Θαλής 1998 Β Γυµνασίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θαλής 1998 Β Γυµνασίου"

Transcript

1

2 Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές ρίζες της εξίσωσης 2 42 x + x= 2 x + x+ 1. Θαλής 1998 Α Λυκείου Έστω ότι για τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α+ β β+ γ γ + α αβ γ + βγ α + γα β = Να αποδείξετε ότι α = β = γ. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου 246

3 Πόσες πραγµατικές ρίζες έχει η εξίσωση x + 18x 64x + 81= 0; Θαλής 1998 Β Λυκείου Να υπολογισθεί το άθροισµα ν ν ( ν + 1) όπου ν είναι θετικός ακέραιος Θαλής 1998 Β Λυκείου Αν α, β, γ είναι ρητοί θετικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει = αβγ να αποδείξετε ότι ο α β γ αριθµός ( α 2 β 2 1)( β 2 γ 2 1)( γ 2 α 2 1) τετράγωνο ρητού αριθµού είναι τέλειο Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 247

4 Οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z ικανοποιούν τις ανισότητες x y+ z, y z+ x, z x+ y. Να δειχθεί ότι x+ y+ z= 0. Θαλής 1999 Β Λυκείου ίνεται η εξίσωση x 2ax + x+ a a= 0, a R. Θεωρείστε στην εξίσωση το a ως άγνωστο, το x ως παράµετρο και βρείτε τις ρίζες της συναρτήσει του x. Βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης µε άγνωστο το x συναρτήσει της παραµέτρου a. Θαλής 1999 Γ Λυκείου 248

5 Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, z ισχύουν x yz= y zx= z xy. Να αποδείξετε ότι ( x y)( y z)( z x) = 0. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς a, x, y ισχύουν a 2, 1 x a και 1 y a, να αποδείξετε ότι ( x y) x y ( a+ 1) 2 a. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου 249

6 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y που ικανοποιούν την εξίσωση: x y + 100x = 200. Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου 2 2 x y x y 2 2 Να αποδείξετε ότι y x y x για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς x, y µε xy 0. Ευκλείδης 1999 Β Λυκείου 250

7 Ο εξαψήφιος αριθµός α2000β είναι πολλαπλάσιο του 99. Να βρεθούν τα ψηφία α και β. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου Οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z ικανοποιούν την ισότητα x + 2 y + z = (2 / 5) a, a> 0. Να δείξετε ότι x y+ z a. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου Το τριπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 18 ισούται µε το τετράγωνο του αριθµού. Να βρεθεί ο αριθµός. Θαλής 2000 Α Λυκείου 251

8 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + x= 2ν+ 1, ν N, έχει πραγµατικές ρίζες. Είναι δυνατόν οι ρίζες της εξίσωσης αυτής να είναι ακέραιοι αριθµοί; Θαλής 2000 Β Λυκείου Αν α και x είναι πραγµατικοί αριθµοί και α 1, να αποδείξετε ότι: 2 x + α 2 2 x + α 1 Πότε ισχύει η ισότητα; Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 252

9 4 4 (α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση x + 4y. (β) Αν οι αριθµοί x, y είναι θετικοί ακέραιοι και 4 4 y 2 να αποδείξετε ότι ο αριθµός x + 4y είναι σύνθετος. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου Για όλους τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς x, y, z να αποδείξετε ότι: (α) 3 3 x + y x + xy+ y 2 2 x+ y x y z (β). f( x, yz, ) = + + x+ y+ z x + xy+ y y + yz+ z z + zx+ x Ευκλείδης 2000 B Λυκείου 253

10 Για κάθε x,y,z>0 να αποδείξετε ότι: 3 3 x + y x+ y (α) 2 2 x + xy+ y x y z x+ y+ z (β) f( x, yz, ) = x + xy+ y y + yz+ z z + zx+ x 3 Πότε ισχύει η ισότητα; Ευκλείδης 2000 Γ Λυκείου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y,z ισχύει ότι xyz= 1, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης K= + +. y z x y+ 1 z+ 1 x+ 1 x+ 1 y+ 1 z+ 1 Θαλής 2001 Α Λυκείου 254

11 Να λυθεί η εξίσωση (1+ a + a )x = (1+ a+ a ) x+ a + a + a a a 1 ως προς x, θεωρώντας το a ως παράµετρο. Θαλής 2001 Α Λυκείου Να προσδιορίσετε το µεγαλύτερο θετικό ακέραιο ν 2 που είναι τέτοιος ώστε ο αριθµός ν ν να είναι τέλειο τετράγωνο. Θαλής 2001 Β Λυκείου 255

12 2 ίνεται η εξίσωση µx + βx+ ν= 0,όπου µ, ν είναι πρώτοι φυσικοί αριθµοί µε 3 < µ < ν και ο β είναι ακέραιος. Να προσδιορίσετε τον ακέραιο β συναρτήσει των φυσικών µ, ν έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει µία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. Θαλής 2001 Γ Λυκείου Να προσδιορίσετε το γινόµενο των ν διαδοχικών όρων a 1,a 2,...,a ν γεωµετρικής προόδου, αν είναι γνωστό, ότι ο φυσικός αριθµός ν είναι άρτιος και a1+ a a ν = κ, = λ, a a a 1 2 ν όπου οι κ,λ είναι δεδοµένοι πραγµατικοί αριθµοί. Θαλής 2001 Γ Λυκείου 256

13 Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση ( ) Α= 1+ x x + x + x. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου Έστω Α= 1 +, 2( x+ 1) Β= 2 x + 2x x 6x 1 Να βρείτε όλες τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες η 2Α+Β αριθµητική τιµή της παράστασης Γ= είναι ακέραιος 3 αριθµός. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 257

14 Να βρείτε όλες τις τιµές του a R για τις οποίες το σύστηµα 2 2 x + y + 2x 1 x y + a = 0 έχει µοναδική λύση. Για τις τιµές του a που θα βρείτε, να προσδιορίσετε την αντίστοιχη λύση. Θαλής 2002 Β Γυµνασίου Να προσδιορίσετε όλες τις τιµές των πραγµατικών παραµέτρων α και β για τις οποίες οι ρίζες των εξισώσεων 2 2 x αx 1= 0 και x βx 1= 0 σχηµατίζουν µε κατάλληλη διάταξη µία αριθµητική πρόοδο µε 4 όρους. Ευκλείδης 2001 Γ Λυκείου 258

15 ίνεται το πολυώνυµο Ρ ( x, yz, ) = x yz+ 3x y+ 3xz+ 6x + 11xyz + 22xz+ 33xy+ 66x α) Να γράψετε το Ρ ( x, y, z) ως γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων. β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθµών ( x, y, z ) ισχύει ότι Ρ ( x, y, z) = 2002; Ευκλείδης 2002 Β Γυµνασίου Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ µε βγ 0 ισχύει 2 1 γ ότι βγ 0. Να αποδείξετε ότι ( α β γ βγ ) αβ+ αγ. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 259

16 Οι αριθµοί x, y, z, w έχουν την ιδιότητα: Αν προσθέσουµε τρεις οποιουσδήποτε από αυτούς και από το άθροισµά που θα προκύψει αφαιρέσουµε τον αριθµό 5 προκύπτει πάντοτε ο αριθµός Να υπολογίσετε το άθροισµα x+ y+ z+ w. Θαλής 2002 Α Λυκείου 2 Αν η εξίσωση αx 4βx+ 4γ = 0, α > 0 έχει δύο ρίζες στο διάστηµα [2,3], να αποδείξετε ότι I. α β γ < α+ β α β γ II. + >. α+ γ β + α γ + β Θαλής 2002 Β Λυκείου 260

17 Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί x, y που ικανοποιούν την εξίσωση 2 2 x + y 2x 2y = συν[ π ( x+ y)]. Θαλής 2002 Γ Λυκείου Να επιλύσετε ως προς x την εξίσωση 2 3a+ 1 a 1 2 a( a 1) =, a R. 2 2 a+ x a x x a Για ποιες θετικές ακέραιες τιµές του a οι ρίζες της εξίσωσης είναι αριθµοί πρώτοι; Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 261

18 (α) Αν a είναι πραγµατική παράµετρος και 2a Α Β =, για κάθε 2 2 { } x a x a x+ a x R a, a, να βρείτε τους αριθµούς Α και Β. (β) Αν είναι m m 10, 9, 1, 0,1,,9,10, να αποδείξετε ότι x 1 x 4 x 9 + x 100 = x, όπου { } ( x 1)( x + 10) ( x 2)( x + 9) ( x 10)( x + 1) Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου Αν οι x, y, z είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να αποδείξετε ότι x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 262

19 Για τους ακέραιους α, β δίνεται ότι 2 4αβ ( α β ) = (1). α+ β 1 α) Να αποδείξετε ότι ο α+ β είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να βρείτε τα ζεύγη ( α, β ) των ακέραιων που ικανοποιούν την ισότητα (1). Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου Αν είναι 8 2α 2α + α =, να αποδείξετε ότι α > Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου 263

20 Αν abcd,,, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και 3 3 a b 3ab c d = + =, να αποδείξετε ότι a+ + b+ + c+ + d+. a b c d 2 Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι Να λύσετε στους πραγµατικούς αριθµούς το σύστηµα: 2 2 x + y z( x+ y) = 2 + ( + ) = y z x y z + ( + ) = z x y z x Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι 264

21 Αν x, y, ab, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε x y, x 2 y, y 2 xa, ± 3b και 2 x y 2 y x = = λ, a+ 3b a 3b να αποδείξετε ότι: α) x+ y= 2λa και x y= 2λb β) x + y x y Θαλής 2003 Α Λυκείου ίνονται οι παραστάσεις 2 2 Α= x kx+ m, Β= x + mx k, µε k,m R και k+ m 0. Αν είναι 2 2 Γ= m x +(k 1) x+ k, Α +Β +Γ =ΑΒ+ΒΓ+ΓΑ, να βρείτε την τιµή του x, την µέγιστη τιµή του k και την τιµή του m που αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του k. Θαλής 2003 B Λυκείου 265

22 Από τους αριθµούς x, y, z R δύο είναι αρνητικοί και ένας είναι θετικός. Να αποδείξετε ότι: ( x y)( x xy ) ( y z)( y yz ) ( z x)( z zx ) + + 3( x y)( y z)( z x) yz zx xy Θαλής 2003 B Λυκείου (α) Αν για τους ακέραιους a, b αληθεύει η ισότητα a+ a + a = b+ b + b, τότε να αποδείξετε ότι a= b. 2 4 (β) Αφού επαληθεύσετε ότι η εξίσωση x+ x + x = 22 έχει ως λύση τον ακέραιο αριθµό 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν µπορεί να έχει άλλη ακέραια λύση. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου 266

23 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y για τους 2 2 οποίους ο αριθµός Α= x + y + 1 2xy+ x y είναι τέλειο τετράγωνο και επιπλέον ισχύει 2 2 x + y < 12. Θαλής 2004 Β Λυκείου Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y για τους οποίους ισχύει ότι 9 x 2 + y xy= 177+ x 2 y 2 ( ) Θαλής 2004 Γ Λυκείου Να απλοποιηθεί η παράσταση Θαλής 2005 Α Λυκείου 267

24 Β.. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΙΟΥ Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός , είναι κύβος ακεραίου αριθµού. Θαλής 2005 Α Λυκείου Αν α και β είναι πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε να ισχύει να αποδειχθεί ότι α+β= ( )( ) α+ α + 1 β+ β + 1 = 1 Θαλής 2005 Β Λυκείου 268

25 Να εξετασθεί αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί x τέτοιοι ώστε να ισχύει ( ) ( ) x + 1+ x = 2x Θαλής 2005 Β Λυκείου 269

26 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ =ΑΓ) µε περίκεντρο Ο και έγκεντρο Ι. Αν είναι ένα σηµείο της ΒΓ τέτοιο ώστε η Ο να είναι κάθετος επί της ΒΓ, να αποδειχθεί ότι Γ = Ι. Θαλής 1998 Γ Λυκείου Θεωρούµε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 2 και τετράγωνο ΟΑΒΓ. Αν το τετράγωνο και ο κύκλος έχουν κοινό µέρος 3 εµβαδού ίσο µε τα του εµβαδού του τετραγώνου, να 5 υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου. Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 270

27 Από το βαρύκεντρο Θ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε ευθεία τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία Κ, Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι 4 4 BK ΓΛ 1 +. AK ΛA 8 Ευκλείδης 1998 Β Λυκείου Μια σκάλα ακουµπά στο έδαφος και στον τοίχο. Το σηµείο επαφής Α στον τοίχο βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Επιπλέον υπάρχει ένα σηµείο της σκάλας που απέχει ίση απόσταση x από τον τοίχο και το έδαφος. Να βρείτε το µήκος της σκάλας συναρτήσει των h και x. Θαλής 1999 Α Λυκείου 271

28 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ, εγγεγραµµένο σε κύκλο. Έστω το µέσο του τόξου ΒΓ, που περιέχει την κορυφή Αρχιµήδης Αν Ε είναι το ίχνος της κάθετης από το προς τη ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΒ+ΑΕ=ΕΓ. Θαλής 1999 Β Λυκείου Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο µε Α= ˆ 90 ο. Σχηµατίζουµε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΒΓ Ε και φέρουµε την εσωτερική διχοτόµο της γωνίας ˆΑ. Να αποδειχθεί ότι αυτή χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισεµβαδικά τραπέζια. Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 272

29 υο αµβλείες γωνίες είναι τοποθετηµένες έτσι, ώστε το ένα ζεύγος των πλευρών τους να είναι ηµιευθείες αντικείµενες, ενώ το άλλο ζεύγος είναι κάθετες ηµιευθείες. Να υπολογίσετε το άθροισµα των δύο γωνιών. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου Στο διπλανό σχήµα τα τετράπλευρα ΑΒΓ και ΓΕΖΗ είναι τετράγωνα και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι τους τέµνονται στα Γ και Μ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα σηµεία, Μ και Η είναι συνευθειακά. β. Τα σηµεία Μ, Β και Ε είναι συνευθειακά. Ευκλείδης 1999 Β Λυκείου 273

30 ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Σηµείο Μ κινείται στο τόξο ΑΒ που περιέχει τα Γ και. Να αποδείξετε ότι ο λόγος ΜΑ+ΜΒ είναι σταθερός, δηλαδή ΜΓ+Μ ανεξάρτητος από τη θέση του Μ στο τόξο ΑΒ. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούµε τα ύψη Α και ΒΕ, στα οποία παίρνουµε σηµεία Μ, Ν αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΒΜΓ=ΑΝΓ= ˆ ˆ 90 ο. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΜΝ είναι ισοσκελές. β) Αν επιπλέον είναι ΜΝ= και ΜΓΝ= ˆ 30 ο, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΓΝ. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου 274

31 α) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός ο τετραπλεύρου είναι 360. β) Τετραπλεύρου ΑΒΓ οι εξωτερικές γωνίες Αˆ, Βˆ, Γˆ, ˆ είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 6, 8, εξ εξ εξ εξ 10 και 12, αντίστοιχα. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου. Θαλής 2000 Α Λυκείου Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε την υποτείνουσα ΒΓ κατά τµήµα Γ = ΑΓ. Η διχοτόµος της γωνίας Β τέµνει την Α στο Ευκλείδης Ο κύκλος γ κέντρου Α και ακτίνας ΑΕ τέµνει την ΒΕ, εκτός του Ε, και στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η χορδή ΖΕ χωρίζει τον κύκλο γ σε δύο τόξα από τα οποία το ένα είναι τριπλάσιο του άλλου. Θαλής 2000 Β Λυκείου 275

32 Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ= 2cm. Προς τα ίδιο µέρος της ΑΒ θεωρούµε τα ισοσκελή τρίγωνα ΓΑΒ, ΑΒ, ΖΑΒ µε ΓΑ=ΓΒ, Α= Β και ΖΑ=ΖΒ, έτσι ώστε Ε ( ΓΑΒ) = 1 cm, Ε ( ΑΒ) = 2 cm, Ε ( ΖΑΒ) = 3 cm. Να αποδείξετε ότι: ˆ ˆ π Α Β+ΑΖΒ=. 2 Θαλής 2000 Β Λυκείου Ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ ) οι πλευρές ΒΓ= α και ΑΓ= β ικανοποιούν τη σχέση α = 10. Να αποδείξετε β 5 ότι είναι µ β µ γ, όπου µ β και µ γ είναι οι διάµεσοι από τις κορυφές Β και Γ. Θαλής 2000 Γ Λυκείου 276

33 Τα σηµεία Κ, Λ βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ και είναι τέτοια ώστε να ισχύουν: (ΑΒΚ)=(ΑΓΚ)=(ΒΚΛ)=(ΓΚΛ)=ΒΛΓ). α) Να αποδείξετε ότι τα Κ, Λ ανήκουν στη διάµεσο Α του τριγώνου ΑΒΓ. β) Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθεί ΚΘ ο λόγος ΘΛ. Θαλής 2000 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Οι Β, ΓΕ είναι οι διχοτόµοι των Β και Γ και η Ε τέµνει το τόξο ΑΒ, που δεν περιέχει το Γ, στο σηµείο Κ. Αν είναι ΚΑ1 ΒΓ, ΚΒ1 ΑΓ, ΚΓ1 ΑΒ, και το σηµείο απέχει από τις πλευρές ΒΑ και ΒΓ απόσταση ίση µε x, ενώ το Ε απέχει από τις πλευρές ΓΑ, ΒΓ απόσταση ίση µε y, τότε: Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι 277

34 Α.. Β. ΓΙΙΑ. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΙΟΥ ΛΥΚΕΙΙΟΥ α) να εκφράσετε τα µήκη των τµηµάτων ΚΑ1, ΚΒ1, ΚΓ 1 Κ συναρτήσει των x, y και του λόγου λ=. Ε β) να αποδείξετε ότι = + ΚΒ ΚΑ ΚΓ. Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι Θεωρούµε τις κάθετες ηµιευθείες Ot, Os, το σηµείο Α της Ot µε ΟΑ=x και το σηµείο Β της Os µε ΟΒ=y και y<x. Κατασκευάζουµε το τετράγωνο ΑΒΓ µέσα στη γωνία tos. Από την κορυφή φέρουµε ευθεία ε κάθετη στη διχοτόµο Οδ της γωνίας tos η οποία τέµνει την Os στο Ε και την Ot στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: (α) ΑΖ=x+y και ΒΕ=2x (β) Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 278

35 ίνεται κύκλος (O,R), µια διάµετρος ΑΒ αυτού και ένα σηµείο Γ διαφορετικό των Α, Β. Θεωρούµε τις εφαπτόµενες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ, αντιστοίχως, οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Ρ. Η κάθετος από το Γ προς τη διάµετρο ΑΒ την τέµνει στο, ενώ η ευθεία Γ στο Ευκλείδης Να υπολογίσετε το λόγο ΓΕ Γ. Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκους 3α και κατασκευάζουµε τετράγωνα ΒΓ Ε και ΒΖΗΘ εκατέρωθεν του ΑΒ, όπου τα σηµεία Γ και Θ ανήκουν στο ΑΒ και είναι τέτοια ώστε ΒΓ=α, ΒΘ=2α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΒ, Ζ και ΕΗ περνάνε από το ίδιο σηµείο. Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου 279

36 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ. Ένας κύκλος που έχει χορδή τη ΒΓ τέµνει τη πλευρά ΑΒ στο µέσο της και την πλευρά ΑΓ στο σηµείο Ευκλείδης Γράφουµε και το κύκλο γ που έχει χορδή τη ΓΕ και εφάπτεται της ΒΓ στο Γ. Η Ε προεκτεινόµενη τέµνει την ευθεία ΒΓ στο Ζ και τον κύκλο γ στο Η. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΖΑ, ΒΕ και ΓΗ περνάνε από το ίδιο σηµείο. Ευκλείδης 2000 Γ Λυκείου Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ και σηµείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουµε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓΕ προς το ίδιο µέρος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΓ. Αν οι ΑΕ και Γ τέµνονται στο Ζ, να βρείτε τη γωνία ΑΖ ˆ. Αρχιµήδης 1999 Μικροί 280

37 Ορθογώνιο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ=α και ΒΓ=β. Θεωρούµε σηµεία Ε και Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ και Γ, αντιστοίχως, έτσι ώστε η περίµετρος του τριγώνου ΕΓΖ να είναι ίση προς α+β και η ΑΖ να είναι διχοτόµος της γωνίας ΖΕ ˆ. α) Να αποδείξετε ότι α, β. β) Να βρείτε τη γωνία ˆ ΕΑΖ. Θαλής 2001 Β Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ > 45 ο και ˆΒ > 45 ο. Στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τρίγωνο ΑΒ ορθογώνιο και ισοσκελές µε ˆ = 90. Στη συνέχεια, εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε ορθογώνια ισοσκελή ο τρίγωνα ΒΓΕ και ΑΓΖ µε E = 90, ο Z = 90.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΖ είναι παραλληλόγραµµο. Θαλής 2001 Β Λυκείου 281

38 Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=1 και ˆΒ = 120 ο υπάρχει σηµείο πάνω στη πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε να είναι ΑΒ ˆ = 90 και Γ=ΑΒ. Να βρείτε το µήκος του τµήµατος Α. Θαλής 2001 Γ Λυκείου Από το µέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ µε ˆΑ = 90 και ΑΒ>ΑΓ φέρουµε κάθετη προς τη ΒΓ, η οποία τέµνει την πλευρά ΑΒ στο σηµείο. Αν τα τρίγωνα ΜΒ και ΑΓ είναι ίσα, να βρείτε τις γωνίες ˆΒ και ˆΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 282

39 Από σηµείο της πλευράς ΑΒ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε ˆΑ = 90, φέρουµε δύο ευθείες που χωρίζουν το τρίγωνο ΑΒΓ σε τρία τρίγωνα ίσα µεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι: α) Το σηµείο είναι εσωτερικό σηµείο της πλευράς ΑΒ, δηλαδή δεν είναι ένα από τα άκρα του. β) ˆΒ = 30 ο. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ < 90. Φέρουµε ευθύγραµµο τµήµα Α κάθετο και ίσο προς τη πλευρά ΑΒ καθώς και ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ κάθετο και ίσο προς τη πλευρά ΑΓ, έτσι ώστε ΑΕ ˆ < 90. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το Α και το µέσο της ΒΕ είναι κάθετη προς την ευθεία Γ. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου 283

40 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο, µε ΑΒ2, ΑΓ=2, ΒΓ=3 και σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε Β =2 Γ. Στο σηµείο φέρουµε ευθεία κάθετη προς την Α η οποία τέµνει το τόξο ΑΒΜ στο σηµείο Μ. Να υπολογίσετε την περίµετρο του τετραπλεύρου ΑΒΜΓ συναρτήσει του ΑΜ = κ. Ευκλείδης 2001 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ> ˆ 10 ο και Β=Γ+ ˆ ˆ 10 ο. Θεωρούµε σηµείο Ε της πλευράς ΑΒ, έτσι ώστε ΑΓΕ= ˆ 10 ο, και σηµείο της πλευράς ΑΓ, έτσι ώστε ΒΑ= ˆ 15 ο. Έστω Ζ Α είναι σηµείο τοµής των περιγεγραµµένων κύκλων των τριγώνων ΑΒ και ΑΕΓ. Να αποδείξετε ότι ΖΒΑ>ΖΓΑ ˆ ˆ. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 284

41 Στο διπλανό σχήµα φαίνεται οικόπεδο ΑΒΓ σχήµατος ορθογωνίου µε πλευρές ΑΒ = α και ΒΓ = β. Από το οικόπεδο θα κοπούν δύο δρόµοι ΕΖΗΘ και ΑΙΚΛ. Ο δρόµος ΕΖΗΘ σχήµατος ορθογωνίου έχει πλάτος ΖΗ=y, ενώ ο δρόµος ΑΙΚΛ σχήµατος παραλληλογράµµου έχει πλευρά ΑΙ=x. α) Να εκφράσετε το εµβαδόν του οικοπέδου που αποµένει µετά την αποκοπή των δύο δρόµων ως συνάρτηση των α, β, x και y. β) Να εκφράσετε το πλάτος d του δρόµου ΑΙΚΛ ως συνάρτηση του x, αν είναι γνωστό ότι ΑΛ= ˆ 30 o. Θαλής 2002 Α Λυκείου 285

42 Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α. Αν η ΑΓ τέµνει τη ΒΕ στο σηµείο Ζ, να αποδείξετε ότι η Ζ περνάει από το µέσον της ΒΓ. Θαλής 2002 Β Λυκείου ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ. Τα σηµεία Ε, Ζ κινούνται πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΕΑΖ= ˆ 45 ο. Οι ΑΕ και ΑΖ τέµνουν τη Β στα σηµεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Οι ΕΛ και ΖΚ τέµνονται στο Η και η ΑΗ τέµνει τη ΖΕ στο Μ. Να αποδείξετε ότι: I) Η ευθεία ΑΜ είναι κάθετος προς τη ΖΕυκλείδης II) Η γωνία ΒΜ ˆ είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των Ε, Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ, αντίστοιχα. Θαλής 2002 Β Λυκείου 286

43 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ΑΒΓ Α= 90 ) θεωρούµε το ύψος Α και τη διχοτόµο ΓΕ που τέµνονται στο Ζ. Αν Η είναι το σηµείο τοµής των Ε και ΒΖ να αποδείξετε ότι: (i) AB A = AB AZ+ AE A (ii)(aehz) = (BH ) Θαλής 2002 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Β= ˆ 120 ο. Αν Α, ΒΕ και ΓΖ είναι οι διχοτόµοι των γωνιών του, να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ ˆ. Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 287

44 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ˆΑ = 90. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΓ και ΑΓΕυκλείδης Αν Μ είναι το µέσο της ΑΒ και Μ =u, ΜΕ=v, να υπολογίσετε το µήκος της ΑΒ, ως συνάρτηση των u, v. Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου ίνεται κύκλος C κέντρου Κ και ακτίνας r, σηµείο Α πάνω στο κύκλο και σηµείο Ρ στο εξωτερικό του κύκλου C. Από το σηµείο Ρ θεωρούµε µεταβλητή ευθεία ε η οποία τέµνει τον κύκλο C στα Β και Γ. Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Τ του επιπέδου του κύκλου C τέτοιο ώστε το άθροισµα 2 2 ΗΑ +ΗΤ να είναι σταθερό (ανεξάρτητο από τη θέση της ευθείας ε). Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι 288

45 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του Α και την εξωτερική διχοτόµο της γωνίας Α η οποία τέµνει την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο Ε. Φέρουµε τη ΒΖ κάθετη προς την ΑΕ και την ΕΗ κάθετη προς την ΑΓ. (α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία, Ζ και Η είναι συνευθειακά. (β) Αν είναι Β=Γ+30, να βρείτε τη γωνία ΑΗ. Θαλής 2004 Β Λυκείου Να αποδειχθεί ότι αν η ευθεία που ενώνει τα µέσα των δύο απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετραπλεύρου διαιρεί το τετράπλευρο σε δύο ισεµβαδικά τετράπλευρα, τότε το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Θαλής 2005 Α Λυκείου 289

46 Έστω ΑΒΓ ένα σκαληνό τρίγωνο. Πόσα σηµεία υπάρχουν στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ, να έχει άξονα συµµετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου; Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου Οι κορυφές Α, Β, Γ,, Ε µιας τεθλασµένης γραµµής βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο όπως στο σχήµα και οι γωνίες ΑΒΓ, ΒΓ, Γ Ε έχουν µέτρο 45. Να αποδειχθεί ότι AB +Γ =ΒΓ + Ε. Ευκλείδης 2005 Β Λυκείου 290

47 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί ν για τους οποίους ο 2 αριθµός 2ν + 1 διαιρεί τον αριθµό ν + ν 2. Θαλής 1998 Α Λυκείου Για ποιους θετικούς ακέραιους m και n µεγαλύτερους του 1 ισχύει n = m ; Θαλής 1998 Γ Λυκείου 291

48 Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθµοί ν για τους οποίους ο 3 ν + 5 αριθµός είναι ακέραιος. 2 ν + 7 Θαλής 1998 Β Λυκείου Αν α περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθµός 4 2 α + 6α 7 είναι πολλαπλάσιο του 128. Θαλής 1999 Α Λυκείου 292

49 ίνεται η εξίσωση 2 2 x (4a 7) x+ 3a 17a+ 10= 0, a Z, a 1. I. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών της είναι περιττός ακέραιος. II. Να υπολογιστεί η τιµή του a έτσι, ώστε η µεγαλύτερη ρίζα να είναι τετραπλάσια της µικρότερης. Θαλής 1999 Β Λυκείου Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x, y, z τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την ισότητα 2 2 x + y 8z= 6. Θαλής 2000 Γ Λυκείου 293

50 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α, β τέτοιοι ώστε το γινόµενο (15α+β)(α+15β) να είναι µία δύναµη µε βάση το 3 και εκθέτη ακέραιο. Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι Τριψήφιος αριθµός είναι µεγαλύτερος του 610, µικρότερος του 650 και διαιρούµενος µε το 7 δίνει υπόλοιπο 3. Να βρεθεί ο αριθµός, αν είναι γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του 5. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 294

51 Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθµούς που είναι ίσοι µε το γινόµενο που προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουµε τα ψηφία τους αυξηµένα κατά 2. Θαλής 2002 Β Λυκείου Έστω x, y δύο διψήφιοι αριθµοί µε x< y. Το γινόµενο xy είναι τετραψήφιος αριθµός που αρχίζει από 2. Αν διαγράψουµε το 2, τότε ο αριθµός που µένει ισούται µε x+ y. Ένα τέτοιο ζεύγος αριθµών είναι οι x= 30, y= 70, γιατί xy = 2100 και 100= Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη ( x, y ) µε την ιδιότητα αυτή Αρχιµήδης 2002 Μικροί 295

52 Ο πενταψήφιος αριθµός Α= xxxxx (στο δεκαδικό σύστηµα) έχει ψηφία x 1, x 2, x 3, x 4 και x 5, τέτοια ώστε x 3 > 1, x 4 > 1, x 5 > 1 και x1+ xx 1 2+ xxx xxxx xxxxx = 121. Να βρεθεί ο αριθµός Αρχιµήδης Αν ο αριθµός αβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) είναι πρώτος, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 αx βx γ = δεν έχει ρητή ρίζα. Ευκλείδης 2002 Γ Λυκείου Αν ο αριθµός αβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) είναι πρώτος, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα. 2 αx βx γ = δεν έχει ρητή Ευκλείδης 2002 Γ Λυκείου 296

53 Αν x, y, z είναι θετικοί ακέραιοι µε ΜΚ ( x, y, z ) = 1 και =, να αποδείξετε ότι ο αριθµός x+ y είναι τέλειο x y z τετράγωνο. Θαλής 2003 Γ Λυκείου Να βρεθούν οι ακέραιοι α, β για τους οποίους ισχύει η ισότητα 2 2 αβ + 2αβ+ α= 2β + 4β+ 3. Θαλής 2003 Α Λυκείου Για ακεραίους m και n, να αποδειχθεί ότι αν ο αριθµός 2 2 m + 28mn+ n διαιρείται δια του 13, τότε και ο αριθµός 3 3 m + n διαιρείται δια του 13. Θαλής 2005 Γ Λυκείου 297

54 Είκοσι κληρονόµοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να µοιράσουν την κληρονοµιά τους. Συµφωνούν να τη µοιράσουν µε τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήµατα όσα είναι ο µέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η µοιρασιά; Θαλής 1998 Γ Λυκείου Να εξετάσετε αν υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθµοί, τέτοιοι ώστε το άθροισµα δύο οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι δύναµη του 5. Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 298

55 Το άθροισµα δύο ακέραιων αριθµών είναι 26, ενώ αν διαιρέσουµε το µεγαλύτερο µε το µικρότερο βρίσκουµε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1. Να βρεθούν οι αριθµοί. Θαλής 1999 Α Λυκείου Σε µια πρόσφατη έκλειψη Ηλίου στη χώρα µας ο δίσκος της Σελήνης κάλυπτε το δίσκο του Ήλιου έτσι ώστε η καλυπτόµενη επιφάνεια να µεγαλώνει σιγάσιγά. Το σχήµα µας δείχνει µια φάση της κάλυψης αυτής. Να αποδείξετε ότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή του φαινοµένου, η διαφορά µεταξύ των µη επικαλυπτοµένων επιφανειών Η0 Σ 0 παρέµενε σταθερή. Θαλής 1999 Α Λυκείου 299

56 Σε µια τάξη Λυκείου διοργανώθηκε πρωτάθληµα σκακιού. Την πρώτη ηµέρα έγιναν µόνο κάποιοι αγώνες στους οποίους οι δύο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς τις πρώτης ηµέρας πήραν µέρος τα 3 4 του αριθµού των αγοριών της τάξης και τα 2 3 του αριθµού των κοριτσιών της τάξης. Αν η τάξη έχει συνολικά 34 παιδιά να βρείτε: a. πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη. b. Πόσα παιδιά δεν πήραν µέρος την πρώτη ηµέρα στους αγώνες. Θαλής 2000 Α Λυκείου 300

57 Οι δύο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι x και y. Αν αυξήσουµε τη µια διάσταση κατά 1 και την άλλη διάσταση κατά 2, τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εµβαδόν διπλάσιο του εµβαδού του αρχικού ορθογωνίου. Να βρεθούν οι διαστάσεις x και y. Θαλής 2000 Α Λυκείου Να βρεθεί η µέγιστη τιµή του θετικού ακέραιου x για την οποία ο 13 x διαιρεί τον αριθµό 500! [ ίνεται ότι: 500! = ] Θαλής 2000 Β Λυκείου 301

58 Σε µια κατασκήνωση υπάρχουν 577 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Σε οποιαδήποτε οµάδα 9 παιδιών υπάρχουν 2 τουλάχιστον παιδιά µε το ίδιο ύψος. Να αποδείξετε ότι υπάρχει οµάδα 5 παιδιών από την ίδια χώρα που είναι του ίδιου φύλου και έχουν το ίδιο ύψος. Θαλής 2000 Γ Λυκείου Θεωρούµε 100 αριθµούς a1, a2,, a100 από τους οποίους οι 40 είναι ίσοι µε 1, οι 60 είναι ίσοι µε 2 και τους τοποθετούµε πάνω σε ένα κύκλο έτσι, ώστε να µην υπάρχουν τρεις ίσοι αριθµοί σε διαδοχικές θέσεις. Σχηµατίζονται έτσι 100 τριάδες Τ,i= 1,2,,100, αριθµών σε διαδοχικές θέσεις πάνω σε i κύκλο. Αν P i είναι το γινόµενο και S i είναι το άθροισµα των τριών αριθµών της τριάδας Τ i, i= 1,2,,100, να αποδείξετε ότι: (α) Pi = 2Si 6, για κάθε i= 1,2,,100 (β) P + P + + P = 360. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 302

59 ύο µαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Πάνω σε ένα κύκλο δίνονται 100 διαφορετικά σηµεία και οι µαθητές διαδοχικά ο ένας µετά τον άλλο γράφουν µια χορδή, διαφορετική κάθε φορά, µε άκρα δύο οποιαδήποτε από τα 100 δεδοµένα σηµεία. Το παιχνίδι τελειώνει όταν καθένα από τα 100 σηµεία χρησιµοποιηθεί ως άκρο χορδής µια τουλάχιστον φορά. Νικητής είναι ο µαθητής ο οποίος θα γράψει τη χορδή µε την οποία τελειώνει το παιχνίδι. Αν ο µαθητής Α αρχίσει πρώτος, ποιος από τους δύο µαθητές έχει στρατηγική νίκης; (δηλαδή, ποιος από τους δύο µαθητές µπορεί να παίξει έτσι, ώστε να νικήσει, ανεξαρτήτως του πως θα παίξει ο άλλος;); Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου 303

60 Οι µαθητές X και Y παίζουν ένα παιχνίδι ως εξής: Επιλέγουν εναλλάξ ο ένας µετά τον άλλον έναν από τους αριθµούς 1 και 2. Αρχίζει ο Χ επιλέγοντας τον αριθµό x 1 {1, 2} και συνεχίζει ο Y επιλέγοντας τον αριθµό y 1 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ1= x1+ y 1. Στη συνέχεια, ο X επιλέγει τον αριθµό x 2 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ2 = Σ1+ x 2, ενώ ο Y συνεχίζοντας επιλέγει τον αριθµό y 2 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ3 = Σ2+ y2 κ.ο.κ. Νικητής αναδεικνύεται ο µαθητής που θα καταγράψει σε µία επιλογή του ως άθροισµα τον αριθµό 200. Να εξηγήσετε γιατί ο µαθητής Χ έχει στρατηγική νίκης. Ισχύει το ίδιο, αν ο νικητής αναδεικνύεται όταν το άθροισµα γίνει 300; Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου 304

61 Στην Ε,Μ.Ε, γίνονται µαθήµατα προετοιµασίας για τις ιεθνείς Μαθηµατικές Ολυµπιάδες για τους 20 µαθητές που προκρίνονται στην τελική φάση. ιδάσκονται 4 µαθήµατα: Γεωµετρία, Θεωρία αριθµών, Συνδυαστική, Άλγεβρα. ήλωσαν συµµετοχή στη Γεωµετρία 15 µαθητές, στη Θεωρία αριθµών 13, στη Συνδυαστική 14 και στην Άλγεβρα 19 µαθητές. Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον µαθητής δήλωσε συµµετοχή και στα 4 µαθήµατα. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου Θεωρούµε τετράγωνο πλευράς α, µε α>1. Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατά 1 µικρότερη του α, έχει περίµετρο ίση αριθµητικά προς το εµβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Να βρεθεί η πλευρά α. Θαλής 2002 Α Λυκείου 305

62 Ένας φοιτητής του Ε. Μ. Πολυτεχνείου διάβαζε το περασµένο καλοκαίρι για τις επαναληπτικές εξετάσεις ενός µαθήµατος επί 37 µέρες, σύµφωνα µε τους εξής κανόνες: a. Κάθε µέρα διάβαζε µία τουλάχιστον ώρα. b. Κάθε µέρα διάβαζε ακέραιο αριθµό ωρών, χωρίς να ξεπερνάει τις 12 ώρες. c. Συνολικά έπρεπε να διαβάσει το πολύ 60 ώρες. Να αποδείξετε ότι υπήρξαν κάποιες διαδοχικές µέρες, κατά τη διάρκεια των οποίων διάβασε συνολικά 13 ώρες. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι Το τετράγωνο ενός αριθµού ισούται µε τον αριθµό αυξηµένο κατά 72. Επιπλέον, αν από το 60 αφαιρέσουµε το διπλάσιο του αριθµού λαµβάνουµε αριθµό µικρότερο του 52. Να βρεθεί ο αριθµός. Θαλής 2003 Α Λυκείου 306

63 Έστω ότι οι ακέραιοι αριθµοί α και α+ 2 είναι πρώτοι µε α> 3. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α+ 4 είναι σύνθετος. Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου Έστω Α και Β δύο µη κενά και ξένα µεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5}. Να αποδειχθεί ότι ένα τουλάχιστον από τα Α και Β περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του. Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου 307

64 Υπάρχει θετικός ακέραιος ν τέτοιος ώστε: Α) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη και ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη; Β) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη, ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη και ο 6ν τέλεια έκτη δύναµη; Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 308

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2005-2006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2006. Μάθηµα: Μαθηµατικά Ηµεροµηνία: 5/6/2006

ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2005-2006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2006. Μάθηµα: Μαθηµατικά Ηµεροµηνία: 5/6/2006 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 005-006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Μάθηµα: Μαθηµατικά Ηµεροµηνία: 5/6/006 Τάξη: B κοινού κορµού Το δοκίµιο αποτελείται από 3 σελίδες Ο ΗΓΙΕΣ : 1. εν επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΡΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07/06/2006 ΒΑΘΜΟΣ :...

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07/06/2006 ΒΑΘΜΟΣ :... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ( ΠΛΑΤΥ ) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : 005-006 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜ/ ΝΙΑ : 07/06/006 ΒΑΘΜΟΣ :... ΤΑΞΗ : Γ ΧΡΟΝΟΣ : ώρες ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ :...

Διαβάστε περισσότερα