ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους τους δακτύλιους µε την ιδιότητα αυτή. Η κλάση των δακτυλίων αυτών (ηµιαπλοί δακτύλιοι) παίζει σηµαντικότατο ρόλο στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασµένων οµάδων, πράγµα που θα δούµε στο κεφάλαιο 7. Το κύριο θεώρηµα του παρόντος κεφαλαίου είναι αυτό του Wedderbur που χαρακτηρίζει τους ηµιαπλούς δακτύλιους. 2.. Θεώρηµα του Wedderbur Ένα -πρότυπο λέγεται ηµιαπλό αν είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Ο λέγεται ηµιαπλός δακτύλιος αν είναι ηµιαπλό ως -πρότυπο. 2.. Παραδείγµατα. Κάθε D-πρότυπο είναι ηµιαπλό, όπου D είναι δακτύλιος διαίρεσης (Θεώρηµα.5.). Ειδικά κάθε k-διανυσµατικός χώρος (πεπερασµένης ή άπειρης διάστασης) είναι ηµιαπλό k-πρότυπο. 2. Για κάθε πρώτο αριθµό, το Z -πρότυπο Z είναι απλό και άρα ηµιαπλό. Επίσης και το Z... Z είναι ηµιαπλό. 3. Έστω q δυο πρώτοι αριθµοί. Τότε το Z -πρότυπο Z q είναι ηµιαπλό αφού έχουµε έναν ισοµορφισµό Z -προτύπων Zq Z Z q. 4. Έστω ένας πρώτος αριθµός. Το Z -πρότυπο Z 2 δεν είναι ηµιαπλό. Πράγµατι, αν ήταν ηµιαπλό θα είχαµε έναν ισοµορφισµό Z -προτύπων της µορφής Z 2, όπου κάθε είναι απλό Z -πρότυπο. Τότε κάθε I ήταν ισόµορφο µε απλό Z - υποπρότυπο του Z 2 θα, δηλαδή θα ήταν ισόµορφο µε το Z (από την ταξινόµηση υποοµάδων πεπερασµένης κυκλικής οµάδας). Τότε Z 2 Z που είναι άτοπο. I 5. Το Z -πρότυπο Z είναι ηµιαπλό αν και µόνο αν το δεν διαιρείται µε το τετράγωνο ακεραίου > (γιατί;)

2 26 6. Αν και S είναι ηµιαπλοί δακτύλιοι τότε και ο S είναι ηµιαπλός. Πράγµατι, γράφοντας S = S, όπου τα και =, I J S είναι απλά ιδεώδη των και S αντίστοιχα, βλέπουµε ότι τα απλά ιδεώδη = { 0}, S = {0} S του S έχουν την ιδιότητα S = S. I J όπου Μια οικογένεια { } υποπροτύπων του Μ θα λέγεται ανεξάρτητη αν I m = 0 κάθε m = 0, m είναι όλα σχεδόν µηδέν. Τότε ορίζεται το εσωτερικό ευθύ άθροισµα σύµφωνα µε την Πρόταση.2. και ισχύει =. I I 2..2 Πρόταση. ) Κάθε πρότυπο που παράγεται από απλά πρότυπα είναι ηµιαπλό. ) Έστω 0 L N 0 µια ακριβής ακολουθία -προτύπων, όπου το Μ είναι ηµιαπλό. Τότε τα L, N είναι ηµιαπλά -πρότυπα και επιπλέον η ακολουθία διασπάται. Απόδειξη: ) Έστω =, όπου τα είναι απλά υποπρότυπα του Μ. Θα I δείξουµε ότι =, για κάποιο J I. Με τη βοήθεια του λήµµατος του Zor, J εύκολα επαληθεύεται ότι το σύνολο { J I { } J είναι ανεξάρτητο} έχει µέγιστο στοιχείο, έστω J. Ισχύει =. Πράγµατι, J J. Για την άλλη σχέση, θεωρούµε ένα τυχαίο γιατί το Συνεπώς και παρατηρούµε ότι = 0 ή, J είναι απλό. Η πρώτη περίπτωση δεν ισχύει λόγω του µεγίστου του J. για κάθε = J I. Άρα για κάθε και. J J

3 27 ) Έστω g: N ο επιµορφισµός της δοθείσας ακριβούς ακολουθίας. Γράφουµε, όπου κάθε I είναι απλό, και παρατηρούµε ότι g ( ) = 0 ή g( ). Άρα η εικόνα g ( ) = N παράγεται από κάποια απλά πρότυπα, οπότε λόγω του ) είναι ηµιαπλό πρότυπο. Το ίδιο ισχύει και για τον πυρήνα Kerg = L, δηλαδή το ker g για κάποιο J I. Τέλος, ο ker g είναι ευθύς προσθετέος J του Μ και συνεπώς η ακριβής ακολουθία διασπάται (Πρόταση.2.4). Σηµειώνουµε ότι, σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση, κάθε υποπρότυπο και κάθε πηλίκο ηµιαπλού προτύπου είναι ηµιαπλό πρότυπο. Τονίζουµε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του πρώτου ισχυρισµού της Πρότασης 2..2 ). Για παράδειγµα, αν είναι πρώτος, το Z -πρότυπο Z 2 δεν είναι ηµιαπλό ενώ το Z είναι ηµιαπλό και έχουµε την ακριβή ακολουθία 0 Z Z Z Θεώρηµα Weddebur. Για κάθε δακτύλιο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναµες. ) είναι ηµιαπλός 2) κάθε -πρότυπο είναι ηµιαπλό 3) κάθε ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 -προτύπων διασπάται 4) κάθε -πρότυπο είναι προβολικό 5) κάθε -πρότυπο είναι εµφυτευτικό 6) ως δακτύλιοι ( D )... ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Απόδειξη. ) 2). Από την υπόθεση και την Πρόταση.3. ) κάθε ελεύθερο -πρότυπο είναι ηµιαπλό. Από την Πρόταση.3. ) προκύπτει ότι κάθε -πρότυπο είναι ηµιαπλό. 2) 3). Επειδή το Β είναι ηµιαπλό, η ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 διασπάται σύµφωνα µε την Πρόταση 2.. ). 3) ). Παρατήρηση: Με την υπόθεση 3) ισχύει ότι κάθε ιδεώδες I 0 του περιέχει ένα

4 28 απλό ιδεώδες. Απόδειξη: Έστω a I, a 0. Έστω ότι το κύριο ιδεώδες (a) δεν είναι απλό. Τότε υπάρχει ιδεώδες J µε 0 J ( a). Χρησιµοποιώντας το λήµµα του Zor, συµπεραίνουµε ότι υπάρχει µέγιστο τέτοιο J. (Η απόδειξη είναι πανοµοιότυπη µε αυτή της Πρότασης.4.2 µε την παρατήρηση ότι το ρόλο του παίζει εδώ το α). Η ακριβής ακολουθία -προτύπων 0 J ( a) ( a) / J 0 διασπάται σύµφωνα µε την υπόθεση. Έτσι το ( a ) / J είναι ισόµορφο ως -πρότυπο µε ιδεώδες του, που είναι απλό λόγω του µεγίστου του J. Επιστρέφουµε τώρα στην απόδειξη 3) ). Έστω Ι το ιδεώδες που παράγεται απ όλα τα απλά ιδεώδη του. Είναι I 0 λόγω της παρατήρησης. Από την ακριβή ακολουθία και την υπόθεση παίρνουµε ότι το 0 I / I 0 / I είναι ισόµορφο µε ιδεώδες J του. Ισχύει I J = 0, γιατί η προηγούµενη ακολουθία διασπάται. Αν J 0, η παρατήρηση µας πληροφορεί ότι το J περιέχει απλό ιδεώδες και κατά συνέπεια ο ορισµός του I δίνει I J 0, άτοπο. Άρα / I = 0, δηλαδή = I. Από τον ορισµό του Ι και την Πρόταση 2..2 ) παίρνουµε ότι το είναι ηµιαπλός. ( 3) (4) (5) Έπεται αµέσως από την Πρόταση.3.3 ) και τον ορισµό στη Σηµείωση.3.6. ( ) (6) Ξεκινάµε µε τρεις απλές παρατηρήσεις. α) Υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων Ed ( ), r f r, όπου f r ( a) = ar (πολλαπλασιασµός από δεξιά), a, r.(άσκηση.3). β) Έστω Μ ένα -πρότυπο. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων o Ed ( ) ( Ed ( )). Πράγµατι, αν g Ed ( ) θέτουµε g Ed ( ), g : ε g π όπου ε ( m) = (0,..., m,...,0) είναι η εµφύτευση στη συνιστώσα και π ( m,..., m ) = m είναι η προβολή στην συνιστώσα. Ορίζεται έτσι οµοµορφισµός

5 29 δακτυλίων Φ : Ed ( ) ( Ed ( )), ( g) ( g ). Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουµε οµοµορφισµό δακτυλίων Ψ : ( Ed ( )) Ed ( ), ( f ) f όπου, f ( m,..., m ) = fk ( mk ),..., f k ( mk ). (Συµβολικά, f ( m,..., m ) k k m = ( f ) πολλαπλασιασµός πινάκων). Είναι θέµα ρουτίνας να επαληθεύσουµε m ότι οι συνθέσεις Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις. γ) Έστω Μ, Ν δυο -πρότυπα µε Hom (, N) = Hom ( N, ) = 0. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων Ed ( N) Ed ( ) Ed ( N). Πράγµατι, λόγω της Πρότασης.2.2 και της υπόθεσης στα, Ν υπάρχει ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων Ed ( N) Ed ( ) Ed ( N). Αυτός ο συγκεκριµένος ισοµορφισµός (δες την απόδειξη της Πρότασης.2.2) εύκολα επαληθεύεται ότι είναι ισοµορφισµός δακτυλίων. Επιστρέφουµε τώρα στην απόδειξη ( ) (6). Έστω =, όπου τα είναι απλά ιδεώδη. Επειδή το είναι πεπερασµένα παραγόµενο -πρότυπο το ίδιο συµβαίνει για το. Άρα µόνο πεπερασµένου πλήθους συνιστώσες του I I είναι µη-µηδενικές, δηλαδή το Ι είναι πεπερασµένο. Μπορούµε έτσι να γράψουµε = I όπου. Έχουµε τώρα διαδοχικά ισοµορφισµούς δακτυλίων o ( ) o o ( Ed ( )) (παρατήρηση α) o = Ed = o = ( Ed ) (γιατί Hom (, ) = 0 αν. Παρατήρηση γ) = o o o o ( Ed ( ) ) ( S) S ) =

6 30 = o ( ( Ed( ) )). (παρατήρηση β και άσκηση.3.3 )). Από το λήµµα του Schur (Λήµµα..7), κάθε Ed ) είναι δακτύλιος διαίρεσης ( και συνεπώς κάθε o D := Ed ( ) είναι δακτύλιος διαίρεσης. Έχουµε ( D ). = ( 6) () Λόγω του Παραδείγµατος 2.. 6), για να δείξουµε ότι ( 6) () αρκεί να δείξουµε ότι: D δακτύλιος διαίρεσης (D) ηµιαπλός δακτύλιος. Έστω µορφής I το (αριστερό) ιδεώδες του (D) που αποτελείται από πίνακες της k όπου τα ότι κάθε 0 a 0 a 0 0 a υπάρχουν στην k στήλη. Προφανώς I k είναι απλό. Έστω ( D) = I... I. Θα δείξουµε α (α ) = I k, α 0, και β I k. Με E συµβολίζουµε τον πίνακα που έχει µηδέν παντού εκτός από τη θέση (, ), όπου το στοιχείο είναι. Αφού α 0 υπάρχει 0 µε α k 0. Αν γράψουµε β = β E k, τότε εύκολα ελέγχουµε µε πράξεις πινάκων ότι Άρα το β = β α 0k E 0 0 α. I k παράγεται σαν ιδεώδες από το τυχαίο µη µηδενικό στοιχείο του. Η απόδειξη είναι πλήρης. Σηµειώνουµε ότι η συνθήκη 6) στο Θεώρηµα του Wedderbur είναι ιδιαίτερα σηµαντική καθώς µας παρέχει πληροφορίες για τη δοµή του δακτυλίου Παρατήρηση. Στην προηγούµενη απόδειξη, είδαµε ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος έχει πεπερασµένο πλήθος απλά ιδεώδη και επιπλέον είναι το ευθύ άθροισµά τους. 2.2 Εφαρµογή: Θεώρηµα του achke.

7 3 Το επόµενο αποτέλεσµα µας πληροφορεί πότε ο δακτύλιος k [G] µιας πεπερασµένης οµάδας G (όπου k είναι σώµα) είναι ηµιαπλός, πράγµα που θα χρησιµοποιηθεί στο κεφάλαιο 7 (αναπαραστάσεις πεπερασµένων οµάδων) Θεώρηµα (achke). Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης και k σώµα χαρακτηριστικής. Αν = 0 ή αν > 0 και το δεν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] είναι ηµιαπλός. Αντίστροφα, αν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] δεν είναι ηµιαπλός. Απόδειξη: " " Έστω α 0 A B C 0 µια ακριβής ακολουθία k[g]-προτύπων. Θα δείξουµε ότι διασπάται (Θεώρηµα )). Θεωρώντας την (*) ως ακολουθία k-διανυσµατικών χώρων αυτή διασπάται (Πρόταση.3.2). Έτσι υπάρχει k-γραµµική απεικόνιση β (*) β : C B µε την ιδιότητα β β =. Από την β κατασκευάζουµε έναν οµοµορφισµό k[g] - C προτύπων β : C B, β( c) = gβ ( g c). Παρατηρούµε εδώ ότι στο k έχουµε 0 λόγω της υπόθεσης στο. Η απεικόνιση β είναι πράγµατι οµοµορφισµός k[g]-προτύπων, γιατί αν β ( hc) = gβ ( g hc) = h h gβ ( g hc) h G τότε = h g β (( g ) c) g G = h( β( c)). (γιατί καθώς το g διατρέχει τη G, το h g = g διατρέχει τη G). ηλαδή β ( hc) = hβ( c) για κάθε h G και c G. Επειδή η β είναι προφανώς προσθετική προκύπτει ότι η β είναι οµοµορφισµός k[g]-προτύπων. Τέλος έχουµε Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουµε την απεικόνιση β, που είναι µόνο οµοµορφισµός k προτύπων, µε άλλη που είναι οµοµορφισµός kg [ ]- προτύπων. Αυτό επιτυγχάνεται λαµβάνοντας το µέσο όρο της β υπεράνω της οµάδας G.

8 32 β β =, γιατί αν c k[ G] τότε β β( c) = β( gβ ( g c)) = = g( ββ ( g gc ( g c) c)) (γιατί β είναι οµοµορφισµός k[g]-προτύπων) = ( c) = c. " " Έστω τώρα ότι το > 0 διαιρεί το. Θεωρούµε το k ως k[g]-πρότυπο, rg g v= rg v για κάθε v k. Θα δείξουµε ότι ακριβής ακολουθία 0 ker ε k[ G] k 0 δεν διασπάται, όπου ε : k[ G] k είναι ο οµοµορφισµός k[g]-προτύπων ε g r g = r g ε. Έστω για άτοπο ότι υπάρχει οµοµορφισµός k[g]-προτύπων ε : k kg µε εε = k και έστω ε ( ) = r g g. Τότε για κάθε h G ισχύει ε ( ) = ε ( h ) = hε () = h r g g. Άρα r g = h r g για κάθε h G. g g Συνεπώς = για κάθε g, g G (γιατί;). Άρα υπάρχει r k µε ε ( ) = r g. r g rg Όµως τότε εε ( ) = rε g = r = 0, που είναι άτοπο γιατί εε = k Παρατηρήσεις στο Θεώρηµα του Wedderbur Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος. Θα ασχοληθούµε εδώ µε τα εξής ερωτήµατα. Από το θεώρηµα του Wedderbur έχουµε ( D )... ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Είναι οι αριθµοί,...,, µονοσήµαντα ορισµένοι; (Θα δούµε ότι η απάντηση είναι ναι). Πόσα ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα έχει ο ;

9 33 Ένας δακτύλιος 0 λέγεται απλός αν δεν έχει αµφίπλευρα ιδεώδη 0,. Σηµειώνουµε ότι, αν είναι απλός, τότε δεν έπεται αναγκαστικά ότι είναι απλό - πρότυπο. Αν όµως είναι απλό -πρότυπο, τότε είναι απλός δακτύλιος. Για παράδειγµα κάθε δακτύλιος διαίρεσης είναι απλός. Πιο γενικά έχουµε: 2.3. Λήµµα. Ο (D) είναι απλός όταν ο D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Απόδειξη: Έστω I 0 αµφίπλευρο ιδεώδες του. Θα δείξουµε ότι I =. Έστω α = ( α ) I µε α 0. Τότε α 0 για κάποιους δείκτες k,. Για τους στοιχειώδεις πίνακες E ισχύει ke 0, αν E E q = (*) Eq, αν =. Γράφοντας α = α E, παίρνουµε από την προηγούµενη σχέση Άρα το Ι περιέχει το προκύπτει ότι E kαe k = α ( E k E ) E k = αk E E k = αk E k., αk E k και συνεπώς το E k = αk ( αk E k ). Από την (*) E I για κάθε,. Άρα I = Λήµµα. Έστω =... m και =... όπου οι και απλοί δακτύλιοι. Τότε είναι m = και (µετά από κάποια αρίθµηση) =,..., m = m. Απόδειξη: Επαγωγή στο d = m{ m, }. Η περίπτωση d = είναι προφανής. Θεωρώντας τα και ως αµφίπλευρα ιδεώδη του έχουµε =... και άρα =.... εν µπορεί να ισχύει 0 = για κάθε γιατί 0 και άρα για κάποιο έχουµε 0. Τότε το µη µηδενικό αµφίπλευρο ιδεώδες περιέχεται και στο και στο. Συνεπώς από την υπόθεση περί απλών δακτυλίων παίρνουµε =. Υποθέτοντας χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι =, παίρνουµε 2... m = 2... οπότε εφαρµόζει η επαγωγική υπόθεση.

10 34 Τα δύο προηγούµενα λήµµατα δίνουν αµέσως το εξής: Πόρισµα. Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος οπότε όπου κάθε ορισµένος. ( D )... ( D D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Τότε ο αριθµός είναι µονοσήµαντα Το στο παραπάνω πόρισµα είναι ο αριθµός των απλών συνιστωσών του. Θα δώσουµε παρακάτω ένα άλλο χαρακτηρισµό του (Πρόταση 2.3.5) που θα βρει εφαρµογή στην απόδειξη του Θεωρήµατος Έστω I, I ιδεώδη των δακτυλίων 2, 2 αντίστοιχα Τα σύνολα I 0 και 0 I 2 είναι 2 -πρότυπα. (ως ιδεώδη του 2 ). ) Λήµµα. Με τους προηγούµενους συµβολισµούς ισχύει ότι κάθε οµοµορφισµός -προτύπων I 0 0 I 2 είναι ο µηδενικός. 2 Απόδειξη: Έστω οµοµορφισµός 2 -προτύπων, φ: I 0 0 I 2 και έστω r. Αν φ r,0) = (0, r ), τότε ( 2 φ r,0) = φ(( e,0)( r,0) = ( e,0) φ( r,0) = ( e,0)(0, r ) (0,0), ( 2 = όπου e είναι το µοναδιαίο στοιχείο του Πρόταση. Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος οπότε όπου κάθε ( D )... ( D ), D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Tότε το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων απλών -προτύπων είναι. Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουµε ότι ο έχει τουλάχιστον ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα. Έστω V το απλό ( D ) -πρότυπο που αποτελείται από πίνακες της µορφής στήλη 0 a 0 ( D ) 0 a 0

11 35 (Το ότι το V είναι απλό αποδείχτηκε στο (6) () του Θεωρήµατος του Wedderbur). Έστω V = 0... V... 0 ( D )... ( D ) όπου το V βρίσκεται στην συνιστώσα. Τότε βέβαια το V είναι απλό ( D )... ( D ) -πρότυπο. Από το Λήµµα (µε την προφανή γενίκευση για πεπερασµένο πλήθος συνιστώσες ) προκύπτει ότι V V / για. Θα δείξουµε τώρα ότι ο έχει το πολύ ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα. Έστω V απλό -πρότυπο. Επειδή ισχύει ( D ) = V... V και V... V ως ( D ) -πρότυπα παίρνουµε V V.... (**) Επειδή τώρα το V είναι απλό θα είναι πηλίκο του (άσκηση.) και συνεπώς πηλίκο του δεξιού σκέλους της (**). Η Πρόταση 2..2 ) και το γεγονός ότι το V είναι απλό δίνει ότι το V είναι ισόµορφο µε ένα από τα V. Γνωρίζουµε λοιπόν ότι σε έναν ηµιαπλό δακτύλιο κάθε απλή συνιστώσα του ( D ) συνεισφέρει ακριβώς ένα απλό -πρότυπο V και το σύνολο αυτών είναι ακριβώς ένα σύνολο των ανά δύο µη ισόµορφων απλών -προτύπων Πόρισµα. Έστω ηµιαπλός δακτύλιος οπότε όπου κάθε πρότυπα. Τότε για κάθε ( D )... ( D ), D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Έστω V,...,V τα αντίστοιχα απλά - o υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων Ed( V) D και συνεπώς οι D είναι µονοσήµαντα ορισµένοι =, και συνεπώς οι αριθµοί είναι µονοσήµαντα ορισµένοι. dm D V

12 36 o Απόδειξη: Για τον ισοµορφισµό Ed ( V ) D βλ άσκηση 6. Η σχέση = dm V είναι σαφής. D Για τα παραδείγµατα που ακολουθούν χρειαζόµαστε την εξής πρόταση Πρόταση Έστω Α µια k-άλγεβρα διαίρεσης, όπου k αλγεβρικά κλειστό σώµα, µε dm = <. Τότε A= k. k A Απόδειξη: Έστω a A και ker Φ= ( f ( x) ) ο πυρήνας του οµοµορφισµού αλγεβρών Φ: kx [ ] A, Φ ( gx ( )) = ga ( ), gx ( ) kx [ ]. Λαµβάνουµε έναν µονοµοµορφισµό αλγεβρών [ ]/( ( )) kx f x A. Επειδή τα στοιχεία 2, aa,,..., a είναι γραµµικά εξαρτηµένα υπεράνω του k, έχουµε deg f( x). Επειδή ο Α δεν έχει διαιρέτες του µηδενός, το f ( x ) είναι ανάγωγο, και αφού το k είναι αλγεβρικά κλειστό έχουµε deg f( x ) =. Άρα f ( x) = f0 + fx, όπου f0, f k, οπότε f0 + af = 0 και εποµένως a k Πόρισµα Έστω k ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα και G µια πεπερασµένη οµάδα τέτοια ώστε ο δακτύλιος kg [ ] είναι ηµιαπλός, οπότε κάποιους δακτύλιους διαίρεσης D. Τότε για κάθε έχουµε kg [ ] ( D)... ( D) για D = k Παραδείγµατα ) Έστω G µια αβελιανή οµάδα µε G = <. Τότε C[ G ] C... C ( φορές). Πράγµατι, από το Θεώρηµα του achke, o δακτύλιος C [ G] είναι ηµιαπλός. Από το Θεώρηµα του Wedderbur έχουµε C [ G] ( D )... ( D ), όπου D δακτύλιοι διαίρεσης. Από το Πόρισµα έχουµε C[ G] ( C)... ( C ). Επειδή η G είναι αβελιανή παίρνουµε =... = =. Αφού dm C C [ G] = έχουµε = και C[ G ] C... C. Σηµείωση: Από το προηγούµενο παράδειγµα φαίνεται ότι υπάρχει ισοµορφισµός αλγεβρών CZ [ 4] CZ [ 2 Z 2] αν και οι οµάδες Z4, Z2 Z 2 δεν είναι ισόµορφες.

13 37 2) Έστω G µια µη αβελιανή οµάδα τάξης 8. Τότε C[ G] C C C C 2( C ). Πράγµατι, όπως πριν έχουµε C[ G] ( C)... ( C ). Θεωρώντας διαστάσεις διανυσµατικών χώρων παίρνουµε = οπότε έχουµε τις εξής περιπτώσεις ) =... = = 8 ) = = 2 2 ) =... = =, = Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί η G δεν είναι αβελιανή. Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί κάποιο πρέπει να είναι ίσο µε σύµφωνα µε το Πόρισµα 2.3.6, αφού υπάρχει απλό C[ G] -πρότυπο διάστασης : το C µε εξωτερικό πολλαπλασιασµό rg g v= rg v του Θεωρήµατος του achke). Από την περίπτωση ) προκύπτει το ζητούµενο. για κάθε v C (βλ. την απόδειξη του ' ' Ασκήσεις. (Οι άνω τριγωνικοί πίνακες δεν είναι γενικά ηµιαπλοί δακτύλιοι). a b Έστω = abc,, C. Αποδείξτε ότι ο δεν είναι ηµιαπλός. 0 c Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θέσουµε τον πολλαπλασιασµό πινάκων a 0 2 = C µε εξωτερικό πολλαπλασιασµό b x ax + by =. Έστω L το υποπρότυπο c y cy του Μ που παράγεται από το. Τότε η ακριβής ακολουθία 0 0 L / L 0 δεν διασπάται. 2. Έστω Μ ένα πεπερασµένο παραγόµενο D-πρότυπο, όπου D δακτύλιος διαίρεσης. Ποιά µορφή έχουν τα Ed D ( ) -πρότυπα; Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ο Ed D ( ) είναι δακτύλιος πινάκων µε στοιχεία από δακτύλιο διαίρεσης και εφαρµόστε αποτελέσµατα σχετικά µε τη θεωρία των δακτυλίων αυτών. 3. Ποιοι από τους παρακάτω δακτύλιους είναι ηµιαπλοί; Για του ηµιαπλούς

14 38 δακτύλιους ποιά µορφή έχουν είναι τα απλά πρότυπα; ) Z, 2) Q, 3) C [ x], 4) C [ x, y], 5) 2 Q [ x]/( x 2). Υπόδειξη για το C [ x] : ένας από τους πολλούς τρόπους απόδειξης είναι να παρατηρήσουµε ότι αν ήταν ηµιαπλός, τότε από ο Θεώρηµα του Wedderbur έπεται ότι =, = και άρα ο C [ x] είναι δακτύλιος διαίρεσης, άτοπο. 4. Ένα -πρότυπο είναι ηµιαπλό αν και µόνο αν κάθε κυκλικό υποπρότυπό του είναι ηµιαπλό. 5. ) Αν ο είναι ηµιαπλός, τότε το κέντρο του είναι ηµιαπλός δακτύλιος. Υπόδειξη: Άσκηση.0. ) Κάθε µεταθετικός ηµιαπλός δακτύλιος είναι ευθύ γινόµενο σωµάτων. 6. ) Αληθεύει ότι γενικά µη µηδενικός υποδακτύλιος ηµιαπλού δακτυλίου είναι ηµιαπλός; ) Αποδείξτε ότι κάθε µη µηδενική επιµορφική εικόνα ηµιαπλού δακτυλίου είναι ηµιαπλός. Υπόδειξη: Ίσως είναι χρήσιµη η παρατήρηση ότι κάθε αµφίπλευρο ιδεώδες του... έχει τη µορφή I... I, όπου για κάθε k, το I k είναι αµφίπλευρο ιδεώδες του k, σε συνδυασµό µε το o θεώρηµα ισοµορφισµών δακτυλίων. 7. Έστω k σώµα και G πεπερασµένη οµάδα. Ο δακτύλιος k[g] είναι ηµιαπλός αν και µόνο αν το k είναι προβολικό k[g]-πρότυπο. Υπόδειξη: Βλ. την απόδειξη του Θεωρήµατος του achke. 8. Υπάρχει πεπερασµένος ηµιαπλός δακτύλιοι τάξης 2006; 9. Έστω ( D )... ( D ) ηµιαπλός δακτύλιος. Τότε υπάρχουν στοιχεία 2 e,...,e στο µε τις ιδιότητες e = e, e e = 0 για, e e =, e v = v για κάθε ν στο ( D ), και e ( D ) = Ένας δακτύλιος λέγεται δεξιά ηµιαπλός αν είναι ευθύ άθροισµα απλών δεξιών ιδεωδών. Αποδείξετε ότι ένας δακτύλιος είναι δεξιά ηµιαπλός αν και µόνο αν είναι (αριστερά) ηµιαπλός. Ποιά είναι τα απλά δεξιά ιδεώδη του (D), όπου D

15 39 δακτύλιος διαίρεσης;. Αν Μ είναι ένα -πρότυπο, συµβολίζουµε µε oc ( ) (το βάθρο του Μ) το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από τα απλά υποπρότυπα του Μ. Αν το Μ δεν έχει απλά υποπρότυπα θέτουµε oc ( ) = 0. Παρατηρούµε ότι ένα µη µηδενικό Μ είναι ηµιαπλό αν και µόνο αν oc ( ) =. Ποια είναι τα oc Z ( Z ), oc Z ( Z 2 ) όπου πρώτος, oc Z ( Q ) ; 2. Ένα ηµιαπλό πρότυπο είναι πεπερασµένα παραγόµενο αν και µόνο αν είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους απλών προτύπων. 3. Αν το Μ είναι πεπερασµένα παραγόµενο ηµιαπλό -πρότυπο, τότε ο δακτύλιος Ed ( ) είναι ηµιαπλός. Υπόδειξη: Υπολογίστε τον Ed ( ). (Bλ.απόδειξη ) 6) του Θεωρήµατος του Wedderbur). 4. Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος. ) Η γραφή κάθε πεπερασµένα παραγόµενου -προτύπου ως ευθύ άθροισµα απλών προτύπων είναι ουσιαστικά µοναδική. ) Η τάξη ελεύθερου -προτύπου είναι καλά ορισµένη. 5. ) Να βρεθούν όλοι οι ηµιαπλοί δακτύλιοι το κέντρο των οποίων είναι σώµα. ) Αποδείξτε ότι το κέντρο της C [ S3] έχει διάσταση 3, όπου S 3 είναι η οµάδα µεταθέσεων 3 συµβόλων. ) Έστω G µια οµάδα τάξης 0 για την οποία η άλγεβρα C [ G] έχει τουλάχιστον 8 ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα. Αποδείξτε ότι G Z Έστω D ένας δακτύλιος διαίρεσης και ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούµε το v δακτύλιο = ( D) και το -πρότυπο V = v D µε εξωτερικό v

16 40 πολλαπλασιασµό τον πολλαπλασιασµό πινάκων. o ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση Φ : D Ed ( V), Φ ( d)( v) = vd (προσοχή στη σειρά των v,d) είναι µονοµορφισµός δακτυλίων. ) Αποδείξτε ότι η Φ είναι επί. 0 Υπόδειξη: Ένας οικονοµικός τρόπος είναι ο εξής. Έστω v= V. Επειδή 0 ως -πρότυπο, το V είναι απλό, βλ. απόδειξη του Θεωρήµατος Wedderbur, έχουµε V = v. Αν f Ed ( V ), τότε η f καθορίζεται από την εικόνα f () v και έχουµε ( ) f () v = f E v = E f() v = dv= vd =Φ ( dv), για κάποιο d D. (Σηµείωση: Η ίδια ιδέα εφαρµόζει και στην άσκηση 9 ) του Κεφαλαίου ).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Herman Weyl

Εισαγωγή. Herman Weyl Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Κεφάλαιο 9 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικότερα τις ϐασικές ιδιότητες του δακτυλίου πολυωνύµων, κυ- ϱίως µιας µεταβλητής, µε στοιχεία από έναν µεταθετικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα,

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε µε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο R Θα περιοριστούµε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα