Θαλής 1998 Β Γυµνασίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θαλής 1998 Β Γυµνασίου"

Transcript

1

2 Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές ρίζες της εξίσωσης 2 42 x + x= 2 x + x+ 1. Θαλής 1998 Α Λυκείου Έστω ότι για τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α+ β β+ γ γ + α αβ γ + βγ α + γα β = Να αποδείξετε ότι α = β = γ. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου 246

3 Πόσες πραγµατικές ρίζες έχει η εξίσωση x + 18x 64x + 81= 0; Θαλής 1998 Β Λυκείου Να υπολογισθεί το άθροισµα ν ν ( ν + 1) όπου ν είναι θετικός ακέραιος Θαλής 1998 Β Λυκείου Αν α, β, γ είναι ρητοί θετικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει = αβγ να αποδείξετε ότι ο α β γ αριθµός ( α 2 β 2 1)( β 2 γ 2 1)( γ 2 α 2 1) τετράγωνο ρητού αριθµού είναι τέλειο Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 247

4 Οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z ικανοποιούν τις ανισότητες x y+ z, y z+ x, z x+ y. Να δειχθεί ότι x+ y+ z= 0. Θαλής 1999 Β Λυκείου ίνεται η εξίσωση x 2ax + x+ a a= 0, a R. Θεωρείστε στην εξίσωση το a ως άγνωστο, το x ως παράµετρο και βρείτε τις ρίζες της συναρτήσει του x. Βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης µε άγνωστο το x συναρτήσει της παραµέτρου a. Θαλής 1999 Γ Λυκείου 248

5 Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, z ισχύουν x yz= y zx= z xy. Να αποδείξετε ότι ( x y)( y z)( z x) = 0. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς a, x, y ισχύουν a 2, 1 x a και 1 y a, να αποδείξετε ότι ( x y) x y ( a+ 1) 2 a. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου 249

6 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y που ικανοποιούν την εξίσωση: x y + 100x = 200. Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου 2 2 x y x y 2 2 Να αποδείξετε ότι y x y x για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς x, y µε xy 0. Ευκλείδης 1999 Β Λυκείου 250

7 Ο εξαψήφιος αριθµός α2000β είναι πολλαπλάσιο του 99. Να βρεθούν τα ψηφία α και β. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου Οι πραγµατικοί αριθµοί x, y, z ικανοποιούν την ισότητα x + 2 y + z = (2 / 5) a, a> 0. Να δείξετε ότι x y+ z a. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου Το τριπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 18 ισούται µε το τετράγωνο του αριθµού. Να βρεθεί ο αριθµός. Θαλής 2000 Α Λυκείου 251

8 2 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + x= 2ν+ 1, ν N, έχει πραγµατικές ρίζες. Είναι δυνατόν οι ρίζες της εξίσωσης αυτής να είναι ακέραιοι αριθµοί; Θαλής 2000 Β Λυκείου Αν α και x είναι πραγµατικοί αριθµοί και α 1, να αποδείξετε ότι: 2 x + α 2 2 x + α 1 Πότε ισχύει η ισότητα; Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 252

9 4 4 (α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση x + 4y. (β) Αν οι αριθµοί x, y είναι θετικοί ακέραιοι και 4 4 y 2 να αποδείξετε ότι ο αριθµός x + 4y είναι σύνθετος. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου Για όλους τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς x, y, z να αποδείξετε ότι: (α) 3 3 x + y x + xy+ y 2 2 x+ y x y z (β). f( x, yz, ) = + + x+ y+ z x + xy+ y y + yz+ z z + zx+ x Ευκλείδης 2000 B Λυκείου 253

10 Για κάθε x,y,z>0 να αποδείξετε ότι: 3 3 x + y x+ y (α) 2 2 x + xy+ y x y z x+ y+ z (β) f( x, yz, ) = x + xy+ y y + yz+ z z + zx+ x 3 Πότε ισχύει η ισότητα; Ευκλείδης 2000 Γ Λυκείου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y,z ισχύει ότι xyz= 1, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης K= + +. y z x y+ 1 z+ 1 x+ 1 x+ 1 y+ 1 z+ 1 Θαλής 2001 Α Λυκείου 254

11 Να λυθεί η εξίσωση (1+ a + a )x = (1+ a+ a ) x+ a + a + a a a 1 ως προς x, θεωρώντας το a ως παράµετρο. Θαλής 2001 Α Λυκείου Να προσδιορίσετε το µεγαλύτερο θετικό ακέραιο ν 2 που είναι τέτοιος ώστε ο αριθµός ν ν να είναι τέλειο τετράγωνο. Θαλής 2001 Β Λυκείου 255

12 2 ίνεται η εξίσωση µx + βx+ ν= 0,όπου µ, ν είναι πρώτοι φυσικοί αριθµοί µε 3 < µ < ν και ο β είναι ακέραιος. Να προσδιορίσετε τον ακέραιο β συναρτήσει των φυσικών µ, ν έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει µία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. Θαλής 2001 Γ Λυκείου Να προσδιορίσετε το γινόµενο των ν διαδοχικών όρων a 1,a 2,...,a ν γεωµετρικής προόδου, αν είναι γνωστό, ότι ο φυσικός αριθµός ν είναι άρτιος και a1+ a a ν = κ, = λ, a a a 1 2 ν όπου οι κ,λ είναι δεδοµένοι πραγµατικοί αριθµοί. Θαλής 2001 Γ Λυκείου 256

13 Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση ( ) Α= 1+ x x + x + x. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου Έστω Α= 1 +, 2( x+ 1) Β= 2 x + 2x x 6x 1 Να βρείτε όλες τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες η 2Α+Β αριθµητική τιµή της παράστασης Γ= είναι ακέραιος 3 αριθµός. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 257

14 Να βρείτε όλες τις τιµές του a R για τις οποίες το σύστηµα 2 2 x + y + 2x 1 x y + a = 0 έχει µοναδική λύση. Για τις τιµές του a που θα βρείτε, να προσδιορίσετε την αντίστοιχη λύση. Θαλής 2002 Β Γυµνασίου Να προσδιορίσετε όλες τις τιµές των πραγµατικών παραµέτρων α και β για τις οποίες οι ρίζες των εξισώσεων 2 2 x αx 1= 0 και x βx 1= 0 σχηµατίζουν µε κατάλληλη διάταξη µία αριθµητική πρόοδο µε 4 όρους. Ευκλείδης 2001 Γ Λυκείου 258

15 ίνεται το πολυώνυµο Ρ ( x, yz, ) = x yz+ 3x y+ 3xz+ 6x + 11xyz + 22xz+ 33xy+ 66x α) Να γράψετε το Ρ ( x, y, z) ως γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων. β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθµών ( x, y, z ) ισχύει ότι Ρ ( x, y, z) = 2002; Ευκλείδης 2002 Β Γυµνασίου Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ µε βγ 0 ισχύει 2 1 γ ότι βγ 0. Να αποδείξετε ότι ( α β γ βγ ) αβ+ αγ. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 259

16 Οι αριθµοί x, y, z, w έχουν την ιδιότητα: Αν προσθέσουµε τρεις οποιουσδήποτε από αυτούς και από το άθροισµά που θα προκύψει αφαιρέσουµε τον αριθµό 5 προκύπτει πάντοτε ο αριθµός Να υπολογίσετε το άθροισµα x+ y+ z+ w. Θαλής 2002 Α Λυκείου 2 Αν η εξίσωση αx 4βx+ 4γ = 0, α > 0 έχει δύο ρίζες στο διάστηµα [2,3], να αποδείξετε ότι I. α β γ < α+ β α β γ II. + >. α+ γ β + α γ + β Θαλής 2002 Β Λυκείου 260

17 Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί x, y που ικανοποιούν την εξίσωση 2 2 x + y 2x 2y = συν[ π ( x+ y)]. Θαλής 2002 Γ Λυκείου Να επιλύσετε ως προς x την εξίσωση 2 3a+ 1 a 1 2 a( a 1) =, a R. 2 2 a+ x a x x a Για ποιες θετικές ακέραιες τιµές του a οι ρίζες της εξίσωσης είναι αριθµοί πρώτοι; Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 261

18 (α) Αν a είναι πραγµατική παράµετρος και 2a Α Β =, για κάθε 2 2 { } x a x a x+ a x R a, a, να βρείτε τους αριθµούς Α και Β. (β) Αν είναι m m 10, 9, 1, 0,1,,9,10, να αποδείξετε ότι x 1 x 4 x 9 + x 100 = x, όπου { } ( x 1)( x + 10) ( x 2)( x + 9) ( x 10)( x + 1) Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου Αν οι x, y, z είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να αποδείξετε ότι x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 262

19 Για τους ακέραιους α, β δίνεται ότι 2 4αβ ( α β ) = (1). α+ β 1 α) Να αποδείξετε ότι ο α+ β είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να βρείτε τα ζεύγη ( α, β ) των ακέραιων που ικανοποιούν την ισότητα (1). Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου Αν είναι 8 2α 2α + α =, να αποδείξετε ότι α > Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου 263

20 Αν abcd,,, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και 3 3 a b 3ab c d = + =, να αποδείξετε ότι a+ + b+ + c+ + d+. a b c d 2 Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι Να λύσετε στους πραγµατικούς αριθµούς το σύστηµα: 2 2 x + y z( x+ y) = 2 + ( + ) = y z x y z + ( + ) = z x y z x Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι 264

21 Αν x, y, ab, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε x y, x 2 y, y 2 xa, ± 3b και 2 x y 2 y x = = λ, a+ 3b a 3b να αποδείξετε ότι: α) x+ y= 2λa και x y= 2λb β) x + y x y Θαλής 2003 Α Λυκείου ίνονται οι παραστάσεις 2 2 Α= x kx+ m, Β= x + mx k, µε k,m R και k+ m 0. Αν είναι 2 2 Γ= m x +(k 1) x+ k, Α +Β +Γ =ΑΒ+ΒΓ+ΓΑ, να βρείτε την τιµή του x, την µέγιστη τιµή του k και την τιµή του m που αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του k. Θαλής 2003 B Λυκείου 265

22 Από τους αριθµούς x, y, z R δύο είναι αρνητικοί και ένας είναι θετικός. Να αποδείξετε ότι: ( x y)( x xy ) ( y z)( y yz ) ( z x)( z zx ) + + 3( x y)( y z)( z x) yz zx xy Θαλής 2003 B Λυκείου (α) Αν για τους ακέραιους a, b αληθεύει η ισότητα a+ a + a = b+ b + b, τότε να αποδείξετε ότι a= b. 2 4 (β) Αφού επαληθεύσετε ότι η εξίσωση x+ x + x = 22 έχει ως λύση τον ακέραιο αριθµό 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν µπορεί να έχει άλλη ακέραια λύση. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου 266

23 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y για τους 2 2 οποίους ο αριθµός Α= x + y + 1 2xy+ x y είναι τέλειο τετράγωνο και επιπλέον ισχύει 2 2 x + y < 12. Θαλής 2004 Β Λυκείου Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι x, y για τους οποίους ισχύει ότι 9 x 2 + y xy= 177+ x 2 y 2 ( ) Θαλής 2004 Γ Λυκείου Να απλοποιηθεί η παράσταση Θαλής 2005 Α Λυκείου 267

24 Β.. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΙΟΥ Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός , είναι κύβος ακεραίου αριθµού. Θαλής 2005 Α Λυκείου Αν α και β είναι πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε να ισχύει να αποδειχθεί ότι α+β= ( )( ) α+ α + 1 β+ β + 1 = 1 Θαλής 2005 Β Λυκείου 268

25 Να εξετασθεί αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί x τέτοιοι ώστε να ισχύει ( ) ( ) x + 1+ x = 2x Θαλής 2005 Β Λυκείου 269

26 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ =ΑΓ) µε περίκεντρο Ο και έγκεντρο Ι. Αν είναι ένα σηµείο της ΒΓ τέτοιο ώστε η Ο να είναι κάθετος επί της ΒΓ, να αποδειχθεί ότι Γ = Ι. Θαλής 1998 Γ Λυκείου Θεωρούµε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 2 και τετράγωνο ΟΑΒΓ. Αν το τετράγωνο και ο κύκλος έχουν κοινό µέρος 3 εµβαδού ίσο µε τα του εµβαδού του τετραγώνου, να 5 υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου. Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 270

27 Από το βαρύκεντρο Θ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε ευθεία τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία Κ, Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι 4 4 BK ΓΛ 1 +. AK ΛA 8 Ευκλείδης 1998 Β Λυκείου Μια σκάλα ακουµπά στο έδαφος και στον τοίχο. Το σηµείο επαφής Α στον τοίχο βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Επιπλέον υπάρχει ένα σηµείο της σκάλας που απέχει ίση απόσταση x από τον τοίχο και το έδαφος. Να βρείτε το µήκος της σκάλας συναρτήσει των h και x. Θαλής 1999 Α Λυκείου 271

28 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ, εγγεγραµµένο σε κύκλο. Έστω το µέσο του τόξου ΒΓ, που περιέχει την κορυφή Αρχιµήδης Αν Ε είναι το ίχνος της κάθετης από το προς τη ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΒ+ΑΕ=ΕΓ. Θαλής 1999 Β Λυκείου Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο µε Α= ˆ 90 ο. Σχηµατίζουµε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΒΓ Ε και φέρουµε την εσωτερική διχοτόµο της γωνίας ˆΑ. Να αποδειχθεί ότι αυτή χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισεµβαδικά τραπέζια. Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 272

29 υο αµβλείες γωνίες είναι τοποθετηµένες έτσι, ώστε το ένα ζεύγος των πλευρών τους να είναι ηµιευθείες αντικείµενες, ενώ το άλλο ζεύγος είναι κάθετες ηµιευθείες. Να υπολογίσετε το άθροισµα των δύο γωνιών. Ευκλείδης 1999 Α Λυκείου Στο διπλανό σχήµα τα τετράπλευρα ΑΒΓ και ΓΕΖΗ είναι τετράγωνα και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι τους τέµνονται στα Γ και Μ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα σηµεία, Μ και Η είναι συνευθειακά. β. Τα σηµεία Μ, Β και Ε είναι συνευθειακά. Ευκλείδης 1999 Β Λυκείου 273

30 ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Σηµείο Μ κινείται στο τόξο ΑΒ που περιέχει τα Γ και. Να αποδείξετε ότι ο λόγος ΜΑ+ΜΒ είναι σταθερός, δηλαδή ΜΓ+Μ ανεξάρτητος από τη θέση του Μ στο τόξο ΑΒ. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούµε τα ύψη Α και ΒΕ, στα οποία παίρνουµε σηµεία Μ, Ν αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΒΜΓ=ΑΝΓ= ˆ ˆ 90 ο. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΜΝ είναι ισοσκελές. β) Αν επιπλέον είναι ΜΝ= και ΜΓΝ= ˆ 30 ο, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΓΝ. Ευκλείδης 1999 Γ Λυκείου 274

31 α) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός ο τετραπλεύρου είναι 360. β) Τετραπλεύρου ΑΒΓ οι εξωτερικές γωνίες Αˆ, Βˆ, Γˆ, ˆ είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 6, 8, εξ εξ εξ εξ 10 και 12, αντίστοιχα. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου. Θαλής 2000 Α Λυκείου Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε την υποτείνουσα ΒΓ κατά τµήµα Γ = ΑΓ. Η διχοτόµος της γωνίας Β τέµνει την Α στο Ευκλείδης Ο κύκλος γ κέντρου Α και ακτίνας ΑΕ τέµνει την ΒΕ, εκτός του Ε, και στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η χορδή ΖΕ χωρίζει τον κύκλο γ σε δύο τόξα από τα οποία το ένα είναι τριπλάσιο του άλλου. Θαλής 2000 Β Λυκείου 275

32 Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ= 2cm. Προς τα ίδιο µέρος της ΑΒ θεωρούµε τα ισοσκελή τρίγωνα ΓΑΒ, ΑΒ, ΖΑΒ µε ΓΑ=ΓΒ, Α= Β και ΖΑ=ΖΒ, έτσι ώστε Ε ( ΓΑΒ) = 1 cm, Ε ( ΑΒ) = 2 cm, Ε ( ΖΑΒ) = 3 cm. Να αποδείξετε ότι: ˆ ˆ π Α Β+ΑΖΒ=. 2 Θαλής 2000 Β Λυκείου Ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ ) οι πλευρές ΒΓ= α και ΑΓ= β ικανοποιούν τη σχέση α = 10. Να αποδείξετε β 5 ότι είναι µ β µ γ, όπου µ β και µ γ είναι οι διάµεσοι από τις κορυφές Β και Γ. Θαλής 2000 Γ Λυκείου 276

33 Τα σηµεία Κ, Λ βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ και είναι τέτοια ώστε να ισχύουν: (ΑΒΚ)=(ΑΓΚ)=(ΒΚΛ)=(ΓΚΛ)=ΒΛΓ). α) Να αποδείξετε ότι τα Κ, Λ ανήκουν στη διάµεσο Α του τριγώνου ΑΒΓ. β) Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθεί ΚΘ ο λόγος ΘΛ. Θαλής 2000 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Οι Β, ΓΕ είναι οι διχοτόµοι των Β και Γ και η Ε τέµνει το τόξο ΑΒ, που δεν περιέχει το Γ, στο σηµείο Κ. Αν είναι ΚΑ1 ΒΓ, ΚΒ1 ΑΓ, ΚΓ1 ΑΒ, και το σηµείο απέχει από τις πλευρές ΒΑ και ΒΓ απόσταση ίση µε x, ενώ το Ε απέχει από τις πλευρές ΓΑ, ΒΓ απόσταση ίση µε y, τότε: Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι 277

34 Α.. Β. ΓΙΙΑ. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΙΟΥ ΛΥΚΕΙΙΟΥ α) να εκφράσετε τα µήκη των τµηµάτων ΚΑ1, ΚΒ1, ΚΓ 1 Κ συναρτήσει των x, y και του λόγου λ=. Ε β) να αποδείξετε ότι = + ΚΒ ΚΑ ΚΓ. Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι Θεωρούµε τις κάθετες ηµιευθείες Ot, Os, το σηµείο Α της Ot µε ΟΑ=x και το σηµείο Β της Os µε ΟΒ=y και y<x. Κατασκευάζουµε το τετράγωνο ΑΒΓ µέσα στη γωνία tos. Από την κορυφή φέρουµε ευθεία ε κάθετη στη διχοτόµο Οδ της γωνίας tos η οποία τέµνει την Os στο Ε και την Ot στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: (α) ΑΖ=x+y και ΒΕ=2x (β) Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 278

35 ίνεται κύκλος (O,R), µια διάµετρος ΑΒ αυτού και ένα σηµείο Γ διαφορετικό των Α, Β. Θεωρούµε τις εφαπτόµενες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ, αντιστοίχως, οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Ρ. Η κάθετος από το Γ προς τη διάµετρο ΑΒ την τέµνει στο, ενώ η ευθεία Γ στο Ευκλείδης Να υπολογίσετε το λόγο ΓΕ Γ. Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκους 3α και κατασκευάζουµε τετράγωνα ΒΓ Ε και ΒΖΗΘ εκατέρωθεν του ΑΒ, όπου τα σηµεία Γ και Θ ανήκουν στο ΑΒ και είναι τέτοια ώστε ΒΓ=α, ΒΘ=2α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΒ, Ζ και ΕΗ περνάνε από το ίδιο σηµείο. Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου 279

36 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ. Ένας κύκλος που έχει χορδή τη ΒΓ τέµνει τη πλευρά ΑΒ στο µέσο της και την πλευρά ΑΓ στο σηµείο Ευκλείδης Γράφουµε και το κύκλο γ που έχει χορδή τη ΓΕ και εφάπτεται της ΒΓ στο Γ. Η Ε προεκτεινόµενη τέµνει την ευθεία ΒΓ στο Ζ και τον κύκλο γ στο Η. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΖΑ, ΒΕ και ΓΗ περνάνε από το ίδιο σηµείο. Ευκλείδης 2000 Γ Λυκείου Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ και σηµείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουµε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓΕ προς το ίδιο µέρος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΓ. Αν οι ΑΕ και Γ τέµνονται στο Ζ, να βρείτε τη γωνία ΑΖ ˆ. Αρχιµήδης 1999 Μικροί 280

37 Ορθογώνιο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ=α και ΒΓ=β. Θεωρούµε σηµεία Ε και Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ και Γ, αντιστοίχως, έτσι ώστε η περίµετρος του τριγώνου ΕΓΖ να είναι ίση προς α+β και η ΑΖ να είναι διχοτόµος της γωνίας ΖΕ ˆ. α) Να αποδείξετε ότι α, β. β) Να βρείτε τη γωνία ˆ ΕΑΖ. Θαλής 2001 Β Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ > 45 ο και ˆΒ > 45 ο. Στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τρίγωνο ΑΒ ορθογώνιο και ισοσκελές µε ˆ = 90. Στη συνέχεια, εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε ορθογώνια ισοσκελή ο τρίγωνα ΒΓΕ και ΑΓΖ µε E = 90, ο Z = 90.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΖ είναι παραλληλόγραµµο. Θαλής 2001 Β Λυκείου 281

38 Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=1 και ˆΒ = 120 ο υπάρχει σηµείο πάνω στη πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε να είναι ΑΒ ˆ = 90 και Γ=ΑΒ. Να βρείτε το µήκος του τµήµατος Α. Θαλής 2001 Γ Λυκείου Από το µέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ µε ˆΑ = 90 και ΑΒ>ΑΓ φέρουµε κάθετη προς τη ΒΓ, η οποία τέµνει την πλευρά ΑΒ στο σηµείο. Αν τα τρίγωνα ΜΒ και ΑΓ είναι ίσα, να βρείτε τις γωνίες ˆΒ και ˆΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 282

39 Από σηµείο της πλευράς ΑΒ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ µε ˆΑ = 90, φέρουµε δύο ευθείες που χωρίζουν το τρίγωνο ΑΒΓ σε τρία τρίγωνα ίσα µεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι: α) Το σηµείο είναι εσωτερικό σηµείο της πλευράς ΑΒ, δηλαδή δεν είναι ένα από τα άκρα του. β) ˆΒ = 30 ο. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ < 90. Φέρουµε ευθύγραµµο τµήµα Α κάθετο και ίσο προς τη πλευρά ΑΒ καθώς και ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ κάθετο και ίσο προς τη πλευρά ΑΓ, έτσι ώστε ΑΕ ˆ < 90. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το Α και το µέσο της ΒΕ είναι κάθετη προς την ευθεία Γ. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου 283

40 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο, µε ΑΒ2, ΑΓ=2, ΒΓ=3 και σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε Β =2 Γ. Στο σηµείο φέρουµε ευθεία κάθετη προς την Α η οποία τέµνει το τόξο ΑΒΜ στο σηµείο Μ. Να υπολογίσετε την περίµετρο του τετραπλεύρου ΑΒΜΓ συναρτήσει του ΑΜ = κ. Ευκλείδης 2001 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ> ˆ 10 ο και Β=Γ+ ˆ ˆ 10 ο. Θεωρούµε σηµείο Ε της πλευράς ΑΒ, έτσι ώστε ΑΓΕ= ˆ 10 ο, και σηµείο της πλευράς ΑΓ, έτσι ώστε ΒΑ= ˆ 15 ο. Έστω Ζ Α είναι σηµείο τοµής των περιγεγραµµένων κύκλων των τριγώνων ΑΒ και ΑΕΓ. Να αποδείξετε ότι ΖΒΑ>ΖΓΑ ˆ ˆ. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 284

41 Στο διπλανό σχήµα φαίνεται οικόπεδο ΑΒΓ σχήµατος ορθογωνίου µε πλευρές ΑΒ = α και ΒΓ = β. Από το οικόπεδο θα κοπούν δύο δρόµοι ΕΖΗΘ και ΑΙΚΛ. Ο δρόµος ΕΖΗΘ σχήµατος ορθογωνίου έχει πλάτος ΖΗ=y, ενώ ο δρόµος ΑΙΚΛ σχήµατος παραλληλογράµµου έχει πλευρά ΑΙ=x. α) Να εκφράσετε το εµβαδόν του οικοπέδου που αποµένει µετά την αποκοπή των δύο δρόµων ως συνάρτηση των α, β, x και y. β) Να εκφράσετε το πλάτος d του δρόµου ΑΙΚΛ ως συνάρτηση του x, αν είναι γνωστό ότι ΑΛ= ˆ 30 o. Θαλής 2002 Α Λυκείου 285

42 Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α. Αν η ΑΓ τέµνει τη ΒΕ στο σηµείο Ζ, να αποδείξετε ότι η Ζ περνάει από το µέσον της ΒΓ. Θαλής 2002 Β Λυκείου ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ. Τα σηµεία Ε, Ζ κινούνται πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΕΑΖ= ˆ 45 ο. Οι ΑΕ και ΑΖ τέµνουν τη Β στα σηµεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Οι ΕΛ και ΖΚ τέµνονται στο Η και η ΑΗ τέµνει τη ΖΕ στο Μ. Να αποδείξετε ότι: I) Η ευθεία ΑΜ είναι κάθετος προς τη ΖΕυκλείδης II) Η γωνία ΒΜ ˆ είναι σταθερή, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της θέσης των Ε, Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ, αντίστοιχα. Θαλής 2002 Β Λυκείου 286

43 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ΑΒΓ Α= 90 ) θεωρούµε το ύψος Α και τη διχοτόµο ΓΕ που τέµνονται στο Ζ. Αν Η είναι το σηµείο τοµής των Ε και ΒΖ να αποδείξετε ότι: (i) AB A = AB AZ+ AE A (ii)(aehz) = (BH ) Θαλής 2002 Γ Λυκείου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Β= ˆ 120 ο. Αν Α, ΒΕ και ΓΖ είναι οι διχοτόµοι των γωνιών του, να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ ˆ. Ευκλείδης 2002 Α Λυκείου 287

44 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ˆΑ = 90. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΒΓ και ΑΓΕυκλείδης Αν Μ είναι το µέσο της ΑΒ και Μ =u, ΜΕ=v, να υπολογίσετε το µήκος της ΑΒ, ως συνάρτηση των u, v. Ευκλείδης 2002 Β Λυκείου ίνεται κύκλος C κέντρου Κ και ακτίνας r, σηµείο Α πάνω στο κύκλο και σηµείο Ρ στο εξωτερικό του κύκλου C. Από το σηµείο Ρ θεωρούµε µεταβλητή ευθεία ε η οποία τέµνει τον κύκλο C στα Β και Γ. Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Τ του επιπέδου του κύκλου C τέτοιο ώστε το άθροισµα 2 2 ΗΑ +ΗΤ να είναι σταθερό (ανεξάρτητο από τη θέση της ευθείας ε). Αρχιµήδης 2002 Μεγάλοι 288

45 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του Α και την εξωτερική διχοτόµο της γωνίας Α η οποία τέµνει την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο Ε. Φέρουµε τη ΒΖ κάθετη προς την ΑΕ και την ΕΗ κάθετη προς την ΑΓ. (α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία, Ζ και Η είναι συνευθειακά. (β) Αν είναι Β=Γ+30, να βρείτε τη γωνία ΑΗ. Θαλής 2004 Β Λυκείου Να αποδειχθεί ότι αν η ευθεία που ενώνει τα µέσα των δύο απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετραπλεύρου διαιρεί το τετράπλευρο σε δύο ισεµβαδικά τετράπλευρα, τότε το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Θαλής 2005 Α Λυκείου 289

46 Έστω ΑΒΓ ένα σκαληνό τρίγωνο. Πόσα σηµεία υπάρχουν στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ, να έχει άξονα συµµετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου; Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου Οι κορυφές Α, Β, Γ,, Ε µιας τεθλασµένης γραµµής βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο όπως στο σχήµα και οι γωνίες ΑΒΓ, ΒΓ, Γ Ε έχουν µέτρο 45. Να αποδειχθεί ότι AB +Γ =ΒΓ + Ε. Ευκλείδης 2005 Β Λυκείου 290

47 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί ν για τους οποίους ο 2 αριθµός 2ν + 1 διαιρεί τον αριθµό ν + ν 2. Θαλής 1998 Α Λυκείου Για ποιους θετικούς ακέραιους m και n µεγαλύτερους του 1 ισχύει n = m ; Θαλής 1998 Γ Λυκείου 291

48 Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθµοί ν για τους οποίους ο 3 ν + 5 αριθµός είναι ακέραιος. 2 ν + 7 Θαλής 1998 Β Λυκείου Αν α περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθµός 4 2 α + 6α 7 είναι πολλαπλάσιο του 128. Θαλής 1999 Α Λυκείου 292

49 ίνεται η εξίσωση 2 2 x (4a 7) x+ 3a 17a+ 10= 0, a Z, a 1. I. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών της είναι περιττός ακέραιος. II. Να υπολογιστεί η τιµή του a έτσι, ώστε η µεγαλύτερη ρίζα να είναι τετραπλάσια της µικρότερης. Θαλής 1999 Β Λυκείου Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x, y, z τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την ισότητα 2 2 x + y 8z= 6. Θαλής 2000 Γ Λυκείου 293

50 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α, β τέτοιοι ώστε το γινόµενο (15α+β)(α+15β) να είναι µία δύναµη µε βάση το 3 και εκθέτη ακέραιο. Αρχιµήδης 2000 Μεγάλοι Τριψήφιος αριθµός είναι µεγαλύτερος του 610, µικρότερος του 650 και διαιρούµενος µε το 7 δίνει υπόλοιπο 3. Να βρεθεί ο αριθµός, αν είναι γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του 5. Ευκλείδης 2001 Α Λυκείου 294

51 Να προσδιορίσετε όλους τους διψήφιους αριθµούς που είναι ίσοι µε το γινόµενο που προκύπτει, αν πολλαπλασιάσουµε τα ψηφία τους αυξηµένα κατά 2. Θαλής 2002 Β Λυκείου Έστω x, y δύο διψήφιοι αριθµοί µε x< y. Το γινόµενο xy είναι τετραψήφιος αριθµός που αρχίζει από 2. Αν διαγράψουµε το 2, τότε ο αριθµός που µένει ισούται µε x+ y. Ένα τέτοιο ζεύγος αριθµών είναι οι x= 30, y= 70, γιατί xy = 2100 και 100= Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη ( x, y ) µε την ιδιότητα αυτή Αρχιµήδης 2002 Μικροί 295

52 Ο πενταψήφιος αριθµός Α= xxxxx (στο δεκαδικό σύστηµα) έχει ψηφία x 1, x 2, x 3, x 4 και x 5, τέτοια ώστε x 3 > 1, x 4 > 1, x 5 > 1 και x1+ xx 1 2+ xxx xxxx xxxxx = 121. Να βρεθεί ο αριθµός Αρχιµήδης Αν ο αριθµός αβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) είναι πρώτος, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 αx βx γ = δεν έχει ρητή ρίζα. Ευκλείδης 2002 Γ Λυκείου Αν ο αριθµός αβγ (στο δεκαδικό σύστηµα) είναι πρώτος, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα. 2 αx βx γ = δεν έχει ρητή Ευκλείδης 2002 Γ Λυκείου 296

53 Αν x, y, z είναι θετικοί ακέραιοι µε ΜΚ ( x, y, z ) = 1 και =, να αποδείξετε ότι ο αριθµός x+ y είναι τέλειο x y z τετράγωνο. Θαλής 2003 Γ Λυκείου Να βρεθούν οι ακέραιοι α, β για τους οποίους ισχύει η ισότητα 2 2 αβ + 2αβ+ α= 2β + 4β+ 3. Θαλής 2003 Α Λυκείου Για ακεραίους m και n, να αποδειχθεί ότι αν ο αριθµός 2 2 m + 28mn+ n διαιρείται δια του 13, τότε και ο αριθµός 3 3 m + n διαιρείται δια του 13. Θαλής 2005 Γ Λυκείου 297

54 Είκοσι κληρονόµοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να µοιράσουν την κληρονοµιά τους. Συµφωνούν να τη µοιράσουν µε τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήµατα όσα είναι ο µέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η µοιρασιά; Θαλής 1998 Γ Λυκείου Να εξετάσετε αν υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθµοί, τέτοιοι ώστε το άθροισµα δύο οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι δύναµη του 5. Ευκλείδης 1998 Α Λυκείου 298

55 Το άθροισµα δύο ακέραιων αριθµών είναι 26, ενώ αν διαιρέσουµε το µεγαλύτερο µε το µικρότερο βρίσκουµε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1. Να βρεθούν οι αριθµοί. Θαλής 1999 Α Λυκείου Σε µια πρόσφατη έκλειψη Ηλίου στη χώρα µας ο δίσκος της Σελήνης κάλυπτε το δίσκο του Ήλιου έτσι ώστε η καλυπτόµενη επιφάνεια να µεγαλώνει σιγάσιγά. Το σχήµα µας δείχνει µια φάση της κάλυψης αυτής. Να αποδείξετε ότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή του φαινοµένου, η διαφορά µεταξύ των µη επικαλυπτοµένων επιφανειών Η0 Σ 0 παρέµενε σταθερή. Θαλής 1999 Α Λυκείου 299

56 Σε µια τάξη Λυκείου διοργανώθηκε πρωτάθληµα σκακιού. Την πρώτη ηµέρα έγιναν µόνο κάποιοι αγώνες στους οποίους οι δύο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς τις πρώτης ηµέρας πήραν µέρος τα 3 4 του αριθµού των αγοριών της τάξης και τα 2 3 του αριθµού των κοριτσιών της τάξης. Αν η τάξη έχει συνολικά 34 παιδιά να βρείτε: a. πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη. b. Πόσα παιδιά δεν πήραν µέρος την πρώτη ηµέρα στους αγώνες. Θαλής 2000 Α Λυκείου 300

57 Οι δύο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι x και y. Αν αυξήσουµε τη µια διάσταση κατά 1 και την άλλη διάσταση κατά 2, τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εµβαδόν διπλάσιο του εµβαδού του αρχικού ορθογωνίου. Να βρεθούν οι διαστάσεις x και y. Θαλής 2000 Α Λυκείου Να βρεθεί η µέγιστη τιµή του θετικού ακέραιου x για την οποία ο 13 x διαιρεί τον αριθµό 500! [ ίνεται ότι: 500! = ] Θαλής 2000 Β Λυκείου 301

58 Σε µια κατασκήνωση υπάρχουν 577 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Σε οποιαδήποτε οµάδα 9 παιδιών υπάρχουν 2 τουλάχιστον παιδιά µε το ίδιο ύψος. Να αποδείξετε ότι υπάρχει οµάδα 5 παιδιών από την ίδια χώρα που είναι του ίδιου φύλου και έχουν το ίδιο ύψος. Θαλής 2000 Γ Λυκείου Θεωρούµε 100 αριθµούς a1, a2,, a100 από τους οποίους οι 40 είναι ίσοι µε 1, οι 60 είναι ίσοι µε 2 και τους τοποθετούµε πάνω σε ένα κύκλο έτσι, ώστε να µην υπάρχουν τρεις ίσοι αριθµοί σε διαδοχικές θέσεις. Σχηµατίζονται έτσι 100 τριάδες Τ,i= 1,2,,100, αριθµών σε διαδοχικές θέσεις πάνω σε i κύκλο. Αν P i είναι το γινόµενο και S i είναι το άθροισµα των τριών αριθµών της τριάδας Τ i, i= 1,2,,100, να αποδείξετε ότι: (α) Pi = 2Si 6, για κάθε i= 1,2,,100 (β) P + P + + P = 360. Ευκλείδης 2000 Α Λυκείου 302

59 ύο µαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Πάνω σε ένα κύκλο δίνονται 100 διαφορετικά σηµεία και οι µαθητές διαδοχικά ο ένας µετά τον άλλο γράφουν µια χορδή, διαφορετική κάθε φορά, µε άκρα δύο οποιαδήποτε από τα 100 δεδοµένα σηµεία. Το παιχνίδι τελειώνει όταν καθένα από τα 100 σηµεία χρησιµοποιηθεί ως άκρο χορδής µια τουλάχιστον φορά. Νικητής είναι ο µαθητής ο οποίος θα γράψει τη χορδή µε την οποία τελειώνει το παιχνίδι. Αν ο µαθητής Α αρχίσει πρώτος, ποιος από τους δύο µαθητές έχει στρατηγική νίκης; (δηλαδή, ποιος από τους δύο µαθητές µπορεί να παίξει έτσι, ώστε να νικήσει, ανεξαρτήτως του πως θα παίξει ο άλλος;); Ευκλείδης 2000 Β Λυκείου 303

60 Οι µαθητές X και Y παίζουν ένα παιχνίδι ως εξής: Επιλέγουν εναλλάξ ο ένας µετά τον άλλον έναν από τους αριθµούς 1 και 2. Αρχίζει ο Χ επιλέγοντας τον αριθµό x 1 {1, 2} και συνεχίζει ο Y επιλέγοντας τον αριθµό y 1 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ1= x1+ y 1. Στη συνέχεια, ο X επιλέγει τον αριθµό x 2 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ2 = Σ1+ x 2, ενώ ο Y συνεχίζοντας επιλέγει τον αριθµό y 2 {1, 2} και καταγράφει το άθροισµα Σ3 = Σ2+ y2 κ.ο.κ. Νικητής αναδεικνύεται ο µαθητής που θα καταγράψει σε µία επιλογή του ως άθροισµα τον αριθµό 200. Να εξηγήσετε γιατί ο µαθητής Χ έχει στρατηγική νίκης. Ισχύει το ίδιο, αν ο νικητής αναδεικνύεται όταν το άθροισµα γίνει 300; Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου 304

61 Στην Ε,Μ.Ε, γίνονται µαθήµατα προετοιµασίας για τις ιεθνείς Μαθηµατικές Ολυµπιάδες για τους 20 µαθητές που προκρίνονται στην τελική φάση. ιδάσκονται 4 µαθήµατα: Γεωµετρία, Θεωρία αριθµών, Συνδυαστική, Άλγεβρα. ήλωσαν συµµετοχή στη Γεωµετρία 15 µαθητές, στη Θεωρία αριθµών 13, στη Συνδυαστική 14 και στην Άλγεβρα 19 µαθητές. Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον µαθητής δήλωσε συµµετοχή και στα 4 µαθήµατα. Ευκλείδης 2001 Β Λυκείου Θεωρούµε τετράγωνο πλευράς α, µε α>1. Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατά 1 µικρότερη του α, έχει περίµετρο ίση αριθµητικά προς το εµβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Να βρεθεί η πλευρά α. Θαλής 2002 Α Λυκείου 305

62 Ένας φοιτητής του Ε. Μ. Πολυτεχνείου διάβαζε το περασµένο καλοκαίρι για τις επαναληπτικές εξετάσεις ενός µαθήµατος επί 37 µέρες, σύµφωνα µε τους εξής κανόνες: a. Κάθε µέρα διάβαζε µία τουλάχιστον ώρα. b. Κάθε µέρα διάβαζε ακέραιο αριθµό ωρών, χωρίς να ξεπερνάει τις 12 ώρες. c. Συνολικά έπρεπε να διαβάσει το πολύ 60 ώρες. Να αποδείξετε ότι υπήρξαν κάποιες διαδοχικές µέρες, κατά τη διάρκεια των οποίων διάβασε συνολικά 13 ώρες. Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι Το τετράγωνο ενός αριθµού ισούται µε τον αριθµό αυξηµένο κατά 72. Επιπλέον, αν από το 60 αφαιρέσουµε το διπλάσιο του αριθµού λαµβάνουµε αριθµό µικρότερο του 52. Να βρεθεί ο αριθµός. Θαλής 2003 Α Λυκείου 306

63 Έστω ότι οι ακέραιοι αριθµοί α και α+ 2 είναι πρώτοι µε α> 3. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α+ 4 είναι σύνθετος. Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου Έστω Α και Β δύο µη κενά και ξένα µεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5}. Να αποδειχθεί ότι ένα τουλάχιστον από τα Α και Β περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του. Ευκλείδης 2005 Α Λυκείου 307

64 Υπάρχει θετικός ακέραιος ν τέτοιος ώστε: Α) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη και ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη; Β) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη, ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη και ο 6ν τέλεια έκτη δύναµη; Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 308

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός 222223 444441 222220+ 222216 2 222222 είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 είναι πολλαπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Λυκείου 1993-1994 ΜΕΡΟΣ Α

Ευκλείδης Β' Λυκείου 1993-1994 ΜΕΡΟΣ Α Ευκλείδης Β' Λυκείου 993-994 ΜΕΡΟΣ Α. Δύο ίσα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ πλευράς 0 τοποθετούνται έτσι ώστε η κορυφή Ε να βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Το εμβαδό του μέρους του επιπέδου που καλύπτεται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 013 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105, Ιστοσελίδα: Site: 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 011 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405, Ιστοσελίδα: Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 Site: ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΣΑΒΒΑΤΟ,14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές. 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007 GR. 06 79 - Athens - HELLAS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 42 2 ν + να είναι ακέραιος. 2. Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Α={1,11,111,1111,..., 11...1 }

Α={1,11,111,1111,..., 11...1 } Θαλής Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Δύο μαθητές Α, Β χρησιμοποιούν ένα πίνακα 3x3, όπως στο σχήμα, για να παίξουν "τρίλιζα". Καθένας γράφει σ' ένα τετραγωνάκι της επιλογής του ένα σταυρό ή έναν κύκλο. (Και

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79 - Athens

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα