνω σ' αυτή τη μέθοδο, οι Webber και Zbilut (1992), από την ποσοτικοποίηση των γραφημάτων επαναφοράς, εισήγαγαν την Ποσοτική Μέθοδο Επαναφοράς (Reccurence Quantification Analysis). 1. Τα Γραφήματα Επαναφοράς (Recurrence Plots- RP) Τα Γραφήματα Επαναφοράς-ΓΕ (Recurrence Plots) (Eckmann et al. 1987) είναι μία γραφική μέθοδος που επιτρέπει την εξαγωγή ποιοτικών χαρακτηριστικών των υποκείμενων δυναμικών συστημάτων από την ανάλυση μετρήσεων του συστήματος (χρονοσειρές). Σημαντικό πλεονέκτημα των ΓΕ είναι ότι μπορούν να εφαρμοστούν και σε περιπτώσεις που η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη (Marwan, 2002). Η μέθοδος βασίζεται στην ανακατασκευή του χώρου των φάσεων του υπό μελέτη δυναμικού συστήματος. Θεωρούμε μία τροχιά {x,}^ ενός συστήματος στον χώρο των φάσεων. Οι συνιστώσες του συστήματος μπορεί να είναι ποσότητες, όπως θερμοκρασία, πίεση αέρα, υγρασία, κλπ. Η εξέλιξη των συστημάτων αυτών περιγράφεται από χρονοσειρές Αρχικά, η χρονοσειρά x(t) εμβυθίζεται σε έναν m-διάστατο χώρο, δημιουργώντας μία ακολουθία διανυσμάτων Xi=[x(tΓ(m-1)τd),x(tΓ(m-2)τd,,x(tj)], όπου ^ είναι μία κατάλληλα επιλεγμένη χρονική υστέρηση και m η διάσταση εμβύθισης. Έπειτα υπολογίζεται η απόσταση d j= λ / - μεταξύ των σημείων i,j στον 28

30 m-διάστατο ανακατασκευασμένο χώρο των φάσεων και δημιουργείται ένας τετραγωνικός πίνακας Rj j διαστάσεων ΝχΝ (όπου Ν ο αριθμός των ανακατασκευασμένων διανυσμάτων κατάστασης) με στοιχεία τις αποστάσεις djj : Ri j={1, αν x i * x j, 0, αν x i φ x j} i,j=1,...,n όπου Ν είναι ο αριθμός των υποτιθέμενων καταστάσεων του συστήματος. Με βάση αυτόν τον πίνακα δημιουργείται ένα διδιάστατο γράφημα, θέτοντας μία σκούρα κουκκίδα στο στοιχείο (i,j), εάν η απόσταση μεταξύ των σημείων i και j είναι μικρότερη από μία τιμή ri, δηλαδή, στην περίπτωση που οι αποστάσεις dij έχουν υπολογιστεί με την Ευκλείδια νόρμα, εάν το σημείο Xj βρίσκεται εντός μιας υπερσφαίρας ακτίνας εi και κέντρου xi. Θέτοντας xi=xj, το παραγόμενο γράφημα είναι συμμετρικό και περιέχει μία σκούρα κύρια διαγώνιο, που ονομάζεται γραμμή ταυτοποίησης. Έτσι, τα σκούρα σημεία δείχνουν ότι τα αντίστοιχα σημεία του ανακατασκευασμένου χώρου των φάσεων βρίσκονται κοντά και συνεπώς ένα ΓΕ μπορεί να φανερώσει τη δομή αυτοσυσχέτισης του συστήματος. Το γράφημα επαναφοράς ορίζεται από τη σχέση: R = Θ(εΓ xi - j ), ij=1,...,ν όπου Θ(χ) η συνάρτηση του Heaviside: Θ(χ)={0, αν x<0, 1 αλλιώς} και Ν ο αριθμός των σημείων, εi η ακτίνα αποκοπής. Υπάρχουν δύο τύποι γραφημάτων επαναφοράς, τα οριοθετημένα (thresholded) και τα μη οριοθετημένα (unthresholded). Στην περίπτωση των οριοθετημένων ΓΕ, η κουκκίδα στο σημείο (i,j) είναι μαύρου χρώματος, εάν η απόσταση είναι μικρότερη από ένα δεδομένο όριο, αλλιώς έχει χρώμα λευκό. Σε ένα μη οριοθετημένο ΓΕ η ακτίνα αποκοπής επιλέγεται να είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ των ανακατασκευασμένων σημείων κατάστασης, έτσι ώστε όλα τα σημεία να θεωρούνται σημεία επαναφοράς, οι κουκκίδες όμως χρωματίζονται ανάλογα με το μέγεθος της απόστασης dij σε σχέση με την ακτίνα αποκοπής. Η ιδέα της κωδικοποίησης με χρώματα ανάλογα με το βαθμό εγγύτητας των καταστάσεων μεταξύ τους στον ανακατασκευασμένο χώρο των φάσεων μπορεί, επίσης, να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση των οριοθετημένων ΓΕ. Εάν οι υπό εξέταση χρονοσειρές αντιστοιχούν σε στοχαστικά συστήματα, τα ΓΕ δεν παρουσιάζουν δομή, δηλαδή η κατανομή των χρωμάτων στο ΓΕ είναι ομογενής. Αν υπάρχει στο σύστημα, από το οποίο προέρχεται η χρονοσειρά, κάποιου είδους ντετερμινισμός, το αντίστοιχο ΓΕ έχει κάποιας μορφής δομή. Τα ΓΕ φέρουν δομές 29

31 μεγάλης και μικρής κλίμακας που επιτρέπουν την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων σχετικά με τη δυναμική του συστήματος [Karakasidis, Fragkou, Liakopoulos (2007), Karakasidis, Fragkou, Liakopoulos (2009)]. Ομογενή ΓΕ αντιπροσωπεύουν στάσιμα συστήματα, των οποίων οι χαρακτηριστικοί χρόνοι είναι μικροί σε σχέση με αυτούς που διατρέχονται από ένα ΓΕ. Τέτοια ΓΕ μπορεί να εμφανιστούν σε χρονοσειρές στοχαστικών συστημάτων. Τα περιοδικά δυναμικά συστήματα εμφανίζουν ΓΕ με χαρακτηριστικές διαγώνιες γραμμές, παράλληλες προς την κύρια διαγώνιο, ή δομές σκακιέρας. Απότομες αλλαγές στη δυναμική του συστήματος απεικονίζονται σε ένα ΓΕ με μεγάλες λευκές περιοχές. Από τη συνολική επιθεώρηση ενός ΓΕ, είναι δυνατόν να παρατηρούνται απλά μεμονωμένα σημεία (ομογενές ΓΕ), διαγώνιες γραμμές (η τροχιά επισκέπτεται την ίδια περιοχή του χώρου των φάσεων σε διαφορετικούς χρόνους και μπορεί να υπάρχει αιτιοκρατική διαδικασία), οριζόντιες ή κάθετες γραμμές, οι οποίες διαμορφώνουν συστάδες (η κατάσταση του συστήματος παραμένει παγιδευμένη για κάποιο χρόνο), και λευκές περιοχές (απότομες αλλαγές στη δυναμική του συστήματος). Η δομή στην μικροκλίμακα (υφή - texture) του γραφήματος μπορεί να αποτελείται από απλές κουκκίδες, γραμμές διαγώνιες, οριζόντιες ή κάθετες, οι οποίες είναι ενδεικτικές της συμπεριφοράς του συστήματος. Απλά, μεμονωμένα σημεία αντιπροσωπεύουν καταστάσεις που είναι σπάνιες ή παρουσιάζουν σημαντικές διακυμάνσεις. Διαγώνιες γραμμές R i+k,j+k =1 για k=1,...,l με l το μήκος της διαγώνιας γραμμής, εμφανίζονται όταν ένα τμήμα της τροχιάς στο χώρο των φάσεων είναι παράλληλο σε ένα άλλο, δηλαδή η τροχιά επισκέπτεται την ίδια περιοχή του χώρου των φάσεων σε διαφορετικούς χρόνους. Το μήκος της διαγωνίου γραμμής εξαρτάται από τη διάρκεια της παραμονής της τροχιάς στην ίδια περιοχή του χώρου των φάσεων. Μία κάθετη ή οριζόντια γραμμή χαρακτηρίζει τη χρονική διάρκεια κατά την οποία μία κατάσταση δεν αλλάζει ή αλλάζει πολύ αργά. 30

32 2. Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς (Recurrence Quantification Analysis - RQA) Τα Γραφήματα Επαναφοράς αποτελούν ένα ισχυρό οπτικό εργαλείο, αλλά είναι ένα ποιοτικό εργαλείο διερεύνησης της συμπεριφοράς ενός δυναμικού συστήματος. Οι Webber και Zbilut [Webber, Zbilut (1992)] πρότειναν έναν αριθμό μετρήσιμων ποσοτήτων, οι οποίες είναι εφικτό να εξαχθούν από ένα ΓΕ, εισάγοντας την Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς (ΠΑΕ). Κάποιοι από τους δείκτες της ΠΑΕ χρησιμοποιήθηκαν στη παρούσα εργασία και περιγράφονται παρακάτω. 2.1 Ποσοστό σημείων επαναφοράς (% Recurrence ή %REC) Το ποσοστό σημείων επαναφοράς δίνει το λόγο του αριθμού των σημείων επαναφοράς (κουκκίδες) προς το συνολικό αριθμό των σημείων (κουκκίδων) ενός ΓΕ: 1 Ν %REC=------V Ri, Ri, j ={1, if (i,j) recurrent, 0 otherwise} Ν Λ2 V Η τιμή του εξαρτάται από την επιλεγμένη ακτίνα αποκοπής ε. 2.2 Ποσοστό ντετερμινισμού (%Determinism ή %DET) Το ποσοστό ντετερμινισμού είναι ο λόγος του αριθμού των σημείων επαναφοράς, τα οποία διαμορφώνουν τις διαγώνιες γραμμές προς το συνολικό αριθμό των σημείων επαναφοράς: Ν Σ %DET= j Di, = {1, if (i,j), (i+1,j+1) or (i-1,j-1) recurrent, 0 otherwise} Σ R u i,j=1 Τα περιοδικά σήματα έχουν μεγάλες διαγώνιες γραμμές, τα χαοτικά σήματα έχουν πολύ μικρές και τα στοχαστικά δεν έχουν διαγώνιες γραμμές. Ωστόσο, η χρήση του όρου ντετερμινισμού δεν έχει την κλασσική σημασία του όρου (Marwan, 2002). 2.3 Μέγιστη διαγώνιος γραμμή (Maxline) Η μέγιστη διαγώνιος γραμμή είναι το μήκος της μεγαλύτερης διαγωνίου γραμμής, εξαιρουμένης της κύριας διαγωνίου Lmax = max({li, i=1... N }) 31

33 Α υ τ ή ε ί ν α ι μ ία σ η μ α ν τ ι κ ή μ ε τ α β λ η τ ή, δ ι ό τ ι, ό π ω ς ι σ χ υ ρ ί ζ ε τ α ι ο E c k m a n n, τ ο μ ή κ ο ς τ ω ν δ ι α γ ω ν ί ω ν γ ρ α μ μ ώ ν σ υ ν δ έ ε τ α ι μ ε τ ο ν μ ε γ α λ ύ τ ε ρ ο θ ε τ ι κ ό ε κ θ έ τ η L y a p u n o v ( E c k m a n n J. - P., K a m p h o r s t S. O., a n d R u e l l e D., , M a r w a n e t a l ). 2.4 Χρόνος παγίδευσης (Trapping Time, TT) Ο χ ρ ό ν ο ς π α γ ί δ ε υ σ η ς δ ε ί χ ν ε ι τ ο μ έ σ ο μ ή κ ο ς τ ω ν ο ρ ι ζ ό ν τ ι ω ν γ ρ α μ μ ώ ν N ΣυΡ ε(υ) τ τ _ υ=υΐώΐη Μ = N Σ ρε(υυ υ=υιηιη ό π ο υ υ ε ί ν α ι τ ο μ ή κ ο ς τ ω ν ο ρ ι ζ ό ν τ ι ω ν γ ρ α μ μ ώ ν, u m in ε ί ν α ι τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο μ ή κ ο ς γ ι α τ ο ο π ο ί ο θ ε ω ρ ε ί τ α ι ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι γ ρ α μ μ ή ( σ υ ν ή θ ω ς λ α μ β ά ν ε τ α ι ί σ ο μ ε δ ύ ο ) κ α ι Ρ ε(υ) ε ί ν α ι η σ τ α τ ι σ τ ι κ ή κ α τ α ν ο μ ή τ ω ν α ν τ ί σ τ ο ι χ ω ν μ η κ ώ ν. Τ ο Τ Τ δ ε ί χ ν ε ι τ ο χ ρ ό ν ο κ α τ ά τ ο ν ο π ο ί ο τ ο σ ύ σ τ η μ α ε ί ν α ι π α γ ι δ ε υ μ έ ν ο σ τ η ν ί δ ι α κ α τ ά σ τ α σ η. 2.5 Ποσοστό Laminarity (% Laminarity ή %LAM) Τ ο π ο σ ο σ τ ό l a m i n a r i t y ε ί ν α ι ο λ ό γ ο ς τ ο υ α ρ ι θ μ ο ύ τ ω ν σ η μ ε ί ω ν ε π α ν α φ ο ρ ά ς, τ α ο π ο ί α δ ι α μ ο ρ φ ώ ν ο υ ν κ ά θ ε τ ε ς γ ρ α μ μ έ ς, π ρ ο ς τ ο σ υ ν ο λ ι κ ό α ρ ι θ μ ό τ ω ν σ η μ ε ί ω ν ε π α ν α φ ο ρ ά ς : N Σ % L A M = j V j j = { 1, i f ( i, j ), ( i + 1, j + 1 ) o r ( i - 1, j - 1 ) r e c u r r e n t, 0 o t h e r w i s e } Σ r j i,j = 1 Η σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν η π α ρ ά μ ε τ ρ ο ς δ ε ί χ ν ε ι κ α τ ά π ό σ ο τ ο σ ύ σ τ η μ α ε ί ν α ι π α γ ι δ ε υ μ έ ν ο σ τ ο χ ρ ό ν ο. Ε φ α ρ μ ο γ ή σ τ ο Σ Δ Ε L o r e n z Σ χ ε δ ι ά σ τ η κ ε τ ο Γ Ε τ ο υ Σ Δ Ε L o r e n z, μ ε τ ι ς π α ρ α μ έ τ ρ ο υ ς ε μ β ύ θ ι σ η ς τ = 2 κ α ι m = 3 ( σ χ ή μ α 2. 1 ) : 32

34 Σχήμα 2.1: Το Γράφημα Επαναφοράς του ΣΔΕ Lorenz Στο σχήμα 2.1 βλέπουμε ότι σχηματίζονται αρκετές διαγώνιες γραμμές (περιοδικές καταστάσεις). Για την ποσοτικοποίηση του ΓΕ έγινε Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς. Οι τιμές των παραμέτρων παρουσιάζονται στον πίνακα 2.1. %REC %DET %LAM TT Πίνακας 2.1: Η Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς του ΣΔΕ του Lorenz 3. Συνάρτηση Συσυσχέτισης Η Συνάρτηση Συσυσχέτισης αποτελεί μία μέθοδο εκτίμησης του βαθμού με τον οποίο δύο σειρές συσχετίζονται. Έστω δύο σειρές x(i) και y(i) όπου i=0,1,1,...,n-1. Η συσυσχέτιση r χρονικής υστέρησης τ ορίζεται ως: r(x): Σ [«> ) - Χμ)(γ(ΐ - τ) - γμ] 1 = 1 Σ (χ(1) - χ μ)2 V 1=1 V1=1 Σ (υ(1) - Υμ) 2 33

35 ό π ο υ x K, y K ε ί ν α ι ο ι μ έ σ ε ς τ ι μ έ ς τ ω ν α ν τ ί σ τ ο ι χ ω ν χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν. Α ν τ ο π α ρ α π ά ν ω υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί γ ι α ό λ ε ς τ ι ς υ σ τ ε ρ ή σ ε ι ς τ = 0, 1, 2, Ν - 1, τ ό τ ε ε ξ ά γ ε τ α ι μ ία χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ά τ ( τ ) δ ι π λ ά σ ι ο υ μ ή κ ο υ ς α π ό τ ι ς α ρ χ ι κ έ ς. Η π α ρ α π ά ν ω έ κ φ ρ α σ η κ α ν ο ν ι κ ο π ο ι ε ί τ ο υ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς σ υ σ χ έ τ ι σ η ς, έ τ σ ι ώ σ τ ε ν α ι σ χ ύ ε ι -1<γ(τ)<1. Ό τ α ν Γ ( τ ) = - 1 ή Γ ( τ ) = 1, υ π ά ρ χ ε ι μ έ γ ι σ τ η σ υ σ χ έ τ ι σ η, ε ν ώ γ ι α Γ ( τ ) = 0 δ ε ν έ χ ο υ μ ε σ υ σ χ έ τ ι σ η. Α ν π α ρ α τ η ρ η θ ε ί μ ε γ ά λ η α ρ ν η τ ι κ ή σ υ σ χ έ τ ι σ η, τ ό τ ε μ ε γ ά λ ε ς τ ι μ έ ς τ η ς μ ί α ς μ ε τ α β λ η τ ή ς σ χ ε τ ί ζ ο ν τ α ι μ ε μ ι κ ρ έ ς τ ι μ έ ς τ η ς ά λ λ η ς μ ε τ α β λ η τ ή ς ( α ν τ ι σ υ σ χ έ τ ι σ η ). Η σ υ ν ά ρ τ η σ η σ υ σ υ σ χ έ τ ι σ η ς, μ α ζ ί μ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η α μ ο ι β α ί α ς π λ η ρ ο φ ο ρ ί α ς, α π ο τ ε λ ο ύ ν κ α λ ά μ έ τ ρ α ε κ τ ί μ η σ η ς τ η ς σ υ σ χ έ τ ι σ η ς δ ύ ο δ ι α δ ι κ α σ ι ώ ν. Υ π ά ρ χ ο υ ν, ό μ ω ς, π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς, σ ε ι σ χ υ ρ ά κ υ μ α ι ν ό μ ε ν ε ς δ ι α δ ι κ α σ ί ε ς, ό π ο υ η σ υ ν ά ρ τ η σ η σ υ σ υ σ χ έ τ ι σ η ς α δ υ ν α τ ε ί ν α δ ώ σ ε ι τ ο ν α ν ά λ ο γ ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή σ υ σ χ έ τ ι σ η ς ή κ α ι ν α α π ο κ α λ ύ ψ ε ι κ ά π ο ι ο υ β α θ μ ο ύ σ υ σ χ έ τ ι σ η. 34

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1. Περιγραφή του πειράματος Η ανάλυση που έγινε στην παρούσα εργασία αφορά χρονοσειρές θερμοκρασίας, προερχόμενες από πείραμα οριζόντιας κυλινδρικής θερμαινόμενης φλέβας, η οποία έρεε σε μία ισοθερμική δεξαμενή νερού. Η δεξαμενή ήταν κατασκευασμένη από Lucite πάχους 12.5 mm, με διαστάσεις 0,90m x 0.60m και βάθος 0.80m. Μια περιφερειακή υπερχείλιση τοποθετήθηκε στην κορυφή της δεξαμενής για την απομάκρυνση του περιττού ύδατος, ώστε το βάθος του ύδατος να είναι σταθεροποιημένο στα 77cm. Η φλέβα παροχής θερμού ύδατος αποτελείται από ένα θερμαντικό σώμα ύδατος, κατασκευασμένο από ανοξείδωτο ατσάλι, το οποίο είναι μονωμένο και πεπιεσμένο με αέρα στις 2 atm, έτσι ώστε να παρέχει την κατάλληλη συνεχή πίεση για να κατευθύνει τη φλέβα. Κατά τη διάρκεια της θέρμανσης του ύδατος χρησιμοποιήθηκε μια αντλία επανακυκλοφορίας, για να εξασφαλίσει ότι το θερμό ύδωρ είναι καλώς αναμεμιγμένο και δεν υφίσταται αποκλίσεις θερμοκρασίας. Ένας μονωμένος σωλήνας οδηγεί το ύδωρ από το θερμαντικό σώμα στο plenum της φλέβας διαμέσου ενός καλά ρυθμισμένου ροομετρητή. Χρησιμοποιήθηκε ένας εκτοξευτήρας διαμέτρου φλέβας 0.65cm. Η θερμοκρασία του περιβάλλοντος ύδατος κυμαινόταν μεταξύ 18 και 20 C, ενώ η θερμοκρασία της φλέβας ύδατος ήταν περίπου 60 C. Η αρχική ορμή και η άνωση της φλέβας έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της τύρβης της ροής. Αναλύθηκε η τοπική μακροσκοπική διακύμανση της θερμοκρασίας και λήφθηκαν μετρήσεις κατά μήκος τριών οριζόντιων γραμμών, σε ύψη 5cm, 10cm και 15cm, με τρόπο ώστε κάποιες από τις χρονοσειρές να αντιστοιχούν σε συνθήκες πλήρους ανεπτυγμένης τύρβης (χρονοσειρές που βρίσκονται κοντά στην κεντρική γραμμή της φλέβας), ενώ άλλες χρονοσειρές έχουν χαρακτηριστικά στρωτής και τυρβώδους ροής, δηλαδή διακυμάνσεις, οι οποίες είχαν μετρηθεί κοντά στο όριο μεταξύ της φλέβας και του ήρεμου νερού. Σε μία σειρά από πειράματα καταγράφηκαν σημειακές μετρήσεις στιγμιαίας θερμοκρασίας με χρήση αισθητήρων θερμότητας γρήγορης απόκρισης, απ όπου εξήχθη η μέση θερμοκρασία. Το πλήθος των μετρήσεων είναι 6000 σημεία για κάθε χρονοσειρά. Ο 35

37 ρυθμός δειγματοληψίας των αισθητήρων καταγραφής ήταν 200 Hz, δηλαδή 200 τιμές ανά δευτερόλεπτο, ενώ ο χρόνος δειγματοληψίας ήταν 30 sec, έτσι ώστε να διατηρηθούν σταθερές οι συνθήκες ροής. Οι μετρήσεις έγιναν στο εργαστήριο Υδρομηχανικής και Περιβαλλοντικής Μηχανικής του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας [Παλαμιτζόγλου 2005] (οι χρονοσειρές χορηγήθηκαν από τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Π. Παπανικολάου). 2. Παρουσίαση των χρονοσειρών Στα σχήματα 3.1 έως 3.3 που ακολουθούν παρουσιάζονται οι χρονοσειρές θερμοκρασίας του πειράματος συναρτήσει της οριζόντιας απόστασης x και της κατακόρυφης απόστασης y από το στόμιο. 36

38 Y=5cm X=0.5cm X=1.5cm X=2.5cm X=3.5cm X=4.5cm X=5.5cm X=6.5cm X=7.5cm 37

39 X=8.5cm X=9.5cm X=10.5cm X=11.5cm X=12.5cm X=13.5cm X=14.5cm X=15.5cm 38

40 X=16.5cm X=17.5cm X=18.5cm X=19.5cm X=20.5cm X=21.5cm X=22.5cm X=23.5cm Σχήμα 3.1: Διακυμάνσεις θερμοκρασίας για τις χρονοσειρές που αντιστοιχούν στο ύψος y=5cm. 39

41 Y=10cm X=11cm X=12cm X=13cm X=14cm X=15cm X=16cm X=17cm X=18cm 40

42 X=19cm X=20cm X=21cm X=22cm X=23cm X=24cm X=25cm X=26cm 41

43 X=27cm X=28cm X=29cm X=30cm X=31cm X=32cm X=33cm X=34cm Σχήμα 3.2: Διακυμάνσεις θερμοκρασίας για τις χρονοσειρές που αντιστοιχούν στο ύψος y=10cm. 42

44 Y=15cm X=17cm X=18cm X=19cm X=20cm X=21cm X=22cm X=23cm X=24cm 43

45 X=25cm X=26cm X=27cm X=28cm X=29cm X=30cm X=31cm X=32cm 44

46 X=33cm X=34cm X=35cm X=36cm X=37cm X=38cm X=39cm X=40cm Σχήμα 3.3: Διακυμάνσεις θερμοκρασίας για τις χρονοσειρές που αντιστοιχούν στο ύψος y=15cm. 45

47 Παρατηρείται ότι, για τις χρονοσειρές που αφορούν μετρήσεις στο εσωτερικό της φλέβας, υπάρχει έντονη διακύμανση της θερμοκρασίας σε όλο το μήκος τους. Αντίθετα, κοντά στα όρια της φλέβας, οι χρονοσειρές έχουν κάποια τμήματα που η θερμοκρασία παραμένει σχετικά σταθερή, αλλά εμφανίζονται κάποιες κορυφές που σημαίνει ότι εκεί η θερμοκρασία παρουσιάζει απότομες μεταβολές. 46

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟΙ ΧΡΟΝΟΙ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ Στον πίνακα 4.1 φαίνεται σε τι απόσταση x αντιστοιχεί η κάθε ρρονοσειρά για τα 3 διαφορετικά ύψη 5, 10 και 15cm. Παρακάτω, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός x για τις χρονοσειρές που αντιστοιχούν στο ύψος των 5cm, y για το ύψος των 10cm και z για το ύψος των 15cm. Αριθμός y=5cm y=10cm y=15cm Χρονοσειράς Απόσταση x (cm) 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Πίνακας 4.1: Οριζόντια απόσταση x κάθε χρονοσειράς για τα 3 ύψη y. 47

49 1. Επιλογή χρόνου υστέρησης τ Για κάθε ρρονοσειρά υπολογίζεται η συνάρτηση μέσης αμοιβαίας πληροφορίας (average mutual information). Ο χρόνος υστέρησης τ που επιλέγεται για καθεμία από τις χρονοσειρές είναι αυτός που αντιστοιχεί στο πρώτο τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης αμοιβαίας πληροφορίας, εκεί δηλαδή που η συσχέτιση γίνεται για πρώτη φορά η μικρότερη δυνατή. Στα σχήματα 4.1 έως 4.3 βλέπουμε τα διαγράμματα της αμοιβαίας πληροφορίας των χρονοσειρών για το ύψος των 5cm. Τα αντίστοιχα διαγράμματα στα άλλα ύψη παρουσιάζουν παρόμοια ποιοτική συμπεριφορά. Κάποια από αυτά παρουσιάζονται ενδεικτικά στα σχήματα 4.4 και 4.5. Στο σχήμα 4.6 βλέπουμε τη γραφική παράσταση για τα τ όλων των χρονοσειρών για τα 3 ύψη. 48

50 Y=5cm X=0.5cm X=1.5cm X=2.5cm X=3.5cm Mutual Information Mutual Information X=4.5cm X=5.5cm X=6.5cm X=7.5cm Σχήμα 4.1: Συνάρτηση μέσης αμοιβαίας πληροφορίας για τις χρονοσειρές x1-x8. 49

51 X=8.5cm X=9.5cm X=10.5cm X=11.5cm X=12.5cm X=13.5cm X=14.5cm X=15.5cm Σχήμα 4. 2 : Συνάρτηση μέσης αμοιβαίας πληροφορίας για τις χρονοσειρές x9-x16. 50

52 X=16.5cm X=17.5cm X=18.5cm X=19.5cm X=20.5cm X=21.5cm X=22.5cm X=23.5cm Σχήμα 4.3: Συνάρτηση μέσης αμοιβαίας πληροφορίας για τις χρονοσειρές x17-x24. 51

53 Y=10cm X=11cm X=14cm X=17cm X=22cm X=25cm X=27cm X=30cm X=34cm Σχήμα 4.4: Συνάρτηση μέσης αμοιβαίας πληροφορίας σε χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της γραμμής y=10cm. 52

54 Y=15cm X=17cm Z1 Mutual Information X=21cm Z5 Mutual Information X=25cm X=28cm X=30cm Z14 Mutual Information X=33cm Z17 Mutual Information X=36cm lag i X=40cm Σχήμα 4.5: Συνάρτηση μέσης αμοιβαίας πληροφορίας σε χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της γραμμής y=15cm. 53

55 I Χρόνοι υστέρησης των χρονοσειρών Αριθμός χρονοσειράς τ για y=5cm τ για y=10cm τ για y=15cm Σχήμα 4.6: Χρόνοι υστέρησης των χρονοσειρών στα 3 ύψη της φλέβας. Παρατηρείται ότι η συνάρτηση αμοιβαίας πληροφορίας δίνει σημαντικά μικρότερο χαρακτηριστικό χρόνο για τις χρονοσειρές που αφορούν μετρήσεις στο εσωτερικό της φλέβας σε σχέση με αυτές που αφορούν μετρήσεις κοντά στα όρια. Αυτό συμβαίνει διότι κοντά στα όρια της φλέβας, συμβάλλουν στη ροή οι μεγάλης κλίμακας δομές αυτής. Οι συγκεκριμένες δομές έχουν μεγάλο χρόνο ζωής και προκαλούν επιδράσεις μακράς μνήμης. Αντίθετα, στον πυρήνα της φλέβας παρατηρούνται πολλές μικρής χρονικής διάρκειας δομές τύρβης που προκαλούν επιδράσεις βραχείας μνήμης. Έτσι, οι εκτιμώμενες χρονικές υστερήσεις τ αυξάνονται προχωρώντας από το κέντρο προς τα όρια της φλέβας. Επίσης, η συνάρτηση αμοιβαίας πληροφορίας βοηθά στον εντοπισμό του κεντρικού άξονα της φλέβας, καθώς η τιμή της οριζόντιας απόστασης x για την οποία η συνάρτηση δίνει το μικρότερο χρόνο υστέρησης τ αντιστοιχεί σε σημείο που βρίσκεται πάνω ή πολύ κοντά στον άξονα. Στο σχήμα 4.7 βλέπουμε τα 3 αυτά σημεία που δίνουν τον άξονα, μαζί με την αρχή των αξόνων ((11.5,5.0), (25.0,10.0), (30.0,15.0)). Παρατηρείται ότι υπάρχει συμφωνία με πειραματικά δεδομένα και με τις άλλες μεθόδους εύρεσης του άξονα (Παλαμιτζόγλου 2005). 54

56 O άξονας της φλέβας Σχήμα 4.7: Ο άξονας της φλέβας (οι θέσεις του σημειώνονται στα σημεία). 2. Φάσμα ισχύος Στο σχεδιασμό του φάσματος ισχύος υπολογίζονται οι συχνότητες τόσο στην κανονική όσο και στη λογαριθμική μορφή. Τα σχήματα 4.8 έως 4.16 αφορούν τα φάσματα ισχύος των χρονοσειρών στα 3 ύψη της φλέβας σε γραμμική κλίμακα, ενώ τα σχήματα 4.17 έως 4.19 τα φάσματα σε λογαριθμική κλίμακα, σε κάποιες χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής για τα 3 ύψη της φλέβας. 55

57 Σχήμα 4.8: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών x1-x8. Σχήμα 4.9: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών x9-x16. 56

58 Σχήμα 4.10: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών x17-x24. Σχήμα 4.11: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών y1-y8. 57

59 Σχήμα 4.12: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών y9-y16. Σχήμα 4.13: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών y17-y24. 58

60 Σχήμα 4.14: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών z1-z8. Σχήμα 4.15: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών z9-z16. 59

61 Σχήμα 4.16: Φάσματα ισχύος χρονοσειρών z17-z24. 60

62 Σχήμα 4.17: Φάσματα ισχύος σε χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της γραμμής y=5cm λογαριθμική κλίμακα. 61

63 Σχήμα 4.18: Φάσματα ισχύος σε χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της γραμμής y=10cm λογαριθμική κλίμακα. 62

64 Σχήμα 4.19: Φάσματα ισχύος σε χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της γραμμής y=15cm λογαριθμική κλίμακα. Στα σχήματα 4.8 έως 4.16 παρατηρούμε, από τα φάσματα των χρονοσειρών που αφορούν μετρήσεις κοντά στο όριο της φλέβας, ότι, αν και δε φαίνεται να υπάρχουν χαρακτηριστικές συχνότητες, υπάρχουν κάποιες ζώνες χαμηλών συχνοτήτων (χρονοσειρές x1 έως χ6 και x16 έως x24 για ύψος y=5cm, y1 έως y8 και y19 έως y24 για ύψος y=10cm, z1 έως z8 και z18 έως z24 για ύψος y=15cm). Αντίθετα τα φάσματα των χρονοσειρών που αναφέρονται στις μετρήσεις στο εσωτερικό της φλέβας είναι περισσότερο ευρυζωνικά, και κυρίως σε θέσεις κοντά στον άξονα, γεγονός που αποτελεί μία ένδειξη ότι μπορεί να υπάρχει χαοτική συνιστώσα στο σύστημα (χρονοσειρές χ7 έως χ15 για ύψος y=5cm, y9 έως y18 για ύψος y=10cm, z9 έως z17 για ύψος y=15cm). Σ αυτά τα φάσματα παρατηρείται, επίσης, αύξηση της μέγιστης συχνότητας. Ποιοτικά η συμπεριφορά αυτή είναι σε συμφωνία με τα αποτελέσματα από τη μέση αμοιβαία πληροφορία, δεδομένου ότι στα σημεία κοντά 63

65 σ τ ο ν ά ξ ο ν α, ό π ο υ έ χ ο υ μ ε μ ι κ ρ ο ύ ς χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ο ύ ς χ ρ ό ν ο υ ς α π ό τ η ν α μ ο ι β α ί α π λ η ρ ο φ ο ρ ί α, α ν τ ι σ τ ο ι χ ο ύ ν κ α ι π ι ο υ ψ ή σ υ χ ν α σ ή μ α τ α σ τ ο φ ά σ μ α ι σ χ ύ ο ς. Α ν τ ι θ έ τ ω ς, σ τ α φ ά σ μ α τ α π ο υ α φ ο ρ ο ύ ν μ ε τ ρ ή σ ε ι ς κ ο ν τ ά σ τ α ά κ ρ α, σ τ α σ η μ ε ί α, δ η λ α δ ή, π ο υ π α ρ α τ η ρ ή θ η κ α ν μ ε γ ά λ ο ι χ ρ ό ν ο ι σ τ η ν α μ ο ι β α ί α π λ η ρ ο φ ο ρ ί α, π α ρ α τ η ρ ε ί τ α ι ε ν ί σ χ υ σ η τ ω ν χ α μ η λ ώ ν σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν κ α ι μ ε ί ω σ η τ ω ν υ ψ η λ ώ ν σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν. Τ έ λ ο ς, δ ι α π ι σ τ ώ ν ο υ μ ε ό τ ι, κ α θ ώ ς τ ο ύ ψ ο ς y α υ ξ ά ν ε τ α ι, ο ι μ έ γ ι σ τ ε ς σ υ χ ν ό τ η τ ε ς μ ε ι ώ ν ο ν τ α ι. Σ τ η ν π λ ε ι ο ψ η φ ί α τ ω ν φ α σ μ ά τ ω ν ι σ χ ύ ο ς τ ω ν χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν σ ε λ ο γ α ρ ι θ μ ι κ ή κ λ ί μ α κ α ( σ χ ή μ α τ α έ ω ς ) δ ι α π ι σ τ ώ ν ε τ α ι η ύ π α ρ ξ η π ε ρ ι ο χ ώ ν μ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ή κ λ ί σ η. Σ τ η ν π ε ρ ι ο χ ή τ ω ν χ α μ η λ ώ ν σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν η κ λ ί σ η ε ί ν α ι π ο λ ύ μ ι κ ρ ή, σ χ ε δ ό ν μ η δ ε ν ικ ή, ε ν ώ η δ ε ύ τ ε ρ η κ λ ί σ η ε ί ν α ι κ α θ ο δ ι κ ή κ α ι ε μ φ α ν ί ζ ε τ α ι σ τ η ν π ε ρ ι ο χ ή τ ω ν υ ψ η λ ώ ν σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν. Φ α ί ν ε τ α ι δ η λ α δ ή ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ή σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά σ τ ι ς χ α μ η λ έ ς α π ό ό τ ι σ τ ι ς υ ψ η λ έ ς σ υ χ ν ο τ η τ έ ς. Ε π ί σ η ς, δ ι α π ι σ τ ώ ν ε τ α ι ό τ ι, γ ι α κ ά θ ε χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ά, η σ υ χ ν ό τ η τ α π ο υ π ρ ο κ ύ π τ ε ι α π ό τ ο ν α ν τ ί σ τ ο ι χ ο χ ρ ό ν ο υ σ τ έ ρ η σ η ς, α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ τ ο ό ρ ι ο τ η ς π ε ρ ι ο χ ή ς K o l m o g o r o v, δ η λ α δ ή τ η ς π ε ρ ι ο χ ή ς τ η ς π λ ή ρ ο υ ς α ν ε π τ υ γ μ έ ν η ς τ ύ ρ β η ς. Η σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά ν ό μ ο υ κ λ ί μ α κ α ς P ( f ) = c / f a ε ί ν α ι χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ό π ο λ ύ π λ ο κ ω ν σ υ σ τ η μ ά τ ω ν, τ α ο π ο ί α, σ ε π ο λ λ έ ς π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς, ε ί ν α ι κ α ι χ α ο τ ι κ ά ( B a k , M a n d e l b r o t , K a r a k a s i d i s e t a l ). 64

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 1. Ανάλυση με τη Μέθοδο Γραφημάτων Επαναφοράς Α φ ο ύ έ γ ι ν ε η ε κ τ ί μ η σ η τ ο υ χ ρ ό ν ο υ υ σ τ έ ρ η σ η ς τ γ ι α κ ά θ ε ρ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ά, ό π ω ς π ε ρ ι γ ρ ά φ η κ ε σ τ ο π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ο κ ε φ ά λ α ι ο, κ α τ α σ κ ε υ ά σ τ η κ α ν τ α α ν τ ί σ τ ο ι χ α Γραφήματα Επαναφοράς (Γ.Ε.) μ ε δ ι ά σ τ α σ η ε μ β ύ θ ι σ η ς 1 0 σ ε σ υ μ φ ω ν ί α μ ε π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς α ν α λ ύ σ ε ι ς ( K a r a k a s i d i s e t a l ). Σ τ α σ χ ή μ α τ α 5. 1 έ ω ς 5. 3 π α ρ α τ ί θ ε ν τ α ι γ ρ α φ ή μ α τ α γ ι α κ ά π ο ι ε ς χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ έ ς θ έ σ ε ι ς κ α τ ά μ ή κ ο ς τ η ς ο ρ ι ζ ό ν τ ι α ς γ ρ α μ μ ή ς γ ι α τ α 3 ύ ψ η τ η ς φ λ έ β α ς. Ο ι μ α ύ ρ ε ς κ α ι ο ι μ π λ ε κ ο υ κ κ ί δ ε ς α π ε ι κ ο ν ί ζ ο υ ν κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς τ ο υ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς π ο υ ε ί ν α ι π ο λ ύ κ ο ν τ ι ν έ ς μ ε τ α ξ ύ τ ο υ ς σ τ ο ν α ν α κ α τ α σ κ ε υ α σ μ έ ν ο χ ώ ρ ο τ ω ν φ ά σ ε ω ν, ο ι κ ό κ κ ι ν ε ς κ ο υ κ κ ί δ ε ς α ν τ ι σ τ ο ι χ ο ύ ν σ ε ε ν δ ι ά μ ε σ ε ς α π ο σ τ ά σ ε ι ς, ο ι κ ί τ ρ ι ν ε ς α ν α π α ρ ι σ τ ο ύ ν κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς ε π α ν α φ ο ρ ά ς ( σ η μ ε ί α π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι ε ν τ ό ς τ η ς υ π ε ρ σ φ α ί ρ α ς ), α λ λ ά σ ε α κ ό μ α μ ε γ α λ ύ τ ε ρ ε ς μ ε τ α ξ ύ τ ο υ ς α π ο σ τ ά σ ε ι ς. Τ έ λ ο ς, τ α γ κ ρ ι σ η μ ε ί α δ ε ν ε ί ν α ι σ η μ ε ί α ε π α ν α φ ο ρ ά ς. 65

67 Χ=0.5 cm Χ=3.5 cm Χ=7.5 cm Χ=9.5 cm Χ=11.5 cm Χ=13.5 cm Χ=16.5 cm Χ=23.5 cm Σχήμα 5.1: Γραφήματα επαναφοράς σε διάφορα σημεία κατά μήκος της γραμμής y=5 cm. 66

68 X=11cm X=15 cm X=20 cm X=23 cm X=25cm X=27cm X=30 cm X=34 cm Σχήμα 5.2: Γ ραφήματα επαναφοράς σε διάφορα σημεία κατά μήκος της γραμμής y=10 cm. 67

69 X=19 cm X= 23 cm X=26 cm X=28 cm X=30 cm X=33 cm X=36 cm X=37cm Σχήμα 5.3: Γ ραφήματα επαναφοράς σε διάφορα σημεία κατά μήκος της γραμμής y=15 cm. 68

70 Α π ό τ α π α ρ α π ά ν ω σ χ ή μ α τ α δ ι α π ι σ τ ώ ν ε τ α ι ό τ ι σ τ ο χ ώ ρ ο κ ο ν τ ά σ τ ο κ έ ν τ ρ ο τ η ς φ λ έ β α ς ( x = c m γ ι α ύ ψ ο ς y = 5 c m, x = 2 5 c m γ ι α y = 1 0 c m κ α ι x = 3 0 c m γ ι α = 1 5 c m ) μ ι κ ρ α ί ν ε ι ο α ρ ι θ μ ό ς τ ω ν σ κ ο ύ ρ ω ν μ π λ ε σ η μ ε ί ω ν. Α ρ ι σ τ ε ρ ά κ α ι δ ε ξ ι ά τ ο υ ά ξ ο ν α ε μ φ α ν ί ζ ο ν τ α ι φ υ λ λ ω τ έ ς ( l a m i n a r ) κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς, κ α ι π ρ ο χ ω ρ ώ ν τ α ς μ α κ ρ ι ά α π ό τ ο ν ά ξ ο ν α, α υ ξ ά ν ε τ α ι τ ο μ έ γ ε θ ο ς τ ω ν γ κ ρ ι κ α ι σ κ ο ύ ρ ω ν π ε ρ ι ο χ ώ ν, δ η λ α δ ή π α ρ ο υ σ ι ά ζ ο ν τ α ι π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ε ς κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς π α γ ι δ ε υ μ έ ν ε ς σ τ ο χ ρ ό ν ο. Α υ τ ό ο φ ε ί λ ε τ α ι σ τ η ν ύ π α ρ ξ η δ ο μ ώ ν τ ύ ρ β η ς μ ε γ ά λ η ς δ ι ά ρ κ ε ι α ς κ ο ν τ ά σ τ α ό ρ ι α τ η ς φ λ έ β α ς κ α ι ε ί ν α ι σ ε π ο ι ο τ ι κ ή σ υ μ φ ω ν ί α μ ε τ α α π ο τ ε λ έ σ μ α τ α τ η ς α μ ο ι β α ί α ς π λ η ρ ο φ ο ρ ί α ς κ α ι τ ω ν φ α σ μ ά τ ω ν ι σ χ ύ ο ς. Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ό τ ω ν π α ρ α π ά ν ω γ ρ α φ η μ ά τ ω ν ε π α ν α φ ο ρ ά ς ε ί ν α ι η ε μ φ ά ν ι σ η γ ρ α μ μ ώ ν π α ρ ά λ λ η λ ω ν σ τ η ν κ ύ ρ ι α δ ι α γ ώ ν ι ο. Ο α ρ ι θ μ ό ς τ ο υ ς ε ί ν α ι μ ε γ α λ ύ τ ε ρ ο ς κ ο ν τ ά σ τ ο κ έ ν τ ρ ο κ α ι μ ε ι ώ ν ε τ α ι κ α θ ώ ς α π ο μ α κ ρ υ ν ό μ α σ τ ε α π ό α υ τ ό. Η ύ π α ρ ξ η τ έ τ ο ι ω ν γ ρ α μ μ ώ ν σ υ ν δ έ ε τ α ι μ ε π ι θ α ν ή α ι τ ι ο κ ρ α τ ι κ ή σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά κ α θ ώ ς κ α ι μ ε π ι θ α ν ή π ε ρ ι ο δ ι κ ό τ η τ α τ ο υ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς. Α π ό φ υ σ ι κ ή ς ά π ο ψ η ς τ ο φ α ι ν ό μ ε ν ο ε ξ η γ ε ί τ α ι α π ό τ ο γ ε γ ο ν ό ς ό τ ι τ ο ν ε ρ ό σ τ η φ λ έ β α ε π η ρ ε ά ζ ε τ α ι α π ό τ η ρ ο ή, ε ν ώ τ ο ν ε ρ ό έ ξ ω α π α υ τ ή β ρ ί σ κ ε τ α ι σ ε θ ε ρ μ ι κ ή ι σ ο ρ ρ ο π ί α κ α ι α κ ι ν η σ ί α. Γ ι α υ τ ό τ ο λ ό γ ο, τ ο ν ε ρ ό έ ξ ω α π ό τ η φ λ έ β α χ ά ν ε ι μ ν ή μ η π ο λ ύ γ ρ ή γ ο ρ α σ ε σ χ έ σ η μ ε τ ο ν ε ρ ό σ τ ο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό τ η ς. Τ ο α π ο τ έ λ ε σ μ α α υ τ ό ε ί ν α ι σ ε σ υ μ φ ω ν ί α μ ε τ η ν ε κ τ ί μ η σ η τ ο υ ά ξ ο ν α τ η ς φ λ έ β α ς α π ό τ η ν χ ρ ο ν ι κ ή υ σ τ έ ρ η σ η π ο υ π ρ ο κ ύ π τ ε ι α π ό τ η μ έ σ η α μ ο ι β α ί α π λ η ρ ο φ ο ρ ί α, κ α θ ώ ς κ α ι μ ε τ α σ υ μ π ε ρ ά σ μ α τ α α π ό τ α φ ά σ μ α τ α ι σ χ ύ ο ς. 2. Ποσοτική ανάλυση επαναφοράς Μ ε β ά σ η τ α Γ ρ α φ ή μ α τ α Ε π α ν α φ ο ρ ά ς ( Γ Ε ), ε φ α ρ μ ό σ τ η κ ε η μ έ θ ο δ ο ς τ η ς Ποσοτικής Ανάλυσης Επαναφοράς. Σ ε κ ά θ ε σ η μ ε ί ο μ έ τ ρ η σ η ς υ π ο λ ο γ ί σ τ η κ α ν ο ε π ί τ ο ι ς ε κ α τ ό ν τ ε τ ε ρ μ ι ν ι σ μ ό ς ( % d e t e r m i n i s m - % D E T ), η μ έ γ ι σ τ η γ ρ α μ μ ή ( M a x i m u m L i n e - M a x L i n e ), ο Χ ρ ό ν ο ς Π α γ ί δ ε υ σ η ς ( T r a p p i n g T i m e - T T ) κ α ι τ ο ε π ί τ ο ι ς ε κ α τ ό L a m i n a r i t y ( % L a m i n a r i t y - % L a m ). Η τ ι μ ή τ η ς α κ τ ί ν α ς α π ο κ ο π ή ς π ρ ο έ κ υ ψ ε α π ό τ ο ρ υ θ μ ό ε π α ν ά θ ε σ η ς, η τ ι μ ή τ ο υ ο π ο ί ο υ κ υ μ α ί ν ε τ α ι μ ε τ α ξ ύ 1 % κ α ι 2 %. Σ τ α σ χ ή μ α τ α 5. 4 έ ω ς 5. 7 π α ρ ο υ σ ι ά ζ ο ν τ α ι τ α α ν τ ί σ τ ο ι χ α δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α. 69

71 % DET y=5cm S? Απόσταση (cm) ( α ) % DET y=10cm Απόσταση (cm) ( β ) Σχήμα 5.4: % D E T κ α τ ά μ ή κ ο ς τ ω ν γ ρ α μ μ ώ ν a ) y = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, Y ) y = 1 5 c m. 70

72 MaxLine p;nnn Μ -P* C o o c o o c D Ο O C 0 MaxLine i l l " " " y=5cm Απόσταση (cm) (α) \ cnnn /innn MaxLine y= 15cm innn c^ If 1 c o c 1 * 1 1 u5 L Απόσταση (cm), (γ) Σχήμα 5.5: M a x L i n e κ α τ ά μ ή κ ο ς τ ω ν γ ρ α μ μ ώ ν a ) y = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, Y ) y = 1 5 c m. 71

73 1 on TT 150 fin ΓΤ y=5cm 120 fv / U Απόσταση (cm) (α) I aaaa ΨίΨΨΨΨ I T T y=10cm I Απόσταση (cm) ( β ) (γ) Σχήμα 5.6: T r a p p i n g T i m e κ α τ ά μ ή κ ο ς τ ω ν γ ρ α μ μ ώ ν a ) y = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, Y ) y = 1 5 c m. 72

74 % LAM y=5cm Απόσταση (cm) (α) NO 20 0 % LAM y=10cm Απόσταση (cm) ( β ) % LAM y=15cm %LAM c n NJ -Ρ*> C Ο Ο Ο c Ι-> I \ ft A. * JvWsAAi*, Απόσταση (cm) (γ) Σχήμα 5.7: % L A M κ α τ ά μ ή κ ο ς τ ω ν γ ρ α μ μ ώ ν a ) y = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, Y ) y = 1 5 c m. Ό π ω ς α ν α φ έ ρ θ η κ ε σ τ η ν π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν η π α ρ ά γ ρ α φ ο, σ τ α Γ Ε π α ρ α τ η ρ ο ύ ν τ α ι π ο λ λ έ ς γ ρ α μ μ έ ς π α ρ ά λ λ η λ ε ς σ τ η ν κ ύ ρ ι α δ ι α γ ώ ν ι ο. Τ α σ χ ή μ α τ α 5. 4 κ α ι 5. 5 π ο υ α φ ο ρ ο ύ ν τ ο % D E T κ α ι τ ο M a x L i n e έ χ ο υ ν ω ς σ τ ό χ ο τ η ν π ο σ ο τ ι κ ο π ο ί η σ η τ η ς π α ρ α τ ή ρ η σ η ς α υ τ ή ς. Σ τ ο σ χ ή μ α 5. 4 β λ έ π ο υ μ ε π ω ς υ π ά ρ χ ε ι μ ε ί ω σ η τ ο υ % D E T ε ν τ ό ς τ ο υ π υ ρ ή ν α τ η ς φ λ έ β α ς, μ ε τ ι ς ε λ ά χ ι σ τ ε ς τ ι μ έ ς ν α π α ρ α τ η ρ ο ύ ν τ α ι κ ο ν τ ά σ τ ο ν ά ξ ο ν α. Α υ τ ό ο φ ε ί λ ε τ α ι σ τ ο γ ε γ ο ν ό ς ό τ ι σ τ ο κ έ ν τ ρ ο δ η μ ι ο υ ρ γ ο ύ ν τ α ι π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ε ς δ ι α τ α ρ α χ έ ς ε ξ α ι τ ί α ς τ η ς 73

75 ύ π α ρ ξ η ς μ ι κ ρ ώ ν δ ο μ ώ ν μ ε μ ι κ ρ ο ύ ς χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ο ύ ς χ ρ ό ν ο υ ς μ ε α π ο τ έ λ ε σ μ α ν α υ π ά ρ χ ε ι τ α χ ύ τ ε ρ η α π ώ λ ε ι α μ ν ή μ η ς κ α ι ν α μ ε ι ώ ν ε τ α ι ο ν τ ε τ ε ρ μ ι ν ι σ μ ό ς. Σ ε ό, τ ι α φ ο ρ ά τ ο M a x L i n e, τ α α π ο τ ε λ έ σ μ α τ α ε ί ν α ι ε ν δ ε ι κ τ ι κ ά τ η ς ύ π α ρ ξ η ς τ ο λ ι γ ό τ ε ρ ο μ ι α ς μ ε γ ά λ η ς δ ι α γ ώ ν ι α ς γ ρ α μ μ ή ς. Ο ι τ ι μ έ ς τ ο υ M a x L i n e α υ ξ ά ν ο ν τ α ι σ ε μ ε γ ά λ ο β α θ μ ό ό π ω ς π ε ρ ν ά κ α ν ε ί ς α π ό τ ο ν ε ρ ό ε κ τ ό ς τ η ς π ε ρ ι ο χ ή ς τ η ς φ λ έ β α ς π ρ ο ς τ η ν π ε ρ ι ο χ ή τ η ς φ λ έ β α ς κ α ι ε ί ν α ι μ ε γ α λ ύ τ ε ρ ε ς κ ο ν τ ά σ τ ο κ έ ν τ ρ ο τ η ς ρ ο ή ς, κ α θ ώ ς ε κ ε ί η δ υ ν α μ ι κ ή τ η ς ρ ο ή ς ε π η ρ ε ά ζ ε τ α ι λ ι γ ό τ ε ρ ο α π ό τ ι ς δ ο μ έ ς μ α κ ρ ά ς χ ρ ο ν ι κ ή ς δ ι ά ρ κ ε ι α ς. Ο χ ρ ό ν ο ς π α γ ί δ ε υ σ η ς ( Τ Τ ) ε ί ν α ι ο χ ρ ό ν ο ς κ α τ ά τ ο ν ο π ο ί ο έ ν α δ υ ν α μ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α ε ί ν α ι π α γ ι δ ε υ μ έ ν ο σ ε μ ι α δ ε δ ο μ έ ν η κ α τ ά σ τ α σ η. Σ τ ο σ χ ή μ α 5. 6 β λ έ π ο υ μ ε ό τ ι π ρ ο χ ω ρ ώ ν τ α ς α π ό τ ο κ έ ν τ ρ ο τ η ς φ λ έ β α ς π ρ ο ς τ ο ό ρ ι ό τ η ς, ο Τ Τ α υ ξ ά ν ε τ α ι σ η μ α ν τ ι κ ά κ α ι μ ε ι ώ ν ε τ α ι ξ α ν ά σ τ ι ς π ε ρ ι ο χ έ ς ε κ τ ό ς τ η ς φ λ έ β α ς. Α υ τ ό ε ξ η γ ε ί τ α ι α π ό τ ο γ ε γ ο ν ό ς ό τ ι ε κ τ ό ς τ η ς φ λ έ β α ς δ ε ν υ π ά ρ χ ε ι ά λ λ η δ υ ν α μ ι κ ή ε κ τ ό ς α π ό τ η θ ε ρ μ ι κ ή κ ί ν η σ η, κ α ι έ τ σ ι ο ι ε π ι δ ρ ά σ ε ι ς μ ν ή μ η ς χ ά ν ο ν τ α ι γ ρ ή γ ο ρ α ( α μ ε λ η τ έ ο Τ Τ ). Κ ο ν τ ά σ τ ο κ έ ν τ ρ ο τ η ς π α ρ α τ η ρ ο ύ ν τ α ι δ ο μ έ ς μ ι κ ρ ή ς χ ρ ο ν ι κ ή ς δ ι ά ρ κ ε ι α ς π ο υ κ α τ α σ τ ρ έ φ ο ν τ α ι κ α ι α ν α δ ο μ ο ύ ν τ α ι α ρ κ ε τ ά γ ρ ή γ ο ρ α ( μ ι κ ρ ό Τ Τ ), ε ν ώ κ ο ν τ ά σ τ α ό ρ ι α τ η ς φ λ έ β α ς ο ι δ ο μ έ ς α υ τ έ ς δ ι α ρ κ ο ύ ν π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ο ( μ ε γ ά λ ο Τ Τ ). Τ ο % L a m, τ ο ο π ο ί ο δ ε ί χ ν ε ι κ α τ ά π ό σ ο τ ο σ ύ σ τ η μ α ε ί ν α ι π α γ ι δ ε υ μ έ ν ο σ τ ο χ ρ ό ν ο, δ ί ν ε ι δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α α ν τ ί σ τ ο ι χ α μ ε α υ τ ά τ ο υ χ ρ ό ν ο υ π α γ ί δ ε υ σ η ς. Υ π ά ρ χ ε ι μ ια σ η μ α ν τ ι κ ή α ύ ξ η σ η π ρ ο χ ω ρ ώ ν τ α ς α π ό τ ο κ έ ν τ ρ ο π ρ ο ς τ α ό ρ ι α τ η ς φ λ έ β α ς, ε ν ώ μ ε ι ώ ν ε τ α ι έ ξ ω α π ό α υ τ ή. Η ε ξ ή γ η σ η ε ί ν α ι η ί δ ι α π ο υ δ ό θ η κ ε π α ρ α π ά ν ω γ ι α τ ο Τ Τ. Τ α α π ο τ ε λ έ σ μ α τ α α υ τ ά ε ί ν α ι σ ε π ο ι ο τ ι κ ή σ υ μ φ ω ν ί α μ ε τ α α π ο τ ε λ έ σ μ α τ α τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς α μ ο ι β α ί α ς π λ η ρ ο φ ο ρ ί α ς κ α ι τ ω ν φ α σ μ ά τ ω ν ι σ χ ύ ο ς, ε ν ώ, γ ι α y = 5 c m, ε ί ν α ι σ ε σ υ μ φ ω ν ί α μ ε τ α α π ο τ ε λ έ σ μ α τ α σ ε π ρ ο η γ ο ύ μ ε ν ε ς μ ε λ έ τ ε ς ( K a r a k a s i d i s e t a l ), μ ε τ ο π λ ε ο ν έ κ τ η μ α, ό μ ω ς, ό τ ι μ π ο ρ ο ύ ν ν α δ ώ σ ο υ ν δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ή μ ο ρ φ ή τ η ς π λ η ρ ο φ ο ρ ί α ς τ α υ τ ό χ ρ ο ν α. 74

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Δ ε δ ο μ έ ν ο υ ό τ ι ο ι θ έ σ ε ι ς σ τ ι ς μ ε τ ρ ή σ ε ι ς π ο υ έ γ ι ν α ν ε ί ν α ι γ ε ι τ ο ν ι κ έ ς, θ ε ω ρ ή θ η κ ε α ν α γ κ α ί ο ν α ε ξ ε τ α σ θ ο ύ ν ο ι σ υ σ χ ε τ ί σ ε ι ς μ ε τ α ξ ύ τ ω ν χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν τ ω ν θ έ σ ε ω ν α υ τ ώ ν. Γ ια τ η μ ε λ έ τ η τ ω ν σ υ σ χ ε τ ί σ ε ω ν α υ τ ώ ν χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ή θ η κ ε η Συνάρτηση Συσυσχέτισης (cross correlation function). Ο υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σ υ σ χ έ τ ι σ η ς μ ε τ α ξ ύ τ η ς κ ά θ ε χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ά ς κ α ι α υ τ ή ς π ο υ π ρ ο κ ύ π τ ε ι α π ό τ ι ς μ ε τ ρ ή σ ε ι ς σ τ ο κ έ ν τ ρ ο τ η ς φ λ έ β α ς, γ ι α κ α θ έ ν α α π ό τ α 3 ύ ψ η έ γ ι ν ε μ ε τ η χ ρ ή σ η τ ο υ π ρ ο γ ρ ά μ μ α τ ο ς M a t l a b. Α π ό τ α α ν τ ί σ τ ο ι χ α δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α, ε ξ ή χ θ η σ α ν ο ι τ ι μ έ ς τ ω ν χ ρ ο ν ι κ ώ ν υ σ τ ε ρ ή σ ε ω ν, δ ε ξ ι ά κ α ι α ρ ι σ τ ε ρ ά τ ο υ μ η δ ε ν ό ς, σ τ ι ς ο π ο ί ε ς ε μ φ α ν ί ζ ο ν τ α ι τ α π ρ ώ τ α τ ο π ι κ ά α κ ρ ό τ α τ α, ο ι μ έ γ ι σ τ ε ς α υ τ έ ς τ ι μ έ ς, κ α θ ώ ς κ α ι ο ι τ ι μ έ ς τ ω ν χ ρ ο ν ι κ ώ ν υ σ τ ε ρ ή σ ε ω ν δ ε ξ ι ά κ α ι α ρ ι σ τ ε ρ ά τ ο υ μ η δ ε ν ό ς γ ι α τ ι ς ο π ο ί ε ς μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι γ ι α π ρ ώ τ η φ ο ρ ά η σ υ ν ά ρ τ η σ η σ υ σ υ σ χ ε τ ι σ η ς. Έ τ σ ι π ρ ο κ ύ π τ ο υ ν τ α σ χ ή μ α τ α 6. 1 έ ω ς 6. 3 : 75

77 (α) (β) Σχήμα σ υ ν ά ρ τ η σ η ς (γ) 6.1: Χ ρ ό ν ο ς υ σ τ έ ρ η σ η ς τ ό π ο υ ε μ φ α ν ί ζ ο ν τ α ι τ α π ρ ώ τ α α κ ρ ό τ α τ α τ η ς σ υ σ υ σ ρ έ τ ι σ η ς α ρ ι σ τ ε ρ ά κ α ι δ ε ξ ι ά τ ο υ μ η δ ε ν ό ς κ α τ ά μ ή κ ο ς τ η ς γ ρ α μ μ ή ς α ) γ = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, γ ) γ = 1 5 c m. 76

78 Σχήμα 6.2: Τ ι μ ή τ ω ν π ρ ώ τ ω ν α κ ρ ό τ α τ ω ν, α ρ ι σ τ ε ρ ά κ α ι δ ε ξ ι ά τ ο υ μ η δ ε ν ό ς, τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σ υ σ υ σ ρ έ τ ι σ η ς κ α τ ά μ ή κ ο ς τ η ς γ ρ α μ μ ή ς α ) γ = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, γ ) γ = 1 5 c m. 77

79 (β) (γ) Σχήμα 6.3: Χ ρ ό ν ο ς υ σ τ έ ρ η σ η ς τ ό π ο υ μ η δ ε ν ί ζ ε τ α ι γ ι α π ρ ώ τ η φ ο ρ ά η σ υ ν ά ρ τ η σ η σ υ σ υ σ ρ έ τ ι σ η ς α ρ ι σ τ ε ρ ά κ α ι δ ε ξ ι ά τ ο υ μ η δ ε ν ό ς, κ α τ ά μ ή κ ο ς τ η ς γ ρ α μ μ ή ς a ) y = 5 c m, β ) γ = 1 0 c m, Y ) y = 1 5 c m. 78

80 Σ τ α δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α χ ρ ο ν ι κ ώ ν υ σ τ ε ρ ή σ ε ω ν τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σ υ σ υ σ ρ έ τ ι σ η ς ( σ χ ή μ α 6. 1 ) π α ρ α τ η ρ ε ί τ α ι α σ ύ μ μ ε τ ρ η σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά ω ς π ρ ο ς τ ο ν ά ξ ο ν α τ η ς φ λ έ β α ς ( χ = c m γ ι α ύ ψ ο ς y = 5 c m, x = 2 5 c m γ ι α y = 1 0 c m κ α ι x = 3 0 c m γ ι α = 1 5 c m ), τ ω ν τ ι μ ώ ν τ ω ν χ ρ ο ν ι κ ώ ν υ σ τ ε ρ ή σ ε ω ν. Σ τ α δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α τ ω ν σ υ ν τ ε λ ε σ τ ώ ν σ υ σ υ σ χ έ τ ι σ η ς ( σ χ ή μ α 6. 2 ) β λ έ π ο υ μ ε ό τ ι σ τ ο ν ά ξ ο ν α τ η ς φ λ έ β α ς ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς ε ί ν α ι ί σ ο ς μ ε τ η μ ο ν ά δ α, κ α θ ώ ς σ χ ε τ ί ζ ε τ α ι μ ία δ ι α δ ι κ α σ ί α μ ε τ ο ν ε α υ τ ό τ η ς. Σ τ α γ ε ι τ ο ν ι κ ά σ τ ο ν ά ξ ο ν α σ η μ ε ί α η μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή ε ί ν α ι α υ ξ η μ έ ν η, κ ά τ ι π ο υ σ η μ α ί ν ε ι ό τ ι ο ι κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς π α ρ α μ έ ν ο υ ν ι σ χ υ ρ ά σ υ σ χ ε τ ι σ μ έ ν ε ς. Π ρ ο χ ω ρ ώ ν τ α ς π ρ ο ς τ α ά κ ρ α, ο σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς μ ε ι ώ ν ε τ α ι, κ α ι σ τ ι ς π ε ρ ι ο χ έ ς ε κ τ ό ς τ η ς φ λ έ β α ς π α ί ρ ν ε ι χ α μ η λ έ ς τ ι μ έ ς, κ ο ν τ ά σ τ ο μ η δ έ ν, γ ε γ ο ν ό ς π ο υ δ ε ί χ ν ε ι ό τ ι ό σ ο α π ο μ α κ ρ υ ν ό μ α σ τ ε α π ό τ ο κ έ ν τ ρ ο, τ ό σ ο π ι ο α σ υ σ χ έ τ ι σ τ ε ς γ ί ν ο ν τ α ι ο ι κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς. Σ τ α δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α χ ρ ο ν ι κ ώ ν υ σ τ ε ρ ή σ ε ω ν μ η δ ε ν ι σ μ ο ύ τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σ υ σ υ σ χ έ τ ι σ η ς ( σ χ ή μ α 6. 3 ) π α ρ α τ η ρ ο ύ ν τ α ι σ η μ α ν τ ι κ έ ς δ ι α κ υ μ ά ν σ ε ι ς σ τ ι ς τ ι μ έ ς τ ο υ χ ρ ό ν ο υ τ κ α τ ά μ ή κ ο ς τ ω ν γ ρ α μ μ ώ ν π ο υ α ν α φ έ ρ ο ν τ α ι σ τ α 3 δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ά ύ ψ η. Μ π ο ρ ο ύ μ ε, ό μ ω ς, ν α δ ι α π ι σ τ ώ σ ο υ μ ε ό τ ι ο ι χ ρ ο ν ι κ έ ς υ σ τ ε ρ ή σ ε ι ς μ η δ ε ν ι σ μ ο ύ έ χ ο υ ν σ η μ α ν τ ι κ ά μ ε γ ά λ ε ς τ ι μ έ ς κ ο ν τ ά σ τ α ά κ ρ α κ α ι σ τ ι ς π ε ρ ι ο χ έ ς ε κ τ ό ς τ η ς φ λ έ β α ς. Ε ίν α ι ε ν δ ι α φ έ ρ ο ν τ ο γ ε γ ο ν ό ς ό τ ι α υ τ ό μ α ς ε π ι τ ρ έ π ε ι ν α β ρ ο ύ μ ε π ε ρ ι ο χ έ ς τ ο υ ρ ε υ σ τ ο ύ π ο υ α λ λ η λ ε π ι δ ρ ο ύ ν μ ε τ α ξ ύ τ ο υ ς. Α π α ι τ ε ί τ α ι, β έ β α ι α, π ε ρ α ι τ έ ρ ω δ ι ε ρ ε ύ ν η σ η π ρ ο κ ε ι μ έ ν ο υ ν α ε ξ α χ θ ο ύ ν σ υ μ π ε ρ ά σ μ α τ α σ χ ε τ ι κ ά μ ε τ α π ο σ ο τ ι κ ά μ ε γ έ θ η. 79

81 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Σ τ η ν π α ρ ο ύ σ α ε ρ γ α σ ί α π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι α ρ χ ι κ ά η θ ε ω ρ ί α τ ω ν δ υ ν α μ ι κ ώ ν σ υ σ τ η μ ά τ ω ν κ α ι τ ω ν χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν μ ε μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η έ μ φ α σ η σ τ ι ς μ ε θ ό δ ο υ ς α ν ά λ υ σ η ς τ ω ν χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν. Η α ν ά λ υ σ η α φ ο ρ ά π ε ι ρ α μ α τ ι κ ά δ ε δ ο μ έ ν α μ ε τ α β ο λ ή ς θ ε ρ μ ο κ ρ α σ ί α ς σ ε ο ρ ι ζ ό ν τ ι α κ υ κ λ ι κ ή θ ε ρ μ α ι ν ό μ ε ν η τ υ ρ β ώ δ η φ λ έ β α κ α ι έ γ ι ν ε μ ε Συνάρτηση Μέσης Αμοιβαίας Πληροφορίας, Φάσμα Ισχύος, Γραφήματα Επαναφοράς κ α ι Ποσοτική Ανάλυση Επαναφοράς σ ε χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ έ ς π ο υ α φ ο ρ ο ύ ν μ ε τ ρ ή σ ε ι ς κ α τ ά μ ή κ ο ς τ ρ ι ώ ν ο ρ ι ζ ό ν τ ι ω ν γ ρ α μ μ ώ ν σ ε τ ρ ί α δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ά ύ ψ η. Ο ι δ ι α φ ο ρ ο π ο ι ή σ ε ι ς σ τ ι ς τ ι μ έ ς τ ω ν π α ρ α μ έ τ ρ ω ν τ η ς Π Α Ε δ ε ί χ ν ο υ ν τ η ν ύ π α ρ ξ η τ ρ ι ώ ν π ε ρ ι ο χ ώ ν σ τ η δ ε ξ α μ ε ν ή τ ο υ ν ε ρ ο ύ, γ ε γ ο ν ό ς π ο υ ο φ ε ί λ ε τ α ι σ τ ι ς μ ε τ α β ά σ ε ι ς τ η ς φ υ σ ι κ ή ς κ α τ ά σ τ α σ η ς τ ο υ υ γ ρ ο ύ α π ό π λ ή ρ ω ς α ν ε π τ υ γ μ έ ν η τ ύ ρ β η κ ο ν τ ά σ τ ο ν ά ξ ο ν α τ η ς φ λ έ β α ς ( Π ε ρ ι ο χ ή 1 ), σ ε μ ε τ α β α τ ι κ ή ρ ο ή κ ο ν τ ά σ τ ο ό ρ ι ο τ η ς φ λ έ β α ς ( Π ε ρ ι ο χ ή 2 ) κ α ι σ τ η ν κ α τ ά σ τ α σ η τ ο υ υ γ ρ ο ύ σ ε η ρ ε μ ί α ( Π ε ρ ι ο χ ή 3 ). Κ ο ν τ ά σ τ ο ν ά ξ ο ν α η μ ν ή μ η χ ά ν ε τ α ι γ ρ ή γ ο ρ α, σ ε α ν τ ί θ ε σ η μ ε τ ι ς π ε ρ ι ο χ έ ς κ ο ν τ ά σ τ α ό ρ ι α τ η ς φ λ έ β α ς, ό π ο υ η μ ν ή μ η δ ι α ρ κ ε ί π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ο. Η μ ι κ ρ ή μ ν ή μ η α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε δ ο μ έ ς ρ ο ή ς μ ι κ ρ ή ς δ ι ά ρ κ ε ι α ς π ο υ ε μ φ α ν ί ζ ο ν τ α ι σ τ η ν π ε ρ ι ο χ ή π λ ή ρ ο υ ς α ν ε π τ υ γ μ έ ν η ς τ ύ ρ β η ς ( Π ε ρ ι ο χ ή 1 ). Π ρ ο χ ω ρ ώ ν τ α ς π ρ ο ς τ α ό ρ ι α τ η ς φ λ έ β α ς, κ υ ρ ι α ρ χ ο ύ ν ο ι μ ε γ ά λ η ς κ λ ί μ α κ α ς δ ο μ έ ς ρ ο ή ς, ο ι ο π ο ί ε ς ζ ο υ ν π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ ο κ α ι χ α ρ α κ τ η ρ ί ζ ο ν τ α ι α π ό μ ν ή μ η μ α κ ρ ά ς δ ι α ρ κ ε ί α ς ( Π ε ρ ι ο χ ή 2 ), ε ν ώ σ τ ο ή ρ ε μ ο ν ε ρ ό, ό π ο υ π α ρ ο υ σ ι ά ζ ο ν τ α ι μ ό ν ο θ ε ρ μ ι κ έ ς μ ε τ α β ο λ έ ς χ α μ η λ ο ύ ε π ι π έ δ ο υ, η σ υ μ π ε ρ ι φ ο ρ ά ε ί ν α ι ε ν τ ε λ ώ ς δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ή ( Π ε ρ ι ο χ ή 3 ). Η Σ υ ν ά ρ τ η σ η Α μ ο ι β α ί α ς Π λ η ρ ο φ ο ρ ί α ς κ α θ ώ ς κ α ι ο ι π α ρ ά μ ε τ ρ ο ι τ η ς Π Α Ε, δ η λ α δ ή ο %Ντετερμινισμός ( % D E T ), η Μέγιστη Διαγώνια Γραμμή ( M a x L i n e ), ο Χρόνος Παγίδευσης ( T r a p p i n g T i m e ), τ ο %Laminarity ( % L A M ) δ ε ί χ ν ο υ ν τ η ν π α ρ ο υ σ ί α μ ι κ ρ ή ς δ ι ά ρ κ ε ι α ς δ ο μ ώ ν σ τ ο κ έ ν τ ρ ο τ η ς φ λ έ β α ς κ α ι δ ο μ ώ ν μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η ς δ ι ά ρ κ ε ι α ς κ ο ν τ ά σ τ α ό ρ ι α τ η ς φ λ έ β α ς. Ε π ί σ η ς, η σ υ ν ά ρ τ η σ η α μ ο ι β α ί α ς π λ η ρ ο φ ο ρ ί α ς δ ί ν ε ι τ η δ υ ν α τ ό τ η τ α ε ν τ ο π ι σ μ ο ύ τ ο υ κ ε ν τ ρ ι κ ο ύ ά ξ ο ν α τ η ς φ λ έ β α ς. Δ ι α π ι σ τ ώ ν ε τ α ι, λ ο ι π ό ν, η χ ρ η σ ι μ ό τ η τ α τ η ς Π Α Ε σ ε π ε ι ρ ά μ α τ α σ ε ο, τ ι α φ ο ρ ά τ ο ν ε ν τ ο π ι σ μ ό μ ε τ α β ά σ ε ω ν μ ε τ α ξ ύ δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ώ ν π ε ρ ι ο χ ώ ν τ ο υ υ π ό μ ε λ έ τ η σ υ σ τ ή μ α τ ο ς. Α υ τ ή η π λ η ρ ο φ ο ρ ί α, σ ε σ υ ν δ υ α σ μ ό μ ε τ η γ ν ώ σ η τ ο υ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς, μ π ο ρ ε ί ν α ο δ η γ ή σ ε ι σ ε κ α λ ύ τ ε ρ η κ α τ α ν ό η σ η τ η ς δ υ ν α μ ι κ ή ς τ ο υ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς. Τ έ λ ο ς, σ χ ε τ ι κ ά μ ε τ ι ς σ υ σ χ ε τ ί σ ε ι ς τ ω ν χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν κ α τ ά μ ή κ ο ς τ η ς φ λ έ β α ς, η α ν ά λ υ σ η έ γ ι ν ε μ ε Συνάρτηση Συσυσχέτισης. Α υ τ ό π ο υ π α ρ α τ η ρ ε ί τ α ι ε ί ν α ι ό τ ι σ τ α σ η μ ε ί α π ο υ ε ί ν α ι γ ε ι τ ο ν ι κ ά τ ο υ ά ξ ο ν α, ο ι κ α τ α σ τ ά σ ε ι ς ε ί ν α ι ι σ χ υ ρ ά σ υ σ χ ε τ ι σ μ έ ν ε ς, ε ν ώ ό σ ο α π ο μ α κ ρ υ ν ό μ α σ τ ε α π ό τ ο κ έ ν τ ρ ο, τ ό σ ο π ι ο α σ υ σ χ έ τ ι σ τ ε ς γ ί ν ο ν τ α ι ο ι α υ τ έ ς. Σ τ ο μ έ λ λ ο ν, π ρ ο β λ έ π ε τ α ι η χ ρ ή σ η τ η ς π α ρ ο ύ σ α ς μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α ς σ τ η ν α ν ά λ υ σ η π ι ο π ο λ ύ π λ ο κ ω ν π ε ρ ι π τ ώ σ ε ω ν φ λ ε β ώ ν, ό π ω ς κ α τ α κ ό ρ υ φ η φ λ έ β α ή φ λ έ β α υ π ό γ ω ν ί α 80

82 κ α θ ώ ς κ α ι ά λ λ ω ν δ υ ν α μ ι κ ώ ν σ υ σ τ η μ ά τ ω ν μ ε σ τ ό χ ο τ η ν α ν ί χ ν ε υ σ η μ ε τ α β ά σ ε ω ν τ ο υ σ υ σ τ ή μ α τ ο ς. Ε π ί σ η ς, π ρ ο τ ε ί ν ε τ α ι η χ ρ ή σ η Γ ρ α φ η μ ά τ ω ν Σ υ σ χ ε τ ι σ μ έ ν η ς Ε π α ν α φ ο ρ ά ς ( C r o s s R e c u r r e n c e P l o t s - C R P ) ( M a r w a n, ), π ο υ θ α μ π ο ρ ο ύ σ ε ν α δ ι ε ρ ε υ ν η θ ε ί σ ε μ ε λ λ ο ν τ ι κ ή ε ρ γ α σ ί α. 81

83 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. B a k, P. ( ), S e l f - o r g a n i z e d c r i t i c a l i t y in n o n - c o n s e r v a t i v e m o d e l s, P h y s i c a A : S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s a n d it s A p p l i c a t i o n s, 1 9 1, p p E c k m a n n J. - P., K a m p h o r s t S. O., a n d R u e l l e D., ( ) R e c u r r e n c e p l o t s o f d y n a m i c a l s y s t e m s, E u r o p h y s i c s. L e t t e r s V o l. 4, p p K a n t z H. a n d S c h r e i b e r T., ( ) N o n l i n e a r T i m e S e r i e s A n a l y s i s, 2 nd e d i t i o n, C a m b r i d g e. 4. K a n t z H., ( ) A r o b u s t m e t h o d t o e s t i m a t e t h e m a x i m a l L y a p u n o v e x p o n e n t o f a t i m e s e r ie s, P h y s i c s L e t t e r s A, V o l 1 8 5, p p K a r a k a s i d i s T. E., F r a g k o u A., L i a k o p o u l o s A. ( ) S y s t e m d y n a m i c s r e v e a l e d b y r e c u r r e n c e q u a n t i f i c a t i o n a n a l y s i s : A p p l i c a t i o n t o m o l e c u l a r d y n a m i c s s i m u l a t i o n s, P h y s. R e v. E K a r a k a s i d i s T. E., F r a g k o u A., L i a k o p o u l o s A, P a p a n i c o l a o u P. ( ) R e c u r r e n c e q u a n t i f i c a t i o n a n a l y s i s o f T e m p e r a t u r e F l u c t u a t i o n s in a H o r i z o n t a l R o u n d H e a t e d J e t, I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i f u r c a t i o n a n d C h a o s 1 9, K e n n e l M. B., B r o w n R., a n d A b a r b a n e l H. D. I. ( ) D e t e r m i n i n g E m b e d d i n g D i m e n s i o n f o r P h a s e - S p a c e R e c o n s t r u c t i o n U s i n g a G e o m e t r i c a l C o n s t r u c t i o n, P h y s. R e v. A 4 5, L o r e n z E., ( ) D e t e r m i n i s t i c N o n P e r i o d i c F lo w. J o u r n a l o f A t m o s p h e r i c S c i e n c e, 2 0 : ). 9. M a n d e l b r o t B. ( ), G a u s s i a n s e l f - a f f i n i t y a n d f r a c t a l s, S p r i n g e r N e w Y o r k M a n d e l b r o t B., ( ). I n t e r m i t t e n t t u r b u l e n c e in s e l f - s i m i l a r c a s c a d e s : D i v e r g e n c e o f h i g h m o m e n t s a n d d i m e n s i o n o f t h e c a r r i e r. S c i e n c e ( ) : ) M a r w a n N. & M e i n k e A., ( ) E x t e n d e d r e c u r r e n c e p l o t a n a l y s i s a n d it s a p p l i c a t i o n t o E R P d a t a, I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i f u r c a t i o n a n d C h a o s, 1 4, M a r w a n N. ( ) P h. D. T h e s i s, U n i v e r s i t y o f P o t s d a m M a r w a n N., R o m a n o M. C., T h i e l M. a n d K u r t h s J. ( ) R e c u r r e n c e p l o t s f o r t h e a n a l y s i s o f c o m p l e x s y s t e m s, P h y s i c s e p o r t s, 4 3 8, M a r w a n N., W e s s e l N., M e y e r f e l d t U., S c h i r d e w a n A., K u r t h s J. ( ) R e c u r r e n c e - p l o t - b a s e d m e a s u r e s o f c o m p l e x i t y a n d t h e i r a p p l i c a t i o n t o h e a r t - r a t e - v a r i a b i l i t y d a t a, P h y s. R e v. E. 6 6, P a p a n i c o l a o u P. N. & L i s t E. J. ( ) S t a t i s t i c a l a n d S p e c t r a l P r o p e r t i e s o f T r a c e r C o n c e n t r a t i o n in R o u n d B u o y a n t J e t s, I n t. J. H e a t M a s s T r a n s f e r 3 0, P a p a n i c o l a o u P. N. & L i s t E. J. ( ) I n v e s t i g a t i o n s o f R o u n d V e r t i c a l T u r b u l e n t B u o y a n t J e t s, J. F l u id M e c h , P e t e r, J. B. a n d R i c h a r d, A. D. ( ) T i m e S e r i e s : t h e o r y a n d m e t h o d s, N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g T a k e n s F. ( ) D e t e c t i n g s t r a n g e a t t r a c t o r s in t u r b u l e n c e, in : D. R a n d, L. - S. Y o u n g ( E d s. ), D y n a m i c a l S y s t e m s a n d T u r b u l e n c e, L e c t u r e N o t e s in M a t h e m a t i c s, v o l 8 9 8, S p r i n g e r, B e r l i n, , p p W e b b e r C. L. J r. ( ), R e c u r r e n c e Q u a n t i f i c a t i o n A n a l y s i s Z b i l u t J. P., W e b b e r C. L. J r. ( ) E m b e d d i n g s a n d d e l a y s a s d e r i v e d f r o m q u a n t i f i c a t i o n o f r e c u r r e n c e p l o t s, P h y s i c s L e t t e r s A v o l , p p Κ ό λ υ β α Φ. κ α ι Μ π ό ρ α E. ( ) Σ τ α τ ι σ τ ι κ ή θ ε ω ρ ί α κ α ι ε φ α ρ μ ο γ έ ς, Ζ Η Τ Η 2 2. Κ ο υ γ ι ο υ μ τ ζ ή ς Δ. ( ) Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς Μ η Γ ρ α μ μ ι κ ή Α ν ά λ υ σ η Χ ρ ο ν ο σ ε ι ρ ώ ν, Α Π Θ Π α λ α μ ι τ ζ ό γ λ ο υ Γ. ( ), Δ ι π λ ω μ α τ ι κ ή Ε ρ γ α σ ί α, Τ μ ή μ α Π ο λ ι τ ι κ ώ ν Μ η χ α ν ι κ ώ ν, Π α ν ε π ι σ τ ή μ ι ο Θ ε σ σ α λ ί α ς. 82